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1

LICEO POLITÉCNICO DOMINGO SANTA MARÍA

ENSEÑANZA MEDIA

TÉCNICO PROFESIONAL

2.- GEOMETRÍA

II

http://www.google.cl/url?sa=i&rct=j&q=funcion+exponencial&source=images&cd=&cad=rja&docid=7r7sfQn1We5T2M&tbnid=6dhkmzNhCaC2gM:&ved=0CAUQjRw&url=http://www.kalipedia.com/historia-peru/tema/funcion-exponencial-verifique.html?x1=20070926klpmatfnc_84.Kes&x=20070926klpmatfnc_88.Kes&ei=k9IyUeW5JZCm8ASC5IGYCg&bvm=bv.43148975,d.dmg&psig=AFQjCNFHv5lTadWmMBpLngoswqRPtP3_DA&ust=1362371586916614

http://www.google.cl/url?sa=i&rct=j&q=numeros+irracionales&source=images&cd=&cad=rja&docid=cQuEk4cY_WGO4M&tbnid=6_I4aAMPmWZI8M:&ved=0CAUQjRw&url=http://querespuesta.com/questions/view/55/como-es-el-teorema-de-pitagoras&ei=9NQyUay9A4Pm8QT0joG4Cw&bvm=bv.43148975,d.dmg&psig=AFQjCNHnWUCGn1PyFs58GqH8lm-g94qh8Q&ust=1362371975855093

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2

“La Geometría tiene dos grandes

tesoros: uno es el teorema de

Pitágoras, y el otro el número áureo.

El primero puede compararse a una

medida de oro, y el segundo a una

piedra preciosa.”

JOHANNES KEPLER

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3

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4

II.- GEOMETRÍA

OBJETIVOS DE APRENDIZAJE

PE

RIO

DO

OA 01 COMPRENDER EL CONCEPTO DE SEMEJANZA DE FIGURAS PLANAS. OA 02 IDENTIFICAR LOS CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS. OA 03 UTILIZAR LOS CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS PARA EL ANÁLISIS DE LA SEMEJANZA DE FIGURAS PLANAS.

PE

RIO

DO

OA 04 COMPRENDER EL TEOREMA DE THALES SOBRE TRAZOS PROPORCIONALES Y APLICARLO EN EL ANÁLISIS Y LA DEMOSTRACIÓN DE TEOREMAS RELATIVOS A TRAZOS. OA 05 DEMOSTRAR LOS TEOREMAS DE EUCLIDES RELATIVOS A PROPORCIONALIDAD DE TRAZOS. OA 06 DEMOSTRAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS Y EL TEOREMA RECÍPROCO DE PITÁGORAS. OA 07 IDENTIFICAR ÁNGULOS INSCRITOS Y DEL CENTRO EN UNA CIRCUNFERENCIA, Y RELACIONAR LAS MEDIDAS DE DICHOS ÁNGULOS. OA 08 DEMOSTRAR RELACIONES QUE SE ESTABLECEN ENTRE TRAZOS DETERMINADOS POR CUERDAS Y SECANTES DE UNA CIRCUNFERENCIA. OA 09

DEMOSTRAR TEOREMAS RELATIVOS A LA HOMOTECIA DE FIGURAS PLANAS OA 10 RESOLVER PROBLEMAS RELATIVOS A:

A. EL TEOREMA DE THALES SOBRE TRAZOS PROPORCIONALES B. LA DIVISIÓN INTERIOR DE UN TRAZO

C. TEOREMAS DE EUCLIDES RELATIVOS A PROPORCIONALIDAD DE TRAZOS

PE

RIO

DO

PE

RIO

DO

PROGRAMACIÓN ANUAL RESUMIDA 2015 * MATEMÁTICA * 2º E. M. T. P.

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5

I.- RESUMEN DE NOTAS POR GUÍAS DE TRABAJO:

GUÍA Nº 1.-

NOTA 1

GUÍA Nº 5.-

GUÍA Nº 4.-

GUÍA Nº 3.-

GUÍA Nº 2.-

NOTA 3

NOTA 4

NOTA FINAL

NOTA 2

NOTA 5

Firma Apoderado

Firma Apoderado

Firma Apoderado

Firma Apoderado

Firma Apoderado

Firma Apoderado

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6

II.- RESUMEN DE NOTAS POR GUÍAS DE TRABAJO:

GUÍA Nº 6.-

NOTA 6

GUÍA Nº 10.-

GUÍA Nº 9.-

GUÍA Nº 8.-

GUÍA Nº 7.-

NOTA 8

NOTA 9

NOTA FINAL

NOTA 7

NOTA 10

Firma Apoderado

Firma Apoderado

Firma Apoderado

Firma Apoderado

Firma Apoderado

Firma Apoderado

Página

7

GEOMETRIA Es razonable pensar que el origen de la geometría surge con los primeros pictogramas que traza el hombre primitivo pues, seguramente, clasificaba aun de manera inconsciente lo que le rodeaba según su forma. En la abstracción de estas formas comienza el primer acercamiento informal e intuitivo a la geometría. Así parece confirmarlo la ornamentación esquemática abstracta en vasijas de cerámica y otros utensilios. Las primeras civilizaciones mediterráneas adquieren poco a poco ciertos conocimientos geométricos de carácter eminentemente práctico. La geometría en el antiguo Egipto estaba muy desarrollada, como admitieron Heródoto, Estrabón y Diodoro, que aceptaban que los egipcios habían "inventado" la geometría y la habían enseñado a los griegos; aunque lo único que ha perdurado son algunas fórmulas –o, mejor dicho, algoritmos expresados en forma de "receta"– para calcular volúmenes, áreas y longitudes, cuya finalidad era práctica. Con ellas se pretendía, por ejemplo, calcular la dimensión de las parcelas de tierra, para reconstruirlas después de las inundaciones anuales. De allí el nombre γεωμετρία, geometría: "medición de la tierra" (de γῆ (gê) 'tierra' más μετρία (metría), 'medición') Los denominados Papiro de Ahmes y Papiro de Moscú muestran conjuntos de métodos prácticos para obtener diversas áreas y volúmenes, destinados al aprendizaje de escribas. Es discutible si estos documentos implican profundos conocimientos o representan en cambio todo el conocimiento que los antiguos egipcios tenían sobre la geometría. Los historiadores antiguos nos relataron que el conocimiento de esta civilización sobre geometría –así como los de las culturas mesopotámicas– pasó íntegramente a la cultura griega a través de Tales de Mileto, los pitagóricos y, esencialmente, de Euclides.

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8

SEMEJANZA: Dos figuras son semejantes cuando tienen igual forma y sus tamaños son proporcionales. La razón de semejanza o razón de proporcionalidad (r) se obtiene calculando el cociente entre la medida de una parte de la figura que se obtiene y la longitud de su parte correspondiente en la figura original.

Si 0 < r < 1, con r ∈ Q, entonces la figura resultante es

proporcionalmente de menor tamaño.

Si r < 1, entonces la figura resultante es proporcionalmente de mayor tamaño.

Los lados o partes correspondientes entre dos figuras semejantes son llamados homólogos.

Los lados o partes correspondientes entre dos figuras semejantes son llamados homólogos.

A B

C

A´ B´

C´

1,5 Cm

1,9 Cm 1,9 Cm

3 Cm

3,8 Cm

3,8 Cm

A B

C

A´ B´

C´

1,5 Cm

1,9 Cm 1,9 Cm

3 Cm

3,8 Cm

3,8 Cm

Figura original Figura imagen

𝒓 =𝟑, 𝟖

𝟏, 𝟗=

𝟑, 𝟖

𝟏, 𝟗=

𝟑

𝟏, 𝟓= 𝟐

Página

9

Si los triángulos fueran:

EN RESUMEN:

Dos figuras son semejantes si todos sus correspondientes ángulos son congruentes y la razón entre sus correspondientes lados es constante.

A´ B´

C´

A B 1,5 Cm

1,9 Cm 1,9 Cm

3 Cm

3,8 Cm

3,8 Cm

Figura original Figura imagen

𝒓 =𝟏, 𝟗

𝟑, 𝟖=

𝟏, 𝟗

𝟑, 𝟖=

𝟏, 𝟓

𝟑= 𝟎, 𝟓

C

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10

GUÍA N° 1 2° AÑO MEDIO GEOMETRIA

1.- UTILIZA LA CUADRICULA PARA REPRODUCIR LA FIGURA DIBUJADA SEGÚN LA RAZON DE SEMEJANZA DADA.

LICEO DOMINGO SANTA MARÍA

RENAICO

MARCELO ARAVENA CÁCERES www.profemarcelo.jimdo.com

Curso Fecha N° LISTA

Nombre

OA 01 COMPRENDER EL CONCEPTO DE SEMEJANZA DE FIGURAS PLANAS.

FIGURA ORIGINAL R = 1,5 R = 0,5

2.- EXPLICA LA ESTRATEGIA QUE UTILIZASTE EN LA ACTIVIDAD ANTERIOR PARA

LLEVARLA A CABO.

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11

DETERMINA EL VALOR DE LA SEMEJANZA (r) EN CADA CASO

RESUELVE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS

𝐴 =𝒃 ∙ 𝒉

𝟐

9 Cm 9 Cm

D´

A) 2 B) 0,5 C) 0,6 D) 3 E) N.A.

5.- SI EL PERÍMETRO DE UN TRIÁNGULO EQUILÁTERO ES 18 CM, ¿CUÁL ES EL ÁREA

DE UN TRIANGULO SEMEJANTE A ESTE CUYA RAZÓN DE SEMEJANZA ES 0,5?

A) 2 B) 0,5 C) 0,6 D) 3 E) N.A.

A

D C

B 10 Cm

10 Cm

5 Cm 5 Cm

A´

D´ C´

B´

2,5 Cm 2,5 Cm

5 Cm

5 Cm

A) 0,4 B) 0,5 C) 0,6 D) 0,7 E) N.A.

