Pencetus 23 problem matematika yang terkenalDavid Hilbert(1862 – 1943)

RiwayatDavid Hilbert menuntut ilmu di Gymnasium yang terdapat di kota tempat kelahirannya,Konigsberg. Setelah lulus, memasuki universitas Konigsberg, dimana dia diajar olehLindemann. Pernah kuliah selama satu semester di universitas Heidelberg di bawahbimbingan analis [Lazarus] Fuchs.

Hilbert lulus pada tahun 1885 dengan thesis tentang teori invarian dan mempunyai temankuliah, [Hermann] Minkowski, dimana mereka saling mempengaruhi satu denganlainnya. Pada tahun 1884, [Adolf] Hurwitz mengajar di universitas Konigsberg dan cepatmenjalin persahabatan dengan Hilbert. Persabahatan ini adalah faktor paling penting bagiperkembangan matematikal Hilbert. Tahun berikutnya, 1886, Hilbert menjadi stafpengajar di Konigsberg sampai tahun 1895, diangkat sebagai dosen utama sampai tahun1892, diangkat menjadi asisten profesor sebelum menjadi profesor penuh pada tahun1893. Pimpinan Konigsberg pada saat ini adalah Heinrich Weber yang sangat dikenalkarena menghadirkan untuk pertama kalinya difinisi-difinisi abstrak untuk himpunan danbidang pada periode 1880-1890., juga mengarang tiga buku teks aljabar. Hilbert seringmelakukan perjalanan ke mancanegara guna menghadiri konggres matematikawan yangmenjadi “ciri” abad itu.

SuksesiTahun 1892, Schward pindah dari Gottingen ke Berlin untuk menggantikan posisiWeierstrass dan Klein memberi penawaran kepada Hilbert untuk mengisi jabatan yangkosong di Gottingen itu kepada Hilbert. Klein gagal membujuk Hilbert dan posisi itu diisioleh Heinrich Weber yang pindah dari Konigsberg. Posisi Weber, pada tahun 1883,diganti oleh Lindemann yang belum lama menerbitkan pembuktian bahwa Л adalahbilangan transenden. Lindemann pula yang menyarankan agar thesis Hilbert tentang teoriinvarian dan mendukung agar topik ini terus dipelajari.

Weber hanya menjabat selama tiga tahun sebelum pindah ke Strasbourg dan, akhirnya,posisi itu diisi oleh Hilbert. Sejak tahun 1895, Hilbert menduduki posisi kepala bidangmatematika di Gottingen.

Ketenaran Hilbert dalam dunia matematika baru bersinar setalah tahun 1900 sehinggabanyak institusi-institusi pendidikan berusaha menariknya dari Gottingen, sebelum untukakhirnya pindah ke universitas Berlin pada tahun 1902 untuk menggantikan posisi Fuchs.Penggantinya di Gottingen adalah temannya, Hermann Minkowski.

Teori invarian HilbertKarya pertama Hilbert adalah teori invarian pada tahun 1888, dimana dia dapatmembuktikan theorema basis yang tersohor. Pembuktian ini dikirimkan sebagai artikelpada Mathematische Annalen. [Paul] Gordan adalah profesor matematika di Erlangen

sekaligus pakar dalam teori invarian, namun cara dan metode Hilbert yang revolusionerini sulit dipahami sehingga perlu pihak ketiga yang menilai. Juri yang ditunjuk adalahKlein. Lewat teman akrabnya, Hurwitz, Hilbert mengetahui bahwa Gordan mengirimsurat Klein guna membicarakan artikel tersebut. Mengetahui hal ini Hilbert menulis suratkepada Klein yang isinya menyatakan bahwa dia tidak akan melakukan perubahan padaartikel yang sudah dikirim. Klein menerima dua surat dari Hilbert dan Gordan, dimanasaat itu Hilbert adalah asisten pengajar dari Gordan yang sangat terkenal di dunia karenateori invarian. Sisi lain Gordan juga mengetahui hubungan antara Klein dan Hilbert yangsudah terjalin lama. Akhirnya, Klein mengemukakan terobosan invarian dari Hilbert inidan berjanji akan menerbitkan sebagai artikel pada Annalen, tanpa perubahan sedikitpun.

Merasa bahwa karyanya dihargai, Hilbert mengembangkan metode lain dalam teoriinvarian untuk kembali diterbitkan dalam Mathematische Annelen dimana sebelumnyadikirim kepada Klein. Komentar dari Klein adalah: “Tidak perlu diragukan lagi, bahwamakalah ini adalah karya maha penting dalam bidang aljabar umum yang pernahditerbitkan oleh Annalen.”

Sistimatika invarian Hilbert secara singkat dapat disebutkan sebagai berikut. Misalkanbentuk x dengan pangkat n, untuk menemukan bilangan terkecil dari invarian dancovarian rasional integral dapat dinyatakan sebagai bentuk rasional integral dengankoefisien-koefisien numerikal dari himpunan lengkap.

Kiprah HilbertSaat masih di Konigsberg, tahun 1893, Hilbert mengarang Zahlbericht untuk teoribilangan aljabarik. Komunitas matematika Jerman (German Mathematical Society) yangbaru didirikan tiga tahun sebelumnya mendaulat agar karya ini dianggap sebagai laporanhasil perkembangan dari komunitas ini selama tiga tahun. Isi pokok buku ini adalahsistesis dari karya Kummer, Kronecker dan Dedekind namun dirangkai dan diisi dengangagasan-gagasan Hilbert yang cemerlang. Semua gagasan ini sekarang lebih dikenaldengan sebutan teori bidang kelas (Class field theory).

Karya penting Hilbert adalah makalah “On the Theory of Algebraic Forms” yang dimuatpada Mathematische Annalen pada tahun 1890. Di sini Hilbert mendifisnikan bentukaljabarik sebagai fungsi homogen integral rasional dalam peubah-peubah tertentu dimanakoefisien-koefisien adalah bilangan-bilangan dalam “wilayah rasionalitas” (domain ofrationality). Theorema yang menyatakan bahwa untuk deret tak-terhingga S = F1, F2, F3,… dari bentuk-bentuk peubah-peubah n, x1, x2, x3, … xn terdapat bilngan m dalambentuk berurutan yang diekspresikan sebagai

F = A1F1 + A2F2 + … AmFm

Dimana Ai adalah bentuk-bentuk yang sama dengan peubah-peubah n. Hilbertmengaplikasikan hasil ini untuk membuktikan sistem terbatas untuk invarian denganbentuk-bentuk arbitrari banyak peubah.

Tidak puas dengan teori invarian, Hilbert menjelajahi geometri. Geometri rekaan Hilbert

dapat disebut sebagai sebuah karya besar setelah Eucklid sendiri. Dari pembelajaransecara sistematik dari geometri Euclidian, Hilbert merumuskan dua puluh satu aksiomadan melakukan analisis terhadap masing-masing signifikansinya. Karya dalam geometridituang dalam buku berjudul Grundlagen der geometrie pada tahun 1899, dimanageometri ditempatkan dalam tatanan aksioma yang formal. Buku ini terus diperbaharuidalam setiap edisinya dan kelak memberi dampak besar bagi pendekatan aksiomatikdalam matematika yang akan menjadi karakteristik utama bagi geometri saat memasukiabad 20.

23 problem matematikaHilbert juga dikenal karena mengemukakan 23 problem atau tantangan matematika bagipara matematikawan. Lewat pidatonya pada konggres internasional matematikawankedua di Paris, disebutkan 23 problem yang menantang kreativitas para matematikawan.Disebutkan bahwa suatu problem matematika mampu merangsang otak-otak kreatifuntuk berusaha menemukan solusi, namun apa yang diperoleh terkadang jauh dariharapan. Bukan berarti hasil sampingan (by-product) ini tidak berguna, justru hal ini akanmemperkaya khasanah matematika. Fermat (baca: Fermat dan Wiles), sebagai contoh,meninggalkan TTF (Theorema Terakhir Fermat) yang mendorong adanya penemuanbilangan-bilangan ideal dari Kummer dan melakukan generalisasi dalam bidang aljabaryang diprakarsai oleh Dedekind dan Cantor akan mendasari teori bilangan modern danakhirnya teori fungsi.

Problem bilangan kardinal kontinuum dari Cantor

1. Keselarasan (compatibility) aksioma-aksioma dalam aritmatika2. Kesamaan isi dari dua tetrahera yang mempunyai alas dan tinggi sama3. Problem garis lurus sebagai jarak terpendek antara dua titik4. Konsep transformasi kelompok (grup) berkesinambungan tanpa asumsi yang

dapat berbedaa (differentiability) dari fungsi-fungsi dalam kelompok dari Lie.5. Perlakuan matematikal terhadap aksioma-aksioma dalam fisika.6. Bilangan-bilangan irrasional dan transenden tertentu7. Problem bilangan-bilangan prima8. Pembuktian dari hukum umum ketimbalbalikkan (reciprocity) dari berbagai

bilangan dalam bidang.9. Determinasi dari solvabilitas persamaan Diophantus10. Bentuk-bentuk kuadratik dengan koefisien-koefisien aljabarik numerikal11. Perluasan theorema Kronecker pada bidang Abelian bagi rasionalitas dalam

lingkup aljabarik.12. Ketidakmungkinan mencari solusi persamaan untuk dalam bentuk pangkat tujuh

dengan menggunakan fungsi-fungsi yang mempunyai dua argumen.13. Pembuktian terbatasnya sistem fungsi-fungsi lengkap tertentu14. Dasar tak terbantahkan dari kalkulus enumeratif Schubert15. Problem topologi dari kurva-kurv dan permukaan-permukaan aljabarik.16. Ekspresi bentuk-bentuk tertentu dari persegi panjang17. Membangun ruang dari polyhedra congruent

18. Apakah solusi untuk problem-problem umum dalam variasi kalkulus selalumembutuhkan analitik

19. Problem umum nilai-nilai batas20. Bukti keberadaan persamaan-persamaan diferensial linier mempunyai kelompok

monodromik yang sudah dijabarkan21. Penyeragaman relasi-relasi analitik dalam fungsi-fungsi otomorphik22. Pengembangan lebih lanjut metode variasi-variasi kalkulus

Ruang HilbertKarya Hilbert tentang persamaan-persamaan integral yang terbit pada tahun 1909,merintis penelitian dalam analisis fungsional (cabang matematika dimana fungsi-fungsidipelajari secara terpisah). Karya ini juga memberi dasar kiprahnya dalam ruangdimensional tak terhingga (infinite-dimensional space), yang kemudian lebih dikenaldengan sebutan ruang Hilbert. Konsep ini berguna dalam analisis matematikal danmekanika quantum. Penggunaan persamaan-persamaan integral, Hilbert mampu memberisumbangsih bagi perkembangan fisika matematikal dan yang paling penting adalahmemoarnya tentang teori gas kinetik dan teori radiasi.

Ada beberapa orang yang menyebut bahwa pada tahun 1915, Hilbert sudah menemukanpersamaan-persamaan bidang untuk relativitas umum sebelum dicetuskan oleh Einstein.Terdapat catatan yang menyebutkan bahwa Hilbert mengirimkan artikel tersebut padatanggal 20 November 1915, lima hari sebelum Einstein menyerahkan artikel yangberisikan ralat terhadap persamaan-persamaan bidang. Artikel Einstein muncul padatanggal 2 Desember 1915, tapi bukti bahwa makalah Hilbert (tertanggal 6 Desember1915) tidak mencantumkan persamaan-persamaan bidang.

Dasar-dasar GeometriHilbert menekuni suatu bidang sampai benar-benar tuntas. Setelah usai dengan“Zahlbericht”, dia mulai beralih ke geometri. Sejak tahun1894 dia mengajar geometrinon-Euclidian dan pada periode 1898-1899mengeluarkan buku “Dasar-dasar Geometri”(Grundlagen der Geometrie). Buku ini dapat disebut karya besar karena kemudianditerjemahkan ke bahasa negara terkemuka dan membawa dampak besar bagiperkembangan geometri pada abad 20. Geometri yang selama ini seakan dilupakan sejakEuclid, dijabarkan ulang dan banyak direvisi ulang oleh Hilbert. Hilbert merintis denganmemasukkan “karanter: aljabar dan analisis ke dalam geometri. Sistematika geometridilakukan dengan membagi menjadi 3 obyek: titik, garis dan bidang dan enamkemungkinan keterhubungan. Lewat buku itu, Hilber mengukuhkan diri sebagaipenggagas “aliran aksiomatik” yang memberi dampak besar terhadap matematika danpendidikan matematika. Pangantar buku diawali dengan kutipan [Immanuel] Kant;“Semua pengetahuan manusia, diawali oleh intuisi, menghasilkan konsep-konsep, dandiakhiri dengan ide-ide.” Kutipan ini digunakan untuk menunjukkan bahwa dirinya anti-Kant. Menurutnya tidak ada [peran] intuisi dalam mempelajari geometri, dimana titik,garis dan bidang adalah elemen-elemen dari suatu himpinan tertentu. Teori himpunan (settheory) yang selama ini masuk wilayah aljabar dan analisis dipakai dalam geometri.

Karya bersamaHermann Minkowski meninggal pada tahun 1909, meninggalkan kepedihan mendalambagi Hilbert. Setelah merasa tuntas dengan geometri dan analisis - tidak diuraikan,Hilbert masuk fisika matematika. Sebelum dan setelah PD I, meneliti aplikasi persamaan-persamaaan integral untuk memecahkan teori-teori fisika seperti teroi kinetik dari gas.Penjelajahan ini membuat dia berkolaborasi dengan Emmy Noether (1888-1935) dalammempelajari invarian diferensial. Emmy adalah anak aljabaris, Max Noether yang ditarikdari Gottingen oleh Hilbert dan Kelin untuk melakukan penelitian bersama. Hasilsampingan adalah Emmy mampu mengeluarkan buku pada tahun 1918 yang berisikan“Theorema Noether.”

Sejak tahun 1990, Hilbert sudah mengerjakan aksiomatisasi, yang dimaksudkan untukmemecxahkan problem fisika yang terkait dengan mekanika quantum. Hasil akhir sudahakan diraih namun karena problem kesehatan, maka tongkat estafet penelitian diserahkan- lewat kolaborasi – dengan L. Nordheim dan J. von Neumann. Karya puncak Hilbertdalam aksiomatisasi aritmatikda dan logika dapat kita nikmati lewat para penerusnya.Karya Dasar-dasar matematika dan Dasar-dasar logika matematika lebih mengenalkankolaboratornya sebagai Hilber-Bernays dan Hilbert-Ackermann.

SumbangsihBanyak cabang matematika yang ditekuni oleh Hilbert, dimana masing-masing mampumenunjukkan kualitasnya sehingga sangat sulit menyebutkan sumbangsih Hilbert secaraspesifik. Dapat disebutkan teori invarian, bidang-bidang bilangan aljabarik, analisisfungsional, persamaan-persamaan integral, fisika matematikal dan variasi-variasikalkulus. Ada yang menyebutkan bahwa bakat matematikal ditunjang denganmengemukakan pemikiran-pemikiran baru dan menghubungkan semua disiplin-disiplinilmu tersebut merupakan betapa banyaknya “jasa” Hilbert bagi perkembanganmatematika dan fisika – khususnya mekanika quantumm baik secara sendiri maupunsebagai karya kolaborasi. Problem yang dikompilasi akan terus berupaya dipecahkan olehmatematikawan era berikutnya.

Thales(624 – 550 SM)

RiwayatPerintis matematika dan filsafat Yunani adalah Thales. Lahir dan meninggal di kota kecilMiletus yang terletak di pantai barat Asia Kecil, sebuah kota yang menjadi pusatperdagangan. Kapal-kapal pedagang dengan mudah berlayar ke Nil di Mesir, sedangkankaravan melakukan perjalanan lewat darat menuju kota di Babylon. Pendudulk Militussuka melakukan kontak dagang dengan kota-kota di Yunani dan warga Phoenisia. Di kotaini juga merupakan tempat pertemuan [dunia] Timur dan Barat, dan tempat lahirnyaThales.

Awalnya, Thales adalah seorang pedagang, profesi yang membuatnya sering melakukanperjalanan. Dalam suatu kesempatan berdagang ke Mesir dan Babilonia (pada maka

pemerintahan Nebukadnesar), dalam waktu senggangnya, Thales mempelajari astronomidan geometri. Hal ini dipicu ketertarikannya bahwa dengan menggunakan ‘alat-alat’tersebut, mereka dapat memprediksi gerhana matahari setiap tahunnya.

Theorema ThalesThales mengemukakan proposisi yang dikenal dengan theorema Thales, yaitu:

1. Lingkaran dibagi dua oleh garis yang melalui pusatnya yang disebut dengandiameter.

2. Besarnya sudut-sudut alas segitiga sama kali adalah sama besar.3. Sudut-sudut vertikal yang terbentuk dari dua garis sejajar yang dipotong oleh

sebuah garis lurus menyilang, sama besarnya.4. Apabila sepasang sisinya, sepasang sudut yang terletak pada sisi itu dan sepasang

sudut yang terletak dihadapan sisi itu sama besarnya, maka kedua segitiga itudikatakan sama sebangun.

5. Segitiga dengan alas diketahui dan sudut tertentu dapat digunakan untukmengukur jarak kapal.

Tidak ada catatan lebih jauh tentang prestasi Thales yang dapat disimak karena tidak adabukti-bukti akurat. Bukti dicoba dicari lewat catatan dari para muridnya seperti:Aristoteles dan Eudemus dari Rhodes (± 320 SM), yang kurun waktunya relatif terlalulama. Catatan Eudemus menyebutkan bahwa Thales adalah orang yang ‘mengubahgeometri menjadi bentuk formal yang dapat dipelajari oleh semua orang’ karenamendasarkan diri pada prinsip-prinsip dan melakukan investigasi terhadap theorema-theorema dengan sudat pandang seorang intelektual. Thales berbicara tentang garis,lingkaran dan bentuk-bentuk lainnya dengan cara membayangkan (abstrak). Garis bukanhanya susutatu yang dapat digurat dan dilihat di atas pasir, tapi merupakan obyek yangterpeta pada imajinasi kita. Artinya secara abstrak bahwa suatu garis lurus atau lingkaranbulat berada dalam mental kita.

Matematikawan serba bisaAktivitas Thales lebih dikenal – dari berbagai sumber terpisah, sebagai matematikawanterapan. Mengukur tinggi piramida dengan mengukur tinggi bayangan denganmenggunakan tongkat, memprediksi gerhana matahari, menentukan setahun adalah 360hari (sudah dikenal lama oleh bangsa Mesir) maupun jarak kapal di laut dengan lewatcara proporsi/memadankan bentuk segitiga adalah catatan “kehebatan” Thales. Gerhanamatahari disebutkannya akan terjadi pada tanggal 28 Mei atau 30 September pada tahun609 SM. Catatan yang ada menyebutkan bahwa gerhana matahari terjadi setiap kurunwaktu 18 tahun 11 hari. Ketepatan prediksi ini membuat namanya sangat terkenal dandiabadikan sebagai salah satu dari tujuh orang bijak (sage) yang terdapat pada hikayatYunani

Naluri pedagang yang ada pada dirinya, dimana diketahui Thales “memeras” buah zaitun(olive) untuk dijadikan minyak ketika panen melimpah dan akhirnya memberikankeuntungan berlimpah, menjadi pedagang garam sama seperti komentar tentang dirinyasebagai pengamat bintang, penentang hidup selibat bahkan sebagai negarawan yang

mempunyai visi jauh ke depan. Tulisan Thales dalam bidang astronomi lebih dikenaldaripada karyanya dalam bidang geometri.

Ketenaran ini membuat dirinya mempunyai banyak murid. Anaximander, Anaximenes,Mamercus dan Mandryatus adalah nama dari beberapa muridnya, namun yang sangatterkenal adalah nama yang disebutkan pertama. Anaximander (611 – 545 SM), suksesmenggantikan posisi Thales di Miletus.

Sebuah kisahThales hidup dalam masa kerajaan yang saling serang untuk memperluas wilayahnya.Keahlian Thales dalam bidang rekayasa diuji pada masa perang ini. Raja Croesus, yangmengagumi Thales, ingin menyerang negara tetangga dan para prajurit harusmenyeberangi sungai Halys. Kerajaan Croesus diperkirakan ada di Mesopotamia atauMesir.

Belum ada jembatan ponton pada masa itu dan tidak ada waktu membangun jembatanpermanen.Croesus menyuruh Thales sebagai seorang filsuf sekaligus matematikawanuntuk memecahkan problem ini. Di bawah pengarahan Thales dibuatlah kanal untukmengalihkan aliran sungai untuk sementara. Begitu para prajurit menyeberang dan suksesmerebut negara tetangga, kanar kembali ditutup dan aliran sungai kembali seperti semula.

Namun dalam perang tidak ada yang menang selamanya. Raja Cyrus dari Persia akhirnyadapat menangkap dan menawan penerus kerajaan Croesus, Lydia, dalam sebuahpertempuran. Bagaimana akhir atau keruntuhan kerajaan itu sendiri tidak pernahdiketahui.

Sebuah AnekdotDiperkirakan Olimpiade mulai diselenggarakan pada tahun 776 SM, dimana ketika itusastra Yunani sedang berkembang pesat. Homer dan Hesoid, seperti diketahui, berkaryapada masa-masa ini.

Dalam suatu malam Thales terlalu asyik memandangi bintang-bintang di langit sambilberjalan. Tidak menyadari bahwa di depan terdapat parit, Thales terjatuh ke dalam parit.Seorang nenek yang melihat berkata, “ Bagaimana kamu dapat menjelaskan apa yangterdapat di langit, sedangkan parit yang ada didepanmu saja tidak terlihat?”

SumbangsihBarangkali dapat disebut matematikawan pertama yang merumuskan theorema atauproposisi, dimana tradisi ini menjadi lebih jelas setelah dijabarkan oleh Euclid. Landasanmatematika sebagai ilmu terapan rupanya sudah diletakkan oleh Thales, sebelum munculPythagoras yang membuat bilangan adalah sesuatu yang sakral, selain memanfaatkanimajinasi.

Anaximander(611 S.M. – 545 S.M.)

RiwayatAnaximander sukses meneruskan jabatan kepala sekolah di Miletus setelahThales meninggal. Menurut Suidas, Anaximander menulis makalah tentanggeometri, yang lebih memberikan penekanan diri pada penelitian tentang boladan mengembangkan ide-ide filsafat yang berhubungan dengan ruang danwaktu. Dikatakan pula bahwa Anaximander sudah membuat globe.

Anaximander adalah orang yang untuk pertama kali mengenalkan penggunaangnomon (= tongkat penunjuk yang dipasang di tanah datar untuk menghitungwaktu), kelak teknik ini menjadi dasar terciptanya piringan matahari (sundial)guna menentukan waktu.

Mengajar PythagorasPemikiran Thales tidak secara langsung dapat dipahami oleh Pythagoras.Diduga Pythagoras memahami pemikiran-pemikiran Thales lewat Anaximander.Menurut legenda, ayah Pythagoras meninggal pada saat Pythagoras bermur 18tahun. Pamannya memberinya perak dan surat pengantar, dan mengirimnyauntuk belajar pada filsuf Pherecydes yang tinggal di pulau Lesbos (asal katalesbian).

Pherecydes mengenalkan ajaran tentang hidup abadi (immortaility) danreinkarnasi kepada Pythagoras. Keduanya kemudian menjadi sahabat kental,namun Pythagoras tidak lama tinggal di Lesbos. Pada kisaran usia 20 tahun,Pythagoras meninggalkan Lesbos dan melakukan perjalanan ke Miletus danmenimba ilmu di sini yaitu di bawah bimbingan Anaximander. Ada versi lain yangmenyebut bahwa pada saat ini Pythagoras belajar langsung di bawah bimbinganThales, tapi mengingat perbedaan umur antara keduanya, hipotesis ini sulitterjadi. Thales meninggal tahun 550 S.M. sedang Pythagoras lahir pada tahun589 S.M., dimana yang satu sudah tua renta dan lainnya masih muda usia danada perbedaan lokasi. Banyak kemungkinan selama Miletus, Pythagoras belajardari Anaximander. Tidak lama di Miletus, Pythagoras melanjutkan perjalananmenuju Mesir.

SumbangsihDari riwayat yang sangat singkat ini sulit menentukan sumbangsih Anaximander,namun kiprahnya adalah merintis studi tentang bola dan membuat globe yangtentunya masih sangat sederhana layak dianggap peran penting Anaximander.Terlebih penting adalah menjembatani pemikiran Thales ke Pythagoras.

“Apabila bilangan mengatur alam semesta, Bilangan adalah kuasa yang diberikan kepada kitaguna mendapatkan mahkota, untuk itu kita menguasai bilangan.If “Number rules the universe, Number is merely our delegate to the throne, for we rule Number.”

Pythagoras

Pencetus sekaligus penguasa nisbah dan segitiga

Pythagoras(580 - 475 SM)

Masa kecilPythagoras lahir di pulau Samos, Yunani selatan sekitar 580 SM (SebelumMasehi). Dia sering melakukan perjalanan ke Babylon, Mesir dan diperkirakanpernah sampai di India. Di Babylon, teristimewa, Pythagoras menjalin hubungandengan ahli-ahli matematika. Setelah lama menjelajah pulau kecil, Pythagorasmeninggalkan tanah kelahirannya dan pindah ke Crotona, Italia. DiperkirakanPythagoras sudah melihat 7 keajaiban dunia (kuno), dimana salah satunyaadalah kuil Hera yang terletak di kota kelahirannya. Sekarang, kuil Hera sudahruntuh dan hanya tersisa 1 pilar yang tidak jauh dari kota Pythagorian (namanyadipakai untuk mengenang putra terbaiknya). Menyeberangi selat dan beberapamil ke utara adalah Turki, terdapat keajaiban lain yaitu: Ephesus.Pythagoras adalah anak Mnesarchus, seorang pedagang yang berasal dari Tyre.Pada usia 18 tahun dia bertemu dengan Thales. Thales, seorang kakek tua,mengenalkan matematika kepada Pythagoras lewat muridnya yang bernamaAnaximander, namun yang diakui oleh Pythagoras sebagai guru adalahPherekydes.Pythagoras meninggalkan Samos pada tahun 518 SM. Tidak lama kemudian diamembuka sekolah di Croton yang menerima murid tanpa membedakan jeniskelamin. Sekolah itu menjadi sangat terkenal bahkan Pythagoras akhirnyamenikah dengan salah satu muridnya. Gambaran rinci tentang Pythagoras tidakterlalu jelas. Dikatakan setelah itu, dia pergi ke Delos pada tahun 513 SM untukmerawat penolong sekaligus gurunya, Pherekydes. Pythagoras menetap di sanasampai dia meninggal pada tahun 475 SM. Sepeninggalnya, sekolah Crotonberjalan terseok-seok dan banyak konflik internal, tetapi dapat terus berjalansampai 500 SM sebelum menjadi alat politik.Bagaimana Pythagoras menciptakan kultus terhadap angka?

Angka adalah “dewa”Matematika dan “mitos-mitos” palsu tentang angka tidak dapat dipisahkan.Setiap angka adalah simbol atau melambangkan sesuatu yang terkait denganmetafisik adalah hal lumrah di Cina. Pythagoras pun tidak luput dari “perangkap”mitos tentang angka. Dia mengajarkan bahwa: angka satu untuk alasan, angkadua untuk opini, angka tiga untuk potensi, angka empat untuk keadilan, angkalima untuk perkawinan, angka tujuh untuk rahasia agar selalu sehat, angkadelapan adalah rahasia perkawinan. Angka genap adalah wanita dan angkaganjil/gasal adalah pria. “Berkatilah kami, angka dewa,” adalah kutipan dari parapengikut Pythagoras yang memberi perlakuan khusus terhadap angkaempat,”yang menciptakan dewa-dewa dan manusia, O tetraktys suci yangmengandung akar dan sumber penciptaan yang berasal dari luar manusia.

Pemujaan angka seperti layaknya tukang sihir dengan bola kristalnyabarangkali – di kemudian hari, mendasari para matematikawan setelahPythagoras. Ucapan Plato “Tuhan memahami geometri” atau kutipanGalileo “Buku terbesar tentang alam ditulis dengan simbol-simbolmatematika.” Apakah itu termasuk ilmu sihir atau matematika. Yangjelas matematika lebih sulit untuk dipahami.Hubungan matematika dengan musik dekat sekali. Tidaklahmengherankan apabila Pythagoras juga mampu menjadi seorangmusisi. Mitos bilangan Pythagoras terkandung lewat “keajabiban”

pentagram. Bentuk segi-lima yang makin lama makin kecil sampai takterhingga.

Pythagoras sebagai pemusikPythagoras juga dikenal sebagai musisi berbakat, seorang pemain lira.Penemuan musik terkait dengan matematika diawali ketika Pythagoras bermainmonokord, sebuah kotak dengan bentangan tali-tali di atas salah satu sisinya.Dengan menggerakkan jari naik dan turun pada garis-garis yang sengaja dibuat,Pythagoras mengenali bahwa suara yang dihasilkan dapat diperkirakan. Ketikabagian tengah ditekan, setiap bagian atas tali dan bawah tali menghasilkan nadasama: nada yang tepat 1 oktaf * lebih tinggi dibandingkan apabila monokordtidak ditekan. Dengan membagi monokord dengan nisbah 3/4 dan 2/5, ternyatasetiap nisbah menghasilkan nada yang berbeda, merdu atau fals. Baginya,harmoni musik adalah aktivitas matematika. Harmoni dari monokord adalahharmoni matematika – dan harmoni alam semesta. Pythagoras menyimpulkanbahwa nisbah tidak hanya berlaku pada musik tetapi juga pada pelbagai jeniskeindahan lain. Para pengikut Pythagoras menyimpulkan bahwa nisbah danproporsi mengendalikan keindahan musik, kecantikan fisik dan keanggunanmatematika.Contoh: sebuah tali panjang yang menghasilkan nada C, kemudian 16/15 daripanjang tali C menghasilkan notasi B; 6/5 panjang tali C menghasilkan notasi A,4/3 panjang tali C menghasilkan notasi G; 3/2 panjang tali C menghasilkan notasiF; 8/5 panjang tali C menghasilkan notasi E; 16/9 panjang tali C menghasilkannotasi D dan 2/1 panjang tali C menghasilkan notasi C rendah.Penelitian tentang suara mencapai puncaknya pada abad 19 setelah JohnFourier mampu membuktikan bahwa semua suara – instrumental maupun vokal– dapat dijabarkan dengan matematika, yaitu jumlah fungsi-fungsi Sinussederhana. Menurutnya, suara mempunyai 3 kategori – pitch, loudness danquality. Penemuan Fourier ini memungkinkan ketiga kategori tersebut digambardan dibedakan. Pitch terkait dengan frekuensi kurva, loudness terkait denganamplitudu dan quality terkait dengan bentuk dari fungsi periodik. Lewat motto“Angka adalah dewa”, Pythagoras mampu menggalang sejumlah pengikut.

Para pengikut Pythagoras (Pythagorean)Pythagoras barangkali dapat disebut sebagai pemikir new ages pada jamannya.Dia juga seorang orator ulung, intelektual terkenal sekaligus guru yangkharismatik. Semua itu membuat banyak orang ingin belajar darinya. Tidaklah

mengherankan apabila tidak lama kemudian dia mempunyai banyak pengikutdan disusul dengan mendirikan sekolah.Falsafah dasar yang paling penting bagi Pythagoras adalah: angka. Yunanimewarisi pemahaman tentang angka dari geometrik Mesir. Hasilnya, ahlimatematika Yunani tidak dapat membedakan antara bentuk (shapes) denganbilangan (numbers). Pada saat ini untuk membuktikan theorema matematikabiasa digunakan gambar-gambar yang digambar dengan menggunakan sejenispenggaris yang terbuat dari logam atau batu dan kompas.Nisbah-nisbah adalah kunci untuk memahami alam, Pythagorean danmatematikawan lebih modern menghabiskan banyak energi dengan menggalilebih dalam teori-teori mereka. Akhirnya mereka memilah proporsi ke dalamsepuluh kategori berbeda yang disebut dengan titik tengah harmonis (harmonicmeans). Salah satu dari titik tengah ini mengandung angka paling “cantik” didunia: nisbah emas (golden ratio). Tidak ada yang istimewa dari nisbah emas ini,tetapi sesuatu yang terinspirasi oleh nisbah emas tampaknya merupakan obyek-obyek yang sangat indah. Bahkan sampai saat ini, artis dan arsitek secara intuitifmengetahui bahwa obyek-obyek yang mengandung nisbah emas nampakartistik. Dan nisbah ini mempengaruhi banyak pekerjaan pada bidang seni danarsitektur. Parthenon, kuil Athena terbesar, dibangun dengan kaidah nisbahemas ada pada setiap aspek kontruksinya. Dalam pikiran Pythagorean, nisbahmengendalikan alam semesta dan berarti sahih bagi seluruh dunia Barat pula.

