Prog Lineal Simplex (1)

8/18/2019 Prog Lineal Simplex (1)

http://slidepdf.com/reader/full/prog-lineal-simplex-1 1/32

Investigación Operativa I

Programación Lineal

Problemas de Minimización

Ing. Percy Gutierrez



Ejemplo:

!upongamos "ue se cuenta con dos alimentos: pan y

"ueso# cada uno de ellos contiene calorias y proteinas

en diversas proporciones. $n %ilogramo de pan

contiene &''' calorias y (' gramos de proteinas) y un

%ilogramo de "ueso contiene *''' calorias y &''gramos de proteinas. !upongamos "ue una dieta

normal re"uiere cuando menos +''' calorias y &''

gramos de proteinas diariamente. Por tanto) si el

%ilogramo de pan cuesta !,. +.'' y !,. &-.'' el "ueso)"u/ cantidades de pan y "ueso debemos comprar

para satis0acer los re"uisitos de la dieta normal)

gastando la menor cantidad de dinero1



Las variables de decisión:

2- 3 45 de 6ilgrs de pan a comprar

2& 3 45 de 6ilgrs de "ueso a comprar

Pan Queso

Dieta

Normal

Calorías &''' *''' +'''

Proteínas (' &'' &''

Precio + &-



Planteamiento del Modelo

7unción Objetivo: Z ( Minimizar8 3 + X - 9 &- X &

!. a ;estricciones8:Calorias 2000X - 9 *''' 2& ≥ 600'.

Proteínas 50X - 9 &'' X & ≥ 20'.

4o negatividad

X - ≥ '# X & ≥ '.



!olución:

Calorias 2000X - 9 *''' 2& 3 600'.



Proteínas 50X - 9 &'' X & 3 20'.



!olución Optima

!olución <=sica

!olución 7actible

Solución Optima



;spta:

> ?Min8 3 + @ ' 9 &- @ A,& 3 A-.('

B Z ( Min8 3 + @ & 9 &- @ B 3 &&.('

C Z ( Min8 3 + @ * 9 &- @ ' 3 &*

!olución Optima:

Z ( Min8 3 + @ & 9 &- @ B 3 &&.('

Pan & 6ilogramos y Cueso '. 6ilogramos.



Ejemplo &: Minimización

7unción Objetivo: Z ( Minimizar8 3 -''' X - 9 &''' X &

!. a ;estricciones8: Alfa 8X - 9 & 2& ≥ 16.

Beta X - 9 X & ≥ 5.

Gamma 2X - 9 D X & ≥ 20.

4o negatividad

X - ≥ '# X & ≥ '.



!olución:

!olución Optima



;spta:

>nalizando los vertices y las intersecciones.

> Z ( Minimizar8 3 -''' @ ' 9 &''' @ 3 -+'''

< Z ( Minimizar8 3 -''' @ - 9 &''' @ * 3 F'''

C Z ( Minimizar8 3 -''' @ A 9 &''' @ & 3 D''' Z ( Minimizar8 3 -''' @ -' 9 &''' @ ' 3 -'''

Solución Optima:Z ( Min8 3 -''' @ A 9 &''' @ & 3 D''' X - 3 A y X & 3 &



MEHOO !IMPLE2

El m/todo !imple debido a GEO;GE>4H?IG) prevee un sistema r=pido y e0ectivo

para resolver problemas de Programación

Lineal) es la metodologJa impleader en las

aplicaciones pr=cticas y permite resolver unagran cantidad de problemas de real importancia

industrial.

Este m/todo es igual "ue el metodo algebraico)

llega a la solución optima por medio de

iteraciones o pases sucesivos) el metodo

simple utiliza los conceptos basicos del

algebra matricial.



MEHOO !IMPLE2

Para resolver problemas de programacion

Lineal por el metodo !imple se deben

incrementar di0erentes tipos de variables como

son el de Kolgura) eceso o arti0iciaies paraconvertir las desigualdades en ecuaciones)

luego se debe aplicar el criterio matricial "ue

mediante pasos sucesivos o iterativos) se

puede llegar partiendo con alguna solucion0actible) y sucesivamente obtiene soluciones en

las intersecciones "ue o0recen mejores

0unciones de la 0uncion objetivo.



ariables:

ariable de olgura .N !e incrementa este tipo

de variable cuando la inecuacion presenta la

desigualdad de ≤.

ariable de Eceso .N cuando la desigualdad es

≥

ariable >rti0icial .N uando la restrición est=

epresada en una igualdad.



