Kuswanto, 2012

Peubah acak

Peubah acak adalah suatu kejadian yang dapat diucapkan dalam bentuk bilangan nyata. Notasi yang sering digunakan adalah X, Y, Z.

Macam peubah acak Peubah acak diskrit, misalnya : jumlah orang

dalam satu ruangan. Dengan demikian ruang contoh diskrit adalah ruang

contoh yang mengandung jumlah titik tak terhingga, tetapi sama banyaknya dengan bilangan cacah.

Peubah acak diskrit digunakan untuk data yang berupa cacahan.

Peubah acak kontinyu, misalnya : produksi padi/ha. Ruang contoh kontinyu adalah ruang contoh yang

mengandung titik tak terhingga yang sama dengan banyaknya titik pada sebuah garis.

Peubah acak kontinyu digunakan untuk data yang diukur

Sebaran Peluang Diskrit

Sebaran peluang diskrit adalah sebuah tabel atau rumus yang mencantumkan semua kemungkinan nilai suatu peubah acak diskrit berikut peluangnya.

Sebaran peluang Binom dan Poisson termasuk kelompok ini.

Contoh Apabila sepasang dadu dilemparkan, maka

peubah acak X adalah jumlah bilangan. X adalah nilai bulat 2 sampai 12. Dua dadu dapat mendarat dalam (6) (6) cara masing-masing dengan peluang 1/36. P(X=3) = 2/36, karena jumlah 3 hanya dapat terjadi dalam 2 cara.

x 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 --------------------------------------------------------------------------------------

P(X=x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

Untuk menggambarkan sebaran peluang dapat mengggunakan grafik dalam bentuk histogram peluang.

Histogram

Sebaran peluang binom

Berdasarkan percobaan Bernoulli hasilnya diklasifikasikan sebagai sukses S (berhasil) dan gagal (G).

P(S) = p = n dan P(G) = q = 1-n p+q = 1 Contoh :

kontrol kualitas barang diklasifikasikan sebagai cacat (C) dan baik (B)

efektifitas obat sembuh (S) dan tak sembuh (G) kelahiran anak pria (S) dan wanita (G) atau

wanita (S) dan pria (G

Fungsi sebaran binomial

Misal X menyatakan banyaknya berhasil dalam n usaha tsb, dimana n = 3 dan X=1, maka

S ----- S ----- S untuk X (banyaknya berhasil) = 1 G SGG = pqq = pq² G ----- S GSG = qpq = pq² G GGS = qqp = pq² G ----- S ----- S G P(x=1) = 3(pq²) = (3 1) p1 q3-1

G ----- S karena n=3, x = sukses, (n-x) G gagal, maka kombinasi C(n x) =

banyaknya susunan

Jadi f(x) = (n x) px qn-x dinamakan fungsi sebaran binomial

Contoh sebaran binomial

Suatu pabrik elektronik menjamin produksinya mempunyai peluang tahan goncangan 0,90. Dari kiriman 10 buah, tentukan peluang terhadap 8 yang tahan goncangan!

Jawab : n=10, x=8, p=0,90, q= 1-0,90 = 0,1, maka P(x=8) = (10 8) (0,90)8 (0,1)2 = 10!/8!.2! . (0,90)8 (0,1)2 = 0,1937

Dapat pula dikerjakan dengan memanfaatkan tabel peluang binom yang telah tersedia.

Dengan cara ini akan diperoleh hasil lebih cepat.

Penggunaan tabel binomial

Untuk contoh soal tersebut, pilih n = 10 kemudian dicari jumlah berhasil x = 8.

Karena peluang keberhasilan adalah 0,90, maka dari x = 8 ditarik ke kanan sampai pada p = 0,90.

Namun demikian, sebelum mencari nilai peluang dari tabel, rumus peluang harus dikerjakan terlebih dahulu.

Contoh tabel --BinomialP

x 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95

0 0.599 0.349 0.197 0.107 0.056 0.028 0.013 0.006 0.003 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

1 0.914 0.736 0.544 0.376 0.244 0.149 0.086 0.046 0.023 0.011 0.005 0.002 0.001 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

2 0.988 0.930 0.820 0.678 0.526 0.383 0.262 0.167 0.100 0.055 0.027 0.012 0.005 0.002 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000

3 0.999 0.987 0.950 0.879 0.776 0.650 0.514 0.382 0.266 0.172 0.102 0.055 0.026 0.011 0.004 0.001 0.000 0.000 0.000

