Masarykova univerzitaProdovdeck fakultastav matematiky a statistiky

Diplomov prce

Parciln diferenciln rovnicedruhho du s aplikacemive finann matematice

Anna Vymtalov

Vedouc prce: prof. RNDr. Roman imon Hilscher, DSc.

Brno 2013

Bibliografick zznam

Autor: Bc. Anna VymtalovProdovdeck fakulta, Masarykova univerzitastav matematiky a statistiky

Nzev prce: Parciln diferenciln rovnice druhho dus aplikacemi ve finann matematice

Studijn program: Matematika

Studijn obor: Finann matematika

Vedouc prce: prof. RNDr. Roman imon Hilscher, DSc.

Akademick rok: 2012/2013

Poet stran: 81

Klov slova: parciln diferenciln rovnice druhho du,parabolick rovnice, rovnice veden tepla,Blackv-Scholesv model, oceovn opc, metodakonench diferenc

Bibliografical entry

Author: Bc. Anna VymtalovFaculty of Science, Masaryk UniversityDepartment of Mathematics and Statistics

Title of Thesis: Partial differential equations of second orderwith applications in financial mathematics

DegreeProgramme:

Mathematics

Field of Study: Finance Mathematics

Supervisor: prof. RNDr. Roman imon Hilscher, DSc.

Akademic Year: 2012/2013

Number of Pages: 81

Keywords: partial differential equations of second order, parabolicequation, heat equation, Black-Scholes model, optionvaluation, finite difference method

AbstraktTato diplomov prce se vnuje parcilnm diferencilnm rovnicm druhho

du, obzvlt pak rovnicm parabolickho typu, a jejich aplikacm ve finannmatice. Je zde podrobn odvozena rovnice veden tepla a uvedeno jej een po-moc Fourierovy transformace. Aplikace ve finann matematice reprezentuje mo-del oceovn opc. Nejprve je odvozena Blackova-Scholesova parciln diferencilnrovnice pro cenu evropsk call opce, nsledn je nalezeno jej een pomoc peve-den na rovnici veden tepla. Z numerickch metod byla vybrna metoda konenchdiferenc. Prce tak obsahuje een pklady, a to jak z oblasti teorie parcilnchdiferencilnch rovnic, tak i aplikaci Blackova-Scholesova modelu pi oceovn sku-tench burzovn obchodovanch opc. Na zvr jsou uvedeny monosti rozenprce.

AbstractThis diploma thesis discusses second order partial differential equations, espe-

cially parabolic equations, and their applications in financial mathematics. Heatequation is derived in detail and its solution is found by using Fourier transform.Applications in finance are represented by option pricing model. Black-Scholes par-tial differential equation for European call option is derived and solved via itstransformation to heat equation. Finite difference method is used to show nume-rical valuation. Thesis also contains exercises with their step-by-step solutions forpartial differential equations and Black-Scholes model, including valuation of ex-change traded options. Possible expansion of the thesis is given in conclusion.

PodkovnRda bych podkovala panu prof. RNDr. Romanu imonu Hilscherovi, DSc. za

cenn pipomnky pi zpracovn tto diplomov prce.

ProhlenProhlauji, e jsem svoji diplomovou prci vypracovala samostatn s vyuitm

informanch zdroj, kter jsou v prci citovny.

Brno 13. kvtna 2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Anna Vymtalov

Obsah

vod 9

I Parciln diferenciln rovnice druhho du 10

1 vod do parcilnch diferencilnch rovnic 11

2 Parciln diferenciln rovnice druhho du 142.1 Klasifikace pro funkce dvou promnnch . . . . . . . . . . . . . . . 152.2 Klasifikace pro funkce vce promnnch . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Rovnice veden tepla 223.1 Odvozen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.2 Poten a okrajov podmnky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3 een pomoc Fourierovy transformace . . . . . . . . . . . . . . . . 26

II Aplikace parcilnch diferencilnch rovnic druhhodu ve finann matematice 29

4 vod do Blackova-Scholesova modelu 304.1 Opce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.2 Pedpoklady Blackova-Scholesova modelu . . . . . . . . . . . . . . . 314.3 Stochastick analza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5 Odvozen Blackovy-Scholesovy PDR 345.1 Prstek ceny call opce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.2 Replikujc portfolio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.3 Koncov podmnka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

6 Peveden Blackovy-Scholesovy rovnice na rovnici veden tepla 376.1 Transformace asu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.2 Peveden na rovnici s konstantnmi koeficienty . . . . . . . . . . . 386.3 Normalizace koeficientu u derivace druhho du . . . . . . . . . . . 386.4 Odstrann nadbytench len . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

7 een Blackovy-Scholesovy rovnice 417.1 Poten podmnka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417.2 een . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

7

8 Zvry Blackova-Scholesova modelu 468.1 Parametry modelu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468.2 Interpretace een rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478.3 Vhrady k Blackovu-Scholesovu modelu . . . . . . . . . . . . . . . . 49

9 Numerick metody een PDR pi oceovn opc 519.1 Implicitn metoda konench diferenc . . . . . . . . . . . . . . . . . 529.2 Explicitn metoda konench diferenc . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

III een pklady 56

10 PDR 2. du 57

11 Blackv-Scholesv model 63

Dodatek 76

Literatura 78

Elektronick zdroje 80

Seznam obrzk 81

Seznam tabulek 81

8

vod

Akustika, aerodynamika, penos tepla, meteorologie, optika nebo kvantov me-chanika, to je pouze vbr nkolika odvtv, ve kterch naleznou vyuit parcilndiferenciln rovnice. Od sedmdestch let minulho stolet k nim meme pidati finann matematiku. Prv touto aplikac se mimo jin zabv tato zvrenprce.

Prce je rozdlena do t st. Prvn st se vnuje parcilnm diferencilnmrovnicm druhho du. Jsou zde uvedeny zkladn pojmy tkajc se parcilnchdiferencilnch rovnic, provedena klasifikace rovnic druhho du pro funkce dvoua vce promnnch a podrobn odvozena a eena zstupkyn rovnic parabolickch- rovnice veden tepla.

Druh st sestv z postupnho odvozen, transformace a een tzv. Blackovy-Scholesovy rovnice, proto je na jejm zatku zaveden pojem opce a strun vy-svtleny nkter pojmy stochastick analzy. een Blackovy-Scholesovy rovniceje dle podrobeno dkladn analze vetn uveden nkolika vhrad k jejm ne-dostatkm. Druhou st uzavr podrobn popis implicitn a explicitn metodykonench diferenc.

Tet st pak prakticky procviuje teorii prvnch dvou st. Na eench p-kladech tkajcch se parcilnch diferencilnch rovnic se ukazuje napklad nkolikmetod klasifikace rovnic druhho du a postup pi pevodu vech t typ na kano-nick tvar. V pkladech vnujcch se Blackov-Scholesov modelu je prohloubenateorie, a to odvozenm a eenm rovnice pro put opci a opci na akcii vyplce-jc spojitou dividendu. Na nkolika skutench opcch je pak ukzno oceovnpomoc Blackova-Scholesova modelu, a to i implicitn metodou konench diferenc.

Tato zvren prce si klade za cl srozumiteln popsat parciln diferencilnrovnice druhho du a hlavn ukzat jejich aplikace ve financch, a to i spojenmteorie se skutenm svtem finannch trh. Akoliv usilujeme o ucelen tohotopomrn irokho tmatu, jsou nkter odboky, jako je napklad stabilita nu-merickch metod nebo stochastick analza, pouze naznaeny tak, aby plnostprce nebyla na kor jej plynulosti. Tma proto zcela jist nen pln vyerpan,jak naznauje i Dodatek na zvru prce.

9

st I

Parciln diferenciln rovnicedruhho du

10

Kapitola 1

vod do parcilnchdiferencilnch rovnic

Parciln diferenciln rovnice (PDR) je diferenciln rovnic, v n je neznmoufunkc funkce dvou a vce promnnch. Na rozdl od obyejnch diferencilnchrovnic (ODR) se v PDR vyskytuj parciln derivace. Parciln derivac rozummederivaci funkce vce promnnch podle dan promnn, kde s ostatnmi promn-nmi pi derivaci potme jako s parametry. Parciln derivaci funkce (, ) podlepromnn meme zapsat jako = , smen derivace a derivace vyho dujako =

2 , =

22 apod.

Obdobn jako u obyejnch diferencilnch rovnic rozliujeme homogenitu, li-nearitu a d rovnice.

d rovnice odpovd du nejvy derivace neznm funkce v rovnici. Obecnzpis PDR prvnho du pro funkci dvou promnnch je tvaru

(, ,,,) = 0,

obecn zpis PDR druhho du pro funkci t promnnch je tvaru

(, , ,,,,,,,,,) = 0.

PDR libovolnho du nazvme linern, pokud je linern vi neznm funkci a vi vem derivacm tto funkce v rovnici se vyskytujcm. Zapeme-li PDRpomoc opertoru jako

(, ,,,) = () ,

pak pokud plat (+ ) = () + () a () = () pro vechny funkce, a vechny konstanty , je PDR linern. Linearitu rovnice tedy ztotoujemes linearitou opertoru . Napklad linern PDR prvnho du pro funkci (, , )t promnnch lze zapsat jako

(, , ) + (, , ) + (, , ) + (, , ) = (, , ) ,

kde funkce , , , , jsou funkcemi promnnch , , .Linern parciln diferenciln rovnici nazveme homogenn, pokud je jej prav

strana identicky rovna nule, tedy pokud se v rovnici nevyskytuje sama konstanta

11

KAPITOLA 1. vod do parcilnch diferencilnch rovnic

nebo funkce nezvislch promnnch. Takovou rovnici lze zapsat ve tvaru () =0. V opanm ppad nazveme rovnici nehomogenn, takovou rovnici lze tedy za-psat jako () = , kde = 0 je funkc nezvislch promnnch funkce . Alter-nativn meme jako homogenn rovnici nazvat takovou, jejm eenm je i funkceidenticky rovna nule 0.Vta 1.1. Pokud je PDR linern homogenn a funkce , jsou jejm eenm, pakje eenm i funkce = + , respektive jakkoliv funkce, kter vznikne linernkombinac a , co nazvme jako tzv. princip superpozice.

Dkaz. Pokud 1, 2, . . ., e stejnou linern homogenn rovnici, pak pro tytofunkce plat () = 0 a pro libovoln konstanty () = 0 pro vechna = 1, 2, . . . , . Pak i pro linern kombinaci tchto funkc

= 11 + . . .+ ==1

z definice linernho opertoru plat

() =

(=1

)=

=1

() = 0,

a tedy funkce je eenm stejn PDR.

U Williamse [15] se setkme tak s pojmem kvazilinern PDR, co jsou ne-linern rovnice, ve kterch se vak parciln derivace nejvyho du vyskytujv linern podob, nebo dokonce s pojmem semilinern rovnice, co jsou kvazili-nern rovnice, v nich jsou koeficienty u len s nejvym dem derivace funkcnezvislch promnnch.

Bartk [2] dle rozdluje PDR na stacionrn a evolun. Toto dlen vaknezvis na samotnm tvaru rovnice, ale na jevu, kter popisuj. Stacionrn PDRpopisuj lohy, kter nezvis na ase, evolun PDR popisuj vvoj proces v ase(jedna z nezvislch promnnch funkce je as).

Pochopiteln jako u obyejnch diferencilnch rovnic, i u PDR se memesetkat se systmem PDR nebo s parcilnmi diferencilnmi nerovnicemi.

eenm pslun PDR nazvme takovou funkci , kter spluje PDR. Abymohla bt funkce eenm, mus existovat vechny jej spojit parciln derivace,kter se v rovnici vyskytuj. Obvykle m vak PDR nkolik een, a aby bylo urenoeen rovnice jednoznan, je teba znt dal podmnky, kter spolu s rovniczadvaj lohu. K tmto pat poten a okrajov podmnky nebo navc napkladpopis oblasti, na kter een hledme.

Poten podmnkou nazveme rovnici, kter popisuje stav nebo dj v uritmase (promnn oznaovan zpravidla ). Nejastji se setkme s podmnkou ur-ujc hodnotu nebo tvar funkn hodnoty hledan funkce na potku, tedy pro (, ) me bt poten podmnka napklad tvaru (, 0) = ().

Okrajov podmnka pak udv podmnky na neznmou funkci nebo nkte-rou z jejich parcilnch derivac podle prostorov promnn, kter mus eensplovat v uritm bod nebo na urit oblasti, napklad (0, ) = () nebo (, ) = (). Pro jednu rovnici bv zadno takovch podmnek i vce. Bar-tk [2] nazv okrajov podmnky pro funkci na hranici oblasti (nkdy pouze pod-mnky Laplaceovy rovnice) Dirichletovmi podmnkami. Okrajov podmnky pro

12

KAPITOLA 1. vod do parcilnch diferencilnch rovnic

parciln derivace funkce nazvme Neumannovy, ppadn Newtonovy, pokudse v podmnce krom derivace vyskytuje i funkce (Strauss [12] pouv mstooznaen Newtonova nzev Robinova podmnka). Okrajovou podmnku nazvemehomogenn, pokud je funkce, respektive derivace funkce na zadan oblasti rovnanule.

