Parte 6 Programación Lineal Método Simplex

5/27/2018 Parte 6 Programaci n Lineal M todo Simplex

1/28

Parte 6 Programacin Lineal Mtodo Simplex

El mtodo smplex es un algoritmo. De hecho, cualquier procedimiento

iterativo de solucin es un algoritmo. Entonces, un algoritmo es simplemente un

proceso en el que se repite se itera! un procedimiento sistem"tico una # otra $e% hasta

o&tener el resultado deseado. 'ada $e% que se lle$a a ca&o el procedimiento

sistem"tico se reali%a una iteracin. En consecuencia, un algoritmo sustitu#e un

pro&lema di(cil por una serie de pro&lemas ("ciles.

)dem"s de las iteraciones, los algoritmos inclu#en un procedimiento para iniciar

# un criterio para determinar cu"ndo detenerse, como se resume enseguida*

Paso inicial Preparacin para iniciar iteraciones

Paso iterativo Realizacin de iteraciones

Regla de detencin Es ptima la solucin actual?

Si no Si s

+in

El mtodo smplex es un procedimiento algebraicoen el que cada iteracin

contiene la solucin de un sistema de ecuaciones para o&tener una nue$a solucin a la

que se le aplica la prue&a de optimalidad. o o&stante, tam&in tiene una interpretacin

geomtricamu# -til. Para ilustrar los conceptos geomtricos generales se emplear" la

solucin gr"(ica del siguiente pro&lema*

Max / 0x12 3x4

s.a.

x1 5

4x4 14

0x12 4x4 1


2/28

x17 x47

Solucin por el mtodo grfico:

En la (igura anterior pueden o&ser$arse los puntos de interseccin que son las

soluciones en los vrticesdel pro&lema. Los cinco puntos que se encuentran en los

$rtices de la regin factible, 7,7!, 7,6!, 4,6!, 5,0!, 5,7! son las soluciones

factibles en los vrtices. )lgunas de estas soluciones (acti&les en un $rtice son

adyacentes, en el sentido de que est"n conectadas por una sola orilla segmento de

lnea! de la (rontera de la regin (acti&le8 esto es, tanto 7,6! como 5,0! son ad#acentes

a 4,6!. Las tres propiedades cla$e de las soluciones (acti&les en los $rtices # que

(orman el (undamento del mtodo smplex se resumen como sigue*

Propiedades de las soluciones factibles en un vrtice:


3/28

1a.Si existe exactamente una solucin ptima, entonces debeser una solucin (acti&le

en un $rtice.

1b.Si existen soluciones ptimas m-ltiples, entonces al menos dos de ellas de&en ser

soluciones (acti&les en $rtices ad#acentes.

2. Existe slo un n-mero (inito de soluciones (acti&les en los $rtices ad#acentes.

3. Si una solucin en un $rtice es igual o menor seg-n el $alor de ! que todas las

soluciones (acti&les en los $rtices adyacentesa ella, entonces es igual o me9or que

todas las dem"s soluciones en los $rtices8 es decir, es ptima.

La propiedad 1 signi(ica que la &-squeda de la solucin ptima se puede reducira la consideracin de slolas soluciones (acti&les en los $rtices, de manera que slo

existe un n-mero (inito de soluciones que es necesario tomar en cuenta propiedad 4!.

La propiedad 0 proporciona una prue&a de optimalidadmu# con$eniente.

El mtodo smplex explota estas tres propiedades al examinar nada m"s unas

cuantas soluciones (acti&les en $rtices prometedores # al detenerse en cuanto una de

ellas pasa la prue&a de optimalidad. En particular, se traslada repetidamente en (orma

iterati$a! de una solucin (acti&le en un $rtice a otra, ad#acente # me9or. Esto se

puede reali%ar en (orma mu# e(iciente hasta que la solucin actual no tiene soluciones

(acti&les en $rtices ad#acentes que sean me9ores. Este procedimiento se resume

como sigue*

Bosquejo del mtodo smplex:

1. Paso inicial:inicio en una solucin (acti&le en un $rtice.

2. Paso iterativo: traslado a una me9or solucin (acti&le en un $rtice ad#acente.

:eptase este paso las $eces que sea necesario!.

3. Prueba de optimalidad:la solucin (acti&le en un $rtice es ptima cuando ninguna

de las soluciones en $rtices ad#acentes a ella sean me9ores.


4/28

Este &osque9o muestra la esencia del mtodo smplex,. En el caso del e9emplo,

al utili%ar estas reglas de seleccin el mtodo smplex procede como sigue*

1. Paso inicial:comien%a en 7,7!.

2a.Iteracin 1:se mue$e de 7,7! a 7,6!

2b. Iteracin 2:se mue$e de 7,6! a 4,6!.

3. Prueba de optimalidad:ni 7,6! ni 5,0! son me9ores que 4,6!, entonces se detiene,

4,6! es ptima.

Preparacin para el mtodo smplex.

En el procedimiento alge&raico es mucho m"s con$eniente mane9ar ecuaciones

que desigualdades. )s, el primer paso para preparar el mtodo smplex es con$ertir

las restricciones funcionales de desigualdad en restricciones equivalentes. Las

restricciones de no negati$idad se pueden de9ar como desigualdades porque el

algoritmo las usa slo indirectamente!. Esta con$ersin se hace mediante la

introduccin de variables de holgura. 'onsidrese la primera restriccin (uncional del

e9emplo*

x15

La $aria&le de holgura para esta restriccin es x0, que no es otra cosa que la holgura

entre los dos lados de la desigualdad. Entonces*

x12 x0/ 5

La restriccin original x15 se cumple siempre que x0 7. Por tanto, x1 5 es

totalmente equivalenteal con9unto de restricciones

x12 x0/ 5 #

x07,


5/28

de manera que se usar" este con9unto por resultar m"s con$eniente.

