Upload
eko-supriyadi
View
1.599
Download
7
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Citation preview
Teori Peluang
AdaptifHal.: 2 PELUANG
Kaidah Pencacahan, permutasi dan kombinasi
Standar Kompetensi
Memecahkan masalah dengan konsep teori peluang
Kompetensi DasarMendiskripsikan kaidah pencacahan, permutasi dan kombinasi
IndikatorKaidah pencacahan, permutasi, dan kombinasi digunakan dalam menentukan banyaknya cara menyelesaikan suatu masalah
AdaptifHal.: 3 PELUANG
Kaidah Pencacahan, permutasi dan kombinasi
Kaidah pencacahan
1. Aturan pengisian tempat yang tersedia
Contoh: Pada lomba lari 100 meter, empat anak lolos ke putaran akhir, yaitu A(Adi), B(Banu), C (Candra), dan D(Dodi).
Pada perlombaan tersebut disediakan dua hadiah. Ada berapakah susunan pemenang yang mungkin muncul pada akhir pertandingan?
AdaptifHal.: 4 PELUANG
Kaidah Pencacahan, permutasi dan kombinasi Jawab:
Pemenang pertama dan kedua yang mungkin muncul, dapat kita susun yaitu:
AB, AC, AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,dan DC.
Proses menentukan banyaknya susunan pemenang secara umum mengikuti aturan sebagai berikut:
Langkah 1:Ada 4 peserta lomba yang semuanya bisa keluar sebagai juara pertama.
Langkah 2:Satu orang sudah masuk garis akhir, masih ada 3 peserta lomba yang bisa menduduki juara kedua.
4 x 3 = 12Jadi seluruhnya ada susunan pemenang yang
mungkin terjadi
AdaptifHal.: 5 PELUANG
Kaidah Pencacahan, permutasi dan kombinasi Contoh 2
Amalia memiliki 4 buah kemeja, 2 buah celana panjang dan 3 sepatu. Ada berpa cara ia dapat berpakaian lengkap?
Jawab:Kemeja yang dapat dipilih Amalia ada 4 cara, celana panjang 2 cara dan sepatu 3 cara.
Jadi, ada cara Amalia dapat berpakaian lengkap4 x 2 x 3 = 12
AdaptifHal.: 6 PELUANG
Kaidah Pencacahan, permutasi dan kombinasi Dari uraian tersebut dapat kita peroleh suatu kesimpulan :
Jika terdapat buah tempat yang tersedia dengan:n1 = banyaknya cara untuk mengisi tempat pertama.
n2 = banyaknya cara mengisi tempat kedua, setelah tempat pertama terisi.n3 = banyaknya cara mengisi tempat ketiga, setelah tempat pertama dan kedua terisi, dannk = banyaknya cara mengisi tempat ke – k, setelah tempat-tempat sebelumnya terisi.
Maka banyaknya cara untuk mengisi k tempat yang tersedia adalah
Aturan ini yang dimaksud sebagai aturan pengisian tempat yang tersedia atau kaidah
perkalian.
n1 x n2 x n3 x … x nk.
AdaptifHal.: 7 PELUANG
Kaidah Pencacahan, permutasi dan kombinasi
Definisi dan Notasi faktorialDefinisi:
Hasil perkalian semua bilangan bulat positip dari satu sampai dengan n disebut n faktorial, dan diberi notasi n!.
1 x 2x 3 x … x (n-1) x n, n x ( n-1) x (n-2) x … x 2 x 1
dengan
1! = 1
Jadi n! =n! =
0! = 1 dan
atau
AdaptifHal.: 8 PELUANG
Masalah Permutasi
Masalah
Misalkan diadakan undian untuk memperebutkan 2 hadiah (hadiah I dan II).
Jika yang memperebutkan hadiah itu ada 3 orang (A, B, dan C), ada berapa cara kedua macam hadiah itu dapat diberikan kepada para pemenang?.
Jawab:
Menurut Prinsip Perkalian
= 3×2
1
123
)!23(
!3
nrP
)!rn(
!n
=3
2P 32P
ObyekEksp.
A
B
C
Cara Eksp.
Diundi untuk
memperebutkan 2 hadiah
A
B
C
B
C
A
C
A
B
(B,A) = permutasi ke-3 = p3
(A,B) = permutasi ke-1 = p1
(A,C) = permutasi ke-2 = p2
(C,A) = permutasi ke-5 = p5
(C,B) = permutasi ke-6 = p6
(B,C) = permutasi ke-4 = p4
...
...
...
...
...
...
