FISIKA MATEMATIKA 1

DERET

Anggota Kelompok :

1. Ginanjar Putri Utami 1101135006

2. Mochamad Rizalul Fikri 1101135012

3. Novita Sari 1101135014

4. Wirna Suryani 1101135025

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN FISIKA

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS MUHAMMADIYAH PROF. DR. HAMKA

2013

DERET

1.1 Definisi dan notasi

Deret merupakan suatu bilangan yang tersusun di dalam bentuk

penjumlahan dari banyak bilangan (tak hingga). Ada deret yang

mempunyai nilai terbatas dan ada juga yang mempunyai nilai tak

hingga. Bilangan penyusun deret dapat berupa rumus tertentu juga

ada berupa bilangan yang tidak dapat dirumuskan.

Contoh

1 + 12+ 1

3+ 1

4+….

Dalam banyak bentuk, deret dapat dirumuskan ke dalam suatu

bentuk perulangan (looping) yang bergantung pada suatu nilai

variabel yang membesar ketika berulang. Seperti contoh diatas,

dapat dilihat penyebut dari bilangan penyyusunannya membesar

dengan beda satu, artinya setiap perulangan bilangan

penyusunannya (penyebutnya) ditambah satu. Untuk merumuskan

deret di atas dapat digunakan variabel n yang membesar dengan

beda satu, digunakan sebagai penyebut bilangan penyusun deret,

dan operasi penjumlahan digunakan dengan notasi ∑n=1

∞

❑ atau

sigma yang artinya perulangan n dimulai dari satu sampai tak

hingga. Perumusan deret di atas adalah ∑n=1

∞12

= 1 + 12+ 1

3+ 1

4+….

Contoh

∑n=1

∞12n

=1+ 12+ 1

3+ 1

4+….

∑n=1

∞1n!

=1+ 12+ 1

6+ 1

24+….

1.2 Deret Konvergen dan Deret Divergen

Deret tak hingga terbagi menjadi dua yaitu, deret tak hingga yang

konvergen dan deret tak hingga yang divergen.

Tinjau suatu deret berikut :

∑n=0

∞

( 12 )

n

=1+( 12 )

2

+( 12 )

3

+( 12 )

4

+….+( 12 )

n

+….

Namakan deret dengan Sn :

Sn = 1+ 12+ 1

4+ 1

8+ 1

16…+( 1

2 )n

+…

Kita kalikan Sn dengan ½ akan didapat :

½ Sn = 12+ 1

4+ 1

8+ 1

16…+( 1

2 )n+1

+…

Jumlahkan Sn dengan (-1/2) Sn akan didapat :

Sn = 1+ 12+ 1

4+ 1

8+ 1

16…+( 1

2 )n

+…

-1/2 Sn = - [ 12+ 1

4+ 1

8+ 1

16…+(1

2 )n+1

+…] +

½ Sn = 1 - ( 12 )

n+1

Dengan demikian kita dapat menghitung nilai deret di atas

Sn = 1−( 1

2 )n+1

12

S = limn→∞

Sn = 2

Oleh karena nilai S dapat dihitung dan bernilai batas maka deret

tersebut dinamakan deret konvergen. Jika S tidak dapat dihitung

atau bernilai tak hingga maka deretnya dinamakan deret divergen.

Suatu barisan (Sn) dikatakan konvergen ke suatu bilangan hingga s

jika berlaku limn→∞

Sn=s. Artinya : untuk sembarang bilangan positif ϵ

kecil, ada bilangan bulat positif m, sedemikian sehingga untuk n >

m, maka |s−sn|<∈ Sn mempunyai limit disebut barisan konvergen,

tapi jika baris tak mempunyai limit maka barisan disebut

divergen.Suatu barisan (Sn) dikatakan divergen ke ∞ atau

limn→∞

Sn=∞ jika untuk sembarang bilangan positif m bagaimana

besarnya, selalu ada bilangan positif m, sedemikian sehingga untuk

n > maka |Sn| > m atau jika Sn > m, limn→+∞

Sn=+∞ dan limn→−∞

Sn=−∞

Dalil dalil untuk barisan

- Setiap barisan tak trun (tak naik) tetapi terbatas konvergen

- Setiap barisan tak terbatas adalah divergen

- Suatu barisan konvergen (divergen) akan tetap konvergen

(divergen) jika beberapa atau semua suku – suku ditukar

- Limit dari barisan konvergen adalah unik limn→∞

Sn=s dan

limb→−∞

tn=t

- limn→∞

(Sn± tn )=s+t

- limn→∞

(k .Sn )=k . s

- limn→∞

(Sn . tn )=s . t

- Jika Sn adalah barisan yang suku – sukunya tak nol dan jika

limn→∞

Sn=∞ maka lim 1Sn

= 0

- Jika a > 1 maka limn→+∞

an=+∞

- Jika |r| < 1 maka limn→∞

rn=0

1.3 Uji Deret Konvergen dan Divergen

Suatu deret dapat dikatakan konvergen bila telah diujji dengan

beberapa jenis uji yang dapat memberikan kepastian tentang sifat

konvergen. Ada beberapa jennis uji konvergensi bagi deret,

diantaranya

a. Uji Awal (Preliminary Test)