Obecn je mono omezit i oblast, pro kterou dan podmnka plat, napklad (, 0) = () pro = 0 nebo (0, ) = () pro 0, 1. Nen-li zadno totoomezen, lze brt podmnku jako platnou pro celou oblast, pro kterou m smysl.

Zadn lohy tedy tvo rovnice, poten a okrajov podmnky. Takov lohavak nemus mt een, napklad pokud je v n zadno pli mnoho okrajovchpodmnek, proto ns zajm i samotn existence een. loha me mt nekonenmnoho een, napklad je-li zadno mlo okrajovch podmnek, proto ns tak za-jm, jestli je nalezen een jednoznan. Vhodn poet podmnek pro existenci ajednoznanost een udvaj tzv. podmnky kompatibility. Dalm rozumnm poa-davkem na een PDR je jeho stabilita. Stabilnm eenm zjednoduen rozummetakov een, kter se pi malch zmnch vstupnch hodnot zmn dostatenmlo. Tento pedpoklad vychz z toho, e PDR asto popisuj fyzikln lohy avstupn data jsou zjiovna experimentln menm. Kvli nepesnosti men jepak rozumn pedpokldat, e na stabiln een budou mt chyby v men (malzmna vstupnch hodnot) zanedbateln vliv. Pokud je loha zadna tak, e zaruujeexistenci, jednoznanost i stabilitu een, Bartk [2] ji nazv korektn lohou.

13

Kapitola 2

Parciln diferenciln rovnicedruhho du

Linern parciln rovnice druhho du meme rozdlit do zkladnch t ka-tegori na eliptick, parabolick a hyperbolick.

Obecn zpis linern PDR druhho du s konstantnmi koeficienty pro funkci dvou promnnch je tvaru

11 + 22 + 212 + 1 + 2 + 0 = 0, (2.1)

kde 0, 1, . . . , 22 jsou reln koeficienty dan rovnice.Bez jmy na obecnosti pro zjednoduen pedpokldejme, e v rovnici (2.1) jsou

koeficienty u len se smenmi derivacemi vynsobeny dvma, nebo = ,tedy = 212 = 12 + 21. Koeficienty ped derivac druhho dumeme zapsat do tvercov matice 2 2 jako(

11 1212 22

).

Obdobnou matici koeficient derivac druhho du meme sestavit i pro rov-nici s neznmou funkc t a vce promnnch. Pomoc tto matice lze jednoznanurit, o kter ze t typ rovnic se jedn, jak ukazuj vty 2.1, 2.2 a 2.3 pro funkcedvou promnnch. Pslunost do dan tdy tedy uruj hodnoty koeficient u de-rivac druhho du. Rozdlen PDR druhho du do td je dleit, nebo sejednotliv typy vyznauj specifickm chovnm.

PDR pro funkci dvou promnnch pipomn tvar rovnice pslun kuelo-seky, jak ukazuj nsledujc pklady. Laplaceova rovnice (2.2) (v nehomogennmtvaru nazvan t Poissonova), kter je zstupcem eliptickch rovnic, pipomnanalytick zpis dvourozmrn elipsy. Rovnice veden tepla (2.3) jako zstupce pa-rabolickch rovnic obdobn pipomn zpis paraboly a vlnov rovnice (2.4), kterse ad mezi PDR hyperbolickho typu, pipomn analytick zpis hyperboly:

2

2+2

2= 0, (2.2)

2

2

= 0, (2.3)

14

KAPITOLA 2. Parciln diferenciln rovnice druhho du

2

2

2

2= 0. (2.4)

Ve uveden PDR jsou reprezentanty svch td a v literatue se vlastnostipslunch td ukazuj pmo na tchto rovnicch, nebo s sebou nesou een uri-tho fyziklnho problmu. U zpisu vlnov rovnice a rovnice veden tepla jsou jakopromnn neznm funkce uvdny jako prostorov a jako asov promnn.

2.1 Klasifikace pro funkce dvou promnnchPi urovn typu PDR druhho du funkce dvou promnnch se setkme

s pojmy determinant a diskriminant dle zpsobu zpisu rovnice. Znamnko deter-minantu, respektive diskriminantu jednoznan zaad PDR druhho du funkcedvou promnnch do jedn ze t skupin. Determinantem rozumme determinantmatice pslun PDR tvaru (2.1). Kladn determinant maj rovnice eliptick, z-porn rovnice hyperbolick a nulov rovnice parabolick. Pokud rovnici zapemebez dlen koeficientu u smen derivace do tvaru

+ + + + + = 0, (2.5)

kde , , , , a jsou bu reln konstanty (rovnici (2.5) pak nazveme rovnics konstantnmi koeficienty), anebo funkce nezvislch promnnch , , pak posu-zujeme typ PDR podle diskriminantu = 2 4. V literatue ([8], [12]) se piklasifikaci funkc dvou promnnch pouv tvar (2.1), a o determinantu matice1122 212 se hovo jako o diskriminantu pravdpodobn proto, aby byla zacho-vna konzistence i pi urovn typu PDR funkce vce promnnch. Nicmn pojemdiskriminant bv zait spe ve tvaru 2 4, se kterm se setkme pi hlednkoen polynomu 2 + + = 0. Stejn tak je pirozenj nahradit koeficientyu derivac jednm psmenem, ne jej u smen derivace dlit dvma. Proto pojemkanonick tvar a samotnou korektn klasifikaci rovnic zavedeme pro funkci tvaru(2.5), nicmn obdobn vsledky a dkaz lze jednodue pevst i na funkce tvaru(2.1), viz Kersal [8].

Pokud jsou koeficienty rovnice (2.5) reln sla, je znamnko diskriminantudno jednoznan. Pokud by se nejednalo o rovnici s konstantnmi koeficienty, alerovnice by byla stle linern - tedy koeficienty tvo funkce promnnch a - neboby byla tato rovnice semilinern - a tedy , , jsou funkcemi pouze a , ale , a mohou bt i funkc - meme vyetit oblasti, na kterch je rovnice eliptick,parabolick nebo hyperbolick. Rovnice s nekonstantnmi koeficienty tedy memepro urit hodnoty nezvislch promnnch zaadit i do nkolika td.

Vta 2.1. Pokud pro koeficienty rovnice (2.5) plat 2 4 > 0, jedn se o rovnicihyperbolickou a vhodnou transformac souadnic ji lze pevst na PDR v kanonic-km tvaru

2

+ (,,, , ) = 0, (2.6)

kde (,,, , ) je funkc funkce , funkc derivac prvnho du funkce afunkc promnnch , . Funkce je linern vzhledem ke svm promnnm , a .

15

KAPITOLA 2. Parciln diferenciln rovnice druhho du

Dkaz. Transformujme souadnice (, ) na (, ), kde (, ) a (, ).Pi takov transformaci poadujeme, aby byl Jakobin

= (, ) (, ) =

=

nenulov a konen. Vhodn transformace zaneme hledat vypotenm jednotlivchderivac vyskytujcch se v rovnici (2.5), a to pomoc pravidla pro derivovn sloenfunkce vce promnnch:

=

+

,

=

+

,

2

2=

2

2

(

)2+ 2

2

+2

2

(

)2+

2

2+

2

2,

2

2=

2

2

(

)2+ 2

2

+2

2

(

)2+

2

2+

2

2,

2

=

2

2

+

2

(

+

)+2

2

+

2

+

2

.

Dosazenm do rovnice (2.5) dostaneme

2

2+

2

+

2

2+ (,,, , ) = 0, (2.7)

kde

=

(

)2+

+

(

)2,

=2

+

(

+

)+ 2

,

=

(

)2+

+

(

)2,

a (,,, , ) je funkce linern vzhledem ke svm promnnm , a .A nebo pro diskriminant takov rovnice plat

(2 4

)=(2 4

)2,

piem = 0, transformace souadnic nem vliv na typ PDR, nebo nemnznamnko diskriminantu. Pokud vhodn zvolme a , meme rovnici zjednoduita eliminovat nkter z koeficient , , nebo , a tedy pevst rovnici na kanonicktvar. Nejdve pro zjednoduen zpisu ozname

=//

, =//

,

pak koeficienty rovnice jsou

=(2 + +

)(

)2,

= (2 + ( +) + 2)

,

=(2 + +

)(

)2.

16

KAPITOLA 2. Parciln diferenciln rovnice druhho du

Protoe chceme rovnici (2.7) pevst do tvaru (2.6), poadujeme proto = 0a = 0. Pak pro = 0 eme kvadratickou rovnici 2 + + = 0, kter mkoeny

=2 4

2 ,

obdobn plat pro nulovost koeficientu

=2 4

2 .

Jeliko je diskriminant 2 4 nenulov, pak meme zvolit u een s opa-nm znamnkem u odmocniny z diskriminantu, tedy napklad volba

=2 4

2 =//

,

=+2 4

2 =//

,

zaru nulov i . Pi takov volb plat = a + = , a protomeme urit posledn zejm nenulov koeficient

=

(4

2

)

.

Protoe je diskriminant 2 4 kladn, pak , , a jsou reln. Paktedy hledme takov (, ) a (, ), pro kter plat

//

=2 4

2 ,//

=+2 4

2 .

Polome-li a rovno konstant, pak plat

d =

d+

d = 0,

a protodd =

//

=+

2 42

a obdobn pro dd =

//

=2 4

2 .

Tedy (, ) a (, ) rovny konstant jsou proto eenm diferenciln rovnice

dd =

(, )2 (, ) 4 (, ) (, )

2 (, ) ,

kter se nazv charakteristickou rovnic. Pokud tedy transformujeme promnnfunkce na a tmto zpsobem, vsledn rovnice je tvaru

2

+ (,,, , ) = 0.

17

KAPITOLA 2. Parciln diferenciln rovnice druhho du

Pokud by napklad , a byly konstanty nezvisl na a , pak je eenODR

d = 2 42 d,

= 2 4

2 + , R,a proto je vhodnou transformac souadnic hyperbolick rovnice s konstantnmikoeficienty

= +2 42 ,

= 2 42 .

Vta 2.2. Pokud pro koeficienty rovnice (2.5) plat 2 4 = 0, jedn se o rovniciparabolickou a vhodnou transformac souadnic ji lze pevst na PDR v kanonickmtvaru

2

2+ (,,, , ) = 0, (2.8)

kde (,,, , ) je funkc funkce , funkc derivac prvnho du funkce afunkc promnnch , . Funkce je linern vzhledem ke svm promnnm , a .Dkaz. Vychzejme z vsledk a znaen dkazu pedchoz vty. Jeliko je diskri-minant 2 4 nulov, pak meme jako nulov zvolit pouze , nebo pouze ,nebo kvadratick rovnice 2 + + = 0 m jen jedno dvojnsobn een.Pro uveden kanonick tvar (2.8) je volba = 0 v rovnici (2.7), nicmn stejntak meme rovnici pevst i na tvar

22 + (,,) = 0 volbou = 0. Pro

nulovost koeficientu mus platit

= 2 =//

,

piem zvolme libovoln jin tak, aby nebylo zvisl na . V takovm ppadbude pi dosazen posledn koeficient roven

=

(2

2

2

)

,

a jeliko 2 4 = 2(2 22

), pak i = 0. Charakteristick rovnice je

v tomto ppad pro tvarudd =

(, )2 (, ) .

Rovnice v takovch promnnch a je tedy tvaru2

2+ (,,, , ) = 0.

Pokud jsou , konstanty, pak je vhodnou transformac parabolick rovnice s kon-stantnmi koeficienty = 2 .

18

KAPITOLA 2. Parciln diferenciln rovnice druhho du

Vta 2.3. Pokud pro koeficienty rovnice (2.5) plat 2 4 < 0, jedn se o rovnicieliptickou a vhodnou transformac souadnic ji lze pevst na PDR v kanonickmtvaru

2

2+

2

2+ (,,,, ) = 0, (2.9)

kde (,,,, ) je je funkc funkce , funkc derivac prvnho du funkce a funkc promnnch , . Funkce je linern vzhledem ke svm promnnm , a .

Dkaz. Opt vyuijme vsledk a znaen dkaz pedchozch dvou vt. Nejdvetransformujeme promnn a na a . V takovm ppad bychom podle (2.9)potebovali odstranit koeficient , nicmn ten zvis na i . Proto odstranmeleny a , a provedeme dal transformaci, pro ni bude platit

2

=

2

2+

2

2.

Jeliko je determinant 2 4 zporn, je transformace sloitj, nebo kvad-ratick rovnice 2 + + = 0 a 2 + + = 0 maj iracionln koeny

=

(4 2)2 , =

(4 2)2 .

Jako u hyperbolick rovnice zvolme napklad

= 4 2

2 =//

,

=+ 4 2

2 =//

,

a tm odstranme koeficienty i . Aby i transformace byly reln, dal trans-formaci promnnch (, ) na (, ) provedeme tak, e = + a = ( ).Dle pravidla pro derivaci sloen funkce vce promnnch pro tuto transformacivskutku plat

2

=

2

2+

2

2,

a proto tato transformace pevede eliptickou rovnici na tvar (2.9).Pokud by , , byly reln konstanty, pak

= + 4 22 ,

= 4 22 ,

a konen transformace do promnnch a je tvaru

= 2 , =

4 22 .

