TALLER DE CONICAS

Ejemplo 1: En las siguientes ecuaciones diga que posible curva es:

1. y2-4x2=4 2. x=2y2 3. 2x-3y+6=0

4. 9x2+4y2-18x+16y-11=0 5. 9x2-4y2-18x-16y-43=0 6. 4x2+y2=47. 4x2 –9y2=36 8. 4x+3=0 9. 5y-3=010. 3x2+3y2+12x-18y=-27 11. y=-2 x +3

312. y=-2x2-4x+5

13. x=-2y2+3y-1 14. x2+y2-25=0 15. 3x2+2x-3y+5=016. 2y2-3y+4x-6=0 17. y=5x2 18. 4x2+9y2=36

Soluciones: 1. Hiperbola vertical 2. Parábola horizontal 3. Recta oblicua

4. Elipse 5. Hiperbola 6. Elipse 7. Hiperbola horizontal 8. Recta vertical

9. Recta horizontal 10. Circunferencia 11. Recta oblicua

12. Parábola vertical 13. Parábola horizontal 14. Circunferencia

15. Parábola vetical 16. Parábola horizontal 17. Parábola vertical

18. Elipse

Ejemplo 2 : Encontrar una ecuación del círculo con centro en (2, -3) y un radio = 4 Solución: (x-h)2 + (y-k)2 = R2 (x-2)2 + (y+3)2 = 42 x2 -4x+4+y2+6y+9 = 16

1

x2 + y2 - 4x + 6y - 3 = 0

Ejemplo 3: Dada la ecuación x2 + y2 + 6x –2y –15 = 0 Mostrar que la gráfica de esta ecuación es un círculo y encontrar su centro y su radio.

Solución: x2 + y2 + 6x –2y –15 = 0 (x2 + 6y) + (y2 – 2y) = 15 (x2 + 6x + 9) + (y2 – 2y + 1) = 15 + 9 + 1 (x + 3)2 + (y – 1)2 = 25

( 6 )2 (- 2 )2 h =-3 k = 1 R2

2 2

Ejemplo 4 : Determinar la gráfica de la ecuación 2x2+2y2+12x-8y+31=0

Solución: 2x2 + 2y2 + 12x – 8y + 31 = 0 2 x2 + y2 + 6x – 4y + 31/2 = 0

(x2 + 6x) + (y2 – 4 ) = - 31/2 (x2 + 6x + 9 ) + (y2–4y+4) = - 31/2 +9+4

(x + 3)2 + (y – 2)2 = - 5/2 R2 = - 5/2 R = …. ¡ (no existe) no hay gráfica

Ejemplo 5 : Encontrar el centro y el radio de la circunferencia representada por la ecuación: X2 + y2 - 16x + 2y + 65 = 0 SOLUCIÓN: Ordenando y completando trinomios cuadrados perfectos en x y y, se tiene:

Por lo tanto el centro y el radio de la circunferencia son respectivamente:; o sea que la gráfica es sol el punto (8, -1)

Ejemplo 6 : El diámetro de una circunferencia es el segmento de la recta definida por los puntos: D (-8,-2) y E (4,6). Obtener la ecuación de dicha circunferencia.

1

C (-3 , 1) R = 5

SOLUCIÓN: El centro es el punto medio del diámetro, cuyas coordenadas se obtienen aplicando las fórmulas para el punto medio de un segmento, en este caso :

Por lo tanto, el centro es C (-2,2). El radio es la es la distancia del centro C a cualquiera de los extremos del diámetro, es decir:

La ecuación de la circunferencia pedida es:

Ejemplo 7 : Hallemos la ecuación de la parábola con foco (2,0) y directriz la recta X= -2. Dibujemos la

grafica.

Solución: Según los datos del problema tenemos que:

El eje focal es el eje x. Por lo tanto la ecuación es: =

=

=

Ejemplo 8 : Una parábola tiene su vértice en el origen, su eje focal es el eje x y pasa por el punto (-5,10), hallemos su ecuación y dibujemos su grafica.

1

Solución: Como el vértice es (0,0) y ele je focal es el eje x, Entonces la ecuación de la parábola es de la forma: =4px

Donde desconocemos el valor de p

Puesto que la parábola pasa por el punto (-5,10) entonces sus coordenadas deben satisfacer la anterior ecuación. Por tanto:

Luego la ecuación de la parábola es: Como p es negativo, entonces la parábola aparece dibujada a la izquierda del origen

Ejemplo 9 : Encontrar una ecuación de la parábola que tiene como directriz la recta y = 1 y como foco el

punto F (-3, 7).

Solucion: P= 3 LR = QQ’ = 4P = 12; Ec. (x-h)2 = 4p (y-k)

(x+3)2 = 4x3 (y-4); x2 + 6x + 9 = 12y - 48

1

x2 + 6x - 12y + 57 = 0

Ejemplo 10 : Dada la parábola que tiene por ecuación y2 + 6x + 8y + 1 = 0

encontrar el vértice, el foco, una ecuación de la directriz, una ecuación del eje, y la

longitud del lado recto. Trazar la gráfica.