)l introducir $aria&les de holgura en las otras restricciones en (orma parecida, el

modelo de programacin lineal original para este e9emplo se puede sustituir por el

modelo equivalente*

Maximi%ar / 0x12 3x4,

su9eta a

x1 2 x0 / 5 4x4 2 x5 / 14

0x1 2 4x4 2 x3 / 1 x9 7 para 9 / 1, 4, , 3

)un cuando este pro&lema es idntico al anterior, esta (orma es mucho m"s

con$eniente para la manipulacin alge&raica # la identi(icacin de las soluciones

(acti&les en los $rtices. ;sta se llama la forma de igualdades del pro&lema, para

di(erenciarla de la (orma de desigualdades original # poder introducir la siguiente

de(inicin*


6/28

las soluciones &"sicas sean (acti&les o no (acti&les, lo que lle$a a la siguiente

de(inicin*


7/28

ecuaciones de las restricciones. )ntes de comen%ar con el mtodo smplex es

necesario escri&ir el pro&lema una $e% m"s en su (orma equi$alente*

Maximi%ar ,

su9eta a

0x1 3x4 / 7 x1 2 x0 / 5 4x4 2 x5 / 14 0x1 2 4x4 2 x3 / 1

x9 7 para 9 / 1, 4, , 3

'omo la ecuacin de la (uncin o&9eti$o #a se encuentra en (orma de igualdad,

no necesita $aria&le de holgura. 'on esta interpretacin, las soluciones &"sicas no

cam&ian, excepto que puede $erse como una $aria&le &"sica adicional permanente.

) partir de este momento #a estamos listos para pasar los coe(icientes de

nuestro pro&lema a lo que conoceremos como la abla Smplex*

VariableBsica

Z

x1

x2

x3

x

x!

"adoderecho

#ociente

$%s &tima'

1 0 3 7 7 7 7x0 7 1 7 1 7 7 5 7, 7, 5, 14, 1!

x5 7 7 4 7 1 7 14 / 7x3 7 0 4 7 7 1 1

La ta&la anterior ilustra una propiedad cla$e que toda ta&la smplex de&e tener

para estar en la forma apropiada8 se trata del patrn especial de los coe(icientes de las

$aria&les &"sicas. En particular, ntese cmo las columnas de x 0, x5# x3al igual que la

columna de ! contiene exactamente un 21 en el rengln que corresponde a esa

$aria&le &"sica $ase la primera columna!, # todos los dem"s coe(icientes en esa

columna son cero. De la misma manera, cada ecuacin contiene exactamente una

$aria&le &"sica con coe(iciente distinto de cero, en donde este coe(iciente es 21. Esta

propiedad es signi(icati$a, #a que permite identi(icar de inmediato la solucin &"sica

(acti&le actual a partir de la ta&la8 esto es, cada $aria&le &"sica es igual a la constante

del lado derecho de su ecuacin. Esta primera solucin &"sica (acti&le actual se

muestra en la (igura anterior en la columna de s ptima!. De aqu en adelante, para


8/28

cada nue$a iteracin del mtodo smplex mostraremos la solucin &"sica (acti&le actual

en esta columna de la ta&la smplex. :ecurdese que las $aria&les no &"sicas son

iguales a cero!. La ta&la smplex inicial quedar" autom"ticamente en esta (orma

apropiada a menos que el pro&lema original de programacin lineal no est en nuestra

forma estndar!.

El mtodo smplex constru#e una ta&la smplex para cada solucin &"sica

(acti&le que se o&tiene, hasta alcan%ar la solucin ptima. ) continuacin descri&imos

el procedimiento para pro&lemas que #a est"n en la forma estndar, con &i7 para toda

i / 1, 4, , m.

()*+ ,-,#,)". Se introducen $aria&les de holgura. Despus se seleccionan las

variables originales como variables no bsicas iniciales se igualan a cero! # las

variables de holgura como las variables bsicas originales. Esta seleccin lle$a a la

ta&la smplex inicial anterior. 'omo esta ta&la est" en la forma apropiada, de inmediato

se o&tiene la solucin &"sica (acti&le inicial para el e9emplo, 7,7,5,14,1!. )hora de&e

reali%arse la prue&a de optimalidad para determinar si la solucin es optima.

(/%B) 0% +(,)",0)0. La solucin &"sica (acti&le actual es ptima si # slo si

todos los coe(icientes de la ecuacin de la (uncin o&9eti$o rengln de ! son nonegati$os 7 !. Si es as, el proceso termina8 de otra manera, se lle$a a ca&o otra

iteracin para o&tener la nue$a solucin &"sica (acti&le, lo que signi(ica el cam&io de

una $aria&le no &"sica por una &"sica parte 1! # $ice$ersa parte 4!, # despus

despe9ar las $aria&les de la nue$a solucin parte 0!.

En este e9emplo, ha# dos coe(icientes negati$os en la ecuacin de ,0 para x1#

3 para x4de manera que de&e irse al paso iterati$o. =acharemos la solucin &"sica

(acti&le actual como se muestra en la ta&la anterior para indicar que esta solucin no esptima.

()*+ ,%),V+.


9/28

Parte 1. Se determina la variable bsica entrantemediante la eleccin de la

$aria&le con el coeficiente negativo autom"ticamente se re(iere a una $aria&le no

&"sica! que tiene el ma#or $alor a&soluto en la ecuacin de . Se enmarca la columna

correspondiente a este coe(iciente8 esta columna reci&e el nom&re de columna &ivote.

