edebé

Matemáticas 3ESO

ARITMÉTICA Y ÁLGEBRA

1

CONTENIDOS

1. Fracciones1.1. Fracciones equivalentes

2. El conjunto de los números racionales2.1. Concepto de número racional

2.2. Representación y ordenación de los núme-

ros racionales

2.3. Números racionales y números decimales

3. Operaciones con números racionales3.1. Suma, resta, multiplicación y división

3.2. Potenciación y radicación

3.3. Operaciones combinadas

4. Porcentajes

Competencia matemática

• Realizar cálculos con números racionales en dife-

rentes situaciones.

• Utilizar el cálculo mental como herramienta para

agilizar las operaciones aritméticas.

Competencia en comunicación lingüística

• Organizar la información e integrarla con los

conocimientos propios.

Competencia para aprender a aprender

• Utilizar de forma eficiente recursos, técnicas y

estrategias para nuevos aprendizajes y garantizar su

eficacia.

COMPETENCIAS BÁSICAS

6

Números racionales

Unidad 1

PREPARACIÓN DE LA UNIDAD

• Los números naturales son los números que utilizamos para

contar, y forman un conjunto, el conjunto de los núme-

ros naturales que representamos por la letra �

� : {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...}

• Dos números naturales son primos entre sí cuando su úni-

co divisor común es 1.

• Para calcular el M.C.D. de dos o más números se multiplican

los factores primos comunes a dichos números elevados

al menor exponente.

• Para calcular el m.c.m. de dos o más números se multiplican

los factores primos comunes y no comunes a dichos nú-

meros elevados al máximo exponente.

• El conjunto de los números enteros se representa por la

letra � y está representado por los números naturales pre-

cedidos de signo y el 0.

� : {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, ...}

• Una fracción es la expresión de una división entre dos nú-

meros, el numerador y el denominador.

Así,

Cualquier fracción es un número decimal limitado o ilimi-

tado periódico.

Decimales limitados: −3,9; 4,25; 0,832…

Decimales

ilimitados

periódicos

1 515

: =

7Números racionales

En general las películas de cine se graban a 24 fotogramas por segundo,o lo que es lo mismo, en un segundo, se graban 24 imágenes, queluego proyectadas logran generar la sensación de movimiento en lapantalla. ¿Cuántos segundos dura un fotograma? ¿En un minuto,cuántos fotogramas hay?

— En el cine mudo la frecuencia de grabación era de unos 17 foto-gramas por segundo. En este caso ¿cuántos fotogramas hay en unminuto?

Mixtos: …9 7415, �

Puros: …0 23,�

8 Unidad 1

Una fracción es toda expresión de la forma en la que a y b son números

enteros, siendo b ≠ 0.

Toda fracción consta de dos términos:

ab

Numerador

Denominador

ab

1. FraccionesLos números enteros, positivos y negativos, no bastan para expresar cantidades

que se presentan habitualmente. Así por ejemplo, para repartir un litro de na-

ranjada entre cinco amigos debe efectuarse la división 1 : 5 que puede expre-

sarse mediante la fracción .1

5

RECUERDA

Las fracciones, igual que los números en-

teros, pueden ser positivas o negativas.

Toda fracción positiva puede expresarse

como el cociente de dos números enteros,

ambos positivos o ambos negativos.

Toda fracción negativa puede expresarse

como el cociente de dos números enteros,

uno de ellos positivo y el otro negativo.

− =−

= −2

3

2

3

2

3

++

= −−

=9

16

9

16

9

16

Una fracción puede interpretarse de tres formas distintas:

Las fracciones pueden clasificarse en:

• Fracciones propias: fracciones menores que la unidad.

• Fracciones iguales a la unidad:

→

• Fracciones impropias: fracciones mayores que la unidad

→ 1 unidad +

Las fracciones con signo pueden representarse sobre la recta de forma pareci-

da a como representamos los números enteros.

–1 135

14

0–

13

4

3

3

31=

13

FRACCIÓN COMO PARTE

DE UN TODO O UNIDAD

FRACCIÓN COMO DIVISIÓN

ENTRE DOS ENTEROS

FRACCIÓN COMO RAZÓN

DE MEDIDA

Cuando decimos que hemos estado un cuarto

de hora esperando, significa que hemos divi-

dido la hora en 4 partes y el tiempo de espera

corresponde a una de estas partes.

Para repartir 2 L de naranjada entre cinco ami-

gos efectuamos la división 2 : 5.

2 52

50 4: ,= = L

La longitud de AB es de la longi-

tud de CD.

3

5

C D

A B

9Números racionales

1.1. Fracciones equivalentesDos fracciones equivalentes representan la misma parte de la unidad y verificanque el producto en cruz de sus términos da el mismo resultado.

Para obtener una fracción equivalente a una dada podemos proceder de dosmaneras a partir de la propiedad fundamental de las fracciones equivalentes:

Si dividimos, conseguimos simplificar la fracción. Toda fracción puede simpli-ficarse hasta llegar a la fracción irreducible.

Veamos los diferentes procedimientos para calcular la fracción irreducible equi-valente a una dada.

Multiplicamos el numerador y el de-nominador por un mismo número en-tero distinto de 0.

Dividimos el numerador y el deno-minador por un mismo número en-tero distinto de 0.

8

12

24

36

· 3

· 3

8

12

4

6

: 2

: 2

46

812

2436

■ Fracciones equivalentes

Las fracciones y son equivalentes si se cumple: a ⋅ d = b ⋅ ccd

ab

FÍJATE

Dos fracciones, positivas o negativas, son

equivalentes si representan el mismo pun-

to sobre la recta.

–1 +126

046

–

13

23

–

Una fracción se llama irreducible si el numerador y el denominador son nú-

meros primos entre sí.

Dividimos sucesivamente el numeradory el denominador entre divisores co-munes de ambos hasta obtener la frac-ción irreducible.

1050

1260

105

126

35

42

5

6= = =

Descomponemos el numerador y el denomi-nador en factores primos.

Dividimos el numerador y el denominador porlos factores comunes.

1050

1260

2 3 5 5 7

2 2 3 3 5 7

5

6= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=

Calculamos el M.C.D. de los términos de la frac-ción.

Dividimos el numerador y el denominador porsu M.C.D.

M.C.D. (1050, 1260) = 210

1050

1260

1050 210

1260 210

5

6= =:

:

1. Se deben repartir 2 panes y 4 salchichas a partes iguales en-

tre 3 comensales. ¿Cómo efectuarías el reparto?

2. Determina si las siguientes fracciones son equivalentes.

a) y c) y e) y

b) y d) y f ) y

3. Simplifica estas fracciones hasta obtener las irreducibles

equivalentes.