Solución: y2 + 6x + 8y + 1 = 0 (y2 + 8y) = - 6x –1 (y2 + 8y + 16) = -6x – 1 + 16 (y + 4) = - 6x + 15 (y + 4)2 = - 6 (x – 15 /6)

Ejemplo 11 : Determinar la gráfica de la ecuacion 25x2+16y2+150x+128y-1119=0. Encontrar los vértices, focos, excentricidad y extremos del eje menor.

Solucion:25x2+16y2+150x+128y -1119=0; (25x2+150x) + (16y2 +128y ) = 1119; 25 (x2+ 6x) + 16(y2 + 8y) = 1119; 25 (x2+ 6x +9) + 16(y2 + 8y+16) = 1119 + 25x9 +16x16; 25 (x+3)2 + 16(y+4)2 = 1600 1600 25(x +3) 2 + 16(y+4) 2 = 1600 1600 1600 1600 (x+3) 2 + (y+4) 2 = 1 c(-3,-4)

64 100 b2 a2

b=8 a=10

a2 =b2+c2 100=64 + c2

1

v

c= 6; e = c/a = 6/10 = 0,6;

Ejemplo 12 : Encontrar una ecuación de la elipse para la cual los focos están en (-8, 2) y (4, 2) y la excentricidad es 2/3. Hacer un dibujo de la elipse.

Solución: La distancia entre los focos es 12; por lo tanto “c” = 6 y e = c/a = 2/3 6/a =2/3 a = 6*3/2 = 9 ; a=9; a2 = b2 + c2; 81=b2+36;

Ecuac. de la elipse (x+2) 2 + (y-2) 2 =1 81 45

a2 b2

5(x 2 +4x+4)+9(y 2 -4y+4) =405 5x2+20x+20 +9y2 -36y+36 =405 405

Ejemplo 13 : Los focos y los vértices de una hipérbola son los puntos: F(5, 0), F’(-5,0),V1(4,0)yV2(-4,0), respectivamente. Determine la ecuación de la hipérbola. Dibujar su gráfica e indicar las asíntotas.  

1

5x2+9y2+20x-36y+369 =0

SOLUCIÓN: Como los focos están sobre el eje x, la ecuación de la hipérbola es de la forma: 

En este caso: a = 4; c = 5, de donde  En consecuencia, la ecuación de la hipérbola

es: 

Ahora, 

  

       Luego, las ecuaciones de las asíntotas son las rectas: y, 

Ejemplo 14 : Dada la hipérbola cuya ecuación viene dada por:  Determine: coordenadas de los focos, de los vértices, ecuaciones de las asíntotas. Trazar la gráfica. 

SOLUCIÓN: La ecuación: puede escribirse en

las formas equivalentes: 

La última ecuación corresponde a una hipérbola cuyo eje focal coincide con el eje “y”  En este caso:  Luego,   

Con estos datos, se tiene: F(0, 4),

1

F’(0, -4), V1(0, 3) y V2(0, -3). 

Además de la ecuación:  se deduce que las ecuaciones de las asíntotas

son las rectas de ecuación:  e 

Ejemplo 15 : Una hipérbola cuyo centro es el punto C(2, 3), tiene sus focos sobre la recta y = 3. Además, la distancia entre los focos es 10 unidades y la distancia entre sus vértices es 8 unidades. Trazar la gráfica y determine: coordenadas de los vértices, focos y ecuaciones de las asíntotas.

SOLUCIÓN: Ahora, puesto que los focos están sobre la recta y = 3 (paralela al eje x), la ecuación de la hipérbola pedida tiene la forma: 

Las coordenadas de los focos son:  y; Esto es: F(7, 3) y

F’(-3, 3).

Igualmente, las coordenadas de los vértices son:  y

Esto es, V1(6, 3) y V2(-2, 3). 

Además, de la ecuación:  se deduce

que:  y 

1

son las ecuaciones de las asíntotas.

Ejemplo 16 : Dada la hipérbola, cuya ecuación en su forma general es: 3y2 – x2 + 4x – 6y – 13 = 0. Determine y grafique: centro, focos, vértices y     ecuaciones de las asíntotas. 

SOLUCIÓN: La ecuación general, puede escribirse en las formas equivalentes:

Esta última ecuación corresponde a una hipérbola cuyo centro es el punto C(2, 1) y su eje focal es una recta paralela al eje y que pasa por C(2, 1). En esta caso, x = 2

Además, a2 = 4, b2 = 12. Con lo cual:   

Las coordenadas de los focos son: e  .

Esto es F(2, 5) y F’(2, -3). Igualmente, las coordenadas

de los vértices son: x = 2 e  .

Esto es V1(2, 3) y V2(2, -1). 

Las ecuaciones de las asíntotas son las rectas:  e, 

1

1