Předmluva

Následující text pokrývá přednášku Komutativní okruhy a částečně ji přesahuje.V současné podobě má šest částí. Do přednášky původně patřilo:

• Část I celá bez kapitoly 6

• Část II celá

• Část III bez kapitol 5 a 6

• Část VI pouze kapitoly 1 a 2

Tyto partie by neměly obsahovat již příliš mnoho chyb a překlepů. Ostatnípartie jsou pravděpodobně v nepříliš dokonalém stavu. Protože se ukázalo, žekapitola 1 části VI není v následných přednáškách nutná, lze ji vynechat.Text do budoucna dozná změn. Mezi současnou část II a III bude vložena

nová samostatná část, která bude obsahovat mimo jiné současnou kapitolu VI.2(lokalizace). Dále v této nové části bude pojednán v obecnosti tenzorový součina bude vysvětlena jeho souvislost se současnými speciálními konstrukcemi ten-zorového součinu, které jsou uvedeny jednak v části I (volné moduly), jednakv části VI (lokalizace). V samotné přednášce obecně pojatý tenzorový součinpřednášet nemíním, neboť ho považuji pro daný účel za zbytečné abstraktní.Kapitola VI.1 (normalizace) dozná určitých změn, které odstraní několikeré

opakovaní podobných obratů v důkazech tím, že tyto obraty vyjádří formoupředběžných lemmat.Ostatní části, které jsou mimo rámec přednášky, budou do budoucna pozmě-

něny a výrazně rozšířeny. Do textu by měla být zařazena většina obecnějšíchalgebraických výsledků, které jsou postupně referovány na Semináři z matema-tiky inspirované kryptografií (takzvaný SMIK, jehož některé studijní texty lzenalézt na http://www.karlin.mff.cuni.cz/~krypto/seminar.php).Rád bych v dohledné době dokončil samostatný úvodní text z obecné alge-

bry, který je do značné míry hotov a přístupný na síti. Po jeho dokončení budetoto pojednání doplněno odkazy do zmíněného úvodního textu. Stejně tak v bu-doucnu naroste i počet odkazů mezi jednotlivými kapitolami uvnitř pojednání.Současný stav do jisté míry odráží skutečnost, že při psaní některých kapitoljsem neměl vždy k dispozici text předcházejících částí. Rovněž značení bude vbudoucnu více sjednoceno.

V Praze 13. srpna 2006 Aleš Drápal

1

Obsah

I Základní tvrzení o komutativních okruzích 4I.1 Základní pojmy související s dělitelností . . . . . . . . . . . . . . 4I.2 Polynomy nad noetherovskými okruhy a Gaussovými obory . . . 8I.3 Komaximální ideály, prvoideály, radikál . . . . . . . . . . . . . . 11I.4 Volné moduly . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15I.5 Konečně generované moduly oborů hlavních

ideálů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20I.6 Podmoduly volných modulů v oborech hlavních ideálů . . . . . . 23

II Základy Galoisovy teorie 28II.1 Rekapitulace základních poznatků . . . . . . . . . . . . . . . . . 28II.2 Stupeň separability a separabilní rozšíření . . . . . . . . . . . . . 30II.3 Jednoduchá, normální a Galoisova rozšíření . . . . . . . . . . . . 32II.4 Galoisova korespondence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35II.5 Stopa, norma, diskriminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36II.6 Algebraická nezávislost a stupeň transcendence . . . . . . . . . . 39II.7 Hilbertova věta o nulách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

IIICelistvost, mříže a Dedekindovy okruhy 46III.1 Determinanty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46III.2 Celistvá rozšíření . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48III.3 Celistvě uzavřené obory integrity . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51III.4 Dedekindovy obory integrity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53III.5 Mříže . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57III.6 Rozšíření Dedekindových oborů . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

IVMinkowského teorie 64IV.1 Číselná tělesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64IV.2 Prostor Minkowského . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66IV.3 Dirichletova věta o jednotce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

V 74V.1 Afinní variety . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

VINormalizace, lokalizace, valuace 78VI.1 Noetherovská normalizace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78VI.2 Konstrukce lokalizace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81VI.3 Lokalizace a celistvost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86VI.4 Dimenze a stupeň transcendence . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

2

VI.5 Valuační obory integrity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

3

I Základní tvrzení o komutativníchokruzích

I.1 Základní pojmy související s dělitelností

V dalším se předpokládá znalost pojmů jako jsou okruh, obor integrity, ideál,hlavní ideál, homomorfismus okruhů a jádro homomorfismu. Rovněž se nebu-deme vracet k základním větám o homomorfismu a isomorfismu (posledně jme-nované jsou tři).Soustředíme se zejména na komutativní okruhy; v některých případech se

může stát, že budeme pro komutativní okruhy formulovat tvrzení, jež platí provýrazně větší třídu okruhů. Je to daň za snahu podat o oblasti komutativníchokruhů co nejširší přehled.Nejvýznamnějšími třídami okruhů pro nás budou Gaussovy obory a obory

hlavních ideálů. V anglosaské literatuře se běžně objevují pod zkratkou UFD aPID, kde UFD značí Unique Factorization Domain, zatímco pod zkratkou PIDse skrývá Principal Ideal Domain. Zkratka UFD je sdělnější než námi používanýpojem Gaussův obor, neboť s ní je asociována ta nejzákladnější vlastnost těchtooborů. V dalším budeme považovat za samozřejmou znalost faktu, že obor inte-grity, ve kterém je každý řetězec vlastních dělitelů konečné délky, bude Gaussův,pokud každé dva jeho prvky mají největšího společného dělitele. Alternativoutéto podmínky je přitom podmínka, že každý ireducibilní prvek je prvočinitel.Ať R je obor integrity. Jeho prvek a dělí b ∈ R právě když bR ⊆ aR. Intui-

tivně máme sklon na dělitele pohlížet jako na prvek, který je menší než dělenec.Vztahy inkluze hlavních ideálů tuto závislost obracejí (alespoň zdánlivě), a jetřeba se s tímto faktem sžít. Při práci s obory integrity, které nejsou obory hlav-ních ideálů, je totiž nutné uvažovat dělitelnost ideálů, a nikoliv pouze dělitelnostprvků (které jsou reprezentovány hlavními ideály). Přitom ideál J dělí ideál Iprávě když ho obsahuje.Ideál I okruhu R se nazývá maximální, jestliže pro žádný ideál J neplatí

I ( J ( R a současně je I 6= R. V oboru hlavních ideálů zjevně platí, žea ∈ R je ireducibilní právě když aR je maximální ideál. Obecně ovšem můžepro ireducibilní prvek a komutativního okruhu R existovat ideál I takový, že jeaR ( I ( R. Pak ovšem I není hlavní ideál.Přidržíme se konvence v komutativní algebře obvyklé, totiž že za vlastní se

považuje každý ideál R různý od R (tedy neobsahující prvek 1). Nyní budemesměřovat k vyložení popisu prvočinitele v řeči ideálů. Připomeneme nejprve, žepro ideály I a J okruhu R se jejich součin značí IJ . Rozumí se jím množinavšech součtů tvaru

∑

aibi, 1 ≤ i ≤ n, kde ai ∈ I a bi ∈ J . Je zřejmé, že IJ jerovněž ideál R a že platí IJ ⊆ I ∩ J .

4

Ideál P okruhu R se nazývá prvoideál, jestliže je P 6= R a současně prolibovolné dva ideály I a J okruhu R platí implikace

IJ ⊆ P ⇒ I ⊆ P nebo J ⊆ P.

Připomeňme, že v komutativním okruhu R se nazývá prvek p ∈ R prvoči-nitelem, jestliže není invertibilní a současně pro libovolné dva prvky a, b ∈ Rsplňuje implikaci

p dělí ab⇒ p dělí a nebo p dělí b.

I.1.1 Lemma. Ideál P 6= R komutativního okruhu R je prvoideál právě kdyžpro každé dva prvky a, b ∈ R splňuje implikaci

ab ∈ P ⇒ a ∈ P nebo b ∈ P.

Důkaz. Z ab ∈ P plyne (ab)R ⊆ P a současně je (aR)(bR) = (ab)R. Je-li Pprvoideál, tak musí být aR ⊆ P nebo bR ⊆ P , a tedy a ∈ P nebo b ∈ P .Předpokládejme nyní, že P splňuje podmínku lemmatu, a že pro ideály I a

J okruhu R platí IJ ⊆ P . Ať například existuje b ∈ J \P . Pak pro každé a ∈ Imáme ab ∈ P , a tedy a ∈ P , takže je I ⊆ P . �

Z lemmatu I.1.1 okamžitě vidíme, že prvek p komutativního okruhu R jeprvočinitel právě když pR je prvoideál. Níže ověříme, že maximální ideály jsouv komutativních okruzích vždy prvoideály, což nabízí (alternativní) důkaz, že voborech hlavních ideálů jsou ireducibilní prvky vždy prvočiniteli. (Prvek a ∈ Rje ireducibilní právě když nemá vlastního dělitele a není invertibilní. To nastaneprávě když aR 6= R a z aR ⊆ bR plyne bR = R nebo bR = aR, pro každéb ∈ R. V oborech hlavních ideálů je tedy a ∈ R ireducibilní právě když aR jemaximální ideál.)Nejprve ale připomeneme, že pro ideály I a J okruhu R je množina I + J =

{a + b; a ∈ I a b ∈ J} rovněž ideálem R. Je to zjevně nejmenší ideál, kterýobsahuje I ∪ J . V komutativním okruhu R je proto ideál M 6= R maximálníprávě když pro každé a ∈ R \ M platí R = M + aR, tedy když pro každéa ∈ R \M existuje m ∈M a r ∈ R takové, že 1 = m+ ar.

I.1.2 Lemma. V komutativním okruhu je každý maximální ideál prvoideálem.

Důkaz. Ať jeM maximální ideál okruhu R a ať platí ab ∈M . Předpokládejmea 6∈M . Potom 1 = m+ar pro nějakám ∈M , r ∈ R, takže b = b·1 = bm+rab ∈M . �

Předchozí fakt lze ovšem nahlédnout elegantněji. Stačí totiž použít násle-dující tvrzení (jeho důkaz bezprostředně vyplývá z charakterizace ideálů fakto-rokruhu jakožto kvocientů ideálů původního okruhu; pro jistotu je však důkazuveden).

I.1.3 Tvrzení. Buď I vlastní ideál komutativního okruhu R. Potom

(i) ideál I je maximální právě když R/I je těleso,

5

(ii) ideál I je prvoideál právě když R/I je obor integrity.

Důkaz. Prvek a ∈ R je invertibilní právě když aR = R. Jinými slovy, prvekje invertibilní právě když neleží v žádném vlastním ideálu. Všechny nenulovéprvky R/I jsou tedy invertibilní právě když R/I nemá vlastní nenulový ideál.Všechny ideály R/I mají tvar J/I, R ⊇ J ⊇ I. Odsud (i).Pro a, b ∈ R je (a + I)(b + I) = ab + I rovno 0R/I = I právě když ab ∈ I.

Okruh R/I je proto oborem integrity právě když z ab ∈ I vyplývá a + I = Inebo b + I = I, čili právě když z ab ∈ I vyplývá a ∈ I nebo b ∈ I. Takovýpožadavek podle lemmatu I.1.1 říká, že I je prvoideál. �

Část (ii) lze samozřejmě dokázat pouze v řeči ideálů. Je užitečné si takovýdůkaz sestavit.Podobných obratů, kdy se důkaz zdánlivě založený na výpočtu stane vhod-

nou strukturní úvahou zřejmý, je v komutativní algebře mnoho.Je dobré si také uvědomit, jak součet ideálů, I + J , odpovídá pojmu největ-

šího společného dělitele. Vskutku, pokud I = aR a J = bR, R komutativní, takz I + J = cR plyne, že c dělí a i b. Současně pro každý společný dělitel d prvkůa a b máme dR ⊇ (aR) ∪ (bR), a tedy dR ⊇ aR + bR = I + J . Z I + J = cRtedy plyne, že c je největším společným dělitelem a a b. Vidíme, že v oborechintegrity hlavních ideálů je korespondence mezi součty ideálů a největšími spo-lečnými děliteli jednoznačná. V Gaussových oborech ovšem I + J nemusí býtvždy hlavní ideál; existence největšího společného dělitele obecně totiž znamenáexistenci nejmenšího hlavního ideálu, který ideál I + J obsahuje.Obraťme se nyní k další základní vlastnosti okruhů známé z definice Gaus-

sových oborů. Konečností řetězce vlastních dělitelů se rozumí neexistence po-sloupnosti a0, a1, a2, . . . takové, že ai+1 dělí ai pro každé i ≥ 0, přičemž ai nenínikdy s ai+1 asociováno (tedy ai nikdy nedělí ai+1). Jinými slovy, požaduje se,aby neexistoval nekonečný řetězec I0 ( I1 ( . . . hlavních ideálů.Komutativní okruh R se nazývá noetherovský, jestliže neobsahuje nekonečný

řetězec I0 ( I1 ( . . . svých ideálů. Říkává se také, že R je noetherovský, jestližesplňuje podmínku rostoucího řetězce (ascending chain condition, ACC) pro ide-ály. Tato podmínka se obvykle definuje tak, že v každé rostoucí posloupnostiideálů I0 ⊆ I1 ⊆ I2 ⊆ · · · existuje k ≥ 0 takové, že Ij = Ik pro každé j ≥ k.Pro nekomutativní okruhy je definice obdobná, avšak místo ideálů se uvažují

levé nebo pravé ideály (a pak se hovoří o okruzích zleva či zprava noetherov-ských).Je-li I0 ⊆ I1 ⊆ I2 ⊆ . . . rostoucí posloupnost ideálů, je I =

⋃

(Ij ; j ≥ 0)rovněž ideál. Tento fakt budeme v dalším používat jako samozřejmý. V obo-rech hlavních ideálů si řetězce vlastních dělitelů a rostoucí posloupnosti ideálůodpovídají jednoznačně. Připomeneme to opakováním známého faktu:

I.1.4 Lemma. Obory hlavních ideálů jsou noetherovské.

Důkaz. Postupujme sporem. Ať I0 ( I1 ( . . . je rostoucí řetězec ideálů. Aťa0, a1, · · · ∈ R jsou taková, že Ij = ajR, j ≥ 0. Ideál I =

⋃

(Ij ; j ≥ 0) je rovennějakému aR. Buď k ≥ 0 nejmenší takové, že a ∈ Ik. Pak I = aR ⊆ Ik′ ⊆ I prokaždé k′ ≥ k, odkud Ik′ = Ik, ve sporu s naším předpokladem. �

6

Některé základní vlastnosti noetherovských okruhů je účelnější sledovat nanoetherovských modulech.Modul M nad okruhem R (stručně R–modul) bude zde, jak je obvyklé, Abe-

lova grupa se zadaným skalárním násobením λu pro každé λ ∈ R a u ∈ M , ježsplňuje

λ(u+ v) = λu+ λv, λ(νu) = (λν)u, (λ+ ν)u = λu+ νu, 1u = u

pro všechna u, v ∈M a všechna λ, ν ∈ R.Všimněte si, že zobrazení u 7→ λu je pro každé pevně vybrané λ endo-

morfismem Abelovy grupy M(+,−, 0). Definice modulu je stanovena tak, abypřiřazením takového zobrazení každému prvku λ ∈ R vznikl homomorfismus zokruhu R do okruhu endomorfismů Abelovy grupy M .Přesně vzato bychom předchozí definici měli považovat za definici levého

modulu. Definice pravého modulu je symetrická, rozdíl je v tom, že se skalárnínásobení píše zprava. Pokud je R komutativní, tak ovšem není mezi levými apravými moduly třeba rozlišovat.Pojmy jako podmodul a faktormodul jistě není třeba vysvětlovat. Podobně

lze považovat za známou platnost vět o homomorfismu a isomorfismu pro mo-duly.Okruh R lze považovat za modul nad sebou samým. Podmoduly takového

modulu zjevně odpovídají pro R komutativní ideálům R.Modul M nad R se nazývá noetherovský, jestliže splňuje podmínku rostou-

cích řetězců pro podmoduly (tj. neexistuje nekonečná posloupnost M0 ( M1 (. . . podmodulů M).Je-li X ⊆M , kde M je R–modul, tak všechny prvky tvaru

∑

rixi, kde xi ∈X , ri ∈ R a 1 ≤ i ≤ k, tvoří podmodul M . Je to nejmenší podmodul M , kterýobsahuje X a nazýváme ho podmodulem generovaným X . Je-li tento podmodulroven M , říkáme, že X generuje modul M . O tomto modulu řekneme, že jekonečně generovaný právě když lze nalézt konečnou množinu, jež ho generuje.Za zmínku stojí, že podmodul N moduluM , který je generovaný podmoduly

Mi ⊆M , i ∈ I, je roven∑

(Mi; i ∈ I) = {∑

j∈J

mj ; J ⊆ I je konečná a mj ∈Mj pro každé j ∈ J}.

I.1.5 Tvrzení. Modul M je noetherovský právě když je každý jeho podmodulkonečně generovaný.

Důkaz. Uvažme nějakou posloupnost A0 ⊆ A1 ⊆ . . . podmodulů M . Potom jeA =

⋃

(Ai; i ≥ 0) rovněž podmodulM . Je-liA konečně generovaný, s generátorya1, . . . , an, musí existovat k ≥ 0 takové, že Ak obsahuje všechny tyto generátory.Pak ovšem Ai = A pro každé i ≥ k. Jestliže A není konečně generovaný, lzepoložit B0 = 0 a volit Bi ( A a bi ∈ A tak, že bi 6∈ Bi a Bi+1 = Bi +Rbi. Pakje B0 ( B1 ( . . ., takže M není noethoerovský. �

Je zřejmé, že podmoduly a faktormoduly noetherovských modulů jsou opětnoetherovské. Lze snadno dokázat i opak, totiž že z noetherovskosti faktormo-dulu a příslušného podmodulu plyne noetherovskost celého modulu:

7

I.1.6 Lemma. Ať M je modul s podmodulem N . Pokud N a M/N jsou no-etherovské, je noetherovský i modul M .

Důkaz. Ať M0 je podmodul M . Položme N0 = M0 ∩ N . Podle předpokladuexistují a1, . . . , an, která generují N0. Modul (M0+N)/N je rovněž noetherov-ský; nechť je generován prvky b1 +N, . . . , bm+N , kde b1, . . . , bm ∈M0. Potompro každé c ∈ M0 existují r1, . . . , rm ∈ R taková, že c ≡ ∑

ribi mod N . Pakc−∑ ribi leží v M0 ∩N = N0. Vidíme, že {a1, . . . , an} ∪ {b1, . . . , bm} generujeM0. �

Komutativní okruh R je noetherovský právě když je noetherovský jako R–modul. Faktorokruhy noetherovských komutativních okruhů jsou zřejmě takénoetherovské.

I.2 Polynomy nad noetherovskými okruhy a Gaus-sovými obory

V této kapitole budeme pod okruhem rozumět komutativní okruh. Někdy bu-deme používat bez bližšího upozornění zápis obvyklý v komutativní algebře,kdy (a1, . . . , ak) označuje ideál generovaný prvky a1, . . . , ak. V okruhu hlavníchideálů se prvky identifikují se svými hlavními ideály, takže v takovém případě(a1, . . . , ak) může znamenat i největší společný dělitel prvků a1, . . . , ak.Okruh polynomů R[x1, . . . , xk] v proměnných x1, . . . , xk je definován zná-

mým způsobem na množině formálních součtů a =∑

aε1,...,εkxε11 · · ·xεk

k , kdeε1 ≥ 0, . . . , εk ≥ 0, přičemž aε1,...,εk

6= 0 jen v konečně mnoha případech. Defi-nicí formálního součtu se zde zabývat nebudeme; z hlediska formálního popisuje nejsnazší říci, že polynom a ztotožňujeme se zobrazením a : Nk

0 → R, kdea(ε1, . . . , εk) = aε1,...,εk

.Za samozřejmé rovněž budeme považovat ztotožnění R[x1, . . . , xk, xk+1] ∼=

(R[x1, . . . , xk])[xk+1]. Upozorněme dále, že leckdy se místo x1, . . . , xk proměnnéoznačují velkými písmeny, například X1, . . . , Xk.Některé vlastnosti okruhu R jsou zachovány i při přechodu k okruhu poly-

nomů R[x]. Cílem této kapitoly je ukázat, že takovými vlastnostmi je vlastnostbýt noetherovským okruhem a být Gaussovým oborem.

I.2.1 Věta (Hilbertova o bázi). Okruh R je noetherovský právě když je no-etherovský okruh R[x].

Důkaz. Předpokládejme, že okruh R je noetherovský a okruh R[x] noethe-rovský není. Potom existuje ideál I okruhu R[x], který není konečně genero-vaný. Můžeme proto vytvořit posloupnost polynomů a0, a1, . . ., které leží v I,takovou, že a0 ∈ I ∩ R a že ai+1 je některý z polynomů nejmenšího stupněobsažených v I \ (a0, . . . , ai). Stupně těchto polynomů zřejmě tvoří neklesajícíposloupnost. Označme Ji ideál okruhu R generovaný vedoucími koeficienty po-lynomů a0, . . . , ai. Pak J0 ⊆ J1 ⊆ . . ., takže pro nějaké k ≥ 0 máme Jk+1 = Jk.Označme h stupeň polynomu ak+1. Vynásobením polynomů ai, 0 ≤ i ≤ k,

8

vhodným jednočlenem xs, s ≥ 0, dostaneme polynomy ai ∈ I stupně h, jejichžvedoucí koeficienty generují Jk. Proto existují r0, . . . , rk ∈ R taková, že poly-nom a =

∑

riai ∈ I má stejný vedoucí koeficient jako polynom ak+1. Pak ovšemak+1−a padne do I \(a0, . . . , ak), přičemž má menší stupeň než ak+1. Tím jsmeobdrželi hledaný spor. �

I.2.2 Důsledek. Je-li R noetherovský okruh, je jím i R[x1, . . . , xk].

Obraťme nyní svou pozornost ke Gaussovým oborům. Každý prvek a Gaus-sova oboru R lze zapsat jako upε1

1 · · · pεk

k , kde u je prvek invertibilní a p1, . . . , pk

jsou prvočinitele. Přitom se předpokládá, že prvočinitelé pi a pj, 1 ≤ i < j ≤ k,nejsou asociováni, tedy že generují různé hlavní ideály. Zápis je jednoznačný ažna volbu pořadí a záměnu asociovanými prvočiniteli. Můžeme též psát

(a) = (p1)ε1 · · · (pk)εk .

Tento zápis již jednoznačný je (až na pořadí), neboť v něm figurují (po dvourůzné) hlavní ideály, nikoliv jejich (ne nutně jednoznačně určené) generátory.Je-li p prvočinitel, tak pro (p) = (pi), 1 ≤ i ≤ k, položme vp(a) = εi. Pokud

se (p) mezi ideály (pi) nevyskytuje, položíme vp(a) = 0. Hodnotě vp(a) se říkáp–valuace prvku a. Lze ji zjevně použít i pro prvky podílového tělesa T Gaussovaoboru R, kde klademe vp(a/b) = vp(a) − vp(b). Korektnost takové definice jezřejmá. Nenulový prvek a ∈ T zjevně padne do R právě když vp(a) ≥ 0 prokaždý prvočinitel p. Pokud potřebujeme vyjádřit vp(0), definujeme ho jako ∞.Buď R i nadále Gaussův obor s podílovým tělesem T . Polynom a ∈ R[x] se

nazývá primitivní, jestliže jeho koeficienty jsou nesoudělné (a tedy generují R)a jestliže je nenulový.Pro nenulový polynom a =

∑

aixi ∈ T [x] a pro prvočinitele p položme

cp(a) = min{vp(ai); 0 ≤ i ≤ deg a}. Vidíme, že a ∈ R[x] je primitivní právěkdyž cp(a) = 0 pro každý prvočinitel p. Zřejmě platí

I.2.3 Lemma. Je-li u ∈ T ∗, p ∈ R prvočinitel a a ∈ T [x], a 6= 0, je cp(ua) =vp(u) + cp(a).

Vidíme, že nenulový polynom a z T [x] leží v R[x] právě když cp(a) ≥ 0 prokaždý prvočinitel p.Připomeňme, že pro každý homomorfismus okruhů f :R→S existuje jediný

homomorfismus fx : R[x] → S[x], který rozšiřuje f a zobrazuje x na x. Zdebudeme uvažovat homomorfismus πx daný přirozenou projekcí π:R→R/(p), pprvočinitel.

I.2.4 Lemma (Gaussovo). Ať a, b ∈ R[x] jsou primitivní. Pak je primitivní ipolynom ab.

Důkaz. Budeme dokazovat, že pro každý prvočinitel p z platnosti cp(a) = 0 =cp(b) plyne cp(ab) = 0. OkruhR/(p) je obor integrity, a proto je oborem integrityi okruh R/(p)[x]. Máme πx(ab) = πx(a)πx(b), přičemž podmínka cp(a) = 0 jeshodná s podmínkou πx(a) 6= 0. Z πx(a) 6= 0 a πx(b) 6= 0 plyne πx(ab) 6= 0, atedy i cp(ab) = 0. �

9

Důkaz Gaussova lemmatu lze samozřejmě provést i bez faktorizace úvahouvycházející ze vzorce pro koeficienty násobku polynomů.

I.2.5 Důsledek. Pro všechny nenulové polynomy a, b ∈ T [x] a všechny prvoči-nitele p ∈ R platí cp(ab) = cp(a) + cp(b)

Důkaz. Položme u =∏

p−cp(a) a v =∏

p−cp(b) (kde součin probíhá přesprvočinitele p, z nichž žádné dva nejsou asociovány). Pak a1 = ua i b1 = vb jsouprimitivní polynomy z R[x], dle lemmatu I.2.3. Z cp(a1b1) = 0 = cp(a1)+ cp(b1)plyne cp(ab)+vp(uv) = cp(a)+vp(u)+cp(b)+vp(v), odkud cp(ab)−cp(a)−cp(b) =vp(uv)− vp(u)− vp(v) = 0. �

I.2.6 Tvrzení. Buď R Gaussův obor a ať je T jeho podílové těleso. Ireducibilníprvky okruhu R[x] jsou jednak všechny prvočinitele oboru R, jednak všechnyprimitivní polynomy a ∈ R[x], které jsou jakožto polynomy z T [x] ireducibilní.Ke každému ireducibilnímu polynomu b ∈ T [x] existuje u ∈ T takové, že ub jeireducibilní prvek okruhu R[x].

Důkaz. Každý dělitel prvku z R (z hlediska dělitelnosti v R[x]) nutně leží v R,takže a ∈ R je ireducibilní prvek okruhuR[x] právě když je ireducibilním prvkemokruhuR. Ireducibilními prvky Gaussova oboruR jsou jeho prvočinitelé. Situaceprvků z R je tedy zřejmá.Ať a ∈ R[x] je polynom stupně alespoň jedna. Pak a = ua1, kde a1 je

primitivní a u =∏

pcp(a), pro vhodné prvočinitele p ∈ R. Není-li a primitivní,je u jeho vlastním dělitelem. Můžeme tedy předpokládat, že a primitivní je.Pokud a = bc pro nějaká b, c ∈ R[x], tak pro každý prvočinitel p podle

důsledku I.2.5 máme 0 = cp(a) = cp(b) + cp(c), odkud cp(b) = cp(c) = 0 provšechny prvočinitele p. Je-li a ireducibilní prvek okruhu T [x] (tedy to, co se běžněnazývá ireducibilní polynom), musí být b nebo c prvek okruhu R = T ∩ R[x],a z cp(b) = cp(c) = 0 plyne, že tento prvek je invertibilní (v R a tím i v R[x]),takže a je ireducibilní prvek R[x].Předpokládejme, že a není v T [x] ireducibilní polynom. Pak a = bc, kde

0 < deg(b) < deg(a) a b, c ∈ T [x]. Položme u =∏

p−cp(b) a v =∏

p−cp(c),podobně jako v důkazu důsledku I.2.5. Dostaneme opět, že b1 = ub i c1 = vcjsou primitivní polynomy. Protože 0 = cp(a) = cp(b) + cp(c) = cp(b1) = cp(c1)pro každý prvočinitel p, je vždy vp(u)+vp(v) = 0, a tedy uv = 1, takže a = b1c1je v R[x] součinem dvou polynomů menších stupňů, a tudíž není jako prvek R[x]ireducibilní. �

I.2.7 Tvrzení. Je-li R Gaussův obor, je i R[x] Gaussův obor.

Důkaz. Ať polynom a dělí v R[x] polynom b. Pak vedoucí koeficient a dělí ve-doucí koeficient b. Přitom deg(a) ≤ deg(b). Je-li deg(a) = deg(b), je a vlastnímdělitelem b právě když vedoucí koeficient a je vlastním dělitelem vedoucího koefi-cientu b. V nekonečné posloupnosti dělitelů prvků R[x] se musí stupně polynomůod jistého místa shodovat. Ve zbylé části posloupnosti musí být od jistého místaasociovány všechny vedoucí koeficienty polynomů, a tím i celé polynomy. Proto

10

jsou v R[x] řetězce vlastních ideálů konečné. Zbývá ukázat, že každý ireducibilníprvek a ∈ R[x] je v R[x] prvočinitelem.Ať a dělí bc, kde b a c jsou polynomy z R[x]. Je-li a ∈ R, můžeme například

použít důsledek I.2.5, podle kterého ca(bc) = ca(b) + ca(c) ≥ ca(a) = 1, takžeca(b) ≥ 1 nebo ca(c) ≥ 1, odkud plyne, že a dělí b nebo c.Pro deg(a) ≥ 1 z ireducibility a v T [x] plyne, že a dělí b nebo c v T [x].

Předpokládejme prvou možnost. Pak b = aq, kde q ∈ T [x]. Ovšem důsledek I.2.5dává cp(b) = cp(q) pro každé p, neboť a je podle tvrzení I.2.6 polynom primitivní.Z b ∈ R[x] plyne cp(q) ≥ 0 pro každé p, takže q leží v R[x]. To znamená, že adělí b nejen v T [x], ale i v R[x]. �

V předchozích úvahách jsme místo obratů vyjadřujících nulovost cp(a) prokaždý prvočinitel p ∈ R mohli pracovat s invertibilitou prvku c(a) =

∏

pcp(a).Pro a ∈ R[x] je ovšem c(a) určeno jednoznačně až na násobek invertibilnímprvkem. Jednoznačně určený je tedy pouze ideál (c(a)). Důsledek I.2.5 říká, že(c(ab)) = (c(a))(c(b)). Místo c(a) se někdy píše cont(a), kde cont je zkratkou zacontent, česky „obsahÿ.

I.3 Komaximální ideály, prvoideály, radikál

V této kapitole bude každý uvažovaný okruh komutativní.Je dobré si uvědomit, že na množinu všech ideálů okruhu R lze pohlížet jako

na komutativní monoid s operací násobení ideálů IJ . Jednotkovým prvkemtohoto monoidu je R; monoid přitom žádné další invertibilní prvky nemá. Namnožině všech ideálů je také definována aditivní struktura s operací I + J ,přičemž platí, jak lze snadno ověřit, distributivní zákon

I(J +K) = IJ + IK.

Obecně máme I∩J ⊇ IJ , v některých důležitých situacích, jak nyní nahléd-neme, však platí rovnost.O ideálech I a J řekneme, že jsou komaximální, jestliže I + J = R.

I.3.1 Lemma. Pro komaximální ideály platí IJ = I ∩ J .Důkaz. Máme I ∩J = (I ∩J)(I + J) = (I ∩J)I +(I ∩J)J ⊆ JI + IJ = IJ . �

Ideály I1, . . . , In se nazývají po dvou komaximální, pokud Ij a Ik jsou ko-maximální kdykoliv 1 ≤ j < k ≤ n.

I.3.2 Tvrzení. Ať I1, . . . , In jsou po dvou komaximální ideály okruhu R, n ≥ 2.Potom I1 ∩ · · · ∩ In = I1 · · · In a komaximální je i dvojice ideálů I1 ∩ · · · ∩ In−1a In.

Důkaz. Vyjádříme-liR jako (I1+In)(I2+In) · · · (In−1+In), dostaneme okamžitěrovnost I1 · · · In−1+ In = R. (Zapíšeme-li totiž 1 = 1R jako aj + bj , kde aj ∈ Ija bj ∈ In, 1 ≤ j < n, dostaneme vynásobením těchto součtů vyjádření 1R jakoa1 . . . an + c, kde c ∈ In.) Zbytek plyne indukcí založenou na lemmatu I.3.1. �

11

I.3.3 Lemma. Ať I1, . . . , In jsou ideály okruhu R. Uvažme homomorfismusf :R→ (R/I1) × · · · × (R/In), který zobrazuje každé r na (r + I1, . . . , r + In).Pak Ker(f) = I1 ∩ · · · ∩ In. Homomorfismus f je surjektivní právě když ideályI1, . . . , In jsou po dvou komaximální.

Důkaz. Tvrzení o jádru je zřejmé. Pro 1 ≤ i < j ≤ n uvažme přirozenou pro-jekci π:(R/I1)×· · ·×(R/In)→

(

(R/Ii) / ((Ii+Ij)/Ii))

×(

(R/Ij) / ((Ii+Ij)/Ij))

∼= R/(Ii + Ij) × R/(Ii + Ij). Protože πf zobrazuje prvky R na diagonálu uve-deného součinu, plyne ze surjektivity f nutně komaximalita Ii a Ij . Předpoklá-dejme, že pro všechna 1 ≤ i < j ≤ n jsou Ii a Ij komaximální a dokažme tvrzenínejprve pro n = 2.Chceme ukázat, že pro ri ∈ R, i ∈ {1, 2}, existuje r ∈ R takové, že r ≡ ri

mod Ii. Víme, že 1 = a1 + a2 pro ai ∈ Ii. Položme r = r1a2 + r2a1. Pakr − r1 = r − r1(a1 + a2) = a1(r2 − r1) ∈ I1, a podobně r − r2 ∈ I2.Zbytek důkazu lze provést indukcí. Podle indukčního předpokladu pro I =

I1 · · · In−1 je g:R/I→ (R/I1)× · · · × (R/In−1), (r+ I) 7→ (r+ I1, . . . , r+ In−1),surjektivní homomorfismus. Podle předchozí části důkazu a tvrzení I.3.2 je h :R→ R/I × R/In, h(r) = (r + I, r + In) surjektivní homomorfismus. Protožef = (g × idR/In

) ◦ h, je surjektivní i f . �

Z lemmatu I.3.3 jako důsledek vyplývá, že zobrazení f je isomorfismus právěkdyž I1, . . . , In jsou komaximální ideály s nulovým průnikem. Opačný směr tétoekvivalence je znám jako čínská věta o zbytcích. Vyslovíme ji ve tvaru, kterýpoukazuje na nejčastější způsob aplikace.

I.3.4 Důsledek (Čínská věta o zbytcích). Buď R okruh s ideály I1, . . . , In.Jestliže tyto ideály jsou po dvou komaximální a mají nulový průnik, tak provšechna r1, . . . , rn ∈ R existuje právě jedno r ∈ R takové, že ri ≡ r mod Ii,1 ≤ i ≤ n. �

Z výpočetního hlediska nejsou tvrzení, jež využívají axiom výběru (a tedypotažmo Zornovo lemma) příliš cenná. Přesto taková tvrzení mají svůj význami ve výpočetním kontextu, neboť mohou sloužit jako teoretické existenční vo-dítko, které motivuje k hledání algoritmů. Uvedeme několik takových základníchexistenčních tvrzení.

I.3.5 Lemma. Nechť A je podmnožina okruhu R a ať I je jeho ideál. Je-liI ∩A = ∅, existuje alespoň jeden ideál J ⊇ I takový, že J ∩A = ∅ a J ′ ∩A 6= ∅pro každý ideál J ′ ) J .

Důkaz. Uvažme množinu všech ideálů J ⊇ I, které splňují J ∩ A = ∅. Je-li(Jα; α ∈ ∆) řetězec do sebe vřazených ideálů takové vlastnosti, má stejnouvlastnost i ideál

⋃

(Jα; α ∈ ∆), takže tvrzení plyne z Zornova lemmatu. (V dů-kazu se předpokládá, že ∆ je lineárně uspořádaná množina, přičemž Jα ⊆ Jβ

pro α ≤ β.) �

Vlastní ideály jsou ty, které neobsahují prvek 1. Pokud položíme A = {1},dostaneme známý

12

I.3.6 Důsledek. Buď I vlastní ideál okruhu R. Pak v R existuje maximálníideál, který I obsahuje.

Multiplikativní množinou okruhu R se míní každá podmnožina R, která jeuzavřená na násobení a neobsahuje prvek 0.

I.3.7 Tvrzení. Buď S multiplikativní množina okruhu R a ať I je ideál tohotookruhu, I ∩ S = ∅. Pak existuje prvoideál P ⊇ I, který splňuje P ∩ S = ∅.Důkaz. Použijeme lemma I.3.5 pro A = S a ukážeme, že ideál J daný tímtolemmatem je prvoideál. Ať a, a′ ∈ R \ J . Potřebujeme ukázat, že pak do Jnepadne ani součin aa′. Z maximality J vyplývá neprázdnost průniků S ∩ (J +Ra) a S ∩ (J + Ra′). Ať tedy p, p′ ∈ J , dále s, s′ ∈ S a konečně r, r′ ∈ R jsoutaková, že s = p+ ra a s′ = p′+ r′a′. Pak ss′ = (pp′+ pr′a′+ p′ra) + rr′aa′ ležív S, a tedy ne v J . Výraz v závorce padne do J , takže musí být rr′aa′ 6∈ J , atedy i aa′ 6∈ J . �

Za I můžeme zvolit nulový ideál, takže tvrzení poskytuje okamžitě

I.3.8 Důsledek. Pro každou multiplikativní množinu S okruhu R existuje pr-voideál P takový, že je P ∩ S = ∅.Množině všech prvoideálů okruhu se někdy říká jeho spektrum. Množině

prvoideálů, které obsahují daný ideál I se říká varieta I (budeme psát Var I).Minimálním prvkem Var I se rozumí každý prvoideál P ∈ Var I, který má tuvlastnost, že pro žádné Q ∈ Var I není Q ( P .Následující tvrzení je příkladem použití Zornova lemmatu na klesající řetězec

ideálů.

I.3.9 Tvrzení. Buď I vlastní ideál okruhu R a ať je P ∈ Var I. Pak varieta Iobsahuje alespoň jeden minimální prvek Q takový, že je Q ⊆ P .

Důkaz. Tvrzení bude plynout z Zornova lemmatu, pokud ukážeme že průnikřetězce do sebe vřazených prvoideálů (Pα; α ∈ ∆) z Var I je opět prvoideál. Žejde o ideál, který obsahuje I, je zřejmé. Označme průnik J a ať ab ∈ J . Pokuda 6∈ J , existuje β ∈ ∆, že a 6∈ Pα pro každé α ≤ β. Pro taková α z ab ∈ Pα

plyne b ∈ Pα, odkud b ∈ Pα pro všechna α ∈ ∆, čili b ∈ J . �

Nyní se budeme věnovat základním konstrukcím, které využívají prvoideály.Přímočarou indukcí plyne dobře známé

I.3.10 Lemma. Ať je P prvoideál okruhu R a ať a1, . . . , an jsou prvky R. Je-lia1 · · ·an ∈ P , existuje j, 1 ≤ j ≤ n, takové, že aj ∈ P .

Příslušnost prvoideálu do vyjádření nějakého ideálu jako součinu jiných ide-álů (jež často bývají mocninami prvoideálů) lze mnohdy odvodit z následujícíhojednoduchého lemmatu základního významu.

I.3.11 Lemma. Buďte I1, . . . , In ideály okruhu R. Potom pro prvoideál P platíP ⊇ I1 ∩ · · · ∩ In právě když P ⊇ I1 · · · In. Tato situace nastane tehdy a jentehdy pokud P ⊇ Ij pro nějaké j, 1 ≤ j ≤ n.

13

Důkaz. Z P ⊇ I1 ∩ · · · ∩ In máme P ⊇ I1 · · · In, neboť I1 ∩ · · · ∩ In ⊇ I1 · · · In.Podobně jednodušše z P ⊇ Ij vyplývá P ⊇ I1 ∩ · · · ∩ In. PředpokládejmeP ⊇ I1 · · · In. Pokud by bylo možno zvolit aj ∈ Ij \ P pro každé j, 1 ≤ j ≤ n,dostali bychom spor s lemmatem I.3.10, neboť by bylo a1 · · ·an ∈ P , přičemžžádný z prvků aj by v P neležel. Proto musí být Ij ⊆ P pro alespoň jedno j,1 ≤ j ≤ n. �

Pro ideál I okruhu R položme√I = {a ∈ R; existuje k ≥ 1 takové, že ak ∈ I}.

Pak je√I ⊇ I a z binomické věty plyne, že pro a, b ∈

√I máme a + b ∈

√I.

Protože I je ideál, je ideál i√I. Tomuto ideálu se říká radikál I a značí se též

radR(I).Ideál

√0 se nazývá nilradikál R. Je zjevné, že

√I je rovno vzoru nilradikálu

okruhu R/I při projekci modulo I.

I.3.12 Tvrzení. Buď I vlastní ideál okruhu R. Potom√I =

⋂

(P ; P ∈ Var I).

