Upload
lythu
View
254
Download
11
Embed Size (px)
Citation preview
PENAKSIRANPENAKSIRAN
Penaksiran TitikPenaksiran SelangSelang Kepercayaan untuk RATAANSelang Kepercayaan untuk RATAANSelang Kepercayaan untuk VARIANSI
MA2081 STATISTIKA DASARMA2081 STATISTIKA DASARUtriweni Mukhaiyar
25 Oktober 2012
Metode Penaksiran
2
Metode Penaksiran
Penaksiran 1
Penaksiran 2
Titik gSelang
Nilai tunggal dari suatu parameter l l i d k d
Nilai sesungguhnya dari suatub d di lmelalui pendekatan metode tertentu. parameter berada di selang tertentu.
Contoh 1. Seorang mahasiswa mengulang kuliah Statdas, ketika di
Contoh 2. Seiring berjalannya waktu, mahasiswa tersebut
awal perkuliahan, memiliki target nilai lulus matkul Statdas adalah B.
mengubah target nilai lulus matkul Statdas adalah minimal AB
Nilai : B = 3 IP : AB = [3.5, 4]Nilai : B 3 IP : AB [3.5, 4]
Ilustrasi3
P r m t r P pul siParameter Populasi
σ2µ
Populasi
Sampelσ2µ
menaksir
? ?
titik?? selang??
Parameter Sampel
? ?
Parameter sampel menaksir parameter populasi
m mp
Penaksiran Titik
Statistik yang digunakan untuk mendapatkank k d b k i f i
4
taksiran titik disebut penaksir atau fungsikeputusan.
X22 s
X Apakah dan s2 merupakan penaksir yang baik dan paling efisien bagi dan 2?
Penaksir Takbias dan Paling Efisien
Definisi5
• Statistik dikatakan penaksir takbias parameter bila,
]ˆ[ˆ E
Dari semua penaksir takbias yang mungkindibuat, penaksir yang memberikan variansiterkecil disebut penaksir yang paling efisienterkecil disebut penaksir yang paling efisien
2ˆ
2ˆ
21
Penaksir Tak Bias untuk dan 2
Misalkan peubah acak X ~ N(,2) 6
Misalkan peubah acak X N(, )
• penaksir tak bias untuk .
n
iiX
nX
1
1
• penaksir takbias untuk 2.
i 1
n
i XXs 22
11 p
iin 11
Bukti : dengan menunjukkan bahwa,
][XE22 ][ sE ][ sE
Penaksiran Selang7
Taksiran selang suatu parameter populasi :
2 2121
ˆˆ
1
g p p p
dan : nilai dari peubah acak dan
dan dicari sehingga memenuhi : 1 2 1ˆˆP
2 211 p
121P
taraf/koefisien keberartiandengan 0 < < 1.
taraf/koefisien keberartian
21ˆˆ Selang kepercayaan : perhitungan selang
berdasarkan sampel acak berdasarkan sampel acak.
Skema PenaksiranPOPULASI
2µ σ2
1 POPULASI2 POPULASI
BERPASANGAN 2 POPULASI 1 POPULASI2 POPULASI
BERPASANGAN 2 POPULASI
b l 2
2 2 id k
D DTabel 21n Tabel
1 2,v vF
σ2
diketahuiσ2 tidak
diketahui σ12 , σ2
2
diketahuiσ1
2 = σ22
tidak diketahuiσ1
2 ≠ σ22
tidak diketahui
Tabel z Tabel t b l b l b l8Tabel z Tabel t Tabel z Tabel t Tabel t
K N l B k (Z N(0 1))
9
Kurva Normal Baku (Z~N(0,1))menghitung tabel z
1 -
/2/2 P(-z1-/2 ≤ Z ≤ z1-/2)
= 0
1
z1-/2-z1-/2
(1-/2)
= 5% maka z1-/2 = z0,975 =1,96 P(Z ≤ z0,975) = 1 – 0,025 = 0,975
dan -z1-/2 = -z0,95= -1,96.