Uji ini dilakukan pertama kali sebagai uji apakah deret bisa

bersifat konvergen atau bahkan divergen. Melalui uji ini, suatu

deret dapat langsung dinyatakan bersifat divergen, atau deret

masih memiliki kemungkinan bersifat konvergen dari deret

tersebut.

limn→∞

an=0, ada kemungkinan deret konvergen

limn→∞

an≠0, deret pasti divergen

Dalil

Jika ∑n=1

∞

ankonvergen, maka limn→∞

an = 0

Dalil ini tidak bisa dibalik, jadi jika diperoleh limn→∞

an = 0 belum

dapat dikatakan bahwa deret ∑n=1

∞

an konveregen (lanjutkan ke uji

yang lain)

Contoh

∑n=1

∞12=1+ 1

2+ 1

3+ 1

4+……

limn→∞

an=0, deret belum pasti divergen tetapi memberikan

kemungkinan deret konvergen (walaupun akhirnya deret

divergen). Harus dilakukan uji lain yang dapat memastikan deret

konvergen.

b. Uji Perbandingan dengan Deret Lain (Comparison Test)

Setelah melalui uji awal dan ada kemungkinan deret konvergen,

dilakukan uji perbandingan untuk memastikan deret konvegen.

Suatu deret ∑n=1

∞

bn yang telah diketahui bersifat konvergen

digunakan untuk membandingkan (uji perbandingan) deret ∑n=1

∞

an

, dimana

∑n=1

∞

an < ∑n=1

∞

bn, deret ∑n=1

∞

an konvergen

∑n=1

∞

an > ∑n=1

∞

bn, digunakan uji lain untuk menentukan ∑n=1

∞

an

konvergen atau divergen.

Contoh :

Uji deret ∑n=1

∞1n!

dengan uji banding, gunakan sebagai deret

pembanding ∑n=1

∞12n

yang merupakan deret konvergen

Bandingkan

N n! 2n 1n !

1

2n

1 1 2 1 >12

2 2 412

>14

3 6 816

>18

4 24 161

24<

116

5 120 321

120<

132

1n !

< 1

2n untuk n ≥ 4

Maka deret ∑n=1

∞1n!

konveregen

c. Uji Integral

∫N

∞

andn→ ∫N

∞

f (n )dn → ∫N

∞

f ( x )dx ↔ ∫N

∞

f ( x )dn = ∫❑

∞

f ( x )dx

Ketentuan jika ∫❑

∞

f ( x )dx

1. Nilainya berhingga maka deret ∑n=1

∞

an konvergen

2. Nilainya tak berhingga maka deret ∑n=1

∞

an divergen

Untuk lebih memudahkan, batas integral bisa ditinjau batas

atasnya saja

Contoh

Selidiki kekonvergenan deret ∑k=1

∞k

ek2

Penyelesaian

∫1

∞

ak dk= limb→∞

∫1

bk

ak2 dk=

−12

limb→∞

e−k2| ¿1b −1

2limb→∞ ( 1

eb2 −

1e )= 1

2e

Karena integral tak wajar di atas kekonvergen 1

2e maka deret

∑k=1

∞k

ek2 konvergen ke

12e

dan ∑k=1

∞k

ek2 =

12e

d. Uji Nisbah (test d’allembert)

Teorema

Tinjau deret ∑n=1

∞

an lalu cari nilai ρn=|an+1

an | kemudian lakukan

limn→∞

ρn= ρ

Jika :

ρ<1 , konvergen

ρ>1 , divergen

ρ=1, pengujiangagal melakukan kesimpulan (dilakukan dengan

tes lain)

Contoh

Selidiki kekonvergenan deret ∑k=1

∞kk !

