Cada una de las funciones Ψ que son solución de la ecuación de Schrödinger, (esto es, cada orbital) posee una estructura matemática tal que es posible dividirla en dos componentes: la parte radial y la parte angular. Esto puede representarse mediante

Ψ = R(r)Θ(θ)Φ(φ)

Los números cuánticos que caracterizan a cada Ψ son tres: n, l y ml (consecuencia natural de la tridimensionalidad del átomo). Cada combinación de éstos es exclusiva de un determinado orbital. El primero de estos números cuánticos está involucrado en la parte radial de la función de onda, R(r), y los restantes en la angular, Θ(θ)Φ(φ). Los parámetros r, θ y φ son los que se utilizan cuando se hace uso de coordenadas polares para definir la ubiación del electrón en el espacio, y se prefiere utilizar éstas en lugar de las coordenadas cartesianas clásicas x, y y z porque con ellas las funciones Ψ se definen matemáticamente de una manera más.

Cada parte de la función de onda se interpreta por separado, y con las gráficas que de cada una obtenemos es posible describir de manera completa a un orbital analizando de manera simultánea la información que ambas componehtes contienen.

El cuadrado de la parte radial de la función de onda, Ψ2, nos indica qué tan probable es encontrar al electrón en ese orbital en función de la distancia núcleo-electrón, representada por r. Conforme el número cuántico n se incrementa, aumenta también la energía del orbital, y existe la creencia errónea, ampliamente diseminada, de que hay un mayor “tamaño” para un orbital a medida que n aumenta. Esta perspectiva desafortunada, no obstante que es matemáticamente incorrecta, es por otro lado nemotécnicamente muy útil.

En la Tabla 1 se presentan las gráficas de AΨ2 para la parte radial. Como ves, en el orbital 1s es más probable encontrar al electrón en r = a0, y luego de alcanzar un valor considerablemente alto, la función decae muy rápido (esto es, tiende a cero rápidamente después del máximo. En el 2s el máximo

Figura 1. Coor-denadas polares.

más prominente de esta curva se halla por arriba de 5a0, y no alcanza un valor tan elevado en cuanto a la probabilidad de encontrar al electrón como en el caso del “pico” del orbital 1s. Esto puede entenderse de una manera sencilla: la probabilidad de encontrar al electrón debe repartirse ahora entre dos máximos: el de 5a0 y otro más pequeño en aproximadamente r = a0. En el 3s hay ahora más máximos, por lo que el de mayor tamaño, ahora hacia 13a0, ve disminuido su tamaño aún más. Finalmente, en el 4s el mayor de los máximos se alcanza alrededor de 25a0, y como la probabilidad de encontrar al electrón debe distribuirse ahora entre cuatro máximos, cada uno de ellos es más pequeño con respecto a los de los otros tres orbitales. Esto quiere decir que el electrón se halla más homogéneamente distribuido en este orbital y no se encuentra acotado en un intervalo de r muy estrecho.

La consecuencia de esto que acabamos de analizar se representa en la Figura 2. Aquí se hallan graficadas la parte angular de estos cuatro orbitales

s. Un análisis apresurado nos haría pensar que, efectivamente, los orbitales tienen un diferente tamaño, y que éstos se encuentran dispuestos en el orden 4s>3s>2s>1s. En realidad, lo que se grafica en cada caso es el contorno tridimiensional en el que se espera encontrar al electrón con una cierta

Tabla 1. Gráficas del cuadrado de la parte radial de la función de onda. En el eje de las “y” se representa la posibilidad de hallar al electrón en términos de AΨ2 (donde A = 4π2), y en el eje de las “x” la distancia a la que se encuentra el electrón del núcleo (r está en unidades de a0 = 52.92 pm (radio de Bohr); 1 pm = 1 x 10-12 m). Orbital AΨ2

1s

2s

3s

4s

probabilidad (digamos con un 98% de certidumbre en todos los casos). Como la función radial del orbital 1s decae muy rápido, no es necesario extender la representación angular de este orbital a valores de r muy elevados en el espacio para que pueda hallarse al electrón con esa certidumbre del 98%; en contraste, como el 4s es difuso, esto es, en él la probabilidad de encontrar al electrón se halla más extendida, la función no decae matemáticamente tan rápido, por lo que se requiere definir un “volumen” mayor para un orbital s y por ello el 4s “se ve” más grande que el 1s. (esto es, ir a valores de r mayores y, por tanto, se debe considerqar una esfera de mayor volumen) para poder abarcar el espacio para este orbital dentro del cual será posible ubicar al electrón con esa misma certidumbre del 98%.