Důkaz. Pro prvoideál P ⊇ I a pro a ∈√I máme an ∈ P pro nějaké n ≥ 1,

a tedy a ∈ P , dle lemmatu I.3.10. Uvažme naopak b ∈ ⋂

(P ; P ∈ Var I) apředpokládejme, že b 6∈

√I. Množina S = {bk; k ≥ 1} pak neobsahuje nulu

(neboť 0 v I leží), takže jde o multiplikativní množinu. Protože předpokládámeS ∩ I = ∅, existuje podle tvrzení I.3.7 prvoideál P ⊇ I, který je s S disjunktní.To znamená b 6∈ P , takže b v uvažovaném průniku neleží. Obdrželi jsme spor.�

I.3.13 Důsledek. Nilradikál okruhu R je roven průniku všech prvoideálů R.�

Vedle průniku všech prvoideálů se často uvažuje i průnik všech maximálníchideálů. Tomuto průniku se říká Jacobsonův radikál a značí se J(R). Maximálníideály jsou prvoideály, takže okamžitě můžeme vyslovit

I.3.14 Tvrzení. V každém okruhu je nilradikál obsažen v Jacobsonově radikálu.

Prvky Jacobsonova radikálu lze snadno charakterizovat. Tuto charakterizacilze považovat za alternativní definici J(R).

I.3.15 Tvrzení. Prvek a okruhu R leží v J(R) právě když 1− ra je pro každér ∈ R invertibilní prvek R.

Důkaz. Ať je 1− ra pro každé r invertibilní a ať je M maximální ideál. Kdybynebylo a ∈M , bylo by 1 = ra+m pro nějaké r ∈ R a m ∈M . Prvky vlastníchideálů však invertibilní nejsou.Naopak pro a ∈ J(R) máme ra ∈ J(R) pro každé r ∈ R a 1 − ra musí být

invertibilní. Kdyby totiž nebylo, leželo by 1− ra v nějakém maximálním ideáluM , což vede ke sporu, neboť předpokládáme ra ∈ J(R) ⊆M .

�

14

I.4 Volné moduly

Část obsahu této kapitoly lze beze změny přenést i na okruhy, jež nejsou komu-tativní. Je snadné si všimnout, kde je to možné.Připomeňme, že pro libovolné moduly Mi, i ∈ I, okruhu R, je možné uva-

žovat jejich direktní součet (sumu)⊕

(Mi; i ∈ I). Prvky této direktní sumytvoří podmnožinu kartézského součinu množin Mi, i ∈ I, jež se sestává ze všechprvků (mi; i ∈ I), které mají mi 6= 0 jen pro konečné mnoho i ∈ I. Každýmodul Mj, j ∈ I, lze do M =

⊕

(Mi; i ∈ I) vnořit tak, že obrazem m ∈ Mj jeten prvek νj(m) = (mi; i ∈ I), který splňuje mj = m a má mi = 0 pro i 6= j.Přitom obrazy Im(νj) modulů Mj , j ∈ I, generují modul M . Pro každé j ∈ I jepodmodul Nj generovaný všemi Im(νi), které mají i 6= j, možno vyjádřit jako

Nj = {(mi; i ∈ I) ∈M ; mj = 0}.

Zjevně Im(νj) + Nj = M a Nj ∩ Im(νj) = 0. Není těžké ověřit, že takovýmivztahy lze direktní sumy strukturně popsat:

I.4.1 Tvrzení. Ať Mi, i ∈ I, jsou podmoduly modulu M , které tento modulgenerují. Zobrazení

µ :⊕

Mi →M, (mi) 7→∑

mi

je surjektivní homomorfismus modulů. Homomorfismus µ je izomorfismem mo-dulů

⊕

Mi∼= M právě když pro každé j ∈ I je Mj ∩Nj = 0, kde Nj =

∑

(Mi;i ∈ I \ {j}).Důkaz. Ověřit, že µ je homomorfismus modulů, nečiní potíže. Protože modulyMi generujíM (tedy

∑

Mi =M), jde o homomorfismus surjektivní. Prvek (mi;i ∈ I) padne do jeho jádra právě když

∑

mi = 0. Uvažme takový prvek a aťJ ⊆ I je (konečná) množina všech i ∈ I, pro která mi 6= 0. Je-li J neprázdná,má alespoň dva prvky a pro každé j ∈ J je −mj =

∑

i∈J,i6=j mi nenulovýprvekMj ∩Nj . Naopak, z nenulovostiMj ∩Nj zjevně plyne existence takovýchnenulových mi ∈Mi, i ∈ J ⊆ I, že J je konečná, obsahuje j, a platí

∑

i∈J mi =0. Vidíme, že µ je injektivní právě když Mj ∩Nj = 0 pro každé j ∈ I. �

Kdykoliv v modulu M nalezneme podmoduly Mi, i ∈ I, takové, že∑

Mi =M a Mj ∩ (Mi; i ∈ J \ {j}) = 0 pro každé j ∈ I, je M podle tvrzení I.4.1izomorfní

⊕

Mi. Je zvykem i v takovém případě psátM =⊕

Mi, a nerozlišovattak direktní sumu danou konstrukcí od direktní sumy strukturní (někteří autořivšak po řadě hovoří o vnější a vnitřní direktní sumě). Chceme-li zjistit, zdamodul M je roven direktní sumě generujících podmodulů Mi, bývá většinoujednodušší ověřit, že

∑

mi, kde mi ∈ Mi, je rovno nule jedině tehdy, kdyžkaždé mi je nulové, než ověřovat, že moduly Mi a Ni mají pro každé i ∈ Inulový průnik. Z tvrzení I.4.1 plyne, že oba postupy jsou možné.Direktní sumu

⊕

(Mi; i ∈ I), ve které se všechny moduly Mi rovnají nějaké-mu modulu N označíme N (I) (lze mluvit o direktní mocnině ). Záhy objasnímezvláštní roli modulů R(I).

15

Podmnožina X modulu F se nazývá jeho volnou bází, jestliže X generuje Fa jestliže pro každý modul M a každý výběr prvků ax ∈ M , x ∈ X , existujehomomorfismus ϕ : F →M takový, že ϕ(x) = ax pro každé x ∈ X .Homomorfismus ϕ je určen jednoznačně, neboť X generuje F (definici volné

báze lze alternativně vyslovit také tak, že místo požadavku generování pomocíX se požaduje jednoznačnost ϕ).Modul se nazývá volný, jestliže v něm lze nalézt alespoň jednu volnou bázi.

I.4.2 Lemma. Ať Xi, i ∈ {1, 2}, jsou volné báze modulů Fi. Jsou-li množinyX1 a X2 stejně mohutné, jsou moduly F1 a F2 izomorfní.

Důkaz. Uvažme nějakou bijekci ξ : X1 → X2. Pak ξ lze rozšířit na homomor-fismus ϕ : F1 → F2 a ξ−1 na ψ : F2 → F1. Protože ψϕ a ϕψ jsou na X1 a X2po řadě identické, musí jít o identická zobrazení, takže ϕ = ψ−1 je izomorfismusF1 ∼= F2. �

I.4.3 Lemma. Ať je X taková podmnožina modulu F , že každý prvek F lzejednoznačně vyjádřit ve tvaru

∑

x∈X rxx, kde rx ∈ R je nenulové jen pro konečněmnoho x ∈ X. Potom je X volnou bází modulu F .

Důkaz. Ať ax, x ∈ X , jsou prvky modulu M . Definujme ϕ : F → M tak, žeϕ(∑

rxx) =∑

rxax. Definice je korektní, díky jednoznačnosti zápisu prvků F .Ověřit, že ϕ je homomorfismus, lze zcela přímočaře. �

I.4.4 Tvrzení. Ať X je podmnožina modulu F . Je ekvivalentní:

(i) X je volná báze F ;

(ii) každý prvek F lze jednoznačně vyjádřit jako∑

rxx, x ∈ X a rx ∈ R; a

(iii) existuje izomorfismus F ∼= R(X), který zobrazuje každé x ∈ X na νx(1)(kde νx : R → R(X) jsou homomorfismy, které vkládají R do x-té souřad-nice).

Speciálně platí, že každý modul R(X) je volný, a to pro každou množinu X.

Důkaz. Je-li νx : R → R(X) vložením do x-té souřadnice, lze každé (rx;x ∈ X) ∈ R(X) zapsat jako

∑

rxνx(1). Tento zápis je jednoznačný. Zbytekplyne z lemmat I.4.3 a I.4.2. �

Třída okruhů R, pro které platí, že dva volné moduly jsou izomorfní právěkdyž jsou jejich volné báze stejně mohutné, je široká, avšak nezahrnuje všechnykomutativní okruhy. Existují totiž takové okruhy, že lze nad nimi sestrojit mo-dul, jenž má více volných bází různých mohutností. Ukážeme, že v případě oborůintegrity je mohutnost volné báze ve volném modulu určena jednoznačně.Z popisu volných modulů v lemmatu I.4.3 okamžitě dostáváme

I.4.5 Lemma. Ať R je obor integrity a F volný modul nad R. Pak pro každénenulové r ∈ R a každá u, v ∈ F z ru = rv plyne u = v.

16

Buď R i dále obor integrity a ať F je volný modul nad R. Podílové tělesooboru integrity R označíme T . Naším cílem je takové rozšíření F , aby v rozšíře-ném modulu bylo definováno skalární násobení prvky T . Naše konstrukce budespeciálním případem konstrukce torzního součinu T⊗F . Provedeme ji explicitně,neboť na této úrovni se znalost obecného torzního součinu nepředpokládá.Nosičem T⊗F je faktorizace T×F ekvivalencí∼, kterou definujeme vztahem

(r1/s1, u1) ∼ (r2/s2, u2)⇔ r1s2u1 = r2s1u2.

K ověření korektnosti definice ∼ předpokládejme r1/s1 = r′1/s′1, tj. r1s

′1 =

r′1s1. Z r1s2u1 = r2s1u2 plyne r1s′1r

′1s2u1 = r

′1s1r2s

′1u2, odkud r

′1s2u1 = r2s

′1u2

dle lemmatu I.4.5.Relace ∼ je zjevně reflexivní a symetrická. Pokud (r1/s1, u1) ∼ (r2/s2, u2) ∼

(r3/s3, u3), tak máme r1s2u1 = r2s1u2 a r2s3u2 = r3s2u3, odkud s2r1s3u1 =s3r1s2u1 = s3r2s1u2 = s1r2s3u2 = s1r3s2u3 = s2s1r3u3, takže r1s3u1 = s1r3u3dle lemmatu I.4.5, a tedy (r1/s1, u1) ∼ (r3/s3, u3).Blok ∼ obsahující prvek (λ, u) ∈ T × F označíme λ⊗ u.

I.4.6 Lemma. Pro každé r ∈ R a každé (λ, u) ∈ T×F platí (rλ)⊗u = λ⊗(ru).Každé λ⊗ u je rovno nějakému (1/s)⊗ v, kde s ∈ R je nenulové. Pro nenulovás, s′ ∈ R a v, v′ ∈ F je (1/s) ⊗ v = (1/s′) ⊗ v′ právě když s′v = sv′. Konečněλ⊗ u = 0⊗ 0 právě když λ = 0 nebo u = 0.

Důkaz. Ať λ = s/t. Pak (rs/t, u) ∼ (s/t, ru), takže (rλ)⊗u = λ⊗ (ru). Zbytekse dokáže podobně snadno. �

Na T ⊗ F definujme operaci sčítání tak, že

(1/s)⊗ u + (1/s)⊗ v = (1/s)⊗ (u+ v).

Z lemmatu I.4.6 plyne, že jde o korektně definovanou operaci. Ta je zjevněasociativní, 0⊗ 0 = (1/s)⊗ 0 je její neutrální prvek a (1/s)⊗ (−u) je opačnýmprvkem prvku (1/s)⊗u. Jde tedy o Abelovu grupu. Přitom pro libovolná u, v ∈F a λ, κ ∈ T platí

λ⊗ u+ λ⊗ v = λ⊗ (u+ v) a λ⊗ u+ κ⊗ u = (λ+ κ)⊗ u.

Prvý vztah je očividný. Pro druhý vyjádříme λ jako r/s a κ jako r′/s′. Máme(λ⊗u)+(κ⊗u) = (1/(ss′))⊗(rs′u)+ (1/(ss′))⊗(r′su) = (1/(ss′))⊗(rs′+r′s)u =(rs′ + r′s)/(ss′)⊗ u = (λ+ κ)⊗ u.Na T ⊗ F definujeme rovněž skalární násobení, a to vztahem

κ(λ⊗ u) = (κλ)⊗ u.

Korektnost definice je opět očividná. Jistě 1(λ ⊗ u) = λ ⊗ u, (κ + κ′)(λ ⊗u) = κ(λ ⊗ u) + κ′(λ ⊗ u), κ(κ′(λ ⊗ u)) = (κκ′)(λ ⊗ u), takže zbývá ověřitκ(λ⊗ u+ λ′ ⊗ u′) = (κλ)⊗ u+ (κλ′)⊗ u′. To ovšem také nečiní potíže, a protoje T ⊗ F modulem nad T , tedy vektorovým prostorem nad T .

17

Tento vektorový prostor je samozřejmě rovněž R-modulem. Máme r(1⊗u) =(1 ⊗ ru) a (1 ⊗ u) + (1 ⊗ v) = 1 ⊗ (u + v), takže zobrazení u 7→ 1 ⊗ u jehomomorfismem R-modulů. V jeho jádru leží pouze u = 0, a proto můžemeprvky u a 1⊗u ztotožňovat. Volný R-modul F je tedy podmodulem vektorovéhoprostoru T ⊗ F .Je-li xi, i ∈ I, nějaká volná báze F , tak každé λ⊗ u = λ(1⊗ u) ∈ T ⊗ F lze

vyjádřit jako λ(1 ⊗∑ rixi) = λ(∑

ri(1 ⊗ xi)) =∑

λri(1 ⊗ xi), takže množina{1 ⊗ xi; i ∈ I} vektorový prostor T ⊗ F generuje. Abychom dokázali, že jde obázi, stačí ověřit, že z

∑

λi(1⊗xi) = 0 plyne nulovost všech λi, i ∈ I. Najděmes ∈ R, s 6= 0, takové, že všechna λi lze vyjádřit jako ri/s, kde ri ∈ R. Potom∑

λi(1 ⊗ xi) = (1/s)⊗ (∑

rixi) = 0, odkud ri = 0 pro všechna i ∈ I, a tedy iλi = 0 pro všechna i ∈ I.Dimenze vektorového prostoru T⊗F je tedy rovna mohutnosti volné báze F .

Protože dimenze vektorového prostoru je určena jednoznačně, můžeme vyslovit

I.4.7 Tvrzení. Ať F je volný modul nad oborem integrity R. Pak všechny vol-né báze F mají stejnou mohutnost. Ta je rovna dimenzi vektorového prostoruT ⊗ F , kde T značí podílové těleso oboru R.

Této mohutnosti se říká hodnost (rank) volného modulu.Později využijeme následující pozorování.

I.4.8 Lemma. Ať M je podmodul volného R–modulu, kde R je obor integritys podílovým tělesem T . Pak T ⊗M = {λ ⊗ u; λ ∈ T a u ∈ M} je vektorovýpodprostor T ⊗ F .

Důkaz. Zjevně pro každá x, y ∈ T ⊗M lze nalézt s ∈ R a u, v ∈ M tak, žex = (1/s)⊗ u a y = (1/s)⊗ v. Z toho plyne, že T ⊗M je uzavřeno na sčítání.Uzavřenost na skalární násobení je zřejmá. �

Zvláštní pozornost budeme věnovat volným modulům konečné hodnosti nadobory hlavních ideálů.Ať R je obor hlavních ideálů a ať F je volný modul nad R konečné hodnosti

n ≥ 1. Pro volné báze e1, . . . , en a e′1, . . . , e′n, a pro prvek a ∈ F uvažme ideály

(r1, . . . , rn) = (s) a (r′1, . . . , r′n) = (s

′), kde a =∑

riei =∑

r′ie′i.

Podobně jako v lineární algebře sestrojme čtvercové matice M a M ′ řádun nad R tak, aby (e1, . . . , en)M = (e′1, . . . , e

′n) a (e

′1, . . . , e

′n)M

′ = (e1, . . . , en).Pak je též (r1, . . . , rn)M = (r′1, . . . , r

′n) a (r

′1, . . . , r

′n)M

′ = (r1, . . . , rn). Z tohoplyne, že s, jež dělí každé ri, dělí každé r′i, takže s dělí s

′. Podobně s′ dělí s, aproto máme (s) = (s′). Dokázali jsme, že pro daný prvek a ∈ F , a =

∑

riei,ideál (r1, . . . , rn) nezávisí na volbě báze e1, . . . , en. Tento ideál se nazývá obsah(content) prvku a. Budeme ho značit C(a).

I.4.9 Tvrzení. Ať F je volný modul nad oborem hlavních ideálů R a ať a ∈ Fje nenulový, C(a) = (s). Pak existuje volná báze e1, . . . , en taková, že a = se1.Speciálně lze každý nenulový prvek F vyjádřit jako skalární násobek prvku, kterýpatří do nějaké volné báze.

18

Důkaz. Případ n = 1 je jasný a dále budeme postupovat indukcí. Ať a =∑

riei,1 ≤ i ≤ n. Je-li některá z hodnot ri nulová, lze jistě použít indukční předpoklad.Buďte všechny nenulové. Uvažme b = a − r1e1 =

∑

i≥2 riei. Podle indukčníhopředpokladu existuje f ∈ ∑i≥2Rei, jež padne do některé z těch volných bázíF , jež současně obsahují e1, a splňuje b = tf , kde (t) = C(b). Položme r = r1 ae = e1. Máme r = us a t = vs, přičemž z (s) = (r, t) plyne existence x, y ∈ Rtakových, že s = xr + yt. Odsud xu + yv = 1. Matice

(

u −yv x

)

má determinantrovný 1 a je vodítkem pro konstrukci volné báze s prvky e′ = ue + vf a f ′ =−ye+ xf . Máme se′ = re+ tf = a, e = xe′ − vf ′ a f = ye′ + uf ′. �

I.4.10 Tvrzení. Ať M je podmodul volného R-modulu F , který je konečnéhodnosti n. Ať R je oborem hlavních ideálů. Mezi všemi ideály C(a), a ∈ M ,existuje největší.

Důkaz. Vyberme c ∈M takové, že mezi uvažovanými ideály je C(c) maximální.To možné je, neboťR je noetherovský okruh, takžeM je noetherovský modul. Aťe1, . . . , en je taková volná bázeM , že c = se1, kde C(c) = (s) (viz tvrzení I.4.9).Ukážeme, že pro každé b =

∑

riei z M je C(b) = (r1, . . . , rn) ⊆ C(c). Ověřenítéto inkluze má dva kroky – v prvém ověříme, že r1 ∈ (s) a v druhém, že každéri, i ≥ 2, padne to (s).Ať (t) = (r1, s) a ať t = xr1+ys. Pak xb+yc = te1+(

∑

i≥2 xriei) ∈M , odkudC(c) = (s) ⊆ (t) ⊆ C(xb + yc). To dává (s) = (t) a r1 ∈ (s), díky maximalitě(s) = C(c). Je tedy r1 = sz pro nějaké z ∈ R, takže se1 + (

∑

i≥2 riei) =b + (1 − z)se1 leží v M . Z maximality (s) a vztahu (s) ⊆ C(b + (1 − z)se1)dostáváme rovnost (s) = C(b + (1− z)se1), takže každé ri, i ≥ 2, dělí s. �

V další kapitole ukážeme, jak lze tvrzení I.4.9 použít pro charakterizaci ko-nečně generovaných modulů nad obory hlavních ideálů. Tuto kapitolu zakončímejednou významnou obecnou vlastností volných modulů.

I.4.11 Tvrzení. Ať R je komutativní okruh a N ať je podmodul modulu M .Pokud je M/N volný modul, lze nalézt podmodul F ∼=M/N modulu M takový,že M = F ⊕N .

Důkaz. Uvažme B ⊆ M takové, že {b + N ; b ∈ B} je volnou bází moduluM/N . Označme µ homomorfismus M/N → M takový, že µ(b + N) = b prokaždé b ∈ B. Vztah µ(

∑

rb(b + N)) ∈ N lze též zapsat jako∑

rbb ∈ N nebojako

∑

rb(b +N) = N . Ovšem N = 0M/N , takže z posledního vyjádření plynerb = 0 pro každé b ∈ B, neboť modul M/N je volný. Dokázali jsme jednakIm(µ) ∩ N = 0, jednak Kerµ = 0. Modul Im(µ) je tedy volný a vzhledem ktomu, že B, jež v Im(µ) leží, spolu s N generujeM , můžeme položit F = Im(µ).�

19

I.5 Konečně generované moduly oborů hlavníchideálů

I.5.1 Lemma. Konečně generované moduly nad noetherovskými okruhy jsounoetherovské.

Důkaz. Konečně generované moduly jsou obrazy konečně generovaných volnýchmodulů. Je-li R noetherovský okruh, tak volný modul Rk, k ≥ 1, má podmodulizomorfní Rk−1 a příslušný faktormodul je izomorfní R. Postupujeme-li indukcí,můžeme předpokládat, že Rk−1 je noetherovský, a tím pádem je noetherovský iRk (viz lemma I.1.6). Homomorfní obrazy noetherovských modulů jsou noethe-rovské. �

Ať R je komutativní okruh a M modul nad R. Modul M nazveme cyklickýprávě když existuje a ∈ M takové, že M = Ra. Zobrazení R → M , r 7→ ra, jepak surjektivním homomorfismem modulů a jeho jádro je nějaký ideál, řekněmeI. Každý cyklický modul je proto izomorfní R/I, pro nějaký ideál I, a každýmodul takového tvaru je cyklický.Homomorfismus R → M , r 7→ ra, lze zkonstruovat pro každé a ∈ M , bez

ohledu na to, zda je M cyklický nebo ne. Jádro tohoto homomorfismu je ideál{r ∈ R; ra = 0}, který budeme značit Ann(a). Obecně pro B ⊆M je anihilátorAnnR(B) = Ann(B) definován jako {r ∈ R; rb = 0 pro každé b ∈ B}, a je tovždy ideál.Pro a, b ∈ M a r, s ∈ R z ra = 0 a sb = 0 plyne rs(a + b) = 0. Je-li R obor

integrity, tak z r 6= 0 a s 6= 0 plyne rs 6= 0. Odsud vidíme, že

τ(M) = {a ∈M ; AnnR(a) 6= 0}

je v případě oborů integrity podmodulem M . Tomuto podmodulu se říká torzníčást. Modul M se nazývá torzní právě když je roven své torzní části. NaopakM nazveme beztorzní pokud τ(M) = 0.

I.5.2 Lemma. Ať je M modul nad oborem integrity R a ať τ(M) je jeho torzníčást. Potom je modul M/τ(M) beztorzní.

Důkaz. Uvažme a ∈ M a nenulové r ∈ R takové, že r(a + τ(M)) ⊆ τ(M). Toznamená ra ∈ τ(M), takže existuje nenulové s ∈ R, jež splňuje s(ra) = 0. Tudížsr ∈ Ann(a), takže a ∈ τ(M). �

Pro ideál I komutativního okruhuR a pro R-modulM je {a ∈M ; ra = 0 prokaždé r ∈ I} jistě podmodul M . Označíme-li tento N1 a označíme-li Nj, j ≥ 0,analogicky definovaný podmodul vzhledem k ideálu Ij , bude N1 ⊆ N2 ⊆ . . . .Modul N =

⋃

(Nj ; j ≥ 0) označíme τI(M). Je tedy

τI(M) = {a ∈M ; existuje j ≥ 1, že ra = 0 pro každé r ∈ Ij}.

Ideály τI(M) jsme definovali pro obecný komutativní okruh R, zde je všakbudeme používat pouze v případě, kdy R je obor integrity a I jeho vlastní ideál.Pak jistě τI(M) ⊆ τ(M).

20

I.5.3 Tvrzení. Ať R je obor hlavních ideálů a ať P je množina všech jehoprvoideálů. Pak pro každý torzní R-modul M platí

M =⊕

(τP (M); P ∈ P) .

Důkaz. Uvažme u ∈M nenulové. Pak Ann(u) = (r) pro nějaké r = pc11 . . . p

ck

k ,k ≥ 1, kde pi jsou prvočinitelé a ci ≥ 1, 1 ≤ i ≤ k. Položme si = r/pci

i ,1 ≤ i ≤ k. Jelikož s1, . . . , sk jsou nesoudělná, máme 1 =

∑

xisi pro nějakéxi ∈ R, 1 ≤ i ≤ k. Tudíž u = 1 · u = ∑ xisiu. Ovšem xisiu ∈ τ(pi)(M), neboťpci

i (xisiu) = xiru = 0. Dokázali jsme, že moduly τp(M) generují M .Ať p je prvočinitel a ať u ∈ M leží v průniku modulu τ(p)(M) a modulu

∑

(τP (M); P ∈ P \ (p)). Pak existuje nenulové r ∈ R, které je nesoudělné s p asplňuje ru = 0. Současně je pcu = 0 pro nějaké c ≥ 1. Protože existují x, y ∈ Rtakové, že xpc + yr = 1, máme u = (xpc + yr)u = 0. Uvažovaný průnik je tudížnulový. �

I.5.4 Tvrzení. Ať R je obor hlavních ideálů a ať M je konečně generovanýbeztorzní modul nad R. Potom je M volný modul.

Důkaz. Uvažme nějaký surjektivní homomorfismus ϕ : F → M , kde F jevolný modul nad R hodnosti n. Předpokládejme, že n je nejmenší možné. Je-liKer(ϕ) = 0, tak F ∼= M a M je volný. Předpokládejme Ker(ϕ) 6= 0. Podletvrzení I.4.9 existuje volná báze e1, . . . , en modulu F a nenulové r ∈ R takové,že re1 ∈ Ker(ϕ). To znamená ϕ(re1) = rϕ(e1) = 0, odkud ϕ(e1) = 0, neboť Rje beztorzní. Pak ovšem ϕ(e2), . . . , ϕ(en) generují M a n není nejmenší možné.�

Jako důsledek jdoucí mimo hlavní směr tohoto oddílu zmiňme

I.5.5 Důsledek. Ať R je obor hlavních ideálů a ať M je podmodul volnéhoR–modulu F konečné hodnosti n. Potom je M volný R–modul hodnosti ≤ n.

Důkaz. Modul F je noetherovský, podle lemmat I.1.4 a I.5.1, a proto je no-etherovský i modulM , podle lemma I.1.6. To znamená, že modul M je konečněgenerovaný, a tedy volný, podle tvrzení I.5.4. Omezení jeho hodnosti vyplývá zlemma I.4.8 a tvrzení I.4.7 �

I.5.6 Důsledek. Ať R je obor hlavních ideálů a ať M je konečně generovanýmodul nad R. Potom existuje volný modul F takový, že M = F ⊕ τ(M).

Důkaz. Lze spojit lemma I.5.1, lemma I.5.2, tvrzení I.5.4 a tvrzení I.4.11. �

Podle důsledku I.5.6 a tvrzení I.5.3 proto pro charakterizaci konečně gene-rovaných R-modulů, kde R je obor hlavních ideálů, potřebujeme znát strukturukonečně generovaných podmodulů τP (M), kde P je prvoideál. Dříve než za-čneme řešit tento úkol, učiníme malé obecné pozorování.Je-li I takový ideál okruhu R, že pro daný R-modul M platí IM = 0 (tedy

I ⊆ Ann(M)), lze M chápat také jako R/I-modul, kde (r + I)a = ra provšechna r ∈ R, a ∈ M . Je-li R komutativní a I maximální, dostaneme tak

21

na M strukturu vektorového prostoru. V oboru hlavních ideálů jsou prvoideálymaximální, takže z PM = 0 vyplývá M =

⊕

(Mi; i ∈ I), kde Mi∼= R/P

jsou jednodimenzionální podprostory M chápaného jako vektorový prostor nadR/P , které jsou odvozeny z nějaké báze tohoto vektorového prostoru.Mějme tedy R obor hlavních ideálů a ať P je prvoideálR. Uvažme prvočinitel

p takový, že P = (p). Na chvíli budeme p-modulem nazývat každý R-modul Mtakový, že τ(p)(M) = M . Jinými slovy, M je p-modul právě když pro každéu ∈ M existuje i ≥ 1 takové, že piu = 0. Nejmenší takové i se nazývá výškou(nebo p-výškou) prvku u. Prvky výšky ≤ i zjevně tvoří podmodul M . Je-liM generován prvky g1, . . . , gn a k je nejvyšší z výšek těchto prvků, má každýprvek M výšku nejvýše k (čili platí pku = 0 pro každé u ∈ M). Prvkem výšky0 je pouze nulový prvek M . Prvky výšky ≤ 1 tvoří podmodul, kterému seříká dolní vrstva (sokl). Dolní vrstvu můžeme chápat jako vektorový prostornad tělesem R/(p). Značí se Soc(M). (Obecně je Soc(M) podmodul generovanývšemi jednoduchými podmoduly. Modul je jednoduchý, nemá-li vlastní nenulovépodmoduly.)

I.5.7 Lemma. Pro p-modul M a u ∈ M platí uR = ruR kdykoliv r ∈ R nenídělitelné p. V takovém případě mají u i ru stejné p-výšky.

Důkaz. Ať u má výšku k. Existují x, y ∈ R taková, že xpk + yr = 1. To zna-mená, že ruR ⊇ yruR = (1 − xpk)uR, což se shoduje s uR, neboť xpkur = 0pro každé r ∈ R. Jistě platí i uR ⊇ ruR, takže uR = ruR, a tudíž u = s(ru)pro nějaké s ∈ R. To, že u a ru mají stejné výšky, je nyní již zřejmé. �

I.5.8 Lemma. Každý konečně generovaný p-modul lze vyjádřit jako direktnísumu cyklických modulů u1R ⊕ · · · ⊕ utR, kde pro každé j, 1 ≤ j ≤ t, existujem = mj ≥ 1 takové, že ujR ∼= R/(pm).

Důkaz. Ať Mi značí podmodul M tvořený prvky výšky ≤ i. Buď k nejmenšítakové, že Mk =M . Je-li k = 0, je M nulový modul, je-li k = 1, je M roven svédolní vrstvě M1 = Soc(M). Případ k > 1 dokážeme indukcí dle k.Modul M/M1 je konečně generovaný a každý jeho prvek je výšky ≤ k − 1.

Podle indukčního předpokladu existují u1, . . . , ut′ ∈ M taková, že M/M1 =⊕

(uj +M1)R, kde uj +M1 má v M/M1 výšku nj , 1 ≤ nj ≤ k− 1. Z pnj (uj +M1) = M1 plyne pnj+1uj = 0, takže vidíme, že uj má v M výšku nj + 1,1 ≤ j ≤ t′.Uvažme podmodul N modulu M , který je generován prvky u1, . . . , ut′ . K

tomu, abychom dokázali N =⊕

ujR, je třeba ověřit, že ze∑

rjuj = 0 plyner1u1 = · · · = rt′ut′ = 0. Ať rj = phjxj , kde p nedělí xj , a ať

∑

rjuj = 0.Potom

∑

rj(uj +M1) = M1, takže r1(u1 +M1) = · · · = rt′(ut′ +M1) = M1.To znamená hj ≥ nj ≥ 1 pro každé j, 1 ≤ j ≤ t′ (činitel xj na výšku uj +M1v R/M1 vliv nemá, podle lemmatu I.5.7 a p

nj−1j uj /∈Mj díky volbě nj).

Pro každé j je nj ≥ 1, a proto i hjge1. Vztah∑

rjuj = 0 lze tudíž zapsat jakop(∑

(phj−1xj)uj) = 0, takže∑

(phj−1xj)uj ∈M1 a∑

(phj−1xj)(uj+M1) =M1.Odsud ph1−1xj(u1+M1) = · · · = (pht′−1xt′ )(ut′+M1) =M1, a tedy hj−1 ≥ nj

pro každé j, 1 ≤ j ≤ t′. Proto hj ≥ nj + 1 a rjuj = phjxjuj = 0.

22

Ať N0 je nějaký doplněk N∩M1 = N1 vM1. Takový doplněk existuje, neboťM1 lze chápat jako vektorový prostor nad R/(p). Pak N ∩N0 = N ∩N0∩M1 =N1 ∩N0 = 0 a N +N0 = N +N1 +N0 = N +M1 =M . Tudíž N = N1 ⊕N0, azbytek je již jasný. �

Nyní vyslovíme snadné obecné lemma.

I.5.9 Lemma. Buďte M =⊕

(Mi; i ∈ I) modul a N =⊕

(Ni; i ∈ I) takovýjeho podmodul, že Ni ⊆Mi pro každé i ∈ I. Potom M/N ∼=

⊕

(Mi/Ni; i ∈ I).

Důkaz. Vyjdeme od homomorfismu ϕ : M → ⊕

(Mi/Ni), ϕ(ui; i ∈ I) =(ui+Ni; i ∈ I). Jeho jádro jsou všechny prvky (ui) takové, že ui ∈ Ni pro každéi ∈ I. To znamená, že Ker(ϕ) = N , a zbytek plyne z 1. věty o izomorfismu. �

I.5.10 Lemma. Ať M = N1 ⊕ · · · ⊕ Nt = N ′1 ⊕ · · · ⊕ N ′

t′ jsou dvě vyjád-ření konečně generovaného p-modulu M jako direktní sumy cyklických modulů.Předpokládejme Nj

∼= R/(pmj), 1 ≤ j ≤ t, a N ′j∼= R/(pm′

j ), 1 ≤ j ≤ t′, a dáleať m1 ≥ m2 ≥ · · · ≥ mt ≥ 1 a m′

1 ≥ m′2 ≥ . . .m′

t ≥ 1. Potom t = t′ a mj = m′j,

1 ≤ j ≤ t.

Důkaz. Budeme postupovat obdobně jako v důkazu lemmatu I.5.8, ale z opač-ného konce. Dolní vrstva Soc(M) je zřejmě rovna direktní sumě Soc(N1)⊕· · ·⊕Soc(Nt). Odsud t = t′, neboť jde o dimenzi R/(p)-modulu Soc(M). Podle lem-matu I.5.9 je M/Soc(M) ∼= N/Soc(N1) ⊕ · · · ⊕ N/Soc(Nt). Cyklický modulN/Soc(N) je generován prvky výšky mj −1, takže lemma snadno plyne indukcídle maxima mj , 1 ≤ j ≤ t. �

Spojením tvrzení I.5.3, důsledku I.5.6, lemmatu I.5.8 a lemmatu I.5.10 do-stáváme hlavní tvrzení této kapitoly.

I.5.11 Věta. Ať M je konečně generovaný modul nad oborem hlavních ideálůR. Pak existují po dvou různé prvoideály Pi a moduly Mi, 1 ≤ i ≤ m, že

M =M1 ⊕ · · · ⊕Mm ⊕ F,

kde F je volný modul hodnosti h0 ≥ 0 a pro každé i, 1 ≤ i ≤ m, je

Mi = Ni1 ⊕ · · · ⊕Nihi, hi ≥ 1,

kde Nij, 1 ≤ j ≤ hj, je cyklický modul izomorfní R/Ptij

i , přičemž

ti1 ≥ ti2 ≥ · · · ≥ tihi≥ 1.

Čísla m,h0, h1, . . . , hm a tij, 1 ≤ i ≤ m a 1 ≤ j ≤ hi, jsou určena jedno-značně.

I.6 Podmoduly volných modulů v oborech hlavníchideálů

Uveďme nejprve následující jednoduché lemma

23

I.6.1 Lemma. AťM je modul nad okruhem R. Buďte N , U a V jeho podmodulytakové, že U ⊆ V , U ∩N = V ∩N a (U +N)/N = (V +N)/N . Pak U = V .

Důkaz. Pro každé v ∈ V exituje n ∈ N , že v + n = u ∈ U ⊆ V . Tudížn = u− v ∈ U ∩N = V ∩N , takže v = u− n ∈ V . �

Prvním cílem oddílu je popsat podmoduly volného modulu F konečné hod-nosti n nad oborem hlavních ideálů R. Takový podmodul je beztorzní a konečnégenerovaný, podle lemmatu I.5.1, a proto je též volný, podle tvrzení I.5.4. Popisvšech takových podmodulů, který podáme, bude ovšem jeho volnost impliko-vat přímo, nezávisle na výsledcích oddílu I.5. Dokážeme totiž, že v F lze naléztvolnou bázi e1, . . . , en a prvky r1, . . . , rn ∈ R takové, že daný podmodul je gene-rován r1e1, . . . , rnen. Nenulové prvky z tohoto seznamu zřejmě tvoří volnou bázipodmodulu. Přitom uvidíme, že r1, . . . , rn lze volit tak, aby r1|r2, . . . , rn−1|rn.Důkaz se bude opírat o tvrzení I.4.9 a I.4.10.

I.6.2 Věta. Ať R je obor hlavních ideálů, F volný R-modul konečné hodnostin a M ⊆ F . Pak existují jednoznačně určené ideály I1 ⊇ I2 ⊇ · · · ⊇ In okruhuR takové, že po některou volnou bázi e1, . . . , en modulu F platí

M = I1e1 + · · ·+ Inen.

Důkaz. Zvolme e1 a I1 tak, že I1 je největší ze všech ideálů C(a), a ∈ M ,a že I1e1 ⊆ M , kde C(e1) = R. Taková volba je podle tvrzení I.4.10 a I.4.9možná (připomeňme, že vztah C(e1) = R je podle tvrzení I.4.10 ekvivalentnípředpokladu, že e1 je prvek nějaké volné báze.) Je-li n = 1, je každé b ∈ F tvarure1, přičemž z b ∈ M plyne r ∈ C(b) ⊆ I1, takže I1e1 = M . Pro n = 1 tedyhledaný rozklad existuje; dále budeme postupovat indukcí.Uvažme modul F ′ = F/Re1 a jeho podmodul M ′ = (M + Re1)/Re1.

Podle indukčního předpokladu existují ideály I2 ⊇ · · · ⊇ In okruhu R a prvkye2, . . . , en ∈ F takové, že e′2 = e2 + Re1, . . . , e′n = en + Re1 je volná bázemodulu F ′ a M ′ = I2e

′2 + · · · + Ine′n. Jsou-li ri ∈ R, 2 ≤ i ≤ n, taková, že

∑

i≥2 riei ∈ Re1, je r2 = · · · = rn = 0, neboť e′2, . . . , e′n je volná báze F ′.Vidíme, že e1, . . . , en je volná báze F . Uvažme nyní nějaké j, 2 ≤ j ≤ n,

a ať Ij = (r) a I1 = (s). Protože rej + Re1 ∈ M ′, musí existovat f ∈ Re1 žerej + f ∈M . Ovšem z C(rej + f) ⊆ I1 vyplývá existence x, y ∈ R takových, žer = xs a f = yse1. Je tedy Ij ⊆ I1 a rej ∈M .Vidíme, že je I1 ⊇ I2 ⊇ . . . In a že U =

∑

Ijej ⊆ M . Jistě U ∩ Re1 =M ∩ Re1 = I1e1 a (U + Re1)/Re1 = M ′ = (M + Re1)/Re1. Proto U = M , dlelemmatu I.6.1. Existence požadovaného vyjádření M je dokázána.Jednoznačnost vyžaduje následující úvahu. Ať k ≤ n je největší takové, že

Ik = I1. Pak {a ∈M ; C(a) = I1} zjevně leží v I1(Re1+ · · ·+Rek), a navíc tentopodmodul generuje. Ideál I1 je od M odvozen jednoznačným způsobem, takžeje jednoznačně určen i podmodul M1 = I1(Re1+ · · ·+Rek) = I1e1+ · · ·+ I1ek.Tento podmodul je volný (například proto, že ideál I1 je hlavni) a k je jehohodnost (ta je určena jednoznačně podle tvrzení I.4.7). Současně F1 = Re1 +· · ·+Rek je rovno {a ∈ F ; I1a ∈M1}.

24

Je-li tedy M = I ′1e′1 + · · · + I ′ne′n konkurenční vyjádření modulu M , bude

I1 = I ′1 = · · · = I ′k, M1 = I1e′1 + . . . Ike

′k a F1 = Re′1 + · · · + Re′k. Modul

(M + F1)/F1 je podmodulem volného modulu F/F1, který má volné báze jakek+1 + F1, . . . , en + F1, tak e′k+1 + F1, . . . , e

′n + F1. Přitom (M + F1)/F1 lze

vyjádřit jako

Ik+1(ek+1 + F1) + · · ·+ In(en + F1) = I ′k+1(e′k+1 + F1) + · · ·+ I ′n(e′n + F1),

takže z indukčního předpokladu dostáváme Ij = I ′j pro každé j, k ≤ j ≤ n. �

Všechny ideály Ij jsou hlavní, ať například Ij = rjR. Pak lze každý prvekM zapsat jako

∑

ajrjej , kde aj ∈ R je určeno jednoznačně kdykoliv rj 6= 0.Proto z věty I.6.2 okamžitě vyplývá již dříve naznačená charakterizace volnýchpodmodulů:

I.6.3 Důsledek. Ať R je obor hlavních ideálů, ať F je volný modul nad R,který má konečnou hodnost n, a ať M je jeho podmodul. Pak lze nalézt volnoubázi e1, . . . , en modulu F a prvky r1, . . . , rn ∈ R takové, že r1|r2, . . . , rn−1|rna M =

∑

Rriei. Ať k je nejvyšší takové, že rk 6= 0, kde 0 ≤ k ≤ n. Pakr1e1, . . . , rkek tvoří volnou bázi modulu M .

