Parte 3 Dom´ınios principais€¦ · Gonçalves, Projeto Euclides, IMPA, 2000. Nosso objetivo agora é introduzir os conceitos de ideal em anéis co-mutativos com unidade e dom´ınio

Parte 3

Domınios principais

R e f e r e n c i a s

Sobre a aritmetica dos

inteiros: Numeros-Uma

Introducao a Matematica de

Cesar Polcino Milies e Sonia

Pitta Coelho. Editado pela

Editora da Universidade de

Sao Paulo (Edusp), 2000.

Para saber mais sobre aneis

e o domınio principal dos

inteiros: Curso de Algebra,

Volume 1 de Abramo Hefez,

Colecao Matematica

Universitaria, Sociedade

Brasileira de Matematica

(SBM), 1998.

Sobre aneis, extensoes

algebricas de corpos e

grupos: Introducao a

Algebra de Adilson

Goncalves, Projeto Euclides,

IMPA, 2000.

Nosso objetivo agora e introduzir os conceitos de ideal em aneis co-

mutativos com unidade e domınio principal, mostrando que em um domınio

principal vale a fatoracao unica.

Comecamos com a divisibilidade em aneis comutativos com unidade e os

conceitos de maximo divisor comum e mınimo multiplo comum. Mostraremos

a relacao entre ideais e mdc, no contexto dos domınios principais.

Faremos um estudo detalhado das propriedades do domınio dos inteiros,

discutindo a fatoracao unica sob o ponto de vista dos domınios principais.

Abordaremos propriedades aritmeticas do domınio dos inteiros, estu-

daremos congruencias de inteiros, criterios de divisibilidade, analisaremos

alguns tipos de equacoes diofantinas.

Construiremos os aneis Zn dos inteiros modulo n, como anel quociente

de uma relacao de equivalencia no domınio Z.

Finalizaremos com o estudo de homomorfismos e isomorfismos de aneis

comutativos com unidade, mostrando que Z, a menos de isomorfismo, e o

unico domınio bem ordenado.

Instituto de Matematica

83 UFF

M.L.T.Villela

UFF 84

DivisibilidadePARTE 3 - SECAO 1

Divisibilidade

Daqui por diante, consideramos apenas aneis comutativos com unidade.

Definicao 1 (Multiplo ou divisor)

Sejam a, b ∈ A. Dizemos que b e multiplo de a se, e somente se, existe

c ∈ A, tal que b = a · c.

Quando a 6= 0 e b = a · c dizemos que a divide b e escrevemos a | b.

Nesse caso, dizemos que a e um divisor de b.

Exemplo 1

No anel Z × Z temos que (−2, 6) e multiplo de (−1, 2), pois (−2, 6) =

(−1, 2)(2, 3).

Proposicao 1 (Propriedades da divisibilidade)

Seja A um anel comutativo com unidade 1A. Sejam a, b, c, d, b1, . . . , bn ∈ A.

Valem as seguintes propriedades:

(i) Se a 6= 0, entao a | 0 e a | a.

(ii) Se a 6= 0, b 6= 0, a | b e b | c, entao a | c.

(iii) Se a 6= 0, a | (b + c) e a | b, entao a | c.

(iv) se a 6= 0, a | b1, . . . , a | bn, entao a | (b1c1+ · · ·+bncn), para quaisquer

c1, . . . , cn ∈ A.

(v) se u e invertıvel em A, entao u | a, para todo a ∈ A.

Os elementos invertıveis

dividem todos os elementos

de um anel. Para cada

elemento de um anel o

interessante e determinar,

caso existam, os seus

divisores nao-invertıveis.

(vi) Seja A um domınio. Se a 6= 0, c 6= 0, a | b e c | d, entao a · c | b · d.

Demonstracao:

(i) 0 = a · 0 e a 6= 0 =⇒ a | 0;

a = a · 1A e a 6= 0 =⇒ a | a.

(ii) Suponhamos que a | b e b | c. Entao, existem c1, c2 ∈ A tais que

b = a · c1 e c = b · c2. Logo, c = (a · c1) · c2 = a · (c1 · c2), com c1 · c2 ∈ A.

Entao, a | c.

(iii) Se a | (b + c) e a | b, entao existem c1, c2 ∈ A tais que b + c = a · c1 e

b = a · c2. Logo, c = a · c1 − b = a · c1 − a · c2 = a · (c1 − c2). Portanto,

a | c.

(iv) Se a | b1, . . . , a | bn, entao existem d1, . . . , dn ∈ A tais que bj = a · dj

para j = 1, . . . , n e, para quaisquer c1, . . . , cn ∈ A, temos

As igualdades (1) e (2)

seguem, respectivamente,

das propriedades M1 e AM

em A.

n∑

j=1

bj · cj =

n∑

j=1

(a · dj) · cj

(1)=

n∑

j=1

a · (dj · cj)(2)= a ·

(

n∑

j=1

dj · cj

)

,

mostrando que a | (b1 · c1 + · · · + bn · cn).


85 UFF

Divisibilidade

(v) Seja u invertıvel em A. Entao, para todo a ∈ A temos

a = 1A · a = (u · u−1) · a = u · (u−1 · a), com u−1 · a ∈ A.

Logo, u | a.

(vi) Sejam A um domınio e a, c ∈ A nao-nulos. Entao, a·c 6= 0. Suponhamos

Em (1) usamos as

propriedades M1 e M2 da

multiplicacao do domınio A.

que a | b e c | d. Entao, existem c1, c2 ∈ A tais que b = a · c1 e d = c · c2.

Logo, b · d = (a · c1) · (c · c2)(1)= (a · c) · (c1 · c2). Portanto, a · c | b · d. �

Proposicao 2

Sejam A um domınio, a, b ∈ A nao-nulos. Entao, a | b e b | a se, e somente

se, existe um invertıvel u ∈ A tal que b = u · a.

Demonstracao:

(⇐=:) Se b = u·a com u invertıvel em A, entao e claro que a | b e escrevendo

a = u−1 · b, vemos que b | a.

(=⇒:) Suponhamos que a | b e b | a. Entao, existem u, v ∈ A tais que

b = u · a e a = v · b. Logo,

Em (1) usamos M1, em (2),

a Lei do cancelamento num

domınio e em (3), a definicao

de invertıvel.

1A · b = b = u · a = u · (v · b)(1)= (u · v) · b(2)

=⇒ 1A = u · v(3)

=⇒ u, v sao invertıveis em A . �

E muito importante saber quem sao os elementos invertıveis num anel

com unidade. Em exercıcios anteriores, voce ja determinou

A∗ = {a ∈ A ; a e invertıvel em A}.

Exemplo 2

(a) Se A = Z, entao Z∗ = {1, −1}.

(b) Se K e um corpo, entao K∗ = K\{0}.

Em particular, Q∗ = Q\{0}, R∗ = R\{0} e C∗ = C\{0}.

(c) Os invertıveis em Z[i] sao 1, −1, i, −i.

(d) Em R[x], o anel dos polinomios com coeficientes reais, temos R[x]∗

= R∗.

Em K[x], o anel de polinomios com coeficientes no corpo K, temos que

K[x]∗

= K∗ = K\{0}.

Prove, por inducao sobre

n≥ 0, a afirmacao.

(e) Para qualquer n ∈ Z, temos que(

−1 +√

2)n

e invertıvel em Z[√

2].

A proposicao anterior motiva a seguinte definicao.

M.L.T.Villela

UFF 86


Definicao 2 (Associado)

Sejam A um anel comutativo com unidade e a, b ∈ A. Dizemos que a e

associado a b se, e somente se, existe um invertıvel u em A, tal que b = u ·a.

Vamos ver algumas propriedades interessantes do anel dos inteiros.

Corolario 1

Se a, b ∈ Z sao nao-nulos, a | b e b | a, entao b = a ou b = −a.

Demonstracao: Os invertıveis de Z sao 1 e −1, logo b = a ou b = −a. �

Proposicao 3

Sejam a, b ∈ Z com b 6= 0. Se a | b, entao 1 ≤ | a | ≤ | b |.

Demonstracao: Como | a | ≥ 0 e a 6= 0, temos que | a | ≥ 1. Alem disso,

a | b e b 6= 0, entao existe c 6= 0, tal que b = a · c e tambem | c | ≥ 1. Pela

propriedade OM, temos | a | · | c | ≥ | a | ·1 =| a | ≥ 1. Assim,

| b |=| a · c |=| a | · | c | ≥ | a | ≥ 1. �

Definicao 3 (Maximo Divisor Comum)

Sejam a1, . . . , an elementos de um anel A, comutativo com unidade. Dizemos

que d ∈ A e um maximo divisor comum (mdc) de a1, . . . , an se, e somente

se,

(i) d | a1, . . . , d | an, isto e, d e um divisor comum de a1, . . . , an;

(ii) para todo c ∈ A, tal que c | a1, . . . , c | an, temos que c | d.

Proposicao 4

Seja d ∈ A um mdc de a1, . . . , an ∈ A. Entao, d′ e um mdc de a1, . . . , an

se, e somente se, d | d′ e d′ | d.

Demonstracao:

(=⇒:) Suponhamos que d′ e um mdc de a1, . . . , an. Pela propriedade (ii)

do mdc, todo divisor de a1, . . . , an divide d′. Como d e um divisor comum

de a1, . . . , an, entao d | d′. De modo analogo, usando que d e um mdc de

a1, . . . , an e d′ e um divisor comum de a1, . . . , an, obtemos que d′ | d.

(⇐=:) Suponhamos que d e um mdc de a1, . . . , an, d | d′ e d′ | d.

Vamos mostrar as propriedades (i) e (ii) da definicao do mdc para d′.

Como d′ | d e d | a1, . . . , d | an, pelo item (ii) da Proposicao 1, temos

d′ | a1, . . . , d′ | an, mostrando a propriedade (i).


87 UFF

Divisibilidade

Seja c um divisor de a1, . . . , an. Como d e um mdc, pela propriedade

(ii) do mdc, c | d. Entao c | d, d | d′ e, novamente, pelo item (ii) da

Proposicao 1, concluımos que c | d′, mostrando a propriedade (ii). �

Corolario 2

Se A e um domınio, entao dois maximos divisores comuns de a1, . . . , an sao

associados.

Demonstracao: Sejam d e d′ maximos divisores comuns de a1, . . . , an. Pela

Proposicao anterior, d | d′ e d′ | d. Pela Proposicao 2, existe um invertıvel

u ∈ A, tal que d′ = u · d, significando que d e d′ sao associados. �

Observacao: Em Z se d e um mdc, entao −d tambem e um mdc e um deles e

positivo. Denotaremos o maximo divisor comum positivo por mdc(a1, . . . , an).

Para entendermos a origem do nome mdc, note que se c | a1, . . . , c | an,

entao c | mdc(a1, . . . , an). Assim,

c ≤ | c | ≤ mdc(a1, . . . , an)

mostrando que no domınio dos inteiros mdc(a1, . . . , an) e o maior dos divi-

sores comuns de a1, . . . , an.

Exemplo 3

Algumas propriedades interessantes no domınio bem ordenado dos inteiros:

(a) Se a 6= 0, entao mdc(0, a) =| a |.

(b) mdc(0, 0) nao existe.

(c) Se a divide b, entao mdc(a, b) =| a |.

Definicao 4 (Mınimo multiplo comum)

Um elemento m de um anel A, comutativo com unidade, e um mınimo

multiplo comum dos elementos a1, . . . , an em A se, e somente se, valem as

seguintes propriedades:

(i) m e multiplo comum de a1, . . . , an.

(ii) Para todo c ∈ A que e multiplo comum de a1, . . . , an, entao c e multiplo

de m.

De modo analogo ao mdc, temos o seguinte resultado.

Corolario 3

Se A e um domınio, entao dois mınimos multiplos comuns de a1, . . . , an sao

associados.

M.L.T.Villela

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Observacao: Em Z se m e um mmc, entao −m tambem e um mmc e um deles

e nao-negativo. Denotaremos o mınimo multiplo comum nao-negativo por

mmc(a1, . . . , an). Observamos que se para algum j = 1, . . . , n temos aj = 0,

entao mmc(a1, . . . , an) = 0. Reciprocamente, se mmc(a1, . . . , an) = 0, como

Z e um domınio, entao temos aj = 0, para algum j = 1, . . . , n. Suponhamos

que aj 6= 0, para todo j = 1, . . . , n. Nesse caso, m = mmc(a1, . . . , an) > 0 e

se c 6= 0 e multiplo comum de a1, . . . , an, entao existe a 6= 0 tal que c = a·m.

Como | a |≥ 1, pela propriedade OM, temos | c |=| a | · | m | ≥| m |= m,

mostrando que no domınio dos inteiros quando mmc(a1, . . . , an) 6= 0, entao

o mmc e o menor inteiro positivo multiplo comum de a1, . . . , an.

c = a1 · ... · an e multiplo

comum de a1, . . . , an , logo

c e multiplo de m = mmc;

portanto, se m = 0, entao

a1 · ... · an = 0.

Em qualquer anel A, temos

0 = 0 · a, para todo a∈ A.

Temos interesse no mmc

quando mmc 6= 0.

Exemplo 4

Algumas propriedades interessantes no domınio bem ordenado dos inteiros:

(a) Se a ∈ Z, entao mmc(0, a) = 0.

(b) Se a divide b, entao mmc(a, b) =| b |.

Aprenderemos depois a determinar o maximo divisor comum e o menor

multiplo comum de inteiros nao-nulos, a partir da sua fatoracao unica.

Agora voce deve praticar as propriedades elementares da divisibilidade.

Exercıcios

1. Seja A um anel comutativo com unidade.

(a) Mostre que a seguinte relacao binaria e uma relacao de equi-

valencia em A

a e associado a b ⇐⇒ existe invertıvel u ∈ A, tal que b = u · a.

(b) Para cada anel A e elementos a, b ∈ A dados, determine a classe

de equivalencia de a e de b.

i. A = Z, a = 0 e b 6= 0.

ii. A = Z[i], a = 0 e b 6= 0.

iii. A e um corpo, a = 0 e b 6= 0.

iv. A = R[x], a = x e b = 2x−1.

2. Sejam a, b, c elementos de um domınio com a 6= 0 e c 6= 0. Mostre que

a | b se, e somente se, a · c | b · c.

3. Seja n um natural ımpar. Mostre que a soma de n termos consecutivos

de uma progressao aritmetica de numeros inteiros e divisıvel por n.

4. Seja n um natural positivo. Mostre que dados n numeros naturais

consecutivos apenas um deles e divisıvel por n.


89 UFF

Divisibilidade

5. Sejam m e n inteiros ımpares. Mostre que:

(a) 8 | (m2 − n2) (b) 8 | (m4 + n4 − 2)

6. Mostre que para todo numero natural n, 9 divide 10n + 3 · 4n+2 + 5.

7. Seja A um anel comutativo com unidade. Sejam a, b ∈ A e n um

natural. Mostre que:

(a) Para todo n ≥ 2, temos

an − bn = (a − b)(an−1 + an−2 · b + · · ·+ a · bn−2 + bn−1).

(b) Para todo n = 2m + 1, com m ≥ 1, temos

a2m+1+b2m+1 = (a+b)(a2m−a2m−1 ·b+ · · ·−a ·b2m−1 +b2m).

(c) Para todo n = 2m, com m ≥ 1, temos

a2m−b2m = (a+b)(a2m−1−a2m−2 ·b+ · · ·+a ·b2m−2 −b2m−1).

8. Mostre que, para todo numero inteiro positivo n, temos:

(a) 9 | (10n − 1)

(b) 3 | (10n − 7n)

(c) 8 | (32n − 1)

(d) 6 | (52n+1 + 1)

(e) 6 | (52n − 1)

(f) 13 | (92n − 42n)

(g) 53 | (74n − 24n)

(h) 19 | (32n+1 + 44n+2)

(i) 17 | (102n+1 + 72n+1)

9. (a) Mostre que a+bi ∈ Z[i] e invertıvel se, e somente se, a2+b2 = 1.

(b) Mostre que 1 + i, 1 − i, 2 − i e 2 + i nao sao invertıveis em Z[i].

(c) Mostre que 1 + i e 1 − i sao associados em Z[i].

(d) Mostre que 1 + i e 1 − i dividem 2 em Z[i].

(e) Mostre que 2 + i e 2 − i nao sao associados em Z[i]

(f) Mostre que 2 + i e 2 − i dividem 5 em Z[i].

10. Sejam A um domınio e a1, . . . , an ∈ A. Mostre que:

(a) Se m e m′ sao mınimos multiplos comuns de a1, . . . , an, entao m

e m′ sao associados.

(b) Se m e um mınimo multiplo comum de a1, . . . , an e m′ e

associado de m, entao m′ tambem e um mınimo multiplo comum

de a1, . . . , an.