Jawab

Misal ak=1k !

maka limk→∞

ak +1

ak= lim

k→∞

1k+1

=0

Jadi deret ∑k=1

∞1k !

konvergen

e. Tes Akar (Test Couchy)

Misal ∑k=1

∞

ak deret positif dan limk→∞

k√ak=a

Maka

1. Bila a < 1 maka deret ∑k=1

∞

ak konvergen

2. Bila a > 1 atau a = ∞ maka deret ∑k=1

∞

ak divergen

3. Bila a = 1 maka tes gagal melakukan kesimpulan (dilakukan

dengan tes lain)

Contoh

Tentukan kekonvergenan deret ∑k=1

∞

( 3k+22k−1 )

k

Jawab :

Misal ak=( 3k+22k−1 )

k

maka limk→∞

k√ak = limk→∞

3k+22k−1

=32

Jadi deret ∑k=1

∞

( 3k+22k−1 )

k

konvergen

f. Tes Limit Perbandingan

Misal ∑k=1

∞

ak dan ∑k=1

∞

bk merupakan deret positif dan limk→∞

akbk

=1

Maka kedua deret konvergen atau divergen secara bersama –

sama bila 1 < ∞ dan 1 ≠ 0

Contoh

Tentukan konvergensi deret ∑k=2

∞1

k 2−1

Jawab

Pandang deret – p, ∑k=2

∞1k 2 konvergen. Misal ak=

1

k2 dan bk=1

k2−1

maka limk→∞

akbk

= limk→∞

k2−1k 2 = 1 Jadi deret ∑

k=2

∞1

k 2−1 konvergen

1.4 Deret Bolak-balik (Alternating Series)

Deret bolak-balik adalah deret yang suku-sukunya berganti tanda.

Sebagai contoh,

1−12+ 1

3−1

4+…+

(−1)n+1

n

Deret bolak-balik ∑n=1

∞

(−1)n+1an, dengan an positif, konvergen jika

memenuhi dua syarat berikut:

i. Setiap suku-suku deret ini secara numerik kurang dari suku-

suku sebelumnya, |an+1|<|an|.

ii. lima→∞

|an|=0.

1.5 DERET PANGKAT

1.5.1 Definisi deret pangkat

∑ ¿

n=0

∞

Cn( x−a)n=co+c1( x−a)+c2 ( x−a )2+c3 ( x−a )a+. . . ¿

dimana X adalah variabel Cn dan a konstanta

Perhatikan bahwa dalam notasi deret pangkat telah sengaja

memilih indeks nol untuk menyatakan suku pertama deret,c0

yang selanjutnya disebut suku ke-nol .Hal ini digunakan

untuk memudahkan penulisan ,terutama ketika membahasa

pernyataan suatu fungsi dalam deret pangkat .

Beberapa contoh deret pangkat :

(a)1− x

2+ x

2

4− x3

8+. . .. .+

(−x )n

2n+.. . ..

(b)x− x2

2+ x

3

3− x4

4+. . .. .+

(−1 )n+1 xn

n+ .. .. .

(c)x− x3

3 !+ x

5

5 !− x7

7 !+.. . ..+

(−1)n+1 x2 n−1

(2n−1)!+.. . ..

(d)1+

( x+2)√2

+( x+2 )2

√3+.. . ..+

( x+2)n

√n+1+. . .. .

1.5.2 TEOREMA DERET PANGKAT

Konsep Dasar

Deret pangkat merupakan suatu bentuk deret tak hingga

∑ ¿

m=0

∞

am( x−x0 )m=a0+a1 ( x−x0 )+a2( x−x0 )

2+a3 ( x−x0 )3+. .. .. ¿

(1)

Diasumsikan x, x0 ,dan koefisien a imerupakan bilangan

real. Jumlah parsial untuk n suku pertama bentuk di atas

adalah sn yang dapat dituliskan sebagai

sn ( x )=a0+a1( x−x0 )+a2( x−x0 )2+. .. . ..an( x−x0 )

n (2)

Dan sisa deret pangkat (1) didefinisikan sebagai Rn

Rn ( x )=a0+1( x−x0 )n+1+an+2( x−x0 )

n+2+. .. . .. (3)

Untuk persamaan (1) di atas dapat diperoleh

s0=a0

R0=a1( x−x0 )+a2( x−x0 )2+a3( x−x0 )

3+. . ..s1=a0+a1( x−x0 )

R1=a2( x−x0 )2+a3( x−x0 )

3+a4 ( x−x0 )4+. ..

s2=a0+a1( x−x0 )+a2 ( x−x0 )2

R2=a3( x−x0 )3+a4 ( x−x0 )

4+a5( x−x0 )5+. ..

1.5.3 Konvergensi

Jika diambil suatu nilai x = x1 maka deret pangkat (1)

dinyatakan konvergen jika

limn→∞

❑hadir sebagai suatu bilangan real.