— Explica qué procedimiento has utilizado.

4. Si tienes dos fracciones cualesquiera y hallas sus fraccio-

nes irreducibles correspondientes, ¿puedes determinar a

partir de éstas si las fracciones iniciales son equivalentes?

Justifica tu respuesta.

− −−

−24

36

105

540

42

18

342

285

173

252

360

480

1, , , , , ,

888

705−

60

48

35

28

102

63

72

42

8

109

6

82

42

98

72

168

34

119

8

28

21

49

15

35

:10 :3 :7

CB

ACTIVIDADES

FÍJATE

Hemos visto que todas las fracciones equi-

valentes representan el mismo punto so-

bre la recta.

Así pues, a cada número racional le co-

rresponde un único punto sobre la recta.

0 1

69

=46

=23

FÍJATE

Los números enteros son un caso parti-

cular de números racionales cuyo repre-

sentante canónico tiene denominador 1.

a =a1

2. El conjunto de los números racionales

Ya conoces el conjunto de los números naturales � y el de los números ente-ros �. Vamos a definir un nuevo conjunto que englobe a las fracciones.

2.1. Concepto de número racionalDada una fracción cualquiera, podemos calcular infinitas fracciones equivalentes.

Cada una de las fracciones que forman un número racional es un represen-

tante de dicho número. Así, las fracciones representan el mismo nú-

mero racional.

Así:

Número racional Representante canónico

→

→

Aunque podemos representar un número racional mediante cualquiera de lasfracciones que lo forman, es habitual utilizar el representante canónico.

El conjunto de los números racionalesse designa mediante la letra �.

Este conjunto incluye al de los núme-ros enteros � y, por tanto, al de los nú-meros naturales �.

−3

2

−−

−−

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

3

2

3

2

6

4

18

12, , , ...

2

3

2

3

4

6

6

9

10

15

12

18, , , , ...

−−

⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

2

3

4

6

6

9, , ...

FRACCIÓN FRACCIONES EQUIVALENTES

12

18

2

3

4

6

6

9

10

15, , , ...

−−

− 21

14

−−

−−

3

2

3

2

6

4

18

12, , , ...

El conjunto formado por una fracción y todas sus equivalentes es un

número racional.

5. Determina el representante canónico de cada uno de los siguien-

tes números racionales.

8

4

1032

36

30

25

3

12

54

180

33

187, , , , ,

−−

6. ¿Cuántos números racionales diferentes hay

en esta serie?

−−

120

36

32

20

288

180

150

45

14

26

88

55, , , , ,

El representante canónico de un número racional es la fracción irreducible

de denominador positivo, representante de ese número.

ACTI

VIDA

DES

10 Unidad 1

7. Representa gráficamente estos números racionales.

8. Ordena de mayor a menor estos números racionales.

9. Escribe cinco números racionales comprendidos entre

y .

Indicación: puedes tener en cuenta que la semisuma de dosnúmeros (el resultado de su suma dividido entre 2) siempreserá igual a un número comprendido entre ambos y situadoen el punto medio del segmento que determinan.

2

3

1

3

111

10

5

6

2

3

4

5

3

2, , , , ,

− −

5

6

12

5

7

3

4

7, , ,

− −

2.2. Representación y ordenación de losnúmeros racionales

Para representar un número racional sobre la recta seguimos el siguiente pro-

cedimiento:

— Consideramos el representante canónico del número racional.

— Efectuamos la división entera del numerador entre el denominador. El co-

ciente de esta división determina los dos números enteros que son extremos

del segmento donde se situará el número racional.

— Dividimos el segmento determinado por estos dos números enteros en

tantas partes como indica el denominador de la fracción y tomamos tantas

partes como indica el resto de la división.

Observa que si el número racional es positivo, quedará situado a la derecha

del 0 y, si es negativo, a la izquierda.

Al ordenar dos números racionales, representándolos sobre la recta y observando

sus posiciones relativas podremos compararlos.

34

35

–104

–104

– =52

– ;

0 1 –1 0 0–3 –2 –135

–34 10

4–

51

22

12

–2 y –3

Si está situado a la derecha de , se verifica .ab

cd

>cd

ab

–1 +1034

12

34

–

3

4

1

20

3

4> > > −

RECUERDA

Para dividir un segmento en partes igua-

les podemos recurrir al método de Tales:

— Dibujamos el segmento a y trazamos

desde uno de sus extremos una semi-

rrecta. Sobre ésta situamos consecuti-

vamente un mismo segmento b de lon-

gitud arbitraria tantas veces como di-

visiones deseemos realizar.

— Unimos el extremo libre del último seg-

mento b con el extremo libre del seg-

mento a y, a continuación, trazamos pro-

yecciones paralelas desde los extremos

de cada segmento b.

b

b

b

b

a

Comparación de númerosracionales

Podemos comparar números raciona-

les sin necesidad de representarlos sobre

la recta.

Para comparar números racionales de dis-

tinto denominador determinamos pri-

mero sus representantes canónicos, los

reducimos a común denominador y

comparamos las fracciones obtenidas.

Si dos fracciones tienen el mismo deno-

minador positivo, es mayor la que tiene

el mayor numerador.

Así: pues 20

15

18

15>

4

3

6

5>

Accede a la página www.youtube.com/

watch?v=G6sNHZNMM5o dónde en-

contrarás un video explicativo de como

dividir un segmento en partes iguales

utilizando el método de Tales.

@

ACTIVIDADES

11Números racionales

10. Escribe los siguientes números decimales indicando

cuál es su período y clasifícalos según sean pe-

riódicos puros o mixtos.

21,564564564..., 56,23656565..., 12,54545454...,

0,125125125..., 5,432432432432..., 4,59595959....

11. Clasifica en limitados e ilimitados los siguientes números deci-

males: ;; 0,42; 21,53; .

— Clasifica en puros o mixtos los números decimales ilimitados

periódicos.

−0 4,�

2 424242 3 25 1 425 2 143, ...;  , ;  , ;  , .� �

12

2.3. Números racionales y números decimalesTodo número racional puede expresarse mediante una fracción y ésta,

a su vez, como un número decimal.

A todas las fracciones equivalentes de una misma fracción les corresponde el

mismo número decimal.

Expresión decimal de un número racional

Al buscar la expresión decimal de un número racional pueden darse los si-

guientes casos:

Así, podemos clasificar los números racionales como sigue:

ab

2

3

2

3

4

6

6

9

8

12

2

30 6666666666, , , , , ... ,

−−

→ →⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

....

Unidad 1

El resto de la división a : b es 0 des-pués de sacar una o varias cifras de-cimales.

Obtenemos un número decimallimitado.

