Upload
duongdien
View
228
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
Seri Mata Kuliah : PEMODELAN dan MATEMATIKA TERAPAN
5 Solusi PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL (PDP) dengan HARGA AWAL dan KONDISI BATAS dalam
PEMODELAN dan MODEL MATEMATIS
Bentuk umum : Persamaan Diferensial Biasa (PDP) linier order 2 yang
paling umum dalam 2 variabel bebas dapat dituliskan
sebagai,
)y,x(g)y,x(fy
c)y,x(fyx
b)y,x(fx
a =∂∂
+∂∂
∂+
∂∂
2
22
2
2
dapat diklasifikasikan sebagai :
1. PDB ‘Hiperbolik’, yaitu jika 042 >− cab2. PDB ‘Parabolik’, yaitu jika 042 =− cab3. PDB ‘Eliptik’, yaitu jika 042 <− cab
Beberapa Notasi Penulisan :
1. )y,x(fx
fx ∂∂
=
2. )y,x(fy
f y ∂∂
=
3. )y,x(fyx
fxy ∂∂∂
=2
4. )y,x(fx
fxx 2
2
∂∂
=
5. )y,x(fy
f yy 2
2
∂∂
=
Beberapa contoh PDP yang terbentuk :
1. Persamaan Laplace (eliptik) : 0=+ yyxx ff
2. Persamaan gelombang (hiperbolik) : 02 =− yyxx fcf
3. Persamaan difusi (parabolik) : 0=− yyx ff D
Property of Setijo Bismo: Seri Perkuliahan Pemodelan dan Mater - Solusi PDP Halaman (1)
Seri Mata Kuliah : PEMODELAN dan MATEMATIKA TERAPAN
Notasi atau kemungkinan konfigurasi PDP lain :
• Persamaan Tricomi (mixed type) : 0=+ yyxx ffy
– berbentuk hiperbolik, bila : 0<y – berbentuk parabolik, bila : 0=y – berbentuk eliptik, bila : 0>y
Perbedaan PDB dengan PDP :
PDB PDP
• Primitif persamaan merupakan persamaan aljabar dengan satu variabel bebas dan beberapa variabel tak bebas.
• Persamaan berbentuk suatu turunan hanya terhadap satu variabel bebas.
• Domain solusi atau penyelesaiannya berdimensi satu yang dapat sangat presisi : hanya bergantung pada pemilihan langkah (step) variabel bebas.
• Solusi numerik berupa IVP.
• Primitif persamaan berupa persamaan aljabar dengan beberapa variabel yang dapat saling berkaitan.
• Persamaan berupa turunan parsial terhadap variabel-variabelnya.
• Domain solusi atau penyelesaiannya berdimensi dua : bergantung pada pemilihan langkah (step) variabel-variabelnya.
• Berbentuk solusi IVP dan atau BVP.
Gambar 1. (a). BVP-IVP dan (b). BVP
Property of Setijo Bismo: Seri Perkuliahan Pemodelan dan Mater - Solusi PDP Halaman (2)
Seri Mata Kuliah : PEMODELAN dan MATEMATIKA TERAPAN
- ‘Grid’ pada arah-x :
==
=−=
+
+
101
11
1
N
ii
x,xN,,i,xxh K
Strategi Solusi PDP :
A. Persamaan-persamaan yang berbentuk eliptik dapat diselesaikan dengan pemilihan beberapa metode yang sesuai : diskretisasi ‘Rectangular Mesh’ dengan diferensial hingga (finite differences), finite volume dan finite element.
B. Solusi persamaan-persamaan yang berbentuk hiperbolik dapat berupa metode : diskretisasi ‘Rectangular Mesh’ dalam diferensial hingga (finite differences), persamaan-persamaan diferensial-hingga pendekatan (Skema Padé dan Skema Crank-Nicolson), bentuk reduksi menjadi sistem PDB, dan metode karakteristik.
C. Persamaan-persamaan yang berbentuk parabolik dapat diselesaikan dengan pemilihan beberapa metode : diskretisasi dalam ‘grid segi-4’ atau pendekatan diferensial hingga eksplisit, MOL, metode Crank-Nicolson implisit, dan eliminasi Gauss (persamaan implisit).