S, n(S) =
3 cara2 cara
32P
Banyaknya cara: n(S) =
= 3×2 = 6 ==
AdaptifHal.: 9 PELUANG
Masalah Permutasi
Permutasi Dengan Beberapa Unsur SamaAda berapa cara untuk membuat susunan huruf yang berbeda dari kata “MAMA”?.
Jawab
MMAAMAMAAMMAAMAMAAMMMAAM
Ada 6 cara
Jika salah satu anggota diberi indeks
M1 A 1 M2 A2
M2 A2 M1 A1
M1 A2 M2 A1
M2 A1 M1 A2
cabang) 4 memuat anggota 6 dari anggota masing-(masing 4
berlainan) huruf 4 dari huruf 4 permutasi (banyaknya 4!
= ) Adan Adari (permutasi 2! )M dan M dari (permutasi 2!
4!
2121 = 2! !2
!4
Selanjutnya perhatikan bahwa
=
6 =cabangmemuatindeksdiberisetelahanggotadarigsinmagsinMa
hurufbanyaknyasesuaiindekasdiberiAdanMsetelahpermutasiSeluruh
46
AdaptifHal.: 10 PELUANG
Masalah Permutasi
Berapa banyak cara untuk membuat susunan huruf dari kata “KAKAKKU”?
Jawab
!1!.2!.4
!7
=2471C 7
4C × ×47
2C 1! 2! !4
!7
1! 2! !4
2).(1) . (3 . 4) . 5 . 6 . 7(=
7)1,2,4(P
Secara umum, dengan
n1= + n2 + + nkn
. Banyaknya cara mengambil 2 huruf A dari (7 – 4) huruf sisanya ada ,
dan banyaknya cara mengambil 1 huruf A dari (7 – 4 – 2) huruf sisanya ada .
Maka menurut prinsip perkalian banyaknya cara untuk membuat susunan huruf dari kata KAKAKKU ada:
74C 47
2C
2471C
Karena ada 4K, 2A, dan 1U, maka banyaknya cara =
!n...!n.!n
!n
k21=
n)n,...,n,n( k21
P
Permutasi Dengan Beberapa Unsur Sama
7)1,2,4(P = = 105 cara
Secara matematika formal, banyaknya cara mengambil 4 huruf K dari 7 huruf ada
AdaptifHal.: 11 PELUANG
Masalah Permutasi
Permutasi Siklis
A
C B
C
B A
B
A C
Secara umum banyaknya permutasi siklis dari n obyek =
nsiklisP
Misalkan 3 orang anak A, B, dan C diminta naik ke permainan roda putar
Dari 3 tempat duduk pada permainan roda putar itu sebenarnya hanya ada 2 saja yang berbeda susunannya, yakni ABC dan ACB. Sehingga hanya ada 2 permutasi siklis.
Maka berarti ketiga permutasi siklis tsb sama, yakni ABC = CAB = BCA. Untuk melihat kesamaannya perhatikan bahwa:
CAB.CAB = BCA.BCA = ABC (Pandanglah A sebagai titik awal).
Secara umum banyaknya permutasi siklis dari n obyek = = (n – 1)!
AdaptifHal.: 12 PELUANG
Masalah Permutasi
Permutasi berulang
Jika kita inin menyusun kata yang terdiri 2 huruf, yang dipilih dari huruf A, D, I, serta kata yang terbentuk boleh mengandung huruf yang sama, maka kita akan mendapatkan kata: AA, AD, AI, DD, DA, DI, II, IA, ID.
Jadi, banyaknya permutasi dua huruf yang diambil dari 3 huruf dengan huruf- huruf itu boleh berulang ada 9 cara.
AdaptifHal.: 13 PELUANG
Masalah Permutasi
Secara umum: Banyaknya permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia (dengan tiap unsur yang tersedia boleh ditulis berulang) adalah sebagai berikut:
dengan r P (berulang) =nr n
AdaptifHal.: 14 PELUANG
Masalah Kombinasi
No Obyek Eksp. Cara Eksp. Kemungkinan yang dapat hadir
1 O = {A,B,C,D}
Diundang 2 orang wakilnya untuk rapat keluarga
AB = c1
AC = c2
AD = c3
BC = c4
BD = c5
CD = c6
2 O = {A,B,C,D}
Diundang 3 orang wakilnya untuk rapat keluarga
ABC = c1
ABD = c2
ACD = c3
BCD = c4
AdaptifHal.: 15 PELUANG
Masalah Kombinasi
42P 4
2C
42C 4
2P
Perhatikan bahwa
= x 2!
12 = 6 x 2!
6 × 2! Total = = 12 = 6 × 2 = 6
2!2!2!2!2!2!