1,4; 7,25

77 55220 1,4

00

29 410 7,2520

0

El resto de la división a : b nunca es 0, por más decimales que saquemos.

Puesto que el resto debe ser menor que el divisor, llegará un momento en que se repetirá y,por tanto, las cifras del cociente también se repetirán.

Obtendremos así un número decimal ilimitado periódico.

15 1140 1,3636...

7040

704

19 610 3,166...

4040

4

Si el período empieza inmediatamente des-pués de la coma, es un número decimal ili-mitado periódico puro.

1,3636... → 1 36,�

Si el período no empieza inmediatamente des-pués de la coma, es un número decimal ilimita-do periódico mixto.

3,166... → 3 16,�

Todo número racional puede expresarse mediante el número decimal que

resulta de dividir el numerador entre el denominador de uno cualquiera de

sus representantes.

Periódicos mixtos

Periódicos purosDecimales ilimitados

Decimales limitados

Números racionales

��

Si accedes a la página http://descartes.cni

ce.mecd.es/3_eso/Fraccio nes_decima

les_porcentajes/Fraccion es_4.htm podrás

utilizar un applet para averiguar cuántos de-

cimales, como máximo, forman el período

del número decimal correspondiente a una

fracción de denominador 11.

@

En un número decimal ilimitado y periódico las cifras que llevan el signo son las que se re-

piten, es decir, las que forman el período.

(

ACTI

VIDA

DES

Expresión fraccionaria de un número racionalAcabamos de ver que todo número racional es un número decimal limitado oilimitado periódico.

La afirmación recíproca también es cierta, es decir, todo número decimal limi-tado o ilimitado periódico es un número racional.

El número racional correspondiente al decimal dado será aquel que tenga dichafracción como representante canónico.

7755

1 4294

7 251511

1 36= = =, , , ,196

3 16=)

13Números racionales

La fracción generatriz de un número decimal limitado o ilimitado periódi-co es la fracción irreducible equivalente a dicho número decimal.

Halla la fracción generatrizdel número decimal limi-tado 1,75.

— Llamamos x a la fraccióngeneratriz:

x = 1,75

— Multiplicamos la expre-sión de x por la potenciade 10 necesaria para eli-minar la coma:

100 x = 175

— Despejamos x y simplifi-camos la fracción:

Así: 1 7574

, =

x = =175100

74

EJEM

PLO

1 Halla la fracción generatriz del número

decimal periódico puro .

— Llamamos x a la fracción generatriz:

— Multiplicamos la expresión de x porla potencia de 10 necesaria para quela coma quede justo después delprimer período:

100 x = 1 645, 4 545…

— A la expresión obtenida le restamosla expresión inicial:

100 x = 1645,4545...

− x = 16,4545...

100 x − x = 1629

99 x = 1629

— Despejamos x y simplificamos lafracción:

Así: 16 4518111

, =

x = =162999

18111

x = 16 45,

16,45)

EJEM

PLO

2 Halla la fracción generatriz del número de-

cimal periódico mixto .

— Llamamos x a la fracción generatriz:

— Multiplicamos la expresión de x por la po-tencia de 10 necesaria para que la comaquede justo después del primer perío-do, y por la potencia de 10 necesaria paraque la coma quede justo antes del primerperíodo:

100 x = 46, 6666...

10 x = 4, 6666...

— Restamos las dos expresiones obtenidas:

100 x = 46, 6666...

−10 x = 4, 6666...

100 x − 10 x = 42

90 x = 42

— Despejamos x y simplificamos la fracción:

Así: 0 467

15,

)=

x = =4290

715

x = 0 46,)

0,46)

EJEM

PLO

3

FÍJATE

El conjunto de los números racionales � esla unión del conjunto de los números de-cimales limitados y el de los ilimitados y pe-riódicos.

12. Halla la expresión decimal de estos nú-meros ra cionales.

1311

27

413

56

44

25

119

, , , , , ,−

−−−

13. Halla la expresión fraccionaria de los siguientes números decimales.

2,036; ; 9,99; ; ; ; ; ;

— ¿Qué sucede cuando el número es periódico puro de período 9?

0 436,21 45,0 9,)

0 016,)

1 203,9 07632,75 012,

Para comprobar que la fracción obtenida es la correcta, sólo tenemos que divi-dir su numerador entre su denominador.

ACTIVIDA

DES

)

)

)

) )) ) )

14

3. Operaciones con números racionales

Hemos visto que un número racional está formado por una fracción y todassus equivalentes. Para sumar, restar, multiplicar o dividir números racionales, to-maremos representantes de estos números y operaremos como si se tratasede fracciones.

3.1. Suma, resta, multiplicación y divisiónObserva cómo sumamos los siguientes números racionales:

— Escogemos un representante de cada número racional. Podemos elegir cual-

quiera; ahora bien, para agilizar el cálculo es aconsejable utilizar los repre-

sentantes canónicos, y .

— Sumamos estas fracciones. Para ello, reducimos las fracciones a mínimocomún denominador.

El resultado de la suma es el número racional del cual es un representante.

Análogamente, para restar, multiplicar o dividir números racionales, operamostambién con representantes de cada uno de ellos, generalmente los canóni-cos por sencillez. Observa los ejemplos.

• − → − = − =

• ⋅ →

2025

46

45

23

1215

1015

215

721

1025

133

25

215

157

615

157

25

157

52

7514

⋅ =

• → = ⋅ =: :

35

13

1415

+ =

1415

35

13

915

515

1415

+ = + =

35

13

+

13

35

35

915= 1

3515= 14

15

+ =

610 = 8

24 =

610

824

+

Unidad 1

Para operar con números racionales se escoge un representante de cada unoy se efectúa la operación correspondiente.

RECUERDA

Reducir fracciones a mínimo común de-

nominador significa hallar unas nuevasfracciones equivalentes a las primeras cuyodenominador sea el mínimo común múl-tiplo de los denominadores de las frac-ciones dadas.

En el caso de y tenemos:

m.c.m. (3, 5) = 15

15 3 51 53 5

515

: ;= ⋅⋅

=

15 5 33 35 3

915

: ;= ⋅⋅

=

13

35

Si accedes a la página www.homeschool

math.net/worksheets/fraction_calcula

tor.php podrás utilizar un applet para su-mar, restar, multiplicar y dividir fracciones.

@

Las fracciones en la calculadora

Algunas calculadoras científicas estánpreparadas para operar con números ra-cionales en forma fraccionaria. Son las

que disponen de la tecla

Observa cómo efectuamos la operación

Comprueba si la calculadora ha obteni-do el resultado correcto.

a1 + 22 5 EXEb/c a b/c

12

25

+ =

ab/c

14. Comprueba mediante ejemplos cada una de las propie-

dades de las operaciones con números racionales que apa-

recen en esta página.

