Simulacin y Modelamiento del Control de Pndulo Simple Invertido En Matlab Sistemas de Control Moderno

Cristian Geovanny Rondn SalomnYeison Fernando Mndez Rios Luis Hernn Prez CastroUniversidad de los LlanosEspecializacin en Instrumentacin y Control IndustrialJulio 2014

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RESUMEN

Este trabajo expone el desarrollo matemtico, simulacin y diseo de un controlador PID (Proporcional + Integral + Derivativo) para un sistema de pndulo invertido, a partir de su funcin de transferencia usando la herramienta Simulink de MatLab. Adems se realiza la sintonizacin del controlador teniendo en cuenta ciertas consideraciones de diseo.

ABSTRACT

This document presents the mathematical development, simulation and design of a PID (Porportional + Integral + Derivative) for a inverted pendulum system, from its transfer function using Simulink and MatLab. Also it make a controller tunning taking into account certain design considerations.

Palabras clave: Pendulo invertido, controlador pid, sintonizacin.Keywords: Inverted pendulum, pid controller, tunning.

INTRODUCCION

Uno de los principales ejemplos de la complejidad para controlar sistemas reales y que se presenta en la enseanza de los sistemas de control es el pndulo invertido, dado que representa el modelo de un sistema no lineal, el cual posee cierta complejidad en su tratamiento. Dicho sistema consiste en un carro que posee un pivote con el que se une a un pndulo. La idea es que el pndulo se ubique en posicin vertical teniendo el pivote en la parte inferior (equilibrio inestable) como se muestra en la figura 1 y que cuando sobre el sistema (ya sea en el carro o en el pndulo) se aplique una fuerza a manera de perturbacin, el sistema de control responda con un movimiento del carro para impedir que el pndulo pierda su posicin vertical.

Figura 1. Pndulo invertido

El modelamiento y simulacin que trata este documento consta de 5 partes; la primera describe las consideraciones usadas de modelamiento del sistema, la segunda presenta el modelamiento matemtico y su desarrollo para encontrar la funcin de transferencia del sistema en lazo abierto, la tercera se encuentran las ecuaciones dinmicas de estado, la cuarta su implementacin en simulink y la ltima parte presenta la sintonizacin del lazo.

CONTENIDO

1. CONSIDERACIONES DE DISEO

Antes de iniciar con todo el desarrollo del modelo matemtico del sistema, es necesario definir ciertas consideraciones de diseo que acotarn el modelo del sistema. Para iniciar, el carro slo se mover en el eje axial, para el pndulo slo se considera que se mueve en el plano X, Y, es decir, no se mover en el eje Z. Por otro lado, la masa del pndulo se considera que se encuentra uniformemente repartida en toda la longitud del pndulo y que l corresponde a la distancia entre el pndulo y su centro de masa.

Adicionalmente, el pndulo y el carro se encuentran unidos a travs de un pivote y el sistema carro - pndulo posee un solo grado de libertad. Por ltimo, se consideran tambin las fuerzas de ficcin para el pivote, as como el rozamiento de las ruedas del carro con la superficie sobre la cual se encuentra.

2. DESARROLLO DEL MODELO MATEMTICO

A continuacin se muestra el diagrama de cuerpo libre para el sistema carro pndulo:

Figura 2. Diagrama de cuerpo libre

Para este diseo en particular se asumieron los siguientes valores de variables del sistema:

M: Masa del carro = 0.5 Kgm: Masa del pndulo = 0.2 Kgb: Coeficiente de friccin del carro = 0.1 N*s/md: Coeficiente de friccin del pivote = 0.005 Kg*m2/rad*sI: Momento de inercia = 0.018 Kg*m2g: Aceleracin de la gravedad = 9.8 m/s2l: longitud entre el pndulo y su centro de masa = 0.3 m

Para el carro se tiene que:

Para el pndulo, analizando la componente para el pndulo en x se tiene:

Analizando la componente para el pndulo en y se tiene:

Realizando cambio de variable, donde:

Aplicado la transformada de Laplace

Luego de hacer algunas manipulaciones matemticas a las ecuaciones anteriormente descritas, se obtiene la siguiente funcin de transferencia de manera simblica.

Donde .

