PEMODELAN SISTEM MEKANIS

Pemodelan & Simulasi

TM06

Pemodelan Sistem Mekanik

• Model sistem mekanik penting dalam teknik kendali (control engineering) misalnya kendaraan, lengan robot, peluru kendali.

• Sistem mekanis dapat dibagi menjadi dua kategori:

– Sistem translasional

– Sistem rotational

• Sistem mekanis dapat murni translasional atau murni rotasional, namun juga bisa campuran (hybrid).

Sistem Mekanis Translasional

• Blok dasar sistem mekanis translasional adalah massa, pegas, dan peredam.

• Input sistem mekanis translasional dapat berupa gaya F dan output pergeseran y.

Pegas • Pegas menyimpan energi seperti pada gambar berikut, dan

seringkali digunakan sebagai elemen tunda.

• Untuk pegas linier, pergeseran y sebanding dengan gaya F menurut persamaan

F = k y

dengan k adalah konstanta pegas.

• Saat pegas ditarik maka akan menyimpan energi E menurut persamaan:

E = 0,5 k y2

Energi ini akan dilepaskan saat pegas kembali ke bentuk awal.

• Dalam aplikasi, pegas sering dirangkai paralel atau seri. Saat n pegas dirangkai paralel maka konstanta pegas totalnya adalah:

Dan jika dirangkai seri maka

Peredam Elemen peredam direpresentasikan oleh gerakan piston dalam medium pelumas pada sebuah silinder. Gaya F yang membuat piston bergerak sebanding dengan kecepatan piston dan dinyatakan oleh persamaan

Massa Saat sebuah gaya dikenakan pada massa, hubungan antara gaya F dan percepatan dinyatakan dengan hukum kedua Newton yaitu F = ma. Oleh karena percepatan adalah perubahan kecepatan dan kecepatan adalah perubahan jarak, maka

Energi yang tersimpan dalam massa saat massa tsb bergerak disebut energi kinetik, dan dinyatakan sebagai:

Contoh 1: Sistem Mekanis

Pada gambar berikut terdapat suatu sistem mekanis yang tersusun dari pegas, peredam, dan massa.

Temukan model matematis dari sistem tersebut.

Catatan:

Dalam sistem jenis ini digunakan hukum Newton kedua, yaitu:

maF

Penyelesaian: Resultan gaya pada sistem adalah gaya F, gaya pegas (Fk), gaya redam (Fb) dan gaya yang timbul karena massa m. F – Fk – Fb = ma atau F – ky – cv = ma atau ma + cv + ky = F dengan y = perpindahan massa m setiap saat k = konstanta pegas c = konstanta redaman v = kecepatan massa m setiap saat Selanjutnya karena dan maka persamaan di atas dapat juga ditulis sebagai:

dt

dyv

2

2

dt

yd

dt

dva

Fkydt

dyc

dt

ydm

2

2

Dapat juga dituliskan sebagai (ingat bahwa gaya pegas dan peredam berlawanan arah dengan arah F):

Misalnya y(0) = 0 dan maka dengan F = 1 N, m = 1 kg, c = 0.1, k = 0.2 maka dapat disimulasikan dengan mengingat bahwa:

y(t) = y = jarak pergeseran massa = dy * dt

dy(t) = dy = perubahan jarak setiap satuan waktu = kecepatan = ddy * dt

ddy(t) = ddy = perubahan kecepatan setiap satuan waktu = percepatan

Gambarkan grafik pergeseran vs waktu, dan kecepatan vs waktu code_6.m

m

Fty

m

kty

m

cty

m

Fy

m

k

dt

dy

m

c

dt

yd

Fkydt

dyc

dt

ydm

)()()(

2

2

2

2

0)0( y

Hasil simulasi pergeseran vs waktu :

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Waktu (detik.)

Perg

esera

n

Hasil simulasi kecepatan vs waktu :

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Waktu (detik.)

Kecepata

n

Contoh 2: Sistem Mekanis

Pada gambar berikut terdapat suatu sistem mekanis yang tersusun dari pegas, peredam, dan massa.

Temukan model matematis dari sistem tersebut.

Dalam sistem jenis ini digunakan hukum Newton kedua, yaitu:

maF

Penyelesaian

Akan ditinjau gaya-gaya yang bekerja pada kedua massa secara terpisah untuk keperluan analisis, sebagai berikut:

Untuk massa m1

Maka berlaku persamaan:

Atau dapat ditulis kembali sebagai:

(1)

amdt

dy

dt

dybyykyk

amdt

dy

dt

dybyykyk

amF

121

21211

112

12211

1

)(

)(

Untuk massa m2

dt

dy

dt

dybykykamF

amdt

dyb

dt

dybykykF

amdt

dy

dt

dybyykF

amdt

dy

dt

dybyykF

amdt

dy

dt

dybyykF

1212222

212

1222

212

122

221

212

221

212

)(

)(

))((

amF 2

Maka berlaku persamaan:

Atau dapat ditulis kembali sebagai:

(2)

Persamaan (1) dan (2) dapat dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai berikut:

Dan persamaan keadaan sistem dapat dinyatakan sebagai berikut:

Dari persamaan keadaan ini dapat dibuat simulasinya dengan memberikan konstanta dan nilai-nilai awal yang diperlukan.

Misalkan berikut adalah konstanta dan nilai-nilai awal yang diberikan:

F = 1 N m1 = 1 kg y = [y1 y2] = [0.1 0.1] meter

m2 = 1.5 kg B = b = c = 0.1% dy = [dy1 dy2] = [0 0]

k1 = 0.2 k2 = 0.15

Ingat bahwa:

- Kecepatan adalah perubahan jarak setiap satuan waktu

- Percepatan adalah perubahan kecepatan setiap satuan waktu

- Redaman = b = c = B

code_7.m

Hasil simulasi:

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000

5

10

15

20

25

30

Waktu (detik.)

Perg

esera

n y2

y1

Hasil simulasi:

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-3

-2

-1

0

1

2

3

Waktu (detik.)

Kecepata

n

Modelling Real System For Your Homework

Misalkan sebuah kopel mekanis yang biasa dipakai untuk menggandeng gerbong kereta barang pada gambar berikut. Sistem ini dapat dimodelkan sebagai dua massa, sebuah pegas, sebuah peredam, dan gaya-gaya dorong dan tarik pada masing-masing massa.

Model sistemnya adalah sbb: m1 dan m2 : gerbong 1 dan 2 y1 dan y2 : pergeseran gerbong 1 dan 2 F1 dan F2 : gaya c : redaman k : konstanta pegas Your homework: - Temukan persamaan diferensial untuk sistem di atas - Simulasikan dengan besaran-besaran sbb: F1=1 N, F2=−1 N, m1=1 kg,

m2=1,5 kg, c=0,1%, k=0,2. Kondisi awal y1(0) = y2(0) = 0,1 meter dan - Gambar grafik pergeseran vs waktu dan kecepatan vs waktu

0)0()0(21

yy