Sebaliknya deret pangkat itu akan divergen jika limn→∞

❑ tidak

hadir sebagai suatu bilangan real.jika deret (1) adalah

konvergen pada x=x1 ,dan jumlah deret tersebut untuk

x=x1 dapat dituliskan sebagai

s( x1 )=∑ ¿

m=0

∞

am( x1−x0 )m ¿

Maka untuk tiap n tertentu dapat dituliskan

s( x1 )=sn ( x 1 )+Rn( x1 ) (4)

Pada kasus konvergensi ,untuk suatu nilai positif ε tertentu

terdapat suatu nilai N (yang tergantung terhadap ε )

sedemikian sehingga ,untuk (4)

|Rn( x1 )|=|s( x1 )−sn( x1)|<ε untuk setiap n>N (5)

Secara geometris ini berarti bahwa semua sn ( x1)dengan

n>N ,terletak antara s( x1 ) dengan n>N ,terletak antara

s( x1 )−ε dan s( x1 )+ε .Untuk deret yang konvergen ,kita

dapat menentukan nilai pendekatan dari s( x )untuk x=x1

dengan mengambil harga n yang cukup besar .

1.5.4 Radius Konvergensi

Untuk menentukan nilai x, yang menghasilkan deret

konvergen,tes rasio (Boas, 1983) dapat digunakan.Tes

rasio menyatakan bahwa jika rasio absolute dari suku ke-

m+1 terhadap suku ke-n mendekati suatu nilai ξ karena

n→∞ ,maka deret dikatakan konvergen jika ξ<1dan

divergen jika ξ>1

ξ= limm→∞

|am+1

am||x−x0|

(6)

ξ= 1R|x−x0|

(7)

Dimana

1R

= limm→∞

|am+1

am||x−x0|

atau R= lim

m→∞|amam+1

|(8)

Jika limit ada ,maka deret adalah konvergen ,dan

konvergensi menyatakan ξ<1 ,sehingga

|x−xo|<R (9)

R adalah radius konvergensi ,dan deret akan konvergen

pada interval

x0−R<x<x0+R (10)

Jika deret konvergen ,maka deret yang diperoleh dari hasil

turunannya juga konvergen.

Untuk deret pangkat yang diberikn pada persamaan (1)

hanya terdapat tiga kemungkinan

Deret tersebut konvergen hanya ketika x−xo ,jika

diperoleh harga R=0

Deret tersebut konvergen pada |x−xo|<R ,jika diperoleh

harga R=1

Deret tersebut konvergen untuk semua x,jika diperoleh

harga R=∞

Untuk tiap x yang membuat deret(1) konvergen ,maka

deret ini akan menghasilkan nilai tertentu s(x) .Dapat

dituliskan fungsi s(x) yang konvergen dalam interval

berikut:

s( x )=∑ ¿

m=0

∞

am(x−x0)m ¿ (|x−x0|<R ) (11)

Contoh 1

Selidikilah konvergensi dari deret berikut :

∑ ¿

m=0

∞

m! xm=1+x+2 x2+6 x3+. . .. . ¿

Penyelesaian :

Dari deret di atas ,diperoleh am=m! ,dengan demikian

R= limm→∞

|amam=a

|

R= limm→∞

|m!(m+1)!

|

R= limm→∞

|1m+1

|

R=0

Menurut tes rasio ,kenvergensinya menyatakan bahwa

ξ= 1R|x−x0|=

1R

|x|<1

Deret ini divergen untuk x≠0 dengan demikian deret ini

konvergen hanya ketika x=0

Contoh 2

Selidikilah konvergensi deret geometri berikut :

11−x

=∑ ¿

m=0

∞

xm=1+x+x2+. .. .. . ¿(|x|<1 )

Penyelesaian :

Dari deret geometri di atas diperoleh am=1 untuk setiap

m ,sehingga

R=limm→ x

|amam+1

|

R=1

Menurut tes rasio ,konvergensinya menyatakan bahwa

ξ= 1R|x−x0|=|x|<1

Dari tes rasio didapatkan bahwa deret geometri ini

konvergen untuk |x|<1

1.5.5 Penurunan dan Pengintegralan Deret Pangkat

Jika y( x ) merupakan fungsi dari deret pangkat pada

persamaan (1)

y ( x )=∑m=0

∞

am( x−x0 )m

Mempunyai radius konvergensi R > 0 ,maka hasil turunan

dan integrasi dari deret pangkat tersebut pada selang

|x−x0|<R diberikan oleh

y ' ( x )=∑m−1

∞

mam( x−x0 )m−1

(12)

y '' ( x )=∑m−1

∞

m (m−1 )am( x−x0 )m−2

(13)

∫ y ( x )dx=∑m=0

∞am

( x−x0)m+1

m+1

(14)

Penjumlahan

Dua deret pangkat dapat dijumlahkan,misalkan

f ( x )=∑m=0

∞

am ( x−x0)m(15)

g ( x )=∑m=0

∞

bm (x−x0 )m(16)

Memiliki radius konvergensi positif (R>0) dan jumlah dari f(x)

dan g(x) dapat dituliskan sebagai berikut

∑m=0

∞

(am+bm ) (x−x0 )m(17)

Konvergensi dari fungsi hasil penjumlahan ini terletak di

dalam interval konvergensi dari tiap-tiap fungsi asal .

