Pds Porto Aula1

Francisco Jos de Oliveira Restivo

Anbal Joo de Sousa Ferreira

Departamento de Engenharia Electrotcnica e de Computadores

Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto

Processamento Digital de Sinal Aulas Prticas

Ano Lectivo 2003/04

Setembro de 2003

Processamento Digital de Sinal 2003/04

2003 F. J. Restivo / A. J. Ferreira Problemas das Aulas Prticas

Aula n 1

Problema 1

Considere o sistema discreto

4)2n(x)1n(x2)n(x

)n(y-+-+

= .

a. Determine a sua resposta impulsional h(n).

b. Determine a sua resposta y(n) entrada x(n) = [0.5, 1, 1, 0.5].

Soluo:

a. h(n) = [0.25, 0.5, 0.25]

b. y(n) = [0.5, 1, 1, 0.5] * [0.25, 0.5, 0.25]=[0.125, 0.5, 0.875, 0.875, 0.5, 0.125].

Problema 2

A resposta impulsional de um sistema discreto H

u(n) 2 h(n) -n= .

Determine e represente graficamente a sua resposta y(n) entrada

) 10n- u(n) - u(x(n) = .

Soluo:

=

-+

-=-

-- ==-=)9,nmin(

0k

kn

k0kn9k0

)kn( 222)kn(h)k(x)n(y

y(n)= 0, n < 0

2-2-n, 0 n 9

(2-2-10)2-(n-10), n > 9

Graficamente

0 5 10 15 200

1

2

Problema 3

Determine a resposta impulsional do sistema discreto

y(n) = 0.3x(n) + 0.7y(n-1) .

Soluo:

h(n) = 0.3.0.7nu(n) .

Problema 4

Considere os seguintes sistemas discretos



a. y(n) = 0.1x(n) + 0.1x(n-1)+0.1x(n-2)++0.1x(n-9)

b. y(n)=0.1x(n)-0.1x(n-10)+y(n-1).

Detemine a sua resposta impulsional e classifique-os quanto recursividade e ao comprimento da resposta impulsional.

Soluo:

Ambos os sistemas tm a resposta impulsional (porqu?)

h(n) = 0.1[u(n)-u(n-10)].

Assim, so ambos do tipo FIR, sendo o primeiro um sistema no recursivo e o segundo um sistema recursivo.

Problema 5 (O&S, 2.3)

Classifique os sistemas seguintes no que respeita estabilidade, causalidade, linearidade e invarincia translaco:

a. y(n) = g(n)x(n) , em que g(n) conhecido

b. =

=n

nk 0

)k(x)n(y

c. +

-==

0

0

nn

nnk)k(x)n(y

d. y(n) = x(n n0)

e. y(n)=ex(n)

f. y(n) = ax(n) + b

g. y(n) = x(-n)

h. y(n) = x(n) + 3u(n+1)

Soluo:

Estabilidade Causalidade Linearidade Invarincia translaco a. sim, se |g(n)| for limitado sim sim no b. no no sim no c. sim no sim sim d. sim no sim sim e. sim sim no sim f. sim, se a e b finitos sim no no g. sim no sim no h. sim sim no no


Determine a resposta ao degrau unitrio do sistema com resposta impulsional

1 a 0 , u(-n)a h(n) -n



Aula n 2

Problema 1

a. Determine a resposta impulsional h(n) e a resposta em frequencia H(e jw) de um filtro de mdia de comprimento 5

5)4n(x)3n(x)2n(x)1n(x)n(x)n(y -+-+-+-+=

b. Represente graficamente o mdulo e a fase de H(ejw).

Soluo:

a. h(n) = [0.2, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2]

w-w-w-

w-w-w-w-w-w

w

w

=w

w

=-

-=

++++= j2j2

j

j5j4j3j2jj e

2senc

25senc

e

2sen5

25sen

)e1(5

e15

eeee1)e(H ,

ou, de outro modo,

w-w-w-w-w-

w w+w+=++++= j2j4j3j2j

j e5

)2cos(2)cos(215

eeee1)e(H

b.

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

0 1 2 3 4 5 6

-2

0

2

Problema 2

Determine e represente graficamente a resposta impulsional h(n) de um filtro passa baixo ideal com frequencia superior de corte w = 0.5 rad .