Propiedades de las soluciones

El problema de Programcion Lineal se de0ine de la

siguiente 0orma:

allar los vectores "ue sean la solucion de: a--- 9 a-&& 9 ... 9 a-j j 9 ... 9 a-nn ≤ 3 ≥ b-

a&-- 9 a&&& 9 ... 9 a&j j 9 ... 9 a&nn ≤ 3 ≥ b&

P

P

ai-- 9 ai&& 9 ... 9 aij j 9 ... 9 ainn ≤ 3 ≥ bi

P

P

am-- 9 am&& 9 ... 9 amj j 9 ... 9 amnn ≤ 3 ≥ bm



Propiedades de las soluciones

-.N e0inición de variables:

!ea j 3 Q.... # j 3 -) &) A....n

Cue Kaga maimo a:

Ma. o Min. z 3 -- 9 && 9 ... 9 j j 9 ... 9 nn

...donde n 3 Q total de valores j 3 ocurrencia.

4o 4egativo: no negatividad de signo para

variables: toda j ≥ '



!e supone "ue:

-8 >lgunas de las condiciones pueden Kaber

sido desigualdades antes de 0uesen sumadas o

restadas nuevas variables para convertirlas en

ecuaciones. &8 Hodas las b ≥ ') lo cual pueden re"uerir "ue

alguna de las ecuaciones debe multiplicarse

por N-.

n R m) y > es de orden m n.



$>;O P;EP>;>HO;IO C j Cn+1, Cn+2, Cn+n C1 C2 Cn

Ci

<ase

2%bi

2n9- 2n9& 2n9m 2- 2& 2n

oe0icientes de

Las variables

e olgura

oe0icientes de

Las restricciones

Z j

Z j - C j



$>;O P;EP>;>HO;IO C j Cn+1, Cn+2 Cn+m C1 C2 Cn

Ci

<as

e

2%

b

i

2n9- 2n9& 2n9m 2- 2n&

2n

oe0icientes de

Las variables

e olgura

oe0icientes de

Las restricciones

Z j

Z j - C j

C j

3 Indica los

coe0iciente de la

7uncion Objetivo

Ci 3 Este vector

columna esta 0ormado

por los costos o

utilidades de las

variables en 0orma

inicial) pertenecen a la

solucion base delproblema

!"ase 3 ector

con0ormado por las

variables "ue se suponeson la solución del

#i3 alor independiente de la

restricciónZ j3 Producto del vector Ci

por todos los coe0icientes de

la matriz en 0orma

correspondiente 4o matricial8



Ejemplo:

Sea la $%O

?Ma8 3 -- 9 && 9 AA 9'n9-9'n9& 9'n9A

-- 9 && 9 AA 9'*9'( 9'+

s%a

a--- 9 a-&& 9a-AA 9 -*9'( 9'+ 3 b-

a&-- 9 a&&& 9 a&AA9 '*9-( 9'+ 3 b&

aA-- 9 aA&& 9 aAAA9 '*9'( 9-+ 3bA

4.4

- )&) A ≥ '



;eordenar para pasar los coe0icientes al cuadro

preparatorio

b-3 -*9'( 9'+ 9a--- 9 a-&& 9 a-AA

b&3 '*9-( 9'+ 9a&-- 9a&&& 9 a&AA

bA3'*9'( 9-+ 9aA-- 9 aA&& 9 aAAA



!OL$IO4 <>!I>

C j C& C' C( C1 C2 C)

Ci

<ase

2% bi

2* 2( 2+ 2- 2& 2A

*

*

*

2*

2(

2+

b-

b&

bA

- ' '

' - '

' ' -

a--

a-&

a-A

a&- a&& a&A

aA- aA& aAA

Z j ' ' ' ' ' '

Z j - C j



Ejemplo A: Minimización

7unción Objetivo: Z ( Minimizar8 3 &( X - 9 (' X &

!. a ;estricciones8: Alfa 3X - 9 - 2& ≥ 8.

Beta 4X - 9 A X & ≥ 19.

Gamma 1X - 9 A X & ≥ 7.

4o negatividad

X - ≥ '# X & ≥ '.



!olución: X -3*) X &3-



Ejemplo *: Minimización

7unción Objetivo: Z ( Minimizar8 3 A X - 9 &.( X &

!. a ;estricciones8:2X - 9 * 2& ≥ 40.

3X - 9 & X & ≥ 50.

4o negatividad

X - ≥ '# X & ≥ '.



!olución: X -3-() X &3&.(



Ejemplo (: Minimización

7unción Objetivo: Z ( Minimizar8 3 & X - 9 * X &

!. a ;estricciones8: A 1X - 9 2& ≥ 4.

B 2X - 9 - X & ≥ 3.

C 1X - 9 A X & ≥ 6.

4o negatividad

X - ≥ '# X & ≥ '.



!olución: Ecuacion S>T



!olución: Ecuacion S<T



!olución: Ecuacion ST



!olución: X -3A) X &3-



Documents

Prog Lineal Simplex (1)