Cacat pada doktrin PythagoreanAngka nol tidak mendapat tempat dalam kerangka kerja Pythagorean. Angka noltidak ada atau tidak dikenal dalam kamus Yunani. Menggunakan angka noldalam suatu nisbah tampaknya melanggar hukum alam. Suatu nisbah menjaditidak ada artinya karena “campur tangan” angka nol. Angka nol dibagi suatuangka atau bilangan dapat menghancurkan logika. Nol membuat “lubang” padakaidah alam semesta versi Pythagorean, untuk alasan inilah kehadiran angka noltidak dapat ditolerir. Pythagorean juga tidak dapat memecahkan “problem” darikonsep matematika – bilangan irrasional, yang sebenarnya juga merupakanproduk sampingan (by product) rumus: a² + b² = c². Konsep ini juga menyerangsudut pandang mereka, namun dengan semangat persaudaraan tetap dijagasebagai sebuah rahasia. Rahasia ini harus tetap dijaga jangan sampai bocoratau kultus mereka hancur. Mereka tidak mengetahui bahwa bilangan irrasionaladalah “bom waktu” bagi kerangka berpikir matematikawan Yunani.Nisbah antara dua angka tidak lebih dari membandingkan dua garis denganpanjang berbeda. Anggapan dasar Pythagorean adalah segala sesuatu yangmasuk akal dalam alam semesta berkaitan dengan kerapian (neatness), proporsitanpa cacat atau rasional. Nisbah ditulis dalam bentuk a/b bilangan utuh, seperti:1, 2 atau 17, dimana b tidak boleh sama dengan nol karena dengan itu akanmenimbulkan bencana. Tidak perlu dijelaskan lagi, alam semesta tidak sesuaidengan kaidah tersebut. Banyak angka tidak dapat dinyatakan semudah itu kedalam nisbah a/b. Kehadiran angka irrasional tidak dapat dihindari lagi adalahkonsekuensi matematikawan Yunani.Persegi panjang adalah bentuk paling sederhana dalam geometri, tetapi

dibaliknya terkandung bilangan irrasional. Apabila anda membuat garis diagonalpada persegi panjang – muncul irrasional, dan kelak besarnya ditentukan olehakar bilangan. Bilangan irrasional terjadi dan akan selalu terjadi pada semuabentuk geometri. Contoh lain, segi tiga siku-siku dengan panjang kedua sisiadalah satu, dapat dihitung panjang sisi lain – dengan rumus Pythagoras, yaitu:v2. Sangatlah sulit menyembunyikan hal ini bagi orang yang paham geometridan nisbah.

Hippasus menyangkalRahasia ini akhirnya dibocorkan oleh seorang pengikut Pythagorean yangmerasa bahwa dia harus mengungkapkan kebenaran. Hippasus adalahmatematikawan yang menjadi murid sekaligus pengikut Pythagoras. Hippasusberasal dari Metapontan. Pengungkapan rahasia membuat dia dijatuhi hukumanmati. Cerita tentang bagaimana meninggalnya Hipassus ada berbagai versi.Beberapa mengatakan bahwa Hippasus ditenggelamkan di laut, sebagaikonsekuensi menghancurkan teori indah dengan fakta-fakta menyesatkan.Sumber lain menyebutkan bahwa para pengikut Pythagoras mengubur dia hidup-hidup. Lainnya menyebutkan bahwa Hippasus, dibuang atau diasingkan dalamruangan tertutup tanpa pernah bertemu orang lagi.Tanpa usaha mengklarifikasikan mana yang benar, namun yang jelaspengungkapan oleh Hippasus ini mengoncangkan fondasi-fondasi doktrinPythagoras. Dalam hal ini Pythagorean menanggap bahwa bilangan irrasionalhanya sebagai suatu perkecualian. Mereka tidak dapat membuktikan bahwabilangan irrasional mencemari pandangan mereka tentang alam semesta.

Meninggalnya PythagorasPara pengikut Pythagoras menyatakan bahwa guru mereka meninggal dengancara yang unik. Beberapa dari mereka menyatakan Pythagoras mogok makan,sebagian lagi menyatakan bahwa dia mengurung dan berdiam diri. Cerita lainmenyatakan bahwa konon rumahnya dibakar oleh para musuhnya (mereka yangmerasa tersingkirkan oleh kehadiran Pythagoras di tempat itu). Semuapengikutnya ke luar dari rumah terbakar dan lagi ke segala penjuru untukmenyelamatkan diri. Massa yang membakar rumah itu kemudian membantaipara pengikutnya (pythagorean) satu per satu. Persaudaraan sudahdihancurkan. Pythagoras sendiri berusaha melarikan diri tetapi tertangkap dandipukuli. Dia disuruh berlari di suatu ladang, namun mengatakan bahwa dia lebihbaik mati. Kemudian diambil keputusan bersama dan diputuskan: Pythagorasdihukum pancung di muka umum.Meskipun persaudaraan sudah bubar dan pemimpinnya terbunuh, esensi ajaranPythagoras terus bertahan sampai sekarang. Falsafah Barat banyak dipengaruhioleh pemikiran Pythagoras – seperti halnya doktrin Aristoteles, ternyata mampubertahan hampir 2 milenium. Angka nol dan bilangan irrasional bertentangandengan doktrin tersebut, tetapi memberi landasan bagi para matematikawanberikutnya agar memperhatikan angka nol dan bilangan irrasional.

*) Oktaf artinya 8 yaitu: nada dari 1(do) sampai 1 (do tinggi) atau dari C sampai C lagi

SumbangsihPenemuan Pythagoras dalam bidang musik dan matematika tetap hidup sampaisaat ini. Theorema Pythagoras tetap diajarkan di sekolah-sekolah dan digunakanuntuk menghitung jarak suatu sisi segitiga. Sebelum Pythagoras belum adapembuktian atas asumsi-asumsi. Pythagoras adalah orang pertama yangmencetuskan bahwa aksioma-aksioma, postulat-postulat perlu dijabarkanterlebih dahulu dalam mengembangkan geometri.Manfaat ini, kelak, membuat matematika tetap dapat digunakan sebagai alatbantu dalam melakukan perhitungan terhadap pengamatan terhadap fenomena-fenomena alam, setelah melalui pengembangan dan penyempurnaan oleh paramatematikawan setelah Pythagoras. Theorema Pythagoras mendasari adanyatheorema Fermat (tahun 1620): xn + yn = zn yang baru dapat dibuktikan oleh SirAndrew Wiles pada tahun 1994.

“Tujuan kehidupan adalah hidup selaras dengan alam”(“The goal of life is living in agreement with nature.”)

Zeno

Matematikawan bengal pencipta banyak paradoks

Zeno(490 – 435 SM)

RiwayatZeno dikenal banyak orang karena namanya tercantum pada halaman pertamabuku Parmenides karangan Plato. Diperkirakan bahwa saat itu Zeno berumur 40tahun, sedang Socrates masih remaja, kisaran usia 20 tahun. Denganmengetahui bahwa Socrates lahir pada 469 SM, maka diperkirakan Zeno lahirpada tahun 490 SM. Disinyalir bahwa Zeno mempunyai hubungan “khusus”dengan Parmenides. Catatan Plato menyebutkan adanya gosip bahwa merekasaling jatuh cinta saat Zeno masih muda, dan tulisan Zeno tentang paradoksdigunakan untuk melindungi filsafat Parmenides dari para pengkritiknya. Semuacatatan itu tidak pernah ada dan cerita itu dituturkan oleh tangan kedua. TulisanAristoteles yang terdapat pada Simplicius - terbit ribuan tahun setelah Zeno -digunakan sebagai acuan.Zeno dari Elea, lahir pada awal mulainya perang Persia – konflik antara Timurdan Barat. Yunani dapat menaklukkan Persia, tapi semua filsuf Yunani tidakpernah berhasil menaklukkan Zeno. Zeno mengemukakan 6 paradoks, teka-tekiyang tidak dapat dipecahkan oleh logika filsuf terkemuka Yunani saat itu.Paradoks yang dilontarkan Zeno membingungkan semua filsuf Yunani, namuntidak seorang pun dapat menemukan kesalahan pada logika Zeno. Paradoks inimenjadi sangat termasyur karena terus “mengganggu” pemikiran paramatematikawan; dan baru dapat dipecahkan hampir 2000 tahun kemudian. Darienam paradoksnya, yang paling terkenal, adalah paradoks lomba lari Achillesdan kura-kura.

Latar belakangParmenides menolak faham pluralisme dan realitas dalam berbagai macamperubahan: baginya segala sesuatu tidak dapat dibagi, realitas tidak berubah,dan hal-hal yang tampak dan berbeda hanyalah ilusi belaka, sehingga dapatdibantah dengan argumen/alasan. Tidak perlu disangsikan lagi, faham inimendapat banyak kritikan tajam.Tanggapan terhadap kritik Zeno memicu sesuatu yang lebih nyata, namunmampu memberi dampak mendalam bagi filsafat Yunani bahkan sampai saat ini.Zeno berusaha menunjukkan bahwa suatu kemustahilan diikuti oleh logika daripandangan Parmenides. Segala sesuatu dapat menjadi sangat kecil ataumenjadi sangat besar. Paradoks ini sebagai bukti kontradiksi atau kemustahilanakibat asumsi-asumsi yang (tampak) masuk akal. Apabila dilihat lebih dalammaka paradoks mengarah kepada target spesifik yaitu menyangkut lebih ataukurang: pandangan orang atau aliran pemikiran tertentu. Zeno – lewat paradoks -berusaha menyatakan bahwa alam semesta ini tidak berubah dan tidakbergerak.Mencoba menyingkap siapa yang menjadi target serangan Zeno relatif lebihmudah daripada mencoba memecahkan paradoksnya. Tahun kelahiran Zeno,menunjuk bahwa dunia remajanya dipenuhi dengan pandangan Pythagoras (580– 475 SM) dan para pengikutnya (pythagorean). Tampaknya doktrinPythagorean mau diserang Zeno, meskipun dugaan ini masih terlampau diniuntuk disebut karena topik ini masih menjadi ajang perdebatan sampai sekarang.Paradoks Zeno mengungkapkan problem-problem yang tidak dapat diselesaikanoleh semua teknik matematika yang tersedia pada saat itu. Penyelesaianparadoks Zeno baru dimulai pada abad 18 (atau lebih awal dari itu). Paradoks itumampu merangsang otak-otak kreatif matematikawan dan memberi warna padasejarah perkembangan matematika.

Matematikawan “hitam”Zeno (490 – 435 SM) dari Alea dan Eudoxus (408 – 355 SM) dari Cnidusmenghadirkan pertentangan dua kubu pemikiran matematika: penghancurankritikal dan pengembangan kritikal. Pertentangan kedua pemikiran ini layakdisebut dengan ajang pertempuran logika antara matematikawan “hitam” danmatematikawan “putih.”Duel “aliran” tidak hanya terjadi pada jaman kuno, matematikawan modern jugamengekor atau menjadi pengikut salah satu idola mereka.Penghancuran kritikal seperti pemikiran Zeno diteruskan oleh Kronecker (1823 –1891) dan Brouwer (1881 - 1966), sedangkan pemikiran Eudoxus diteruskanoleh Weierstrass (1815 – 1897), Dedekind (1831 – 1916) dan Cantor (1845 –1918).

Paradoks ZenoAda 4 paradoks Zeno yang terkenal, meskipun yang paling terkenal adalahparadoks kedua, perlombaan lari Archilles dan kura-kura.

1. DikhotomiParadoks ini dikenal sebagai “dikhotomi” karena selalu terjadi pengulanganpembagian menjadi dua. Gerak adalah tidak dimungkinkan, sebab apapun yangterjadi gerak harus mencapai (titik) tengah terlebih dahulu sebelum mencapai(titik) akhir; tapi sebelum mencapai titik tengah terlebih dahulu mencapaiseperempat dan seterusnya, suatu ketakterhinggaan. Jadi, gerak tidak akanpernah ada bahkan pada saat untuk memulainya.

2. Perlombaan lari Achilles dan kura-kuraAchilles - kesatria pada perang Troya, mitologi Yunani, berlomba lari dengankura-kura, tetapi Achilles tidak dapat mengalahkan kura-kura yang berjalan lebihdahulu. Untuk memudahkan penjelasan, maka diberikan ilustrasi denganmenggunakan angka pada paradoks ini.Bayangkan: Achilles berlari dengan kecepatan 1 meter per detik, sedangkankura-kura selalu berjalan dengan kecepatan setengahnya, ½ meter per detik,namun kura-kura mengawali perlombaan dari ½ jarak yang akan ditempuh(misal: jarak tempuh perlombaan 2 km, maka titik awal/start kura-kura beradapada posisi 1 km, sedang Archilles pada titik 0 km). Kura-kura berjalan begituAchilles mencapai tempatnya. Begitu Achilles mencapai posisi 1 km, kura-kuraberada pada posisi 1,5 km; Achilles mencapai posisi 1,5 km, kura-kura mencapaiposisi 1,75; Achilles mencapai posisi 1,75 km, kura-kura mencapai posisi 1,875km. Pertanyaannya adalah kapan Achilles dapat menyusul kura-kura?.

3. Anak panahAnak panah bergerak (karena dilepaskan dari busur) pada waktu tertentu, diammaupun tidak diam. Apabila waktu tidak dapat dibagi, panah tidak akanbergerak. Apabila waktu kemudian dibagi. Tetapi waktu juga tersusun dari setiap(satuan) saat. Jadi panah tidak dapat bergerak pada suatu saat tertentu, tidakdapat bergerak pula pada waktu. Oleh karena itu anak panah selalu diam.

4. StadionParadoks tentang gerakan urutan orang duduk di dalam stadion. Urutan [AAAA]yang diam diperbandingkan dengan urutan bergerak pada tempat duduk stadiondari dua arah yang berlawanan, [BBBB]: urutan orang yang bergerak ke kiri dan[CCCC]: urutan orang duduk yang bergerak ke kanan.

Paradoks tentang stadion ini dapat digambarkan sbb.:AAAA: urutan berhentiBBBB: urutan bergerak ke kiriCCCC: urutan bergerak ke kananSemuanya bergerak dengan kecepatan tetap/sama.

Posisi I Posisi II

A A A A A A A AB B B B B B B BC C C C C C C C

Posisi I:Urutan duduk AAAA, BBBB dan CCC terletak rapi, baris dan kolom sama.Gerakan dimulai, dengan kecepatan sama, urutan BBBB dan urutan CCCCbergerak. Urutan B paling kiri melewati 2 orang: C paling kiri dan A paling kiri.Jarak B paling kiri dengan C paling kiri adalah 2 kali jarak B paling kiri dengan Apaling kiri, dengan waktu yang sama.Zeno mempertanyakan mengapa dengan waktu yang sama dan kecepatan samaada perbedaan jarak yang ditempuh?

Pemecahan modernSemua orang tahu bahwa dalam dunia nyata, Achilles pasti dapat menyusulkura-kura, namun dari argumen Zeno, Achilles tidak akan pernah dapatmenyusul kura-kura. Para filsuf jaman itu pun tidak mampu membuktikanparadoks tersebut, walaupun mereka tahu bahwa kesimpulan akhirnya adalahsalah. “Senjata” filsuf hanya logika, dan deduksi tidaklah berguna dalam kasusini. Semua langkah tampaknya masuk akal, dan jika semua prosedur sudahdijalani, bagaimana kesimpulan yang didapat ternyata salah?Mereka terperangah dengan problem tersebut, tetapi tidak memahami akarpermasalahan: ketakterhingga (infinite). Hal ini sama dapat terjadi apabila andamembagi sebuah mata uang menjadi 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64 danseterusnya sampai tidak terhingga tetapi hasilnya akhirnya jelas, yaitu: tetap 1mata uang. Matematikawan modern menyebut fenomena ini dengan istilah limit;angka 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128 dan seterusnya mendekati angka 0sebagai titik akhir (limit).Angka berurutan dengan pola tertentu sampai tidak mempunyai batas akhir;mereka makin kecil dan bertambah kecil sampai tidak dapat dibedakan lagi.Orang Yunani tidak mampu menangani ketakterhinggaan. Mereka berpikir kerastentang konsep kosong (void) tetapi menolak (angka) 0 sebagai angka. Hal inipula yang membuat mereka pernah dapat menemukan kalkulus.

Dua paradoks tambahanTidak puas dengan empat paradoks yang dilontarkan. Zeno menambahkan duaparadoks lain yang tidak kalah rumitnya.

5. Paradoks tentang tempatParadoks ini cukup singkat, sehingga Zeno sulit menjelaskannya. Secara garisbesar dapat disederhanakan sbb.: keberadaan segala sesuatu benda (misal:batu) adalah suatu tempat tertentu (misal: meja), sedangkan tempat tertentuitupun (meja) memerlukan suatu tempat (misal: rumah) dan seterusnya sampaiketakterhinggaan.

6. Paradoks tentang bulir gandumApabila anda menjatuhkan sebuah karung berisi gandum yang belum dikupaskulitnya akan terdengar suara keras; tetapi suara itu adalah akibat gesekan bulir-bulir gandum dalam karung; akibatnya setiap bagian dari bulir-bulir gandummenimbulkan suara saat jatuh ke tanah. Kemudian pertimbangkanlahmenjatuhkan setiap bagian dari bulir gandum itu; kita semua tahu bahwa tidakada suara yang terdengar.

Zeno boleh mati, tetapi paradok tetap hidupKarena kecerdikan sendiri, Zeno akhirnya menghadapi problem serius. Sekitartahun 435 SM, dia bersekongkol untuk mengulingkan tirani Elea saat itu,Nearhus. Zeno membantu menyelundupkan senjata dan mendukungpemberontakan. Sialnya, Nearchus mengetahui skenario itu, dan Zeno akhirnyaditangkap. Berharap dapat mengungkap konspirasi itu, Zeno disiksa. Tidak tahanoleh siksaan, Zeno menyuruh para penyiksanya untuk menghentikan siksaandan dia berjanji akan menyebutkan nama rekan-rekannya.Ketika Nearchus mendekat, Zeno meminta agar tiran itu lebih mendekat lagikarena dia akan menyebutkan nama-nama komplotan rahasia itu langsung ditelinga Nearchus. Setelah telinga ada dalam jangkauan, tiba-tiba Zeno menggigittelinga Nearchus. Nearchus menjerit-jerit kesakitan, namun Zeno menolak untukmelepaskan gigitannya. Para penyiksanya hanya dapat melepaskan gigitan Zenodengan jalan menusuk mati Zeno. Ini adalah akhir hayat, pencipta paradoks atauguru ketakterhinggaan.

SumbangsihJasa Zeno paling besar adalah pengaruhnya bagi filsafat. Sasaran ‘tembak’ Zenoadalah pluraliti dan gerak – sesuatu ditanamkan pada opini-opini geometrikalyang lazim dikenal – selain akal sehat, menyerang doktrin-doktrin Pythagorean,ternyata mampu memberi inspirasi para teori relativitas (paradoks keempat) danfisika quantum. Kenyataannya ruang dan waktu bukanlah struktur matematikautuh (continuum). Alasan bahwa ada cara untuk melestarikan realitas gerakmengingkari bahwa ruang dan waktu terbentuk dari titik-titik dan saat-saat.Paradoks ini sangat terkenal, terutama paradoks Archilles dan kura-kura, kelakdipecahkan oleh Cantor. Hampir seluruh buku matematika mencantumkan namaZeno pada indeksnya. Paradoks tidak hanya merupakan pertanyaan terhadapmatematika abstrak tetapi juga pada realitas fisik. Memperkecil skala sepertihalnya paradoks bulir gandum, sampai tidak dapat dibagi memicu orang“membedah” suatu benda sampai tingkat atom.

Archytas(428 – 347 SM)

Setelah Pythagoras meninggal, tidak ada lagi peninggalan tersisa dalam bentukkarya-karya tertulis, namun ide-ide besar dibawa oleh para murid-muridnya.

Mereka yang lolos dari pembantaian membawa doktrin-doktrin ajaran tersebut kebagian wilayah lain Yunani. Salah seorang pengungsi ini adalah Philolaus dariTarentum. Fanatisme para pengikut Pythagoras (Pythagorean) ditularkan olehPhilolaus lewat bentuk tetractyis (segi lima), sama seperti ajaran Pythagorastentang kosmologi.

Gambar: segi lima

Pandangan ini disebut dengan Philolean, kemudian dimodifikasi olehpengikutnya: Ecphantus dan Hicetas yang mencetuskan geosentris (pandanganbahwa bumi sebagai pusat alam semesta). Dan yang paling ekstrim darimodifikasi Philolean dilakukan oleh Archytas, murid Philolaus.Archytas melanjutkan tradisi Pythagorean dengan menempatkan aritmatika diatas geometri, tetapi dia tidak lagi terlalu antusias terhadap angka. Angka tidaklagi dianggap religius dan mistikal dibandingkan dengan gurunya. Dia menulisaplikasi aritmatika, geometri dan musik. Pernyataan paling penting dari Archytasadalah nisbah dua bilangan n : (n+1), disebutkan bahwa hasilnya bukanlahinteger tetapi titik geometri. Archytas lebih banyak berkutat di bidang musikdibandingkan dengan para pendahulunya.

Kurikulum ArchytasArchytas menempatkan posisi matematika sebagai kurikulum pendidikan denganmembagi menjadi 4 kelompok, yaitu:- Aritmatika- Geometri- Musik- AstronomiDigabungkan dengan 3 obyek yang terus dipelajari dari Aristoteles hingga Zeno,yaitu:- Tata bahasa- Retorik (keahlian berpidato)- Dialektik (terkait dengan dialek)

Tiga-dimensi versi ArchytasHal lain tentang Archytas adalah memberikan solusi tiga-dimensi yang dalambahasa modern disebut dengan geometri analitik, notasi akar yang digunakanuntuk menuntaskan “keterbatasan” rumus Pythagoras. Solusi tiga-dimensiArchytas digunakan untuk menyelesaikan problem Delian yang barangkalimudah untuk diuraikan tetapi lebih sering disebut mendahului jamannya. Misal: aadalah sisi sebuah kubus, dan titik (a, 0, 0) adalah titik pusat bidang yang salingbersilangan secara tegak lurus dengan lingkaran berjari-jari a terletakdidalamnya yang tegak lurus dengan koordinat. Persamaan dengan tiga sisi x² =y² + z² dan 2 ax = x² + y² dan (x² + y² + z²)² = 4a²(x² + y²). Ketiga bidang salingbersinggungan/berpotongan pada sumbu x pada titik a ³√12; merupakan,panjang potongan garis pada kubus. Prestasi Archytas lebih impresif saat kita

melihat bahwa solusi yang diberikan tanpa menggunakan bantuan sistemkoordinat.

SumbangsihSolusi tiga-dimensi dari Archytas mampu memberi gambaran awal tentangterjadinya sistem ordinat dan absis (Kartesian), meskipun di sini sudahmembahas tiga-dimensi yang dapat dikatakan sebagai non-Euclidian. Padamasa Euclidian dianggap salah, namun dengan tampilnya non-Euclidian makinlengkaplah [peralatan] matematika agar mempunyai kemampuan menyelesaikanproblem-problem yang dihadapi sehari-hari. Kelak sistem ini dikembangkan lebihjauh oleh Lobachevsky, Bolyai, Riemann dan menjadi dasar teori relativitas dariEinstein, karena ternyata Euclidian sudah tidak mampu lagi digunakan untukmenggambarkan fenomena yang terjadi. Memasukkan musik dalam kurikulumdapat disebut salah satu jasanya, sekaligus menjadi bukti bahwa musik tidakjauh berbeda dengan matematika.

Eudoxus(408 – 355 SM)

RiwayatEudoxus adalah anak Arsghnes lahir di Cnidus, Asia kecil (sekarang Turki). Diapergi ke Tarentum, Italia untuk belajar pada Archytas *. Archytas adalah salahseorang pengikut Pythagoras (pythagorean). Problem menggandakan kubus(problem klasik) yang “menyihir” Archytas juga menarik hati Eudoxus, selainmempelajari teori angka dan teori musik.Bosan menetap di satu tempat, Eudoxus pergi ke Sisilia, dan belajar obat-obatanpada Philiston, sebelum menuju Athena bersama-sama dengan fisikawan masaitu, Theomedon. Selama 2 bulan di Athena, Eudoxus secara teratur mengikutikuliah Plato dan filsuf-filsuf lain pada akademi Plato.Tidak lama meninggalkan Athena, dia menghabiskan beberapa tahun di Mesiruntuk belajar astronomi pada pendeta-pendeta Heliopolis. Tidak betah, diapulang ke tanah kelahirannya, Cyzidus di bagian barat laut Asia kecil, selatanlaut Maruma. Di sini dia mendirikan sekolah yang sangat terkenal danmempunyai banyak pengikut. Tahun 368, Eudoxus berkunjung kembali keAthena bersama beberapa pengikutnya.

Hubungan dengan PlatoEudoxus adalah teman sekaligus murid Plato. Eudoxus memperluas jangkauanmenghitung luas bentuk-bentuk geometri dengan menggunakan pertambahanangka-angka yang sangat kecil (infitesimal). Dia terlalu miskin untuk belajar diakademi Athena, sehingga di tinggal di Piraeus, dan setiap hari dia berangkat keakademi Plato.** Meskipun Plato bukan seorang matematikawan, Plato mencobamenekuni matematika atas dorongan murid berbakatnya ini, Eudoxus.Eudoxus menjelajah Mesir dan Yunani untuk belajar Geometri. Eudoxusmenemukan “metode makin lama makin kecil”, untuk menghitung luas bentuk-

bentuk geometri. Sebagai contoh, dia menghitung luas lingkaran denganmenjumlah luas segi empat-segi empat kecil, yang lebih mudah dihitung luasnya.Cara yang mirip juga digunakan Archimedes untuk menghitung besar ? (pi),namun dengan menggunakan seni enam bukan segi empat. Methode inisekarang dipakai dalam integral kalkulus.

Teori PlanetEudoxus juga menciptakan teori tentang planet, yang sangat terkenal danditerbitkan dalam buku On Velocities yang sekarang tidak diketahui rimbanya.Barangkali pengaruh Pythagoras masih kental lewat gurunya, Archytas. Tidaklahmengherankan dia mengembangkan sistem yang didasarkan pada silindermengikuti Pyhtagoras bahwa silender adalah bentuk paling sempurna. Banyakpemerhati percaya bahwa Plato mendapat inspirasi dari Eudoxus tentanggerakan planet.

* Archytas (428 – 347 SM) dari Tarentum adalah murid Philolaus yang menjadipendukung filosofi Pythagoras bahwa matematika adalah jalan untuk memahamisegala sesuatu.** Ada dugaan Eudoxus dan Plato tidak cocok. Barangkali karena kemampuananalitis Eudoxus sebagai matematikawan lebih tinggi dari Plato. Tentangpemikiran keduanya tidak jelas, siapa memberi pengaruh kepada lainnya.

SumbangsihEudoxus mengembangkan teori proporsi. Kelak, teori proporsi dari Eudoxusmasuk pada bab V, buku Elements dari Euclid. Pada masa ini Eudoxus sudahmembuat difinisi tentang prakiraan panjang suatu bilangan irrasional denganmethode perkalian silang (cross multiplying), dimana cara ini masih dipakaisampai sekarang.

Menaechmus(380 – 320 SM)

RiwayatDisebutkan bahwa Menaechmus adalah murid Eudoxus yang lahir diAlopeconnesus, Asia kecil (sekarang Turki). Tempat kelahiran itu letaknya tidakjauh dari Cnidus, tempat Eudoxus bermukim dan berkarya. Ada yangmenyimpulkan bahwa Menaechmus adalah pembimbing (tutor) dari AlexanderAgung karena profesi sehari-harinya adalah sebagai kepala sekolah di Cnidus.Menaechmus dikenal karena penemuannya tentang potongan-potongan kerucutdan dia pula yang pertama kali menunjukkan bahwa bentuk elips, parabola danhiperbola diperoleh dengan memotong kerucut - sebagai sebuah ruang - tidaksejajar dengan dasar kerucut. Istilah parabola dan hiperbola tidak dikenal saat inidan baru dinamai oleh Apollonius, meskipun ada bukti yang menyebutkan bahwaistilah parabola dan hiperbola usianya lebih tua dari Apollonius.

Potongan kerucutPotongan-potongan kerucut penemuan Menaechmus ditemukan secara tidaksengaja ketika dia berusaha menyelesaikan problem dalam perbandingan(nisbah) antara dua garis lurus. Hasilnya adalah menyelesaikan problemduplikasi kubus dengan menggunakan potongan-potongan kerucut. Misal:diketahui garis lurus dengan ujung a dan b; kita ingin mencari perbandingan titik-titik x dan y yang terletak diantaranya:

a : x = x : y = y : b diperoleh a/x = y/b → xy = ab

Perhatikan nilai x dan y ditemukan dari titik-titik potong parabola: x² = ay danhiperbola tegak lurus xy = ab. Di sini tidak tampak upaya Menaechmusmenyelesaikan problem, namun di sini ditampilkan pula istilah modern tentangbagaimana parabola dan hiperbola mampu menjadi solusi bagi problemmatematika.

Perhatikanlah:a/x = x/y → x² = ay; dan x/y = y/b → y² = bx

Dapat diketahui nilai x dan y adalah titik-titik potong dua parabola x² = ay dan y²= bx.

SumbangsihPenemuan tidak sengaja potongan-potongan kerucut dari Menaechmus kelakmendasari [Blaise] Pascal untuk menjabarkan lebih lanjut dengan bentuk-bentukelips, parabola dan hiperbola. Penjabaran dan pengambaran bentuk geometrilewat persamaan adalah suatu hal baru. Titik-titik potong pada parabola danhiperbola kelak “disederhanakan” oleh Descartes.

“Tidak ada jalan mulus mempelajari geometri”(“There is no royal road to geometry”)

Euclid

Pemberi dasar bahwa matematika adalah ilmu yang perlu pembuktian

Euclid(325 – 265 SM)

RiwayatTidak lama Pythagoras meninggal, lahirlah Euclid. Pada era ini matematika lebihdikenal sebagai sains dan kurang mistik. Theorema-theorema baru ditambahkan:kurva-kurva, lingkaran-lingkaran dan bentuk-bentuk lain dipelajari sama halnyaseperti garis lurus dan bidang–bidang datar. Tahun yang disebut di atas hanyaprakiraan karena tidak adanya sumber yang layak dipercaya. Ada sumber yangmenyebutkan Euclid hidup antara tahun 330 - 275 SM.

Lembaga yang menaungi pembelajaran saat itu adalah akademi Plato. Masakeemasan Yunani dan kebebasan berekspresi membuat pemikir-pemikir barubermunculan. Didirikan pada 380 SM, lolos dari invasi-invasi yang datang silihberganti, hidup dalam suksesi banyak tiran dan menjadi saksi keruntuhan duakebudayaan besar – Yunani dan Romawi – sebelum akhirnya ditutup pada abadkeenam oleh kaisar Justinian.Euclid diperkirakan belajar pada akademi Plato ini sebelum diangkat menjadipengajar matematika di tempat yang sama. Ada cerita Euclid masih mengajar diakademi ini ketika Alexander Agung menyatakan misinya untuk menaklukkandunia. Yunani, bersama Mesir dan Mediterian dan negara-negara di kepulauanYunani ditaklukkan oleh angkatan perang Macedonian. Pada tahun 332 SM,Alexander Agung menetapkan ibukota negara di Alexandria, Mesir dan sembilantahun kemudian ia meninggal pada usia 33 tahun. Tahta diberikannya kepadajendral Ptolemy atau Claudius Ptolemaeus.

Universitas PtolemyPtolemy - orang terpelajar *, membangun bukan saja suatu dinasti, mencakupsalah satu keturunannya yang sangat terkenal, Kleopatra, tetapi juga mendirikanuniversitas yang lebih besar dari akademi Plato dan mengundang Euclid untukmengajar di sana. Di tempat baru ini, Euclid merintis pengajaran matematika dantinggal di sana sampai akhir hayatnya. Sebagai seorang guru, dia barangkalisalah satu mentor Archimedes.Ada legenda yang menceritakan bahwa anak Ptolemy bertanya kepada Euclidapabila ada cara mudah belajar geometri dengan mempelajari semua preposisi.“Tidak ada cara mulus mempelajari geometri,” adalah jawaban Euclid sambilmenyuruh pangeran kembali membaca buku geometri. Jawaban ini menjadikutipan (quotation) terkenal dari Euclid.Euclid meninggal namun universitas Ptolemy di Alexandria terus berjalan. Salahsatu murid terbesarnya – tanpa mengesampingkan teman sesama mahasiswa,adalah Archimedes. Orang Yunani dari Syracuse yang menimba ilmu diuniversitas, dimana salah satu pengajarnya adalah Euclid.

Pribadi EuclidEuclid dapat disebut sebagai matematikawan utama. Dia dikenal karenapeninggalannya berupa karya matematika yang dituang dalam buku TheElements sangatlah monumental. Buah pikir yang dituangkan ke dalam bukutersebut membuat Euclid dianggap sebagai guru matematika sepanjang masadan matematikawaan terbesar Yunani.Pribadi Euclid digambarkan sebagai orang yang baik hati, jujur, sabar dan selalusiap membantu dan bekerjasama dengan orang lain. Banyak theorema-theorema yang dijabarkannya merupakan hasil karya pemikir-pemikirsebelumnya termasuk Thales, Hippokrates dan Pythagoras.Banyak informasi salah tentang Euclid. Ada yang menyebutkan bahwa diaadalah anak Naucrates yang lahir di Tyre. Informasi lain mengemukakan bahwadi lahir di Megara. Memang ada nama yang sama, Euclid dan lahir di Megara,tetapi hal itu terjadi 100 tahun sebelum kelahiran Euclid dan profesi Euclid dari

Megara adalah filsuf. Euclid sendiri lahir di Alexandria. Kesalahan nama inijamak terjadi karena pada masa itu banyak orang bernama Euclid.

Karya besar EuclidThe Element dapat dikatakan karya fenomenal pada jaman itu. Terdiri dari 13buku yang tersusun berdasarkan tema dan topik. Setiap buku diawali dengandifinisi, postulat (hanya untuk buku I), preposisi, theorema sebelum ditutupdengan pembuktian dengan menggunakan difinisi dan postulat yang sudahdisebutkan. Buku ini ke luar Yunani tahun 1482, diterjemahkan ke dalam bahasaLatin dan Arab, serta menjadi buku teks geometri dan logika pada awal tahun1700-an. Garis besar isi masing-masing buku.

Buku I : Dasar-dasar geometri: teori segitiga, sejajar dan luasBuku II : Aljabar geometriBuku III : Teori-teori tentang lingkaranBuku IV : Cara membuat garis dan gambar melengkungBuku V : Teori tentang proporsi-proporsi abstrakBuku VI : Bentuk yang sama dan proporsi-proporsi dalam geometriBuku VII : Dasar-dasar teori angkaBuku VIII : Proporsi-proporsi lanjutan dalam teori angkaBuku IX : Teori angkaBuku X : KlasifikasiBuku XI : Geometri tiga dimensiBuku XII : Mengukur bentuk-bentukBuku XIII : Bentuk-bentuk tri-matra (tiga dimensi)

Euclid mencetuskan 5 postulat yang kemudian menjadi pokok bahasan. Agartidak terjadi salah interpretasi, maka postulat kelima juga disajikan dalam bahasaInggris. Hal ini disengaja, karena munculnya geometri non-Euclidian, dirintis olehGauss, diawali dengan menganggap postulat kelima salah total..