Perkalian

Dua deret pangkat f(x) dan g(x) yang dinyatakan pada

persamaan (15) dan (16) dapat diperlakukan operasi

perkalian ,dengan hasil berikut

∑m=0

∞

(a0bm+a1bm−1+. . .. .amb0 ) (x−x0)(18)

=a0b0+(a0b1+a1b0 ) (x−x0 )+(a0b2+a1b1+a2b0 ) (x−x0 )2+. .. . .

Konvergensi dari fungsi hasil perkalian ini terletak di dalam

interval konvergensi dari tiap-tiap fungsi asal.

1.6 Ekspansi Deret

Kadang kala dalam menyelesaikan sebuah permasalahan dalam

fisika, sebuah fungsi diekspansikan ke dalam bentuk deret agar

mempermudah penyelesaian permasalahan tersebut. Sebuah

fungsi f(x) jika diekspansasikan menjadi bentuk deret disebut

bderet Taylor – Mc Laurin

Dengan

f n(0) adalah turunan ke – n dari f(x)

Misalkan f(x) = sin x ; maka :

C0 = 0

C1 = 1

C2 = 0

C3 = -13!

Sehingga sin x = c0x0 + c1x1 +c2x2+c3x3+......

Dengan cara yang serupa,bentuk deret dapat didapatkan untuk

beberapa fungsi lainnya

Untuk nilai x sangat kecil, maka :

Sin x = x

Cos x =1

Exp (x) =1+x

Pendekatan nsemacam ini kadang dijumpai pada bidang ilmu

mekanika misalnya pada ayunan bandul dengan sudut simpangan

yang kecil.

Bukti : Deret Taylor

Konsep deret ini sungguh tidak sulit jika kita sudah mengenal

konsep derivatif. Sangat mudah..

Berikut adalah formula yang dikenl dengan nama Deret Taylor

Untuk setiap fungsi f(x) yang diferensiabel di titik c, maka

berlaku ekspansi dari f(x) sebagai berikut .

F(x) = f(c)+ f ' (c )11

(x-c) + f ' ' (c)

2 !(x−c)2+

f ' ' '(c)3 !

(x−c )3 +......(dst)

Teorema Taylor

Untuk fungsi f(x) yang diferensiabel dititik c, maka hanya akan

terdapat 1 fungsi yang memenuhi kondisi berikut.

F(x) = a0 + a1(x-c)+a2(x−c)2+…

Conto soal :

Diketahui f(x) = x3+3x2+2 x+1 , dengan c=1 , berapakah nilai daro

a0,a1,a2,a3,dst,, yang memenuhi persamaan berikut ?

F(x) = a0+a1(x-c)+a2(x−c)2+a3(x−c)2+...

Jawab :

Fungsi di atas merupakan polinomial yang berderajat 3. Oleh

karena itu , kita tidak perlu memperhatikan derajat yang lebih besar

dari 3 , seperti (x−c)4 ,(x−c)5. Artinya , nilai yang perlu dicari

adalah nilai a0,a1,a2,dan a3 saja. (sisanya bernilai nol).

Soal ini dapat dikerjakan dengan penjabaran biasa(yang

sesungguhnya, akan lebih efektif menggunakan formula Deret

Taylor).

x3+3x2+2x+1 = a0+a1(x-1)+a2(x−c)2+a3(x−1)3

x3+3x2+2x+1 =a0+a1(x-1)+a2(x2−2 x+1)❑+a3(x¿¿3−3 x2+3 x−1)¿

Setelah dikalikan dan dijumlahkan menjadi sbb:

x3+3x2+2 x+1=(a3 ) x3+ (a2−3a3 ) x2+ (a1−2a2+3a3 )x+(a0−a1+a2−a3)

Dengan menghubung-hubungkan koefisien ruas kiri dan kanan ,

kita akan menemukan jawaban :

A0 = 7 , a1=11,a2=6,dan a3=1.

Bukti Deret Taylor

Dari Teorema Taylor , didapat fungsi yang didefinisikan sbb:

F(x)=a0+a1(x-c)+a2(x-c)2+a3(x-c)3+.....+an(x-c)n+...

Bagaimana jika fungsi tersebut kita turunkan 1 kali,2 kali,dan

seterusnya?Hasilnya ditunjukkan dibawah

F’(x)=a1+2a2(x-c)+3a3(x-c)2+.....