En el e9emplo, el coe(iciente negati$o m"s grande en trminos de $alor a&soluto! es 3

para x43>0!, por lo que x4de&e con$ertirse en $aria&le &"sica. Este cam&io se indica

en la siguiente ta&la con el recuadro en la columna de x 4a&a9o del 3*

VariableBsica

Z

x1

x2

x3

x

x!

"adoderecho

#ociente

$%s &tima'

1 0 3 7 7 7 7x0 7 1 7 1 7 7 5x5 7 7 4 7 1 7 14 14?4 / 6 mnimo

x3 7 0 4 7 7 1 1 1?4 / @

Parte 2. Se determina la variable bsica que sale8 para esto, a! se toma cada

coe(iciente estrictamente positi$o >7! de la columna enmarcada, &! se di$ide el lado

derecho de cada rengln entre estos coe(icientes, c! se identi(ica la ecuacin con el

menor coe(iciente # d! se selecciona la $aria&le &"sica para esta ecuacin. Esta

$aria&le &"sica es la que llega a cero primero cuando se incrementa la $aria&le &"sica

entrante!. Se enmarca el rengln de esta ecuacin en la ta&la smplex sin incluir la

columna # se le da el nom&re de rengln &ivote. El n-mero que est" en lainterseccin de los dos recuadros se llama &ivote.

En la ta&la anterior, se muestran los resultados de las partes 1 # 4 para el

e9emplo antes de enmarcar el rengln!8 la &rueba del cociente mnimo para

determinar la $aria&le &"sica que sale se muestra a la derecha de la ta&la. Entonces la

$aria&le &"sica que sale es x5.

Parte ". Se determina la nueva solucin bsica factibleal construir una nue$ata&la smplex en la forma apropiada, a&a9o de la que se tiene. Las primeras dos

columnas no cam&ian, excepto que la $aria&le &"sica entrante sustitu#e a la $aria&le

&"sica que sale en la columna de #ariable $sica. Para cam&iar el coe(iciente de la


10/28

nue$a $aria&le &"sica en el rengln pi$ote a 21, se dividetodo el rengln pi$ote entre el

n-mero pi$ote*

:engln pi$ote nue$o / :engln pi$ote antiguo ? pi$ote

En este punto, la ta&la smplex para el e9emplo se $e como la que se muestra

enseguida. Para o&tener un coe(iciente 7 para la nue$a $aria&le &"sica en las otras

ecuaciones, cada rengln Ainclusi$e el de la ecuacin de B e%ceptoel rengln pi$ote,

se cam&ia por la nue$a ta&la smplex usando la siguiente (rmula*

:engln nue$o / rengln antiguocoe(iciente en la columna pi$ote rengln pi$ote

nue$o!

en donde el coeficiente en la columna pivote es el n-mero en la columna pi$ote

correspondiente a este rengln.

VariableBsica

Z

x1

x2

x3

x

x!

"adoderecho

#ociente

$%s &tima'

1 0 3 7 7 7 7

x0 7 1 7 1 7 7 5 7, 7, 5, 14, 1!x 7 7 4 7 1 7 14 / 7x3 7 0 4 7 7 1 1 1x0 7x2 7 7 1 7 1?4 7 6x3 7

Para ilustrar con el e9emplo, los nue$os renglones se o&tienen de la (orma

siguiente*&engln de ': 0 3 7 7 7, 7

3! 7 1 7 1?4 7, 6

:engln nue$o / 0 7 7 3?4 7, 07


11/28

&engln 1* Sin cam&io porque su coe(iciente en la columna pi$ote es cero.

&engln ": 0 4 7 7 1, 1

4! 7 1 7 1?4 7, 6

:engln nue$o / 0 7 7 1 1, 6

Estos cam&ios lle$an a la nue$a ta&la smplex que se muestra en la siguiente

ta&la para la

iteracin 1*

VariableBsica

Z

x1

x2

x3

x

x!

"adoderecho

#ociente

$%s &tima'

1 0 3 7 7 7 7

x0 7 1 7 1 7 7 5 7, 7, 5, 14, 1!x 7 7 4 7 1 7 14 / 7x3 7 0 4 7 7 1 1 1 0 7 7 3?4 7 07x0 7 1 7 1 7 7 5 7, 6, 5, 7, 6!x2 7 7 1 7 1?4 7 6 / 07x3 7 0 7 7 1 1 6

'omo las $aria&les &"sicas siempre son iguales al lado derecho de la ecuacinque le corresponde, la nue$a solucin &"sica (acti&le es 7, 6, 5, 7, 6! con / 07.

Este tra&a9o completa el paso iterati$o, as que de&e proseguirse a la prue&a de

optimalidad. 'omo la ecuacin de toda$a tiene coe(icientes negati$os C0 para x 1!, la

prue&a de optimalidad indica que la solucin no es ptima, lo cual se muestra en la

(igura anterior! por lo que manda al algoritmo de regreso al paso iterati$o para o&tener

la siguiente solucin &"sica (acti&le. El paso iterati$o comien%a de nue$o en la ta&la

smplex actual para encontrar la nue$a solucin. Si se siguen las instrucciones de las

partes 1 # 4, se encuentra que x1es la $aria&le &"sica entrante # x3la $aria&le &"sica

que sale, como se muestra en la siguiente ta&la*

VariableBsica

Z

x1

x2

x3

x

x!

"adoderecho

#ociente

$%s &tima'

1 C0 7 7 3?4 7 07x0 7 1 7 1 7 7 5 5?1 / 5 7, 6, 5, 7, 6!

x4 7 7 1 7 1?4 7 6 / 07


12/28

x3 7 0 7 7 C1 1 6 6?0 / 4 mn.