1. Garis lurus dapat digambar dari (sembarang) titik sampai (sembarang) titiklainnya.2. Ujung garis lurus dapat dilanjutkan terus sebagai garis lurus.3. Lingkaran dapat digambar dari sembarang titik pusat dan dengan jari-jariberbeda.4. Semua sudut-sudut di sisi kanan besarnya sama dengan sisi lainnya.5. Apabila garis lurus terpotong menjadi dua garis lurus, menyudut di sisi dalampada kedua garis pada sisi yang sama daripada dua sudut yang sejajar, jikaditeruskan sampai ke (titik) tak terhingga, akan berpotongan pada sisi dimanasudutnya lebih kecil dibandingkan sudut yang terbentuk dari dua garis.(If a straight line falling on two straight lines makes the interior angles on thesame side together less than two right angles, the two straight lines, if producedindefinitely, meet on that side on which the angles are together less than tworight lines)

Theorema-theorema pada Elements adalah kompilasi karya paramatematikawan sebelumnya – Pythagoras, Eudoxus, Menaechunus,Hippocrates, menampilkan pembuktian-pembuktian kuno dengan menggantidengan baru dan disederhanakan. Element menjadi – dan abadi – buku teksbaku dalam geometri. Saat mesin cetak ditemukan, buku ini termasuk bukupertama yang dicetak.Euclid mencoba memecahkan problem irrasional yang membuat Pythagorasputus-asa. Dengan menggunakan contoh segitiga siku-siku dengan panjangkedua sisinya 1, maka sisi panjang segitiga adalah x² = 2. Euclid membuatasumsi bahwa solusinya dapat ditemukan. Solusi versi Euclid hanyamenyebutkan bahwa v2 adalah (bilangan) irrasional yang artinya bilangantersebut tidak dapat dibuat nisbah (ratio), bukan karena bilangan tersebut“kurang waras.” Rasanya ketiga-belas buku dan “kandungan” lima postulat sulitdibantah. Ternyata ada ‘cacat’ pada postulat kelima.

Cacat pada postulat EuclidSemua postulat membawa apa yang disebut dengan pembuktian diri (self-evidence). Postulat kelima dibuktikan oleh Euclid tanpa memberikan carapembuktian. Upaya pertama untuk membuktikan postulat kesejajaran inidilakukan oleh Girolamo Saccheri, pendeta Jesuit berkebangsaan Italia, yangmendukung Euclid dengan menerbitkan buku berjudul Euclides ab omni naevovindicatus (“Euclid bebas dari semua kesalahan”) pada tahun 1733. Bukutersebut tidak dapat menuntaskan kesalahan Euclid. Matematikawan terkemukaJerman, Gauss, pertama kali menemukan kesalahan postulat kelima tapi maluuntuk mempublikasikannya sehingga kehormatan diberikan kepada duamatematikawan lain yang mengungkapkannya dengan cara penemuan Gauss.Janos Bolyai dari Hongaria dan Nicolai Lobachevsky secara terpisah mampumembuktikan cacat postulat kelima Euclid dengan cara berbeda pula.Penemuan kesalahan ini membuat berkembangnya geometri model baru. Dirintisoleh Beltrami dari Italia, disusul Cayley dari Inggris, Poincare dari Perancis danFelix Klein dari Jerman. Terakhir, dirombak, diubah dan dilakukan penyesesuaikecil terhadap postulat-postulat Euclid oleh [Bernhard] Riemann dari Jermansehingga muncul bentuk-bentuk baru: hiperbola, parabola, ellips yangmerupakan jawaban bahwa alam semesta bukanlah pengikut aliran Euclid (non-Euclidian).

Tiga problem matematika klasikPara matematikawan sejak dahulu berkutat dengan tiga problem yang tidakdapat dipecahkan pada saat itu. Memang ketiga problem itu menjadi mudahsetelah ada “campur-tangan” pada matematikawan modern yang terusmenyempurnakan alat-alat matematika. Adapun ketiga problem ini adalah:

1. Persamaan pangkat 3

4x³ - 3x - a = 0

a adalah angka tertentu. Saat itu Yunani tidak mengenal pangkat tiga (kubik).Dengan penggaris dan kompas mereka hanya mampu menyelesaikanpersamaan linier (pangkat 1) dan persamaan kuadrat (pangkat 2).

2. Menggandakan kuadrat

2x³ = y³ atau x³ = 2.

Problem yang tidak dapat dipecahkan terjadi karena sebuah legenda. BangsaAthena, menurut cerita, konsultasi dengan Orakel (tempat dibangun kuil dandewa bersabda) sebelum melakukan kampanye perang dan dijawab bahwauntuk mempertahankan kejayaan mereka harus menggandakan lebar altarpemujaan terhadap Apolo (Anak Zeus yang dipercayai oleh ayahnya untukmenyingkapkan keputusan-keputusan ayahhandanya untuk umat manusia),yang berbentuk kubus. Mereka segera membuat altar dengan dua kali panjang,dua kali lebar dan dua kali tinggi dibanding altar aslinya.Percaya bahwa mereka sudah memenuhi keinginan Oracle, mereka denganpenuh percaya diri menuju perang – dan kalah. Ternyata, mereka membuat altardelapan kali besarnya, bukan 2 kali.

3. Menggambar lingkaran.Karena tidak ada alat yang tersedia, pada saat itu, tidaklah dimungkinkanmenggambar lingkaran bahkan dinyatakan dalam bentuk persamaan aljabar.Problem menyangkut menentukan besaran p (pi), nisbah antara lingkaran dandiameter. Kendala datang dari p yang merupakan bilangan irrasional sekaligustransendental (= bukan bilangan yang dapat diekspresikan dalam aljabar. Sulit‘memahami alam tanpa kehadiran bilangan ini. Ada 2 bilangan transendentalyang terkenal: p dan e).

Ketiga problem klasik ini akan selalu membayangi kiprah para matematikawan.Tidak terkecuali Euclid, tanpa pernah dapat menyelesaikan. Matematikawanberikutnya akan selalu menghadapi dan berupaya memecahkan problemtersebut. Penyelesaian suatu problem berarti nama baik sekaligus prestasi.Tidak jarang terjadi kecurangan, saling “curi” ide, penghianatan. Dan hal iniselalu terjadi di jaman dulu sampai jaman sekarang. Banyak contoh dapat dibacapada riwayat-riwayat para matematikawan selanjutnya.

Euclid dan bilangan primaEuclid, seperti matematikawan jaman sekarang, mempelajari bilangan prima,mencari untuk menentukan bilangan mana yang masuk kategori prima ataubukan. Euclid tidak pernah dapat menentukan bilangan prima, tetapi dia mampumemberikan jawaban tentang bilangan prima: bilangan prima itu tidak terhingga.Anak SD sekarang sudah terbiasa dengan bilangan prima. Dari angka 2 sampaidengan 50 terdapat 15 bilangan prima (2, 3, 5, 7, 11, 13, `7, `9, 23, 29, 31, 37,41, 43, 47) ; dari 50 sampai dengan 100 hanya 10 bilangan prima.Euclid membuat pernyataan: jika bilangan prima terbesar adalah n, maka pasti

ada bilangan > n, di mana dapat dicari dengan menggunakan 1 x 2 x 3 danseterusnya sampai n, kemudian ditambah 1 untuk mendapatkan hasilnya. Simbolmatematika untuk mengekspresikan adalah n! + 1 (n faktorial ditambah 1).

Kondisi sekarangApabila dahulu Euclid dipuja, sekarang keadaan berbalik. Banyak pengikutnyamulai “menyerang” Euclid dengan menyebut dia terlalu arogan dan memaksakansuatu pembuktian yang dibuatnya selalu benar, misalnya: salah satu sisi segitigatidak akan lebih panjang daripada jumlah kedua sisi lainnya. Matematikawanmodern mengkritik Euclid dari sudut pandang lain, yaitu: Euclid tidak cermatdalam melakukan pembuktian. Terdapat beberapa kesalahan dan ide-ide yangtidak dapat dipertanggungjawabkan. Yang paling mencolok adalah postulatkelima yang juga lazim disebut dengan postulat kesejajaran.Para matematikawan berikutnya tidak dapat menerima pernyataan-pernyataan(postulat) yang tidak dapat dibuktikan itu. Kemudian, muncul geometri non-Euclidian yang menggantikan postulat-postulat itu dengan pernyataan yangdapat diterima umum.

Masa tua EuclidPindah untuk mengajar di Alexandria yang lebih kosmopolitas, modern tidakmembuat Euclid gembira dibandingkan tinggal di kota-kota di Yunani yang makinlama makin sepi. Di sini dia melihat aplikasi matematika. Pompa air, air terjunbuatan bahkan motor yang digerakkan tenaga uap tidak memberi maknakehidupan bagi Euclid. Ia lebih suka matematika untuk dipelajari bukan untukaplikasi. Euclid meninggal di Alexandria.

* Seorang astronomer yang menghitung gerakan bumi, bulan dan matahari.Perhitungan ini kelak akan disempurnakan oleh Newton.

SumbangsihFormat yang dibuat Euclid membantu terjadi standarisasi matematika Yunani.Subyek-subyek yang dibahas oleh Euclid mencakup bentuk-bentuk, theoremaPythagoras, persamaan dalam aljabar, lingkaran, tangen, geometri ruang, teoriproporsi, bilangan prima, bilangan sempurna, integer positif, bilangan irrasional,gambar tri-matra (tiga dimensi). Euclid meninggalkan warisan yang berguna bagipengembangan matematika.Kompilasi hasil-hasil karya matematikawan sebelumnya lewat buku Elements,menunjukkan “benang merah” bahwa pengembangan matematika tidak lepasdari peran pemikir Yunani. Kritik terhadap Euclid justru memicu munculnya non-Euclidian yang melengkapi bahasan Euclid. Bentuk parabola, hiperbola dan elipsmulai mendapatkan perhatian dari para matematikawan.

“Berikan saya tempat untuk berdiri dan

saya akan mengangkat bumi”(“Give me a place to stand on and I will move the earth”)

Archimedes

Apabila Matematikawan dan fisikawan ikut perang

Archimedes(287 – 212 SM)

RiwayatArchimedes adalah seorang arsitokrat. Archimedes adalah anak astronomPheidias yang lahir di Syracuse, koloni Yunani yang sekarang dikenal dengannama Sisilia. Dia mempunyai hubungan keluarga dengan tiran (raja) Hieron IIyang berkuasa di Syracuse pada jaman itu. Archimedes berteman denganGelon, anak Hieron II, dimana keduanya adalah matematikawan andalan raja.Membicarakan Archimedes tidaklah lengkap tanpa kisah insiden penemuannyasaat dia mandi. Saat itu dia menemukan bahwa hilangnya berat tubuh samadengan berat air yang dipindahkan. Dia meloncat dari tempat mandi dan berlariterlanjang di jalanan Syracuse sambil berteriak “Eureka, eureka!” (saya sudahmenemukan, saya sudah menemukan). Saat itulah Archimedes menemukanhukum pertama hidrostatik. Kisah di atas diawali oleh tukang emas yang tidakjujur dengan mencampurkan perak ke dalam mahkota pesanan Hieron. Hieroncuriga dan menyuruh Archimedes untuk memecahkan problem tersebut ataumelakukan pengujian tanpa merusak mahkota. Rupanya saat mandi tersebut,Archimedes memikirkan problem tersebut. Tentang nasib tukang emas itu sendiritidak ada yang mengetahuinya.

Masa sekolahSaat muda usia dia menuntut ilmu di Alexandria, Mesir. Pada saat itu diamenjalin persahabatan dengan dua orang “istimewa.” Teman pertama, Cononadalah matematikawan berbakat yang sangat dihormati Archimedes baik secarapribadi maupun intelektual. Teman kedua, Eratosthenes *), juga seorangmatematikawan sekaligus astronom, meski mempunyai “kelainan” yaitu: sukabersolek. Dengan kedua teman ini, teristimewa Conon, Archimedes dapatberbagi pemikiran dan berdiskusi. Akhirnya, Conon meninggal dan suratmenyurat antar keduanya digantikan oleh Dositheus, murid Conon.Tahun 1906, J.L. Heiberg, membuat penemuan dramatis di Konstantinopel yaitu:“surat” Archimedes kepada Erastosthenes: Theorema mekanikal, suatu metode.Dalam suratnya ini, Archimedes mengukur berat, dalam imajinasi, gunamenghitung luas atau mengetahui volume (isi) sesuatu yang tidak diketahui lewatsesuatu yang diketahui, dia merintis ilmu pengetahuan berdasar penggalianfakta; fakta ini digunakan sebagai pembanding untuk kemudian dibuktikansecara matematis.Ada versi lain yang menyebut bahwa Archimedes diperkirakan berguru padamurid Euclid. Archimedes dapat disebut sebagai matematikawan sekaligus

fisikawan pertama, dimana selain menemukan “mesin perang”, alat-alat mekanisserta pompa air untuk mengangkat air sungai Nil guna mengairi (irigasi) tanah-tanah di seluruh negeri.

Sifat eksentrik ArchimedesDalam hal eksentrik Archimedes sering dibandingkan dengan Weierstrass (1815– 1897). Menurut penuturan saudarinya, Weierstrass – pada waktu sekolah,tidak pernah diberi kepercayaan untuk memegang pinsil. Apabila memegangpinsil, maka dia akan menggambari apapun yang dianggapnya masih kosong.Dari wallpaper sampai balik kerah baju. Sebaliknya, Archimedes - belummengenal kertas, selalu menggambar di pasir atau tanah yang lembek sebagaiganti fungsi “papan tulis.” Dia akan menggambar sesuka hatinya. Apabila dudukdi dekat perapian, dia akan mengambil arang atau sisa pembakaran dandigunakan untuk menggambar. Setelah mandi, biasanya dia akan melumuriseluruh tubuhnya dengan minyak zaitun, yang lazim dipakai pada jaman itu,daripada mengenakan pakaian, dia akan menggambar diagram-diagram denganmenggunakan jari kuku dengan “papan tulis” adalah seluruh tubuhnya yangberminyak. Ada sifat yang lazim diidap oleh para matematikawan seperti: lupamakan. Sifat lupa makan Archimedes, saat menekuni problem matematika,ternyata diwariskannya kepada [Isaac] Newton dan [William Rowan] Hamilton.

Archimedes terlibat perangSaat ini Romawi adalah kerajaan dengan banyak pejabatnya korup. DiMediteranian, sekarang Tunisia, dan kota Carthage, muncul dan menjadipenguasa dengan koloni meliputi wilayah sepanjang pantai Afrika sampaiSpanyol. Romawi merasa iri hati dan menyerbu. Dua kali serangan yang disebutdengan perang Punic, mampu menaklukkan Carthage. Tetapi tidak lamakemudian, Carthage mampu bangkit kembali, sehingga memaksa Romawikembali melancarkan serangan, perang Punic ketiga. Kali ini, tentara Romawitidak memberi ampun lagi. Begitu dapat menaklukkan, mereka menghancurkankota dan membunuhi para penghuninya (146 SM).Di atas adalah latar belakang terjadinya perang Punic. Selama perang Punic ini,Romawi mengirim pasukan di bawah komando Claudius Marcellus pada tahun214 SM untuk menyerang Syracuse. Alasan utamanya adalah karena rajaSyracuse menjalin hubungan dengan Carthage; alasan lain, tentara Romawiselalu dapat menaklukkan wilayah kecil dengan mudah. Tetapi saat ini merekaketemu batunya.Tentara Romawi menyerbu Syracuse dari segala penjuru, daratan dan lautan,terhadang oleh rekayasa sains; tidak canggih namun cerdik. Penduduk Syracusesudah diajari bagaimana menggunakan tuas (lever) dan berbagai macam bentukpelontar, dan mereka menerapkan kemampuan ini pada perang di darat maupundi laut. Tentara Romawi dipaksa mundur dan lari lintang-pukang di bawahhantaman “badai” batu dan panah yang dilontarkan oleh ketapel-ketapel buatanArchimedes. Belum lagi adanya serangan dari pelontar tali berisi peluru danbusur kecil (crossbow) yang menembakkan anak panah besi.Serangan pasukan Romawi lewat laut, hasilnya tidak jauh berbeda, hampir

semua armada kapal perang mereka hancur. Besi-besi besar dijatuhkan olehpasukan Syracuse lewat derek (crane) yang dibangun, mampumenenggelamkan kapal-kapal Romawi. Derek lain digunakan mengangkat kapal-kapal Romawi dan pasukan-pasukan berebut menyelamatkan diri dengan terjunke laut. Masih ditambah dengan cermin pembakar, maka lengkaplah “derita”kapal-kapal Romawi. Seorang tua menciptakan cermin heksagonal dan di sela-sela cermin berukuran proporsional tersebut dipasang empat cermin segi empat,digerakkan dengan besi yang dibentuk seperti engsel jaman modern, diarahkanke matahari. Berkas sinar yang dipantulkan oleh cermin-cermin tersebutdiarahkan ke kapal, menimbulkan api dan kapal terbakar. Pengoperasian cermindilakukan dari ketinggian di tengah kota oleh seorang lelaki tua.Siasat lain mulai dicari. Tentara Romawi mencoba membangun tembok di luartembok kota, namun tidak pernah selesai dibangun. Muasalnya adalah derekdengan bandulan besi berputar mengelilingi kota Syracuse untukmenghancurkan tembok-tembok tersebut sekaligus menghalau pasukan Romawiyang akan maju.Gagal dengan serangan frontal, Marcellus menggunakan cara lain. Saatpenduduk Syracuse merayakan kemenangan, diselimuti oleh gelapnya malam,dikirimlah mata-mata (Buku legendaris “Seni Berperang” Sun Tzu – hidup 500SM, tentang penggunaan mata-mata, bab 13, bab terakhir, barangkalimengilhami atau barangkali ide dari perang Troya dengan taktik kuda Troya)untuk menghancurkan “monster-monster” ciptaan Archimedes dan membukapintu gerbang kota. Perang berlangsung selama 3 tahun, sebelum Romawi dapatmengalahkan si kecil cerdik, Syracuse.

Penemuan-penemuan ArchimedesMinat Archimedes adalah matematika murni: bilangan, geometri, menghitungluas bentuk-bentuk geometri. Archimedes dikenal karena kehebatannyamengaplikasikan matematika. Kehebatan inilah yang akan diuraikan di bawah ini.Archimedes berjasa menemukan ulir Archimedes, alat untuk mengangkat airdengan jalan memutar gagang alat ini dengan tangan. Penggunaan awal alat iniadalah untuk membuang air yang masuk ke dalam perahu atau kapal. Tapidalam perkembangannya digunakan untuk memompa air dari dataran yang lebihrendah ke tanah yang lebi tinggi. Alat ini sampai sekarang masih dipakai olehpara petani di seluruh dunia.Penggunaan cermin pembakar, memberi indikasi bahwa beberapa bentukgeometri sudah diketahui Archimedes, teristimewa bentuk hiperbola. Bentuklingkaran, elips dan hiperbola terbentuk hanya bagaimana cara kita mengirissuatu bidang. Parabola adalah bentuk istimewa: dapat “mengambil” sinarmatahari, dari arah manapun, dan difokuskan pada suatu titik, dankonsentrasikan semua energi cahaya pada bidang sempit untuk dipancarkankembali dalam berkas sinar yang sangat panas.Archimedes sudah mencoba menghitung luas parabola, elips, hiperbola danmenentukan titik pusat gravitasi pada setengah lingkaran dan lingkaran. Tidakdiketahui secara pasti berapa banyak karya-karya Achimedes yang hilang ataubelum ditemukan satu yang terpenting, Metode (The Method, sebagian besar

sudah ditemukan pada tahun 1906), tapi karya lain termasuk: On Spiral, On theMeasuremant of the Circle, Quadrature of the Parabola, on Conoids &Spheroids, on the Sphere & Cylinder, Books of Lemmas dll. tidak sesuai dengansegala sesuatu yang dihasilkan Archimedes pada jaman Romawi.Archimedes adalah orang pertama yang memberi metode menghitung besar ?(pi) dengan derajat akurasi yang tinggi. Menghitung besar ? dilakukan dengancara membuat lingkaran diantara dua segi enam. Luas segi enam kecil < luaslingkaran < luas segi enam besar. Dengan memperbesar jumlah segi -Archimedes membuat 96 sisi, diperoleh besaran:

3 10/71 < Л < 3 1/7(3,14084 < Л < 3,14285)

Dalam menghitung ?, jaman modern, para matematikawan mengikuti jejakArchimedes. Sebagai contoh, pada abad 17, Ludolph van Ceulen dari Jerman,menggunakan segi 262. Upaya gigih guna mencari besaran ? ini dilakukannyasampai dia meninggal. Jadi tidaklah mengherankan, apabila orang Jerman –untuk menghormati jasa, pada nisan dipahat “Angka Ludolphian” yang berarti ?di Jerman.Penggunaan tuas dalam perang dengan menciptakan crane, menunjuk bahwaArchimedes sudah memahami prinsip tuas, yaitu: dua benda yang mencapaikeseimbangan berat pada suatu jarak tertentu memiliki besar yang proporsionalsecara timbal-balik.

Archimedes meninggalApabila pada tahun-tahun sebelumnya, penemuan-penemuan Archimedes selalumembuat pasukan Romawi frustrasi. Mereka tidak dapat menaklukan Syracuseuntuk dijadikan koloni. Alat-alat mekanik ciptaan Archimedes selalu dapatmementahkan dan menghancurkan semua serangan mereka. Salah satu kisahmenarik adalah tentang Archimedes dalam perang ini adalah menciptakan“cermin-cermin pembakar” yang mampu membakar kapal-kapal Romawi darikejauhan. Tahun 212 SM, Syracuse akhirnya jatuh ke tangan Romawi, setelahterjadi penyusupan di malam hari.Singkat kata, Marcellus dengan didampingi para prajuritnya mendatangi penciptaalat yang membuat semua petaka bagi tentara Romawi. Saat itu Archimedessedang menggambar diagram di pasir. Pikiran dan matanya hanya terpusat padadiagram-diagram yang digambarnya. Tidak memperdulikan sekelilingnya.Marcellus dan prajurit pengikutnya diam mengamati sampai akhirnya seorangprajurit kehilangan kesabaran. Seorang prajurit Marcellus datang menghampiridan memerintahkan agar Archimedes segera menghadap komandan mereka,namun dia tidak menuruti perintah dan baru akan menghadap setelahmenyelesaikan problem dan memberikan pembuktiannya.Kesabaran prajurit itu habis dan maju untuk menangkap Archimedes. “Jangansentuh lingkaran-lingkaran yang saya buat!” adalah teriakan terakhir Archimedesketika prajurit itu menginjak gambar diagram di atas pasir. Prajurit yang tidak

diketahui namanya itu marah, menghunus pedang dan membunuh Archimedesyang sudah berusia 75 tahun.

*) Eratoshenes (273 – 192 SM) melakukan penghitungan diameter bumi padatahun 230 SM. Dia menengarai bahwa kota Syene di Mesir terletak di equator,dimana matahari bersinar vertikal tepat di atas sumur pada hari pertama musimpanas. Eratoshenes mengamati fenomena ini tidak dari rumahnya, diamenyimpulkan bahwa matahari tidak akan pernah mencapai zenith di atasrumahnya di Alexandria yang berjarak 7° dari Syene.Jarak Alexandria dan Syene adalah 7/360 atau 1/50 dari lingkaran bumi yangdianggap lingkaran penuh adalah 360°. Jarak antara Syene sampai Alexandria+/- 5000 stade. Dengan dasar itu dibut prakiraan bahwa diameter bumi berkisar:50 x 5000 stade = 25.000 stade = 42.000 Km.Pengukuran tentang diameter bumi diketahui adalah 40.000 km. Ternyata,astronomer jaman kuno juga tidak kalah cerdasnya, dengan deviasi kurang dari5%.

SumbangsihPrinsip-prinsip fisika dan matematika diaplikasikan oleh Archimedes baik untuktujuan “mulia” – pompa ulir, untuk mengangkat air dari tempat yang lebih rendahmaupun untuk tujuan perang. Memang tidak dapat dihindari bahwa suatupenemuan biasanya akan dipicu oleh suatu kebutuhan mendesak. Cerminpembakar, derek (crane) untuk melontarkan panah dan batu ataumenenggelamkan kapal adalah penguasaan fisika Archimedes yang dapatdikatakan luar biasa pada jamannya.Kontribusi penghitungan Л (pi) dari Archimedes barangkali dapat disebut sebagaiawal bagi para pengikut untuk meniru metode yang dipakai untuk menghitungluas lingkaran. Terus memperbanyak jumlah segi enam untuk menghitungbesaran Л (pi) mengilhami para matematikawan berikutnya bahwa adanya suatuketidakhinggaan - seperti paradoks Zeno, dimana hal ini mendorong penemuankalkulus.

Music adalah pengalaman paling mengaysikan bagi pikiran manusia mulai dari berhitungtanpa menyadari bahwa yang dilakukan adalah berhitung(Music is the pleasure the human mind experiences from counting without being awarethat it is counting)

Gottfried Leibnitz

Pemecah Theorema Terakhir Fermat

Andrew Wiles(1879 – 1955)

Masa kecilSewaktu berusia sepuluh tahun, Wiles pergi ke perpustakaan umum di kota kecil tempat

tinggalnya, Milton Road library, di Inggris dan mencari buku matematika. Pada saat itudia terkesima dengan TTF (Theorema Terakhir Fermat), yang terdapat pada bukukarangan Eric Temple Bell, The Last Problem yang dibacanya. Theorema, yangdianggap, sangat sederhana, sehingga anak kecilpun dapat memahaminya. Cumamenemukan pangkat x, y dan z, seperti dalam bentuk x4 + y4 = z4 aupun x5 + y5 = z5,dan seterusnya. Tampaknya sangat mudah. Dan diketahui bahwa theorema ini sudahlebih dari tiga abad tidak dapat dibuktikan. Saya ingin membuktikannya adalah tekadnya.

Tahun 1971, Wiles masuk Merton College, Oxford dan meraih gelar B.A. pada tahun1974. Lulus dari College ini melanjutkan lagi ke Clare College, Cambridge untuk meraihgelar doktorat. Yang menjadi pembimbingnya di Cambridge adalah profesor John Coates.Niatnya untuk membuktikan TTF tertunda karena topik yang saat itu sedang marakadalah teori bilangan tentang kurva-kurva elips. Alasan lain adalah riset untuk tujuan itumemakan banyak waktu dan tidak ada mahasiswa tingkat lanjut yang menekuninya.Akhirnya, Wiles melakukan riset pada kurva-kurva elips dalam bidang yang lebihspesifik yang disebut dengan teori Iwasawa. Sejak tahun 1977 sampai 1980, Wiles adalahpeneliti junior di Clara College, Cambridge merangkap sebagai asisten profesor diUniversitas Harvard. Wiles menyelesaikan disertasi, dan begitu mendapatkan gelar Ph. D,dia memperoleh kedudukan di universitas Princeton di Amerika, meski sempatmendalami matematika teori di Bonn selama beberapa bulan. Selama tahun 1985 – 1986pernah melakukan kunjungan ke Ecole Normale di Paris. Sambil mengajar, di Princeton,Wiles meneruskan risetnya tentang kurva-kurva elips dan teori Iwasawa.

Evolusi pemikiran matematikawan “kuno”Banyak matematikawan, setelah Fermat meninggal, punya obsesi untuk membuktikanTTF. Diawali oleh Kummer yang merintis teori bilangan-bilangan ideal untukmenyelesaikan. Mampu membuktikan bahwa thorema itu benar untuk bilangan-bilanganeksponen, dimana dapat dibagi dengan bilangan-bilangan prima “biasa.” Semua ituhanya berlaku bagi bilangan prima tanpa pola di bawah 100, yaitu: 37, 59 dan 67.

Menggunakan bilangan prima sudah diawali oleh Euler yang mampu membuktikan untukn = 3 dan n = 4, disusul oleh Dirichlet yang membuktikan untuk n = 5. Dengan cara yangsama Gabriel Lame dan Henri Lebesgue mampu membuktikan untuk n = 7.

Gauss sebenarnya sudah berusaha membuktikan sebelum akhirnya menyerah.Kepenasaran diteruskan oleh Dedekind yang mengembangkan teori ideal-ideal, yangmerupakan abstraksi dari bilangan-bilangan ideal Kummer. Karya Dedekind inimengilhami Barry Mazur, dimana akhirnya karya Mazur menjadi acuan Wiles untukmembuktikan TTF.

Tidak mau kalah dengan kiprah matematikawan Jerman, Poincare dari Perancis, yangsering disebut dengan universalis terakhir, memulai pembuktian. Tahun 1895, Poincaremenerbitkan buku berjudul Analysis Situs. Topologi – ilmu yang mempelajari bentuk-bentuk dan permukaan-permukaan dan fungsi-fungsi berkesinambungan (continuous).Penjelasan Poincare diawali dengan melakukan penelitian terhadap fungsi Sin dan Cosdari deret Fourier (Fourier series) sebelum akhirnya menggunakan cara invarian. Suatu

fungsi invarian dalam kelompok-kelompok transformasi dikenal dengan nama bentuk-bentu otomorphik. Terus dikembangkan oleh Poincare sehingga diperoleh bentuk-bentukmodular, yang terletak pada setengah sisi atas bidang bilangan kompleks, dan merupakangeometri hiperbolik.

“Bendera” lainTahun 1983, seorang matematikawan Jerman muda usia (27 tahun), Gerd Faltings, jugaberusaha membuktikan TTF. Ketika masih berada di universitas Wuppertal, dia mampumembuktikan prakiraan (conjecture) Mordell. [Louis J.] Mordell pada tahun 1922 berpkirtentang adanya hubungan antara solusi-solusi persamaan aljabarik dengan topologi.Elemen dari topologi adalah permukaan-permukaan (surfaces) – menjelaskan bidang -dan ruang (space) untuk menggambarkan bentuk tiga-dimensi.

Pembuktian ini menjadi awal pengembangan geometri aljabarik. Faltings, dalam upayamembuktikan, mengisolasi TTF ke dalam teori bilangan. Penemuan Faltings ini, menjadi“senjata” dua matematikawan, Granville dan Heath-Brown, untuk menemukan beberapasolusi untuk menyelesaikan TTF. Pada tahun 1983, theorema berupaya dibuktikan untukn sampai dengan satu juta, dan pada tahun 1992 ditingkatkan lagi menjadi n sampaidengan empat juta.Ada sekelompok orang yang gemar melakukan diskusi matematika – dilakukan sambilduduk minum kopi - dimana mereka bernaung di bawah naungan nama Bourbarki *.Cetusan ide ini terjadi di Paris oleh matematikawan universitas Paris. Anggota utamakelompok ini adalah Andre Weil (1906 - ), yang kemudian migrasi ke Amerika danberada di Princeton. Anggota lain adalah Jean Dieudonne yang mengarang makalahdengan nama ‘samaran’ Bourbaki.

Andre Weil, pada kisaran tahun 1950-an, pernah bertemu dengan Taniyama dan Shimuradi Jepang. Yutaka Taniyama berteman dengan Goro Shimura. Keduanya adalah lulusanuniversitas Tokyo tahun 1953 untuk disiplin ilmu matematika.

Diskusi Timur-BaratPada September 1955, di Tokyo diadakan simposium dengan topik teori bilanganaljabarik. Pada kesempatan ini, Andre Weil, yang sudah meninggalkan Perancis danmenjadi profesor di Universitas Chicago termasuk salah satu undangan. Lima tahunsilam, Weil mengejutkan komunitas matematika pada konggres internasional, denganmengemukakan prakiraan (conjecture) Hasse. Kedatangan Weil ini menarik perhatianTaniyama dan Shimura sehingga mereka terlibat diskusi. Matematikawan asing lain yangdatang adalah Jean-Pierre Serre dari Perancis, yang masih muda usia, namun bukantermasuk kelompok Bourbaki, namun ikut terlibat diskusi ketiga matematikawan di atas.Hasilnya adalah muncul prakiraan (conjecture) Shimura yang beberapa tahun kemudianjuga pindah ke Princeton sedangkan Taniyama tetap di Tokyo. Tidak ada namaTaniyama di sini karena tanpa diketahui alasan pastinya, bunuh diri di apartemen padatahun 1958. Prakiraan Shimura ini menyebutkan bahwa setiap kurva eliptik denganbilangan-bilangan rasional adalah seragam dalam bentuk modular. Awal tahun 1960-an,Shimura – sudah di Princeton - bertemu kembali dengan J.P. Serre. Serre teatp tidak maumengakui prakiraan Shimura dan mencari dukungan dari Weil. Weil tetap tidak mau

mengakui kesahihan prakiraan Shimura. Tahun-tahun berlalu dan pada tahun 1970-an,Weil mengesampingkan prakiraan Shimura, dan mencetuskan prakiraan Weil-Taniyamayang menyebut kurva-kurva eliptik modular yang kemudian disebut dengan “kurva-kurvaWeil.” Seiring dengan munculnya “prakiraan Weil-Tanitama”, Serre yang tetapmelakukan penelitian tentang topik itu namun tetap mengingkari nama Shimura, danlebih percaya kepada Weil, namun juga mencetuskan prakiraan (conjecture) yangmemakai namanya.

Titik terangKontroversi terus berkembang sampai akhirnya terdengar sampai “pelosok” Jerman.Gerhard Frey yang memperoleh diploma dari universitas Tubingen dan gelar Ph.D. dariuniversitas Heidlberg tertarik jalinan antara teori bilangan dan geometri aljabarikterhadap matematika yang berkambang selama lima-puluh tahun terakhir. Frey jugamenyukai geometri artimatika sehingga mencoba menjalin semua disiplin ini ke dalambentuk “hibrid.” Pada tahun 1970-an, Frey banyak berkecimpung dengan kurva-kurvaeliptik dan persamaan-persamaan Diophantine, dimana pada tahun 1978 membacamakalah “Kurva-kurva modular dan ideal dari Einsenstein” karya Barry Mazur dariUniversitas Harvard.