3.- figura original ABCD

A

D C

B 18 Cm

9 Cm

A´

C´

B´

3 Cm 3 Cm

6 Cm

3 Cm

42.- figura original ABCD

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12

A) 25 B) 50 C) 10 D) 75 E) N.A.

7.- UN PLANO A ESCALA 1:50, UNA HABITACION DE FORMA CUADRADA¿CUÁNTO MIDE

LA SUPERFICIE DE ESTE PISO EN LA REALIDAD?.

8.- DOS PUEBLOS SE ENCUENTRAN SEPARADOS A 2,5 KM. SI EN UN MAPA DE LA ZONA

SE ENCUENTRAN A 2,5 CM, DETERMINA LA ESCALA EN QUE ESTÁ DIBUJADO.

A) 1:100 B) 1:1000 C) 1:10000 D) 1:100000 E) N.A.

A) 6,7 B) 8,75 C) 35 D) 7,67 E) N.A.

6.- un plano ESTA DIBUJADO EN ESCALA 1:50, SI EL PISO DE UNA BODEGA

RECTANGULAR Y SUS DIMENSIONES EN EL PLANO SON DE 7 CM DE LARGO Y 5 CM

DE ANCHO ¿Cuánto MIDE LA SUPERFICIE DE ESTE PISO EN LA REALIDAD?.

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13

HOJA DE RESPUESTA GUÍA N° 1 2° AÑO MEDIO GEOMETRIA

INSTRUCCIONES:

PANEL DE RESPUESTAS

1. ESTA ACTIVIDAD CONSTA DE 8 PREGUNTAS DE ALTERNATIVAS A, B, C, D, E. 2. RESPONDE ENNEGRECIENDO LA ALTERNATIVA QUE CONSIDERES CORRECTA.

EN EL PANEL DE RESPUESTAS. 3. TODOS LOS EJERCICIOS, CUANDO CORRESPONDA, DEBEN IR CON

DESARROLLO, SI NO SE CONSIDERAN INCORRECTOS. 4. SI SE TE SORPRENDE COPIANDO, SE TE EVALUARA CON LO CONTESTADO

HASTA AHÍ. 5. USA SOLO LÁPIZ GRAFITO, Y DESTACA TUS RESULTADOS.

Ptje. Obt.

NOTA


Nombre

Ptje. TOTAL.

Página

14

SEMEJANZA DE TRIANGULOS: DOS TRIANGULOS SON SEMEJANTES (~) SI SUS ANGULOS

CORRESPONDIENTES SON CONGRUENTES (≈) Y SUS

LADOS HOMOLOGOS PROPORCIONALES. SIN EMBARGO,

HAY POSTULADOS QUE PERMITEN VERIFICAR LA

SEMEJANZA ENTRE TRIANGULOS SIN TENER QUE

COMPROBAR TODAS LAS CONGRUENCIAS Y TODAS LAS

PROPORCIONALIDADES, ESTOS SON LOS LLAMADOS

POSTULADOS O CRITERIOS DE SEMEJANZA.

Criterios de semejanza de

triángulos

CRITERIO ANGULO-ANGULO (AA)

DOS TRIANGULOS SON SEMEJANTES SI TIENEN DOS

PARES DE ANGULOS CORRESPONDIENTES

CONGRUENTES.

EJEMPLO: Durante la noche, Miguel observa que un poste de luz alumbra en un radio de 6 m y que la sombra de don José, de pie junto al poste, es de 3 m. Si Miguel estima la altura de don José en 1,7 m, ¿cuánto medirá el poste?

Congruencia: propiedad de

dos figuras de tener la misma

forma y tamaño; cuando al

poner una figura obre la otra,

ambas coinciden.

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15

Se puede considerar que el poste y don José están

perpendiculares al suelo. De este modo, CAB y EDB son

ángulos rectos.

Observa que además CBA es el mismo EBD. Entonces,

por el criterio AA, ΔABC ~ ΔDBE, por lo tanto, los correspondientes lados son proporcionales y se cumple: ES DECIR, SE DEBERÍAN CONOCER TODAS LAS MEDIDAS DE LOS LADOS Y ÁNGULOS, PARA DETERMINAR SI DOS TRIÁNGULOS SON SEMEJANTES O NO. PERO, AL IGUAL QUE PARA DETERMINAR LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS, EXISTEN TRES TEOREMAS QUE PERMITEN ESTABLECER LA SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS SIN VERIFICAR NECESARIAMENTE TODAS LAS IGUALDADES.

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16

Criterio lado – lado – lado (LLL): Dos triángulos son semejantes si tienen tres pares de lados respectivamente proporcionales.

Observa que los triángulos tienen lados aparentemente proporcionales. Comenzando por el lado mayor, los lados correspondientes tienen la relación

Como esta razón es constante, los lados correspondientes son proporcionales y, luego, los triángulos son semejantes. Esto se conoce como segundo criterio de semejanza o criterio LLL (lado-lado-lado).

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17

Criterio lado – Angulo – lado (LAL): Dos triángulos son semejantes si tienen un par de ángulos respectivamente congruentes, y los Lados que los forman son respectivamente proporcionales. EJEMPLO: Alan dice que estos triángulos no pueden ser semejantes, porque no se ven como si el triángulo mayor fuera la ampliación del más chico. Antonia, en cambio, dice que los lados correspondientes están en distinta posición, por eso se ve raro. Ya que, como se ve en la figura, es exactamente el mismo ángulo. Otra forma de establecer la semejanza entre triángulos es verificar que dos de los lados correspondientes son proporcionales y que el ángulo determinado por estos lados es igual en cada triángulo. Este resultado se conoce como tercer criterio de semejanza o criterio LAL (lado-ángulo-lado).

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18


i.- UTILIZANDO LOS CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIANGULOS RESUELVE LOS SIGUIENTE EJERCICIOS:


RENAICO



Nombre

OA 02 IDENTIFICAR LOS CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULO. OA 03 UTILIZAR LOS CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS PARA EL ANÁLISIS DE LA SEMEJANZA DE FIGURAS PLANAS.

1.- DADO EL ∆ ABC Y AD // BC. SI AD = 10 Cm, AB = 20 Cm y DE =12. ¿Cuál ES EL VALOR DE BC?

2.- DADO EL ∆ MNP Y OL // MN. SI PM = 12, LP = 3 Cm y LO =24. ¿Cuál ES EL VALOR DE MN?

3.- DADO EL ∆ QRS Y UT // RS. SI QR = 15, QU = 3 y QS =25. ¿Cuál ES EL VALOR DE QT?

A) 12 Cm

B) 24 Cm

C) 36 Cm

D) 48 Cm

E) N. de las A.

A) 2

B) 4

C) 6

D) 8

E) N. de las A.

A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) N. de las A.

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19

4.- Para calcular la distancia desde la playa a un barco se han tomado las medidas de la figura.

Calcula la distancia al barco.

5.- ¿Cuál es la profundidad de un pozo, si su anchura es 1,2 m y alejándote 0,8 m del borde, desde una altura de 1,7 m, ves que la visual une el borde del pozo con la línea del fondo?

6.- DADO LOS ∆s VWZ y PXY, AMBOS ∆s RECTANGULOS EN W, X. SI VW = 6, XY = 32, PX=12¿CUAL

ES EL VALOR DE WZ?

7.- En un triángulo ABC, AB = 4, BD = 7 y CA = 10. Otro triangulo DEF DE = 3, EF = 6 y FD = 15. Son

semejantes ambos triángulos?.

A) 1.400 m.

B) 1.500 m.

C) 1.600 m.

D) 1.700m.

E) N. de las A.

A) 2,44 m.

B) 2,55 m.

C) 2,54 m.

D) 1,7 m.

E) N. de las A.

35°

35°

A) 15

B) 16

C) 17

D) 18

E) N. de las A.

A) si

B) no

Página

20

8.- En un triángulo PQR, PQ = 10, QR = 20 y RP = 30. Otro triangulo DEF DE = 5, EF = 10 y FD = 20. Son

semejantes ambos triángulos?

A) si

B) no

9.- En un triángulo ABC, AB = 14, BD = 18 y CA = 20. Otro triangulo SMN SM = 7, MN = 8 y NS = 10.

Son semejantes ambos triángulos?

A) si

B) no

10.- en la siguiente figura, ambos triángulos son semejantes (~), h = 3, i = 5, b = 5,2, c = 8. ¿Cuál es el

valor de d y e?

11.- En la siguiente figura, ambos triángulos son semejantes (~),¿Cuál es el valor de x ^ y, respectiva%?

A) 6 y 2,6

B) 2,6 y 6

C) 3 y 5

D) no se puede calcular

E) N. de las A.

A) 2 y 6

B) 6 y 2

C) 3,5 y 7

D) 3 y 4

E) N. de las A.

Página

21

12.- ¿En la siguiente figura, los triángulos BCD y DEH, son semejantes?

A) si

B) no

13.- ¿En la siguiente figura, los triángulos, son semejantes?

A) si

B) no

14.- ¿En la siguiente figura, los triángulos, son semejantes?

A) si

B) no

15.- En la figura, considera que el ángulo de incidencia x es igual al ángulo de reflexión y.

Calcula la altura H si se sabe que h = 1,5 m, a = 2 m y b = 6 m.

A) 2 m

B) 6 m

C) 3,5 m

D) 3 m

E) N. de las A.

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22

ii.- Observa el siguiente mapa (no está a escala), y responde las siguientes preguntas.

Tijeral

M

N

P

A

B

16.- Entre Renaico y Tijeral hay 25 km Se ha fijado un punto P que se ven de ambos pueblos, si

NP = 10 km, AB = 25 km y MN = 15 km. ¿Cuál es la distancia entre PB?

A) 17,9 km

B) 16,7 km

C) 13,5 km

D) 31,0 km

E) N. de las A.