M.L.T.Villela

UFF 90

Ideais e maximo divisor comumPARTE 3 - SECAO 2

Ideais e maximo divisor comum

Veremos agora que o conceito de mdc esta relacionado com o conceito

de ideais de um anel comutativo com unidade. Depois obteremos a fatoracao

unica em domınios de ideais principais.

Definicao 5 (Ideal)

Seja A um anel comutativo com unidade. Um subconjunto nao-vazio I de A

e chamado de ideal se, e somente se,

(i) se a, b ∈ I, entao a + b ∈ I;

(ii) se a ∈ I e x ∈ A, entao a · x ∈ I.

Observacao: Sejam A um anel comutativo com unidade 1A e I um ideal de A.

(a) Como I 6= ∅, entao existe b ∈ I e assim, pela propriedade (ii),

0A = 0A · b ∈ I. Logo, a condicao de I 6= ∅ pode ser substituıda por

0 ∈ I.

Portanto,

I ⊂ A e um ideal de A ⇐⇒

(i) 0 ∈ I

(ii) a, b ∈ I =⇒ a + b ∈ I

(iii) a ∈ A, b ∈ I =⇒ a · b ∈ I

(b) Se I e um ideal de A, da propriedade (iii) acima segue que para todo

b ∈ I temos que −b = (−1A) · b ∈ I.

(c) Da observacao (b) e da propriedade (ii) acima temos que se a, b ∈ I,

entao a − b = a + (−b) ∈ I. �

Exemplo 5

Em qualquer anel comutativo com unidade, {0} e A sao ideais de A.

Exemplo 6

Seja A um anel comutativo com unidade e fixe a ∈ A. Consideremos o

seguinte subconjunto de A

I(a) = {a · x ; x ∈ A}.

Entao, I(a) e um ideal de A, chamado de ideal principal gerado por a.

De fato, vamos verificar as tres propriedades da definicao de ideal.

(i) 0 = a · 0 ∈ I(a).

(ii) Se b, c ∈ I(a), entao existem x, y ∈ A tais que b = a · x e c = a · y, logo


91 UFF


b + c = a · x + a · y = a · (x + y). Como x + y ∈ A, temos que b + c ∈ I(a).

(iii) Seja b ∈ A e c ∈ I(a). Entao, c = a · x para algum x ∈ A e b · c =

b · (a · x) = a · (b · x) ∈ I(a), pois b · x ∈ A.

Usamos, na ultima

igualdade, a associatividade

e a comutatividade da

multiplicacao do anel A.

Agora podemos construir muitos exemplos.

Exemplo 7

No domınio dos inteiros temos:

I(2) = {2 · x ; x ∈ Z} = inteiros pares = 2Z;Verifique que I(2) = I(−2).

I(1) = {1 · x = x ; x ∈ Z} = Z;

I(−1) = {(−1) · x = −x ; x ∈ Z} = Z.

Exemplo 8

Sejam A um anel comutativo com unidade e a, b ∈ A fixados. O conjunto

I(a, b) = {a · x + b · y ; x, y ∈ A}

e um ideal de A chamado de ideal gerado por a e b.

De fato, valem as tres propriedades da definicao de ideal:

(i) 0 = a · 0 + b · 0 ∈ I(a, b).

(ii) Se c, d ∈ I(a, b), entao existem x1, y1, x2, y2 ∈ A tais que c = a·x1+b·y1

e d = a · x2 + b · y2. Logo,

c + d = (a · x1 + b · y1) + (a · x2 + b · y2)

= (a · x1 + a · x2) + (b · y1 + b · y2)

= a · (x1 + x2) + b · (y1 + y2),

onde x1 + x2, y1 + y2 ∈ A. Logo, c + d ∈ I(a, b).

(iii) Se c ∈ I(a, b) e d ∈ A, entao existem x, y ∈ A tais que c = a · x + b · ye c · d = (a · x + b · y) · d = a · (x · d) + b · (y · d) ∈ I(a, b).

Exemplo 9

Sejam A um anel comutativo com unidade e a1, . . . , as ∈ A fixados. O

conjunto

I(a1, . . . , as) = {a1 · x1 + · · · + as · xs ; x1, . . . , xs ∈ A}

e um ideal de A chamado de ideal gerado por a1, . . . , as.

De fato, valem as tres propriedades da definicao de ideal:

(i) 0 = a1 · 0 + · · · + as · 0 ∈ I(a1, . . . , as).

(ii) Se c, d ∈ I(a1, . . . , as), entao existem x1, . . . , xs, y1, . . . , ys ∈ A tais que

c = a1 · x1 + · · · + as · xs e d = a · y1 + · · · + as · ys. Logo,

M.L.T.Villela

UFF 92


c + d = (a1 · x1 + · · ·+ as · xs) + (a1 · y1 + · · · + as · ys)(1)= (a1 · x1 + a1 · y1) + · · · + (as · xs + as · ys)(2)= a · (x1 + y1) + · · ·+ as · (xs + ys),

onde x1 + y1, . . . , xs + ys ∈ A. Logo, c + d ∈ I(a1, . . . , as).

Em (1) usamos a

comutatividade e

associatividade da adicao.

Em (2) usamos a

distributividade da adicao e

multiplicacao.(iii) Se c ∈ I(a1, . . . , as) e d ∈ A, entao existem x1, . . . , xs ∈ A tais que

c = a1 · x1 + · · ·+ as · xs e

c ·d = (a1 ·x1+ · · ·+as ·xs) ·d = a1 ·(x1 ·d)+ · · ·+as ·(xs ·d) ∈ I(a1, . . . , as),

pois xj · d ∈ A, para todo j = 1, . . . , s.

Definicao 6 (Ideal principal)

Seja I ideal de um anel comutativo com unidade. Dizemos que I e principal

se, e somente se, existe a ∈ A tal que I = I(a).

Exemplo 10

Dados 2, 3 ∈ Z, consideremos o ideal de Z gerado por 2 e 3 definido no

Exemplo 8, a saber,

I(2, 3) = {2x + 3y ; x, y ∈ Z}.

Com x = 1 e y = 0 vemos que 2 = 2 · 1 + 3 · 0 ∈ I(2, 3). Analogamente, com

x = 0 e y = 1, temos 3 ∈ I(2, 3).

Portanto, 1 = 3 − 2 = 2 · (−1) + 3 · 1 ∈ I(2, 3). Pela propriedade (iii) de um

ideal, para todo a ∈ Z, temos a = a · 1 ∈ I(2, 3). Logo, Z ⊂ I(2, 3). Como

I(2, 3) ⊂ Z, obtemos que I(2, 3) = Z = I(1) e um ideal principal.

Na verdade, todo ideal de Z e principal, conforme veremos no proximo

Teorema. No entanto, ha aneis que tem ideais que nao sao principais.

Exemplo 11

Seja A = Z[x] o domınio dos polinomios com coeficientes inteiros.

Z[x] = {a0 + a1x + · · ·+ anxn ; aj ∈ Z, j = 0, . . . , n, e n ∈ N}.

Seja I = I(2, x), o ideal gerado por 2 e x.

Afirmamos que I nao e principal.

2 = 2 · 1+x · 0 e

x = 2 · 0+x · 1, com

0,1∈ Z ⊂ Z[x].

Com efeito, suponhamos, por absurdo, que I seja principal. Tomamos

f(x) ∈ Z[x] um gerador de I. Pela definicao de I(2, x), temos que

2 ∈ I e x ∈ I. Como I(2, x) = I(f(x)), entao existem g(x), h(x) ∈ Z[x]

tais que 2 = f(x) · g(x) e x = f(x) · h(x). Pela propriedade do grau, te-

mos: na primeira igualdade grau(f(x)) = grau(g(x)) = 0 e na segunda,

grau(h(x)) = 1. Portanto, f(x) = ±1, g(x) = ±2 e h(x) = ±x. Em qualquer

dos casos, I = I(f(x)) = Z[x], mas isto contradiz o fato de que 1 6∈ I = I(2, x).


93 UFF


Teorema 1

Todo ideal I de Z e principal. Mais ainda, se I e um ideal nao-nulo de Z,

entao I = I(d), onde d = min{x ∈ I ; x > 0}.

Demonstracao: Se I = {0}, e claro que e principal.

Seja I 6= {0} um ideal de Z. Consideremos S = {x ∈ I ; x > 0}.

Afirmamos que S 6= ∅.De fato, existe a ∈ I tal que a 6= 0. Como a e −a estao em I, entao

um deles e positivo e esta em S ⊂ N. Logo, S 6= ∅.Pelo princıpio da boa ordenacao, S tem menor elemento, digamos min S =

d 6= 0.

Lembre que . . .

Se B,C sao conjuntos, entao

B = C ⇐⇒ B⊂ C e C⊂ B.

Afirmamos que I = I(d).

Com efeito, d ∈ S ⊂ I, logo temos que I(d) = {d · x ; x ∈ Z} ⊂ I. Falta

mostrar que I ⊂ I(d). Seja a ∈ I. Pela divisao euclidiana de a por d, existem

q, r ∈ Z, tais que a = q · d + r, com 0 ≤ r < d. Portanto, r = a − q · d ∈ I.

Pela escolha de d, temos que r = 0, assim a = q · d ∈ I(d). �

Definicao 7 (Domınio Principal)

Um domınio e chamado domınio principal se, e somente se, todo ideal e

principal.

Corolario 4

Z e um domınio principal.

Exemplo 12

Outros exemplos de domınios principais sao: K[x], o anel de polinomios com

coeficientes no corpo K, e Z[i], o anel dos inteiros de Gauss.

Exemplo 13

Nao sao domınios principais: Z[x], o anel de polinomios com coeficientes

inteiros e K[x, y], o anel de polinomios em duas variaveis com coeficientes no

corpo K.

O nosso objetivo agora e mostrar a relacao entre ideais e o maximo

divisor comum em um domınio principal.

Vamos, primeiramente, aprender mais algumas propriedades de ideais.

Proposicao 5

Sejam a, b elementos nao-nulos de um anel A comutativo com unidade.

Entao,

I(a) = I(b) se, e somente se, a | b e b | a.

M.L.T.Villela

UFF 94


Demonstracao: Sejam a, b ∈ A nao-nulos.

(=⇒:) Suponhamos que I(a) = I(b).

Como a ∈ I(a) = I(b) e b ∈ I(b) = I(a), entao existem u, v ∈ A, tais

que a = u · b e b = v · a, mostrando que b | a e a | b.

Lembre que . . .

I(a),I(b) sao conjuntos.

Logo,

I(a) = I(b) ⇐⇒ I(a) ⊂ I(b)

e I(b) ⊂ I(a).

(⇐=:) Suponhamos que a | b e b | a. Precisamos mostrar a igualdade dos

ideais I(a) e I(b). Seja x ∈ I(a). Entao, x = y ·a, para algum y ∈ A. Como

b | a, existe u ∈ A tal que a = u · b, assim x = y · (u · b) = (y · u) · b,

mostrando que x ∈ I(b) e logo, I(a) ⊂ I(b). Tomando agora x ∈ I(b),

usando que a | b e procedendo de maneira analoga, mostramos que x ∈ I(a)

e concluımos que I(b) ⊂ I(a). �

Corolario 5

Sejam a, b elementos nao-nulos de um domınio A. Entao, I(a) = I(b) se, e

somente se, a e b sao associados. Em particular, em Z temos I(a) = I(b) se,

e somente se, a = ±b.Segue da Proposicao 2 da

Secao 1.

Proposicao 6

Sejam A um domınio principal e a1, . . . , as ∈ A nem todos nulos. Entao,

existe d ∈ A um maximo divisor comum de a1, . . . , as ∈ A. Mais ainda,

d = x1 · a1 + · · ·+ xs · as, para elementos x1, . . . , xs ∈ A.

Demonstracao: Consideremos o ideal de A gerado por a1, . . . , as. Como A

e um domınio principal, existe d ∈ A tal que I(a1, . . . , as) = I(d). Primei-

ramente, observamos que d 6= 0, pois aj ∈ I(a1, . . . , as) = I(d), para todo

j = 1, . . . , s, e um deles e nao-nulo, logo I(d) 6= {0} e d 6= 0.

Vamos mostrar que d e um mdc de a1, . . . , as.

Obtivemos ao lado que

existem x1,...,xs ∈ A tais

que d =

s∑

j=1

xj · aj.

Como aj ∈ I(a1, . . . , as) = I(d), entao existe λj ∈ A tal que aj = λj ·d.

Assim, d | aj, para j = 1, . . . , s. Seja agora c ∈ A tal que c | a1, . . . ,

c | as. Entao, para cada j = 1, . . . , s existe yj ∈ A tal que aj = yj · c. Como

d ∈ I(a1, . . . , as), existem x1, . . . , xs ∈ A tais que d = x1 · a1 + · · · + xs · as.

Logo,

d =

s∑

j=1

xj · aj =

s∑

j=1

xj · (yj · c) =

s∑

j=1

(xj · yj) · c =

(

s∑

j=1

xj · yj

)

· c,

mostrando que c | d. Portanto, d e um mdc de a1, . . . , as. �

Corolario 6

Dados a1, . . . , as ∈ Z nem todos nulos existe mdc(a1, . . . , as).


95 UFF


Exercıcios

1. Seja A um anel comutativo com unidade. Sejam I e J ideais de A.

(a) Mostre que I ∩ J e um ideal de A.

(b) Mostre que I + J e um ideal de A, onde

I + J = {x + y ; x ∈ I e y ∈ J}.

(c) Mostre que I + J = I se, e somente se, J ⊂ I.

(d) Mostre que I · J e um ideal de A, ondeNa expressao ao lado, n

varia, podendo ter os valores

1, 2, 3, . . .I · J = {x1 ·y1+ · · ·+xn ·yn ; xj ∈ I, yj ∈ J, j = 1, . . . , n, e n ≥ 1}.

2. Sejam 24, 30, 20 ∈ Z. Determine:

(a) I(24, 30)

(b) I(24) ∩ I(30)

(c) I(24) · I(30)

(d) I(20, 30)

(e) I(20) ∩ I(30)

(f) I(20) · I(30)

(g) I(20) + I(24)

(h) I(20) ∩ I(24)

(i) I(20) · I(24)

3. Vamos generalizar o exercıcio anterior. Sejam a, b ∈ Z nao-nulos.

Mostre que:

(a) I(a, b) = I(d), onde d = mdc(a, b).

(b) I(a, b) = I(a) + I(b).

(c) I(a) ∩ I(b) = I(m), onde m = mmc(a, b).

(d) I(a · b) = I(a) · I(b).

4. Sejam a1, . . . , as ∈ Z. Mostre que I(a1, . . . , as) = I(a1) + · · · + I(as).

5. Sejam A um anel comutativo com unidade e I um ideal de A.

Mostre que I = A se, e somente se, existe invertıvel u ∈ A tal que

u ∈ I.

6. Seja A um anel comutativo com unidade.

Mostre que A e um corpo se, e somente se, seus unicos ideais sao {0} e

A.

7. Seja A um anel comutativo com unidade e sejam a1, . . . , as ∈ A nem

todos nulos, tais que I(a1, . . . , as) = I(d). Mostre que d e um mdc de

a1, . . . , as.

M.L.T.Villela

UFF 96


8. Sejam A um anel comutativo com unidade e a1, . . . , as ∈ A.

(a) Dado J ideal de A, mostre que:

I(a1, . . . , as) ⊂ J se, e somente se, a1, . . . , as ∈ J.

(b) Sejam u1, . . . , us invertıveis de A. Mostre que

I(a1, . . . , as) = I(u1 · a1, . . . , us · as).

(c) Seja t ∈ A. Mostre que

I(a1, . . . , as−1, as) = I(a1, . . . , as−1, bs), onde bs = as − t · as−1.


97 UFF


M.L.T.Villela

UFF 98

Domınios Principais e a fatoracao unicaPARTE 3 - SECAO 3

Domınios Principais e a fatoracao unica

Nosso objetivo e demonstrar o Teorema Fundamental da Aritmetica,

nosso velho conhecido, que diz que todo numero inteiro a > 1 se escreve de

modo unico, a menos da ordem dos fatores, como

a = p1n1 · p2

n2 · . . . · psns ,

onde p1, . . . , ps sao numeros naturais primos e n1 ≥ 1, . . . , ns ≥ 1.

Para atingir nosso objetivo, vamos aprofundar os nossos conhecimen-

tos dos domınios principais introduzindo, em aneis comutativos com uni-

dade, os conceitos de: elementos irredutıveis, elementos primos e fatoracao

unica. Mostraremos que os domınios principais tem a propriedade da fa-

toracao unica, portanto valendo para Z.

Em um anel comutativo com unidade, os elementos invertıveis sao

divisores de quaisquer elementos do anel. Dado um elemento nao-nulo e

nao-invertıvel, o interessante e determinar quais sao os seus divisores nao-

invertıveis. Nao devemos esquecer que, encontrado um divisor a de b entao,

para todo invertıvel u, u ·a tambem e um divisor de b, isto e, todo associado

de um divisor tambem e divisor.

Para refletir sobre as

observacoes ao lado, faca o

Exercıcio 1.

