Upload
little-glory
View
38
Download
4
Embed Size (px)
Citation preview
Ploča direktno oslonjena na stubove P5/1
Projektovanje i građenje betonskih konstrukcija 1 PRIMERI ZA VEŽBE
1 PRORAČUN PLOČE POS 101 - varijanta: ploča direktno oslonjena na stubove, bez kapitela -
Dimenzionisati ploču na skici, direktno oslo-njenu na 16 stubova visine 4.0 m. Ploča je, pored sopstvene težine, opterećena i dodat-nim stalnim opterećenjem ∆g = 2 kN/m2 i po-vremenim opterećenjem p = 5 kN/m2, koja deluju po čitavoj površini ploče. Kvalitet mate-rijala: MB 35, RA 400/500.
1.1 USVAJANJE DEBLJINE PLOČE Obično je kriterijum za usvajanje debljine ploče vertikalno pomeranje (ugib). Proračun ugiba ploče se uglavnom sprovodi nekim računarskim programom (npr. Tower i slično). Kako ne postoji jednostavno tablično rešenje, u odsustvu odgovarajućeg softvera se smat-ra da je ugib u dopuštenim granicama ukoliko su zadovoljene odredbe člana 222 Pravilnika BAB 87:
cm117cm15
cm11735
60035
Ldp ...max
max
.min, =
==
=
Zbog nešto većeg povremenog opterećenja, pretpostavlja se dp = 20 cm.
1.2 ANALIZA OPTEREĆENJA
a. stalno opterećenje - sopstvena težina ploče dp×γb = 0.20×25 = 5.0 kN/m2 - dodatno stalno opterećenje ∆g = 2.0 kN/m2
ukupno, stalno opterećenje g = 7.0 kN/m2
b. povremeno opterećenje p = 5.0 kN/m2
1.3 PRORAČUN STATIČKIH UTICAJA
1.3.1 Podužni pravac Kako je odnos ortogonalnih raspona ploče:
331210506
LL750
y
x ..... <==<
a ploča opterećena jednako podeljenim opte-rećenjem, proračun se može sprovesti približ-nim postupkom, metodom zamenjujućih kon-tinualnih grednih nosača - traka (član 219. PBAB 87). Za širinu trake se uzima osovinsko rastojanje stubova upravnog pravca, a za vi-sinu trake debljina ploče. Proračun se spro-
432
D
1
C
B
ALx = 6.0 m
L y =
5.0
mL y
= 5
.0 m
L y =
5.0
m
Lx = 6.0 mLx = 6.0 m
L 2=2.5
mL y
=5.0
m
432
D
1
C
B
ALx = 6.0 m
L y =
5.0
mL y
= 5
.0 m
L y =
5.0
m
Lx = 6.0 mLx = 6.0 m
Ploča direktno oslonjena na stubove P5/2
Projektovanje i građenje betonskih konstrukcija 1 PRIMERI ZA VEŽBE
vodi za dva ortogonalna pravca, uzimajući u oba slučaja ukupno opterećenje.
Kontinualni nosači u dužem pravcu su raspona 3×6.0 m i širine Ly = 5.0 m u osama B i C, a širine Ly /2 = 2.5 m u osama A i D. Ukupno opterećenje na jedan srednji nosač je:
gx* = g×Ly = 7.0×5.0 = 35 kN/m px* = p×Ly = 5.0×5.0 = 25 kN/m
Dijagrami momenata savijanja, transverzalnih sila i vrednosti reakcija oslonaca za kontinu-alni nosač preko tri jednaka raspona, opterećen jednako raspodeljenim opterećenjem u svim poljima, prikazani su na narednoj skici:
gx*=g×Ly ; px*=p×Ly
0.4 0.5 0.6
0.6 0.5 0.4
0.4×L
L0 = 0.8×L
0.276×L
L0 = 0.447×L
0.2×L0.476×L
0.276×L 0.2×L0.476×L
0.5×L 0.6×L
0.1 0.1
0.08
0.025
L0 = 0.8×L
0.4×L 0.4×L
L L
M
T
(× qL)
(× qL2)
(× qL)
0.4×L0.4×L 0.08
A = 25 B = 1110 A = 25B = 11
10L = Lx
Ukupne vrednosti momenata savijanja za nosač širine Ly = 5.0 m usled stalnog, povreme-nog i graničnog (1.6×g+1.8×p) opterećenja su prikazani tabelarno.
Reakcije oslonaca, odnosno sile u stubovima su:
G1 = G4 = 0.4×35×6.0 = 84 kN G2 = G3 = 1.1×35×6.0 = 231 kN
P1 = P4 = 0.4×25×6.0 = 60 kN P2 = P3 = 1.1×25×6.0 = 165 kN
Maksimalna sila u stubu je G+P = 231 + 165 = 396 kN (stubovi B2, B3, C2, C3).
Kako su ivične trake (ose A i D) dvostruko manje širine, opterećenje i sile u stubovima su dvostruko manje.
