Proiectarea SAN prin alocarea poli zerouri

Ca si la sistemele continue se incearca satisfacerea performantelor impuse, pornind de la ideea ca sistemul inchis are o functie de transfer de ordinul II, ai carei poli trebuie alocati.

La sistemele continue functia de transfer in stare inchisa este:

22

2

21

210 2))((

)(nn

n

sspspspp

sHωωξ

ω+⋅+

=++

=

cu polii: 22,1 1 ξωξω −±−= nn jp

La sistemele numerice functia de transfer trebuie sa fie de forma:

))(()(

)( 100

βα zzzzzzCzH−−

−=

cu polii: Tsez 2,1,

−=βα )( sTez =

Remarcam aparitia unui zero 1z , datorat prezentei elementului de retinere in cadrul partii fixate. Deci la SAN trebuiesc alocati doi poli si un zero.

Coeficientul 0C trebuie sa aiba valoarea:

10 1

)1)(1(z

zzC

−

−−= βα

pentru a fi indeplinita conditia de eroare stationara nula la intrare treapta unitara: 1)1(0 =H

O alta deosebire consta in faptul ca la SAN intervin elemente de esantionare si retinere care micsoreaza rezerva de stabilitate. Elementul de retinere introduce intarzieri care vor inrautati performantele tranzitorii fata de sistemul continuu corespunzator.

O prima problema este determinarea perioadei de esantionare care intervine in calculul functiilor de transfer discrete. Ea se alege dupa criteriul pierderii minime de informatie asupra evolutiei marimilor continue intre momentele de esantionare. Ea se alege fie in functie de perioada de oscilatie oscT a raspunsului y, fie in functie de constantele de timp 21 , ff TT si durata

regimului tranzitoriu impus rt . Se pot aplica relatiile:

oscTT )2,0...1,0(=

)5...5,2(),min( 21 ff TT

T =

)10...5(rtT =

Se calculeaza apoi functia de transfer discreta )( 1−zH f cunoscand functia de transfer

continua )(sH g a obiectului reglat.

)(1)()()( sHsesHsHsH g

Ts

gERf

−−==

De aici:

]})(

[{)1()( 111

ssH

LZzzH gf

−−− −=

Daca )(sH g are si timp mort jT=ι atunci )( 1−zH f apare inmultit cu jz − . Urmeaza alocarea polilor si a zerourilor pentru satisfacerea unor performante de tipul:

impσσ ≤

imprr tt ≤

0=stε Din relatia de legatura intre z si s rezulta:

Tnez ξωβα

−=,

Tz n21)arg( ξωα −= Tz n

21)arg( ξωβ −−=

Pentru alocarea polilor sunt utile locurile geometrice ale polului αz pentru ξ =constant si pentru Tnω =constant. Ele au aliura urmatoare:

La sistemele continue raspunsul si suprareglajul depindeau de ϕ si λ , λ fiind un

parametru care preciza pozitia unui zerou suplimentar z introdus pentru ameliorarea unor performante.

znω

λ =

Si aici raspunsul si deci σ , depind de un parametru α care precizeaza pozitia zeroului 1z fata de polul αz .

Definirea parametrului α Reprezentam polul αz si zeroul 1z ca in desenul alaturat:

Cu notatiile de pe desen avem:

2)1arg(

2)1arg( ππ

ϕ αα −−=⇒+==− zvvz

vzz +==− αυα )arg( 1

Deci: 2

)1arg()arg( 1π

να αα +−−−=−= zzzv (*)

Este posibil, dupa cum reiese din figura ca 0<⇒< αγν

Pentru a uni cele doua cazuri se face conventia 0>α si relatia (*) devine:

2)1arg()arg( 1

πγνα αα +−−−=−=± zzz

Determinarea raspunsului la un semnal de referinta treapta Avem:

)()()( zRzHzY =

))(()(

)( 10

βα zzzzzzCzH−−

−=

111)( 1 −

=−

= − zz

zzR

Deci:

)1)()(()(

)( 10

−−−−

=zzzzz

zzzCzYβα

Determinam raspunsul in timp prin aplicarea transformatei z inverse

dzzzzzz

zzzCj

dzzzYj

ykTyk

kk ∫∫

Γ

−

Γ −−−−

===)1)()((

)(21)(

21][ 101

βαππ

unde Γ este un contur care include toti polii lui Y(z). Se obtine prin metoda reziduurilor:

)cos()1)((

)(21 10

ααααβα

α ξθ +⋅−−

−+= kz

zzzzzCy k

k

unde:

Tz n21)arg( ξωθ αα −==

2)1arg()arg( 1

πξ ααα −−−−= zzz

Tinand cont de expresia lui α± rezulta: απξα ±=

Notam: )1)((

)(2 10

−−−

=αβα

α

zzzzzCq

si tinand cont ca 1

0 1)1)(1(

zzz

C−

−−= βα simplificam pe q:

11

112

)1)(()(

1)1)(1(

21

11

1 −−−

−−−=

−−−

⋅−

−−=

αβα

αβα

αβα

αβα

zzzz

zzzzzzzzz

zzz

q

Dar: 111 −=−=− ααβ zzz

α

βα

α

βα

αα

z

zz

z

zzzzzzzz

q

−

−

−

−=

−−

−−=

121

11

2

1

1

1

1 (**)