Připomeňme ještě jedno jednoduché lemma obecné povahy.

I.6.4 Lemma. Ať M =⊕

i∈I Mi je modul nad okruhem R, s podmodulemN =

⊕

i∈I Ni, kde Ni ⊆Mi pro všechna i ∈ I. Pak (mi; i ∈ I)+N 7→ (mi+N ;i ∈ I) určuje izomorfismus M/N ∼=

⊕

i∈I Mi/Ni.

Důkaz. Vyjděme z izomorfismu (mi; i ∈ I) 7→ (mi + N ; i ∈ I). Jeho jádro jerovno N , takže lemma plyne z 1. věty o izomorfismu. �

I.6.5 Důsledek. Ať M je konečně generovaný R-modul, kde R je obor hlavníchideálů. Pak existují vlastní ideály I1 ⊇ I2 ⊇ · · · ⊇ In ⊇ 0 takové, že M ∼=R/I1 ⊕ · · · ⊕R/In.

Důkaz. Modul M je obrazem volného modulu F konečné hodnosti n. Zvolmen minimální možné a pro nějaký surjektivní homorfismus ϕ : F → M najděmeideály I1 ⊇ In a volnou bázi e1, . . . , en tak, že Kerϕ =

∑

Ijej . Jejich existenceplyne z věty I.6.2. Je-li I1 = R, je M = ϕ(

∑

i≥2 Rej), což je ve sporu s volboun. Proto je I1 ideál vlastní a podle 1. věty o izomorfismu a podle lemmatu I.6.4máme M ∼= F/Kerϕ ∼=

⊕

R/Ij . �

Je nasnadě očekávat, že modul M určuje posloupnost I1 ⊇ I2 ⊇ · · · ⊇ Injednoznačně. Tak tomu skutečně je. Důkaz není obtížný, ale vyžaduje zavedeníněkolika mála předběžných pojmů. Bylo by také možné jednoznačnost ideálůodvodit z věty I.5.11. Dáme však přednost přímému důkazu.Je-li M modul nad komutativním okruhem R a J je ideál R, je

JM = {au; a ∈ J a u ∈M}

25

jistě podmodul M . Pokud M =⊕

(Mi; i ∈ I), tak zřejmě JM =⊕

(JMi;i ∈ I).Zapíšeme-li vztah x = yz−1 (platný například v nějakém komutativním tě-

lese) jako x = y : z, máme x = y : z ⇔ xz = y. Rozšířením tohoto vztahu napodmnožiny A a B modulu M nad komutativním okruhem R dostaneme tutodefinici:

(A : B) = {r ∈ R; rB ⊆ A}.Zde nás bude zajímat situace, kdy modul M je roven R. Připomeňme, že pod-moduly R se shodují s ideály R.

I.6.6 Lemma. Ař R je komutativní okruh s ideály I a J . Pak (I : J) je ideál,který obsahuje I. Přitom (I : J) = R právě když J ⊆ I. Dále platí (I : J) = (I :I + J), a je-li J hlavní ideál, tak též J(R/I) ∼= R/(I : J).Důkaz. Ověřit, že (I : J) je ideál, je snadné. Pro a ∈ I je jistě aJ ⊆ I, takže(I : J) ⊇ I. Rovnost (I : J) = R nastává právě když 1 ∈ (I : J), tedy J ⊆ I.Pro a ∈ R je aJ ⊆ I právě když a(I + J) ⊆ I, a proto (I : J) = (I : I + J).Předpokládejme, že J = uR. Homomorfismus R → J(R/I), r 7→ ur + I, májádro tvořeno všemi r ∈ R, že ru ∈ I. To jsou ovšem právě ta r ∈ R, jež splňujírJ ⊆ I. �

I.6.7 Lemma. Ať I je nenulový ideál oboru hlavních ideálů R. Pro každý ideálJ ⊇ I platí I = J (I : J). Pro ideály J1 ⊇ I a J2 ⊇ I máme (I : J1) = (I : J2)právě když J1 = J2.

Důkaz. Ať J = bR a I = aR. Z bR ⊇ aR plyne existence c ∈ R, že a = bc.Jistě ar = (bR)(cR), přičemž cR ⊆ (I : J). Je-li naopak u ∈ (I : J), musí býtub = ar pro nějaké r ∈ R, odkud ub = bcr a u = cr, takže cR = (I : J).Je-li Jk = bkR, kde a = bkck, k ∈ {1, 2}, tak J1 = J2 ⇔ c1R = c2R ⇔ (I :

J1) = (I : J2). �

I.6.8 Věta. Buď M konečně generovaný modul nad oborem hlavních ideálů R.Pak existují jednoznačně určené vlastní ideály I1 ⊇ I2 ⊇ · · · ⊇ In ⊇ 0 takové, žeM ∼= R/I1 ⊕ · · · ⊕R/In.

Důkaz. Existence plyne z důsledku I.6.5. Ať ještěM ∼= R/J1⊕· · ·⊕R/Jm, kdeJ1 ⊇ J2 ⊇ · · · ⊇ Jm ⊇ 0 jsou také vlastní ideály R. Budeme postupovat indukcídle n + m. Případy n = 0 či m = 0 netřeba uvažovat, neboť oba nastanouprávě když M je nulový modul. Jelikož Ann(R/I) = I, je R/I ∼= R/J právěkdyž I = J (to samozřejmě platí pro každý okruh). Můžeme tedy předpokládatm ≥ n a m ≥ 2. Položme I = J1 a J = J1. Podle lemmatu I.6.6 je

IM = R/(I1 : I)⊕ · · · ⊕R/(In : I) a

IM = R/(J1 : I)⊕ · · · ⊕R/(Jm : I).

Protože (I1 : I) = R, máme dva rozklady modulu IM , které dohromady majíméně než n+m nenulových komponent. (Přitom zřejmě (I1 : I) ⊇ ... ⊇ (In : I)a (J1 : I) ⊇ · · · ⊇ (Jm : I).) Lze na ně tudíž vztáhnout indukční předpoklad,

26

takže IM musí mít méně než m nenulových komponent. To podle lemmatu I.6.6znamená I ⊆ J1 = J . Vidíme, že J je největší ze všech ideálů Ir, 1 ≤ r ≤ n, aJs, 1 ≤ s ≤ m. Zvolme P ⊇ J maximální ideál. Pak

PM ∼= P/I1 ⊕ · · · ⊕ P/In ∼= P/J1 ⊕ · · · ⊕ P/Jm.

Z lemmatu I.6.4 máme

M/PM ∼= (R/I1)(P/I1)⊕ · · · ⊕ (R/In)/(P/In) ∼= (R/P )n ∼= (R/P )m.

Odsud n = m, neboť toto číslo je dimenzí vektorového prostoru M/PM nadtělesem (R/P ).Víme-li, že n = m, tak můžeme podobnou úvahou jako výše analyzovat

modul JM , a dostaneme J ⊆ I. Je tedy I = J , takže Js ⊆ I pro každé s,1 ≤ s ≤ m. Z výše uvedených vyjádření IM tedy podle indukčního předpokladuplyne, že Ik = I právě když Jk = I, přičemž nejvyšší takové k ≤ n udává početnulových komponent v těchto vyjádřeních.Dále podle indukčního předpokladu (Ir : I) = (Jr : I) pro každé r, k < r ≤

n, a tedy Ir = Jr dle lemmatu I.6.7. �

27

II Základy Galoisovy teorie

II.1 Rekapitulace základních poznatků

Tělesem vždy budeme rozumět těleso komutativní. Homomorfismus f :T → Rtělesa T do netriviálního okruhu R je vždy injektivní. Speciálně jsou proto injek-tivní i veškeré endomorfismy tělesa T . Mezi nimi má zvláštní postavení Frobe-niův endomorfismus x 7→ xp, který je definován v případě kladné charakteristikyp > 0.Charakteristika p udává až na isomorfismus prvotěleso P , tedy nejmenší pod-

těleso tělesa T . Prvotěleso je isomorfní p-prvkovému tělesu Fp v případě p > 0,a tělesu racionálních číselQ v případě p = 0. Jediným endomorfismem prvotělesaP je identita 1P (případ kladné charakteristiky je zřejmý, pro f ∈ End(Q)nejprve odvodíme f(i) = i pro i ∈ Z, odsud f(1/j) = 1/j pro j nenulové, a tedyf(i/j) = i/j).Všechna podtělesa daného tělesa T tvoří uzávěrový systém. Tento uzávěrový

systém může obsahovat méně množin než uzávěrový systém všech podokruhůT . Je-li F podtěleso aM podmnožina T , budeme nejmenší podokruh obsahujícíF ∪M označovat F [M ], zatímco nejmenší takové podtěleso označíme F (M).Pro homomorfismus okruhů f :R→S definujeme homomorfismus fx :R[x]→

S[x], který rozšiřuje f tak, aby platilo fx(x) = x. Přitom R[x] označuje okruhpolynomů v proměnné x. Je-li R = T těleso, je tento okruh eukleidovskýmoborem integrity. Je-li f :R∼=S isomorfismus okruhů, je jím i fx:R[x]∼=S[x].Jsou-li R ⊆ S komutativní okruhy a α je prvek S, tak jα:R[x]→S označuje

dosazovací homomorfismus. Pro f :R→S homomorfismus komutativních okruhůa α ∈ R máme fjα = jf(α)fx. Z této rovnosti například vyplývá, že pokud αje kořenem polynomu a (tedy jα(a) = 0), tak je f(α) kořenem polynomu fx(a).Speciálně vidíme, že isomorfismy f komutativních okruhů zobrazují množinukořenů a na množinu kořenů fx(a).Jsou-li T ≤ U tělesa, nazveme α ∈ U algebraický, pokud je α kořen nějakého

a ∈ T [x]. Všechny polynomy, jež mají za kořen α, tvoří ideál v T [x] a monickýgenerátor tohoto ideálu se nazývá minimální polynom prvku α nad T . Těleso Ulze chápat jako vektorový prostor nad T , jeho dimenze dimT (U) se značí [U : T ]a mluví se o stupni U nad T . Pro α ∈ U algebraický platí, že je T (α) = T [α] aže [T (α) : T ] se shoduje se stupněm minimálního polynomu (je-li tento roven k,tvoří 1, α, . . ., αk−1 bázi U nad T ). Přitom α ∈ U je algebraický nad T právěkdyž T (α) je nad T konečného stupně.V případě vřazených těles T ≤ U se mluví o U jako o rozšíření T . Máme-li

T ≤ U ≤ V , je [V : U ][U : T ] = [V : T ], přičemž bázi V nad T lze sestrojit jakosoučiny ab, kde a probíhá bázi V nad U , b probíhá bázi U nad T . Rozšíření Unad T se nazývá algebraické, je-li každý prvek U algebraický nad T . Rozšíření

28

konečného stupně je vždy algebraické a pro množinu M prvků z U , které jsoualgebraické nad T , platí T (M) = T [M ]. Navíc je T (M) nad T algebraické roz-šíření, takže má smysl mluvit o algebraickém uzávěru T . Prvky U , které nejsounad T algebraické, se nazývají transcendentní. Těleso T je algebraicky uzavřené,pokud nemá vlastní algebraické rozšíření. Řekneme-li, že U je algebraický uzávěrT , míníme tím, že U je algebraicky uzavřené algebraické rozšíření T .Ať T ≤ U jsou tělesa a ať a ∈ T [x]. Je-li U = T (α) pro nějaký kořen α

polynomu a, nazveme U kořenovým nadtělesem T . Je-li U = T (α1, . . . , αk), kdeα1, . . ., αk ∈ U jsou kořeny a, přičemž a se v U [x] rozkládá na lineární činitele,nazývá se U rozkladové nadtěleso T .Je-li f :S∼= T isomorfismus těles, přičemž S ≤ U a T ≤ V jsou taková, že

U = S(α), V = T (β), kde α je kořen ireducibilního polynomu a ∈ S[x] a β jekořen fx(a) ∈ T [x], tak existuje jediný isomorfismus g:U∼=V , který rozšiřuje fa zobrazí α na β.Uvedené tvrzení o jednoznačnosti kořenových nadtěles ireducibilních poly-

nomů se často uvádí ve tvaru, kdy U a V jsou kořenová nadtělesa téhož po-lynomu a ∈ T [x], přičemž se dokazuje existence T -isomorfismu U ∼= V . Rozdílje pouze v tom, zda se ztotožnění S a T popisuje pomocí isomorfismu f , nebozda se předpokládá explicitní shoda obou těles. Přecházení mezi oběma způsobyvyjádření by na této úrovni již nemělo činit potíže. Pro jistotu zopakujme, žehomomorfismus těles f :U→V se nazývá T -homomorfismus, pokud U i V jsourozšíření tělesa T , přičemž f(t) = t pro každé t ∈ T .Z jednoznačnosti kořenových nadtěles snadno vyplývá i jednoznačnost roz-

kladových nadtěles. To znamená, že pro každá dvě rozkladová nadtělesa U aV polynomu a ∈ T [x] existuje T -isomorfismus g :U ∼= V . Toto tvrzení se častodoplňuje připomínkou, že g převádí kořeny v U na kořeny ve V , a to včetnějejich četnosti. Stojí za to si uvědomit, že tento dodatek přímo vyplývá z toho,že gx:U [x]∼=V [x] je isomorfismus, jenž je na T [x] identitou (isomorfismy kopírujívztahy dělitelnosti).Je-li a ∈ T [x] ireducibilní polynom nad tělesem T , je aT [x] maximální ideál

okruhu T [x], takže T [x]/aT [x] je těleso. Přitom t 7→ t+ aT [x] poskytuje ztotož-nění T s podtělesem takto zkonstruovaného tělesa a x + aT [x] je pak kořenempolynomu a ∈ T [x]. Tuto konstrukci lze provést opakovaně, z čehož vyplýváexistence rozkladových nadtěles. Pokud souběžně provedeme konstrukci rozkla-dového nadtělesa pro všechna ireducibilní a ∈ T [x], získáme těleso algebraickyuzavřené. Souběžnou konstrukci však nelze provést konstruktivně, takže ke kon-strukci algebraicky uzavřených těles používáme Zornovo lemma. Jednoznačnost(T -isomorfismus) dvou algebraických uzávěrů tělesa T snadno vyjde ze spojeníZornova lemmatu a jednoznačnosti rozkladových nadtěles.Důležité je, že každý homomorfismus f :U→ V , kde U a V jsou podtělesa

algebraicky uzavřeného tělesa K (které je algebraické jak nad U , tak nad V ),lze rozšířit na automorfismus tělesa K. Veškeré úvahy o T -homomorfismechalgebraických rozšíření tělesa T lze proto konat uvnitř nějakého algebraickéhouzávěru K tělesa T .Za známou budeme rovněž považovat strukturu konečných těles jakožto roz-

29

kladových těles polynomů xpk − x. Konečné těleso řádu pk budeme značit Fpk .Multiplikativní struktura konečných těles je dána skutečností, že každá konečnápodgrupa G multiplikativní grupy T ∗ tělesa T je cyklická.Předpokládáme také znalost struktury podílových těles oborů integrity, zna-

lost derivace polynomu a a souvislost derivace s přítomností vícenásobných ko-řenů.

II.2 Stupeň separability a separabilní rozšíření

II.2.1 Lemma. Ať T ≤ U ≤ V ≤ K jsou algebraická rozšíření těles, přičemž Kje algebraicky uzavřené. Ať Ψ je množina všech U -homomorfismů V do K a Φ jemnožina všech T -homomorfismů U do K. Pro každé ϕ ∈ Φ uvažme právě jedenT -automorfismus ϕ tělesa K, který rozšiřuje ϕ. Potom {ϕψ; ϕ ∈ Φ a ψ ∈ Ψ}je rovno množině všech T -homomorfismů V do K. Jsou-li ϕ1, ϕ2 ∈ Φ a ψ1,ψ2 ∈ Ψ, tak z ϕ1ψ1 = ϕ2ψ2 plyne ϕ1 = ϕ2 a ψ1 = ψ2.

Důkaz. Ať ρ:V →K je T -homomorfismus. Označme ϕ jeho zúžení na U→K.Pak ϕ padne do Φ a ψ = ϕ−1ρ je U -homomorfismus V → K, tedy ψ ∈ Ψ.Z ϕ1ψ1 = ϕ2ψ2 plyne, že pro každé u ∈ U je ϕ1(u) = ϕ1(u) = ϕ1ψ1(u) = ϕ2(u),takže i ϕ1 = ϕ2 a ψ1 = ψ2. �

Ať T ≤ U je algebraické rozšíření těles a ať K je nějaký algebraický uzávěrU . Z univerzálních vlastností algebraického uzávěru plyne, že struktura T -homo-morfismů U→K nezávisí na volbě K. Speciálně na volbě K nezávisí mohutnost(počet) takových T -homomorfismů. Tuto mohutnost nazýváme stupeň separa-bility U nad T . Z lemmatu II.2.1 okamžitě plyne

II.2.2 Důsledek. Ať T ≤ U ≤ V jsou algebraická rozšíření těles. Stupeň se-parability V nad T je roven součinu stupně separability V nad U se stupněmseparability U nad T . �

Je-li U = T (α1, . . . , αk) a U ≤ K, tak je každý T -homomorfismus f :U→Kurčen svými hodnotami na α1, . . ., αk. Jsou-li tyto prvky kořeny nějakého poly-nomu a ∈ T [x], tak jsou f(α1), . . ., f(αk) rovněž kořeny polynomu a. Z tohotofaktu plyne řada důsledků. Je-li například U = T (α), α algebraický nad T , Kalgebraický uzávěr U , a minimální polynom α, je počet T -homomorfismů U→Komezen počtem kořenů a v K. Naše úvahy vedou k

II.2.3 Lemma. Ať T ≤ U poskytuje rozšíření konečného stupně a ať s je jehostupeň separability. Potom je s ≤ [U : T ]. Je-li navíc α ∈ U takové, že jehominimální polynom a je stupně n a má v algebraickém uzávěru právě k kořenů,tak platí s ≤ [U : T ]k/n.Důkaz. Je-li U = T (β) pro nějaké β, tak je s ≤ [U : T ] dle úvah výše. Vztahs ≤ [U : T ] lze tudíž dokázat indukcí dle [U : T ] pomocí důsledku II.2.2. Stupeňseparability T (α) nad T je roven k, takže podle důsledku II.2.2 a prvé částitvrzení máme s ≤ k[U : T (α)]. Proto stačí uvážit, že [U : T ] = [U : T (α)][T (α) :T ] a [T (α) : T ] = n. �

30

Buď T těleso. Polynom a ∈ T [x] se nazývá separabilní, jestliže v algebraickémuzávěru T nemá vícenásobné kořeny. Je-li T ≤ U , tak se prvek α ∈ U nazýváseparabilní, jestliže α je kořenem nějakého separabilního polynomu a ∈ T [x] (cožnastane právě když minimální polynom α je separabilní). Rozšíření U tělesa Tse nazývá separabilní, je-li každý prvek α ∈ U separabilní.

II.2.4 Tvrzení. Ať T ≤ U je rozšíření těles konečného stupně. Pak je ekviva-lentní

(i) U = T [α1, . . . , αk] pro α1, . . . , αk ∈ U separabilní;

(ii) stupeň separability U nad T je roven [U : T ]; a

(iii) U je separabilní rozšíření T .

Důkaz. Pro U = T (α) je stupeň separability roven počtu kořenůmα. Proto (ii)plyne z (i) indukcí dle stupně [U : T ]. Podobně (iii) plyne z (ii), neboť existenceneseparabilního prvku stupeň separability snižuje, dle lemmatu lemma II.2.3.Implikace (iii) ⇒ (i) je triviální. �

Adjunkcí separabilního prvku tedy vždy dostaneme separabilní rozšíření.Indukcí nahlédneme, že adjunkcí konečného počtu separabilních prvků rovněžobdržíme separabilní rozšíření. Připomeňme si známý induktivní princip:

II.2.5 Lemma. Ať jsou T ≤ U tělesa a ať U = T (M) pro nějaké M ⊆ U . Pakpro každé α ∈ U existuje konečná množina Mα ⊆M taková, že α ∈ T (Mα). �

Nyní je již patrné, že všechny prvky α ∈ U separabilní nad T , kde T ⊆ U ,tvoří podtěleso U . Říká se mu separabilní uzávěr T v U .

II.2.6 Tvrzení. Ať T ≤ U ≤ V jsou taková tělesa, že je U separabilní nad Ta V separabilní nad U . Potom je V separabilní nad T .

Důkaz. Uvažme α ∈ V a ať M je množina koeficientů separabilního polynomua ∈ U [x], jehož kořenem je α. Položme U1 = T (M) a V1 = U1(α). Pak T ≤U1 ≤ V1 poskytuje rozšíření konečného stupně, přičemž separabilita V1 nad Tplyne z tvrzení II.2.4 a důsledku II.2.2. �

II.2.7 Tvrzení. Ať T je těleso a ať a ∈ T [x] je ireducibilní polynom, kterýnení separabilní. Potom je T kladné charakteristiky p > 0, některý z koeficientůa neleží v obrazu Frobeniova endomorfismu a existuje b ∈ T [x] takové, že a(x) =b(xp).

Důkaz. Polynom a není separabilní, a proto má společný kořen s polynomema′ ∈ T [x]. Je-li a′ 6= 0, je NSD(a, a′) vlastním dělitelem a, což je ve sporus ireducibilitou a. Proto je a′ = 0, odkud zřejmým způsobem plyne, že a(x) =b(xp), kde p > 0 je charakteristika T . Množina koeficientů a i b se shoduje.Pokud b =

∑

bixi, kde bi = cpi pro každé i ≥ 0, tak b(xp) = (

∑

cixi)p, což je

opět ve sporu s ireducibilitou. Důkaz je u konce. �

31

Těleso T se nazývá perfektní má-li buď charakteristiku nula, nebo má-licharakteristiku p > 0 a Frobeniův endomorfismus je automorfismem.Je patrné, že konečná tělesa jsou perfektní, a že perfektní jsou i tělesa alge-

braicky uzavřená.Z tvrzení II.2.7 okamžitě plyne:

II.2.8 Důsledek. Každé algebraické rozšíření perfektního tělesa je rozšířeníseparabilní. �

Ať T ≤ U jsou tělesa. O prvku α ∈ U řekneme, že je antiseparabilní, pokudje algebraický a T (α) má nad T stupeň separability 1. Pojmy separability aantiseparability vykazují strukturní příbuznost. Například všechny antisepara-bilní prvky tvoří podtěleso U (takzvaný antiseparabilní uzávěr). Antiseparabil-ními prvky se však zde zabývat nebudeme.

II.3 Jednoduchá, normální a Galoisova rozšíření

Rozšíření U tělesa T se nazývá jednoduché, jestliže U = T (α) pro nějaký prvekα ∈ U , který je nad T algebraický.Pro algebraické rozšíření U tělesa T označuje Gal(U, T ) grupu všech T -

automorfismů U→ U . Říká se jí Galoisova grupa U nad T . Je-li G podgrupaAut(U), tak je Fix(U,G) = {u ∈ U ; g(u) = u pro každé g ∈ G} podtěle-sem U . V další kapitole ukážeme, že za určitých okolností panuje, pro dané U ,jednoznačný vztah mezi grupami Gal(U, V ), T ⊆ V ⊆ U , a tělesy Fix(U,G),G ≤ Gal(U, T ).

II.3.1 Věta. Každé separabilní rozšíření těles konečného stupně je jednoduché.

Důkaz. Ať U je konečným separabilním rozšířením tělesa T . Je-li T konečnétěleso, je i U konečné těleso, takže věta plyne z cykličnosti U∗. Ať je tedyT nekonečné. Předpokládejme, že α ∈ U je zvoleno tak, aby [T (α) : T ] bylomaximální možné, a že je β ∈ U \ T (α). Položíme V = T (α, β) a dokážeme, žeV je jednoduché rozšíření T (tím bude dosaženo sporu s maximalitou [T (α) :T ]). Ať je K nějaký algebraický uzávěr V a ať f1, . . ., fn jsou všechny T -homomorfismy V →K. Ze separability V plyne, že n = [V : T ] > [T (α) : T ].Je-li 1 ≤ i < j ≤ n, tak je fi(α) 6= fj(α) nebo fi(β) 6= fj(β), neboť fi i fj jsouplně určeny obrazy α a β. Nalezneme-li t ∈ T takové, že pro 1 ≤ i < j ≤ n jevždy fi(α + tβ) 6= fj(α + tβ), bude důkaz u konce, neboť stupeň separabilityT (α+ tβ) bude ≥ n, odkud T (α+ tβ) = V . Požadované nerovnosti lze zapsatjako

∏

i<j((fj(α) − fi(α)) + t(fj(β) − fi(β)) 6= 0. Nahradíme-li t proměnnoux, dostaneme nenulový polynom z U [x]. Označme ho například b. Protože T jenekonečné, musí existovat t ∈ T takové, že je b(t) 6= 0. �

II.3.2 Věta. Ať je U těleso a ať je G ≤ Aut(U) grupa konečného řádu n.Položme T = Fix(U,G). Potom je U separabilní rozšíření T stupně n a G =Gal(U, T ).

32

Důkaz. Uvažme α ∈ U a množinu G(α) všech jeho obrazů automorfismy z G(tedy orbitu α při působení G na U). Protože G obsahuje identitu, je α ∈ G(α).Položme bα =

∏

β∈G(α)(x − β). Pro každé g ∈ G je g(G(α)) = G(α), takžegx(bα) =

∏

(x − g(β)) =∏

(x − β) = bα, odkud bα ∈ T [x]. Polynom bα jeseparabilní, takže U je separabilní rozšíření T .Ukážeme, že jde o rozšíření konečného stupně. Kdyby tomu tak nebylo, ležela

by v U konečná rozšíření T stupně přesahujícího jakoukoliv zadanou mez. AťV ⊆ U je konečné rozšíření T , které je stupně k > n. Podle věty II.3.1 je Vmožné pro nějaké γ ∈ V vyjádřit jako T (γ). Minimální polynom γ nad T bydělil polynom bγ , který je stupně n, a sám by byl stupně k. To není možné, aproto je stupeň U nad T konečný.Podle věty II.3.1 existuje α ∈ U , že U = T (α). Ať b = bα a ať a ∈ T [x] je

minimální polynom prvku α. Pak st(a) = n ≥ |G(α)| = st(b) ≥ st(a). Vidíme,že a = b. Počet T -homomorfismů tělesa U do algebraického uzávěru K je rovenn, z čehož vyplývá, že každý se shoduje s nějakým g ∈ G. Proto musí býtG = Gal(U, T ). �

Uvažme tělesa T ≤ U ≤ K, kde K je algebraický uzávěr U . O U řekneme,že je normální rozšíření T , je-li to takové algebraické rozšíření, že pro každýT -homomorfismus f : U → K platí f(U) = U . (Jinak řečeno, každý takovýhomomorfismus se shoduje s T -automorfismem U .)Normální separabilní rozšíření konečného stupně se nazývá Galoisovo.

II.3.3 Tvrzení. Rozkladová nadtělesa polynomů jsou normální. Rozkladovánadtělesa separabilních polynomů jsou Galoisova.

Důkaz. Ať U ≥ T je rozkladové nadtěleso polynomu a ∈ T [x] a ať K jealgebraický uzávěr U . Označme M množinu všech kořenů a. Pak každý T -homomorfismus f :U→K permutuje M , takže f(M) = M , a odsud f(U) = U .Je-li a separabilní, jsou jeho kořeny separabilní prvky a U je separabilní dletvrzení II.2.4. �

II.3.4 Tvrzení. Každé Galoisovo rozšíření U ≥ T je rozkladovým nadtělesemnějakého separabilního polynomu. Tento polynom lze vždy volit ireducibilní.

Důkaz. Podle věty II.3.1 máme U = T (α) pro nějaký separabilní prvek α.Ať je a jeho minimální polynom. Pak [U : T ] je rovno stupni a, přičemž a mávesměs různé kořeny. Je-li β takový kořen, β ∈ K, kde K je algebraický uzávěrU , pak existuje T -homomorfismus f : T (α)→ T (β), f(α) = β. Z normality Uplyne T (β) = U , a tedy β ∈ U . �

Podobně jako se definuje rozkladové nadtěleso polynomu a ∈ T [x], lze de-finovat rozkladové nadtěleso množiny polynomů M ⊆ T [x]. Přitom U ≥ T jetakovým nadtělesem právě když každý a ∈ M se v U rozkládá na kořenové či-nitele a současně U = T [M ], kde M je množina všech kořenů všech polynomůz M.

II.3.5 Tvrzení. Rozšíření těles U ≥ T je normální právě když existuje množinapolynomů M ⊆ T [x] taková, že U je rozkladovým nadtělesem M.

33

Důkaz. Ať je K algebraický uzávěr U . Předpokládejme nejprve, že je U nor-mální rozšíření T . Pro každé α ∈ U uvažme minimální polynom a ∈ T [x].Kdyby se a nerozkládalo v U na kořenové činitele, bylo by možné sestrojit T -homomorfismus f :T (α)→T (β), kde β ∈ U \ T . Protože takový homomorfismuslze rozšířit na T -homomorfiusmus g : U → K, g(α) = β, dostali bychom spors normalitou. Vidíme, že za M lze zvolit množinu všech minimálních polynomůprvků α, kde α probíhá U .Ať je naopak U rozkladové nadtělesoM. Uvažme T -homomorfismus f :U→K

a označme M množinu všech kořenů všech polynomů a ∈ M. Přitom M =⋃{Ma; a ∈ M}, kde Ma je množina všech kořenů polynomu a. Je třeba ukázatf(M) = M . To ovšem okamžitě vyplývá z f(Ma) = Ma, což pro každé a ∈ M

zjevně platí. �

II.3.6 Tvrzení. Ať je T ≤ U rozšíření a ať V se skládá ze všech α ∈ U ,která jsou algebraická nad T a jejichž minimální polynomy se nad U rozkládajína kořenové činitele. Potom je V podtěleso U , které je největším normálnímrozšířením T , jež je obsažené v U .

Důkaz. Položme V1 = T (V ) a ať M ⊂ T [x] je množina všech minimálníchpolynomů a ∈ T [x] takových prvků α ∈ U , že a se v U [x] rozkládá na kořenovéčinitele. Pak V se shoduje s množinou kořenů polynomů a ∈ M, takže V1 jenormální podle tvrzení II.3.5. Je-li β ∈ V1 a b ∈ T [x] je minimální polynomβ, tak z normality V1 vyplývá, že b se nad V1 rozkládá na kořenové činitele.Proto je β ∈ V , takže V1 = V . Dokázali jsme, že V je normální rozšíření T .Je-li W ≥ T jiné normální rozšíření a W ≤ U , tak jistě každý prvek α ∈ Wposkytuje minimální polynom a ∈ T [x], který se v W [x] rozkládá na kořenovéčinitele. Proto α ∈ V , odkud W ≤ V . �

Těleso V popsané v tvrzení II.3.6 se nazývá normální uzávěr T v U . Násle-dující tvrzení se týká libovolného rozšíření T ≤ U .

II.3.7 Tvrzení. Ať U je těleso.

(i) Pro T ≤ U je Fix(U,Gal(U, T )) ≥ T .

(ii) Pro G ≤ Aut(U) je Gal(U,Fix(U,G)) ≥ G.

Důkaz. Je-li t ∈ T a f ∈ Gal(U, T ), tak f(t) = t. Je-li g ∈ G a u ∈ Fix(U,G),je g(u) = u. �

Ve větě II.3.2 jsme nahlédli, že v případě konečné grupy G dokonce mámeGal(U,Fix(U,G)) = G. Podobnou rovnost dostáváme i v části (i) předchozíhotvrzení v případě, že U je Galoisovo rozšíření T .

II.3.8 Věta. Ať je U Galoisovo rozšíření T . Potom Fix(U,Gal(U, T )) = T .

Důkaz. Položme S = Fix(U,Gal(U, T )). Podle II.3.7(i) je S ≥ T , takže stačíukázat [U : S] = [U : T ]. Podle věty II.3.2 je U separabilní rozšíření S stupněn = |Gal(U, T )|. Protože U je normální a separabilní rozšíření T , platí |U : T | =|Gal(U, T )| = n. �

34

V této kapitole jsme dokázali většinu skutečností potřebných pro formulacihlavní věty Galoisovy teorie. Ještě připojíme jedno snadné pozorování, kterérovněž použijeme.

II.3.9 Lemma. Ať je U těleso a ať je G ≤ Aut(U). Potom pro každé f ∈Aut(U) máme Fix(U, fGf−1) = f(Fix(U,G)).

Důkaz. Pro u ∈ Fix(U,G) a g ∈ G máme (fgf−1)(f(u)) = fg(u) = f(u), takžef(Fix(U,G)) ≤ Fix(U, fGf−1). Tatáž nerovnost použitá pro fGf−1 a f−1 dáváf−1(Fix(U, fGf−1)) ≤ Fix(U, f−1(fGf−1)f) = Fix(U,G), tedy Fix(U, fGf−1)≤ f(Fix(U,G)). �

II.4 Galoisova korespondence

Uvažme uspořádané množiny (A,≤) a (B,≤) a zobrazení α:A→B a β :B→A,jež jsou antimonotonní (pro a1, a2 ∈ A z a1 ≤ a2 plyne α(a1) ≥ α(a2), a prob1, b2 ∈ B z b1 ≤ b2 plyne β(b1) ≥ β(b2)) a jež pro všechna a ∈ A a b ∈ B splňujíβα(a) ≥ a, αβ(b) ≥ b. Dvojici (α, β) těchto vlastností nazveme Galoisovoukorespondencí uspořádaných množin (A,≤) a (B,≤). (Přitom uspořádáním zderozumíme částečné uspořádání.)Uveďme základní obecné vlastnosti Galoisovy korespondence.

II.4.1 Lemma. Zobrazení α a β poskytují vzájemně inverzní bijekce množinIm(β) a Im(α).

Důkaz. Pro a ∈ A máme βα(a) ≥ a, odkud αβα(a) ≤ α(a). Současněαβ(α(a)) ≥ α(a), neboť α(a) ∈ B. Je tedy αβα(a) = α(a) pro každé a ∈ A, apodobně βαβ(b) = b pro každé b ∈ B. �

II.4.2 Důsledek. Jsou-li α a β surjektivní, jsou α i β bijektivní zobrazení.Pokud jsou (A,≤) a (B,≤) v takovém případě svazy, tak jsou α a β vzájemněinverzní antiisomorfismy těchto svazů. �

Ať U je rozšíření tělesa T . Budeme-li chápat A jako množinu všech mezitělesV , T ≤ V ≤ U , a B jako množinu všech podgrup Gal(U, T ), dostáváme podletvrzení II.3.7 Galoisovu korespondenci, jestliže položíme α(V ) = Gal(U, V ) aβ(H) = Fix(U,H). Základní věta Galoisovy teorie se vztahuje k této situaciv případě, že U je Galoisovo rozšíření T .

II.4.3 Věta. Ať U je Galoisovo rozšíření tělesa T . Potom zobrazení V 7→Gal(U, V ) a H 7→ Fix(U,H) jsou antiisomorfismy svazu všech mezitěles V ,T ≤ V ≤ U , a svazu všech podgrup grupy Gal(U, T ). V tomto antiisomorfismuodpovídají normální rozšíření T normálním podgrupám Gal(U, T ).

Důkaz. Podle úvah předcházejících dokazované tvrzení skutečně běží o Galoi-sovu korespondenci. Podle věty II.3.2 je každá podgrupa Gal(U, T ) Galoisovougrupou nějakého mezitělesa, a podobně z věty II.3.8 vyplývá, že každé mezitělesose shoduje s pevnými body nějaké podgrupy. Zbývá dokázat část o normalitě.

35

Je-li V ≤ U takové, že V je nad T normální, tak pro každé g ∈ Gal(U, T )máme g(V ) = V . Pro h ∈ Gal(U, V ) potom pro každé v ∈ V platí g−1(v) ∈ V ,hg−1(v) = g−1(v) a tedy ghg−1(v) = v. Odsud Gal(U, V ) E Gal(U, T ).Naopak, je-li H E Gal(U, T ) a f ∈ Gal(U, T ), tak podle lemmatu II.3.9

máme Fix(U,H) = Fix(U, fHf−1) = f(Fix(U,H)). To znamená, že každé f ∈Gal(U, T ) zobrazí Fix(U,H) na Fix(U,H). Z normality U nad T tím pádemvyplývá i normalita Fix(U,H) nad T . �

II.5 Stopa, norma, diskriminant

Uvažme nyní rozšíření U tělesa T , které je konečného stupně n. Je-li e =(e1, . . . , en) nějaká báze U , kde U chápeme jako vektorový prostor nad T , pří-sluší každému α ∈ U matice Me(α), jež vyjadřuje násobení u 7→ αu chápanéjako lineární zobrazení vektorového prostoru U . Máme tedy Me(α) = (aij), kdepro každé j, 1 ≤ j ≤ n, je αej =

∑

i aijei.Determinant Me(α) je nezávislý na volbě báze e. Nazývá se normou α v U

nad T , a značí se NU|T (α). Podobně i stopaMe(α) (součet prvků na diagonále),je nezávislá na volbě báze. Mluvíme o stopě α v U nad T ; značíme TrU|T (α).Nezávislost stopy a determinantu na volbě báze je možno objasnit také z ne-

závislosti charakteristického polynomu lineárního zobrazení. Na volbě báze etotiž nezávisí det(xIn −Me(α)), kde x je proměnná a In jednotková diagonálnímatice. Determinant poskytuje monický polynom stupně n, řekněme

∑

aixi.

Nazývá se charakteristický polynom α v U nad T . Přitom stopa odpovídá ko-eficientu u xn−1, čili an−1 = −TrU|T (α). Podobně norma odpovídá absolut-nímu členu charakteristického polynomu, neboť ten je roven det(−Me(α)) =(−1)n det(Me(α)). Je tedy a0 = (−1)nNU|T (α).Hledejme nyní souvislosti charakteristického a minimálního polynomu. V pří-

padě, že U = T (α), můžeme uvažovat bázi 1, α, . . ., αn−1. Je-li a =∑

aixi

minimální polynom, tak ααn−1 = −an−1αn−1 − an−2α

n−2 − · · · − a1α − a0,takže pro výpočet charakteristického polynomu je třeba uvážit matici

x 0 · · · 0 a0−1 x · · · 0 a10 −1 · · · 0 a2...

......

......

0 0 · · · x an−2

0 0 · · · −1 x+ an−1

Označíme-li její determinant d(a0, . . . , an−1), vidíme, že rozvojem dostávámepro n > 1 vztah d(a0, . . . , an−1) = xd(a1, . . . , an−1) + (−1)n−1(−1)n−1a0 =a0 + xd(a1, . . . , an−1). Protože případ n = 1 dává d(an−1) = x + an−1, indukcílehce ověříme d(a0, . . . , an−1) = xn + an−1x

n−1 + · · · + a0. Dokázali jsme, žecharakteristický a minimální polynom se v případě U = T (α) rovnají.V případě, kdy [T (α) : T ] = k < n, můžeme uvážit bázi s prvky tvaru ejα

i,kde 0 ≤ i < k, 1 ≤ j ≤ d, d = [U : T (α)]. Z α(ejα

i) = ejαi+1 vyplývá, že matice

36

xIn −Me(α) je složena z d matic výše uvedeného tvaru, které jsou umístěny nadiagonále. Můžeme tedy vyslovit

II.5.1 Tvrzení. Ať je T ≤ U rozšíření konečného stupně n a ať je α ∈ Uprvek s minimálním polynomem a =

∑

aixi a charakteristickým polynomem

c =∑

cixi. Potom c = ad, kde d = [U : T (α)]. Dále NU|T (α) = (−1)nc0 =

(−1)nad0 = (NT (α)|T (α))d a TrU|T (α) = −cn−1 = d TrT (α)|T (α). �

Jestliže U je algebraické rozšíření tělesa T a a ∈ T [x] je minimální polynomprvku α ∈ U , tak každý kořen a v algebraickém uzávěru U tělesa U je možnévyjádřit jako g(α), kde g ∈ HomT (T (α), U). Předpokládejme [U : T (α)] = d a aťje U separabilní rozšíření T . Potom existuje, podle tvrzení II.2.2, pro každý kořenβ polynomu a právě d homomorfismů g ∈ HomT (U, U) takových, že g(α) = β.Vidíme, že ad =

∏

(x− g(α)), kde g probíhá HomT (U, U). Spojením s tvrzenímII.5.1 tudíž dostáváme:

II.5.2 Tvrzení. Ať U ≥ T je separabilní rozšíření tělesa a ať c ∈ T [x] je cha-rakteristický polynom prvku α ∈ U . Pak c =

∏

(x − g(α)), NU|T (α) =∏

g(α)a TrU|T (α) =

∑

g(α), kde g probíhá všechny T -homomorfismy U→ U , U alge-braický uzávěr U. �

Determinant součinu dvou matic je součin jejich determinantů, stopa součtudvou matic je součet jejich stop. Proto je NU|T grupovým homomorfismemU∗→ T ∗ a TrU|T grupovým homomorfismem U(+)→ T (+). Jejich skládánímv případě vložených těles T ≤ U ≤ V získáváme opět normy a stopy, což doká-žeme nyní pro separabilní rozšíření. (Tvrzení platí i pro neseparabilní rozšíření.Důkaz není těžký, ale vyžaduje popis antiseparabilních rozšíření, který jsmepominuli.)