En las siguientes ta&las se muestra el con9unto completo de las ta&las del

mtodo smplex para este e9emplo. La nue$a solucin &"sica (acti&le es 4, 6, 4, 7, 7!,

con / 06. )l hacer la prue&a de optimalidad, se encuentra que la solucin es ptimaporque no ha# coe(icientes negati$os en la ecuacin de , de manera que el algoritmo

ha terminado. En consecuencia, la solucin ptima para este e9emplo sin tomar en

cuenta las $aria&les de holgura! es x1/ 4, x4/ 6.

VariableBsica

Z

x1

x2

x3

x

x!

"adoderecho

#ociente

$%s &tima'

1 C0 C3 7 7 7 7x0 7 1 7 1 7 7 5 7, 7, 5, 14, 1!

x5 7 7 4 7 1 7 14 14?4 / 6 mn. / 7x3 7 0 4 7 7 1 1 1?4 / @ 1 C0 7 7 3?4 7 07x0 7 1 7 1 7 7 5 5?1 / 5 7, 6, 5, 7, 6!x4 7 7 1 7 1?4 7 6 / 07x3 7 0 7 7 C1 1 6 6?0 / 4 mn. 1 7 7 7 0?4 1 06x0 7 7 7 1 1?0 C1?0 4 4, 6, 4, 7, 7!x4 7 7 1 7 1?4 7 6 / 06x1 7 1 7 7 C1?0 1?0 4 !ptima

)nteriormente no se di9o qu hacer cuando las reglas de seleccin del mtodosmplex no lle$an a una decisin clara, #a sea porque existen empates $alores iguales!

o por otras am&igedades parecidas.

"mpate para la variable bsica entrante.

El paso 1 de cada iteracin elige la $aria&le &"sica que tiene el coe(iciente

negativocon el mayor valor absolutoen la ecuacin de actual como la $aria&le &"sica

entrante. )hora suponga que dos o m"s $aria&les no &"sicas tienen el coe(icientenegati$o m"s grande en $alor a&soluto!, es decir, que ha# un empate entre ellas. Por

e9emplo, esto ocurrira en la primera iteracin del e9emplo anterior si se cam&iara la

(uncin o&9eti$o a / 0x12 0x4, con lo que la ecuacin del rengln de inicial sera

0x10x4/ 7. 'mo de&e romperse este empateF


13/28

La respuesta es que la eleccin entre estos dos contendientes se puede hacer

de manera arbitraria. =arde o temprano se llegar" a la solucin ptima, sin importar

cu"l de las $aria&les empatadas se ha#a escogido, # no existe un mtodo con$eniente

para predecir cu"l lle$a ah m"s r"pidamente. En este e9emplo ocurre que si se escoge

x1como $aria&le entrante, el mtodo smplex alcan%a la solucin ptima 4, 6! en tres

iteraciones # si se elige x4, llega en dos.

"mpate para la variable bsica que sale degeneracin.

)hora suponga que el empate ocurre entre dos o m"s $aria&les &"sicas al

elegir la $aria&le que sale en el paso 4 de una iteracin. Gmporta cu"l se escogeF En

teora s, # en una (orma crtica de&ido a que puede ocurrir la siguiente sucesin de

e$entos. Primero, todas las $aria&les empatadas se hacen cero al mismo tiempo

cuando aumenta el $alor de la $aria&le entrante. Por tanto, aquellas que nose eligieron

como $aria&le &"sica que sale tam&in tendr"n un $alor de cero en la nue$a solucin

&"sica (acti&le. Las $aria&les &"sicas con $alor de cerose llaman degeneradas# el

mismo nom&re se da a la solucin &"sica (acti&le correspondiente.! Segundo, si una de

estas $aria&les &"sicas degeneradas sigue con $alor de cero hasta que se selecciona

como $aria&le &"sica que sale en una iteracin posterior, la $aria&le &"sica entrante

de&er" tam&in quedar con $alor de cero #a que no puede crecer sin que la $aria&le

&"sica que sale se $uel$a negati$a!, entonces el $alor de permanecer" sin cam&io.

=ercero, si permanece igual en lugar de me9orar cada iteracin, el mtodo smplex

puede caer en un ciclo que repite la misma secuencia de soluciones peridicamente,

en lugar de aumentar en alg-n momento para llegar a la solucin ptima.

Por (ortuna, aunque en teora es posi&le que ha#a ciclos perpetuos, ha sido en

extremo raro que tenga lugar en pro&lemas reales. Si ocurriera un ciclo siempre se

puede salir de l cam&iando la eleccin de la $aria&le &"sica que sale. Por lo tanto se

recomienda romper los empates arbitrariamente# seguir el proceso sin preocuparse de

las $aria&les que puedan resultar.

#uando no $a% variable bsica que sale & no acotada.


14/28

Existe otra posi&ilidad en el paso 4 de una iteracin, de la que no se ha

ha&lado* aquella en la que ninguna$aria&le cali(ica como $aria&le &"sica que sale. Esta

situacin puede ocurrir si la $aria&le &"sica entrante puede crecer indefinidamentesin

que ningunade las $aria&les &"sicas actuales adquiera $alores negati$os. En la (orma

ta&ular, esto signi(ica que todos los coe(icientes en la columna pi$ote se exclu#e el

rengln de ! son negati$os o cero.

'omo se ilustra en la siguiente ta&la, esta situacin surge cuando se considera

el siguiente e9emplo*

Maximi%ar / 0x12 3x4,

su9eta a x15

# x17, x47

En este e9emplo se ignoraron las dos -ltimas restricciones (uncionales del

e9emplo resuelto anteriormente. Hea en la ta&la que x 4es la $aria&le &"sica entrante

pero el -nico coe(iciente en la columna pi$ote es cero. 'omo la prue&a del cociente

mnimo usa slo coe(icientes ma#ores que cero, no se cuenta con un cociente que

proporcione una $aria&le &"sica que sale.