AB dan BAAC dan CAAD dan DABC dan CBBD dan DBCD dan DC
c1 = AB
c2 = AC
c3 = AD
c4 = BC
c5 = BD
c6 = CD
Banyaknya Permutasi
Jika elemen-elemen kombinasi itu
dipermutasikan
Macam Kombinasi
AdaptifHal.: 16 PELUANG
Masalah Kombinasi
Macam Kombinasi
Jika elemen-elemen kombinasi itu dipermutasikan
(Bayangkan hasilnya dari diagram pohon ybs)
Banyaknya Permutasi
c1 = ABC
c2 = ABD
c3 = ACD
c4 = BCD
ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, dan CBAABD, ADB, BAD, BDA, DAB, dan DBAACD, ADC, CAD, CDA, DAC, dan DCAABD, ADB, BAD, BDA, DAB, dan DBA
3!3!3!3!
= 4 = 4 × 6 = 24 4 × 3!
Perhatikan bahwa
24 = 4 × 3!
= × 3!
Dari :
(1) = × 2!
(2) = × 3!
42P 4
2C43P 4
3C
42P4
2C2!
=43P4
3C3!
=
Maka Secara Umum :
nrC = =
nrP
r!
n!
(n – r)! r!
AdaptifHal.: 17 PELUANG
Masalah Kombinasi
Kombinasi k Unsur dari n Unsur dengan beberapa unsur sama
Misal 4 bola akan yang diambil dari dalam kotak berisi 4 bola merah, 3 bolaputih dan 2 bola hijau.Empat bola yang diambil harus terdiri dari 2 bola merah, 1 bola putih dan 1 bola hijau.
Cara pengambilan ini merupakan masalah kombinasi k unsur dari n unsur dengan beberapa unsur yang sama.
Sehingga total cara pemilihan 4 bola dari 9 bola adalah
4 C 2 . 3 C 1 . 2 C 1 cara.
AdaptifHal.: 18 PELUANG
Masalah Kombinasi
Misal terdapat n unsur yang terdiri dari q1, q2, q3, …, qn
Unsur q1 ada sebanyak n1, unsur q2 ada sebanyak n2, unsur q3 ada sebanyak n3, …, unsur qe ada sebanyak ne, sehingga n1 + n2 + n3 + …+ ne = n.
Dari n unsur tersebut akan diambil k unsur yang terdiri dari k1 unsur q1, k2 unsur q2, k3 unsur q3, …, ke unsur qe dengan k1 + k2 + k3 + … + ke = k.
Banyak cara pengambilan adalah:
n1 C k1 . n2 C k2 . n3 C k3 …. . ne C ke
AdaptifHal.: 19 PELUANG
Peluang Kejadian
Percobaan, Ruang Sampel, Peluang suatu kejadian
)A(frlimn
Kombinatorik Adalah teknik menghitung banyaknya anggota ruang sampel dengan :1.Cara mendatar2.Membuat tabel3.Membuat diagram pohon
Peluang adalah nilai frekuensi relatif munculnya suatu peristiwa dalam suatu eksperimen jika banyaknya percobaan tak terhingga.
P(A)=
AdaptifHal.: 20 PELUANG
Peluang Kejadian
Eksperimen (Percobaan Acak) Ada Obyek Eksperimen Ada Cara Eksperimen Ada Hasil-hasil Yang Mungkin (Titik-titik Sampel)
ObyekEksp.
Cara Eksp.
Hasil-hasilYang Mungkin
s1
s2
s3
s4
s5
S
S = Ruang Sampel = { s1 , s2 , s3 , . . . , s5 }
= Himpunan semua hasil yang mungkin
dalam eksperimen itu
s1 , s2 , s3 , . . . , s5 masing-masing
disebut titik sampels2
Ss1
s3 s4 s5
AdaptifHal.: 21 PELUANG
Peluang Kejadian
sn
S
As3
s2s1sm
S = Ruang Sampel
= Himpunan semua hasil yang mungkin terjadi dalam eksperimen itu
= {s1 , s2 , s3 , . . . , sm , . . . , sn}
A = Suatu peristiwa dalam ruang sampel S
= {s1 , s2 , s3 , . . . , sm}
Prinsip Penjumlahan
P(A) = P({s1}) + P({s2}) + P({s3}) + . . . + P({sm})
= jumlah peluang masing-masing titik sampel
yang ada di dalamnya
Adaptif
Contoh soal
1. sebuah dadu di lempar, tentukan peluang muncul mata dadu:
a. bil genapB. bil. Prima ganjil2. dua buah dadu dilempar secara
bersamaan. Tentukan peluang:A. jumlah mata dadu yang muncul
kurang dari 4Jumlah mata dadu yang lebih 10
Hal.: 22 PELUANG
AdaptifHal.: 23 PELUANG
Peluang Kejadian
Peluang Berdasar Pengambilan Sampel
Pengambilan Sekaligus → KombinasiPengulangan obyek eksp. tidak
dimungkinkan dan urutan tak
diperhatikan (tak punya makna)
Pengambilan Satu Demi Satu
1. Tanpa Pengembalian → PermutasiPengulangan obyek eksp. tidak
dimungkinkan dan urutan diperhatikan (punya makna)
2. Dengan Pengembalian → Bukan Permutasi dan Bukan Kombinasi
Adaptif
Cntoh soal
Di dalam kantong terdapat 4 bola merah dan 3 bola putih. Akan di ambil 3 bola sekaligus. Tentukan peluang:
A. 2 bola pertama merah dan kedua putih tanpa pengembalian
B. 3 bola warna merah
Hal.: 24 PELUANG
AdaptifHal.: 25 PELUANG
Peluang Kejadian
Banyaknya Eksp.
