Paper Getaran OK

SISTEM TRANSMISI TENAGA

Oleh

M. CAHYO ADI NOGROHO

4204 100 061

JURUSAN TEKNIK SISTEM PERKAPALAN

FAKULTAS TEKNOLOGI KELAUTAN

INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER

SURABAYA

2008

GETARAN

PENGERTIAN GETARAN

Pergerakan suatu benda yang berulang-ulang pada masa tertentu atau berayun

terhadap kedudukan keseimbangan disebut getaran. Getaran terjadi apabila suatu

sistem yang mempunyai daya tersimpan diayunkan dari keadaan keseimbangan.

Sistem cenderung untuk kembali kepada kedudukan asal, tetapi apabila sistem

semula melalui kedudukan keseimbangan, lajunya tidak sama. Oleh karena itu, ia

bergerak menjauhi kedudukan keseimbangan. Proses ini berlaku berulang-ulang,

lalu menyebabkan getaran.

Getaran merupakan satu ciri keperluan bagi kebanyakan mesin, sebagai

contoh, untuk memadatkan tanah atau konkrit, digunakan alat penggetar. Sistem

yang berayun adalah konsep yang digunakan dalam kebanyakan jam yang

menggunakan bandul. Walaupun sifat getaran adalah mustahak dalam

kejuruteraan, fenomena ini boleh mendatangkan masalah karena getaran yang

berlebihan bisa merusak suatu struktur karena wujudnya gesekan yang berlebihan.

Struktur yang selalu bergetar akan mengalami kelesuan. Getaran bisa

menyebabkan kehilangan tenaga seperti tenaga gerak dan tenaga bunyi. Dengan

demikian, optimalisasi kerja suatu mesin akan berkurang. Oleh sebab itu, getaran

suatu struktur akan dibentuk dan diberi pertimbangan jika struktur itu dikehendaki

bergetar. Bagi struktur yang tidak dikehendaki bergetar, maka getaran tidak perlu

diubah bentuk.

Secara umum, terdapat dua jenis getaran yaitu getaran bebas dan getaran

paksa. Getaran bebas berlaku apabila pergerakan disebabkan oleh graviti

atau daya yang tersimpan seperti pergerakan bandul atau pegas. Getaran

paksa ialah getaran yang disebabkan oleh daya yang dikenakan secara

berkala atau mengikut tempoh ulangan tertentu. Bagi kedua jenis getaran ini,

ia terbagi lagi pada dua keadaan yaitu getaran tanpa redaman dan getaran

dengan redaman. Apabila gesekan diabaikan, getaran tersebut disebut getaran

tanpa redaman. Ini bermakna getaran akan berlaku berterusan dengan amplitudo

yang sama. Umumnya, kebanyakan getaran yang terjadi ialah getaran dengan

redaman yaitu apabila ia dipengaruhi oleh gesekan. Amplitudo getaran semakin

berkurang dan akhirnya sistem akan berhenti bergerak. Ringkasnya, terdapat

empat jenis getaran, iaitu

a) getaran bebas tanpa redaman atau pergerakan harmonik mudah,

c) getaran paksa tanpa redaman,

b) getaran bebas dengan redaman ,

d) getaran paksa dengan redaman

Beberapa contoh getaran yang biasa dilihat ialah getaran bebas pegas,

bandul mudah, tali gitar, cakera yang dilekatkan pada hujung rod getah dan

kemudian diputar (puntiran), pergerakan dalam bulatan, denyutan jantung, dan

pergerakan cakera pengimbang di dalam jam.

Dalam bab ini kajian difokuskan kepada getaran yang mempunyai satu

derajat kebebasan yaitu getaran dalam satu arah saja. Analisis untuk sistem yang

mempunyai lebih dari satu derajat kebebasan adalah berdasarkan satu derajat

kebebasan yang sudah diubah dan disesuaikan.

1.2 ISTILAH UNTUK GETARAN

Untuk menjelaskan beberapa istilah yang digunakan dalam getaran,

dicontohkan sebatang rod yang dilekatkan satu jisim pada salah satu hujungnya

dan hujung yang satu lagi ditetapkan supaya tidak bergerak . Jika jisim ditarik ke

titik a sejauh xm dan kemudian dilepaskan, jasad tersebut akan berayun berulang-

alik antara titik a dan b.

