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UNIVERSIDAD CATOLICA DE LA SANTISIMA CONCEPCION

FACULTAD DE INGENIERIA

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Y FISICA APLICADAS

TEST  N O3  - V-7CALCULO II (IN1005C)

50 minutos.

Nombre:

RUT:

Carrera:

Profesor de catedra:

1. Evalue la siguiente integral impropia o demuestre que diverge.

   +∞0

e−2x cos(3x)dx

Solucion:

Vemos que,

   +∞

0

e−2x cos(3x)dx  = limc→∞ 

  c

0

e−2x cos(3x)dxResolvamos primeramente la Integral Indefinida

I   =

   e−2x cos(3x)dx

por el metodo de recurrencia, ası,

I   =

   e−2x cos(3x)dx = −

1

2e−2xcos(3x)−

3

2

−

1

2e−2xsen(3x)−

3

2I 

que al despejar  I   se tenda,

I   =  2

5e−2xcos(3x)−

3

5e−2xsen(3x)

Ahora, por la Regla de Barrow evaluamos la integral definida inicial en  c y  0, por lo que

obtendremos

I 1  =   c0e−2x

cos(3x)dx =

  e−2c

5 (2cos(3c)− 3sen(3c))−

2

5

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2

Finalmente, evaluamos el limite para  I 1, es decir, obtenemos,   limc→∞ I 1   y claramente

nos lleva a deducir la divergencia de la integral impropia

   +∞0

e−2x cos(3x)dx

.

2. Considere la siguiente serie telescopica

+∞n=1

1

n(n + 1).

Determine si converge o diverge.

Solucion:  Esta serie podemos resolverla, por ejemplo, de las siguientes formas:

1. Por Criterio de Comparacion

Esta serie es convergente, pues, se tiene que   1n(n + 1)

≤ 1n2

Como la serie+∞n=1

1

n2

es convergente (serie  p, con  p = 2),

entonces, la serie menor+∞n=1

1

n(n + 1)

converge.

2. Por Teorema de la Serie Telescopica

es decir, la serie+∞n=1

1

n(n + 1)

tiene suma  1, ya que esta serie en forma telescopica tendra la forma:

+∞

n=1

1

n(n + 1)=

+∞

n=1

1

n

−1

n + 1

donde,  an  =  1

n,  an+1  =

  1

n + 1,  a1  = 1

y ademas el lımite de  an  es 0  cuando  n −→∞

luego la serie+∞n=1

1

n(n + 1)

converge y su valor es 1

November 26, 2012