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25/03/2015 ParadoxodeBanachTarskiWikipdia,aenciclopdialivre
http://pt.wikipedia.org/wiki/Paradoxo_de_Banach%E2%80%93Tarski 1/2
O"paradoxo"deBanachTarski:Umaesferapodeserdecompostaerecompostaemduasesferascadaumadomesmotamanhodaoriginal.
ParadoxodeBanachTarskiOrigem:Wikipdia,aenciclopdialivre.
OteoremadeBanachTarskiestabelecequepossveldividirumaesferaslidaemumnmerofinitodepedaos(emumcasoparticularRaphaelM.Robinsondividiuemexatamentecincopedaos),ecomestespedaosconstruirduasesferas,domesmotamanhodaoriginal.consideradoumparadoxoporserumresultadocontraintuitivo,masnoporsercontraditrioouporintroduzircontradies.
Oteoremapodesergeneralizadoparaquaisquerregiesdoespaoquesejamlimitadasequetenhamuminterior,ou,maisespecificamente:
SejamXeYdoissubconjuntosde quesolimitadosecujointeriornovazio.EntopossveldecomporXeYempartiesfinitas{X ,X ,...X }e{Y ,Y ...Y },talquecadaX congruenteacadaY
Naturalmentenopossvelcortardestaformaumaesferareal,comoumalaranja,comumafacareal.Tratasedeumaabstraomatemtica.Ademonstraoprovaaexistnciatericadeumaformaderepartiraesferacomestascaractersticas.Nohumaprovaconstrutivista,isto,quedescrevaamaneirapelaqualaesferadeveserrepartida.Ademonstraofazusodoaxiomadaescolha.
BanacheTarskipropuseramesteparadoxocomoumaevidnciaparaserejeitaroaxiomadaescolha,masosmatemticosapenasconsideramqueoaxiomadaescolhatemconseqnciasbizarrasecontraintuitivas.
Esboodademonstrao
Ademonstraosebaseianaconstruodeduasmatrizes3x3.Umadestasmatrizes,umarotaode120 emtornodoeixoz,eaoutramatriz,,correspondereflexosobreoplanoxzseguidadeumarotaodeumnguloemtornodoeixoy.Aprimeiramatriztalqueseucuboamatrizidentidade,easegundatalqueseuquadradoaidentidade.Assim,cadaelementodogrupogeradoporestasduasmatrizespodeserescritocomoumasequnciafinitadeprodutosdasegundamatrizpelaprimeiramatriz()oupeloquadradodaprimeiramatriz( ). Casoongulosejatalqueseucossenosejaumnmerotranscendente,entoarepresentaodecadaelementodestegruponica.
EstegrupodematrizesGpodeserdecompostoemtrsconjuntos,G ,G eG ,comapropriedadequegumelementodeG se,esomentese,gumelementodeG e gumelementodeG .Estesconjuntos,quesocompostosderotaesereflexes,portantotransformamumconjuntodepontosemoutroconjuntocongruente,sousadosparadecomporumaesferaemumapartio{P,S ,S ,S },emquePumconjuntoenumerveleasoutrasparcelasserelacionamatravsdarotaoedamatriz:
1 2 n 1 2 n ii1
o
2 12
1 2 31 2
23
1 2 32
25/03/2015 ParadoxodeBanachTarskiWikipdia,aenciclopdialivre
http://pt.wikipedia.org/wiki/Paradoxo_de_Banach%E2%80%93Tarski 2/2
Estadecomposiofazsedefinindoseclassesdeequivalnciaentreoselementosdaesfera(excluindooconjuntoenumervelP)comox~yquandoexistealgumelementogdogrupodematrizestalqueg(x)=y,eescolhendoseoconjuntoCcomumelementodecadaclassedeequivalncia.Estepassorequerusodoaxiomadaescolha.CadaconjuntoS obtidoapartirdeCatravsdeelementosdosconjuntosdematrizesG ,ouseja,
Referncias1. GaryL.WiseeEricB.Hall,CounterexamplesinProbabilityandRealAnalysis,6.ProductSpaces,Example
6.1,p.121[emlinha](http://books.google.com.br/books?id=CPRCD_XLVIwC&pg=PA121&f=false)2. GaryL.WiseeEricB.Hall,CounterexamplesinProbabilityandRealAnalysis,6.ProductSpaces,Example
6.1,p.1223. GaryL.WiseeEricB.Hall,CounterexamplesinProbabilityandRealAnalysis,6.ProductSpaces,Example
6.1,p.123
Obtidade"http://pt.wikipedia.org/w/index.php?title=Paradoxo_de_BanachTarski&oldid=38479680"
Categorias: Teoremasdematemtica Paradoxos
Estapginafoimodificadapelaltimavez(s)15h43minde23demarode2014.EstetextodisponibilizadonostermosdalicenaCreativeCommonsAtribuioCompartilhaIgual3.0NoAdaptada(CCBYSA3.0)podeestarsujeitoacondiesadicionais.Paramaisdetalhes,consulteasCondiesdeUso.
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