Terpengaruh oleh makalah itu dan pemikiran pakar teori bilangan Kenneth Ribet dariBerkeley dan Andrew Wiles dari Princeton, Frey tertarik menekuni aplikasi kurva-kurvamodular dan representasi dari Galois tentang teori kurva-kurva eliptik. Tidak hanya mausekedar teratik, Frey, pada tahun 1981, berangkat ke universitas Harvard dan melakukandiskusi dengan Barry Mazur, disusl ke Berkeley bertemu dengan Ken Ribet. Pulang keJerman, Frey membawa banyak pemikiran baru, dan pada tahun 1984 penelitiannyatentang teori bilangan diungkapkan dalam konferensi. Diungkapkannya bahwa apabilaprakiraan Shimura-Taniyama terbukti benar, maka TTF dapat dibuktikan. Penyataanyang diucapkan Frey ini mengundang reaksi. Ken Ribet yang menyatakan akan berpikirkembali dan J.R. Serre – dengan surat dan nama samaran – menyatakan tidak setuju danmenyebut ulang prakiraan Serre.

Theorema RibetKen Ribet yang memutuskan untuk berpikir ulang tentang penyataan Frey, mulai tertarikdengan TTF, berusaha menekuni matematika lebih mendalam. Bidang yang ditekuniadalah kimia di universitas Brown. Di bawah bimbingan dan pengaruh Kenneth F.Ireland, Ribet mempelajari matematika dan tertarik dengan fungsi zeta, jumlaheksponensial, dan teori bilangan. Awalnya dia tidak tertarik dengan TTF. Baginya TTFsudah ketinggalan jaman dan tidak ada prinsip yang dapat digunakan sebagai acuan untukmemecahkannya. Theorema yang harus dipecahkan oleh banyak disiplin darimatematika, lebih dari sekedar teori bilangan: aljabar, analisis, geometri dan topologiatau semua disiplin matematika.

Ribet, akhirnya, meraih gelar Ph.D. matematika dari Harvard dan menjadi profesormatematika pada universitas California dengan penelitian pada teori bilangan. Ketikamendengar pernyataan Frey dan kurva Frey yang diasosiasikan dengan kurva elips yangberbeda dengan modular. Pada saat ada pertemuan matematika di California pada tahun

1985, Ribet mulai memikirakan kurva Frey dan pernyataan Frey yang terus tergiangdikepalanya sampai beberapa tahun ke depan. Ketika cuti mengajar di Berkeley, Ribetpergi ke Jerman dan melakukan penelitian matematika di institut Max Planck. Di sini,Ribet hampir dapat membuktikan prakiraan Frey.

Ketika pulang ke Berkeley, Ribet menemui Mazur yang datang dari Harvard dan terlibatdiskusi di kantin kampus universitas California. Dalam diskusi singkat ini, ucapan Mazurmemberi pencerahan kepada Ribet, yang serta merta mampu membuktikan bahwaprakiraan Shimura-Taniyama adalah benar. Jalan untuk membuktikan TTF terbuka.

Prakiraan (conjecture) Shimura-TaniyamaLama melupakan obsesi masa kecil, namun dalam tahun 1985-1986, ketika sedangberada Perancis, dirinya terhentak karena ada penemuan: pembuktian yang dilakukanoleh Gerhard Frey dan Ken Ribet (mengembangkan ide Barry Mazur dan Jean-PierreSerre) bahwa TTF dapat dibuktikan lewat prakiraan (conjecture) Shimura-Taniyamabahwa setiap kurva elips yang diketahui mengandung bilangan-bilangan rasional adalahmodular.

Apabila: an + bn = cn

adalah contoh TTF dan dibandingkan dengan kurva elips:

y2 = x(x – an)(x + bn)

bukanlah modular, sehingga tidak dapat membuktikan prakiraan Shimura-Taniyama.Prakiraan ini terus dikembangkan oleh Shimura yang sudah ada di Princeton yangkemudian disebut dengan prakiraan (conjecture) Shimura. Prakiraan Shimuramenyebutkan bahwa setiap kurva eliptik dengan menggunakan bilangan-bilanganrasional adalah seragam yaitu dalam bentuk modular. Bentuk modular adalah elemenyang lebih spesifik terhadap bidang [bilangan] kompleks lebih dari sekedar fungsi-fungsiotomorphik yang digagas oleh Taniyama.

Jika kita “melipat” bidang [bilangan] kompleks sehingga menjadi bentuk “donat”, makapermukaannya akan memberi selua solusi pada persamaan-persamaan elipstik yangmenggunakan bilngan-bilngan rasional, dimana hal ini merupakan pengembangan daripersamaan-persamaan Diophantus.

Pembuktian “perdana”Bulan Juli tahun 1993, Andrew Wiles terbang menuju Inggris. Kembali ke universitasCambridge yang sudah ditinggalkannya selama lebih dari 20 tahun, dimana dia meraihgelar di sana. Pembimbing thesis doktoral di Cambridge, Profesor John Coates,memprakarsai konferensi tentang teori Iwasawa – suatu bidang dalam teori bilangan yangmenjadi topik disertasinya dan sangat dikuasainya. Mantan mahasiswanya ini ditanya,topik apa yang akan dibawakan? Dan apakah waktu satu jam untuk presentasi memadai?Wiles tidak menjawab pertanyaan pertama namun menjawab pertanyaan kedua denganmengatakan bahwa presentasinya akan memakan waktu tiga jam.

Hampir selama enam tahun Wiles, berusaha membuktikan TTF, dengan bekerja secaradiam-diam. Rupanya otaknya sudah buntu, sehingga pada Januari 1993, idenya untukmembuktikan TTF dibocorkan kepada orang yang amat sangat dipercayainya agar relamembantu. Orang yang diajak berunding adalah profesor Nick Katz, rekannya diuniversitas Princeton. Agar diskusi diantara mereka tidak dicurigai, maka dibuat“skenario” Wiles menawarkan pelajaran tambahan kepada Katz.

Bulan Mei 1993, Wiles membuka makalah Barry Mazur dari Harvard, yang berisikanpenemuan-penemuan terbaru dalam teori bilangan – penemuan yang memberi inspirasibagi pakar pada bidang ini termasuk Ribet dan Frey, yang memberi jalan bagi Wiles. Apayang dikatakan Mazur bahwa dapat dilakukan himpunan kurva eliptik dapat didasarkanpada bilangan prima. Ide ini mampu menjawab hambatan Wiles.

Pembuktian tidak dikirim untuk menghindari publikasi sehingga membuat orang terpicuuntuk ikut-ikutan membuktikan TTF yang sudah matang guna meraih ketenaran diri.Makalah pembuktian setebal 200 halaman, mengundang keingintahuan para pakar dalamteori bilangan. Ken Ribet yang melihat makalah itu bertanya apakah pembuktian inidisertai dengan sistem Euler? Meskipun makalah sudah dibawa Wiler, namun Katz tetapmemeriksa setiap bari pembuktian dan menanyakan hal-hal yang tidak jelas ke Wileslewat email sehari dua kali. Salmapi akhirnya, Katz menemukan “lubang” pembuktianseperti yang disebutkan oleh Ken Ribet, sistem Euler. Penemuan kesalahan pembuktianini membuat runtuh semua harapan Wiles.

Pembuktian akhirKembali ke Princeton bulan September 1993, hatinya dipenuhi: rasa malu, terhina,marah, frustasi, semua bercampur menjadi satu. Janji pembuktian TTF yang dicanangkanhanya membuat namanya tercemar. Simpati datang dari sesama matematikawan danmenyediakan diri membantu membangun pembuktian lagi. Richard Taylor dariCambridge datang ke Princeton untuk membantu Wiles. Taylor juga mahasiswa yangdibimbing profesor John Coates.

September 1994, senin pagi, Wiles duduk di meja kerjanya di Princeton, matanya tidaksengaja melirik berkas pembuktian yang sudah lama dibiarkan teronggok dan terpuruk disana. Diambil dan dilihat ulang, bagian mana yang tidak mengandung sistem Euler? Diahanya ingin tahu, demi kepuasan diri, mengapa dia salah?.

Berpikir keras selama dua puluh menit dengan menatap makalah itu. Tidak diduga,berkelebat sebuah pemikiran, dan Wiles mampu memahami semua kesalahan selama ini.Apa yang sekarang disadari oleh Wiles adalah pembuktian itu sangat sederhana dananggun dan tampir tidak dapat dipercayainya. Ditatapnya makalah ini untuk beberapasaat. Rasanya mimpi. Pembuktian itu ditinggalkan untuk dicerna lebih lanjut. Makalahdisempurnakan dan dikirimkan lewat email kepada para matematikawan di seluruh duniasebelum akhirnya diterbitkan dalam jurnal Annals of Mathematics. Terima kasih secarakhusus diberikan kepada Richard Taylor. Upaya pembuktian TTF sudah berakhir ditangan Andrew Wiles yang menjadi mimpi dirinya semasa anak.

* [Nicolas] Bourbaki (1816-1897) adalah nama seorang jenderal Yunani yang memegangperan penting pada perang Franco-Prussia. Nama ini dipakai setelah PD II oleh orang-orang terkenal seperti Hemingway, Picasso sering duduk-duduk, bertemu teman di café-café di pinggiran jalan di Paris. Timbul keinginan matematikawan Perancis untukmelestarikan nama ini namun untuk mendiskusikan sesuatu yang spesifik …matematika.

SumbangsihKepopuleran Wiles terjadi karena memecahkan TTF – meskipun sempat salah – justrumemicu orang untuk terus mengenangnya. Problem TTF memicu banyakmatematikawan menemukan metode-metode matematika baru. Pada awalnya TTFberhadiah, namun sejak PD I hadiah ditiadakan, ternyata tidak menyurutkan minat oranguntuk terus mencoba membuktikannya. Nama Wiles menduduki peringkat pertamasebagai matematikawan paling dikenal yang saat ini masih hidup.

Orang rendahan membicarakan orang lain, orang agak terpandang membicarakan barang,orang besar membicarakan ide-ide.(Small people talk about other people, mediocre people about things, great people talkabout ideas)

Anonymous

[Trilogi] seorang matematikawan: Jenius, kegilaan dan kebangkitan kembali

John Nash(1928 – )

Masa kecilSeorang pengurus sekolah bernama John Nash Sr. menikah dengan seorang wanitaMargaret Virginia Martin. John Nash adalah penduduk asli perdesaan di Texas namunleluhurnya berasal dari Inggris. Sangat menyukai sains dan dan lulus sebagai insinyurlistrik pada tahun 1912 dan bekerja pada GE, sebelum menjadi tentara pada PD I. Pulangdari perang kembali ke Texas dan tidak mau bekerja di GE lagi, namun pada perusahaanyang lebih kecil. Virginia Martin adalah anak kedua seorang fisikawan, James EverettMartin. Demam semasa kecil membuat Virginia sejak remaja tuli sebelah. Menguasaibahasa Inggris, Jerman, Perancis dan Latin dan menjadi guru di desa kelahirannya. Empattahun setelah pernikahan, lahirlah John Nash Jr. pada tanggal 13 Juni 1928. Tidak lamadisusul adik perempuan, Martha.

Masa kecilnya, relatif cukup berbeda. Apabila saudarinya, Martha, bermain atauberenang bersama-sama teman-temannya, John asyik sendirian bermain dengan pesawatdan mobil mainan. Pendidikan awal John diperoleh dari sang ibu yang masih sukabertindak sebagai seorang guru teladan. Di sekolah, John suka melamun dan nilai dibidang musik dan matematika di bawah rata-rata. Apa yang membuat John tertarik padamatematika? Tahun 1937, terbit buku laris dari E.T. Bell, Men of Mathematics, dimanaberisikan kisah-kisah para matematikawan dengan gaya tutur ‘indah’ mampu menarikperhatian John yang saat itu berusia 14 tahun. Tidak lama kemudian Pearl Harbor

diserang Jepang dan pecah PD II. Timbul bayangan dalam otak John bahwa tentaraJepang akan menyerang kota mereka, dan meledakkan kereta api, dan hanya dia yangmampu memecahkan sandi-sandi mereka. Namun karena masih sekolah maka bayanganitu tidak ditanggapi dan menganggap John sebagai anak aneh. Di sekolah lanjutan, soalkimia, perlu ditulis oleh anak-anak lain di kertas, namun John cukup memandangi rumusdan menemukan jawaban – rupanya sudah tertera diotaknya. Berkat semuakecemerlangan ini membuat John mendapat bea siswa memasuki Carnegie Institute ofTechnology.

GeniusApa yang terjadi di Carnegie adalah titik balik sekaligus titik awal Nash terhadapmatematika? Awalnya ‘kalah’ dalam kompetisi matematika, namun hal ini membuat diagagal masuk Harvard – syaratnya harus menjadi pemenang kontes matematika itu[Putnam]. Setahun kemudian, justru adalah kegagalan ini membuat Nash memperolehbea siswa di Princeton yang – ternyata – menawarkan bea siswa yang lebih besardaripada di Harvard. Tahun pertama Nash adalah kesendirian, karena sulit bergauldengan siswa-siswa lain, hanya beberapa siswa mengetahui – lewat pintu kamar yangterkuak - bahwa jendela kamarnya dipenuhi dengan rumus-rumus fisika maupunmatematika. Nash hampir tidak pernah membaca buku karya orang lain, karenadianggapnya ‘mencampuri’ kemurnian ide sendiri.

Sewaktu masuk Princeton ini, Nash dapat menciptakan permainan yang merupakankombinasi dari permainan Go dan Kriegspiel yang diberi nama, oleh kalangan kampus,Nash. Permainan ini merupakan perombakan Nash terhadap teori permainan (gametheory) yang diciptakan oleh von Neumann. Dalam permainan ini pula terdapat istilahNash equilibrium. Ketika di Princeton pula Nash pernah menemui Einstein gunamengungkapkan pemikirannya tentang gravitasi, friksi dan radiasi. Einstein denganramah menyarankan agar Nash mempelajari fisika. Kelak pemikiran Nash ini dikenaldengan nama “unified field theory”, namun dicetuskan oleh fisikawan Jerman beberapadekade kemudian. Di bawah bimbingan Tucker, Nash menulis disertasi dan lulus padaumur 21 tahun. Seperti lazimnya genius lain, maka Nash langsung diterima untuk bekerjadi RAND.

Mencetuskan theoremaRAND adalah singkatan dari Research And Development, yaitu ‘perusahaan’ yangdidirikan untuk mengaji perang, dan tentunya demi kemenangan perang. Para pakar dariilmu-ilmu murni (fisika, matematika) bercampur dengan ilmu ekonomi harusberkolaborasi untuk menentukan cara atau alat yang mampu membuat perang makin‘efisien’ dan ‘efektif.’ Tidaklah mengherankan apabila rudal antar-benua (ICBM) atauRadar tercipta dari ‘perusahaan’ ini. Paul Samuelson adalah seorang pakar ekonomi danpemenang Nobel ekonomi awalnya juga bernaung di bawah RAND. Teori permainandikembangkan lebih lanjut dengan memberi kondisi kompromi bukan kondisi menang-kalah (zero-sum-game) yang menjadi ciri teori permainan von Neumann. Tidak lama diRAND, pecah perang Korea (1950-1951), dan Nash wajib milisi karena umurnya masihdi antara 21 - 26 tahun. Nash, termasuk kedua orang tuanya, merasa kuatir dengankewajiban ikut perang ini dan Nash berusaha menghindar dengan menyebut bahwa dia

pernah kerja di RAND dalam rangka proyek militer dan meminta dukungan Princetonbahwa dirinya lebih berharga sebagai ilmuwan dibandingkan sebagai prajurit di lapangan.

Resep itu manjur dan Nash tidak ikut milisi. Lingkungan RAND yang sudah tidakkondusif lagi mulai ditinggal oleh para pakar-pakarnya. Nash juga ikut ke luar dankembali ke Princeton. Beberapa bulan di Princeton, Nash mencetuskan theorema tentangmanifold *. Theorema yang diberi nama theorema Nash yaitu: apabila diketahui bentukmanifold dengan jumlah dimensi k disebut M, maka terdapat berbagai jenis aljabarik riil,V dalam bentuk R2k+1 yang terhubung dengan komponen W yang menjadi bagian dariV adalah manifold berbentuk mulus (smooth) diffeomorphic untuk M. RupanyaPrinceton tidak mau menaungi Nash lagi karena dianggap asosial dan tidak dapatmengajar mahasiswa. Nash melamar dan akhirnya diterima dengan tangan terbuka diMIT (Massachusetts Institute of Technology), yang sedang berusaha menaikkanpamornya setelah mengetahui kehebatan Nash lewat paparan theoremanya.

KeluargaGejala sakit mulai sering dirasakan oleh Nash sehingga secara rutin harus pergi ke rumahsakit untuk diperiksa. Dalam proses pemeriksaan, Nash berkenalan dengan Eleanor,seorang perawat rumah sakit di Boston, sebelum akhirnya dilanjutkan menjadi hubunganyang lebih intim. Hubungan ini berbuah dengan lahirnya seorang anak laki yang diberinama John David pada tahun 1953. Reputasi Nash, seorang profesor, yang ‘rela’menyunting perawat ini rupanya membuat dirinya tidak bersedia menikahi Eleanor,seperti janji semula. Pada periode ‘kekosongan’ atau perlu berpikir lagi ini munculAlicia, seorang mahasiswi fisika. ‘Hobi’ Nash suka ke perpustakaan dan perpustakaanmusik, terus dipantau dan diikuti oleh Alicia. Pada saat bersamaan proses persidangantentang status Eleanor mencuat, disusul kepergoknya Alicia dan Nash berdua olehEleanor, yang membuat proses hukum (status pernikahan) menjadi makin sulit. JohnNash Sr. yang berada di Bluefield bahkan mengetahui dan dengan gusar menyuruh agarNash segera mengawini Eleanor. Untuk menghindari gunjingan Nash pergi ke New York.Alicia, kemudian, memutuskan mencari pekerjaan di New York dan tinggal di hotel.Dalam rangka kunjungan bisnis, September 1956, John Nash Sr. datang ke New York,Nash sempat menemui dan berbincang-bicang. Namun perbincangan ini adalah yangterakhir karena tidak lama kemudian John Nash Sr. terkena serangan jantung di Bluefield.Nash datang pada hari penguburan dengan memendam kesedihan yang mendalam.

Sebulan setelah John Nash Sr. meninggal, Alicia datang bersama dengan Nash gunamenemui Virginia, ibu Nash, yang serta merta terkesima dengan gaya Alicia. Alicia yangsaat itu sudah bekerja di sebuah perusahaan reaktor nuklir, sambil berlibur danmerayakan thankgiving bersama Martha – adik Nash yang sudah menikah - dan Virginia.Tidak lama setelah itu, Nash dan Alicia menikah. Rupanya Virginia memberi restu.

Prestasi lainPara matematikawan awal jaman berkutat dengan kurva-kurva sederhana, dilanjutkandengan permukaan (surface) dan akhirnya, Riemann mencetuskan, geometri dimensitinggi (higher dimensions). Riemann menemukan manifold-manifold dalam bidangEuclid yang sulit dijabarkan oleh para matematikawan. Bayangkan sebuah balon tidak

dapat diletakkan pada papan tulis karena hanya dua dimensi (bidang), namun balon dapatmenjadi bagian subset dari ruang (tiga dimensi) atau dimensi yang lebih tinggi. TheoremaNash, rumus sudah dicantumkan di atas, menyebut bahwa: segala sesuatu dengan bentukyang mulus (smoothness) dapat ditempatkan dalam ruang Euclidian.

Ketika Nash di New York University, bekerja di Courant Institute of Mathematical, adatantangan dari Louis Nirenberg yang memberikan problem yang belum dapat dipecahkandalam bidang baru teori non-linier. Problem yang sudah muncul sejak tahun 1930-andapat dituntaskan Nash. Suatu problem matematika selalu berusaha dipecahkan olehNash dengan jalan memutar, bukan ‘diserang’ langsung. Begitu pula problem di atasdiselesaikan dengan terlebih dahulu mengubahnya menjadi persamaan linier sebelumdigunakan untuk non-linier.

Kehebatan Nash dibuktikan lagi saat dia menerima Bocher Prize dari AmericanMathematical Society. Kemenangan yang lebih membanggakan karena hanya untuk satuorang dan diselenggarakan setiap lima tahun, dibandingkan dengan hadiah Nobel yangdiberikan setiap tahun untuk lebih dari satu orang.

Depresi?Muncul matematikawan muda usia, Paul J. Cohen yang tidak kalah dengan Nash.Reputasi Cohen menanjak pesat. Barangkali perasaan ‘takut kalah’ Nash setelah duluketika muda usia merasa dikesampingkan oleh von Neumann membuat Nash menderitadepresi. Membawa koran yang disebutkan bahwa di dalamnya tersembunyi pesan rahasiadan bumi ada dalam ancaman kaisar dari Antartika. Setiap hari Nash membeli koran NewYork Times dan selalu berguman tentang perang, Paus dan hal-hal yang lain tidak adakaitannya sama sekali. Kondisi Nash membuat semua orang yang berhubungandengannya menjadi heran dan bingung. Alicia kemudian mengabarkan kondisi ini kepadaVirginia dan Martha. Ternyata saran dari ibu dan adik Nash adalah membawa Nashdalam pengawasan dan pengobatan dari rumah sakit. Saat itu penyakit yang diidap olehNash belum banyak diketahui obatnya, sehingga dicoba dilakukan terapi-terapi kategoribaru, salah satunya dengan memberi suntikan insulin dan yang paling membuat Aliciasedih adalah terapi shok listrik (electroshock). Beberapa bulan di rumah sakit, melihattidak ada kemajuan, Virginia dan Martha memindahkan Nash ke rumah sakit lain. Besarbiaya pengobatan membuat pihak-pihak yang pernah berhubungan dengan Nashmenggalang dana, dimana Oppenheimer menjadi pemrakarsanya.

Lahirnya John CharlesAlicia sedang mengandung John Charles ketika Nash masih harus menjalani perawatan dirumah sakit. Nash yang sudah sering mengancam akan menjual semua hartanya danpindah ke Eropa, sehingga Alicia memutuskan untuk bercerai. Awalnya mereka berduaberangkat ke Perancis, namun karena Nash menjadi tidak berketentuan – karenapenyakitnya, dan kehabisan uang membuat Nash sendiri sering berkelana ke Swiss,Swedia dan Spanyol, bahkan pernah meminta suaka politik di Swiss. Alicia yang merasasendiri dan tidak berdaya lagi kembali ke Amerika.

Kelahiran John Charles membawa beban tersendiri bagi Alicia yang harus membesarkan

anak sendirian. Butuh biaya besar untuk membesarkan anak sedang Nash yang sudahkembali dari Perancis terus dirawat di rumah sakit, sehingga Alicia memutuskan untukbercerai. Tidak lama kemudian, Virginia meninggal sedangkan pembagian warisan diaturoleh perwalian (trustee). Ke luar dari rumah sakit, Nash pulang ke Bluefield. Lebihkurang selama satu tahun di tempat kelahirannya ini, Nash merasa terasing.Hubungannya dengan para tetangga dan terutama adiknya, Martha, memburuk. Marthamenganggap Nash sudah memberi aib bagi keluarga, sedangkan Nash merasa dendamkarena yang membuat dianya harus mengalami semua terapi di rumah sakit adalahprakarsa Virginia dan Martha.

Pada sisi lain, Alicia mengalami kesulitan keuangan dalam membesarkan John Charles.Beban ini, kemudian, diringankan dengan mengundang ibunya, Alicia Lopez yang sudahmenjadi janda, datang mengasuh John Charles sedangkan dia sendiri kembali bekerja.Ada beberapa hambatan sehingga akhirnya Alicia batal menikah lagi – dengan rekanNash, dan setia menunggu Nash yang berangsur pulih. Begitu pula Nash yangkesehatannya berangsur pulih menemukan bahwa rekan, teman, sesama ilmuwan dankeluarganya seakan-akan menjauhi dirinya, tidak mempunyai pilihan lain, kembalikepada Alicia.

Memenangkan NobelAlfred Nobel menciptakan hadiah Nobel untuk bidang fisika, kimia, pengobatan, sastradan perdamaian sejak tahun 1894. Hadiah Nobel untuk bidang ekonomi baru diadakansetelah hampir 70 tahun kemudian, dimana hadiah diprakarsai oleh Bank Sentral Swediadan diadministrasikan oleh Royal Swedish Academy of Sciences dan Yayasan Nobel.Paul Samuelson, Gunnar Myrdal dan Kenneth Arrow adalah nama-nama ekonom yangmenerima hadiah tersebut pada awal penyelenggaraannya. Pengajuan nama Nash olehsebagian anggota komite agak mengejutkan komite penilai pada saat itu.

Alasan bahwa game theory gagasan Nash dianggap sudah kadaluwarsa dan kondisi Nashpaska-schizophrenia, sudah banyak diketahui orang, dianggap tidak layak tampil dipanggung kehormatan penerimaan Nobel yang akan dihadiri oleh Raja Swedia ataumuncul gugatan dari pihak-pihak tertentu yang mungkin dirugikan sehingga dapatmuncul istilah skandal pemberian Nobel.

Tidaklah mengherankan apabila terjadi tarik-ulur dalam komite dan waktupengumumannya diundur lebih dari dua jam. John Nash bersama dengan John C.Harsanyi dan Reinhard Selten memenangkan Nobel ekonomi tahun l994. Apa yangterjadi di balik semua pemilihan itu tidak akan pernah terungkap, seperti yang dikatakanoleh Carl Olof Jacobson, Sekretaris jenderal, Royal Swedist Academy of Sciences, “Youwill have to wait to find out [the story of Nash’s prize] in fifty years. We will never revealit.”

Paska-NobelHarold Kuhn sebagai pimpinan Princeton sudah mengetahui terlebih dahulu dan Aliciasudah diberitahu bahwa Nash akan menerima Nobel, namun ada ketentuan untukmerahasiakan. Selesai penyerahan hadiah bahkan Nash sempat bercanda dengan Raja

Swedia tentang mobil. Beberapa hari kemudian, memberikan kuliah di universitasUppsala. Kemenangan ini membangkitkan kembali gairah Nash karena banyak orangdatang mengunjungi, mahasiswa meminta konsultasi darinya, memberi kuliah danterlebih penting lagi tidak ada lagi orang menganggap dirinya sebagai ‘orang aneh’ yangselalu bergentayangan di perpustakaan Princeton. Seiring dengan kemenangan ini kondisikeuangan keluarga Nash membaik. Mampu melunasi hipotik dan mengganti atap rumahadalah beberapa hal yang dapat dilakukan keluarga Nash berkat hadiah Nobel ini.

Ketika Nash (bersama Alicia) menerima hadiah Nobel, John Charles sedang dirawat dirumah sakit. Rupanya schizophrenia merupakan penyakit keturunan, dibawa olehchromosom. Waktu-waktu luangnya digunakan untuk mengunjung Eleanor dan JohnDavid di Boston yang kuliah bidang perawatan (nursery). John Charles yang suksesmeraih gelar Ph. D tinggal bersamanya. Apabila Alicia berangkat bekerja, mereka seringsarapan bersama, diajak ke perpustakaan, bermain catur melawan komputer, dalam dalamwaktu-waktu tertentu diantar oleh Nash untuk terapi karena menderita schizophreniapula. Kondisi John Charles ini menjadi sumber problem bagi hubungan Nash dan Alicia,namun dengan kemajuan di bidang pengobatan, maka dampak penyakit itu dapatdiminimalisir. John Charles juga mempunyai minat pada matematika dan ketekunan Nashdalam merawat John Charles membuat Alicia dapat memaklumi keadaan ini.

PenutupNash sendiri mengumpulkan hasil-hasil karyanya, bukan untuk diterbitkan namundigunakan sebagai bahan pemikiran bagi perjalanan hidupnya. Minat Nash sedikitberubah. Apabila dahulu menekuni matematika, sekarang menggunakan teori matematikaguna memahami alam semesta (universe), seperti yang pernah diungkapkan padapertemuan singkatnya dengan Einstein, saat masih muda. Hubungan dengan Marthakembali membaik dan Nash setiap minggu selalu menghubungi Martha lewat telepon.

Riwayat Nash tidak banyak diketahui orang apabila tidak ada riset mendalam sepertiyang dilakukan oleh Sylvia Nasar yang tertuang dalam buku berjudul Beautiful Mind,The Life of Mathematical Genius and Nobel Laureate John Nash. Diawali dari buku ini,tidak lama kemudian dibuat film dengan judul Beautiful Mind dengan pemeran utamaRussell Crowe.

Komentar tentang kehidupannya yang dibuat film, John Nash mengucapkan pesansingkat ketika pemeran dirinya, Russell Crowe, menyambangi dirinya, “You’re going tohave to go through all these transformation!” Sampai hari ini kesehatan Nash terusmembaik.

*) Manifold adalah suatu obyek yang tidak punya ujung atau batasan namun bukanmerupakan ketakterhinggaan, namun tertutup seperti bentuk globe dan tidak mempunyailengkungan atau permukaan yang tajam. Salah satu jenis aljabarik, seperti manifold, jugamerupakan obyek-obyek geometri yangdapat dinyatakan dalam persamaan. Contoh: x2 +y2 = 1 adalah bentuk lingkaran, sedangkan xy = 1 adalah bentuk hiperbola. PenjabaranNash lewat manifold ini mengegerkan mengejutkan kalangan matematikawan terutamaMichael Artin di MIT dan Barry Mazur di Harvard (baca: Andrew Wiles).

SumbangsihJohn Nash dengan menggunakan game theory banyak berkutat dengan problem-problemsehari-hari sehingga tidaklah mengherankan apabila mendapat Nobel dalam bidangekonomi. Game theory versi Nash membiarkan terjadi kondisi kooperatif, dimana hal initidak dijelaskan dalam game theory versi von Neumann yang hanya mengenal kondisimenang dan kalah. Gagasan Nash ini, meskipun diilhami oleh perang dingin antaraSoviet dan Amerika, ternyata dapat diaplikasikan dalam [transaksi] lelang, dimana pihakpemenang tidak akan terlalu mengecewakan pihak yang kalah.

Terdapat dua macam sumbangsih matematika: karya yang penting bagi sejarahmatematika dan karya yang menyederhanakan kemenangan jiwa manusia.(There are two kinds of mathematical contributions: work that’s important to the historyof mathematics and work that’s simply triumph of the human spirit.

Paul J. Cohen

Matematikawan yang selalu kuatir dengan kesehatannya

Kurt Godel(1906 – 1978)

Masa kecilAyah Kurt Godel adalah Rudolf Godel yang warga negara berasal dari Wina dan ibunyabernama Marianne Hadschuh. Rudolf tidak mempunyai rencana tentang pendidikan bagiKurt karena diharapkan akan meneruskan jabatan menjadi direktur utama bagi pabriktekstril besar milik keluarga yang terletak di Brunn (sekarang Brno masuk wilayahRepublik Czech). Ibu Kurt berasal dari Rhineland adalah anak Gustav Handschuh yangmempunyai hubungan usaha tekstil juga tinggal di Brunn. Tidak seperti Rudolf yangtidak mengenyam pendidikan, sedangkan Marianne sebaliknya pernah bersekolah diPerancis. Kurt mempunyai kakak kandung yang diberi nama sama dengan ayahnya,Rudolf. Kurt kecil hidup berkecukupan. Ketika berumur 6 tahun terserang rematik dansembuh. Setelah umur 8 tahun mulai membaca buku-buku kedokteran untuk mengetahuipenyakit dirinya sebelum diketahui bahwa jantungnya lemah dan ada kemungkinanmengalami komplikasi. Mengetahui ‘kelemahan’ dirinya, maka hari-harinya selaludipenuhi dengan rasa kuatir tentang penyakit tersebut.

Tahun 1923, menyelesaikan sekolah menengah di Bruun dengan nilai bahasa danmatematika di atas nilai sastra dan sejarah dan memasuki universitas Wina dengan minatstudi matematika atau fisika teori. Dengan dosen pengajar kompeten seperti: Furtwangler,Hahn, Wirtinger ternyata membuat Kurt sadar diri dan memutsukan bahwa matematikamenjadi kuliah utama. Furtwangler, matematikawan handal dan seorang guru teladan,yang harus mengajar di atas kursi roda karena tubuhnya lumpuh, rupanya memberipengaruh besar bagi Kurt untuk menekuni matematika.

Lulus Universitas WinaKurt yang selalu kuatir dengan kesehatannya, ternyata mulai menyukai matematika dan

mengikuti seminar yang diselenggarakan oleh Schlick yang membahas buku Introductionto Mathematical Philosophy karya [Bertrand] Russell. Hahn yang menekuni danmengajar logika menjadi dosen Kurt serta merta mengetahui bakat besar Kurtmenyediakan diri apabila Kurt membutuhkan bantuannya. Tidaklah mengherankanapabila pada tahun 1929, disertasi doktoral Kurt di bawah bimbingan Hahn yang diberijudul Proving the Completeness of the First Order Functional Calculus.

Lulus dan diangkat menjadi anggota fakultas Universitas Wina terhitung tahun 1930.Jabatan pengajar positifisme logikal (logical positivism) sampai ini tahun 1938.Bersamaan dengan lulusnya Kurt, ayahnya meninggal dan meninggalkan harta yangsangat besar nilainya. Keuangan keluarga terjamin, dan ibunya lebih memilih tinggal disebuah flat besar bersama kedua anak lelakinya. Ibu bahagia ini kembali menekuni minatlamanya yaitu mempelajari budaya Wina dan ‘rajin’ menghadiri theatre bersama keduaanaknya. Rudolf, kakak Kurt, sukses menjadi seorang radiologis.