La interpretacin de una ta&la smplex como la que se muestra en la siguiente

ta&la es que las restricciones no impiden el crecimiento inde(inido de la (uncin o&9eti$o

, de manera que el mtodo smplex se detiene con el mensa9e de que es no

acotada. De&ido a que ni siquiera la programacin lineal ha descu&ierto la manera de

lograr ganancias in(initas, el mensa9e real en pro&lemas pr"cticos es* ISe ha cometido

un errorJ =al $e% el modelo est mal (ormulado, #a sea por ha&er omitido una

restriccin rele$ante o por ha&erla esta&lecido incorrectamente. De otra manera, pudo

ha&er ocurrido un error en los c"lculos.

VariableBsica

Z

x1

x2

x3

"adoderecho

#ociente

$%s &tima'


15/28

1 C0 C3 7 7K0 7 1 7 1 5 (in m)nimo

Soluciones ptimas m'ltiples.

En la de(inicin de solucin &timase mencion que un pro&lema puede tenerm"s de una solucin ptima. Si en el e9emplo cam&iamos la (uncin o&9eti$o a / 0x1

2 4x4resulta que todos los puntos so&re el segmento de recta entre 4,6! # 5,0! son

soluciones ptimas. Entonces todas las soluciones son un promedio ponderado de

estas dos soluciones (acti&les en los $rtices ptimas*

x1, x4! / *14, 6! 2 *45, 0!,

donde los pesos *1 #*4 son n-meros que satis(acen las relaciones*

*12 *4/ 1 # *17, *47

Por e9emplo, *1/ 1?0 # *4/ 4?0 da*

x1, x4! / 1?04, 6! 2 4?05, 0! / 4?02?0, 6?026?0! / 17?0, 5!

como una solucin ptima.

En general, cualquier promedio ponderado de dos o m"s soluciones $ectores!

donde los pesos son no negati$os # suman 1 se llama combinacin convexade estas

soluciones. Entonces, toda solucin ptima en el e9emplo es una com&inacin con$exa

de 4, 6! # 5, 0!.

Este e9emplo es representati$o de pro&lemas con soluciones ptimas m-ltiples.

+ualquier pro&lema de Programacin Lineal con soluciones ptimasm-ltiples # una regin (acti&le acotada! tiene al menos dos soluciones

(acti&les en los $rtices que son ptimas. ,odasolucin ptima es una

com&inacin lineal de estas soluciones (acti&les en los $rtices ptimas.

En consecuencia, en la (orma aumentada, toda solucin ptima es una

com&inacin con$exa de las soluciones &"sicas (acti&les ptimas.


16/28

El mtodo smplex se detiene autom"ticamente al encontrar una solucin

&"sica (acti&le ptima. Sin em&argo, en muchas aplicaciones de Programacin Lineal

existen (actores intangi&les que no se incorporan al modelo # que pueden ser -tiles

para tomar decisiones signi(icati$as so&re las soluciones ptimas alternati$as. En esos

casos, tam&in de&en identi(icarse las otras soluciones ptimas. Esto requiere

encontrar todas las dem"s soluciones &"sicas (acti&le ptimas, # entonces toda

solucin ptima es una com&inacin con$exa de las soluciones &"sicas (acti&les

ptimas.


17/28

El -nico pro&lema serio que introducen las otras (ormas de restricciones

(uncionales / ! es identi(icar una solucin inicial bsica factible. )ntes, esta solucin

inicial se encontra&a en (orma mu# con$eniente al hacer que las $aria&les de holgura

(ueran las $aria&les &"sicas iniciales, donde cada una era igual a la constante no

negativadel lado derecho de la ecuacin correspondiente. )hora de&e hacerse algo

m"s. El en(oque est"ndar que se utili%a es estos casos es la tcnica de variables

artificiales. ;sta constru#e unproblema artificialm"s con$eniente introduciendo una

$aria&le (icticia llamada variable artificial! en cada restriccin que lo requiera. Esta

nue$a $aria&le se introduce slo con el (in de que sea la $aria&le &"sica inicial para esa

ecuacin. Las restricciones usuales de no negati$idad tam&in se aplican so&re estas

$aria&les # la (uncin o&9eti$o se modi(ica para que imponga una &enali6acin

exor&itante en el caso de que adquieran $alores ma#ores que cero. Las iteraciones del

mtodo smplex autom"ticamente (uer%an a las $aria&les arti(iciales a desaparecer a

$ol$erse cero! una a una, hasta que todas quedan (uera de la solucin8 despus de

esto se resuel$e el pro&lema real.

Para ilustrar la tcnica de las $aria&les arti(iciales, primero se considerar" el

caso en que la -nica (orma no est"ndar en el pro&lema es la presencia de una o m"s

restricciones en (orma de igualdad.

(estricciones en forma de igualdad.

En realidad, cualquier restriccin en (orma de igualdad*

ai1x12ai4x42 . . . 2 ainxn/ &i

es equi$alente a dos restricciones de desigualdad*

ai1x12 ai4x42 . . . 2 ainxn&i,

ai1x12 ai4x42 . . . 2 ainxn&i


18/28

Sin em&argo, en lugar de hacer esta sustitucin e incrementar con ello el

n-mero de restricciones, es m"s con$eniente usar la tcnica de la $aria&le arti(icial.

Suponga que se modi(ica el pro&lema de e9emplo presentado # resuelto en la seccin

anterior. El -nico cam&io que su(re el modelo de programacin lineal es que la tercera

restriccin, 0x12 4x41, se con$ierte en una restriccin de igualdad*

0x12 4x4/ 1

)plicando la tcnica de las $aria&les arti(iciales se introduce una $aria&le

arti(icial no negativa denotada por x3! en la -ltima ecuacin, como si (uera una

$aria&le de holgura*

0x12 4x42 x3/1

En resumen si tenemos una restriccin (uncional en (orma de igualdad #

deseamos -pasarla a su forma de igualdad., -nicamente de&emos sumar una $aria&le

arti(icial.