Soluo:

-

-w

pp=

p=-

p=w

p=

5.0

5.0

n5.0jn5.0jnj n5.0senc5.0

nj2)n5.0(jsen2

)ee(jn1

21

de21

)n(h

em que



x)x(sen)x(senc

pp=

-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20-0.1

0

0.1

0.2

Problema 3

a. Se a transformada de Fourier de h(n) for H(ejw), qual a transformada de Fourier de (-1)nh(n)?

b. Determine a resposta impulsional h(n) de um filtro passa alto ideal com frequncia inferior de corte 0.75p rad.

Soluo:

a. )e(He)n(he)n(hee)n(h)1( )(jn)(jn

nj

n

njnj

n

n p-wp-w-+

-=

w-+

-=

pw-+

-=

===-

h uma translaco de p rad

b. trs possibilidades:

i) a partir da definio

p

p

pp-pppw -=-p

=-p

=wp

=25.1

75.0

nnjn25.0jn25.0jn75.0jn25.1jnj

4n

senc4)1(

e)ee(jn1

21

)ee(jn1

21

de21

)n(h

ii) verificando que o filtro pedido se obtem por uma translaco de p da resposta em frequncia de um filtro passa baixo ideal com frequncia superior de corte 0.25p rad, e utilizando o resultado da alnea anterior, obtem-se directamente

4n

senc4)1(

)n(hn-

=

iii) ou ainda notando que o filtro pedido se obtem subtraindo do filtro identidade um filtro passa baixo ideal com frequncia superior de corte 0.75p rad

4n3

senc43

)n()n(h -d=

que podemos verificar ser a mesma soluo, por comparao dos grficos de 4n

senc4)1( n-

-10 -5 0 5 10

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2



e de 4n3

senc43

-

-10 -5 0 5 10

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

Problema 4

A parte real da transformada de Fourier de um sinal discreto x(n) real e causal

XR(ejw) = 1 + cos(w) .

Determine a sua parte imaginria.

Soluo:

1 + cos(w) = 2

ee1

jj w-w ++ [0.5, 1, 0.5] parte par de x(n)

x(n) = [1, 1] [-0.5, 0, 0.5] parte mpar de x(n) XI(ejw) = -jsen(w)

Problema 5

Considere a seguinte associao de sistemas discretos

a. Determine a resposta impulsional h(n) e a resposta em frrequncia H(e jw) do sistema global.

b. Determine a equao s diferenas que relaciona y(n) com x(n).

c. Determine quantas operaes de adio e multiplicao reais so necessrias para produzir uma amostra sada.

Soluo:

a. h(n)=[d(n)+ bd(n-1)]* anu(n)= anu(n)+b an-1u(n-1)

H(ejw)= [ ]w-

w-

w-w-

a-b+=

a-b+

j

j

jj

e1e1

e11e1

b. y(n)=x(n)+bx(n-1)+ay(n-1)

c. 2 multiplicaes, 2 adies e duas posies de memria.


A resposta impulsional de um sistema discreto LI dada por u(n),h(n) na= com |a|



a. Determine (n)y1 , a resposta do sistema entrada n

2j

1 e(n)xp

= .

b. Com base na alnea anterior, determine (n)y2 , a resposta do sistema entrada )n2cos((n)x2

p= .

c. Determine (n)y3 , a resposta do sistema entrada )n(ue(n)xn

2j

3

p

= .

d. Como se comparam (n)y3 e (n)y1 para valores elevados de n?

Soluo:

a. +

=w-

w-w

a-=a=

0nj

njnj

e1

1e)H(e

2

)jarctgn2

(jn

2j

2

jarctgn2

jn2

j

2j

11

ee1

eej1

1e

e1

1)n(ya+

=a+

=a+

=

a-

=a-

ppa-pp

p-

b. n

2jn

2j

2 e21

e21

)n(xp

-p

+=

n2

jn2

jn2

j

2j

n2

j

2j

2 ej11

21e

j11

21e

e1

121e

e1

121)n(y

p-

pp-

p

p

p- a-

+a+

=

a-

+

a-

=

22

)jarctgn2

(j

2

)arctgn2

(jn

2j

2

jarctgn2

j

2

jarctg

21

)jarctgn2

cos(

1

e21

1

e21

e1

e21

e1

e21

)n(ya+

a-p

=a+

+a+

=a+

+a+

=a-

p-a-

pp

-apa-

(poderamos ter escrito este resultado imediatamente, usando a noo de resposta em frequncia)

c. (aqui, no podemos usar esta noo... porqu?)