Definicao 8 (Elementos irredutıveis ou redutıveis)

Seja A um anel comutativo com unidade e seja a ∈ A, nao-nulo e nao-

invertıvel. O elemento a e dito irredutıvel se, e somente se, os seus divisores

sao invertıveis ou seus associados. Caso contrario, a e dito redutıvel, nesse

caso, a tem algum divisor que nao e invertıvel e nao e associado de a.

Observacao: Seja a 6= 0 e a ∈ A\A∗. A definicao anterior e equivalente a:

Esse ou e excludente, apenas

um dos fatores e invertıvel.

a e irredutıvel ⇐⇒ se b | a, entao b ∈ A∗ ou b = u · a, com u ∈ A∗

⇐⇒ se a = b · c, entao b ou c e invertıvel.

a e redutıvel ⇐⇒ existem b e c nao-invertıveis tais que a = b · c.

Exemplo 14

Consideremos o domınio Z. Temos Z∗ = {−1, 1}.

(a) 3 e irredutıvel.

De fato, os associados de 3 sao −3 e 3. Os divisores de 3 sao −1, 1, −3 e 3.

Portanto, os divisores de 3 sao invertıveis ou associados de 3. Escrevendo

3 = b · c, temos b = 1 e c = 3 ou b = −1 e c = −3.


99 UFF


(b) −24 e redutıvel.

De fato, −24 = 4 · (−6), onde 4 e −6 sao nao-invertıveis em Z.

A fatoracao dos elementos

de K[x] em produto de

irredutıveis sera estudada

em Algebra II, nos corpos

Q, R ou C.

Exemplo 15

(a) Seja K um corpo e K[x] o anel de polinomios com coeficientes em K.

Todo polinomio de grau 1 e irredutıvel em K[x].

De fato, se f(x) = ax + b, onde a, b ∈ K e a 6= 0, e f(x) = g(x) · h(x)

entao grau(g(x)) + grau(h(x)) = grau(f(x)) = 1 assim, grau(g(x)) = 1 e

grau(h(x)) = 0 ou grau(g(x)) = 0 e grau(h(x)) = 1. Portanto, grau(g(x))

ou grau(h(x)) e 0. Logo, g(x) = u ∈ K\{0} ou h(x) = u ∈ K\{0}. Assim,

g(x) ou h(x) e um invertıvel de K[x].

Lembre que . . .

K[x]∗ = K∗ = K\{0}.

(b) Seja Z[x] o anel de polinomios com coeficientes em Z.

Ha polinomios de grau 1 e redutıveis em Z[x], por exemplo, 2x+4 = 2·(x+2),

com 2 e x + 2 nao-invertıveis em Z[x].

Lembre que . . .

Z[x]∗ = Z∗ = {−1,1}.

Veremos que em um domınio principal todo elemento nao-nulo e nao-

invertıvel tem um divisor irredutıvel. Para isto, precisamos do seguinte re-

sultado.

Lema 1

Seja A um domınio principal. Toda cadeia crescente de ideais

I1 ⊂ I2 ⊂ · · · ⊂ In ⊂ · · ·

e estacionaria, isto e, existe m tal que

Im = Im+1 = · · · .

Demonstracao: Seja I =⋃

j≥1

Ij. Primeiramente, vamos mostrar que I e um

ideal de A.

Com efeito, como 0 ∈ Ij, para todo j ≥ 1, entao 0 ∈ I. Sejam a, b ∈ I.

Entao existem j1, j2 ∈ Z, tais que a ∈ Ij1 e b ∈ Ij2 . Temos 1 ≤ j1 ≤ j2 ou

1 ≤ j2 ≤ j1, digamos que j1 ≤ j2. Logo, Ij1 ⊂ Ij2 e a, b ∈ Ij2 . Sendo Ij2 um

ideal temos a + b ∈ Ij2 ⊂ I. Tomando a ∈ A e b ∈ I, existe j1 ∈ Z tal que

b ∈ Ij1 . Como Ij1 e um ideal, a · b ∈ Ij1 ⊂ I, mostrando que I e um ideal de

A.

Como A e um domınio principal, existe d ∈ A tal que I = I(d). Logo,

d ∈ I =⋃

j≥1

Ij. Portanto, existe m ≥ 1 tal que d ∈ Im. Como Im ⊂ Ij, para

todo j ≥ m, temos que d ∈ Ij, para todo j ≥ m. Entao,

M.L.T.Villela

UFF 100


I(d) ⊂ Im ⊂ Im+1 ⊂ · · · ⊂ I =⋃

j≥1

Ij = I(d).Se d∈ J e J e ideal, entao

I(d) ⊂ J.

Portanto, I(d) = Im = Im+1 = · · · . �

Proposicao 7

Todo elemento nao-nulo e nao-invertıvel de um domınio principal tem pelo

menos um divisor irredutıvel.

Como a1 | a, temos que

a ∈ I(a1), logo I(a) ⊂ I(a1).

Alem disso, I(a) 6= I(a1),

pois a1 nao e associado de a.

Ja resolveu o Exercıcio 5 da

Secao 2?

Usamos esse resultado na

segunda inclusao, isto e:

a1 nao e invertıvel

⇐⇒ I(a1) ( A.

Demonstracao: Sejam A um domınio principal, a ∈ A, a 6= 0 e a nao-

invertıvel. Se a e irredutıvel, nada temos a demonstrar, pois a | a. Supo-

nhamos que a e redutıvel. Pela definicao 8, a tem um divisor a1, tal que a1

nao e invertıvel e nao e associado de a. Assim,

I(a) ( I(a1) ( A,

onde a primeira inclusao e consequencia da Proposicao 5.

Se a1 e irredutıvel, terminamos, pois a1 | a. Se a1 nao e irredutıvel,

entao a1 tem divisor a2 em A, com a2 nao-invertıvel e nao-associado de a1.

Logo,

I(a) ( I(a1) ( I(a2) ( A.

Assim, sucessivamente, ate que para algum n temos an irredutıvel e portanto,

an e um divisor de a irredutıvel ou, caso contrario, terıamos uma sequencia

an, com n ≥ 1, an+1 divisor de an, an+1 nao-invertıvel e nao-associado de

an e obterıamos uma cadeia infinita crescente de ideais

I(a) ( I(a1) ( I(a2) ( · · · ( I(an) ( · · · ( A,

que e impossıvel pelo Lema anterior. �

Definicao 9 (Domınio de fatoracao unica)

Um domınio A e dito de fatoracao unica se, e somente se, todo elemento

nao-nulo e nao-invertıvel se fatora como um produto finito de elementos

irredutıveis. Mais ainda, se p1, . . . , pm e q1, . . . , qn sao irredutıveis em A e

p1 · p2 · . . . · pm = q1 · q2 · . . . · qn,

entao n = m e, apos uma reordenacao, pj e qj sao associados, para todo

j = 1, . . . , n. Dizemos que a fatoracao e unica, a menos da ordem dos fatores

e de elementos associados.


101 UFF


Exemplo 16

(a) Todo corpo e um domınio de fatoracao unica, pois todo elemento nao-nulo

e invertıvel.

(b) Z e um domınio de fatoracao unica (vamos demonstrar, como consequencia

de todo domınio principal ser um domınio de fatoracao unica).

(c) K[x], onde K e um corpo.

(d) Em geral, se A e um domınio de fatoracao unica, entao A[x] e um domınio

de fatoracao unica. Portanto, Z[x], Q[x], R[x] e C[x] sao exemplos de domınios

de fatoracao unica, alem de Z[x, y], Q[x, y], R[x, y] e C[x, y].

Os domınios de fatoracao

unica dos itens (c) e (d) sao

estudados em Algebra II.

Definicao 10 (Elemento primo)

Seja A um anel comutativo com unidade. Um elemento a ∈ A, nao-nulo e

nao-invertıvel e dito primo se, e somente se,

se a | b · c, entao a | b ou a | c.

Exemplo 17

(a) 2 e primo em Z.

Lembre que . . .

P =⇒ Q ou Re equivalente a

∼ Q e ∼ R =⇒∼ P, onde

∼ Q e a negacao de Q e

∼ (Q ou R) =∼ Q e ∼ R.

De fato, suponhamos que b, c ∈ Z e 2 nao divide b nem c. Pela divisao

euclidiana, temos b = 2m + 1 e c = 2n + 1, com m, n ∈ Z. Logo, b · c =

(2m + 1) · (2n + 1) = 4m · n + 2m + 2n + 1 = 2 · (2m · n + m + n) + 1 e 2

nao divide b · c.

(b) 3 e primo em Z.

Sejam b, c ∈ Z, tais que 3 | b · c.

Pela divisaao euclidiana, escrevemos b = 3m+ r e c = 3n+ s, com m, n ∈ Z

e 0 ≤ r, s ≤ 2. Assim, b · c = 9m · n + 3m · s + 3n · r + rs. Como 3 | b · ctemos que 3 | r · s, com r · s ∈ {0, 1, 2, 4}. Portanto, r · s = 0. Como Z e um

domınio, r = 0 ou s = 0, significando que 3 | b ou 3 | c.

(c) 4 nao e primo em Z, pois 4 | 2 · 6 mas 4 ∤ 2 e 4 ∤ 6.

Ha uma relacao entre primos e irredutıveis quando o anel e especial,

conforme veremos nas duas seguintes proposicoes.

Proposicao 8

Seja A um domınio. Se p e primo, entao p e irredutıvel.

Nesse caso, a = λ−1 · p e

associado de p.

Demonstracao: Seja p ∈ A um elemento primo. Escreva p = λ ·a, com λ e a

em A. Como p | λ · a e p e primo, entao p | λ ou p | a. Digamos que p | a.

Logo, a = λ′ ·p e p = λ ·a = λ · (λ′ ·p) = (λ ·λ′) ·p. Pela lei do cancelamento

no domınio A, temos que 1A = λ · λ′. Portanto, λ e um invertıvel de A,

mostrando que p e irredutıvel. �

M.L.T.Villela

UFF 102


Ha exemplos de domınios com elementos irredutıveis que nao sao pri-

mos.

Exemplo 18

Seja A = {a + b√

5i ; a, b ∈ Z}. A e um subanel de C. Temos que

2 · 3 = (1 +√

5i)(1 −√

5i),

onde 2, 3, 1 +√

5i e 1 −√

5i sao irredutıveis em A, 2 | (1 +√

5i) · (1 −√

5i),

mas 2 ∤ (1 +√

5i) e 2 ∤ (1 −√

5i).

Para verificar as afirmacoes

acima voce precisa saber

quem sao os elementos

invertıveis de A, isto e, quem

e A∗.

E facil verificar que A∗ = {−1, 1}, pois o inverso de a + b√

5i 6= 0 em C e

(a + b√

5i)−1 = 1

a+b√

5i= a−b

√5i

(a+b√

5i)·(a−b√

5i)= a−b

√5i

a2+5b2 .

Logo, (a + b√

5i)−1 ∈ A se, e somente se, (a2 + 5b2) | a e (a2 + 5b2) | −b.

Se b 6= 0, entao | b |≥ 1 e a2 + 5b2 ≥ 5b2 > b2 =| b |2≥| b |, contradizendo

a Proposicao 3 da Secao 1. Portanto, b = 0, a 6= 0, a2 | a, seguindo que

a = ±1.

Proposicao 9

Seja A um domınio principal. Seja p ∈ A um elemento irredutıvel. Entao, p

e primo.

Demonstracao: Seja A um domınio principal e seja p ∈ A um elemento

irredutıvel. Suponhamos que b, c ∈ A, p | b · c e p ∤ b. Vamos mostrar que

p | c.

Seja I = I(b, p). Temos que p ∈ I, logo I 6= {0}. Como A e principal,

entao existe d ∈ A, d 6= 0, tal que I = I(d). Temos que d | b e d | p, pois

b, p ∈ I. Como p e irredutıvel, os divisores de p sao invertıveis ou associados

de p, logo d e invertıvel em A ou d = u ·p, para algum invertıvel u em A. Se

d = u ·p, entao b ∈ I = I(d) = I(u ·p) e assim b = λ · (u ·p), contradizendo

a hipotese que p ∤ b. Portanto, d e um invertıvel de A, pelo Exercıcio 5

da Secao anterior, temos A = I(d) = I(b, p), logo 1A ∈ I(b, p). Portanto,

existem x, y ∈ A, tais que 1A = x · b + y · p. Multiplicando por c, temos

c = 1A · c = (x · b + y · p) · c = x · b · c + y · p · c.

Como p | b ·c, entao p divide a primeira parcela acima a direita. E claro que

p divide a segunda parcela. Portanto, p divide a soma dessas parcelas, isto

e, p | c. �


103 UFF


Corolario 7

No domınio Z um elemento e primo se, e somente se, e irredutıvel.

Agora estamos a um passo de obter a fatoracao unica dos inteiros nao-

nulos e nao-invertıveis, isto e, diferentes de 0, 1 e −1, em produto de numeros

inteiros primos, a partir da propriedade mais geral dos domınios principais.

Para isto, precisamos de algumas propriedades relevantes dos elementos pri-

mos em um domınio.

Proposicao 10

Sejam p, p1, . . . , pn elementos primos do domınio A. Se p | p1 · . . . ·pn, entao

p e associado de pj, para algum j.

Demonstracao: A demonstracao e por inducao sobre n. Seja n = 1 e supo-

nhamos que p, p1 sao primos e p | p1. Entao, p1 = λ ·p, com p nao-invertıvel

e p1 irredutıvel, implica que λ e invertıvel. Logo p e associado de p1.

Sejam n ≥ 1, p, p1, . . . , pn, pn+1 elementos primos do domınio A e

suponhamos que se p | p1 · . . . · pn, entao p e associado de pj, para algum

j = 1, . . . , n. Digamos que p | p1 · . . . · pn · pn+1 = (p1 · . . . · pn) · pn+1.

Da definicao de elemento primo, temos que p | p1 · . . . · pn ou p | pn+1.

No primeiro caso, por hipotese de inducao, p e associado de pj, para algum

j = 1, . . . , n. No segundo caso, p e associado de pn+1. Logo, p e associado

de pj, para algum j = 1, . . . , n + 1. �

Teorema 2 (Fatoracao unica em domınios principais)

Todo domınio principal e um domınio de fatoracao unica.

Demonstracao: Seja A um domınio principal e seja a ∈ A um elemento

nao-nulo e nao-invertıvel. Pela Proposicao 7, a tem pelo menos um divisor

irredutıvel, digamos p1 ∈ A. Logo, existe a1 ∈ A, tal que

a = a1 · p1.

Como a1 6= 0, se a1 nao e invertıvel, novamente, pela Proposicao 7, a1

tem um divisor irredutıvel p2, logo a1 = a2 · p2 e

a = a2 · p2 · p1.

Assim, sucessivamente, determinamos uma sequencia de pares (aj, pj)

com pj irredutıvel e tais que

aj = aj+1 · pj+1, para j ≥ 1. (⋆)

M.L.T.Villela

UFF 104


Vamos mostrar que esse processo tem que parar apos um numero finito

de passos, isto e, existe n ≥ 1 tal que an e invertıvel.

De fato, se a1, . . . , an, . . . fossem nao-invertıveis, como aj+1 | aj, por

(⋆), aj e aj+1 nao seriam associados. Pela Proposicao 5 da Secao anterior,

terıamos que

Nesse caso, I(aj) ( I(aj+1).

I(a) ( I(a1) ( I(a2) ( · · · ( I(an) ( · · · ( A,

seria uma cadeia crescente infinita de ideais, contradizendo o Lema 1.

Portanto, para algum n ≥ 1, an = u e invertıvel e

a = (upn) · pn−1 · . . . · p1,

com upn, pn−1, . . . , p1 irredutıveis, logo, pela Proposicao 9, primos. Falta

Faca o Exercıcio 1 (e), que

mostra que se u e invertıvel

e p e irredutıvel, entao u · pe irredutıvel.

provar a unicidade, que faremos por inducao sobre n.

Suponhamos que n = 1 e p1 = q1 · . . . · qm, com p1, q1, . . . , qm irredu-

dutıveis, logo primos.

Como p1 | q1 · . . . · qm, pela Proposicao anterior, p1 e associado de qj

para algum j = 1, . . . , m. Apos uma reordenacao dos qj′s, podemos supor

que j = 1, p1 | q1 e p1 = wq1, com w invertıvel. Se m > 1, entao Veja o Exercıcio 1 (b) que

mostra que os divisores de

um invertıvel sao invertıveis.w · q1 = q1 · . . . · qm, cancelando q1, terıamos w = q2 · . . . · qm, que e

impossıvel. Portanto, m = 1 e p1 = w · q1 e associado de q1.