Theorema GodelGodel dikenal lewat pembuktian “Theorema-theorema Ketidaklengkapan Godel” (GodelIncompleteness Theorems) yang dicetuskan pada tahun 1931. Godel melakukanpembuktian terhadap hasil-hasil yang diperoleh lewat sistem aksiomatik, yaitu sistemaksiomatik matematikal yang digunakan untuk membuktikan salah atau benar proposisi-proposisi yang terkandung dalam sistem aksioma. Kiprah Godel ini merupakan lanjutandari upaya para matematikawan abad sebelumnya yang itu membakukan aksioma dalammatematika yang mendasarkan diri pada aksiomatika. Upaya paling muktahir tentangaksiomatik telah dilakukan oleh Russell dalam buku Principia Mathematica (1910-1913)yang dikarang bersama Whitehead. Matematikawan lain yang berkecimpung dalamaksiomatik adalah Hilbert yang dirombak oleh Godel. Theorema Godel memang tidakmenghancurkan semua ide dasar kaum formalis, namun di sini dipaparkan bahwa sistemapapun dapat menjadi lebih komprehensif daripada yang dijabarkan oleh [David] Hilbert.Prestasi Godel ini menjadi tonggak matematika pada awal abad 20, menunjukkan bahwamatematika bukan suatu obyek yang matang, seperti yang diyakini selama ini. Implikasilain adalah komputer tidak dapat diprogram untuk menjawab semua problem-problemmatematikal. Pakar logika lain yang menekuni bidang ini adalah Zermelo yangmemperoleh hasil sama dengan Godel. Mereka berdua bertemu dalam suasana damai diBad Elster pada tahun 1931. Godel menyampaian makalah “Ketidaklengkapan” diuniversitas Wina pada akhir tahun 1932, sebelum diangkat menjadi dosen universitasWina pada tahun 1933.

Pindah ke PrincetonTahun 1933, kekuatan Hitler di Jerman tumbuh. Awalnya perkembangan politik tidakmempengaruhi kehidupan Godel di Wina. Tahun 1934, Godel memberikan kuliah diPrinceton tentang “On undecidable propositions of formal mathematical system.” Bahankuliah ini kemudian diterbitkan secara bersambung di Princeton sebelum Godel kembalike Eropa dengan kelelahan mental. Godel memberitahu Rudolf bahwa dirinya mengalamidepresi dan tinggal di Paris. Beberapa bulan Godel dirawat di sanatorium gunapenyembuhan diri.

Meski sakit, namun Godel terus melakukan riset sampai akhirnya ditemukan Axiom ofChoice dengan aksioma-aksioma lain untuk teori himpunan (set theory) pada tahun 1935.Dalam suatu kesempatan menjadi pembicara dalam seminar pada tahun 1936, ide-idelogika Godel ‘dibantai’ oleh para mahasiswa yang menghadiri, dimana hal ini membuatdirinya kembali mengalami depresi. Sempat mengunjungi Gottingen pada tahun 1938,dan memberi penjelasan tentang riset terhadap teori himpunan yang sedangdilakukannya. Pulang ke Wina untuk menikah dengan Adele Porkets dikenalnya sejaktahun 1927 pada punghujung tahun 1938. Maret 1938, Austria menjadi bagian Jermannamun Godel sudah tidak tahan dengan situasi ini. Saat melakukan kunjungan Princetonuntuk kedua kalinya dan mengajar pada tahun 1938 –1939, Godel akhirnya migrasi keAmerika bersama keluarganya pada tahun 1940. Perang yang mulai pecah dan takutdengan tentara Jerman karena dirinya keturunan Yahudi membuat dia melewati Rusiadan Jepang sebelum ke Amerika.

Karya-karya GodelTahun 1940, Godel kembali sampai di Amerika Serikat dan mendapat kewarganegaraanAmerika pada tahun 1948. Selama itu, Godel menjadi anggota tetap Institute for AdvanceStudy sampai tahun 1953. Terhitung sejak tahun 1953 menjadi pejabat di Princetonsampai meninggalnya, tanpa ada kewajiban untuk mengajar. Pada saat itu pula diPrinceton berkumpul ilmuwan-ilmuwan seperti Einstein dan von Neumann. Barangkalipengaruh Einstein pula, Godel juga tertarik dan memberi sumbangsih dalam teorirelativitas. Godel memperoleh penghargaan Einstein (Einstein Award) pada tahun 1951.Menjadi anggota Royal Society, London Mathematicak Society, Institute of France.Menolak kehormatan yang akan diberikan oleh Akademi Sains di Wina dan penghargaanyang ditawarkan oleh Pemerintah Austria karena perlakuan pemerintah terhadapkeluarganya dianggapnya tidak adil. Ibunya meninggalnya kota Wina pada tahun 1937,dan memilih tinggal di vilanya di Brno. Rudolf tetap tinggal di Wina sampai 1944 sambilberharap Jerman kalah dan pada tahun itu pula ibunya kembali dan tinggal bersamaRudolf di Wina. Setelah pe rang berakhir vilanya di Brno diperebutkan antaraPemerintah Austria dan Czech, dan hanya keluarganya hanya menerima sepersepuluh.Rupanya hal ini yang membuat Godel berang dan tidak ingin kembali ke Austria lagi.

Di Amerika Godel mengeluarkan karya besarnya Consistency of the axiom of choice andof the generalized continuum-hypothesis with the axioms of set theory pada tahun 1940.Lewat karya ini, Godel membuktikan bahwa sistem aksiomatik teori himpunan yangdicetuskan oleh Russell dan Whitehead dalam Principia Mathematica adalah konsisten,dan akan tetap konsisten meski ditambah dengan aksioma pilihan dan hipotesis-kontinuum yang digeneralisasi. Kelak bidang kajian ini dikembangkan lebih lanjut olehCohen pada tahun 1963.

Masa akhirGodel selalu merasa kuatir dengan kesehatannya sendiri dan terlalu keras kepalamenerima pendapat orang lain. Disebutkan oleh Rudolf bahwa Godel belajar mengobatidiri sendiri selain mempelajari matematika. Hal ini membuat dokter sulit menanganipendarahan pada usus duabelasjari Godel. Selalu menjaga makanan (diet) dengan ketatsehingga berat badannya dengan cepat merosot. Adeli, istrinya, selalu memberi

dukungan, namun akhirnya mengalami dua kali stroke dan harus dioperasi. Menjelangkematiannya, Godel masih mempunyai pikiran bahwa dirinya diracuni. Pada masa tua iniGodel tidak pernah bepergian atau mengajar lagi, namun hanya menyukai diskusi tentangfilsafat saja. Setelah lama dirawat di rumah sakit Princeton akhirnya Godel meninggalpada tanggal 14 Januari 1978 dengan meninggalkan warisan berupa ide-ide cemerlangyang membantu para matematikawan yang hidup di kemudian hari.

SumbangsihSistem aksioma dengan menggunakan proposisi-proposisi ini mendasari perkembanganilmu logika dan pada akhirnya menjadi struktur pemrograman komputer. Godelmempercepat revolusi program komputer dengan melengkapi apa yang sudah dirintisoleh [George] Boole dan memperbaharui aksiomatik dari Russell dan Whitehead.

Andre Weil(1906 – 1998)

Masa kecilAndre Weil lahir di Paris, anak pasangan suami-istri keturunan Yahudi. Belajarmatematika di universitas Paris, dilanjutkan di Roma dan Gottingen. Memperoleh gelarD. Sc. dari Universitas Paris pada tahun 1928. Setelah lulus, Weil mulai mengajar diUniversitas Aligarh Muslim di India dari tahun 1930 – 1932, disusul di UniversitasStrasbourg, Perancis mulai tahun 1933 sampai pecah PD II. Perang adalah malapetakabagi Weil dan berusaha keras menghindari wajib militer. Weil meninggalkan Parismenuju ke Firlandia sampai perang pecah dan tetap berusaha menolak menjadi tentara,namun hal ini tidak mudah karena seluruh Eropa dilanda perang. Akhirnya, Weilditangkap di Firlandia karena tuduhan mata-mata dan selamat dari hukuman tembakkarena campur tangan Rolf Nevanlinna. Weil kemudian dipulangkan ke Perancis dandimasukkan ke dalam penjara. Kehidupan Weil, pada saat itu ibarat telur di ujung tanduk.Sebagian karena Weil keturunan Yahudi dan sebagian lainnya, karena saudarinya,Simone Weil, adalah seorang filsuf yang menjadi tokoh utama penentang (oposan)pemerintah Perancis. Memahami situasi sulit ini, akhirnya, Weil memilih menjadi tentara.Kesediaan ini membuat Weil dikeluarkan dari penjara dan ingin ‘mengabdi’ sebagaitentara sebatas ketentuan saja. Begitu ada kesempatan, Weil langsung ke Amerika.

Nama Weil tercemarNama Weil mencuat pada saat orang berusaha memecahkan theorema Fermat yangakhirnya dapat dibuktikan oleh Andrew Wiles (baca:Andrew Wiles). Weil mencetuskanprakiraan (conjecture) Weil-Taniyama yang ternyata merupakan contekan (plagiat).Untuk mengetahui kisah ini harus dirunut kembali pada masa tahun 1950-an di Tokyo.Ada dua orang bersahabat lulus dalam bidang matematika yaitu Yutaka Taniyama danGoro Shimura. Keduanya selalu bertemu dan berdiskusi tentang matematika dan merekaberdua juga ikut membantu mengorganisasi untuk penyelenggaraan simposium Tokyo-Nikko pada tahun 1955 dengan pokok bahasan teori bilangan aljabarik.

Dalam simposium itu, Weil bertemu dengan mereka berdua, sambil ditemani oleh [Jean-Pierre] Serre, Nama Weil, saat itu, dalam kapasitasnya sebagai profesor universitas

Chicago, sangatlah terkenal. Bagi kedua pemuda Jepang nyang belum dikenal ini,simposium ini membuka kesempatan untuk melanjutkan studi di Eropa atau Amerika.Beberapa tahun kemudian, Shimura berangkat ke Paris, sebelum akhirnya menetap diPrinceton. Taniyama, tanpa alasan yang jelas, bunuh diri pada tahun 1958.

Selama di Princeton ini, Shimura mengemukakan prakiraan (conjecture) yangmenyatakan bahwa setiap kurva eliptik laksana bagian dari gunung es yang muncul diatas permukaan air sehingga dapat dapat disebut dengan kurva modular. Sempat bertemudengan Serre yang merasa skeptis dengan prakiraan tersebut sebelum mengemukakannyakepada Weil. Tidak lama Weil menerbitkan makalah tentang toik di atas dengan adaptasisehingga muncul prakiraan Weil-Taniyama menggantikan Shimura-Taniyama. Prakiraanini tidak ada yang perduli, namun pada tahun 1995-an banyak matematikawanmengetahui kejanggalannya dan merujuk kembali kepada nama Shimura-Taniyamasebagai pencetus awal.

Selain kisah ‘plagiat’ itu, Weil memberi temuan penting dalam menemukan hubunganantara topologi dan teori bilangan, formulasi ini lebih dikenal dengan sebutan conjectureWeil (kelak akan dibuktikan oleh Grothendieck dan Deligne); teori himpunan (grouptheory); “hipotesis Riemann” bagi bidang-bidang fungsi (function fields), meletakkandasar mekanika kuantum; teori modern tentang variasi-variasi Abelian; dasar teoribentuk-bentuk modular. Teori modular ini memberi jalan buat pembuktian TTF. KajianWeil juga mencakup bidang di luar matematika, seperti fisika partikel dasar dan stringtheory.

Karya-karya Weil yang terkenal adalah Foundations of Algebraic Geometry (1946) danElliptic Functions According to Einsenstein dan Kronecker (1976).

Kelompok BourbakiBanyak buku-buku matematika terkemuka yang terbit di Perancis, dalam bahasaPerancis, dengan pengarang Nicolas Bourbaki. Nama ini adalah nama seorang jenderalYunani kuno (1816-1897), dimana pada tahun 1862 ditawari tahta Yunani, namunditolak. Jenderal ini memegang peran besar pada perang Franco-Prusia, dan patungnyaterdapat di kota Nancy. Apa hubungan jenderal dengan ini dengan matematika?

Alkisah, setelah PD I berakhir, Hemingway, Picasso dan Matisse sering duduk-dudukbertemu dengan teman-teman lama mereka di café, tidak jauh letaknya dari UniversitasParis, dimana saat ini mempunyai komunitas matematika.

Di AmerikaMenuju ke Pennsylvania yang mengajar di Haverford College dan Swarthmore Collegeterhitung tahun 1941, sebelum mengajar di Universitas Sao Paulo, Brazil, pada tahun1945. Selama da tahun di Brazil, sebelum kembali ke Amerika pada tahun 1947 danmengajar di universitas Chicago sampai tahun 1958. Lepas dari universitas Chicagomulai bekerja di Institute for Advance Study di universitas Princeton (baca pula: KurtGodel dan John Nash). Pensiun pada tahun 1976 dan diangkat menjadi profesor emiritus.

Para profesor pengajar sering menemui teman-temannya di café-cafes tersebut danberdiskusi tentang …matematika. Nama Bourbaki tercetus karena setiap tahunUniversitas Paris selalu menghadirkan aktor profesional yang mengatasnamakan fakultasdan para lulusan yang menyebut dirinya Nicolas Bourbaki. Di balik semua karyamatematika ini, rupanya Weil bersama dengan [Jean] Dieudonne dan rekan-rekannya,para ilmuwan Perancis menulis banyak artikel dengan nama samaran Nicolas Bourbaki,proyek yang dimulai pada awal tahun 1930-an ini mempunyai misi yaitu memberigambaran komplit tentang matematika.

Tahun 1979, Weil menerima penghargaan Wolf Prize dan pada tahun yang samaAmerican Mathematical Society memberi Steele Prize. Jepang juga memberipenghargaan kepada Weil pada tahun 1994 yaitu Kyoto Prize dari Inamori Foundation ofJapan.

SumbangsihTerlepas dari tragedi plagiat, sumbangsih Weil terhadap perkembangan matematikacukup besar terutama prakiraan (conjecture) yang mengabadikan namanya sehingga teorimodular memperoleh momentum. Kelak teori inilah yang mendasari Wiles membuktikanTTF.

Tetaplah tegar pada sikap menolak anda agar selalu menaruh perhatian terhadap pelajaranaljabar. Dalam dunia nyata, saya jamin, tidak ada sesuatupun yang mirip dengan aljabar.(Stand firm in your refusal to remain conscious during algebra. In real life, I assure you, there is

no such thing as algebra)

Fran Lebowitz

Matematikawan perintis institut matematika

Richard Courant(1888 – 1972)

Masa kecilRichard Courant (untuk selanjutnya disebut Courant) mempunyai ayah bernamaSiegmund Courant dan ibunya bernama Martha Freund. Siegmund mempunyaikakak lelaki bernama Jakob, namun hubungan mereka berdua tidak akur. Padawaktu Courant lahir, saham perusahaan keluarga milik Siegmund yang berada diLubliniec (sekarang masuk Polandia) dijual dan mereka sekeluarga pindah keGlantz dan membeli suatu usaha di Glantz ketika Courant berusia 3 tahun danadik ketiganya masih bayi.

Saat Courant berusia 9 tahun, mereka sekeluarga pindah lagi ke Breslau.Rupanya kepindahkan ke Breslau dengan membeli suatu perusahaan di sana,setelah terlebih dahulu menolak saran dari Jakob, membuat problem sendiri. danCourant bersekolah di sana. Pada awal sekolah ini Courant sudah berusah-payah namun nilai matematika yang didapat jauh dari memuaskan.

Umur 14 tahun, Courant mulai dapat mencari uang sendiri guna membiayaihidup dengan cara memberi bimbingan atau les. Tragedi tidak dapat ditolak,usaha keluarga yang dikelola Jakob bangkrut dan Jakob bunuh diri. Semuasaudaranya menyalahkan Siegmund dan Martha yang tidak mau meneruskanbisnis keluarga. Tidak lama usaha Siegmund bangkrut dan Siegmund bekerjapada sebuah perusahaaan asuransi di Breslau sedangkan Courant mulaimenghadapi kesulitan, baik dalam sekolah maupun memberi les. Peruntungandicoba diperbaiki Siegmund dengan pindah ke Berlin pada tahun 1904,sedangkan Courant mencari pondokan di Bleslau dan tetap memberikan les.

Asisten HilbertMeskipun tidak lulus ujian masuk universitas, namun pada tahun 1905, Courantmampu menghadiri kelas matematika dan fisika di Universitas Breslau. Tahun1906, lulus tes masuk universitas, terus belajar dan sekarang secara resmitercatat sebagai mahasiswa. Pelajaran fisika yang menjadi minat utamanyanamun dalam penyajiannya membuat dirinya tidak suka dan menjadi lebihtertarik dengan matematika.

Courant diajar oleh dosen-dosen matematika ternama seperti: [Adolf} Kneser,[Georg] Landsberg an [Jakob] Rosanes. Semua dosen hebat ini ternyata belummampu membangkitan gairah matematika Courant. Semasa bersekolah diBreslau ini, Courant mempunyai dua orang teman baik: Otto Toeplitz dan ErnstHellinger.

Umur mereka berdua terpaut beberapa tahun dengan Courant dan merekameneruskan kuliah di Gottingen dimana setelah beberapa tahun memberitahuCourant bahwa kuliah Hilbert di Gottingen sangat menarik. Mengetahui hal iniCourant pergi meninggalkan Breslau pada awal tahun 1907 dan masukuniversitas Gottingen pada bulan November 1907.

Courant mulai kuliah matematika yang dibawakan oleh Hilbert dan Minkowskidan diperkenankan mengikuti seminat dari kedua matematikawan terkemukaGottingen ini dalam fisika matematikal. Masih ada waktu luang, Courant jugamengambil kuliah di bidang fisika dan filsafat. Asisten Hilbert sudah lulus doktoraldan Courant ditunjuk untuk menggantikannya dan peristiwa ini terjadi pada tahun1908. Empat semester pertama Courant menjadi asisten Hilbert untuk bidanganalisis yang ternyata menjadi subyek yang mampu menarik hatinya.

Ikut perangCourant memperoleh gelar doktorat Gottingen di bawah bimbingan Hilbert padatahun 1910 dengan tesis berjudul On the Application of Dirichlet’s principle to theproblems of conformal mappings pada tahun 1910. Akhir tahun 1910, Courantwajib mengikuti milisi. Pada saat bersamaan Hensel memberi tawaran mengajardi Marburg karena Gottingen belum memberi tawaran, namun begitu Courantakan membalas tawaran Hensel, Hilbert menyarankan agar tetap di Gottingendan meninggalkan milisi. Hilbert juga bersedia membewi tunjangan kepada

kedua orang tua Courant yang masih tinggal di Berlin.

Kembali Courant menekuni prinsip Diricletsebelum akhirnya lulus pada tahun1912 dan menjadi dosen pengajar di Gottingen sampai mulainya Perang Dunia I.Begitu lulus ini, Courant langsung menikah dengan Nelly Neumann, bekastemannya sewaktu di Breslau yang juga seorang matematikawan.

Perang pecah dan Courant terdaftar sebagai pasukan. Sebelum perang, Courantterserang penyakit tipus. Begitu sembuh langsung ikut perang, namun karenamengetahui bahwa hampir semua rekan sesama pasukan meninggal, Courantmendaftar sebagai prajurit yang bertugas merancang sistem telegrap, sehinggadia harus kembali ke Gottingen untuk mendiskusikan hal ini. Gagasan yangtimbuk diaplikasikan dengan menciptakan kotak yang mampu mengtransmisikansinyal, untuk kemudian dibawa kembali ke tengah medan perang.

Kembali ke GottingenAkhir tahun 1915, Courant terluka dan dipulangkan. Tidak lama bercerai denganNelly Neumann. Beruntunglah Courant terluka, tertolong kotak ciptaannya,karena tugas hanya memberi pelatihan cara menggunakan bukan terjun sebagaiprajurit ke kancah perang. Pada masa perang inipun, Courant selalu membawapenelitian matematika.

Sewaktu Springer menerbitkan jurnal baru Mathematische Zeitschrift pada awaltahun 1918, makalah karya Courant muncul pada edisi kedua jurnal tersebut. PDI berakhir dan Courant kembali ke Gottingen. Menikah kembali dengan NerinaRunge sambil terus melakukan penelitian matematika. Pada awal tahun 1920,Courant menjabat sebagai kepala departeman matematika di Munster,menggantikan Killing yang pensiun. Rupanya kepergian Courant membuatGottingen merasa kehilangan sehingga Hilbert dan Klein mengundang kembaliCourant untuk menggantikan Hecke yang pindah ke Hamburg.

Tahun 1922, Courant mencetuskan gagasan mendirikan Institut matematikayang pada awalnya masih belum mempunyai gedung kuliah, dimana gedungbaru dibangun pada tahun 1927. Tahun 1922, Courant meneribitkan bukutentang teori fungsi. Sempat berkolaborasi dengan Hurwitz yang meninggal padatahun 1919, namun karya yang berasal dari bahan kuliah Hurwitz ditambahdengan beberapa bahan baru.

Migrasi ke AmerikaMasa tenang ini membuat Courant produktif. Pada tahun 1924 bersama denganHilbert menerbitkan buku teks Methoden der mathematischen Physik. Di sini,kembali, peran Courant adalah mengkompilasi bahan-bahan kuliah Hilbert, dandiberi tambahan disana-sini. Minat tampak Courant pindah ke fisika matematikal,karena pada tahun berikutnya, setelah mempunyai asisten, Friedrichs, Courantmenulis lanjutan Courant-Hilbert tentang topik di atas. Institut Matematika sudahhampir berdiri sendiri pada tahun 1928 dan berjalan penuh pada penghujung

tahun 1929. Tahun 1932, Courant diundang mengajar di universitas-universitasternama di Amerika.

Begitu Nazi dan Hitler mulai berkuasa pada tahun 1933, Courant meninggalkanGottingen dan berlibur ke Swiss sambil berusaha menyelesaikan jilid keduaCourant-Hilbert dengan bantuan Friedrich. Rencana cuti ini akhirnya di luarrencana karena alasan politis. Ke luar larangan agar semua keturunan Yahuditidak boleh lagi memegang jabatan di universitas dan jabatan-jabatan lain ataudipensiun lebih cepat. Weyl ditunjuk menggantikan posisinya di Institutmatematika, sedangkan Courant sendiri diberi penawaran mengajar di Istambul.

Awalnya menerima tawaran ke Cambridge, namun akhirnya hanya bertahansetahun sebelum berangkat ke universitas New York. Sebagai perintis dan tidakada matematikawan handal membuat Courant sulit mengembangkan gagasanInstitut matematika seperti di Gottingen.

Kebijakan Hitler membuat banyak matematikawan Jerman pindah ke Amerika,termasuk asistennya, Friedrich, pada tahun-tahun menjelang PD II. Lewatkampanye dan menggalang dana dari orang-orang Yahudi yang tinggal di NewYork, Courant mampu mengembangkan Institut dan menarik matematikawandari universitas lain maupun menampung matematikawan yang berasal dariJerman. Diketahui bahwa John Nash sempai ‘mampir’ di New York sebelum kePrinceton.

Masa tuaTahun 1940-1941 mengarang buku bersama Herbert Robbins, seorang topologismuda dari Harvard, berjudul What is mathematics? Buku ini sangat terkenal danmasih dicetak sampai hari ini (direvisi oleh Ian Stewart, Mathematics Instituteuniversitas Warwick). Courant memberikan aplikasi metode numerikal gunamenyelesaikan problem torsi pada tahun 1943, meskipun baru terbit pada tahun1960.

Terhitung mulai tahun 1947 sampai meninggalnya, hampir setiap tahun Courantpergi ke Jerman, namun tidak ada keinginan untuk menetap lagi. Kedudukanbergengsi sebagai direktur Institute of Mathematical Science di universitas NewYork yang terus dijabat sampai tahun 1958, dan pada tahun 1964, untukmenghormati, nama institut diubah menjadi Institut Courant. Adalah sebuahironis, sukses Institut Gottingen diadopsikan di Amerika sedang di Gottingensendiri akhirnya tidak berkembang.

Diserang stroke, dan harus tinggal di rumah sakit selama dua bulan, sebelumakhirnya Courant meninggal.

SumbangsihPeninggalan utama dari Courant tidak pelak lagi adalah buku What ismathematics? Buku ini berisi pandangan Courant, namun penyajian yang

sederhana dan menarik menjadikan buku ini buku teks klasik untuk matematika.Sumbangsih lain adalah mengembangkan Institut di New York dengan reputasitidak kalah dengan Harvard dan Princeton yang dianggap sebagai acuan bagipara matematikawan terkemuka.

Apabila Anda tidak dapat menyelesaikan problem, maka ada problem termudah yangtidak dapat Anda selesaikan: menemukannya.(If you can’t solve a problem, then there is an easier problem you can’t solve: find it)

George Polya

Bapak problem solving

George Polya(1887 – 1985)

Masa kecilPasangan suami istri berdarah Yahudi, Jakab Polya dan Anna Deutsch, menikah danlahirlah Geolge Polya sebagai anak keempat dari lima bersaudara. Keluarga ibu sudahbeberapa generasi tinggi di kota Buda, namun pada tahun 1872, kota Buda digabungdengan kota Obuda dan Pest dan hasil merjer kota ini adalah kota Budapest. Meskipunmenyandang nama Polya sebagai nama keluarga dan anaknya awalnya bernama Gyorgy(kemudian disebut George) ketika baru lahir, namun nama Polya ini hanya disandangselama lima tahun. Jakab Polya berganti nama menjadi Jakab Pollak. Untuk mengetahuipergantian nama ini, kita perlu mengetahui karir Jakab dan sedikit tentang sejarahHongaria.

Jakab adalah seorang pengacara, dan kantor hukum ini kemudian bangkrut sebelumbekerja pada perusahaan asuransi. Minat Jakab sesungguhnya adalah karir dalam bidangakademis dan melakukan riset subyek yang disukainya yaitu: ilmu ekonomi dan statistik.Tahun 1867, Hungaria terbebas dari sistem monarkhi, dimana pada saat ini Jakab melihatkesempatan untuk menekuni subyek yang diminati. Untuk memperbesar peluang masukuniversitas, maka Jakab mengubah nama Yahudi menjadi nama yang berkesan orangHongaria asli yaitu Pollak. Semua ini terjadi pada tahun 1882 sebelum Jakab diangkatmenjadi dosen di universitas Budapest, namun jabatan itu tidak lama diembannya karenapada saat umur George 10 tahun, Jakab meninggal.

Mempelajari bahasaAnna Deutsch yang berusia 44 tahun berusaha payah guna menghidupi 5 anak. Kakaklaki sulung, Jeno, sedang kuliah di bidang kedokteran, sedangkan dua kakakperempuannya, Ilona dan Flora terpaksa bekerja sebagai karyawan perusahaan asuransi.George mempunyai seorang adik lelaki, Laslo, yang sangat cerdas, namun tidak berumurpanjang karena meninggal ketika berkecamuk Perang Dunia I. Minat utama Jenosebenarnya adalah matematika, namun salah kuliah di bidang kedokteran, dimana minatini rupanya justru menjadi jalur hidup adiknya, George.

Ibunya ingin agar George meneruskan profesi ayahnya sebagai seorang pengacaradengan kuliah di bidang hukum. George lulus sekolah dasar pada tahun 1894, sebelummelanjutkan di Daniel Berzsenyi Gymnasium guna belajat bahasa Yunani klasik danbahasa Latin selain bahasa Jerman modern maupun bahasa asli Hongaria. Minat Georgeadalah biologi dan studi kepustakaan, namun menonjol dalam bidang geografi dansubyek-subyek lain. Matematika bukan bidang yang disukai George.Di sekolah, nilai mata pelajaran geometri mendapat nilai sedikit lebih baik dibandingaritmatika. Disinyalir bahwa cara mengajar guru yang salah membuat anak tidak dapatberprestasi.

Banting ‘setir’George lulus dan masuk universitas Budapest pada tahun 1905 dengan biaya ditanggungoleh Jeno yang sudah menjadi seorang ahli bedah. Awalnya George mengambil jurusanhukum, namun hanya bertahan satu semester karena dianggapnya membosankan. Bantingsetir dengan belajar berbagai bahasa dan kepustakaan yang menjadi minat utamanya,namun bertahan selama 2 tahun yang memperoleh sertifikat sebagai bekal untukmengajar bahasa Latin di sekolah menengah. Kecewa dengan kenyattan ini, Georgememutuskan untuk belajar filsafat, namun seorang profesor, Bernat Alexander,menyarankan agar George mengambil mata pelajaran fisika dan matematika untukmembantu memahami filsafat. Nasihat ini dituruti dan George belajar matematika.Disebutkannya bahwa fisika terlalu sulit dan filsafat terasa terlalu mudah, sedangmatematika berada di tengah-tengah.

Di universitas Budapest, Polya belajar fisika di bawah Eotvos dan matematika dibimbingoleh Fejer. Fejer, pada saat itu, adalah salah seorang matematikawan terkemukaHongaria. Bersama Fejer, Polya membuat karya-karya kolaborasi, dimana pengartuhFejer *) sangat terasa pada karya-karya Polya di kemudian hari.

Tahun 1910 - 1911, Polya kuliah di universitas Vienna, dengan uang yang diperolehlewat mengajar anak-anak orang kaya sebagai dosen pribadi. Di sini, kembali, Polyamendapatkan matematika dari tangan Wirtinger dan Mertens meskipun menambahpengetahuan fisika dengan kuliah teori relativitas, optik dan topik-topik lainnya.

Tahun berikutnya, Polya kembali ke Budapest dan dianugerahi dengan gelar doktorat dibidang matematika, terutama, dengan belajar sendiri, teori probabilitas geometri. Tahun1912 dan 1913 kembali menekuni matematika di Gottingen lewat kumpulanmatematikawan terkemuka di dunia seperti: Hilbert, Weyl, Edmund Landau, Runge,Courant, Hecke dan Toeplitz.

Pergi dari GottingenPolya meninggalkan Gottingen dalam situasi yang kurang menguntungkan. Dalamperjalanan dengan menggunakan kereta api, Polya terlibat pertengkaran dengan seoranganak muda. Diawali dengan koper jatuh, sebelum akhirnya Polya meninju telinga anakitu. Anak muda itu ternyata adalah anak seorang terpandang dan juga seorang mahasiswadi Gottingen. Kembali ke Gottingen, senat universitas memerintahkan agar Polyameninggalkan Gottingen.

Sempat mendapat tawaran di Frankfurt, namun sebelum mengambil keputusan, diaberangkat ke Paris untuk kunjungan singkat, yaitu menemui Emile Picard dan Hadamard.Akomodasi sangat sulit karena Perang Dunia I tengah berkecamuk. Setelah Fejer,pandangan matematika Polya sangat dipengaruhi oleh matematikawan idolanya, Hurwitz.Selama kunjungan ke Paris ini, sempat bertemu dengan Hurwitz yang mengupayakanagar dirinya dapat diterima sebagai dosen di ETH (Einstein lulus dari sekolah ini),Zurich, dimana Hurwitz adalah pemimpin departemen matematika.

Mengajar bersama Hurwitz, Geiser, Bernays, Zermelo dan Weyl di Zurich ini rupanyasalah waktu karena pada tahun itu pula pecah PD I. Meskipun Polya tidak dipilih sebagaitentara Hongaria karena cedera ketika bermain sepak bola, namun kehidupan menjadisangat sulit. Tentara Hingaria yang tidak banyak akhirnya harus memanggil Polya,namun ditolaknya. Konsekuensinya adalah ketika perang usai, Polya tidak diterima diHongaria. Mengetahui hal ini, Polya menjadi warga negara Swis dan menikah denganwanita Swis, Stella Vera Weber, yang tidak lain adalah anak seorang profesor fisika diuniversitas Neuchatel. Meskipun rindu dengan kampung halaman, namun niatnya baruterlaksana pada tahun 1967.

Karya kolaborasi PolyaPolya bertemu dengan Szego di Budapest pada kisaran tahun 1913, ketika yang baru sayapulang menuntut ilmu di mancanegara. Szego pada saat itu masih mahasiswa di Budupestdan bersama dengannya Polya mendiskusikan praduga (conjecture) karyanya terntangkoefisien-koefisien Fourier. Szego tertarik untuk membuktikan praduga Polya yangdijadikan karya publikasi perdananya. Beberapa tahun kemudian, ketika Polyamemutuskan untuk menulis buku tentang problem-problem dalam analisis, maka diameminta bantuan Szego dan hampir selama dua tahun mereka bekerja bersama.

Hasilnya buku karya Polya dan Szego tentang problem-problem dalam analisis sangatberbeda. Polya menjelaskan bahwa bukan problem yang menjadi subyek, tapi metodedalam solusi lebih menjadi penekanan. Mereka bersama-sama menemui penerbit padatahun 1923 dan karya mereka diterbitkan dalam dua jilid.

Tahun 1920, Polya diangkap menjadi profoseor luar biasa di ETZ disusul memperolehbea siswa dari Rockefeller (Rockefeller Dellowship) pada tahun 1924, yangmemungkinkan dirinya belajar bersama Hardy di Inggris. Mulai tahun itu, Polyaterkadang berada di Oxford atau Cambridge, bekerja bersama Hardy dan Littlewood.Buku karya trio matematikawan ini terbit pada tahun 1934 dengan judul Inequalities.Sambil mengerjakan buku itu, Polya juga membuat 31 makalah pada kurun waktu 1926-1928. Jangkauan topik, kedalaman dan banyaknya publikasi yang dilakukannya membuatdiangkat menjadi Ordinary profesor di ETH pada tahun 1928.

Matematikawan generalisPolya layak disebut matematikawan paling berpengaruh pada abad 20. Riset mendasaryang dilakukan pada bidang analisis kompleks, fisika matematikal, teori probabilitas,geometri dan kombinatorik banyak memberi sumbangsih bagi perkembangan

matematika. Sebagai seorang guru yang piawai, minat mengajar dan antusiasme tinggitidak pernah hilang sampai akhir hayatnya.

Semasa di Zurich-pun, karya-karya di bidang matematika sangat beragam dan produktif.Tahun 1918, mengarang makalah tentang deret, teori bilangan, sistem voting dankombinatorik. Tahun berikutnya, menambah dengan topik-topik seperti astronomi danprobabilitas. Meskipun pikiran sepenuhnya ditumpahkan untuk topik-topik di atas,namun Polya mampu membuat hasil mengesankan pada fungsi-fungsi integral.