Sračunati momenti savijanja za nosač ukupne širine Ly = 5.0 m se raspodeljuju na:
k G P U k×gx*×Lx
2 k×px*×Lx2 1.6×G+1.8×P
– kNm kNm kNm krajnja polja M0-1 0.08 100.8 72 290.9
oslonac -M1 0.1 126 90 363.6 srednje polje M1-2 0.025 31.5 22.5 90.9
Ploča direktno oslonjena na stubove P5/3
Projektovanje i građenje betonskih konstrukcija 1 PRIMERI ZA VEŽBE
- traku u polju (P), širine 0.60×Ly = 0.6×5.0 = 3.0 m i
- traku preko stubova (S), širine 0.40×Ly = 0.4×5.0 = 2.0 m
Traka preko stubova se sastoji od dve polutrake S1 i S2, širine 0.20×Ly = 1.0 m svaka. Sve trake su postavljene simetrično u odnosu na osu stubova, prema skici:
Lx=6.0
B
432
Lx=6.0
1.5
L y=5
.0
1.0
1.5
0.5
0.5
P 2S
2 2S 1
P 2S
2 2
L y /
2L y
/ 2
1
Lx=6.0
Ukupno sračunati momenti savijanja za nosač širine Ly se raspoređuju na sledeći način:
B
P2
S22 S1
P2
S22
1.5 0.5 1.0 0.5 1.5
Ly = 5.0
B
P2
S22 S1
P2
S22
1.5 0.5 1.0 0.5 1.5
Ly = 5.0
raspodela NEGATIVNIHmomenata po trakama
Mx,
osl
1.25
×Mx,
p
Mx,
p
2.1×
Mx,
osl
1.4×
Mx,
osl
0.5×
Mx,
osl
1.25
×Mx,
p
0.84
×Mx,
p
raspodela POZITIVNIHmomenata po trakama
gde su upotrebljene oznake:
y
oslxoslx
LM
M ,, = ; odnosno
y
pxpx
LM
M ,, =
za prosečne momente u gornjoj, odnosno donjoj zoni na širini Ly.
1.3.2 Poprečni pravac Kontinualni nosači u kraćem pravcu su ras-pona 3×5.0 m i širine Lx = 6.0 m u osama 2 i 3, a širine Lx /2 = 3.0 m u osama 1 i 4. Ukup-no opterećenje na srednje nosače je:
gy* = g×Lx = 7.0×6.0 = 42 kN/m py* = p×Lx = 5.0×6.0 = 30 kN/m
dok su vrednosti opterećenja za ivične no-sače dvostruko manje.
Ukupne vrednosti momenata savijanja za nosač širine Lx = 6.0 m usled stalnog, povre-menog i graničnog (1.6×g+1.8×p) optere-ćenja su prikazani tabelarno.
432
D
1
C
B
ALx = 6.0 m
L y =
5.0
mL y
= 5
.0 m
L y =
5.0
m
Lx = 6.0 mLx = 6.0 m
L2=3.0 mLx=6.0 m
Ploča direktno oslonjena na stubove P5/4
Projektovanje i građenje betonskih konstrukcija 1 PRIMERI ZA VEŽBE
gy*=g×Lx ; py*=p×Lx
0.40.5
0.6
0.60.5
0.4
0.4×L
L0 = 0.8×L
0.276×L
L0 = 0.447×L
0.2×L0.476×L
0.276×L 0.2×L0.476×L
0.5×L 0.6×L
0.1 0.1
0.08
0.025
L0 = 0.8×L
0.4×L 0.4×L
L L
M
T
(× qL)
(× qL2)
(× qL)
0.4×L0.4×L0.08
A = 25 B = 1110 A = 25B = 11
10
L = Ly
Sračunati momenti savijanja za nosač ukupne širine Lx = 6.0 m se raspodeljuju na:
- traku u polju (P), širine 0.60×Lx = 0.6×6.0 = 3.6 m i
- traku preko stubova (S), širine 0.40×Lx = 0.4×6.0 = 2.4 m
Traka preko stubova se sastoji od dve polutrake S1 i S2, širine 0.20×Lx = 1.2 m svaka. Sve trake su postavljene simetrično u odnosu na ose stubova, prema skici:
Ly=5.0
2
DCBA
Ly=5.0 Ly=5.0
1.8
L x=6
.0
1.2
1.8
0.6
0.6
P 2S
2 2S 1
P 2S
2 2
L x /
2L x
/ 2
Raspodela ukupnih momenata savijanja na trake u polju i preko stubova je analogna raspodeli u podužnom pravcu, s tim da su širine traka date u odnosu na raspon Lx.
k G P U k×gy*×Ly
2 k×py*×Ly2 1.6×G+1.8×P
– kNm kNm kNm krajnja polja M0-1 0.08 84 60 242.4
oslonac -M1 0.1 105 75 303 srednje polje M1-2 0.025 26.3 18.8 75.8
Ploča direktno oslonjena na stubove P5/5
Projektovanje i građenje betonskih konstrukcija 1 PRIMERI ZA VEŽBE
2
P2
S22 S1
P2
S22
1.8 0.6 1.2 0.6 1.8
Lx = 6.0
My,
osl
2
P2
S22 S1
P2
S22
1.8 0.6 1.2 0.6 1.8
1.25
×My,
p
Lx = 6.0
My,
p
2.1×
My,
osl
1.4×
My,
osl
0.5×
My,
osl
1.25
×My,
p
0.84
×My,
p
raspodela NEGATIVNIHmomenata po trakama
raspodela POZITIVNIHmomenata po trakama
gde su u ovom slučaju upotrebljene oznake:
x
oslyosly
LM
M ,, = ; odnosno
x
pypy
LM
M ,, =
za prosečne momente u gornjoj, odnosno donjoj zoni na širini Lx.