Seja n ≥ 2 e suponhamos a unicidade da fatoracao valida para n − 1

e p1 · . . . · pn = q1 · . . . · qm, com p1, . . . , pn, q1, . . . , qm irredutıveis (logo

primos). Segue que pn | q1 · . . . · qm e, novamente, para algum j temos pn

associado de qj. Apos uma reordenacao dos qi′s, podemos supor que j = m

e pn e associado de qm, isto e, pn = w · qm, com w invertıvel. Entao,

A equivalencia segue da Lei

do Cancelamento.p1·. . .·pn−1·(w·qm) = q1·. . .·qm−1·qm ⇐⇒ (w·p1)·. . .·pn−1 = q1·. . .·qm−1.

Pela hipotese de inducao, n−1 = m−1, logo n = m. Apos uma reordenacao

dos qj′s, podemos supor que pj e associado de qj, para cada j = 1, . . . , n−1.

Como ja mostramos que pn e associado de qn, obtemos o resultado. �

Corolario 8

Z e um domınio de fatoracao unica.


105 UFF


Corolario 9 (Teorema Fundamental da Aritmetica)

Todo numero inteiro a diferente de 0, 1, −1 pode ser escrito comoNa relacao de associacao,

cada classe de equivalencia

de p∈ Z, p irredutıvel

(primo), tem um elemento

positivo e um elemento

negativo. Escolhemos um

representante positivo em

cada classe. Trabalhamos

com os naturais primos na

fatoracao, que e unica a

menos da ordem dos fatores.

a = ±pα1

1 · . . . · pαnn ,

onde p1, . . . , pn sao numeros primos positivos distintos, p1 < · · · < pn e

α1 > 0, . . . , αn > 0.

Exercıcios

1. Seja A um anel comutativo com unidade. Mostre que:

(a) Se a | 1, entao a e invertıvel.

(b) Se a | u, com u invertıvel, entao a e invertıvel.

(c) Se a e invertıvel, entao a | b, para todo b ∈ A.

(d) Se a | b, entao u · a | b, para todo invertıvel u ∈ A.

(e) Se p e irredutıvel, entao u · p e irredutıvel, para todo invertıvel

u ∈ A.

2. Seja A = Z.

(a) Mostre que 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 sao irredutıveis em Z.

(b) Mostre que 4, 6, 8, 9, 10, 12 sao redutıveis.

3. Mostre que:

(a) x2 + 1 e irredutıvel em R[x].

(b) x2 + 3x + 2 e redutıvel em R[x].

(c) 3x + 1 e irredutıvel em Z[x].

(d) 3x + 6 e redutıvel em Z[x].

4. Seja p um natural primo. Mostre que:

(a) Se j ∈ N e tal que 1 ≤ j < p, entao p divide(

p

j

)

;

(b) Se a, b ∈ Z, entao p divide (a + b)p − (ap + bp);

(c) (Pequeno Teorema de Fermat)

p divide ap − a, para todo a ∈ Z.

Sugestao: Faca por inducao sobre a.

M.L.T.Villela

UFF 106

Propriedades do Domınio Principal ZPARTE 3 - SECAO 4

Propriedades do Domınio Principal Z

A partir da fatoracao unica de inteiros em produto de potencias de

primos positivos, podemos determinar o maximo divisor comum e o mınimo

multiplo comum de dois inteiros nao-nulos.

Observacao: Sejam a, b inteiros nao-nulos. Sejam p1 < · · · < pn os primos

positivos distintos que ocorrem na fatoracao de a ou de b. Entao, podemos

escrever

a = ±pα1

1 · . . . · pαnn e b = ±p

β1

1 · . . . · pβnn ,

com αj ≥ 0, βj ≥ 0, para j = 1, . . . , n.

mdc(a, b) = pγ1

1 · . . . · pγnn , onde γj = min{αj, βj}, para cada j = 1, . . . , n;

mmc(a, b) = pδ1

1 · . . . · pδnn , onde δj = max{αj, βj}, para cada j = 1, . . . , n.

Exemplo 19

75 = 3 · 5 · 5 = 3 · 52 e 70 = 2 · 5 · 7.

Portanto, os naturais primos que ocorrem na fatoracao de 75 ou 70 sao

2, 3, 5, 7. Escrevendo

75 = 20 · 31 · 52 · 70 e

70 = 21 · 30 · 51 · 71,

obtemos

mdc(75, 70) = 20 · 30 · 51 · 70 = 5 e

mmc(75, 70) = 21 · 31 · 52 · 71 = 1050.

Definicao 11 (Primos entre si)

Seja A um domınio principal. Os elementos a, b ∈ A, nao ambos iguais a

zero, sao chamados primos entre si se, e somente se, tem um maximo divisor

comum invertıvel. Em particular, os inteiros a, b, nao ambos iguais a zero,

sao ditos primos entre si se, e somente se, mdc(a, b) = 1.

Exemplo 20

Os inteiros 75 = 3 · 52 e 539 = 72 · 11 sao primos entre si. Observe que como

mdc(75, 539) = 1, entao mmc(75, 539) = 3 · 52 · 72 · 11 = 75 · 539. Veja o Exercıcio 1, dessa

Secao.

Teorema 3 (Euclides)

Ha uma infinidade de numeros naturais primos.

Demonstracao: Suponhamos, por absurdo, que haja um numero finito de


107 UFF


numeros naturais primos. Sejam 2 = p1 < p2 < · · · < pn os numeros primos

positivos. Consideremos a = p1 · p2 · . . . · pn + 1 > 1. Entao, a 6= 0, 1

tem um divisor primo positivo q e q ∈ {p1, . . . , pn}. Por propriedade da

divisibilidade, q divide a − p1 · p2 · . . . · pn = 1, contradizendo o fato de que

q nao e invertıvel. �

Para determinar numeros primos positivos, isto e, numeros inteiros po-

sitivos irredutıveis, usamos o antigo metodo chamado Crivo de Eratostenes.

Precisamos do seguinte resultado.

Lema 2

Se n > 1 e um inteiro que nao e primo, entao n tem um divisor natural

primo p tal que p2 ≤ n.

Demonstracao: Suponhamos que n > 1 nao seja primo (irredutıvel). Entao,

n tem um divisor positivo irredutıvel (primo). Pelo Princıpio da Boa Or-

denacao, ha o menor divisor primo positivo, digamos q. Portanto, n = q ·mcom q ≤ m. Assim, q2 = q · q ≤ q · m = n. �

Temos que m > 1, pois n

nao e primo, e todo divisor

primo d de m, tambem

divide n, logo q≤ d≤ m.

Para ilustrar com um exemplo, vamos determinar os numeros natu-

rais primos menores ou iguais a 150, isto e, os numeros inteiros positivos

irredutıveis menores ou iguais a 150, seguimos o seguinte roteiro:

Seja n > 1. Se p nao divide

n, para todo natural primo

p, tal que p2 ≤ n, entao n e

primo.

1. Faca uma Tabela dos numeros inteiros de 2 ate 150.

2. 2 e primo. Risque na Tabela todos os multiplos de 2 maiores do que 2,

pois nao sao primos.

3. Todos os numeros nao riscados menores do que 4 = 22, pelo Lema 2,

sao primos, isto e, 2 e 3.

4. 3 e primo. Risque na Tabela todos os multiplos de 3 maiores do que 3,

pois nao sao primos.

5. Todos os numeros nao riscados menores do que 9 = 32 sao primos, isto

e, 2, 3, 5, 7.

6. 5 e 7 sao primos. Risque na Tabela todos os multiplos de 5 maiores do

que 5, assim como todos os multiplos de 7 maiores do que 7.

7. Todos os numeros nao riscados menores do que 49 = 72 sao primos,

isto e, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

M.L.T.Villela

UFF 108


8. 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 sao os novos primos obtidos. Su-

cessivamente, risque na tabela todos os multiplos de 11 maiores do que

11 , todos os multiplos de 13 maiores do que 13, . . . , todos os multiplos

de 47 maiores do que 47.

9. Como 150 < 2209 = 472, todos os numeros nao riscados na Tabela sao

primos.

Os inteiros positivos primos menores que 150 sao 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,

23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109,

113, 127, 131, 137, 139, 149.

2 3 6 4 5 6 6 7 6 8 6 9 6 10

11 6 12 13 6 14 6 15 6 16 17 6 18 19 6 20

6 21 6 22 23 6 24 6 25 6 26 6 27 6 28 29 6 30

31 6 32 6 33 6 34 6 35 6 36 37 6 38 6 39 6 40

41 6 42 43 6 44 6 45 6 46 47 6 48 6 49 6 50

6 51 6 52 53 6 54 6 55 6 56 6 57 6 58 59 6 60

61 6 62 6 63 6 64 6 65 6 66 67 6 68 6 69 6 70

71 6 72 73 6 74 6 75 6 76 6 77 6 78 79 6 80

6 81 6 82 83 6 84 6 85 6 86 6 87 6 88 89 6 90

6 91 6 92 6 93 6 94 6 95 6 96 97 6 98 6 99 6 100

101 6 102 103 6 104 6 105 6 106 107 6 108 109 6 110

6 111 6 112 113 6 114 6 115 6 116 6 117 6 118 6 119 6 120

6 121 6 122 6 123 6 124 6 125 6 126 127 6 128 129 6 130

131 6 132 6 133 6 134 6 135 6 136 137 6 138 139 6 140

6 141 6 142 6 143 6 144 6 145 6 146 6 147 6 148 149 6 150

Tabela dos primos positivos menores que 150

Vamos agora aprender o Algoritmo de Euclides, que permite determi-

nar o maximo divisor comum de dois inteiros, sem conhecer os seus fatores

primos.

Lembramos alguns resultados ja vistos no seguinte Lema.

Lema 3

Sejam a, b, t inteiros. Entao,

(i) mdc(a, 0) =| a |, se a 6= 0.

(ii) mdc(a, b) = mdc(b, a) = mdc(| a |, | b |) = mdc(a − tb, b), se a, b

nao sao ambos iguais a zero e t e qualquer inteiro.

Demonstracao: (i) I(a, 0) = I(| a |). Se a 6= 0, entao | a |= mdc(a, 0).


109 UFF


(ii) I(a, b) = I(b, a) = I(| a |, | b |) = I(d), com d > 0 se a 6= 0 ou b 6= 0.

Pela Proposicao 6 na Secao 2, temos

d = mdc(a, b) = mdc(b, a) = mdc(| a |, | b |).

Veja Exercıcio 8 item (c) na

Secao 2.

A ultima igualdade do enunciado segue do fato que, para qualquer

t ∈ Z, I(a, b) = I(a − tb, b). Com efeito, a − tb, b ∈ I(a, b) implica

que para quaisquer x, y ∈ Z temos (a − tb) · x + b · y ∈ I(a, b). Logo,

I(a − bt, b) ⊂ I(a, b). Por outro lado, a − bt, b ∈ I(a − bt, b) implica que

a = (a − bt) + bt ∈ I(a − bt, b) e a · x + b ·y ∈ I(a − bt, b), para quaisquer

x, y ∈ Z, mostrando que I(a, b) ⊂ I(a − bt, b). �

Sejam a, b inteiros nao ambos iguais a zero. Pelo Lema anterior, para

determinar o mdc(a, b), podemos supor a ≥ 0, b ≥ 0 e a ≥ b

Caso (I) - (Um deles e zero) a > 0 e b = 0:

mdc(a, 0) = a.

Caso (II) - (Ambos nao-nulos)

(II.1) a = b > 0

mdc(a, b) = mdc(a, a) = a.

(II.2) a > b > 0

Pela divisao euclidiana de a por b, temos

a = b · q1 + r2, com 0 ≤ r2 < b e

mdc(a, b) = mdc(a − b · q1, b) = mdc(r2, b) = mdc(b, r2).

(1) Se r2 = 0, entao mdc(a, b) = mdc(b, 0) = b.

(2) Se r2 6= 0, entao fazemos a divisao euclidiana de b por r2, obtendo

b = r2 · q2 + r3, com 0 ≤ r3 < r2 e

mdc(a, b) = mdc(b, r2) = mdc(b − r2 · q2, r2) = mdc(r3, r2).

(1) Se r3 = 0, entao mdc(a, b) = mdc(0, r2) = r2.

(2) Se r3 6= 0, entao fazemos a divisao euclidiana de r2 por r3, obtendo

r2 = r3 · q3 + r4, com 0 ≤ r4 < r3 e

M.L.T.Villela

UFF 110


mdc(a, b) = mdc(r3, r2) = mdc(r2, r3) = mdc(r2 − r3 · q3, r3) = mdc(r4, r3),

e assim sucessivamente.

Tomamos r1 = b. Segue que existe n ≥ 1, tal que rn+1 = 0 e rn 6= 0

pois, caso contrario, terıamos uma sequencia infinita de numeros naturais

r1 > r2 > · · · > rn > · · · > 0,

contradizendo o Princıpio da Boa Ordenacao. Portanto,

mdc(a, b) = mdc(r1, r2) = · · · = mdc(rn, rn+1) = mdc(rn, 0) = rn.

O procedimento acima e chamado de Algoritmo de Euclides. Podemos

organizar o raciocınio acima no seguinte dispositivo pratico:

q1 q2 q3 · · · qn−2 qn−1 qn

a b r2 r3 · · · rn−2 rn−1 rn

r2 r3 r4 r5 · · · rn 0

Exemplo 21

(a) Vamos calcular mdc(350, 240)

1 2 5 2

350 240 110 20 10

110 20 10 0

Logo, mdc(350, 240) = 10.

(b) Vamos calcular mdc(143, 315)

2 4 1 13 2

315 143 29 27 2 1

29 27 2 1 0

Logo, mdc(315, 143) = 1.

Usando o Algoritmo de Euclides detras para frente, podemos determi-

nar inteiros m0 e n0, tais que mdc(a, b) = m0 · a + n0 · b.

Vejamos, usando os exemplos anteriores.

Exemplo 22

(a) Determine m0, n0 ∈ Z, tais que 10 = mdc(350, 240) = m0 ·350+n0 ·240.


111 UFF


1 2 5 2

350 240 110 20 10

110 20 10 0

(1) (2) (3)

Escrevemos, na ordem em que foram feitos, os calculos realizados na divisao

euclidiana no dispositivo pratico:

(1) 350 = 1 · 240 + 110︸︷︷︸(2) 240 = 2 · 110 + 20︸︷︷︸(3) 110 = 5 · 20 + 10︸︷︷︸

mdc

Em cada passo faremos a substituicao apenas de um dos restos assinalados

acima, usando a equacao mencionada, comecando com o mdc.

mdc(350, 240) = 10(3)= 110 − 5 · 20(2)= 110 − 5 · (240 − 2 · 110)

= 11 · 110 − 5 · 240(1)= 11 · (350 − 1 · 240) − 5 · 240

= 11 · 350 − 16 · 240

Logo, m0 = 11 e n0 = −16.

(b) Determine m0, n0 ∈ Z, tais que 1 = mdc(315, 143) = m0 · 315 + n0 · 143.

2 4 1 13 2

315 143 29 27 2 1

29 27 2 1 0

(1) (2) (3) (4)

(1) 315 = 2 · 143 + 29︸︷︷︸(2) 143 = 4 · 29 + 27︸︷︷︸(3) 29 = 1 · 27 + 2︸︷︷︸(4) 27 = 13 · 2 + 1︸︷︷︸

mdc

Em cada passo faremos a substituicao apenas de um dos restos assinalados

acima, usando a equacao mencionada, comecando com o mdc.

M.L.T.Villela

UFF 112


mdc(315, 143) = 1(4)= 27 − 13 · 2(3)= 27 − 13 · (29 − 1 · 27)

= 14 · 27 − 13 · 29(2)= 14 · (143 − 4 · 29) − 13 · 29

= 14 · 143 − 69 · 29(1)= 14 · 143 − 69 · (315 − 2 · 143)

= 152 · 143 − 69 · 315

Logo, m0 = −69 e n0 = 152.

Vamos resolver alguns tipos de equacoes diofantinas.

Consideraremos, primeiramente, a equacao diofantina

a · x + b · y = n,

onde sao dados a, b, n ∈ Z.

Quais as condicoes para a equacao ter solucoes inteiras?

Quando admite solucoes inteiras, como determina-las?

Proposicao 11

A equacao a·x+b·y = n admite solucao em Z se, e somente se, d = mdc(a, b)

divide n.

Demonstracao:

(=⇒:) Sejam x0, y0 ∈ Z tais que a · x0 + b · y0 = n e seja d = mdc(a, b).

Como d | a e d | b, entao d | (a · x0 + b · y0) = n.

(⇐=:) Seja d = mdc(a, b) e suponhamos que d | n. Entao, existe t ∈ Z tal

que n = d ·t. Como existem m0, n0 ∈ Z, tais que d = a ·m0+b ·n0, obtemos

n = d · t = (a · m0 + b · n0) · t = a · (m0 · t) + b · (n0 · t).

Logo, x0 = m0 · t e y0 = n0 · t sao solucoes inteiras da equacao. �

Teorema 4

Seja x0, y0 uma solucao particular da equacao a · x + b · y = n e seja d =

mdc(a, b). Entao, x, y e uma solucao da equacao a · x + b · y = n se, e

somente se, x = x0 + bd· t e y = y0 − a

d· t, para algum t ∈ Z.

