a) Equilibrio (1 punto):
= 0 ( sin ) cos ( sin ) sin ( cos ) sin ( cos ) cos = 0
= (cos )2 + (sin )
2 + (2 sin cos )
= 0 + ( sin ) sin ( sin ) cos ( cos ) cos + ( cos ) sin = 0
= ( ) sin cos + ((cos )2 (sin )2)
Usando las identidades:
sin 2 = 2 sin cos (sin )2 =1 cos 2
2 (cos )2 =
1 + cos 2
2
Se llega a (1 punto):
=+
2+
2cos 2 + sin 2 (1)
=
2sin 2 + cos 2 (2)
Construccin del crculo (1 punto):
De (1):
+
2=
2cos 2 + sin 2 (3)
De (3)2 + (2)2:
( +
2)
2
+ 2
= (
2)
2
(cos 2)2 + 2 (sin 2)2 + ( ) sin 2 cos 2
+ ( ) sin 2 cos 2 + (
2)
2
(sin 2)2 + 2 (cos 2)2
Luego, factorizando:
( +
2)
2
+ 2 =
2 ((sin 2)2+(cos 2)2) + (
2)
2
((cos 2)2 + (sin 2)2)
Como:
(cos 2)2 + (sin 2)2 = 1
Se llega a la ecuacin de un crculo:
( +
2)
2
+ 2 =
2 + (
2)
2
Con centro (C) y radio (R):
= +
2
= 2 + (
2
)2
Para esta ltima parte tambin se poda demostrar que las
ecuaciones (1) y (2) cumplen con la
forma de un crculo. Pero haba que sacar esas ecuaciones
primero!
b) Las matrices adems de dar un orden en la cantidad de
ecuaciones que hay que resolver (0.5
puntos), sirven para simplificar el mtodo de clculo, porque
usando la inversa se facilita mucho
(0.5 puntos).
= = 1
c) El grfico representa el estado de tensiones de un cuerpo en
3D, en que se grafican las
tensiones normales y de corte principales (0.5 puntos).
Se forma a partir del cubo pequeo sometido a tensiones de corte
y normales, el cual se rota en
los tres planos para obtener las ecuaciones de cada crculo de
Mohr (0.5 puntos)
d) Los materiales que son frgiles fallan debido al esfuerzo
normal (0.5 puntos).
Es la razn por la que cuando un material frgil, como el hierro
colado, se sujeta a torsin, falla en
tensin, con una inclinacin de 45 (0.5 puntos). Porque al rotar
un estado de corte puro (slo
torsin) en 45 se obtienen las tensiones normales
principales.
