PARABOLIODE

INTEGRANTES:

Nicol Marian Abadie Herrera .Haide Choque Quispe Maria del Carmen Huanqui Zea Liz Carol Pacheco Mamani

GRADO : 5to “A”

PROFESORA: Cristina Lozada

TEORIA DE PARABOLOIDE

CONCEPTO: El paraboloide es,

cuando no se precisa, un paraboloide de revolución, es decir la superficie generada por la rotación de una parábola alrededor de su eje de simetría

Se describe mediante ecuaciones cuya forma canónica es del tipo:

Los paraboloides pueden ser elípticos o hiperbólicos, según sea que sus términos cuadráticos

Si el eje del paraboloide es el eje z, entonces la ecuación del paraboloide elíptico es:

y la ecuación del paraboloide hiperbólico es:

La intersección del paraboloide anterior por un plano vertical (es decir paralelo al eje de simetría) se obtiene una parábola, mientras que si se corta por un plano horizontal (ortogonal al eje mencionado) se obtiene un círculo

CARACTERISTICAS

El punto que coincide con el origen de coordenadas se llama vértice del paráboloide. Si la figura no coincide con el origen de coordenadas en el vértice entonce la ecuación es:

Las secciones que se obtienen al cortar la figura por planos con el eje Oz son parabolas. Las secciones que se obtiene al corta la figura por planos con el eje Oz son elipses.

Cuando a= b es el paraboloide elíptico es un Paraboloide en Revolución.

Paraboloide eliptico•Sea el paraboloide elíptico de ecuación:

El paraboloide elíptico no es simétrico respecto al origen de coordenadas.

* El origen de coordenadas es el vértice del paraboloide elíptico.

* El paraboloide elíptico es simétrico respecto al eje z.

* El paraboloide elíptico es simétrico respecto a los planos x-z e y-z.

* Las secciones con planos paralelos a los coordenados y al eje del paraboloide son parábolas.

* Las secciones con planos perpendiculares al eje del paraboloide elíptico son elipses.

* El paraboloide elíptico se extiende para todo x, y, y z ≥ 0. 

Paraboloide hiperbólico

Sea el paraboloide hiperbólico de ecuación:

El paraboloide hiperbólico no es simétrico respecto al origen de coordenadas.

* El paraboloide hiperbólico es simétrico respecto al eje z.

* El paraboloide hiperbólico es simétrico respecto a los planos x-z e y-z.

*Las secciones con planos paralelos a los coordenados y al eje del paraboloide hiperbólico son parábolas

* Las secciones con planos perpendiculares al eje del paraboloide hiperbólico son hipérbolas.

* El paraboloide hiperbólico se extiende infinitamente.

Si se escoge como sistema de coordenadas 

DONDE:O : es el vértice de la parabola

: un vector director del eje de simetría : base del planoLa ecuación de la

superficie es:

O

EJERCICIOS Analizar la superficie de ecuación: Ge) x2 + z2 = y * Es un paraboloide elíptico * El paraboloide elíptico corta a los ejes de coordenadas en el origen:

V(0, 0, 0) * Las secciones con planos paralelos a los coordenados son:                 con planos paralelos al x - y (z = k): parábolas de la forma: Ge) x2 = y - k2, z = k en las que k puede asumir cualquier valor real.                 con planos paralelos al x - z (y = k): circunferencias de la

forma: Ge) x2 + z2 = k, y = k en las que k puede asumir cualquier valor no negativo (|k| ≥  0).                 con planos paralelos al z - y (x = k): parábolas de la forma: Ge) z2 = y - k2 , x = k en las que k puede asumir cualquier valor real. * El gráfico de este paraboloide hiperbólico es:

Analizar la superficie de ecuación: Ge) y2 - x2 = z

* Es un paraboloide hiperbólico * El paraboloide hiperbólico corta a los ejes de coordenadas en el

origen: O(0, 0, 0) * Las secciones con planos paralelos a los coordenados son:                 con planos paralelos al x - y (z = k): hipérbolas de la

forma: Ge) - x2 + y2 = k, z = k

en las que k puede asumir cualquier valor real. El eje focal de estas hipérbolas depende del signo de k.

                con planos paralelos al x - z (y = k): parábolas de la forma:

Ge)  x2 = - z + k2, y = k

en las que k puede asumir cualquier valor real.                 con planos paralelos al z - y (x = k): parábolas de la

forma: Ge)  y2 = z + k2, x = k

en las que k puede asumir cualquier valor real. * El gráfico de este paraboloide hiperbólico es:

Aplicación

Tiene la forma de las llamadas antenas parábolicas.Entre otros usos de origen cotidiano. Tiene la propiedad de reflejar (en caso de tener una superficie reflactante) la luz hacia un punto.

Curiosidad

Si mueves circularmente un vaso medio lleno la superficie que forma la parte superior del líquido es un Hipérboloide Elíptico.