=

p+

p-

+p

-+p-p

-

-p

a+

a--=

a-

a-

--=

+-= --

b. |5.0e|.|2.0e|

2)e(H| jj

j

--= ww

w

|H(0)| = 2/(0.8x0.5) = 5 ; |H(1)| = 2/(1.2x1.5) = 1.11

-3 -2 -1 0 1 2 30

1

2

3

4

c. )n(u5.03

10)n(u2.034)n(h

5.0z3/z10

2.0z3/z4)z(H nn +-=

-+

--=

(ser interessante repetir a resoluo usando o mtodo geral, e verific-la determinando os primeiros termos de h(n) pelo mtodo da diviso dos polinmios)

Problema 4

Considere o sistema discreto causal com funo de transferncia

H zz

z z( )

.

. .=

-

- +

-

- -1 0 4

1 0 8 0 64

1

1 2 .

a. Localize no plano z os polos e zeros deste sistema e a regio de convergncia de H(z).

b. Calcule a sua resposta impulsional h(n).

c. Determine a equao s diferenas que rege o sistema.

Soluo:

a. -1 0 1-1

-0.5

0

0.5

1

b. 3j

e8.0p

=a

)n(u)n3

cos(8.03j

)(23

j23

j)4.0()()4.0(dz

)z)(z(

)4.0z(z)n(h n

n*n

*

*n*

*

n

C*

n p=

a-a=

a-a

-aa+

a-a

-aa=

a-a-

-=



c. y(n) = x(n) 0.4x(n-1) + 0.8y(n-1) 0.64y(n-2)

Problema 5

Os sinais discretos x(n) = 2-nu(n) e w(n) = 3-nu(n) tem transformada em z respectivamente

21|z| ,

z21

1

1)z(X1

>-

=-

e

31|z| ,

z31

1

1)z(W1

>-

=-

e o seu produto x(n)w(n) = 6-nu(n) tem transformada em z

61|z| ,

z61

1

11

>- -

Derive este resultado utilizando a propriedade da convoluo complexa da transformada z.

Soluo:

Temos de calcular no plano v o integral

31|

vz| e

21|>v| , dvv

)vz

(31

1

1

v21

1

1j2

1 1-1

C1

>--p --

,

com o contorno C satisfazendo as condies impostas pelas regies de convergncia de X(z) e W(z), isto ,

|z|3|v|21

z| 21

|z|3 >

que ser a regio de convergncia da transformada em z de x(n)w(n).

O integral pode ser calculado pelo mtodo dos resduos, para o que se torna necessrio determinar os polos da funo integranda

|z|3|z| , dv

3z))(v21

(v

3zj2

1

C

--

-p ,

que so 1/2 e 3z.

Como apenas o polo 1/2 se encontra no interior do contorno C, o resduo nesse polo a transformada em z procurada

61

|>z| ,z

61

1

1

3z21

3z

1--=

-

-.



Aula n 5

Problema 1

Seja um sistema discreto em que x(n) representa o nmero de novos alunos que, no incio do ano n, se inscreve a uma disciplina e y(n) representa o nmero total de alunos que frequenta essa disciplina no ano n. Dos alunos que frequentam a disciplina em cada ano, 70% tm aproveitamento.

a. Obtenha a equao s diferenas que caracteriza o sistema.

b. Sendo x(n)=100u(n), para que valor que tende o nmero de alunos a frequentar a disciplina?

c. Repita b., supondo agora que existe um regime de prescries e que um aluno que reprova trs vezes fica impedido de se inscrever novamente.

Soluo:

a. )1n(y)7.01()n(x)n(y --+=

b. 1z3.01

1)z(H

--= , |z|>0.3

11 z3.01

1

z1

100)z(Y

-- --= , |z|>1

O teorema do valor final permitir-nos-ia concluir imediatamente que y(n) tende para 1437.0

100 @ .

Podemo s evidentemente calcular y(n)

)n(u)3.01(7.0

100)n(u)

7.03.0.100

7.0100

(dz)3.0z)(1z(

z100j2

1)n(y 1n

1n1n+

++

-=-

+=--p

=

c. Agora, a equao s diferenas outra:

)3n(x3.0)1n(y3.0)n(x)n(y 3 ---+=

ou

)2n(x3.0)1n(x3.0)n(x)n(y 2 -+-+=

que tende para 100 + 30 + 9 = 139.