Berdasarkan kondisi tersebut, istilah yang digunakan adalah seperti berikut:

a) Kedudukan keseimbangan atau kedudukan purata: kedudukan benda ketika

berada dalam keadaan diam seperti kedudukan benda pada titik o.

b) Ayunan, x: jarak yang diukur dari kedudukan keseimbangan pada suatu masa

dan mempunyai nilai positif atau negatif yang menunjukkan arah anjakan.

c) Amplitudo, xm: anjakan maksimum (biasanya anjakan pada mula pergerakan).

Ia juga mempunyai nilai positif atau negatif.

d) Satu putaran lengkap: pergerakan dari satu titik mula sehingga sampai ke titik

mula sekali lagi seperti pergerakan dari a ke b ke a.

e) Periode, T: masa yang diperlukan untuk membuat satu putaran lengkap.

f) Frekuensi, f: bilangan pusingan lengkap bagi satu unit masa. Unit bagi

frekuensi ialah pus/s dan lebih dikenal sebagai Hertz dan ditandakan dengan

simbol Hz (1 pus/s = 1 Hz). Frekuensi sebenarnya adalah salingan bagi tempoh

berkala iaitu f = 1/T.

g) Sudut fasa mula : sudut mula antara kedudukan keseimbangan dan kedudukan

pada masa t = 0.

h) Sudut fasa : sudut antara kedudukan keseimbangan dan kedudukan pada suatu

masa t.

i) Keceatan, v : laju pada arah ayunan, x

j) Perceatan, a : pecutan pada arah anjakan, x

k) Getaran berkala : getaran yang mempunyai amplitudo tetap bagi suatu jeda

masa.

l) Getaran tak berkala: pergerakan yang mempunyai amplitudo tidak tetap yaitu

jarak pergerakannya semakin kecil bagi suatu jeda masa dan akhirnya berhenti

pada kedudukan keseimbangan karena wujudnya pengaruh pada geseran yang

menghalangi pergerakan yang seterusnya. Kebanyakan getaran yang berlaku

adalah getaran tak berkala.

Bila sebuah sistem dipengaruhi oleh eksitasi harmonik paksa, maka respon

getarannya akan berlangsung pada frekuensi yang sama dengan frekuensi

eksitasinya. Sumber-sumber eksitasi haemonik adalah ketidak seimbangan pada

mesin – mesin yang berputar, gaya-gaya yang dihasilkan oleh mesin torak atau

gerak mesin itu sendiri. Eksitasi ini mungkin tidak digunakan oleh mesin karena

dapat mengganggu operasinya atau menggangu struktur mesin itu apabila

amplitudo getaran yang besar. Dalam banyak hal resonansi harus dihindari dan

untuk mencegah berkembangnya amplitudo yang besar maka sering kali

digunakan peredam (damper) dan penyerap (absorbers).

1. GERAK HARMONIK

Gerak harmonik merupakan gerak periodik yang paling sederhana. Gerakan ini

dapat diperagakan oleh sebuah massa yang digantungkan pada suatu pegas.

Massa akan berosilasi pada titik kesetimbangan. Saat massa melewati titik ini,

massa mengalami kecepatan maksimum dengan percepatan sama dengan nol.

Sedangkan pada saat simpangan maksimum, kecepatan massa akan sama dengan

nol dengan percepatan maksimum.

Gerakan massa akan berbentuk sinusoidal dengan simpangan maksimum

(amplitudo ) sebesar A. Waktu yang dibutuhkan untuk setiap siklusnya (periode)

adalah t. Dari bentuk sinusoidal seperti gambar diatas, maka gerakan sistem dapat

dibuat dalam persamaan :

sin nx A t (1.1.1)

Dimana n adalah frekuensi natural system dalam rad/s, yang diberikan dengan

persamaan :

t 2

n (1.1.2)

Kecepatan dan percepatan dari massa merupakan turunan pertama dan kedua dari

persamaan 1.1.1

K

M

A t

t

tAx

tAx

nn

nn

sin

cos2

(1.1.3)

Dengan memperhatikan persamaan untuk simpangan dan percepatan seperti

persamaan 1.1.1 dan 1.1.3 maka gerakan sistem dapat dinyatakan dalam

persamaan differensial orde dua

2nx x&&

atau

2nx x 0 &&

(1.1.4)

Secara matematis persamaan 1.1.4 mempunyai penyelesaian sebagai berikut :

sin cos1 n 2 nx A t A t (1.1.5)

dengan turunan pertamanya adalah

cos sin1 n n 2 n nx A t A t &

dimana A1 dan A2 adalah suatu konstanta yang sangat tergantung dari kondisi

awal system.