F’’(x)= 2a2+33.2..a3(x-c)+4.3a4(x-c)2+...

F’’’(x)=3.2.a3+4.3.2.a4(x-c)+.....

Fn(x)= n!(an)+(n+1)!an+1(x-c)+(n+2)!an+2(x-c)2+....(dst)

Kemudian, pada fungsi awal dan fungsi-fungsi turunan tersebut ,

jika kita bmenetapkan x=c, maka :

F(c)=a0

F’(c)=a1

f’’(c)=2!.a2

f’’’(c)=n!.an

dengan memasukkan harga a0, a1, a2, a3, dst, maka Deret Taylor pun

terbukti

f(x)=f(c)+f ' (c )1 !

( x−c )+ f' ' (c)2 !

(x−c)2+f ' ' ' (c )

3 !(x−c)3+…dst

1.7 Latihan Soal

1. Tentukan deret berikut menggunakan uji awal ∑n=1

∞n2

(n+1 )2

Penyelesaian

limn→∞

n2

(n+1 )2 = lim

n→∞

n2

(n2+2n+1 ) = 1 (divergen)

2. Hitung ∫0

12dx

1+x2 dengan pengembangan deret satelit empat

desimal.

Penyelesaian

∫0

12dx

1+x2 ∫0

12

¿¿ - x6+x8−x10+x12−….¿dx

[ x− x3

3+ x

5

5− x7

7+ x

9

9−… ] ❑o

1 /2

12

– 1

2.23− 1

5.25− 1

7.27+ 1

2.29+ 1

11.211+…

0,50000 – 0,04167 + 0,00625 – 0,001112

– 0,0004 +0,00001 - …

0,4636

3. Selidiki konvergensi deret ∑n−2

∞1

n log n

Penyelesaian

Suku-suku dari deret ini lebih kecil dari suku-suku deret

harmonis

Tetapi tidak dapat kita ambil kesimpulan

Tetapi ∫2

∞dx

x log x=∫

2

∞

d ¿¿¿¿

Deret tersebut divergen

4. Selidiki konvergensi dari deret ∑n−1

∞log nn

Penyelesaian

un=lognn

> 1n

untuk n≥3

Diketahui deret ∑ 1n

divergen, maka deret tersebut diatas

divergen.

5. Selidiki konvergensi dari deret ∑n−1

∞log nn !

Penyelesaian

limn→∞

un+1

un=¿

limn→∞

2n+1

(n+1 ) !.n !2n

¿ = limn→∞

2

n+1=0

6. Selidiki konvergensi dari deret ∑n−1

∞nn

n!

Penyelesaian

limn→∞

un+1

un =

limn→∞

(n+1 )n+1

(n+1 ) !.n !nn

= limn→∞

n+1

n+1 . ( n+1

n )n

= limn→∞ (1+ 1

n )2

=e>11.

7. Selidiki konvergensi deret ∑n=1

∞2n

1.3 .5……… ..(2n+1)

Penyelesaian

limn→∞

un+1

un=¿

limn→∞

2n

1.3 .5……… ..(2n+1)(2n+3)¿

= limn→∞

22n+3

=¿¿Deret Konvrgen.

8. Selidiki konvergensi deret ∑n→1

∞n2+2n

2nn2

Penyelesaian

un=n2+2n

2nn2 = 12n

+ 1

n2

Masing-masing deret ∑ 1

2n dan ∑ 1

n2 konvegen. Maka jumlah

dari dua deret konvergen pula.

9. Selidiki konvergensi dari deret ∑n=1

∞ln n2n3 −1

Penyelesaian

Dapat dipahami bahwa ln n < n dan 1

2n3−1 ≤

1

n3

Maka : lnn

2n3−1 ≤n

n3 = 1

n2 . Deret ∑ 1

n2 konvergen.

Ternyata deret ∑n=1

∞1n2 konvergen.

10.Selidiki konvergensi dari deret ∑n=1

∞n

n2+1

Penyelesaian

∫1

∞x dxx2+1

= limM→∞

∫1

Mx dxx2+1

¿ 12

limM→∞

∫1

Md (x¿¿2+1)

x2+1¿

¿ 12

limM→∞

ln(x2¿+1)| ❑1M ¿

= limM→∞

¿¿

= ∞

Deret divergen

11.Selidiki konvergensi dari deret ∑n=1

∞

(−1 )n−1 nn2+1

Penyelesaian

|un|=n

n2+1 dan |un+1|= n+1

(n+1 )2+1

Jelas un + 1 < un untuk n ≥ 1

Sedangkan limn→∞

un = limn→∞

1n+1n

= 0

Deret alternative konvergen, tetapi deret dengan suku – suku

positif ∑1

∞n

n2+1

12.Selidikilah konvergensi deret berikut

e x=∑ ¿

m=0

∞

xm

m!=1+x+

x2

2 !+. .. .. ¿

Penyelesaian :

Menurut tes rasio ,konvergensi menyatakan bahwa

ξ= 1R|x−x0|=

1R

|x|<1

Karena harga R=∞ ,maka deret di atas konvergen untuk semua

x ,dan dari tes rasio diperoleh |x|<∞

13.Tentukan radius konvergensi dari deret berikut

∑m=0

∞ (−1 )m

8mx3m=1− x3

8+ x

6

64− x9

512+. . .. .−. .. ..