Frek. Munculnya
s1 =s2 s3
300 kali3.000 kali
15.000 kali30.000 kali
banyak kali
921.0124.989
10.012
Fr (s1) ≈
105991
5.0079.984
Fr (s2) ≈
93997
5.00410.004
Fr (s3) ≈3
1
3
1
1. Pengambilan Sekaligus
Hasil-hasil yang mungkinObyek Eksp
Cara Ekp.
1 2 3
Eksp1: ambil acak
2 bola sekaligus
… s1
… s2
… s3
1 2
1 3
2 3
S
A
Ambil acak 2 bola sekaligus. Hasil-hasil
yang mungkin?
3
1
A
Ss2
s1 s3
P({s1}) = P({s2}) = P({s3}) =
Maka S berdistribusi seragam
3
1
S = {s1, s2 , s3 } = Ruang sampel hasil eksperimen
A = Peristiwa terambilnya jumlah kedua nomor bola ganjil
= {s1, s3 } , n(A) = 2.
n(S) =
= 3 .32C
P(A)
= )S(n
)A(n3
2
Adaptif
Contoh:
1. di dalam kotak terdapat 8 kelereng merah dan 4 kelereng putih. Jika 3 kelereng diambil sekaligus, tentukan:
A. ketiganya adalah merahB. dua merah dan satu putih
Hal.: 26 PELUANG
AdaptifHal.: 27 PELUANG
Peluang Kejadian
2. Pengambilan Satu demi Satu Tanpa Pengembalian
Obyek Eksp
Cara Ekp.
1 2 3
Eksp 2 : ambil acak
2 bola 1 – 1 tanpa pengembalian
Ambil acak 2 bola 1 – 1 tanpa pengemb. Hasil-hasil yang
mungkin?
1
2
3
2
3
1
3
1
2
1 2 … s1…
1 3 … s2…
2 1 … s3…
2 3 … s4…
3 1 … s5…
3 2 … s6…
S
A
3 cara2 cara
Hasil-hasil yang mungkin
A
S
s6
s5
s4
s2
s1
s3
P({s1}) = P({s2}) = … = P({s6}) =
Maka S berdistribusi seragam.
6
1
S = {s1, s2 , s3 , . . . ,s6 } = Ruang sampel hasil eksperimen
A = peristiwa terambilnya jumlah kedua nomor bola ganjil
= {s1, s3, s4 , s6 } P(A) = = = .
n(S) = = =
)S(n
)A(n6
4
3
2
3 × 2 6..ekspobyekdari
obyekP 32
AdaptifHal.: 28 PELUANG
Peluang Kejadian
3. Pengambilan 1 – 1 Dengan Pengembalian
Eksp2:ambil acak2 bola 1-1 dengan
pengemb.
Ambil acak 2 bola 1-1 dengan pengembalian. Hasil-hasil yang
mungkin?
I
Hasil-hasil yang mungkin
S
II A
2
3
1 2 3
1
1 … s11 1…
2 … s21 2…
3 … s31 3…
1 … s73 1…
2 … s83 2…
3 … s93 3… 3 cara
3 cara
A
Ss7
s2s6
s3
s4
s8
s1
s5s9
S = {s1, s2 , s3, ... , s9} = Ruang sampel hasil eksperimen.
n(S) = 3 × 3 = 9
A = peristiwa terambilnya jumlah kedua nomor bola ganjil. = {s2, s4, s6 , s8 }
P(A) = = .
)S(n
)A(n
9
4
P({s1}) = P({s2}) = … = P({s9}) =
Maka S berdistribusi seragam.