15. Calcula:

a) c)

b) d)

16. Calcula:

a) b)

17. Halla el opuesto de cada uno de los números racionales si-

guientes.

−− −

−3

4

5

2

1

2

12

17

4

9, , , ,

− ⋅ ⋅2

3

3

4

5

62

1

3

2

5− − +

3

7

21

5:

3

20

5

12−

− ⋅2

5

6

5

24

48

30

90+ −

Propiedades de la suma y de la multiplicaciónLa suma y la multiplicación de números racionales tienen una serie de propie-

dades, algunas de ellas similares a las que estudiaste para los números ente-

ros. Obsérvalas a continuación.

15Números racionales

PROPIEDADES DE LA SUMA PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN

• Propiedad conmutativa. Si cambiamos el orden de los su-mandos, el resultado no varía.

• Propiedad asociativa. En una suma de varios sumandos, el re-sultado no depende de cómo se agrupen.

• Elemento neutro. El 0 es el elemento neutro de la suma, puesal sumar 0 a cualquier número racional el resultado es el mis-mo número.

• Elemento opuesto. Dado cualquier número racional , existe

otro número racional llamado el opuesto, , que sumado a

él da el elemento neutro.

ab

ab b

+ − = 0

−ab

ab

ab

ab

+ =0

1

ab

cd

ef

ab

cd

ef

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ = + +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ab

cd

cd

ab

+ = +

• Propiedad conmutativa. Si cambiamos el orden de los factores,el resultado no varía.

• Propiedad asociativa. En un producto de varios factores, elresultado no depende de cómo se agrupen.

• Elemento neutro. El 1 es el elemento neutro de la multiplica-ción, pues al multiplicar por 1 cualquier número racional el re-sultado es el mismo número.

• Elemento inverso. Dado cualquier número racional distinto de

0, (a ≠ 0), existe otro número racional llamado el inverso,

, que multiplicado por él da el elemento unidad.

ab

ba

⋅ = 1

1

ba

ab

ab

ab

⋅ =1

1

ab

cd

ef

ab

cd

ef

⋅ ⋅ ⋅ ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

ab

cd

cd

ab

⋅ = ⋅

• Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma. Para multiplicar un número racional por una suma de números ra-

cionales, podemos multiplicar el número racional por cada uno de los sumandos y sumar los resultados obtenidos.

ab

cd

ef

ab

cd

ab

ef

⋅ ⋅ ⋅+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= +

CB

CB

ACTIVIDADES

18. Efectúa:

a) b) c) d)1

4

3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−1

3

1

5

3

4

4

⋅ ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1

3

1

3

8 3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

:2

5

2

5

3 5⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

16

3.2. Potenciación y radicaciónEn algunas ocasiones, podemos encontrarnos con multiplicaciones de númerosracionales iguales, como la siguiente:

cuatro veces

Este producto puede expresarse como , y es la potencia de base el

número racional y exponente el número natural 4.

Para calcular la potencia de un número racional, calcularemos la potencia de unode sus representantes, generalmente el canónico por sencillez.

Así, por ejemplo:

Si el exponente de la potencia es un número entero negativo, podemos trans-formarla en otra de exponente positivo. Observa:

Las operaciones con potencias de base un número racional y exponente unnúmero entero se efectúan de manera similar a las operaciones con potenciasde base una fracción y exponente un número entero.

ab a

b

ba

n

n

n⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−

= =1

2

5

2

5

16

625

4 4

4

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= =

ab

ab

n n

n⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

2

5

2

5

4⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

5

2

5

2

5

2

5⋅ ⋅ ⋅

Unidad 1

RECUERDA

n veces

ab

ab

ab

ab

a

b

aa

ab

n n

n

nn

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ⋅ ⋅ ⋅ =

=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−

−

...

1

nn nba

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS

DE LA MISMA BASE

DIVISIÓN DE POTENCIAS

DE LA MISMA BASEPOTENCIA DE UN PRODUCTO

ab

ab

ab

m n m n⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+

⋅ = ab

ab

ab

m n m n⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−

: = ab

cd

ab

cd

n n n

⋅ = ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

POTENCIA DE UNA POTENCIA POTENCIA DE EXPONENTE 1 POTENCIA DE EXPONENTE 0

ab

ab

m n m n⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅

=ab

ab

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1

= ab

a⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

0

= ≠1 ( 0)

ACTI

VIDA

DES

CB

Sabemos que calcular la raíz cuadrada de un número es buscar otro número queelevado al cuadrado sea igual al primero.

si y sólo si

Así, por ejemplo:

pues

Podemos también calcular la raíz enésima de un número racional: es el núme-ro racional que elevado a la potencia enésima es igual al primero.

si y sólo si

Una raíz de un número racional puede tener un resultado, dos o ninguno se-gún la paridad del índice y el signo del radicando.

ab

cd

n⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=cd

ab

n =

2

3

4

9

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=4

9

2

3=

ab

cd

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

=cd

ab

=

17Números racionales

19. Efectúa si es posible, razonando tu respuesta:

a) b) c) d)

20. Ordena de menor a mayor estos números racionales

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−125

512

5

6

12

15

3

43

3 2 3

, , , ,554

72

1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

32

243

51

81

4−16

25

−27

64

3

FÍJATE

Índice del radical

Radicando Raíz

cd

ab

n =

Raíz343

729

7

9

3 = − = −343

729

7

9

3 16

81

2

3

4 = ± − =16

81

4?

Paridad del índice Impar Impar Par Par

Signo del radicando + − + −

Número de raíces Una (positiva) Una (negativa) Dos (positiva y negativa) No tiene.

Ordena de menor a mayor estos números racionales.

Hallamos el representante canónico de cada uno de losnúmeros racionales.

Reducimos a mínimo común denominador los represen-tantes canónicos.

Finalmente los ordenamos de menor a mayor.

40

128

25

256

3

4

11

32

5

16

4 1

= + <⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

<⎛⎝⎜

⎞⎠⎟<⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⎟

0

256

256

88

256

81

256

80

256

80

256, , , ,

111

32

81

256

5

16

5

16, , , ,

5

16

11

32

3

4

40

128

25

2

0 1 4⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+, , , ,556

EJEM

PLO

5

Efectúa:

a) El índice es par y el signo del radicando positivo, luego

tendrá dos raíces, una positiva y otra negativa:

pues

b) El índice es impar y el signo del radicando negativo,

luego tendrá una raíz negativa:

pues

b) El índice es impar y el signo del radicando positivo,

luego tendrá una raíz positiva:

pues 10

25 3125

100000

32

5

5⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= = =100000

3255 =

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −2

5

8

125

3

− = −8

125

2

53

12

11

12

11

144

121

2 2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=144

121

12

11= ±

a)144121

b)8

1253 − c)

10000032

5

EJEM

PLO

4

ACTIVIDADES

18

3.3. Operaciones combinadasAl igual que con las fracciones, con los números racionales podemos efectuaroperaciones combinadas. Éstas se rigen por las mismas normas de prioridadestablecidas en los demás conjuntos numéricos:

— Resolución de paréntesis.

