Upload
fina-fitriana-rozi
View
421
Download
53
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Kuliah Pak Hendra
Citation preview
MA1201 MATEMATIKA 2AMA1201 MATEMATIKA 2A
Hendra GunawanSemester II, 2013/2014Semester II, 2013/2014
19 Maret 2014
Kuliah yang LaluKuliah yang Lalu
10.1‐2 Parabola, Elips, dan Hiperbola0. a abo a, ps, da pe bo a10.4 Persamaan Parametrik Kurva di Bidang10.5 Sistem Koordinat Polar10.5 Sistem Koordinat Polar11.1 Sistem Koordinat Cartesius di R3
11.2‐4 Vektor, Hasilkali Titik, Hasilkali Silang11.2 4 Vektor, Hasilkali Titik, Hasilkali Silang11.5 Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak SepanjangKurva
11.6 Garis dan Garis Singgung di Ruang11.8 Permukaan di Ruang11.8 Permukaan di Ruang
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 2
Kuliah Hari IniKuliah Hari Ini
11 8 Permukaan di Ruang11.8 Permukaan di Ruang
dan
12.1 Fungsi Dua (atau Lebih) Peubah
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 3
11.8 PERMUKAAN DI RUANGMA1201 MATEMATIKA 2A
11.8 PERMUKAAN DI RUANG• Menggambar permukaan di ruang
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 4
Bola dan Bidang di Ruang zBola dan Bidang di Ruang
Ingat persamaan bola yang ber‐P
pusat di P(a,b,c) dan berjari‐jari R:P
y
d bid di R3
,)()()( 2222 Rczbyax z
x
dan persamaan umum bidang di R3:
.0, 222 CBADCzByAx
Seperti apa grafiknya?
.0, CBADCzByAx
yOSepe t apa g a ya
3/7/2014 (c) Hendra Gunawan 5
x
ElipsoidaElipsoida
Lebih umum daripada bola, kitamempunyai persamaan elipsoida:
)()()( 222 czbyaxz
P h tik jik k
.1)()()(222
rcz
qby
pax
P
yPerhatikan jika p = q = r, makapersamaan di atas menjadi
x
y
yang merupakan persamaan bola.,)()()( 2222 rczbyax
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 6
Permukaan di RuangPermukaan di Ruang
Bidang dan elipsoida merupakan contohBidang dan elipsoida merupakan contohpermukaan di ruang.
Secara umum, grafik persamaan F(x,y,z) = Cmerupakan permukaan di ruang.p p g
Namun, tidak semua persamaan mudahdigambar grafiknya.
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 7
Paraboloida dan HiperboloidaParaboloida dan Hiperboloida
Grafik persamaanz
2
2
2
2
by
axz
merupakan paraboloida eliptik.
bay
Sementara itu, grafik persamaan22 yx
x
merupakan paraboloida hiperbolik
22 by
az Seperti apa
bentuknya?merupakan paraboloida hiperbolik.
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 8
SilinderSilinder
Grafik persamaan x2 + y2 = 1, z R, z
p y , ,merupakan silinder lingkaran yang sejajar dengan sumbu‐z.j j g
Bagaimana dengan persamaan x
y
Bagaimana dengan persamaan?0,sin xyz
x
Seperti apabentuknya?
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 9
Hiperboloida Satu LembarHiperboloida Satu Lembar
Grafik persamaanGrafik persamaan
12
2
2
2
2
2
z
byx z
merupakan hiperboloida satulembar
222 cba
lembar. Irisannya dengan:Bid k li
x
y
‐Bidang z=k elips‐bidang‐xz hiperbola‐bidang‐yz hiperbola3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 10
Hiperboloida Dua LembarHiperboloida Dua Lembar
Grafik persamaanGrafik persamaan
12
2
2
2
2
2
z
byx
z
merupakan hiperboloida dualembar
222 cbay
lembar.Irisannya dengan:bid hi b l
x
‐bidang‐xy hiperbola‐bidang x=k elips, titik, Ǿ‐bidang‐yz himp. kosong3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 11
Kerucut EliptikKerucut Eliptik
Grafik persamaanz
2
2
2
22
by
axz
berbentuk kerucut eliptik( d )
bay
(ganda). x
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 12
SoalSoal
Diketahui persamaanDiketahui persamaan
.1 22 yxz
Gambarlah grafiknya.
y
Permukaan apakah itu?