BEBERAPA CONTOH JENIS SOLUSI PDP
Kasus #1 (Solusi PDP bentuk Parabolik) :
konstanta
0102
2
=
><<∂
∂=
∂∂
D
D t,x,x
)t,x(ft
)t,x(f
Secara ringkas, beberapa metode praktis yang dapat digunakan untuk Kasus #1 ini adalah sbb :
(a). MOL (Method Of Lines)
- Diskretisasi : [ ]
≅
+−= −+
)t,x(f)t(u
uuuhdt
du
i
iiii
112 2D
- Jenis kondisi batas :
=β+α•
=•
=•
)t(g)t,(f)t,(f:Robin)t(g)t,(f:Neumann
)t(g)t,(f:Dirichlet
x
x
3
2
1
001
0
(b). Diferensial Hingga (Low-Order Time Approximation)
- ‘Grid’ pada arah-x :
==
−=
+
+ =00 11
1 1N
ii
u,u,xxh N,,i K
Property of Setijo Bismo: Seri Perkuliahan Pemodelan dan Mater - Solusi PDP Halaman (3)
Seri Mata Kuliah : PEMODELAN dan MATEMATIKA TERAPAN
- Diskretisasi :
[ ]
[ ]
+−=∆
−
=∆=≅
+−=
−++
−+ =
j,ij,ij,ij,ij,i
jjjj,i
iiii
uuuht
uu
,,j,tjt),t,x(fu
,uuuhdt
du N,,i
1121
112
2
22
sehingga10
D
D
K
K
- Implementasi : Eliminasi Gauss atau TDM.
(c). Metode Crank-Nicolson
- Pendekatan diskretisasi: 21
21
2
2
++
∂
∂=
∂∂
j,ij,i x)t,x(f
t)t,x(f
dengan
+−
++−
=− −++−++++
211
211111
211 22
huuu
huuu
kuu j,ij,ij,ij,ij,ij,ij,ij,i
memberikan
j,ij,ij,ij,ij,ij,i uru)r(ururu)r(ur 1111111 2222 +−++++− +−+=−++−
dengan
2h/kr =
- Secara umum, sisi kiri dari persamaan di atas mengandung 3 besaran tak diketahui, dan di sisi kanan 3 besaran diketahui, dari besaran u , seperti digambarkan di bawah ini :
Catatan : langkah waktu (time step) kt =δ haruslah sangat kecil, karena
proses tersebut hanya berlaku untuk 212 << h/k0 dan
xh δ= harus dipertahankan kecil.
Property of Setijo Bismo: Seri Perkuliahan Pemodelan dan Mater - Solusi PDP Halaman (4)
Seri Mata Kuliah : PEMODELAN dan MATEMATIKA TERAPAN
Kasus # 2 (Solusi PDP bentuk Hiperbolik) :
nyata)dan(positifkonstanta
000
=
>>=∂
∂+
∂∂
a
t,x,x
)t,x(fat
)t,x(f
• kondisi awal (initial condition) :
00 ≥= x),x(g),x(f
• kondisi batas (boundary condition) :
00 >= t),t(b)t,(f
Secara ringkas, salah satu metode praktis yang dapat digunakan untuk Kasus #2 ini adalah :
(#). Backward Difference dan Sistem PDB :
- Pendekatan ‘backward difference’ untuk turunan x (x-derivative) pada titik (x,t) dengan formula :
)h(Oh
)t,hx(f)t,x(fxf
+−−
=∂∂
- Dengan menganggap x tetap pada suatu posisi tertentu, PDP di atas dapat dituliskan sebagai suatu PDB :
[ ] )h(O)t,hx(f)t,x(fha
t)t(f
+−−−=∂
∂
- Dengan menuliskan PDB di atas pada grid dengan N buah titik ( x ), sepanjang bidang-waktu t, akan diperoleh suatu harga yang merupakan harga pendekatan dari yang berjumlah
N,,i,hii K1==)t(V i )t(fi
N buah persamaan :
[ ]
[ ]
[ ]1
122
11
−−−=
−−=
−−=