Tahun 1933, Polya kembali mendapatkan Rockefeller Fellowship dan kali ini dia pergi kePrinceton. Saat di Amerika, Polya diundang oleh Blichfeldt untuk mengunjungi Stanfordyang menarik minatnya. Kembali ke Zurich pada tahun 1940, namun situasi di Eropa –menjelang PD II, memaksa Polya kembali ke Amerika. Bekerja di universitas Brown danSmith College selama 2 tahun, sebelu menerima undangan dari Stanford yangditerimanya dengan senang hati.

Sebelum meninggalkan Eropa, Polya sempat mengarang buku How to solve it yangditulis dalam bahasa Jerman. Setelah mencoba menawarkan ke berbagai penerbitakhirnya dialihbahasakan ke dalam bahasa Inggris sebelum diterbitkan oleh Princeton.Buku ini ternyata menjadi buku best seller yang terjual lebih dari 1 juta copy dan kelakdialihbahasakan ke dalam 17 bahasa.

Buku ini berisikan metode-metode sistematis guna menemukan solusi atas problem-problem yang dihadapi dan memungkinkan seseorang menemukan pemecahannya sendirikarena memang sudah ada dan dapat dicari.

Menyelesaikan problem (problem solving)Di bawah ini disajikan ringkasan dari buku How to solve it. Disebutkan ada beberapatahapan untuk menyelesaikan problem, yaitu:

1. Memahami problem

Problem apa yang dihadapi? Bagaimana kondisi dan datanya? Bagaimana memilahkondisi-kondisi tersebut?

2. Menyusun rencana

Menemkan hubungan antara data dengan hal-hal yang belum diketahui. Apakah pernahproblem yang mirip?

3. Melaksanakan rencana

Menjalankan rencana guna menemukan solusi, periksa setiap langkah dengan seksamauntuk membuktikan bahwa cara itu benar.

4. Menengok ke belakang

Melakukan penilaian terhadap solusi yang didapat.

Keempat tahapan ini lebih dikenal dengan See (memahami problem), Plan (menyusunrencana), Do (melaksanakan rencana) dan Check (menguji jawaban), sudah menjadijargon sehari-hari dalam penyelesaian problem sehingga Polya layak disebut dengan“Bapak problem solving.”

Masa tuaMasih terus mengarang buku namun temanya tetap, yaitu tentang pemecahan problem.Buku Mathematics and plausible reasoning terbit pada tahun 1954 disusul bukuMathematical discovery yang tediri dari dua jilid terbit pada tahun 1962 dan 1965.

Pernah mengajar sekolah menengah sehingga dapat memahami pelajaran matematikabagaimana yang harus diberikan kepada siswa agar mereka tetap menyukai matematika.Disebutkan bahwa matematika adalah tentang angka dan angka adalah abstraksi,sehingga untuk memecahkan problem sehari-hari terlebih dahulu harus membuat abstrak.

Tahun 1951, Polya pensiun dari Stanford namun waktu-waktu luangnya tetap dicurahkanuntuk mengembangkan pendidikan matematika. Diangkat oleh Stanford sebagai ProfesorEmeritus pada tahun 1977 menjelang ulang tahun ke-90, meskipun masih aktif mengajardi Departemen komputer di Stanford.

Memperoleh banyak penghargaan dari lembaga di berbagai negara seperi HungarianAcademy, London Mathematical Society, Swiss Mathematical Society, AmericanAcedemy of Arts and Sciences, Academie des Sciences adalah beberapa beberapadiantaranya.

Antusiasme dalam mengajar dan banyaknya topik masih bergema meskipun Polya sudahmeninggal pada tanggal 5 September 1985 di Palo Alto, California.

*) Penduduk Jerman (tidak termasuk Austria dan Swis) pada tahun 1800 lebih kurang 24juta sedangkan penduduk Hongaria pada tahun 1900 lebih kurang 8,7 juta. Negara kecilini mampu melahirkan matematikawan terkemuka dengan proporsi tertinggi di dunia.Nama-nama Bollobas, Elderyi, Erdos, Fejer, Haar, Kerekjarto, Konigs, Kurschak,Lakatos, Rado, Renyi, Rieszes, Szasz, Szego, Szokefalvi-Nagy, Turan, von Neumanndikenal dalam pecaturan matematikawan kelas dunia.

SumbangsihJangkauan matematika Polya sangat beragam, namun yang memberi nama besar padanyaadalah sistem gagasannya yang menjadi pedoman dalam penyelesaian problem (problemsolving). Pedoman dalam menyelesaian problem yang disingkat dengan: See (lihat), Plan(rencana), Do (kerjakan) dan Check (periksa kembali) adalah warisan yang tidak lekangatau lapuk dimakan waktu dan dapat kita manfaatkan dalam kehidupan sehari-hari bukanhanya dalam bidang matematika.dapat diselesaikan lewat jalur formalis.

Setiap jawaban tertentu memicu pertanyaan-pertanyaan baru. Kemajuan sains adalahsejalan dengan meningkatnya hal yang tersembunyi dan misterius(Every answer given arouses new questions. The progress of science is matched by anincrease in the hidden and mysterious)

Leo Baeck

Matematikawan India paling terkemuka

Srinivasa Aiyangar Ramanujan(1887 – 1920)

Masa kecilSrinivasa Ramanujan lahir di Erode, sebuah kota kecil, 400 km sebelah barat laut Madras.Erode adalah tempat tinggal neneknya sehingga saat berusia beberapa tahun, dia dibawaoleh ibunya ke kota Kumbakonam yang lebih dekat dengan Madras (160 km). Profesiayahanda Ramanujan adalah sebagai penjaga sebuah toko pakaian. Memasuki usia 5tahun, Ramanujan memasuki sekolah dasar di Kumbakonam. Terus berpindah sekolahsebelum memasuki sekolah menengah di Kumbakonam pula pada awal tahun 1898.Kepandaiannya cukup menonjol untuk semua pelajaran dan pada tahun 1900 memulaibelajar sendiri melakukan penjumlahan deret geometrik dan deret aritmatika. Mampumenemukan cara menyelesaikan persamaan pangkat tiga (kubik) pada tahun 1902 danmetode menyelesaikan persamaan pangkat empat (quartik). Tahun berikutnya mencobamenyelesaikan persamaan pangkat lima (quintik) namun gagal karena dia tidak pernahmengetahui bahwa quintik tidak dapat diselesaikan dengan menggunakan radikal-radikal.(baca: Abel dan Galois)

Ketika masih menuntut ilmu di sekolah menengah ini, Ramanujan membaca buku G.S.Carr yang berjudul Synopsis of elementary results in pure mathematics. Penulisan bukuyang sederhana membuat dia mudah mempelajarinya. Hal ini kelak memberi dampakpadanya. Cara penulisan pada buku itu memberi patron padanya bahwa penulisan bukuyang benar harus mengandung misi: “Mudah dipelajari oleh para pembacanya” danpenulisan argumen-argumen matematikalnya yang jelas kelak di kemudian hari akanselalu menyertai semua makalah dan manuskrip karyanya. Buku ini berisi theorema-theorema, formula-formula dan pembuktian-pembuktian singkat. Buku kuno ini (terbit1856), juga mempunyai indeks untuk makalah-makalah matematika murni yang pernahditerbitkan oleh European Journals of Learned Societies pada awal abad ke-19.

Melakukan riset matematika sendiriTahun 1904 Ramanujan mulai melakukan riset lebih dalam. Mengupas deret ∑(1/n) danmenghitung konstanta Euler sampai 15 desimal. Mulai mempelajarai bilangan-bilanganBernoulli, meskipun semua yang disebut di atas bukan murni temuannya. Prestasimencolok ini membuat Ramanujan memperoleh bea siswa untuk kuliah pada Collegenegeri di Kumbakonam terhitung sejak tahun 1904. Namun pada tahun berikutnya, beasiswa tidak diperoleh lagi karena Ramanujan lebih menekuni bidang matematika danmenelantarkan pelajaran-pelajaran lainnya. Tanpa uang dan menghadapi banyak

hambatan, tanpa restu orang tua, dia minggat ke kota Vizagapatnam yang terletak 650 kmdi sebelah utara kota Madras. Terus melakukan riset matematika, dimana pada saat ini diamengerjakan deret-deret hipergeometrik dan membedah hubungan antara deret denganintegral, sebelum dilanjutkan dengan mempelajari fungsi-fungsi eliptik.

Tahun 1906, Ramanujan pergi ke Madras dan masuk College Pachaiyappa. Dia berharaplulus test awal untuk kemudian dapat masuk universitas Madras. Diterima masukCollege, namun belum genap 3 bulan dia sakit. Sembuh dan ikut test masuk. Lulus hanyauntuk bidang matematika sedang subyek-subyek lain tidak lulus. Kegagalan masukuniversitas membuat dia mengembangkan ide-ide matematikanya sendiri tanpa bantuandan tanpa informasi dari orang lain kecuali memegang buku G.S. Carr. Tahun 1908,Ramanujan mulai mempelajari fraksi-fraksi dan deret divergen. Hal ini tidak berlangsunglama karena kemudian sakit dan harus dioperasi pada tahun 1909 setelah kesehatannyasudah cukup pulih. Menikah pada tahun 1909 dengan gadis berusia 9 tahun, namun tidakdapat tinggal bersama sampai si gadis berusia 12 tahun.

Terlunta-luntaTahun 1911, tetap mengembangkan gagasan-gagasan matematikanya sendiri dan mulaimendalami problem-problem dan membuat penyelesaian problem yang dimuat padaJurnal of the Indian Mathematical Society. Mengembangkan hubungan antara persamaan-persamaan modular eliptik pada tahun 1910. Makalah karyanya tentang bilangan-bilangan Bernoulli diterbitkan pada tahun 1911 pada Jurnal sehingga namanya mulaidiperhitungkan dalam komunitas matematika. Meskipun tidak memperoleh pendidikanuniversitas, nama Ramanujan sangat terkenal di Madras sebagai jenius matematika. Padatahun iyu pula, dia memohon kepada pendiri Jurnal agar dicarikan pekerjaan tetap.Pekerjaan akhirnya diperoleh yaitu menduduki jabatan sementara di kantor akuntan diMadras. Suatu langkah pertama, sebelum memohon kepada salah seorang anggotaMasyarakat matematikal India (Indian Mathematical Society), Ramachandra Rao, yangtinggal di Nellore, untuk membangun perpusatakaan matematika. Ramachandramenyarankan agar dia kembali ke Madras dan mencoba, namun gagal, bea siswa untukRamanujan. Akhirnya, tahun 1912, Ramanujan menjadi karyawan di bagian akunting disebuah perusahaan di Madras.

Tanpa pendidikan universitas, namun namanya sangat kondang dalam kalanganmatematikawan di Madras sehingga pekerjaan di atas diperoleh lewat rekomentasi E.W.Middlemast yang menjadi profesor matematika di Presidency College di Madras.Lingkungan kerja yang sangat akrab dengan matematika karena kepala bagian akunting,S.N. Aiyar, adalah seorang matematikawan ulung sekaligus mengarang makalah On thedistribution of primes pada tahun 1913 yang merupakan karya Ramanujan.

Kuliah di CambridgeSeorang profesor di Madras mengenali bakat matematika Ramanujan, karena lulusanInggris, mengirim karya-karya Ramanujan kepada rekannya di College London. M.J.M.Hill tidak dapat memahami karya Ramanujan tentang deret-deret divergen. Begitu pulasurat Ramanujan kepada E.W. Hobson dan H.F. Baker tidak pernah dibalas. Awal tahun1913, Ramanujan mengirim surat kepada G.H. Hardy dengan melampirkan karyanya

Orders of infinity, sambil memperkenalkan dirinya dan riset-riset yang sedangdilakukannya.

Hardy bersama dengan Littlewood, mempelajari daftar panjang theorema-theorema yangdisertakan bersama surat itu. Kurang dari dua bulan, Hardy membalas surat Ramanujanyang intinya menyebutkan:

Saya sangat tertarik dengan surat dan teorema-theorama yang anda tulis. Saya tidakmempunyai wewenang untuk menilai namun karya-karya anda dapat dipilah menjaditiga kategori:

1. Berisikan beberapa hasil yang sudah pernah ada, atau mudah dibuktikan daritheorema-theorema yang pernah ada.

2. Terdapat beberapa hal baru dan menarik, yaitu mengusik rasa ingin tahu,menarik, dan sulit, namun kurang terlalu penting.

3. Ada beberapa penemuan baru dan sangat penting

Surat balasan dari Hardy ini menggembirakan hati Ramanujan, sehingga dia langsungmengirimkan surat kedua. Isi surat kedua, intinya, menyebutkan bahwa dirinya sedangmenderita kelaparan dan mohon bantuan Hardy agar mengupayakan untuk memperolehbea siswa dari pemerintah India agar dapat masuk universitas. Ternyata bukan bea siswamasuk ke universitas Madras yang diperoleh Ramanujan. Pada pertengahan tahun 1913,Hardy sukses mengusahakan bea siswa untuk Ramanujan agar menuntut ilmu di TrinityCollege, Cambridge. Setelah melalui prosedur yang “cukup” sulit akhirnya Ramanujanberlayar dari India menuju London. Ramanujan adalah pemeluk Brahma ortodoks yangmelarang para pemeluknya melakukan perjalanan jauh dan menganut vegetarian.

Lulus universitasRamanujan mendarat di London pada pertengahan bulan April 1914. Beristirahatbeberapa minggu dengan tinggal di rumah E.H. Neville, rekan kerja Hardy, sebelumdiantar ke Cambridge dan tinggal di asrama Trinity College pada akhir bulan April 1914.Dampak PD I (Perang Dunia I) sangat terasa sehingga makanan sulit diperoleh dan dietvegerarian membuat kesehatan Ramanujan yang tidak prima menjadi makin parah padatahun-tahun ini.

Sejak awal, hampir semua karya Ramanujan berkolaborasi dengan Hardy, karena tidakada pendidikan formal yang dikecap oleh Ramanujan. Littlewood sempat membantumembimbing Ramanujan dengan mengajarkan metode-metode matematikal baku. Hal initidak berlangsung lama karena kemudian Littlewood pergi perang ketika ada panggilantugas dan mulailah Ramanujan bekerja sama dengan Hardy yang tetap berada diCambridge. Tahun 1915, Ramanujan sakit selama lima bulan, karena tidak “cocok”dengan musim dingin. Tidak dapat berkarya dan hanya mengeluarkan karya-karyanyaselagi masih di India, namun berjanji kepada Hardy bahwa dirinya akan menerbitkankarya-karya baru setelah PD I usai. Pada tahun 1916, Ramanujan lulus dari Cambridgedengan gelar BS (Bachelor of Science) dengan melakukan riset (pada tahun 1920 gelar

BS diganti dengan Ph.D.). Disertasinya membahas tentang Highly composite numbersdan dibagi ke dalam tujuh makalah dan diterbitkan di Inggris.

Sakit-sakitanPada tahun 1917, Ramanujan sakit akut dan dikuatirkan meninggal oleh dokter di Inggris.Namun kekuatiran ini ternyata tidak terjadi bahkan pada akhir tahun 1918, kesehatannyasangat cepat membaik. Tahun 1918 adalah tahun kejayaan Ramanujan. Dipilih menjadianggota Cambridge Philosophical Society dan selang tiga hari kemudian diangat menjadianggota Royal Society of London. Nama Ramanujan, akhirnya, dapat bersanding denganmatematikawan kesohor seperti: Hardy, Forsyth, Whitehead, Bromwich, MacMahon,Littlewood, Hobson. Menjelang akhir tahun yang sama, juga dipilih menjadi anggotaTrinity College, Cambridge.

Dalam suatu kesempatan, ketika Hardy yang menjenguk Ramanujan yang sedangterbaring di kasur rumah sakit Putney, dihadapkan pada pertanyaan: “Ke rumah sakitdengan mengendarai kendaraan apa?” Sempat terkejut, namun Hardy langsungmenjawab: “Taksi nomor 1729”, jawab Hardy singkat. “Nomor yang menarik karenabilangan itu menggambarkan perjumlahan bilangan pangkat tiga (kubik) yang berbeda.”Anda juga Ingin tahu alasan dari jawaban pasien yang jenius ini. Perhatikan: 1³ + 12³ =1729 = 9³ +10³.

Meskipun dalam kondisi sakit namun bakat matematika Ramanujan tidak berkurang, danmampu berkarya dengan kualitas yang sama. Setelah sembuh, Ramanujan pulang keIndia dengan mengemban pesan Hardy, bahwa: ”Perkembangan sains dan reputasimatematika Ramanujan adalah suatu harta karun, namun tidak mengubah pribadiRamanujan yang tetap tampil sederhana.”

Riset matematikaDalam suratnya kepada Hardy pada tahun 1913, Ramanujan sudah menunjukkan bahatmatematikanya yang luar biasa. Saat ini dia sudah mengupas deret Riemann, integral-integral elipstik, deret-deret hipergeometrik dan persamaan-persamaan fungsional darifungsi zeta. Secara terpisah, juga mendalami karya-karya Gauss, Kummer danmatematikawan lainnya tentang deret-deret hipergeometrik. Kiprah Ramanujan dalambidang ini adalah melakukan perjumlahan parsial dan deret-deret hipergeometrikberpangkat yang akhirnya memicu perkembangan topik ini. Barangkali karyaRamanujan yang paling utama adalah partisi-partisi bilangan p)n) dar integer n ke dalamSUMMAND?? . MacMahon membuat tabel nilai r(n) untuk bilangan n kecil, danRamanujan menggunakan data numerikal untuk membuat prakiraan (conjecture) untukhal-hal lain yang sudah digunakannya dalam membuktikan fungsi-fungsi eliptik.Beberapa lainnya baru dapat dibuktikan setelah Ramanujan meninggal. Beberapamakalahnya yang belum diterbitkan berisi theorema-theorema yang perlu dibuktikan olehmatematikawan berikutnya. G.N. Watson, profesor matematika murni di Birminghamantara tahun 1918 sampai 1951 menerbitkan 14 makalah dengan judul Theorems statedby Ramunujan, juga menerbitkan hampir 30 makalah yang diinspirasi oleh karya-karyaRamanujan, Hardy juga menyerahkan manuskrip-manuskrip yang ditulisnya bersama

Ramanujan sebelum tahun 1914 serta karya-karya akhir Ramanujan sebelum meninggaldi India.

Kembali ke IndiaAwal tahun 1919, Ramanujan kembali ke India. Tidak ada rumah sakit dengan fasilitasyang memadai, sehingga akhirnya Ramanujan meninggal setahun kemudian. Peran dansumbangsih Ramanujan diabadikan oleh pemerintah India dengan menerbitkan prangkobergambar wajahnya bersamaan dengan ulang tahun ke-75.

SumbangsihNasib Ramanujan mirip dengan Abel dalam hal meninggal pada usia muda karena masakecil yang malnutrisi. Kiprahnya cukup banyak, meskipun hampir semua dilakukanbersama (kolaborasi) dengan G.H. Hardy. Yang patut disimak adalah semangat dangagasan matematikanya banyak yang relatif baru. Meskipun juga mempelajari topik-topiklama (misal: bilangan-bilangan Bernoulli), namun ide tentang fungsi-fungsi elipsmerupakan modular adalah relatif baru pada jaman itu.

Emmy Amalie Noether(1882 – 1935)

Masa kecilMax Noether, seorang matematikawan dan profesor di Erlangen menyunting IdaKaufmann yang berasal dari keluarga bangsawan di Cologne, mempunyai putri bernamaEmmy Noether. Kedua orang tuanya adalah keturunan Yahudi dan Emmy anak sulungyang mempunyai tiga orang adik laki. Terhitung dari tahun 1889 sampai dengan 1897,Emmy mengenyam pendidikan di Erlangen. Mempelajari bahasa Jerman, Inggris,Perancis, aritmatika bahkan belajar piano. Kepiawaian ini membuat Emmy berniatmenjadi guru bahasa dan setelah mendalami bahasa Inggris dan Perancis, mengikuti ujiandi Bavaria. Lulus pada tahun 1900 dengan sebagai guru bahasa Inggris dan Perancisbersertifikat, sebelum mengajar sekolah khusus untuk wanita di Bavaria.

Tampaknya profesi guru kurang menantang sehingga memutuskan untuk kuliahmatematika di Universitas – sesuatu yang janggal bagi seorang wanita. Ijin kuliahdiberikan oleh pihak Universitas dan selama lebih dari 2 tahun (1900 – 1902), Emmykuliah di Universitas Erlangen. Tahun 1903, lulus ujian matrikulasi yang diselenggarakandi Nurnberg, sebelum kuliah di Gottingen dengan pengajar-pengajar berkualitas seperti:Hilbert, Kelin dan Minkowski.

Karir lanjutanMulai tahun 1904 Noether mulai diperkenankan menjadi matrikulasi di Erlangen danpada tahun 1907 mendapat gelar doktorat setelah bekerja di bawah bimbingan PaulGordan. Jika theorema utama Hilbert yang menunjukkan keberadaan adanya invariandalam jumlah terbatas untuk jumlah peubah, n. Gordan dengan menggunakan metodekontruktif sampai juga pada kesimpulan yang sama. Thesis Noether menggunakan carakontruktif dari Gordan dan dapat ditemukan ada 331 bentuk kovarian. Rupanyapendidikan tinggi belum mau menerima wanita sebagai pengajar sehingga Noether tetap

di Erlangen dengan status membantu sang ayah, yang sudah diungguli oleh kehebatananaknya sendiri. Tidak mau sekedar membantu, Emmy aktif melakukan penelitiansendiri. Pengaruh Fischer (pengganti Paul Gordan) membuat Noether kembali menekuniinvarian, namun dengan menggunakan metode abstrak dari Hilbert. Reputasinya segeraterdongkrak sehingga negara-negara lain, seperti Italia dan Belanda memberinyapenghargaan. Tahun 1913, pulang menghadiri pertemuan tahunan di Salzburg, Noetherlangsung didauluat menjadi pengajar di Wina.

Tahun 1915, Hilbert dan Kelin memohon agar Noether kembali ke Gottingen, karenakeduanya memperjuangkan agar Noether dapat mengajar di sana, namun ijin barudiberikan pada tahun 1919. Selama kurun waktu itu (1915-1919), Noether mengajarnamun hanya sebagai asisten Hilbert.

Karya-karyaTulisan Noether pertama kali dibuat begitu pulang ke Gottingen yaitu tentang fisika teoriyang mengukuhkan namanya lewat cetusan theorema Noether, dimana membutktikanadanya keterhubungan simetris antara fisika dan prinsip-prinsip pelestarian(conservation). Karyanya tentang teori invarian memberi inspirasi bagi formulasibeberapa konsep yang termaktub dalam teori relativitas umum Einstein. Dalam suratnyakepada Hilbert, Einstein tidak lupa memberi pujian kepada Noether.

Setelah di Gottingen (1919), Noether meninggalkan teori invarian dan menekuni teoriideal, menghasilkan teori abstrak yang nantinya digunakan untuk pengembangkan aljabarmodern. Tahun 1924, Noether berkolaborasi dengan van der Waerden yang datang keGottingen. Sekembalinya ke Amsterdam, Waerden mengarang dua jilid buku ModerneAlgebra, dimana dalam jilid kedua dicantumkan pemikiran-pemikiran Noether. Tahun1927, berkolaborasi dengan [Helmut] Hasse dan [Richard] Brauer, mengembangkanaljabar komutatif. Selain itu, Noether masih membantu mengedit jurnal MathematischeAnnalen.

Peran dalam teori relativitas umumHilbert yang mengangkat Noether sebagai asisten sangat terbantu. Namun, Einsteinmengaku bahwa karya Noether sangat membantu dirinya seperti yang dikatakan bahwa,”Noether adalah jenius matematika yang sangat menonjol ketika pendidikan tinggi untukwanita dibuka.” Kata pujian ini disampaikan setelah Noether meninggal, dimana padasaat itu kebetulan sama-sama bermukim di Princeton.

Noether menjadi asisten Hilbert dan theorema yang dicetuskan membantu Einstein,sehingga dapat dikatakan sebenarnya ada ‘adu kecepatan’ dalam siapa yang pertama kalimencetuskan teori relativitas umum? Hilbert atau Einstein. Keduanya sama-sama menjadipenemu namun yang terlanjur dikenal oleh khalayak adalah Einstein. Tidaklahmengherankan apabila hubungan kedua ilmuwan ini sangat buruk. Namun konflik inimembawa hikmah karena kemudian Hilbert menekuni hal lain yang kemudian dicetuskandan dikenal dengan nama teori kuantum.

Ada dua peran utama Noether dalam membantu Einstein menuntaskan teori relativitas

umum. Pertama, theorema Noether tentang keterhubungan konservasi (conservationrelationship) untuk momentum-energi tensor, T, melengkapi persamaan bidang (fieldequation); kedua, identiti-identiti dari Bianchi yang memperjelas bahwa kovarian umumberlaku di sini: bentuk kura (curvature) memungkinkan hukum-hukum fisikal tetap tidakberubah meskipun sistem koordinat digerakkan.

Pindah ke PrincetonTahun 1933, Noether tidak dapat berkiprah lagi karena dinonaktifkan dari Gottingenkarena Nazi melarang keturunan Yahudi menduduki jabatan. Noether segera menerimatawaran menjadi dosen tamu di Bryn Mawr College di Amerika dan menjadi pengajar diInstitute for Advance Study, Princeton.

SumbangsihPengembangan teori invarian dengan cara Hilbert ternyata membantu Eisteinmengungkapkan teori relativitas umum. Meskipun kedudian Noether banyakmengembangkan bidang ilmu lain, namun sumbangsih terbesar adalah teori invarian.

Tuhan ada sejak matematika adalah konsisten, dan setan ada sejak kita tidak dapatmembuktikan konsistensi.(God exists since mathematics is consistent, and the devil exists since we connot prove the

consistency)

Morris Kline

Luitzen Egbertus Jan Brouwer(1881 – 1966)

RiwayatLuitzen Egbertus Jan Brouwer yang lebih sering ditulis dengan singkatan L.E.J.Brouwer lahir di sebuah kota di Overschie (sejak 1941 kota ini termasuk wilayahRotterdam), Belanda. Di kalangan teman-temannya, Brouwer sering dipanggildengan nama “Bertus.” Pada tahun 1897, Brouwer mengikuti kuliah di universitasAmsterdam untuk belajar matematika dan fisika. Salah seorang dosennya,Diederik Korteweg, dosen matematika, kelak memberi pengaruh besar bagidirinya. Korteweg terkenal karena mengemukakan suatu persamaan yangdisebut persamaan Korteweg – de Vries. Dosen lain yang mempengaruhinyaadalah Gerrit Mannoury, dosen filsafat.

Tahun 1904, memperoleh gelar MA dalam bidang matematika. Karya pertamaadalah rotasi pada ruang empat dimensi di bawah bimbingan Korteweg. Padatahun yang sama, Brouwer menikah dengan Lize de Holl dan pindah keBlaricum, sebuah kota kecil dekat Amsterdam sampai akhir hayatnya.

Karakteristik intuisionisme BrouwerDasarnya adalah filsafat dari pikiran, dimana pemikiran ini banyak dipengaruhi

oleh pandangan Kant dan Schopenhauer. Matematika, menurut Brouwer, adalahaktivitas berpikir secara bebas namun eksak, suatu aktivitas yang ditemukan dariintuisi pada suatu saat tertentu. Tidak ada realisme terhadap obyek-obyek dantidak ada bahasa yang mampu menjembatani di sini. Ditambahkannya bahwatidak ada penentu kebenaran metamatikal di luar aktivitas berpikir, proposisiyang hanya berlaku setika subyek sudah dibuktikan kebenarannya (dibawa keluar dari kerangka pemikiran); singkat kata Brouwer menyatakan (dalam kalimatnegatif) bahwa “Tidak ada kebenaran-kebenaran tanpa dilakukan pembuktian”(there are no non-experienced truths).

Brouwer Konsisten dengan falsafahnya. Hal ini dinyatakan apalah matematikaperlu dibenahi agar kompartible atau tidak-kompartible dengan matematika klasikadalah pertanyaan yang kurang penting lagi, dan tidak dijawab. Pandangannyaterhadap matematika tradisional, dia menganggap dirinya hanya sekedarmenjadi seorang tukang revisi. Disimpulkan, dimana artimatika intusionistikadalah bagian (sub-sistem) dari aritmatika klasik, namun hal ini tidak berlakuuntuk analisis.

Untuk analisis: tidak semua analisis klasikal diterima atau dipahami secaraintusionistikal, tetapi tidak ada analisis intusionistik secara klasik diterima.Brouwer mengambil langkah ini dengan segala konsekuensinya dengansepenuh hati. Bukan berarti pandangan Brouwer ini tidak ada yang mendukung.Di luar negaranya, Belanda, pandangan ini didukung oleh Hermann Weyl.

Karya-karya utamaKarya utama Brouwer adalah pada teori topologi yang dirintisnya antara tahun1909 sampai 1913. Menemukan karakteristik pemetaan topologikal dari bidangKartesian dan theorema-theorema bilangan pada titik tertentu (number of fixedpoint theorems). Pemikiran Brouwer sangat berbeda dengan David Hilbert,penganut formalis dan Bertrand Russell yang menganut aliran logika.

Sebelumnya, pada tahun 1905, mengarang buku kecil Life, Art and Mysticismberisi bukan pengembangan dasar-dasar matematika, namun merupakan kunciuntuk mengembangkan dasar-dasar matematika yang kelak terangkum dalamdesertasi yang dikerjakan secara bersamaan pada saat itu dan baru dapatdiselesaikan dua tahun kemudian.

Thesis doktoralnya pada tahun 1906 adalah dasar-dasar matematikamempertanyakan dasar-dasar matematika logikal dan bentuk utama dari aliranintuisionis. Brouwer banyak mementahkan pembuktian-pembuktikan prinsip tidaktermaktub di tengah (Principle of the Excluded Middle disingkat PEM) yang padaakhirnya dijabarkan dalam bentuk pernyataan benar atau salah. Tahun 1918,Brouwer menerbitkan teori himpunan (set theory), tahun 1919 menerbitkan teoripengukuran (measure theory) dan pada tahun 1923 menerbitkan fungsi-fungsiteori yang semuanya dikembangkan tanpa menggunakan PEM. Sejak tahun1914 sampai 1928, Brouwer adalah anggota dewan redaksi Mathematische

Annalen dan menjadi editor utama Compositio Mathematica yang terbit pertamakali pada tahun 1934.

Merombak teori himpunan CantorBrouwer memegang prinsip bahwa matematika adalah aktivitas tanpa-perlu-diutarakan (languageless) yang penting, dan bahasa itu sendiri hanya dapatmemberi gambaran-gambaran tentang aktivitas matematikal setelah ada fakta.Hal ini membuat Brouwer tidak mengindahkan metode aksiomatik yangmemegang peran utama dalam matematika. Membangun logika sebagai studitentang pola dalam linguistik yang dibutuhkan sebagai jembatan bagi aktivitasmatematikal, sehingga logika bergantung pada matematika (suatu studi tentangpola) dan bukan sebaliknya. Semua itu digunakan sebagai pertimbangan dalammemilah antara matematika dan metamatematika (istilah yang digunakan untuk‘matematika tingkat kedua’), yang kelak akan didiskusikan dengan [David] Hilbertpada tahun 1909.

Berdasarkan pandangan ini, Brouwer bersiap merombak kembali teori himpunanCantor. Ketika upaya ini mulai dilakukan dengan ‘membongkar’ kategori bilangansekunder (bilangan ordinal tak terhingga/infinite) dan kategori bilangan ordinalinfiniti yang lebih besar, tapi juga gagal. Disadari bahwa metodenya tidak berlakudan tidak dapat menyelesaikan kategori-kategori bilangan lebih tinggi, dab hanyameninggalkan bilangan ordinal terbatas (finite) dan tidak dapat diselesaikan atauterbuka (open-ended) bagi sekumpulan bilangan ordinal tak-terhingga/infinite.

Tetap konsisten dengan pandangan falsafatnya, Brouwer mencobamengesampingan semua itu dan mau memahami matematika apa adanya. Tidaklama dia juga mau menerima prinsip dalam logika, prinsip tidak termaktub ditengah (PEM/Principle of the Excluded Middle), namun dalam disertasinya diatetap berpikir bahwa semua itu benar dan sahih namun tidak memberi manfaat,menginterpretasikan p v ד p sebagai ד p → ד p

Membalas kritikLewat tulisanannya pada tahun 1908, The Unreliability of the logical Principles,Brouwer mengformulasikan, dalam istilah-istilah umum, kritiknya terhadap PEM:meskipun dalam bentuk sederhana p v ד p, prinsip yang tidak akan memicukontradiksi, dimana Brouwer memberikan contoh-contoh, diucapkan, tanpa adaalasan positif untuk menerima bahwa hal itu benar dan sahih.

Inovasi ini memberi intuisionisme mempunyai ruang gerak lebih besar daripadamatematika konstruktif aliran-aliran lainnya (termasuk di sini disertasi Brouwer)adalah pilihan-pilihan dalam melihat suatu deret. Banyak diketahui deret-deretbilangan tak-terhingga (atau obyek-obyek matematikal lain) dipilih mendahuluiyang lainnya oleh setiap matematikawan sesuai keinginan mereka masing-masing. Memilih suatu deret memberi mereka impresi awal secara intuisimenerima obyek yang ditulisnya pada buku yang terbit pada tahun 1914.;prinsip yang membuat secara matematika mudah dikerjakan, prinsip

berkesinambungan, yang diformulasikan pada kuliah Brouwer pada tahun 1916.Tujuan utama memilih deret merupakan rekonstruksi analisis; titik-titik dalam(nidang) kontinuum (bilangan-bilangan nyata) yang diidentifikas dengan memilihderet yang memenuhi persyaratan kondisi-kondisi tertentu. Memilih berbagaipilihan deret dapat dilakukan dengan menggunakan alat uang disebut dengan‘spread’, yang mempunyai fungsi mirip dengan analisis klasik Cantorian, danawalnya Brouwer menggunakan istilah ‘gabung’ (‘himpunan’) untuk berbagaispread.