4 1.000 0.998 0.990 0.967 0.922 0.850 0.751 0.633 0.504 0.377 0.262 0.166 0.095 0.047 0.020 0.006 0.001 0.000 0.000

5 1.000 1.000 0.999 0.994 0.980 0.953 0.905 0.834 0.738 0.623 0.496 0.367 0.249 0.150 0.078 0.033 0.010 0.002 0.000

6 1.000 1.000 1.000 0.999 0.996 0.989 0.974 0.945 0.898 0.828 0.734 0.618 0.486 0.350 0.224 0.121 0.050 0.013 0.001

7 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.998 0.995 0.988 0.973 0.945 0.900 0.833 0.738 0.617 0.474 0.322 0.180 0.070 0.012

8 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.999 0.998 0.995 0.989 0.977 0.954 0.914 0.851 0.756 0.624 0.456 0.264 0.086

9 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 0.999 0.997 0.994 0.987 0.972 0.944 0.893 0.803 0.651 0.401

10 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000

Contoh lain

Untuk n=15 dan p=0,4, hitung P(x ≥10) dan P(3 x 8). Gunakan Tabel Binomial

Jawab : P(x ≥ 10) = 1 - P(x 9) = 1 - 0,966 = 0,034 lihat tabel P(3 x 8) = P(x 8) - P(x 2) = 0,905 - 0,0271 = 0,878

P (x=4) = P(x 4) - P(x 3) = ??? Coba kerjakan

Latihan dan diskusi1. Tentukan peluang mendapatkan tepat bilangan 2 apabila

sebuah dadu dilemparkan!

2. Peluang bunga anggek akan mekar besuk pagi adalah 0,4. Bila 15 tanaman yang bunganya akan mekar sedang diuji, berapa peluang : a). sekurang-kurangnya 10 tanaman yang bunganya akan mekar b). ada 3 sampai 8 tanaman yang bunga akan mekar c). tepat 5 tanaman yang bunganya akan mekar

3. A campus newspaper claims that 80% of the student support its view on a campus issue about hybrid rice production. A random sample of 20 agriculture faculty students is taken, 12 students agree with the newspaper. Find P(12 or less agree), if 80% support the view, and comment on the plausibility of the claim.

4. Suppose it is known that a new pesticide treatment is successful in killing a insect in 50% of the cases. If it is tried on 15 insects, find the probability that : a). at most 6 will be killed, b). the number killed will be now fewer than 6 and no more than

10, c). 12 or more will be killed

5. Using binomial table, find the probability of : a. 3 successes in 8 trials when p = 0,4 b. 7 failures in 16 trials when p = 0,6 c. 3 or fewer successes in 9 trials when p = 0,4 d. more than 12 successes in 16 trials when p = 0,7 e. the number of successes betweet 3 and 13 (both inclusive) in

16 trials when p

= 0,6

6. Only 30% of the students in agriculture faculty feel that this subject is easy. If 20 students are selected at random, find the probability that 5 or less will feel that this subject is easy. Find the probability that exactly 6 students feel that this subject is easy.

Find the cases of other binomial distribution? 

Terima kasih

Sebaran peluang Poisson Percobaan Poisson : suatu percobaan

yang menghasilkan variabel random x, yang menyatakan jumlah berhasil dalam suatu selang (interval) tertentu atau daerah tertentu.

Selang waktu mulai milidetik sampai tahunan.

Daerah juga mulai dari satuan panjang, luas ataupun volume.

Contoh percobaan Poisson :

Jumlah sambungan telepon yang masuk suatu kantor

Jumlah langganan yang datang pada suatu super market per 5 menit

Jumlah salah ketik per halamanJumlah tikus sawah per hektar

Ciri-ciri lain sebaran Poisson

Independen antar daerah atau waktu Peluang terjadinya suatu sukses relatif terhadap

suatu waktu sebanding dengan satuan waktu tersebut

Peluang terjadinya lebih dari 2 sukses dalam selang waktu atau daerah yang pendek, mendekati nol e- x

f(x) = ------------- dimana x = 0,1,2,… x! e = 2,71828

Contoh

Rata-rata sambungan telepon masuk suatu kantor adalah 7 sambungan per jam. Tentukan peluang (dalam jam) terdapat 5 sambungan per jamterdapat kurang atau sma dengan 9

sambungan per jamlebih dari 12 sambungan per jam

Jawab P(x=5, =7) = (e-7 . 75)/5! = ……. Atau …

Penggunaan Tabel Poisson

Untuk nilai µ = 7 dapat dilihat pada kolom paling kanan, kemudian untuk mencari P(5,µ), ditarik titik temu antara x=5 dengan µ=7, dan diperoleh nilai peluang 0,3007.