Reakcije oslonaca, odnosno sile u stubovima su:
G1 = G4 = 0.4×42×5.0 = 84 kN G2 = G3 = 1.1×42×5.0 = 231 kN
P1 = P4 = 0.4×30×5.0 = 60 kN P2 = P3 = 1.1×30×5.0 = 165 kN
Maksimalna sila u stubu je G+P = 231 + 165 = 396 kN (stubovi B2, B3, C2, C3).
Kako su ivične trake (ose 1 i 4) dvostruko manje širine, opterećenje i sile u stubovima su dvostruko manje.
1.3.3 Sile u stubovima – konačno
432
D
1
C
B
ALx = 6.0 m
L y =
5.0
mL y
= 5
.0 m
L y =
5.0
m
Lx = 6.0 mLx = 6.0 m
G=84
G=42
G=231
G=115.5 G=42P=30 P=82.5 P=30
G=84P=60P=60 P=165
G=42 G=115.5 G=42P=30 P=82.5 P=30
G=231
G=115.5P=82.5
P=165
G=115.5P=82.5
432
D
1
C
B
ALx = 6.0 m
L y =
5.0
mL y
= 5
.0 m
L y =
5.0
m
Lx = 6.0 mLx = 6.0 m
G=1
15.5
P=82
.5G
=42
P=3
0G
=42
P=3
0G
=115
.5P=
82.5
G=2
31P
=165
G=8
4P
=60
G=8
4P
=60
G=2
31P
=165
G=1
15.5
P=82
.5G
=42
P=3
0G
=42
P=3
0G
=115
.5P=
82.5
G=84 G=231 G=84P=60P=60 P=165
G=231P=165
G=2
31P
=165
G=8
4P
=60
G=8
4P
=60
G=2
31P
=165
PODUŽNI PRAVAC POPRECNI PRAVAC
Može se uočiti da se u pojedinim stubovima dobijaju različite sile pri proračunu podužnih i poprečnih traka (vrednosti sila ispisane vodoravno, odnosno uspravno na skici). Ovo je posledica primene približnog postupka, koji polazi od pretpostavke da su SVI zamenjujući kontinualni nosači iste širine, što naprosto ne odgovara stvarnom stanju. Stvarne reakcije prvih unutrašnjih oslonaca su oko 10% veće od vrednosti dobijenih približnim postupkom, što se može uočiti na primerima urađenom nekim računarskim programom. Bez daljeg elaboriranja, u slučaju dobijanja različitih sila u stubovima proračunom podužnog, odnosno poprečnog kontinualnog nosača ili rama, po pravilu se usvajaju veće dobijene vrednosti.
Ploča direktno oslonjena na stubove P5/6
Projektovanje i građenje betonskih konstrukcija 1 PRIMERI ZA VEŽBE
Konačno usvojeno za sve stubove: - srednje: G = 231 kN ; P = 165 kN (stubovi B2,B3, C2,C3) - ivične: G = 115.5 kN ; P = 82.5 kN (stubovi A2,A3, D2,D3, B1,C1, B4,C4) - ugaone: G = 42 kN ; P = 30 kN (stubovi A1,A4, D1,D4)
1.3.4 Određivanje dimenzija stubova U opštem slučaju, pri izboru oblika i dimenzija stubova mora se voditi računa o:
- arhitektonskim, saobraćajnim i sličnim zahtevima, koji ne spadaju u konstruk-terske, ali ih je neophodno ispuniti. Zasad se mogu podvesti pod »projektujte stubove što manjih dimenzija«, bez daljeg elaboriranja;
- prihvatanju horizontalnih dejstava (vetar, seizmika). S obzirom da se razmatra jednospratna konstrukcija oslonjena samo na stubove, u cilju obezbeđivanja jednake krutosti u dva ortogonalna pravca biraju se stubovi kvadratnog ili kruž-nog poprečnog preseka. Bez detaljnijeg obrazlaganja, s obzirom da izlazi iz ok-vira ovog kursa, usvaja se da su svi stubovi istog poprečnog preseka, a vero-vatni kriterijum za određivanje njihove dimenzije (veličina horizontalnog pomera-nja) se ne uzima u obzir;
- prihvatanju uticaja usled vertikalnog opterećenja. Pošto je usvojeno da su svi stubovi istog poprečnog preseka, potrebno ih je dimenzionisati za maksimalne sile G=231 kN i P=165 kN, vodeći pritom i računa o izvijanju.
Za maksimalne sile u stubovima, zanemarujući uticaj izvijanja i usvajajući minimalni proce-nat armiranja, potrebna površina betonskog preseka se može odrediti kao:
( )2
2B
upotrb cm309
32401060132
16512231911fNA =
××+×
×+×=
µ+×=
−
...
..
min.,
U ovom slučaju (pomerljiv sistem bez zidova za ukrućenje, ploča bez greda), stubovi su konzolni, pa je dužina izvijanja jednaka 2H = 2×4.0 = 8.0 m. Iz uslova maksimalno dopuš-tene vitkosti (λ ≤ 140) sledi:
40Lcm2.20
140124002d140
d12H2
db12
dbH2
iL i
3min
i ≈=××
≥⇒≤×
=
×
×==λ
Iz navedenog sledi da je minimalna potrebna dimenzija stuba kvadratnog poprečnog pre-seka d=25 cm.