19

KAPITOLA 2. Parciln diferenciln rovnice druhho du

2.2 Klasifikace pro funkce vce promnnchObdobn meme zapsat PDR druhho du pro funkci promnnch obecn

takto

,=1

2

+

=1

+ 0 = 0. (2.10)

Ozname matici s prvky tvoenmi koeficienty u derivace druhho du, tedy = ()

,=1. Jedn se o symetrickou tvercovou matici, ve kter se na hlavn

diagonle nachzej koeficienty len s dvojnsobnou derivac a na vedlejch di-agonlch koeficienty len se smenou derivac (nebo opt pedpokldme, epokud = , pak = ).

K reln symetrick matici lze najt relnou ortogonln matici tak, e plat = , kde je reln diagonln matice. Dky ortogonalit matice m stejnou hodnost jako matice , piem matice m hodnost rovnu nenulovmprvkm na diagonle. Prvky diagonly matice jsou vlastn sla matice i (viz ik [13]). Ozname + poet kladnch, poet zpornch a 0 poet nulovchvlastnch sel matice . Matici nazveme

pozitivn definitn, je-li + = ,

negativn definitn, je-li = ,

pozitivn semidefinitn, je-li = 0 a 0 > 0,

negativn semidefinitn, je-li + = 0 a 0 > 0,

indefinitn, je-li + + = a > 0, + > 0.

Definice 2.1. Mjme parciln diferenciln rovnici druhho du zapsanou vetvaru (2.10) s pslunou matic koeficient = (),=1. PDR se nazv

eliptick, je-li matice pozitivn nebo negativn definitn,

parabolick, je-li matice semidefinitn,

hyperbolick, je-li matice indefinitn.

Podle definitnosti matice urme, o jak typ rovnice se jedn [12]. Uritmatici psluejc dan PDR je pomrn jednoduch. K nalezen odpovdajcdiagonln matice a tedy i jej signatury lze pout algoritmus spovajc na d-kovch a sloupcovch pravch matice a jednotkov matice stejnch rozmr.Nen pitom poteba, abychom nalezli diagonln matici s vlastnmi sly na dia-gonle a tedy nemus bt nutn ortogonln. Sta nalzt libovolnou diagonlnmatici ( je regulrn), pro kterou plat = , protoe dle Sylvestrova z-kona o setrvanosti je signatura symetrick matice rovna signatue . Vpoetnnronost algoritmu vak s rostoucm potem promnnch funkce v PDR roste.

Tvar samotn rovnice, respektive struktura koeficient u parcilnch derivac,me vybzet k pouit jinch metod. Jednou z nich je vyuit Sylvestrova kritria,kter rozli pozitivn a negativn definitn matice. Podle nj je matice pozitivn de-finitn, jsou-li vechny jej vedouc hlavn minory (respektive hlavn minory) kladn,

20

a negativn definitn, pokud se znamnka vedoucch hlavnch minor stdaj, po-naje zpornm. Semidefinitn matice m vechny hlavn minory nezporn a narozdl od definitn matice nen regulrn [13].

K uren typu rovnice s funkc vce promnnch lze pro zjitn pozitivn defi-nitnosti pout Choleskho rozklad.

Obzvlt pro rovnice, kter lze pmo zapsat jako souet kvadrt, nebo jsoutomuto tvaru blzk, je vhodn pout pro diagonalizaci metodu doplnn na tve-rec. Znamnko koeficient ped kvadrty pak ur signaturu matice, a tedy i typrovnice. A pochopiteln lze urit signaturu (a tedy typ rovnice) pmo nalezenmvlastnch sel.

Jak ukazuje Strauss [12], provedeme-li linern transformaci pvodnch pro-mnnch x = (1,2, . . . ) na x= (1, 2, . . . ) = x, pak m rovnice (2.10)v souadnicch x matici koeficient = , a lze tedy kadou PDR pevsttransformac promnnch na diagonln tvar.

Pi zpisu rovnic druhho du se obzvlt u funkce vce promnnch setkmes Laplaceovm opertorem.

Definice 2.2. Laplacev opertor je opertor definovan pro funkci (, )dvou promnnch jako

= 2

2+2

2,

tedy

= 2

2+

2

2.

Obecn pro funkce promnnch (1, . . . ,) je Laplacev opertor definovnjako

= 2

21+ . . .+

2

2=

=1

2

2.

21

Kapitola 3

Rovnice veden tepla

Rovnice veden tepla je parabolickou PDR, ve kter se setkme s druhou derivacpodle prostorov promnn a prvn derivac podle asov promnn. Rovnice takbv nazvna jako rovnice difze. Kvli tomu, e neznm funkce popisuje prbhjevu zvisl na ase, meme tento typ rovnice zaadit mezi evolun PDR druhhodu. Rovnice je pro neznmou funkci (, ) dvou promnnch tvaru

=

2

2, (3.1)

pro funkci obecn promnnch tvaru

=

=1

2

2,

respektive

= ,

kde je Laplacev opertor vzhledem k prostorovm promnnm 1, . . ., a kde kladn konstanta reprezentuje tepeln vlastnosti prosted (pi popisufyziklnho procesu veden tepla se jedn pmo o souinitel teplotn vodivosti).Rovnice (3.1) popisuje veden tepla v tyi bez zdroj tepla s dokonale tepelnizolovanm pltm. Jedn se o jednodimenzionln homogenn tepelnou rovnici,meme se tedy tak setkat s nehomogenn nebo vcerozmrnou rovnic tepla. Pakfunkce (, ) popisujc teplotu tye v ase a souadnici je eenm pedchozrovnice. Neznmou funkc v rovnici (3.1) me bt i koncentrace difundujc ltky(v homogennm tvaru pi neptomnosti zdroj ltky), piem konstanta pakoznauje souinitel difze.

3.1 OdvozenOdvome homogenn jednodimenzionln rovnici veden tepla. Postupujeme

podle Habermana [5]. Mjme ty umstnou ve smru souadnice s potkemv = 0 a koncem v = . Pedpokldejme, e pl tye je dokonale izolovn, anedochz proto k vmn tepeln energie mezi ty a vnjm prostedm. Teplotatye na souadnici v ase (, ) nezvis na dalch prostorovch souadnicch

22

KAPITOLA 3. Rovnice veden tepla

tye a , (, ) je tedy konstantn pro kolm prez tye v souadnici . Tep-lota me bt odlin pro rzn souadnice , a tedy se me liit i v obou koncchtye. Jeliko teplota zvis i na ase , me se mnit v ase pro kad jeden prez.Takovou ty pak nazvme jednodimenzionln a funkce (, ) se stane eenmpslun parabolick rovnice.

Pedpokldejme dle, e znme mrnou tepelnou kapacitu , co je veliinaudvajc teplo, kter je teba dodat hmotnostn jednotce ltky, aby se jej teplotazvila o jeden stupe. Mrn tepeln kapacita bv tabelovan, nicmn obecnnabv pro jeden materil rznch hodnot pi rznch teplotch, tedy je funkc (, ) a implikovan tedy funkc . Pro mal teplotn interval vak meme pova-ovat () za nezvisl na teplot. Bez jmy na obecnosti pedpokldejme nap-klad, e tepelnou energii mme v Joule, hmotnost v kilogramech a teplotu ve stupnch Celsia. Pak m mrn tepeln kapacita jednotku Jk11.

Pokud je ty po cel sv dlce tvoen pouze jednm materilem (ty je uni-formn), meme povaovat za konstantu.

Rovnici veden tepla odvodme pomoc tepeln energie (tepla) , co je energiepotebn ke zven teploty dan oblasti ltky z referenn teploty (nap. 0 C) najej souasnou teplotu (, ). Vzthneme-li teplo na jednotku hmotnosti , paktoto je rovno souinu teploty a mrn tepeln kapacity = () (, ). Nicmnpro uren tepla nesta () (, ) vynsobit hmotnost, nebo nemus btkonstantn pro celou ty.

Proveme kolm ez ty v souadnicch a + a vyberme tak mal sek tyeky . Pro dostaten mal meme pedpokldat, e je mrn teplo piblinkonstantn. Zaveme tedy hustotu materilu v souadnici jako () = , kdeobjem = , a kde je plocha prezu tye. Pak pro teplo v seku tye epro 0 plat

= () () (, )a jeho asov prstek je

[ () () (, )] .

Tepeln energie mezi a + se dky pedpokladu izolace tye mn v ase jendky tepelnmu toku energie v tomto seku a dky generovan energii uvnit. Pakmra zmny tepeln energie je soutem tepeln energie, kter projde skrz hranice a + za jednotku asu a tepeln energie generovan uvnit hranic a + za jednotku asu. Tepelnou energii prochzejc skrz hranice definujeme pomoctepelnho toku (, ) a generovanou tepelnou energii pomoc tepelnho zdroje (, ).

Tepeln tok (, ) je tepeln energie, kter za as projde plochou ezu tyev souadnici . Tepeln tok (, ) je kladn, pokud teplo prochz ezem ve smrusouadnice , a zporn, pokud prochz proti smru . Tepeln tok musme jetvynsobit plochou prezu, pak je tepeln energie prochzejc mezi a + rovna

(, ) (+ , ).Tepeln zdroj (, ) je tepeln energie generovan za jednotku asu v ob-

jemov jednotce. Pro uren generovan tepeln energie musme zohlednit objem

23

KAPITOLA 3. Rovnice veden tepla

vezu . Generovan energie je pak

(, ) .Plat tedy

[ () () (, )] (, ) (+ , )+ (, ) ,

piem rovnost nastv limitn pro 0. Vydlme rovnici a a nastavmelimitn 0

() () (, )

= lim

0 (, ) (+ , )

+ (, ) .

Z definice parciln derivace tedy plat

() () (, )

=

(, )

+ (, )pro vez s nekonen malou .

Ty nyn rozdlme na ir sek s hranicemi na souadnicch = , = , < . Tento sek lze rozdlit na mnoho mench vez ky se souadnicemihranic [, + ], [+ , + 2], ..., [ 2, ], [ , ] a celkov te-peln energie je pak soutem tepelnch energi v jednotlivch vezech. Pro 0pak meme sest prstky tepeln energie kadho vezu, a tento souet se pakrovn prstku tepeln energie na celm seku tye od do . Protoe se tepelntoky ve vnitnch hranicch tye pokrt, integrlnm soutem plat

() () (, )

d = (, ) (, ) +

(, ) d.Nebo

(, ) (, ) =

(, )

d,

pak pevedenm vech len na levou stranu a vloenm do jednoho integrlu zs-kme

( () ()

(, )

+ (, )

(, )) d = 0.

Piem pro libovoln meze integrlu , je vraz nulov pouze pro nulovintegrand, a plat proto

() () (, )

+ (, )

= . (3.2)

Tato rovnice se ji podob rovnici veden tepla. Pro nahrazen tepelnho tokuvyuijme Fourierovch zkon, shrnutch v rovnici

(, ) = 0 (, )

(3.3)

24

KAPITOLA 3. Rovnice veden tepla

nazvan Fourierv zkon vnitn tepeln vodivosti. Rovnice (3.3) k, e se te-peln tok vyvj proporcionln ke zmn teploty na dlkovou jednotku. Pokudnapklad teplota je vy s rostoucm , pak vme, e tepeln energie proudproti smru souadnice . Koeficient proporcionality tohoto vztahu 0 nazvemetepelnou vodivost. Hodnota 0 m schopnost materilu vst teplo, nabv tedyrznch hodnot pro rzn materily, obecn meme povaovat materily s nim0 za patn tepeln vodie (tedy vhodnj k tepeln izolaci). Tepeln vodivostse pro jeden materil me pi rznch teplotch liit a je tedy funkc . Je-lity navc sloena ve sv dlce z rznch materil, pak zapisujeme (,). Ob-dobn vak (jako u mrn tepeln kapacity ) pedpokldejme pouze zvislost na materilu, a tedy () pro neuniformn ty a 0 pro ty uniformn. ZavedenmFourierova zkona (3.3) do rovnice (3.2) dostaneme rovnici

0

2

2=

pro uniformn ty, nebo pak pedpokldme, e je mrn tepeln kapacita i hustotamaterilu tye konstantou. Pokud navc uvaujeme ty bez tepelnho zdroje, plat

=

2

2, (3.4)

kde = 0 je konstanta nazvan souinitel teplotn vodivosti. Rovnice vedentepla tvaru (3.4) plat pro uniformn jednodimenzionln ty s dokonale izolovanmpltm bez zdroj tepla, ale napklad i pro prosted mezi dvma rovnobnmirovinami udrovanmi na konstantnch teplotch.