17.- Entre Renaico y Tijeral ha habido un corte de camino. Se ha fijado un punto P que se ven de

ambos pueblos, si AP = 15 km, PM = 7,2 km y MN = 12 km. ¿Cuál es la distancia entre AB?

A) 29 km

B) 26 km

C) 35 km

D) 30 km

E) N. de las A.

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23


INSTRUCCIONES:

PANEL DE RESPUESTAS

1. ESTA ACTIVIDAD CONSTA DE 17 PREGUNTAS DE ALTERNATIVAS A, B, C, D, E.

2. RESPONDE ENNEGRECIENDO LA ALTERNATIVA QUE CONSIDERES CORRECTA. EN EL PANEL DE RESPUESTAS.

3. TODOS LOS EJERCICIOS, CUANDO CORRESPONDA, DEBEN IR CON DESARROLLO, SI NO SE CONSIDERAN INCORRECTOS.

4. SI SE TE SORPRENDE COPIANDO, SE TE EVALUARA CON LO CONTESTADO HASTA AHÍ.

5. USA SOLO LÁPIZ GRAFITO, Y DESTACA TUS RESULTADOS.

Ptje. Obt.

NOTA


Nombre

Ptje. TOTAL.

SI NO

SI NO

SI NO

SI NO

SI NO

SI NO

Página

24

Teorema de Thales

La leyenda de Tales y las pirámides

Según la leyenda (relatada

por Plutarco), Tales de Mileto en un viaje a Egipto, visitó las pirámides de Guiza (Keops, Kefrén y Micerinos), construidas varios siglos antes. Admirado ante tan portentosos monumentos, quiso saber su altura.

La leyenda dice que solucionó el problema aprovechando la semejanza de triángulos (y bajo la suposición de que los rayos solares incidentes eran paralelos).

Así, estableció una relación de semejanza (Primer teorema de Tales) entre dos triángulos rectángulos, los que se grafican en la figura a la derecha.

Por un lado el que tiene por catetos (C y D) a la longitud de la sombra de la pirámide (C, conocible) y la longitud de su altura (D, desconocida), y por otro lado, valiéndose de una vara (clavada en el suelo de modo perfectamente vertical) otro cuyos catetos conocibles (A y B) son, la longitud de la vara (A) y la longitud de su sombra (B).

Como en triángulos semejantes, se cumple que: , por lo tanto la altura de la pirámide es , con lo cual resolvió el problema.

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25

Teorema particular de Thales Si dos lados de un triángulo son cortados por una recta paralela al tercer lado, esta determina sobre ellos segmentos proporcionales entre sí. Ejemplo: En la figura siguiente, BC // DE. Determina EC, si AD = 3, DB = 4 y AE = 4,5.

Por el teorema de Thales se tiene: 𝑨𝑫

𝑫𝑩=

𝑨𝑬

𝑬𝑪

POR LO TANTO:

𝟑

𝟒=

𝟒,𝟓

𝑬𝑪 → 𝟑 ∙ 𝑬𝑪 = 𝟒 ∙ 𝟒, 𝟓 → 𝑬𝑪 =

𝟏𝟖

𝟑 → 𝑬𝑪 = 𝟔

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26

Teorema General de Thales

Si tres o más rectas paralelas cortan a dos o más secantes, entonces los segmentos respectivos que se determinan en las secantes son proporcionales. EJEMPLO:

En la siguiente figura, OQ // ST // PR. La recta ST es paralela a OQ y PR. La medida de QR es de 10 cm. ¿Cuánto mide QT?, ¿Cuánto mide TR?

Por Thales 𝑶𝑺

𝑺𝑷=

𝑸𝑻

𝑻𝑹 ADEMAS, QT= x Y TR=10-x

POR LO TANTO

𝟐

𝟑=

𝒙

𝟏𝟎−𝒙→ 𝟐(𝑿 − 𝟏𝟎) = 𝟑 ∙ 𝒙 → 𝟐𝟎 − 𝟐𝒙 = 𝟑𝒙

20 = 5𝑥 → 𝒙 = 𝟒 Entonces QT = 4 y TR = 6

Cuando tenemos rectas paralelas cortadas por dos transversales puede darse alguno de los siguientes casos:

Página

27

Recíproco del Teorema de Thales

Si dos o más rectas son cortadas por dos transversales, determinando sobre estos últimos segmentos proporcionales, dichas rectas son paralelas entre sí.

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28


i.- utilizando los teoremas de Thales, desarrolla los siguientes ejercicios.


RENAICO



Nombre

OA 04 COMPRENDER EL TEOREMA DE THALES SOBRE TRAZOS PROPORCIONALES Y APLICARLO EN EL ANÁLISIS Y LA DEMOSTRACIÓN DE TEOREMAS RELATIVOS A TRAZOS. .

1.- Se sabe que AB // DE y que AC = 16, CD = 2, CE = 3. Entonces la medida de BC, es:

A) 12

B) 24

C) 36

D) 48

E) N. de las A.

2.- Se sabe que L1 // L2. Entonces la medida de BP, es:

A) 2,5

B) 4,5

C) 5,0

D) 6,5

E) N. de las A.

3.- Se sabe que AB // MR. Si AQ = 25 m. MR = 2 m. y MQ=RQ =5 m. Entonces la medida del puente en AB, es:

A) 30 m

B) 40 m

C) 50 m

D) 60 m

E) N. de las A.

Página

29

4.- aplica el teorema particular de Thales y encuentra DH:

A) 23,7 m

B) 24,0 m

C) 23,8 m

D) 23,6 m

E) N. de las A.

5.- Se sabe que ON // PQ. Entonces la medida de NB, es:

A) 13 m

B) 14 m

C) 15 m

D) 12 m

E) N. de las A.

6.- Se sabe que ON // PQ. Entonces la medida de NB es:

A) 12 m

B) 14 m

C) 16 m

D) 18 m

E) N. de las A.

7.- observa la siguiente figura, determina por el reciproco del teorema particular de tales si OB//PQ

A) SI

B) N0

Página

30

8.-

A) SI

B) N0

9.-

A) SI

B) N0

10.-

A) SI

B) N0

11.-

A) SI

B) N0

3 Cm

Página

31

12.-

A) 4

B) 6

C) 4,5

D) 12

E) N. de las A.

13.-

A) 6,4

B) 7,4

C) 8,4

D) 5,4

E) N. de las A.

14.-

A) 12 m

B) 14 m

C) 16 m

D) 18 m

E) N. de las A.

15.-

A) 12

B) 15

C) 16

D) 18

E) N. de las A.

Página

32


INSTRUCCIONES:

PANEL DE RESPUESTAS

1) ESTA ACTIVIDAD CONSTA DE 17 PREGUNTAS DE ALTERNATIVAS A, B, C, D, E. 2) RESPONDE ENNEGRECIENDO LA ALTERNATIVA QUE CONSIDERES CORRECTA.

EN EL PANEL DE RESPUESTAS. 3) TODOS LOS EJERCICIOS, CUANDO CORRESPONDA, DEBEN IR CON

DESARROLLO, SI NO SE CONSIDERAN INCORRECTOS. 4) SI SE TE SORPRENDE COPIANDO, SE TE EVALUARA CON LO CONTESTADO

HASTA AHÍ. 5) USA SOLO LÁPIZ GRAFITO, Y DESTACA TUS RESULTADOS.

Ptje. Obt.

NOTA


Nombre

Ptje. TOTAL.

SI NO

SI NO

SI NO

SI NO

SI NO

Página

33

División interior de trazos Si se quiere una recta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ dividir en n trazos congruentes, puedes utilizar el Siguiente procedimiento, trazando por cualquiera de los extremos una recta cualquiera, distinta de

𝑨𝑩̅̅ ̅̅ , determinando en ella n trazos congruentes (de cualquier medida) y trazando las paralelas correspondientes.

Ejemplo:

Si quisiéramos dividir una recta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ en 5 partes iguales, usando regla y compas. Usaremos e teorema de Thales y una construcción geométrica: 1. Sea AB, la recta a dividir 2. Por uno de los extremos del trazo anterior trazamos una

recta cualquiera y en ella determinamos cinco trazos congruentes (de cualquier medida); en la figura:

3. Unimos T con B y por los puntos P, Q, R y S trazamos

paralelas a 𝐵𝑇̅̅ ̅̅ .

4. Debido al teorema de Thales las rectas paralelas dividirán al

Página

34

trazo AB en cinco trazos congruentes.

División de un trazo en una razón dada

Supongamos ahora que la recta anterior se quiere dividir en dos trazos cuyas longitudes están en la razón 2:3, para ello utilizamos la semejanza de triángulos.

1) Supongamos que 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ lo dividiremos en la razón 2:3.

2) Por A se traza un rayo y en él se miden dos segmentos congruentes; por B se traza un rayo paralelo al anterior pero con sentido contrario. Sobre él se miden tres segmentos congruentes a los dos anteriores:

3) Donde la recta 𝑄𝑇 ⃡ de la figura intercepte a la recta 𝐴𝐵 ⃡ se

obtendrá el punto E que dividirá al trazo 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ en la razón 2:3.

Lo anterior se fundamenta en el hecho que los triángulos AEQ y BET son semejantes con razón de semejanza 2:3.

Página

35


i.- UTILIZANDO REGLA Y COMPAS, DIVIDE LOS SIGUIENTES TRAZOS.

OA 04 COMPRENDER EL TEOREMA DE THALES SOBRE TRAZOS PROPORCIONALES Y APLICARLO EN EL ANÁLISIS Y LA DEMOSTRACIÓN DE TEOREMAS RELATIVOS A TRAZOS. OA 10 RESOLVER PROBLEMAS RELATIVOS A: EL TEOREMA DE THALES SOBRE TRAZOS PROPORCIONALES LA DIVISIÓN INTERIOR DE UN TRAZO TEOREMAS DE EUCLIDES RELATIVOS A PROPORCIONALIDAD DE TRAZOS


RENAICO



Nombre

1.- Dividir La recta 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ en 5 partes iguales, usando regla y compas. Usa el teorema de

Thales y una construcción geométrica:





Página

36

4.- Dividir en dos trazos cuyas longitudes están en la razón 1:3, para ello utilizamos la

semejanza de triángulos.







