SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA dengan …staff.ui.ac.id/system/files/users/setijo.bismo/material/mod-04.pdf · Seri Mata Kuliah : PEMODELAN dan MATEMATIKA TERAPAN 4 SOLUSI PERSAMAAN

Seri Mata Kuliah : PEMODELAN dan MATEMATIKA TERAPAN

4 SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA dengan HARGA AWAL dalam PEMODELAN dan MODEL

MATEMATIS

4.1. Solusi Persamaan Diferensial Biasa

Secara umum, problem persamaan diferensial biasa selalu melibat-kan harga awal, yang dapat ditulis sebagai berikut :

00 )(),,(' yxyyxfy ==

Nxxx ≤≤0

Secara numerik, solusi yang seringkali diterapkan dalam problem ini adalah dengan metode eksplisit. Dalam hal ini, solusi dari problem di atas adalah berada dalam

interval [ ]Nxx ,0 yang dibagi secara tetap (equidistance) sebanyak N buah panel:

Nxxh N 0−

=

sehingga : Nihixx i ,,2,1,0,0 K=+=

Jika adalah “solusi eksak” dari PDB di atas, maka dengan melakukan

ekspansi dengan “deret Taylor” dengan sisanya akan diperoleh: )(xy

1

21

11 2

+

+++

≤ξ≤

ξ−

+−+=

iii

iii

iiiii

xx

),("y!

)xx()x('y)xx()x(y)x(y

substitusi dari PDB di atas dan dengan pendekatan metode eksplisit pada persamaan di atas akan didapatkan :

))(y,('f!

h))x(y,x(fh)x(y)x(y iiiiii ξξ++=+ 2

2

1

Property of Setijo Bismo Halaman (1)


4.2. Metode EULER

Metode yang paling sederhana dalam menterjemahkan deret Taylor diatas, yaitu dengan dengan cara “pemotongan” term kedua (atau di atasnya). Dan bila dinotasikan

, maka : )( ii xyu ≈

1101 −=+=+ N,,,i),u,x(fhuu iiii K

00 yu =

Dari persamaan di atas, dapat diketahui bahwa untuk menghitung u diperlukan

informasi tentang harga-harga x dan u , yang disebut sebagai harga awal. Akurasi dari

metode ini adalah dalam “order satu” (first-order approximation) :

1+i

i i

)h(ei1

1 0=+

Gambar 1. Representasi METODE EULER.

Untuk memperkecil “galat pemotongan lokal” pada setiap tahap (panel), ukuran h dapat dibuat sekecil mungkin.



4.3. Metode RUNGE-KUTTA (order 2)

Metode ini termasuk algoritma eksplisit yang melibatkan evaluasi fungsi f di antara

dan . Formula umum dari metode ini adalah sebagai berikut : ix 1+ix

∑ν

=+ ω+=

11

jjjii Kuu

dengan :

),(1

1∑−

=++=

j

lljlijij KauhcxfhK

01 =c

Perlu dicatat, bila ν , 1= 1=ω , dan ),(1 ii uxfhK = maka formula

yang akan diperoleh adalah : METODE EULER. Hal ini berarti bahwa metode EULER adalah order terendah dari METODE RUNGE-KUTTA.

Untuk mendapatakan formula dengan akurasi yang lebih tinggi, parameter-parameter , , dan dapat diubah dengan tetap melakukan ekspansi solusi eksak melalui deret Taylor.

ω c a

Sebagai contoh, bila kita inginkan 2=ν , maka pertama kali kita ekspansikan solusi eksak di atas dengan deret Taylor :

)h())x(y,x('f!

h))x(y,x(fh)x(y)x(y iiiiii3

2

1 02

+++=+

sedangkan ))(,(' ii xyxf dapat dituliskan sebagai :

iyxxx

iii )fff(dxdy

yf

xf

dxdf

i

+=∂∂

+∂∂

==



Jika persamaan terakhir di atas disubstitusikan kedalam persamaan di atasnya

dengan pemotongan term di atasnya, maka akan diperoleh :

iyxiii )fff(!

hfhuu +++=+ 2

2

1

Untuk ekspansi formula pada posisi ke-i , perlu dicatat bahwa harga

merupakan bentuk paling sederhana, sebagai berikut :

jK 1K

iii fhuxfhK == ),(1

sehingga harga dapat dihitung melalui formula berikut : 2K

),( 12122 KauhcxfhK ii ++=

Jika diketahui bahwa sembarang dua fungsi η dan φ yang lokasinya berturut-turut

berdekatan dengan dan u , maka akan diperoleh : ix i

)u,x(f)u()u,x(f)x()u,x(f,f iiyiiiiii −φ+−η+≈φη )(

Dengan menggunakan persamaan di atas untuk , maka akan didapatkan bentuk persamaan untuk menghitung :