— Operación de potencias y raíces.

— Multiplicaciones y divisiones en el orden en que aparecen.

— Sumas y restas.

Observa en los siguientes ejemplos cómo efectuar operaciones combinadas connúmeros racionales.

Unidad 1

RECUERDA

abcd

ab

cd

a db c

= : = ⋅⋅

Un consejo

A medida que efectúes las operaciones,

simplifica siempre que te sea posible.

De este modo, utilizarás números me-

nores y, por lo tanto, las operaciones te

resultarán más sencillas.

Un consejo

Es recomendable en fracciones donde te-

nemos operaciones en el numerador y el

denominador, resolver por separado

los dos términos obteniendo así una frac-

ción más sencilla.

De este modo evitarás efectuar muchas

operaciones a la vez y cometerás me-

nos errores.

Efectúa:

Resolvemos, en primer lugar, los paréntesis y después el resto de las operacio-

nes teniendo en cuenta su prioridad.

4

3

8 7

28

1

5

10 12

15

4

3

15

28

1

5

2

15

4

3

15

28⋅ + − − = ⋅ − − = ⋅: : ++ ⋅ =1

5

15

2

  = + = + =5

7

3

2

10 21

14

31

14

4

3

2

7

1

4

1

5

2

3

4

5⋅ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

:

EJEM

PLO

6

Efectúa:

— Primero efectuamos por separado las operaciones que aparecen en el nu-merador y el denominador del segundo miembro:

;

— Reescribimos la operación combinada sustituyendo las operaciones del nu-merador y del denominador por los valores hallados.

— Resolvemos las diferentes operaciones teniendo en cuenta su prioridad

1

4

3

1

221

10

3

4

1 10

2 21

3

4

5

21

63 20

84

83

84+ = + ⋅

⋅= + = + =

1

4

3

11

23

2

3

5

1

4

3

1

221

10

+−

+= +

3

2

3

5

21

10+ =1

1

2

1

2− =

1

4

3

11

23

2

3

5

+−

+

EJEM

PLO

7

19Números racionales

Efectúa:

5

6

3

2

1

4

7

18

1

2

4

3

5

2

1

2

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ ⋅ −

− ⋅:

EJEM

PLO

8

Efectúa:

21

16

4

3

8

9

1

1

2

5

4

1

3

3

8

2

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎝⎜

⎞⎠⎟

:1

2

EJEM

PLO

9

21

16

4

3

8

9

33

16

20

9

11

4

5

3

55

1+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= ⋅ = ⋅ =

22

1

2

5

4

3

4

9

16

2 2

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=

1

3

3

8

1

2

17

24

1

2

17

12+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= =: :

1

9

1617

12

19 12

16 171

27

68

68 27

68

95

68+ = + ⋅

⋅= + = + =

— Resolvemos sustituyendo numerador y de-nominador por las fracciones obtenidas.

55

1295

68

55 68

12 95

11 17

3 19

187

57= ⋅

⋅= ⋅

⋅=

— Efectuamos las operaciones del numerador y del denomi-nador teniendo en cuenta su prioridad.

— Resolvemos sustituyendo numerador y denominador porlas fracciones obtenidas:

49

727

8

49 8

72 7

7

9−= − ⋅

⋅= −

1

2

4

3

5

2

1

2

3

8

5

4

3 10

8

7

8: − ⋅ = − = − = −

5

6

3

2

1

4

7

18

25

36

3

8

7

18

50 27 28

72

2⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ ⋅ − = + − = + − = 449

72

— Efectuamos las operaciones del numerador y del denominador teniendo encuenta su prioridad.

1

7 1

9

11

34

5

3

4

11

193

17

ACTIVIDADES

21. Efectúa:

a) b) c) d) e)

22. Efectúa:

a) b) c) d)

23. Utiliza la calculadora wiris, disponible on line, para comprobar los resultados de las actividades 21 y 22.

21

1

2

11

3

15

14

7

54 1

3

2

2

−+

−

⋅ + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

33

4

2

52 1

1

2

24

3

3

2

3

5

− ⋅ + −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+: :

3

2

4

32

3

5

3

2

4

32 2

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅ +

+

:

:

3

4

5

8

3

21

1

32

1

4

4

5

3

5

3

10

:

:

− ⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+

⋅ +

31

2

4

32 1

3

2

23

4

+ ⋅ + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+

3

4

1

2

4

31

1

2

3

4

5

8

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+

− +

:3

2

4

32

3

5

3

2

7

+ ⋅ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

:23

4

1

5

1

6

2

3

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅

:

1

4

2

3

5

4

1

2

1

5

3

5⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=:

@

20 Unidad 1

24. Calcula el precio final de un artículo cuyo precio es 31,75 ∑si se le aplica un aumento de un 16 % de IVA .

25. Calcula el interés que producen 2 000 ∑ si nos ofrecen

un interés del 5 % anual durante 8 años.

Para calcular el tanto por ciento de una cantidad basta multiplicar dicha canti-

dad por el número decimal que representa el porcentaje:

15 % de 60 = 60 · 0,15 = 9

Aumento o disminución porcentualEs habitual, en la vida cotidiana, expresar descuentos, incrementos salariales o

impuestos mediante porcentajes.

4. Porcentajes

Para calcular el aumento (o disminución) porcentual de una cantidad basta

con multiplicar dicha cantidad por la unidad aumentada (o disminuida) con el

aumento (o disminución) porcentual expresado en forma decimal.

EJEM

PLO

10 Decidimos comprar un sofá cuyo precio inicial es de 920 ∑ y tiene un descuento del 12 % . Para transportarlo, contratamos un trans-

portista cuya tarifa base es de 80 ∑ con un recargo del 15 % para trayectos superiores a 50 km. ¿Cuánto nos costará en total la com-pra y el transporte del sofá si nuestra vivienda se encuentra a 60 km?

