PELUANG

Makalah Ini Disusun Untuk Memenuhi Tugas Kajian Matematika SMP 2

Dosen Pengampu: Koryna Aviory, S.Si., M.Pd.

Disusun Oleh:

1. Ernawati (14144100125)

2. Nadia Nur Farohmah (14144100135)

3. Dedi Hermawan Sutanto (14144100137)

4. Siti Aziza (14144100138)

5. Nikmahtun Tri Harsiwi (14144100141)

Kelas: 4A4

PRODI PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA

2016

ii

DAFTAR ISI

DAFTAR ISI ....................................................................................................................... ii

PEMBAHASAN ................................................................................................................. 1

A. PENGERTIAN PELUANG .................................................................................... 1

1. Kejadian Acak ......................................................................................................... 1

2. Kejadian Sederhana ................................................................................................ 2

3. Frekuensi Relatif dan Peluang Suatu Kejadian ....................................................... 2

4. Titik dan Ruang Sampel dalam Teori Peluang ....................................................... 4

5. Kisaran Nilai Peluang ............................................................................................. 8

B. Frekuensi Harapan ................................................................................................ 12

Daftar Pustaka ................................................................................................................... 15

1

PEMBAHASAN

A. PENGERTIAN PELUANG

Kalian sering mendengar ungkapan-ungkapan berikut dalam kehidupan

sehari-hari:

(i) Berdasarkan hasil pertandingan babak penyisihan, tim Indonesia

memiliki peluang yang kecil untuk mencapai babak final.

(ii) Kemungkinan Klub Jaya memenangkan pertandingan sangat besar.

(iii)Hari ini cuaca mendung, kemungkinan besar hujan akan turun.

(iv) Berdasarkan nilai ulangan harian yang telah dicapai, Nadia dan Erna

memiliki kesempatan yang sama untuk menjadi juara kelas.

Apakah sebenarnya yang dimaksud dengan peluang atau kejadian itu?

Untuk menjawab pertanyaan tersebut, pelajarilah pengertian peluang dan nilai

peluang suatu kejadian berikut.

1. Kejadian Acak

Aktivitas 1

Percobaan 1

Lemparkan sebuah mata uang logam. Dapatkah kita memastikan sisi yang

akan muncul, sisi angka atau sisi gambar?

Percobaan 2

Lemparkan sebuah dadu. Dapatkah kita memastikan sisi dadu yang akan

muncul?

Percobaan 3

Sediakan sebuah kotak. Isikan kelereng berwarna merah, kuning dan hijau

masing-masing sebanyak butir ke dalam kotak tersebut. Aduklah

kelereng tersebut, kemudian tutuplah matamu dan ambillah sebutir demi

sebutir secara acak sebanyak kali pengambilan. Dapatkah kita

memastikan, kelereng warna apa saja yang terambil jika setiap selesai

pengambilan, kelereng tersebut dikembalikan lagi ke dalam kotak?

Pada percobaan , kejadian yang menjadi perhatian adalah

munculnya sisi angka atau gambar. Tentu saja kita tidak tahu pasti sisi

2

uang logam yang akan muncul. Kita hanya mengetahui bahwa hasil yang

mungkin muncul adalah sisi angka atau sisi gambar. Tentu saja, kedua sisi

ini tidak mungkin muncul secara bersamaan.

Kejadian munculnya sisi angka atau sisi gambar pada Percobaan

tidak dapat dipastikan, sehingga dinamakan kejadian acak. Demikian pula

kejadian munculnya sisi dadu pada Percobaan dan terambilnya kelereng

bewarna merah, kuning atau hijau pada Percobaan merupakan kejadian

acak.

2. Kejadian Sederhana

Seperangkat kartu bridge terdiri atas buah kartu merah bergambar

hati, kartu merah bergambar wajik, kartu hitam bergambar sekop

dan kartu hitam bergambar keriting.

Misalkan, sebuah kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu

bridge tersebut. Andaikan kartu yang terambil bergambar wajik pada

pengambilan tersebut dinamakan kejadian sederhana karena munculnya

kartu bergambar wajik pasti bewarna merah. Berbeda jika kartu yang

terambil berwarna merah, kejadian tersebut dinamakan kejadian bukan

sederhana karena munculnya kartu berwarna merah belum tentu

bergambar wajik, tetapi mungkin bergambar hati.

3. Frekuensi Relatif dan Peluang Suatu Kejadian

Pada bagian ini, kalian akan belajar tentang cara menghitung

peluang dengan pendekatan frekuensi relatif. Ambillah sekeping uang

logam, kemudian lakukan percobaan statistika, yaitu melempar uang

logam tersebut sebanyak kali.