NNN VV
ha
dtdV
VVha
dtdV
)t(bVha
dtdV
M
Kasus #3 (Solusi PDP bentuk Eliptik) :
000002
2
2
2
≤≤≤≤=∂
∂+
∂∂ y,x,
y)y,x(f
x)y,x(f
Secara ringkas, salah satu metode praktis yang dapat digunakan untuk Kasus #1 ini adalah :
Property of Setijo Bismo: Seri Perkuliahan Pemodelan dan Mater - Solusi PDP Halaman (5)
Seri Mata Kuliah : PEMODELAN dan MATEMATIKA TERAPAN
(#). Diskretisasi dalam grid segi-4 :
- Pendekatan ‘grid bujur-sangkar’ sehingga diperoleh :
hyx =∆=∆
- Jika 1=Nh , makam jumlah ‘titik grid internal’ adalah ( 21 )N −
- Maka diskretisasi diferensial hingga untuk persamaan order-2 di atas adalah :
0]2[]2[ 112)(
1112)(
1 =+−++− −+∆−+∆ j,ij,ij,iyj,ij,ij,ixuuuuuu
dengan
hjyhix
)y,x(fu
j
i
jij,i
=
=
≅
- Karena , maka persamaan diskretisasi di atas dapat dituliskan sebagai :
yx ∆=∆
04 1111 =++−+ +−+− j,ij,ij,ij,ij,i uuuuu
dengan ketelitian atau akurasi sebesar O . )h( 2
- Membentuk SISTEM PERSAMAAN ALJABAR LINIER (SPAL).
- Penyelesaian akhirnya akan sangat bergantung pada jenis kondisi batasnya : Dirichlet Problem, Neumann Problem atau Robin Problem.
BEBERAPA CONTOH PENYELESAIAN PDP
Contoh #1 (Penyelesaian PDP bentuk Parabolik) :
Selesaikan PDP di bawah ini :
2
2
xU
tU
∂∂
=∂
∂
• yang memenuhi kondisi awal berikut :
1=U untuk pada saat 10 ≤≤ x 0=t
• dan kondisi batas berikut :
UxU
=∂∂ pada , untuk setiap 0=x t
UxU
−=∂∂ pada , untuk setiap 1=x t
menggunakan ‘metode diferensial-hingga eksplisit’ dan mengimplementasikan ‘central-differences’ untuk kondisi batasnya.
Property of Setijo Bismo: Seri Perkuliahan Pemodelan dan Mater - Solusi PDP Halaman (6)
Seri Mata Kuliah : PEMODELAN dan MATEMATIKA TERAPAN
Jawab :
Representasi ‘diferensial-hingga’ dari PDP di atas adalah :
jtix,x
uuut
uu j,ij,ij,ij,ij,iaa dan2
111
)(2δ
+−=
δ
− +−+ ’
atau bentuk eksplisitnya :
( )
2
111
)(
2
xt
uuuuu j,ij,ij,ij,ij,i
δδ
=ρ
+−ρ+= +−+
dengan (1)
Pada saat , 0=x
( )j,j,j,j,j, uuuuu 101010 2 +−ρ+= −+ (2)
Penulisan formulasi kondisi batas pada 0=x dalam term ‘central-differences’ adalah sebagai berikut :
j,j,j, u
xuu
011
2=
δ
− − (3)
Penyisihan ‘nilai imejiner’ u dalam persamaan (2) dengan (3) di atas : j,1−
[ ]( )j,j,j,j, uxuuu 01010 12 δ+−ρ+=+ (4)
Jika diambil δ . Sehingga, pada saat 10,x = 1=x , persamaan (1) di atas menjadi :
( )j,j,j,j,j, uuuuu 1110910110 2 +−ρ+=+ (5)
dan formula kondisi batasnya adalah :
j,j,j, u
xuu
10911
2−=
δ
− (6)
Penyisihan ‘nilai fiktif’ u pada persamaan (5) dengan bantuan persamaan
(6) di atas, diperoleh : j,11
[ ]( )j,j,j,j, uxuuu 10910110 12 δ+−ρ+=+ (7)