RECUERDA

Un porcentaje es una proporción expre-

sada como una cantidad de cada 100 uni-

dades. Así pues, podemos expresarla como

una expresión fraccionaria con denomina-

dor 100 o como una expresión decimal:

1515

1000 15% ,= =

— El precio del sofá tiene un descuento del 12 %, así pues restaremos la expresión

decimal del porcentaje a la unidad y lo multiplicaremos por la cantidad inicial:

1 − 0,12 = 0,88; 920 · 0,88 = 809,6 ∑

— El transporte tiene un recargo del del 15 %, así pues la expresión decimal del

porcentaje a la unidad y lo multiplicaremos por la cantidad inicial:

EJEM

PLO

11

Compramos unas acciones por valor de 800∑. El primer mes suben un 30 % y el segundo vuelven a subir un 10 % más . Calcula elprecio de las acciones al segundo mes. ¿Qué tanto por ciento de subida representa?

1.r mes: aumento del 30 % : 800 · 1,3 = 1040; El aumento de las acciones ha sido: 1144 − 800 = 344

2.º mes: aumento del 10 % : 1040 · 1,1 = 1144

El precio de las acciones es de 1144 ∑ que representa un aumento del 43 % de su valor inicial.

344

800100 43⋅ =  %

1 + 0,15 = 1,15; 80 · 1,15 = 92 ∑

901,6 ∑

En el ejemplo 11 hemos aplicado los porcentajes encadenados que son varios

aumentos o disminuciones porcentuales sucesivos aplicados a una cantidad.

Interés simple

Otra aplicación muy utilizada a nivel económico es el interés simple.

El interés simple es la cantidad que produce un capital durante un período de

tiempo con un aumento porcentual determinado (llamado tipo de interés).

I = c · i · t

(c = capital, i = interés en forma decimal, t = tiempo en años)

FÍJATE

Para calcular el tanto por ciento equivalente

de aumento o disminución de porcentajes

encadenados basta multiplicar los au-

mentos o disminuciones sucesivas.

En el ejemplo 11:

1,1 · 1,3 = 1,43 (43 % de aumento)

Total

ACTI

VIDA

DES

En un estadio se va a celebrar un concierto. Si el primer día se vende de las entradas, el se-

gundo día del resto, y aún quedan 17 100 entradas en taquilla, ¿cuál es la capacidad del

estadio?

25

14

ENTRADAS VENDIDAS FALTAN POR VENDER

Primer

día

1

41

1

4

4 1

4

3

4− =

−=

Segundo

día

2

5

3

4

6

20

3

10⋅ = =

3

4

3

10

15 6

20

9

20− =

−=

ENTRADAS VENDIDAS FALTAN POR VENDER

Primer

día

1

438000 9 500⋅ = 38 000 − 9 500 = 28 500

Segundo

día

2

528500 11400⋅ = 28 500 −11 400 =17 100

ACTIVIDADES

21Números racionales

26. Tres hermanos se reparten un premio de 350 ∑.

Si el primero recibe de lo que recibe el segundo; y el se-

gundo, de lo que obtiene el tercero, ¿cuánto dinero ten-

drá cada hermano al final?

27. Dos amigas van a comerse una pizza cuando una de ellas

dice:

«Tomaré la mitad de la cuarta parte de lo que quede después

de que tú hayas cogido tres cuartas partes de la mitad».

— Determina la fracción de pizza que cogerá cada una en

ese momento.

— ¿Qué fracción de la pizza quedará para más adelante?

28. Entre las partes y las partes de un número existe una

diferencia de 44.

¿Cuál es ese número?

29. Si a la sexta parte de los de un número se agregan los

de sus y se sustrae la tercera parte de sus , se obtiene 1226.

Halla dicho número.

30. Si pongo la primera cifra de un número de cuatro cifras

en último lugar, obtengo un segundo número que es los

del primero.

Determina el número.

3

8

3

7

3

5

2

3

2

73

5

1

2

1

2

Comprensión del enunciadoVuelve a leer atentamente el enunciado y haz un esquema con los

datos del problema.

Planificación de la resolución— Construimos la siguiente tabla de datos.

Después del segundo día quedan por vender de las entra-

das, o bien 17 100. Si llamamos x a la capacidad del estadio:

Ejecución del plan de resolución— Despejamos el valor de x.

Revisión del resultado y

del proceso seguido

La capacidad del estadio es de 38000 personas.

Comprobamos el resultado completando la tabla de datos.

x = ⋅ =17 100 20

938 000

9

2017100⋅ =x

9

20

14

Primer día

25

Segundo día 17100

ACTIVIDADES RESUELTAS

Fracciones

equivalentes

2222 Unidad 1

SÍNTESIS

Todo número racional puede expre-

sarse mediante el número decimal

que resulta de dividir el numerador

entre el denominador de uno cual-

quiera de sus representantes.

Todo número racional es un nú-

mero decimal limitado, ilimitado

periódico puro o ilimitado pe-

riódico mixto. Del mismo modo,

todo número decimal limitado o

ilimitado y periódico es un núme-

ro racional.

La fracción generatriz de un nú-

mero decimal limitado o ilimitado

y periódico es la fracción irreduci-

ble equivalente a dicho número de-

cimal.

5Una fracción es toda expresión de la forma en la que a y b son números

enteros, siendo b ≠ 0.

Las fracciones y son equivalentes si se cumple:

a ⋅ d = b ⋅ c

Una fracción es irreducible si el numerador y el denominador son núme-

ros primos entre sí.

El conjunto formado por una fracción y todas sus equivalentes es un nú-

mero racional.

Cada una de las fracciones que forman un número racional es un represen-

tante de dicho número.

La fracción irreducible de denominador positivo que es representante de un

número racional se llama representante canónico de dicho número.

4

3

cd

ab

2

ab

1

Fracción

Representantes

Operaciones

NÚMERORACIONAL

tiene infinitas

4

1

3

2con denominador

cien representa unPorcentaje

permiten definir

se utilizan

sus

para

realizar

pueden

expresarse como

Número

decimal

5también se

expresa como

23Números racionales 23

Fracciones

31. ¿Cómo se representa matemáticamente una fracción?

— Di qué indican los dos términos de una fracción.

32. De una finca de 63 hectáreas deseamos obtener 294 par-

celas de la misma extensión. ¿Cuántas hectáreas tendrá cada

parcela? Expresa el resultado en forma de fracción.

33. Escribe una fracción equivalente a con denominador 20.

— ¿Puedes hallar una fracción equivalente con denomi-nador 5?

34. Simplifica las siguientes fracciones.

a) b) c) d)

35. Demuestra de tres maneras distintas que las fracciones

y son equivalentes.

El conjunto de los números racionales

36. Razona si la siguiente afirmación es verdadera o falsa: «En-

tre dos números racionales distintos siempre existe otro nú-

mero racional».

37. Determina el representante canónico de estos números

racionales.

— ¿Por qué acostumbran a utilizarse los representantes ca-nónicos y no otros?

38. ¿Puedes hallar la fracción generatriz de un número deci-

mal ilimitado no periódico? Justifica tu respuesta.