Rovnice (3.4) nkdy nese i nzev rovnice difze, kde hledan funkce (, )zna koncentraci ltky, piem k difzi dochz v nepropustn trubici lec optve smru souadnice (jednodimenzionln trubice). Fourierv zkon je pi odvo-zovn nahrazen Nernstovm zkonem a souinitel je nazvn souinitel difze,viz Bartk [2].

3.2 Poten a okrajov podmnkyPi een rovnice vak zpravidla hledme konkrtn teplotu pi zadanch

podmnkch, a chceme tedy jednoznan urit rozloen teploty v cel tyi a v libo-volnm ase. K takov loze pidme k rovnici (3.4) poten a okrajov podmnky.

Vzhledem k tomu, e se v rovnici vyskytuje pouze prvn derivace vzhledemk asov promnn, pak k nalezen een je teba znt jednu poten podmnku.Poten podmnka u rovnice veden tepla obvykle popisuje rozloen teploty v tyiv uritm ase , zpravidla v ase = 0, pomoc znm funkce zvisl na prostoro-vch souadnicch (u jednodimenzionln rovnice pouze na promnn ) jako

(, 0) = () .

Nicmn pouze tato podmnka nen dostaujc k tomu, abychom mohli ped-povdt budouc teplotu v ktermkoliv mst tye. Musme tak vdt, co se djena koncch tye, co v rovnici popisuje druh derivace podle prostorov promnn.Pak tedy okrajov podmnka popisuje stav na hranicch tlesa, v tomto ppad

25

KAPITOLA 3. Rovnice veden tepla

na obou koncch = 0 a = . Mme tedy dv okrajov podmnky, kadou projeden konec tye, jejich typ se me liit. Je pitom mon, e stav na koncch tyezvis na vnjm prosted.

Pro zjednoduen nejprve pedpokldejme, e je vnj prosted znm a totonen nijak ovlivnno ty. Na hranici me bt napklad pedepsna teplota, a tov ppad, e se ty nachz v kapaln lzni, a pro levou hranici tedy plat podmnka

(0, ) = () ,

kde () je teplota lzn v ase .Dle me bt pedepsn tepeln tok (0, ), kter vstupuje do tye hranic, a

okrajov podmnka je tvaru

0 (0)

(0, ) = (0, ) .

Pokud je konec tye tepeln izolovn, pak je tepeln tok nulov a Neumannovaokrajov podmnka se zjednodu na

(0, ) = 0.

Ty me bt umstna v prosted tvoenm kapalinou nebo plynem s odli-nou teplotou, kdy dochz k vmn tepla mezi ty a vnjm prostedm skrzejeho konce. V ppad, e m ty na hranici vy teplotu ne prosted, bude tyzahvat kapalinu nebo plyn v okol tohoto konce a samotn prosted pak nebudemt homogenn teplotu. Pak se ji nejedn o en tepla mezi koncem tye a pro-stedm vedenm, nbr proudnm. Na zklad Newtonova zkona bv pouitanehomogenn Newtonova okrajov podmnka pro hranici = 0 tvaru

0 (0)

(0, ) = [ (0, ) ()] ,

kde je souinitel pestupu tepla, kter se vtinou uruje experimentln, nebozvis na stavu povrchov plochy konce tye, teplot i na okolnm prosted.

Tyto ti typy okrajovch podmnek (teplota na hranici, tepeln tok a Newtonovapodmnka) vak jsou pouze tmi nejjednodumi, se ktermi se pi een rovnicetepla meme setkat. Mezi dal pat napklad podmnky popisujc radiaci nebolohy s volnou hranic.

Pokud uvaujeme tleso velkch rozmr, konkrtn u jednodimenzionln rov-nice nekonenou (anebo alespo dostaten dlouhou) ty, vznam stavu na hra-nicch me bt pi een lohy zanedbateln, a lohu eme pouze rovnic sezadanou poten podmnkou.

3.3 een pomoc Fourierovy transformaceHledejme een homogenn rovnice veden tepla, a to pomoc Fourierovy trans-

formace, nebo tak odhalme fundamentln een vyjden pomoc potencha okrajovch podmnek. Protoe hodnota souinitele teplotn vodivosti zvis na

26

KAPITOLA 3. Rovnice veden tepla

zvolench jednotkch, meme bez jmy na obecnosti pedpokldat, e je = 1.eme tedy rovnici

=

2

2(3.5)

s poten podmnkou udvajc teplotu kadho bodu nekonen tye na potku,tedy (, 0) = ().

Hledme spojitou funkci se spojitmi derivacemi a . Vyuijme pitomFourierovy integrln transformace vzhledem k prostorov promnn .

Fourierovu transformaci () funkce jedn promnn () definujeme jako

F { ()} =

() e d = () .

Fourierova transformace m nkolik vlastnost, kter pozdji vyuijeme. Plat(dkazy viz Kol [9]):

1. derivace: F { ()} = F { ()}

2. zmna mtka: F { (R)} = 1R(R)

3. Gaussova funkce F{

12e

2} = e224. konvoluce: F ( ) = F () F (), piem zna konvoluci funkc

a , kter je definovna vztahem

( ) () =

() ( ) d.

Stejn vlastnosti m i Fourierova transformace funkce dvou promnnch (, ),pokud pi transformaci zachzme s promnnou jako s parametrem, a tedy

F { (, )} =

(, ) e d.

Do rovnice (3.5) nicmn potebujeme dosadit parciln derivace. Proto pro-veme Fourierovu transformaci a . Fourierova transformace je

F

{

}=

e d =

(

(,) e d)

=

F { (,)}

.

Fourierova transformace s vyuitm pravidla pro derivaci odvodme jako

F

{2

2

}= F

{

}= 22F { (,)} = 2F { (,)} .

27

KAPITOLA 3. Rovnice veden tepla

Naposled transformujme poten podmnku F { ()} = ().Dosazenm transformac do rovnice (3.5) tedy zskme ODR

F {}

= 2F {} ,kterou lze eit separac promnnch 1

F {} dF {} =

2d,

lnF {} = 2+, R,F {} = e2, R+.

A protoe F { (0,)} = (), pak = (). Vme, jak vypad Fourierovatransformace funkce , kter je eenm rovnice veden tepla:

F {} = () e2.Hledme funkci, jej Fourierova transformace je tvaru () e2 = () (),

kde () = e2. Vyuitm vlastnosti souinu, respektive konvoluce, platF {} = () () = F { } .

Protoe tedy = a znme a , sta pro zskn een najt vzor Fourie-rovy transformace . Vimnme si, e vykazuje uritou podobnost s Fourierovoutransformac Gaussovy funkce. Hledme tedy takov , pro kter pi zmn mtkaplat

e12(

)

2= e

2,tedy = 12 . Fourierova transformace funkce se rovn Fourierov transformaciGaussovy funkce v bod . Z vlastnosti Fourierovy transformace plat

() = (

)= F { ()} = F { ()} ,

kde je Gaussova funkce. Proto vzor Fourierovy transformace je

(, ) = 12

e()2=

14

e(

2

)2.

eenm je konvoluce poten podmnky () a funkce (, ). Rovnice ve-den tepla (3.5) spolu s poten podmnkou (, 0) = () m een

(, ) = 14

() e

()24 d. (3.6)

Vraz na prav stran se nazv Fourierv-Poissonv integrl a funkce

(, ) = 14

e24 ,

respektive (, ) = 1

4e

24

pro souinitel teplotn vodivosti rzn od 1, kter tvo jdro Fourierova-Poissonovintegrlu se nazv Greenova funkce, zdrojov funkce, funkce okamitho bodovhozdroje nebo t fundamentln een [2].

28

st II

Aplikace parcilnchdiferencilnch rovnic druhhodu ve finann matematice

29

Kapitola 4

vod do Blackova-Scholesovamodelu

Nejastjm pouitm parcilnch diferencilnch rovnic je jist popis fyzikl-nch jev. Pomoc diferenciln rovnice a pslunch okrajovch a potenchpodmnek lze nalzt een mnoha fyziklnch loh. Nicmn parciln diferenci-ln rovnice nalezly uplatnn i v oboru finann matematiky, kdy se staly soustmodelu oceovn opc.

V roce 1973 publikovali Myron Scholes a Fischer Black lnek, kter se stal pr-lomem ve finann matematice. Za zmnku vak stoj, e dn renomovan perio-dikum se jej pvodn neodvaovalo kvli jeho sloitosti zveejnit. A na pmluvuEugena Fammy, zakladatele teorie efektivnch trh, a Mertona Millera, nositeleNobelovy ceny, byl lnek tehdy pouze 32letho Scholese a 35letho Blacka pub-likovn v asopise Journal of Political Economy. Model oceovn opc tedy nesejejich jmno, Blackv-Scholesv. Nicmn model by ml sprvn nst jmno i eko-noma Roberta C. Mertona, kter se Scholesem a Blackem spolupracoval, a rozenmodelu publikoval v samostatnm lnku v tme roce, a to ve vku pouhch 28let. Mertonovi a Scholesovi byla v roce 1997 udlena Nobelova cena za ekonomii, ato prv za pnos v oceovn finannch derivt, mezi n adme i opce. Blackse udlen ceny nedoil [1].

4.1 OpceOpce adme mezi finann derivty, nebo jsou odvozeny od jinch finannch

instrument. Jedn se o tzv. termnov kontrakty, nebo existuje nesoulad meziokamikem nkupu tohoto instrumentu a dobou jeho vypodn. Vyuvaj se jakke spekulativnmu obchodovn, tak pro jitn pozic, kdy si dky opcm me jejkupujc pojistit za uritou stku (opn prmii) maximln budouc ztrtu.

Opce je prvo koupit (kupn/call opce) nebo prodat (prodejn/put opce) pod-kladov aktivum za pedem pevn stanovenou cenu (realizan cenu) ve stanovendob (v ase expirace opce). Lze-li toto prvo uplatnit pouze na konci platnostiopce, jedn se o opci evropskou, pokud kupujc opce me prvo uplatnit kdykolivpo dobu platnosti opce, mluvme o opci americk.

Oproti jinm termnovm derivtm, jako jsou forwardy a futures, u kterchje nkup a prodej podkladovho aktiva kontraktu povinnost obou stran, u opc

30

KAPITOLA 4. vod do Blackova-Scholesova modelu

jej kupujc (v dlouh/long pozici) prvo uplatnit me, ale nemus. Emitent(v krtk/short pozici), kter je prodvajcm opce, vak mus rozhodnut kupuj-cho opce respektovat a pokud kupujc sv prvo uplatn, m povinnost obchods nm za podmnek urench pi emisi opce realizovat. Kupujc opce za toto prvoprodvajcmu plat tzv. opn prmii, kter je cenou opce [1].

A prv uren ceny opce nejen pi emisi, ale kdykoliv po dobu jej platnostie Blackv-Scholesv model. Je zejm, e obecn bude dra opce s del dobouplatnosti, call opce s ni nebo put opce s vy realizan cenou apod. Kterpromnn tedy ovlivuj cenu opce a jak lze odvodit hodnotu, kter zvis na kurzupodkladovho aktiva v budoucnu?

4.2 Pedpoklady Blackova-Scholesova modeluBlackv-Scholesv model pi svm odvozen vychz z nkolika pedpoklad,

z nich mnoh vak v relnm svt nejsou a ani nemohou bt splnny zcela bezvhrad. Nkter z tchto pedpoklad lze uvolnit, jak ukazuj pozdj modely dal-ch autor. Pvodn Blackv-Scholesv model vak pracuje s nsledujcmi ped-poklady:

Ohodnocovna je evropsk call opce, jejm podkladovm aktivem je akcienevyplcejc dividendu (nebo akcie vyplcejc dividendu, ale ne po dobuplatnosti opce).

Neexistuj dn transakn nklady spojen s nkupem a prodejem opc aakci, ani dan.

Neexistuje dn omezen pi nkupu akci nakrtko a tento nen zpoplatnn.

Lze koupit i prodat jakoukoliv st akcie (tedy nap. jej zlomek)

Existuje bezrizikov rokov mra , kter je stejn pro vklad i pjku.

Akcie i opce se obchoduj ve spojitm ase a nabvaj spojitch (nezpornch)hodnot.

S tm souvis i posledn, mon nejkontroverznj pedpoklad, a to

Cena akcie se vyvj podle geometrickho Wienerova procesu a m lognor-mln rozdlen.

4.3 Stochastick analzaPi odvozen rovnice je vyuvno stochastick analzy, a to zejmna kvli ped-

pokladu na chovn podkladovho aktiva opce a vyuit Itova lemmatu. Struntedy uveme dva pojmy stochastick analzy - Wienerv proces a Itovo lemma,podrobnji viz Kol [9].

31

KAPITOLA 4. vod do Blackova-Scholesova modelu

Wienerv proces:

Model pedpokld, e se podkladov akcie chov uritm, stochasticky po-psatelnm zpsobem. Standardn Wienerv proces () meme definovat axi-omaticky, a to jako spojit stochastick proces zanajc v potku, s navzjemnezvislmi prstky (), kter maj normln rozdlen se stedn hodnotou0 a rozptylem . Ze standardnho Wienerova procesu pidnm driftu (mry rstuprocesu) a volatility vznikne zobecnn Wienerv proces

() = + () .