Problema 2

A srie de Fibonacci obtem-se calculando cada termo como a soma dos dois termos anteriores. Os dois primeiros termos da srie so f(0) = 1 e f(1) = 1. Determine uma expresso geral para o termo de ordem n, f(n), da srie de Fibonacci.

Soluo:

A srie de Fibonacci a resposta impulsional do sistema causal y(n) = x(n) + y(n-1) + y(n-2) (porqu?).

Usando a transformada z

21 zz1

1)z(H

-- --=

com polos em

251

2411

=+



e, usando a frmula integral,

)n(u))51()51((2

1

5

1)n(h 1n1n

1n++

+--+= .

A seguir, temos os 40 primeiros termos desta srie

n f(n) n f(n) n f(n) n f(n)

0 1 10 89 20 10946 30 1346269

1 1 11 144 21 17711 31 2178309

2 2 12 233 22 28657 32 3524578

3 3 13 377 23 46368 33 5702887

4 5 14 610 24 75025 34 9227465

5 8 15 987 25 121393 35 14930352

6 13 16 1597 26 196418 36 24157817

7 21 17 2584 27 317811 37 39088169

8 34 18 4181 28 514229 38 63245986

9 55 19 6765 29 832040 39 102334155

Problema 3

O parque informtico numa dada escola expresso por y(n) computadores utilizveis no final do ano n.

Ao longo de cada ano o nmero de computadores decresce devido a avarias, sendo a taxa anual de avarias de 5% e devido ao abatimento de todos os computadores que completam 3 anos de utilizao.

No incio de cada ano n so adquiridos x(n) computadores novos.

a. Obtenha, justificando, a equao s diferenas que exprime y(n), o nmero de computadores utilizveis no final do ano n, de acordo com o enunciado.

b. Suponha que o parque informtico criado a partir do ano zero com a compra de N computadores novos no incio de cada ano, obtenha a expresso que exprime y(n) em funo de N e n.

c. Qual dever ser N para que o nmero de computadores utilizveis estabilize em 1000?

Soluo:

a. y(n) = 0.95y(n-1) + x(n) 0.953x(n 3)

ou ento

y(n) = x(n) + 0.95x(n 1) + 0.952x(n 2)

(esta segunda forma evidencia a resposta impulsional finita do sistema: um computador abatido ao fim de trs anos)

b. x(n) = Nu(n)

y(n) = Nu(n) + 0.95Nu(n 1) + 0.952Nu(n 2)

c. N + 0.95N + 0.952N = 1000 N = 351

Problema 4

Um modelo simplificado de um banco poderia ser o seguinte:

- x(n) representa uma transaco mensal, de depsito ou de levantamento, [x(n) positivo se for depsito e s h uma transaco por ms],

- y(n) representa o saldo depois da operao mensal,



- mensalmente, h lugar ao pagamento de um juro Ty(n-1), com 0 < T 1.005 (o sistema instvel!)

1

1

1

1

z1

z)P100000(100000

z1Pz100000)z(X

-

-

-

-

-

++-=

-+-= , |z| > 1

)z005.11)(z1(

z)P100000(100000)z(Y11

1

--

--

++-= , |z| > 1.005

--++-

p=

+

dz)005.1z)(1z(

z)P100000(z100000j2

1)n(y

n1n

)n(u)1005.1

005.1)P100000(005.1.100000005.11

)P100000(100000()n(yn1n

-++-+

-++-=

+

)n(u)005.0

)005.11(P005.1x100000()n(yn

n -+-=

(esta expresso mostra em separado os efeitos da dvida e da sua amortizao).

Para o saldo ser nulo ao fim de 20 anos, y(240)=0, o que d P=716.43 .

Obter-se-ia exactamente este valor usando a funo do Excel PMT(0.5%,240,100000).



Aula n 6

Problema 1

Um sistema discreto tem um polo em a e um zero em 1/a*.

a. Represente graficamente, no plano z, o polo e o zero do sistema.

b. Mostre que o mdulo da resposta em frequncia deste sistema independente de w (sistema do tipo passa tudo).

c. Tente obter uma expresso para a fase da resposta em frequncia.