2K

2K

)fKafhcf(hK yxi 12122 ++= atau

iyxi )ffafc(hhfK 2122

2 ++=

Bila disubstitusikan persamaan terakhir dan persamaan di atas kedalam

formula dasar Runge-Kutta (u ) di atas, maka akan diperoleh :

1K

1+i

iyixiiii )ff(ha)f(chfhfhuu 22212

22211 ω+ω+ω+ω+=+



Jika dibandingkan persamaan 1+iu yang terakhir ini dengan persaamaan 1+iu

sebelumnya, maka akan diperoleh :

0121 ,=ω+ω 5022 ,c =ω 50212 ,a =ω

Algoritma METODE RUNGE-KUTTA dilengkapi dengan cara memilih salah satu di antara paramater-parameter ω , 1 2ω , atau a , sedangkan parameter lainnya ditetapkan dengan menggunakan formula-formula di atas.

2c 21

Jika dipilih c , maka skema metode RK menjadi METODE TITIK TENGAH (midpoint method) adalah :

5,02 =

11050501 −=+++=+ N,,,i),fh,u,h,x(fhuu iiiii K

00 yu =

Dari persamaan di atas, dapat diketahui bahwa untuk menghitung ‘harga baru’, , diperlukan besaran-besaran x dan u : 1+iu i i

• dan u merupakan ‘harga awal’ ix i

• harga if dihitung sebagai fungsi dari dan u : ix i )( iii u,xff =

• adalah ‘lebar panel’ atau jarak antara u h iu 1+i

Representasi grafik dari formula metode titik tengah di atas adalah sebagai berikut :

Gambar 2. Representasi METODE TITIK TENGAH.



Sedangkan jika dipilih 12 =c , maka akan diperoleh formulasi kelandaian rata-

rata (average slope) dari metode Runge-Kutta order-2 :

[ ] 11021 −=++++=+ N,,,i,)fhu,hx(ffhuu iiiiii K

00 yu =

Representasi grafik dari metode kelandaian rata-rata di atas dapat disajikan seperti

pada halaman berikut :

Gambar 2. Representasi METODE Kelandaian rata-rata RUNGE-KUTTA order-2.

Kedua skema Metode RK di atas memiliki akurasi order-2, karena pemotongan

deret Taylor dilakukan setelah . )(0 2h

Jika diinginkan akurasi pada order-p, maka harus diambil harga ν yang sebesar mungkin. Namun hal ini hampir tidak mungkin atau memerlukan usaha/ pekerjaan yang besar (?).

Tabel 1. hubungan order-p dengan ν .

p 2 3 4 5 6 … ν 2 3 4 6 8 …



4.3.1. Peranan harga h dalam solusi numerik

Untuk metode RK order-2, harga h sangat berpengaruh dalam peroleh atau solusi numeris dari model yang dimaksudkan, seperti dapat dilihat pada gambar berikut :

4.3.2. Ketelitian beberapa metode numeris

Ketelitian dari beberapa metode numeris yang umum digunakan dapat dilihat pada gambar berikut :



4.4. Metode RUNGE-KUTTA order tinggi

1. Metode RUNGE-KUTTA-GILL: Metode Runge-Kutta-Gill (RKG) tergolong dalam keluarga metode RK order-4, yang memiliki 4 (empat) buah ‘konstanta perhitungan antara’ yang dikombinasikan dengan konstanta-konstanta lain (a, b, c, dan d) sebagai keluarga bilangan emas (golden numbers). Algoritma ringkas dari metode RKG ini dapat dituliskan seperti di bawah ini :

)()( 3231

4161

1 KdKbKKuu ii ++++=+

),(1 ii uxfhK =

),( 12 21

21 KuhxfhK ii ++=

),( 213 21 KbKauhxfhK ii +++=

),( 324 KdKcuhxfhK ii +++=

222

212 , −− == ba

22

22 1, +=−= dc

untuk : i = 0, 1, 2,…,N-1 dan

harga awal :

00 yu =



2. Metode RUNGE-KUTTA-MERSON :

Metode Runge-Kutta-Merson (RKM) tergolong dalam keluarga metode Runge-Kutta order-4, namun memiliki ketelitian sampai order-5. Keistimewaan ini dimungkinkan karena metode RKM memiliki 5 (lima) buah ‘konstanta perhitungan antara’ yang berperan untuk memprediksi harga solusi yang diinginkan pada 2 (dua) keadaan sedemikian rupa sehingga ‘galat pembulatan’ dapat diminimisasi sampai order-5. Formulasi ringkas dari metode RKM ini dapat dituliskan seperti di bawah ini :

4323

121

1 2 KKKuu ii +−+=+

561

432

161

1 KKKuu ii +++=+

),(1 ii uxfhK =

),( 12 31

31 KuhxfhK ii ++=

),( 213 61

61

31 KKuhxfhK ii +++=

)KKu,hx(fhK ii 314 83

81

21 +++=

)KKKu,hx(fhK ii 42315 23

21 +−++=

untuk : i = 0, 1, 2,…,N-1 dan

harga kondisi awal :