II.5.3 Tvrzení. Ať T ≤ U ≤ V je věž konečných separabilních rozšíření. PakTrV |T = TrU|T TrV |U a NV |T = NU|TNV |U .

Důkaz. Prvky HomT (V, V ) vyjádříme jako v tvrzení II.2.1 složeními fg, kdef ∈ HomT (U, V ), g ∈ HomU (V, V ) a f je nějaké pevně dané rozšíření f doAutT (V , V ). Pak

∑

f g =∑

f f(∑

g g) =∑

f (f TrV |U ) =∑

f (f TrV |U ) =TrU|T TrV |U , a podobně

∏

fg =∏

f f(∏

g g) =∏

f (fNV |U ) = NU|TNV |U . �

Za zmínku rovněž stojí, že pro t ∈ T v případě T ≤ U , [U : T ] = n, mámeNU|T (t) = tn a TrU|T (t) = nt. To vyplývá například z tvrzení II.5.1, neboť t máminimální polynom x − t. Pro α ∈ U je zjevně TrU|T (tα) = tTrU|T (α), takžeTrU|T :U→T je možno chápat jako lineární formu nad T .

II.5.4 Lemma. Nad libovolným tělesem je determinant matice

1 α1 α21 · · · αn−11

1 α2 α22 · · · αn−12

......

......

...1 αn α2n · · · αn−1

n

roven∏

i<j(αj − αi).

37

Důkaz. Jedná se o takzvaný Vandermondův determinant. Označme jeho hod-notu V (α1, . . . , αn). Odečtením α1-násobku každého sloupce, který není po-slední, od sloupce následujícího, dostaneme vztah

V (α1, . . . , αn) = (α2 − α1)(α3 − α1) . . . (αn − α1)V (α2, . . . , αn),

ze kterého již dokazovaný vztah snadno plyne. �

Ať U je separabilní rozšíření T stupně n. Pro α1, . . . , αn ∈ U definujemediskriminant △(α1, . . . , αn) jako determinant symetrické matice (TrU|T (αiαj)).Nejčastěji bude α1, . . ., αn bází U nad T . Snadno lze totiž nahlédnout, že dis-kriminant je roven nule, jsou-li α1, . . ., αn lineárně závislé.

II.5.5 Lemma. Ať HomT (U, U) = {g1, . . . , gn}. Označme M matici (gi(αj)).Pak MTM je rovna matici (TrU|T (αiαj)) a △(α1, . . . , αn) = (detM)2.

Důkaz. Na pozici (i, j) se v MTM nachází hodnota∑

k gk(αi)gk(αj). Ta jerovna

∑

gk(αiαj) = TrU|T (αiαj), dle tvrzení II.5.2. Zbytek je zřejmý. �

Pokud je U separabilní rozšíření konečného stupně n, lze zvolit bázi 1, γ,. . ., γn−1, neboť U = T (γ) pro nějaké γ ∈ U . Matice M z lemmatu II.5.5 máv i-tém řádku 1, gi(γ), (gi(γ))2, . . ., (gi(γ))n−1, takže podle lemmatu II.5.4je její determinant roven

∏

j>i(gj(γ)− gi(γ)). Odsud vyplývá, že diskriminant△(1, γ, . . . , γn−1) je nenulový.K přechodu mezi diskriminanty různých bází je dobré si uvědomit, že zobra-

zení (α, β) 7→ TrU|T (αβ) je symetrickou bilineární formou. Vskutku, fixovánímjedné složky zjevně dostáváme lineární formu, a více není třeba.Je-li h bilineární forma na vektorovém prostoru V a H = (h(ei, ej)) je její

matice vůči bázi e1, . . ., en, tak je matice (h(bi, bj)) vzhledem k bázi b1, . . ., bnrovna PTHP , kde P = (pij), bj =

∑

pijei. Forma h je nedegenerovaná, jestližedeterminant její matice je vůči některé bázi (a tím vůči všem bázím) nenulový(matici H je totiž možné chápat jako matici lineárního zobrazení v 7→ h(−, v)z V do duálního vektorového prostoru).Můžeme tedy tyto úvahy uzavřít:

II.5.6 Tvrzení. Ať je T ≤ U separabilní rozšíření stupně n. Pak je zobrazení(α, β) 7→ TrU|T (αβ) nedegenerovanou symetrickou bilineární formou U×U→T .Jsou-li α1, . . ., αn a β1, . . ., βn dvě báze U nad T , βj =

∑

pijαi a P = (pij),je △(β1, . . . , βn) = (detP )2△(α1, . . . , αn) 6= 0. �

II.5.7 Tvrzení. Ať U = T (γ) je separabilní rozšíření T stupně n. Pak△(1, γ, . . . , γn−1) lze vyjádřit jednak jako

∏

(g(γ) − h(γ))2, kde g, h probíhají

HomT (U, U), g 6= h, jednak jako (−1)(n2)NU|T (a′(γ)), kde a je minimální poly-nom γ nad T .

Důkaz. Ať g1, . . ., gn jsou všechny T -homomorfismy U→ U . Z úvah za lemma-tem II.5.5 víme, že uvažovaný diskriminant je roven

∏

j>i(gj(γ)− gi(γ))2. Tutohodnotu je též možno zapsat jako

(−1)(n2)∏

i6=j

(gj(γ)− gi(γ)).

38

Z a =∏

i(x− gi(γ)) vyplývá a′(gi(γ)) =∏

j(gi(γ)− gj(γ)), kde i 6= j. Proto jeNU|T (a′(γ)) = a′(g1(γ)) . . . a′(gn(γ)) rovno

∏

i6=j(gj(γ)− gi(γ)). �

Je-li U rozšíření T stupně n a α1, . . ., αn jsou prvky U , lze diskriminant△(α1, . . . , αn) definovat jako determinant matice (TrU|T (αiαj)) bez ohledu nato, zda jde o bázi, či nikoliv. Ovšem v případě, že nejde o bázi, jsou α1, . . .,αn lineárně závislé nad T a dostáváme △(α1, . . . , αn) = 0 (například z toho, že(α, β) 7→ TrU|T (αβ) je bilineární).

II.6 Algebraická nezávislost a stupeň transcendence

Nechť T ⊆ U jsou do sebe vřazená komutativní tělesa.

II.6.1 Lemma. Pro každou množinu M ⊆ U platí, že těleso T (M) se skládáprávě ze všech prvků p(α1, . . . , αn)/q(β1, . . . , βn), q(β1, . . . , βn) 6= 0, kde p, q ∈T [x1, . . . , xn] pro nějaké n ≤ |M | a kde αi, βi ∈M , 1 ≤ i ≤ n.

Důkaz. Lze postupovat přímo nebo použít toho, že T (M) je obrazem podílovéhotělesa okruhu T [M ]. Tento okruh je roven množině všech hodnot p(α1, . . . , αn).�

Množinu M ⊆ U nazveme algebraicky nezávislou (nad T ), jestliže pro žádnépo dvou různé α1, . . . , αn ∈M neexistuje nenulové p ∈ T [x1, . . . , xn] takové, žep(α1, . . . , αn) = 0.Prvek β ∈ U nazveme algebraicky závislý (nad T ) na M ⊆ U , jestliže β je

nad T (M) algebraický.

II.6.2 Lemma. Množina M ⊆ U je algebraicky nezávislá právě když pro každéβ ∈M platí, že β není algebraicky závislý na M \ {β}.

Důkaz. Uvažme β ∈ M a předpokládejme, že β je algebraicky závislý naM ′ = M \ {β}. Pak existuje nenulový polynom s koeficienty v T (M ′), jehož jeβ kořenem. Každý z těchto koeficientů má podle lemmatu II.6.1 tvar zlomku,jehož čitatel i jmenovatel jsou prvky T [M ′]. Vynásobíme-li polynom součinemjmenovatelů zmíněných zlomků, obdržíme polynom s koeficienty v T [M ′]. Odsudjiž plyne, že pro vhodné n ≥ 0 a vhodná po dvou různá α1, . . . , αn ∈M ′ existujeg ∈ T [x1, . . . , xn+1] takové, že g(α1, . . . , αn, β) = 0, g 6= 0.Je-li naopak možno najít takový polynom, přičemž n je nejmenší možné,

bude β algebraický nad T (M ′). Můžeme předpokládat, že je β 6= 0 a že g nenítvaru xn+1g1, kde g1 ∈ T [x1, . . . , xn+1]. Uvažme g jako polynom v xn+1 s koefi-cienty v T [x1, . . . , xn]. Kdyby každý z těchto koeficientů po dosazení α1, . . . , αn

dal nulu, musel by každý z těchto koeficientů být roven nule, neboť n je volenominimální. Pak by bylo g = 0, což je spor. Po dosazení α1, . . . , αn tedy z gvznikne nenulový polynom nad T (M ′) s kořenem β. �

Množinu M2 ⊆ U nazveme algebraicky závislou (nad T ) na M1 ⊆ U , jestližekaždý prvek M2 je algebraicky závislý na M1.

39

II.6.3 Lemma. Ať jsou Mi podmnožiny U , 1 ≤ i ≤ 3. Je-li M3 algebraickyzávislá na M2 a M2 algebraicky závislá na M1, je M3 algebraicky závislá na M1.

Důkaz. Zvolme β ∈M3. Pak existují α1, . . . , αk ∈M2 takové, že β je algebraickénad T (α1, . . . , αk). Stupně [T (M1)(α1, . . . , αk) : T (M1)] a [T (M1)(β, α1, . . . , αk): T (M1)(α1, . . . , αk)] jsou konečné, a proto je konečný i stupeň [T (M1)(β) :T (M1)] ≤ [T (M1)(β, α1, . . . , αk) : T (M1)]. �

Množiny M1,M2 ⊆ U nazveme algebraicky ekvivalentní (nad T ), jestliže M2je algebraicky závislá na M1 a M1 je algebraicky závislá na M2. Z lemmatuII.6.3 vidíme, že vztah být algebraicky ekvivalentní je skutečně ekvivalencí napodmnožinách U .Všimněme si, že pro M1 ⊆ M2 vždy platí, že M1 je algebraicky závislá na

M2.

II.6.4 Lemma. Pro každé M ⊆ U lze nalézt M1 ⊆ M algebraicky nezávislé,jež je algebraicky ekvivalentní M . Je-li M0 ⊆M množina algebraicky nezávislá,lze M1 zvolit tak, aby platilo M0 ⊆M1.

Důkaz. Sjednocením řetězce do sebe vřazených algebraicky nezávislých množinzískáme opět algebraicky nezávislou množinu. Proto z Zornova lemmatu plyneexistence maximální algebraicky nezávislé množiny M1 ⊆ M (která případněobsahujeM0). Je-li β ∈M \M1, tak množinaM1∪{β} již algebraicky nezávislánení. Příslušný polynom negující algebraickou nezávislost množiny M1 ∪ {β}vyjadřuje i algebraickou závislost β na M1, neboť M1 algebraicky nezávislé je.�

Jsou-li M1 a M2 algebraicky ekvivalentní podmnožiny U a jsou-li M3 ⊆M1a M4 ⊆ M2 jejich algebraicky ekvivalentní algebraicky nezávislé podmnožiny,budou M3 a M4, jak ukážeme, stejné mohutnosti. Důkaz probíhá podobně jakou vektorových prostorů, přičemž algebraická nezávislost odpovídá lineární ne-závislosti. Jeho základem je níže uvedené lemma o výměně.Úvahy o systémech množin, pro které je definována nezávislost tak, aby

platilo lemma o výměně, vedou k teorii matroidů. Tu zde rozvíjet nebudeme;kdybychom tak však učinili, obdrželi bychom řadu důsledků lemmatu o výměně(například stejnou mohutnost algebraicky ekvivalentních algebraicky nezávis-lých množin) z této teorie přímo.Na místě je otázka, čemu při korelaci algebraické a lineární nezávislosti od-

povídá vektorový prostor. Uvědomme si, že vektorový prostor je největší mno-žina lineárně ekvivalentní své množině generátorů. Největší množina algebraickyekvivalentní množině M ⊆ U je algebraický uzávěr T (M) v U (podtěleso U slo-žené ze všech prvků algebraických nad T (M)). Vektorovým podprostorům tedyodpovídají podtělesa U , jež jsou v U (relativně) algebraicky uzavřená.

II.6.5 Lemma (o výměně). Ať M1 ⊆ U je algebraicky nezávislá množina,která je algebraicky závislá na M2 ⊆ U . Ať α je prvek M1, který není prvkemM2. Pak existuje β ∈ M2 \ M1 takové, že (M2 \ {β}) ∪ {α} je algebraickyekvivalentní M2.

40

Důkaz. Z lemmatu II.6.4 plyne, že tvrzení stačí dokázat pro případ, kdy je M2algebraicky nezávislé. Předpokládejme tak a použijme lemma II.6.2 na mno-žinu M2 ∪ {α}. Prvek α je na M2 algebraicky závislý, a proto existují po dvourůzná β1, . . . , βn ∈ M2 taková, že pro nějaké nenulové g ∈ T [x1, . . . , xn+1] jeg(β1, . . . , βn, α) = 0. Zvolme n ≥ 0 minimální možné a označme gi verzi g chápa-nou jako polynom v xi s koeficienty v T [x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xn+1]. Označmeještě hi ∈ U [xi] ten polynom, který vznikne z gi dosazením β1, . . . , βn a α dojeho koeficientů (ne však do xi). Z minimality n a z nezávislosti M2 vyplývá,že dosazením do nenulového koeficientu gi dostaneme nenulový koeficient hi. Zestejného důvodu máme deg gi > 0, a proto i deg hi = deg gi > 0. Vidíme, že βi

je algebraicky závislé na β1, . . . , βi−1, βi+1, . . . , α. Současně nemohou všechnaβi padnout do M1, neboť tato množina je algebraicky nezávislá. Vyberme tedyβi ∈M2 \M1 a položme β = βi. Důkaz je u konce. �

II.6.6 Tvrzení. Uvažme do sebe vřazená komutativní tělesa T ⊆ U . AťM1 ⊆ Uje nad T algebraicky nezávislá množina a ať M1 je algebraicky závislé nad T naM2 ⊆ U . Potom mohutnost M1 nepřevyšuje mohutnost M2.

Důkaz. Je-li M1 konečné nebo spočetné, můžeme podle lemmatu o výměněII.6.5 nahradit nějakou podmnožinu M2 množinou M1, a z toho dokazovanývztah vyplyne. Vidíme, že zbývá vyřešit případ, kdy jsou M1 i M2 nekonečná.Pro tento případ uvážíme nějaké zobrazení z M1 do množiny všech konečnýchpodmnožin M2 (ta je stejné mohutnosti jako M2), které přiřazuje α ∈ M1 ta-kové {β1, . . . , βk} ⊆M2, že α je algebraicky závislé na {β1, . . . , βk}. Mohutnostobrazu popsaného zobrazení bude rovna mohutnosti M1, pokud dokážeme, žekaždý blok jádra zobrazení je konečný. Jsou-li ovšem α1, . . . , αn ∈ M1 alge-braicky závislá na {β1, . . . , βk}, je n ≤ k podle prvé části důkazu. �

II.6.7 Důsledek. Nechť T ⊆ U jsou komutativní tělesa. Každé dvě podmnožinyU , které jsou nad T algebraicky ekvivalentní a algebraicky nezávislé, mají stejnoumohutnost.

Z důsledku II.6.7 plyne, že shodnou mohutnost mají všechny algebraickynezávislé množiny M , jež jsou algebraicky ekvivalentní tělesu U . Podle lem-matu II.6.4 takové množiny existují. Jsou to právě ty algebraicky nezávislé mno-žiny, pro které je U algebraickým rozšířením T (M). Takovým množinám se říkátranscendentní báze (nad T ). Společná mohutnost všech transcendentních bázíse nazývá stupeň transcendence U nad T . Budeme ho značit [U : T ]tr.

II.6.8 Tvrzení. Nechť T ⊆ U ⊆ V jsou do sebe vřazená komutativní tělesa.Potom [V : T ]tr = [V : U ]tr + [U : T ]tr.

Důkaz. Nechť B je transcendentní báze V nad U a A transcendentní báze Unad T . Nejprve si všimneme, že je A ∩ B = ∅, neboť z algebraické nezávislostiB nad U plyne B ∩ U = ∅. Ať nyní g ∈ T [x1, . . . , xn][y1, . . . , ym] je takové,že pro nějaká po dvou různá α1, . . . , αn ∈ A a po dvou různá β1, . . . , βm ∈ Bplatí g(α1, . . . , αn, β1, . . . , βm) = 0. Polynom g má koeficienty v T [x1, . . . , xn].Z algebraické nezávislosti A vyplývá, že dosazením α1, . . . , αn do nenulového

41

koeficientu g dostaneme nenulový prvek U . Dosazením do všech koeficientů tudížvznikne polynom h ∈ U [y1, . . . , ym], který bude nulový právě když byl nulovýpolynom g. Ovšem h = 0 plyne z algebraické nezávislosti B.Zbývá ukázat, že V je na A ∪ B algebraicky závislé nad T . Protože V je

algebraické nad U(B), stačí ukázat, že U(B) je nad T algebraicky závislé naA∪B, dle lemmatu II.6.3. Množina všech prvků algebraicky závislých na A∪Bnad T tvoří těleso, a proto stačí ověřit, že U je algebraicky závislé na A∪B. Toje ovšem zřejmé, neboť A je transcendentní báze U nad T . �

II.7 Hilbertova věta o nulách

Buď R komutativní okruh. Okruh S spolu s homomorfismem f : R → S senazývá R–algebra. Homomorfismu f se říká strukturní a často se explicitněnespecifikuje. To je pravda zejména tehdy, je-li f injektivní a R lze přirozenýmzpůsobem ztotožnit s nějakým podokruhem S. Je-li R těleso, je f injektivnívždy.Ekvivalentně lze R–algebru S definovat jako okruh, který je současně R-

modulem a splňuje r · (st) = (r · s)t pro všechna r ∈ R a s, t ∈ S (zde ·značí skalární násobení, přičemž násobení v okruhu se nevyznačuje). Při takovédefinici se strukturní homomorfismus f získá vztahem f(r) = r · 1S . Je zřejmé,že f(r1+r2) = f(r1)+f(r2) pro všechna r1, r2 ∈ R; vztah f(r1r2) = f(r1)f(r2)plyne z (r1r2) · 1S = r1 · (r2 · 1S) = r1 · (1S(r2 · 1S)) = (r1 · 1S)(r2 · 1S). Je-linaopak R-algebra zadána homomorfismem f , položíme r · s = f(r)s. Ověřit, žeS je pak R-modulem, je snadné. Přitom r · (st) = f(r)(st) = (f(r)s) · t = (r ·s)t.Pojmy jako homomorfismus R–algeber nebo R–podalgebra generovaná pod-

množinouM ⊆ S je třeba chápat tak, že jde o současný homomorfismus okruhůa R–modulů, resp. že se jedná o nejmenší podokruh S obsahující M , který jesoučasně R–podmodulem. Lze-li množinuM zvolit konečnou, řekneme, že okruhS je konečně generovaný jako R–algebra.Okruhové generování odpovídá sčítání součinů generátorů. Při generování

ve smyslu R–algebry se ještě násobí prvky R. V komutativních R–algebrách(jiné zde studovat nebudeme) jde tedy vlastně o dosazování do polynomů (víceproměnných) s koeficienty v R. Proto je následující lemma zřejmé.

II.7.1 Lemma. Ať S je komutativní R-algebra se strukturním homomorfismemf : R→ S. Pak S je jako R–algebra konečně generované právě když je f proněkteré n ≥ 0 možno rozšířit na surjektivní homomorfismus g:R[x1, . . . , xn]→S.

�

Z Hilbertovy věty o bázi okamžitě plyne

II.7.2 Důsledek. Je-li R noetherovský okruh, je každá konečně generovanákomutativní R–algebra rovněž noetherovským okruhem. �

Jsou-li S1 ⊆ S2 do sebe vřazené komutativní okruhy, lze samozřejmě S2chápat jako komutativní S1–algebru.

42

II.7.3 Tvrzení. Ať S1 ⊆ S2 jsou do sebe vřazené komutativní R–algebry.Jestliže A generuje S1 jako R–algebru a B generuje S2 jako S1–algebru, takA ∪B generuje S2 jako R–algebru.Důkaz. Každý prvek S2 je po dosazení prvků z B hodnotou nějakého polynomus koeficienty v S1. Tyto koeficienty lze však získat dosazením prvků z A dopolynomů s koeficienty v R. �

Jsou-li A a B v předchozím tvrzení konečná, bude S2 konečně generovanouR–algebrou. V dalších úvahách nahradíme požadavek, aby S2 bylo konečně gene-rováno jako S1–algebra, silnějším požadavkem, aby S2 bylo konečně generovanéjako S1–modul. To umožní do našich úvah zahrnout aspekt dědičnosti.

II.7.4 Důsledek. Ať S0 ⊆ S1 ⊆ S2 jsou do sebe vřazené komutativní R–algebry, přičemž R je noetherovský komutativní okruh. Předpokládejme, že S0je konečně generovaná R–algebra a že S2 je konečně generované jako S0–modul.Potom je S1 konečně generovanou R–algebrou.

Důkaz. Podle důsledku II.7.2 je S0 noetherovský okruh. Konečně generovanémoduly nad noetherovskými okruhy jsou noetherovské, a proto je nad S0 i modulS1 noetherovský (je totiž podmodulem noetherovského S0–modulu S2), a tímpádem konečně generovaný, takže lze použít tvrzení II.7.3. �

II.7.5 Tvrzení. Ať S1 ⊆ S2 jsou do sebe vřazené komutativní R–algebry, při-čemž S2 je jako S1–modul konečně generované. Je-li R noetherovský komutativníokruh a je-li S2 jako R–algebra konečně generované, je konečně generovanou R–algebrou i S1.

Důkaz. Budeme hledat S0, jež by vyhovovalo předpokladům důsledku II.7.4.Budiž M konečná množina, jež generuje S2 jako S1–modul a obsahuje 1. Ať jedále C konečná množina, která generuje S2 jakožto R–algebru. Pro každé c ∈ Ca m ∈ M uvažme vyjádření cm =

∑

m′∈M scmm′m′, kde scmm′ ∈ S1. Za S0zvolíme R–podalgebru S1 generovanou množinou všech hodnot scmm′ . OznačmeS3 ten S0–podmodul S2, který je generován M . Podle důsledku II.7.4 stačíověřit, že platí S3 = S2. Každý prvek S2 odpovídá nějaké hodnotě polynomunad R po dosazení prvků z C. Protože S3 je (mimo jiné) R-modul, stačí ověřit,že do S3 padne každé c1 . . . ck, k ≥ 1, kde ci jsou (ne nutně různé) prvky C.Položme c = c1 a a = c2 . . . ck a postupujme indukcí dle k. Pro k > 1 mámea ∈ S3 z indukčního předpokladu a pro k = 1 máme a = 1 ∈ S3 z volby M .Proto S3 = S2 bude platit, jestliže z a ∈ S3 a c ∈ C vždy obdržíme ac ∈ S3. Je-lia =

∑

smm, kde sm ∈ S0, m ∈ M , je ac =∑

smcm. Ovšem cm =∑

scmm′m′

do S3 zjevně padne. �

II.7.6 Lemma. Buď K komutativní těleso a ať n ≥ 1. Pak K(x1, . . . , xn) neníjako K–algebra konečně generované.

Důkaz. Postupujme sporem a předpokládejme, že g1, . . . , gk jsou generátory.Těleso K(x1, . . . , xn) chápeme jako podílové těleso okruhu K[x1, . . . , xn], takžegi = pi/qi pro nějaká pi, qi ∈ K[x1, . . . , xn]. Okruh K[x1, . . . , xn] je Gaussův

43

a je to vlastní podokruh K(x1, . . . , xn). Existuje tedy alespoň jedno qi stupně≥ 1. Vyjádřeme (q1 · · · qk + 1)−1 jako polynomiální hodnotu s koeficienty v Kpo dosazení hodnot pi/qi. Vhodným vynásobením obou stran tohoto vyjádřenídostaneme rovnost

(q1 · · · qk + 1)a = qr11 · · · qrk

k ,

pro nějaké a ∈ K[x1, . . . , xn]. Polynom q1 · · · qk +1 je stupně alespoň 1 a žádnýz polynomů qi s ním nemá společný dělitel stupně ≥ 1. To je ovšem spor seskutečností, že K[x1, . . . , xn] je Gaussův. �

Buď K i nadále komutativní těleso. Konečně generované komutativní K–algebry se (někdy) nazývají afinní K–algebry. U afinních algeber budeme im-plicitně předpokládat, že obsahují těleso K.

II.7.7 Tvrzení. Afinní K–algebra je tělesem právě když je rozšířením K ko-nečného stupně.

Důkaz. Uvažme afinnní K–algebru S a předpokládejme, že běží o těleso. Jetedy S = K[M ] pro nějakou konečnou M ⊆ S. Transcendentní stupeň S nadK je tudíž konečný. Označme B nějakou transcendentní bázi S nad K. TělesoS = K[M ] = K(B)[M ] je nad K(B) algebraické konečného stupně a S jejako K(B)–modul (tedy jako vektorový prostor nad tělesem K(B)) konečněgenerované. Podle tvrzení II.7.5 je afinní K–algebrou i těleso K(B). To podlelemmatu II.7.6 znamená, že B je množina prázdná. �

Připomeňme, že kulatými závorkami označujeme v Gaussových okruzíchideál generovaný prvky (či ideály) uvedenými v závorkách.

II.7.8 Lemma. Uvažme prvky α1, . . . , αn ∈ K. Ideál (x1 −α1, . . . , xn −αn) jev K[x1, . . . , xn] maximální. Přitom a ∈ K[x1, . . . , xn] v tomto ideálu leží právěkdyž a(α1, . . . , αn) = 0.

Důkaz. Polynomy xi − αi jsou monické a okruhy K[x1, . . . , xi−1] jsou oboryintegrity, 1 ≤ i ≤ n. Chápeme-li a ∈ K[x1, . . . , xn] jako polynom v xn nadK[x1, . . . , xn−1], můžeme a vyjádřit standardním dělením se zbytkem ve tvaruan(xn−αn)+bn−1, kde an ∈ K[x1, . . . , xn] a bn−1 ∈ K[x1, . . . , xn−1]. Indukčnímpostupem tedy zjevně obdržíme existenci takových ai ∈ K[x1, . . . , xi], 1 ≤ i ≤n, že a = β +

∑

ai(xi − αi), kde β ∈ K. �

II.7.9 Věta (Hilbertova o nulách). Nechť K je algebraicky uzavřené komu-tativní těleso a ať S = K[x1, . . . , xn] pro nějaké n ≥ 1. Potom:

(i) Ideál M okruhu S je maximální právě když existují α1, . . . , αn ∈ K taková,že

M = (x1 − α1, . . . , xn − αn);

(ii) Pro každý vlastní ideál J okruhu S je množina společných nul

V(J) = {(α1, . . . , αn) ∈ Kn; g(α1, . . . , αn) = 0 pro všechna g ∈ J}

44

neprázdná a√J je rovno

{g ∈ K[x1, . . . , xn]; g(α1, . . . , αn) = 0 pro všechna (α1, . . . , αn) ∈ V(J)}.

Důkaz. Ať M je maximální ideál S. Pak S/M je těleso, které je afinní K–algebrou . Přitom K jako podokruh S/M je dáno vnořením K→S/M , α 7→α+M . Toto vnoření je ovšem isomorfismem, neboť K je algebraicky uzavřenéa S/M je podle tvrzení II.7.7 algebraickým rozšířením K. Speciálně je popsanévnoření surjektivním homomorfismem, takže pro každé xi, 1 ≤ i ≤ n, existujeαi ∈ K takové, že xi −αi ∈M . Vidíme, že M obsahuje ideál (x1−α1, . . . , xn −αn). Z lemmatu II.7.8 plyne, že M je tomuto ideálu rovno.Buď J nějaký vlastní ideál S. Je-li (α1, . . . , αn) ∈ V(J), tak J podle lem-

matu II.7.8 leží v (x − α1, . . . , x − αn), a naopak. Jinými slovy, společné nulyJ jsou určeny maximálními ideály S, které obsahují J . Je-li ak ∈ J pro nějakéa ∈ S a k ≥ 1, shodují se nuly polynomu ak s nulami polynomu a, neboť S jeoborem integrity. K důkazu (ii) je proto třeba ověřit, že každé a ∈ S, které senuluje na V(J), padne do

√J .

Polynom 1− a nemá s J žádnou společnou nulu, takže z části (i) plyne, žeje (J, 1 − a) = J + (1 − a)S rovno S. Toto pozorování však použijeme pouzejako motivační, budeme potřebovat totiž podobný vztah „s jedním stupněmvolnosti navícÿ. Uvážíme okruh S[xn+1] (který ztotožňujeme s K[x1, . . . , xn+1])a v něm ideály JS[xn+1] a (1 − axn+1)S[xn+1]. Předpokládejme, že nejsou ko-maximální. Pak jsou obsaženy v nějakém ideálu maximálním, a proto existuje(α1, . . . , αn, β) ∈ Kn+1 takové, že (α1, . . . , αn) ∈ V(J) a 1−a(α1, . . . , αn)β = 0.Z prvé podmínky ovšem máme a(α1, . . . , αn) = 0, a protože 0 6= 1, musí zmíněnéideály být komaximální.Okruh S je noetherovský, takže J je generováno konečně mnoha polynomy,

řekněme g1, . . . , gk. Z dokázané komaximality plyne existence takových prvkůq1, . . . , qk a q z S[xn+1], že

1 = (∑

qigi) + (1− axn+1)q.

Uvažme homomorfismus φ:S[xn+1]→K(x1, . . . , xn), který je na S identickýa zobrazuje xn+1 na 1/a (o a můžeme zjevně předpokládat, že je nenulové). Zpředchozí rovnosti máme

1 = φ(1) = (∑

φ(qi)gi) + 0 =∑

φ(qi)gi.

Přitom každé φ(qi) je možné vyjádřit ve tvaru bi/aei , kde bi ∈ S, ei ≥ 0.Vhodným vynásobením vztahu pak dostaneme rovnost

af =∑

bigi,

pro nějaké f ≥ 1 a nějaké bi ∈ S. Dokázali jsme a ∈√J . �

II.7.10 Důsledek. Buď K algebraicky uzavřené komutativní těleso. Každý pr-voideál okruhu S = K[x1, . . . , xn] je roven průniku maximálních ideálů S.

45

III Celistvost, mříže a Dedekindovyokruhy

III.1 Determinanty

Pro determinanty matic nad komutativními okruhy platí většina vztahů zná-mých z lineární algebry. Protože však tyto vztahy byly vysloveny s ohledem naaplikace ve vektorových prostorech formou odpovídající úvodnímu vysokoškol-skému kurzu, jeví se vhodné je zde nabídnout k zopakování v obecnější formě ase zkrácenými důkazy.Ať R je komutativní okruh. Množinu všech n × m matic budeme značit

Mn,m(R). Tuto množinu lze pokládat za R-modul. V případě n = m je možnomatice násobit a dostáváme maticový okruh Mn,n(R). Je-li A ∈ Mn,n(R), takdo Mn,n(R) padne i matice transponovaná, kterou značíme AT.Determinant matice A = (aij) se definuje vztahem

detA =∑

σ∈Sn

(sgnσ) a1,σ(1) · · · an,σ(n).

Pro každé σ ∈ Sn je sgnσ = sgnσ−1, takže z rovnosti

a1,σ(1) · · · an,σ(n) = aσ−1(1),1 · · · aσ−1(n),n

bezprostředně dostáváme detA = detAT.Liší-li se matice A, B, C pouze v jednom řádku, přičemž tento řádek v C

je součtem odpovídajících řádků v A a B, pak zjevně detC = detA + detB.Podobně pro sloupce.Za samozřejmý budeme rovněž považovat vztah detB = r detA v případě,

kdy B vznikne z A tak, že prvky jistého řádku jsou nahrazeny svými r-násobky.

III.1.1 Lemma. Ať A ∈ Mn,n(R) má s-tý a r-tý sloupec (řádek) shodný. PakdetA = 0.

Důkaz. Je-li τ ∈ Sn libovolná transpozice, tak platí

detA =∑

σ∈An

sgnσ((a1,σ(1) · · · an,σ(n))− (a1,τσ(1) · · · an,τσ(n))),

kde An je alternující grupa sudých permutací. Zvolíme-li τ = (r s), bude ai,σ(i)

rovno ai,τσ(i) pro každé i, 1 ≤ i ≤ n. �

Z předchozího již plyne, že přičtením násobku daného sloupce k sloupciodlišnému se hodnota determinantu nezmění — totéž platí pro řádky.

46

Odsud vyplývá, že výměnou dvou různých řádků (sloupců) se hodnota de-terminantu změní na hodnotu opačnou.Pro každé s a t, kde 1 ≤ s, t ≤ n, definujeme k matici A = (ai,j) ∈ Mn,n(R)

matici Ast jako (n − 1) × (n− 1) matici, jež vznikne vypuštěním s-tého řádkua t-tého sloupce.Matice AdjA = (dij) ∈ Mn,n(R), kde dij = (−1)i+j det Aji se nazývá ad-

junkt matice A. Uvedená definice se používá pro n > 1. Pro n = 1 se kladeAdjA = I1. (Obecně In zde značí n × n matici s jedničkami na diagonále anulami mimo diagonálu.)

III.1.2 Lemma. Ať je v matici A ∈ Mn,n(R), n > 1, nahrazen s-tý řádekřádkem (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0), kde 1 se nachází na t-té pozici. Determinant taktopozměněné matice je roven (−1)s+t det Ast.

Důkaz. Je třeba n − s transpozic k přesunu s–tého řádku na n–tý a n − ttranspozic k přesunu t–tého sloupce na n–tý. Vzniklá matice má determinantshodný s maticí Ast. �

III.1.3 Tvrzení. Ať n > 1 a A = (aij) ∈ Mn,n(R). Pak pro každé s, 1 ≤ s ≤ n,platí

detA =∑

j

asj(−1)s+j det Asj a detA =∑

i

ais(−1)s+i det Ais.

Důkaz. Stačí dokázat pouze prvý vztah. Nahradíme-li A soustavou n matic,z nichž j–tá má na místě (s, j) hodnotu asj a má nuly na ostatních místech j–tého řádku (zatímco v jiných řádcích se s A shoduje), bude detA roven součtudeterminantů těchto matic. Zbytek plyne z lemmatu III.1.2. �

Symbol δst se níže používá ve standardním významu (δst = 1 pokud s = t,jinak δst = 0).

III.1.4 Důsledek. Ať n > 1 a ať A = (aij) ∈ Mn,n(R). Pro 1 ≤ s, t ≤ n máme

∑

j

asj(−1)t+j det Atj = δst detA a∑

i

ais(−1)t+i det Ait = δst detA.

Důkaz. Pro s = t je zde reprodukováno předchozí tvrzení. To lze použít i pros 6= t, neboť v takovém případě je součet shodný s rozvojem podle t–tého řádkumatice, která vznikne z A náhradou t–tého řádku s–tým řádkem. Determinanttakové matice je však podle lemma III.1.1 roven nule. �

III.1.5 Tvrzení. Ať je A ∈ Mn,n(R) a ať B je adjunkt matice A. PotomAB = BA = (detA)In.

Důkaz. Případ n = 1 je jasný, neboť pak B = I1. V matici AB máme na místě(s, t) hodnotu

∑

asj(−1)j+t detAtj = δst detA. V matici BA máme na místě(s, t) hodnotu

∑

(−1)i+s detAisait = δst detA. Vztah tedy plyne z důsledkuIII.1.4. �

47

III.2 Celistvá rozšíření

Nejprve připomeneme, co se rozumí značením (A : B), které bylo zavedeno jiždříve, včetně motivace tohoto značení. V tělese je x = yz−1 právě když xz = y.Píšeme-li yz−1 jako y : z, tak xz = y právě když y : z = x. Zaměníme-li rovnostza inkluzi a uvažujeme-li na místo prvků y a z množiny A a B, dostanemedefinici

(A : B) = {r ∈ R; rB ⊆ A}.Přitom R je komutativní okruh a A i B jsou podmnožiny nějakého R–moduluM . Častým je přitom případ, kdy M = R.

III.2.1 Lemma. Je-li A podmodul R–modulu M , je (A : B) ideál R, prolibovolné B ⊆M .

Důkaz. Pro u, v ∈ (A : B) a r ∈ R máme pro b ∈ B jak (u+ v)b = ub+ vb ∈ A,tak (ru)b = r(ub) ∈ A. �

Je-li U ⊆ R, tak se místo U ∩ (A : B) píše též (A :U B). O ideálu (0 : B) semluví jako o anihilátoru B a označuje se též Ann(B).

III.2.2 Tvrzení. Ať R ⊆ S jsou komutativní okruhy a ať M je S–modul, kterýje jako R–modul konečně generovaný n prvky, kde n ≥ 1. Ať I je ideál R a aťs ∈ S je takové, že sM ⊆ IM . Potom existují ai ∈ Ii, 1 ≤ i ≤ n, takové, žesn + a1sn−1 + · · ·+ an−1s+ an ∈ (0 :S M) = Ann(M).Důkaz. Ať g1, . . ., gn jsou generátoryM jakožto R-modulu. Pro j ∈ {1, . . . , n}uvažme matici indukovanou translací s, tedy uvažme bij ∈ I taková, že

sgi =∑

j

bijgj .

Pro B = (bij) máme (sIn −B)(g1, . . . , gn)T = 0. Položme C = sIn−B a ať D jeadjunkt C. Podle tvrzení III.1.5 jeDC = (detC)In, takže zDC(g1, . . . , gn)T = 0plyne (detC)gi = 0 pro každé i, 1 ≤ i ≤ n. Dokázali jsme, že detC ∈ (0 :S M).Existence ai ∈ Ii takových že detC = sn + a1sn−1 + · · ·+ an plyne přímo z

definice C. �

Ať R je podokruh komutativního okruhu S, a ať s ∈ S. Řekneme, že s jecelistvé nad R právě když existuje h ≥ 1 a r0, r1, . . . , rh−1 ∈ R taková, že

sh + rh−1sh−1 + · · ·+ r1s+ r0 = 0.

Celistvé prvky jsou tedy kořeny monických polynomů z R[x].Řekneme, že S je celistvé nad R, pokud je každý prvek S celistvý nad R.

Homomorfismus komutativních okruhů f :R1→ R2 nazveme celistvý, je-li R2celistvé nad Im(f).

III.2.3 Tvrzení. Ať R je Gaussův obor integrity a ať T je jeho podílové těleso.Je-li u ∈ T prvek celistvý nad R, je u ∈ R.

48

Důkaz. Ať uh + rh−1uh−1 + · · ·+ r1u+ r0 = 0. Vyjádříme u jako s/t tak, abys, t ∈ R byla nesoudělná. Potom sh+rh−1sh−1t+ · · ·+r1sth−1+r0th = 0, takžekaždý ireducibilní dělitel t musí být dělitelem s. Z jejich nesoudělnosti plyneinvertibilita t. �

Jsou-li R ⊆ S ⊆ T komutativní okruhy, přičemž a1, . . . , an ∈ S generují Sjako R–modul a b1, . . . , bm ∈ T generují T jako S–modul, tak {aibj ; 1 ≤ i ≤n a 1 ≤ j ≤ m} zjevně generuje T jako R–modul.III.2.4 Tvrzení. Ať R je podokruh komutativního okruhu S a ať je u ∈ S. Jeekvivalentní:

(i) u je celistvé nad R;

(ii) R[u] je podokruh S, který je konečně generovaný jako R–modul;

(iii) existuje podokruh S, který je konečně generovaný jako R–modul a obsahujeR[u];

(iv) existuje věrný R[u]–modul, který je jako R–modul konečně generovaný.

Důkaz. Implikace (ii)⇒(iii) a (iii)⇒(iv) jsou triviální. Jestliže pro vhodnár0, r1, . . . , rh−1 ∈ R platí uh + rh−1uh−1 + · · · + r1u + r0 = 0, tak je R[u] ={∑0≤i<h tiu

i; ti ∈ R}, takže R[u] je jako R–modul konečně generovánmnožinou{1, u, . . . , uh−1}. Odsud (i)⇒(ii) a zbývá dokázat (iv)⇒(i).Ať tedy je M věrný R[u]–modul, který je generovaný n prvky. Použijeme

tvrzení III.2.2 tak, že S = R[u] a I = R. Máme uM ⊆ M = RM , takžeun + a1un−1 + · · · + an−1u + an padne pro vhodná ai ∈ R do anihilátoru M .Věrnost M znamená, že tento anihilátor obsahuje pouze prvek 0. �

III.2.5 Tvrzení. Ať je R podokruh komutativního okruhu S a ať u1, . . . , un ∈ Sjsou celistvá nad R. Potom R[u1, . . . , un] je podokruh S, který je nad R celistvýa který je jakožto R–modul konečně generovaný.

Důkaz. Přímočarým postupem indukcí ověříme, že R[u1, . . . , un] je jakožtoR–modul konečně generované. Stačí si uvědomit, že pro i, 1 ≤ i ≤ n, jeui celistvé nad R[u1, . . . , ui−1], takže R[u1, . . . , ui] je jakožto R[u1, . . . , ui−1]–modul konečně generované. Z indukčního kroku lze získat konečnou genero-vanost R[u1, . . . , ui−1] jakožto R–modulu. Spojením obou vztahů dostanemekonečnou generovanost R[u1, . . . , ui] nad R.Je-li u ∈ R[u1, . . . , un], tak je R[u1, . . . , un] možné chápat jako R[u]–modul.

