Upload
others
View
1
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Rotace v roviněRotace v rovině
Pavel Jež, Ctirad Martinec, Jaroslav Nejdl
Fyzikální seminář 2003 – zimní semestr
1. Trocha historie
2. Rotační kinematika
3. Rotační dynamika• Moment síly
• Moment setrvačnosti
• Zákon síly pro rovinnou rotaci
• Moment hybnosti
• Zákon zachování momentu hybnosti
4. Pár příkladů z praxe
Obsah
Něco málo z dějin…Christian Huygens (1629-1695)• 1673 – Horologium oscillatorium (Kyvadlové hodiny)
– Popis matematického i fyzického kyvadla – výpočty momentů setrvačnosti, první použití Steinerovy věty
Leonhard Euler (1707-1782)• Popis rotace matematickými metodami• Analytická teorie pohybu tuhého tělesa
Rotační kinematika3 základní veličiny popisující posuvný pohyb:
• dráha s
• rychlost
• zrychlení
v=dtds
asv == 2
2
dtd
dtd
Rotační kinematikaDráha: rozdíl polohových vektorů
r1 r2
Os
ϕ r1
r2
Stejný směr, různá velikost:
Stejná velikost, různý směr:
… úhlová dráha
Rotační kinematika
Úhlová rychlost ω ω ω ω :::: Úhlové zrychlení ε ε ε ε ::::
dtdϕ=ω
2
2
dtd
dtd ϕ== vε
Rotační dynamika – Moment sílySíla: uvádí těleso do pohybu (posuvného, otáčivého)
F
α F’
Rotační dynamika – Moment sílyPootočení o úhel ∆ϑ:
αsinFFt =
ϑϑαϑ ∆⋅=⋅∆=⋅∆= 00sin rrW Fr
FrFr
Rotační dynamika – Moment síly
αα sinsin0 ⋅⋅=== rFN FrFr
FrN ×=
Rotační dynamika -Moment setrvačnosti
K roztočení tělesa je potřebná práce ⇒ rotující těleso má ENERGII
Jaká je rychlost otáčejícího se tělesa?
Rotační dynamika -Moment setrvačnosti
Obvodová rychlost hmotného bodu:
ωωωωrdtdr
dtds =⋅== ϕv
Jeho kinetická energie: 221 mv
Rotační dynamika -Moment setrvačnosti
Celková kinetická energie tuhého tělesa složeného z n hmotných bodů:
( ) ( ) 2
1
2
1
2
1
2
21
21
21 ωω
484 76 I
rmrmvmEn
iii
n
iii
n
iiik
=== ∑∑∑
===
Moment setrvačnostiExperimentální určení
Závaží působí silou F = maPoloměr osičky: r0
Moment síly, který roztáčí disk: N = Tr0 =m(g-a) r0
Moment setrvačnostiExperimentální určení
Určení zrychlení závaží a:Pohyb rovnoměrně zrychlený z klidu
2
22tha
aht =⇔=
Určení momentu setrvačnosti I:
εIIN N=⇔= ε
Moment setrvačnostiExperimentální určení
Vzorec pro určení momentu setrvačnosti v tomto experimentu:
ε
−
=20
2thgmr
I
Moment setrvačnostiPorovnání experimentální a teoretické
hodnoty
Moment setrvačnosti homogenního disku: I = 9,46.10-3 kg.m2
N = 7,1 .10-3 N.m
2rad.s 0,751 −==I
Mε
Rotační dynamika -zákon síly
N = IεεεεPokud M = konst.
1
2
2
12211 ε
εεε =⇔=IIII
Rotační dynamika -zákon síly
DISK PRSTENEC
( )22
212
1 RRMI +=
I = 9,46.10-3 kg.m2 I = 4,93.10-3 kg.m2
66,02
1 =&II
2
21MRI =
Rotační dynamika -Moment hybnosti
hybnost: p = mv
moment hybnosti: L = Iωωωω
rprvmrIL ⋅=== 2ω
Rotační dynamika -Moment hybnosti
Obecnější situace:
αsin..rpL = prL ×=
Rotační dynamika -Zákon zachování momentu hybnosti
∑==== iNIdtdI
dtId
dtdL εωω)(
Víme, žei
Fdtdp ∑=
Platí analogie?
Rotační dynamika -Zákon zachování momentu hybnosti
„Pokud je součet všech momentů sil působících na těleso nulový, jeho moment hybnosti se nemění.“
.0 konstdtd =⇔= LL
Rotační dynamika -Zákon zachování momentu hybnosti
II. Keplerův zákon
..2 konstrdrkonstdtdmrI =⋅⇒== ϕϕω
Rotační dynamika -Zákon zachování momentu hybnosti
Experiment
1
2
2
12211 ω
ωωω =⇒=IIII
I1= 45,0.10-3 kg.m2
I2= 20,3.10-3 kg.m2 22,22
1 =II
Pár zajímavostí z praxe…Skokan do vody Raketa
Shrnutí
Moment hybnostiHybnost p
Moment setrvačnostiHmotnost m
Moment síly Síla FÚhlové zrychleníZrychlení
Úhlová rychlost Rychlost Úhlová dráha ϕDráha s
Rotační veličinaPosuvná veličina
dtdsv =
dtdϕω =
dtdva = dt
dωε =
FrN ×=
∑=
n
iiirm
1
2
prL ×=
ShrnutíII. Newtonův zákon pro rotační pohyb:
LN &&&==∑=
ϕIn
ii
1
Zákon zachování momentu hybnosti:
0. =∆⇔= LL konst
LiteraturaR.P.Feynman, R.B.Leighton, M.Sands: Feynmanovy přednášky z fyziky.FRAGMENT.2002.
D.Halliday, R.Resnick, J.Walker:Fyzika - Mechanika: rotační pohyb.VUTIUM a PROMETHEUS.2000.
I.Štoll: Mechanika.ČVUT.2003.
I.Štoll: Svět očima fyziky.Prometheus.1996.
WWWEastern Illionois University: http://oldsci.eiu.edu/
University of Texas: http://farside.ph.utexas.edu/teaching/301/lectures/lectures.html
How Stuff Works: http://www.howstuffworks.com/
Fyzikální portál: http://fyzika.fjfi.cvut.cz/