Reemplazando los valores que fueron asumidos, se obtiene la siguiente ecuacin de transferencia del sistema:

3. MODELO EN ECUACIONES DINMICAS DE ESTADO

Ahora que se encontr la funcin de transferencia, tambin podemos encontrar las ecuaciones de estado de manera matricial a partir de las ecuaciones linealizadas del movimiento del sistema carro pndulo, como ecuaciones diferenciales de primer orden, reescribiendo las ecuaciones y del anterior punto, se tiene:

Para poder obtener las ecuaciones dinmicas de estado, lo primero que se debe hacer es definir las variables de estado, que para este caso x1 corresponde a la posicin del carro, x2 a la posicin angular del pndulo, x3 a la velocidad del carro y x4 a la velocidad angular del pndulo, de tal manera que:

Para mayor facilidad de representacin, se realiza el siguiente cambio de variables:

; ; ; ; Donde obtenemos las siguientes representaciones matriciales del sistema:

4. SIMULACIN DEL MODELO EN SIMULINK

Antes de realizar la simulacin, haciendo uso de la herramienta Sisotool se verifica la ubicacin de los polos y ceros para determinar grficamente la estabilidad del sistema.

Figura 3. Lugar de las races y diagrama de bode en lazo abiertoComo se puede observar, el sistema es totalmente controlable pues no posee polos o ceros en el semiplano real positivo, sin embargo existe una frecuencia crtica de aproximadamente 4.4 rad/seg donde se presenta un corte abrupto en la ganancia de la planta.

Al graficar la respuesta de la planta en lazo abierto a un escaln se observa (parte alta de la figura 4)que aunque su tendencia es a estabilizar en el tiempo, una pequea perturbacin genera una respuesta oscilatoria de la planta. Por otro lado, el rechazo de la planta a los disturbios (parte baja de la figura 4) demora demasiado tiempo en converger a cero.

Figura 4. Respuesta de la planta a una entrada paso

Luego de analizado el panorama de la planta sin controlador, a partir de la funcin de transferencia encontrada en el punto 2 de este documento, se procedi a implementar el modelo en Simulink, como se presenta a continuacin.

Figura 5. Modelo en Simulink Total del sistema

En la figura anterior se puede observar un bloque denominado Pndulo Invertido No Linealizado, el cual contiene la funcin de transferencia que se encontr en el numeral 2:

Figura 6. Modelo en Simulink de la funcin de transferencia

Figura 7. Modelo del sistema en 3D

Asignando valores para Kp = Ki = Kd = 1 se tiene que el sistema es totalmente inestable:

Figura 8. Respuesta del sistema en lazo cerrado con un controlador PID con Kp = Ki = Kd = 1

Se us la herramienta Tune del PID

Encontrando que con los parmetros:

El sistema responde de la siguiente manera

Al darle Update block, ahora los parmetros de sintona quedan

Y el sistema responde as:

FALTA MEJORAR LA REDACCIN Y HACER LAS CONCLUSIONES

CONCLUSIONES Y PERSPECTIVAS

En los Sistemas de Control de Lazo Cerrado, el uso de la retroalimentacin hace que la respuesta del sistema sea relativamente insensible a perturbaciones externas y a variaciones internas de parmetros del sistema.

La estabilidad en los Sistemas de Control de lazo Abierto SCLA es ms fcil de lograr, ya que en l la estabilidad no es un problema importante. En los SCLC si es un problema por la tendencia a sobrecorregir errores que pueden producir oscilaciones de amplitud constante o variable.

Para algunos sistemas, es necesario usar procedimientos de tanteo para lograr que el sistema se vuelva estable, por las diversas perturbaciones en los sistemas los cuales incluyen no linealidades

El uso de herramientas de software para el diseo de sistemas de control, permite un ahorro sustancial en el tiempo de diseo y ayuda a determinar el comportamiento del mismo ante diversos tipos de entradas.

REFERENCIAS

Ingeniera de Control Moderna. Katsuhiko Ogata. 3a Edicin Pearson Prentice Hall. Sistemas de Control Automtico. Benjamin C. KUO. 7(a) Edicin PHH Prentice Hall. http://www.mathworks.com/help/control/ug/pid-controller-design-at-the-command-line.html http://ctms.engin.umich.edu/CTMS/index.php?example=InvertedPendulum&section=SimulinkModeling http://www.mathworks.com/help/control/getstart/choosing-a-pid-controller-design-tool.html http://www.mathworks.com/help/control/getstart/designing-pid-for-disturbance-rejection-with-pid-tuner.html http://www.ib.cnea.gov.ar/~instyctl/Tutorial_Matlab_esp/invpen.html http://www.ib.cnea.gov.ar/~instyctl/Tutorial_Matlab_esp/invPID.html http://www.ib.cnea.gov.ar/~instyctl/Tutorial_Matlab_esp/invSS.html Balanceo y Estabilizacin del Pndulo Invertido Empleando Redes Neuronales Artificiales y un Regulador Lineal ptimo con Criterio Cuadrtico