Ten je samozřejmě věrný a celistvost u nad R plyne z tvrzení III.2.4. �

III.2.6 Důsledek. Ať R ⊆ S jsou komutativní okruhy. Pak množina všechu ∈ S, jež jsou celistvé nad R, tvoří podokruh S obsahující R.

Důkaz. Ať u, v ∈ S jsou prvky celistvé nad R. Podle tvrzení III.2.5 je R[u, v]podokruh S, který se skládá pouze z celistvých prvků. Protože u + v, uv i −vleží v R[u, v], musí být také celistvé. �

Podokruhu všech celistvých prvků z důsledku III.2.6 se říká celistvý uzávěrR v S.

49

III.2.7 Tvrzení. Ať jsou R ⊆ S ⊆ T komutativní okruhy, přičemž S je celistvénad R. Je-li t ∈ T celistvé nad S, je t celistvé nad R.

Důkaz. Uvažme t ∈ T takové, že th + sh−1th−1 + · · · + s1t + s0 = 0 pro

vhodná s0, s1, . . . , sh−1 ∈ S. Pak je t celistvé nad C = R[s0, s1, . . . , sh−1] a C[t]je konečně generované nad R, a tudíž je C[t] konečně generovaný R–modul,který je věrným R[t]–modulem. Z tvrzení III.2.4 proto plyne, že prvek t je nadR celistvý. �

III.2.8 Důsledek. Ať jsou R ⊆ S ⊆ T komutativní okruhy, přičemž S jecelistvé nad R. Celistvý uzávěr R v T je pak shodný s celistvým uzávěrem S vT . Speciálně platí, že T je celistvé nad S právě když je celistvé nad R. �

III.2.9 Tvrzení. Ať je R ⊆ T , kde T je těleso a R je okruh. Ať je U rozšířeníT a ať je α ∈ U celistvé nad R. Pak jsou nad R celistvé jak všechny koeficientyminimálního polynomu a ∈ T [x] prvku α, tak všechny kořeny tohoto polynomu,které leží v U .

Důkaz. Tvrzení zjevně stačí dokázat pro případ, kdy U je rozkladovým nad-tělesem minimálního polynomu prvku α nad T . Můžeme tedy předpokládat, žeU je algebraickým rozšířením T a že U je algebraický uzávěr U . Víme, že α jekořenem nějakého monického polynomu c ∈ R[x] ⊆ T [x]. Proto a dělí c. Je-liβ ∈ U nějaký jiný kořen a, existuje g ∈ HomT (U, U) takové, že g(α) = β. Pakje ovšem β kořen gx(c) = c, takže β je celistvé nad R. Protože koeficienty a ležív podokruhu U , který je generován kořeny a, musí být podle důsledku III.2.6tyto koeficienty celistvé. �

III.2.10 Důsledek. Ať je R ⊆ T , kde T je těleso a R je okruh. Ať je U rozšířeníT konečného stupně a ať je α ∈ U celistvé nad R. Pak NU|T (α) i TrU|T (α) jsounad R celistvé.

Důkaz. Podle tvrzení II.5.1 lze normu i stopu prvku odvodit z koeficientůminimálního polynomu. �

III.2.11 Tvrzení. Ať R ⊆ S jsou obory integrity, přičemž S je celistvé nad R.Okruh S je tělesem právě když R je tělesem.

Důkaz. V oborech integrity lze pro celistvé prvky s 6= 0 zjevně nalézt r0, . . . ,rn−1 ∈ R tak, že sn + rn−1s

n−1 + · · · + r1s + r0 = 0 a r0 6= 0. Ze zápisus(sn−1 + rn−1s

n−2 + · · · + r1) = r0 plyne invertibilita s, je-li r0 invertibilní.Naopak, je-li S těleso a r ∈ R nenulové, je r−1 celistvé a z r−n+ rn−1r−(n−1)+· · ·+ r1r−1 + r0 = 0 plyne r−1 = −(rn−1 + · · ·+ r1rn−2 + r0rn−1) ∈ R. �

Tvrzení III.2.11 je celkem prosté, avšak má důležitý důsledek.

III.2.12 Tvrzení. Ať R ⊆ S jsou komutativní okruhy, přičemž S je celistvénad R. Ideál I okruhu S je maximální právě když I ∩R je maximální v R.Důkaz. Okruh R/R ∩ I ∼= (R + I)/I lze uvedeným ztotožněním považovat zapodokruh S/I. Přitom S/I je nad (R + I)/I celistvý. Tyto okruhy jsou tělesaprávě když ideály I a R ∩ I jsou v S a R po řadě maximální. �

50

III.3 Celistvě uzavřené obory integrity

Jsou-li R ⊆ S komutativní okruhy takové, že R je rovno svému celistvému uzá-věru v S, nazýváme R v S celistvě uzavřené. Obor integrity se nazývá celistvěuzavřený, je-li celistvě uzavřený ve svém podílovém tělese. Z tvrzení III.2.3 vy-plývá, že Gaussovy obory integrity jsou vždy celistvě uzavřené.Z tvrzení III.2.9 a důsledku III.2.10 můžeme okamžitě odvodit:

III.3.1 Tvrzení. Ať je T podílové těleso celistvě uzavřeného oboru integrity Ra ať U ≥ T je algebraické rozšíření těles. Pak minimální polynom mα,T každéhocelistvého prvku α ∈ U padne do R[x]. Je-li U nad T konečného stupně, taktaké platí, že v R leží jak NU|T (α), tak TrU|T (α). �

Uvažme nyní situaci, kdy R je celistvě uzavřený obor integrity, T jeho podí-lové těleso, U separabilní rozšíření T konečného stupně n a S celistvý uzávěr Rv U .Připomeňme, že R∗ a S∗ označují příslušnou multiplikativní grupu inverti-

bilních prvků (grupu jednotek).

III.3.2 Tvrzení. Pro každé α ∈ S je NU|T (α) ∈ R a TrU|T (α) ∈ R. Navícα ∈ S∗ právě když NU|T (α) ∈ R∗.

Důkaz. Norma i stopa padne do T dle důsledku 2.10. Je-li αβ = 1, kde α i βjsou z S, tak NU|T (α)NU|T (β) = 1. Ať je naopak NU|T (α) ∈ R∗. Invertibilitaα v S pak vyplývá z toho, že NU|T (α) = α

∏

g g(α), kde g probíhá neidentickéT –homomorfismy U→ U (zjevně stačí ukázat, že

∏

g g(α) leží v S. To ovšemplyne z toho, že g(α) ∈ S pro každé g). �

III.3.3 Lemma. Pro libovolná α1, . . . , αk ∈ U existuje r ∈ R takové, žerα1, . . . , rαk ∈ S.

Důkaz. Je snadné si uvědomit, že stačí lemma dokázat pouze pro k = 1.Položme α = α1 a zapišme jeho minimální polynom a ∈ T [x] ve tvaru

xn + (r1/s1)xn−1 + · · ·+ (rn−1/sn−1)x+ (rn/sn),

kde ri, si ∈ R, 1 ≤ i ≤ n. Toto vyjádření můžeme upravit tak, aby platilos1 = · · · = sn = s ∈ R∗. Pak

(sx)n + (r1s0)(sx)n−1 + · · ·+ (rn−1sn−2)x+ (rns

n−1) = 0,

z čehož vyplývá, že sα je celistvé, a tedy sα ∈ S. �

Vidíme, že je-li α1, . . . , αn nějaká báze U nad T , tak rα1, . . . , rαn je provhodné r ∈ R bází U nad T , jež se skládá pouze z prvků S. Báze α1, . . . , αn

tělesa U nad T se nazývá celistvá, jestliže α1, . . . , αn leží v S a každý prvek S lzevyjádřit jako

∑

riαi, kde ri ∈ R. Je zřejmé, že takové vyjádření je jednoznačné.Obecně nemusí celistvé báze existovat. Záhy však nahlédneme, že existují, je-liR obor integrity hlavních ideálů.

51

III.3.4 Tvrzení. Ať α1, . . . , αn ∈ S tvoří bázi U nad T , a ať d = △(α1, . . . ,αn). Potom je dS ⊆ Rα1 + · · ·+Rαn.

Důkaz. Ať Tr značí TrU|T . Vyjádříme α ∈ U jako∑

tiαi, kde ti ∈ T .Pak pro každé β ∈ U je Tr(αβ) =

∑

i tiTr(αiβ). Necháme-li β probíhat αj ,1 ≤ j ≤ n, nahlédneme, že t1, . . . , tn jsou řešením lineární soustavy rovnicTr(ααj) =

∑

iTr(αiαj)xi. Je-li α ∈ S, padnou stopy Tr(ααj) do R. Determi-nant soustavy je roven d 6= 0 a podle Cramerova pravidla jsou řešení ti tvaruri/d, kde ri ∈ R je determinant matice, v níž je i–tý sloupec nahrazen sloupcem(Tr(αα1), . . . ,Tr(ααn))T. Vidíme tedy, že dα =

∑

riαi ∈ S. �

III.3.5 Lemma. Množina M ⊆ U je S–modul. Pro každé µ ∈ U∗ je µM ⊆ Urovněž S–modul a α 7→ µα je izomorfismus S–modulů M ∼= µM .Důkaz. Množina µM je zjevně uzavřená na součiny a násobky prvky S. Náso-bení prvkem µ je slučitelné jak se sčítáním, tak se skalárním násobením, takžejde o homomorfismus. Jeho jádro je ovšem triviální. �

Je dobré si uvědomit, že každý S–modul je současně R–modulem, a každýizomorfismus S–modulů je současně izomorfismem R–modulů. Podmoduly S–modulu jsou také R–podmoduly, takže S–modul, který je jako R–modul noethe-rovský, je noetherovský i jako S–modul. Proto z tvrzení III.3.4 a lemmatu III.3.5snadno dokážeme

III.3.6 Důsledek. Je-li obor R noetherovský, je noetherovský i obor S.

Důkaz. Podle lemmatu III.3.5 stačí dokázat, že je noetherovský R–modul dS,kde d je jako v tvrzení III.3.4. Podle tohoto tvrzení tomu tak vskutku je, neboťdS je podmodulem noetherovského R–modulu (viz lemmata I.1.6 a I.5.1). �

Předchozí důsledek využijeme až později. Nyní budeme, jak jsme již výšenaznačili, studovat situaci, kdy R je obor hlavních ideálů.

III.3.7 Tvrzení. Ať je R obor hlavních ideálů. Pak má U celistvou bázi.

Důkaz. Nechť α1, . . . , αn ∈ S tvoří bázi U nad T . Podle tvrzení III.3.4 jedS ⊆ Rα1+· · ·+Rαn, kde d = △(α1, . . . , αn). Ovšem Rα1+· · ·+Rαn =

∑

Rαi

je R–modul, ve kterém α1, . . . , αn je volnou bází. Proto je dS rovněž volnýR–modul hodnosti ≤ n (jak plyne z důsledku I.5.5 nebo z důsledku I.6.3).Podle lemmatu III.3.5 platí dS ∼= S. Protože S obsahuje volný R–modul

∑

Rαi

hodnosti n, je S ∼= dS hodnosti ≥ n, takže hodnost R–modulu S je přesně n. �

III.3.8 Věta. Ať je R obor integrity hlavních ideálů. Každý nenulový koneč-ně generovaný S–podmodul tělesa U je volným R–modulem hodnosti [U : T ].Speciálně má U celistvou bázi.

Důkaz. Ať M je nenulový konečně generovaný S–modul, který leží v U , a aťµ1, . . . , µt je nějaké množina jeho generátorů. Uvažme nenulové r ∈ R takové,že rµ1, . . . , rµk padne do S. Jeho existence plyne z lemmatu III.3.3. Pak M ∼=rM ⊆ S, takže M je volný modul hodnosti nanejvýš n = [U : T ]. Zvolíme-li

52

nenulové σ ∈ M , obdržíme S ∼= Sσ ⊆ M , takže M obsahuje volný R–modulhodnosti ≥ n. Hodnost M je tedy rovna n. �

V teorii čísel se často pracuje se situací, kdy R = Z a T = Q. Pak U jemožné chápat jako podtěleso algebraického uzávěru Q, a ten je možno pokládatza podtěleso C. Jinými slovy Q je těleso všech algebraických čísel. Místo U se vtéto situaci píše většinou K. Máme Q ≤ K < Q, neboť K je nad Q konečnéhostupně. Přitom o K hovoříme jako o číselném tělese (number field). Celistvýuzávěr Z v K se značí ZK a máme ZK = ZQ∩K. Prvkům ZQ se říká algebraickácelá čísla (algebraic integers).Uvažme nyní nějaký konečně generovaný ZK–modul M ⊆ K. Podle III.3.8

má strukturu volné abelovské grupy hodnosti n = [K : Q] a můžeme ho vy-jádřit jako Zα1 ⊕ · · · ⊕ Zαn, kde α1, . . ., αn je nějaká jeho volná báze. Je-li β1, . . ., βn nějaká jiná jeho volná báze a P přechodová matice vyjadřu-jící βj jako celočíselné kombinace αi, musí být P i P−1 matice celočíselné,z čehož vyplývá, že jejich determinant je roven ±1. Podle tvrzení II.5.6 je△(β1, . . . , βn) = (detP )2△(α1, . . . , αn), takže vidíme, že hodnota diskriminantu△(α1, . . . , αn) je nezávislá na volbě báze. Místo △(α1, . . . , αn) proto můžemepsát pouze △(M).Je-li M ′ ⊇ M další konečně generovaný ZK–modul obsažený v K, můžeme

najít bázi α1, . . ., αn modulu M ′ a kladná čísla r1, . . ., rn tak, že r1α1, . . .,rnαn je báze modulu M (to plyne například z lemmatu I.6.3). Pak r = r1 · · · rnje rovno |M ′/M | = |M ′ : M | a přechodová matice P (viz tvrzení II.5.6) mádeterminant rovný r. Můžeme vyslovit:

III.3.9 Tvrzení. Ať K je číselné těleso a ať M ⊆ M ′ ⊆ K jsou konečněgenerované nenulové ZK–moduly. Potom je index |M ′ :M | konečný a △(M) =|M ′ :M |2△(M ′). �

III.3.10 Důsledek. Ať α1, . . . , αn ∈ ZK , kde K je číselné těleso stupně n. Pakα1, . . ., αn tvoří celistvou bázi právě když |△(α1, . . . , αn)| je kladné a nejmenšímožné. �

III.4 Dedekindovy obory integrity

Okruh S nazvemeDedekindovým oborem, jde-li o celistvě uzavřený noetherovskýobor integrity, ve kterém je každý prvoideál maximálním ideálem.

III.4.1 Věta. Ať R je Dedekindův obor, T jeho podílové těleso a U separabilnírozšíření T konečného stupně. Potom celistvý uzávěr S oboru R v U je rovněžDedekindův obor. Speciálně platí, že ZK je Dedekindův obor pro libovolné číselnétěleso K.

Důkaz. Z důsledku III.3.6 plyne, že S je noetherovské. Je-li P prvoideál S, jeP ∩R prvoideál R. Tento provideál je maximální, protožeR je Dedekindův obor.Podle tvrzení III.2.12 je proto maximální i P v S. Z lemma III.3.3 plyne, že Uje podílové těleso S. Použijeme-li důsledek III.2.8 tak, že na místě T uvažujemeU , vidíme, že S musí být v U celistvě uzavřené. �

53

III.4.2 Lemma. Pro každý nenulový ideál I noetherovského komutativníhookruhu R existují prvoideály P1, . . ., Pr takové, že I ⊇ P1 · · ·Pr.

Důkaz. Je-li množina ideálů, pro které lemma neplatí, neprázdná, existuje mezinimi nějaký maximální vzhledem k inkluzi, neboť R je noetherovský. Označmeho I. Ten jistě není prvoideálem, a proto existují ideály A ) I a B ) I takové,že AB ⊆ I. Každý z ideálů A a B obsahuje součin prvoideálů, a proto takovýsoučin obsahuje i I. Dosáhli jsme sporu. �

Uvažme nyní nějaký Dedekindův oborR a ať T označuje jeho podílové těleso.

III.4.3 Lemma. Ať P je prvoideál Dedekindova oboru R. Položme P−1 =(R :T P ). Potom je každý nenulový ideál A okruhu R vlastní podmnožinoumnožiny

AP−1 = {∑

aipi; ai ∈ A a pi ∈ P−1}.

Důkaz. Máme P−1 = {t ∈ T ; tP ⊆ R}, takže R ⊆ P−1 a A je jistě podmno-žinou popsané množiny. Je třeba dokázat, že je to vlastní podmnožina. Nejprveukážeme, že R je vlastní podmnožina R–modulu P−1.Ať a je nenulový prvek P a ať P1 · · ·Pr ⊆ aR ⊆ P , kde P1, . . ., Pr jsou

prvoideály R a r je nejmenší možné. Protože P je prvoideál, tak je některýz P1, . . ., Pr obsažen v P . Můžeme proto předpokládat P1 ⊆ P . Protože P1je maximální, musí být P1 = P . Z minimality r vyplývá, že P2 · · ·Pr neníobsaženo v aR. Uvažme b ∈ (P2 · · ·Pr) \ aR. Pak a−1b 6∈ R. Na druhé straněbP = bP1 ⊆ P1 · · ·Pr ⊆ aR, takže (a−1b)P ⊆ R, z čehož plyne a−1b ∈ P−1 \R.Ať α1, . . ., αn je systém generátorů A jako R–modulu (připomeňme, že

A je konečně generované, protože R je noetherovské). Budeme předpokládatAP−1 = A a ukážeme, že tento předpoklad vede ke sporu. Pro každé u ∈ P−1

uvážíme matici U ∈ Mn,n(R), která vyjadřuje translaci u : A→ A, α 7→ uα,vůči generátorům α1, . . . , αn. Je tedy (uα1, . . . , uαn)T = U(α1, . . . , αn)T, takžepro V = uIn −U máme V (α1, . . . , αn)T = 0. Uvážíme-li adjunkt matice V , takz tvrzení III.1.5 vyplývá, že (detV )αi = 0 pro každé i, 1 ≤ i ≤ n. Vše probíháv tělese T , takže detV = 0 a u je kořenem monického polynomu det(xIn − U).Z toho plyne u ∈ R, takže P−1 = R, a to je spor s prvou částí důkazu. �

Označení P−1 pro (R :T P ) = {t ∈ T ; tP ⊆ R} budeme používat i nadále.Také množinu {∑ aipi; ai ∈ A a pi ∈ P−1} budeme i dále značit AP−1. Je-liA ⊆ P , je AP−1 zjevně ideál R.

III.4.4 Věta. Každý vlastní ideál I Dedekindova oboru R lze jednoznačně, ažna pořadí, vyjádřit jako součin prvoideálů P1 · · ·Pr.

Důkaz. Nejprve dokážeme, že PP−1 je rovno R. Pro každé t ∈ P−1 je tP ⊆ R,takže PP−1 ⊆ R. Protože PP−1 je R–modul, musí to být ideál R. Jelikož 1 ∈P−1 a P je maximální, máme dvě možnosti: buď PP−1 = P , nebo PP−1 = R.Prvá možnost je však vyloučena lemmatem III.4.3, volíme-li A = P .Buď nyní I nějaký vlastní nenulový ideál, který nelze vyjádřit jako součin

prvoideálů. Okruh R je noetherovský, a proto lze I zvolit tak, aby bylo vzhledem

54

k uvedené vlastnosti maximální. Pak I ⊆ P pro nějaký prvoideál P . Z I =IR = I(P−1P ) = (IP−1)P , P 6= I a IP−1 ⊆ PP−1 plyne, že IP−1 je vlastníideál R. Současně I je vlastní ideál R, podle lemmatu III.4.3. Protože I bylovoleno jako maximální co do nemožnosti vyjádření součinem prvoideálů, musíbýt IP−1 = P1 . . . Pr pro vhodné prvoideály P1, . . . , Pr. To ale vede ke sporu,neboť pak I = IR = (IP−1)P = P1 · · ·PrP .Zbývá dokázat jednoznačnost dekompozice. Ať I = P1 · · ·Pr = Q1 · · ·Qs.

Budeme postupovat indukcí dle r + s ≥ 2. Protože Q1 · · ·Qs ⊆ P1, musí býtQj ⊆ P1 pro nějaké j, 1 ≤ j ≤ s, neboť P1 je prvoideál. Odsud Qj = P1 a lzepředpokládat j = 1. Položme P = Q1 = P1, a dále ať P ′ = P2 . . . Pr pro r ≥ 2an P ′ = R pro r = 1. Podobně budiž Q′ = Q2 . . .Qs, je-li s ≥ 2, a Q′ = R je-lis = 1. Pak P ′ = RP ′ = P−1(PP ′) = P−1(PQ′) = Q′, takže lze použít indukčnípředpoklad. �

Ať je i nadále R Dedekindův obor integrity a ať je T jeho podílové těleso. Lo-meným ideálem T se rozumí každý nenulový konečně generovaný R–podmodulT .

III.4.5 Lemma. Nenulový R–podmodul A tělesa T je lomeným ideálem právěkdyž existuje c ∈ R, c 6= 0, takové, že cA je ideál R.

Důkaz. Jsou-li p1/q1, . . ., pk/qk generátory R–modulu A ⊆ T , je q1 · · · qkArovněž R–modul. Všechny prvky tohoto R–modulu padnou do R, takže jdeo ideál R.Je-li naopak cA ideál R, tak je cA konečně generovaný R–modul (to plyne

z toho, že R je noetherovský). Zobrazení a 7→ ca je isomorfismus R–modulů Aa cA, a proto je i A konečně generovaný. �

Nenulovým ideálům R se říká, jsou-li pojednávány souběžně s lomenými ide-ály, také ideály celistvé. Jsou-li A a B celistvé ideály, je AB = {∑ riaibi; ri ∈R, ai ∈ A a bi ∈ B} rovněž celistvý ideál. Všechny celistvé ideály tvoří ko-mutativní monoid, který má za podmonoid množinu všech hlavních celistvýchideálů.Při stejné definici součinu je AB lomený ideál, pokud A i B jsou lomené

ideály. Lomené ideály proto tvoří komutativní monoid, přičemž celistvé ideályjsou jeho podmonoid. Jednotkou je opět R.Pokud A je nenulový R–podmodul T , tak je i A−1 = (R :T A) = {b ∈

T ; bA ⊆ R} podmodulem T . Pro každé a ∈ A je aA−1 ⊆ R, takže A−1 jepodle III.4.5 lomeným ideálem. Současně máme AA−1 ⊆ R, takže k důkazunásledujícího tvrzení stačí ověřit opačnou inkluzi.

III.4.6 Tvrzení. Ať T je podílové těleso Dedekindova oboru integrity R. Potomje monoid IT všech lomených ideálů T grupa.

Důkaz. Požadované vlastnosti A−1 dokážeme postupně pro A = P celistvýprvoideál, pro A = P1 · · ·Pk celistvý ideál, který je součinem prvoideálů P1, . . .,Pk, a konečně pro A obecný lomený ideál, kde cA je celistvý pro nějaké c ∈ R,c 6= 0.

55

Je-li A = P , je P−1P = R, neboť P−1P je ideálR, který obsahuje maximálníideál P jako vlastní podmnožinu (viz lemma III.4.3). Je-li A = P1 · · ·Pk, takje B = P−1

1 · · ·P−1k inverzní prvek A. To znamená, že je BA = R, a proto je

B ⊆ A−1, takže stačí ukázat A−1 ⊆ B. Pro b ∈ A−1 máme bA ⊆ R, odkudbAB ⊆ RB = B. Jelikož AB = R, dostaneme b ∈ B, jak třeba.Ať je nyní A obecný lomený ideál, cA ⊆ R. Pak (cA)−1 = {b ∈ T ; bcA ⊆

R} = c−1{b ∈ T ; bA ⊆ R} = c−1A−1, takže (cA)−1cA = R dává (c−1A−1)(cA)= A−1A = R. �

Pro a ∈ R nenulové, je (aR)−1 = a−1R. To znamená, že pro b/c ∈ T , kdeb, c ∈ R, máme (b/c)R = (bR)/(cR). Hlavní lomené ideály aR, a ∈ T ∗, jsou tedyv IR rovny podílům hlavních celistvých ideálů.Je-li A obecný lomený ideál, tak pro nějaké c ∈ R je cA celistvý ideál, takže

z cA = (cR)A plyne, že každý lomený ideál je roven podílu dvou celistvých,přičemž za jmenovatel lze vždy zvolit ideál hlavní.

III.4.7 Tvrzení. Každý lomený ideál lze až na pořadí jednoznačně vyjádřitjako součin P r1

1 · · ·P rk

k , kde Pi je prvoideál a ri 6= 0, 1 ≤ i ≤ k, přičemž pro1 ≤ i < j ≤ k platí Pi 6= Pj.

Důkaz. Pokud bude P r11 · · ·P rk

k = Ps11 · · ·P sk

k , tak převedením záporných expo-nentů na druhou stranu rovnice dostaneme dvě různá vyjádření celistvého ide-álu. Jednoznačnost jeho vyjádření plyne z věty III.4.4, takže musí být r1 = s1,. . ., rk = sk. �

III.4.8 Důsledek. Grupa IT je isomorfní volné abelovské grupě s bází tvořenouvšemi prvoideály. �

Množinu všech hlavních lomených ideálů označíme PT (principal fractionalideals). Je to podgrupa IT , která je zjevně izomorfní grupě T ∗/R∗. KvocientClT = IT /PT se nazývá třídová grupa (class group).Pro hlavní lomené ideály máme aR = R právě když a je invertibilní prvek

R, tedy a ∈ R∗. Přirozeným způsobem tudíž dostáváme exaktní posloupnost

1→ R∗ → T ∗ → IT → ClT → 1.

Popsat strukturu ClT nějakým obecným způsobem se nezdá být možné. Rov-nost ClT = 1 nastává právě když každý lomený ideál T je hlavní, tedy právě kdyžkaždý ideál R je hlavní. Jinými slovy, ClT = 1 právě když je R obor integrity.Je-li T číselné těleso a R obor integrity všech algebraických celých čísel ob-

sažených v T , je T generováno R (existuje celistvá báze), takže ho lze ztotožnits podílovým tělesem R. V takovém případě je třídová grupa vždy konečná. Dů-kaz tohoto faktu se opírá o tzv. Minkowského teorii, které se též říká „geometriečíselÿ.

56

III.5 Mříže

Ať V značí reálný vektorový prostor konečné dimenze n. Podgrupu L Abelovygrupy V (+,−, 0) nazveme mříží, pokud existují e1, . . . , em ∈ V lineárně nezá-vislé a takové, že

L ={

∑

kiei; ki ∈ Z, kde 1 ≤ i ≤ m}

.

Mříž se nazývá úplná, je-li n = m. Množina {e1, . . . , em} není určena jed-noznačně, ale číslo m je grupou L jednoznačně dáno. Je rovno jednak dimenzipodprostoru, který generuje L, jednak velikosti volné báze volné Abelovy grupy,kterou L je.Základní buňkou mříže (vůči bázi e1, . . . , em) nazveme množinu

{

∑

λiei; 0 ≤ λi < 1, kde 1 ≤ i ≤ m}

.

(V angličtině se tato množina nazývá „fundamental meshÿ. Zvolený překladprozrazuje bezradnost, jak naložit se slovem „meshÿ. Toto slovo se zdá v našemkontextu odkazovat na význam „prázdný prostor uvnitř drátěné konstrukceÿ,čili na něco jako je naše pytlácké oko.)Topologie V přenesená z euklidovského prostoru Rn není závislá na volbě

báze V . Vektorový prostor V můžeme proto v dalším považovat za topologickýprostor. Podgrupa D Abelovy grupy V (+,−, 0) se nazývá diskrétní, je-li jejíkaždý bod izolovaný (má okolí, ve kterém není žádný další prvek D).

III.5.1 Lemma. Diskrétní podgrupa D vektorového prostoru V tvoří uzavřenoupodmnožinu V .

Důkaz. Předpokládejme, že existuje x ∈ V \D, jež leží v uzávěruD. Dokážeme,že každé okolí U bodu 0 (který samozřejmě v D leží) obsahuje nějaký nenulovýprvek D.Pro U zvolme U ′ ⊂ U tak, aby z a, b ∈ U ′ vždy plynulo a − b ∈ U . Dále

vybereme x1, x2 ∈ (x+ U ′) ∩D, x1 6= x2. Pak x1 − x2 ∈ D a současně

x1 − x2 = (x1 − x)− (x2 − x) ∈ U.

�

III.5.2 Tvrzení. Nechť V je konečně rozměrný reálný vektorový prostor. Pod-grupa V (+,−, 0) je diskrétní právě když je ve V mříží.

Důkaz. Je zřejmé, že každá mříž je diskrétní podgrupou V . Uvažme na-opak nějakou diskrétní podgrupu D Abelovy grupy V (+,−, 0) a vyberemee1, . . . , em ∈ D takové, že jde o vektory lineárně nezávislé, přičemž m je ma-ximální možné. Podgrupa L ⊆ D generovaná těmito vektory je mříží. Ať Boznačuje její základní buňku vůči e1, . . . , em. Pro každé d ∈ D zvolme ad ∈ L abd ∈ B, že d = ad + bd. Taková ad a bd musí existovat, neboť D leží ve vektoro-vém prostoru, který generují e1, . . . , em. Máme bd = d − ad ∈ B ∩D pro každé

57

d ∈ D a množina S = {bd; d ∈ D} je podle lemmatu III.5.1 bez hromadnéhobodu. Protože S leží uvnitř kompaktní množiny, musí S být množina konečná.Máme D = L+S, takže index |D : L| = q je konečný. Grupa D je proto konečnégenerovaná a má nějakou volnou bázi f1, . . . , fr. Podgrupa grupy D generovanáqf1, . . . , qfr je rovněž volná hodnosti r, takže z qD ⊆ L dostáváme r ≤ m. Rov-nost r = m pak plyne z toho, že r musí být rovno alespoň dimenzi vektorovéhopodprostoru, který D generuje. Dokázali jsme, že r je rovno dimenzi tohotopodprostoru, a proto jsou f1, . . . , fr nutně vektory lineárně nezávislé. Grupa Dje vskutku mříží. �

III.5.3 Lemma. Ať L je mříží ve V . Mříž L je úplná právě když lze naléztomezenou množinu B ⊆ V takovou, že V =

⋃

(a+B; a ∈ L).

Důkaz. Ať L je mříž, generovaná lineárně nezávislou množinou e1, . . . , em ∈ V .Je-li n = m = dim V , lze za B zvolit základní buňku L. Předpokládejme tedynaopak, že existuje B omezené takové, že množiny a+B pokrývají celé V .Zvolme nějaké x ∈ V . Cílem bude ukázat, že x leží ve vektorovém podpros-

toru generovaném e1, . . . , em. Tento podprostor označíme U . Je to uzavřenápodmnožina V , a ke každému ix, i ≥ 1 celé, lze nalézt ai ∈ U a bi ∈ B taková,že ix = ai + bi. Tudíž x = i−1ai + i−1bi a limita posloupnosti i−1bi je rovnanule, neboť bi ∈ B a B je omezená množina. Tím pádem je x roven limitěposloupnosti i−1ai. Každý prvek posloupnosti leží v U , takže z uzavřenosti Uvyplývá x ∈ U . �

Každá báze e = {e1, . . . , en} vektorového prostoru V poskytuje positivnědefinitní bilineární formu 〈u, v〉 = ∑αiβi, kde u =

∑

αiei a v =∑

βiei. Zto-tožnění u =

∑

αiei s (α1, . . . , αn) ∈ Rn dovoluje tuto bilineární formu chápatjako standardní skalární součin. Podobně můžeme skrze toto ztotožnění přenéstna V Lebesgueovu míru. Budeme ji značit vole nebo jen vol.Je známo, že pro rovnoběžnostěn A s vrcholy ai1 + ai2 + · · · + aik

, kdepro daná a1, . . . , an ∈ V probíhá i1, . . . , ik všechny celočíselné posloupnosti, ježsplňují 1 ≤ i1 < · · · < ik ≤ n, platí

vol(A) = | det(〈ai, aj〉)|1/2 = | det(aij)|,

kde aj =∑

aijei (označíme-li totiž matici (aij) jako P a matici (〈ai, aj〉) jakoS, tak platí S = PTP ).Je-li a = {a1, a2, . . . , an} báze, tak pro každou M ⊆ V měřitelnou platí

vola(M) = vol(A)−1vol(M). Budeme-li porovnávat vol(M1) a vol(M2), kdeM1i M2 jsou měřitelné množiny, není nutné specifikovat volbu báze e, neboť přijiné volbě se vol(M1) i vol(M2) mění o týž lineární faktor. (V tomto smyslu jetřeba chápat znění obou níže uvedených tvrzení.)

III.5.4 Lemma. Ať L je úplná mříž ve V a ať a = {a1, . . . , an} a b ={b1, . . . , bn} jsou dvě takové báze, že L = {∑ kiai; ki ∈ Z} = {∑ kibi; ki ∈ Z}.Označme po řadě A a B základní buňky L vůči bázím a a b. Potom vol(A) =vol(B).

58

Důkaz. Buď T přechodová matice od a k b, a ať S je přechodová matice od bk a. Protože a i b poskytují mříž L, musí být obě matice celočíselné. Současněje ST = TS = In, takže | detS| = | detT | = 1, a tedy vola(M) = volb(M)pro každé měřitelné M . Speciálně 1 = vola(A) = volb(B) = vola(B). Zbytek jezřejmý. �

Společná hodnota vol(A) a vol(B) se obvykle označuje vol(L).V dalším použijeme též fakt, že konvexní množiny jsou měřitelné. O M ⊆ V

řekneme, že je to množina středově souměrná, pokud pro každé x ∈ M platí−x ∈M .

III.5.5 Věta (Minkowského o mřížovém bodě). Ať L je úplná mříž v reál-ném vektorovém prostoru dimenze n. Potom každá středově souměrná konvexnímnožina M ⊆ V , která splňuje

vol(M) > 2nvol(L),

obsahuje alespoň jeden nenulový mřížový bod.

Důkaz. Budeme dokazovat, že z vol(M) > 2nvol(L) plyne existence x1, x2 ∈ Ltakových, že (x1 + 1/2M) ∩ (x2 + 1/2M) 6= 0 a x1 6= x2.Předpokládejme opak a ať A je základní buňka L. Množiny A∩(x+(1/2)M),

x ∈ L, jsou tedy po dvou disjunktní, takže vol(L) ≥∑x∈L vol(A∩(x+1/2M)).Posunutím o −x přejde A ∩ (x + (1/2)M) na (A − x) ∩ (1/2)M ; tyto množinymají stejnou velikost. Platí totiž V =

⋃

(x + A; x ∈ L) =⋃

(A − x; x ∈ L).S ohledem na

⋃

((A − x) ∩ (1/2)M ; x ∈ L) = (1/2)M tedy máme vol(L) ≥∑

vol((A− x) ∩ (1/2)M) ≥ vol((1/2)M) = 1/2nvol(M), což je spor.Ať tedy x1 + (1/2)y1 = x2 + 1/2(y2), kde x1 6= x2, a y1, y2 ∈ M . Pak

y = x1 − x2 = (1/2)y2 − (1/2)y1 leží ve středu úsečky spojující y2 a −y1, takžeje y ∈M . Současně y = x1 − x2 ∈ L. �

59

III.6 Rozšíření Dedekindových oborů

III.6.1 Lemma. Ať R je Dedekindův obor a ať P je prvoideál R. Potom jeR/P těleso a pro každé i ≥ 0 je P i/P i+1 vektorovým prostorem nad R/P , jehoždimenze je rovna jedné.

Důkaz. Vyjdeme z toho, že P i/P i+1 je R–modul. Protože P ·P i+1 = P i+1, takje tento modul možno chápat jako (R/P )–modul. Přitom R/P je komutativnítěleso, neboť P je maximální ideál.Podle III.4.4 máme P i 6= P i+1. Zvolme α ∈ P i \ P i+1 a položme A =

αR + P i+1. Naším cílem je ukázat A = P i. Předpokládejme P i+1 ( A ( P i avynásobme všechny ideály tohoto řetězce lomeným ideálem P−i. Podle tvrzeníIII.4.6 je P ( A ·P−i ( R. Lomený ideál, který leží v R, je (celistvým) ideálemR. Obdrželi jsme spor s maximalitou P . �

V kapitole III.4 jsme dokázali, že ZK je Dedekindův obor pro každé číselnétěleso K. Úvahy v důkazu použité lze zobecnit na případ, kdy R je Dedekindůvobor (potom je R, mimo jiné, celistvě uzavřené ve svém podílovém tělese T ),U je separabilní rozšíření T konečného stupně a S je celistvý uzávěr R v U .Uvidíme, že pak je i S Dedekindův obor. Tak tomu je dokonce i v případě, kdyse nepředpokládá separabilita U nad T ; to však zde dokazovat nebudeme.Označení R, S, T a U budeme v uvedeném významu používat i nadále.

Hlavním cílem této kapitoly ovšem není důkaz toho, že S je Dedekindův obor,nýbrž vztahy prvoideálů p ⊆ R a prvoideálů P ⊆ S, které p obsahují. Dosaženévýsledky se samozřejmě aplikují zejména na případy R = Z a S = ZK . Prosprávné uchopení vztahů logické závislosti se však zdá být vhodné je dokázatv odpovídajícím stupni obecnosti.

III.6.2 Lemma. Okruh S je noetherovský R–modul. Pro každé α ∈ U lze naléztnenulové r ∈ R takové, že rα ∈ S.

Důkaz. Existence r ∈ R je dokázána v úvahách před tvrzením III.3.4, při-čemž z tvrzení III.3.4 vyplývá, že S ⊆ (Rα1 + · · ·Rαn)d−1 = R(d−1α1) + · · ·+R(d−1αn), kde α1, . . . , αn ∈ S tvoří nějakou bázi U nad T a d = △(α1, . . . , αn)je diskriminant. Vidíme, že S je podmodul konečně generovaného (a tedy no-etherovského) R–modulu, a proto běží rovněž o noetherovský R–modul. �

III.6.3 Lemma. Celistvý uzávěr S Dedekindova oboru R v tělese U , kteréje separabilním rozšířením konečného stupně podílového tělesa T oboru R, jerovněž Dedekindův obor.

Důkaz. Z lemmatu III.6.2 vidíme, že U je možné považovat za podílové tělesoS a že S je noetherovský okruh. Z důsledku III.2.8 plyne, že S je rovné svémucelistvému uzávěru v U . Proto je S v U celistvé uzavřené. Zbývá dokázat, ženenulové prvoideály jsou maximální.Ať je tedy P nenulový prvoideál S, a ať p = P ∩ R. Z Zornova lemmatu

plyne existence J ⊇ P, J maximální ideál S. Naším cílem je dokázat J = P, tedydovést ke sporu existenci α ∈ J \ P.

60

Víme, že J ∩ R je provideál R, takže J ∩ R = p. Indukcí dle m dokážeme,že pro každý polynom

∑

rixm−i ∈ R[x] stupně m z γ =

∑

riαm−i ∈ P plyne

ri ∈ p, 0 ≤ i ≤ m. Případ m = 0 je zřejmý, budiž m ≥ 1 a uvažme γ − rm =α(∑

riαm−1−i) ∈ J. Máme rm = γ − (γ − rm) ∈ J∩R = p, takže γ − rm ∈ P a

z α 6∈ P plyne ∑ riαm−1−i ∈ P, 0 ≤ i ≤ m− 1. Podle indukčního předpokladu

padnou všechna ri do p. Tím je indukce dokončena a kýžený spor obdržíme,zvolíme-li za

∑

rixm−i minimální polynom s kořenem α. Ten je totiž monický

a 1 nepatří do p. �

Poznamenejme, že separabilita U nad T byla potřebná v důkaze lemmatuIII.6.2, a to díky použití tvrzení III.3.4.

III.6.4 Lemma. Ať p je nenulový prvoideál R. Potom je pS vlastní ideál S apro prvoideál P okruhu S platí p = P ∩R právě když se P vyskytuje v rozkladupS na součin kladných mocnin prvoideálů.

Důkaz. Zvolme x ∈ p \ p2. Pak xR = pa pro nějaký (ne nutně vlastní) ideála okruhu R, který nepadne do p. Proto R = p+ a, takže 1 = b + a pro nějakáb ∈ p a a ∈ a. Máme a 6∈ p a ap ⊆ ap = xR.Předpokládejme nyní pS = S. Potom je aS = apS ⊆ xS, takže a = xy pro

nějaké y ∈ S. Z a, x ∈ R ⊆ T plyne y = ax−1 ∈ T ∩ S = R. Z x ∈ p a y ∈ Rmáme a ∈ p, což je spor. Vidíme, že pS je vlastní ideál S.V rozkladu pS na kladné mocniny prvoideálů se P vyskytuje právě když

pS ⊆ P, což dává p ⊆ R ∩ P. Ovšem p ⊆ R ∩ P právě když p = R ∩ P, neboťR ∩ P je prvoideál R. Z p = R ∩ P naopak samozřejmě plyne pS ⊆ P. �

Prvoideál p okruhu R se často ztotožňuje s ideálem pS okruhu S. Je-li pS =P

e11 . . .P

err a P = Pi, 1 ≤ i ≤ r, nazývá se ei ramifikačním indexem (ukazatelem

větvení) prvoideálu P.Stupeň inertnosti (nehybnosti) P nad p se definuje jako stupeň rozšíření

tělesa R/p tělesem S/P. (Přitom R/p chápeme jako podtěleso S/P ztotožněnímR/p = R/R ∩ P s RP/P.)Je-li p = Pe1

1 . . .Perr , tak se pro označení stupně inertnosti Pi nad p používá

fi.