Pored toga, u slučaju ploča direktno oslonjenih na stubove, minimalne dimenzije stubova su definisane članom 222. PBAB 87, kao:
cm30
cm30
cm72615400
15H
cm2520
50020L
d =
==
==
= .max
min
min
pri čemu je Lmin manji razmak stubova, a H spratna visina. Usvojeni su stubovi 30×30 cm.
Ploča direktno oslonjena na stubove P5/7
Projektovanje i građenje betonskih konstrukcija 1 PRIMERI ZA VEŽBE
1.4 KONTROLA U ODNOSU NA PROBIJANJE Postupak kontrole propisan je članovima 220 i 221 Pravilnika BAB 87. Zasniva se na nemačkim propisima DIN 1045 – provera se sprovodi za eksploataciona opterećenja i maksimalni smičući napon se upoređuje sa dopuštenim vrednostima.
Maksimalni smičući napon usled probijanja treba računati za presek 1-1 označen na skici, iz izraza:
( ) sssskp hhdPG
hOT
×+×π+
≈×
=τ max
pri čemu je:
Tmax - najveća transverzalna sila pri eks-ploatacionom opterećenju za kritični presek 1-1, može se umanjiti za vrednost rezultante opterećenja koje deluje na krug prečnika dkp;
ds - prečnik kružnog stuba (oslonca). Ukoliko je stub pravougaonog poprečnog pre-seka, veličinu ds treba sračunati iz izraza:
db4ds ××=π
kao prečnik ekvivalentnog kružnog stuba. U proračun zamenjujućeg prečnika ds može se uzeti maksimalno d=1.5×b (b<d), bez obzira na stvarni odnos strana pravougaonog stuba;
hs - srednja statička visina ploče za dva usvojena pravca armature
U izrazu za maksimalni smičući napon, vrednost Okp treba zameniti sa 0.6×Okp kod ivičnih, odnosno sa 0.3×Okp kod ugaonih stubova.
Dopušteni naponi smicanja određeni su kao:
b22 τγτ ×= - vrednost napona koja mora biti zadovoljena
a11 32 τγτ ××= - vrednost napona koja zahteva osiguranje armaturom
U ovim izrazima figurišu dopušteni naponi τa i τb, zavisni od marke betona (član 122 PBAB 87) i bezdimenzioni koeficijenti γ1 i γ2, određeni kao:
µαγ ××= a1 31. ; µαγ ××= a2 450.
Koeficijent αa zavisi od vrste upotrebljene armature i uzima sledeće vrednosti: αa = 1.0 za GA 240/360 αa = 1.3 za RA 400/500 αa = 1.4 za MA 500/560
dok µ predstavlja srednju vrednost procenta armiranja preseka ploče gornjom (oslonač-kom) armaturom iz dva upravna pravca na širini oslonačke trake 0.4×Lx, odnosno 0.4×Ly i unosi se u procentima. Pri tome mora biti zadovoljeno:
%.%. 51f2550v
bk ≤≤≤σ
µ
bez obzira što stvarna vrednost procenta µ može biti i izvan navedenih granica.
ds
dkp
d ph yh x h s
hs/2 hs/2
hs/2 hs/2
45°
1
1
1
1
Ploča direktno oslonjena na stubove P5/8
Projektovanje i građenje betonskih konstrukcija 1 PRIMERI ZA VEŽBE
Na osnovu napred iznetog, kontrola u odnosu na probijanje se sprovodi u nekoliko koraka: - određivanje sila u stubu usled stalnog i povremenog opterećenja - određivanje oslonačke armature u zoni stuba (Aax, Aay) - određivanje dopuštenih napona u betonu (funkcija armature Aax, Aay)
Međutim, ovi koraci su međusobno povezani, što proračun čini iterativnim. Da bi se izbegli preobimni proračuni, potrebno je proceniti veličinu i uticaj svakog od parametara.
Pretpostavljena debljina ploče je, van svake sumnje, najvažniji parametar, jer od njega za-vise i opterećenje (a time i statički uticaji), količina armature i dimenzije kritičnog preseka kod kontrole probijanja. Smisleno je debljinu ploče usvojiti iz kriterijuma deformacije (mo-guće kod proračuna na računaru) ili iz nekog iskustvenog kriterijuma. U ovom slučaju us-vojena je debljina ploče prema članu 222 PBAB, kao Lmax/35, što posredno »obećava« zadovoljenje uslova po deformacijama.
Sa tako usvojenom debljinom ploče sračunate su sile u stubovima, potrebne za određiva-nje maksimalnog smičućeg napona usled probijanja. U izrazu za ovaj napon figurišu i di-menzija stuba ds i srednja statička visina hs.
Dimenzionisanje prema momentima savijanja još uvek nije sprovedeno, jer debljina ploče nije definitivno usvojena (nije sprovedena kontrola probijanja). Kako su drugi i treći korak ove kontrole povezani, u situaciji kada debljina ploče nije zadata, potrebno je ili:
- proceniti procenat armiranja, sračunati dopuštene napone i na osnovu toga usvoji-ti debljinu ploče iz uslova probijanja, proveriti pretpostavljenu vrednost µ (dimenzi-onisanje prema momentima) i dalje dimenzionisati sve karakteristične preseke;
- dimenzionisati sa pretpostavljenom debljinom ploče minimalan broj preseka (samo one preseke od kojih zavise vrednosti dopuštenih napona – oslonačke preseke na širini 0.4×Lx, odnosno 0.4×Ly). Sa dobijenim µ izvršiti kontrolu probijanja, a arma-turu u ostalim presecima odrediti nakon usvajanja debljine ploče.