Dari persamaan (4) dan (7) di atas, dapat disimpulkan bahwa terdapat suatu ‘simetri’ pada saat .x 2
1=
Salah satu syarat yang perlu diketahui, dalam skema solusi ini adalah bahwa :
xhrδ+
≤ 21
Jika dipilih =r ¼, maka persamaan-persamaan (4) dan (1) di atas dapat dituliskan sebagai :
Property of Setijo Bismo: Seri Perkuliahan Pemodelan dan Mater - Solusi PDP Halaman (7)
Seri Mata Kuliah : PEMODELAN dan MATEMATIKA TERAPAN
( )( ) ),4321(2
41
90
111
1021
10
,,,iuuuu
,uu,u
j,ij,ij,ij,i
j,j,,
=++=
+=
+−+
dan pada titik simetri, dapat dituliskan (tanpa perlu menuliskan formula penuh seprti persamaan (7)) :
+ += j,j,j, uuu 5441
15 22
Karena harga awal adalah 1=u , maka nilai-nilai u pada akhir ‘time-step’ pertama bila ( ) 400
12 =δρ= xt , adalah :
( )( ) ,uuuuu
,,u
,,,,,
,
1514131241
11
21
10
1121
950190
=====++=
=+=
dan nilai-nilai pada akhir ‘time-step’ kedua adalah :
( )( )( ) .uuuu
,,u
,,,u
,,,,
,
,
25242341
22
41
21
21
20
1121
9875012950
92750195090
====++=
=++=
=+×=
Dan seterusnya, dan hasil-hasilnya disajikan sebagai berikut :
i = 0 x = 0
1 0,1
2 0,2
3 0,3
4 0,4
5 0,5
t = 0,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0025 0,9500 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000
t = 0,0050 0,9275 0,9875 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0075 0,9111 0,9756 0,9969 1,0000 1,0000 1,0000 0,0100 0,8978 0,9648 0,9923 0,9992 1,0000 1,0000 0,0125 0,8864 0,9549 0,9872 0,9977 0,9998 1,0000 0,0150 0,8764 0,9459 0,9818 0,9956 0,9993 0,9999 0,0175 0,8673 0,9375 0,9762 0,9931 0,9985 0,9996 0,0200 0,8590 0,9296 0,9708 0,9902 0,9974 0,9991
… … 0,1000 0,7175 0,7829 0,8345 0,8718 0,8942 0,9017 0,2500 0,5542 0,6048 0,6452 0,6745 0,6923 0,6983 0,5000 0,3612 0,3942 0,4205 0,4396 0,4512 0,4551 1,0000 0,1534 0,1674 0,1786 0,1867 0,1917 0,1933
Property of Setijo Bismo: Seri Perkuliahan Pemodelan dan Mater - Solusi PDP Halaman (8)
Seri Mata Kuliah : PEMODELAN dan MATEMATIKA TERAPAN
P
Representasi ‘Grid’ atau ‘Mesh’ Segi-4 dari PDP Parabolik di atas :
(N,10)
(N,4)(N,2) (N,3) (N,1)(N,0)
(0,0) (0,1) (0,2) (0,3) (0,4) (0,5) (0,6) (0,7) (0,8) (0,9) (0,10)
(1,0) (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (1,7) (1,8) (1,9) (1,10)
(2,0) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (2,7) (2,8) (2,9)
(N,5) (N,6) (N,7) (N,8) (N,9)
j
Bidang Simetri
(2,10)
t∆
t∆
i
x∆ x∆ x∆
Solusi Analitis dari PDP Parabolik dengan kondisi-kondisi batas daawal seperti di atas adalah :
( ) ( ) ( ,xxcosesec
Un
nt
n
n n 1041
24
243
21
2
<<
−αα+α
= ∑∞
=
α− )