Penyelesaian

Deret ini merupakan deret dengan pangkat t=x3 denga

koefisien am=(−1)m/8m ,maka

R= limm→∞

|amam=1

|

R= limm→∞

|8m+1

8m|

R=8

Menurut tes rasio ,konvergensi menyatakan bahwa

ξ= 1R|x−x0|=

1R

|x3|<1

Dengan demikian deret ini konvergen untuk |t|=|x3|<8 yang

memenuhi |x|<2

14.Gunakan ratio test

2n

2n−1

un=2

2n−1;un+ 1=

2(n+1)

2 (n+1 )−1= 2(n+1 )

2n+1

limn→∞

un+1

un=lim

n→∞

2(n+1 )

2n+12n

2n−1

¿ limn→∞

2 (n+1 )

2n+12n−1

2n

¿ limn→∞

2n .22n+1

2n−12n

¿ limn→∞

4n−22n+1

¿ limn→∞

4 nn

+ 2n

2nn

+1n

¿

4∞∞

+ 2∞

2∞∞

+1∞

¿ 42

¿2divergen

15.Gunakan Couchy test

∑n=1

∞

( n(n+1 ) en )

1n

un=( n(n+1 ) en )

1n=( n

n en+1en )1n

limn→∞

n√un=limn→∞

n√( n

nen+1en )1n

¿ limn→∞ [( n

n en+1en )1n ]n

¿ limn→∞ [( n

1n

ne+e )]n

¿ limn→∞ ( n

1n2

ne1n+e

1n )

¿

nn2

1n2 n

2

ne

n2

1n2 n

2

+e1

n2 n2

¿ ∞∞+∞

¿∞

16.Ekspansikan fungsi f ( x )=cosx disekitar x=π2

!

Penyelesaian

f ' ( x )=−sin x f '( π2)=−1

f ' ' ( x )=−cos x f ' '( π2)=0

f ' ' ' ( x )=sin x f ' ' ' ( π2 )=1

f ( IV ) ( x )=cos x f ( IV ) ( x )( π2 )=0

f (V ) ( x )=−sin x f (V )( π2 )=−1

f (VI ) ( x )=−cos x f (VI )( π2 )=0

cos x=−(x− π2 )+

(x− π2)

3

3 !−

(x−π2)!

5!+…

17.Ekspansikan fungsi

f ( x )=sin x , f ( x )=cos x , f ( x ) : f ( x )=ln ( x+1 )di sekitar 0

Penyelesaian :

sin x=x− x3

3 !+ x

5

5 !− x7

7 !+..

cos x=1− x2+ x

4

4 !− x6

6 !+. .

ex=1+x+ x2

2!+…

ln (1+x )=x x2

2+ x

3

3−…

18. Ekspansikan ke dalam deret taylor dan max laurins : f ( x )=e−2x

dengan b = 0 dan n = 4

penyelesaian :

f ( x )=e−2x f (b )=e−2.b=e−2.0=e−0=−1

f I ( x )=e−2x .−2=−2e−2x f I (b )=−2e−2.b=−2e−0=−2

f II ( x )=−2e−2x .−2=4 e−2 x f II (b )=4 e−2b=4 e−0=−4

f III ( x )=4e−2 x .−2=−8e−2x f III (b )=−8e−2b=−8e−0=8

f IV ( x )=−8e−2x .−2=16e−2 x f IV (b )=16e−2b=16e−0=−16

19. Ekspansikan ke dalam deret taylor dan mac laurins.f ( x )=(1+x2)1 /2

Penyelesian :

f ( x )=(1+x2)1 /2 dengan b = 0 dan n = 3

f ( x )=(1+x2)1 /2 f (b )=(1+b2)1/2=(1+02)1 /2=√1=1

f I ( x )=12(1+x2)

−1/2

f I (b )=12(1+b2)

−1 /2

=12(1+02)−1/2=1/2

√1=1

2

f II ( x )=−14

(1+ x2)−3 /2

fII (b )=−1

4(1+b2)

−3/2

=−14

(1+02)−3 /2

=−1/ 43√1

=−14

f III ( x )=38

(1+ x2)−5/2 f

III (b )=38

(1+b2 )−5 /2=3

8(1+02 )−5 /2

=3 /85√1

=38

Deret taylor :

f ( x )=f (b )+ fI

1!(x−b)1+ f

II

2 !(x−b)2+ f

III

3 !(x−b)3+……

¿1+ 1/21!