Standardn ani zobecnn Wienerv proces vak nejsou vhodn k popisu cho-vn akcie, nebo mohou nabvat i zpornch hodnot. Proto pro popis chovn cenyakcie vyuijeme geometrickho Wienerova procesu

() = 0e+ (),

kde 0 zna poten hodnotu procesu. Ve vsledku tedy pedpokldme, e kurzakcie sleduje geometrick Wienerv proces splujc stochastickou rovnici

d = d+ d () ,

respektive e relativn prstek ceny akcie se chov jako zobecnn Wienerv pro-ces

d

= d+ d () .

Lze ukzat, e v takovm ppad m lognormln rozdlen se stedn hodnotouln0 +

( 22

) a rozptylem 2.

Wienerv proces a jeho realizace (trajektorie) jsou nhodn, tedy i funkce pou-it na nhodn proces nabv nhodnch hodnot. Jak vypad diferencil takovfunkce, ukazuje prv Itovo lemma.

Itovo lemma:

Itovo lemma je vta o stochastickm diferencilu procesu, kter vznikne pou-itm spojit diferencovateln funkce na Itv proces. Itv proces vznik pouitmItova stochastickho integrlu na Wienerv proces, v diferencilnm tvaru jej lzezapsat jako = d+ d ().

Itovo lemma tedy k, e proces () = (, ()) (kde () je Itv procesa (,) dvakrt spojit diferencovateln funkce) je opt Itv proces se stochas-tickm diferencilem

d () =

d+

d () + 122

2(d ())2 ,

piem d d = d d = 0 a (d )2 = d.Ukame tedy, e proces se stochastickm diferencilem d = d+d ()

je ve skutenosti geometrick Wienerv proces. Zvolme = ln, pak = 1 , = 0 a = 12 , tedy () = ln, a pouijme lemma. Pak

d = 0d+ 1d 122 (d)

2 ,

32

KAPITOLA 4. vod do Blackova-Scholesova modelu

dosazenm za d

d = 1[d+ d ()] 122 [d+ d ()]

2

a pravamid =

( 12

2)d+ d .

Zvrenou integrac a vyuitm normlnho rozdlen prstk Wienerova procesua nahrazenm pak plat

ln = ln0 +( 12

2)+ () ,

a proto = 0e(

12

2)+ ().Itovo lemma meme povaovat za stochastickou analogii Taylorova rozvoje

funkce pro funkci nhodnch promnnch. Ale protoe kvadratick variace=0

[ ( + 1) ()]2

nekonverguje k nule (viz nap. Wilmott [16], str. 77), ale k dlce intervalu, piTaylorov rozvoji nememe zanedbat len druhho du, a proto tedy

d =

d+

d + 122

2(d )2 =

d+

d + 12

2

2d.

33

Kapitola 5

Odvozen Blackovy-ScholesovyPDR

5.1 Prstek ceny call opcePedpokldme tedy, e cena akcie se d procesem se stochastickm dife-

rencilemd = d+ d , (5.1)

kde je standardn Wienerv proces, oekvan ron vnos akcie a ronvolatilita ceny akcie.

Ozname cenu evropsk call opce (, ), jedn se tedy o funkci dvou promn-nch. Aplikujeme na prstek funkce Itovo lemma, tj.

d =

d+

d + 122

2(d)2 .

Prstek ceny akcie d jsme odvodili jako souet sloky s driftem a s volatilitou.Dosame tedy vztah (5.1) do vztahu pro cenu opce a upravme

d =

d+

( d+ d ) + 122

2( d+ d )2 =

=

d+

( d+ d ) + 12

2

222 (d)2 +

+12

222

2(d )2 + 2

2

2dd .

Z vlastnost pro stochastick diferencil v Itov lemmatu upravme vzorec avhodn seskupme leny. Zskme tak rovnici prstku ceny evropsk call opce:

d =(

+

+

12

222

2

)d+

(

)d . (5.2)

5.2 Replikujc portfolioPro sestaven Blackovy-Scholesovy rovnice vyuijeme pedpokladu neexistence

arbitre. Arbitr rozumme obchod, kter je ziskov bez ohledu na to, kter

34

KAPITOLA 5. Odvozen Blackovy-Scholesovy PDR

z trnch scn se realizoval - pi arbitrnm obchod tedy neriskujeme a vdyvydlme. Dal charakteristikou arbitre je (teoreticky) neomezen zisk a to,e je zisku dosaeno s nulovmi vlastnmi prostedky. V bankovnm sektoru bynapklad arbitr mohla nastat, pokud by byly vpjn rokov sazby vy nerokov sazby pro loku s obdobnmi parametry. Pak by stailo vypjit si objemfinannch prostedk za rokovou sazbu , penze uloit na et se sazbou ainkasovat rokov diferencil, tedy realizovat zisk ve vi ( ).

Z akci a opc se pokusme sestavit portfolio nezvisejc na prstcch Wiene-rova procesu. Ozname hodnotu takovho portfolia a sestavme jej z dlouh pozicev jedn evropsk call opci a z krtk pozice v akcie (vyuvme tedy pedpo-klad o monosti krtk pozice a nkupu libovolnch zlomk). Hodnota tohotoportfolia je

=

,

prstek hodnoty portfolia je

d = d

d.

Dosazenm prstku ceny akcie z rovnice (5.1) a prstku ceny opce z rovnice(5.2) dostaneme

d =(

+

+

12

222

2

)d+

+

(

)d

(

)d

(

)d .

pravou pak

d =(

+

12

222

2

)d.

Sestavenm takovho portfolia jsme tedy eliminovali nhodnou sloku d , p-rstek hodnoty takovho portfolia tedy nezvis na vvoji ceny akcie. Za ped-pokladu neexistence arbitre by proto prstek hodnoty takovho portfolia mlbt roven prstku jeho zhodnocen bezrizikovou rokovou mrou . Mlo by tedyplatit

d = d.Dosadme hodnotu portfolia a hodnotu jeho prstku d(

+

12

222

2

)d =

(

)d

a upravenm vrazu dostaneme vztah pro cenu opce

+

12

222

2+

= 0, (5.3)

co je parciln diferenciln rovnice druhho du parabolickho typu, jejm ee-nm je funkce dvou promnnch (, ) cena evropsk call opce. Rovnice (5.3) senazv Blackova-Scholesova.

35

KAPITOLA 5. Odvozen Blackovy-Scholesovy PDR

5.3 Koncov podmnkaProzatm pi odvozovn Blackovy-Scholesovy rovnice nebylo nijak vyuito faktu,

jestli se jedn o put nebo call opci. Je zejm, e tak funkce ceny put opce budezviset na ase a spotov cen podkladovho aktiva se stejnmi vlastnostmi, jakocall opce. Tak lze na tuto funkci pout Itovo lemma a sestrojit pro ni stejnreplikujc portfolio. Meme tedy zapsat stejnou parciln diferenciln rovnici

+

12

222

2+

= 0,

kde (, ) je hledan funkce - cena evropsk put opce.Ceny opce call a opce put se vak li na konci doby platnosti opce - v ase

expirace . Call opce bude mt pro jejho dritele nulovou hodnotu, pokud si budemoci koupit stejn podkladov aktivum na spotovm trhu za ni cenu, ne je cenarealizan. Pokud vak bude spotov cena vy ne realizan, jej majitel svhoprva jist vyuije, opci uplatn a dky tomu uet , co je i cena call opcev ase .

Obdobn bude opce put bezcenn, pokud je v ase expirace mon na trhuprodat aktivum za vy cenu, ne je cena realizan. Pokud vak bude spotovcena vy, ne realizan cena , majitel ji uplatn, a takov opce si v aseexpirace cen stejn, jako svho zisku z tto operace - put opce m pi splatnosticenu .

Oproti rovnici veden tepla a jej poten podmnce - teplot v ase = 0,mme Blackovu-Scholesovu rovnici s koncovou podmnkou, nebo vme, jak se cenaopce chov v ase expirace = . Koncov podmnka pro call opci je proto tvaru

(, ) =0, pro < , , pro .

a obdobn koncov podmnka pro put opci je tvaru

(, ) =0, pro > , , pro .

36

Kapitola 6

Peveden Blackovy-Scholesovyrovnice na rovnici veden tepla

Blackova-Scholesova rovnice (5.3) je parciln diferenciln rovnic druhho duparabolickho typu, lze ji pevst na rovnici veden tepla, jej een znme, tedydo tvaru

=

2

2

vhodnou transformac souadnic, poppad substituc funkce .Peveden bude sestvat z nkolika krok. Jeliko se v Blackov-Scholesov rov-

nici vyskytuje msto poten podmnky tzv. koncov podmnka (znme hodnotuevropsk call opce v ase expirace ) a znamnko ped lenem je kladn, budeprvn transformace obrcenm bhu asu. Dle je nutn rovnici pevst na rovnicis konstantnmi koeficienty, normalizovat koeficient u lenu s derivac druhho dua odstranit pebyten leny. Kvli provedenm transformacm a substituci funkce bude upravena poten podmnka a ureno een Blackovy-Scholesovy rovnice.

6.1 Transformace asuNahradme pvodn asovou promnnou novou promnnou . Pvodn pro-

mnn nabv hodnot v intervalu (0, ), pro obrcen toku asu bude pro novoupromnnou platit ( , 0). Vztah mezi promnnmi je tedy

= . (6.1)Derivace funkce podle asov promnn se vyskytuje pouze v prvnm lenu

rovnice. Z pravidla pro derivaci sloen funkce plat

=

= (1)

,

respektive

=

.

Blackova-Scholesova rovnice je nyn tvaru

+12

222

2+

= 0, (6.2)

37

KAPITOLA 6. Peveden Blackovy-Scholesovy rovnice na rovnici veden tepla

kde neznmou je funkce dvou promnnch (, ).

6.2 Peveden na rovnici s konstantnmi koefici-enty

Blackova-Scholesova rovnice v pvodnm tvaru nen rovnic s konstantnmi koefi-cienty, nebo koeficient u lenu s derivac druhho du je funkce promnn . Kvlitvaru derivace logaritmu se zd bt vhodnou logaritmick transformace funkce pro-mnn . Vztah nov promnn a pvodn promnn je

= e, (6.3)

respektive = ln.Za pomoci pravidla pro derivaci sloen funkce a pravidla pro derivaci souinu

vypoteme prvn a druhou parciln derivaci ceny call opce podle promnn jako

=

=

1,

2

2=

2

2

1

12

=12

(2

2

).

Dosazenm do vzorce (6.2) a krcenm vznikne nsledujc tvar

+12

2(2

2

)+

= 0.

leny se stejnmi derivacemi sloume a rovnici vynsobme mnus jednou. Zs-kme tak linern diferenciln rovnici s konstantnmi koficienty ve tvaru

2

22

2+

(2

2 )

+ = 0 (6.4)

s neznmou funkc (, ). Tato rovnice se svou podobou bl tvaru rovnice ve-den tepla. Li se ji jen v koeficientu ped lenem s druhm dem derivace av nadbytench lenech.

6.3 Normalizace koeficientu u derivace druhhodu

Provedeme dal transformaci asov promnn tak, aby platilo

=

2

2

,

nebo pak se koeficienty prvnch dvou len v rovnici (6.4) rovnaj, a lze tmtokoeficientem dlit. Vhodnou transformac je nov asov promnn , pro ni plat

=2

2 . (6.5)

38

KAPITOLA 6. Peveden Blackovy-Scholesovy rovnice na rovnici veden tepla

Dosazenm do rovnice a vydlenm koeficientem 2

2 zskme rovnici

2

2+(1 2

2

)

+

22 = 0, (6.6)

s neznmou funkc (, ).

6.4 Odstrann nadbytench lenP odstraovn nadbytench len si nevystame s pouhou transformac n-

kter ze souadnic. Musme nahradit celou neznmou funkci (, ) jinou funkc (, ). Pro zjednoduen vpotu proveme substituci koeficientu

=22

. (6.7)

Tato substituce nem dn vliv na parciln derivace funkce, nebo se nejedno substituci zvislou promnnch a nebo funkci . Rovnice (6.6) je tedy vezjednoduenm tvaru

2

2+ (1 )

+ = 0, (6.8)

Kvli podobnosti rovnice (6.8) s Eulerovou rovnic [11] je vhodnou substitucfunkce vynsoben exponenciln funkc se zpornmi exponenty. Zavdme sub-stitun funkci (, ), pro kterou plat

(, ) = (, ) e+,

respektive (, ) = (, ) e.

Spotme nejprve derivace prvnho du. Vztah derivace podle asov promnnpvodn a nov funkce je

=

e e,

derivace podle promnn

=

e e.

Ze vztahu pro derivaci souinu plat pro derivaci druhho du podle promnn vztah

2

2=

2

2e

e

e + 2e

=2

2e 2

e + 2e.

39

KAPITOLA 6. Peveden Blackovy-Scholesovy rovnice na rovnici veden tepla

Jeliko exponencila se vyskytuje ve vech nahrazovanch lenech, pi dosazendo vzorce (6.8) ji vytkneme. Plat

2

2+ 2

2 + (1 )

(

)+ = 0,

piem pro lep pehlednost sloume leny se stejnou derivac

2

2+

(1 + 2)

(+ 2 +

)= 0.