:estricciones (uncionales de la (orma

Para ilustrar la manera en que la tcnica de las $aria&les arti(iciales mane9a las

restricciones de la (orma usaremos el siguiente e9emplo*

Minimi%ar / 7.5x1 2 7.3x4 su9eta a 7.0x1 2 7.1x4 4. 7.3x1 2 7.3x4 / 6 7.6x1 2 7.5x4 6 x17, x47

otemos que la tercera restriccin es del tipo

, por lo que para cam&iarla a su(orma de igualdad tendramos que restar una $aria&le de super"$it o de excedente!,

quedando de la siguiente manera*

7.6x12 7.5x4x3/ 6


19/28

Se ha restado la variable de e%cedente x3 se utili% x3porque en la primera

restriccin agregamos una $aria&le de holgura que sera x 0# en la segunda restriccin

agregamos tam&in una $aria&le arti(icial que sera x58 todo esto con el (in de con$ertir

las desigualdades a su (orma de igualdades! para que consuma el exceso de 7.6x 12

7.5x4, o sea, lo que se pasa de 6. o o&stante en este caso de&e agregarse otra

$aria&le. Esta $aria&le extra, llamada variable artificialse aumenta como sigue*

7.6x12 7.5x4x32 x6/ 6

La ra%n de esto es que, si no se agrega la $aria&le arti(icial, no se estaran

cumpliendo las restricciones de no negati$idad. Para comprenderlo, se de9ar" sin

aumentar. El mtodo smplex comien%a por hacer todas las $aria&les reales originales!

iguales a cero. Entonces*

7.6x12 7.5x4x3/ 6

Sea x1/ 7 # x4/ 7, entonces*

x3/ 6

x3 / 6 que no cumple la

restriccin de no negati$idad!

La $aria&le arti(icial opera para mantener todas las $aria&les no negati$as

cuando 7.6x12 7.5x4es menor que 6. Si x1/ 7 # x4/ 7, entonces x3/ 7 #

7.6x12 7.5x4x32 x6/ 6

x6/ 6

En resumen, una restriccin de la (orma se con$ierte a su (orma de igualdadrestando una $aria&le de excedente # sumando una $aria&le arti(icial.

'onsideremos el siguiente pro&lema*


20/28

Maximi%ar / 0x1 2 3x4 su9eta a x1 5 4x4 14 0x1 2 4x4 / 1 x17, x47

'omo explicamos anteriormente, para resol$er este pro&lema, de&emosconstruir un &roblema artificialque tiene la misma solucin ptima que el pro&lemareal, haciendo dos modi(icaciones a este pro&lema real.

1. Se aplica la tcnica de las variables artificiales introduciendo una variable

artificial no negativa denotada por x3! en la -ltima ecuacin, como si (uera una

$aria&le de holgura*

0x12 4x42 x3/1

4. Se asigna unapenali/acin enormeal hecho de tener x3>7, cam&iando la (uncin

o&9eti$o

/ 0x12 3x4a*

/ 0x12 3x4Mx3,

donde M sim&licamente representa un n-mero positi$o muy grande. Este mtodo

que (uer%a a x3hasta el ni$el de x3/ 7 en la solucin ptima se llama mtodo de la

.

)ota=Para el caso de minimi%acin, penali%amos a la $aria&le arti(icial, hacindola

aparecer en la (uncin o&9eti$o con un coe(iciente de 2M.

)hora se encuentra la solucin ptima para el pro&lema real aplicando elmtodo smplex al pro&lema arti(icial.

'omo x39uega el papel de la $aria&le de holgura en la tercera restriccin del

pro&lema arti(icial, esta restriccin es equi$alente a 0x12 4x41.

En particular, el sistema de ecuaciones despus de aumentar el pro&lema

arti(icial en otras pala&ras, pasarlo a su (orma de igualdades! es*


21/28

Maximi%ar ,

su9eta a

0x1 3x4 2 Mx3 / 7

x1 2 x0 / 5 4x4 2 x5 / 14 0x1 2 4x4 2 x3 / 1

x9 7 Para 9 / 1, 4, N, 3

En este momento estamos preparados para pasar los coe(icientes a la ta&la

smplex*

VariableBsica

Z

x1

x2

x3

x

x!

"adoderecho

#ociente

$%s &tima'

1 C0 C3 7 7 M 7x0 7 1 7 1 7 7 5x5 7 7 4 7 1 7 14x3 7 0 4 7 7 1 1

Esta ta&la toda$a no est" en la (orma apropiada porque el coe(iciente de x 3es

di(erente de cero en la ecuacin de es M!. Por lo tanto, antes de que el mtodo

smplex pueda aplicar la prue&a de optimalidad # encontrar la $aria&le &"sica entrante,

de&e pasarse esta ta&la a la (orma apropiada para que cumpla la condicin sm&lex.

Esta condicin que de&e cumplir toda ta&la del mtodo smplex para que pueda

reportarnos la siguiente solucin &"sica (acti&le dice que* O=oda $aria&le &"sica de&e

tener un 1 en la interseccin de su rengln # columna correspondiente # cero en los

dem"s renglones incluido el rengln de , en otras pala&ras, que toda $aria&le que sea

&"sica solamente de&e aparecer en el rengln de la restriccin que representa. Para

hacer cero el coe(iciente M, utili%amos el rengln de x3 como rengln pi$ote

multiplic"ndolo por M # sumando el resultado al rengln de . :eali%ando elprocedimiento anterior, la ta&la smplex queda de la siguiente manera*

VariableBsica

Z

x1

x2

x3

x

x!

