Escuela Superior Politcnica del LitoralFacultad de Ingeniera
Mecnica y Ciencias de la Produccin.Mecnica de Slidos II
Prctica de PandeoErick Moreira ValdezMatricula
:201107124Guayaquil, sbado 6 de septiembre del 2014
Contenido1.- Resumen:32.-Justificacin:33.-
Introduccin:34.-Equipo e instrumentacin.55.-Procedimientos
realizados.56.-Resultados.57.-Anlisis de
resultados.58.-Conclusiones y recomendaciones.69.-Apndices.7
1.- Resumen:
La prctica de pandeo tuvo como finalidad la observacin de varias
probetas del mismo material, pero de distinto valor de longitud
efectiva sometidas a cargas axiales hasta que se alcanzar el valor
de la fuerza crtica , nos damos cuenta de que se ha alcanzado este
valor cuando el indicador de fuerza llega a un valor mximo e
inmediatamente comienza a disminuir , adems de que se evidencia la
mayor deformacin transversal de la columna , como se trabaj con el
mismo material, se pudieron graficar el esfuerzo crtico vs la
esbeltez y se comprob que en ciertos puntos se comportaba como
exponencial y en otros como parablica , de la grfica 1 , se toma
que el momento en el que esto ocurre es a partir de la esbeltez
igual a 135, se realizan grficas con su respectivo ajuste , por
separado y una linealizacion de las mismas . Con las relaciones
correspondientes se hall el Modulo de Young, existiendo diferencias
entre el valor que se obtuvo con la frmula de Euler y la de
Jhonson, se atribuyeron a que el material no fue cortado
correctamente y a que no fue colocado de buena manera en la mquina
de ensayos universales.
Palabras clave: Columnas, Pandeo, Carga crtica, esbeltez, Euler,
Johnson.2.-Justificacin:
Los elementos estructurales denominados columnas son ampliamente
utilizados en la construccin de maquinaria y de obras civiles, de
ah la importancia de contar con un mtodo efectivo para calcular el
esfuerzo mximo soportado por el elemento antes de fallar, sea por
aplastamiento o por pandeo, los resultados que nos arrojen estos
clculos, indicaran que tipo de columna sera ms conveniente segn las
condiciones de trabajo y el presupuesto de la obra. Como futuros
ingenieros mecnicos el manejo de los datos experimentales y su
interpretacin, nos acercara a la comprensin total de la forma en
que se deben disear columnas segn la carga de trabajo, el tipo de
material disponible y la seguridad de los usuarios.3.-
Introduccin:
Los objetivos de realizar un ensayo de pandeo fueron los de
analizar la diferencia en el clculo de los esfuerzos crticos de
columnas largas y columnas cortas, utilizando la grfica
esfuerzo-esbeltez, adems de interpretar las desviaciones de estos
resultados con los tericos y finalmente el de a travs de dos curva
experimentales calcular el mdulo de elasticidad del material con el
que se trabaj.Entonces ,de las mltiples formas en las que puede
fallar un material sometido a una carga , entindase por una carga ,
a una fuerza , el pandeo est relacionado con criterios de
estabilidad, la estabilidad es un estado fsico en el cual un
sistema puede amortiguar cualquier perturbacin externa del sistema
por s mismo , mientras que si un cuerpo no puede por s mismo
amortiguar estas perturbaciones , sino que la ms mnima causa
produce un cambio irreversible se dice que este est en equilibrio
inestable .Es en la inestabilidad en la que ocurre la falla por
pandeo, veamos. Nuestro estudio se centra en elementos
estructurales, denominados columnas, una columna es un cuerpo
sujeto a fuerzas axiales de compresin, si una columna es, digamos,
corta; esta principalmente fallara por aplastamiento o por flexin,
tema estudiado durante el primer parcial. Mientras que si la
columna es larga fallara por pandeo, esto es que en vez de fallar
por compresin, estos miembros se deforman de manera lateral, dicho
de otra forma, cuando las cargas de compresin alcanzan un valor
denominado crtico, la columna va a deformase cada vez ms
lateralmente a medida que la carga se incrementa.Las fallas debidas
a este tipo de comportamiento suelen ser catastrficas puesto que
ocurren de una forma repentina y no es fcil advertir que una
estructura empieza a alcanzar su valor de carga crtica.
Para columnas esbeltas sometidas a fuerzas axiales de compresin,
stas corresponden al caso general tratado por Leonard Euler en 1744
cuando public el primer tratado conocido sobre la estabilidad
elstica.