Pretpostavljajući potpuni nedostatak iskustva u dimenzionisanju ovakvih ploča, biće spro-veden drugi postupak.
1.4.1 Dimenzionisanje prema M - gornja zona, podužni pravac S obzirom da je statički sistem ploče u oba pravca isti (kontinualni nosač preko tri jednaka raspona), veći momenti savijanja se javljaju u dužem pravcu.
Na osnovu izloženog u tački 1.3.1, granični računski momenti savijanja u gornjoj zoni, u polutrakama S1 i S2 iznose:
10Lq12
LLLq10
12L
Lq1012M12M2xu
y
2xyu
y
2xxu
oslx1Sux
××=
××××=
×××=×= .
.....
*
,,
mkNm7.152
100.62.201.2M
mkN2.200.58.10.76.1q
21Su,x2u =
××=⇒=×+×=
pretp. a1x = 3 cm ⇒ hx = 20 – 3 = 17 cm
MB 35 ⇒ fB = 23 MPa RA 400/500 ⇒ σv = 400 MPa
086.2
3.27.152
17k == ⇒ εb/εa = 3.5/7.146‰ ; µ = 26.614%
Ploča direktno oslonjena na stubove P5/9
Projektovanje i građenje betonskih konstrukcija 1 PRIMERI ZA VEŽBE
m
cm022640
321761426A2
a ... =××= ⇒ usv. RØ19/10 (28.4 cm2/m)
10Lq41
LLLq10
41L
Lq1041M41M2xu
y
2xyu
y
2xxu
oslx2Sux
××=
××××=
×××=×= .
.....
*
,,
mkNm8.101
100.62.204.1M
22Su,x =
××=
555.2
3.28.101
17k == ⇒ εb/εa = 2.820/10‰ ; µ = 16.794%
m
cm421640
321779416A2
a ... =××= ⇒ usv. RØ19/15 (18.9 cm2/m)
1.4.2 Dimenzionisanje prema M - gornja zona, poprečni pravac Na osnovu izloženog u tački 1.3.2, granični računski momenti savijanja u gornjoj zoni, u polutrakama S1 i S2 iznose:
10Lq
1.2L
LLq1.01.2
LLq1.0
1.2M1.2M2yu
x
2yxu
x
2y
*yu
osl,y1Su,y
××=
××××=
×××=×=
mkNm1.106
100.52.201.2M
21Su,y =
××=
pretp. a1y = 2+1.9+1.6/2 = 4.7 cm ⇒ hy = 20 – 4.7 = 15.3 cm
253.2
3.21.106
3.15k == ⇒ εb/εa = 3.5/9.241‰ ; µ = 22.238%
m
cm561940
3231523822A2
a .... =××= ⇒ usv. RØ16/10 (20.1 cm2/m)
mkNm770
100522041M
22Suy ...., =
××=
7602
32770
315k .
..
.== ⇒ εb/εa = 2.434/10‰ ; µ = 14.213%
m
cm501240
3231521314A2
a .... =××= ⇒ usv. RØ16/15 (13.4 cm2/m)
1.4.3 Određivanje dopuštenih smičućih napona za unutrašnji stub
%..
.... , 3910517
12
918428h
Acm0517
291220h
x
sraxxx =×
+==µ⇒=−−=
%..
.., 101315
12
413120h
A
y
srayy =×
+==µ ⇒ %... 241
2101391
=+
=µ
Ploča direktno oslonjena na stubove P5/10
Projektovanje i građenje betonskih konstrukcija 1 PRIMERI ZA VEŽBE
=××=γ=××=γ
⇒=α⇒65024131450
881241313131500400RA2
1a ....
...../
Dopušteni naponi smicanja τa i τb, propisani članom 122 PBAB, za MB 35 iznose:
MPa422
6222MPa902
0180ba ...;...
=+
=τ=+
=τ
pa slede vrednosti dopuštenih napona:
2a11 cmkN1130090881
32
32 ... =××=τ×γ×=τ
2b22 cmkN1560240650 ... =×=τ×γ=τ
1.4.4 Kontrola maksimalnog napona smicanja za unutrašnji stub
cm2162
3150517hs ...=
+=
cm933304d4d 22s .=×
π=×
π=
( ) 22cmkN1560
216216933165231
τ==×+×π
+=τ .
...1
Kako nije prekoračen dopušteni napon τ2, nije potrebno menjati debljinu ploče, dimenziju stuba ili marku betona. S obzirom da je prekoračen do-pušteni napon τ1, potrebno je izvršiti osiguranje armaturom:
2
va cm3713
40396351
81
T750A ..
.
. max =×
=σ×
=
usvojeno: 4×4URØ8/15 (4×4×2×0.503 = 16.08 cm2)
Ovu armaturu treba rasporediti prema skici desno (osnova i presek), u skladu sa članom 220. Pravilnika BAB 87.
1 Napominje se da je pri određivanju sile probijanja Tmax, moguće silu u stubu (odnosno razliku sila u stubu iznad i ispod razmatrane tavanice u slučaju višespratnih objekata) umanjiti za deo raspodeljenog opterećenja koji deluje unutar kruga prečnika dkp: q = g + p = 7.0 + 5.0 = 12.0 kN/m2
cm0502169332h2dd s
skp ... =+=+= ⇒ kN13504
12d4
qT 22kp .. =×
π×=×
π×=∆
kN939213396TTT red ...max =−=∆−= ⇒
2cmkN1550
216509392 .