Página

37

Teorema de Euclides

Teorema de la Altura En todo triangulo rectángulo, la altura correspondiente a la hipotenusa es media proporcional geométrica entre los segmentos que ella determina sobre la hipotenusa. p y q son la proyecciones de los catetos a y b sobre la hipotenusa respectivamente. Ejemplo: En el triángulo ABC, sea q = 12 y p=8, encuentra la altura (CD) del triangulo 12

ℎ𝑐=

ℎ𝑐

8 → ℎ𝑐

2 = 12 ∙ 8 → ℎ𝑐2 = 96 → ℎ𝑐 = √98 → 𝒉𝒄 = 𝟒√𝟔

Página

38

Teorema del Cateto En todo triangulo rectángulo un cateto es media proporcional geométrica entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre ella.

Ejemplo: En el triángulo ABC, sea q = 10 y p=18, encuentra el valor de a

𝑎2 = 18 ∙ 28 → 𝑎2 = 504 → 𝑎 = √504 → 𝑎 = √𝟏𝟐𝟔 ∙ 𝟒

→ 𝑎 = √𝟗 ∙ 𝟏𝟒 ∙ 𝟒 → 𝒂 = 𝟐 ∙ 𝟑√𝟏𝟒 → 𝒂 = 𝟔√𝟏𝟒

Página

39


i.- UTILIZA LA CUADRICULA PARA REPRODUCIR LA FIGURA DIBUJADA SEGÚN LA RAZON DE SEMEJANZA DADA.


RENAICO


OA 05 DEMOSTRAR LOS TEOREMAS DE EUCLIDES RELATIVOS A PROPORCIONALIDAD DE TRAZOS. OA 10 RESOLVER PROBLEMAS RELATIVOS A: EL TEOREMA DE THALES SOBRE TRAZOS PROPORCIONALES LA DIVISIÓN INTERIOR DE UN TRAZO TEOREMAS DE EUCLIDES RELATIVOS A PROPORCIONALIDAD DE TRAZOS


Nombre

1.- 𝒉𝒄

A) 4

B) 5

C) 6

D) 8

E) N. de las A.

2.- 𝒉𝒄 = 𝟓

A) 1,2

B) 1,5

C) 2,5

D) 3,5

E) N. de las A.

3.- 𝒉𝒄 = 𝟔

A) 3,5

B) 1,5

C) 3,6

D) 2,8

E) N. de las A.

Página

40

4.-

A) 3,5

B) 5

C) 6

D) 8

E) N. de las A.

5.-

A) 1,5

B) 1,5

C) 1,6

D) 1,7

E) N. de las A.

A) 11,5

B) 91,5

C) 78,1

D) 87,1 m

E) N. de las A.

A) 7,5

B) 8,5

C) 7,6

D) 9,7

E) N. de las A.

6.- Se quiere construir un parterre con forma de triángulo rectángulo. Se sabe que la altura y la

proyección de un lado sobre el lado mayor (hipotenusa) miden 15,3 m y 8,1 m, respectivamente.

Calcula el perímetro del parterre.

7.- Dos farmacias se encuentran en un mismo edificio por la misma cara. Cristina, que está en el

portal del edificio de enfrente, quiere comprar un medicamento. Observa el dibujo e indica cuál de las dos farmacias está más cerca de Cristina haciendo los cálculos que correspondan. ¿A qué distancia está Cristina del quiosco?

Página

41

8.- Antonio y Víctor tienen sus casas en la misma acera de una calle recta. Todos los días van a un

estadio que forma triángulo rectángulo con sus casas. Observa la figura y responde:

A) 12,5 y 10 km

B) 11,5 y 9 km

C) 13,6 y 12 km

D) 14,7 y 8 km

E) N. de las A.

A) 15 km

B) 11,5 km

C) 12,6 km

D) 12 km

E) N. de las A.

A) 91,5

B) 91,82

C) 91,6

D) 81,7

E) N. de las A.

¿A qué distancia está la casa de Víctor del estadio? ¿Qué distancia separa ambas casas?

9.- El siguiente dibujo nos muestra el circuito que hace un excursionista que parte de A. Calcula la

longitud del circuito sabiendo que AC= 5 km y la distancia de B al albergue es de 2,4 km.

10.- Un barco se halla entre dos muelles separados (en línea recta) 6,1 km. Entre ambos se

encuentra una playa situada a 3,6 km de uno de los muelles. Calcula la distancia entre el barco y los muelles sabiendo que si el barco se dirigiera hacia la playa, lo haría perpendicularmente a ella. ¿Qué distancia hay entre el barco y la playa? (NOTA: El ángulo que forma el barco con los dos muelles es de 90°).

Página

42

A) 3,89 y 9,15 m.

B) 9, 56 y 12,82 m.

C) 4,56 y 0,79 m.

D) 4,56 y 8,79 m.

E) N. de las A.

11.- En cada uno de los siguientes triángulos rectángulos se ha trazado la altura BH

sobre la hipotenusa. Halla, en cada caso, los segmentos x e y.

A) 2,13 y 2,39 m.

B) 2, 56 y 2,82 m.

C) 3,56 y 4,79 m.

D) 2,16 y 3,79 m.

E) N. de las A.



A) 16 y 21 m.

B) 16 y 20 m.

C) 15 y 20 m.

D) 15 y 21 m.

E) N. de las A.



Página

43

A) 16 y 21 m.

B) 16 y 20 m.

C) 15 y 20 m.

D) 15 y 21 m.

E) N. de las A.

14.- Dibuja, en cada caso, un triángulo rectángulo y traza su altura sobre la hipotenusa. a) Calcula la proyección del cateto menor sobre la hipotenusa si esta mide 50 cm y el cateto mayor 40 cm.

A) 16 y 21 m.

B) 16 y 20 m.

C) 15 y 20 m.

D) 15 y 21 m.

E) N. de las A.

15.- Dibuja, en cada caso, un triángulo rectángulo y traza su altura sobre la

hipotenusa. La hipotenusa mide 25 cm, y la proyección del cateto menor sobre la hipotenusa 9 cm. Halla el cateto mayor.

A) 16 y 21 m.

B) 16 y 20 m.

C) 15 y 20 m.

D) 15 y 21 m.

E) N. de las A.

16.- Dibuja, en cada caso, un triángulo rectángulo y traza su altura sobre la

hipotenusa. La altura relativa a la hipotenusa mide 6 cm, y la proyección del cateto menor sobre la hipotenusa, 4,5 cm. Halla la hipotenusa.

Página

44


INSTRUCCIONES:

PANEL DE RESPUESTAS





Ptje. Obt.

NOTA


Nombre

Ptje. TOTAL.

Página

45

Teorema de Pitágoras

Teorema de Pitágoras Establece que “En todo triangulo rectángulo, la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre sus catetos, es igual al área del cuadrado construido sobre su hipotenusa”. Veamos una demostración del Teorema de Pitágoras: Considera un triángulo ABC, rectángulo en C. Se traza su altura hc y se identifican las medidas de sus lados y las proyecciones de la altura hc. Se construyen cuadrados sobre los catetos, y sobre la hipotenusa se construyen rectángulos de lados q y c, y p y c.

𝒂𝟐 = 𝒑 ∙ 𝒄

𝒃𝟐 = 𝒒 ∙ 𝒄

𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 = (𝒑 ∙ 𝒄) + (𝒒 ∙ 𝒄)

𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝒄(𝒑 + 𝒒)

𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝒄 ∙ 𝒄

𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 = 𝒄𝟐

+

Página

46

Ejemplo: Calcula el valor de “x” en la siguiente figura

Entonces el lado a del triángulo ABC es de 4,8 cm.

Recíproco del Teorema de

Pitágoras

El Teorema Reciproco De Pitágoras, establece que si la

suma de los cuadrados de las medidas de dos lados de un triángulo es igual al a la medida al cuadrado del lado restante, entonces el triángulo es rectángulo.

Demostremos con un simple ejemplo:

Luís quería construir un corral rectangular para su conejillo de Indias. Cuando terminó, midió el fondo del corral. Encontró que un lado tenía 54 pulgadas de largo, el lado adyacente tenía 30 pulgadas de largo y una diagonal medía 63 pulgadas de largo. ¿El corral es realmente rectangular?

Si el corral es rectangular, entonces dos lados adyacentes y una diagonal formarán un triángulo rectángulo. Para ver si éste es el caso, verifica si las medidas forman un triple pitagórico.

302+ 542 = 900 + 2916 = 3816 y 632 = 3969

Como 302 + 542 ≠ 632, Las medidas no son un triple pitagórico, así que el triángulo no es un triángulo rectángulo. Por lo tanto, el corral no es rectangular.

𝒂𝟐 + 𝟑, 𝟔𝟐 = 𝟔𝟐

𝒂𝟐 = 𝟑, 𝟔𝟐 − 𝟔𝟐

𝒂𝟐 = 𝟏𝟐, 𝟗𝟔 − 𝟑𝟔

𝒂𝟐 = 𝟐𝟑, 𝟎𝟒/√𝟐

√𝒂𝟐 = √𝟐𝟑. 𝟎𝟒

𝒂 = 𝟒, 𝟖

Desarrollo.

6 Cm

3,6 Cm

Página

47


i.- VERIFICA SI LOS SIGUIENTES SON TRIOS PITAGORICOS.

OA 06 DEMOSTRAR EL TEOREMA DE PITÁGORAS Y EL TEOREMA RECÍPROCO DE PITÁGORAS.