Soluo:

a. -1 0 1-1

-0.5

0

0.5

1

(este o caso geral; h alguns casos particulares)

b. a-

a-

=z

1z

)z(H*

*j

j*

*

j

j

*j

j 1

e

ee

e

1e)e(H

a=

a-

-a

a=

a-a

-=

w

w-w

w

w

w

(h uma soluo grfica, que consiste em mostrar que 1|)z(H| * =a para w= jez )

c. Em termos de fase, e para Ra

)jsenarg(cos)1senjcosarg(

))e(Harg( ja-w+w+wa-wa-

=w

e como jq+j-q

=j-qtgtg1tgtg

)(tg

[ ]a-w

w+wa-+wa-

a-ww

wa-+wa-

-=w

cossen

sen1cos

)cos

sen)(

sen1cos

(1))e(Harg(tg j

wa+-a

wa-=wcos)1(2

sen)1(arctg))e(Harg(2

2j

representado a seguir para a = 0.5



-3 -2 -1 0 1 2 3-3

-2

-1

0

1

2

3

Problema 2

Considere um sistema do tipo FIR com zeros em 3j

e8.0p

e 3

j1.25e

p

.

a. Determine a sua funo de transferncia H(z).

b. Determine dois outros sistemas do mesmo tipo e com a mesma amplitude da resposta em frequncia (diferindo apenas na fase).

Soluo:

a. )e25.1z)(e25.1z)(e8.0z)(e8.0z(z)z(H 3j

3j

3j

3j4

p-

pp-

p- ----=

4-3-2-1-224 z2.05z-3.2025z2.05z1)5625.1z3

cos5.2z)(64.0z3

cos6.1z(z)z(H ++-=+p-+p-= -

(sistema com fase linear)

b. Colocando em srie sistemas do tipo passa tudo e ganho unitrio

1. com zeros em 4j

e8.0p

e polos em 4

j1.25e

p

432123j23

j4 z64.0z6.1z6z5.25625.1)e8.0z()e8.0z(z5625.1)z(H ----p

-p

- +-+-=--=

(sistema com fase mnima)

2. com zeros em 4j

1.25ep

e polos em 4

je8.0

p

432123j23

j4 z5625.1z5.2z6z6.164.0)e25.1z()e25.1z(z64.0)z(H ----p

-p

- +-+-=--=

(sistema com fase mxima)

Problema 3

Considere o sistema discreto do tipo FIR com zeros em

0.3+j0.4, 0.3-j0.4, (0.3+j0.4)-1, (0.3-j0.4)-1, 0.6+j0.8, 0.6-j0.8, -1.

a. Determine a sua resposta impulsional h(n).

b. Mostre que o sistema de fase linear.

c. Decomponha o sistema numa associao em srie de dois sistemas, cada um deles ainda de fase linear.

Soluo:

a. H(z) = z-7(z - 0.3-j0.4)(z - 0.3+j0.4)(z - (0.3+j0.4)-1)(z - (0.3-j0.4)-1)(z - 0.6-j0.8)(z - 0.6+j0.8)(z + 1)



H(z) = z-7(z2 - 0.6z + 0.25)(z2 2.4z + 4)(z2 1.2z + 1)(z + 1)

H(z) = z-7(z4 - 3z3 + 5.69z2 - 3z + 1)(z3 0.2z2 0.2z + 1)

H(z) = z-7(z7 3.2z6 + 6.09z5 2.538z4 2.538z3 + 6.09z2 3.2z + 1)

h(n) = [1 3.2 6.09 2.538 2.538 6.09 3.2 1]

b. A resposta impulsional simtrica.

c. (ver 3 linha de a))

-2 0 2

-1

0

1

H(z) = z-4(z4 - 3z3 + 5.69z2 - 3z + 1) z-3 (z3 0.2z2 0.2z + 1)

Problema 4

Considere o sistema discreto causal com funo de transferncia

H zz

z z( )

.

. .=

-

- +

-

- -1 0 4

1 0 8 0 64

1

1 2 .

a. Localize no plano z os polos e zeros deste sistema e a regio de convergncia de H(z).

b. Calcule a sua resposta impulsional h(n).

c. Determine a equao s diferenas que rege o sistema.