Para estas columnas se dedujo la siguiente relacin para la carga
crtica de pandeo:
En donde:E= Modulo de Young del material.I=Menor momento de
inercia.L= Longitud efectiva de la viga.La longitud efectiva
depende del tipo de apoyos que tena la columna en sus extremos Una
columna es corta cuando su esbeltez, que es la razn entre su
longitud y su radio de giro, es menor a un valor, denominado
esbeltez de transicin, que nos indicara, dependiendo de la esbeltez
si el cuerpo es largo o corto. Sea entonces:
En la cual E es el mdulo de elasticidad del material (en
Pascales) y es el valor de esfuerzo de fluencia (en Pascales).Si el
valor de la esbeltez es menor que Cc entonces la viga es corta y en
caso contrario es esbelta en el segundo caso se debe usar la frmula
de Euler para calcular la carga crtica. Mientras que para el
primero se debe hallar con la frmula de Johnson.
La frmula que Johnson desarrollo para la fuerza crtica de una
columna es la siguiente:
Siendo el esfuerzo de fluencia del material de la columna. Cabe
indicar que el valor de la longitud efectiva es proporcional a la
longitud de la columna.Para las columnas de nuestra prctica la
longitud efectiva es igual a la longitud total puesto que la
columna se hallaba articulada en ambos extremos.
4.-Equipo e instrumentacin.Los elementos que se sometieron al
ensayo de pandeo fueron probetas de acero, con un dimetro de 12 mm.
Las longitudes usadas para la prctica fueron de 150 mm, 195 mm, 297
mm, 411 mm, 451 mm, 598 mm, 803 mm, 905mm y 950 mm.El equipo usado
fue una mquina de ensayos universales y el sistema de adquisicin de
datos DATACOM, que es el que se encarga de registrar el valor de la
carga en kg-f que actua sobre las columnas.5.-Procedimientos
realizados.En primer lugar medimos las dimensiones de las probetas,
luego una por una fueron colocadas en la mquina de ensayos
universales de forma vertical, se colocaron de tal forma que se
puede considerar como si las probetas se encontraran articuladas en
ambos extremos, luego de colocarlas procurando que quedaran rectas
se aplicaba una carga con la mquina y se registraba en el sistema
de adquisicin , dejbamos que se aumente la carga hasta que se
observara que se llega a un valor y luego comienza a disminuir
bruscamente la fuerza , esto nos indicaba que habamos llegado a la
fuerza crtica para esa longitud de columna.Este mismo procedimiento
se repiti con las dems probetas, de tal manera que se obtuvieron
los valores de carga crtica para cada valor de esbeltez, este
resultado es bastante til, puesto que nos ayudara a encontrar el
mdulo de Young del material de forma experimental.Luego se observ
la deformacin horizontal que haba tenido la probeta luego de ser
sometido a esta carga axial (vase Apndice) 6.-Resultados.Se
calcularon los valores del mdulo de Young, con las curvas
linealizadas de Euler y de Jhonsosn , para detalles de los clculos
, srvase revisar Apndice parte B.Tabla 1.- Resultado del Mdulo de
Young de cada una de las curvas.MtodoMdulo de Young ( Gpa)
Euler360
Jhonson100
7.-Anlisis de resultados.Es evidente la gran diferencia que
existe entre los valores que se obtuvieron con las grficas, la
causa se puede atribuir a que el valor de la frmula de Jhonson es
proporcional al esfuerzo de fluencia y en este caso el esfuerzo de
fluencia es un valor promedio para los aceros , lo que conduce a
que exista mayor desviacin de los resultados , adems de que la
curva polinmica tiene menos observaciones y por ende existe una
mayor variabilidad en esos datos que en los puntos que se ajustan a
la curva de Euler , otra de las ventajas de la grfica linealizada
de Euler ( Vese grfica 3) es que al despejar esta ecuacin para
hallar el mdulo de Young , vemos que nicamente es proporcional al
intercepto de esta grfica y a la constante pi , de forma que se
observa no depende de alguna otra constante del material , sin
embargo con la otra grfica no tenemos esto , ya que el modulo es
proporcional a la pendiente de la curva linealizada y al esfuerzo
de fluencia , por lo que existen muchas posibilidades de
equivocarse con este mtodo en especial cuando no se cuenta con el
valor exacto del esfuerzo de fluencia , o al menos una aproximacin
razonable.De igual forma en la seccin apndice se puede observar que
se ha decidido eliminar un valor por considerar que no estaba
ajustndose a ninguna de las dos grficas, esto se puede ver con
detalle en el grfico 1 . Se justifica la eleccin de Cc=135 , pues
luego de este valor el siguiente valor experimental es 137 y se
observa en la misma grfica 1 que se ajusta ms a la curva logartmica
que a la parablica , de ah que se haya escogido este punto.Durante
la prctica se constat que las columnas ms cortas fallaban por
aplastamiento ms que por pandeo.8.-Conclusiones y
recomendaciones.Se concluye luego de observar estos resultados, que
la aproximacin de Euler debe usarse exclusivamente para vigas
esbeltas y que en este mtodo el esfuerzo crtico no depende del
esfuerzo de fluencia del material, mientras que cuando la columna
es corta si lo hace.Se debe recomendar para prcticas posteriores
que se mejore la forma en que la probeta es cortada y en que es
puesta en la mquina, pues aparte de las causas que pudieron haber
provocado esta exagerada diferencia en los mdulos, se pueden tener
otros efectos provocados por una mala posicin de la probeta, ya que
provoca cargas excntricas o momento flexionante, dando como
resultado la diferencia en los resultados.9.- Referencias
bibliogrficas. Mecnica de materiales, Beer, jhonston 4 edicin.
