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Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
LycéeClemenceau
PCSI 1 (O.Granier)
Loi d’Ohm
Effet Hall
Force de Laplace
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
I – La loi d’Ohm locale et macroscopique
1 – Présentation du modèle de Drude (1900) :Dans un conducteur métallique (« ohmique ») soumis à une tension électrique, les électrons de conduction se mettent en mouvement.
On définit l’intensité I du courant électrique et le vecteur j densité de courant électrique :
ρρρρm : densité de charges mobiles (ρρρρm =nq, où n est la densité de charges mobiles).
v : vitesse des porteurs de charge q.
∫∫===)(
.;;S
m dSnjIvjdt
dqI
rrrrρ
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
Soit E le champ électrique responsable de la mise en mouvement des charges mobiles.
Une charge mobile est d’une part soumise à la force électrique :
Elle est également soumise à une force due aux charges fixes qui composent le réseau cristallin du conducteur métallique.
On modélise cette force par une force de type « frottement fluide » :
où k est une constante phénoménologique, dépendant du conducteur ohmique considéré.
Eqfél
rr=
vkfrés
rr−=
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
2 – Loi d’Ohm locale et conductivité d’un conducteur ohmique :Le PFD appliqué (dans le référentiel du laboratoire) à une charge mobile donne alors (m désigne la masse d’un porteur de charge) :
Soit :
On pose (temps de relaxation du milieu) :
vkEqdt
vdm
rrr
−=
Em
qv
m
k
dt
vd rrr
=+
m
k=
τ
1
Em
qv
dt
vd rrr
=+τ
1
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
La solution de cette équation différentielle est (lorsque le champ électrique est constant) :
En régime permanent (pour t >> ττττ) :
Le vecteur densité de courant s’en déduit :
Em
qv
dt
vd rrr
=+τ
1
Em
qtAv
rrr τ
τ+−= )exp(
Em
qv
rr τ=
Em
nqvnqj
rrr τ2
==
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
On pose : (conductivité électrique du milieu)
Avec :
La loi d’Ohm est ainsi expliquée à partir de la limitation de la vitesse de migration des porteurs du fait de leurs interactions avec le milieu matériel (les cations fixes du réseau métallique).
Em
nqvnqj
rrr τ2
==
m
nq τσ
2
=
)'( localeOhmdloiEjrr
σ=
VgradE −=r
Vgradj σ−=r
Olivier GRANIER
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3 – Ordres de grandeur :Les porteurs de charge sont des électrons.
Le tableau suivant donne les conductivités de quelques métaux usuels àtempérature ambiante (300 K) :
Pour le cuivre, on peut évaluer le temps de relaxation :
Le régime permanent est atteint très rapidement, du moins tant que les durées caractéristiques de variations du champ E sont très supérieures à 10-14 s.
0,103,654,555,886,21σ (107 S.m-1)
HgAlAuCuAg
s14
10.4,2−=τ
Olivier GRANIER
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4 – Résistance électrique et loi d’Ohm macroscopique :On considère un conducteur ohmique cylindrique de section transverse s et de longueur L (un fil électrique en cuivre, par exemple).
Le champ à l’intérieur du fil est (en régime indépendant du temps) :
VAVB
Er
vr M (q,m)
L
xBA u
L
VVE
rr −=
xur
I
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D’après la loi d’Ohm locale : . Par ailleurs :
D’où :
VAVB
Er
vr M (q,m)
L xur
Ejrr
σ=
jSSdnjIS
== ∫∫ )(.rr
IS
LVVet
L
VVSESI BA
BA
σσσ =−
−==
I
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On pose : (résistance électrique du fil)
On définit aussi
VAVB
Er
vr M (q,m)
L xur
S
LR
σ=
)'( quemacroscopiOhmdLoiRIVV BA =−
S
LRérésistivit
ρ
σρ == :)(
1
I
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II – L’effet Hall
1 – Action d’un champ magnétique sur le mouvement des porteurs de charges :Le conducteur ohmique est placé dans un champ magnétique B.