Misalnya, muncul sisi angka sebanyak kali. Perbandingan banyak

kejadian munculnya angka dan banyak pelemparan adalah

. Nilai ini

dinamakan frekuensi relatif munculnya angka. Jika sebuah dadu dilempar

kali dan muncul muka dadu bernomor sebanyak kali, berapakah

frekuensi relatif munculnya muka dadu bernomor ?

3

Uraian tersebut menggambarkan rumus frekuensi relatif munculnya

suatu kejadian yang diamati, yaitu sebagai berikut:

Frekuensi relatif ( ) munculnya kejadian dirumuskan sebagai

berikut:

Contoh 1:

Pada pelemparan dadu sebanyak kali, muncul muka dadu

bernomor sebanyak kali. Tentukan frekuensi munculnya muka dadu

bernomor .

Penyelesaian:

Banyak percobaan: kali

Banyak kejadian munculnya muka dadu bernomor adalah kali.

Jadi, frekuensi relatif munculnya muka dadu bernomor adalah .

Aktivitas 2

Lemparkan sekeping uang logam ke atas sebanyak kali. Catat

banyak sisi angka yang muncul dan isikan hasilnya pada Tabel A. 1.

Kemudian, hitung frekuensi relatifnya, teliti sampai dua desimal. Ulangi

langkah-langkah tersebut untuk pelemparan sebanyak dan

kali. Misalkan Tabel A. 1. Sebagai berikut:

4

Tabel A. 1 Tabel Frekuensi Relatif

Banyak

Lemparan

Banyak Sisi Angka yang

Muncul

Frekuensi Relatif Muncul Sisi

Angka

Apa yang dapat kalian simpulkan tentang frekuensi relatif

munculnya sisi angka jika banyaknya lemparan semakin besar?

Kegiatan tersebut menunjukkan bahwa semakin banyak lemparan

yang dilakukan maka frekuensi relatif kejadian munculnya sisi angka akan

mendekati suatu bilangan yaitu . Bilangan ini disebut peluang dari

kejadian muncul sisi angka. Jadi, peluang suatu kejadian dapat dihitung

melalui pendekatan frekuensi relatif.

4. Titik dan Ruang Sampel dalam Teori Peluang

a. Pengertian Titik Sampel dan Ruang Sampel Suatu Kejadian

Pada pelemparan mata uang logam, kejadian yang mungkin

adalah muncul angka atau gambar . Jika dinyatakan dengan

notasi himpunan, misalnya , maka . Himpunan tersebut

dinamakan ruang sampel, sedangkan titik dan dinamakan titik

sampel. Banyak anggota sampel dinotasikan dengan .

Uraian tersebut memperjelas pengertian ruang sampel dan titik

sampel, yaitu sebagai berikut:

5

1) Ruang Sampel adalah himpunan semua kejadian yang mungkin

diperoleh dari suatu percobaan.

2) Titik Sampel adalah setiap anggota ruang sampel atau disebut juga

kejadian yang mungkin.

Contoh 2:

Tentukan ruang sampel dan titik sampel dari pelemparan sebuah

dadu.

Penyelesaian:

Kejadian yang mungkin dari pelemparan sebuah dadu adalah

munculnya muka dadu yang bernomor atau . Dengan

demikian, dan titik sampelnya dan

.

b. Menyusun Ruang Sampel dengan Cara Mendaftar

Pada pelemparan tiga mata uang logam sekaligus, misalkan

muncul sisi angka pada mata uang pertama, muncul sisi gambar

pada mata uang kedua, dan muncul sisi angka pada mata uang

ketiga.

Gambar A. 1

Kejadian tersebut dapat ditulis . Kejadian lain yang

mungkin dari pelemparan tiga mata uang sekaligus adalah

dan . Jika ruang sampelnya dituliskan dengan cara mendaftar,

diperoleh

sehingga .

c. Menyusun Ruang Sampel dengan menggunakan Diagram Pohon

Cara lain yang dapat digunakan untuk menuliskan anggota

ruang sampel adalah dengan menggunakan diagram pohon. Amati

kembali kasus pelemparan tiga mata uang sekaligus pada bagian b.

6

Sekarang, kalian susun ruang sampelnya dengan menggunakan

diagram pohon.

Gambar A. 2

Gambar A. 3

Gambar A. 4

7

Untuk mata uang pertama, kejadian yang mungkin adalah

munculnya sisi angka atau gambar . Diagramnya dapat kalian

buat seperti pada Gambar A. 2.

Untuk mata uang kedua, kejadian yang mungkin adalah sama.

Diagram pohonnya tampak pada Gambar A. 3.

Kejadian yang mungkin untuk mata uang ketiga juga sama.