(x−0)1+−1/42 !

( x−0)2+ 3/83 !

(x−0)3+……

¿1+ 12x−1

4x2+ 3

8x3+……. .

Deret max laurins

f ( x )=f (b )+ fI (b)1 !

(x )1+f II(b)

2!(x )2+

f III (b)3 !

( x)3+f IV (b)

4 !(x)4+………

¿1+ 1/21!

(x )1+−1/42!

(x)2+ 3/83 !

(x)3+……

¿1+ 12x−1

4x2+ 3

8x3+……. .

20.Ekspansikan kedalam deret taylor dan mac laurinsa. F ( x )=exb=0n=5

f (x)=ex f (b )=e0=1

f ' ( x )=e x .1 f ' (b )=e0=1

f ' ' ( x )=ex .1 f ' ' (b )=e0=1

f ' ' ' ( x )=ex .1 f ' ' ' (b )=e0=1

f ' v ( x )=e x .1 f ' v (b )=e0=1

f v (x )=ex .1 f v (b )=e0=1

Deret taylor

F (x)=f (b )+ f' (b )1!

( x−b )1+ f' ' (b )2 !

( x−b )2+ f' ' ' (b )3 !

( x−b )3+ f' v (b )4 !

( x−b )4

+ f v (b )5 !

( x−b )5

¿1+ 11!

(x−0)1+ 12!

( x−0)2+ 13 !

(x−0)3+ 14 !

(x−0)4+ 15 !

(x−0)5

¿1+ 11!x1+ 1

2 !x2+ 1

3 !x3+ 1

4 !x4+ 1

5 !x5

Deret mac laurin

F ( x )=f (b )+ f' (b )1!

x1+f ' ' (b )

2 !x2+

f ' ' ' (b )3 !

x3+f ' v (b )

4 !x4+

f v (b )5 !

x5

¿1+ 11!x1+ 1

2 !x2+ 1

3 !x3+ 1

4 !x+ 1

5 !x5

¿1+ 11!x1+ 1

2 !x2+ 1

3 !x3+ 1

4 !x4+ 1

5 !x5

b. F ( x )= 1(x+1)

b=0n=5

f ( x )=(x+1)−1 f (b )=(0+1)−1=1

f ' ( x )=−1(x+1)−2 f ' (b )=−1 (0+1 )−2=−1

f ' ' ( x )=2(x+1)−3 f ' ' (b )=2 (0+1)−3=2

f ' ' ' ( x )=−6(x+1)−4 f ' ' ' (b)=−6 (0+1 )−4=−6

f ' v ( x )=24 (x+1)−5 f ' v (b )=24 (0+1)−5=24

Deret taylor

F ( x )=f (b )+ f' (b )1!

(x−b )1+ f' ' (b )2 !

( x−b )2+ f' ' ' (b )3 !

( x−b )3+ f' v (b )4 !

( x−b )4

¿1+(−1)

1!(x−0)1+ 2

2 !(x−0)2+

(−6)3 !

(x−0)3+ 244 !

(x−0)4

¿1−x+x2−x3+x4

Deret mac laurin

F ( x )=f (b )+ f' (b )1!

x1+f ' ' (b )

2 !x2+

f ' ' ' (b )3 !

x3+f ' (b )4 !

x4+f v (b )

5 !x5

¿1+(−1)

1!x1+ 2

2 !x2+

(−6)3 !

x3+ 244 !x 4

¿1−x+x2−x3+x4

21.Tentukan konvergen atau divergen dengan menggunakan

integral test

a. f (n) = sin n

penyelesaian :

F (n) = sin n

∫1

f ( x )dx= limu→∞

∫1

u

sin x dx

¿ limu→∞

cos x|u1¿ limu→∞

(cosu−cos1 )

¿cos −cos1

¿ −0,99=

b. f (n) = 50n+1 misal : t = x+1

dtdx

=1

dx=dt

∫1

f ( x )dx= limu→∞

∫1

u50tdt

¿ limu→∞

50∫1

u1tdt

¿ limu→∞

50 ( ln t ) [u1¿ limu→∞

50 . ln (x+1 )[u1¿50 (ln ( +1 )−ln (1+1 ) )

¿50(0−0,693)

¿−34,65

karena −34,65<1 maka disebut konvergen