00 yu =



3. Metode RUNGE-KUTTA-FEHLBERG :

Sama halnya dengan metode RKM, metode Runge-Kutta-Fehlberg (RKF45) juga tergolong dalam keluarga metode Runge-Kutta order-4, namun memiliki ketelitian sampai order-5. Ketelitian yang tinggi ini dimungkinkan karena metode RKF45 memiliki 6 (enam) buah ‘konstanta perhitungan antara’ yang berperan untuk meng-update solusi sampai order-5. Formulasi ringkas dari metode RKM ini adalah :

),(1 ii uxfhK =

),( 12 41

41 KuhxfhK ii ++=

),( 213 329

323

83 KKuhxfhK ii +++=

),( 3214 21977296

21977200

21971932

1312 KKKuhxfhK ii +−++=

)8,( 43215 4104845

5133680

216439 KKKKuhxfhK ii −+−++=

)2,( 543216 4011

41041859

25653544

278

21 KKKKKuhxfhK ii −+−+−+=

• Formula ‘update’ order-4 :

551

441042197

325651408

121625

1 KKKKuu ii −+++=+

• Formula order-5 :

6552

5509

45643728561

3128256656

113516

1ˆ KKKKKuu ii +−+++=+

• Galat ‘pembabatan’ order-4 :

6552

5501

4752402197

34275128

13601

11ˆ KKKKKuu ii ++−−=− ++

untuk : i = 0, 1, 2,…,N-1 dan u 00 y=



Contoh-contoh Integrasi Numerik :

Persamaan Tunggal :

ydtdy 25−=

Solusi Eksak (Analitis) :

tey 25−=

Tabel 2. Hasil perhitungan persamaan tunggal dengan metode RK order-2.

Hasil Perhitungan Numerik (ui+1) x

Nilai Solusi Eksak

( y ) Contoh 1 (RKSR) Contoh 2 (RKMP) Contoh 3 (RKG)

0.00 1.0000E+00 1.0000E+00 1.0000E+00 1.0000E+00

0.20 6.7379E-03 6.7415E-03 6.7415E-03 6.7379E-03

0.40 4.5400E-05 4.5448E-05 4.5448E-05 4.5400E-05

0.60 3.0590E-07 3.0639E-07 3.0639E-07 3.0590E-07

0.80 2.0612E-09 2.0655E-09 2.0655E-09 2.0612E-09

1.00 1.3888E-11 1.3925E-11 1.3925E-11 1.3888E-11



Contoh 1 : {Program Solusi Persamaan Diferensial Biasa dengan Metode RUNGE-KUTA 'Slope Rata-rata'} Type Real = Extended; Real01 = Array [0..1] of Real; Procedure F(x,Y : Real; Var DY : Real); Begin DY := -25*Y; End; Procedure DRK2SR(XV : Real01; YI : Real; Var YF : Real; NP : Integer; Eps : Real); {----------------------------------------------------- PROGRAM : 2-nd ORDER 'MEAN SLOPE' RUNGE-KUTTA METHOD FOR ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION (M.E. Davis, p13) F : Function F(x,y) to be integrated N : Number of differential equations XV : Vector of xv[0]=initial and xv[1]=final YI,YF : Values of Y-initial and Y-final H : Step length -----------------------------------------------------} Var H,X,YP : Real; K1,K2 : Real; Begin H := (xv[1] - xv[0])/NP; X := XV[0]; YF := YI; Repeat YP := YF; F(X,YP,K1); YF := YP + H*K1; F(X+H,YF,K2); YF := YP + H*(K1 + K2)/2; X := X + H; Until (ABS(XV[1]-X) <= EPS); End; Var I,NP : Integer; XV : Real01; Yi,Yf,Eps,h : Real; Begin Eps := 1.0E-6; NP := 200; xv[0] := 0; xv[1] := 0.2; Yi := 1.0; Writeln(xv[0]:0:4,' ',Yi:13,' ',exp(-25*xv[0]):13); For I := 1 to 5 do Begin DRK2SR(xv,Yi,Yf,NP,Eps); Writeln(xv[1]:0:4,' ',Yf:13,' ',exp(-25*xv[1]):13); xv[0] := xv[1]; xv[1] := xv[1] + 0.2; Yi := Yf; End; Readln; End.