9
1
AdaptifHal.: 29 PELUANG
Peluang Kejadian
Frekuensi Harapan
Frekuensi Harapan suatu kejadian adalah hasil kali peluang kejadian tersebut dengan banyaknya percobaan.
Fr(A) = P(A) . n dengan, Fr(A) = frekuensi harapan kejadian A P (A) = peluang kejadian A n = banyaknya percobaan
Contoh:Peluang seorang anak terkena penyakit polio adalah 0,01, dari 8000 anak. Berapa kira- kira yang terjangkit penyakit polio?Jawab:P(kenapolio) = 0,01, n= 8000Fr(A) = P(kena polio) . n = 0,01 x 8000 = 80 Jadi, dari 8000 anak diperkirakan ada 80 anak yang terkena penyakit polio
AdaptifHal.: 30 PELUANG
Kejadian Majemuk
)( 1 )(
1
)(
'
'
APAP
n
an
a
n
nn
anAP
A’
S
A
Jika A mempunyai a elemen, dan S
mempunyai n elemen maka A’
mempunyai n-a elemen. Maka P(A’)
adalah peluang tidak terjadinya A.
Kejadian bukan A dari himpunan S ditulis
dengan simbol A’ (atau Ac) disebut
komplemen dari A.
1. Komplemen
AdaptifHal.: 31 PELUANG
Kejadian Majemuk
2.Dua Kejadian Saling Lepas
.1.4
A .2 .5 .7 .3 .11
B .6 .8 .9 .10 .12
S
Maka A = {2, 3, 5, 7, 11} dan B = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
Sehingga
S={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
A={kejadian mendapatkan bilangan prima}
B={kejadian mendapatkan sedikitnya bilangan 5}
Jika kita melihat hubungan antara , P(A) dan P(B), terdapatirisan antara A dan B, yaitu {5, 7, 11} dan juga diperoleh
6
5
12
10 B) (A P
AdaptifHal.: 32 PELUANG
Kejadian Majemuk
)( BAP
12
3 ) ( BAP dan
)( )( )( )(
12
3
12
8
12
5
12
3 8 5
12
10 ) (
BAPBPAPBAP
BAP
Jika suatu kejadian A dan B tidak bersekutu, dalam hal ini =Ø, maka kita katakan dua kejadian tersebut adalah saling lepas. Untuk kejadian saling lepas (saling asing)
)( )( )( BPAPBAP
Maka = P(Ø) = 0 Maka = P(Ø) = 0
) ( BA
Jika Jika AA dan dan BB kejadian yang saling lepas maka kejadian yang saling lepas maka
AdaptifHal.: 33 PELUANG
Contoh Soal :1. Sebuah dadu dilemparkan satu kali,
Jika A = {kejadian muncul mata dadu lebih dari 2}, tentukan P(A’) ? Jawab : Sebuah dadu dilemparkan satu kali, maka ruang sampelnya adalah:S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}Jika A = {kejadian muncul mata dadu lebih dari 2} = {3, 4, 5, 6}Maka P(A) = 4/6 = 2/3 P(A’) = 1 – 4/6 = 2/6 = 1/3
2. Pada pengambilan 1 kartu secara acak dari 1 set kartu bridge, berapa peluang mendapatkan kartu As atau King?
Kejadian Majemuk
AdaptifHal.: 34 PELUANG
Dua Kejadian Saling Bebas
Sekeping uang logam dan sebuah dadu dilempar sekali. Kejadian munculnya sisi angka pada uang logam dan kejadian munculnya mata 3 pada dadu adalah dua kejadian yang tidak saling mempengaruhi.
Peluang dua kejadian A dan B yang yang saling bebas adalah:P (A B) = P (A) . P(B)
Contoh : Misal A = kejadian muncul mata dadu 3 pada pelemparan pertama, maka :n(A) = 1, sehingga P(A) =
Misal B = kejadian muncul mata dadu 5 pada pelemparan kedua, maka: n(B) = 1, sehingga P(B) =
Peluang A dan B: P( A B) = P(A) . P(B) =
6
1
)(
)(
Sn
An
6
1
)(
)(
Sn
Bn
36
1
6
1.
6
1
AdaptifHal.: 35 PELUANG
1. Peluang tidak terjadinya A atau P(A’) adalah P(A’) = 1 – P(A)
)( )( )( BPAPBAP
Rangkuman
2. Jika A dan B kejadian yang saling lepas maka
3. Jika A dan B kejadian yang saling bebas maka
)( )( )( BPAPBAP
AdaptifHal.: 36 PELUANG
SEKIAN
TERIMA KASIH
SAMPAI JUMPA LAGI