Namun demikian sebelum mencarai nilai peluang pada tabel, rumus peluang harus dikerjakan terlebih dahulu.

Contoh tabel poissonµ (lt)

x 6.10 6.20 6.30 6.40 6.50 6.60 6.70 6.80 6.90 7.000 0.0022 0.0020 0.0018 0.0017 0.0015 0.0014 0.0012 0.0011 0.0010 0.00091 0.0159 0.0146 0.0134 0.0123 0.0113 0.0103 0.0095 0.0087 0.0080 0.00732 0.0577 0.0536 0.0498 0.0463 0.0430 0.0400 0.0371 0.0344 0.0320 0.02963 0.1425 0.1342 0.1264 0.1189 0.1118 0.1052 0.0988 0.0928 0.0871 0.08184 0.2719 0.2592 0.2469 0.2351 0.2237 0.2127 0.2022 0.1920 0.1823 0.17305 0.4298 0.4141 0.3988 0.3837 0.3690 0.3547 0.3406 0.3270 0.3137 0.30076 0.5902 0.5742 0.5582 0.5423 0.5265 0.5108 0.4953 0.4799 0.4647 0.44977 0.7301 0.7160 0.7017 0.6873 0.6728 0.6581 0.6433 0.6285 0.6136 0.59878 0.8367 0.8259 0.8148 0.8033 0.7916 0.7796 0.7673 0.7548 0.7420 0.72919 0.9090 0.9016 0.8939 0.8858 0.8774 0.8686 0.8596 0.8502 0.8405 0.8305

10 0.9531 0.9486 0.9437 0.9386 0.9332 0.9274 0.9214 0.9151 0.9084 0.901511 0.9776 0.9750 0.9723 0.9693 0.9661 0.9627 0.9591 0.9552 0.9510 0.946712 0.9900 0.9887 0.9873 0.9857 0.9840 0.9821 0.9801 0.9779 0.9755 0.973013 0.9958 0.9952 0.9945 0.9937 0.9929 0.9920 0.9909 0.9898 0.9885 0.987214 0.9984 0.9981 0.9978 0.9974 0.9970 0.9966 0.9961 0.9956 0.9950 0.994315 0.9994 0.9993 0.9992 0.9990 0.9988 0.9986 0.9984 0.9982 0.9979 0.997616 0.9998 0.9997 0.9997 0.9996 0.9996 0.9995 0.9994 0.9993 0.9992 0.999017 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9998 0.9998 0.9998 0.9997 0.9997 0.999618 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.9999 0.999919 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.000020 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000

Menggunakan tabel poisson

Dapat pula dikerjakan dengan memanfaatkan tabel peluang Poisson yang telah tersedia. Dengan cara ini akan diperoleh hasil lebih cepat.

Dari Tabel tersebut, dipeoleh :

5 4 a.. (P(x,7) - P(x,7) = 0,3007 - 0,1730 = 0,1277 (lihat tabel) x=0 x=0

9 b) (P(x,7) = 0,8305 x=0

12 = 1 - (P(x,7) = 1- 0,9730 = 0,00270 x=0

Ciri distribusi poisson

Independen antar daerah atau waktuPeluang terjadinya suatu sukses relatif

terhadap suatu waktu sebanding dengan satuan waktu tersebut

Peluang terjadinya lebih dari 2 sukses dalam selang waktu atau daerah yang pendek, mendekati nol

Latihan dan diskusi

1. Rata-rata banyaknya tikus per ha dalam suatu ladang gandum seluas 5 ha diduga sebesar 10 ekor. Hitung peluang bahwa dalam suatu luasan 1 ha terhadap lebih dari 15 tikus.

2. Di Kabupaten Malang secara rata-rata dilanda 6 angin ribut per tahun. Hitunglah peluang bahwa dalam suatu tahun tertentu daerah ini akan dilanda :

kurang dari 4 kali angin ribut 6 sampai 8 kali angin ribut Tepat 5 angin ribut Tepat 6 angin ribut. Apa bedanya dengan

reratanya?

Latihan dan diskusi

3. Seorang grower tanaman hias mampu menghasilkan 2 jenis spesies silangan baru per tahun. Pada tahun depan spesies baru yang akan dihasilkan, akan dikenalkan pada pameran flora Indonesia. Berapa peluang bahwa tahun depan ia akan membuat :4 atau lebih spesies silangan baruTidak dapat menghasilkan spesies kurang 2 spesis lebih dari 4 spesies