1

MAKALAH MATA KULIAH GEOMETRI

ANALITIK II Dosen Pembimbing: Idham Djunaedi ,S.Pd

PARABOLOIDA

Disusun oleh:

1. Romadhoni Sari (111003018)

2. Cindy Irmalia Apriyanti (121003075)

3. Diah Bintari Rahayu (121003079)

4. Indarti Palupi (121003110)

5. Intan Daniar Royani (121003116)

6. Muhammad Yahya (121003136)

7. Nanis Su’udah (121003140)

8. Pratama Prasetiyo (121003156)

9. Selamet Andika Putra (121003175)

10. Yaumis Sa’adah (121003198)

SEKOLAH TINGGI KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

PERSATUAN GURU REPUBLIK INDONESIA

(STKIP PGRI) LUMAJANG)

2014

ii

KATA PENGANTAR

Puji Syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, yang telah

melimpahkan rahmat, taufiq, hidayah serta inayah-Nya kepada kami, sehingga

kami masih diberikan kesempatan untuk dapat menyelesaikan tugas makalah Mata

Kuliah Geometri Analitik II dengan judul “Paraboloida “ ini dengan baik dan

tepat waktu.

Dengan harapan semoga dengan adanya pembuatan makalah ini dapat

meningkatkan bakat dan pengetahuan penyusun sebagai calon guru dalam bidang

Geometri Analitik. Makalah ini membahas tentang definisi dan langkah-langkah

mencari rumus persamaan pada paraboloida.

Penulis yakin, tanpa bantuan, motivasi, bimbingan serta petunjuk semua

pihak, tentunya penyusunan makalah ini banyak mengalami hambatan-hambatan.

Dan akhirnya penulisan tugas makalah ini selesai dalam waktu yang singkat dan

tepat waktu. Oleh karena itu, tidak berlebihan jika di sampaikan terima kasih dan

penghargaan setinggi-tingginya kepada segenap pihak yang mendukung baik

secara materil maupun nonmateril.

Penulis menyadari bahwa dalam penyusunan makalah ini masih jauh

dikatakan sempurna, karena keterbatasan serta rendahnya pengetahuan penulis

sehingga berpengaruh terhadap kualitas makalah ini. Oleh karena itu penulis

mohon kritik dan saran dari pembaca sekalian.

Penulis

iii

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ............................................................................................... .i

KATA PENGANTAR ............................................................................................ ii

DAFTAR ISI...........................................................................................................iii

PEMBAHASAN ..................................................................................................... 1

1. Definisi Paraboloida .......................................................................................... 1

2. Persamaan Paraboloida

2.1. Persamaan Paraboloida Eliptik .................................................................. 1

2.2. Persamaan Paraboloida Hiperbolik ............................................................ 5

3. PENUTUP

Kesimpulan......................................................................................................10

DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................ 11

1

PEMBAHASAN

1. Definisi Paraboloida

Paraboloida yaitu suatu permukaan yang mempunyai irisan dengan

bidang yang sejajar koordinat tertentu berupa parabola. Jika irisan dengan

bidang koordinat lain berupa elips, maka disebut paraboloida eliptik. Jika

irisan dengan bidang sejajar koordinat yang lain berupa hiperbola, maka

disebut paraboloida hiperbolik.

Paraboloida Eliptik Paraboloida Hiperbolik

2. Persamaan Paraboloida

2.1. Persamaan Paraboloida Eliptik

Paraboloida Eliptik adalah suatu permukaan yang dapat

diletakkan demikian rupa sehingga irisannya yang sejajar bidang

koordinat berbentuk elips dan irisannya yang sejajar bidang koordina

lainnya berbentuk parabola. Berikut ini adalah gambar Paraboloida

Eliptik.

2

Diberika ellips pada bidang XOY dan parabola pada bidang XOZ masing

– masing dengan persamaan :

Ellips yang terletak pada bidang XOY digerakkan dengan aturan :

1. Bidangnya selalu sejajar dengan bidang XOY.

2. Titik pusatnya tetap pada sumbu z

3. Dua dari puncaknya selalu terletak pada parabola yang terletak pada

bidang XOZ.

4. Ellips tetap sebangun dengan ellips yang digerakkan.

Luasan yang trjadi dapat ditentukan sebagai berikut :

Misalkan ellips pada bidang XOY yang diberikan, yaitu :

Digerakkan sehingga terletak pada bidang dan setengah sumbu-

sumbunya adalah sejajar sumbu dan sejajar sumbu . Sesuai

aturan 1,2 dan 3 maka titik memenuhi

Sesuai aturan 1,2 dan 4 maka

, sehingga

Jadi persamaan ellips yang terletak pada bidang tersebut adalah :

atau

3

Dengan mengeliminasi pada persamaan tersebut diperoleh persamaan :

Diperoleh persamaan paraboloida ellips titik puncak O(0,0).

Soal !

Diberikan ellips dengan persamaan ,

dan parabola

dengan persamaan

tentukan luasan yang terjadi bila elips tersebu

digerakkan dengan aturan :

1. Bidangnya selalu sejajar dengan bidang XOY.

2. Titik pusatnya tetap pada sumbu z

3. Dua dari puncaknya selalu terletak pada parabola yang terletak pada

bidang YOZ.