Kurva t-Student (T~t )
10
Kurva t-Student (T~tv)menghitung tabel t
/2/2
1 -
/2/2 P(-t/2 ≤ T ≤ t/2)
= 0
1
t/2-t/2
= 5% dan n =10 maka t/2;n-1 = t0,025;9 = 2,262 P(T ≤ t0,025) = 0,025
d t t 2 262dan -t/2;n-1 = -t0,025;9= -2,262
Selang Kepercayaan (1-) untuk
• Kasus 1 populasi, 2 diketahui
11
1
21
21
zZzP
TLP : )1,0(~/
NZn
X
1
21
21 n
zXn
zXP
zXzX
SK (1-) untuk jika 2 diketahui :
nn
21
21
Selang Kepercayaan (1-) untuk
• Kasus 1 populasi, 2 tidak diketahui
12
1
22
tTtP
1~/ n
X ts n
2 2
1s sP X t X tn n
s sX t X t
SK (1-) untuk jika 2 tidak diketahui :
2 2
X t X tn n
13
Contoh 1
• Survey tentang waktu maksimum pemakaian y g pkomputer (jam) dalam seminggu di 50 buah Warnet di Kota Bandung diketahui berdistribusi
l d b k dnormal dengan simpangan baku 10 jam dan rata-rata pemakaian maksimum adalah 55 jam.Dengan menggunakan taraf keberartian 2% Dengan menggunakan taraf keberartian 2% carilah selang kepercayaannya !
14
Contoh 2• Survey tentang waktu maksimum pemakaian
komputer (jam) dalam seminggu di 50 buah Warnet p (j ) ggdi Kota Bandung diketahui berdistribusi normal. Rata-rata pemakaian maksimum adalah 55 jam dengan simpangan baku 10 jam. Dengandengan simpangan baku 10 jam. Denganmenggunakan taraf keberartian 2% carilah selangkepercayaannya !
Dapatkah Anda membedakan contoh 1 dengancontoh 2?
Analisis ContohAnalisis Contoh 15
Contoh 1 Contoh 2Diketahui : n = 50 , , σ = 10 n = 50 , , S = 10 55X 55X
Ditanya : SK 98% untuk ( = 0,02) SK 98% untuk ( = 0,02)
Jenis kasus : kasus menaksir dengan 2
diketahui,kasus menaksir dengan 2
tidak diketahui,
Jawab : z1 /2 = z0 99 = 2,33 t/2;n 1 = t0 01;49 = 2,326Jawab : z1-/2 z0,99 2,33 t/2;n-1 t0,01;49 2,326
nzX
nzX
11
nStX
nStX
22
nn 22 nn 22
Solusi Contoh 1 dan 2
16
Selang Kepercayaan untuk 1 Jika 2 diketah i 2 Jika 2 tidak diketah i
10 1055 2,33 55 2,33
1. Jika 2 diketahui. 2. Jika 2 tidak diketahui.
10 1055 2,326 55 2,32650 50
50 50
50 50
51,705 58,295 51,711 58,290
Selang Kepercayaan (1-) untuk - Selang Kepercayaan (1-) untuk 1- 2Kasus 2 populasi 17
X1 ~ N(µ1 , σ12) X2 ~ N(µ2 , σ2
2)
1. SK (1-) untuk (1 - 2) jika 12 dan 2
2 diketahui
2 2 2 21 2 1 2
1 2 1 / 2 1 2 1 2 1 / 21 2 1 2
( ) ( )X X Z X X Zn n n n
1 2 1 2n n n n
Selang Kepercayaan (1-) untuk 1- 2Selang Kepercayaan (1 ) untuk 1 2
Kasus 2 populasi18
2. SK (1-) untuk (1-2) jika 12 , 2
2 tidak diketahui dan 12 ≠ 2
2
2 2 2 21 2 1 2
1 2 ; /2 1 2 1 2 ; /21 2 1 2
( ) ( ) s s s sX X t X X tn n n n
22 21 2s s
1 22 2 2 21 1 2 2
dimana ( / ) ( / )
1 1
n ns n s nn n
1 21 1n n
Selang Kepercayaan (1-) untuk 1- 2
3 SK (1-) untuk (1 2) jika 12 2
2 tidak diketahui dan 12 = 2
2
g p y ( ) 1 2
Kasus 2 populasi 19