Pro nulovost poslednch dvou len v rovnici mus bt koeficienty a zvolenytak, aby platilo

1 + 2 = 0,+ 2 + = 0.

eme tedy soustavu dvou rovnic, z nich jedna je linern a druh kvadratick,pro dv neznm a a znmou konstantu . eenm jsou koeficienty

= 12 , =

(+ 1)2

4 .

Dosadme-li koeficienty , zptn do substituce, pak funkce je tvaru

(, ) = (, ) exp 1

2 +(+ 1)2

4 .

Ze vztahu (6.7) zptn nahradme a upravme

(, ) = (, ) exp((

2 12

)+

(

2+

12

)2

). (6.9)

een Blackovy-Scholesovy rovnice pro funkci v tomto tvaru lze tedy ji najtjako een pslun rovnice veden tepla

=

2

2(6.10)

s neznmou funkc (, ).

40

Kapitola 7

een Blackovy-Scholesovyrovnice

Pomoc transformace obou promnnch a substituce neznm funkce v ped-choz kapitole jsme pvodn Blackovu-Scholesovu rovnici (5.3) pevedli na rovniciveden tepla, jej een znme. Kvli provedenm transformacm ve funkci je nutntransformovat i novou poten, respektive pvodn koncovou podmnku. Samotneen lze pravami pevst na pomrn jednoduch vztah zvisl na hodnot spo-tov ceny , realizan cen , rozptylu prstk podkladovho aktiva 2 a dobplatnosti opce , respektive asu do splatnosti opce .

7.1 Poten podmnkaPvodn koncovou podmnku ceny opce je teba pevst na poten podmnku

pslun transformovan funkce (, ) .Prvn transformace asov promnn (6.1) obrtila bh asu, a koncovou pod-

mnku tedy pevedla na podmnku poten. Pro transformovanou funkci (, )plat poten podmnka

(, 0) =0, pro < ,0 , pro .

V dal transformaci (6.3) dolo k nahrazen spotov ceny exponencilou e.Pro novou funkci (, ) plat

(, 0) =0, pro e < ,e , pro e .

Druh transformace v asov promnn (6.5) vliv na tvar poten podmnkynem. Dosazenm = 0 do tvaru substituce (6.9) zskme

(, 0) = (, 0) exp((

2 12

)).

Tato substituce uprav poten podmnku do konen podoby

(, 0) =0, e

< ,(e ) exp

((2 12

)), e . (7.1)

41

KAPITOLA 7. een Blackovy-Scholesovy rovnice

7.2 eeneme parciln diferenciln rovnici druhho du parabolickho typu (6.10)

s poten podmnkou (7.1) pro neznmou funkci (, ), a tedy rovnici vedentepla ve tvaru (3.5). Pro lep nzornost opt proveme substituci 2

2 = . eenje podle (3.6) tvaru

(, ) = 14

e

()24 (e )+ e

12 d.

Jeliko je funkce (e )+ nenulov pouze pro e , meze pro zskmelogaritmizac ln. Plat tedy

(, ) = 14

ln(e ) ()

24 +

12 d,

respektive

(, ) = 14

ln(e ) ()

22(1)4 d.

Postupn zptn pevedeme een pro funkci (, ) na een pro funkci (, ). Ze vztahu (6.9) tedy plyne

(, ) = 14

ln(e ) exp

( ()

22(1)4

)d

exp(12 +

(+1)24

) .Jmenovatel nezvis na promnn , proto jm meme vynsobit integrovanou

funkci. Jeliko dle budeme upravovat pouze integrovanou funkci, zapime eenpro zjednoduen jako

(, ) = 14

ln

(e ) () d,

kde

() = exp2 ( 1) ( )2

4 +2 ( 1) 2 (+ 1)2

4

.V prvnm a tetm lenu exponentu vytkneme 1

() = exp2 ( 1) ( ) ( )2 2 (+ 1)2

4

,leny zvisl na doplnme na tverec, tedy

() = exp( ( 1))24 +

2 ( 1)2 ( )2 2 (+ 1)24

.42

KAPITOLA 7. een Blackovy-Scholesovy rovnice

Roznsobenm, soutem a krcenm druhho zlomku v exponentu zskme tvar

() = exp( ( 1))24

.Pro vt pehlednost dalch prav rozdlme vraz na dva integrly a ozname

je 1 a 2

1 =14

ln

e () d,

2 =14

ln

() d,

piem plat (, ) = 1 2.Nejprve upravme prvn integrl. Slouenm exponencilnch funkc v 1 a pe-

vedenm na spolenho jmenovatele zskme tvar

1 =14

ln

exp4 ( + ( 1))2 42

4

d.Roznsobenm len v exponencile

1 =14

ln

exp4 2 + 2 (+ ( 1)) (+ ( 1))2 42

4

d.Sloume leny zvisejc na promnn

1 =14

ln

exp2 ( (+ 1) + ) 2

4 (+ ( 1))2 42

4

da doplnme na tverec

1 =14

ln

exp( ( (+ 1) + ))24 +

+( (+ 1) + )2 (+ ( 1))2 42

4

d.Slouenm a krcenm v promnn zskme tvar

1 =14

ln

exp( ( (+ 1) + ))24

exp () d.Nahrame , a a ze vztah (6.3), (6.5) a (6.7) a upravme

1 =1

22

ln

exp

(

( + 12

2 + ln))2

22

exp (ln) d.43

KAPITOLA 7. een Blackovy-Scholesovy rovnice

Vztah1

22exp

(

( + 12

2 + ln))2

22

popisuje hustotu normlnho rozdlen se stedn hodnotou + 12

2 + ln arozptylem 2 . Nhodnou veliinu majc takov rozloen ozname 1.

Plat tedy1 = (1 > ln) ,

kde (1 > ln) je pravdpodobnost, e nhodn veliina 1 je vt ne logarit-mus realizan ceny opce. Nhodnou veliinu 1 meme standardizovat odetenmstedn hodnoty a vydlenm odmocninou z rozptylu, a proto

1 = 1

( + 12

2 + ln)

>ln 122 ln

=

1 1

( + 12

2 + ln)

ln 122

.Jeliko nhodn veliina m j rozdlen (0, 1), meme pravdpodobnost na-

hradit hodnotou distribun funkce standardizovanho normlnho rozdlen v da-nm bod

1 = [1

(ln 122

)].

Vyuitm vlastnost distribun funkce standardizovanho normlnho rozdlen () = 1 () zpis zjednodume na

1 = (1) ,kde

1 =ln + +

12

2

. (7.2)

Obdobn v 2 provedeme zptnou transformaci , , a

2 =122

ln

exp

[

(ln + 122

)]24

exp ( ) d.Protoe

122

exp

[

(ln + 122

)]222

je hustota normlnho rozdlen nhodn veliiny (ozname 2) se stedn hodnotouln + 122 a rozptylem 2 , lze zapsat

2 = e (2 > ln) = e (1 (2 ln)) .Standardizac nhodn veliiny a vyuitm vlastnosti distribun funkce stan-

dardizovanho normlnho rozdlen pak vyeme druh integrl jako

2 = e (2) ,

44

KAPITOLA 7. een Blackovy-Scholesovy rovnice

kde2 =

ln + 122

. (7.3)

Vztah promnn a pvodn asov promnn je = , kde [0, ], [ , 0]. Pvodn asov promnn tedy vyjadovala dlku asovho seku, pokter opce trv. Oproti tomu nov asov promnn vyjaduje dobu do splatnostiopce. asto se tedy ve vyjden hodnoty opce neprovd zptn transformace dopvodn promnn .

Slouenm obou integrl 1 a 2 urme cenu evropsk call opce (, ) pispotov cenn podkladovho aktiva s volatilitou , pi realizan cen a v ase udvajc as zbvajc do splatnosti opce jako

(, ) = (1)e (2) , (7.4)

kde podle (7.2) a (7.3) je

1 =ln + +

12

2

,

2 = 1 .

45

Kapitola 8

Zvry Blackova-Scholesovamodelu

Ve vzorci pro ocenn opce se nevyskytuje drift , kter popisuje oekvanvnos zvisl na nediverzifikovatelnm riziku a rokov me. Pi ocenn opcetedy nemusme znt pslunho podkladovho aktiva, nicmn musme njakmzpsobem odhalit pt parametr modelu.

8.1 Parametry modeluRealizan cena je libovoln nezporn a je dna pi emisi opce. Call opce

s ni realizan cenou bude mt pi nemnnch ostatnch parametrech vy cenu,emu odpovd i rovnice (7.4). Pro put opci je vztah pesn opan, dra budeopce s vy realizan cenou. Spotovou cenu lze u likvidnch aktiv zjistit jed-nodue, nkdy se vkyvy cen mohou regulovat napklad venmi prmry, kdevhy tvo objem realizovanch obchod. S vy roste i cena call opce, respektivekles cena put opce.

Call opce s delm asem do splatnosti m vy cenu, co lze jednodue ovitznamnkem parametru (o nm ne) nebo tm, e asov hodnota call opce jevdy kladn, protoe zbvajc as do splatnosti pin nejistotu o budoucm vvojispotov ceny. Pro put opci tato mra vak neplat, nebo pokud je velmi nzka nulov a bude tedy spe rst, ne klesat, pak bude opce s delm asem dosplatnosti levnj. as se v Blackov-Scholesov rovnici m v letech (kdy rok m365, respektive 366 dn), akoliv opce mvaj splatnost vtinou men ne rok,nebo se nejastji emituj se splatnost 3, 6, 9 nebo 12 msc. Obchodnch dn sevyuv (nejastji 250 v kalendnm roce) pi odhadech volatility, nebo se zd,e neobchodn dny na ni nemaj vznamn vliv.

Urit volatilitu aktiva je sloitj. Hull [6] uvd, e se pohybuje nejastjiv rozmez 15% a 60% , respektive hodnot mezi 0.15 a 0.6 (jak ukazuj i obrzky11.4 a 11.7 v posledn sti vnujc se eenm pkladm) a je mtkem ne-jistoty o vnosu akcie. Akoliv meme volatilitu odhadnout z historickch dat,v Blackov-Scholesov modelu se pot s oekvanou budouc volatilitou, kter sevak od historick me znan liit. Historick volatilita bv odvozena z dennchcen podkladovho aktiva za stejn dlouh minul obdob, jako je splatnost opce,protoe se volatilita ve skutenosti v ase mn a del asov sek dat tak nezaru

46

KAPITOLA 8. Zvry Blackova-Scholesova modelu

pesnj odhad. Volatilita bv mena spe v obchodnch ne kalendnch dnech.Nejastji se vyuv implikovan volatilita, tedy volatilita, kter se odhadne z jiobchodovanch opc podobnch parametr. Lze tak vyut index volatility, jakoje napklad VIX. Volatilita by dle put-call parity (viz Ambro [1], Hull [6]) mlabt stejn pro put i call opci stejnch parametr, nicmn se nepatrn li dkyspreadu nabdkov a poptvkov ceny opce. Volatilita se tak bude ve skutenostiliit pro opce s rznou dobou splatnosti, a dokonce i pro opce s odlinou realizancenou.

Bezrizikov rokov mra se v praxi odvozuje od rokovch sazeb sttnchdluhopis, a jeliko opce nemvaj splatnost v du nkolika let, vyuvaj se krt-kodob dluhopisy, jako pokladnin poukzky, nebo v USA Treasury bills. Ne vdyje vak mon najt dluhopis s odpovdajc splatnost.

8.2 Interpretace een rovniceLze ukzat (viz Wilmott [16]), e pro

=ln + 122

,

je () pravdpodobnost, e kurz akcie bude za dobu nad kurzem za ped-pokladu, e v ase 0 mla akcie kurz . Akoliv je velmi blzk 2 v Blackov-Scholesov rovnici, tyto hodnoty se rovnaj pouze tehdy, pokud meme bezriziko-vou rokovou mru ztotonit s oekvanm vnosem akcie . Pokud by tedy proakcii platilo = , pak (2) zna pravdpodobnost, e spotov cena akcie nakonci doby splatnosti opce bude vy, ne realizan cena . U call opce je pak (2) pravdpodobnost, e evropsk opce bude uplatnna, u put opce pravdpo-dobnost, e opce uplatnna nebude.

asto se vak pedpokld, e dokonce (1) (2) a e tyto piblinodpovdaj pravdpodobnosti, e call opce bude uplatnna.

Pokud tedy tuto znan zjednoduenou interpretaci pijmeme, pak pro znanvysokou spotovou cenu budou 1 a 2 dostaten velk, aby (1) (2) 1,a pak je tm jist, e opce bude uplatnna. Opan pi nulov spotov cenbude (1) = (2) = 0 a call opci meme povaovat za bezcennou, jelikoztlesuje prvo v budoucnu koupit dnes ji neexistujc podkladov aktivum zanenulovou cenu. Oproti tomu put opce bude mt v takovm ppad cenu vysokou,nebo ztlesuje prvo za as prodat za cenu bezcenn aktivum, proto mv souasnosti hodnotu diskontovan realizan ceny, tedy e .