4. Ellips tetap sebangun dengan ellips yang digerakkan.

Jawab :

Misalkan ellips pada bidang XOY yang diberikan yaitu :

0

1

digerakkan sehingga terletak pada bidang dan setengah

sumbu-sumbunya adalah x0 dan y0 berturut-turut sumbu yang sejajar

sumbu x dan sumbu y.

Karena memenuhi aturan a, b, dan c, maka titik (0, y0, ) terletak

pada ellips sehingga memenuhi

0

16z

Karena aturan a, b, dan d maka dipenuhi

4

Dimana dan

Atau

Jadi persamaan ellips yang terletak pada bidang z = λ tersebut adalah:

Z = λ

λ

λ

λ

Sehingga persamaan paraboloida elliptic dengan sumbu z sebagai

sumbunya adalah:

5

2.2. Persamaan Paraboloida Hiperbolik

Paraboloida hiperbolik adalah suatu permukaan yang dapat

diletakkan sedemikian rupa sehingga irisannyadengan bidang yang

sejajar dengan salah satu bidang koordinat berbentuk hiperbola dan irisan

dengan bidang koordinat lain berupa parabola.Berikut ini adalah gambar

paraboloida hiperbolik.

Keterangan:

1. Irisan bidang yang sejajar bidang koordinat XOY

berbentuk hiperbola

2. Irisan dengan bidang koordinat XOZ dan YOZ berbentuk

parabola.

Misalkan hiperbola yang digerakkan terletak pada bidang XOY

dengan persamaan

Dan garis arahnya berupa parabola pada bidang YOZ dengan persanaan:

6

Aturan menggerakkan hiperbola dalah sebagai berikut:

a. Bidangnya sejajar dengan bidang XOY

b. Titik pusatnya selalu terletak pada sumbu x

c. Hiperbolanya selalu sebangun dengan hiperbola semula.

d. Titik-titik puncaknya selalu terletak pada garis arah

Misalkan hiperbola digerakkan sehingga terletak pada bidang z=λ dan

setengah sumbu-sumbunya sejajar dengan sumbu y dan z berturut-turut

adalah y0 dan z0 .

Berdasarkan aturan di atas, titik puncaknya dalah (0, y0, λ) terletak pada

garis arah. Sehingga .

Karena aturan a,b, dan d maka dipenuhi:

.

Jadi persamaan hiperbola yang terletak pada bidang z=λ tersebut adalah:

Z = λ

7

λ

Sehingga persamaan paraboloida hiperbolik dengan sumbu z sebagai

sumbunya adalah:

Contoh:

Diberikan hiperbola dengan persamaan:

8

Dan parabola dengan persamaan:

Tentukan luasan yang terjadi bila hiperbola

Digerakkan dengan aturan:

I. Bidangnya selalu sejajar dengan bidang XOY

II. Titik pusatnya tetap pada sumbu Z

III. Dua dari puncakknya selalu terletak pada parabola pada bidang

YOZ

IV. Hiperbola tetap sebangun dengan hiperbola yang digerakkan.

Jawab:

Misalkan hiperbola digerakkan sehingga terletak pada bidang z=λ dan

setengah sumbu-sumbunya sejajar dengan sumbu y dan z berturut-turut

adalah y0 dan z0 .

Berdasarkan aturan di atas, titik puncaknya dalah (0, y0, λ) terletak pada

garis arah. Sehingga .

Karena aturan a,b, dan d maka dipenuhi:

Dimana dan

Atau

9

Jadi persamaan hiperbola yang terletak pada bidang z=λ tersebut adalah:

Z = λ

Sehingga persamaan paraboloida hiperbolik dengan sumbu z sebagai

sumbunya adalah:

10

PENUTUP

Kesimpulan:

a. Paraboloida yaitu suatu permukaan yang mempunyai irisan dengan

bidang yang sejajar koordinat tertentu berupa parabola.

b. Paraboloida ada dua jenis yaitu:

Paraboloida eliptik : suatu permukaan yang dapat diletakkan demikian

rupa sehingga irisannya yang sejajar bidang koordinat berbentuk elips

dan irisannya yang sejajar bidang koordina lainnya berbentuk parabola.

Paraboloida hiperbolik: adalah suatu permukaan yang dapat diletakkan

sedemikian rupa sehingga irisannyadengan bidang yang sejajar dengan

salah satu bidang koordinat berbentuk hiperbola dan irisan dengan

bidang koordinat lain berupa parabola.

c. Persamaan Paraboloida:

Paraboloida eliptik :

ellips pada bidang XOY dan parabola pada bidang XOZ

Paraboloida hiperbolik :

hiperbola yang digerakkan terletak pada bidang XOY dan garis arahnya

berupa parabola pada bidang YOZ

11

DAFTAR PUSTAKA

Hariku.Bab-VII_1-Ellipsoida-Hiperboloida-Dan-Paraboloida.(

http://hariku.web.id diakses 24 April 2014)

prizta. geometri-ii . (http://prizta11192.blogspot.com diakses 17 Mei

2014)

Rosyadi, Alfiani Athma Putri. Analytic Geometry.

(bud1utom0logspot.com diakses 17 Maret 2013)

UPI.File.(http://file..edu/Direktori/FPMIPA/JUR._PEND._MATEMATIKA

/195805151984031-diakses 19 Mei 2014)