UCV. FACULTAD DE INGENIERIA. DEPARTAMENTO DE MATEMATICA APLICADA ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRIA (0250). Sem 2010-1. 1er Parcial

SOLUCION:

Problema 1 2a 2b 3 4a 4b 5 Total Puntuación 4 2 3 3 3 1 4 20

1.- Un editor publica un posible éxito de librería en tres presentaciones distintas: libro de bolsillo, club de lectores y edición de lujo. Cada libro de bolsillo necesita 1 minuto para el cosido y 2 para el pegado. Cada libro el club de lectores necesita 2 minutos para el cosido y 4 para el pegado. Cada libro de edición de lujo requiere 3 minutos para el cosido y 5 para el pegado. Si la planta de cosido está disponible 6 horas diarias y la planta de pegado 11 horas, ¿cuántos libros de cada presentación se pueden producir por día de modo que las plantas se aprovechen a toda su capacidad y la cantidad de libros de club de lectores sea la mitad de la cantidad de libros de bolsillo?

Al plantear el sistema de ecuaciones lineales tenemos:

lujo de edición de libros de unidades:

lectores de club de libros de unidades:

bolsillo de libros de unidades:

3

2

1

x

x

x

=−

=++

=++

02

660542

36032

21

321

321

xx

xxx

xxx

Así la matriz aumentada asociada al sistema de ecuaciones lineales es:

−−

−−− →

−−−

−− →

−

↔−+→−+→

60:100

360:340

360:321

360:340

60:100

360:321

0:021

660:542

360:32132133

122)1()2(

ffffffff

Al aplicar sustitución hacia atrás obtenemos:

90)60(3)45(2360454

)60(336060 123 =−−=⇒=

−=⇒= xxx

2.- Considere la matriz

−=

32

11A .

a) Plantee un sistema de ecuaciones lineales que permita encontrar todas las matrices

=

wz

yxB

tales que el producto AB sea una matriz antisimétrica. Recuerde que una matriz cuadrada C es

antisimétrica si tCC −= .

Se tiene que

++

+−+−=

−=

wyzx

wyzx

wz

yxAB

323232

11 y como este producto es una matriz antisimétrica,

resulta que

++−

++−−=

++

+−+−

wywy

zxzx

wyzx

wyzx

32

32

3232. Luego, el sistema buscado corresponde a

−−=+

−=+

−−=+−

−=+−

wywy

wyzx

zxwy

zxzx

3232

32

32, lo cual se reduce a

=+

=++−

=+−

064

032

022

wy

wzyx

zx

b) Resuelva el sistema planteado en el apartado a) y escriba la expresión para la matriz B .

−

−

6040

1312

0202

→

→

−→

33

11

4

12

1

ff

ff

−

−

23010

1312

0101

→−→ 122 2fff

−

−

23010

1510

0101

→+→ 233 fff

−

−

25500

1510

0101

→

→

−→

33

22

5

1ff

ff

−−

−

21100

1510

0101

→+→

+→

322

311

5fff

fff

211002

3010

21001

Luego, el sistema tiene infinitas soluciones y el conjunto solución viene dado por

=

−=

−=

−=

tw

tz

ty

tx

2

12

32

1

ℜ∈t . La matriz B tiene la forma

−

−−=

tt

ttB

2

12

3

2

1

3.- Sean BA, y C las matrices definidas mediante:

−−−

−−=

sss

tttA

3

5

3

1

3

4

3

13

5

3

1

3

4

3

2

, donde ℜ∈st, ;

−

=

23

21

11

B y

−=

31

13C .

Calcule el determinante del producto ABC .

( ) ( ) ( )CABABC detdetdet = . Calculemos el producto de matrices AB :

−−−

−−

sss

ttt

3

5

3

1

3

4

3

13

5

3

1

3

4

3

2

−

23

21

11

+−+++−+−−

+−++−+−+−=

ssssss

tttttt

23

10

3

2

3

4

3

13

3

5

3

1

3

4

3

1

23

10

3

2

3

4

3

23

3

5

3

1

3

4

3

2

=

10

01

Ahora, ( ) 1det =AB y ( ) 4det =C . Por lo tanto ( ) 441det =⋅=ABC

4.- Considere la matriz .,,

100

10

01

ℜ∈

= bab

a

A

a) Encuentre la matriz de los cofactores de .A

Los cofactores de A son:

( ) 110

11

2

11 =−=b

A , ( ) 010

01

3

12 =−=b

A , ( ) 000

101

4

13 =−=A

( ) aa

A −=−=10

01

3

21 , ( ) 110

011

4

22 =−=A , ( ) 000

11

5

23 =−=a

A

( ) abb

aA =−=

1

01

4

31 , ( ) bb

A −=−=0

011

5

32 , ( ) .110

11

6

33 =−=a

A

Denotemos por B a la matriz de los cofactores, se tiene que:

−

−=

1

01

001

bab

aB

b) Encuentre la inversa de la matriz A .

Calculemos la inversa mediante la formula ( )AadjA

A11 =− . En nuestro caso se tiene que 1=A y

( )

−

−

==

100

10

1

b

aba

BAadj t . Luego,

−

−

=−

100

10

1

1b

aba

A

5.- Encuentre los valores del parámetro “a” para los cuales el siguiente sistema de ecuaciones lineales

posee soluciones no triviales:

=+++

=+−++

=++−+

=+++−

032

0)10(2

04)9(

032)8(

awzyx

awzayx

awzyax

awzyxa

Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes:

3)7(

)7(000

)7()7(00

)7(1)7(0

)8(32

)1(

132

1)10(2

14)9(

)8(32

)1(

321

)10(21

4)9(1

32)8(

144

133

122

41

aa

a

aa

aa

aa

a

aa

aa

aa

a

aa

aa

aafffffffff

cc

−=

−

−−

−−

−

−−

−

−

−−

−

−

==−←−←−←

↔

Como deseamos tener soluciones no triviales igualamos a cero el determinante:

700)7( 3 ==⇒=− aoaaa

G.D.A.L.