Dle ns zajm, jak vliv m na cenu opce extrmn hodnota volatility. Nejprvevyhodnome stav 0, tedy pro 1 a 2 plat z (7.2) a (7.3)

lim01 = lim02 = lim0

a tedy

lim0 = lim0

ln + 122

=

pro ln + > 0, nebolie

< , pro ln + < 0, nebolie > .

47

KAPITOLA 8. Zvry Blackova-Scholesova modelu

Protoe pro 1 a 2 plat

lim

() = 1, lim

() = 0, (8.1)

pak pro e < je = e a pro e > je = 0.Pro je limita 1 a 2 rovna

lim1 = lim

(+12)

= ,

lim2 = lim

(12

)

= .

Proto tedy pro vyuitm (8.1) je cena call opce = .Blackv-Scholesv vzorec tak zahrnuje koncovou podmnku, nebo pro 0

plat pro 1 a 2lim01 = lim02 = lim0,

tedy

lim0 = lim0

ln + 122

=

pro ln > 0, neboli < ,

pro ln < 0, neboli > ,

a pak tedy opt vyuitm (8.1) je pro < cena call opce = a pro > je = 0. Pro vychz cena opce stejn, jako u nekonen volatility,tedy = .

Nulov bezrizikov rokov mra zejm nebude mt tak zsadn vliv na 1 a2, jako extrmn hodnoty ostatnch parametr. Dokonce by pi ocenn opce bylomon dosadit rokovou mru zpornou. Zporn bezrizikov rokov mra by zna-menala, e jsou vitel ochotni zaplatit za to, aby mohli bezrizikov uloit svprostedky u dlunka. Takov situace me nastat, a pokud meme pokladninpoukzky povaovat za takka bezrizikovou investici, pak tato situace u nastalapi aukcch Nmeckch krtkodobch dluhopis (tzv. Bubills) v prbhu roku 2012.Poprv se tak stalo v lednov aukci dluhopis se estimsn splatnost, kdy bylydluhopisy vydraeny s vnosem 0.0122%, a pot u vech aukc 6M dluhopisv ervenci a lednu tho roku (v ervenci s vnosem takka 0.05%). Dokonce i9M Bubills a 12M Bubills v aukci doshly vnosu a 0.054% (opt v ervenci).Dluhopisy nmeckho ministerstva financ (tzv. Schatz) s dokonce dvouletou splat-nost se v ervencov aukci prodaly s vnosem 0.06% (viz Auktionsergebnisse2012 [17]). S mrn zpornm vnosem byly vydraeny i 6M Bubills v lednu a dubnu2013 (0.0091% a 0.0002%, viz Auktionsergebnisse 2013 [18]). Nekonen bezri-zikov rokov sazba by znamenala stejnou cenu opce, jako u nekonen volatilitya asu do splatnosti, tedy = .

Poslednm parametrem je realizan cena opce . Call opce s nulovou realizancenou se nazv zero strike call, a jej hodnota je rovna spotov cen = , kurztakov opce tedy opisuje vvoj kurzu podkladovho aktiva. Nespornou vhodouzero strike call je monost vypsat opci na neobchodovateln aktivum, tedy dosh-nout stejnho vvoje jako pi prodej na krtko u akci, u kterch to z njakhodvodu nen mon. S opc jakoby drme akcii nakrtko do doby jej splatnosti,a neplatme roky tomu, kdo nm akcii vypjil. U put opce podobn konstrukt

48

nem smysl, nebo nulov realizan cena vede na nulovou cenu opce. Pro bude call opce bezcenn, reln za bezcennou meme povaovat i opci pro dosta-ten velk kladn rozdl a , akoliv tato opce ve skutenosti njakou minimlnhodnotu m, nicmn je men ne nejmen kotovan jednotka, a takov opce sezpravidla neobchoduj. Oproti tomu put opce bude pi vysok realizan cen do-sahovat vysokch hodnot.

Pipomeme jet, e jsme zatm ovili chovn ceny opce uren Blackovm-Scholesovm modelem pouze pro extrmn hodnoty vech parametr. Je vak ro-zumn se ptt, jak vliv budou mt i mal zmny tchto parametr na cenu opce,co popisuj tzv. greeks, neboli opn charakteristiky. Odvodit jejich hodnotu nennijak obtn, nebo jsou to parciln derivace ceny opce podle nkterho z para-metr, piem ostatn parametry povaujeme za konstantn. Obecn se hodnotygreeks pro put i call mohou liit. Pat mezi n delta = , tedy mra zmnyceny opce, pokud se spotov kurz jejho podkladovho aktiva zmn o jednotku, aplat

=

= (1) , =

= (1) 1.A jak jsme uvedli dve, se asto (myln) povauje za pravdpodobnost toho, ecall opce bude uplatnna, nicmn toto zjednoduen nevede k zas a tak odlinmvsledkm a lze jej pout, ale pouze s vdomm, e neplat tak docela pln. Jeteba si dt obzvlt pozor na interpretaci hodnoty blzkou 0.5 a z malchrozdl delt dvou opc nevyvozovat zvry o pravdpodobnosti jejich uplatnn.

Mezi zkladn opn charakteristiky dle pat theta = , gama = 22 ,

vega = (nkdy nazvna lambda a znaena ) a rh R = . Nkter z nich

meme vidt na obrzcch 11.1 a 11.7 k eenm pklad. Meme se ale setkat is derivacemi vych d a dokonce meme sledovat zvislost jednotlivch opnchcharakteristik na ostatnch parametrech Blackova-Scholesova modelu.

8.3 Vhrady k Blackovu-Scholesovu modeluOvem samotn pedpoklady zkladnho Blackova-Scholesova modelu nebvaj

splnny. Nen prv realistick oekvat, e pi obchodovn nevznikaj dn trans-akn nklady. Prodej na krtko asto bv asov omezen a nese s sebou nkladyobdobn, jako jakkoliv jin pjka.

Investor pochopiteln neme nakoupit jakkoliv (teba i iracionln) poetakci. Akciov kurz se tak nevyvj spojit, nebo kurzy nejsou ktovny v relnchslech, a dochz ke skokovm zmnm. Akcie tak nelze obchodovat kdykoliv,pouze v obchodnch dnech a obchodnch hodinch dan burzy.

Stejn tak nelze oekvat, e (bezrizikov) rokov mra bude stejn jak propjku, tak i loku. Model tak pedpokld, e tuto sazbu znme, a ta e senemn (existuj nicmn modifikace modelu pracujc s promnlivou rokovou m-rou). Otzkou vak zstv, nakolik lze napklad sttn dluhopisy jako mru ttorokov sazby povaovat za skuten bezrizikov. Zkladn model tak pedpokld,e znme volatilitu, a ta se opt v ase nemn.

Samotn pedpoklad na chovn akcie dle geometrickho Wienerova procesus lognormlnm rozdlenm bv asto pedmtem kritiky. Zd se, e skuten roz-dlen m ir chvosty, a velk zmny ceny akcie tak maj ve skutenosti vy

49

KAPITOLA 8. Zvry Blackova-Scholesova modelu

pravdpodobnost, ne jakou jim pisuzuje model. Skuten rozloen tak vyka-zuje spe zpornou ikmost, piem normln rozdlen m kvli symetrii ikmostrovnu nule. Za vhodnou alternativou Wienerova procesu meme povaovat nap-klad Lvyho procesy.

Pi obchodovn s opcemi dochz k tzv. pkovmu efektu, kter tak umoujedoshnout pi pomrn malm objemu investovanch prostedk velkch zisk.Nicmn pka psob na ob strany, a lze tedy pi opnm obchodovn zazname-nat tak vysok ztrty. Spekulativn derivtov obchody tak vedly (a to dokoncei innost pouze jednoho obchodnka) ke krachu nkolika bank a investinch spo-lenost. Uveme napklad hedgeov fond LTMC, v jeho pedstavenstvu byli iScholes a Merton, kter ztratil bhem krtkho obdob v roce 1998 dky vysokpce 4 miliardy dolar [6].

50

Kapitola 9

Numerick metody een PDRpi oceovn opc

Nkter plain-vanilla opce (obyejn opce), jako je napklad americk callopce s dividendou nebo americk put opce, a vtina exotickch opc, pro kterexistuje PDR, nelze eit analyticky a je teba vyut numerickch metod een.

Mezi zkladn numerick metody oceovn opc pat binomick nebo trino-mick stromy, simulace Monte Carlo nebo metoda konench diferenc. Poslednjmenovan metoda numericky e PDR, proto ji dle popeme.

Metodu konench diferenc vyuijeme u tch opc, jejich diferenciln rovniciznme, neznme vak jej een. Metoda spov v nahrazen pvodnch nekonenmalch prstk prstky konenmi a v nslednm een soustavy rovnic. Po-moc tto metody meme eit pvodn PDR (jako napklad rovnice (5.3) procenu call opce), nebo PDR pevedenou transformac souadnic na jednodu tvar(jako je nap. rovnice veden tepla (3.5)). Rozliujeme nkolik typ tto metody,kter se li tm, jak typ diferenn aproximace byl pouit. Nicmn vechny me-tody maj spolen zklad. Ukame postup tto metody pmo pro ocenn americkput opce vypsan na akcii bez dividendy obdobn, jako ukazuje nap. Hull [6].

Cena americk put opce (, ) spluje Blackovu-Scholesovu rovnici v znmmtvaru

+

122

222 +

= . (9.1)

Chceme tuto opci ohodnotit pi emisi, tud znme 0, as expirace a dlepedpokldme, e znme i bezrizikovou rokovou mru a volatilitu prstkpodkladovho aktiva .

Rozdlme nezvisl promnn a na konen poet stejn velkch interval.Dobu trvn opce [0, ] rozdlme na dlk dlky = . Zskme tak

celkem + 1 dlcch bod 0,, 2, . . . , .Spotov cena podkladovho aktiva nen omezena, nebo me po dobu trvn

opce nabt vech nezpornch hodnot [0,). Vhodn tedy urme dostatenvelkou spotovou cenu max, pi n je rozumn pedpokldat, e bude cena opcenulov i v ase emise opce = 0. Interval [0,max] rozdlme na stejnvelkch interval dlky = max s dlcmi body 0,, 2, . . . max, piem zvolme vhodn tak, aby nkter z dlcch bod odpovdal 0.

Meme tak sestavit bodovou mku, kde na svisl ose vyzname dlc bodyspotov ceny a na vodorovn ose dlc body doby trvn opce. Zskme tak celkem

51

KAPITOLA 9. Numerick metody een PDR pi oceovn opc

( + 1) ( + 1) bod mky, pro kter urme cenu opce. Ozname jako , cenuamerick put opce v -tm asovm dlcm bod a pi -tm dlcm bod cenypodkladovho aktiva, co odpovd cen put opce v ase a pi spotov cen. Cenu opce , vyzname do mky do bodu se souadnicemi (, ),kde = 0, 1, . . . , a = 0, 1, . . . , . Pkladem takov mky jsou tabulky 11.1a 11.2, kter jsou soust een pkladu 11.6.

Pak tedy pro (, ) definujme dopednou diferenn aproximaci podle v bod(, ) jako

=

,+1 , ,

zptnou diferenn aproximaci

=

, ,1

a centrln diferenn aproximaci jako prmr dvou pedchozch

=

,+1 ,12 .

Obdobn aproximujme dopedn prvn derivaci podle asu

=

+1, ,

i druhou derivaci podle spotov ceny

2

2=

(,+1,

,,1

)

=,+1 2, + ,1

()2 .

Dle kombinac pouitch diferenc rozliujeme implicitn metodu, kdy je v p-vodn rovnici (9.1) derivace podle spotov ceny nahrazena centrln diferenc aderivace podle asu dopednou diferenc, a explicitn metodu, pouvajc zptndiference pro aproximaci derivace podle asu. Dky sv stabilit je zejm nejas-tji pouvanou metodou konench diferenc Crankova-Nicolsonova metoda, kterje prmrem explicitn a implicitn metody. O stabilit a dalch vlastnostech tchtonumerickch metod viz ern [3].

9.1 Implicitn metoda konench diferencNejprve ukame, jak se e PDR pomoc implicitn metody. Dosadme diference

do pvodn rovnice (9.1)

+1, , +

12

22,+1 2, + ,1

()2 + ,+1 ,1

2 = , .

Pipomeme, e = . Seskupenm podle indexu, krcenm a nsobenmprstkem asu dostaneme rovnici

+1, = ,1 + , + ,+1, (9.2)

52

KAPITOLA 9. Numerick metody een PDR pi oceovn opc

kde

= 1222+ 12,

= 1+ 22+ , = 12

22 12.Vidme, e cenu v ase + 1 lze vyjdit jako linern kombinaci cen v ase .