RENAICO



Nombre

A) SI

B) NO

1). 3; 4; 5

A) SI

B) NO

2). 6; 8; 10

A) SI

B) NO

3). 5; 12; 13

A) SI

B) NO

4). 7; 8; 10

A) SI

B) NO

5). 12; 15; 25

A) SI

B) NO

6). 6; 3,6; 4,8

Página

48

A) 12.

B) 16

C) 13

D) 15.

E) N. de las A.

7.- Dado el triángulo ABC, rectángulo en B. calcula el valor de AC (Hipotenusa).

A) 12,5.

B) 16,6

C) 13,5

D) 15,5

E) N. de las A.


A) 14,45

B) 16,55

C) 13,65

D) 15,75

E) N. de las A.

9.- Dado el triángulo ABC, rectángulo en B. calcula el valor de BC.

A) 10√5.

B) 5√5

C) 5√10

D) 5√5.

E) N. de las A.


Página

49

A) 9√3.

B) 9

C) 5√10

D) 9√3.

E) N. de las A.

11- Dado el triángulo ABC, rectángulo en B. calcula el valor de BC.

A) 4

B) 7

C) 3,5

D) 6

E) N. de las A.

12.- Dado el triángulo ABC, isósceles. Si AC mide 7√2 Si calcula el valor de AB.

A) 9

B) 3√2

C) 18

D) 9√2.

E) N. de las A.

13.- Dado el triángulo ABC, isósceles. Si AC mide 18 Si calcula el valor de BC.

A) 128 m2

B) 168 m2

C) 138 m2

D) 158 m2

E) N. de las A.

14- el perímetro de un triángulo isósceles es 64 m. Y el lado desigual mide 14 m. cuál es el

área de dicho triangulo.

Página

50

HOJA DE RESPUESTAS GUÍA N° 7

A) 53 m

B) 54 m

C) 55 m

D) 56 m

E) N. de las A.

15- Aplica el teorema de Pitágoras y calcula el valor del perímetro de la figura, si ABCD es cuadrado. Angulo DEC recto

A) 53 m

B) 54 m

C) 55 m

D) 56 m

E) N. de las A.

16- Aplica el teorema de Pitágoras y calcula el valor del perímetro de la figura, si AC= 15 m.

A) si

B) no

17- Aplica el teorema Reciproco de Pitágoras y determina si los siguientes triángulos son rectángulos.

A) si

B) no

18- Aplica el teorema Reciproco de Pitágoras y determina si los siguientes triángulos son rectángulos.

Página

51


INSTRUCCIONES:

PANEL DE RESPUESTAS





Ptje. Obt.

NOTA


Nombre

Ptje. TOTAL.

Página

52

Ángulos y Segmentos en la Circunferencia

Muchas personas no conocen el nombre de este antiguo

pensador griego, que bien podría ser considerado entre los

grandes científicos de la humanidad. Nacido en Cirene, al

norte de la ciudad de Alejandría, cerca del año 276 a.C.,

Eratóstenes tenía inquietudes de todo tipo, como la

matemática, la filosofía y el teatro.

Eratóstenes trabajó en la famosa Biblioteca de Alejandría.

Una de sus principales obsesiones fue la resolución de

problemas matemáticos y geométricos como la naturaleza de

los números primos o la duplicación del cubo. Por su alcance

en varias ciencias, se destacó entre sus contemporáneos por

lo que le fue dado el sobrenombre de Pentathlos.

Los primeros pasos de su hallazgo

Con los profundos conocimientos de geometría que tenía,

Eratóstenes diseñó una esfera para realizar observaciones

astronómicas. Entre otros de sus descubrimientos puede

mencionarse la duplicidad de la elíptica, lo que

posteriormente los navegantes en el renacimiento aplicarían

a sus travesías a través de los mares.

Sin embargo, entre tantas dotes científicas que este sabio

tenía, ha pasado a la posteridad por ser el primer hombre

en medir la circunferencia de la tierra, prácticamente con

elementos tan rudimentarios, como podrían serlo ahora para

un hombre común en nuestro tiempo.

Página

53

Medición de la circunferencia terrestre

El gran hallazgo de Eratóstenes tuvo lugar un 21 de junio.

Durante el mediodía de aquel solsticio de verano, el sabio

tomó un papiro de la biblioteca y supo que en Siena un

palo no proyectaba su sombra sobre el suelo; movido por

su curiosidad científica, decidió comprobar lo mismo en

Alejandría.

Al mediodía de ese 21 de junio se dio

cuenta que sí proyectaba sombra.

Ante el acertijo de por qué razón el

mismo palo proyectaba sombra en un

lugar y no en otro, Eratóstenes

coligió hasta concluir que no podría

deberse sino a que la tierra no era

plana, sino que era redonda.

Eratóstenes midió lo s ángulos que formaban

las diferentes sombras proyectadas por los

palos en Siena y Alejandría, respectivamente,

llevaron al sabio a deducir que existía una

diferencia de unos siete grados.

Dedujo que si una circunferencia tiene 360º,

la cincuentava parte de esta sería siete;

teniendo en cuenta la distancia que existía

entre las dos ciudades, que era de unos ochocientos

quilómetros, dedujo la fórmula encontrando que la tierra

debía medir aproximadamente cuarenta mil quilómetros.

Aunque tendrían que pasar cerca de dos milenios para

poder comprobarlo con instrumentos de alta precisión, el

hallazgo de Eratóstenes es un hito en la ciencia hasta hoy.

Página

54

Elementos en la circunferencia

La circunferencia se define como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo llamado centro. Se denomina radio a cualquiera de los segmentos que unen el centro con un punto de la circunferencia, o bien, a la longitud de estos segmentos. En la figura, con la ayuda de un compás se ha trazado una circunferencia. La punta del compás se ha apoyado en un punto fijo O, que se denomina centro de la circunferencia.

Pero, ¿qué caracteriza a todos los puntos P que están en la circunferencia? Si observas bien, verás que todos los puntos están a la misma distancia del centro, esta distancia se denomina radio de la circunferencia. Además, tenemos los siguientes elementos:

Página

55

Cuando se tienen dos circunferencias en un mismo plano, se pueden tener las siguientes posiciones relativas:

Cuando hablamos del ángulo formado entre dos rectas no perpendiculares, nos referimos a cualquiera de los ángulos agudos que se forman.

Página

56

Ángulo inscrito y del centro en una circunferencia

En toda circunferencia se distinguen tres tipos de ángulos diferentes. i. Angulo del centro: Se llama ángulo del centro a cualquier ángulo que tenga su vértice en el centro de la circunferencia. Todo ángulo central corta a la circunferencia en dos puntos que determinan un arco comprendido.

Así, un ángulo de 360º comprende a la circunferencia completa, un ángulo de 180º divide a la circunferencia

en dos arcos iguales y un ángulo recto comprende un arco que es la mitad de una semicircunferencia.

De esta manera es posible identificar cada ángulo

central con su arco de circunferencia correspondiente. El ángulo central de la figura se

corresponde con el arco de

circunferencia dibujado en rojo.

Es posible establecer esta

correspondencia entre cualquier

ángulo central y su arco de

circunferencia, o bien, en sentido

contrario, entre cualquier arco y

su ángulo central.

Por esta razón, podemos hablar de la amplitud del arco, que en

este caso es de 140º.

Ejemplo:

Observa que los lados del AOB intersecan a la circunferencia

en los puntos A y B. Se dice que

el AOB subtiende el arco AB.

La medida de un arco también se puede expresar en grados sexagesimales, así, el arco de la circunferencia mide lo mismo que el ángulo del centro que lo subtiende.

Cuando dos líneas cortan a otra formando un arco, se dice que ellas lo subtienden. En la figura, las líneas subtienden el arco AB.

Los arcos en una circunferencia se leen en sentido contrario de los punteros del reloj; en la figura, con rojo se marca el arco AB y con verde el arco BA.

Página

57

ii. Angulo inscrito: Se llama ángulo inscrito al ángulo que tiene su vértice P en la circunferencia, de forma que sus lados son secantes con la circunferencia. Si A y B son los puntos en que los lados del ángulo inscrito APB cortan a la circunferencia y consideramos el ángulo central AOB que queda determinado por los puntos A y B, resulta entonces que este ángulo central AOB tiene amplitud doble que el ángulo inscrito APB. Sabemos así que la amplitud de cualquier ángulo inscrito es la mitad de la amplitud del ángulo central correspondiente.

La amplitud de cualquier ángulo inscrito es la mitad de la amplitud del ángulo central correspondiente. No depende de las medidas de otros ángulos. Esto se cumple tanto si el centro de la circunferencia está dentro o fuera del ángulo inscrito. En las siguientes situaciones se cumple que el ángulo inscrito mide la mitad del ángulo del centro que subtiende el mismo

arco: 𝜷 = 𝟐𝜶

Página

58

iii.- ángulo semi inscrito Son aquellos cuyo vértice pertenece a la circunferencia, uno de sus lados es una cuerda y el otro es tangente a la circunferencia.

BAT es ángulo semi

inscrito.

AB es cuerda.

AT es tangente a la circunferencia en A.