Contoh 2 : {Program Solusi Persamaan Diferensial Biasa dengan Metode RUNGE-KUTTA 'Midpoint'} Type Real = Extended; Real01 = Array [0..1] of Real; Real50 = Array [1..50] of Real; Procedure F(x,Y : Real; Var DY : Real); Begin DY := -25*Y; End; Procedure DRK2MP(XV : Real01; YI : Real; Var YF : Real; NP : Integer; Eps : Real); {----------------------------------------------------- PROGRAM : 2-nd ORDER 'MIDPOINT' RUNGE-KUTTA METHOD FOR ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION (M.E. Davis, p13) F : Function F(x,y) to be integrated XV : Vector of xv[0]=initial and xv[1]=final YI,YF : Value of Y-initial and Y-final NP : Number of panels H : Step length -----------------------------------------------------} Var H,X,YP : Real; I : Integer; K1,K2 : Real; Begin H := (xv[1] - xv[0])/NP; X := XV[0]; YF := YI; Repeat YP := YF; F(X,YP,K1); YF := YP + H*K1/2; F(X+H/2,YF,K2); YF := YP + H*K2; X := X + H; Until (ABS(XV[1]-X) <= EPS); End; Var I,NP : Integer; XV : Real01; Yi,Yf : Real; Eps : Real; Begin Eps := 1.0E-6; NP := 200; xv[0] := 0; xv[1] := 0.2; Yi := 1.0; Writeln(xv[0]:0:4,' ',Yi:13,' ',exp(-25*xv[0]):13); For I := 1 to 5 do Begin DRK2MP(xv,Yi,Yf,NP,Eps); Writeln(xv[1]:0:4,' ',Yf:13,' ',exp(-25*xv[1]):13); xv[0] := xv[1]; xv[1] := xv[1] + 0.2; Yi := Yf; End; Readln; End.



Contoh 3 : {Program Solusi Persamaan Diferensial Biasa dengan Metode RUNGE-KUTA-GILL} Type Real = Extended; Real01 = Array [0..1] of Real; Procedure F(x,Y : Real; Var DY : Real); Begin DY := -25.0*Y; End; Procedure DRKGIL(XV : Real01; YI : Real; Var YF : Real; NP : Integer; Eps : Real); {----------------------------------------------------- PROGRAM : 4-th ORDER RUNGE-KUTTA-GILL METHOD FOR ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATION (M.E. Davis, p13) F : Function F(x,y) to be integrated N : Number of differential equations XV : Vector of xv[0]=initial and xv[1]=final YI,YF : Value of Y-initial and Y-final H : Step length -----------------------------------------------------} Var a,b,c,d,H,X,YP : Real; I : Integer; K1,K2,K3,K4 : Real; Begin a := (Sqrt(2)-1)/2; b := (2-Sqrt(2))/2; c := -Sqrt(2)/2; d := 1 + Sqrt(2)/2; H := (xv[1] - xv[0])/NP; X := XV[0]; YF := YI;

Repeat YP := YF; F(X,YP,K1); YF := YP + H*K1/2; F(X+H/2,YF,K2); YF := YP + H*(a*K1+b*K2); F(X+H/2,YF,K3); YF := YP + H*(c*K2+d*K3); F(X+H,YF,K4); X := X + H; YF := YP + H*((K1+K4)/6 + (b*K2+d*K3)/3); Until (ABS(XV[1]-X) <= EPS); End; Var I,NP : Integer; XV : Real01; Yi,Yf : Real; Eps : Real; Begin Eps := 1.0E-6; NP := 200; xv[0] := 0; xv[1] := 0.2; Yi := 1.0; Writeln(xv[0]:0:3,' ',Yi:13,' ',exp(-25*xv[0]):13); For I := 1 to 5 do Begin DRKGIL(xv,Yi,Yf,NP,Eps); Writeln(xv[1]:0:3,' ',Yf:13,' ',exp(-25*xv[1]):13); xv[0] := xv[1]; xv[1] := xv[1] + 0.2; Yi := Yf; End; Readln; End.




Persamaan Jamak (Sistem PDB) :

yT,exp,

dxdy

*

−=

21317440

yT,exp,

dxdT

*

*

=

213069840

Tabel 3. Hasil perhitungan persamaan jamak dengan metode RK order-2.

Hasil Perhitungan Numerik untuk Sistem PDB : Contoh 4 : RK-Slope rata2 Contoh 5 : RK-Midpoint