..
=××π
=τ
U slučaju međuspratnih konstrukcija, s obzirom na malu debljinu ploče i malo opterećenje, ova redukcija je praktično beznačajna, ali je svakako treba sprovesti pri proračunu temelja.
d ph s
12 ~0.7×hs8
~1.2×hs20
14R
UØ
8/15
30
14R
UØ
8/15
2 4RUØ8/ 15
2 4RUØ8/ 15
54 70
88
1 RUØ8/15
Ploča direktno oslonjena na stubove P5/11
Projektovanje i građenje betonskih konstrukcija 1 PRIMERI ZA VEŽBE
1.4.5 Kontrola maksimalnog napona smicanja za ivični stub Maksimalne sile u ivičnim stubovima su određene u tački 1.3.3. Maksimalni smičući napon se proračunava kao:
( ) 2skp cm
kN130021621693360
5825115hO60
T .....
...
max =×+×π×
+=
××=τ
Vrednosti dopuštenih napona τ1 i τ2 potrebno je odrediti iz odgovarajućih procenata armiranja, slično kao u slučaju unutrašnjeg stuba. Na skici dole je šematski prikazana us-vojena armatura u gornjoj zoni u polutrakama S1 i S2, sračunata u tačkama 1.4.1 i 1.4.2. Ista armatura je usvojena i u trakama u osi A (podužni pravac), odnosno 1 (poprečni pra-vac), s obzirom na veličinu momenata savijanja. Međutim, u ovim trakama u upravnom pravcu nije potrebna računska, već samo podeona armatura:
m
cm205022620A2
Xpa ..., =×= (tačka 1.4.1) ⇒ usv. RØ12/20 (5.65 cm2/m)
m
cm92.356.192.0A2
Yp,a =×= (tačka 1.4.2) ⇒ usv. RØ10/20 (3.93 cm2/m)
Kako su sile u stubovima A2 i B1 sile jednake (tačka 1.3.3), merodavan za kontrolu probijanja će biti onaj kod koga je ploča armirana manjom armaturom, odnosno sa manjim dopuštenim naponima (stub B1):
21
B
A
L y =
5.0
m
Lx = 6.0 m
RØ19/15
PODUŽNI PRAVAC
RØ19/15RØ19/10
RØ19/15RØ19/10 0.
50.5
3.0
0.5
1.0
0.5
P 2S
2 2S 1
P 2S
2 2P 2
S2 2
S1 2
21
B
A
L y =
5.0
m
Lx = 6.0 m
RØ
16/1
5
RØ
16/1
5R
Ø16
/10
POPRECNI PRAVAC
RØ
16/1
5R
Ø16
/10
P2
S22 S1
P2
S22
P2
S22
S12
0.6 0.6 3.6 0.6 1.2 0.6 1.8
%40.005.1793.3
hA
x
axx ===µ
%10.13.15
12
4.131.20h
A
y
sr,ayy =×
+==µ ⇒ %75.0
210.140.0
=+
=µ
22b22 cmkN1300
cmkN122024075031450 ...... max =τ<=×××=τ×γ=τ
Kako je prekoračen dopušteni napon τ2, potrebno je povećati debljinu ploče, dimenziju stuba ili marku betona ili problem eliminisati formiranjem ivične grede. Međutim, problem probijanja ivičnog stuba u ovom slučaju može biti rešen i povećanjem dopuštenog napona minimalnim povećanjem usvojene armature. Naime, u slučaju stuba A2, sa statički potreb-nom armaturom sračunatom za podužni pravac i odgovarajućom podeonom, sledi:
Ploča direktno oslonjena na stubove P5/12
Projektovanje i građenje betonskih konstrukcija 1 PRIMERI ZA VEŽBE
%39.105.17
12
9.184.28h
A
x
sr,axx =×
+==µ
%..
. 370315
655hA
y
ayy ===µ ⇒ %... 880
2370391
=+
=µ
222 cmkN1300
cmkN132024088031450 ...... max =τ>=×××=τ
221 cmkN1300
cmkN09500908803131
32 ...... max =τ<=××××=τ
S obzirom da je prekoračen dopušteni napon τ1, potrebno je izvršiti osiguranje armaturom:
2a cm68.6
4019835.1A =
×= ⇒ usvojeno: (2×3+4)URØ8/15 (10×2×0.503 = 10.05 cm2)
Radi obezbeđenja potrebnog procenta armiranja, u zonama ivičnih stubova u oba pravca biće postavljena armatura RØ19/10 u polutrakama S1, RØ19/15 u polutrakama S2 i pode-ona armatura RØ12/20.
1.4.6 Kontrola maksimalnog napona smicanja za ugaoni stub Maksimalne sile u ugaonim stubovima su određene u tački 1.3.3. Maksimalni smičući napon se proračunava kao:
( ) 2skp cm
kN094021621693330
3042hO30
T ......
max =×+×π×
+=
××=τ
Kako u gornjoj zoni nije potrebna nikakva računska armatura, dopušteni naponi τ1 i τ2 se sračunavaju sa minimalnim propisanim koeficijentom armiranja µ=0.5%:
222 cmkN0940
cmkN09902405031450 ...... max =τ>=×××=τ
max..... τ<=××××=τ 21 cmkN0720090503131
32
S obzirom da je prekoračen dopušteni napon τ1, potrebno je izvršiti osiguranje armaturom:
2a cm432
4072351A ..