39. ¿Las fracciones y son representantes de un mis-

mo número racional? En caso

afirmativo, determina su representante canónico.

— Di si las fracciones consideradas son equivalentes.

40. Representa sobre la recta numérica los números raciona-

les siguientes.

— Escríbelos ordenados de mayor a menor.

41. Halla la expresión decimal de estos números racionales.

42. Ordena de menor a mayor los siguientes números:

4,23427; ; ; ; ; .

43. Clasifica estos números decimales en limitados o ilimitados:

3,25; 2,111...; 71,34567812; 54,2373737...; 0,7777...; 12,1515;

102,393939...; 0,0020202...

— De los números decimales ilimitados, di cuáles son pe-riódicos puros y cuáles son periódicos mixtos.

44. Halla la expresión fraccionaria de los siguientes números

decimales:

Operaciones con números racionales

45. Calcula:

a)

b)

c)

46. Calcula mentalmente:

47. Halla el opuesto y el inverso de los siguientes números ra-

cionales.

48. Expresa en forma de una sola potencia:

a) c)

b) d) −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1

4

1

4

1

4

6 3 4

:−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

3

5

34

3

7

3

7

12 7⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

:7

3

7

3

7

3

4 6⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−− −

7

4

1

5

12

5

6

23

3

1, , , ,

55

4

1

2

1

3

3

5

3

2

7

4

7

8+ − ⋅, , , :

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ −

⎛⎝⎜

⎞2

5

2

3

1

7

5

6:

⎠⎠⎟+ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

9

− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣

2

9

2

4

1

15

4

3⎢⎢

⎤

⎦⎥ + −

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1

9

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

3

5

2

3

2

9

7

15

2 116 0 3463, ;  , .� �3 29 9 346, ;  , ; � �7 6 0 019 3 4 2 9 27 41 5 12, ;  , ;  , ;  , ;  , ;  , ;

� � � �

4 23427,�4 23427, �4 23427, �4 23427, �4 23427,

�

16

5

28

6

3

4

22

9

54

27

125

4, , , , ,−

−−

− −15

20

3

7

2

5

16

12, , ,

70

175−−14

35

15

20

28

30

18

21

75

20

12

16, , , ,

10

8

15

12

−1026

855

−150

84

42

75

360

420

9

12

R

R

R

R

R

R

R

R

1AC

TIV

IDA

DE

S

24

49. Calcula:

a) b)

50. Halla la fracción resultante.

a) b)

— Usa la calculadora para expresar los resultados en for-ma decimal y comprobar que son correctos.

51. Resuelve:

a) c)

b) d)

— Utiliza la calculadora wiris, disponible on line, para

comprobar los resultados obtenidos.

52. Efectúa las siguientes operaciones utilizando fracciones ge-neratrices.

a) c)

b) d)

53. Calcula:

a) b)

54. En período de rebajas una tienda de ropa aplica un 20 %de descuento en todos sus artículos ¿Cuánto deberemos pa-gar por un pantalón y una camiseta que antes costaban 55 ∑y 25 ∑ respectivamente?

55. En marzo el precio de la gasolina era de 92 céntimos de euro.En mayo subió un 5 %, en julio volvió a subir un 10 % y enseptiembre bajó un 3 %. ¿ Cuánto pagamos en septiembresi llenamos el coche con 40 L de gasolina?

— Si accedes a la página www.gasofa.es encontrarás

una gráfica con la evolución de los precios de la gasoli-

na en los últimos meses.

56. ¿Durante cuánto tiempo ha estado depositado un capital de

5500 ∑ al 8 % si ha producido un interés de 1100 ∑ ?

Problemas

57. Un reloj atrasa de hora en una semana. ¿Cuánto atrasa-

rá en cuatro días? ¿Y en un mes?

58. Un comerciante vende los de una pieza de tela. Al día

siguiente, vende de pieza por la mañana y por la tar-

de. Determina la fracción de tela vendida y la que le queda

por vender.

59. Un depósito de agua que contenía de su capacidad per-

dió de su contenido. Más tarde se añadió del total, pero

perdió la mitad de la parte que contenía al principio. ¿Qué

parte del depósito quedó llena?

60. Un tren inicia su trayecto con un grupo reducido de viaje-

ros. En la segunda estación el número de personas que

sube es dos quintos de las que había inicialmente. En la ter-

cera baja la tercera parte de los que hay en el tren. En la

cuarta se apean 2 personas, y quedan finalmente 12 viaje-

ros en el tren.

a) ¿Cuántas personas había al iniciar el trayecto?

b) ¿Cuántas personas han utilizado este servicio?

61. Un tangram está formado por cinco triángulos, un cuadra-

do y un trapecio que pueden acoplarse de diferentes ma-

neras para construir figuras geométricas distintas.

a) ¿Qué fracción del tangram representa cada una de las pie-zas que lo componen?

b) ¿Qué fracción del tangram está coloreada?

— Si accedes a la página http://nlvm.usu.edu/en/nav/frames_asid_112_g_2_t_1.html encontrarás un tangraminteractivo que puede ayudarte a realizar la actividad.

1

5

2

3

6

4

7

1

3

1

2

8

15

1

2

1

6

2

9

3

4

3 24 2 51 0 5

11

2

2 3, : , ,

: ,� � �+

+

1

20 25

1

40 3

0 6 0 9

+ −, : ,

, : ,

�

� �

0 6 5 4 1 3 3 6, , : , ,� � � �+( ) +( )2 7 3 5, ,

� �−

3 5 5 6, ,⋅�

2 3 3 125, ,� �+

2

3

3

2

2

3

3

21

13

2

9

4

2

3

9

4

2

2

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ −−

+ +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+

23

4

5

2

2

3

4

51

1 2 11

4

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦

:

⎥⎥ ⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

11

2

20

21

14

5

2

3

4

92 1

1

2

11

11

2

⋅ − + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

++

: 1

4

2

31

1

2

3

⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+ − −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

1 2

1

41

21

5

− ⋅−

+

11

3

23

5

−

+

784

7921−

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

8

273

Unidad 1

�AC

TIV

IDA

DE

S1

@

@ @

A

A

A

A

25

Más a fondo

62. Halla la fracción irreducible equivalente y la expresión de-cimal de estas fracciones.

Para saber la expresión decimal que obtendremos a partirde un número racional, descompon en factores primos losdenominadores de las fracciones irreducibles y completala tabla.

63. Extrae factor común en cada una de las expresiones si-guientes.

a) c)

b) d)

64. Expresa en forma de una única potencia, si x ≠ 0:

— Calcula el valor de la expresión si x = 5.