III.6.5 Tvrzení. Pro každý nenulový prvoideál p okruhu R platí (takzvaná)fundamentální rovnost

∑

eifi = n = [U : T ].

Důkaz. Z čínské věty o zbytcích máme S/pS ∼= ⊕S/Pei

i , přičemž z p ⊆ pS plyne,že tento isomorfismus lze chápat i jako isomorfismus vektorových prostorů nadtělesem F = R/p.Chápeme-li S/Pei

i jako vektorový prostor nad S/Pi, je jeho dimenze dle lem-matu III.6.1 rovna ei. Dimenze S/P

ei

i nad F je proto rovna eifi a vidíme, žefundamentální rovnost obdržíme srovnáním dimenzí na obou stranách isomor-fismu, pokud ověříme, že S/pS má jako vektorový prostor nad F dimenzi n.Vybereme ω1, . . . , ωm ∈ S taková, že ω1 + pS, . . . , ωm + pS je báze S/pS, abudeme dokazovat, že ω1, . . . , ωm je nutně bází U nad T .

61

Předpokládejme nejprve, že ω1, . . . , ωm jsou nad T lineárně závislé. Pakpodle lemmatu III.6.2 existují r1, . . . , rm ∈ R taková, že

∑

riωi = 0 a ideálI okruhu R generovaný r1, . . . .rm je nenulový. Zvolme ρ ∈ I−1 \ I−1p. Pakρr1, . . . , ρrm leží v R a generují ideál ρI, který neleží v p (z ρI ⊆ p bychom měliρ ∈ pI−1). To znamená, že alespoň jedno ρri nepadne do p, takže poskytujenenulový koeficient vůči F = R/p, a to je spor s volbou ω1, . . . , ωm.Uvažme nyní R–modul M = Rω1 + · · ·+Rωm. Podle lemmatu III.6.2 stačí

ukázat M ⊇ dS pro nějaké nenulové d ∈ R, neboť každé α ∈ U lze pak získatjako podíl prvku z dS a prvku z R. InkluziM ⊇ dS budeme dokazovat ve forměd(S/M) = 0. Podle lemmatu III.6.2 je S, a tím pádem i S/M , noetherovský R–modul. Prvky ω1, . . . , ωm generují S modulo pS, takže S =M+pS a p(S/M) =S/M .Ať je β1, . . . , βq nějaký systém generátorů S/M . Pak existuje q × q ma-

tice (pij) prvků z p taková, že βi =∑

j pijβj . Označme B matici (pij) − Iq apoložme d = detB. Počítáno modulo p je d rovno (−1)q, a proto je d 6= 0.Označme A adjunkt matice B. Podle tvrzení III.1.5 je AB = dIq . Současně aleB(β1, . . . , βq)T = 0, takže dβ1 = · · · = dβq = 0, a tím pádem d(S/M) = 0. �

Poznamenejme, že použitá závěrečná úvaha používá argumentaci, kterou lzepoužít i při důkazu Nakayamova lemmatu.Je-li X podokruh komutativního okruhu Y , je {y ∈ Y ; yY ⊆ X} = (X : Y )

ideál Y , který je obsažen vX . Každý ideál Y obsažený vX zjevně v (X : Y ) leží,takže (X : Y ) je největším ideálem Y , který je vX obsažen. V číselněteoretickémkontextu se mu říká průvodič (conductor) X . Uvidíme, že v mnoha důležitýchsituacích je průvodič ideál nenulový.Uvědomme si, že pokud je Y generován jako X–modul prvky y1, . . . , yn, tak

je (X : Y ) rovno⋂

(X : yi), 1 ≤ i ≤ n, kde (X : yi) = {y ∈ Y ; yyi ∈ X}.

III.6.6 Lemma. Ať X je podokruh S, který obsahuje R, a ať α1, . . . , αn ∈ Xtvoří bázi U nad T . Potom je průvodič (X : S) nenulový.

Důkaz. Dokážeme nenulovost R ∩ (X : S) = (X :R S), což je ideál R rovný⋂

(X :R ωj), 1 ≤ j ≤ m, kde {ω1, . . . , ωm} je nějaká množina generátorů Schápaného jako R–modul (viz lemma III.6.2). Protože pro každé ω ∈ S je (X :Rω) = {r ∈ R; rω ∈ X} ideálem R, stačí dokázat, že tento ideál je pro každé ω ∈S nenulový. To ovšem snadno odvodíme úvahou o lineární závislosti množiny{α1, . . . , αn, ω}, z níž vyplývá existence ri ∈ R, 1 ≤ i ≤ n, a r ∈ R, r 6= 0,takových, že rω =

∑

riαi ∈ X . �

III.6.7 Lemma. Ať I = Pe11 . . .P

ek

k je ideál S, kde Pi jsou prvoideály a ei ≥ 1,1 ≤ i ≤ k, a ať p je prvoideál R. Pak I ∩ R ⊆ p právě když p = Pi ∩ R proněkteré i, 1 ≤ i ≤ k.

Důkaz. Z I = Pe11 . . .P

ek

k plyne I ∩ R =⋂

(Pei

i ∩ R; 1 ≤ i ≤ k), takže jistěI ∩ R ⊆ Pi ∩ R. Protože Pi ∩ R ⊇ Pei

i ∩ R ⊇ (Pi ∩ R)ei , musí existovat e′i,1 ≤ e′i ≤ ei, taková, že P

ei

i ∩ R = (Pi ∩ R)e′i . Vidíme, že I ∩ R je součinem

mocnin prvoideálů Pi ∩R, 1 ≤ i ≤ k. �

62

III.6.8 Důsledek. Ať I je ideál S a ať p je nenulový prvoideál R. Jsou-liideály I a pS nesoudělné (tj. I + pS = S), jsou nesoudělné i ideály I ∩ R a p(tj. I ∩R+ p = R).

Důkaz. Ať P1, . . . ,Pk jsou jako v lemmatu III.6.7. Podle něj nesoudělnost I∩Ra p znamená, že je p 6= Pi∩R, 1 ≤ i ≤ k. Ovšem kdyby některá z těchto rovnostínastala, bylo by jak I ⊆ Pi, tak pS ⊆ Pi, dle lemmatu III.6.4. �

63

IV Minkowského teorie

IV.1 Číselná tělesa

V této kapitole připomeneme některé poznatky z předchozích částí, které setýkají číselných těles.Připomeňme, že komutativní těleso K se nazývá číselným tělesem, je-li cha-

rakteristiky nula a je-li konečného stupně nad svým prvotělesem. Tato definiceje alternativou vůči definici v kapitole III.3, neboť prvotěleso K je isomorfní Q,takže K lze považovat za mezitěleso Q ≤ K < C, [K : Q] <∞.Všechny prvky K jsou algebraická komplexní čísla, přičemž ta z nich, která

jsou algebraická celá (jsou kořenem monického celočíselného polynomu), tvořícelistvý uzávěr Z v K; značíme ho ZK .Připomeňme, že obecně se diskriminant v konečném separabilním rozšíření

U |T s bází α1, . . . , αn definuje jako determinant matice (TrU|T (αiαj)) a že ho al-ternativně lze obdržet jako čtverec determinantu matice (gi(αj)), kde g1, . . . , gn

jsou všechny T –homomorfismy U→ U (viz II.5.5). Přitom z tvrzení II.5.6 víme,že hodnota diskriminantu je vždy nenulová.V číselných tělesech je význam diskriminantu umocněn tím, že v jistém

smyslu nezávisí na výběru báze. To vyplývá z věty III.3.8 a z úvah, které zaní následují. Připomeneme je.Okruh ZK je jako Abelova grupa konečně generovaný, proto je konečně gene-

rovanou Abelovou grupou i každý jeho ideál (takže ZK je noetherovský okruh).Volná báze ZK jakožto Z–modulu (tedy jako Abelovy grupy) se nazývá celistvábáze. Každý prvek K má celočíselný násobek, který padne do ZK . Proto je veli-kost číselné báze nutně rovna n = [K : Q]. Z úvah o determinantu přechodovýchmatic (tvrzení II.5.6) pak vyplývá, že hodnota diskriminantu △(ZK) na volběcelistvé báze nezávisí.Je-li I nenulový ideál, tak je velikost jeho celistvé báze rovněž n = [K : Q].

Důvod je přímočarý: zobrazení x 7→ cx je pro každé c ∈ ZK , c 6= 0, isomorfis-mus ZK a hlavního ideálu cZK . Hodnost nenulového ideálu I (jakožto Abelovygrupy) je tedy uzavřena mezi shodnými hodnostmi cZK a ZK , kde cZK ⊆ I.Pro ideál I platí stejné úvahy o determinantu přechodové matice, a proto

je velikost jeho diskriminantu nezávislá na volbě celistvé báze. Píšeme △(I) amáme

△(I) = |ZK : I|2△(ZK),

kde význam |ZK : I| lze snadno přiblížit, neboť z teorie konečně generovanýchAbelových grup plyne, že I má celistvou bázi, jejíž prvky jsou celočíselnýminenulovýni násobky nějaké celistvé báze ZK .Protože ZK je Dedekindův a protože lomené ideály ZK mají podle lemmatu

64

III.4.5 strukturu volného Z–modulu hodnosti n = [K : Q], vidíme, že diskrimi-nant △(I) je definován i pro ideály lomené, a že pro I ′ ⊆ I dva lomené ideályplatí

△(I ′) = |I : I ′|△(I).Index |ZK : I|, kde I je ideál okruhu ZK , se často označuje N(I) a nazývá

absolutní normou ideálu I. Důvod této terminologie vyplývá z následujícíhotvrzení.

IV.1.1 Lemma. Ať je I hlavní ideál okruhu ZK generovaný prvkem α. Potom

|ZK : I| = |NK|Q(α)|.

Důkaz. Uvažme nějakou bázi e1, . . . , en tělesa K nad Q. Podle definice normyje NK|Q(α) rovno determinantu matice A = (aij), kde αej =

∑

i aijei. Zvolmee1, . . . , en tak, aby šlo o celistvou bázi ZK . Sloupcové vektory matice A paktvoří celistvou bázi ideálu I.Matici A můžeme chápat jako přechodovou matici od báze e1, . . . , en k

bázi αe1, . . . , αen. Z věty o podgrupách konečně generované beztorzní abelov-ské grupy plyne, že výběr celistvé báze e1, . . . , en lze provést také tak, abyd1e1, . . . , dnen byla celistvá báze ideálu I, kde di ≥ 1 jsou celá čísla, 1 ≤ i ≤ n.Matice přechodu mezi dvěma celistvými bázemi ideálu I má determinant

rovný ±1, takže determinant matice A a determinant diagonální matice, kterámá na digonále hodnoty d1, . . . , dn, se musí až na znaménko shodovat. Ovšemd1 · · · dn = |ZK : I|. �

IV.1.2 Tvrzení. Ať I = P r11 · · ·P rk

k je faktorizace ideálu I okruhu ZK naprvoideály. Potom

N(I) = N(P1)r1 · · ·N(Pk)

rk .

Důkaz. Podle čínské věty o zbytcích je ZK/I ∼= ZK/Pr11 ⊕ · · ·⊕ZK/P

rk

k , takžeN(I) = N(P r1

1 ) · · ·N(P rk

k ). Stačí tedy ukázat N(P j) = (N(P ))j , pro každýprvoideál P a každé j ≥ 1. Ovšem N(P j) = |ZK : P j | = |ZK : P | · |P :P 2| · · · |P j−1 : P j |. Podle Lemmatu III.6.1 je |ZK/P | = |P i−1/P i| pro každéi ≥ 1. �

IV.1.3 Tvrzení. Pro každou konstantu C > 0 platí, že existuje pouze konečněmnoho ideálů I daného okruhu ZK , jež splňují N(I) < C.

Důkaz. Z tvrzení IV.1.2 plyne, že stačí dokázat existenci omezeného počtuprvoideálů P , jež splňují N(P ) < C. Průnik P∩Z je prvoideál Z, a tedy roven pZpro nějaké prvočíslo p. Protože ZK/P je těleso, musí být N(P ) = |ZK : P | rovnonějakému pf , f ≥ 1. Stačí tedy pro každé prvočíslo p < C dokázat omezenýpočet prvoideálů P , jež splňují P ∩ Z = pZ. Tato podmínka je ekvivalentnípodmínce p ∈ P , tedy pZK ⊆ P . Tu splňují právě ty prvoideály P , jež sevyskytují v prvoideálovém rozkladu pZK . Takových prvoideálů je samozřejmějen konečně mnoho. �

65

IV.2 Prostor Minkowského

Minkowského přístup, ve kterém se prvky číselného tělesa K stupně n považujíza body n–rozměrného prostoru, se často nazývá „geometrie číselÿ.

IV.2.1 Lemma. Ať D = {(u, v) ∈ C × C; v = u} a ať G:D→R2, G(u, v) =(a, b) pro každé u = a + ib ∈ C. Pak je G isomorfismus reálných vektorovýchprostorů a pro (u1, v1), (u2, v2) ∈ D je souřadnicový skalární součin G(u1, v1) aG(u2, v2) roven (u1u2 + v1v2)/2.

Důkaz. Prvá část důkazu je zřejmá, druhá je patrná, zapíšeme-li u1 jako a1 +ib1 = v1 a u2 jako a2 + ib2 = v2. Pak u1u2 = (a1a2 + b1b2) − i(a1b2 − a2b1),zatímco v1v2 = (a1a2 + b1b2) + i(a1b2 − a2b1). �

Definujme nyníKC jako komplexní vektorový prostor tvořený všemi n–ticemi(ug; g ∈ Hom(K,C)). Jeho dimenze je rovna n; pořadí zápisu n–tic však neu-pravujeme. Množina Hom(K,C) zde tedy vystupuje jako množina indexů. Vyu-žijeme toho, že na této množině je definována involuce g 7→ g, kde g(α) = g(α)pro každé α ∈ K.Pevné body této involuce jsou reálné homomorfismy, neboť zobrazují K do

R. Ostatním homomorfismům se říká komplexní.Na KC uvážíme jednak hermitovský součin 〈u, v〉 =

∑

ugvg, jednak involuciF : (ug; g ∈ Hom(K,C)) 7→ (ug; g ∈ Hom(K,C)). Zobrazení F tedy měníhodnotu ug na číslo komplexně sdružené, a získaná hodnota je přiřazena indexug.

IV.2.2 Lemma. Ať u, v ∈ KC. Pak 〈F (u), F (v)〉 = 〈u, v〉.

Důkaz. Uvažme (ug) a (vg), kde g ∈ Hom(K,C). Pak 〈u, v〉 = ∑

ugvg =∑

ugvg = 〈F (u), F (v)〉. �

IV.2.3 Důsledek. Ať u, v ∈ KC. Z F (u) = u a F (v) = v plyne 〈v, u〉 = 〈u, v〉 ∈R.

Komplexní vektorový prostor KC lze samozřejmě považovat také za reálnývektorový prostor. Zobrazení F je automorfismus tohoto reálného vektorovéhoprostoru, neboť zjevně F (u+ v) = F (u)+F (v) a F (λu) = λF (u) pro u, v ∈ KC

a λ ∈ R. Množina pevných bodů F je tudíž reálný vektorový podprostor KC

a hermitovský součin 〈 , 〉 indukuje na tomto podprostoru součin skalární, dledůsledku IV.2.3. Označíme ho KR.Reálný vektorový prostor KR vybavený popsaným skalárním součinem se

nazývá Minkowského prostor. Metriku odvozenou od jeho skalárního součinubudeme nazývat metrikou kanonickou, a budeme ji značit vol.Prvky KR jsou tedy ty n–tice (ug; g ∈ Hom(K,C)), že ug = ug. Pro reálný

homomorfismus g tento vztah znamená ug ∈ R.Počet reálných homomorfismů se obvykle značí r a počet dvojic komplexně

sdružených komplexních homomorfismů se obvykle označuje s. Je tedy n =r + 2s.

66

IV.2.4 Tvrzení. Ať Σ ⊆ Hom(K,R) obsahuje všech r reálných homomorfismůa ať z každé z s dvojic komplexně sdružených homomorfismů obsahuje právějeden homomorfismus. Definujme G:KR→Rr+2s, (ug) 7→ (ag) tak, že ag = ug

pro g ∈ Σ reálné a (ag, ag) = (Re(ug), Im(ug)) pro g ∈ Σ komplexní.Položme τg = 1 pro reálné g ∈ Hom(K,C) a τg = 2 pro g komplexní.

Definujeme-li na Rr+2s skalární součin 〈−,−〉 tak, že pro (ag), (bg) ∈ Rr+2s je〈a, b〉 =∑ τgagbg, je G isomorfismus i vzhledem ke skalárnímu součinu.

Důkaz. Prvá část lemmatu plyne z definice KR. Druhou lze odvodit z lemmatuIV.2.1. �

Jednotková krychle ve skalárním součinu 〈a, b〉 = ∑ τgagbg má takové vr-choly (eg), g ∈ Hom(K,C), že eg ∈ {0, 1} pro g reálný a eg ∈ {0, 1/

√2} pro

g komplexní. Její objem ve standardním skalárním součinu je tedy 2−s, takžemůžeme vyslovit

IV.2.5 Důsledek. Ať je vol0 standardní míra v Rr+2s. Pak pro každou měři-telnou množinu M ⊆ KR platí vol(M) = 2svol0(G(M)).

Na KC lze přirozeně definovat stopu Tr:KC →C, (ug) 7→∑

ug. Jde o line-ární formu, která splňuje Tr(F (u)) = Tr(u), takže při zúžení na KR dostávámelineární formu Tr:KR→R.Definujme f :K → KC tak, že f(α) = (g(α); g ∈ Hom(K,C)). Hodnota

odpovídající indexu g je rovna g(α) = g(α), takže F (f(α)) = f(α) pro každéα ∈ K, a tedy Im(f) ⊆ KR.Z tvrzení II.5.2 okamžitě máme

IV.2.6 Lemma. Ať α ∈ K. Potom Tr(f(α)) = TrK|Q(α).

IV.2.7 Tvrzení. Je-li I nenulový ideál Zk, pak je f(I) úplnou mříží v KR avolf(I) =

√

|△(I)|.Důkaz. Uvažme celistvou bázi α1, . . . , αn ideálu I. Vidíme, že f(I) je rovnoceločíselným kombinacím prvků f(α1), . . . , f(αn). Podle lemmatu II.5.5 je △(I)rovno (det(M))2, kde M = (gi(αj)), Hom(K,C) = {g1, . . . , gn}. Protože △(I)je celé a nenulové, a protože sloupcové vektory matice M jsou po řadě rovnyf(α1), . . . , f(αn), musí být tyto vektory lineárně nezávislé. Vidíme, že f(I) jev KR vskutku mříží.Matice (〈f(αi), f(αj)〉) má na pozici (i, j) hodnotu

∑

k gk(αi)gk(αj), takžeje rovna MTM (pro srovnání připomeňme, že MTM dává matici (Tr(αiαj))).

Tudíž vol(f(I)) =√

| det(MTM)| =√

| det(M)|2 =√

|(det(M))2| =√

|△(I)|. �

IV.2.8 Tvrzení. Ať je I nenulový ideál Zk a ať cg, g ∈ Hom(K,C), jsou kladnáreálná čísla, cg = cg. Je-li (2/π)s

√

|△(I)| <∏ cg, existuje α ∈ I, α 6= 0, jež provšechna g ∈ Hom(K,C) splňuje |g(α)| < cg.

Důkaz. Položme M = {(ug) ∈ KR; |ug| < cg pro všechna g ∈ Hom(K,C)}. AťG:KR→Rr+2s je stejné jako v tvrzení IV.2.4. Potom

G(M) = {(ag), |ag| < cρ a a2ρ + a2ρ < c2ρ},

67

kde ρ odkazuje na reálné homomorfismy g a σ vybírá z každé dvojice {g, g}komplexních homomorfismů právě jeden.Objem G(M) ve standardní metrice vol0 je

∏

ρ(2cρ)∏

σ(πc2σ), což podle

důsledku IV.2.5 dává vol(M) = 2r+sπs∏

cg. Máme tedy

vol(M) > 2n√

|△(I)| = 2nvol(f(I)).Podle Minkowského věty o mřížovém bodě vM leží některý z bodů (g(α); g ∈

Hom(K,C)), kde α ∈ I, α 6= 0. Příslušnost tohoto bodu k M znamená |g(α)| <cg, pro všechna g ∈ Hom(K,C). �

IV.2.9 Tvrzení. Ať I je nenulový ideál číselného tělesa K. Pak existuje α ∈ I,α 6= 0, takové, že

|NK|Q(α)| ≤ (2/π)s√

|△(I)|.Důkaz. Norma NK|Q(α) je pro každé α ∈ I celé číslo (viz např. tvrzení III.3.2).Proto stačí dokázat |NK|Q(α)| < E, kdeE = ǫ+(2/π)s

√

|△(I)| a ǫ > 0 je vhodnězvolené. Zvolme cg > 0 reálná tak, že cg = cg, g ∈ Hom(K,C), a ∏ cg = E.Podle tvrzení IV.2.8 můžeme nalézt α ∈ I, α 6= 0, takové, že |g(α)| < cg,g ∈ Hom(K,C). To ovšem znamená, že |NK|Q(α)| =

∏ |g(α)| < E. �

Ze vztahu△(I) = |ZK : I|2△(ZK) vyplývá, že√

|△(I)| =√

|△(ZK)||ZK : I|,kde |ZK : I| píšeme též jako N(I) (viz kapitola IV.1).Položíme-li C = (2/π)s

√

|△(ZK)|, tak z lemmatu IV.1.1 a tvrzení IV.2.9vyplývá, že existuje α ∈ I, α 6= 0, jež splňuje |NK|Q(α)| = |N(αZK)| < CN(I).Podle tvrzení IV.1.3 existuje jen konečně mnoho ideálů I s N(I) ≤ C. Tato

fakta nám dopomohou k důkazu

IV.2.10 Věta. Třídová grupa ClK číselného tělesa K je vždy konečná.

Důkaz. Ať J je nenulový lomený ideál. Podle předchozího bude stačit, kdyždokážeme, že J je možné vyjádřit jako (βZK)I = βI, kde β ∈ K a kde I je(celistvý) ideál, jenž splňuje N < CUvažme γ ∈ ZK , γ 6= 0, takové, že γJ−1 je celistvý ideál (viz lemma III.4.5)

a ať α ∈ γJ−1 splňuje |N((αZK )(γJ−1))| ≤ C. Přitom I = (αZK)(γJ−1)−1 =αγ−1J je ideál celistvý a J = (γα−1)I. (Celistvost I vyplývá z toho, že α0J

−10

je celistvý kdykoliv J0 je celistvý a α0 ∈ J0, neboť z α0ZK ⊆ J0 plyne αJ−10 ⊆

J0J−10 = ZK .) �

Řádu třídové grupy ClK se říká třídové číslo (class number) a značívá se hK .Jeho hodnota (i struktura ClK) se jeví být velice těžko odhadnutelná.Je známo, že okruh algebraických celých kvadratického tělesa Q(

√d) je pro

d < 0, d nedělitelné čtvercem, obor hlavních ideálů (tj. má hK = 1) právě prod = −1,−2,−3,−7,−11,−19, −43,−67,−163.Pro Q(

√d), 2 ≤ d < 100 nedělitelné čtvercem, dostáváme obory hlavních

ideálů pro d = 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 14, 17, 19, 21, 22, 23, 29, 31, 33, 37, 38, 41, 43, 46,47, 53, 57, 59, 61, 62, 67, 69, 71, 73, 77, 83, 86, 89, 93, 94, 97. Je však otevřenou o-tázkou, zda Q(

√d), d bez čtvercových dělitelů, je oborem hlavních ideálů pro

nekonečně mnoho d > 1.

68

Historicky vzato je zkoumání Velké Fermatovy věty spjato se zkoumánímstruktury cyklotomického okruhu Z[ξp], kde ξ = ξp je p–tá odmocnina z jedné.Rovnost yp = zp − xp lze totiž zapsat jako

y · · · y = (z − x)(z − ξx) · · · (z − ξp−1x)

a z toho lze odvodit spor v případě, že Z[ξp] je oborem hlavních ideálů. Argu-mentaci lze prodloužit i na situaci, kdy p nedělí třídové číslo hp, avšak pro p | hp

se naznačený postup použít nepodařilo. Prvočísla s p ∤ hp se nazývají regulární,ostatní jsou iregulární. Pro p < 100 jsou iregulární prvočísla 37, 59 a 67.

69

IV.3 Dirichletova věta o jednotce

Začneme multiplikativní verzí teorie Minkowského. Ta vychází z multiplikativnígrupy K∗

C =∏

g(C∗; g ∈ Hom(K,C)), kterou budeme zobrazovat na ∏g(R; g ∈

Hom(K,C)) pomocí ℓ:C∗→R, z 7→ log |z|.Vidíme, že ℓ :

∏

g C∗ →∏

g R je homomorfismus komutativních grup, kterýpřevádí multiplikativní notaci na aditivní. Jeho jádrem jsou n–tice (zg; g ∈Hom(K,C), kde |zg| = 1 pro každé g (i nadále předpokládáme n = [K : Q]).Definujeme-li N :K∗

C → C∗, (zg; g ∈ Hom(K,C)) 7→ ∏

zg a Tr :∏

g R → R,(xg; g ∈ Hom(K,C)) 7→

∑

xg, vidíme, že je ℓN = Tr ℓ.Definujme f :K∗ →K∗

C stejně jako v předchozí kapitole, f(α) = (g(α); g ∈Hom(K,C)). Pak NK|Q(α) =

∏

g(α) = N(f(α)), takže diagram

K∗f

//

NK|Q

��

K∗C

ℓ//

N

��

∏

g R

Tr

��

Q∗ // C∗ ℓ// R

komutuje. Na K∗C přeneseme definici F s předchozí kapitoly, tedy F (zg; g ∈

Hom(K,C)) = (zg; g ∈ Hom(K,C)). Z kapitoly IV.2 víme, že F (f(α)) = f(α)pro každé α ∈ K. Chápeme-li F na K∗ jako identitu a na C∗ jako z 7→ z, vidíme,že je f ◦F = F ◦ f , N ◦F = F ◦N a NK|Q ◦F = F ◦NK|Q. K tomu, aby platilyvztahy komutování i v ostatních případech, je třeba na

∏

g R definovat F tak,

že F (xg; g ∈ Hom(K,C)) = (xg ; g ∈ Hom(K,C)). Pak je jak F ◦ ℓ = ℓ ◦F , takTr ◦F = F ◦ Tr.Je-li ϕ některý z homomorfismů v uvedeném diagramu, tak z F (x) = x plyne

F (ϕ(x)) = ϕ(F (x)) = ϕ(x), takže dostáváme komutativní diagram

K∗f

//

NK|Q

��

K∗R

ℓ//

N

��

[∏

g R]+

Tr

��

Q∗ // R∗ ℓ// R

kde [∏

g R]+ = {xg ∈∏g R;xg = xg pro každé g ∈ Hom(K,C)}.Podobně jako v základní aditivní verzi, i zde prostor [

∏

g R]+ zobrazímena „standardníÿ reálný prostor, a to na prostor Rr+s. Zobrazení je definovánotak, že zachovává hodnoty xg, g reálný homomorfismus, a dvojici (xg, xg) odpo-vídající dvojici komplexně sdružených komplexních homomorfismů zobrazí na2xg. Označíme-li popsané zobrazení G, dostaneme prodloužení námi uvažova-ného komutativního diagramu, neboť zjevně platí Tr ◦G(x) = Tr(x), pro každéx = (xg) ∈ [

∏

g R]+.Pro (zg) ∈ K∗

R máme

G ◦ ℓ(zg) = (log |zρ1 |, . . . , log |zρr|, log |zσ1 |2, . . . , log |zσs

|2).

70

V dalších úvahách budou hrát značnou roli následující množiny:

µ(K) = {α ∈ K; αk = 1 pro nějaké k ≥ 1},Z∗

K = {α ∈ ZK ; NK|Q(α) = ±1},S = {y ∈ K∗

R; N(y) = ±1} aH = {x ∈ [ΠgR]+; Tr(x) = 0}.

Z tvrzení III.3.2 vyplývá, že výše uvedené vyjádření Z∗K je vskutku pouze

jiný způsob popisu invertibilních prvků ZK .

IV.3.1 Lemma. Pro každé α ∈ K je NK|Q(α) = NK|Q(α) a NK|Q(|α|2) =(NK|Q(α))2.

Důkaz. Prvá rovnost vyplývá z toho, že zúžení z 7→ z na K je jedním zautomorfismů K. Druhá rovnost pak vyplývá z multiplikativity normy, neboť|α|2 = αα. �

IV.3.2 Důsledek. Pro α ∈ ZK platí α ∈ Z∗K ⇔ |α| = 1.

Důkaz. Podle lemmatu IV.3.1 je α ∈ Z∗K právě když NK|Q(|α|2) = 1. Pro

t ∈ Q, t > 0, ovšem máme NK|Q(t) = 1⇔ t = 1. �

IV.3.3 Lemma. Pro každé celé k ∈ Z existuje, až na násobení invertibilnímiprvky, pouze konečně mnoho α ∈ ZK takových, že NK|Q(α) = k.

Důkaz. Hlavní ideál kZK , k 6= 0, je v ZK konečného indexu N(kZK) = |ZK :kZK |. Stačí proto dokázat, že z α = β (mod kZK), |NK|Q(α)| = |NK|Q(β)| = k,vyplývá invertibilita αβ−1. Ať tedy β = α+ kγ, γ ∈ ZK . Pišme N místo NK|Q.Máme N(β)β−1 ∈ ZK , a proto αβ−1 = 1 − (kβ−1)γ = 1 ± (N(β)β−1)γ ∈ ZK .Stejně tak ovšem βα−1 ∈ ZK , takže αβ−1 je invertibilní prvek ZK . �

Vraťme se k výše uvažovanému komutativnímu diagramu a k jeho vztahu kmnožinám Z∗

K ⊆ K∗, S ⊆ K∗R a H ⊆ [∏g R]+. Pro y ∈ S je 0 = ℓ(1) = ℓN(y) =

Tr ℓ(y), takže ℓ(y) ∈ H , a tedy ℓ(S) ⊆ H . Snadno nahlédneme, že dokonce platíℓ(S) = H . Nás však bude zajímat Γ = ℓ◦f(Z∗

K). Protože f(Z∗K) ⊆ S, je Γ ⊆ H .

Zúžení ℓ ◦ f na Z∗K označíme λ.

IV.3.4 Tvrzení. Posloupnost

1 // µ(K) // Z∗K

λ// Γ // 0

je exaktní.

Důkaz. Jde o ověčení, že µ(K) = Ker(λ). Pokud αk = 1, tak g(α)k = 1 prokaždé g ∈ Hom(K,C). To znamená ℓ◦f(α) = 0, takže α ∈ Ker(λ). Zbývá ověřitKer(λ) ⊆ µ(K), tedy ověřit, že {α ∈ Z∗

K ; |g(α)| = 1 pro každé g ∈ Hom(K,C)}leží v µ(K). Ovšem k tomu stačí nahlédnout, že uvedená množina je konečná,

71

neboť všechny konečné podgrupy K∗ leží v µ(K). Množina {y ∈ KR; |yg| ≤1 pro všechna g ∈ Hom(K,C)} je omezená, a proto v ní leží jen konečně mnohoprvků mříže f(ZK). �

IV.3.5 Věta. Grupa Γ = Im(λ) je úplnou mříží v (r + s − 1)–rozměrnémvektorovém prostoru H.

Důkaz. Nejprve vyložíme, že Γ je mříží. To podle tvrzení III.5.2 znamenádokázat, že Γ je diskrétní podgrupa H . K tomu stačí dokázat, že pro každé c > 0obsahuje množina Uc = {(xg) ∈ [

∏

g R]+; |xg| ≤ c pro všechna g ∈ Hom(K,C).pouze konečně mnoho bodů Γ. Vzorem Uc v zobrazení ℓ : K∗

C → [∏g R]+ jemnožina {(zg) ∈ K∗

R; e−c ≤ |zg| ≤ ec}. To je ovšem množina, která obsahuje

jen konečně mnoho prvků mříže f(ZK), neboť je to množina omezená. Protoobsahuje f−1ℓ−1(Uc) jen konečně mnoho bodů ZK , a tím spíše Z∗

K . PřitomΓ ∩ Uc = Uc ∩ λ(Z∗

K) = λ−1(Uc) ∩ Z∗K ⊆ f−1ℓ−1(Uc) ∩ Z∗

K .Nyní je třeba ověřit, že mříž Γ je v H úplná. Podle lemmatu III.5.3 stačí na-

lézt omezenou množinu B ⊆ H takovou, že H =⋃

γ∈Γ(B+γ). Přitom B sestro-jíme jako ℓ(T ), kde T bude vhodná omezená podmnožina S = {y ∈ K∗

R; N(y) =±1}. Přitom omezenost T je vyjádřena existencí cg > 0, že |xg| < cg pro každé(xg) ∈ T . Pak je ℓ(T ) = {(log |xg|); (xg) ∈ T } rovněž omezná, neboť z (xg) ∈ Svyplývá

∏ |xg| ≤ 1, takže |xg| >∏

g′ 6=g |cg′ |−1 > 0 implikuje omezení log |xg|zdola.Je-li B = ℓ(T ) a γ = ℓf(α) ∈ Γ, α ∈ Z∗

K , je B + γ = ℓ(Tf(α)), neboťℓ(Tf(α)) = {(log |xgg(α)|); (xg) ∈ T } = {(log |xg|)+ (log |g(α)|); (xg) ∈ T )} =ℓ(T ) + ℓf(α). Naším cílem tedy vlastně je nalézt T ⊆ S omezenou tak, abyplatilo S =

⋃

(Tf(α)); α ∈ Z∗K).

Přitom T budeme hledat ve tvaru⋃

(S ∩Xf(α−1i ); 1 ≤ i ≤ N), kde X je

omezená podmnožina KR a α1, . . . , αN jsou vhodné prvky ZK .Položíme X = {(zg) ∈ KR; |zg| < cg}, kde cg > 0, g ∈ Hom(K,C), jsou

takové, že cg je vždy rovno cg, a že∏

cg > (2/π)s√

|△(ZK)|, a prvky α1, . . . , αN

zvolíme tak, aby každé β ∈ ZK , jež splňuje 0 < |NK|Q(β)| ≤∏

cg, bylo možnévyjádřit ve tvaru αiα, kde 1 ≤ i ≤ N a α ∈ Z∗

K . Taková volba αi je podlelemmatu IV.3.3 možná.Uvažme nyní libovolné y = (yg) ∈ S. Pak Xy = {(zgyg); |zg| < cg} =

{(z′g); |z′g| < cg|yg|}. Přitom∏ |yg| = 1, takže pro Xy existují c′g > 0 taková, že

Xy = {(zg); |zg| < c′g},∏

c′g =∏

cg a c′g = c′g (je totiž yg = yg). Podle tvrzení

IV.2.8 můžeme pro každé y ∈ S tedy nalézt αy ∈ ZK , αy 6= 0, že f(αy) ∈ Xy.Přitom je NK,Q(αy) <

∏

c′g =∏

cg, takže αy = αiα−1 pro nějaké α ∈ Z∗

K ai, 1 ≤ i ≤ N . Vidíme, že existuje x ∈ X , jež splňuje f(αiα

−1) = xy, takžey−1 = (xf(αi)−1)f(α) ∈ Tf(α). Přitom je vhodné připomenout, že S tvořípodgrupu K∗

R. Z f(α) ∈ S a y ∈ S tedy vskutku plyne xf(αi)−1 ∈ S∩Xf(α−1i ).

Dokázali jsme, že S = S−1 ⊆ ⋃(Tf(α); α ∈ Z∗K). �

Úplná mříž v H je volná abelovská grupa řádu dimH = r + s− 1. Můžemeproto vyslovit

IV.3.6 Věta (Dirichletova o jednotkách). Ať K je číselné těleso. Potom je

72

Z∗K součinem konečné cyklické grupy µ(K) a volné abelovské grupy řádu r+s−1.

Důkaz. Použij tvrzení IV.3.4 a větu IV.3.5. �

Každému systému ε1, . . . , εt ∈ Z∗t , t = r+ s− 1, takovému, že každé ε ∈ Z∗

K

lze jednoznačně zapsat jako ε = ζεν11 · · · ενt

t , kde ζ ∈ µ(K) a ν1, . . . , νt jsou celáčísla, se říká systém fundamentálních jednotek.Mějme tedy fundamentální jednotky ε1, . . . , εt. Pak λ(ε1), . . . , λ(εt) tvoří

bázi mříže λ(Z∗K) v H . Její objem vol(λ(Z∗

K)) záleží pouze na volbě míry vol,nikoliv na volbě fundamentálních jednotek (viz lemma III.5.4). Přitom míruvol můžeme uvažovat buď kanonickou (indukovanou souřadnicovým skalárnímsoučinem v [

∏

g R], jehož je [∏

g R]+ podprostorem), nebo danou ztotožněnímG:[∏

g R]+∼=Rr+s. ve kterém (xg , xg) přechází na 2xg pro každou dvojici (g, g), gkomplexní homomorfismus. Zvykem je pracovat s posledně zmíněnou metrikou,takže vol(λ(Z∗

K)) je definováno jako vol0(G(vol(λ(Z∗K )))), kde vol0 označuje

míru indukovanou na {x ∈ Rr+s; Tr x = 0} standardním souřadnicovým skalár-ním součinem v Rr+s.Pro ε ∈ Z∗

K budem λi(ε), 1 ≤ i ≤ r + s, používat ve významu souřadnicvektoru G(λ(ε)) = (λ1(ε), . . . , λr+s(ε)).Číslu vol(λ(Z∗

K))/√

(r + s) se říká regulátor K a značívá se R. Jeho hodnotamá značný význam při práci s Dedekindovou zeta–funkcí.

IV.3.7 Tvrzení. Ať K je číselné těleso a ať ε1, . . . , εr+s−1 je nějaký systémjeho fundamentálních jednotek. Položme Λ = (λi(εj)), kde 1 ≤ i ≤ r + s a1 ≤ j ≤ r + s − 1. Potom je regulátor R roven absolutní hodnotě libovolného(r + s− 1)× (r + s− 1) minoru Λ.

Důkaz. Potřebujeme znát objem rovnoběžnostěnu v Rr+s, který je tvořenobrazy jednotek ε1, . . . , εr+s−1 a jednotkovým vektorem kolmým na nadrovinuvektorů nulové stopy. Tímto vektorem je (r + s)−1/2(1, . . . , 1) a determinantmatice, kterou obdržíme z Λ přidáním jedničkového sloupce budeme, až na zna-ménko, (r + s)–násobkem uvedených minorů. Důvodem je skutečnost, že při-čtením k vybranému řádku všech řádků ostatních dostaneme řádek, který mána pozici jedničkového sloupce r + s a jinde nuly, neboť obrazy jednotek majínulovou stopu. Vidíme, že vol(λ(Z∗

K)) = (r+ s)−1/2(r+ s)d =

√

(r + s)d, kde dje absolutní hodnota determinantu kteréhokoliv z minorů. Proto d = R. �

73

V

V.1 Afinní variety

Mějme dáno komutativní těleso K a ať je n ≥ 1 přirozené číslo. Nejprve sestro-jíme zobrazení V a I, která převádějí podmnožiny K[x1, . . . , xn] na podmnožinyKn (zobrazení V) a zpět (zobrazení I).Pro J ⊆ K[x1, . . . , xn] budiž

V(J) = {(α1, . . . , αn) ∈ Kn; p(α1, . . . , αn) = 0 pro všechna p ∈ J}

a pro C ⊆ Kn mějme

I(C) = {p ∈ K[x1, . . . , xn]; p(α1, . . . , αn) = 0 pro všechna (α1, . . . , αn) ∈ C}.

Některé základní vlastnosti V a I lze snadno ověřit, a proto je uvedeme bezdůkazu.

V.1.1 Lemma. (i) Ať Ci ⊆ Kn a Ji ⊆ K[x1, . . . , xn], i ∈ I. Pak

I(∪Ci) = ∩I(Ci) a V(∪Ji) = ∩V(Ji).

(ii) C1 ⊆ C2 ⇒ I(C1) ⊇ I(C2) a J1 ⊆ J2 ⇒ V(J1) ⊇ V(J2).

(iii) IV(J) ⊇ J a VI(C) ⊇ C. �

Z bodů (ii) a (iii) máme okamžitý důsledek

V.1.2 Důsledek. Dvojice (I,V) tvoří Galoisovu korespondenci mezi podmno-žinami Kn a podmnožinami K[x1, . . . , xn].