El ∢𝛼 = 𝛽

El ∢𝛼 =𝛾

2 además ∢𝛽 =

𝛾

2

∢2𝛼 = 𝛾 ∢2𝛽 = 𝛾 Ejemplo:

Determinar el valor del ∢ 𝛼, 𝛽, 𝛾

Si el arco 𝐴�̂� = 132°

Como el arco 𝐴�̂� = 132°, será igual al

∢ 𝛾 por lo tanto ∢ 𝛾 mide 132°

Como ∢ 𝛾 = 2𝛽 entonces

𝛽 = 132°

2= 66°

Además se tiene que ∢𝛼 = 𝛽

El ∢ 𝛼 = 66°

Página

59

Ángulos interiores y exteriores en una circunferencia. Un ángulo interior a una circunferencia puede definirse como el ángulo formado por dos cuerdas que se cortan.

i. Angulo interior: Un ángulo interior a una circunferencia puede definirse como el ángulo formado por dos cuerdas que se cortan. Un ángulo interior mide la semi-suma de los arcos que Subtiende. Ejemplo: Encuentra el valor del ángulo α

𝜶 =𝟒𝟑° + 𝟑𝟓°

𝟐

𝜶 =𝟕𝟖°

𝟐

𝜶 = 𝟑𝟗°

Página

60

ii. Angulo exterior:

Un ángulo exterior de una circunferencia es aquel cuyo vértice está en el exterior de la circunferencia y cuyos lados son secantes o tangentes. Un ángulo exterior mide la semi-diferencia de los arcos que subtiende. Ejemplo:

𝟑𝟕° =𝟏𝟐𝟏° − 𝜷°

𝟐

𝟐 ∙ 𝟑𝟕° = 𝟏𝟐𝟏° − 𝜷

𝟕𝟒° = 𝟏𝟐𝟏° − 𝜷

𝟕𝟒° − 𝟏𝟐𝟏 = −𝜷

−𝟒𝟕° = −𝜷 /−𝟏

𝟒𝟕° = 𝜷

Página

61


i.- CALCULA EL VALOR DEL ANGULO PEDIDO EN CADA CASO.


RENAICO


OA 07 IDENTIFICAR ÁNGULOS INSCRITOS Y DEL CENTRO EN UNA CIRCUNFERENCIA, Y RELACIONAR LAS MEDIDAS DE DICHOS ÁNGULOS.


Nombre

A) 37,5°

B) 150°

C) 55°

D) 100°

E) N. de las A.

1.- ENCUENTRA EL VALOR DEL ÁNGULO α.

A) 132°

B) 264°

C) 66°

D) 33°

E) N. de las A.

2.- ENCUENTRA EL VALOR DEL ÁNGULO α.

A) 19°

B) 38°

C) 90°

D) 76°

E) N. de las A.

3.- ENCUENTRA EL VALOR DE x.

X

Página

62

A) 120°

B) 60°

C) 30°

D) 180°

E) N. de las A.

4.- ENCUENTRA EL VALOR DE α.

A) 120° Y 60°

B) 60° Y 30°

C) 21° Y 42°

D) 10,5° Y 42°

E) N. de las A.

5.- ENCUENTRA EL VALOR DE α y β.

A) 72° Y 60°

B) 72° Y 36°

C) 18° Y 72°

D) 72° Y 46°

E) N. de las A.

6.- ENCUENTRA EL VALOR DE α y β.

A) 25°

B) 60°

C) 75°

D) 50°

E) N. de las A.

7.- ENCUENTRA EL VALOR DE α. CD ES DIAMETRO DE LA CIRCUNFERENCIA.

Página

63

A) 180°

B) 90°

C) 45°

D) 100°

E) N. de las A.

8.- ENCUENTRA EL VALOR DE α. CD ES DIAMETRO DE LA CIRCUNFERENCIA.

A) 86°

B) 22,5°

C) 43°

D) 100°

E) N. de las A.


A) 66°, 66° 130°°

B) 130°, 66°, 66°

C) 45°, 90°, 90°

D) 66°, 66°, 132°

E) N. de las A.

10.- ENCUENTRA EL VALOR DE α, β, γ, respectivamente. DB ES arco = 132°

A) 180° y 90°

B) 100° y 40°

C) 45° y 90°

D) 100° y 50°

E) N. de las A.

11.- ENCUENTRA EL VALOR DE β, γ, respectivamente.

Página

64

A) 43° Y 94°

B) 43° Y 86°

C) 45° Y 86°

D) 100° Y 94°

E) N. de las A.

12- ENCUENTRA EL VALOR DE α, β RESPECTIVAMENTE. DB ES arco = 94°.

A) 256°

B) 128°

C) 32°

D) 64°

E) N. de las A.

13.- ENCUENTRA EL VALOR DE α. FE ES ARCO = 256°.

A) 180°

B) 90°

C) 45°

D) 100°

E) N. de las A.

14.- ENCUENTRA EL VALOR DE β. BD ES ARCO = 126°.

A) 46°

B) 61°

C) 73°

D) 100°

E) N. de las A.


𝑨𝑩̅̅ ̅̅ ≅ 𝑩𝑫̅̅̅̅̅

Página

65

A) 180°

B) 360°

C) 60°

D) 120°

E) N. de las A.

16.- ENCUENTRA EL VALOR DE α. ABGHJD ES EXAGONO REGULAR.

A) α = DEL CENTRO, β = INSCRITO

B) α = INSCRITO, β = INSCRITO

C) α = INSCRITO, β = DEL CENTRO

D) α = DEL CENTRO, β = EXTERIOR

E) N. de las A.

17.- CLASIFICA LOS S α, β. SEGÚN CORRESPONDA.

A) α = ∢ DEL CENTRO, ∢β = INSCRITO, ∢γ= SEMI INSCRITO

B) α = ∢ INSCRITO, ∢β = INSCRITO, ∢γ= INSCRITO

C) α = ∢ INSCRITO, ∢β = DEL CENTRO, ∢γ= INTERIOR

D) α = ∢ DEL CENTRO, ∢β = DEL CENTRO, ∢γ= SEMI INSCRITO

E) N. de las A.

18.- CLASIFICA LOS S α, β, γ. SEGÚN CORRESPONDA.

A) α = ∢ DEL CENTRO, ∢β = INSCRITO, ∢γ= SEMI INSCRITO

B) α = ∢ INSCRITO, ∢β = INSCRITO, ∢γ= INSCRITO

C) α = ∢ INSCRITO, ∢β = DEL CENTRO, ∢γ= INTERIOR

D) α = ∢ DEL CENTRO, ∢β = DEL CENTRO, ∢γ= SEMI INSCRITO

E) N. de las A.

19.- CLASIFICA LOS S α, β, γ. SEGÚN CORRESPONDA.

Página

66

A) 25°

B) 50°

C) 150°

D) 100°

E) N. de las A.

20.- DETERMINA EL VALOR DE α.

A) 180° Y 90°

B) 90° Y 45°

C) 120° Y 120°

D) 100° Y 120°

E) N. de las A.

21.- DETERMINA EL VALOR DE α y β

A) 180°, 60°, 100°

B) 90°, 60° , 60°

C) 30°, 60°, 100°

D) 100°, 60°, 25°

E) N. de las A.

22.- ENCUENTRA EL VALOR DE α, β, γ RESPECTIVAMENTE.

A) 78°

B) 43°

C) 40°

D) 39°

E) N. de las A.

23.- EN LA FIGURA a, CALCULA EL VALOR DE α.

Página

67

A) 195°

B) 121°

C) 37°

D) 86°

E) N. de las A.

24.- EN LA FIGURA b ENCUENTRA EL VALOR DE β.

A) 71°

B) 51°

C) 61°

D) 41°

E) N. de las A.

25.- EN LA FIGURA c ENCUENTRA EL VALOR DE α.

A) 74°, 105°, 43°

B) 90° , 106°, 43°

C) 43°, 100°, 74°

D) 74°, 106°, 43°

E) N. de las A.

26.- EN LA FIGURA d ENCUENTRA EL VALOR DE α, β, γ. RESPECTIVAMENTE

A) 109°, 71°

B) 190°, 71°

C) 45°, 90°

D) 100°, 56°

E) N. de las A.

27.- EN LA FIGURA e ENCUENTRA EL VALOR DE α, β.

Página

68

A) 94°

B) 47°

C) 66°

D) 122°

E) N. de las A.

28.- EN LA FIGURA f ENCUENTRA EL VALOR DE α

A) 180°

B) 90°

C) 45°

D) 100°

E) N. de las A.

29.- EN LA FIGURA a ENCUENTRA EL VALOR DE α

A) 80°

B) 55°

C) 110°

D) 98°

E) N. de las A.

30.- EN LA FIGURA b ENCUENTRA EL VALOR DE α.

A) 4°, 128°, 120°

B) 4°, 128°, 60°

C) 4°, 168°, 12°

D) 104°, 4°,7°

E) N. de las A.

31.- EN LA FIGURA c ENCUENTRA EL VALOR DE α, β, γ.

Página

69

A) 180°, 70°

B) 110°, 70°

C) 110° 40°

D) 100°, 80°

E) N. de las A.

32.- EN LA FIGURA c ENCUENTRA EL VALOR DE α, γ. RESPECTIVAMENTE

A) 190°

B) 90°

C) 70°

D) 1090°

E) N. de las A.

33.- EN LA FIGURA e DETERMINA EL VALOR DE β.

A) 68°, 111, 43°

B) 68,5°, 111,5°, 43,5°

C) 65°, 11,5°, 43,5°

D) 58°, 111,5°, 43,5°

E) N. de las A.

34.- EN LA FIGURA f ENCUENTRA EL VALOR DE α, β, γ.

35.- EN LA FIGURA h ENCUENTRA EL VALOR DE α, β, γ, δ. RESPECTIVAMENTE

40°

E

A) 68°, 60, 43°, 60°

B) 68°, 60°, 60°, 60°

C) 78°, 60°, 60°, 60°

D) 58°, 60°, 43°, 60°

E) N. de las A.

Página

70


INSTRUCCIONES:

PANEL DE RESPUESTAS





Ptje. Obt.

NOTA


Nombre

Ptje. TOTAL.

PANEL DE RESPUESTAS

Página

71

Cuerdas y Secantes en la Circunferencia

Todo segmento cuyos extremos están situado en una circunferencia, se llama cuerda de esta circunferencia y toda cuerda que pasa por su centro se denomina diámetro.

AB es cuerda

DB es cuerda

AD es cuerda

Teorema de las Cuerdas Si dos cuerdas de una circunferencia se intersecan, su punto de intersección las divide en segmentos proporcionales.