dengan α adalah akar-akar positif dari persamaan berikut : n
21=αα tan
roperty of Setijo Bismo: Seri Perkuliahan Pemodelan dan Mater - Solusi PDP
n kondisi
Halaman (9)
Seri Mata Kuliah : PEMODELAN dan MATEMATIKA TERAPAN
Harga-harga dari hasil solusi analitis seperti di atas dapat ditabelkan sebagai berikut :
U
x = 0 x = 0,1 x = 0,2 x = 0,3 x = 0,4 x = 0,5
t = 0,0025 0,9460 0,9951 0,9999 1,0000 1,0000 1,0000 0,0050 0,9250 0,9841 0,9984 0,9999 1,0000 1,0000 0,0075 0,9093 0,9730 0,9950 0,9994 1,0000 1,0000 0,0100 0,8965 0,9627 0,9905 0,9984 0,9998 1,0000 0,0125 0,8854 0,9532 0,9855 0,9967 0,9994 0,9999 0,0150 0,8755 0,9444 0,9802 0,9945 0,9988 0,9996 0,0175 0,8666 0,9362 0,9748 0,9919 0,9979 0,9992 0,0200 0,8585 0,9286 0,9695 0,9891 0,9967 0,9985
… … 0,1000 0,7176 0,7828 0,8342 0,8713 0,8936 0,9010 0,2500 0,5546 0,6052 0,6454 0,6747 0,6924 0,6984 0,5000 0,3619 0,3949 0,4212 0,4403 0,4519 0,4558 1,0000 0,1542 0,1682 0,1794 0,1875 0,1925 0,1941
Harga-harga pada saat U 20 ,x = antara hasil solusi dengan diferensial-hingga (DH) dan solusi analitis dapat dibandingkan seperti ditabelkan di bawah ini :
Solusi DH (pada x = 0,2)
Solusi Analitis (pada x = 0,2)
Persentase Galat
t = 0,005 1,0000 0,9984 0,16 0,050 0,9126 0,9120 0,07 0,100 0,8345 0,8342 0,04 0,250 0,6452 0,6454 -0,03 0,500 0,4205 0,4212 -0,16 1,000 0,1786 0,1794 -0,45
Contoh #2 (Penyelesaian PDP bentuk Parabolik) :
Selesaikan PDP di bawah ini (sama seperti soal sebelumnya) :
2
2
xU
tU
∂∂
=∂
∂
• yang memenuhi kondisi awal berikut :
1=U untuk pada saat 10 ≤≤ x 0=t
• dan kondisi batas berikut :
Property of Setijo Bismo: Seri Perkuliahan Pemodelan dan Mater - Solusi PDP Halaman (10)
Seri Mata Kuliah : PEMODELAN dan MATEMATIKA TERAPAN
UxU
=∂∂ pada , untuk setiap 0=x t
UxU
−=∂∂ pada , untuk setiap 1=x t
menggunakan ‘metode Crank-Nicholson’ dan aplikasi ‘central-differences’ pada kondisi-kondisi batasnya.
Jawab :
Representasi ‘diferensial-hingga’ dari PDP di atas adalah :
jtix
xuuu
xuuu
tuu j,ij,ij,ij,ij,ij,ij,ij,i
aa dan
δ
+−+
δ
+−=
δ
− −++−++++2
112
111111
)(2
)(2
21
’
dapat dituliskan kembali sebagai :
( ) ( ) j,ij,ij,ij,ij,ij,i uuuuuu 12211112211 +−++++− ρ+ρ−+ρ=ρ−ρ++ρ− (1)
dengan : ( )2x
tδ
δ=ρ
Representasi ‘central difference’ dari kondisi batas pada : 0=x
j,j,j, u
xuu
02
11 =δ
− −
sehingga kedua persamaan berikut memenuhi kondisi di atas,
j,j,j, uxuu 011 2 ⋅δ−=− dan
.uxuu j,j,j, 101111 2 +++− ⋅δ−=
Kedua persamaan terakhir di atas dapat digunakan untuk mengganti term-term u dan u pada persamaan (1), pada saat j,1− 11 +− j, 0=i .