x

y T y T

0.000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000

0.100 0.700397 1.119979 0.700430 1.119966

0.200 0.529232 1.188523 0.529259 1.188512

0.300 0.413765 1.234763 0.413787 1.234754

0.400 0.329942 1.268331 0.329959 1.268324

0.500 0.266512 1.293732 0.266525 1.293726

0.600 0.217224 1.313469 0.217235 1.313465

0.700 0.178223 1.329088 0.178232 1.329084

0.800 0.146954 1.341610 0.146961 1.341607

0.900 0.121638 1.351748 0.121644 1.351745

1.000 0.100989 1.360017 0.100993 1.360015



Contoh 4 : {Program Solusi Sistem Persamaan Diferensial Biasa dengan Metode RUNGE-KUTA 'Slope Rata-rata'} Type Real = Extended; Real01 = Array [0..1] of Real; Real50 = Array [1..50] of Real; Procedure F(N : Integer; x : Real; Y : Real50; Var DY : Real50); Begin DY[1] := -0.1744*exp(3.21/Y[2])*Y[1]; DY[2] := 0.06984*exp(3.21/Y[2])*Y[1]; End; {$I DRK2SR} Var I,N,NP : Integer; XV : Real01; Yi,Yf : Real50; Eps : Real; Begin Eps := 1.0E-6; N := 2; NP := 20; xv[0] := 0; xv[1] := 0.1; Yi[1] := 1.0; Yi[2] := 1.0; Writeln(xv[0]:0:3,' ',Yi[1]:0:6,' ',Yi[2]:0:6); For I := 1 to 10 do Begin DRK2SR(N,xv,Yi,Yf,NP,Eps); Writeln(xv[1]:0:3,' ',Yf[1]:0:6,' ',Yf[2]:0:6); xv[0] := xv[1]; xv[1] := xv[1] + 0.1; Yi := Yf; End; Readln; End.



Contoh 5 : {Program Solusi Sistem Persamaan Diferensial Biasa dengan Metode RUNGE-KUTTA 'Midpoint'} Type Real = Extended; Real01 = Array [0..1] of Real; Real50 = Array [1..50] of Real; Procedure F(N : Integer; x : Real; Y : Real50; Var DY : Real50); Begin DY[1] := -0.1744*exp(3.21/Y[2])*Y[1]; DY[2] := 0.06984*exp(3.21/Y[2])*Y[1]; End; {$I DRK2MP} Var I,N,NP : Integer; XV : Real01; Yi,Yf : Real50; Eps : Real; Begin Eps := 1.0E-6; N := 2; NP := 20; xv[0] := 0; xv[1] := 0.1; Yi[1] := 1.0; Yi[2] := 1.0; Writeln(xv[0]:0:3,' ',Yi[1]:0:6,' ',Yi[2]:0:6); For I := 1 to 10 do Begin DRK2MP(N,xv,Yi,Yf,NP,Eps); Writeln(xv[1]:0:3,' ',Yf[1]:0:6,' ',Yf[2]:0:6); xv[0] := xv[1]; xv[1] := xv[1] + 0.1; Yi := Yf; End; Readln; End.



Tabel 4. Perbandingan hasil perhitungan sistem PDB jamak antara metode-metode order-4 : RK-Gill dan

RK-Merson.

Hasil Perhitungan Numerik untuk Sistem PDB : Contoh 6 : RK-Gill Contoh 7 : RK-Merson

x y T y T

0.000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000

0.100 0.700372 1.119989 0.700372 1.119989

0.200 0.529209 1.188532 0.529209 1.188532

0.300 0.413745 1.234771 0.413746 1.234771

0.400 0.329925 1.268337 0.329925 1.268337

0.500 0.266497 1.293738 0.266497 1.293738

0.600 0.217212 1.313474 0.217212 1.313474

0.700 0.178213 1.329092 0.178213 1.329092

0.800 0.146945 1.341613 0.146945 1.341613

0.900 0.121631 1.351751 0.121631 1.351751

1.000 0.100982 1.360020 0.100982 1.360020



Contoh 6 : {Program Solusi Sistem Persamaan Diferensial Biasa dengan Metode RUNGE-KUTA-GILL} Type Real = Extended; Real01 = Array [0..1] of Real; Real50 = Array [1..50] of Real; Procedure F(N : Integer; x : Real; Y : Real50; Var DY : Real50); Begin DY[1] := -0.1744*exp(3.21/Y[2])*Y[1]; DY[2] := 0.06984*exp(3.21/Y[2])*Y[1]; End; {$I DRKGIL} Var I,N,NP : Integer; XV : Real01; Yi,Yf : Real50; Eps : Real; Begin Eps := 1.0E-6; N := 2; NP := 10; xv[0] := 0; xv[1] := 0.1; Yi[1] := 1.0; Yi[2] := 1.0; Writeln(xv[0]:0:3,' ',Yi[1]:0:6,' ',Yi[2]:0:6); For I := 1 to 10 do Begin DRKGIL(N,xv,Yi,Yf,NP,Eps); Writeln(xv[1]:0:3,' ',Yf[1]:0:6,' ',Yf[2]:0:6); xv[0] := xv[1]; xv[1] := xv[1] + 0.1; Yi := Yf; End; Readln; End.