"adoderecho

#ociente

$%s &tima'

1 Q0MQ0 Q4MQ3 7 7 7 1M 0% ' x0 7 1 7 1 7 7 5 7, 7, 5, 14, 1!


22/28

x5 7 7 4 7 1 7 14 / 1Mx3 7 0 4 7 7 1 1

Podemos o&ser$ar que la ta&la anterior #a se encuentra en la (orma apropiada

# podemos leer la solucin &"sica (acti&le actual, que es 7, 7, 5, 14, 1!, la cual

aplicando la prue&a de optimalidad $emos que no es ptima #a que toda$a tenemos

coe(icientes negati$os en el rengln de los correspondientes a x1# x4!. )plicando el

mtodo smplex a la ta&la anterior tenemos* el coe(iciente negati$o con el ma#or $alor

a&soluto corresponde a x1 0M0!, recordemos que M es un n-mero muy grande

positivo, por lo tanto, x1se con$ierte en la $aria&le &"sica entrante, reali%ando los

cocientes correspondientes, $emos que x0se con$ierte en la $aria&le &"sica saliente. El

procedimiento completo para resol$er este e9emplo se muestra en el siguiente con9unto

de ta&las*

ariablesica

Z

x1

x2

x3

x

x!

"adoderecho

#ociente

$%s &t

1 Q0MQ0 Q4MQ3 7 7 7 1M x0 7 1 7 1 7 7 5 5?1 / 5 7, 7, 5, 1

x5 7 7 4 7 1 7 14 / 1

x3 7 0 4 7 7 1 1 1?0 / 6

1 7 Q4MQ3 0M20 7 7 6M214 x1 7 1 7 1 7 7 5 5, 7, 7, 1

x5 7 7 4 7 1 7 14 14?4 / 6 / 6M

x3 7 7 4 0 7 1 6 6?4 / 0

1 7 7 @?4 7 M23?4 4x1 7 1 7 1 7 7 5 5?1 / 5 5, 0, 7,

x5 7 7 7 0 1 1 6 6?0 / 4 / 4

x4 7 7 1 0?4 7 1?4 0

1 7 7 7 0?4 M21 06x1 7 1 7 7 1?0 1?0 4 4, 6, 4,

x0 7 7 7 1 1?0 1?0 4 / 0

x4 7 7 1 7 1?4 7 6 >&tim


23/28

*+)+*+&,#+!) con el mtodo smplex.


24/28

VariableBsica

Z

x1

x2

x3

x

x!

"adoderecho

#ociente

$%s &tima'

1 0 7 7 M 7x0 7 1 5 1 7 7 5x3 7 1 4 7 1 1 4

1 M0 4M 7 M 7 4M 7, 7, 5, 7, 4!x0 7 1 5 1 7 7 5 5?1 / 5 / 4Mx3 7 1 4 7 1 1 4 4?1 / 4

1 7 4 7 0 M20 6 4, 7, 4, 7, 7!

x0 7 7 4 1 1 1 4 / 6

x1 7 1 4 7 1 1 4 >&tima

otemos que la primera ta&la no se encontra&a en la (orma apropiada para el

mtodo smplex, #a que el coe(iciente de la $aria&le &"sica x3era de M en el rengln

de , lo cual hacia que no se cumpliera la condicin smplex.

2.?. todo de las dos @ases.

En el e9emplo presentado en la seccin O:estricciones (uncionales de la (orma

O, recordemos la (uncin o&9eti$o real*

Problema real: Minimi%ar / 7.5x12 7.3x4

Sin em&argo, el mtodo de la M utili%a la siguiente (uncin o&9eti$o a tra$s de

todo el procedimiento*

0todo de la 0: Minimi%ar / 7.5x12 7.3x42 Mx52 Mx6

'omo los dos primeros coe(icientes 7.5 # 7.3! son desprecia&les comparados

con M, el mtodo de dos (ases puede eliminar la M usando las siguientes dos (unciones

o&9eti$o que de(inen de manera completamente di(erente*

0todo de las dos fases:

3ase 1: Minimi%ar / x52 x6 hasta que x5/ 7 # x6/ 7!.

3ase 2: Minimi%ar / 7.5x12 7.3x4 con x5/ 7 # x6/ 7!.


25/28

La (uncin o&9eti$o de la (ase 1 se o&tiene di$idiendo la (uncin o&9eti$o del

mtodo de la M entre M eliminando los trminos desprecia&les, en otras pala&ras, la

(ase 1 consiste en la minimi%acin de la suma de todas las $aria&les arti(iciales que se

introdu%can en el pro&lema. 'omo la (ase 1 conclu#e al o&tener una solucin &"sica

(acti&le para el pro&lema real aquella en la que x5/ 7 # x6/ 7!, esta solucin se usa

como la solucin &"sica (acti&le inicialpara aplicar el mtodo smplex al pro&lema real

con su (uncin o&9eti$o! en la (ase 4. )ntes de resol$er el e9emplo de esta manera se

har" un resumen de las caractersticas generales.

(esumen del mtodo de dos fases.

Paso inicial:Se re$isan las restricciones del pro&lema original introduciendo $aria&les

arti(iciales seg-n se necesite para o&tener una solucin &"sica (acti&le inicial o&$ia para

el pro&lema arti(icial.

3ase 1:uso del mtodo smplex para resol$er el pro&lema de programacin

lineal*

Minimi%ar / de todas las $aria&les arti(iciales, su9eta a las restricciones

re$isadas.

La solucin ptima que se o&tiene para este pro&lema con / 7! ser" una

solucin &"sica (acti&le para el pro&lema real.

3ase 2:se eliminan las $aria&les arti(iciales de todas (ormas, ahora todas $alen

cero!. 'omen%ando con la solucin &"sica (acti&le que se o&tu$o al (inal de la (ase 1,

se usa el mtodo smplex para resol$er el pro&lema real.