=×
= ⇒ usvojeno: (3+3)URØ8/15 (6×2×0.503 = 6.03 cm2)
Usvojeni detalji osiguranja u osnovi su prikazani na narednoj skici.
2 4RUØ8/ 15
13R
UØ
8/15
13R
UØ
8/15
54
70
8 8
50
830
12 13R
UØ
8/15
2 3RUØ8/ 15
42 50
8
50
830 12
IVICNI STUB UGAONI STUB
Ploča direktno oslonjena na stubove P5/13
Projektovanje i građenje betonskih konstrukcija 1 PRIMERI ZA VEŽBE
1.5 DIMENZIONISANJE PLOČE – PODUŽNI PRAVAC Nakon provere probijanja sva tri karakteristična tipa stubova, konačno su usvojeni oblik i dimenzije stubova i debljina ploče, pa se proračun može završiti dimenzionisanjem ploče prema momentima savijanja. Ukupni momenti za traku širine Ly = 5.0 m su sračunati u tač-ki 1.3.1. Granični računski momenti savijanja po trakama su:
a. negativni (oslonački) momenti savijanja - polutraka S1: M1
S1 = 2.1×M1/Ly = 2.1×363.6/5.0 = 152.7 kNm/m - polutraka S2: M1
S2 = 1.4×M1/Ly = 1.4×363.6/5.0 = 101.8 kNm/m - traka u polju: M1
P = 0.5×M1/Ly = 0.5×363.6/5.0 = 36.4 kNm/m b. pozitivni (u polju) momenti savijanja krajnja polja:
- polutrake S1, S2: M0-1S = 1.25×M0-1/Ly = 1.25×290.9/5.0 = 72.7 kNm/m
- traka u polju: M0-1P = 0.84×M0-1/Ly = 0.84×290.9/5.0 = 48.5 kNm/m
srednje polje: - polutrake S1, S2: M1-2
S = 1.25×M1-2/Ly = 1.25×90.9/5.0 = 22.7 kNm/m - traka u polju: M1-2
P = 0.84×M1-2/Ly = 0.84×90.9/5.0 = 15.2 kNm/m
1.5.1 Dimenzionisanje - gornja zona Dimenzionisanje oslonačkih preseka u polu-trakama S1 i S2 je već sprovedeno u tački 1.4.1. Potrebno je dimenzionisati samo oslonački deo trake P:
hx = 20 – 2 – 1.9/2 = 17.05 cm
288.4
3.24.36
05.17k ==
εb/εa = 1.273/10‰ ; µ = 5.665%
m
cm55.540
3.205.17665.5A2
a =××=
usvojeno: RØ12/20 (5.65 cm2/m)
1.5.2 Dimenzionisanje - donja zona hx = 20 – 2 – 1.2/2 = 17.4 cm
1.5.2.1 krajnja polja, traka S
094.3
3.27.72
4.17k == ⇒ εb/εa = 2.004/10‰ ; µ = 11.140%
m
cm15.1140
3.24.17140.11A2
Sa =××= ⇒ usv. RØ12/10 (11.31 cm2/m)
1.5.2.2 krajnja polja, traka P
790.3
3.25.48
4.17k == ⇒ εb/εa = 1.495/10‰ ; µ = 7.303%
m
cm31.740
3.24.17303.7A2
Pa =××= ⇒ usv. RØ12/15 (7.53 cm2/m)
4.8
72.7
152.7
72.7
152.7
1.2 1.658 2.683 1.658 1.2
4.8
4.8
1.2 1.658 2.683 1.658 1.2
4.8
4.8
1.2 1.658 2.683 1.658 1.2
4.8
"S1"
"S2"
"P"
Ploča direktno oslonjena na stubove P5/14
Projektovanje i građenje betonskih konstrukcija 1 PRIMERI ZA VEŽBE
1.5.2.3 srednje polje, traka S
536.5
3.27.22
4.17k == ⇒ εb/εa = 0.933/10‰ ; µ = 3.364%
m
cm37.340
3.24.17364.3A2
Sa =××= ⇒ usv. RØ10/20 (3.93 cm2/m)
1.5.2.4 srednje polje, traka P
780.6
3.22.15
4.17k == ⇒ εb/εa = 0.739/10‰ ; µ = 2.229%
m
cm23.240
3.24.17229.2A2
Pa =××= ⇒ usv. RØ8/20 (2.51 cm2/m)
Proračun nosača u osama A i D se ne sprovodi posebno, jer su prosečne vrednosti mo-menata savijanja iste kao i za ose B i C, pa je usvojena armatura ista.
Usvojena armatura je šematski prikazana na donjoj skici (prikazana je četvrtina ploče u osnovi). Nedostajuća podeona armatura u gornjoj zoni usvojena je kod crtanja plana ar-mature, kao minimalno 20% statički potrebne glavne armature.
21
B
A
L y =
5.0
m
Lx = 6.0 m
RØ19/15
GORNJA ZONA
RØ19/15RØ19/10
RØ19/15RØ19/10 0.