3. SK (1-) untuk (1-2) jika 1 , 2 tidak diketahui dan 1 2
1 2 ; /2 1 2 1 2 ; /21 1 1 1( ) ( )p pX X t s X X t s 1 2 ; /2 1 2 1 2 ; /2
1 2 1 2
( ) ( )p pn n n n
2 22 1 1 2 2( 1) ( 1)dimana
n S n SS dan v = n1 + n2 - 21 2
dimana 2
pS
n n
1 1 2 22 2
2 21 1 1 2 2 2
n n n n
X X n X X n
dan v n1 n2 2
1 1 2 2
1 1 1 12
1 2
atau 2
p
X X X X
Sn n
JK JK
1 2 2
n n
20
Pengamatan Berpasangang p gCiri-ciri:• Setiap satuan percobaan mempunyai sepasang
pengamatan• Data berasal dari satu populasi yang sama
Contoh• Produksi minyak sumur A pada tahun 1980 dan
2000• Penentuan perbedaan kandungan besi (dalam ppm)
beberapa sampel zat, hasil analisis X-ray dan Kimia beberapa sampel zat, hasil analisis X ray dan Kimia
S l g K (1 ) t k
21
Selang Kepercayaan (1-) untuk d
SK untuk selisih pengamatan berpasangan dSK untuk selisih pengamatan berpasangan dengan rataan dan simpangan baku Sd :
s s
d
1; 1;2 2
d dn D n
s sd t d tn n
21 ddimana “ “ dengan n : banyaknya pasangan.
d merupakan rata-rata dari selisih 2 kelompok data.
Kurva khi kuadrat (x~ )
22
2Kurva khi kuadrat (x )menghitung tabel
v2
/2 /2
/2
1
12
2
22
21
XP
0 2
2
2
21
1 -
22
023,1929;025,0
2
1,2
n = 5% dan n =10 maka,
7,229;975,0
2
1,2
1
n
Selang Kepercayaan (1-) untuk σ2Selang Kepercayaan (1 ) untuk σ• Kasus 1 populasi
23
12
2
22
21
XP
2 2( 1) ( 1)
22 2
12
( 1) ~ nn sX
2 22
2 2/2 1 /2
( 1) ( 1) 1n s n sP
2
2 22
2 2
( 1) ( 1)n s n s
SK (1 - ) 100% untuk 2 :
2 2
( 1); ( 1);12 2
n n
Kurva fisher (F~ )24
FKurva fisher (F )menghitung tabel F
21,vvF
/2 /2
/2
1
1
2121 ,;2
,;2
1 vvvvfFfP
1,1;1,1;
21
12
21
1
nnnn f
f
0
2f
21
f
1 - 1,1;2 12 nn
22
36,48,9;025,01,1;2 21
ffnn = 5% , n1 = 10 dan n2 = 9 maka, dan
111 24,01,4
111
9,8;975,01,1;2
1,1;2
112
21
fff
nnnn
Selang Kepercayaan (1-) untuk 12 /2
2Selang Kepercayaan (1 ) untuk 1 /2
• Kasus 2 populasi25
2 22 1sF f
1
2121 ,;2
,;2
1 vvvvfFfP
1 2
2 12 2 , ,1 2 2
~v v
sF fs
2 2 21s s
SK (1 ) 100% t k 2 / 2
2 1
1 2
1 1 12 2 2 ; ,2 2 2 2; ,
2
1 1v v
v v
s sP fs f s
SK (1 - ) 100% untuk 12 /2
2 :2 2 21 1 12 2 2 ;
1v v
s s fs f s
2 1
1 2
; ,2 2 2 2; ,
2
v vv v
s f s
26
Referensi• Devore, J.L. and Peck, R., Statistics – The Exploration and
Analysis of Data, USA: Duxbury Press, 1997.P ib U S 2007 C t t K li h Bi t ti tik• Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.
• Wild, C.J. and Seber, G.A.F., Chance Encounters – A first Course in Data Analysis and Inference, USA: John Wiley&Sons,Inc., 2000.
• Walpole, Ronald E. Dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung: y gPenerbit ITB, 1995.
• Walpole, Ronald E. et.al., Probability & Statistics for Enginerrs & Scientists, Eight edition, New Jersey : Pearson Prentice , g , N J yHall, 2007.