Demonstracao:

(⇐=:) Seja t ∈ Z. Substituindo x = x0 + bd· t e y = y0 − a

d· t na equacao

temos:


113 UFF


a · x + b · y = a ·(

x0 + bd· t)

+ b ·(

y0 − ad· t)

= a · x0 + b · y0 + a·bd

· t − a·bd

· t= a · x0 + b · y0 = n,

mostrando que x, y sao solucoes.

(=⇒:) Se a ou b e zero, digamos a = 0 com b 6= 0, entao a equacao e

0 · x + b · y = n. Nesse caso, x e qualquer inteiro e y esta determinado por

y = nb∈ Z, pois | b |= mdc(0, b) | n. O outro caso e analogo.

Suponhamos agora que a 6= 0, b 6= 0 e x, y seja uma solucao. Entao,

Em (⋆) usamos que

mdc“

ad

, bd

”

= 1 e que se

c | r · s, com mdc(c,r) = 1 ,

entao c | s.

Veja os Exercıcios: 1, item

(b), e 4, item (a).

n = a · x + b · y = a · x0 + b · y0 =⇒ a(x − x0)(1)= b(y0 − y)

=⇒ ad(x − x0) = b

d(y0 − y)

(⋆)=⇒ a

d| (y0 − y) e b

d| (x − x0).

Logo, x − x0 = bd· s e y0 − y = a

d· t, para algum s ∈ Z e para algum t ∈ Z.

Substituindo na igualdade (1), obtemos a · bd· s = b · a

d· t. Logo, s = t,

x = x0 + bd· t e y = y0 − a

d· t, para algum t ∈ Z. �

Exemplo 23

A equacao 5x + 35y = 7 nao tem solucao em Z, pois mdc(5, 35) = 5 e 5 ∤ 7.

Exemplo 24

Consideremos a equacao 350x − 240y = −20.

No Exemplo 21 item (a) vimos que 10 = mdc(350, 240) = mdc(350, −240).

Como 10 | −20, a equacao 350x−240y = 350x+(−240)y = −20 tem solucao.

No Exemplo 22 item (a) obtivemos que 10 = 11 · 350 + (−16) · 240. Logo,

−20 = (−22) · 350 + 32 · 240 = (−22) · 350 + (−32) · (−240).

Portanto, x0 = −22 e y0 = −32 sao solucoes particulares da equacao dada e

sua solucao geral e x = −22+−24010

t = −22−24t e y = −32− 35010

t = −32−35t,

para t ∈ Z.

Exercıcios

1. Sejam a, b inteiros nao-nulos. Mostre que:

(a) a e b sao primos entre si se, e somente se, existem x, y ∈ Z tais

que a · x + b · y = 1.

(b) mdc(

a

mdc(a,b), b

mdc(a,b)

)

= 1.

M.L.T.Villela

UFF 114


(c) mmc(a, b) · mdc(a, b) =| a · b |.

(d) Se a > 0 e b > 0, entao mmc(a, b) · mdc(a, b) = a · b.

2. Mostre que todo numero racional nao-nulo x se escreve de modo unico

como x = ab, onde a, b sao inteiros primos entre si e b > 0.

Para o item (c), use as

notacoes da primeira

Observacao dessa Secao.

3. Seja p um primo positivo. Mostre que todo numero racional nao-nulo

x se escreve de uma unica maneira na forma

x = pn · ab, onde a, b, n ∈ Z, b > 0, mdc(a, b) = 1, p ∤ a e p ∤ b.

4. Sejam a, b, c inteiros com mdc(a, b) = 1. Mostre que:

(a) Se a | b · c, entao a | c.

(b) Se a | c e b | c, entao a · b | c.

5. Sejam a, b, c, m, n com m ≥ 1 e n ≥ 1. Mostre que:

(a) Se mdc(a, c) = 1, entao mdc(a · b, c) = mdc(b, c).

(b) Se mdc(a, b) = 1, entao mdc(am, bn) = 1.

6. Para cada par de inteiros a, b dados determine mdc(a, b), mmc(a, b)

e inteiros m0, n0 tais que mdc(a, b) = m0 · a + n0 · b:

(a) 637, 3887

(b) 648, −1218

(c) −551, −874

(d) 7325, 8485

(e) 330, 240

(f) 484, 1521

7. Mostre que:

(a) mdc(n, 2n + 1) = 1, para todo n ∈ Z.

(b) mdc(2n + 1, 3n + 1) = 1, para todo n ∈ Z.

(c) mdc(n! + 1, (n + 1)! + 1) = 1, para todo n > 1.

8. Resolva as equacoes em Z:

(a) 7x − 19y = 1

(b) 4x − 3y = 2

(c) 6x + 4y = 6

(d) 6x + 4y = 3

(e) 12x − 18y = 360

(f) 144x + 125y = 329

(g) 36x − 21y = 31

(h) 350x − 91y = 731


115 UFF


9. Seja n ≥ 1. Mostre que:

(a) 17 divide 198n − 1, para todo n.

(b) 45 divide 133n + 173n, para todo n ımpar.

10. Usando o Lema 2, mostre que:

(a) 151, 179 e 241 sao primos;

(b) 623, 923, 899 e 1001 nao sao primos

M.L.T.Villela

UFF 116

Congruencias modulo n e os aneis ZnPARTE 3 - SECAO 5

Congruencias modulo n e os aneis Zn

O conceito de congruencia de inteiros foi introduzido e estudado por

Gauss e e utilizado para enfatizar o resto da divisao euclidiana.

Definicao 12 (Congruencia modulo n)

Seja n ≥ 2 um inteiro. Sejam a, b ∈ Z. Dizemos que a e congruente a b

modulo n se, e somente se, n | (a − b).

Quando a e congruente a b modulo n escrevemos a ≡ b mod n. Caso

contrario, escrevemos a 6≡ b mod n.

A expressao a≡ b mod n

le-se como a e congruente a

b modulo n.

Exemplo 25

25 ≡ 37 mod 6, pois 25 − 37 = −12 e 6 | −12.

210 ≡ 70 mod 35, pois 210 − 70 = 140 e 35 | 140

20 6≡ 33 mod 12, pois 20 − 33 = −13 e 12 ∤ −13

13 6≡ 22 mod 5, pois 13 − 22 = −9 e 5 ∤ −9.

A seguir veremos uma propriedade muito interessante da congruencia

modulo n.

Proposicao 12

A congruencia modulo n e uma relacao de equivalencia em Z.

Demonstracao: Vamos mostrar que a congruencia modulo n e reflexiva, sime-

trica e transitiva. Temos que n | 0 = a − a, logo a ≡ a mod n, para

todo a ∈ Z. Suponhamos que a ≡ b mod n. Entao n | (a − b), seguindo

que n | (b − a) = −(a − b), que e equivalente a b ≡ a mod n. Agora,

suponhamos que a ≡ b mod n e b ≡ c mod n. Por definicao, n | (a − b)

e n | (b − c), seguindo que n divide (a − b) + (b − c) = a − c, isto e, a ≡ c

mod n. �

Veremos agora que o conceito de congruencia de inteiros modulo n pode

ser utilizado para enfatizar o resto da divisao euclidiana por n.

Proposicao 13

Seja n ≥ 2. Temos a ≡ b mod n se, e somente se, a e b tem o mesmo resto

na divisao euclidiana por n.

Demonstracao: Suponhamos que a ≡ b mod n. Pela definicao de con-

gruencia, temos que n | (a − b). Pela divisao euclidiana, podemos escrever

a = q · n + r e b = q′ · n + r′, com 0 ≤ r < n e 0 ≤ r′ < n. Logo,

a−b = (q−q′) ·n+ r− r′. Assim, r− r′ = (a−b)− (q−q′) ·n. Como, por


117 UFF


hipotese, n | (a − b), e, claramente, n divide −(q − q′) · n, entao n divide

r − r′. Alem disso, −n < −r′ ≤ r − r′ ≤ r < n. Logo, r − r′ = 0 e r = r′.

Reciprocamente, suponhamos que a e b tem mesmo resto r na divisao

euclidiana por n. Entao, a = q · n + r e b = q′ · n + r, com 0 ≤ r < n.

Entao, a − b = (q − q′) · n. Portanto, n | (a − b) e a ≡ b mod n. �

Exemplo 26

25 e 37 deixam resto 1 na divisao por 6, logo 25 ≡ 37 mod 6.

210 e 35 deixam resto 0 na divisao por 35, logo 210 ≡ 35 mod 35.

Na divisao por 12, 20 deixa resto 8 e 33 deixa resto 9, logo 20 6≡ 33 mod 12.

As seguintes propriedades adicionais das congruencias sao muito uteis

nas aplicacoes do conceito de congruencia.

Proposicao 14 (Propriedades das congruencias)

Sejam a, b, c, d ∈ Z e seja n ≥ 2.

(i) Se a ≡ b mod n e c ≡ d mod n, entao a + c ≡ b + d mod n.

(ii) Se a ≡ b mod n e c ≡ d mod n, entao a · c ≡ b · d mod n.

(iii) Se a ≡ b mod n, entao am ≡ bm mod n, para todo m ≥ 1.

Demonstracao: Faremos, primeiramente, a prova de (i) e (ii). Sejam a ≡ b

mod n e c ≡ d mod n. Entao, existem λ, λ′ em Z, tais que a − b = λ · n e

c − d = λ′ · n. Logo,

a + c − (b + d) = (a − b) + (c − d) = λ · n + λ′ · n = (λ + λ′) · n,

mostrando que a + c ≡ b + d mod n. Tambem,

a · c − b · d = a · c + (a · d − a · d) − b · d = a · (c − d) + (a − b) · d= a · (λ′ · n) + (λ · n) · d = (a · λ′ + λ · d) · n,

mostrando que a · c ≡ b · d mod n.

A demonstracao da propriedade (iii) sera feita por inducao sobre m.

Sejam a, b ∈ Z tais que a ≡ b mod n. Entao, a1 = a ≡ b = b1 mod n

e a afirmacao e valida para m = 1. Seja m ≥ 1 tal que am ≡ bm mod n.

Entao, am+1 (1)= am · a (2)≡ bm · b (3)

= bm+1 mod n. �

Em (1) e (3) usamos a

definicao da potencia m+1

e em (2), a hipotese de

inducao e a propriedade (ii)

da Proposicao anterior.

Exemplo 27

Qual o resto da divisao de 325 por 15?Em (1) usamos a

transitividade da

congruencia modulo n. Temos 33 = 27 ≡ 12 ≡ −3 mod 15 =⇒ 33(1)≡ −3 mod 15.

M.L.T.Villela

UFF 118


Portanto,

325 = 3 · 33·8 = 3 · (33)8(2)≡ 3 · (−3)8 = 3 · (−3)3 · (−3)3 · (−3)2

(3)≡ 3 · 3 · 3 · 32 =

33 · 32(4)≡ (−3) · 32 = −33

(5)≡ 3 mod 15.

Usamos de (2) a (5), a

congruencia obtida em (1) e

a propriedade (ii) da

Proposicao anterior.

O resto e 3.

Exemplo 28

Qual o resto da divisao de 747 por 9?

Temos 72 = 49 ≡ 4 mod 9, entao 73 = 72 · 7 ≡ 4 · 7 = 28 ≡ 1 mod 9.

Portanto, 747 = 73·15+2 = (73)15 · 72 ≡ 115 · 4 = 4 mod 9.

O resto e 4.

Criterios de Divisibilidade

Seja a um numero inteiro positivo. Escrevendo a na base 10, temos

a = amam−1 . . . a1a0 = am10m + am−110m−1 + · · ·+ a110 + a0, (⋆)

onde 0 ≤ am, . . . , a0 ≤ 9 e am 6= 0.

Veremos como as potencias de 10 se comportam modulo n, para

n = 2, 3, 4, 5, 9, 10 e 11 e obteremos, respectivamente, criterios de divisi-

bilidade por 2, 3, 4, 5, 9, 10 e 11.

Exemplo 29

Seja n = 2. Temos que 10 ≡ 0 mod 2. Da Proposicao 14 item (iii), temos

que 10j ≡ 0j = 0 mod 2, para todo j ≥ 1. Pela mesma Proposicao itens (i)

e (ii), obtemos:

a = amam−1 . . . a1a0 = am10m + am−110m−1 + · · · + a110 + a0

≡ am · 0 + am−1 · 0 + · · ·+ a1 · 0 + a0 mod 2

= a0 mod 2.

Logo, a ≡ a0 mod 2 e o resto da divisao de a por 2 e o mesmo resto da

divisao de a0 por 2.

Exemplo 30



e (ii), obtemos:


≡ am · 1 + am−1 · 1 + · · ·+ a1 · 1 + a0 mod 3

= am + am−1 + · · · + a1 + a0 mod 3.


119 UFF


Logo, a ≡ am + am−1 + · · ·+ a1 + a0 mod 3 e o resto da divisao de a por 3

e o mesmo resto da divisao de am + am−1 + · · · + a1 + a0 por 3.

Exemplo 31

Seja n = 4. Temos que 10 ≡ 2 mod 4, logo 102 ≡ 22 = 4 ≡ 0 mod 4.

Assim, da Proposicao 14 item (iii), para todo j ≥ 3, temos 10j = 102 ·10j−2 ≡0 · 10j−2 = 0 mod 4. Pela mesma Proposicao itens (i) e (ii), obtemos:

a = amam−1 . . . a1a0 = am10m + am−110m−1 + · · ·+ a110 + a0

≡ am · 0 + am−1 · 0 + · · · + a1 · 10 + a0 mod 4

= a1a0 ≡ 2a1 + a0 mod 4.

Logo, a ≡ a1a0 ≡ 2a1+a0 mod 4 e o resto da divisao de a por 4 e o mesmo

resto da divisao de a1a0 por 4, equivalentemente, e o mesmo resto da divisao

de 2a1 + a0 por 4.

Por exemplo, 2379 ≡ 79 ≡ 2 · 7 + 9 = 23 ≡ 3 mod 4.

Exemplo 32



e (ii), obtemos:


≡ am · 0 + am−1 · 0 + · · ·+ a1 · 0 + a0 mod 5

= a0 mod 5.


divisao de a0 por 5.

Exemplo 33



e (ii), obtemos:


≡ am · 1 + am−1 · 1 + · · ·+ a1 · 1 + a0 mod 9

= am + am−1 + · · ·+ a1 + a0 mod 9.

Logo, a ≡ am + am−1 + · · ·+ a1 + a0 mod 9 e o resto da divisao de a por 9

e o mesmo resto da divisao de am + am−1 + · · · + a1 + a0 por 9.

M.L.T.Villela

UFF 120


Exemplo 34



e (ii), obtemos:


≡ am · 0 + am−1 · 0 + · · ·+ a1 · 0 + a0 mod 10

= a0 mod 10.


divisao de a0 por 10 que e a0.

Exemplo 35

Seja n = 11. Temos que 10 ≡ −1 mod 11. Da Proposicao 14 item (iii),

temos que, para todo j ≥ 1,

10j ≡ (−1)j =

{1 mod 11, se j e par

−1 mod 11, se j e ımpar

Pela mesma Proposicao itens (i) e (ii), obtemos:

a = amam−1 . . . a1a0 = · · · + a4104 + a310

3 + a2102 + a110 + a0

≡ · · · + a4 + a3 · (−1) + a2 + a1 · (−1) + a0 mod 11

≡ · · · + a6 − a5 + a4 − a3 + a2 − a1 + a0 mod 11.

Logo, a ≡ · · ·+a6−a5+a4−a3+a2−a1+a0 mod 11 e o resto da divisao

de a por 11 e o mesmo resto da divisao de · · ·+a6−a5+a4−a3+a2−a1+a0

por 11.

Por exemplo, 235794 ≡ (4+7+3)−(9+5+2) = 14−16 = −2 ≡ 9 mod 11.

Como consequencia dos Exemplos anteriores, obtemos criterios de di-

visibilidade por 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11, respectivamente, correspondendo ao caso

em que o resto e 0.

Proposicao 15 (Criterios de Divisibilidade)

Seja a = amam−1 . . . a1a0 um numero inteiro positivo,

a = am10m + am−110m−1 + · · ·+ a110 + a0,


121 UFF


onde 0 ≤ am, . . . , a0 ≤ 9 e am 6= 0. Entao,

(i) 2 divide a se, e somente se, a0 ∈ {0, 2, 4, 6, 8}.

(ii) 3 divide a se, e somente se, 3 divide am + am−1 + · · ·+ a1 + a0.

(iii) 4 divide a se, e somente se, 4 divide a1a0

se, e somente se, 4 divide 2a1 + a0.

(iv) 5 divide a se, e somente se, a0 ∈ {0, 5}.

(v) 9 divide a se, e somente se, 9 divide am + am−1 + · · ·+ a1 + a0.

(vi) 10 divide a se, e somente se, a0 = 0.