Dengan cara yang sama, kondisi batas pada 1=x dapat diturun-kan seperti di atas, namun akan lebih mudah untuk menggunakan ‘prinsip simetri’ pada
21=x , dalam hal ini :
j,j, uu 46 =
Skema penyelesaian metode ini secara umum berlaku untuk sembarang nilai nyata , namun demikian akan lebih baik jika harga ρ ρ ini dipertahankan masih cukup kecil agar supaya solusinya lebih dekat pada solusi analitis PDP.
Property of Setijo Bismo: Seri Perkuliahan Pemodelan dan Mater - Solusi PDP Halaman (11)
Seri Mata Kuliah : PEMODELAN dan MATEMATIKA TERAPAN
Pilih dan 1=ρ 10,x =δ . Maka akan diperoleh suatu SPAL yang representatif untuk ‘nilai-nilai pivotal’ di atas, yaitu yang diwakili oleh besaran-besaran
, sebagai berikut : 15 +j,11 +j, ,u10 +j, u,,u K
j,j,j,
,,,j,ij,ij,ij,ij,i
j,j,,j,j,,
uuuiuuuuu
,uuuu
41514
432111111411
1010111012
2)(
=+−
=+=−+−
+−=−
++
+−++++−
++
Sehingga pada ‘time-step’ yang pertama akan diperoleh SPAL :
0120240240240249012
54
543
432
321
210
10
,uu,uuu,uuu,uuu,uuu,uu,
=+−
=−+−
=−+−
=−+−
=−+−
=−
Bentuk SPAL yang didapat adalah (Bentuk TDM) :
=
⋅
−−−
−−−−
−−−
010202020290
210000141000
0141000014100001410000112
5
4
3
2
1
0
,,,,,,
uuuuuu,
Hasil dari penyelesaian SPAL untuk beberapa ‘time-step’ disajikan pada tabel berikut :
i = 0 i = 1 i = 2 i = 3 i = 4 i = 5
t = 0,00 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,01 0,8908 0,9707 0,9922 0,9979 0,9994 0,9997 0,02 0,8624 0,9293 0,9720 0,9900 0,9964 0,9979 0,10 0,7179 0,7834 0,8349 0,8720 0,8944 0,9018 0,25 0,5547 0,6054 0,6458 0,6751 0,6929 0,6989 0,50 0,3618 0,3949 0,4212 0,4404 0,4520 0,4559 1,00 0,1540 0,1680 0,1793 0,1874 0,1923 0,1940
Property of Setijo Bismo: Seri Perkuliahan Pemodelan dan Mater - Solusi PDP Halaman (12)
Seri Mata Kuliah : PEMODELAN dan MATEMATIKA TERAPAN
Harga-harga pada saat U 20 ,x = antara hasil solusi dengan metode Crank-Nicolson (C-N) dan solusi analitis bila dibandingkan akan diperoleh data seperti ditabelkan di bawah ini :
Solusi C-N (pada x = 0,2)
Solusi Analitis (pada x = 0,2)
Persentase Galat
t = 0,01 0,9922 0,9905 0,17 0,05 0,9131 0,9120 0,12 0,10 0,8349 0,8342 0,08 0,25 0,6458 0,6454 0,06 0,50 0,4212 0,4212 0,00 1,00 0,1793 0,1794 -0,06
Contoh #3 (Penyelesaian PDP bentuk Parabolik) :
Selesaikan PDP berikut (masih sama seperti soal sebelumnya) :
2
2
xU
tU
∂∂
=∂
∂ D
• dengan kondisi awal berikut :
1=U untuk pada saat 10 ≤≤ x 0=t
• dan kondisi batas berikut :
UxU
=∂∂ pada , untuk setiap 0=x t
UxU
−=∂∂ pada , untuk setiap 1=x t
menggunakan ‘Method Of Lines (MOL)’ dan aplikasi ‘central-differences’, bila D , pada kondisi-kondisi batasnya. 01,=
Jawab :
Representasi bentuk MOL (solusi dalam ‘sistem PDB’) dengan formula ‘diferensial-hingga’, pada ‘time step j’ dari PDP di atas :
[ ] jtix,uuudt
duj,ij,ij,ix
j,iaa dan112)(
2 +−∆+−=
D
atau dalam formula lebih sederhana, untuk sembarang : j
[ 11)(1 22 +−∆
+−= iiixi uuu
dtdu ] (1)
• Penerapan kondisi awal :
Pada saat t , atau , semua harga 0= 0=j 1=u
Property of Setijo Bismo: Seri Perkuliahan Pemodelan dan Mater - Solusi PDP Halaman (13)