Množiny I(C) jsou ideály okruhu K[x1, . . . , xn]. Ne každý ideál je ovšemmožné vyjádřit ve tvaru I(C). Ty ideály, které takto vyjádřit lze, se nazývajíuzavřené.Množiny tvaru V(J), kde J ⊆ K[x1, . . . , xn], se nazývají algebraické. Připo-

meňme, že z vlastností Galoisovy korespondence vyplývají rovnosti IVI = I aVIV = V. Rovněž na této obecné úrovni můžeme konstatovat, že IV je uzávěrovýoperátor na K[x1, . . . , xn] a VI je uzávěrový operátor na Kn.Každý uzávěrový operátor poskytuje uzávěrový systém (množiny, na kterých

je konstantní). V našem případě tedy máme uzávěrový systém algebraickýchmnožin a uzávěrový systém uzavřených ideálů.Uzávěrový systém poskytuje topologii uzavřených množin, jsou-li jeho mno-

žiny uzavřené na sjednocení. To ovšem pro algebraické množiny zjevně platí,neboť máme

74

V.1.3 Lemma. Buď J1 a J2 dva ideály K[x1, . . . , xn]. Pak V(J1J2) = V(J1) ∪V(J2).

Důkaz. Z J1 ⊇ J1J2 plyne V(J1) ⊆ V(J1J2), takže V(J1) ∪ V(J2) ⊆ V(J1J2).Uvažme naopak α = (α1, . . . , αn) ∈ V(J1J2). Pak pro p1 ∈ J1 a p2 ∈ J2 máme(p1p2)(α) = p1(α)p2(α) = 0, takže musí být p1(α) = 0 nebo p2(α) = 0. Odtudα ∈ V(J1) ∪ V(J2). �

V algebraické geometrii se často píše VJ místo V(J) a IC místo I(C). Někdyse také píše Z(J).Topologie daná algebraickými množinami se nazývá Zariského.Zobrazení I a V poskytují (jako v každé Galoisově korespondenci) vzájemně

inverzní antiisomorfismy svazu všech uzavřených ideálů a svazu všech algebraic-kých množin. Okruh K[x1, . . . , xn] je noetherovský, a proto v něm neexistujínekonečné rostoucí řetězce ideálů. Tudíž v Zariského topologii (na rozdíl odeukleidovské) neexistují nekonečné klesající řetězce uzavřených (tedy algebraic-kých) množin.Algebraická množina C se nazývá nerozložitelná, jestliže z vyjádření C =

C1 ∪ C2, kde C1 i C2 jsou algbraické, plyne C1 = C nebo C = C2.

V.1.4 Tvrzení. Každou algebraickou množinu lze jednoznačně vyjádřit jakoireducibilní sjednocení C1 ∪ · · · ∪Ck nerozložitelných algebraických množin (ire-ducibilní zde znamená, že žádnou z množin Ci nelze vypustit).

Důkaz. Ať C je nějaká neprázdná algebraická množina. Uvažme (případně ne-konečný) orientovaný binární strom s kořenem v C, jehož hrany konstruujemetak, že vrchol D (jenž je algebraickou množinou) spojíme s D1 a D2 takovými,že D = D1 ∪D2, přičemž D1 ( D a D2 ( D. Pokud je získaný strom vskutkunekonečný, lze v něm zvolit nekonečnou orientovanou cestu. Ta by však dávalanekonečný klesající řetězec algebraických množin, což by byl spor. Vidíme, žeC lze vyjádřit jako sjednocení konečně mnoha nerozložitelných množin.Je-li C = C1 ∪ · · · ∪ Ck ireducibilní rozklad a D ⊆ C je další nerozložitelná

algebraická množina, bude D = (D ∩ C1) ∪ · · · ∪ (D ∩ Ck). Z nerozložitelnostiD vyplývá, že pro některé i, 1 ≤ i ≤ k, je D = D ∩ Ci, odkud D ⊆ Ci. Toznamená, že když je C = C′

1 ∪ · · · ∪ C′k nějaký jiný ireducibilní rozklad, bude

každé C′i obsaženo v nějakém Cj . Protože současně každé Cj je obsaženo v

nějakém C′r, musí být C

′i rovno nějakému Cj , a odsud již jednoznačnost zápisu

přímo plyne.

V.1.5 Lemma. Neprázdná algebraická množina C je nerozložitelná právě kdyžI(C) je prvoideál.

Důkaz. Ať je nejprve C = C1 ∪ C2, kde Ci = V(Ji) je vlastní podmnožina C,i ∈ {1, 2}. Pak jsou množiny C1\C2 a C2\C1 neprázdné, a proto jsou neprázdnéi množiny J1 \ J2 a J2 \ J1. Zvolme p1 ∈ J1 \ J2 a p2 ∈ J2 \ J1. Podle lemmatuV.1.3 je C = V(J1J2), takže p1p2 ∈ I(C). Současně ale existují body α1 ∈ C2 aα2 ∈ C1 takové, že p1(α1) 6= 0 (neboť p1 6∈ J2) a p2(α2) 6= 0 (neboť p2 6∈ J1).Proto nemůže být ani p1 ∈ I(C) ani p2 ∈ I(C).

75

Předpokládejme nyní, že C je nerozložitelné a že je p1p2 ∈ I(C) pro nějakápi ∈ K[x1, . . . , xn], jež nepadnou do I(C), i ∈ {1, 2}. To znamená, že existujíαi ∈ C taková, že pi(αi) 6= 0. Máme C ⊆ V(p1p2) = V(p1) ∪ V(p2), takžeC = (C ∩V(p1))∪ (C ∩V(p2)), přičemž žádná z algebraických množin C ∩V(pi)se nerovná C.

Obecně nemusí být každý prvoideál uzavřený. Nad algebraicky uzavřenýmtělesem to ovšem platí. Z Hilbertovy věty o nulách totiž plyne, že

(1) maximální ideály vK[x1, . . . , xn] jsou generovány polynomy x−α1, . . . , x−αn, kde (α1, . . . , αn) ∈ Kn takový ideál plně určuje a že

(2) pro každý vlastní ideál J platí, že jeho uzávěr IV(J) je roven jeho radikálu√J .

Prvoideál je vždy roven svému radikálu, a proto jsou prvoideály nad algebraickyuzavřenými tělesy uzavřené. Pokud těleso K uzavřené není, tak v K[x] (a po-tažmo i v K[x1, . . . , xn]) existují maximální ideály M , pro které je V(M) = ∅(nemají žádnou nulu). V K[x] to samozřejmě jsou hlavní ideály generovanéireducibilními polynomy.

V.1.6 Tvrzení. Ať K je algebraicky uzavřené těleso a n ≥ 1. Pak pro každývlastní ideál J okruhu S = K[x1, . . . , xn] platí

I(J) =⋂

{M ; M maximální ideál S, J ⊆M} =⋂

{P ; P prvoideál S, J ⊆ P} =√J.

Důkaz. Z Hilbertovy věty o nulách máme I(J) =√J . Současně je jejím dů-

sledkem i fakt, že každý prvoideál je roven průniku maximálních ideálů, kterého obsahují. V každém komutativním okruhu je

√J rovno průniku prvoideálů

(tvrzení I.3.12).

Při úvahách o algebraických množinách v Kn se používají různé konvence, znichž některé nyní připomeneme. Algebraický uzávěrK se značí K. Místo Kn sečasto píše An(K), kde A vyjadřuje skutečnost, že jde o afinní prostor (zkoumajíse geometrické vlastnosti algebraických množin a ty nezávisí na volbě počátku).Místo An(K) se pak leckdy píše pouze An.Zápis V(J) (či častěji VJ) se bude nadále vztahovat k tělesu K. Je-li tedy

například J ideál v K[x1, . . . , xn], tak je V(J) totéž jako VJ′ , kde J ′ je nejmenšíideál K[x1, . . . , xn], který obsahuje J , tedy J ′ = JK[x1, . . . , xn].Nerozložitelné algebraické množiny C ⊆ An(K) se nazývají varietami. Va-

riety obsažené v An(K) a prvoideály jsou ve vzájemně jednoznačném vztahu,takže se s nimi často zachází jako s různými vyjádřeními téhož objektu. Varietase obvykle značí V , přičemž zápisem V/K se nedefinuje nový objekt, nýbrž seposkytuje informace, že V = V(I) pro nějaké I ⊆ K[x1, . . . , xn].Ideály K[x1, . . . , xn] jsou konečně generované, takže varietu V/K lze (po-

dobně jako algebraické množiny vůbec) popsat konečně mnoha polynomiálnímirovnicemi.

76

Je-li V varieta, tak V (K) označuje množinu všech K–racionálních bodů V ,tedy množinu An ∩ V .Funkce f : V → K se nazývá regulární, jestliže existuje takový polynom

p ∈ K[x1, . . . , xn], že p(α) = f(α) pro každé α ∈ An. Vidíme, že regulárnífunkce jsou obrazem K[x1, . . . , xn] při homomorfismu který každému polynomupřiřazuje jeho funkční chování na V . Jádrem tohoto homomorfismu je prvoideálI(V ) = IV , takže je přirozené, že oboru integrity K[V ] = K[x1, . . . , xn]/I(V ) seříká okruh regulárních funkcí na V . Jindy se mu též říká souřadnicový okruh V .Symbolem K(V ) se označuje podílové těleso tohoto okruhu. Jeho prvky jsou

racionální funkce f/g (kde f, g ∈ K[V ]), takže se mluví buď o tělese racionálníchfunkcí V nebo o tělese funkcí na V .Těleso K se do K(V ) a K[V ] přirozeně vnořuje a odpovídá konstantním

funkcím. Stupeň transcendence K[V ] nad K se nazývá dimenzí variety V .

77

VI Normalizace, lokalizace, valuace

VI.1 Noetherovská normalizace

V této kapitole se budeme věnovat afinním K–algebrám, kde K je komuta-tivní těleso. Připomeňme, že afinní K–algebrou A rozumíme každý komutativníokruh, který je současně konečně rozměrným vektorovým prostorem nad K.Přitom se K ztotožňuje s jednorozměrným podprostorem, který obsahuje 1.

VI.1.1 Lemma. Ať ϕ:A→B je surjektivní homomorfismus K–algeber. Před-pokládejme, že y1, . . . , yn ∈ A jsou nad K prvky algebraicky nezávislé a takové,že A je konečně generovaný K[y1, . . . , yn]–modul. Předpokládejme dále, že pronějaké d ≤ n platí

Ker(ϕ) ∩K[y1, . . . , yn] =∑

i>d

yiK[y1, . . . , yn].

Potom ϕ(y1), . . . , ϕ(yd) ∈ B jsou nad K prvky algebraicky nezávislé a B je jakoK[ϕ(y1), . . . , ϕ(yd)]–modul konečně generovaný.

Důkaz. Označme ψ zúžení ϕ na K[y1, . . . , yn] → B. Prvky yd+1, . . . , yn ležív jádru ψ, a proto Im(ψ) = K[ϕ(y1), . . . , ϕ(yd)]. Víme, že existuje M ⊆ A ko-nečné takové, že každý prvek A je lineární kombinací prvků M s koeficienty vK[y1, . . . , yn]. Ze surjektivity ϕ vyplývá, že každý prvek B je lineární kombi-nací prvků ϕ(M) s koeficienty v Im(ψ). Vidíme, že B je konečně generovanýK[ϕ(y1), . . . , ϕ(yd)]–modul.Uvažme nyní µ:K[y1, . . . , yn]→K[y1, . . . , yd], které je identické na y1, . . . , yd

a které zobrazuje yd+1, . . . , yn do nuly. Jádro tohoto surjektivního homomor-fismu je rovno Kerψ =

∑

i>d yiK[y1, . . . , yn]. Z Ker(µ) = Ker(ψ) ovšem plyneexistence isomorfismu Im(µ) ∼= Im(ψ), který zobrazuje yi na ϕ(yi). Odsud alge-braická nezávislost ϕ(y1), . . . , ϕ(yd). �

VI.1.2 Lemma. Ať je K komutativní těleso a ať u ∈ K[x1, . . . , xn] není kon-stanta (tedy u 6∈ K). Potom existují y1, . . . , yn−1 ∈ K[x1, . . . , xn] takové, žeK[y1, . . . , yn−1, xn] = K[x1, . . . , xn] a že pro nějaké m ≥ 1 lze nalézt polynomya1, . . . , am−1 ∈ K[y1, . . . , yn−1] a nenulové c ∈ K, které splňují

u = cxmn +

∑

0≤i<m

aixin

Důkaz. Vyjádřeme u ve tvaru∑

ui1···inxi11 · · ·xin

n . Zvolme přirozené číslo htak, aby bylo h > ij , 1 ≤ j ≤ n, ve všech případech, kdy je ui1···in

6= 0. Protože

78

u nepadne do K, musí být h ≥ 2. Všimněme si dále, že pro ui1···in6= 0 a

uj1···jn6= 0 máme

in + i1h+ · · ·+ in−1hn−1 = jn + j1h+ · · ·+ jn−1hn−1

právě když (i1, . . . , in) = (j1, . . . , jn).Nyní stačí položit yi = xi − xhi

n , 1 ≤ i ≤ n− 1, a

m = max{in + i1h+ · · ·+ in−1hn−1; ui1···in6= 0}.

Vskutku, K[y1, . . . , yn−1, xn] = K[x1, . . . , xn] plyne z xi = yi + xhi

n , a hledanévyjádření u obdržíme z

u =∑

ui1···in(xh

n + y1)i1 · · · (xhn−1

n + yn−1)in−1xin

n .

�

VI.1.3 Tvrzení. Pro n ≥ 1 uvažme vlastní hlavní ideál I okruhu K[x1, . . . , xn]generovaný prvkem u. Pak lze najít y1, . . . , yn ∈ K[x1, . . . , xn] algebraicky ne-závislé nad K takové, že K[x1, . . . , xn] je nad K[y1, . . . , yn] celistvé, u = yn aI ∩K[y1, . . . , yn] = ynK[y1, . . . , yn].

Důkaz. Zvolme y1, . . . , yn−1 jako v předchozím lemmatu a položme yn = u.Z vyjádření u = cxm

n +∑

aixin vyplývá, že xn je celistvé nad K[y1, . . . , yn]. Z

K[y1, . . . , yn−1, xn] = K[x1, . . . , xn] tudíž plyne, že celistvý uzávěrK[y1, . . . , yn]v K[x1, . . . , xn] je roven K[x1, . . . , xn].Každé xi chápané jako prvek tělesa K(x1, . . . , xn) je proto algebraické nad

tělesem K(y1, . . . , yn). Stupeň transcendenceK(y1, . . . , yn) nad K je tedy rovenn dle tvrzení II.6.8. Množina {y1, . . . , yn} proto nemůže obsahovat algebraickyekvivalentní vlastní podmnožinu, a je tudíž algebraicky nezávislá (viz napříkladlemma II.6.4).Zbývá dokázat, že I ∩ K[y1, . . . , yn] = ynK[y1, . . . , yn]. Mějme tedy ně-

jaké w = uv, v ∈ K[x1, . . . , xn], které padne do K[y1, . . . , yn]. Z celistvostiokruhu K[x1, . . . , xn] nad okruhem K[y1, . . . , yn] vyplývá existence takovýchprvků q0, . . . , qh−1 ∈ K[y1, . . . , yn], že

vh + qh−1vh−1 + · · ·+ q1v + q0 = 0,

přičemž h ≥ 1. Výraz na levé straně vynásobíme hodnotou uh = yhn a rovnost

zapíšeme ve tvaru

wh + qh−1ynwh−1 + · · ·+ q1yh−1

n w + q0yhn = 0.

Prvky w, yn i q0, . . . , qh−1 leží v K[y1, . . . , yn], což je Gaussův okruh (protožeprvky y1, . . . , yn jsou algebraicky nezávislé). Vidíme, že yn = u dělí w, a protow ∈ ynK[y1, . . . , yn]. �

VI.1.4 Tvrzení. Uvažme vlastní ideál I okruhu K[x1, . . . , xn], n ≥ 1. Potomexistují y1, . . . , yn ∈ K[x1, . . . , xn] a d, 0 ≤ d ≤ n, taková, že

79

(i) y1, . . . , yn jsou algebraicky nezávislá nad K;

(ii) K[x1, . . . , xn] je celistvé nad K[y1, . . . , yn]; a

(iii) I ∩K[y1, . . . , yn] =∑

i>d yiK[y1, . . . , yn].

Důkaz. V případě I = 0 lze položit yi = xi, 1 ≤ i ≤ n, a d = n. Ať jeI 6= 0. Budeme postupovat indukcí dle n. V případě n = 1 lze použít tvrzeníVI.1.3, neboť I je hlavním ideálem. Předpokládejme, že tvrzení platí pro každouhodnotu menší než n > 1. Vyberme u ∈ I, u 6= 0. Ideál I je vlastní, a proto uneleží v K.Použijme tvrzení VI.1.3 pro ideál uK[x1, . . . , xn]. Uvažme prvky z1, . . . , zn ∈

K[x1, . . . , xn] takové, že jsou nad K algebraicky nezávislé, že K[x1, . . . , xn] jenad K[z1, . . . , zn] celistvé, že u = zn a že uK[x1, . . . , xn] ∩ K[z1, . . . , zn] =znK[z1, . . . , zn].Množina I ∩ K[z1, . . . , zn−1] je vlastním ideálem K[z1, . . . , zn−1]. Z induk-

čního předpokladu plyne existence y1, . . . , yn−1 ∈ K[z1, . . . , zn−1] takových,že jsou nad K algebraicky nezávislé, přičemž K[z1, . . . , zn−1] je celistvé nadK[y1, . . . , yn−1], a existuje d, 0 ≤ d ≤ n− 1, pro které platí

I ∩K[y1, . . . , yn−1] =∑

i>d

yiK[y1, . . . , yn−1].

Položíme yn = zn = u a dokážeme, že y1, . . . , yn vyhovují podmínkám našívěty.Protože zn = yn leží v K[y1, . . . , yn], tak je okruh K[z1, . . . , zn] celistvý nad

okruhem K[y1, . . . , yn]. Z tranzitivity celistvosti plyne celistvost K[x1, . . . , xn]nad K[y1, . . . , yn]. Úvahou o stupni transcendence vidíme, že prvky y1, . . . , yn

jsou nad K algebraicky nezávislé.Všechny prvky y1, . . . , yn leží v I, a tak zbývá ukázat I ∩ K[y1, . . . , yn] ⊆

∑

i>d yiK[y1, . . . , yn].Uvažme nějaké w ∈ I, jež leží v K[y1, . . . , yn]. Pišme w jako w1 + ynw2,

kde w1 ∈ K[y1, . . . , yn−1] a w2 ∈ K[y1, . . . , yn]. Z yn ∈ I plyne ynw2 ∈ I,a tedy i w1 ∈ I ∩ K[y1, . . . , yn−1]. To ale podle předchozího znamená, že jew1 ∈

∑

i>d yiK[y1, . . . , yn−1], a proto vskutku w ∈∑i>d yiK[y1, . . . , yn]. �

VI.1.5 Věta (O normalizaci). Buď A netriviální afinní algebra nad komu-tativním tělesem K, a ať I je nějaký vlastní ideál A. Potom existují n a d,0 ≤ d ≤ n, a y1, . . . , yn ∈ A tak, že

(i) y1, . . . , yn jsou nad K algebraicky nezávislá;

(ii) A je celistvé nad K[y1, . . . , yn]; a

(iii) I ∩K[y1, . . . , yn] =∑

i>d yiK[y1, . . . , yn].

Důkaz. Budeme kombinovat tvrzení VI.1.4 a lemma VI.1.1. Afinní algebra Aje konečně generovaná, a proto pro dostatečně velké h ≥ 1 existuje surjektivníhomomorfismus ϕ:K[x1, . . . , xh]→A. Položme J = ϕ−1(I).

80

Vycházejíce z tvrzení VI.1.4, uvážíme nejprve z1, . . . , zh ∈ K[x1, . . . , xh], ježjsou nad K algebraicky nezávislá a taková, že K[x1, . . . , xh] je nad K[z1, . . . , zh]celistvé a pro vhodné n, 0 ≤ n ≤ h, je

Ker(ϕ)⋂

∩K[z1, . . . , zh] =∑

i>n

ziK[z1, . . . , zh].

Podle lemmatu VI.1.1 jsou ϕ(z1), . . . , ϕ(zn) algebraicky nezávislá nadK a afinníalgebra A je nad K[ϕ(z1), . . . , ϕ(zn)] celistvá (viz tvrzení III.2.4).Nyní použijeme tvrzení VI.1.4 na I ∩ K[ϕ(z1), . . . , ϕ(zn)]. Podle něj exis-

tují y1, . . . , yn ∈ K[ϕ(z1), . . . , ϕ(zn)] algebraicky nezávislá nad K taková, žeK[ϕ(z1), . . . , ϕ(zn)] je celistvé nad K[y1, . . . , yn] a pro vhodné d, 0 ≤ d ≤ n,platí

I ∩K[y1, . . . , yn] =∑

i>d

yiK[y1, . . . , yn].

Celistvost A nad K[y1, . . . , yn] plyne z tranzitivity celistvosti. �

O prvcích y1, . . . , yn netriviální afinní K–algebry A řekneme, že tvoří no-etherovskou normalizaci právě když A je nad K[y1, . . . , yn] celistvé a y1, . . . , yn

jsou nad K algebraicky nezávislé.

VI.2 Konstrukce lokalizace

Mocným nástrojem mnohých algebraických a geometrických úvah je takzvanálokalizace. Vybudování jejího základního aparátu je sice poměrně snadné, alepochopení, proč byl zvolen právě pojem lokalizace, vyžaduje určitý geometrickýnáhled, jehož zprostředkování prozatím odložíme.Připomeňme, že multiplikativní množinou (či přesněji multiplikativně uza-

vřenou množinou) se rozumí každá podmnožina S okruhu R, která neobsahujenulu, obsahuje jedničku a je uzavřená na násobení. Jinými slovy, je to každýpodmonoid R(·, 1), který neobsahuje nulu. V případě, kdy je R obor integrity,lze za S zvolit R \ {0}; obory integrity tak lze přímo definovat. Podobně lzedefinovat prvoideály okruhu R jako ty ideály I, pro které je R\I multiplikativnímnožina. Přitom předpokládáme, že R je komutativní okruh (tak budeme činiti nadále).Ať tedy R je komutativní okruh a S jeho multiplikativní podmnožina. Defi-

nujme relaci ∼ na R× S tak, že

(a, s) ∼ (b, t)⇐⇒ u(ta− sb) = 0 pro nějaké u ∈ S.

Relace ∼ je zjevně reflexivní a symetrická. Pokud uta = usb a vrb = vtc,kde (c, r) ∈ R × S, tak uvtra − uvtsc = uvsrb − uvrsb = 0. Vidíme, že ∼ jeekvivalence na R× S.MnožinuR×S lze považovat za komutativní monoid vzhledem k neutrálnímu

prvku (1, 1). Protože z (a, s) ∼ (b, t) jistě plyne (ca, rs) ∼ (cb, rt), je ∼ slučitelnás násobením tohoto monoidu.

81

Definujme na R × S sčítání vzorcem (a, s) + (b, t) = (ta + sb, st). Potom((a, s) + (b, t)) + (c, r) = (rta + rsb + stc, rst) = (a, s) + ((b, t) + (c, r)), takževidíme, že R×S lze považovat též za aditivní pologrupu. Je to dokonce monoids neutrálním prvkem (0, 1), neboť (a, s)+(0, 1) = (a, s) pro každé (a, s) ∈ R×S.Jsou-li (a, s), (b, t) ∈ R × S taková, že uat = ubs pro nějaké u ∈ S, pak

pro všechna (c, r) ∈ R × S platí (a, s) + (c, r) = (ar + sc, sr) ∼ (br + tc, tr) =(b, t) + (c, r), neboť u(ar + sc)tr = u(br + tc)sr. Vidíme, že operace sčítání jeslučitelná s ekvivalencí ∼.Uvažme nyní kvocientní strukturuR×S/ ∼. Z předchozího plyne, že naR×S

je definováno sčítání a násobení, přičemž obé je komutativní a asociativní, že[(1, 1)] je neutrální prvek vůči násobení a [(0, 1)] je neutrální prvek vůči sčítání.Pro každé (a, s) ∈ R×S a t ∈ S zjevně platí (a, s) ∼ (at, st) = (a, s)+ (0, t).

Buďte (a, s), (b, t), (c, r) ∈ R × S. Pak ((a, s) + (b, t)) · (c, r) = (tac + sbc, str)a (a, s) · (c, r) + (b, t) · (c, r) = (trac + srbc, str2) = (tac + sbc, str) + (0, r). V(R× S)/ ∼ tudíž platí distributivní zákon, a proto je (R× S)/ ∼ okruh.Blok ∼, který obsahuje (a, s) ∈ R × S, budeme značit, jak je zvykem, a/s

nebo as . Okruh (R×S)/ ∼ se označuje S−1R. Jeho nulou je 0/1 = 0 a jednotkou

1/1 = 1. Pro a, b ∈ R a s, t ∈ S platí

a

s+b

t=ta+ sbst

,a

s· bt=ab

staa

s=at

st.

Zobrazení r 7→ r/1 je zjevně okruhový homomorfismus (říká se mu přiro-zený). Obecně to však nemusí být monomorfismus, neboť pro některé r ∈ R,r 6= 0, může nastat r/1 = 0/1. Tato rovnost totiž platí právě když existujeu ∈ S takové, že ur = 0, tedy když r leží v anihilátoru některého u ∈ S. Ovšempak nesmí být r ∈ S, neboť S je multiplikativní množina. Jádro přirozenéhohomomorfismu má tedy s S triviální průnik.V případě, kdy R je obor integrity a S = R \ {0}, tak je S−1R shodné

s podílovým tělesem R. Víme, že podílové těleso oboru integrity lze charak-terizovat jako nejmenší těleso, do kterého lze R vnořit. Obecně okruhy S−1Rpřipouštějí podobnou charakterizaci — jde o nejmenší okruh do kterého lze Rhomomorfně zobrazit tak, aby se z prvků S staly prvky invertibilní (jednotky).Tuto skutečnost dokážeme v následujícím tvrzení.

VI.2.1 Tvrzení. Buď R komutativní okruh a ať je S ⊂ R multiplikativní mno-žina. Označme f :R→ S−1R přirozený homomorfismus. Budiž g :R→ U ho-momorfismus okruhů takový, že g(s) je pro každé s ∈ S v U invertibilní. Pakexistuje právě jeden homomorfismus h:S−1R→U , který splňuje g = h ◦ f .

Důkaz. Pro a/s ∈ R × S máme a/s = (a/1) · (1/s), takže jedinou možností,jak h definovat, je položit h(a/s) = g(a)g(s)−1 (z h(1/s · s) = h(1/s)h(s) =1 totiž máme h(1/s) = h(1/s)h(s)h(s)−1 = h(s)−1). Je ovšem třeba ověřitkorektnost definice. Ať tedy (a, s) ∼ (b, t), kde uat = ubs pro nějaké u ∈ S.Pak g(u)g(a)g(t) = g(u)g(b)g(s), přičemž g(u), g(t) a g(s) jsou v U invertibilní.Poslední rovnost tedy dává g(a)g(s)−1 = g(b)g(t)−1, a tím je korektnost definiceověřena.

82

Zjevně h(a/s · b/t) = g(ab)g(st)−1 = g(a)g(b)g(t)−1g(s)−1 = h(a/s)g(b/t),pro všechna a/s, b/t ∈ S−1R. Dále h(a/s+b/t) = g(at+bs)g(st)−1 = (g(a)g(t)+g(b)g(s))g(s)−1g(t)−1 = h(a/s)+ h(b/t), takže h je vskutku homomorfismus. �

Pro každouM ⊆ R budeme psát S−1M ve významu {m/s; m ∈M a s ∈ S}.

VI.2.2 Lemma. Buď R komutativní okruh a ať S ⊂ R je multiplikativní mno-žina. Pro každý ideál I okruhu R platí, že S−1I je ideál okruhu S−1R. Přitomo vlastní ideál běží právě když I ∩ S = ∅. Každý ideál J okruhu S−1R je ro-ven ideálu S−1f−1(J), kde f :R→ S−1R je přirozený homomorfismus. Přitomf−1(J) = {a ∈ R; a/s ∈ J pro některé s ∈ S} = {a ∈ R; a/1 ∈ J}.

Důkaz. Skutečnost, že S−1I je ideál, vyplývá přímo z definice operací v S−1R.Ideál S−1I je vlastní právě když a/s 6= 1/1 pro všechna a/s, a ∈ I, tedy právěkdyž ua 6= us pro všechna a ∈ I a všechna u, s ∈ S. Pokud ovšem ua = uspro nějaká taková u, a a s, tak ua ∈ I padne do us ∈ S, a tím pádem je I ∩ Sneprázdná. Je-li naopak s ∈ I ∩ S, je s/s = 1/1.Ať je nyní J ideál S−1R. Potom z a/s ∈ J plyne a/1 ∈ J , z čehož plyne uve-

dené vyjádření f−1(J). Zbytek je jasný, neboť vzor ideálu je ideálem v každémhomomorfismu okruhů. �

VI.2.3 Tvrzení. Buď R komutativní okruh a ať S ⊆ R je multiplikativní mno-žina. Ať f :R→ S−1R označuje přirozený homomorfismus. Ideál okruhu S−1Rje prvoideálem právě když má tvar S−1P , kde P je prvoideál R, jenž splňujeP ∩ S = ∅. V takovém případě f−1(S−1P ) = P a tento vztah určuje meziprvoideály S−1R a prvoideály R disjunktními s S vzájemně jednoznačnou kore-spondenci.

Důkaz. Dokažme nejprve, že f−1(S−1P ) = P pro každý prvodeál P okruhuR, P ∩ S = ∅. Pro a ∈ f−1(S−1P ) máme a/1 = b/s pro nějaké b ∈ P a s ∈ S.To znamená u(b− sa) = 0 pro nějaké u ∈ S. Z 0 ∈ P a u 6∈ P plyne b− sa ∈ P ,tedy sa ∈ P a a ∈ P .Pro a/s, b/t ∈ S−1R proto z a/s ·b/t = ab/(st) ∈ S−1P plyne ab ∈ P , odkud

a ∈ P nebo b ∈ P . Vidíme, že S−1P je vskutku prvoideál.Je-li J prvoideál S−1R a I = f−1(J), tak J = S−1I, dle lemmatu VI.2.2.

Pro a, b ∈ R z ab ∈ I plyne (a/1) · (b/1) = ((ab)/1) ∈ P , takže a/1 ∈ J nebob/1 ∈ J , což znamená a ∈ I nebo b ∈ I. �

Pokud je R \ S ideál (a tedy prvoideál), je S−1P , P = R \ S, vlastnímideálem S−1R, který obsahuje všechny vlastní ideály S−1R. Vskutku, každýtakový vlastní ideál je dle lemmatu VI.2.2 tvaru S−1I, kde I ∩ S = ∅, což značíI ⊆ P .Okruhy, které mají největší vlastní ideál, se nazývají kvazilokální. Dokázali

jsme, že okruh S−1R, kde P = R \S je prvoideál R, je vždy kvazilokální. Tentookruh se obvykle označuje RP a nazývá se lokalizací R v P .Lokálním okruhem se rozumí každý noetherovský kvazilokální okruh.Lokalizaci je možné přenést i na úroveň modulů. Uvažme opět komutativní

okruh R a multiplikativní množinu S. Ať M je R–modul. Definujme na M ×

83

S operaci (m, s) + (n, t) = (tm + sn, st). Tato operace je asociativní, neboť((m, s) + (n, t)) + (p, r) = (rtm + rsn + rst, rst) = (m, s) + ((n, t) + (p, r)) a(0, 1) je jejím neutrálním prvkem. Přitom (m, s) + (−m, s) = (0, s2).Definujme naM×S relaci∼ tak, že (m, s) ∼ (n, t) právě když u(tm−sn) = 0

pro nějaké u ∈ S. Z utm = usn a vtp = vrn plyne uvtrm = uvsrn = uvtsp aodtud plyne, že ∼ je ekvivalence. Je-li utm = usn, tak je též (m, s) + (p, r) =(rm + sp, rs) ∼ (rn + tp, rt) = (n, t) + (p, r), takže ∼ je kongruence aditivníhomonoidu M × S. Jeho neutrální prvek je tvořen třídou obsahující (0, 1). Doté padnou všechny prvky tvaru (0,m), takže kvocientní monoid je Abelovougrupou. Jeho prvky budeme opět zapisovat ve tvaru m

s a příslušnou Abelovugrupu označíme S−1M .Ukážeme, že S−1M lze považovat za modul nad S−1R. Definujme skalární

násobení tak, že ar · n

t =anrt . Nejprve je třeba ověřit korektnost definice. Je-li

u(tm−sn) = 0, je u(rtam−rsan) = 0, a z v(br−as) = 0 plyne v(brnt−asnt) =0. Odtud je korektnost již zřejmá. Rovnosti

11· nt=n

t,

(

a

r· bs

)

(n

t

)

=a

r

(

b

s· nt

)

,

(

a

r+b

s

)

· nt=a

r· nt+b

s· ntaa

r

(

m

s+b

t

)

=a

r· ms+a

r· bt

lze rovněž bez potíží ověřit přímo.Vidíme, že pro každý R–modul M lze sestrojit S−1R–modul S−1M . Uká-

žeme, že tato vazba je funktoriální. Pro f :M→N homomorfismus R–modulůsestrojíme homomorfismus S−1f :S−1M→S−1N tak, že

(S−1f)(m/s) = f(m)/s pro všechna m ∈M a s ∈ S.

Je-li m/s = n/t, tedy utm = usn pro nějaké u ∈ S, je utf(m) = usf(n).Odsud korektnost definice. Dále (S−1f)(m/s+n/t) = f(tm+sn)/st = (tf(m)+sf(n))/st = (S−1f)(m/s) + (S−1f)(n/s). Konečně máme (S−1f)(a/r ·m/s) =f(am)/rs = af(m)/rs = a/r · (S−1f)(m/s). Dokázali jsme, že S−1f je vskutkuhomomorfismus.Každý S−1R–modul lze pokládat za R–modul, stačí položit r · ( s

n ) =r1 · s

n =rsn . Jsou-li M a N dva R–moduly, tak je Hom(M,N) = {f :M → N, f jehomomorfismus R–modulů} možno chápat jako R–modul. Je-li M = N jeHom(M,N) = End(M) také okruh, takže jde o R–algebru (nikoliv však ko-mutativní).

VI.2.4 Tvrzení. Ať R je komutativní okruh a S jeho multiplikativní množina.

(i) Pro každé dva R–moduly M a N je zobrazení

Hom(M,N)→Hom(S−1M,S−1N), f 7→ S−1f,

homomorfismem R–modulů.

(ii) Jsou-li f :M→N a g :N→L homomorfismy R–modulů, je S−1(g ◦ f) =S−1g ◦ S−1f .

84

(iii) Pro každý R–modul M je zobrazení Aut(M)→Aut(S−1M), f 7→ S−1f ,homomorfismem R–algeber.

Důkaz. Pro f, g ∈ Hom(M,N) a m/s ∈ S−1M je S−1(f + g)(m/s) = (f +g)(m)/s = f(m)/s+ g(m)/s = (S−1(f) +S−1(g))(m/s). Dále pro a ∈ R mámeS−1(af)(m/s) = (af)(m)/s = af(m)/s = a/1 · f(m)/s = a(S−1f)(m/s). Tímje dokázáno (i). Všimněme si, že v případě M = N a f = idM je S−1f opětidentita. K důkazu (iii) proto stačí ověřit (ii).Buďte tedy f :M→N a g :N→ L příslušné homomorfismy. Pak pro každé

m/s ∈ S−1M je S−1(g ◦ f)(m/s) = g(f(m))/s = (S−1g)(f(m)/s) = (S−1g ◦S−1f)(m/s). �

Připomeňme, že posloupnost fi, 1 ≤ i ≤ n, homomorfismů R–modulů senazývá exaktní, pokud existují moduly Mi, 0 ≤ i ≤ n, takové, že fi:Mi−1→Mi,1 ≤ i ≤ n, a Im(fi) = Ker(fi+1), 1 ≤ i < n.

VI.2.5 Tvrzení. Ať R je komutativní okruh a S jeho multiplikativní množina.

Je-li Mf−→N

g−→L exaktní posloupnost homomorfismů R–modulů, je

S−1MS−1f−→ S−1N

S−1g−→ S−1L

exaktní posloupnost homomorfismů S−1R–modulů.

Důkaz. Máme g◦f = 0, takže z tvrzení VI.2.4 plyne S−1(g◦f) = S−1g◦S−1f =0. Zbývá ukázat, že každé n/s ∈ Ker(S−1g) leží v Im(S−1f). Ovšem g(n)/s = 0značí existenci u ∈ S, jež splňuje ug(n) = g(un) = 0. Je tedy un = f(m) pronějaké m ∈M , a tedy (S−1f)(m/us) = un/us = n/s. �

Injektivitu f :M→N lze vyjádřit jako exaktnost 0−→Mf−→N . Podobně

surjektivitě f :M→N odpovídá exaktnostMf−→N −→ 0. Proto z tvrzení VI.2.5

okamžitě vyplývá, že funktor S−1 převádí monomorfismy na monomorfismy aepimorfismy na epimorfismy.Typickou (krátkou) exaktní posloupností je

0−→Li−→M

π−→M/L−→ 0,

kde i je vložení podmodulu L od M a π je projekce modulo L. Z ní dostanemeposloupnost

0−→S−1LS−1i−→ S−1M

S−1π−→ S−1(M/L)−→ 0,Ta je opět exaktní a {m/s; m ∈ L a s ∈ S} = Im(S−1i) je podmodul S−1M . Vtomto smyslu je možno S−1L považovat za podmodul S−1M . Prvky podmoduluovšem mohou mít i vyjádření m/s, kde m neleží v L.Z exaktnosti posloupnosti dále vyplývá

VI.2.6 Důsledek. Ať S je multiplikativní množina komutativního okruhu R aať L je podmodul R–modulu M . Pak

S−1(M/L) ∼= S−1M/S−1L, (m+ L)/s 7→ (m/s) + S−1L.

85

Je-li A modul nad komutativním okruhem R, tak jeho nosič Supp(A) de-finujeme jako {P ∈ Spec(R); AP 6= 0}. Přitom Spec(R) značí množinu všechprvoideálů R a AP je modul (R \ P )−1A.

VI.2.7 Lemma. Modul A nad komutativním okruhem R je nulový právě kdyžAP = 0 pro každé P ∈ Spec(R). Přitom toto nastane právě když AM = 0 prokaždý maximální ideál M okruhu R.

Důkaz. Je-li A nulový, je AP = 0 pro všechna P ∈ Spec(R). Maximálníideály jsou prvoideály. Je tedy třeba ukázat, že pokud AM = 0 pro každé Mmaximální, tak A = 0. Postupujme sporem a uvažme nenulové a ∈ A. Jehoanihilátor (0 : a) je vlastní ideál, a tedy je obsažený v nějakém maximálním,řekněmeM . Rovnost a/1 = 0/1 nastat nemůže, neboť ta by znamenala existenciu ∈ R \M , jež splňuje ua = 0. Takové u by totiž padlo do (0 : a) a nemohlo byležet mimo M . �

Je-li P prvoideál a f :L→A homomorfismus modulů, tak místo (R \ P )−1fpíšeme fP .

VI.2.8 Důsledek. Ať f : L → A je homomorfismus modulů komutativníhookruhu R. Následující je ekvivalentní:

(i) homomorfismus f je injektivní (resp. surjektivní);

(ii) fP :LP →AP je injektivní (resp. surjektivní) pro každé P ∈ Spec(R); a

(iii) fM :LM →AM je injektivní (resp. surjektivní) pro každý maximální ideálM okruhu R.

Důkaz. Implikace (i) ⇒ (ii) plyne z tvrzení VI.2.5 a implikace (ii) ⇒ (iii) jetriviální. Důkaz (iii)⇒ (i) provedeme zvlášť pro injektivitu a surjektivitu.Předpokládejme nejprve, že všechny homomorfismy fM jsou injektivní. Ex-

aktní posloupnost 0−→Ker(f) i−→Lf−→A přejde na exaktní posloupnost

0−→(Ker(f))M iM−→LMfM−→AM .

Přitom iM je injektivní a Ker(fM ) nulové. Je tedy (Ker(f))M = 0 pro všechnaM , a tedy Ker(f) = 0, dle lemmatu VI.2.7.Pro surjektivitu se podobně uváží exaktní posloupnost

Lf−→A

π−→A/ Im(f)−→ 0.

�

VI.3 Lokalizace a celistvost

Uvažme komutativní okruhy R ⊆ S a ať U ⊆ R je multiplikativní množina.Pak je možné zkonstruovat okruhy U−1R i U−1S. Z definice sčítání a násobení

86

v U−1R vyplývá, že U−1R lze přirozeně homomorfně zobrazit do U−1S (tojest zlomek r/u v U−1R přejde na zlomek r/u v U−1S). Toto zobrazení jeinjektivní, neboť podmínka r1/u1 = r2/u2 značí existenci v ∈ U , jež splňujev(r1u2 − r2u1) = 0, a tato podmínka je stejná v U−1R i U−1S. Můžeme tedyU−1R ztotožňovat s podokruhem U−1S.

VI.3.1 Lemma. Je-li S ⊇ R celistvé rozšíření R, je U−1S celistvé rozšířeníU−1R, a to pro každou multiplikativní množinu U ⊆ R.

Důkaz. Uvažme s/u ∈ U−1S a ať r0, . . . , rn−1 ∈ R jsou takové, že sn +rn−1s

n−1 + · · ·+ r1s+ r0 = 0. Pak( s

u

)n

+rn−1u

( s

u

)n−1

+ · · ·+ r1un−1

( s

u

)

+r0un= 0.