Resistencia de materiales , Singer , 4 edicin.
10.-Apndices.Parte I.- Esfuerzo crtico para cada una de las
columnas.A los datos que se recibieron de la fuerza de compresin en
las columnas durante el ensayo, en primer lugar, se las
convirtieron a Newton. De la geometra de la columna se sabe que el
rea, el momento de inercia y el radio de giro corresponden al de un
crculo con dimetro d, dado a que es un crculo ambos momentos de
inercias son iguales.As para un dimetro d= 12 mm y un material con
E =200 GPa y = 220 Mpa se calcularon.0,00011311,0179E-090,003
Los datos de la fuerza ( N ) se dividieron para el rea y se
escogi el valor del esfuerzo en el que ocurra el pandeo , en la
tabla se resume esta informacin.Tabla 2.- Esfuerzo crtico de pandeo
y esbeltez de las columnas
LongitudEsfuerzo (Pa)Esbeltez
150 mm2,68E+0850,00
195 mm2,71E+0865,00
297 mm1,82E+0899,00
411 mm1,05E+08137,00
451 mm1,55E+08150,33
598 mm6,56E+07199,33
803 mm3,49E+07267,67
905mm 3,13E+07301,67
950 mm2,07E+07316,67
De aqu se graficaron estos puntos y se encontr justo el lmite de
esbeltez, es decir el punto en el cual la esbeltez es igual a
CC.
Grfico 1.- Comparacin de las curvas de Euler y Johnson para el
esfuerzo crtico y la esbeltez.Se observa que antes del punto en el
cual la esbeltez es 137, los puntos se asemejan o se ajustan ms a
la curva polinmica mientras que para el resto de puntos se ajustan
ms a la exponencial , por lo que se escoge un Cc prudente de 135
para este caso.As al dividir los datos hasta 137 y eliminando el
punto que corresponde a la esbeltez de 150 por no ajustarse a
ninguna de las dos rectas y tener una mayor desviacin no se lo
considera para los siguientes grficos.
Grfico 2.- Curva de Jhonson para el esfuerzo vs la esbeltez
Grfico 3.- Grfico de Euler para el esfuerzo vs esbeltezParte 2:
Grficas linealizadas.En primer lugar linealizamos el grfico de
Euler.
Grfico 4.- Curva de relacin lineal que permitir hallar el valor
del mdulo de Young de forma experimental.
Como la ecuacin es de la forma: El esfuerzo critico nos
quedara.
De ah tomamos el logaritmo natural a ambos lados y tendramos una
ecuacin de la forma:
Y si graficamos el logaritmo del esfuerzo vs el logaritmo de la
esbeltez al cuadrado, el intercepto debe darnos un valor
proporcional al mdulo de Young, as que de lo que se puede observar
en el grfico 4 el intercepto es igual a 29.8, lo que da un mdulo E
.
Grfico 5.- Grfica linealizada de la curva polinmica de grado 2
de Johnson.
De la frmula de jhonson se deduce de inmediato que si graficamos
, el mdulo de Young es igual a:
Parte 3: Fotografas de la prctica.Foto 1.- Probeta sometida a
una carga axial de compresin .
Foto 2.- Falla por pandeo de una columna larga.
Foto 3.- Falla por pandeo de una columna corta.