Soluo:

a. -1 0 1-1

-0.5

0

0.5

1

c. 3j

e8.0p

=a

)n(u)n3

cos(8.03j

)(23

j23

j)4.0()()4.0(dz

)z)(z(

)4.0z(z)n(h n

n*n

*

*n*

*

n

C*

n p=

a-a=

a-a

-aa+

a-a

-aa=

a-a-

-=

c. y(n) = x(n) 0.4x(n-1) + 0.8y(n-1) 0.64y(n-2)



Aula n 7

Problema 1

Projecte um filtro digital do tipo passa baixo, com frequncia de corte 1 kHz frequncia de amostragem 10 kHz, a partir de um filtro RC passa baixo elementar

a. Pelo mtodo da invarincia da resposta imulsional.

b. Pelo mtodo da invarincia da resposta ao degrau.

c. Pelo mtodo da transformao bilinear.

Soluo:

a. A funo de transferncia do filtro analgico prottipo

RC1

s

RC1

)s(H a+

=

em que a frequncia angular de corte RC1

c =W , ou seja, RC110.2 3 =p , e

p+p=

2000s2000)s(H a .

O polo em -2000p mapeia-se no plano z em 510.2000 ee4

p-p- =

- e obtem-se

533.0|z|,z533.01

628.0

ze1

5

ze1

200010)z(H1

1515

4 >-

=

-

p

=

-

p=-

-p

--p

-

-

y(n) = 0.628x(n) + 0.533y(n-1) .

b. A resposta ao degrau do filtro analgico prottipo

)t(u)e1()t(d t2000ap--=

e a resposta ao degrau do filtro digital resultante da transformao

)n(u)e1()n(u)e1()n(dn

5n10.20004

p-p- -=-=

cuja transformada z

151

ze1

1z11)z(D

-p

--

-

--

=

pelo que

533.0|z|,z533.01

z467.0

ze1

z)e1(

z11

ze1

1z11

)z(H1

1

15

15

1

151

>-

=

-

-=

-

-

--

=-

-

-p-

-p

-

-

-p

--

y(n) = 0.467x(n-1) + 0.533y(n-1) .

c. Aplicando a transformao bilinear funo de transferncia do filtro analgico prottipo



1

1

1

1

1

1

4

z)10(10)z1(

z1

z1102000

z1

z1

10

22000)z(H

-

-

-

-

-

-

-

p--p++p=

p++

-p=

p++

-p=

522.0|z|,z522.01

)z1(239.0)z(H

1

1>

-

+=

-

-

y(n) = 0.239x(n) + 0.239x(n-1) + 0.522y(n-1) .

(note como neste caso surge um zero de H(z) em z=-1)

Problema 2

Considere o filtro analgico passa baixo

s

sH a 08.011)(

+= .

a. Determine a frequncia de corte Wc (atenuao igual a 3 dB) deste filtro.

b. Determine o filtro digital que se obtem de Ha(s) pelo mtodo da invarincia da resposta impulsional, para uma frequncia de amostragem de 10 Hz.

c. Represente graficamente a amplitude da resposta em frequncia deste filtro digital e a do filtro analgico original, e explique as eventuais diferenas entre ambas.

Soluo:

Hzss

sH ca 984.1Frad/s 5.125.125.12

08.011)( c =\=W+

=+

=

125.11

25.1)(

---=

zezH

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

nota-se um acentuado efeito de aliasing.

Problema 3

Pretende-se projectar um filtro digital passa-baixo, usando o mtodo da transformao bilinear, a partir de um filtro de Butterworth de 3 ordem, de tal modo que frequncia de amostragem de 10 kHz a sua frequncia superior de corte seja de 1 kHz.

a. Determine a frequncia superior de corte do filtro analgico prottipo.

b. Localize, no plano z, os polos do filtro digital.

c. Determine a partir de que frequncia a atenuao do filtro digital melhor que 60 dB.



Soluo:

a. De acordo com o enunciado

rad/s 4.649810

200002

2===W

pwtgtg

Tc

c

b. Os polos deste filtro esto colocados, no plano s, em

4.6498s1 -= e 32

j3,2 e4.6498s

p

= .

No plano z, teremos ento

501.064984.0264984.02

sT2sT2z1 =+

-=-+=

0639.0j736.056278.0j32492.0256278.0j32492.02

e64984.02

e64984.02z3

2

32

3,2 =+-

=

-

+=p

p

c. 64984999999)6498.4

(60)

6498.4(+1

110log 66

=W>W-

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