Guna mengukuhkan teori spread dan teori titik-titik ini yang digunakan sebagaidasar ini, termaktub dalam dua makalah yang diterbitkan pada tahun 1918/1919,Founding Set Theory Independently of the Principle of the Excluded Middle.

Merombak pemikiran matematikawan lainApakah setiap bilangan nyata mempunyai bilangan desimal (di belakang koma)yang terus makin panjang (ekspansi)? Jawaban dari Brouwer adalah tidak,namun guna alasan yang diberikan ditulis lewat makalah yang terbit pada tahun1921. Di sini Brouwer menunjukkan bahwa seseorang dapat membangun suatupilihan atas deret yang memenuhi kondisi Cauchy bahwa suatu perkembangantertentu bergantung kepada problem yang akan diselesaikan. Tidak adaekspansi desimal dapat dipilih sebelum suatu problem dapat diselesaikan; dalampandangan Brouwer membatasi hal ini, yang dapat diartikan bahwa tidak adakeberadaan ekspansi desimal sampai suatu problem dapat diselesaikan.Termasuk di sini, seseorang dapat dapat membentuk bilangan nyata (misal:mengurangi deret-deret yang dipilih) yang tidak mempunyai ekspansi desimal.Pada tahun 1923, kemali, dengan menggunakan deret-deret terpilih danpromblem-problem terbuka, Brouwer mengembangkan teknik umum yangdisebut dengan ‘Brouwerian counterexamples’ yang dipilah menjadi 2 kelompok:kuat dan lemah.

Lemah karena pengalaman kita tidak dapat mengetahui bagaimanasesuatu itu dinyatakan benar ataupun salah. Dengan dasar deret bilanganrasional, a(n), yang didefinisikan sesuai dengan praduga (conjecture)Goldbach dapat ditulis sebagai:

a(n) = -(1/2)n apabila untuk setiap j ≤ n, 2j+4 adalah jumlah dua bilanganprimaa(n) = -(1/2)k apabila untuk setiap k ≤ n, 2k+4 bukan merupakan jumlahdua bilangan prima

Kuat, dimulai dengan P(x) = ‘x adalah bilangan rasional’ dan Ŕ adalahkontinuum intuisionistik, dalam konteks bilangan riil dipahami secaraintuisi. Awal sudah diketahui bahwa Ŕ adalah kontinuum sehingga tidakdapat dipilah, atau dalam notasi himpunan dapat ditulis A U (union) B = Ŕdan A П (intersection) B = 0; apabila fungsi f: Ŕ →Ŕ didefinisikan sebagai:

f(x) = 0 jika x Є Af(x) = 1 jika x Є B

Pengajar abadi

Menjadi pengajar tidak digaji di universitas Amsterdam sejak 1909, dimana diaadalah profesor bidang teori himpunan, teori fungsi dan aksiomatis sejak 1912sampai 1951. [David] Hilbert pernah menawari Brouwer untuk menggantikanjabatannya di Gottingen namun akhirnya terjadi konflik.

Tahun 1928-1929, Hilbert mengetahui bahwa umurnya tidak lama lagi, dan diaperlu merasa yakin bahwa setelah meninggalnya pandangan matematikaBrouwer jangan terlampau jauh sehingga mendepak Brouwer dari posisi sebagaidewan editorial jurnal Mathematische Annalen. Einstein, yang ikut sebagai dalamdewan editorial menolak menggunakan cara itu, meskipun anggota dewan lain –agar tidak menyinggung perasaan Hilbert – menyatakan setuju dengan keinginanHilbert. Hal ini memberi luka mendalam bagi Brouwer, namun tetapmendarmabaktikan dirinya sebagai pengajar. Pernah mengajar di Jenewa(1934), Cambridge (1945-1951) sebelum pensiun dari universitas Amsterdam(1951), mengajar di Afrika selatan (1952), di Amerika (1953) termasuk diPrinceton, Chicago, MIT. Sempat ditawari mengajar di Vancouver (1959) namunbatal karena pada tahun tersebut istrinya meninggal dan di Montana (1962).Tahun 1966, Brouwer meninggal di Blaricum, Belanda, karena kecelakaan lalu-lintas.

SumbangsihDasar pemikiran aliran intusionis berbeda dan relatif sulit dicerna oleh merekayang tergolong pada aliran formalis. Pandangan Hilbert akan berbeda denganBrouwer dalam memandang problem yang sama. Brouwer adalah seorangintuisionis yang buah pikirnya sangatlah cemerlang - setelah Riemann - danmampu memberi sumbangsih bagi perkembangan matematika dari sisi intuisiyang kemudian akan memicu para matematikawan melakukan pembuktiandengan menggunakan intuisi mereka karena tidak semua problem matematikadapat diselesaikan lewat jalur formalis

Pola-pola milik matematikawan, ibarat pelukis atau penyair, haruslah indah; ide-ide,laksana rona warna-warna atau kota-kata, harus serasi secara hamonis. Keindahan adalahujian pertama: tidak ada tempat abadi di dunia ini bagi matematika buruk.(The mathematician’s patterns, like the painter’s or the poet’s, must be beautiful; theideas, like the colours or the words, must fit together in a harmonious way. Beauty is thefirst test: there is no permanent place in the world for ugly mathematics)

G.H. Hardy

Matematikawan penggemar cricket

Godfrey Harold Hardy(1877 – 1947)

Masa kecilIsaac Hardy seorang bendahara sekaligus guru seni di sekolah Cranleigh mempunyai istribernama Sophia, seorang guru dan sekolah pelatihan guru di Lincoln, dan mempunyaianak lelaki yang diberi nama Godfrey Harold Hardy atau lebih sering ditulis dengan G.H.Hardy. Meskipun mempunyai orang tua terpelajar dan termasuk golongan intelektual,namun latar belakang keluarganya yang miskin membuat Hardy tidak dapat menikmatipendidikan universitas. Hardy kecil bersekolah di tempat ayahnya menjadi guru sampaiberusia 12 tahun, dimana para gurunya terkesan dengan kejeniusan anak ini. Murid palingpandai untuk semua mata pelajaran, sehingga tidak mengherankan banyak penghargaandiraih dan bea siswa diperolehnya.

Pada usia remaja ini tidak terlintas suatu pikiranpun bahwa kelak dia akan menekunimatematika. Hal ini berbeda dengan masa kecil matematikawan lain. Disebutkan alasanbahwa karir dalam bidang matematika tidak mampu memberi kebanggaan, matematikahanya mata pelajaran yang harus diambil dan diuji terutama untuk mendapatkan beasiswa.

Mulai menyukai matematikaHardy mendapatkan bea siswa dari Winchester College pada tahun 1889, namun barumasuk setahun kemudian. Winchester, pada saat ini, adalah sekolah terbaik untukmatematika, namun entah mengapa kehidupan sekolah di sini tidak disukai oleh Hardy.Barangkali karena sekolah ini tidak cocok dengan pribadi Hardy yang pendiam danpemalu. Tidak pernah ikut aktivitas non-akademis, meskipun Hardy suka bermaincricket. Semasa masih bersekolah di Winchester ini, Hardy, sekali lagi, mendapat beasiswa untuk masuk Trinity College, Cambridge, dan Hardy mulai kuliah di sini padatahun 1896.

Di bawah bimbingan mentor yang sangat terkenal, R.R. Webb, Hardy dengan cepatmampu belajar untuk memperoleh nilai tinggi. Akhirnya dia kecewa, karena mentornyaini lebih suka mencari nilai tinggi dalam ujian matematika dan mengajar trik-trik dalamperdagangan, namun pada hakikatnya sama sekali tidak tertarik dengan matematika.Tidak puas, maka Hardy mohon ganti mentor dan beralih minat dari matematika menjadisejarah.

Mentor kedua Hardy adalah A.E.H. Love, seorang profesor yang dengan cepat mampumemahami karakter Hardy. Tidak lama Hardy mulai diajar konsep-konsep analisis,menyarankan agar membaca analisis dari Jordan. Karya ini dapat membuka cakrawalapemikiran matematika Hardy dan menjadi sangat tertarik dengan matematika.

Hardy mampu mulai dapat berprestasi dalam matematika. Menduduki posisi keempat

pada lomba Mathematical Tripos pada tahun 1898. Terpilih sebagai anggota Trinity padatahun 1900, dan memperoleh hadiah Smith bersama-sama dengan J.H. Jeans.

Bertemu RamanujanSetelah itu tak terhitung makalah yang dibuat mulai dari deret konvergen, integral.Meskipun Hardy lebih dikenal sebagai Analis namun karya utamanya bagi matematikaadalah A course of pure mathematics (1908) yang berisi topik seperti bilanganberpangkat, fungsi, limit yang terutama diperuntukkan bagi mahasiswa baru dan bahanmengajar di universitas. Banyak makalah yang ditulis namun hanya kurang dari limabuah yang dianggapnya memuaskan.

Perubahan terbesar terjadi setelah pada tahun 1911 berkolaborasi dengan J.E. Littlewoodyang bertahan sampai 35 tahun. Pada tahun 1913, Hardy menerima surat pertama dariRamanujan (baca: Ramanujan), mengundang Ramanujan ke Inggris sebelum akhirnyamenulis bersama dengannya. Pecah PD I pada tahun 1914, dan Ramanujan berada diCambridge, sehingga memudahkan mereka saling berkomunikasi meskipun kehidupan diInggris pada masa itu dapat dikatakan buruk.

Littlewood meninggalkan Cambridge untuk tugas perang dan ditempatkan di RoyalArtilerry. Hardy ingin menjadi sukarelawan perang namun ditolak karena alasankesehatan. Pernyataan Hardy yang menyebut bahwa: “Bangsa Jerman mempunyai sistempendidikan yang lebih unggul dan politikus Inggris tidak dapat dipercaya” membuatCambridge tidak berkenan lagi kepadanya. Melihat tidak ada lagi peluang di Cambridge,Hardy pergi ke Oxford dengan menjadi profesor geometri. Mengajar di Oxford ternyatamenggembirakan hatinya, dan pada masa ini karya matematika Hardy berkolaborasidengan Littlewood dilanjutkan meskipun Littlewood masih di Cambridge.

Kembali ke Cambridge

Ketika masih di Cambridge, Hardy tinggal di tempat yang dapat dikatakan sangatsederhana, sehingga Hilbert pernah menulis surat kepada pimpinan Cambride untukmemperlakukan Hardy dengan lebih baik karena disebutkannya bahwa Hardy adalahmatematikawan terkemuka Inggris masa itu.

Hardy tetap hidup sederhana dengan menjadi Presiden asosiasi pekerja saintifik. Padamasa 1928-1929, adalah masa berat (depresi yang melanda dunia diawalai oleh kejatuhanWallstreet terjadi pada bulan Oktober 1929) dan Hardy menjadi dosen di Princeton dalamprogram pertukaran dosen dengan Veblen yang mengajar di Oxford.Dasar berjodoh dengan Cambrigde, pada tahun 1931, Hardy kembali ke Cambridge danmenduduki jabatan Hobson yang pesiun. Disebutkan bahwa ada dua alasan utama Hardykembali. Pertama, Cambridge dianggapnya tetap sebagai pusat matematika di Inggrisdan kedua, tidak dapat menempati tempat tinggalnya dahulu dimana hal ini tidakdimungkinkan ketika di Oxford.

Minat matematika Hardy beragam namun hanya berkutat dengan matematika murni –analisis Diophantine, jumlah deret divergen, deret Fourier, fungsi zeta dari Riemann,

distribusi bilangan prima adalah beberapa topik yang menarik hatinya. Kolaborasi denganLittlewood dengan kemampuan teknik matematikal tinggi ccocok untuk Hardy yangakhirnya mampu menulis makalah yang mudah dimengerti.

Karya kolaborasiHardy adalah metematikawan tulen yang tidak pernah berharap matematika dapatditerapkan. Selain dengan Ramanujan dan Littlewood, Hardy juga menulis makalahdengan berkolaborasi dengan Titchmarsh, Ingham, Edmund Landau, Polya, E.M. Wright,W.E. Rogosinski dan Marcel Riesz.

Meskipun Hardy tidak mau menekuni matematika terapan, namun pada awal karirnya(1908), mencetuskan hukum yang menggambarkan bagaimana proporsi pelakuan genetikuntuk gen dominan dan gen resesif yang lahir dalam suatu populasi yang besar. BagiHardy hal ini tidak penting, namun orang lain menyebutkan bahwa hukum ini menjadipenting dalam menentukan distribusi kelompok dalam darah.

Kesenangan lain Hardy selain matematika adalah cricket. Setelah makan pagi, mulaimelakukan riset matematika mulai dari 09.00 sampai 13.00. Selesai makan siang, Hardyberjalan ke lapangan untuk menonton pertandingan cricket di lapangan universitas ataumengamati skor pertandingan cricket dari koran The Times. Menjelang sore hari jalankaki pulang, sebelum makan malam yang selalu ditutup dengan minum anggur ataubermain tenis di malam hari.

Masa tuaSebagai profesor tentunya mempunyai sifat unik. Hardy juga mempunyai sifat ini. Tidaksuka melihat cermin dan difoto. Saat menginap di hotel, cermin selalu ditutupi handuk.Meskipun Hardy tidak percaya akan Tuhan, namun Hardy bermain dengan ‘mengecohTuhan’ (fool God).

Dalam kunjungan ke Denmark, dia mengirim kartu pos yang menyatakan dapatmembuktikan hipotesis Riemann. Ketika ditanya apa alasannya, dijawab dengan ringanbahwa jika dalam perjalanan pulang dengan kapal dia mati tenggelam, maka dia akanmeninggalkan teka-teki yang terkenal seperti halnya TTF (Theorema Terakhir Fermat).

Pada kesempatan lain, Hardy menonton cricket dengan memakai jas hujan, membawapayung. Begitu ada orang bertanya apa alasannya memakai semua atribut di hari cerahini, dikatakan bahwa Tuhan akan berpikir bahwa dirinya mengharapkan terjadi hujan.

Perang Dunia II kembali memberi penderitaan pada Hardy. Pada masa ini dia terserangpenyakit jantung dan begitu perang usai kesehatannya sangat buruk. Tidak mampuberjalan kaki lagi karena menjadi sesak nafas dan akhirnya Hardy meninggal karenajantung pada tanggal 1 Desember 1947.

Karya Hardy yang menjadi peninggalan adalah A Mathematicians apology (1940) berupagambaran tentang bagaimana matematikawan berpikir dan menikmati matematika.

Sumbangsih

Tidak banyak matematikawan yang konsisten dengan menekuni matematika, tanpaberupaya membumikan matematika. Hardy rupanya menyukai matematika terlepas darimatematika terapan. Tidak banyak gagasan sendiri, namun karya-karya kolaborasinyadapat dikatakan sangat banyak. Seperti yang dikatakan Hilbert, Hardy disebutkan salahsatu matematikawan terkemuka lagi setelah Newton.

Matematika adalah satu-satunya ilmu pengetahuan dimana tak seorangpun mengetahuiapa yang dikatakan begitu pula jika apapun yang dikatakan adalah benar.(Mathematics is the only science where one never knows what one is talking about norwhether what is said is true)

Bertrand Russell

Matematikawan pemenang Nobel kesusastraan

Bertrand Arthur William Russell(1872 – 1970)

Masa kecilMerupakan suatu keberuntungan bahwa Bertrand Russell terlahir sebagai cucu dari LordJohn Russell, yang menjabatan sebagai Perdana Menteri selama dua kali pada masapemerintahan Ratu Victoria, sehingga sejak kecil Russell dapat menikmati pendidikanbermutu tinggi. Ayah Bertrand Russell bernama Viscount Amberley dan ibunya bernamaKatherine, anak perempuan kedua dari Baron Stanley dari Alderley.

Awal pendidikan dilakukan dengan mengundang guru secara privat sebelum masukTrinity College, Cambridge untuk mempelajari matematika dan sains moral dan terutamasekali tentang bahasa dan sejarah Perancis dan Jerman. Ketika Russell berusia 2 tahun,ibunya meninggal, disusul ayahnya pada saat Russell masih berusia 4 tahun. Masih belumselesai. Kakeknya meninggal saat Russell kecil berusia 6 tahun sehingga Russell,akhirnya, ada di bawah bimbingan neneknya, Lady Russell. Mengenyam pendidikankelas wahid karena dididik guru-guru privat terbaik sebelum masuk ke Trinity College,Cambridge dengan mengambil jurusan ilmu tentang moral dan matematika. LulusCambridge pada tahun 1894 dan beberapa bulan kemudian diangkat menjadi ateseKedutaan Inggris di Perancis.

Paradoks RussellTahun 1901, Russell mengungkapkan apa yang kemudian dikenal sebagai paradoksRussell (Russell paradox), yang muncul pada karyanya Principles of Mathematics (1903).Paradoks ini timbul dalam kaitannya antara suatu himpunan yang menjadi bagian dariberbagai himpunan namun bukan anggota itu sendiri. Signifikansi paradoks inimengikuti, menurut pandangan logika klasik, semua pernyataan akan selalu diikuti olehkontradiksi. Menurut pandangan matematikawan lain (termasuk Hilbert dan Brouwer)tidak ada pembuktian yang layak untuk menjawab logika semua pernyataan matematika

yang kontradiktif. Pada awal abad ini karya-karya yang menyangkut logika, teorihimpunan, filsafat dan dasar-dasar matematika tumbuh dengan suburnya.

Paradoks ini rupanya hasil sampingan dari pernyataan aksioma tak difinisi (unrestricted)atau abstraksi yang menjadi bagian dari teori himpunan. Aksioma yang dimunculkan olehCantor dalam bentuk penyataan P(x), dimana x adalah peubah bebas, dimana akanmenentukan himpunan yang anggota-anggotanya memenuhi kriteria P(x).Mengawali paradoksnya, Russell membedakan himpunan menjadi dua, yaitu: himpunannormal dan himpunan tak-normal.* Himpunan normal adalah himpunan yang tidak berisikan dirinya sendiri sebagaianggota himpunan.Contoh: himpunan semua kucing, himpunan siswa disebut sebagai himpunan normal,karena himpunan itu sendiri bukanlah kucing atau siswa.* Himpunan tak-normal adalah himpunan yang berisikan dirinya sendiri sebagai anggota.Contoh: himpunan semua yang bukan kucing, himpunan semua yang bukan siswa.

S = {x x €/ x}

Apakah S anggota dari S?- Apabila S €/ S, maka S memenuhi kriteria (x €/ x) menjadi anggota himpunan S, danparadoksial terjadi, S € S.- Apabila S €/ S, tidak dapat memenuhi kriteria (x €/ x) menjadi anggota himpunan S, danparadoksial terjadi, S €/ S.

* €/ (Bukan anggota himpunan); € (anggota himpunan)

Kontradiksi: Jika S €/ S maka S € S; jika S € S, maka S €/ S disebut dengan paradoksRussell.Untuk memperjelas (atau membuat makin tidak jelas) paradoks tersebut, Russellmemberi puisi yang berjudul Paradoks tukang cukur:

Saya mencukur semua orang di desa, yaitu hanya orang yang tidak mencukur dirinyasendiri.

Tertarik dengan matematikaDesember 1894, Russell menikah dengan Alys Pearsal Smith, sebelum pergi ke Berlinuntuk mendalami demokrasi sosial selama beberapa bulan. Setelah itu menetap di dekatHaslemere, yang mencurahkan waktunya untuk mempelajari filsafat. Tahun 1900,menghadiri konggres matematikal di Paris. Pada kesempatan ini Russell tertarik denganpemikiran matematikawan Italia, Peano, sehingga serta merta mempelajari makalah-makalah Peano. Tidak lama dia menulis Principles pada tahun 1903, namun teoritemuannya baru muncul sebagai artikel pada tahun 1908 Mathematical Logic as Based onthe Theory of Type.

Terpilih sebagai anggota Royal Society pada tahun 1908. Tidak lama kemudian bersama,rekannya, Alfred North Whitehead berkolaborasi mengarang Principia Mathematica

yang terdiri dari 3 jilid dan terbit pada tahun 1910, 1912 dan 1913 yang dapat disebutkarya puncaknya. Dalam buku ini mereka berdua memberi penjelasan rinci tentangturunan-turunan (derivation) dari theorema-theorema utama dalam teori himpunan,aritmatika terhingga dan tak-terhingga dan teori pengukuran dasar. Berencana mengarangbuku tentang geometri, namun tidak pernah dapat diselesaikannya.

Memilih karir di Trinity, namun karirnya di Trinity tidak bertahan lama karena Russelldicurigai dan banyak terlibat dengan kegiatan-kegiatan anti-perang sehingga tahun 1916,diberhentikan dari Trinity. Pihak Trinity pernah memberi peringatan, namun tidakdigubris sehingga dilaporkan ke pihak berwajib, dan Russell sempat masuk penjaraselama 6 bulan. Di dalam penjara ini, Russell menulis Introduction to MathematicalPhilosophy (1919).

Menjadi dosenTahun 1920, Russell mengunjungi Rusia guna mempelajari kondisi-kondisiBolshevikisme secara langsung, sebelum pergi ke Cina untuk mengajar filsafat diUniversitas Peking. Bercerai, kembali menikah dengan Dora Black dan tinggal diChelsea. Tahun 1927, bersama istrinya mendirikan sekolah untuk anak-anak, namuntidak dilanjutkan pada tahun 1932. Kembali cerai pada tahun 1935, namun pada tahunyang sama menikah dengan Patricia Helen Spence. Tahun1938 pergi Amerika danmengajar di pelbagai universitas terkemuka di sana. Terlibat masalah hukum ketikamengajar filsafat di College of the City of New York karena pandangan Russell tentangmoralitas ‘sedikit’ berbeda. Kontrak mengajarnya serta merta diputus, sebelum akhirnyaRussell menerima kontrak mengajar selama 5 tahun pada Yayasan Barnes yang diketuaioleh Albert C. Barnes pada tahun 1943.

Tidak pernah mau kembali ke Trinity sampai tahun 1944. Menikah empat kali danbanyak terlibat dengan affair-affair, dimana semua ini membuat dirinya gagal menjadikandidat Parlemen pada tahun 1907, 1922 dan 1923. Diangkat menjadi Earl Russell padatahun 1931, setelah saudaranya meninggal.

Pemikiran RussellRussell mencetuskan teori tipe-tipe pada tahun 1908. Teori dipilah menjadi dua versi,“teori sederhana” dan “teori turunan (ramified).” Kedua versi teori ini mendapat kritiktajam. Disebutkan bahwa teori ini terlalu dangkal karena tidak dapat menyelesaikanparadoks-paradoks yang diketahui. Bagi pihak lain teorinya terlalu mendalam karena sulitdipraktekkan ke dalam difinisi-difinisi matematika karena terlalu konsisten, danmelanggar prinsip lingkaran tak-berujung (vicious circle).

Tanggapan Russell bagi yang kritik kedua adalah, dalam lingkup teori turunan (ramified),aksioma diubah menjadi lebih sederhana (reducibility). Meskipun aksioma ini dapat‘mengendurkan’ prinsip lingkaran tak-berujung dalam aplikasinya, namun banyak orangyang menyatakan bahwa cara ini terlalu disederhakan guna diselaraskan dengan filsafat.

Pada saat bersamaan Russell juga menekuni logika, teori bahwa matematika dapat diubahsecara sistematis (reducible) menjadi logika. Sanggahan pertama terdapat dalam

Principles, dan sanggahan lebih rinci ada dalam Principia Mathematica, logika Russellterdiri dari dua proposisi atau argumen (thesis). Pertama, semua kebenaran-kebenaranmatematikal dapat ditetapkan sebagai bagian dari logika. Kedua, semua pembuktian-pembuktian matematikal dapat dimanifestasikan sebagai pembuktian-pembuktian logikalatau dengan kata lain theorema-theorema matematika menjadi bagian tak terpisahkan darilogika.

Seperti [Gottlob] Frege, gagasan awal Russell mempertahankan logika yang menyatakanbahwa bilangan-bilangan dapat diidentifikasikan sebagai kelompok dalam kelompok danpernyataan-pernyataan bilangan-theoritik.

Contoh: bilangan 1 dapat diidentifikasikan dengan semua satuan kelompok dari suatukelompok, dan bilangan 2 diidentifikasi sebagai kelompok yang beranggotakan duakelompok dan seterusnya. Pernyataan, misal, ada “dua buah buku” dapat dinyatakansebagai “Ini buku x dan ada buku y, dimana y dan x tidak identik. Disusul denganoperasi-operasi bilangan –teoritis yang dapat dijelaskan dengan notasi dan istilah yangbiasa dipakai dalam himpunan seperti: interseksi, union, dan sejenisnya.

Dengan cara yang sama Russell berupaya menggunakan logika untuk menjelaskanproblem-problem mendasar dalam matematika, selain itu juga digunakan untukmenyelsaikan problem-problem dalam filsafat. Sebagai salah satu penggagas “filsafatanalitik’, Russell dikenang dalam karyanya dengan menggunakan logika tingkat pertama(first order) untuk menunjukkan bagaimana berbagai jenis kalimat dapat dipilah ke dalampredikat-predikat dan peubah-peubah kualitiatif.

Aktivis sampai tuaRussell kembali terpilih sebagai anggota Royal Society pada tahun 1944. Mendapatkanmedali Sylvester dari Royal Society dan tahun 1934 mendapat medali de Morgan dariLondon Mathematical Society. Puncaknya adalah memperoleh hadiah Nobel dalambidang kesusastraan pada tahun 1950. Rupanya makalah “Logical Atomism” yangdikarang pada tahun 1924 tentang pandangan filsafat mampu memberi sumbangsih bagiperkembangan sejarah filsafat.

Selama tahun 1950-an sampai dengan tahun 1960-an, Russell menjadi inspirasi bagikalangan remaja karena kampanye anti-perang dan protes anti-nuklir yangdicanangkannya. Bersama dengan Einstein, pada tahun 1955, mengeluarkan manifestoyang berisikan pelucutan senjata nuklir.

Keterlibatan Russell dengan pelucutan senjata nuklir makin gencar sehingga ditangkapmasuk penjara. Dihukum penjara selama dua bulan namun sakit dan harus dirawat dirumah sakit penjara. Russell tetap menjadi figur publik sampai meninggalnya di usia 97tahun.

SumbangsihMemberi kelengkapan dan warna matematika. Menggunakan matematika, khususnyateori himpunan, untuk menyelesaikan problem-problem matematika, filsafat dan

mencoba dengan problem-problem kualitatif. Pandangan-pandangan filsafat dan berbagaikarya yang menyangkut banyak topik merupakan peninggalan Russell.

Adalah suatu baru ujian bagi teori-teori yang sahih tidak hanya untuk disimpan namundigunakan untuk memprediksi suatu fenomena(It is a test of true theories not only to account for but to predict phenomena)

William Whewell

Matematikawan yang mengalami dua Perang Dunia

Jacques Salomon Hadamard(1865 – 1963)

Masa kecilAmedee Hadamard menikah dengan Claire Marie Jeanne Picard dan setahun kemudianlahirlah Jacques Salomon Hadamard (selanjutnya disingkat Hadamard) di Versailles,Perancis. Amedee adalah keturunan Yahudi adalah guru yang mengajar banyak subyekseperti: klasik, tata-bahasa, sejarah dan geographi, sedangkan ibunya adalah guru pianoyang mengajar piano di rumah. Ketika Hadamard lahir sebagai anak sulung, Amedeemasih mengajar di Versailles, namun saat Hadamard berusia tiga tahun, mereka pindahke Paris dan Amedee menduduki suatu jabatan di Lycee Charlemagne.

Pada masa itu tinggal di Paris bukanlah hal yang menyenangkan. Perang Perancis denganJerman yang dimulai pertengahan tahun 1870 berakhir tragis bagi Perancis karena tidaksampai 2 bulan Paris sudah dikepung pasukan Jerman. Penduduk yang kena ‘embargo’ini membunuhi kuda, kucing dan anjing guna menyambung hidup mereka. Hadamardbahkan memakan daging gajah untuk bertahan hidup. Awal tahun 1871, Paris menyerahdan harus menandatangani perjanjian Frankfurt pada tanggal 10 Mei 1871, yang memberiaib bagi Perancis. Selang waktu antara keharusan untuk menyerah dan penandatangananperjanjian itu, pecah perang sipil di Paris dan rumah Hadamard rata dengan tanah karenadibakar.

Perang membawa petaka sendiri bagi Hadamard. Adik perempuan Hadamard, Jeannemeninggal pada tahun 1870 sebelum Paris dikepung dan aik perempuan lainnya, Suzanneyang lahir pada tahun 1871, meninggal pada tahun 1874.

Masa sekolahHadamard sekolah di tempat ayahnya mengajar, Lycee Charlemagne. Semua pelajarandiraih dengan nilai memuaskan kecuali matematika. Keahlian utama adalah bahasaYunani dan bahasa Latin, sedangkan untuk matematika sampai kelas V selalu mendudukiranking hampir paling buncit. Pengaruh guru ternyata besar, pertengahan tahun padakelas V ini, Hadamard mampu meraih ranking 2 dalam bidang matematika karena senangdengan cara mengajar guru matematika. Tahun 1875 terpilih sebagai murid teladan danmenang dalam beberapa kejuaraan karena mampu memenangkan kompetisi antar siswa.Rupanya tahun ini pula merupakan titik balik dalam hidup Hadamard.

Ayahnya dipindahkan ke Lychee Louis-le-Grand karena bukan pengajar yang cocok olehLychee Charlemagne lagi dan kembali Hadamard bersekolah di sini mulai tahun 1876.Lulus tingkat sarjana muda pada tahun 1882 dengan meraih penghargaan dalam bidangsains. Menjadi juara pertama dalam aljabar dan mekanika pada kontes yangdiselenggarakan di Concours General pada tahun 1883.

Menjadi guru sekolahTahun 1884, Hadamard mengikuti ujian masuk Ecole Polytechnique dan Ecole NormaleSuperieure. Di kedua universitas terkemuka ini Hadamard diterima dan masuk peringkatsatu. Hadamard memilih masuk Ecole Normale Superieure, dimana tidak lama bertemandengan Hermite, Darboux, Appell, Jules Tennery, Goursat dan Emile Picard. Diuniversitas ini Hadamard banyak melakukan riset, investigasi pada problem-problemguna memperkirakan determinan yang terbentuk dari koefisien-koefisien deret-deretberpangkat. Menjelang penghujung tahun 1888, Hadamard lulus.

Setelah lulus ini, sambil melakukan riset untuk meraih gelar doktorat, Hadamard menjadiguru sekolah. Mengajar di Lychee Saint-Louis selama beberapa bulan sebelum bertahandi Lychee Buffon selama tiga tahun. Menjadi guru sekolah yang kurang populer karenamengajar mata pelajaran dan sulit serta banyak menuntut anak berprestasi. Salah seorangmuridnya, Frechet, kelak terus menjalin hubungan dengannya lewat korespondensi.Gelar doktorat baru diraihnya pada tahun 1892 dengan tesis tentang fungsi-fungsi darideret Taylor. Karyanya tentang fungsi-fungsi peubah kompleks merupakan karyarintisannya ini dapat digunakan untuk memeriksa teori umum fungsi-fungsi analitik,teristimewa sekali tesisnya yang berisikan karya umum pertama tentang singulariti.

Pada tahun ini pula Hadamard mendapatkan Grand Prix des Sciences Mathematiqueuntuk makalahnya yang berjudul Determination of the number of primes less than a givennumber. Makalah ini berusaha mengisi celah-celah pada karya Riemann tentang fungsi-fungsi zeta, disertai dengan dukungan dari teman-temannya terutama Hermite danStieltjes. Memang Stieltjes pernah menyatakan pada tahun 1885 bahwa dia dapatmembuktikan hipotesis Riemann, namun tidak pernah menerbitkan “pembuktian”, namunsetelah tahun 1890 disebutkan bahwa ada hadiah bagi siapapun yang dapat membuktikanhipotesis itu, Stieltjes mengakui bahwa masih ada “lubang” dalam pembuktiannya yangbelum dapat “ditambal” olehnya.

Membuktikan theorema RiemannTahun 1892 adalah tahun istimewa bagi Hadamard. Selain meraih prestasi di atas terjadiperubahan dalam kehidupan pribadinya. Pada tahun ini, Hadamard menikah denganLouise-Anna Trenel yang seperti halnya Hadamard mempunyai darah Yahudi. Merekasaling mengenal sejak masa kanak-kanak dan sama-sama menyukaui musik. Setahunsetelah menikah mereka pindah ke Bordeaux dan Hadamard menjadi dosen universitas disana. Awal tahun 1896, Hadamard diangkat sebagai profesor bidang astronomi danmekanika di universitas Bordeaux. Selama empat tahun mengajar, Hadamard mempunyaidua orang anak, Pierre dan Etienne, disamping terus melakukan riset.

Produktivitas Hadamard pada periode ini dapat dikatakan sangat luar biasa karena

mampu menerbitkan 29 makalah matematika dengan beragam topik, namun hasil yangterpenting adalah pembuktian tentang theorema bilangan prima yang dicetuskan padatahun 1896 yaitu:

Jumlah bilangan prima ≤ n cenderung menjadi ∞ apabila n/ln n

Theorema cetusan Riemann ini (1851) memang menjadi topik favorit paramatematikawan pada sampai hari. Pada saat bersamaan (meskipun secara terpisah)Poussin juga berusaha membuktikan dengan cara berbeda, yaitu menggunakan analisiskompleks, namun tetap tidak dapat membuktikan theorema itu. Topik lain yang menjadiperhatian Hadamard adalah menghitung lintasan (trajectory) yang memicu penemuanpersamaan-persamaan diferensial non-liner – dituang dalam bentuk makalah - ternyatamampu memberi solusi pada bidang geodesi. Karya ini memberi sumbangsih dalambidang geometri dan hukum gerak (dinamik).