Contoh 7 : {Program Solusi Sistem Persamaan Diferensial Biasa dengan Metode RUNGE-KUTA-MERSON} Type Real = Extended; Real01 = Array [0..1] of Real; Real02 = Array [0..2] of Real; Real50 = Array [1..50] of Real; Procedure F(N : Integer; x : Real; Y : Real50; Var DY : Real50); Begin DY[1] := -0.1744*exp(3.21/Y[2])*Y[1]; DY[2] := 0.06984*exp(3.21/Y[2])*Y[1]; End; {$I DRKMER} Var I,MSG,N,NP : Integer; xv : Real01; s : Real02; Yi,Yf : Real50; Eps : Real; Begin Eps := 1.0E-4; N := 2; NP := 100; xv[0] := 0; xv[1] := 0.1; s[0] := (xv[1] - xv[0])/NP; s[1] := s[0]/64; Yi[1] := 1.0; Yi[2] := 1.0; Writeln(xv[0]:0:3,' ',Yi[1]:0:6,' ',Yi[2]:0:6); For I := 1 to 10 do Begin DRKMER(N,xv,Yi,Yf,s,Eps,MSG); Writeln(xv[1]:0:3,' ',Yf[1]:0:6,' ',Yf[2]:0:6,' ',MSG); xv[0] := xv[1]; xv[1] := xv[1] + 0.1; Yi := Yf; End; Readln; End.



Tabel 5. Perbandingan hasil perhitungan sistem PDB jamak antara metode-metode order-4

: RK-Gill dan RK-Fehlberg.

Hasil Perhitungan Numerik untuk Sistem PDB : Contoh 6 : RK-Gill Contoh 8 : RK-Fehlberg

x y T y T

0.000 1.000000 1.000000 1.000000 1.000000

0.100 0.700372 1.119989 0.700372 1.119989

0.200 0.529209 1.188532 0.529209 1.188532

0.300 0.413745 1.234771 0.413745 1.234771

0.400 0.329925 1.268337 0.329925 1.268337

0.500 0.266497 1.293738 0.266497 1.293738

0.600 0.217212 1.313474 0.217212 1.313474

0.700 0.178213 1.329092 0.178213 1.329092

0.800 0.146945 1.341613 0.146945 1.341613

0.900 0.121631 1.351751 0.121631 1.351751

1.000 0.100982 1.360020 0.100982 1.360020



Contoh 8 :

{Program Solusi Sistem Persamaan Diferensial Biasa dengan Metode RUNGE-KUTA-FEHLBERG} Type Real = Extended; Real01 = Array [0..1] of Real; Real02 = Array [0..2] of Real; Real50 = Array [1..50] of Real; Procedure F(N : Integer; x : Real; Y : Real50; Var DY : Real50); Begin DY[1] := -0.1744*exp(3.21/Y[2])*Y[1]; DY[2] := 0.06984*exp(3.21/Y[2])*Y[1]; End; {$I DRKF45} Var I,MSG,N,NP : Integer; xv : Real01; s : Real02; Yi,Yf : Real50; Eps : Real; Begin Eps := 1.0E-5; N := 2; NP := 100; xv[0] := 0; xv[1] := 0.1; s[0] := (xv[1] - xv[0])/NP; s[1] := s[0]/64; Yi[1] := 1.0; Yi[2] := 1.0; Writeln(xv[0]:0:3,' ',Yi[1]:0:6,' ',Yi[2]:0:6); For I := 1 to 10 do Begin DRKF45(N,xv,Yi,Yf,s,Eps,MSG); Writeln(xv[1]:0:3,' ',Yf[1]:0:6,' ',Yf[2]:0:6); xv[0] := xv[1]; xv[1] := xv[1] + 0.1; Yi := Yf; End; Readln; End.



Solusi PDB Order-2 menggunakan Metode RKG dan RKM dengan ‘Teknik Shooting’ :

Persamaan Diferensial Biasa Order-2 non-linier berikut :

0(1)dan01)(

2

==− yydx

1−=x 1

11 22

+−−= y)x(yd

PDB di atas memiliki informasi tentang harga-harga fungsi pada dan , akan tetapi tidak memiliki informasi yang memadai tentang harga-harga awalnya untuk turunan pertama dan kedua (karena merupakan PDB order-2).

=x

Salah satu solusi yang mungkin dilakukan adalah dengan metode ‘trial and error’, sehingga PDB order-2 di atas dapat diubah menjadi Sistem PDB berikut :

=−

+−−= input1)(11 21

22 yy)x(dxdy

1y 2y

1y 2y

1−=x 1=

=−

= 01)(12

1 yydxdy

Strategi solusi PDB yang mungkin dilakukan dapat dijelaskan sebagai berikut :

• Karena PDB tunggal di atas berbentuk order-2, maka dimisalkan suatu sistem PDB baru dengan 2 (dua) buah variabel terikat, yaitu dalam dan ,

• Harga awal (kondisi awal) dari diketahui, namun untuk tidak sehingga dalam hal ini perlu diberikan dengan cara ‘trial and error’

• Integrasi PDB dapat dilakukan untuk informasi yang diketahui, dalam hal ini antara sampai x .



Tabel 6. Perbandingan hasil perhitungan sistem PDB order-2 dengan ‘teknik shooting’

antara metode RK-Gill dan RK-Merson.