Din fig. 2 constatam ca:

)sin(1

2 εα

βα

=−

−

z

zz

( ABC∆ )

Deasemenea din ADE∆ rezulta: DElz ==− )sin(1 1 ε

Revenind la relatia (**) avem:

)sec(1α

α==

−=

DECD

lzz

q

Cu aceasta simplificare si cu inlocuirea Tnez ϕω

α−=

avem:

)1cos()sec(1 2 παϕωα ξω −±−⋅+= −n

Tkk kTey n

Trecand de la discretizarea kT la timpul t continuu avem:

)1cos()(sec1)( 2 παϕωα γω −±−⋅+= − tety ntn

Pentru determinarea suprareglajului σ trebuie sa aflam momentul atingerii maximului maxt din conditia:

0max == tdtdy

t

)1

(11

1)1(

)1cos()1sin(1

0)1sin(1)sec(

)1cos()()sec(

22max

2max2

222

22

2

παϕ

ϕ

ϕω

ϕ

ϕπαϕω

παϕωϕωπαϕωϕω

παϕωϕωα

παϕωϕωα

ϕω

ϕω

+−

−

−=⇒

−−=−±−⇒

⇒−±−=−±−−−⇒

⇒=−±−−−

−−±−−=

−

marctgt

ttg

tt

te

tedtdy

n

n

nnnn

nt

n

nt

n

n

n

Introducand aceasta expresie in y(t) obtinem:

)1

(12

2

)1

(1

1

max

22

22

)sec(11

)1

cos()sec(1)(

παϕ

ϕ

ϕ

ϕ

παϕ

ϕ

ϕωϕω

αϕ

παπαϕ

ϕα

+−

−

−−

+−

−

−−

−+=

=−±+−

−⋅+=

m

m

m

arctg

arctg

e

arctgety nn

Din y( maxt )=)

1(

12max

22

)sec(11πα

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

αϕσσ+

−

−

−−

−=⇒+=marctg

ey Se vede deci ca σ depinde si de ϕ si de α . Folosind aceasta relatie se determina

caracteristicile )(ασ f= pentru ϕ =constant care au aliura urmatoare:

Din aceasta caracteristica, pentru un σ impus, pot determina mai multe perechi ( αξ , )

care sa realizeze suprareglajul. Se poate construi locul geometric al lui αz pentru σ =constant prin constructie punct cu

punct din intersectia locului geometric de αz pentru ϕ =constant cu locul geometric de αz pentru α = constant.

Pentru locul geometric de αz pentru α =constant presupunem ca z 1 =constant (fixat). Procedura de alegere a lui 1z este legata de inlaturarea oscilatiei comenzii.

Din fig.2 reiese ca daca α =constant si β =constant, β fiind unghiul sub care αz primeste 1z si punctul (1,j0).

Deci locul geometric a lui αz pentru =α constant este un arc de cerc. Perechile de puncte ( αϕ , ) le iau din diagrama 3 ducand o paralela in dreptul lui impσ .

Util este si locul geometric αz pentru t r =constant. Deducerea lui se bazeaza pe ideea ca relatia din domeniul continuu:

nrt ξω

4≅

isi pastreaza valabilitatea.

)1cos()sec(1)()( 2 παϕωαε ϕω −±−=−= − tetyt ntn

Conditia de intrare in regim stationar este:

nrrn

t ttet rn

ϕω

α

αϕωαε ϕω 05,0

)sec(ln

)sec(05,0ln05,0)sec(%5)( =⇒≤−⇒≤⇒≤ −

Daca 070≤α n

rt ξω4

≈⇒

Deci T

tT rn eez4

−− == ξω

α

Adica rt =constant αz⇒ =constant.

Locul geometric a lui αz pentru rt =constant este un cerc concentric cu cercul unitate

Polii se determina din intersectia locului geometric al polului αz pentru

σ =constant= impσ cu locul geometric pentru rt = constant = imprt . Prin conjugare se determina si

βz . Domenii de alocare a polilor si zeroului functiei )( 1

0−zH . Definirea parametrului α

2

2,1 1 ϕωϕω −±−= nn js TjTs nneez

22,1 1

,ϕωϕω

βα−±−==

Tnez ϕωβα =, Tz n

2, 1)arg( ϕωβα −±=

T se alege fie in functie de perioada de oscilatie oscT a raspunsului y, fie de valorile de timp 21, ff TT , fi de durata regimului tranzitoriu rt .

oscTT ]101...

51[=

21 ϕωω −= nosc

πϕω

πω

21

2

2−== nosc

oscf

2121

ϕω

π

−==

noscosc f

T

22)2,0...1,0(1

12)2,0...1,0( 2

2

ππϕω

ϕω

π<=−⇒

−= TT n

n

⇒<=2

)arg( πθααz

⇒ Polii se aloca in senicercul drept al cercului unitar

)1)(1(

)1()( 11

1

1

21

11

21 −−−−

−−

−−− −−

−=

zeze

zbbz

bzkzH TaTaN

fFE

1

11

fTa =

2

12

fTa =

01 >b 02 <b 01

21

<=⇒bbz f

Zeroul este negativ.