De aquí se concluye que AP · BP = CP · DP.

AB y CD son cuerdas de la circunferencia.

http://www.ecured.cu/index.php/Circunferencia

Página

72

Teorema de las Secantes Si dos secantes a una circunferencia se cortan en un punto fuera de ella, los puntos de intersección de cada una con la circunferencia determinan segmentos proporcionales.

De aquí se concluye que PA · PB = PC · PD.

Teorema de la Secante y la Tangente Si una tangente y una secante se trazan desde un mismo punto, la tangente es la media proporcional de los segmentos determinados por la secante hasta cada punto de intersección con la circunferencia.

PA2 = PB · PC

Página

73


i.- CALCULA EN CADA CASO EL VALOR DE “X”. APLICA EL TEOREMA DE LAS CUERDAS.

OA 08 DEMOSTRAR RELACIONES QUE SE ESTABLECEN ENTRE TRAZOS DETERMINADOS POR CUERDAS Y SECANTES DE UNA CIRCUNFERENCIA.


RENAICO



Nombre

A) 3

B) 4

C) 5

D) 8

E) N. de las A.

1.- EN LA FIGURA ENCUENTRA EL VALOR DE

A) 3

B) 4

C) 5

D) 7

E) N. de las A.


A) 3

B) 4

C) 5

D) 7

E) N. de las A.


Página

74

A) 3

B) 4

C) 5

D) 7

E) N. de las A.


A) 10

B) 20

C) 70

D) 30

E) N. de las A.


A) 8

B) 9

C) 10

D) 12

E) N. de las A.

6.- EN LA FIGURA a ENCUENTRA EL VALOR DE x.

7.- EN LA FIGURA b ENCUENTRA EL VALOR DE x

A) 4

B) 9

C) 2

D) 6

E) N. de las A.

Página

75

A) 5

B) 9

C) 7

D) 6

E) N. de las A.

8.- EN LA FIGURA c ENCUENTRA EL VALOR DE x

A) 4

B) 5

C) 7

D) 6

E) N. de las A.

9.- EN LA FIGURA d DETERMINA EL VALOR DE x

A) 14

B) 15

C) 17

D) 16

E) N. de las A.

B) 5

C) 7

D) 6

E) N. de las A.

10.- EN LA FIGURA e ENCUENTRA EL VALOR DE x

11.- En la figura siguiente, los segmentos PB y PC son secantes a la circunferencia, CP es

diámetro. A) 8

B) 9

C) 10

D) 11

E) N. de las A.

Página

76


diámetro. A) 8

B) 13,5

C) 23

D) 23,5

E) N. de las A.


diámetro. A) 8

B) 9

C) 12

D) 4

E) N. de las A.

12.- desde el punto P situado a 10 cm del centro de la circunferencia de radio 6 cm., se traza una

recta tangente a ella, siendo T el punto de tangencia. ¿Cuál es la medida del segmento 𝑻𝑷̅̅ ̅̅ ?

A) 8

B) 9

C) 12

D) 4

E) N. de las A.

13.- Calcula la medida del segmento pedido en la figura a.

A) 8,2

B) 9

C) 2,2

D) 4

E) N. de las A.

Página

77

14.- Calcula la medida del segmento pedido en la figura b.

A) 8

B) 9

C) 12

D) 4

E) N. de las A.

15.- Calcula la medida del segmento pedido en la figura c.

A) 8

B) 9

C) 12

D) 6

E) N. de las A.

16.- Determine la medida del radio ( r ) de la ⃝ si PB es tangente a ella en el punto B; PB = 6 cm, PC =4 cm.

A) 8,4

B) 9,8

C) 3,4

D) 2,5

E) N. de las A.

17.- En la figura siguiente, el segmento PA es tangente a la circunferencia.

A) 14

B) 18

C) 13

D) 12

E) N. de las A.

Página

78


A) 5

B) 6

C) 7

D) 8

E) N. de las A.


A) 41

B) 18

C) 13

D) 15

E) N. de las A.


A) 14

B) 18

C) 13

D) 15

E) N. de las A.


A) 4

B) 8

C) 3

D) 5

E) N. de las A.

Página

79

22.- AD es tangente a la ⃝ de diámetro AB en el punto A. si AD = 12 cm y CD = 6cm,

determina el radio de la ⃝.

A) 𝟒√𝟑

B) 𝟓√𝟑

C) 𝟔√𝟑

D) 𝟏𝟐√𝟑

E) N. de las A.

23.- En la figura siguiente, el segmento PA es tangente a la ⃝ y CB es diámetro.

A) 14

B) 18

C) 13

D) 125

E) N. de las A.


A) 40

B) 80

C) 30

D) 50

E) N. de las A.


A) 4,7

B) 7,5

C) 3,7

D) 5,3

E) N. de las A.

Página

80


INSTRUCCIONES:

PANEL DE RESPUESTAS





Ptje. Obt.

NOTA


Nombre

Ptje. TOTAL.

PANEL DE RESPUESTAS

Página

81

Homotecia y Semejanza

Podemos decir que una homotecia es la transformación de una figura en otra semejante a ella, con respecto a un punto en el plano (llamado Centro De Homotecia), y a una razón dada, llamada Razón De Homotecia. Una homotecia es una transformación geométrica que permite construir una figura semejante a la original, con lados paralelos a esta. Para aplicar una homotecia se debe considerar: El centro de homotecia punto (O). A partir del cual se

alinean los vértices de la figura original y de la figura imagen.

La razón de homotecia (K). Es la razón de semejanza entre la figura resultante y la original.

Si k > 0 la homotecia es directa, la figura original y resultante están al mismo lado del centro.

Si k < 0 la homotecia es inversa, la figura original y resultante están en lados opuestos al centro.

http://www.google.cl/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&docid=wXY__RebCtbixM&tbnid=7HI_VGkXTLj3iM:&ved=0CAUQjRw&url=http://matematicas-maravillosas.blogspot.com/2008/10/practicando-una-homotecia-en-computador.html&ei=DoBmUrDhDIfj4APltoDACQ&bvm=bv.55123115,d.eW0&psig=AFQjCNHkivLy4-b2eS3r44wFNSCmRZZKLQ&ust=1382535556537391

Página

82

MIS APUNTES

Volvamos al plano cartesiano. Dibujemos en él un cuadrilátero, elijamos el punto A:(1,1) como nuestro centro de homotecia y los puntos B:(2,2), C:(3,4), D:(1,5) y E:(0,3) como vértices del cuadrado.

𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = √12 + 12 = √1 + 1 = √2 = 𝟏, 𝟒𝟏𝟒𝟐 …

𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = √22 + 32 = √4 + 9 = √13 = 𝟑, 𝟔𝟏 …

𝐴𝐷̅̅ ̅̅ = 𝟒

𝐴𝐸̅̅ ̅̅ = √12 + 22 = √1 + 4 = √5 = 𝟐, 𝟐𝟒 …

Calculemos las distancias desde A a los vértices. Para ello utilicemos la fórmula:

CASO 1

Página

83

MIS APUNTES

𝟏, 𝟒𝟏𝟒𝟐 × 𝟏, 𝟓 = 𝟐, 𝟏𝟏𝟖

𝟑, 𝟔𝟏 × 𝟏, 𝟓 = 𝟓, 𝟒𝟏𝟓

𝟒 × 𝟏, 𝟓 = 𝟔

𝟐, 𝟐𝟒 × 𝟏, 𝟓 = 𝟑, 𝟑𝟔

Supongamos que queremos multiplicar las distancias desde A a cualquier punto de la figura por 1,5 (razón de homotecia). Bastará ver dónde quedan los nuevos vértices del cuadrilátero. Así, si calculamos las distancias desde A a los vértices y las amplificamos por 1,5 obtendremos las distancias que determinarán los nuevos vértices.

Que son los largos de los trazos a dibujar desde A

hasta B, C, D y E .

𝟏, 𝟒𝟏𝟒𝟐

2,24

𝟑, 𝟔𝟏

4

Página

84

MIS APUNTES Para encontrar los nuevos vértices con las medidas recién calculadas. Dibujamos un trazo desde A, hasta el nuevo vértice del cuadrilátero. Como vemos en la figura

GHKL:

Hemos obtenido un cuadrilátero homotético al primero.

Entonces: cuando la razón es MAYOR que uno, AGRANDAREMOS la figura.

𝟏, 𝟒𝟏𝟒𝟐 × 𝟎, 𝟓 = 𝟎, 𝟕𝟎𝟕𝟏

𝟑, 𝟔𝟏 × 𝟎, 𝟓 = 𝟏, 𝟖𝟎𝟓

𝟒 × 𝟎, 𝟓 = 𝟐

𝟐, 𝟐𝟒 × 𝟎, 𝟓 = 𝟏, 𝟏𝟐

SI ahora queremos multiplicar las distancias desde A a los vértices de la figura por 0,5 (razón de homotecia). Como ya tenemos las distancias desde A a los vértices y las amplificamos por 0,5 obtendremos las distancias que determinarán los nuevos vértices serán:

Para encontrar los nuevos vértices con las medidas recién calculadas. Dibujamos un nuevo trazo desde A, hasta el nuevo vértice del cuadrilátero. Como vemos en la figura: GHIJ

CASO 2

Página

85

MIS APUNTES


Entonces: cuando la razón es MENOR que

uno, ACHICAREMOS la figura.