Seri Mata Kuliah : PEMODELAN dan MATEMATIKA TERAPAN
• Penerapan kondisi batas :
Representasi ‘central difference’ pada 0=x , atau 0=i :
,uuux
02
11 =−
∆
−
sehingga diperoleh PDB pada kondisi batas ini :
( )[ ]101)(
202 uu
dtdu
xx
+−= ∆+∆
Jika diambil , maka sama seperti pada problem solusi sebelumnya, yaitu terdapatnya ‘bidang simetri’ pada , atau
10 ,x =∆50 ,x = 5=i ,
dalam hal ini :
0246
50
=−
=∂∂
∆=
xj,j,
,x
uuxu
sehingga
j,j, uu 46 =
sehingga diperoleh PDB pada ‘bidang simetri ini’ adalah:
[ ]54)(25
2 uudt
dux
−=∆
Secara keseluruhan keenam PDB yang terbentuk dapat dituliskan sebagai berikut :
( )[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]54)(25
543)(14
432)(13
321)(12
210)(11
101)(
20
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
uudt
du
uuudt
du
uuudt
du
uuudt
du
uuudt
du
uudt
du
x
x
x
x
x
xx
−=
+−=
+−=
+−=
+−=
+−=
∆
∆
∆
∆
∆
∆+∆
Bentuk sistem PDB di atas dapat diselesaikan dengan metode Runge-Kutta yang telah dipelajari (termasuk RKG, RKM, RKF45).
Property of Setijo Bismo: Seri Perkuliahan Pemodelan dan Mater - Solusi PDP Halaman (14)
Seri Mata Kuliah : PEMODELAN dan MATEMATIKA TERAPAN
Hasil integrasi dengan metode RKG ( 000010 ,h = ) disajikan sebagai berikut :
i = 0 x = 0
1 0,1
2 0,2
3 0,3
4 0,4
5 0,5
t = 0,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000 0,0025 0.9614 0.9956 0.9997 1.0000 1.0000 1.0000 0,0050 0.9358 0.9867 0.9980 0.9998 1.0000 1.0000 0,0075 0.9173 0.9765 0.9950 0.9991 0.9999 0.9997 0,0100 0.9038 0.9674 0.9914 0.9981 0.9996 0.9993 0,0125 0.8926 0.9587 0.9873 0.9967 0.9990 0.9984 0,0150 0.8828 0.9505 0.9828 0.9949 0.9982 0.9972 0,0175 0.8733 0.9421 0.9778 0.9926 0.9970 0.9953 0,0200 0.8645 0.9341 0.9725 0.9898 0.9952 0.9928
… … 0,1000 0.7069 0.7697 0.8156 0.8434 0.8527 0.8433 0,2500 0.5077 0.5528 0.5858 0.6058 0.6125 0.6057 0,5000 0.3090 0.3365 0.3566 0.3688 0.3729 0.3687 1,0000 0.1145 0.1247 0.1321 0.1367 0.1382 0.1366
Harga-harga pada saat U 20 ,x = antara hasil solusi dengan ‘Method Of Lines’ dan solusi analitis bila dibandingkan akan diperoleh data seperti ditabelkan di bawah ini :
Solusi MOL (pada x = 0,2)
Solusi Analitis (pada x = 0,2)
Persentase Galat
t = 0,01 0,9914 0,9905 0,09 0,05 0,9105 0,9120 -0,16 0,10 0,8156 0,8342 -2,28 0,25 0,5858 0,6454 -10,17 0,50 0,3566 0,4212 -18,11 1,00 0,1321 0,1794 -35,80
Contoh #4 (Penyelesaian PDP bentuk Eliptik) :
Suatu pelat logam bujur-sangkar ( ){ }1010 ≤≤≤≤= y,x:y,xR dipanaskan kedua sisinya, dengan suhu berbeda) sampai tercapai kondisi tunak. Pada keadaan ini persamaan konduksi panas tersebut dapat dinyatakan sebagai :
02
2
2
2
=∂∂
+∂∂
yT
xT
Property of Setijo Bismo: Seri Perkuliahan Pemodelan dan Mater - Solusi PDP Halaman (15)
Seri Mata Kuliah : PEMODELAN dan MATEMATIKA TERAPAN
• dengan kondisi-kondisi batas berikut :
( ) 10 Ty,T = pada sisi pemanasan (suhu tetap)
( ) 21 Ty,T = pada sisi lawan/seberangnya (suhu tetap)
( ) 00 =∂∂ ,x
yT (permukaan yang diisolasi secara sempurna)
( ) ( )[ 211 T,xTk,xyT
−=∂∂ ] (panas terkonveksi sepanjang ) 1=y
dengan T , T , dan adalah tetap dan 1 2 k ( ) 21 Ty,xT ≥≥T .