Enseguida se resumen los pro&lemas que de&en resol$erse por el mtodo

smplex en las (ases respecti$as para el e9emplo.

Problema para la fase 1:

Minimi%ar / x52 x6,


26/28

su9eta a

7.0x1 2 7.1x4 2 x0 / 4.7.3x1 2 7.3x4 2 x5 / 67.6x1 2 7.5x4 x3 2 x6 / 6

#

x17 x47 x0 x57 x37 x67

Problema para la fase 2:

Minimi%ar / 7.5x12 7.3x4,

su9eta a

7.0x1 2 7.1x4 2 x0 / 4.7.3x1 2 7.3x4 / 67.6x1 2 7.5x4 x3 / 6

#

x17 x47 x0 x37

Las -nicas di(erencias entre estos dos pro&lemas se encuentran en la (uncin

o&9eti$o # en la inclusin (ase 1! o exclusin (ase 4! de las $aria&les arti(iciales x 5# x6.

Sin las $aria&les arti(iciales, el pro&lema para la (ase 4 no tiene una solucin bsica

factible inicialo&$ia. El -nico propsito de resol$er el pro&lema para la (ase 1 es

o&tener una solucin &"sica (acti&le con x5/ 7 # x6/ 7 que se pueda usar como la

solucin &"sica (acti&le inicial para la (ase 4.

Las siguientes ta&las muestran el resultado de aplicar el mtodo smplex a este

pro&lema para la (ase 1*

riablesica

A

x1

x2

x3

x

x!

x?

"adoderecho

#ociente

$%s &tim

1 7 7 7 1 7 1 7x0 7 7.0 7.1 1 7 7 7 4.

x5 7 7.3 7.3 7 1 7 7 6


27/28

x6 7 7.6 7.5 7 7 1 1 6

1 1.1 7.@ 7 7 1 7 14x0 7 7.0 7.1 1 7 7 7 4. 4.?7.0/@ 7,7,4.,6

x5 7 7.3 7.3 7 1 7 7 6 6?7.3/14 / 1

x6 7 7.6 7.5 7 7

1 1 6 6?7.6/17 1 7 7.30 0.66 7 1 7 4.1x1 7 1 7.00 0.00 7 7 7 @ @?7.00/4.4 @,7,7,1.3,

x5 7 7 7.00 1.66 1 7 7 1.3 1.3?7.00/5.3 / 4.

x6 7 7 7.4 4 7 1 1 7.6 7.6?7.4/0

1 7 7 1.65 7 1.63 4.63 7.31x1 7 1 7 6.60 7 1.63 1.63 .71 .71?1.63/5. .71,0,7,7.

x5 7 7 7 1.65 1 1.63 1.63 7.31 7.31?1.63/7.07 / 7.3

x4 7 7 1 17 7 3 3 0

1 7 7 7 1 7 1 7x1 7 1 7 3 1 7 7 .3 .3,5.3,7,7

x3 7 7 7 7.@@ 7.67 1 1 7.0 / 7

x4 7 7 1 3.73 0 7 7 5.3 >&tima fa

otemos que #a hemos o&tenido una solucin ptima para la (ase 1 que

consisti en la minimi%acin de la suma de todas las $aria&les arti(iciales. T&ser$emos

tam&in que la (uncin o&9eti$o termin con un $alor de cero en la -ltima ta&la, lo

que indica que las dos $aria&les arti(iciales x5 # x6! $alen cero tienen $alores

recprocos # se cancelan mutuamente para dar cero. En nuestro caso, las dos $aria&les

arti(iciales $alen cero #a que no se encuentran en la columna de las $aria&les &"sicas

en la -ltima ta&la de la primera (ase. La segunda (ase consiste en resol$er el pro&lema

original utili%ando como ta&la inicial de esta (ase la -ltima ta&la de la primera (ase pero

sin considerar la columna de las $aria&les arti(iciales #a que stas tomaron el $alor de

cero en la primera (ase. El mtodo smplex aplicado a la segunda (ase se muestra en elsiguiente con9unto de ta&las*

VariableBsica

Z

x1

x2

x3

x

x!

x?

"adoderecho

#ociente

$%s &tima'

1 7.5 7.3 7 7 7 7 7x1 7 1 7 3 1 7 7 .3


28/28

x3 7 7 7 7.@@ 7.67 1 1 7.0

x4 7 7 1 3.73 0 7 7 5.3 1 7 7.3 4 7 0x1 7 1 7 3 7 .3

x3 7 7 7 7.@@ 1 7.0

x4 7 7 1 3.73 7 5.3 1 7 7 7.34 7 3.43x1 7 1 7 3 7 .3 .3,5.3,7,7,7.0,7!x3 7 7 7 7.@@ 1 7.0 / 3.43x4 7 7 1 3.73 7 5.3 >&tima fase 2

otemos que no (ue necesario aplicar propiamente el mtodo smplex a la

primera ta&la de la segunda (ase, #a que -nicamente aplicando operaciones con

matrices para tratar de lle$ar esta ta&la a la (orma apropiada para el mtodo smplex

(ue su(iciente para resol$er el pro&lema planteado en la segunda (ase. Es necesarioaclarar que no siempre ocurrir" de esta manera, es decir, si despus de de9ar la ta&la

en la (orma apropiada, es necesario aplicar el mtodo smplex, se de&e aplicar como lo

hemos estudiado.

)ota: Gndependientemente de que el pro&lema original real! sea de maximi%acin o

minimi%acin, la &rimera fase siem&re consistir en la minimi6acin de la

suma de todas las $aria&les arti(iciales.

Documents

Parte 6 Programación Lineal Método Simplex