Diagram pohon untuk kejadian pelemparan tiga mata uang tampak

pada Gambar A. 4. Berdasarkan diagram pohon tersebut, dapat

ditentukan ruang sampelnya, yaitu

.

d. Menyusun Ruang Sampel dengan Cara Membuat Tabel

Pada percobaan melemparkan dua dadu sekaligus, misalnya

muncul muka dadu bernomor pada dadu pertama dan muka dadu

bernomor pada dadu kedua. Kejadian ini dapat dinyatakan sebagai

pasangan berurutan, yaitu . Jika muncul muka dadu bernomor

pada dadu pertama dan muka dadu bernomor pada dadu kedua,

bagaimana menyatakan kejadian itu sebagai pasangan berurutan?

Gambar A. 5

Ruang sampel dari percobaan melempar dua dadu sekaligus

dapat disusun dengan cara membuat tabel seperti berikut.

8

Tabel A. 2 Tabel Ruang Sampel

Dadu

ke-1

Dadu ke-2

Pada tabel tersebut dapat dilihat terdapat 36 titik sampel

sehingga .

Jadi, pada pelemparan sebuah dadu terdapat 6 titik sempel, maka

pada pelemparan dua dadu dihasilkan titik sampel.

5. Kisaran Nilai Peluang

a. Rumus Peluang

Perhatikan kejadian pada pelemparan sebuah dadu. Hasil

pelemparan yang mungkin adalah muncul muka dadu bernomor

atau , sehingga ruang sampelnya adalah

.

Misalkan, adalah kejadian munculnya muka dadu bernomor

genap maka . Banyak anggota himpunan atau kejadian

dinotasikan dengan , sehingga .

Peluang munculnya setiap titik sampel dalam ruang sampel

sama, yaitu

. Dengan demikian, peluang munculnya muka dadu

bernomor genap adalah sebagai berikut:

juga dapat diperoleh dengan cara sebagai berikut:

9

maka .

sehingga .

.

Jika setiap anggota ruang sampel memiliki peluang muncul

yang sama, dengan adalah suatu kejadian dalam ruang sempel ,

maka peluang kejadian yang memiliki anggota sebanyak

didefinisikan sebagai berikut:

Dengan subset

Contoh 3:

Sebuah dadu dilemparkan sebanyak satu kali. Hitunglah peluang

munculnya muka dadu bernomor:

1)

2) Kurang dari

3)

4) atau

Penyelesaian:

maka .

1) Misalkan, kejadian munculnya muka dadu bernomor 2 maka

, , dan

.

2) Misalkan, kejadian munculnya muka dadu bernomor kurang

dari 4 maka , , dan

.

3) Misalkan, kejadian munculnya muka dau bernomor maka

, , dan

.

4) Misalkan, adalah kejadian munculnya muka dadu bernomor

atau maka

dan sehingga,

, dengan

10

.

b. Nilai Peluang

Contoh 3 memperlihatkan kepada kalian bahwa peluang suatu

kejadian nilainya berkisar sampai . Secara matematis, hal itu ditulis

, dengan adalah peluang suatu kejadian .

Jika nilai peluang suatu kejadian sama dengan nol atau

, nilai tersebut menunjukkan bahwa kejadian tidak mungkin

terjadi. Misalnya, pada pelemparan dadu, peluang munculnya mata

dadu bernomor adalah nol, atau karena pada dadu tidak

terdapat mata dadu yang bernomor (lihat contoh 3 (3)). Untuk

kejadian-kejadian lain yang nilainya mendekati nol, berarti

kemungkinan kejadian tersebut terjadi sangat kecil.

Sebaliknya, jika nilai peluang suatu kejadian sama dengan satu

atau , nilai tersebut menunjukkan bahwa kejadian pasti

terjadi. Misalnya, pada pelemparan sebuah dadu, peluang munculnya

mata dadu yang lebih dari tetapi kurang dari adalah . Dengan

kata lain, munculnya mata dadu yang lebih dari pasti terjadi.

Dari uraian tersebut, dapatkah kalian menemukan pernyataan

berikut?

1) Peluang suatu kejadian nilainya dari sampai dengan (ditulis

).

2) Peluang suatu kejadian yang tidak mungkin terjadi, nilainya nol

atau (kejadian tersebut dinamakan kejadian mustahil).

3) Peluang suatu kejadian yang pasti terjadi, nilainya atau

(kejadian tersebut dinamakan kejadian nyata/ pasti).

Jika kejadian merupakan komplemen dari kejadian maka

atau . Misalkan, peluang hari ini

hujan maka peluang hari ini tidak hujan adalah .