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 13
12.1 FUNGSI DUA (ATAU LEBIH) PEUBAHMA1201 MATEMATIKA 2A
( )• Menentukan daerah asal dan menggambargrafik fungsi dua peubahgrafik fungsi dua peubah
• Menentukan kurva ketinggian dan meng‐gambar peta kontur fungsi dua peubahgambar peta kontur fungsi dua peubah
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 14
Fungsi Dua (atau Lebih) PeubahFungsi Dua (atau Lebih) Peubah
Setelah mempelajari fungsi satupeubah, baik yang bernilai skalarmaupun yang bernilai vektor, sekarang kita akan mempelajarifungsi dengan dua (atau lebih) peubah.
Sebagai contoh, foto atau citra 2DSebagai contoh, foto atau citra 2D merupakan fungsi dua peubah. Demikian juga suhu T pada suatu T(x,y)e a juga su u pada suatukeping datar. 3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 15
Fungsi Dua PeubahFungsi Dua Peubah
Di sini kita akan membahas ( )Di sini kita akan membahassecara khusus fungsi duapeubah yang bernilai skalar
(x,y)
peubah yang bernilai skalar, yakni fungsi f yang memetakansetiap titik (x y) dalam suatu
fsetiap titik (x,y) dalam suatudaerah D di R2 ke suatubilangan z = f(x y) R z =f(x y)bilangan z f(x,y) R. z =f(x,y)
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 16
CatatanCatatan
Himpunan D disebut sebagai daerah asal fHimpunan D disebut sebagai daerah asal f, sedangkan himpunan {z = f(x,y)| (x,y) D} disebut daerah nilai fdisebut daerah nilai f.
Bila tidak dinyatakan secara spesifik, makadaerah asal fungsi f adalah himpunan bagiandaerah asal fungsi f adalah himpunan bagianterbesar dari R2 yang membuat f terdefinisi.
S b i h d h l f( ) /Sebagai contoh, daerah asal f(x,y) = x/y adalah semua titik (x,y) dengan y ≠ 0.
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 17
ContohContoh
Tentukan daerah asal 221),( yxyxf dan gambarlah daerah tsb pada R2.
Jawab:
),( yyf
Jawab:
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 18
Grafik Fungsi Dua PeubahGrafik Fungsi Dua Peubah
Diberikan fungsi dua peubah Contoh:Diberikan fungsi dua peubahdengan persamaan z = f(x,y), dengan (x y) D kita dapat z
Contoh: z = f(x,y) := x2 + y2
dengan (x,y) D, kita dapatmenggambar grafiknya, yaituhimpunan
z
himpunan
{(x,y,z) | z = f(x,y), (x,y) D}
di R3di ruang R3.
x
y
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 19
x
LatihanLatihan
Sketsalah grafik fungsi f yang diberikan dengang g f y g gpersamaan
22:)( yxyxfz :),( yxyxfz
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 20
Kurva Ketinggian dan Peta KonturKurva Ketinggian dan Peta KonturKadang kita dapat mempelajari Contoh:
2 2fungsi dua peubah fmelaluikurva‐kurva ketinggian‐nya, z
z = f(x,y) := x2 + y2
yakni kurva‐kurva perpotonganpermukaan z = f(x,y) dengan z = kbidang z = k.
Bila kita gambar kurva‐kurvay
ketinggian ini pada bidang R2, maka akan kita peroleh peta
xKurva ketinggian: x2 + y2 = k (bila k ≥ 0)
kontur f.3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 21
( )
Kurva Ketinggian dan Peta KonturKurva Ketinggian dan Peta KonturKadang kita dapat mempelajari Contoh:
z = f(x y) := x2 + y2fungsi dua peubah fmelaluikurva‐kurva ketinggian‐nya,
zz = f(x,y) := x + y
yakni kurva‐kurva perpotonganpermukaan z = f(x,y) dengan
y
z = k
bidang z = k.
Bila kita gambar kurva‐kurva
xy
Petakontur
y
ketinggian ini pada bidang R2, maka akan kita peroleh peta
o tu
x
kontur f.3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 22
LatihanLatihan
Tentukan persamaan kurva ketinggian fungsiTentukan persamaan kurva ketinggian fungsiz = f(x,y) := xy, untuk ketinggian k = ‐2, ‐1, 0, 1 2; kemudian gambarlah peta konturnya1, 2; kemudian gambarlah peta konturnya.
3/19/2014 (c) Hendra Gunawan 23