�

VI.3.2 Tvrzení. Ať R ⊆ S jsou komutativní okruhy a ať je R′ celistvý uzávěrR v S. Buď ještě U ⊆ R multiplikativní množina. Pak je U−1R′ celistvý uzávěrU−1R v U−1S.

Důkaz. Z lemmatu VI.3.1 plyne, že U−1R′ je nad U−1R celistvé. Uvažmes/u ∈ U−1S, které je celistvé nad U−1R. Existují tedy r0, . . . , rn−1 ∈ R au0, . . . , un−1 ∈ U takové, že

( s

u

)n

+rn−1un−1

( s

u

)n−1

+ · · ·+ r1u1

s

u+r0u0= 0.

Položme v = u0 · · ·un−1. Vynásobením vnun/1 dostaneme r′0, . . . , r′n−1 ∈ R

taková, že(vnsn + r′n−1(vs)

n−1 + · · ·+ r′1(vs) + r′0)/1 = 0,takže w(vnsn+ r′n−1(vs)

n−1+ · · ·+ r′1(vs) + r′0) = 0 pro nějaké w ∈ U . Vidíme,že wvs je celistvé nad R. To ovšem znamená wvs ∈ R′ a s/u = (wvs)/(wvu) ∈U−1R′. �

VI.3.3 Tvrzení. Ať je R obor integrity. Potom je ekvivalentní:

(i) R je celistvě uzavřené;

(ii) RP je celistvě uzavřené pro každý prvoideál P ⊆ R;

(iii) RM je celistvě uzavřené pro každý maximální ideál M ⊆ R.

Důkaz. Označme T podílové těleso oboru integrity R. Okruh RP , P ∈ Spec(R),je podokruh T . Současně je RP možno vnořit do T , takže T lze považovat zapodílové těleso RP . Označme S celistvý uzávěr R v T a ať i:R→S je vložení.Podle tvrzení VI.3.2 je SP celistvý uzávěr RP . Přitom R je celistvě uzavřenéprávě když i je surjektivní. Zbytek plyne z důsledku VI.2.8. �

VI.3.4 Tvrzení. Ať R ⊆ S jsou komutativní okruhy, přičemž S je celistvý nadR. Jsouli Q1, Q2 ∈ Spec(S) takové, že Q1 ∩R = Q2 ∩R, tak Q1 = Q2.

87

Důkaz. Položme Q = Q1 ∩Q2, P = Q ∩ R = Q1 ∩ R = Q2 ∩ R a U = R \ P .Okruh U−1R = RP lze přirozeným způsobem chápat jako podokruh U−1S.Podle tvrzení VI.2.3 je U−1Q prvoideál okruhu U−1S. Prvek r/u ∈ RP padnedo U−1Q právě když r/u = q/v pro nějaká u, v ∈ U a q ∈ Q. V takovémpřípadě existuje w ∈ U , jež splňuje wvr = wuq. Máme wuq ∈ Q a wv 6∈ Q. Protor ∈ Q∩R = P . Vidíme, že (U−1Q)∩RP = U−1P = PRP . Ovšem PRP je jedinýmaximální ideál kvazilokálního okruhu RP . To podle tvrzení III.2.12 znamená,že U−1Q je maximální ideál okruhu U−1S, neboť U−1S je podle tvrzení VI.3.2nad U−1R celistvý. Ideály U−1Q ⊆ U−1Q1 se podle tvrzení VI.2.3 rovnají právěkdyž Q = Q1. Ovšem U−1Q = U−1Q1 plyne z maximality U−1Q, a tím pádemQ = Q1 = Q2. �

VI.3.5 Tvrzení. Ať R ⊆ S jsou komutativní okruhy, přičemž S je nad Rcelistvé. Pak pro každé P ∈ Spec(R) existuje Q ∈ Spec(S), jež splňuje P =Q ∩R.Důkaz. Položme opět U = R \P a uvažme RP = U−1R jako podokruh U−1S.V U−1S zvolme nějaký maximální ideál, dle tvrzení VI.2.3 má tvar U−1Q, kdeQ ∈ Spec(S). Podle tvrzení VI.3.2 a III.2.12 je maximalita U−1Q ekvivalentnímaximalitě (U−1Q) ∩RP . Ovšem v RP je jediný maximální ideál, a to PRP =U−1P . Máme tedy (U−1Q) ∩RP = U−1P . Prvek r/u ∈ RP leží v U−1Q právěkdyž r ∈ Q∩R. takže (U−1Q)∩RP = U−1(Q∩R). Dostáváme P = Q∩R, všedle lemmatu VI.2.3. �

Bylo by příjemné tvrzení VI.3.4 a VI.3.5 zesílit tak, abychom pro libovolnéprvoideály P1 ( P2 okruhu R uměli doplnit jeden z prvoideálů Q1 ( Q2 okruhuS, kde Q1 ∩ R = P1 a Q2 ∩ R = P2, je-li druhý z nich zadán. Případ, kdy jezadáno Q2, je těžší a v tvrzení VI.3.9 ho vyřešíme pro R celistvě uzavřený oborintegrity, který je obsažen v oboru integrity S.Uvažme nyní situaci, kdy je zadán ideál Q1. Okruh S/Q1 je zjevně celistvý

nad (R + Q1)/Q1 ∼= R/P1, takže podle tvrzení VI.3.5 existuje provideál Q2 ∈Spec(S) takový, že Q2 ⊇ Q1 a (Q2/Q1) ∩ ((P + Q1)/Q1) = (P2 + Q1)/Q1. ToznamenáQ2∩(R+Q1) = P2+Q1, a tedy P2 = R∩(P2+Q1) = R∩Q2∩(R+Q1) =R ∩Q2 ∩ P1 = R ∩Q2.Je-li zadán řetězec P1 ⊆ P2 ⊆ · · · ⊆ Pm prvoideálů z R a jeden prvoideál

Q1 ∈ Spec(S), Q1∩R = P1, tak lze induktivním postupem získat Qi ∈ Spec(S).1 ≤ i ≤ m, tak, aby Qi ∩R = Pi. Toto pozorování zaznamenáme jako

VI.3.6 Tvrzení. Ať R ⊆ S jsou komutativní okruhy, přičemž S je nad Rcelistvé. Ať P0 ( P1 ( · · · ( Pn je řetězec prvoideálů okruhu R a ať Q0 ( Q1 (· · · ( Qh, h ≤ n, je takový řetězec prvoideálů okruhu S, že Qi ∩ R = Pi prokaždé i, 1 ≤ i ≤ h. Pak v S lze nalézt prvoideály Qj, 1 ≤ j ≤ n, takové, žeQh ( Qh+1 ( · · · ( Qn a Qj ∩R = Pj.

VI.3.7 Lemma. Ať R ⊆ S jsou komutativní okruhy, přičemž S je nad Rcelistvé. Je-li I ideál R, tak

√IS = {s ∈ S; sn + an−1s

n−1 + · · ·+ a1s+ a0 = 0

88

pro nějaké n ≥ 1 a a0, a1, . . . , an−1 ∈ I}.Důkaz. Uvažme s ∈

√IS. Pak sh =

∑

aisi, 1 ≤ i ≤ n, kde ai ∈ I a si ∈ S,pro nějaká h, n ≥ 1. OkruhM = R[s, s1, . . . , sn] je podle tvrzení III.2.5 konečněgenerovaný R–modul a shM leží v IM , neboť každé aisi leží v IM . OkruhM jevěrný jako M–modul, a protože obsahuje R, je věrný také jako R–modul. Protoz tvrzení III.2.2 můžeme odvodit existenci b0, . . . , bm−1 ∈ I takových, že

(sh)m + bm−1(sh)m−1 + · · ·+ b1sh + b0 = 0,

pro nějaké m ≥ 1. Tím jsme ovšem současně dostali hledaný monický polynom.Naopak, ať sn+an−1s

n−1+ · · ·+a1s+a0 = 0 pro nějaké n ≥ 1 a a0, a1, . . . ,an−1 ∈ I. Potom sn = −(a0 + a1s+ · · ·+ an−1s

n−1) ∈ IS. �

VI.3.8 Tvrzení. Ať R ⊆ S jsou komutativní okruhy, přičemž S je nad Rcelistvé a R je celistvě uzavřené. Ať je dále T podílové těleso R a I ideál R. Pakpro každé s ∈ IS platí, že je nad T algebraické, a že všechny koeficienty jehominimálního polynomu (s výjimkou koeficientu vedoucího) leží v

√I.

Důkaz. O s předpokládáme, že je celistvé nad R. Tím spíše je samozřejměalgebraické nad T . Buď a =

∑

aixi minimální polynom s. Podle tvrzení VI.3.6

existuje monický polynom b, jenž má kořen s a jehož koeficienty, kromě vedou-cího, leží v I. Uvažme nějaké rozšíření T , řekněme V , ve kterém se a rozkládána lineární činitele. Ať s = s1, . . . , sh jsou všechny kořeny a v tomto rozkladu.Protože a děli b, jsou s1, . . . , sh také kořeny b. Tím pádem jsou s1, . . . , sh ∈ Vcelistvé nad R a okruhM = R[s1, . . . , sh] je jako R–modul konečně generovaný.Přitom všechny koeficienty ai padnou do M . To znamená, že ai jsou nad Rcelistvé, a z celistvé uzavřenosti R v T vyplývá, že ai ∈ R, a tedy a ∈ R[x] (zdevíceméně opakujeme argumentaci tvrzení III.2.9).Použijeme-li lemma VI.3.7 na s1, . . . , sh, vidíme, že všechny tyto prvky leží

v√IM . Je-li ai koeficient a, který není vedoucím koeficientem, tak ai padne

do√IM také. Z toho vyplývá, opět použitím tvrzení VI.3.6, že ai lze získat

jako kořen monického polynomu, jehož koeficienty (vyjma vedoucího) leží v I.Ovšem ai ∈ R, takže zpětným uplatněním lemmatu VI.3.7 (pro případ R = S)dostaneme ai ∈

√I. �

VI.3.9 Tvrzení. Ať R ⊆ S jsou obory integrity, přičemž S je nad R celistvé aR je celistvě uzavřené. Ať

P0 ( P1 ( · · · ( Pn−1 ( Pn

je řetězec prvoideálů oboru R. Ať m a h jsou celá čísla, n ≥ m ≥ h ≥ 0 a ať

Qh ( Qh+1 ( · · · ( Qm−1 ( Qm

jsou prvoideály S, jež splňují Qi ∩ R = Pi, h ≤ i ≤ m. Pak pro i takové, že0 ≤ i < h a m < i ≤ n lze sestrojit prvoideály Qi oboru S, jež splňují Qi∩R = Pi

a tvoří řetězecQ0 ( Q1 ( · · · ( Qn−1 ( Qn.

89

Důkaz. Připomeňme si situaci uvažovanou mezi tvrzeními VI.3.5 a VI.3.6. Kprvoideálům P1 ( P2 okruhu R je třeba doplnit jeden z prvoideálů Q1 ( Q2okruhu S, je-li druhý z nich zadán, přičemž Q1∩R = P1 a Q2∩R = P2. Případzadaného Q1 jsme vyřešili, což vedlo na tvrzení VI.3.6, které lze zde použít prodoplnění prvoideálů směrem vzhůru. Vyřešíme-li za daných předpokladů případ,kdy je zadáno Q2, bude možné doplnit i prvoideály směrem dolů. Budeme tedyhledat Q1.Položme U = S \Q2 a V = R \P1. Jde o multiplikativní množiny, a proto je

multiplikativní množinou i W = UV = {uv; u ∈ U a v ∈ V } (v W neleží nula,protože S je obor integrity).Označme T podílové těleso R (přitom T chápeme jako podtěleso podílového

tělesa S). Ať s je prvek ležící v P1S ∩W . Z s ∈ P1S vyplývá, že s je algebraickénad K a má minimální polynom a = xh + ah−1x

h−1 + · · ·+ a1x+ a0, pro kterýplatí ai ∈ P1 =

√P1, 0 ≤ i < h, a to dle tvrzení VI.3.8. Z s ∈W plyne existence

u ∈ U a v ∈ V takových, že s = uv. Máme

uhvh + ah−1uh−1vh−1 + · · ·+ a1uv + a0 = 0,

takže u = s/v je kořenem polynomu

b = xh +ah−1

vxh−1 + · · ·+ a1

vh−1x+

a0vh

∈ K[x].

Pokud by bylo b =(

∑ki=0 αix

i)(

∑mj=0 βjx

j)

, kde αi a βj leží v K a k+m = n,

tak součin(

k∑

i=0

αiv−ixi

)

·

m∑

j=o

βjvh−jxj

by poskytoval polynom, jehož r–tý koeficient, 0 ≤ r ≤ h, by se rovnal

∑

i+j=r

αiβj

vh−r = (ar/vh−r)vh−r = ar,

takže bychom obdrželi rozklad ireducibilního polynomu a. Vidíme, že b ∈ K[x] jeireducibilní, takže b je minimálním polynomem prvku u ∈ S nad K. Koeficientyb ovšem leží v R (použij tvrzení III.2.9 nebo tvrzení VI.3.8 pro I = R). Tudížpro každé i, 0 ≤ i < h, existuje ρi ∈ R takové, že ai = vh−iρi. Jelikož ai ∈ P1a vh−i 6∈ P1, je ρi ∈ P1. Máme ρh−2 = ah−i/v

i, takže symetrickou úvahou jakovýše (po záměně u a v) zjistíme, že xh+ ρh−1x

h−1+ · · ·+ ρ1x+ ρ0 je minimálnípolynom u nad K. Z lemmatu VI.3.7 plyne u ∈√

P1S ⊆√P2S ⊆√

Q2 = Q2.Současně u ∈ U = S \Q2, a to je spor. Dokázali jsme, že je P1S ∩W = ∅.Podle tvrzení I.3.7 existuje Q1 ∈ Spec(S) takové, že Q1∩W = ∅ a P1S ⊆ Q1.

Jistě P1 ⊆ P1S ∩ R ⊆ Q1 ∩ R a z Q1 ∩ W = ∅ plyne P1 = Q1 ∩ R, neboťV = R \P1 ⊆W . Podobně musí být Q1 ⊆ Q2, neboť U = S \Q2 leží také v W .Důkaz je u konce. �

90

Tuto kapitolu uzavřeme další aplikací lokalizace, tentokrát ji použijeme prorozšiřování homomorfismů. Začneme lemmatem VI.3.10, které v sobě zahrnujeněkolik obratů, jež jsme již dříve použili. Připomeňme, že pro komutativníokruhy R ⊆ S, U ⊆ R multiplikativní množina, lze ztotožňovat zlomky r/uz U−1R se stejnými zlomky z U−1S.

VI.3.10 Lemma. Ať R ⊆ S jsou komutativní okruhy, přičemž S je nad Rcelistvé, a ať P ∈ Spec(R) a Q ∈ Spec(S) jsou taková, že Q ∩R = P . PoložmeU = R \ P . Pak U−1Q ∩ U−1R = U−1P a U−1Q je maximální ideál U−1S.Diagram

0 // U−1P

��

// U−1R

��

// U−1R/U−1P

j

��

// 0

0 // U−1Q // U−1S // U−1S/U−1Q // 0

je komutativní a oba jeho řádky jsou exaktní. Přitom

j:U−1R/U−1P→U−1S/U−1Q, (u/r + U−1P ) 7→ (u/r + U−1Q)

je injektivní homomorfismus těles. Těleso U−1S/U−1Q je nad Im(j) algebraické.

Důkaz. Jistě je U−1P ⊆ U−1Q∩U−1R. Ať a/u ∈ U−1R je rovno r/v ∈ U−1R.Pak pro nějaké w ∈ U máme wva ∈ Q rovno wur. OVšem z wur ∈ Q awu ∈ U ⊆ S \ Q plyne r ∈ Q ∩ R = P . Okruh U−1R = RP je kvazilokální aU−1P = PP je jeho jediný maximální ideál. Z U−1Q∩U−1R = U−1P plyne, žeU−1Q je maximální ideál U−1S, dle tvrzení III.2.12.Máme U−1R/U−1P = U−1R/(U−1Q ∩ U−1R) ∼= (U−1R + U−1Q)/U−1Q,

což je podokruh U−1S. Vidíme, že homomorfismus J je určen třetí větou o iso-morfismu pro okruhy. Z maximality U−1P a U−1Q vyplývá, že oba faktorokruhyjsou tělesa. Podle lemmatu VI.3.1 je U−1S nad U−1R celistvé, z čehož okamžitěplyne, že jde o algebraické rozšíření těles. �

VI.3.11 Tvrzení. Ať R ⊆ S jsou komutativní okruhy, přičemž S je nad R ce-listvé, a ať K je komutativní těleso algebraicky uzavřené. Každý homomorfismusϕ:R→K lze alespoň jedním způsobem prodloužit na homomorfismus ψ:S→K.

Důkaz. Ideál P = Ker(ϕ) okruhu R je jeho prvoideálem, neboť R/P je jakožtopodokruhK oborem integrity. Podle tvrzení VI.3.5 existuje Q ∈ Spec(S) takové,že Q ∩R = P . Exaktní posloupnost

0−→P −→Rϕ−→T

přejde podle tvrzení VI.2.5 na exaktní posloupnost

0−→U−1P −→U−1RU−1ϕ−→ T,

takže existuje µ:U−1R/U−1P→T homomorfismus těles takový, že µπ = U−1ϕ,kde π :U−1R→ U−1R/U−1P je přirozená projekce. Označíme-li f :R→ U−1Rkanonický homomorfismus, je ϕ = µπf .

91

Uvažme nyní diagram dle lemmatu VI.3.10 a ať σ :U−1S → U−1S/U−1Qoznačuje přirozenou projekci a g:S→U−1S kanonický homomorfismus (přitomg chápeme jako rozšíření f). Protože U−1S/U−1Q je nad Im(j) ∼= U−1R/U−1Palgebraické, existuje ν :U−1S/U−1Q→K takové, že νj = µ. Homomorfismusµσg:S→K je hledaným rozšířením ϕ, neboť pro r ∈ R je µσg(r) = µjπf(r) =ϕ(r). �

VI.3.12 Tvrzení. Ať R je je podokruh tělesa T a ať a je nenulový prvek T .Každý homomorfismus ϕ:R→K, kde K je alebraicky uzavřené těleso, lze rozšířitna homomorfismus S→K, kde S ⊆ T je rovno R[a] nebo R[a−1].

Důkaz. Položme P = Ker(ϕ). Pak ϕP :RP →K a RP lze pokládat za meziokruhR ⊆ RP ⊆ T . Tvrzení proto stačí dokázat za předpokladu, že R = RP , tedyza předpokladu, že P = Ker(ϕ) je jediným maximálním ideálem R. Rozlišímepřípady PR[a] = R[a] a R[a] ) PR[a]. V prvém z nich z 1 ∈ PR[a] dostaneme1 =

∑

ciai, 0 ≤ i ≤ n, kde ci ∈ P . To znamená a−n =

∑

ciai−n, a tedy

(1 − c0)a−n =∑

cn−j(a−1)j , 0 ≤ j ≤ n − 1. Z c0 ∈ P plyne 1 − c0 ∈ R \ P ,takže 1 − c0 je invertibilní (neleží v žádném vlastním ideálu), a proto je a−1

nad R celistvé. Homomorfismus ϕ lze proto podle tvrzení VI.3.11 prodloužit nahomomorfismus R[a−1]→K.Ať je nyní PR[a] vlastním ideálem R[a]. Pak existuje maximální ideál M

okruhu R[a], který PR[a] obsahuje. Jistě P ⊆M ∩R ( R, a tedy P =M ∩R, zmaximality P . Vidíme, že R/P = R/(M ∩R) ∼= (R+M)/M je těleso, které lzepokládat za podtěleso R[a]/M . Přitom R[a]/M = ((R +M)/M)[a+M , takžeR[a]/M je algebraickým rozšířením R/P . Označme π :R→ R/P a σ :R[a]→R[a]/M po řadě přirozené projekce a ať µ :R/P → K je takové, že ϕ = µπ.Pak µ lze rozšířit na γ :R[a]/M → K a rozšíření ϕ na ψ :R[a]→ K obdržímetak, že položíme ψ = γσ (jde o obdobný postup jako v závěru důkazu lemmatuVI.3.10). �

VI.4 Dimenze a stupeň transcendence

Nechť R je komutativní okruh a P jeho prvoideál. Uvažme všechny posloupnostiP0, . . . , Pn prvoideálů z R takové, že P0 ( P1 ( · · · ( Pn = P . Nejvyšší možnén, pokud existuje, nazveme výškou P . Pokud lze n zvolit libovolně velké, jevýška n rovna ∞. Výšku P značíme htP = htR P (z anglického height).Supremum všech htP , P ∈ Spec(R), se nazývá dimenzí R.Každý prvoideál je obsažen v nějakém prvoideálu maximálním, takže di-

menze R je vlastně rovna supremu výšek maximálních ideálů.Některé základní vztahy výšky htP a dimenze dimR je možno zmínit na

úrovni víceméně samozřejmých pozorování. Tak například při určení dimR/Ise zjevně vychází z řetězců prvoideálů, jež splňují I ⊆ P0 ( · · · ( Pn. ProP ∈ Spec(R) tedy máme

htP + dimR/P ≤ dimR.

92

Je-li S multiplikativní podmnožina R, tak ze znalosti korespondence prvo-ideálů S−1R a prvoideálů R (viz tvrzení VI.2.3) dostáváme

htP = htS−1R S−1P pro každé P ∈ Spec(R), P ∩ S = ∅.

Pro R kvazilokální s maximálním ideálem M je zjevně dimR = htRM .Jelikož pro libovolný komutativní okruh R je RP kvazilokální, P ∈ Spec(R),dostáváme

dimRP = htR P pro každé P ∈ Spec(R).VI.4.1 Tvrzení. Ať R ⊆ S jsou komutativní okruhy, přičemž S je nad Rcelistvé. Potom dimR = dimS.

Důkaz. Je-li Q0 ( · · · ( Qn řetězec prvoideálů S, je Q0 ∩ R ( · · · ( Qn ∩ Rpodle tvrzení VI.3.4 řetězec prvoideálů stejné délky. Naopak, je-li P0 ( P1 (· · · ( Pn, tak dle tvrzení VI.3.5 můžeme zkonstruovat Q0 ∈ Spec(S) takové, žeQ0 ∩ R = P0. Podle tvrzení VI.3.6 pak existují Qi ∈ Spec(S), 1 ≤ i ≤ n, ježsplňují Qi ∩R = Pi a tvoří řetězec Q0 ( · · · ( Qn. �

VI.4.2 Důsledek. Ať R ( S jsou komutivní okruhy, přičemž S je nad Rcelistvé. Pak pro každý vlastní ideál I okruhu S platí dimR/(I ∩R) = dimS/I.Důkaz. Jde skutečně o přímý důsledek tvrzení VI.4.1, neboťR/I∩R ∼= (R+I)/Ilze pokládat za podokruh S/I. �

VI.4.3 Tvrzení. Buďte R ⊆ S obory integrity, přičemž S je nad R celistvé aR je celistvě uzavřené. Potom htS Q = htR(Q ∩R) pro každé Q ∈ Spec(S).Důkaz. Z tvrzení VI.3.4 vidíme, že htS Q ≤ htR(Q∩R) (to platí pro libovolnéR ⊆ S, kde S je celistvé nad R). Je-li P0 ( P1 ( · · · ( Pn = Q ∩ R řetězecprvoideálů R, lze podle tvrzení VI.3.9 nalézt Q0 ( · · · ( Qn takové, že Qi ∈Spec(S), Qn = Q a Qi ∩R = Pi, 0 ≤ i ≤ n. Odsud opačná nerovnost. �

VI.4.4 Věta. Ať A je netriviální afinní algebra nad komutativním tělesem K.Pak všechny noetherovské normalizace A mají stejný počet prvků, a ten je rovendimenzi A.

Důkaz. Z věty VI.1.5 víme, že noetherovské normalizace existují. Ať tedyy1, . . . , yn ∈ A jsou nad K algebraicky nezávislé, přičemž A je nad K[y1, . . . , yn]celistvé. Indukcí dle n dokážeme n = dimA.Případ n = 0 nastane právě když A je celistvé nad K, a pak lze použít

tvrzeni VI.4.1. Ať je tedy n > 0, přičemž pro n′ < n výsledek platí.V K[y1, . . . , yn] lze nalézt řetězec prvoideálů 0 ( (y1) ( (y1, y2) ( · · · (

(y1, y2, . . . , yn) tak, že dimenze A, která je podle tvrzení VI.4.1 rovna dimenziK[y1, . . . , yn], je alespoň n. Uvažme řetězec P0 ( P1 ( · · · ( Pm prvoideálůK[y1, . . . , yn]. Podle tvrzení VI.1.4 existuje noetherovská normalizace (zi), 1 ≤i ≤ n, a číslo d, 0 ≤ d ≤ n, takové, že

P1 ∩K[z1, . . . , zn] =∑

i>d

ziK[z1, . . . , zn] = (zd+1, . . . , zn).

93

Přitom podle VI.1.4 je K[y1, . . . , yn] celistvé nad K[z1, . . . , zn], takže P0 (P1 implikuje P1 ∩K[z1, . . . , zn] 6= 0, dle tvrzení VI.3.4. Proto d < n.Uvažme nyní přirozenou projekciK[y1, . . . , yn] modulo P1. Z lemmatu VI.1.1

plyne, že (π(z1), . . . , π(zd)) je noetherovskou normalizací pro K[y1, . . . , yn]/P1.Z indukčího předpokladu (je d < n) a z toho, že v uvažovaném kvocientnímokruhu máme řetězec prvoideálů P1/P1 ( · · · ( Pm/P1 vyplývá m− 1 ≤ d < n,a tedy m ≤ n. �

VI.4.5 Důsledek. Předpokládejme, že obor integrity A je afinní algebrou nadkomutativním tělesem K. Potom je dimenze A rovna transcendentnímu stupniL nad K, kde L je podílové těleso A (chápané jako rozšíření K).

Důkaz. Ať y1, . . . , yn je nějaká noetherovská normalizace A. Víme, že A jekonečně generovaná, takže A = K[b1, . . . , bh] pro nějaké h > 0, Z definice po-dílového tělesa okamžitě plyne L = K(b1, . . . , bh). Každý z prvků b1, . . . , bhje nad K[y1, . . . , yh] celistvý, takže těleso L je algebraickým rozšířením tělesaK(y1, . . . , yn). To ale znamená, že transcendentní stupeň L nad K je roventranscendentnímu stupni K(y1, . . . , yn) nad K, což je n. �

V dalším ukážeme, že v afinní algebře dimenze n je n rovno délce každéhomaximálního řetězce prvoideálů.O řetězci prvoideálů Q0 ( · · · ( Qn říkáme, že je nasycený, jestliže pro

žádné i, 1 ≤ i ≤ n, nelze nalézt prvoideál P tak, aby bylo Qi−1 ( P ( Qi.

VI.4.6 Lemma. Ať (y1, . . . , yn) je noetherovská normalizace afinní K–algebryA. Ať Q0 ( Q1 je nasycený řetězec prvoideálů A. Potom

Q0 ∩K[y1, . . . , yn] ( Q1 ∩K[y1, . . . , yn]

je nasycený řetězec prvoideálů K[y1, . . . , yn].

Důkaz. Položme Pi = Qi ∩ K[y1, . . . , yn], i ∈ {0, 1}. Z tvrzení VI.3.4 plyneP0 ( P1. Uvažme existenci prvoideálu P , P0 ( P ( P1 a ať (z1, . . . , zn) jenoetherovská normalizce K[y1, . . . , yn], jež splňuje

P0 ∩K[z1, . . . , zn] =∑

i<d

ziK[z1, . . . , zn].

Položme P ′i = Pi ∩ K[z1, . . . , zn], i ∈ {0, 1} a P ′ = P ∩ K[z1, . . . , zn]. Máme

P ′o ( P ′ ( P ′

1, neboť K[y1, . . . , yn] je nad K[z1, . . . , zn] celistvé. Z tranzitivitycelistvosti plyne, že (z1, . . . , zn) je noetherovská normalizace K–algebry A. ZQ0 ∩K[z1, . . . , zn] = Q0 ∩K[y1, . . . , yn] ∩K[z1, . . . , zn] = P0 ∩K[z1, . . . , zn] =P ′0 =

∑

i>d ziK[z1, . . . , zn] vyplývá, že projekce π:A→A/Q0 se na K[z1, . . . , zn]chová jako projekce modulo P ′

0. Proto jsou 0 = π(P ′0) ( π(P ′) ( π(P ′

1) prvo-ideály okruhu K[π(z1), . . . , π(zd)]. Tento okruh je Gaussův, takže je celistvěuzavřený. Současně A/Q0 je podle lemmatu VI.1.1 nad tímto okruhem celistvé.Okruhy R = K[π(z1), . . . , π(zd)] a S = A/Q0 tedy splňují předpoklady tvrzeníVI.3.9. Ideál Q1/Q0 je prvoideálem A/Q0 a z Q1 ∩ K[z1, . . . , zn] = P ′

1 plyne

94

Q′1/Q0∩K[π(z1), . . . , π(zd)] = π(P ′

1). Podle trvzení VI.3.9 existuje Q ∈ Spec(A)takové, že je 0 = Q0/Q0 ( Q/Q0 ( Q1/Q0. Tedy Q0 ( Q ( Q1, což je spor snaším původním předpokladem. �

VI.4.7 Věta. V oboru integrity A, který je afinní algebrou nad komutativnímtělesem K a má dimenzi n, má každý maximální řetězec prvoideálů délku přesněn.

Důkaz. Z důsledku VI.4.5 plyne, že délka maximálního řetězce prvoideálůnemůže přesáhnout n. Naším cílem je ověřit, že nemůže být ostře menší než n.Podle věty VI.1.5 lze nalézt noetherovskou normalizaci {y1, . . . , yn} algebry

A. Ať Q0 ( · · · ( Qm, m ≤ n, je maximální řetězec prvoideálů A. Z n = 0 plynem = 0, což umožňuje pokračování indukce dle n.Položme Pi = Qi ∩ K[y1, . . . , ym]. Máme P0 = Q0 = 0, neboť A je obor

integrity, a z maximality Qm v A plyne maximalita Pm v k[y1, . . . , ym] (faktoryjsou tělesa).Z lemmatu VI.4.6 dostáváme, že řetězec P0 ( · · · ( Pm je nasycený. Dokázali

jsme, že tento řetězec je maximálním řetězcem prvoideálů v K[y1, . . . , ym].Je tedy ht(P1) = 1 a protože K[y1, . . . , ym] je Gaussův, je P1 nutně shodné

s hlavním ideálem nějakého ireducibilního polynomu p. Podle tvrzení VI.1.3 lzetento ideál, řekněme (p), vyjádřit jako P1 ∩K[z1, . . . , zn] = z1K[z1, . . . , zn], kde(z1, . . . , zn) je noetherovská normalizce K[y1, . . . , yn].Označme π přirozenou projekci K[y1, . . . , yn] modulo P1. Z tvrzení VI.4.1

plyne, že (π(z1), . . . , π(zn)) je noetherovská normalizaceK[y1, . . . , yn]/P1. Tentookruh ovšem má podle věty VI.4.4 dimenzi n − 1. Současně je P1/P1 ( · · · (Pm/P1 jeho maximální řetězec prvoideálů. Z indukčního předpokladu plyne n−1 = m− 1, a tedy n = m. �

VI.5 Valuační obory integrity

Okruh R se nazývá valuačním okruhem tělesa T ⊇ R, je-li pro každé nenulovéa ∈ T alespoň jeden z prvků a a a−1 obsažen v R, přičemž T je komutativní.Obor integrity R se nazývá valuační obor (nebo valuační okruh) právě když

je valuačním okruhem svého podílového tělesa.Obě definice popisují stejnou třídu objektů, neboť komutativní těleso, jež je

valuačním okruhem R, je zjevně též jeho tělesem podílovým.

VI.5.1 Tvrzení. V každém valuačním okruhu jsou ideály lineárně uspořádányinkluzí. Je-li naopak R obor integrity, jehož hlavní ideály jsou lineárně uspo-řá-dány inkluzí, je R valuační.

Důkaz. Buďte I a J ideály valuačního oboru R a nechť a je prvek J \ I. Pakpro b ∈ I není b−1a prvek R (neboť pak by bylo a = b · b−1a ∈ I), takže jeba−1 ∈ R, a tedy b = ba−1 · a ∈ J .Naopak, ať hlavní ideály R jsou lineárně uspořádány inkluzí a ať T je po-

dílové těleso R. Předpokládejme, že a/b ∈ T neleží v R, a 6= 0. Z a/b · b = a

95

plyne, že není a ∈ Rb, takže Rb ⊆ Ra. Tedy b = ra pro nějaké r ∈ R. Ovšemr = b/a = (a/b)−1. �

Ve valuačním oboru R položme P = {a ∈ R; a = 0 nebo a−1 6∈ R}. Je-lia ∈ P , r ∈ R, tak je jistě, ra ∈ P . Pro a, b ∈ P je Ra ⊆ Rb nebo Rb ⊆ Ra. Vobou případech je a + b ∈ P . Vidíme, že P je ideál R. Protože všechny prvkymimo P jsou invertibilní, musí R být okruh kvazilokální.

VI.5.2 Tvrzení. Ať R ⊆ T jsou komutativní okruhy, přičemž T je těleso.Následující podmínky jsou ekvivalentní.

(i) R je valuační okruh T ;

(ii) R je kvazilokální s maximálním ideálem P , přičemž pro každý meziokruhS, R ⊆ S ⊆ T , platí R = S kdykoliv P = M ∩ R pro nějaký maximálníideál M okruhu S;

(iii) existuje homomorfismus ϕ :R→ K, K algebraicky uzavřené komutativnítěleso, který nelze rozšířit na žádné ψ:S→K, R ( S ⊆ T .

Důkaz. Předpokládejme, že R je valuační okruh T a že P = M ∩ R pronějaký meziokruh S,M maximální ideál okruhu S. (Z úvahy před dokazovanýmtvrzením již víme, že R je kvazilokální.) Předpokládejme existenci a ∈ S \R. Za−1 ∈ R plyne a−1 ∈ P , neboť (a−1)−1 = a do R nepatří. To ale znamená, žea ∈ S je invertibilní, neboť S obsahuje jak a tak a−1. Současně a−1 ∈ P ⊆ M ,a to je spor.Nyní dokážeme (ii) ⇒ (iii). Obor integrity R/P lze vložit do algebraicky

uzavřenéhoK. Budeme dokazovat, že za ϕ lze zvolit přirozenou projekciR→K,ϕ(r) = r + P pro každé r ∈ R. Každé ψ:S→K rozšiřující ϕ lze dále rozšířit naψI :SI →K, I = Ker(ψ), kde S ⊆ SI ⊆ T . Jádrem ψI je II , jediný maximálníideál SI . Můžeme tedy předpokládat, že S = SI a že I je maximální. MámeI ∩R ⊇ P , a tedy I ∩R = P , takže S = R a ψ = ϕ.Zbývá ověřit (iii)⇒ (i). Ať ϕ:R→K nelze rozšířit. Pak pro každé a ∈ T je

R[a] = R nebo R[a−1] = R, dle tvrzení VI.3.12. �

VI.5.3 Tvrzení. Nechť R je valuační obor integrity, který není tělesem, a aťP je jeho maximální ideál. Položme I = ∩P i, i ≥ 1, a předpokládejme, že P jekonečně generován. Pak existuje a ∈ R, že

I ( · · · ( Rai+1 ( Rai ( · · ·Ra2 ( Ra ( R

jsou právě všechny ideály J , jež splňují I ⊆ J ⊆ R. Je-li navíc I konečněgenerovaný, tak I = 0.

Důkaz. Hlavní ideály R jsou do sebe vřazeny. Proto každý konečně generovanýideál je roven hlavnímu ideálu, který je určen některým z generátorů. Vidíme,že P = Ra pro nějaké a ∈ R, a 6= 0. Z ai ∈ Rai+1 by plynulo a−1 ∈ R, cožnelze. Proto je P i+1 = Rai+1 vlastní podmnožinou P i = Rai pro každé i ≥ 1.Je-li b ∈ Rai \ Rai+1, tak a−ib leží v R. Pokud by b−1ai v R neleželo, měli

96

bychom a−1b ∈ P , tedy a−1 = ar pro nějaké r ∈ R, čili r = a−i−1b ∈ R.To by však bylo ve sporu s předpokladem b 6∈ Rai+1. Vidíme, že a−ib je v Rinvertibilní, a tedy bR = aiR. Všechny ideály okruhu R/I jsou tudíž hlavní arovny (a + I)i(R/I). Zbývá dokázat, že I je nulové, je-li konečně generované.Je-li konečně generované, je hlavní. Ať tedy I = cR. Z c ∈ aiR plyne a−ic ∈ Rpro každé i ≥ 1. To znamená a−1c = ai(a−i−1c) ∈ aiR pro všechna i ≥ 1, atedy a−1c ∈ ∩aiR = I = cR. Z a−1c = cr obdržíme pro c 6= 0 příslušnost a−1do R. Protože a−1 v R neleží, musí být I = 0. �

Diskrétním valuačním oborem se míní každý valuační obor R, jehož maxi-mální ideály P a ∩P i, i ≥ 1, jsou konečně generované. Z tvrzení VI.5.3 vyplývá,že to jsou právě všechny noetherovské valuační obory. Můžeme také použít tutocharakterizaci:

VI.5.4 Tvrzení. Valuační okruh R je diskrétní právě když obsahuje ideál Ptakový, že 0, R a P i, i ≥ 1, jsou právě všechny ideály R.

Důkaz. Z tvrzení VI.5.3 vyplývá, že diskrétní valuační obory uvedenou vlast-nost mají. Pro důkaz opačným směrem je třeba ověřit, že maximální ideál Pvaluačního oboru R musí být při daných vlastnostech konečně generovaný. Po-kud P = P 2 a pokud aR je nenulový vlastní ideál, a ∈ R, tak musí být aR = P ,neboť z P 2 = P plyne P = P i pro všechna i ≥ 1. Ať je P \ P 2 neprázdné aobsahuje prvek a. Protože a není invertibilní a neleží v žádném P i, i ≥ 2, musíbýt P = Ra. �

Zobrazení γ : T ∗ → Z, kde T je komutativní těleso a Z je okruh celýchčísel, nazveme diskrétní valuací T , jestliže je to zobrazení surjektivní, které zapředpokladu γ(0) =∞ splňuje podmínky

(i) γ(a+ b) ≥ min{γ(a), γ(b)} pro všechna a, b ∈ T a

(ii) γ(ab) = γ(a) + γ(b) pro všechna a, b ∈ T .

VI.5.5 Lemma. Ať R je diskrétní valuační okruh tělesa T , R ( T , a ať aRje maximální ideál R. Potom 0, T a aiR, i ∈ Z, jsou všechny R–podmoduly T(lomené ideály). Přitom

0 ( · · · ( ai+1R ( aiR ( · · · ( aR ( R (

a−1R ( · · · ( a−iR ( a−i−1R ( · · · ( T.

Definujme ν : T → Z tak, že ν(b) = i právě když b ∈ aiR \ ai+1R. Pak je νdiskrétní valuací T .

Důkaz. Uvažme b ∈ T . Je-li b ∈ R, tak bR = aiR pro právě jedno i ≥ 0,dle tvrzení VI.5.3. V takovém případě je ai = be pro e ∈ R invertibilní. Je-lib−1 ∈ R, tak b−1 = aie pro nějaké i ≥ 0 a e invertibilní. To znamená bR = a−iR.Z a−iR = a−i−1R, i ≥ 0, by plynulo aR = R (vynásobením ai+1), takže v řetězcilomených ideálů žádné dva sousední nemohou splynout. Je-li I nějaký lomený

97

ideál, tak buď I = 0, nebo I = T , nebo existuje nejmenší i ∈ Z, jež má s Ineprázdný průnik. Pak ale zjevně I = aiR. Z (aiR)(ajR) = ai+jR vyplývá, žeν(bc) = ν(b)+ ν(c) pro všechna b, c ∈ R. Je-li b, c ∈ aiR, tak b+ c padne do aiRtéž. Proto ν(b+ c) ≥ min{ν(b), ν(c)}, pro všechna b, c ∈ R. �

VI.5.6 Tvrzení. Ať ν :T→ Z je diskrétní valuace tělesa T . Potom R = {a ∈T ; ν(a) ≥ 0} je diskrétní valuační okruh a ν je jedinou diskrétní valuací T ,která R takto určuje.

Důkaz. Pro a, b ∈ R je ν(a+b) ≥ min{ν(a), ν(b)} ≥ 0 a ν(ab) = ν(a)+ν(b) ≥ 0.Současně z ν(a · 1) = ν(a) + ν(1) plyne ν(1) = 0, takže R je opravdu okruh.Dále pro každé a ∈ T nenulové máme ν(aa−1) = ν(1) = 0 = ν(a) + ν(a−1),a tedy ν(a−1) = −ν(a). Prvek a ∈ R je tudíž invertibilní (splňuje a−1 ∈ R)právě když ν(a) = 0. Pokud ν(a) = ν(b), tak je ν(ab−1) = 0, a tedy aR = bR.Z ν(a) ≥ ν(b) plyne ab−1 ∈ R, a tedy bR ⊆ aR. Vybereme nějaké a ∈ R, ježsplňuje ν(a) = 1. Vidíme, že pro každé i ≥ 1 platí aiR = {b ∈ T ; ν(b) ≥ i} a žekaždý vlastní nenulový ideál R má takovýto tvar. Zbytek je zřejmý. �

98