𝟏, 𝟒𝟏𝟒𝟐 × −𝟐 = −𝟐, 𝟖𝟐𝟖𝟒

𝟑, 𝟔𝟏 × −𝟐 = −𝟕, 𝟐𝟐

𝟒 × −𝟐 = −𝟖

𝟐, 𝟐𝟒 × −𝟐 = −𝟒, 𝟒𝟖

Veamos ahora que queremos multiplicar las distancias desde A a los vértices de la figura por -2 (razón de homotecia). Como ya tenemos las distancias desde A a los vértices y las amplificamos por -2 obtendremos las distancias que determinarán los nuevos vértices serán:

Para encontrar los nuevos vértices con las medidas recién calculadas. Dibujamos un nuevo trazo desde A, hasta el nuevo vértice del cuadrilátero. Como vemos en la figura: GHIJ

CASO 3

Página

86

MIS APUNTES Como te puedes fijar, en las construcciones que acabamos de hacer proyectamos siempre los nuevos vértices hacia el mismo sentido del trazo que unía el punto A con el resto de los vértices del cuadrilátero. Si miramos los trazos

𝐴𝐵̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐷̅̅ ̅̅ , 𝐴𝐸̅̅ ̅̅ como vectores, el hecho de amplificar por un número positivo sería lo que en física llamamos ponderación de un vector por un escalar... Cuando se pondera un vector por un escalar positivo, el sentido se conserva. Sin embargo, cuando se pondera un vector por un escalar negativo, su sentido cambiará y estará en sentido opuesto al que debiera estar si multiplicáramos por ese mismo número positivo. Por lo tanto, Para encontrar los nuevos vértices con las medidas recién calculadas. Dibujamos un nuevo trazo desde A, pero en sentido contrario hasta el nuevo vértice del cuadrilátero. Como vemos en la figura: GKIH.


Entonces: cuando la razón es NEGATIVA, será una reflexión respecto al punto A

Página

87

MIS APUNTES Volvamos al plano cartesiano. Dibujemos en él un triángulo, elijamos el punto A:(1,2) como nuestro centro de homotecia y los puntos B:(4,2), D:(4,6), como vértices del triángulo.

𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = 𝟑

𝐴𝐷̅̅ ̅̅ = √32 + 42 = √9 + 16 = √25 = 𝟓

Calculemos las distancias desde A a los vértices. Para ello utilicemos la fórmula:

𝟑 × 𝟎, 𝟓 = 𝟏, 𝟓

𝟓 × 𝟎, 𝟓 = 𝟐, 𝟓

Supongamos que multipliquemos las distancias desde A a cualquier VÉRTICE de la figura por 0,5 (razón de homotecia). Bastará ver dónde quedan los nuevos vértices del TRIANGULO.

Para encontrar los nuevos vértices con las medidas recién calculadas. Dibujamos un nuevo trazo desde A, hasta el nuevo vértice del triángulo. Como vemos en la figura: ACE

CASO 4

Página

88

MIS APUNTES

Hemos obtenido un Triángulo homotético al primero.

La nueva figura queda dentro de la primera por ser más pequeña (la razón es positiva, pero

menor que 1)

Página

89

MIS APUNTES

𝟑 × −𝟐 = −𝟔

𝟓 × −𝟐 = −𝟏𝟎

Supongamos que multipliquemos las distancias desde A (uno de los vértices del triángulo) a los otros Vértices de la figura por -2 . Bastará ver dónde quedan los nuevos vértices del TRIANGULO.

Para encontrar los nuevos vértices con las medidas recién

calculadas. Dibujamos un nuevo trazo desde A, hasta el

nuevo vértice del triángulo. Como vemos en la figura: AED.


La nueva figura queda reflejada invertida y más grande de la primera (la razón es negativa, pero menor que 0)

CASO 5

Página

90

MIS APUNTES

𝑶𝑨̅̅ ̅̅ : 𝟒, 𝟒𝟕 × 𝟏, 𝟔 = 𝟕, 𝟏𝟓

𝑶𝑩̅̅̅̅̅: 𝟐, 𝟖𝟑 × 𝟏, 𝟔 = 𝟒, 𝟓

𝑶𝑪̅̅ ̅̅ ∶ 𝟑 × 𝟏, 𝟔 = 𝟒, 𝟖

Ahora tomemos un punto “O” como centro de homotecia, un

punto al interior de una figura y una razón de 8

5 (que es

igual a 1,6) Para encontrar las distancias desde O hasta los vértices del triángulo, debemos usar la fórmula:

Ahora multipliquemos las distancias desde O a los otros vértices de la figura por 1,6 (razón de homotecia). Bastará ver dónde quedan los nuevos vértices del TRIANGULO.


calculadas. Dibujamos un nuevo trazo desde O, hasta el

nuevo vértice del triángulo. Como vemos en la figura: DEF.


La nueva figura queda más grande que la primera SEMEJANTE EN PROPORCIÓN A

LA ORIGINAL.

CASO 6

Página

91

MIS APUNTES CASO 7

𝑶𝑨̅̅ ̅̅ : 𝟒, 𝟒𝟕 × −𝟎, 𝟒 = −𝟏, 𝟕𝟖𝟖

𝑶𝑩̅̅̅̅̅: 𝟐, 𝟖𝟑 × −𝟎, 𝟒 = −𝟏, 𝟏𝟑𝟐

𝑶𝑪̅̅ ̅̅ ∶ 𝟑 × −𝑶, 𝟒 = −𝟏, 𝟐

Ahora tomemos un punto “O” como centro de homotecia, un

punto al interior de una figura y una razón de −2

5 (que es

igual a -0,4) Para encontrar las distancias desde O hasta los vértices del triángulo, debemos volver a usar la fórmula:

Ahora multipliquemos las distancias desde O a los otros vértices de la figura por -0,4 (razón de homotecia). Bastará ver dónde quedan los nuevos vértices del TRIANGULO.


calculadas. Dibujamos un nuevo trazo desde O, hasta el

nuevo vértice del triángulo. Como vemos en la figura: DEF.

Hemos obtenido un triángulo homotético al primero.

La nueva figura queda reflejada, invertida, al interior de la figura original y más pequeña de la primera (la razón es negativa, pero menor que 0)

Página

92

MIS APUNTES

Una homotecia es la transformación de una figura en otra semejante a ella, con respecto a un punto en el plano, llamado centro de homotecia, y a una razón dada, llamada razón de homotecia.

La homotecia se puede considerar una operación vectorial, ya que es la resultante de ponderar vectores dirección (del centro de homotecia hasta cada punto de la figura) por un escalar (razón de homotecia).

Si la razón de homotecia es positiva y mayor que uno, la figura semejante será más grande y estará en el mismo sentido de la original.

Si la razón de homotecia es positiva y menor que uno, la figura semejante será más pequeña y estará en el mismo sentido de la original.

Si la razón de homotecia es menor que − 1, la figura semejante será más grande, pero habrá experimentado un giro con respecto a la figura original.

Si la razón de homotecia es negativa y mayor que − 1, la figura semejante será más pequeña, pero habrá experimentado un giro con respecto a la figura original.

Si el centro de homotecia está en el exterior de la figura original, su figura homotética estará separada de la original.

Si el centro de homotecia está en uno de los vértices de la figura original, su figura homotética estará unida a la primera por dicho vértice.

Si el centro de homotecia está dentro de la figura original y la razón, en módulo, es mayor que 1, entonces la figura original se encontrará dentro de su homotética.

Si el centro de homotecia está dentro de la figura original y la razón, en módulo, es menor que 1, entonces la figura homotética se encontrará dentro de la original.

Como las figuras homotéticas son figuras semejantes se cumplirá que, si su razón de semejanza es r, entonces:

La razón entre sus perímetros será también r La razón entre sus áreas será r 2 La razón entre sus volúmenes (en caso de ser

tridimensionales) será r 3

Página

93

GUÍA N° 9 2° AÑO MEDIO RESUELVE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS. DADAS LAS SIGUIENTES FIGURAS, EL CENTRO Y RAZÓN DE

HOMOTECIA, CONSTRUYE LA FIGURA HOMOTÉTICA CORRESPONDIENTE EN CADA

CASO.

𝑂𝑆̅̅̅̅ : √32 + 32 = √9 + 9 = √18 = 𝟒, 𝟐𝟒

𝑂𝑈̅̅ ̅̅ : √12 + 6 = √1 + 36 = √37 = 𝟔, 𝟎𝟖

𝑂𝑇̅̅ ̅̅ : √22 + 12 = √4 + 1 = √5 = 𝟐, 𝟐𝟒

𝑂𝑆̅̅̅̅ : 4,24 × 0,5 = 𝟏, 𝟎𝟔

𝑂𝑈̅̅ ̅̅ : 6,08 × 0,5 = 𝟑, 𝟎𝟒

𝑂𝑇̅̅ ̅̅ : 2,24 × 0,5 = 𝟏, 𝟏𝟐

Ptje. Obt.

NOTA


RENAICO



Nombre AE 09 DEMOSTRAR TEOREMAS RELATIVOS A LA HOMOTECIA DE FIGURAS PLANAS

1° Paso:

Encontrar la Medida los trazos OA, OB, OC,

usando la fórmula de distancia entre dos puntos.

2° Paso:

Multiplicar cada valor por la razón de homotecia.

3° Paso:

Trazar los segmentos, con las nuevas medidas, para

encontrar los nuevos vértices (S, U, T).

4° Paso:

Unir los vértices encontrados, nombrar los vértices

y pintar la figura homotética.

R. H. = 0,5 EJEMPLO

1 CALCULA LAS MEDIDAS DESDE EL CENTRO A LOS VÉRTICES, REALIZA LAS MULTIPLICACIONES DE ESTAS DISTANCIAS POR LA RAZÓN DE HOMOTECIA, ETC.

Página

94

1 R. H. = 0,5

2 R. H. = 1,6

3 R. H. = -1,6

Página

95

4 R. H. = -0,6

5 R. H. = 0,6

C. de H. = B

6 R. H. = 0,5

C. de H. = B

8

R. H. = -0,5

C. de H. = O: (3,2)

7

R. H. = -0,8

C. de H. = O: (3,2)

Página

96

MAAC

2015

Este cuaderno auxiliar de Matemática,

fue diseñado por Marcelo A. Aravena C.

exclusivamente para 1° de E. M. del

Liceo Politécnico Domingo Santa María.

2015

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