Contoh 4:

11

1) Dua puluh lima kartu diberi angka . Kartu tersebut

dikocok. Kemudian, diambil kartu secara acak (setiap

pengambilan satu kartu, dikembalikan lagi). Berapa peluang

terambilnya kartu berangka

a) Ganjil

b) Kelipatan

Penyelesaian:

Ruang sampel sehingga .

a) Misalkan, kejadian terambilnya kartu berangka ganjil maka

sehingga

.

Peluang adalah

.

Jadi, peluang terambilnya kartu berangka ganjil adalah

.

b) Misalkan, adalah kejadian terambilnya kartu berangka

kelipatan 3 maka,

sehingga

Peluang adalah

.

Jadi, peluang terambilnya kartu dengan angka kelipatan

adalah

.

2) Dua mata uang logam dilempar secara bersamaan. Berapakah

peluang munculnya?

a) Tepat dua angka

b) Angka dan gambar

c) Paling sedikit satu angka.

Penyelesaiaan:

Ruang sampel percobaan ini dapat ditentukan dengan diagram

pohon dibawah ini.

12

Jadi, ruang sampel percobaan ini adalah

sehingga

a) Misalnya, kejadian muncul tepat dua angka maka

dan . Peluang kejadian adalah

. Jadi, peluang muncul tepat dua angka adalah

.

b) Misalnya, kejadian muncul angka dan gambar maka

dan

Peluang kejadian adalah

. Jadi, peluang

muncul angka dan gambar adalah

.

c) Misalnya, kejadian muncul paling sedikit satu angka maka

dan . Peluang kejadian adalah

. Jadi, peluang muncul paling sedikit satu

angka adalah

.

B. Frekuensi Harapan

Frekuensi harapan dari suatu kejadian adalah harapan banyaknya

muncul suatu kejadian yang diamati dari sejumlah percobaan yang dilakukan

. Frekuensi harapan diperoleh dengan cara mengalikan nilai kemungkinan

suatu kejadian dengan banyaknya percobaan. Frekuensi harapan dinotasikan

dengan . Secara matematis ditulis sebagai berikut:

13

dengan peluang kejadian

banyaknya percobaan

Contoh 5:

Sebuah mata uang logam dilempar sebanyak kali. Dalam sekali

pelemparan, peluang munculnya sisi angka adalah

.

Dari pelemparan uang logam sebanyak kali, kalian dapat

mengharapkan munculnya sisi angka sebanyak kali. Namun,

memungkinkan pula dalam percobaan itu ternyata muncul sisi angka

sebanyak kali, kali, kali, atau kali. Harapan munculnya sisi

angka sebanyak kali dari kali pelemparan uang logam disebut

frekuensi harapan.

Contoh 6:

1) Sebuah dadu dilemparkan ke atas sebanyak kali. Berapa frekuensi

harapan munculnya mata dadu bernomor ?

Penyelesaian:

Ruang sampel sehingga .

Misalkan, kejadian munculnya mata dadu bernomor sehingga

Banyaknya lemparan kali.

Jadi, frekuensi harapan munculnya mata dadu bernomor dari kali

pelemparan adalah kali.

2) Dua buah dadu dilempar kali. Berapa frekuensi harapan munculnya

mata dadu berjumlah lebih dari sepuluh?

Penyelesaian:

Ruang sampel sehingga .

Misalkan, kejadian munculnya mata dadu berjumlah lebih dari

sepuluh maka sehingga .

Peluang adalah

.

14

Banyaknya lemparan kali.

kali.

Jadi, frekuensi harapan munculnya mata dadu berjumlah lebih dari

sepuluh dari kali pelemparan adalah kali.

3) Dua keping uang logam dilempar bersama sebanyak kali. Frekuensi

harapan munculnya paling sedikit satu gambar adalah...

Penyelesaian:

Ruang sampel sehingga

Misalkan, G adalah kejadian muncul paling sedikit satu gambar maka

maka .

Peluang adalah

.

Banyaknya lemparan kali.

kali.

Jadi, frekuensi harapan muncul paling sedikit satu gambar dari kali

pelemparan adalah kali.

4) Tiga buah mata uang logam yang sama dilemparkan secara serempak

sebanyak 80 kali. Frekuensi harapan ketiganya muncul angka adalah...

Penyelesaian:

Ruang sampel

sehingga .

Misalkan, adalah kejadian ketiganya muncul angka maka

sehingga .

Peluang adalah

.

Banyaknya lemparan kali.

kali.

Jadi, frekuensi harapan ketiganya muncul angka dari kali pelemparan

adalah kali.

15

Daftar Pustaka

Dwi Susanti, Wahyudin Djumanta. 2008. Belajar Matematika Aktif dan

Menyenangkan. Jakarta: Pusat perbukuan Departemen Pendidikan

Nasional.

Nuniek Avianti Agus. 2008. Mudah Belajar Matematika. Jakarta: Pusat

perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.