Contoh 9 : Metode RKG Contoh 10 : Metode RKM x y1 y2 y1 y2

-1.00 0.000000 1.736465 0.000000 1.736465 -0.90 0.168104 1.620549 0.168104 1.620549 -0.80 0.323231 1.478228 0.323231 1.478228 -0.70 0.463112 1.316726 0.463112 1.316726 -0.60 0.586136 1.141981 0.586136 1.141981 -0.50 0.691223 0.958637 0.691223 0.958637 -0.40 0.777693 0.770133 0.777693 0.770133 -0.30 0.845157 0.578843 0.845157 0.578843 -0.20 0.893419 0.386258 0.893419 0.386258 -0.10 0.922394 0.193192 0.922394 0.193192 0.00 0.932054 -0.000000 0.932054 -0.000000 0.10 0.922394 -0.193192 0.922394 -0.193192 0.20 0.893419 -0.386259 0.893419 -0.386259 0.30 0.845157 -0.578843 0.845157 -0.578843 0.40 0.777693 -0.770133 0.777693 -0.770133 0.50 0.691223 -0.958637 0.691223 -0.958637 0.60 0.586136 -1.141981 0.586136 -1.141981 0.70 0.463112 -1.316727 0.463112 -1.316727 0.80 0.323231 -1.478228 0.323231 -1.478228 0.90 0.168104 -1.620549 0.168104 -1.620549 1.00 -0.000000 -1.736465 -0.000000 -1.736465



Contoh 9 :

{Program Solusi Sistem PDB 'turunan kedua' (order 2) dengan 'Shooting' menggunakan Metode RUNGE-KUTA-GILL PDB order 2 : d2Y/dx2 = -1 - (x^2 + 1)*Y x(-1) = 0 dan x(1) = 0} Type Real = Extended; Real01 = Array [0..1] of Real; Real50 = Array [1..50] of Real; Procedure F(N : Integer; x : Real; Y : Real50; Var DY : Real50); Begin DY[1] := Y[2]; DY[2] := -1 - (Sqr(x) + 1)*Y[1]; End; {$I DRKGIL} Var I,N,NP : Integer; XV : Real01; Yi,Yf : Real50; Eps : Real; Begin Eps := 1.0E-6; N := 2; NP := 10; xv[0] := -1; xv[1] := -0.9; Yi[1] := 0.0; Yi[2] := 1.736465; Writeln(xv[0]:0:3,' ',Yi[1]:0:6,' ',Yi[2]:0:6); For I := 1 to 20 do Begin DRKGIL(N,xv,Yi,Yf,NP,Eps); Writeln(xv[1]:0:3,' ',Yf[1]:0:6,' ',Yf[2]:0:6); xv[0] := xv[1]; xv[1] := xv[1] + 0.1; Yi := Yf; End; Readln; End.



Contoh 10 :

{Program Solusi Sistem PDB 'turunan kedua' (order 2) dengan 'Shooting' menggunakan Metode RUNGE-KUTA-MERSON PDB order 2 : d2Y/dx2 = -1 - (x^2 + 1)*Y x(-1) = 0 x(1) = 0} Type Real = Extended; Real01 = Array [0..1] of Real; Real02 = Array [0..2] of Real; Real50 = Array [1..50] of Real; Procedure F(N : Integer; x : Real; Y : Real50; Var DY : Real50); Begin DY[1] := Y[2]; DY[2] := -1 - (Sqr(x) + 1)*Y[1]; End; {$I DRKMER} Var I,MSG,N,NP : Integer; xv : Real01; s : Real02; Yi,Yf : Real50; Eps : Real; Begin Eps := 1.0E-4; N := 2; NP := 10; xv[0] := -1.0; xv[1] := -0.9; s[0] := (xv[1] - xv[0])/NP; s[1] := s[0]/64; Yi[1] := 0.0; Yi[2] := 1.736465; Writeln(xv[0]:0:3,' ',Yi[1]:0:6,' ',Yi[2]:0:6); For I := 1 to 20 do Begin DRKMER(N,xv,Yi,Yf,s,Eps,MSG); Writeln(xv[1]:0:3,' ',Yf[1]:0:6,' ',Yf[2]:0:6); xv[0] := xv[1]; xv[1] := xv[1] + 0.1; Yi := Yf; End; Readln; End.



1(0)0)0(

)()(=′=

Aplikasi Solusi PDB tunggal Order-2 dengan ‘Teknik Substitusi Variabel’ (Rice &

Duong Do, hal. 229-230) menggunakan Metode Runge-Kutta-Gill :

Persamaan Diferensial Biasa Order-2 non-linier berikut :

+−=′+′′

y;y

xcosxsinyy

Harga-harga (kondisi) awal dari PDB tunggal di atas dapat memadai, jika persamaan tersebut dikonversikan menjadi formula baku permisalan Sistem PDB berikut (untuk order-2) :

=

=

+−= 1(0))()(

3

23

3113

ydxdy

yy-ycosysindx

dy

=

=

=

=⇒=

=

=

0(0)