(vii) 11 divide a se, e somente se, 11 divide (a0 +a2 +a4 + · · · )− (a1+a3 +

a5 + · · · ).Demonstracao: E imediata, pelos seis Exemplos anteriores, observando nos

itens (i), (iv) e (vi) a condicao a0 ∈ {0, 1, 2, . . . , 9}. �

Veremos agora duas propriedades muito uteis das congruencias.

Proposicao 16 (Outras propriedades da congruencia)

Sejam a, b, c, m, n ∈ Z, com n ≥ 2 e m ≥ 2. Entao,

(i) a ≡ b mod m e a ≡ b mod n se, e somente se, a ≡ b mod mmc(m, n).

(ii) Se a · c ≡ b · c mod n e mdc(c, n) = 1, entao a ≡ b mod n.

Demonstracao:

(i)

a ≡ b mod m, a ≡ b mod n ⇐⇒ m | (a − b), n | (a − b)

⇐⇒ a − b e multiplo de m e de n

⇐⇒ a − b e multiplo do mmc(m, n)

⇐⇒ mmc(m, n) | (a − b)

⇐⇒ a ≡ b mod mmc(m, n).

(ii)

a · c ≡ b · c mod n =⇒ n | (a · c − b · c) = (a − b) · c(1)

=⇒ n | (a − b)

=⇒ a ≡ b mod n. �

Em (1) usamos a hipotese

mdc(c,n) = 1. Veja o

Exercıcio 4 (a) da Secao 4.

Vamos resolver o item (b) do Exercıcio 9 da Secao anterior, usando

congruencias e suas propriedades.

Exemplo 36

Vamos mostrar que 45 | (133n + 173n), para todo n ≥ 1 ımpar.

Primeiramente, escrevemos 45 = 32 · 5. Usaremos congruencia modulo 9,

congruencia modulo 5 e a Proposicao anterior item (i), com 45 = mmc(9, 5).

M.L.T.Villela

UFF 122


Temos

13 ≡ 4 mod 9 =⇒ 133 ≡ 43 = 64 ≡ 1 mod 9 e 17 ≡ 8 ≡ −1 mod 9. Logo,

133n + 173n = (133)n + 173n ≡ 1n + (−1)3n = 1 − 1 = 0 mod 9, pois 3n e

ımpar, em virtude de 3n ≡ 1 · 1 = 1 mod 2.

Agora,

13 ≡ 3 mod 5 e 17 ≡ 2 mod 5 =⇒ 133 ≡ 33 = 27 ≡ 2 mod 5 e

173 ≡ 23 = 8 ≡ 3 ≡ −2 mod 5

=⇒ 133 ≡ 2 mod 5 e 173 ≡ −2 mod 5.

Entao,

133n + 173n = (133)n + (173)n ≡ 2n + (−2)n = 2n − 2n = 0 mod 5, pois n e

ımpar.

Como 133n + 173n ≡ 0 mod 9, 133n + 173n ≡ 0 mod 5 e 45 = mmc(9, 5),

entao 133n + 173n ≡ 0 mod 45.

Teorema 5 (Pequeno Teorema de Fermat)

Seja p um natural primo.

(i) Se a ∈ Z, entao ap ≡ a mod p.

(ii) Se a ∈ Z e p nao divide a, entao ap−1 ≡ 1 mod p.

Veja o Exercıcio 4 da Secao

3.

Demonstracao:

(i) Seja a ∈ N. Faremos inducao sobre a.

Se a = 0, entao 0p = 0 ≡ 0 mod p.

Seja a ≥ 0 e suponhamos que ap ≡ a mod p. Entao

(a + 1)p = ap +(

p

1

)

ap−1 +(

p

2

)

ap−2 + · · ·+(

p

p−1

)

a + 1.

Como p |(

p

j

)

, para 1 ≤ j ≤ p − 1, temos que(

p

j

)

≡ 0 mod p, para

1 ≤ j ≤ p − 1, logo (a + 1)p ≡ ap + 1 mod p . Pela hipotese de inducao,

obtemos que ap + 1 ≡ a + 1 mod p. Pela transitividade da congruencia

mod p, temos

(a + 1)p ≡ ap + 1 ≡ a + 1 mod p, isto e (a + 1)p ≡ a + 1 mod p.

Logo, a propriedade vale para todo a ∈ N.

Seja agora a ∈ Z, a < 0. Entao, −a > 0 e (−a)p ≡ −a mod p.

Se p e um primo ımpar, temos −ap = (−a)p ≡ −a mod p, que e

equivalente a ap ≡ a mod p.


123 UFF


Seja p = 2. Entao, 1+1 = 2 ≡ 0 mod 2, isto e, 1 ≡ −1 mod 2, donde

a = a · 1 ≡ a · (−1) = −a mod 2. Portanto, a2 = (−a)2 ≡ −a ≡ a mod 2,

completando a demonstracao de (i).

(ii) Suponhamos que p ∤ a. Entao, mdc(a, p) = 1.

Como a · ap−1 = ap ≡ a = a · 1 mod p e mdc(a, p) = 1, pelo item (ii)

da Proposicao anterior, temos ap−1 ≡ 1 mod p. �

Exemplo 37

Qual o resto da divisao de 20012006 − 1 por 17?

Como 2001 = 17 · 117 + 12 e 17 e primo, entao 1 = mdc(2001, 17).

Alem disso, 2006 = 16 · 125 + 6. Logo,

20012006 − 1 = 200116·125+6 − 1

= (200116)125 · 20016 − 1

≡ 1125 · 20016 − 1 = 20016 − 1 mod 17.

2001 ≡ 12 mod 17 =⇒ 20016 − 1 ≡ 126 − 1 mod 17.

126 − 1 ≡ (−5)6 − 1 = 253 − 1 ≡ 83 − 1 = 64 · 8− 1 ≡ (−4) · 8 − 1 = −33 ≡ 1

mod 17.

Logo, 20012006 − 1 ≡ 20016 − 1 ≡ 126 − 1 ≡ 1 mod 17 e o resto e 1.

Seja n ≥ 2 um inteiro. Pela Proposicao 12 a congruencia modulo n e

uma relacao de equivalencia. A classe de equivalencia a de um inteiro a na

congruencia modulo n e chamada de classe residual modulo n.

Lembre que . . .

classes distintas sao

disjuntas.

a = {x ∈ Z ; x ≡ a mod n}

= {x ∈ Z ; n | (x − a)}

= {x ∈ Z ; x e a deixam o mesmo resto na divisao por n}.

Exemplo 38

Seja n = 2. Dado a ∈ Z, pela divisao euclidiana, existem q e r, unicamente

determinados, tais que a = 2 · q + r, com 0 ≤ r ≤ 1.

Logo,

a =

{0 ⇐⇒ a e par

1 ⇐⇒ a e ımpar

So ha duas classes distintas modulo 2, a saber 0 e 1.

Das propriedades de relacao de equivalencia,

Z = 0 ∪ 1, onde 0 = 2Z e 1 = 2Z + 1.

M.L.T.Villela

UFF 124


Sejam a, b inteiros. Entao,

a ≡ b mod 2 ⇐⇒ a = b ⇐⇒

{a e b sao ambos pares ou

a e b sao ambos ımpares.

Exemplo 39

Seja n = 3. Dado a ∈ Z, pela divisao euclidiana, existem q e r, unicamente

determinados, tais que a = 3 · q + r, com 0 ≤ r ≤ 2.

Logo,

a =

0 ⇐⇒ a = 3 · q, para algum q ∈ Z;

1 ⇐⇒ a = 3 · q + 1, para algum q ∈ Z;

2 ⇐⇒ a = 3 · q + 2, para algum q ∈ Z.

So ha tres classes distintas modulo 3, a saber, 0, 1 e 2.

Das propriedades de relacao de equivalencia,

Z = 0 ∪ 1 ∪ 2, onde 0 = 3Z, 1 = 3Z + 1 e 2 = 3Z + 2.

Proposicao 17

Seja n ≥ 2. Para cada a ∈ Z existe um unico r ∈ Z, com 0 ≤ r ≤ n − 1,

tal que a = r. Logo, ha n classes residuais modulo n distintas, a saber,

0, 1, . . . , n − 1, onde r = nZ + r e Z = 0 ∪ 1 ∪ . . . ∪ n − 1.

Demonstracao: Dado a ∈ Z, pela divisao euclidiana de a por n, existe um

unico r, com 0 ≤ r ≤ n − 1, tal que

a = q · n + r, para algum q ∈ Z.

Portanto, a ≡ r mod n e a = r, mostrando a existencia.

Sejam r, s inteiros tais que 0 ≤ r, s ≤ n − 1 e r = s.

Entao, −(n − 1) ≤ r − s ≤ n − 1 e n | r − s. Logo, r − s = 0, isto e,

r = s, mostrando a unicidade. �

Definicao 13 (Conjunto das classes residuais modulo n)

O conjunto quociente de Z pela congruencia modulo n e representado por

Zn e e chamado de conjunto das classes residuais modulo n.

Zn = {0, 1, . . . , n − 1}.

Exemplo 40

Z2 = {0, 1}

Z3 = {0, 1, 2}


125 UFF


Z4 = {0, 1, 2, 3}

Z5 = {0, 1, 2, 3, 4}

Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

Vamos dar a Zn uma estrutura de anel, definindo operacoes de adicao

e multiplicacao entre seus elementos.

Definicao 14 (Adicao e multiplicacao de Zn)

Seja n ≥ 2. Sejam a, b ∈ Z. Definimos

a + b = a + b

a · b = a · b

Observamos que essas definicoes nao dependem dos representantes das

classes residuais. De fato, pela Proposicao 14 itens (i) e (ii), temos que

a ≡ a′ mod n e

b ≡ b′ mod n=⇒

{a + b ≡ a′ + b′ mod n

a · b ≡ a′ · b′ mod n

⇐⇒

{a + b = a′ + b′

a · b = a′ · b′

⇐⇒

{a + b = a + b = a′ + b′ = a′ + b′

a · b = a · b = a′ · b′ = a′ · b′

Logo, a adicao e a multiplicacao das classes residuais independem do

inteiro que e representante da classe.

Vejamos as tabelas das operacoes em Z2, Z3 e Z4, nos seguintes exem-

plos.

Exemplo 41

Tabelas das operacoes em Z2

+ 0 1

0 0 1

1 1 0

· 0 1

0 0 0

1 0 1

Exemplo 42


+ 0 1 2

0 0 1 2

1 1 2 0

2 2 0 1

· 0 1 2

0 0 0 0

1 0 1 2

2 0 2 1

M.L.T.Villela

UFF 126


Exemplo 43


+ 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 2 3 0

2 2 3 0 1

3 3 0 1 2

· 0 1 2 3

0 0 0 0 0

1 0 1 2 3

2 0 2 0 2

3 0 3 2 1

Proposicao 18 (Propriedades da adicao e multiplicacao de Zn)

Seja n ≥ 2. A adicao e a multiplicacao de Zn tem as seguintes propriedades,

para quaisquer a, b, c ∈ Zn:

A1 (Associativa) (a + b) + c = a + (b + c)

A2 (Comutativa) a + b = b + a ;

A3 (Existencia de elemento neutro) 0 e o elemento neutro aditivo

0 + a = a;

A4 (Existencia de simetrico) o simetrico de a e −a

a + −a = 0;

M1 (Associativa) (a · b) · c = a · (b · c)M2 (Comutativa) a · b = b · a ;

M3 (Existencia de unidade) 1 e a unidade de Zn

1 · a = a;

AM (Distributiva) (a + b) · c = a · c + b · c.

Demonstracao: As propriedades A3, A4 e M3 sao facilmente verificadas.

Faremos a demonstracao apenas de A1 e AM. Voce deve fazer a de-

monstracao das outras propriedades.

(a + b) + c(1)= a + b + c(2)= (a + b) + c(3)= a + (b + c)(4)= a + b + c(5)= a + (b + c),

mostrando A1. Fazendo as modificacoes convenientes, voce obtem M1.

Em (1) e (2) usamos a

definicao da adicao das

classes residuais. Em (3)

usamos que a adicao em Z e

associativa. Em (4) e (5),

novamente, usamos a

definicao da adicao das

classes residuais.


127 UFF


(a + b) · c (1)= a + b · c(2)= (a + b) · c(3)= a · c + b · c(4)= a · c + b · c(5)= a · c + b · c,

mostrando AM. �

Em (1) usamos a definicao

da adicao das classes

residuais e em (2), a

definicao da multiplicacao.

Em (3) usamos a

distributividade em Z. Em

(4) usamos a definicao da

adicao das classes residuais e

em (5), a definicao da

multiplicacao.

Corolario 10

Seja n ≥ 2. Zn e um anel comutativo com unidade.

Exemplo 44

Z4 tem divisor de 0, pois 2 · 2 = 0, com 2 6= 0. Portanto, Z4 nao e um

domınio. Alem disso, Z∗4 = {1, 3}, pois 1 = 1 · 1 e 1 = 9 = 3 · 3, cada um deles

e seu proprio inverso.

Proposicao 19

Seja n ≥ 2. Um elemento a ∈ Zn e invertıvel se, e somente se, mdc(a, n) = 1.

Demonstracao:

(=⇒:) Seja a ∈ Zn um elemento invertıvel. Entao, existe b ∈ Zn tal que

1 = a·b = a · b. Portanto, a·b ≡ 1 mod n, que e equivalente a n | (a·b−1).

Logo, a · b − 1 = q ·n, para algum q ∈ Z, isto e, 1 = a · b + (−q) · n. Logo,

1 = mdc(a, n).Veja Exercıcio 1, item (a),

da Secao 4.

(⇐=:) Suponhamos que mdc(a, n) = 1. Entao, existem x, y ∈ Z tais que

1 = a · x + n · y. Logo,

1 = a · x + n · y = a · x + n · y = a · x + 0 · y = a · x,

mostrando que x e o inverso de a. �

Exemplo 45

Seja n = 143. No Exemplo 22 (b), mostramos que 1 = 143 ·152+315 ·(−69).

Portanto, 1 = mdc(143, 315) e em Z143 a classe residual 315 = 29 e invertıvel,

com inverso −69 = 74.

0 = 143 = 74+69 = 74+69

⇐⇒ −69 = 74.

Exemplo 46

Para cada j ∈ {0, 1, . . . , 7}, temos que mdc(j, 8) = 1 se, e somente se,

j ∈ {1, 3, 5, 7}. Logo,

Z∗8 = {1, 3, 5, 7},

com 32

= 1, 52

= 1 e 72

= 1.

M.L.T.Villela

UFF 128


Exemplo 47

Para cada j ∈ {0, 1, . . . , 9}, temos que mdc(j, 10) = 1 se, e somente se,

j ∈ {1, 3, 7, 9}. Logo,

Z∗10 = {1, 3, 7, 9},

com 3 · 7 = 1 e 9 · 9 = 1.

Definicao 15 (Funcao de Euler)

Seja n ≥ 2 um inteiro. A funcao de Euler e definida por

φ(n) = ♯ { s ∈ Z ; 1 ≤ s < n e mdc(s, n) = 1}.

Exemplo 48

A funcao de Euler tem as seguintes propriedades:

(i) φ(p) = p − 1, se p e primo.

(ii) φ(pm) = pm − pm−1, se p e primo e m ≥ 1.

(iii) φ(m · n) = φ(m) · φ(n), se mdc(m, n) = 1.

Alem disso, φ(n) e o numero de elementos invertıveis de Zn, isto e,

φ(n) = ♯ Z∗n.

Observacao: Seja n > 3. Suponhamos que n nao e primo. Entao, existem

a, b ∈ Z, tais que n = a · b, com 1 < a, b < n. Logo,

0 = n = a · b = a · b, com a 6= 0 e b 6= 0.

Portanto, se n nao e primo, entao Zn nao e um domınio. Logo, Zn nao

e um corpo.

Exemplo 49

Z2 e Z3 sao corpos (Verifique). Z5 e um corpo, pois Z5 e um anel comutativo

e todo elemento nao-nulo tem inverso, a saber,

Lembre que . . .

Todo corpo e um domınio.

1 · 1 = 1, 2 · 3 = 6 = 1 e 4 · 4 = 16 = 1.

Corolario 11

Seja n ≥ 2. Zn e um corpo se, e somente se, n e primo.

Demonstracao:

(⇐=:) Suponhamos que n e primo. Entao, mdc(j, n) = 1, para todo j = 1,

. . . , n − 1, e, pela Proposicao anterior, j e invertıvel. Logo, todo elemento

nao-nulo de Zn e invertıvel, mostrando que Zn e um corpo. P =⇒ Qse, e somente se,

∼ Q =⇒∼ P.(=⇒:) Se n nao e primo, pela Observacao anterior, Zn nao e um corpo. �


129 UFF


Teorema 6 (Teorema de Wilson)

Se p e um natural primo, entao (p − 1)! ≡ −1 mod p.

Demonstracao: Se p = 2, entao p − 1 = 1 e (p − 1)! = 1 ≡ −1 mod 2.