Jika kondisi pada awal ( t=0 ), masa memiliki simpangan (x) sama dengan x0 dan

kecepatan ( x ) sama dengan v0, maka harga A1 dan A2 masing-masing didapat :

01

n

2 0

vA

A x

&

Sehingga persamaan gerakan system dapat ditulis menjadi

sin cos0n 0 n

n

vx t x t

atau

cos tan

22 10 00 n

n 0 n

v vx x t

x

2. PERSAMAAN GERAKAN BERBAGAI MODEL SISTEM

2.1. SISTEM PEGAS – MASSA

Suatu pegas dengan kekakuan K, mengalami peregangan sebesar D ( defleksi

statis ) akibat gaya berat benda ( w = mg ) yang bekerja pada pegas. Pada kondisi

statis ini, benda/massa berada pada titik kesetimbangannya. Sesuai dengan

Hukum Newton, Pegas memberikan gaya reaksi terhadap gaya berat benda.

Besarnya gaya reaksi pegas sama dengan perkalian antara kekakuan pegas dengan

defleksi :

KD = mg (1.2.1)

Sehingga kekakuan pegas dapat dihitung :

mgK

D (1.2.2)

K K2

K

D

mm x

K(D+x)

mg

Jika massa diberi simpangan sebesar x dari titik kesetimbangannya dan kemudian

ber-osilasi (bergerak bolak-balik disekitar titik kesetimbangan), gaya yang terjadi

pada pegas akan akan berubah-ubah sesuai dengan posisi dari massa.

Dengan menggunakan Hukum Newton II, dan memberikan tanda positif untuk

arah gaya kebawah, maka gerakan dari pegas massa dapat dirumuskan menjadi :

( )xF mx

K x mg mx

D &&

&& (1.2.3)

karena KD = mg, persamaan ( 1.2.3 ) dapat ditulis menjadi :

mx Kx 0

Kx x 0

m

&&

&& (1.2.4)

Memperhatikan persamaan (1.1.4) dan (1.2.4) yang merupakan persamaan yang

ekuivalen, maka sistem pegas-massa ini memiliki frekuensi natural :

nK

m

(1.2.5)

2.1.1. Pegas Hubungan Seri

Jika dua buah pegas ( masing-masing memiliki kekakuan K1 dan K2 )

dihubungkan secara seri pada suatu sistem pegas-massa, maka masing-masing

K1

K2

D2

D1

m

K1

K2D

m

Ks

mg

mg

K1D

1

K2D

2

pegas akan mengalami defleksi sebesar D1 dan D2. Hal ini diakibatkan karena

setiap titik pada pegas akan bekerja gaya reaksi dari gaya berat ( mg ). Sedangkan

defleksi keseluruhan atau simpangan dari massa adalah sebesar D yang merupakan

penjumlahan defleksi dari masing-masing pegas. Hubungan antara kekakuan dan

defleksi dari masing-masing pegas dapat ditulis :

11

22

1 2

mg

K

mg

K

D

D

D D D (1.2.6)

Bila kedua pegas hubungan seri digantikan dengan sebuah pegas ekuivalen

dengan kekakuan Ks, defleksi yang terjadi sebesar :

s

mg

KD

(1.2.7)

Dengan mensubstitusikan persamaan 1.2.6 dan 1.2.7 maka didapat :

s 1 2

s 1 2

mg mg mg

K K K

1 1 1

K K K

(1.2.8)

Untuk hubungan seri sejumlah n-pegas, yang memiliki kekakuan K1, K2,……, Kn

dapat diganti dengan sebuah pegas dengan kekakuan Ks:

.....s 1 2 n

s n

i 1 i

1 1 1 1

K K K K

atau

1K

1K

(1.2.9)