Figura 2. De izquierda a derecha, los orbitales 1s, 2s, 3s y 4s. El contorno de probabilidad acumulada total graficada es del 98% para encontrar al electrón definido en el espacio tridimensional graficado para cada orbital. Al definir probabilidad acumulada, los orbitales cuya función decae más rápido tendrán tamaños aparentes más pequeños (no requieren un contorno tan grande para incluir dentro de su espacio al 98 % de la probabilidad de encontrar al electrón).

En la Figura 3 se pueden comparar los diferen-tes decaimientos de las diferentes funciones s, y en ellas es claro que es más probable encontrar al elec-trón en el orbital 1s a dis-tancias cortas del núcleo; en contraste, si se consideran valores de r grandes, lo más probable es que el electrón se ubique en el orbital 4s.

Figura. 3. AΨ2 vs. r (en a0) para los cuatro primeros orbitales s. Observa como el orbital con la mayor probabilidad de encontrar al electrón a valores de r pequeños es el 1s.

Otra situación importante que se desprende de la Tabla 1 es que conforme aumenta n aumenta el número de nodos radiales. Tal como lo vimos para el caso del átomo simulado (problema de la partícula en una caja), en el orbital 1s no hay nodos radiales; en el nivel 2 hay un nodo radial; en el tres hay dos nodos radiales; en el cuatro hay tres nodos radiales, etc. Un nodo radial (un mínimo de la curva de AΨ2 vs. r) implica que la posibilidad de hallar al electrón en esos puntos nodales del orbital es cero. Como consecuencia de la aparición de los nodos radiales, los orbitales s van cambiando sus fases (regiones) matemáticas, denominadas lóbulos. Dado que la forma de estos orbitales es esférica, los nodos vienen a darles un aspecto de capas de cebolla a los orbitales s conforme el número de sus lóbulos aumenta a partir de la presencia de los nodos radiales (Figura 4). Este mismo fenómeno se aprecia en las diferentes “familias” de los orbitales (p, d, f).

Figura 4. Apariencia de los lóbulos de los orbitales (de izquierda a derecha) 1s, 2s, 3s y 4s seccionados. El 1s, al no presentar nodos radiales, solamente posee un lóbulo, lo que se representa con una semiesfera de un solo color. En el caso del 2s, la presencia de un nodo radial da lugar a dos regiones matemáticas de signo opuesto o dos lóbulos. En el 3s hay dos nodos radiales y tres lóbulos; en el 4s hay tres nodos radiales y cuatro lóbulos de fase matemática contraria y alternante.

El cuadrado de la parte radial de la función de onda, Ψ2, define la “forma” del orbital en base a otros dos números cuánticos: l y ml. En ellos también se presentan nodos, los cuales estarán en función del número cuántico l: si el orbital es tipo s (l = 0) habrá cero nodos angulares (o superficies nodales); si el orbital es tipo p (l = 1) habrá 1 superficie nodal; si el orbital es tipo d (l = 2) habrá dos nodos angulares; si el orbital es tipo f (l = 0) habrá tres nodos angulares; etc. En la Figura 5 se representan estos nodos angulares para los orbitales p, d y f, y su número siempre es el mismo para cada tipo de orbital.

a B c

Figura 5. Superficies nodales o nodos angulares para (a) el orbital 2!!! (una superficie nodal), para (b) el orbital 3!!!!!! (dos superficies nodales), y (c) 4!!"! (tres superficies nodales).

El número de nodos totales para un orbital coincide pues con el número n de ese orbital menos 1. Así,

• El orbital 1s tiene 0 nodos. • El 2s tiene 1 (radial); los tres orbitales 2p tienen 1 (angular). • El orbital 3s tiene 2 (todos radiales), los tres orbitales 3p tienen 2 nodos

(uno radial y uno angular); los cinco orbitales 3d tienen 2 nodos (ambos angulares).

Finalmente, a los orbitales se les clasifica en cuanto a su penetración. Los orbitales s son más penetrantes que los p y éstos a su vez que los d porque poseen máximos en su gráfica de función radial más próximos al núcleo (Figura 6). Este fenómeno tiene implicaciones importantes en cuanto a los fenómenos de apantallamiento, lo cual incide de manera importante sobre diversas propiedades atómicas (como más adelante revisaremos en la última parte del curso).

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Figura 6. Cuadrado de la parte radial de la función de onda para los orbitales de un mismo periodo: en este caso, 3s, 3p y 3d.