Suponhamos que p e um primo ımpar. A congruencia (p− 1)! ≡ −1 mod p

e equivalente as seguintes igualdades em Zp

(p − 1)! = −1 ⇐⇒ p − 1 · . . . · 2 · 1 = p − 1.

Se A e um anel e a ∈ A e tal

que 1A = a2, entao a e

invertıvel em A e a−1 = a.

Vamos mostrar a ultima igualdade. Para isto, observamos que a ∈ Zp

e a2 = 1 se, e somente se, 0 = a2 − 1 = (a − 1)(a + 1). Como Zp e um

corpo, a − 1 = 0 ou a + 1 = 0. Portanto, a = 1 ou a = −1 = p − 1. Assim,

as classe residuais que sao inversas delas mesmas sao 1 e p − 1 e as outras

ocorrem aos pares no produto p − 1 · . . . · 2 · 1, isto e, para cada uma tem um

fator distinto no produto que e seu inverso. Logo,

p−1≡ −1 mod p

⇐⇒ p−1 = −1 em Zp .p − 1 · . . . · 2 · 1 = p − 1 · 1 = p − 1. �

Agora vamos resolver um tipo especial de equacao.

Seja n ≥ 2 um inteiro e sejam a, b ∈ Zn. Vamos resolver em Zn

equacoes do tipo

a · x = b, (1)

ou seja, determinar x ∈ Z solucao da congruencia

a · x ≡ b mod n. (2)

Observacao:

(a) Sejam x0, x1 ∈ Z tais que x0 e uma solucao de (2) e x1 ≡ x0 mod n.

Entao, x1 e solucao de (2).

De fato,

x1 ≡ x0 mod n(⋆)

=⇒ a · x1 ≡ a · x0 mod n(⋆⋆)=⇒ a · x1 ≡ a · x0 ≡ b mod n .

Em (⋆) usamos que a≡ a

mod n e a Proposicao 14

(ii). Em (⋆⋆) usamos que

a · x0 ≡ b mod n e a

congruencia modulo n e

transitiva.

Assim, as solucoes de (2) se repartem em classes residuais modulo n e

cada classe residual corresponde a uma solucao de (1).

Quantas sao as solucoes modulo n?

Resposta: ha d = mdc(a, n) classes residuais distintas que sao solucoes,

conforme veremos no proximo Teorema.

A seguir, um caso particular.

M.L.T.Villela

UFF 130


(b) Se mdc(a, n) = 1, entao a e invertıvel em Zn e a equacao (1) tem uma

unica solucao em Zn, a saber, tomando c o inverso de a, temos:

a · x = b =⇒ c · (a · x) = c · b =⇒ x = c · b.

Vejamos alguns exemplos.

Exemplo 50

Consideremos em Z7 a equacao 2 · x = 5.

Z7 e um corpo. Todo a 6= 0

tem inverso em Z7 .

Nesse caso, mdc(2, 7) = 1. Logo, 2 tem inverso em Z7. Como 4 · 2 = 8 = 1,

temos que 4 e o inverso de 2 e

x = (4 · 2) · x = 4 · (2 · x) = 4 · 5 = 20 = 6.

Exemplo 51

Consideremos em Z9 a equacao 5 · x = 2.

Nesse caso, mdc(5, 9) = 1. Logo, 5 tem inverso em Z9. Como 2 · 5 = 10 = 1,

temos que 2 e o inverso de 5 e

x = (2 · 5) · x = 2 · (5 · x) = 2 · 2 = 4.

Teorema 7

Sejam a, b e n inteiros com n ≥ 2. Seja d = mdc(a, n). Temos:

(i) A congruencia a · x ≡ b mod n tem solucao se, e somente se, d | b;

(ii) Se d | b, entao existem exatamente d solucoes distintas modulo n, cujos

representantes sao

x0, x0 + nd, . . . , x0 + (d − 1) · n

d,

onde x0 e uma solucao particular da congruencia.

Demonstracao:

(i) A congruencia a · x ≡ b mod n tem solucao se, e somente se, a equacao

diofantina a · x + n · y = b tem solucao x, y ∈ Z se, e somente se, pela

Proposicao 11, d = mdc(a, n) | b.

(ii) Se d = mdc(a, n) | b entao, pelo Teorema 4, tomando uma solucao

particular x0, y0 de a · x + n · y = b obtemos que

x = x0 + t · nd

e y = y0 − t · ad, com t ∈ Z,

sao as solucoes de a · x + n · y = b e toda solucao de a · x ≡ b mod n e da

forma x = x0 + t · nd, com t ∈ Z.

Escrevendo t = d · q + r, com 0 ≤ r ≤ d − 1 temos


131 UFF


x = x0 + t · nd

= x0 + (d · q + r) · nd

= x0 + q · n + r · nd≡ x0 + r · n

dmod n

e x0, x0 + nd, . . . , x0 + (d − 1) · n

dnao sao congruentes modulo n. �

Exemplo 52

Vamos resolver a congruencia 12 · x ≡ 28 mod 8.

A equacao tem solucao, pois mdc(12, 8) = 4 e 4 | 28. Alem disso, ha 4

solucoes nao congruentes modulo 8.

Usando o Algoritmo de Euclides, temos que 12 · 3 + 8 · (−4) = 4. Portanto,

12 · (21)+8 · (−28) = 28, isto e x0 = 21 e y0 = −28 sao solucoes particulares

de 12 · x + 8 · y = 28.

Assim, x = 21 + r · 84

= 21 + 2r, com r = 0, 1, 2, 3, sao os representantes das

solucoes nao congruentes modulo 8, isto e, x = 21, x = 23, x = 25 e x = 27.

As solucoes sao as classes modulo 8: x = 21 ≡ 5 mod 8, x = 23 ≡ 7 mod 8,

x = 25 ≡ 1 mod 8 e x = 27 ≡ 3 mod 8.

Exemplo 53

Vamos resolver a congruencia 245 · x ≡ 95 mod 180.

A equacao tem solucao, pois mdc(245, 180) = 5 e 5 | 95. Alem disso, ha 5

solucoes nao congruentes modulo 180.

Usando o Algoritmo de Euclides, temos que 245 · (−11)+180 ·15 = 5. Como

95 = 5 · 19, entao 245 · ((−11) · 19) + 180 · (15 · 19) = 95, isto e x0 = −209 e

y0 = 285 sao solucoes particulares de 245 · x + 180 · y = 95.

Assim, x = −209+ r · 1805

= −209+36r, com r = 0, 1, 2, 3, 4, sao os represen-

tantes das solucoes nao congruentes modulo 180, isto e, x = −209, x = −173,

x = −137, x = −101 e x = −65.

As solucoes sao as classes modulo 180: x = −209 ≡ 151 mod 180,

x = −173 ≡ 7 mod 180, x = −137 ≡ 43 mod 180, x = −101 ≡ 79

mod 180 e x = −65 ≡ 115 mod 180.

Exercıcios

1. Mostre que se n ≥ 1, entao o algarismo das unidades, na representacao

na base 10 de 3n, so pode ser 1, 3, 7 ou 9. Ache os algarismos das

unidades de 3400, 3401, 3402 e 3403.

2. Ache, na base 10, criterios de divisibilidade por:

(a) 4, 25, 100.

M.L.T.Villela

UFF 132


(b) 8, 125, 1000.

(c) Generalize.

3. Sejam m e n inteiros ımpares. Mostre que:

(a) 8 | (m2 − n2) (b) 8 | (m4 + n4 − 2)

4. Mostre que para todo numero natural n, 9 divide 10n + 3 · 4n+2 + 5.

5. Mostre que, para todo numero inteiro positivo n, temos:

(a) 9 | (10n − 1)

(b) 3 | (10n − 7n)

(c) 8 | (32n − 1)

(d) 6 | (52n+1 + 1)

(e) 6 | (52n − 1)

(f) 13 | (92n − 42n)

(g) 53 | (74n − 24n)

(h) 19 | (32n+1 + 44n+2)

(i) 17 | (102n+1 + 72n+1)

6. Determine os algarismos x, y, z para que, em cada caso, os numeros

abaixo, representados na base 10, tenham a propriedade mencionada:

(a) 2x7y e divisıvel por 11 e por 4.

(b) 28x75y e divisıvel por 3 e por 11.

(c) 45xy e divisıvel por 4 e por 9.

(d) 13xy45z e divisıvel por 8, por 9 e por 11.

7. Sejam a, b, c, m, n ∈ Z, com m ≥ 2 e n ≥ 2.

(a) Mostre que se a ≡ b mod n e m | n, entao a ≡ b mod m.

(b) Seja d = mdc(c, n). Mostre que a ·c ≡ b ·c mod n se, e somente

se, a ≡ b mod nd

Sugestao: Use a Proposicao 16 e o Exercıcio 4 item (a) da Secao 4.

8. Sejam a, b, n1, . . . , ns inteiros, com n1 ≥ 2, . . . , ns ≥ 2.

Mostre que se a ≡ b mod n1, . . . , a ≡ b mod ns, entao

a ≡ b mod mmc(n1, . . . , ns).

9. Sejam a, b e n inteiros, com n ≥ 2, e p, p1, . . . , ps naturais primos.

(a) Seja n = pα1

1 · . . . · pαss . Mostre que a ≡ b mod n se, e somente

se, a ≡ b mod pαj , para todo j = 1, . . . , s.

(b) Seja α ≥ 1. Mostre que se a ≡ b mod pα, entao a ≡ b mod p.

10. Determine quais das afirmacoes sao falsas ou verdadeiras:


133 UFF


(a) 7 ≡ 24 mod 5

(b) 33 ≡ 57 mod 6

(c) 529 ≡ −8 mod 3

(d) −12 ≡ −72 mod 8

(e) 25 ≡ −6 mod 4

(f) 15 ≡ −7 mod 11

11. Determine o resto da divisao de a por n:

(a) n = 7, a = 12845;

(b) n = 11, a = 13378;

(c) n = 13, a = 7158;

(d) n = 3, a = 8556.

12. Da igualdade 1001 = 7 × 11 × 13, deduza os seguintes criterios de

divisibilidade por 7, por 11 ou por 13:

Dado a = amam−1 . . . a1a0, escrito na base 10, entao a e divisıvel por

7, por 11 ou por 13 se, e somente se,

a2a1a0 − a5a4a3 + a8a7a6 − a11a10a9 + · · ·

e divisıvel por 7, por 11 ou por 13.

13. Mostre que dado um numero qualquer representado na base 10,

(a) se subtrairmos do numero a soma dos seus algarismos, o resultado

e divisıvel por 9;

(b) se subtrairmos do numero outro qualquer formado por uma per-

mutacao dos seus algarismos, o resultado e divisıvel por 9.

14. Determine o menor inteiro positivo que deixa restos 5, 4, 3 e 2 quando

dividido, respectivamente, por 6, 5, 4 e 3.

15. Determine o menor multiplo positivo de 7 que tem resto 1 quando

dividido por 2, 3, 4, 5 e 6.

16. (a) Faca as tabelas da adicao e da multiplicacao de Z6, Z7 e Z8.

(b) Determine todos os dividores de zero em Z6, Z7 e Z8.

(c) Determine os elementos invertıveis de Z6, Z7 e Z8.

17. Determine os inversos de:

(a) 5 em Z6

(b) 3, 4 e 5 em Z7

(c) 3, 5 e 7 em Z8

(d) 4, 5 e 8 em Z9

(e) 1951 em Z2431

(f) 143 em Z210

M.L.T.Villela

UFF 134


18. Determine Z∗12.

19. (a) Determine o numero entre 0 e 6 tal que 11× 18× 2322× 13× 19

e congruente modulo 7.

(b) Determine o numero entre 0 e 3 tal que a soma 1+2+22+· · ·+219

e congruente modulo 4.

20. Determine a solucao geral e a menor solucao positiva de cada con-

gruencia:

(a) x ≡ 7 mod 3

(b) x ≡ −1 mod 6

(c) 3x + 2 ≡ 0 mod 7

(d) 14x + 7 ≡ 0 mod 21

21. Seja a um inteiro. Mostre que:

(a) a2 e congruente a 0, 1 ou 4 modulo 8;

(b) se a e um cubo, entao a2 e congruente a 0, 1, 9 ou 28 modulo 36;

(c) se 2 nao divide a e 3 nao divide a, entao a2 ≡ 1 mod 24.

22. Resolva as congruencias:

(a) 3x ≡ 5 mod 7

(b) 4x ≡ 2 mod 3

(c) 7x ≡ 21 mod 49

(d) 3x ≡ 1 mod 6

(e) 18x ≡ 12 mod 42

(f) 12x ≡ 9 mod 15

(g) 240x ≡ 148 mod 242

(h) 6125x ≡ 77 mod 189

23. Determine o menor inteiro y maior do que 1000, tal que y ≡ 2 mod 7

e y ≡ 3 mod 13.

24. Determine os inteiros x, tais que x ≡ 3 mod 13, x ≡ 2 mod 7 e

285 ≤ x ≤ 476.

25. Sejam m, n naturais primos entre si. Para quaisquer inteiros a, b ∈ Z,

mostre que :

(a) Existe x ∈ Z solucao do sistema de congruencias{

x ≡ a mod m

x ≡ b mod n

(b) Se x, y sao solucoes do sistema acima, entao x ≡ y mod mmc(m, n).


135 UFF


26. Determine as solucoes do sistema de congruencias:

{x ≡ 4 mod 5

x ≡ −2 mod 8

M.L.T.Villela

UFF 136

Homomorfismos de aneis comutativos com unidadePARTE 3 - SECAO 6

Homomorfismos de aneis comutativos com

unidade

Trataremos aqui apenas de homomorfismos em aneis comutativos com

unidade, em virtude de termos introduzido o conceito de ideais apenas em

aneis comutativos com unidade.

Definicao 16 (Homomorfismo)

Sejam A, B aneis comutativos com unidades, respectivamente, 1A e 1B. Uma

funcao f : A −→ B e um homomorfismo de aneis se, e somente se, para

quaisquer x, y ∈ AA adicao e a multiplicacao a

esquerda da igualdade sao

do anel A, enquanto a

adicao e a multiplicacao a

direita sao do anel B.

(i) f(x + y) = f(x) + f(y),

(ii) f(x · y) = f(x) · f(y),

(iii) f(1A) = 1B.

Exemplo 54

A funcao f : Z −→ Z × Z definida por f(x) = (x, x), para todo x ∈ Z e um

homomorfismo de aneis.

De fato, sejam x, y ∈ Z. Entao,

f(x + y) = (x + y, x + y) = (x, x) + (y, y) = f(x) + f(y) ,

f(x · y) = (x · y, x · y) = (x, x) · (y, y) = f(x) · f(y) e

f(1) = (1, 1).

Exemplo 55

A funcao g : Z×Z −→ Z definida por g(x, y) = x, para todo (x, y) ∈ Z×Z,

e um homomorfismo de aneis.

Esse homomorfismo e a

projecao na primeira

coordenada.

Exemplo 56

Seja A um anel comutativo com unidade 1A.

A funcao identidade I : A −→ A definida por I(x) = x, para todo x ∈ A, e

um homomorfismo de aneis.

Exemplo 57

Seja a ∈ Z.

A funcao avaliacao em a, ϕa : Z[x] −→ Z, definida por ϕa(f(x)) = f(a) e

um homomorfismo de aneis.

Proposicao 20 (Propriedades dos homomorfismos)

Sejam A e B aneis comutativos com unidades e f : A −→ B um homomorfismo

de aneis. Entao:


137 UFF

Homomorfismos de aneis comutativos com unidade

(i) f(0A) = 0B.

(ii) f(−a) = −f(a), para qualquer a ∈ A.

(iii) f(A) e um subanel de B.

(iv) Se a e invertıvel em A, entao f(a) e invertıvel em B e

f(a)−1 = f(a−1).

Demonstracao:

(i) Como 0A = 0A + 0A e f e homomorfismo de aneis, entao

f(0A) = f(0A + 0A) = f(0A) + f(0A).

Logo, f(0A) = f(0A) + f(0A). Adicionando −f(0A) a ambos os membros da

igualdade acima, obtemos

Na ultima igualdade usamos

a associatividade da adicao

do anel B.

0B = f(0A) − f(0A) = (f(0A) + f(0A)) − f(0A) = f(0A).

(ii) Seja a ∈ A. Como vale a propriedade do item (i), 0A = a + (−a) e f e

homomorfismo de aneis temos que

0B = f(0A) = f(a + (−a)) = f(a) + f(−a),

mostrando que f(−a) = −f(a), para qualquer a ∈ A.

(iii) Primeiramente, 0B = f(0A) ∈ f(A). Agora, sejam a, a′ ∈ A. Entao,

a + a′ ∈ A, a · a′ ∈ A e −a ∈ A. Como f e homomorfismo de aneis, temos:

f(a) + f(a′) = f(a + a′) ∈ f(A),

f(a) · f(a′) = f(a · a′) ∈ f(A) e, pela propriedade (ii),

−f(a) = f(−a) ∈ f(A),

mostrando que f(A) e um subanel de B.