2.1.2. Pegas Hubungan Paralel

Jika dua buah pegas ( masing-masing memiliki kekakuan K1 dan K2 )

dihubungkan secara paralel pada suatu sistem pegas-massa, maka masing-masing

pegas akan mengalami defleksi yang sama yaitu sebesar D yang merupakan

simpangan dari massa. Gaya reaksi dari gaya berat ( mg ) akan didistribusikan

pada kedua pegas tersebut masing-masing sebesar T1 dan T2. Besarnya masing-

masing gaya reaksi sangat tergantung dari kekakuannya masing-masing.

Hubungan antara kekakuan dan gaya reaksi dari masing-masing pegas dapat

ditulis :

1 1

2 2

1 2

T K

T K

mg T T

D D (1.3.10)

Bila kedua pegas hubungan paralel digantikan dengan sebuah pegas ekuivalen

dengan kekakuan Kp, gaya reaksi yang terjadi sebesar :

pT mg K D (1.2.11)

Dengan mensubstitusikan persamaan 1.2.10 dan 1.2.11 maka didapat :

p 1 2

p 1 2

K K K

K K K

D D D

(1.2.12)

K1 K2 K2K1

D

m

KP

mg

T1

K1D

m

T2

Untuk hubungan paralel sejumlah n-pegas, yang memiliki kekakuan K1, K2,……,

Kn dapat diganti dengan sebuah pegas dengan kekakuan Kp:

n

p ii 1

K K

(1.2.13)

2.2. SISTEM POROS

Suatu poros elastis terkait dengan sebuah piringan pada salah satu

ujungnya dan pada ujung yang lain tertanam pada suatu dinding. Piringan pejal

dengan massa M dan jari-jari R diputar pada sumbu vertikal sebesar q,

mengakibatkan poros mengalami puntiran sebesar q. Jika gaya pemutar dari

piringan dilepas akan terjadi osilasi akibat elastisitas dari poros.

Gerakan osilasi ini dapat dirumuskan dalam kesetimbangan momen dinamis yaitu:

0

0

qq

qq

q

J

K

KJ

JM

(1.2.13)

dimana :

J : inersia dari piringan

= MR2

K : kekakuan dari poros

= l

Gd

32

4

G : Modulus geser dari material poros

ld

2R

Mq


ekuivalen, maka sistem poros - piringan ini memiliki frekuensi natural :

J

Kn

(1.2.14)

2.3. PENDULUM

sin

M I

I MgL 0

q

q q

(1.2.15)

dimana : I = ML2

untuk harga q yang kecil maka sin q @ q.

sehingga persamaan 1.2.15 dapat dibuat menjadi :

2ML MgL 0

g0

L

q q

q q

(1.2.16)


ekuivalen, maka sistem pendulum ini memiliki frekuensi natural :

ng

L

(1.2.17)

Mg

L

q

Mg sin q

Sumbu - q

O

Suatu pendulum dengan massa M dan panjang lengan L berosilasi pada titik O

disekitar sumbu vertikal. Arah percepatan dari massa pendulum adalah sumbu - q,

yang arahnya selalu tegak lurus terhadap batang/lengan pendulum. Dari free body

diagram, kesetimbangan dinamis untuk momen torsi sistem didapat : : momen

inersia dari massa m

1. GETARAN KARENA GAYA HARMONIK

Eksitasi harmonik sering dihadapi dalam sistem rekayasa. Eksitasi ini

biasanya dihasilkan oleh ketidakseimbangan mesin-mesin yang berputar.

Walaupun eksitasi harmonik murni lebih jarang terjadi dibanding eksitasi periodik

atau eksitasi jenis yang lain, namun mempelajari sifat sistem yang mengalami

eksitasi harmonik adalah penting agar dapat respon sistem terhadap jenis eksitasi

yang lebih umum. Eksitasi harmonik dapat berbentuk gaya atau simpangan

beberapa titik dalam sistem.

Mula-mula akan diperlihatkan sistem dengan satu derajat kebebasan yang

mengalami redaman dan rangsangan oleh gaya harmonik F0 sin t seperti gambar

dibawah.