65. Escribe la expresión fraccionaria de los siguientes núme-ros decimales:

, , , , , 2,27, ,

, , .

Indica cuáles de ellos son puros y cuales son mixtos.

66. Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones:

, , , , , , , .

67. Realiza las siguientes operaciones usando número deci-males y comprobando el resultado luego con sus corres-pondientes fracciones generatrices:

a) c)

b) d)

68. Calcula:

a) d)

b) e)

c) f )

69. Saca fuera de la raíz el máximo de factores posibles:

a) d)

b) e)

c)

70. Calcula y expresa el resultado en la fracción irreducibleque corresponda:

a) c)

b) d)

71. Calcula:

a) c)

b)

72. Calcula:

a) c)

b) d)

FACTORES DEL DENOMINADOR EXPRESIÓN DECIMAL

............., ............. o ambos. Limitada

Ni ............. ni ............. Periódica pura

............., ............. o ambos, junto aotros.

Periódica mixta

5 13 2 152

, ,⋅−21 3

51 32

11 23

+ −

−

,,

,

)

)

52 53

21 5

− +,,

253

3 08 0 25+ − +, ,)

25

114

12

3

535

23

− ⋅ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

− +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

180288

3

5⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2516

2

4⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

15

103

59

13

32

2

2 2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

:

34

27

32

45

13

5 2 113

+ ⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

− ⋅ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

65

65

36

29

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

:

83

83

83

6 5 9⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

· :

75

75

8 7

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

:

32

94

13

3 5⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

· ·

1251458

3−

− 155526250

5

12606300

75

36 3−

×,

53

2 613

:,

721

96

× −− +2 35

102 5

,,

−−

51 2

106,

:521

12 1

−,

− −3 09 2 01, ,) )

13 6 7 26, ,) )

−

1 278 2 078, ,−

5 217 2 21, ,+

89

− 109

− 87

65

56

−76

− 65

76

5 87,−3 9,)

7 1139,

−11 053,10 01,)

103 82,−0 08,)

0 573,−3 28,

27

34

a b a b+( ) + +( )

615

25

425

2 3y y y+ +

2 22

23 5 3

2

x xx

x

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

− −

: :⎛⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

2 32

2x

25

35

15

2x x+ +

23

27

23

2 3a a a+ +

328

2114

109240

106

51300

3549

, , , , ,

Números racionales

1ACTIV

IDADES

A

)

)

)

)

) )

) )

)

)

)

)

)

26

INVESTIGA73. En la vida cotidiana las lentes tienen multitud de aplicaciones.

Se utilizan en gafas y lentes de contacto para corregir defec-tos visuales, pero también en cámaras fotográficas, en teles-copios o en microscopios para observar objetos lejanos opequeños.

Una de las unidades que caracterizan las lentes son las diop-trías, cuya magnitud depende fundamentalmente de la ge-ometría de la lente.

Con la ayuda de los siguientes enlaces:

http://diccionario.babylon.com/Dioptria

http://es.wikipedia.org/wiki/Dioptria

http://www.academiaminas.com/formulas/FISICA/OPTI

CA/optica_geometrica.htm

responde a las siguientes cuestiones:

a) Escribe la definición de dioptría.

b) ¿Como es una lente cuyas dioptrías son negativas? ¿ysi son positivas?

c) Escribe la relación que existe entre las dioptrías y ladistancia focal.

d) ¿Cuántas dioptrías tiene una lente cuya distancia focales de 4 m? ¿Y si la distancia focal es de 25 cm?

e) Una lente de 5 dioptrías ¿qué distancia focal tiene? ¿Yde − 0,20 dioptrías?

Al unir dos lentes delgadas podemos obtener otralente cuya distancia focal es:

siendo f1 y f2 la distancia focal de las dos lentes delga-das.

f ) ¿Cuál será la distancia focal de una lente formada poruna lente de distancia focal 3 m y otra de distancia fo-cal 30 cm? ¿Cuántas dioptrías tendrá?

1 1 1

1 2f f f= +

Unidad 1

EV

ALU

AC

IÓN

Elige la fracción equivalente a .

a) b) c)

Simplifica la fracción hasta llegar a una fracción irre-

ducible.

Ordena de menor a mayor estos números racionales.

Determina la fracción generatriz de los siguientes núme-ros decimales:

a) 3,145 b) c)

Calcula:

a) b)

— Expresa el resultado en forma decimal y en forma deporcentaje.

Efectúa:

a) c)

b) d)

Calcula:

Con L de agua se han llenado ocho vasos iguales.

¿Cuál es la capacidad de cada vaso?

Un padre dispone en su testamento que el hijo mayor

herede de lo que herede el mediano y éste, de lo

que reciba el pequeño. Si al morir, el padre tenía un capi-

tal de 23580 ∑, ¿cuánto dinero heredará cada hermano?

32

43

9

32

8

34

12

43

1

12

34

58

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+

− +

:

7

161296

412

54

2

⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

36169

14

14

4 3⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

6

54

12

32

⋅ −−

:232

34

− +

5

0 083,�

2 116,�

4

32

56

23

53

 ,   ,   , −

3

240260−

2

150180

− 90180

− 75180

−512

1

CB

CB

CB

@

Los hindúes indicaban las fracciones escribiendo el numerador sobre el deno-minador.

Los árabes adoptaron este sistema y le añadieron la barra horizontal. Así, se crea-ron los símbolos actuales.

4—3

43

CRÓNICA MATEMÁTICA

27

Metales preciososLa pureza del oro se mide en quilates. Cuando decimos que un objetode oro tiene 18 quilates, significa que de 24 partes del objeto, 18 sonde oro.

En cambio, para la plata lo habitual es medir la pureza en milésimas.Cuando decimos que un objeto de plata es de 900 milésimas, signifi-ca que de 1 000 partes del objeto, 900 son de plata.

Cuadros mágicosEn un cuadrado mágico todas las filas,columnas y diagonales suman la mis-ma cantidad.

Completa el siguiente cuadrado mágico.

Demuestra tu ingenio

Números racionales

Conéctate a la siguiente página y am-plía tus conocimientos sobre cuadradosmágicos.

www.xtec.es/~bfiguera/curioso7.html

Observa con detenimiento esta demostración y encuentra el fallo lógi-co que lleva a una consecuencia evidentemente errónea.

Sean a y b dos números enteros que cumplen:

, es decir, 4 a = 6 b

La última igualdad puede transformarse sucesivamente en las siguientes:

14 a − 10 a = 21 b − 15 b

15 b − 10 a = 21 b − 14 a

5 (3 b − 2 a) = 7 (3 b − 2 a)

Y si ahora dividimos los dos miembros por 3 b − 2 a, queda:

5 = 7

a b6 4

=

83

133

163

4