0(0)1

1

2

1

2

11

32

1

y

y

yydxdy

xy

ydx

dydxdy

Langkah-langkah permisalan di atas dapat dilakukan berdasarkan algoritma berikut : • Permisalan dimulai pada ‘variabel bebas’ , untuk sehingga diketahui harga

turunannya (lihat kolom tengah), x 1y

y 2y• Permisalan kedua adalah untuk ‘variabel terikat’ , untuk ,

• Permisalan ketiga (yang terakhir) adalah untuk ‘turunan variabel terikat’ (dy = ) sebagai , dxdydx 2 3y

y 2y• Sistem PDB baru yang diperoleh adalah dengan cara menyusun turunan-turunan

dari variabel-variabel permisalan di atas ( dan ) yang digabungkan dengan penyusunan ulang PDB tunggal di atas untuk dy (lihat kolom kiri)

1

• Harga-harga atau kondisi awal dari sistem PDB di atas berturut-turut merupakan harga-harga pada (dalam hal ini ), variabel terikat pada saat 0=x (0)1y 0=x (dalam hal ini ), dan turunan pertama variabel terikat pada saat (dalam hal ini ).

dx3

(0)2y 0=x(0)3y



2y x

2y

• Solusi yang diinginkan adalah harga-harga sebagai fungsi .

Perbandingan harga-harga solusi numerik dengan metode RKG dari PDB di atas ( ) dengan solusi eksak disajikan pada tabel di bawah ini :

Tabel 7. Perbandingan solusi numerik sistem PDB order-2 dengan metode RK-Gill dengan solusi analitis.

Metode Runge-Kuta-Gill (Contoh 11) : Solusi Eksak x

y1 y2 y3 y 0.000 0.000000 0.000000 1.000000 0.000000 0.157 0.157080 0.156434 0.987688 0.156434 0.314 0.314159 0.309017 0.951057 0.309017 0.471 0.471239 0.453990 0.891007 0.453990 0.628 0.628319 0.587785 0.809017 0.587785 0.785 0.785398 0.707107 0.707107 0.707107 0.942 0.942478 0.809017 0.587785 0.809017 1.100 1.099557 0.891007 0.453990 0.891007 1.257 1.256637 0.951057 0.309017 0.951057 1.414 1.413717 0.987688 0.156434 0.987688 1.571 1.570796 1.000000 -0.000000 1.000000 1.728 1.727876 0.987688 -0.156434 0.987688 1.885 1.884956 0.951057 -0.309017 0.951057 2.042 2.042035 0.891007 -0.453990 0.891007 2.199 2.199115 0.809017 -0.587785 0.809017 2.356 2.356194 0.707107 -0.707107 0.707107 2.513 2.513274 0.587785 -0.809017 0.587785 2.670 2.670354 0.453990 -0.891007 0.453990 2.827 2.827433 0.309017 -0.951057 0.309017 2.985 2.984513 0.156434 -0.987688 0.156434 3.142 3.141593 -0.000000 -1.000000 0.000000



Contoh 11 :

{Program Solusi Sistem PDB 'turunan kedua' (order 2) dengan 'konversi' atau 'substitusi variabel' menggunakan Metode RUNGE-KUTA-GILL PDB order 2 : y" + y' = - sin(x) + cos(x) y1(0) = 0 y2(0) = 0 dan y3(0) = 1} Type Real = Extended; Real01 = Array [0..1] of Real; Real50 = Array [1..50] of Real; Procedure F(N : Integer; x : Real; Y : Real50; Var DY : Real50); Begin DY[1] := 1; DY[2] := Y[3]; DY[3] := -Sin(Y[1]) + Cos(Y[1]) - Y[3]; End; {$I DRKGIL} Var I,N,NP : Integer; XV : Real01; Yi,Yf : Real50; Eps,Pi : Real; Begin Pi := 4*ArcTan(1); Eps := 1.0E-6; N := 3; NP := 20; xv[0] := 0; xv[1] := Pi/20; Yi[1] := 0.0; Yi[2] := 0.0; Yi[3] := 1.0; Writeln(xv[0]:0:3,' ',Yi[1]:0:6,' ',Yi[2]:0:6, ' ',Yi[3]:0:6,' ',Sin(xv[0]):0:6); For I := 1 to 20 do Begin DRKGIL(N,xv,Yi,Yf,NP,Eps); Writeln(xv[1]:0:3,' ',Yf[1]:0:6,' ',Yf[2]:0:6, ' ',Yf[3]:0:6,' ',Sin(xv[1]):0:6); xv[0] := xv[1]; xv[1] := xv[1] + Pi/20; Yi := Yf; End; Readln; End.

Documents

SOLUSI PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA dengan …staff.ui.ac.id/system/files/users/setijo.bismo/material/mod-04.pdf · Seri Mata Kuliah : PEMODELAN dan MATEMATIKA TERAPAN 4 SOLUSI PERSAMAAN