Selesaikan PDP eliptik di atas, untuk menghitung perkembangan suhu atau pemanasan permukaan sepanjang sumbu x dan , dengan memperhatikan kondisi-kondisi batasnya.
y
Jawab :
Representasi ‘grid’ dari PDP perpindahan panas pada pelat logam di atas dapat digambarkan dalam suatu domain , sedemikian rupa sehingga,
(dalam hal ini R
hixi = hjy j = yx ∆=∆ ) dan 1=hN . Dalam hal ini, untuk setiap tempat kedudukan ‘titik interior’ dalam grid berlaku persamaan :
04 1111 =++−+ +−+− j,ij,ij,ij,ij,i uuuuu (1)
dengan
( )jij,i y,xTu ≈
• Pada daerah-daerah batas 0=x dan 1=x berlaku kondisi-kondisi batas
menurut Dirichlet, yaitu :
,Tu j, 10 = untuk 110 −= N,,,j K (2) ,Tu j,N 2= untuk 110 −= N,,,j K (3)
• Pada daerah , permukaan yang diisolasi sempurna mengarahkan
pada kondisi Neumann, yang berarti dapat didiskretisasi dengan ‘central
difference’ sebagai berikut :
0=y
,uu ,i,i 011 =−− untuk 110 −= N,,, Ki (4)
• Dan pada daerah , merupakan kondisi batas menurut Robin, yaitu : 1=y
[ ,Tukh
uuN,i
N,iN,i2
2
11 −=− +− ] untuk 110 −= N,,,i K (5)
Property of Setijo Bismo: Seri Perkuliahan Pemodelan dan Mater - Solusi PDP Halaman (16)
Seri Mata Kuliah : PEMODELAN dan MATEMATIKA TERAPAN
y1,4 4,4 3,4 2,4
1,3 4,3 3,3 2,3
1,2 4,2 3,2 2,2
1,1 4,1 3,1 2,1
4,0 3,0 2,0 1,0 0,0
2TT =
( )2TTkyT
−=∂∂
1TT =
0,4
0,3
0,2
0,1
x
0=∂∂
yT
Persamaan-persamaan (1), (2), (3), (4), dan (5) di atas, jika disus
solusi untuk titik-titik interior di dalam representasi grid di atas
diperoleh SPAL sebagai berikut :
( )
( )
( )
=
⋅
−−
−−
−−
−−
−−
−−
+−
+−
+
43
42
41
33
32
31
23
22
21
13
12
11
03
02
01
24
24
24
102110201002100410101014101
10140011004101
10141011014001
10041011014101
1014001200410
201412014
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
kh
kh
kh
uuuuuuuuuuuuuuu
⇒ Periksalah jumlah elemen matriks yang berharga 0 !
Property of Setijo Bismo
un sebagai
maka akan
( )
( )
+−
+−
−
−
−
−
−
−
−
−
221
22
221
2
1
2
1
2
1
2
1
0
0
0
0
TkhT
Tkh
TkhT
T
T
T
T
T
T
T
T