Pro nkter (krajn) hodnoty a znme hodnotu put opce:V ase expirace = je pi jakkoliv spotov cen hodnota put opce dna

koncovou podmnkou, tedy , = max ( , 0) , pro = 0, 1, . . . , . (9.3)

Pokud spotov cena doshne v libovolnm ase ceny maximln, tedy plat =max, pak je opce bezcenn, tedy

, = 0, pro = 0, 1, . . . , . (9.4)V opanm ppad, tedy pokud je spotov cena rovna 0, je hodnota put opce

rovna opn prmii , nebo v ase u spotov cena neme vce klesnout a putopce m maximln hodnotu a bude jist uplatnna, tedy

,0 = , pro = 0, 1, . . . , . (9.5)Znme tedy hodnoty na tech hranch mky - horn vodorovnou linii tvo dle

(9.4) sam nuly ( = max), doln vodorovnou linii tvo dle (9.5) realizan cena ( = 0) a pravou svislou linii pak body , kde hodnota put opce kless rostoucm od hodnoty pro = 0 a k nule pro = . Pokud tedy v rovnici(9.2) zvolme = 1, pak

, = 1,1 + 1, + 1,+1,kde , = ze vztahu (9.3). Meme tedy pro = 1, 2, ... 1 zapsatcelkem 1 rovnic o 1 neznmch 1,1, ...1,1. Zapime rovnice:

= 11,0 + 11,1 + 11,2 2 = 21,1 21,2 21,3

... ( 2) = 21,1 + 21, + 21,+1 ( 1) = 11,2 + 11,1 + 11,Vzhledem k tomu, e znme 1,0 = v prvn rovnici a 1, = 0 v po-

sledn rovnici, meme zapsat rovnici maticov jako

1 1 0 0 . . . . . . 02 2 2 0

...0 . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . ...

. . . . . . . . . 0... 2 2 20 . . . . . . 0 1 1

1,11,2

...

...

...1,21,1

=

1 2

...

...

... ( 2) ( 1)

.

53

KAPITOLA 9. Numerick metody een PDR pi oceovn opc

Pevod takovto matice na diagonln tvar, a tedy i een soustavy rovnic, vy-aduje mn operac, ne u pln matice. K LU rozkladu je teba pouze 2 ( 1)nsoben, k een rovnice pak dalch 3 ( 1) (viz ern [3]). Nicmn pro na-lezen een je stle poteba eit takovch soustav celkem + 1.

Kadou vypotenou hodnotu 1, dle porovnme s vrazem , apokud plat 1, < , opce bude zejm uplatnna a jej hodnota jepmo , proto v mce touto hodnotou nahradme vypotenou cenu putopce. Znme tedy dal asovou vrstvu, ze kter meme stejnm zpsobem zjistitvrstvu ni a do t doby, kdy zjistme cenu v ase = 0. Pak v prvnm sloupcitabulky vybereme tu cenu , kter odpovd cen opce pi skuten spotov cen0.

9.2 Explicitn metoda konench diferencExplicitn metoda vychz ze stejnch zklad, jako metoda implicitn. Akoliv

m implicitn metoda tu vhodu, e konverguje k een PDR pro a jdouck nule, je tato metoda pomrn vpoetn nron. Explicitn metoda je zjedno-duen pedpokladem, e a

22 jsou stejn na souadnici (, ) a (+ 1, ), co

tedy zjednodu aproximace nsledovn:

=

+1,+1 +1,12 ,

2

2=

+1,+1 2+1, + +1,1()2 .

Aproximace v asov promnn zstv nemnn, tedy dopedn

=

+1, , .

Dosazenm do rovnice (9.1) zskme

+1,, +

12

22+1,+12+1,++1,1

()2 ++1,+1+1,1

2 = , ,

pravami, = +1,1 + +1, + +1,+1,

kde

=12

(22

+ 1),

=1 22+ 1 ,

=12

(22+

+ 1).

Pokud pouijeme pro derivace podle spotov ceny stejn aproximace, jako uimplicitn metody, ale u asov promnn tentokrt zptnou aproximaci, rovnice

54

KAPITOLA 9. Numerick metody een PDR pi oceovn opc

bude tvaru

, 1, +

12

22,+1 2, + ,1

()2 + ,+1 ,1

2 = 1, ,

po pravch1, = ,1 + , + ,+1,

kde opt

=12

(22

+ 1),

=1 22+ 1 ,

=12

(22+

+ 1).

Explicitn metodu tedy od implicitn odliuje pouit zptn, respektive do-pedn diferenn aproximace. V implicitn metod jsme vypotali cenu v ase(+ 1) z cen v ase , hledan +1, byla rovna kombinaci ,1, , a,+1. V explicitn metod vypoteme ceny v ase z ceny v ase ( 1),a tedy pomoc 1, hledme ,1, , a ,+1. Zatmco tedy implicitn me-toda najde jednu hodnotu pomoc t, explicitn metoda najde ti hodnoty pouzeza pomoci jedn, a tak lze vidt uritou vpoetn sporu.

Metoda konench diferenc me vak jen s obtemi eit tzv. path-dependentexotick opce, jejich vplata zvis na vvoji spotov ceny ped splatnost. Protento typ exotickch opc je mon pout napklad metodu konench prvk (vizFoufas [4]).

55

st III

een pklady

56

Kapitola 10

PDR 2. du

Pklad 10.1. Urete d, linearitu a homogenitu parcilnch diferencilnch rovnica) +

33 = 0

b) 12(

)2+ 12

2 + = 0c) =

22 +

+

d) = 12e) 2

2 22 = sin

een. a) Jedn se o tzv. Kortewegovu-de Vriesovu rovnici, kter je PDR tethodu, homogenn a kvazilinern.

b) Jedn se o Hamiltonovu-Jacobiho rovnici pro harmonick osciltor, kter jenelinern nehomogenn rovnic prvnho du.

c) Zadan rovnice je Fokkerova-Planckova rovnice. Jedn se o homogenn line-rn rovnice druhho du.

d) Tato rovnice se nazv Schrdingerova rovnice, kter je nelinern homogennrovnic druhho du. Tato rovnice pipomn rovnici veden tepla s konstantou = 2 , kde =

1.e) Rovnice se nazv sinov Gordonova rovnice, je to nelinern homogenn

rovnice druhho du.

Pklad 10.2. Ukate, e metoda pouit pro kategorizaci PDR druhho dufunkce vce promnnch je pro funkci dvou promnnch ekvivalentn vpotu dis-kriminantu.

een. Pedpokldejme, e obdobn jako v kapitole 2 je rovnice tvaru + + = 0 (zanedbvme leny nich d, nebo ty nemaj vliv na typrovnice). Pak hledme vlastn sla matice soustavy jako een rovnice

det( 2

2

)= 0.

Vlastn sla jsou tedy koeny kvadratick rovnice 2 (+ )(2

4 )= 0,

jej diskriminant je roven = ( )2+ 2. Protoe 0, pak jsou vlastn sla

57

KAPITOLA 10. PDR 2. du

reln (co plat pro vechny symetrick matice). Koeny rovnice jsou

1,2 =+

( )2 + 22

a plat pro n

12 =+ ( )2 2

4 =4 2

4 .

Pokud 4 2 = 0 (diskriminant PDR je nulov), pak nejmn jedno z vlastnchsel je nulov a matice je semidefinitn, tedy PDR je parabolick. Pokud 4 2 >0 (diskriminant PDR je zporn), pak souin vlastnch sel je kladn, tedy jsouob zporn nebo ob kladn. Matice je tedy definitn a PDR je eliptick. Pokud4 2 < 0 (diskriminant je kladn), pak je souin vlastnch sel zporn avlastn sla maj tedy opan znamnka. Matice je tedy indefinitn a PDR jehyperbolick.

Pklad 10.3. Urete typ PDR druhho dua) 2 5 3 + 2 + 4 2 = 0 podle Sylvestrova kritria,b) + 2 + + 2

2 +

2 = 0 nalezenm vlastnch sel,

c) + 2 = 0 diagonalizac symetrick matice,d) diagonalizac symetrick matice rovnice

2

21+2

24+ 2

(2

22+2

23

)+

+ 2(

2

12+

2

13

2

14+

2

23

2

24

2

34

)= 0.

een. a) Matice PDR je tvaru

=

2 1 21 5 12 1 3

,determinanty hlavnch minor jsou pak po ad det (1) = det (2) = 2,

det (1) = det (2) = 2,

det (2) = det( 2 1

1 5)= 9,

det (3) = det

2 1 21 5 12 1 3

= 9.Znamnka se stdaj ponaje zpornm, matice je negativn definitn a zadanrovnice je tedy eliptick.

b) Matice PDR je tvaru

=

1 0 00 2 202 1

.58

KAPITOLA 10. PDR 2. du

Hledme vlastn sla 1, 2 a 3, kter e

det

1 0 00 2 20

2 1

= 0,a tedy jsou koeny polynomu 3 42+ = 0 . Jedno vlastn slo je nulov, tedy1 = 0. Zbyl dv jsou kladn, nebo 1,2 = 42

3

2 > 0. Matice je tedy pozitivnsemidefinitn a rovnice je proto parabolick.

c) Vyuijeme algoritmu pro hledn diagonln matice , pro kterou plat = . Algoritmus spov v provdn stejnch sloupcovch a dkovch pravmatice na diagonln tvar a pouze dkovch nebo pouze sloupcovch pravjednotkov matice. Zapime

(

) 1

12 0 1 0 01

2 0 0 0 1 00 0 2 0 0 1

a proveme prvn diagonalizan pravy. V prav i lev matici piteme k dvojn-sobku druhho dku prvn dek 1

12 0 1 0 0

0 12 0 1 2 00 0 2 0 0 1

.Provedeme odpovdajc sloupcovou pravu pouze pro prvn matici, tedy pitemek dvojnsobku druhho sloupce sloupec prvn 1 0 0 1 0 00 2 0 1 2 0

0 0 2 0 0 1

a tak zskme nalevo diagonln matici a napravo matici . Dle Sylvestrovazkona o setrvanosti odpovdaj znamnka na diagonle signatue matice. Dvvlastn sla matice jsou tedy kladn, jedno zporn. Matice je tedy indefinitna zadan rovnice je hyperbolick. Pokud ns zajm pouze typ rovnice a nikolivmatice , operace na prav matici meme vynechat a sta pracovat pouze s matic.

d) Pslun matice je tvaru1 1 1 11 2 1 11 1 2 11 1 1 1

.Pkladem postupn provdnch operac je postupn odeten prvnho dku asloupce od tvrtho dku a sloupce, od tetho dku a sloupce a od druhhodku a sloupce:

1 1 1 01 2 1 01 1 2 00 0 0 0

1 1 0 01 2 0 00 0 1 00 0 0 0

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 0

.

59

KAPITOLA 10. PDR 2. du

Vsledn regulrn matice m na diagonle jeden nulov a ti kladn prvky.Matice je tedy pozitivn semidefinitn a zadan rovnice je parabolick.

Pklad 10.4. Pevete na kanonick tvara) 2 2 + + 2 2 = 0,b) 3 4 + + 22 = 0,c) 2 + 2 4 = 0.

een. a) Pro zadanou rovnici plat = 2, = 2, = , = 0, rovnice jetedy parabolick pro vechna a . eme ODR

dd =

222 ,

d =

d,

2

2 = + , R.

Mon transformace je tedy napklad = 2

2 + , = , respektive = 2

2 , = . Spotme vechny parciln derivace vyskytujc se v zadn:

2

2=

2

2,

2

2= 2

2

2+ 2

2

+2

2+

,

2

=

2

2+

2

.

Dosame do zadn

22

2 2

(2

2+

2

)+

(2

2

2+2

2

+2

2+

)+22= 0.

Slouenm stejnch parcilnch derivac zskme

2

2

(2 22 + 2

)+

2

2+ (2+ 2)

2

+

+ 2 2 = 0,

2

2+

+ 2 2 = 0.

Vydlenm cel rovnice , dosazenm za neznm a a pravami dostaneme

2

2+

+

4

4 2 22

= 0,

co je dan kanonick tvar.

60

KAPITOLA 10. PDR 2. du

b) Pro zadanou rovnici plat = 3, = 4, = , = 42 > 0, hyperbo-lick rovnice pro vechna a . Pro eme ODR

dd =

4+ 26 ,

d = 13 1

d,

+13 ln =, R,

a proto nastavme transformaci napklad jako = 3+ ln . Pro eme ODR

dd =

4 26 ,

d = 1

d,

+ ln =, R,

a transformaci nastavme napklad jako = + ln . eenm soustavy dvounelinernch rovnic o dvou neznmch plat = 12 ( ), = e

32 12.

Vypotme jednotliv derivace vyskytujc se v zadn:

2

2=

2

212

+ 2 2

12

+2

212

12

12

,

2

2= 9

2

2+ 6

2

+2

2,

2

=

2

23+

2

(1+

3

)+2

21.

Dosazenm do zadn a pravami zskme

4

2

3

3

+ 2e2 = 0.

Rovnici vynsobme mnus jednou a dosadme za a

4

2

+

3

(

+

) 2e()e 12 (3) = 0,

rovnici vydlme 4 a upravme

2

+

34

(

+

) 12

e 12+ 12e 32 1212 (