Dari diagram benda bebas persamaan diferensial gerakannya adalah :

tsinFkxxcxm O

K C

M

F0 sin tF0 sin t

Kx C

Penyelesaian dari persamaan ini terdiri dari dua bagian yaitu complimentary

function yang merupakan solusi persamaan homogen dan integral khusus. Dalam

hal ini complimentary function adalah getaran bebas teredam .

Penyelesaian khusus dari persamaan tersebut adalah osilasi keadaan tunak

(steady state) dengan frekuensi yang sama dengan frekuensi eksitasi.

Penyelesaian dari PD diatas :

tsinDtcosC)tsinBtcosA(ex ddt)m2/c(

Dengan mengabaikan transient term, dan hanya memakai steady state term, maka

solusi PD diatas :

o22

o

o

180)tcos(X)tcos(Xx

90)tcos(X)tsin(Xx

)90)tcos(Xx

tsinDtcosCx

dimana : X : amplitudo osilasi

f : beda fase simpangan terhadap gaya eksitasi

Dengan mensubstitusi ke PD gerakannya :

tsinF)tcos(kX90)t(coscX180)t(cosmX Ooo2

Jika persamaan tersebut ditunjukkan secara grafik :

Dari grafik diatas didapat

KX

CX

M2XF0

t

KX - M2X

2n

n

2n

22n

O

222

O

222

O

222O

222O

)/(1

/2tan

)/2(])/(1[

k/FX

)k/c()k/mk(

k/FX

)c()mk(

FX

)c()mk(XF

)Xc()XmkX(F

Jadi persamaan amplitudo yang nondimensional menjadi

2n

22nO )/2(])/(1[

1

k/F

X

Dari persamaan – persamaan tersebut terlihat bahwa amplitudo nondimensional

dan fase getaran hanya merupakan fungsi dari rasio frekuensi /n dan faktor

redaman . Faktor redaman mempunyai pengaruh yang besar terhadap amplitudo

dan sudut fase pada frekuensi dekat resonansi.

2. GETARAN KARENA PUTARAN MASSA TAK SEIMBANG

Ketidak seimbangan pada mesin-mesin yang berputar merupakan sumber

eksitasi getaran yang biasa dijumpai.

K C

m

M

e

Perhatikan sistem pegas massa yang hanya dibatasi untuk hanya bergerak dalam

arah vertikal dan dirangsang oleh mesin yang berputar yang tidak setimbang.

Ketidak setimbangan tersebut ditunjukkan olrh massa eksentrik m dengan

eksentrisitase yang berputar dengan kecepatan sudut . Dengan mengambil x

sebagai simpangan massa yang tak berputar (M-m) dari posisi statis, maka

simpangan m adalah x + e sin t.

Jadi persamaan gerak adalah

xckx)tsinex(

dt

dmx)mM(

2

2

atau dapat disusun kembali menjadi

tsinmekxxcxM 2

Jelaslah bahwa persamaan ini identik dengan persamaan deferensial getaran

paksa karena gaya harmonik. Dengan mengganti FO = m e 2, maka :

2n

n

2n

22n

2

)/(1

/2tan

)/2(])/(1[

k/meX

Persamaan ini selanjutnya dapat diubah menjadi bentuk non dimensional

2

n22

n

2n

)/2(])/(1[

)/(

me

MX

3. GETARAN KARENA GERAKAN PENYANGGA

Dalam banyak hal sistem dinamik dieksitasi oleh gerak titik penyangga,

seperti pada gambar.

CK

Mx

M

y

K(x-y)

Simpangan harmonik dari titik penyangga adalah y dan simpangan massa M yaitu

x dari suatu acuan inersia.

Pada posisi yang telah disimpangkan, gaya-gaya yang membuat tak seimbang

disebabkan oleh redaman dan pegas, dan persamaan diferensial gerak menjadi

)yx(C)yx(KxM

dengan mensubstitusikan z = x – y, maka didapat :

tsinYMKzzCzM

yMKzzCzM

2

dengan y = Y sin t menggambarkan gerak dasarnya. Bentuk persamaan ini

identik dengan persamaan deferensial getaran paksa karena gaya harmonik.