(iv) Temos 1A = a ·a−1 e 1B = f(1A) = f(a ·a−1) = f(a) · f(a−1), mostrando

que f(a−1) e o inverso de f(a), isto e, f(a−1) = f(a)−1. �

Definicao 17 (Nucleo)

Sejam A, B aneis comutativos com unidades e f : A −→ B um homomorfismo.

O nucleo de f e o conjunto definido por

Nucleo(f) = {a ∈ A ; f(a) = 0B}.

Exemplo 58

No Exemplo 54 temos

Nucleo(f) = {x ∈ Z ; f(x) = (x, x) = (0, 0)} = {x ∈ Z ; x = 0} = {0}.

M.L.T.Villela

UFF 138


Exemplo 59

No Exemplo 55 temos

Nucleo(g) = {(x, y) ∈ Z × Z ; g(x, y) = x = 0} = {(0, y) ; y ∈ Z} = 0 × Z.

Antes de vermos mais propriedades do nucleo de um homomorfismo de

aneis, vamos introduzir um tipo especial de ideal muito importante, a saber,

ideal primo.

Definicao 18 (Ideal primo)

Seja A um anel comutativo com unidade. Um ideal P de A, P 6= A, e um

ideal primo se, e somente se, se a, b ∈ A e a · b ∈ P, entao a ∈ P ou b ∈ P.

Exemplo 60

Seja A um domınio. O ideal I = {0} e um ideal primo, pois se a, b ∈ A e

a · b = 0, entao a = 0 ou b = 0.

Exemplo 61

Em Z, o ideal I(15) = 15Z nao e um ideal primo, pois 15 ∈ I(15), 15 = 3 · 5,

com 3 6∈ I(15) e 5 6∈ I(15).

Exemplo 62

No domınio dos inteiros todo ideal I = pZ, gerado por um natural primo p,

e um ideal primo.

De fato, pZ ( Z e se a, b ∈ Z com a · b ∈ I = pZ, entao p divide a · b

e, como p e primo, temos que p divide a ou p divide b. Logo, a ∈ pZ ou

b ∈ pZ.

Proposicao 21 (Propriedades do Nucleo)

Sejam A, B aneis comutativos com unidades e f : A −→ B um homomorfismo.

Entao,

(i) f e um homomorfismo injetor se, e somente se, Nucleo(f) = {0A}.

(ii) Nucleo de f e um ideal de A.

(iii) Se B e um domınio, entao Nucleo(f) e um ideal primo de A.

Demonstracao:

(i) Suponhamos, primeiramente, que f seja um homomorfismo injetor. Se

x esta no Nucleo(f), entao f(x) = 0B = f(0A), pelo item (i) da Proposicao

anterior. Como f e injetor, temos x = 0A. Logo, Nucleo(f) = {0A}.

Reciprocamente, suponhamos que Nucleo(f) = {0A} e sejam a, a′ ∈ A

com f(a) = f(a′). Entao,A segunda igualdade segue

do item (ii) da Proposicao

anterior.0B = f(a′) − f(a) = f(a′) + f(−a) = f(a′ − a).


139 UFF


Logo, a′ − a ∈ Nucleo(f) = {0A}, isto e, a′ − a = 0A, entao a′ = a,

mostrando que f e injetor.

(ii) Sejam x, y ∈ Nucleo(f) e a ∈ A. Entao,

f(0A) = 0B,

f(x + y) = f(x) + f(y) = 0B + 0B = 0B e

f(a · x) = f(a) · f(x) = f(a) · 0B = 0B.

Concluımos, respectivamente, que 0A ∈ Nucleo(f), x + y ∈ Nucleo(f) e

a · x ∈ Nucleo(f), mostrando que Nucleo(f) e um ideal de A.

(iii) Pelo item anterior, Nucleo(f) e um ideal de A. Falta mostrar que e

um ideal primo. Sejam a, a′ ∈ A tais que a · a′ ∈ Nucleo(f). Entao,

0B = f(a · a′) = f(a) · f(a′). Como B e um domınio, temos que f(a) = 0B ou

f(a′) = 0B. Logo, a ∈ Nucleo(f) ou a′ ∈ Nucleo(f). �

Veremos agora uma propriedade interessante dos homomorfismos bije-

tores de aneis.

Proposicao 22

Sejam A, B aneis comutativos com unidades e f : A −→ B um homomorfismo

bijetor. Entao, a funcao f−1 : B −→ A e um homomorfismo bijetor.

Demonstracao: Para cada b ∈ B, existe um unico a ∈ A tal que f(a) = b,

seguindo a existencia do fato de f ser sobrejetor e a unicidade do fato de f

ser injetor. Assim, a funcao f−1 e definida por

f−1(b) = a se, e somente se, f(a) = b.

Sejam b, b′ ∈ B, com f−1(b) = a e f−1(b′) = a′. Entao, f(a) = b,

f(a′) = b′ e

f−1(b + b′) = f−1(f(a) + f(a′))(1)= f−1(f(a + a′))(2)= (f−1 ◦ f)(a + a′)(3)= a + a′

(4)= f−1(b) + f−1(b′)

Em (1) usamos que f e um

homomorfismo; em (2), a

definicao da composicao de

funcoes; em (3),

f−1 ◦ f = IA ; e em (4), a

definicao de f−1.

f−1(b · b′) = f−1(f(a) · f(a′))(1)= f−1(f(a · a′))(2)= (f−1 ◦ f)(a · a′)(3)= a · a′

(4)= f−1(b) · f−1(b′).

Em (1) usamos que f e um

homomorfismo; em (2), a

definicao da composicao de

funcoes; em (3),

f−1 ◦ f = IA ; e em (4), a

definicao de f−1.

M.L.T.Villela

UFF 140


Como f−1(1B) = 1A, mostramos que f−1 e um homomorfismo.

Para cada a ∈ A, tome b = f(a) ∈ B. Entao,

a = (f−1 ◦ f)(a) = f−1(f(a)) = f−1(b),

mostrando que f−1 e sobrejetor.

Se f−1(b) = f−1(b′), entao b = f(f−1(b)) = f(f−1(b′)) = b′, mostrando

que f−1 e injetor. �

Veja na Secao 2 da Parte 1:

f−1 ◦ f = IA =⇒ f−1

sobrejetor,

f◦ f−1 = IB =⇒ f−1 injetor.

Definicao 19 (Isomorfismo)

Sejam A, B aneis comutativos com unidades. Dizemos que A e B sao aneis

isomorfos se, e somente se, existe um homomorfismo bijetor f : A −→ B.

Desempenham um papel importante a nıvel elementar, entre os aneis

comutativos com unidade, os domınios.

Seja D um domınio. Para d ∈ D, n ∈ Z definimos

nd =

d + · · ·+ d︸︷︷︸n parcelas

, se n > 0

0D , se n = 0

(−d) + · · · + (−d)︸︷︷︸

−n parcelas

, se n < 0

Existe um unico homomorfismo de aneis ρ : Z −→ D, tal que ρ(1) = 1D,

a saber, ρ(n) = n1D, para qualquer n ∈ Z.

De fato, suponhamos que ρ seja um homomorfismo do anel Z no domınio

D, tal que ρ(1) = 1D.

Entao, ρ(2) = ρ(1 + 1) = ρ(1) + ρ(1) = 1D + 1D = 21D. Por inducao,

sobre n ≥ 1, mostramos que ρ(n) = n1D, para todo n ≥ 1. Se n < 0, entao

−n > 0 e, pelo item (ii) da Proposicao 20,

ρ(n) = −ρ(−n) = −(−n1D) = −(1D + · · · + 1D︸︷︷︸−n parcelas

) = (−1D) + · · · + (−1D)︸︷︷︸

−n parcelas

= n1D. A ultima igualdade segue da

definicao de n1D .

Como ρ tem a propriedade (i) da Proposicao 20, temos que ρ(n) = n1D,

para todo n ∈ Z, mostrando a unicidade. Basta agora apenas verificar (faca

voce mesmo), que a expressao acima define um homomorfismo.

O nucleo de ρ e um ideal de Z e Nucleo(ρ) 6= Z, pois 1 6∈ Nucleo(ρ).

Mais ainda, Nucleo(ρ) e um ideal primo de Z.

Poderıamos ter usado o item

(iii) da Proposicao 21.

De fato, se a, b ∈ Z e a · b ∈ Nucleo(ρ), entao 0D = ρ(a · b) =

ρ(a) ·ρ(b). Como D e um domınio, temos que ρ(a) = 0D ou ρ(b) = 0D, isto

e, a ∈ Nucleo(ρ) ou b ∈ Nucleo(ρ).


141 UFF


Os ideais primos de Z sao {0} ou I(p), o ideal principal gerado por p,

onde p e um natural primo.

O homomorfismo ρ e chamado de homomorfismo caracterıstico.

Quando Nucleo(ρ) = {0} dizemos que D e um domınio de caracterıstica

0. Nesse caso, n1D = 1D + · · · + 1D︸︷︷︸n parcelas

6= 0D, para qualquer n > 0 e escrevemos

car(D) = 0. Mais ainda, {n1D ; n ∈ Z} e um subanel de D isomorfo a Z.

Quando Nucleo(ρ) = I(p), p primo, dizemos que D e um domınio de

caracterıstica p. Nesse caso, p1D = 1D + · · ·+ 1D︸︷︷︸p parcelas

= 0D e, alem disso, os

elementos 0D, 1D, 1D + 1D, . . . , 1D + · · ·+ 1D︸︷︷︸p−1 parcelas

sao distintos.

Mais ainda, {n1D ; n ∈ Z} = {0D, 1D, 21D, . . . , (p− 1)1D} e um subanel

de D que e um corpo isomorfo a Zp.

Lembre que . . .

Todo corpo e um domınio.

Exemplo 63

Q, R e C sao corpos de caracterıstica 0, assim como Q(√

2).

Os domınios Z[√

2] e Z[√

5] sao domınios de caracterıstica 0.

Exemplo 64

O corpo Zp dos resıduos modulo p, onde p e primo, e de caracterıstica p.

O anel de polinomios Zp[x] e um domınio de caracterıstica p.

Exemplo 65

Se D e um domınio ordenado, entao car(D) = 0.Lembre que . . .

0D < 1D < 1D +1D < · · · .

Mostraremos agora que “a menos de isomorfismo” Z e o unico domınio

bem ordenado.

Definicao 20 (Homomorfismo de aneis ordenados)

Sejam A, B aneis ordenados. Dizemos que uma funcao f : A −→ B e um

homomorfismo de aneis ordenados se, e somente se,

(i) f e um homomorfismo;

(ii) se a, a′ ∈ A e a ≤ a′, entao f(a) ≤ f(a′).

Teorema 8

Seja D um domınio bem ordenado. Entao, existe um isomorfismo f : Z −→ D

de aneis ordenados.

Demonstracao: Seja f o unico homomorfismo de Z em D tal que f(1) = 1D,

isto e, f e o homomorfismo caracterıstico e f(n) = n1D. E claro que f e um

homomorfismo de aneis ordenados, pois se n > n′, entao n1D > n′1D. Como

D e um domınio ordenado, entao Nucleo(f) = {0} e, portanto, f e injetora.

M.L.T.Villela

UFF 142


Vamos mostrar que f e sobrejetora, equivalentemente, que d ∈ D e da

forma d = n1D, para algum n ∈ Z. Suponhamos, por absurdo, que exista

d ∈ D tal que d 6= n1D, para todo n ∈ Z.

Aqui vamos usar a hipotese

de D ser bem ordenado.

Consideremos os subconjuntos de D

S = {n1D ; n ∈ Z e n1D > d} e T = {n1D ; n ∈ Z e n1D < d}.

Mostraremos que S = T = ∅, o que e uma contradicao.

Suponhamos que S 6= ∅. Pelo Princıpio da Boa Ordenacao, S tem menor

elemento, digamos m1D, logo m1D > d. Como (m − 1)1D 6∈ S, temos que

(m−1)1D ≤ d. Sendo (m−1)1D 6= d, obtemos (m−1)1D < d. Pelo Corolario

1 da Proposicao 12 da Secao 4 na Parte 2, m1D = (m− 1)1D+ 1D ≤ d, uma

contradicao.

Suponhamos que T 6= ∅. Pelo Exercıcio 9 da Secao 4 da Parte 2, T

tem maior elemento m1D, logo m1D < d. Como (m + 1)1D 6∈ T , temos que

(m+1)1D ≥ d. Sendo (m+1)1D 6= d, obtemos (m+1)1D > d. Pelo Corolario

1 da Proposicao 12 da Secao 4 da Parte 2 , d+1D ≤ (m+1)1D = m1D+1D,

que e equivalente a d ≤ m1D, uma contradicao. �

Exercıcios

1. Determine quais das funcoes sao homomorfismos de aneis comutativos

com unidade.

(a) f : Z −→ Z × Z definida por f(x) = (0, x).

(b) f : Z × Z −→ Z definida por f(x, y) = y.

(c) f : Z −→ Zn definida por f(x) = x, onde n ∈ N e n ≥ 2.

(d) f : Z −→ Z definida por f(x) = nx, onde n ∈ N e n ≥ 2 .

(e) ϕa : R[x] −→ R definida por ϕa(f(x)) = f(a) , onde a ∈ R esta

fixo.

2. Determine o nucleo dos homomorfismos do Exercıcio anterior e diga

quais sao homomorfismos injetores.

3. Sejam A um anel comutativo com unidade, B um domınio e f : A −→ B

um homomorfismo.

(a) Mostre que Nucleo(f) e um ideal primo de A.


143 UFF


(b) Mostre que se A e um corpo, entao f e injetor.

4. Considere a seguinte funcao

ϕ : R[x] −→ R

f(x) 7−→ f(0)

(a) Mostre que ϕ e um homomorfismo de aneis.

(b) Mostre que ϕ e sobrejetor e Nucleo(ϕ) = I(x), onde I(x) e o ideal

gerado por x.

5. Considere a seguinte funcao

ϕ : Z[x] −→ Z

f(x) 7−→ f(0)

(a) Mostre que ϕ e um homomorfismo de aneis.

(b) Mostre que ϕ e sobrejetor e Nucleo(ϕ) = I(x), onde I(x) e o ideal

gerado por x.

6. Sejam A, B aneis comutativos com unidades e f : A −→ B um homo-

morfismo. Mostre que:

(a) se I e um ideal de A, entao f(I) e um ideal de f(A);

(b) se J e um ideal de B, entao f−1(J) e um ideal de A, onde

f−1(J) = {a ∈ A ; f(a) ∈ J}

e a imagem inversa de J por f;

(c) se J e um ideal primo de B, entao f−1(J) e um ideal primo de A;

(d) se I e um ideal primo de A e Nucleo(f) ⊂ I, entao f(I) e um ideal

primo de f(A).

7. Seja S o conjunto dos aneis comutativos com unidades.

Defina a relacao binaria em S :

A ∼ B ⇐⇒ existe isomorfismo f : A −→ B.

Mostre que ∼ e uma relacao de equivalencia em S.

M.L.T.Villela

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8. Sejam K e L corpos e f : K −→ L um homomorfismo.

Mostre que f e injetora.

9. Sejam A, B e C aneis comutativos com unidades. Sejam f : A −→ B e

g : B −→ C homomorfismos. Mostre que:

(a) g ◦ f : A −→ C e um homomorfismo;

(b) se f e g sao injetores, entao g ◦ f e injetor;

(c) se f e g sao sobrejetores, entao g ◦ f e sobrejetor;

(d) se f e g sao isomorfismos, entao g ◦ f e um isomorfismo.

10. Seja D um domınio e K o seu corpo de fracoes. Mostre que f : D −→ K

definida por f(x) = x1D

e um homomorfismo injetor de aneis.

11. Seja D um domınio ordenado. Mostre que o homomorfismo carac-

terıstico ρ : Z −→ D e um homomorfismo injetor. Conclua que

car(D) = 0.

12. Seja D um domınio com car(D) = p, onde p e um natural primo.

(a) Sejam x, y ∈ D e q = pn , onde n ∈ N e n ≥ 1.

Mostre que (x + y)q = xq + yq.

(b) Mostre que ϕq : D −→ D definida por ϕ(x) = xq e um homo-

morfismo injetor de aneis, onde q = pn, para algum n ∈ N e

n ≥ 1.

13. Sejam m, n numeros naturais primos entre si.

Definimos f : Z −→ Zm × Zn por f(x) = (x mod m, x mod n).

(a) Mostre que f e um homomorfismo sobrejetor de aneis.

(b) Mostre que Nucleo(f) = (m · n)Z.

Sugestao: Use o Exercıcio 25 da Secao 5.


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Parte 3 Dom´ınios principais€¦ · Gonçalves, Projeto Euclides, IMPA, 2000. Nosso objetivo agora é introduzir os conceitos de ideal em anéis co-mutativos com unidade e dom´ınio