Le PFD appliqué à un porteur devient :
Soit :
En régime permanent (t >> ττττ) :
vkBvEqdt
vdm
rrrrr
−∧+= )(
)(1
BvEm
qv
dt
vd rrrrr
∧+=+τ
)( BvEm
qv
rrrr∧+=
τ
Olivier GRANIER
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2 – Mise en évidence de l’effet Hall : (exercice n°2)
a
b
L
M (q,m)vr
zuBBrr
=
Paroi (1)
Paroi (2)
x
y
z
O
+ + + + + + + + + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
I
xHH uEErr
−=
En régime permanent, on constate : yuvvrr
=
condEr
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ya
b
L
M (q,m) vr
zuBBrr
=
Paroi (1)
Paroi (2)
x
z
O+ + + + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - - - - - -
I
xHH uEErr
=
0rrrr
=∧+ BvqEq H
xzyH uvBuBuvBvErrrrrr
−=∧−=∧−=
H
b
xx
b
xH VVVVVvbBudxuvBudxE ∆=−=−−==−= ∫∫−−
211200
)().(.rrrr
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ya
b
L
M (q,m) vr
zuBBrr
=
Paroi (1)
Paroi (2)
x
z
O+ + + + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - - - - - -
I
xHH uEErr
=
vbBVH =∆
Or : , donc : nqvabjabI ==
a
IB
nqbB
nqab
IVH
1==∆
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
ya
b
L
M (q,m) vr
zuBBrr
=
Paroi (1)
Paroi (2)
x
z
O+ + + + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - - - - - -
I
xHH uEErr
=
Si q = - e (cas d’électrons de conduction, avec I < 0 sur le dessin) :
,1
(1
neRavec
a
IBR
a
IB
neV HHH =−=−=∆ constante de Hall)
Application : mesure de champ magnétique (sonde à effet Hall)
Olivier GRANIER
Lycée ClemenceauPCSI 1 - Physique
III – La force de Laplace1 – Force subie par un conducteur dans un champ magnétique B :L’ensemble du conducteur (électrons de conduction et cations métalliques) est soumis, de la part du champ magnétique B aux forces :
ya
b
L
M (q,m) vr
zuBBrr
=
Paroi (1)
Paroi (2)
x
z
O+ + + + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - - - - - -
I
xHH uEErr
=
Olivier GRANIER
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• Sur les électrons de conduction :
• Sur les cations métalliques (immobiles) :
Globalement, le conducteur est donc soumis à la force :
L’intensité I s’exprime sous la forme :
D’où :
[ ]BveEeabLn H
rrr∧−+−)(
[ ]HEeabLnr
)(
[ ]BveabLnFL
rrr∧−= )(
nevabjabI −==
BLIBuILF yL
rrrrr∧=∧=
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2 – Généralisation (cas d’un conducteur filiforme) :On considère un tronçon de circuit filiforme parcouru par un courant d’intensité I et plongé dans un champ magnétique B quelconque.
lr
d
IBr Le conducteur est soumis à la force
(appelée force de Laplace) :
BdIFd L
rlrr
∧=
τdjdsjdjsdIsoitjsIr
lr
lr
lr
====
s
En notant que :Volume
dττττ
BdjFd L
rrr∧= τ
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3 – Exemple d’application (exercice n°2) :Calculer la force de Laplace agissant sur une portion plane quelconque (ACD), parcourue par un courant d'intensité I et placée dans un champ magnétique uniforme et perpendiculaire au plan du circuit.
Étudier le cas où (ACD) est un demi-cercle.
zuBBrr
=
A
C
DI
lr
dI
LFdr BdIFd L
rlrr
∧=
BADIBdIBdIFACDACD
L
rrlrr
lrr
∧=∧
=∧= ∫∫ )()(
Cette force ne dépend pas de la forme du contour (ACD).