Dengan mengganti FO = M2Y, maka :

2

222

2

mk

ctan

)c(]mK[

YmZ

)tsin(Zz

Bila gerak absolut massa diinginkan, maka x dapat dicari dari x = z + y. Dengan

menggunakan bentuk eksponensial untuk gerak harmonik diperoleh

tii)t(i

tii)t(i

ti

e)Xe(Xex

e)Ze(Zez

Yey

Dengan mensubstitusikan ke persamaan gerakan didapat

ti2

tii

2

2i

Yetimk

tikx

e)YZe(x

timk

YmZe

Dari persamaan terakhir, amplitudo keadaan steady-nya:

22

2

222

22

)c()mK(K

mctan

)c()mk(

)c(k

Y

X

4. ISOLASI GETARAN

Gaya-gaya penggetar yang ditimbulkan oleh mesin-mesin seringkali tak

dapat dihindari, namun pengaruhnya pada sistem dinamik dapat banyak dikurangi

oleh pegas yang dirancang dengat tepat, yang dikenal sebagai isolator.

Ketika massa berosilasi maka terjadi gaya reaksi dinamis pada pegas dan

redaman baik terhadap massa maupun pada struktur penyangga sistem tersebut.

Besarnya gaya ini sangat tergantung pada simpangan dari massa. Pada saat

simpangan sebesar x, maka besarnya gaya-gaya yang terjadi pada komponen

sistem adalah :

A. Gaya Pegas

)tsin(KXKx

B. Gaya Redaman

)tcos(XCxC

Dari kedua komponen gaya terlihat bahwa pada setiap harga t arah gaya antara

gaya pegas dan gaya redaman selalu tegak lurus. Sehingga penjumlahan vektor

dari kedua ini mengahasilkan suatu gaya yang ke struktur penyangganya.

Besarnya gaya trasmisibilitas (FT) ini adalah:

CK

M

2

nT

2T

22T

)2(1kXF

)k

c(1kXF

)Xc()kX(F

Perbandingan antara gaya trasmisibilitas dengan amplitudo gaya eksitasi

diistilahkan sebagai Transmision ratio. Sehingga besarnya Transmision ratio dapat

dijabarkan sebagai berikut :

2n

22n

2n

222

22

O

T

)/2())/(1(

)/2(1TR

)c()mk(X

)c(kXTR

F

FTR

Dari persamaan ini didapat bahwa besarnya gaya yang ditransmisikan sangat

tergantung dari nilai rasio frekuensi dan faktor redaman. Pada harga rasio

frekuensi dibawah 2 gaya yang ditransmisikan akan lebih besar dari gaya

eksitasi.

5. INSTRUMEN PENGUKUR GETARAN

Elemen dasar berbagai instrumen pengukur getaran adalah unit seismik pada

gambar diatas. Simpangan, kecepatan atau percepatan ditunjukkan oleh gerak

x

y

K C

M

massa yang digantungkan relatif terhadap kotak/framenya, tergantung pada

frekuensi yang digunakan. Untuk mengetahui sifat instrumen semacam itu,

perhatikan persamaan gerak massa m dalam persamaan berikut.

Persamaan gerakan sistem :

)yx(k)yx(cxm

dimana x dan y masing-masing adalah simpangan massa seismik dan simpangan

benda yang bergetar, yang mana kedua-duanya diukur terhadap suatu acuan

inersia tertentu. Misalkan z adalah simpangan relatif dari massa m, maka z = x –

y.

Dan dianggap benda yang bergetar bergerak sinusoidal :

y = Y sin t ; maka

tsinYmkzzczm 2

Dengan mensubstitusikan FO = m 2 Y, maka solusi steady state z = Z sin (t -

), hasilnya adalah :

2n

n2

2n

22n

2n

222

2

)/(1

/2

mk

ctan

/2)/(1

)/(Y

)c()mk(

YmZ

q

Sedangkan rasio amplitudo getaran relatif massa seismik dengan benda yang

bergetar, sesuai dengan prinsip getaran yang bersumber dari struktur penyangga di

dapat sebagai berikut :

222

22

)c()mk(

)c(k

Y

X

Sehingga dengan mendapatkan hasil pengukuran dengan amplitudo X, maka

persamaan gerakan dari benda yang bergetar dapat dihitung.

Documents

Paper Getaran OK