50.5
3.0
0.5
1.0
0.5
P 2S2 2
S 1P 2
S2 2P 2
S2 2S1 2
RØ12/20
RØ12/20
21
B
A
Lx = 6.0 m
RØ12/15
DONJA ZONA
RØ12/10
P 2P 2
S 2S 2
P 2S 2
RØ12/15
RØ12/10
RØ10/20
RØ10/20
RØ8/20
RØ8/20
1.6 DIMENZIONISANJE PLOČE – POPREČNI PRAVAC Ukupni momenti za traku širine Lx = 6.0 m su sračunati u tački 1.3.2. Granični računski momenti savijanja po trakama su:
a. negativni (oslonački) momenti savijanja - polutraka S1: M1
S1 = 2.1×M1/Lx = 2.1×303/6.0 = 106.1 kNm/m - polutraka S2: M1
S2 = 1.4×M1/Lx = 1.4×303/6.0 = 70.7 kNm/m - traka u polju: M1
P = 0.5×M1/Lx = 0.5×303/6.0 = 25.3 kNm/m b. pozitivni (u polju) momenti savijanja krajnja polja:
- polutrake S1, S2: M0-1S = 1.25×M0-1/Lx = 1.25×242.4/6.0 = 50.5 kNm/m
- traka u polju: M0-1P = 0.84×M0-1/Lx = 0.84×242.4/6.0 = 33.7 kNm/m
srednje polje: - polutrake S1, S2: M1-2
S = 1.25×M1-2/Lx = 1.25×75.8/6.0 = 15.8 kNm/m - traka u polju: M1-2
P = 0.84×M1-2/Lx = 0.84×75.8/6.0 = 10.5 kNm/m
Ploča direktno oslonjena na stubove P5/15
Projektovanje i građenje betonskih konstrukcija 1 PRIMERI ZA VEŽBE
1.6.1 Dimenzionisanje - gornja zona Dimenzionisanje oslonačkih preseka u polutra-kama S1 i S2 je već sprovedeno u tački 1.4.2. Potrebno je dimenzionisati samo oslonački deo trake P:
hy = 20 – 2 – 1.9 – 1.6/2 = 15.3 cm
618.4
3.23.25
3.15k ==
εb/εa = 1.161/10‰ ; µ = 4.868%
m
cm28.440
3.23.15868.4A2
a =××=
usvojeno: RØ12/20 (5.65 cm2/m)
1.6.2 Dimenzionisanje - donja zona hy = 20 – 2 – 1.2 – 1.2/2 = 16.2 cm
1.6.2.1 krajnja polja, traka S
457.3
3.25.50
2.16k == ⇒ εb/εa = 1.698/10‰ ; µ = 8.835%
m
cm23.840
3.22.16835.8A2
Sa =××= ⇒ usv. RØ12/20+RØ10/20 (9.58 cm2/m)
1.6.2.2 krajnja polja, traka P
234.4
3.27.33
2.16k == ⇒ εb/εa = 1.294/10‰ ; µ = 5.814%
m
cm42.540
3.22.16814.5A2
Pa =××= ⇒ usv. RØ12/20 (5.65 cm2/m)
1.6.2.3 srednje polje, traka S
185.6
3.28.15
2.16k == ⇒ εb/εa = 0.820/10‰ ; µ = 2.685%
m
cm50.240
3.22.16685.2A2
Sa =××= ⇒ usv. RØ8/20 (2.51 cm2/m)
1.6.2.4 srednje polje, traka P
574.7
3.25.10
2.16k == ⇒ εb/εa = 0.652/10‰ ; µ = 1.780%
m
cm66.140
3.22.16780.1A2
Pa =××=
Aa,min = 0.1×10-2×100×20 = 2.0 cm2/m ⇒ usv. RØ8/20 (2.51 cm2/m)
"S1"
"S2"
"P"
4
50.5
106.1
50.5
106.1
1.382 2.236 1.3821 1
4
4
1.382 2.236 1.3821 1
4
4
1.382 2.236 1.3821 1
4
50.5 50.5
Ploča direktno oslonjena na stubove P5/16
Projektovanje i građenje betonskih konstrukcija 1 PRIMERI ZA VEŽBE
Proračun nosača u osama 1 i 4 se ne sprovodi posebno, jer su prosečne vrednosti mome-nata savijanja iste kao i za ose 2 i 3, pa je usvojena armatura ista.
21
B
A
L y =
5.0
mLx = 6.0 m
DONJA ZONA
21
B
A
Lx = 6.0 m
RØ
16/1
5
RØ
16/1
5R
Ø16
/10
GORNJA ZONAR
Ø19
/15
*R
Ø19
/10
*
S22 S1
P2
S22
S22
S12
0.6 0.6 3.6 0.6 1.2 0.6 1.8
P2P
S2
S2
S2
RØ
12/2
0R
Ø8/
20
RØ
12/2
0+R
Ø10
/20
RØ
8/20
RØ
12/2
0+R
Ø10
/20
RØ
8/20
RØ
12/2
0R
Ø8/
20
P
RØ
12/2
0
RØ
12/2
0
Usvojena armatura je šematski prikazana na gornjoj skici (prikazana je četvrtina ploče u osnovi). Šipke označene zvezdicom (zona oko stuba B1, važi i za C1, B4 i C4) su usvoje-ne iz uslova zadovoljenja dopuštenog napona τ2 kod kontrole probijanja ivičnih stubova (tačka 1.4.5). Nedostajuća podeona armatura u gornjoj zoni usvojena je kod crtanja plana armature, kao minimalno 20% statički potrebne glavne armature.