Karya lain yang diterbitkan semasa masih di Bordeaux adalah ketidaksamaan determinan(inquality determinant). Matriks yang mempunyai determinan-determinan yangmemenuhi kuatilas tertentu dalam hubungannya dengan matriks disebut dengan matriksHadamard dan memegang peran penting dalam teori persamaan-persamaan integral,coding theory dan bidang-bidang lain yang terkait.

Terlibat dengan politikDi Bordeaux, Hadamard menerjunkan diri dalam dunia politik. Keterlibatan ini atasajakan Alfred Dreyfus, masih saudara jauh istrinya, yang datang dari Alsace. Dreyfusadalah keturunan Yahudi dan mempunyai karir dalam bidang militer. Tahun 1894, diadituduh menjual rahasia perang kepada Jerman dan dihukum dengan penjara seumurhidup. Ada nuansa diskriminasi di sini. Pada awalnya, Hadamard, sama seperti lainnya,percaya bahwa Freyfus bersalah, namun begitu dokumen-dokumen diungkapkan,tampaknya kasus ini direkayasa untuk kepentingan tertentu. Ketidakadilan ini membuatHadamard berujuk rasa menuntut tegaknya keadilan dengan segala upaya membebaskanDreyfus dari hukuman.

Pada tahun 1898, Hadamard mendapat dukungan dari novelis Emile Zola yang penuhsemangat menuntut Dreyfus dibebaskan dan pemerintah merehabilitasi nama baiknya.Bahkan Zola pernah dipenjara dan didenda 3000 frank, namun Hadamard terus berupayakeras memberisihkan nama Dreyfus sampai akhirnya disetujui pembebasan Dreyfus padatanggal 22 Juli 1906. Keterlibatan Hadamard dalam politik ini dilakukan setelah diamengundurkan diri dari jabatannya di Bordeaux pada tahun 1897 dan tinggal di Paris.Pada masa ini pula Hadamard pernah menduduki jabatan kurang penting pada FakultasSains di Sorbonne.

Kembali menekuni matematikaSampai di Paris, Hadamard kembali produktif. Pada akhir tahun 1897, dia menerbitkanbuku pertama dari Lecons de Geometrie Elementaire, dilakukan sedikit perubahan padaawal tahun 1898 dan disusul buku kedua yang terbit pada tahun 1901. Karya-karyageometri dari Hadamard ini membawa dampak besar bagi pengajaran matematika di

sekolah-sekolah Perancis setelah direkomendasikan oleh Darboux.

Pada tahun ini pula Hadamard menerima Poncelet Prix atas penelitian-penelitianmatematika yang dilakukan selama kurun waktu sepuluh tahun. Di Paris, penelitiannyaberalih ke fisika matematikal, meskipun dia tetap bersikeras bahwa dirinya adalahseorang matematikawan, bukan fisikawan. Karya utamanya tentang persamaan-persamaan diferensial dalam fisika matematikal sangatlah penting dengan topik bahasantentang geodesik di atas permukaan negatif (negative curvature) menjadi dasar bagidinamika simbolik (symbolic dynamics). Masih ada karya lain yang menyangkutelastisitas, optik, hidrodinamik dan problem-problem nilai batas (boundary value),dimana topik terakhir ini dirintis olehnya.

Selama lima tahun tinggal di Paris, Hadamard mempunyai dia anak lagi yaitu: Mathieu,Cecile dan Jacqueline. Berbagai penghargaan dalam matematika masih terus diperolehbahkan pada tahun 1906 dipilih menjadi Presiden French Mathematical Society. Tahun1909 diangkat menjadi kepala departemen mekanika di College de France. Setahunkemudian mengeluarkan buku Lecons sur le des variations yang membantu meletakkandasar bagi analisis fungsional. Puncaknya, pada tahun 1912 diangkat menjadi profesoranalisis di Ecole Polytechnique menggantikan Jordan dengan dukungan kuat Poincareyang beberapa bulan kemudian meninggal dan Hadamard serasa mempunyai tanggungjawab meneruskan tugas-tugas pendukungnya ini. Lewat kerja keras, karena karyaPoincare sangalah beragam, Hadamard dapat menghasilkan dua karya utama.

Sukses akademisSukses terus mengiringi Hadamard, karena pada penghujung tahun 1912, dia suksesmenggantikan jabatan Poincare di Academy of Science. Sejak menikah sampai masa-masa menjelang Perang Dunia I disebutkan oleh Hadamard adalah masa-masa behagia.Perang Dunia membawa tragedi bagi Hadamard karena kedua putranya meninggal dalammengemban tugas perang. Pierre meninggal ketika Hadamard sedang mengajar di Romadan baru diberitahu setelah sampai di Paris. Disusul terbunuhnya Etienne dua bulankemudian. Kedua anak lakinya itu meninggal di Verdun.

Guna mengalihkan rasa duka itu, Hadamard menghabiskan waktu dengan makinmendalami matematika. Ditawari untuk meneruskan jabatan Appell sebagai kepalabidang analisis di Ecole Centrale pada tahun 1920 namun dia tetep hanya mau memegangjabatan di Ecole Polytechnique dan College de France saja. Tahun-tahun beritunya dialebih sering melakukan perjalanan ke mancanegara. Tahun 1933, mengunjungi Amerika,Spanyol, Ceko, Italia, Swis, Brazil, Argentina dan Mesir.

Hadamard adalah matematikawan terkemuka setelah Poincare. Bukan hanya meneruskansukses pendahulunya dan orang yang digantikannya. Pada ulang tahun ke 50 Institut deFrance, Hadamard memperoleh kehormatan dengan disemati dengan medali emas dariInstitut dan mendapat pujian dari berbagai ilmuwan di seluruh dunia. Tidak terhitungartikel dan sumbangsih Hadamard dalam bidang matematika. Karyanya meliputi 300makalah ilmiah dan buku dengan jangkauan yang lebih luas. Karyanya berjudul Thepsychology of invention in the mathematical field (1945) adalah suatu karya spektakuler

dalam bidang matematika. Pengabdiannya sebagai seorang guru selalu dikenang olehpara muridnya dan karya-karyanya dalam bidang analisis memberi dampak besar baiklangsung maupun tidak langsung.

Masa tuaSetelah perang berakhir, Hadamard banyak melibatkan diri dengan kampanyeperdamaian dan memberi dukungan bagi matematikawan Amerika. Puncaknya Hadamardmengikuti International Congress di Cambridge, Massachusetts pada tahun 1950, dandiangkat menjadi presiden kehormatan Kongres tersebut. Sebuah tragedi kembali dialamioleh Hadamard pada tahun 1962, ketika seorang cucunya Etienne - sama dengan namaanaknya, meninggal dalam pendakian gunung. Merasa kehilangan dan semangatnyaruntuh membuat dia tidak pernah ke luar rumah lagi

SumbangsihBidang matematika yang ditekuni dan diteliti oleh Hadamard sangatlah luas, namun yangmemberi nama besar padanya adalah kajian dan upayanya untuk memecahkan theoremaRiemann yang sampai hari in belum dapat dibuktikan namun cara atau metode yangdikembangkan oleh Hadamard, kemudian banyak dipakai sebagai salah satu kunci gunamembuka ‘rahasia’ theorema itu.Sukses meneruskan kejayaan matematikawan Perancis yang dilanjutkan lewat tongkatestafet yang diberikan oleh Poincare. Rupanya pandangan Poincare tidak salah karenaHadamard mampu meneruskan karya-karya dan sukses menggantikan jabatannya.

Hermann Minkowski(1864 – 1909)

RiwayatMeskipun lahir di Alexotas, Rusia (sekarang masuk bagian Lithuania), HermannMinkowski menimba ilmu di universitas Berlin dan Konigsberg. Tahun 1885memperoleh gelar Doktorate dari universitas Konigsberg, sebelum menjadi dosen diberbagai universitas seperti: Bonn, Konigsberg dan Zurich. Di Zurich, salah seorangmahasiswa yang menghadiri kuliahnya adalah Einstein.

Tahun 1902, Minkowski menerima tawaran menjadi pimpinan universitas Gottingen,yang terus disandangnya sampai meninggalnya. Di Gottingen ini, Minkowskimempelajari fisika matematikal dari Hilbert dan rekan-rekan lainnya. Pernah menghadiriseminar tentang teori elektron pada tahun 1905 dan belajar sendiri teori tentangelektrodinamika.

Tahun 1907, Minkowski mengungkapkan bahwa karya Lorenz dan Einstein akan lebihmudah dipahami lewat konsep ruang non-Euclidian. Menggagas ruang dan waktu, yangawalnya disangka dapat dipisahkan, ternyata menjadi “pasangan abadi” dalam dimensikeempat dari ‘kontinuum ruang-waktu’. Temuan ini digunakan sebagai kerangka acuandalam elektrodinamika. Karya-karya ini dituang dalam Raum und Zeit (1907) dan ZweiAbhandlungen uber die grundgleichungen der Elektrodynamik (1909).

PeninggalanKerangka acuan “kontinuum ruang-waktu” ini digunakan sebagai pelengkap dasarmatematikal dalam teori relativitas. Gagasan ini kelak digunakan oleh Einstein dalammengembangkan teori relativitas umum. Matematika ruang-waktu dicetuskan Minkowskilewat paparan tiga jenis ruang berbeda yang semuanya dilalui oleh (garis) panah waktuyang berawal dari titik origin. Tiga jenis ruang itu masing-masing berbentuk: kerucut,hiperbolik dan titik, dimana semua ruang itu, digambarkan, mempunyai satu titik origin.Cara revolusioner Minkowski ini memungkinkan orang mengukur jarak dalam ruang-waktu. Matematika ini relatif sederhana karena hanya menggunakan vektor.

Einstein, seperti sudah disebut di awal, pernah menjadi murid Minkowski, namun karenanamanya tidak termasuk dalam daftar nama murid-murid yang direkomendasikan olehpihak akademi, sehingga Einstein tidak mendapat perhatian. Setelah lulus dari ETH(1900), Einstein yang tidak mendapat posisi di ETH, pergi ke Swiss dan mendapatkewarganegaraan di sana. Beruntungkah Einstein karena pada kuliah Minkowski iniberteman dengan mahasiswa tekun bernama Marcel Grossman (1878 – 1936) *) bahkansaat dia tidak memperoleh pekerjaan di Swiss, ayah Grossman memberi referensisehingga Eistein diterima sebagai karyawan kantor patent.

Ketika Einstein mengeluarkan teori relativitas spesial, Minkowski membahas implikasimatematika yang digunakan Einstein dengan menggunakan kerangka ruang empatdimensi yang acapkali disebut dengan ruang Minkowski.

Minat Minskowski sepenuhnya pada matematika murni dengan mengeluti bentuk-bentukkuadratik dan fraksi-fraksi berupa deret tak terhingga. Karya besarnya adalah “bilangan-bilangan geometri.” Sayang umur Minkowski tidak panjang karena meninggal pada usia44 tahun karena radang usus buntu.

*) Marcel Grossman belajar matematika di Politeknik Zurich dan meraih gelar doktoratpada tahun 1912. Diangkat menjadi profesor geometri deskriptif di ETH pada tahun1907. Grossman mengenalkan Einstein pada diferensial kalkulus yang dicetuskan olehElwin Bruno Christoffel (1864) dan kemudian dikembangkan di universitas Padova olehGregono Ricci Curbastro dan Tullio Levi Civita (1901). Dari sintesa antara matematikadan fisika teoritis ini dihasilkan teori relativitas umum.

SumbangsihNamanya lebih banyak terkait dengan konsep ruang-waktu yang mendasari teorirelativitas umum Einstein. Ruang Minkowski (Minkowski space) adalah gagasanmatematika Minkowski – dengan menggunakan vektor - yang memungkinkan orangmengukur jarak dalam ruang-waktu, dua hal yang sudah mengkristal menjadi satukesatuan.

Tujuan-tujuan dari pemikiran saintifik adalah untuk mengetahui sesuatu yang berlakuumum dalam sesuatu hal yang berbeda dan memahami keabadian dari hal yang fana.

(The aims of scientific thought are to see the general in the particular and the eternal inthe transitory)

Alfred North Whitehead

Dosen adalah jalan hidup matematikawan ini

Alfred North Whitehead(1861 – 1947)

Masa kecilAyah Alfred North Whitehead bernama Alfred Whitehead (nama sama) adalah seorangpendeta Anglikan yang tinggal di Ramsgate. Ibu Alfred North Whitehead adalah MariaSarah Buckmaster yang berasal di London. Gambaran tentang ayah Whitehead adalahmempunyai banyak teman dan sangat bangga dengan pekerjaannya, sehingga seringdisebut bahwa lebih menguasai isi Perjanjian Baru daripada tugas keluarga.

Keluarga ini mempunyai empat orang anak dan Alfred adalah anak bungsu. Mempunyaidua kakak laki dan seorang kakak perempuan. Kedudukan sebagai anak bungsu,membuat Alfred kecil mudah sakit dan manja. Hal ini membuat Alfred tidak pernahmenikmati sekolah dasar dan pendidikan diperoleh lewat ajaran ayahnya sampai diaberumur 14 tahun. Sebenarnya Alfred adalah anak yang sehat, namun menurutpandangan kedua orangtuanya dianggap anak yang sakit-sakitan. Disayang oleh ayahdan kedua saudara lakinya, namun kurang mendapat perhatian dari ibunya sehingga diamenyatakan bahwa masa kecilnya tidak bahagia dan kesepian, meskipun materi tidakmenjadi kendala bagi dirinya.

Sang ayah mengajarinya bahasa latin pada umur 10 tahun disusul dengan bahasa Yunanibegitu usianya 12 tahun. Meskipun tidak dapat dikatakan mahir, namun penguasaanWhitehead terdapat kedua bahasa ini tidaklah terlalu buruk. Sampai usia ini tidak adagejala bahwa Whitehead kelak menjadi orang jenius. Mempelajari matematika lewat sangayah, namun tidak diketahui alasan apa yang membuat dirinya sangat tertarik denganmatematika. Baru pada tahun 1875, dia meninggalkan tempat tinggal ayahnya dan masukSherbourne Independent School. Setahun kemudian, 1876, kakaknya menjadinyapengajar di sekolah ini, ketika Whitehead sudah menginjak tahun kedua.

Bakat matematikaMasuk di sekolah dengan mutu standar ini, Whitehead tidak mempunyai banyak pilihanjurusan sehingga semua murid belajar subyek-subyek mayor seperti: bahasa Latin, bahasaYunani dan bahasa Inggris, dan subyek-subyek minor seperti: matematika, fisika, sejarah,geographi dan bahasa-bahasa modern yang kurang mendapat perhatian.

Ternyata Whitehead menunjukkan bakat di bidang matematika dan bahkan belajarmatematika setelah lulus sekolah, mengabaikan pelajaran komposisi pada bahasa danmembaca puisi bahasa Latin hanya untuk menekuni matematika.

Tahun 1879, Whitehead mengikuti ujian masuk Trinity College, Cambridge dan suksesmendapatkan bea siswa. Seperti layaknya mahasiswa penerima bea siswa, Whiteheadharus tinggal di asrama College. Di sini Whitehead mendapat bimbingan dari J.W.L.Glaisher, H.M. Taylor dan W.D. Niven. Masih ditambah kuliah Stokes dan Cayleydengan pembimbing E.J. Routh. Salah satu teman akrabnya adalah D’Arcy Thompson.Tahun kedua, Whitehead tetap mendapat bea siswa. Mengambil ujian matematikal Tripospada tahun 1883 dan mampu mempertahankannya pada tahun berikutnya.

Disertasi Whitehead adalah melakukan pembahasan teori Maxwell tentang teorielektrisiti dan magnetisme memenangkan perlombaan pada tahun 1884. Thomson danForsyth yang menjadi juri terkejut dengan hasil ini, karena Whitehead sekali lagimemenangkan salah satu dari lima bea siswa yang disediakan.

Menjadi pengajarSetelah mendapat bea siswa, Whitehead diwajibkan menjadi pengajar dan tugas pertamaadalah menjadi asisten dosen. Memberi kuliah matematika, namun sampai lima tahunkontraknya sebagai pengajar selesai, belum ada satupun makalah yang menjadi karyanya.Tidak diketahui apakah Whitehead melakukan penelitian matematika selama periodetersebut. Yang diketahui hanya bahwa dirinya suka menyendiri dan jarang melakukankomunikasi dengan sesama matematikawan. Setelah mengajar selama 12 tahun,Whitehead mengeluarkan 2 makalah secara bersamaan pada tahun 1889 tentang geraktekanan pada zat cair. Rupanya topik yang menarik hatinya ini terpengaruhi oleh kuliahStokes tentang materi tersebut.

Meskipun tidak ada tulisan ilmiah, namun Whitehead dipromosi sebagai pengajar diCambridge pada tahun 1888. Pada saat itu dia juga merangkap sebagai pengajar di GirtonCollege. Disadarinya bahwa ‘kekuatan’ dirinya adalah mengajar bukan mengarang. Titikbalik terjadi setelah dia menikah dengan Evelyn Wade di London pada akhir tahun 1890.Whitehead yang pendiam dan suka menyendiri kontras dengan istrinya yang aktif danmudah bergaul. Hasilnya Whitehead yang getol mempelajari matematika murni danmencanangkan proyek penulisan Treatise on Universal Algebra pada awal tahun 1891,beberapa minggu setelah hari pernikahannya. Proyek ini sampai tahun 1998, juga belumselesai. Perkawinan ini berbuah dengan lahirnya dua anak laki dan seorang anakperempuan.

Setelah menikahPerubahan lain dari Whitehead setelah menikah adalah kepercayaan. Ayahnya adalahseorang biarawan Anglikan, dan sebagai anak Whitehead secara otomatis mempunyaikepercayaan yang sama. Namun pada kisaran tahun 1890, dia mulai berpaling untukmenjadi Katholik. Terjadi pertentangan batin selama tujuh tahun sebelum memutuskanapakah tetap Anglikan atau Katholik. Akhirnya yang dipilih adalah faham agnostik(kepercayaan bahwa tidak ada bukti tentang keberadaan Tuhan, namun tidak menutupkemungkinan bahwa Tuhan itu ada). Faham ini dianut karena menurut pendapatnya,faktor paling utama dalam dalam perkembangan sains adalah bersikap agnostik. Dasarpandangan ini adalah Whitehead menganggap bahwa fisika Newton adalah keliru.Tampaknya upaya untuk mengkoreksi teori Newton ini menjadi dasar pandangan religius

seseorang. Dari aspek di atas, kita dapat menyimpulkan bahwa Whitehead punya minatdalam mengembangan filsafat dan metafisika.

Meskipun Whitehead menjadi produktif setelah menikah, namun tidak ada hal-hal baruyang termaktub dalam karyanya. Ide-ide matematikanya hanyalah mengulas ulang darimatematikawan sebelumnya seperti: Sylvester (invarian), Hamilton (quaternions),Grassman (pengembangan kalkulus/calculus of Extension) dan Boole (aljabar simbolik).Namun semua itu mampu memuaskan Universitas Cambridge sehingga pada tahun 1903,dia diangkat menjadi dosen senior sekaligus sebagai anggota penguji pada MathematicalTripos.

Whitehead terus berkarir di Cambridge sampai tahun 1910. Merasa karirnya sudahberhenti, dia pindah ke Universitas London yang kurang terkenal setelah sempat beberapabulan menganggur. Empat tahun di tempat baru ini, Whitehead meraih kedudukan tinggi,menjadi profesor matematika terapan di Imperial College of Science and Technology.

Bertemu RussellRussell masuk Cambridge pada tahun 1890 dan pada saat itu Whitehead adalah seorangpenguji. Rupanya penguji ini tertarik dengan kepiawaian Russell setelah membacamakalah-makalah karyanya. Dengan dukungan Whitehead, Russell memperoleh beasiswa, dimana baru tahun kedua Russell diajar oleh Whitehead. Kolaborasi ini dimulaipada tahun 1900 dengan menggagas, kelak menjadi karya besar mereka, PrincipiaMathematica. Apabila ditelusuri lebih jauh, maka kolaborasi ini terjadi setelah merekaberdua tertarik dengan karya Peano tentang dasar-dasar matematika yang dipaparkanpada konggres matematikawan di Paris pada tahun 1900.

Ketika mereka berkolaborasi, Whitehead sedang menyelesaikan artikel Memoir on thealgebra of symbolic logic sedangkan Russell dalam tahap akhir penulisan naskahPrinciples of Mathematics. Sebenarnya Whitehead akan melanjutkan tulisan, jilid kedua,untuk Tratise on Universal Algebra, namun rencana ini gagal saat pada tahun 1901,Russell menemukan paradoks dalam teori himpunan yang kemudian lebih dikenal dengannama paradoks Russell. Buku Principia Mathematica (terdiri dari 3 jilid yang terbit padatahun 1910, 1912 dan 1913) hasil kolaborasi ini dapat dikatakan luar biasa karenamerupakan karya gabungan antara dua orang yang mempunyai latar belakang yangberbeda: Russell sebagai filsuf dan Whitehead sebagai matematikawan. Keduanyaberupaya membangun dasar-dasar matematika dengan dasar logika.

Masa tuaWhitehead menjadi profesor di London selama 10 tahun sebelum menerima tawaranmenjadi dosen filsafat di Harvard pada tahun 1924, dan terus mengajar hingga pensiunpada tahun 1937. Semasa menjadi pengajar ini berbagai penghargaan diperolehWhitehead. Terpilih menjadi anggota Royal Society pada tahun 1903, dan memperolehmedali Sylvester pada tahun 1925. Banyak universitas memberi penghargaan atau gelarkehormatan kepada Whitehead termasuk Manchester, St. Andrews, Wisconsin, Harvard,Yale dan Montreal.

SumbangsihTidak banyak yang diketahui tentang sumbangsih dari Whitehead. Yang dikenal dariWhitehead justru adalah karya kolaborasi bersama Bertrand Russell. Karya-karyamatematika pra-kolaborasi banyak berisik rangkuman karya-karya matematikawanInggris.

Florian Cajori(1859 – 1930)

Masa kecilSeorang insinyur dengan pekerjaan membangun jalan dan jembatan di Swissyang banyak gunung dan bukit, membutuhkan keahlian dan kemampuan tinggi.Georg Cajori adalah salah seorang daripada orang yang menenuhi kriteria ituadalah ayah dari Florian Cajori dan beristrikan Catherine Camenisch. Keduanyatinggal di Swiss dan Florian Cajori lahir di sebuah kota kecil. Cajori Mengenyambaku pendidikan di Zillis sebelum pindah ke kota yang lebih besar, Chur. Masaremaja Cajori justru di Amerika, karena pada tahun 1875, migrasi ke sana danmelanjutkan sekolah di Whitewater, Wisconsin. Setelah lulus Cajori menjadi gurudi desa, sebelum akhirnya mengambil jurusan matematika di UniversitasWisconsin. Lulus tahun 1883, dan melanjutkan ke Universitas John Hopkinsnamun hanya bertahan 18 bulan. Pergi dari Universitas John Hopkins, Cajoriditunjuk sebagai asisten profesor di Universitas Tulane di New Orleans meskitidak lama kemudian baru diangkat sebagai master oleh universitas Winconsinpada tahun 1885. Tahun 1887, Cajori menjadi profesor untuk matematikaterapan di Tulane. Jabatan ini tidak lama dipegang karena tidak lama kemudianpindah ke Corolado Collage sebagai ketua jurusan fisika yang dijabat dari tahun1889 sampai tahun 1898. Rupanya bosan dengan fisika, sehingga dilanjutkanmenjabat sebagai ketua jurusan matematika pada College yang sama yaitumulai tahun 1898 sampai tahun 1918, meskipun selama tahun itu juga dekandepartemen rekayasa di Colorado Springs. Baru setelah tahun 1918, Cajorimemasuki bidang yang menjadi minat utamanya yaitu sejarah matematika. Topikbaru ini teristimewa baginya karena baru pertama kalinya ada di Amerika dan diuniversitas ternama pula, University of California, Berkeley.

Karya-karyaPeran Cajori tidak pernah lepas dari sumbangsihnya terhadap sejarahmatematika. Keberadaan ilmu ini, sehingga diterima sebagai subyek studi secaraumum, memberinya banyak gelar kehormatan selain kesadaran akan perlunyatopik itu bagi para matematikawan. Cajori, awalnya, menulis buku teksmatematika yang sama sekali tidak mengandung kata sejarah seperti Anintroduction to the modern theory of equations (1904) dan Elementary algebra:First year course (1915). Sebelumnya, memang ada karya Cajori dengan judulsejarah matematika yang berjudul The teaching and history of mathematics inthe United States (1890) yang isinya hanyalah ulasan terhadap 22 lembaga diAmerika. Setelah buku ini disusul oleh A History of Mathematics (1894 &1919/edisi 2). Namun karya puncak Cajori tidak pelak adalah A History of

Mathematical Notation (1928-1929) yang sampai saat ini masih menjadi acuanbagi para matematikawan maupun sejarawan di seluruh dunia. Masih banyakkarya-karya Cajori lain yang tidak disebutkan.

Prestasi dan penghargaan banyak diperoleh oleh Cajori. Terpilih menjadipresiden Mathematical Association of America pada tahun 1917-1918, wakilpresiden American Association for the Advancement of Science pada tahun 1923adalah beberapa diantaranya.

Masa tuaBegitu memasuki usia 70 tahun, kesehatan Cajori menurun jauh. Meski sempatmengalami dioperasi besar pada tahun 1930, namun tidak pernah pulih totalsehingga 6 bulan kemudian Cajori meninggal dunia di rumahnya di Berkeley.Setelah meninggal Cajori, buku spektakuler karya Newton “Mathematicalprinciples” of Natural Philosophy and His System of the World diterbitkan padatahun 1934. Cajori mengubah buku Newton agar layak dibaca denganmengalihbahasakannya ke dalam bahasa Inggris dari bahasa Latin.

SumbangsihMengenalkan sejarah matematika sebagai bahan bacaan wajib bagi paramatematikawan sekaligus menjabarkannya ke dalam suatu ilmu yang layakuntuk dipelajari. Karyanya yang dibuat dalam A History of MathematicalNotations membuktikan bahwa dirinya sangat rinci dan mendalam dalammengupas suatu kajian terhadap suatu topik matematika tertentu.

Bapak teori analitik dari pecahan berkesinambungan

Thomas Joannes Stieltjes(1856 – 1895)

Masa kecilThomas Joanne Stieltjes (selanjutnya disingkat Stieltjes) lahir di Zwolle, sebuah kotakecil yang masuk wilayah Overijssel, Belanda. Stieltjes mempunyai dua saudara laki danempat saudari. Ayahnya adalah seorang insinyur sipil lulusan universitas Leidenmerangkap sebagai anggota parlemen. Nama ayahnya cukup dikenal karena prestasinyacukup membanggakan yaitu sukses membangun pelabuhan Rotterdam. Untukmengenangnya dibuatlah patung oleh teman-teman dan para pengagumnya dan dipasangdi Burgemeester Hoffman Plein, Rotterdam.

Stieltjes mulai kuliah pada tahun 1873 di sekolah Polytechnical di Delft (sekarangUniversitas Technical). Bukannya menghadiri kuliah, waktunya lebih banyak dihabiskandi perpustakaan dengan mempelajari karya-karya Gauss dan Jacobi. Akibatnya, mudahdiduga, tidak lulus. Mengulang ujian pada tahun 1875 dan 1876, namun kembali gagal.

Matematika adalah jalan hidupMengetahui permasalahan yang dihadapi anaknya, sang ayah mengirimkan Stieltjes

untuk membantu temannya, Prof. H.G. van de Sande-Bakhuyzen, Direktur observatoriumLeiden. Di sini Stieltjes diangkat sebagai asisten untuk perhitungan-perhitunganastronomikal. Pada masa ini, di sela-sela waktu luang, Stieltjes mempelajari matematika.Pekerjaannya yang banyak terlibat dengan gerakan di ruang angkasa (celestialmechanics) membuat dia berhubungan dengan [Charles] Hermite di Paris. Lewat surat-menyurat dengan Hermite ini, Stieltjes dengan cepat dapat menguasai matematika danmenggunakan waktu luangnya guna melakukan penelitian matematika.

Pada awal tahun 1883, Sande-Bakhuyen menyadari bahwa asistennya ini menyukaimatematika, menerima permohonan pengunduran diri Stieltjes dari melakukanpengamatan di observasi dan membiarkannya berkutat lebih jauh dengan topik-topikmatematika. Pada tahun ini pula, Stieltjes menikah dengan Elizabeth Intveld, yang sangatmendukung penelitian matematika Stieltjes dan mendorong untuk meninggalkanpekerjaan di bidang astronomi.

September 1883, Stieltjes dimohon untuk mengajar di university of Delft mengantikanF.J. van den Berg yang sedang sakit. Sampai Desember 1883, Stieltjes mengajar geometrianalitik dan geometri deskriptif. Setelah mengajar beberapa bulan, Stieltjes menyadaribahwa minatnya adalah bidang matematika, sehingga memutuskan akan berkarir di sanadan mengajukan surat pengunduran diri dari observatorium pada tanggal 1 Desember1883.

Dalam suratnya kepada Hermite pada awal tahun 1884, disebutkan bahwa: “Sayaditawari menjadi guru besar bidang analisis (kalkulus integral dan diferensial) diuniversitas Groningen. Saya langsung menerima tawaran ini dan saya percaya bahwasaya dapat lebih berguna.” Tak lupa disebutkan ucapan terima kasih atas jasa dandukungan yang diberikan Direktur observatorium, Sande-Bakhuyzen.

Kecewa dengan pihak universitasJabatan guru besar yang disandang olehnya di universitas Groningen rupanya tidakmemuaskannya karena kualifikasi dirinya yang dianggap kurang. Jabatan itu diberikanpadanya namun hanya sebagai dosen pengganti dan tidak memungkinkan Stieltjes untukmenjalai standar yang ada, sehingga tidak ada gelar yang diperoleh oleh Stiltjes dariuniversitas Groningen. Memang jabatan kosong itu diperebutkan oleh 3 kandidat. Urutanpertama adalah Korteweg disusul Stieltjes pada urutan kedua. Setelahmempertimbangkan, Korteweg memutuskan untuk tetap tinggal di Amsterdam danmengajar universitas Amsterdam. Jabatan di Groningen jatuh ke tangan Stieltjes,meskipun sempat bersaing dengan Floris de Boer.

Stieltjes memang menduduki jabatan itu, namun Floris de Boer, oleh Dewan Kerajaan(Royal Decree) diangkat menjadi pemimpin universitas. Rupanya Stieltjes ‘dikorbankan’karena tidak mempunyai gelar akademis dan jabatan itu hanyalah formalitas belaka.

Bulan Mei 1884, Hermite yang menghadiri perayaan ulang tahun ke 300 universitasEdinburg di Skotlandia. Dalam kesempatan ini Hermite berbicara dengan Bieren deHaan, profesor matematika dari negara Belanda, yang juga hadir di sana tentang karir dan

jabatan Stieltjes. Mereka berdua kemudian merencanakan agar Stieltjes diangkat sebagaiprofesor kehormatan (honoris causa) di universitas Leiden dalam bidang matematika danastronomi. Sande Bakhuyzen, setelah mendengar gagasan ini, serta-merta memberidukungan. Setelah dirundingkan, Dewan universitas Leiden menulis surat kepadaStieltjes, namun rupanya surat datang terlambat dan rencana itu gagal.

Pindah ke PerancisApril 1885, Stieltjes bersama keluarganya pindah ke Paris, meskipun pada saat yangbersamaan dia terpilih menjadi anggota Royal Academy of Sciences di Amsterdam.Setahun kemudian, Stieltjes memperoleh gelar doktorat dengan tesis mengupas tentangderet asimtotik (asymptotic series). Pada tahun ini pula Stieltjes diangkat menjadi kepaladepartemen integral dan diferensial kalkulus di universitas Toulouse pada tahun 1889.

Merasa mapan dan senang, Stieltjes menekuni hampir semua bidang analisis, bilanganpecahan dan teori bilangan bahkan mendapat julukan “bapak teori analitik dari pecahan-pecahan berkesinambungan” karena kiprahnya ini. Pertengahan tahun 1894 menerbitkanmakalah singkat Recherches sur les fractions continues yang dimuat pada Jurnal SainsAcademie des Sciences. Versi lengkap makalah topik itu dimuat pada Jurnal FakultasSains universitas Toulouse.Di bawah ini adalah deret pecahan berkesinambungan:

1a1z + 1

a2 + 1a3z + 1

a4 + 1a5z + …

atau dapat pula ditulis:

1 1 1 1 1a1z + a2 + a3z + a4 + a5z +

Jika deret pecahan terus sampai n, maka diperoleh fungsi rasional Pn(z)/Qn(z), danStieltjes mengamati bahwa fungsi rasional ini mempunyai hubungan dengan akar-akar(bilangan) polinomial Pn(z) dan Qn(z).

Topik-topik lain yang membuat nama Stieltjes dikenang adalah integral Stieltjes yangdigunakan untuk menyelesaikan problem momen. Jika diketahui semua susunan momendari suatu benda, maka dapat diketahui distribusi massanya. Problem ini timbul dalampembelajaran tentang dua fungsi yang muncul sebagai hasil limit dari deretP2n(z)/Q2n(z) dan P2n+1(z)/Q2n+1(z)

Masa akhirMakalah pertama Stieltjes setebal 120 halaman sudah dimuat Juni 1894, sedangkanmakalah lanjutannya setebal 40 halaman baru diterbitkan setelah dia meninggal.

Karyanya dalam deret peccahan ini memperoleh penghargaan Ormoy (Ormoy Prize) dariAcademie des Sciences pada tahun 1893. Karya penting Stieltjes lainnya adalahmendalami teori ruang dari Hilbert selain menekuni deret divergen, persamaandeferensial parsial, fungsi gamma, interpolasi, fungsi-fungsi tak-berkesinambungan(discontinuous) serta fungsi-fungsi elips.

Seperti sudah dibetahui bersama dengan Hermite, Stieltjes adalah teman korenspondensiseumur hidup. Ketika Stieltjes meninggal, ditemukan 432 surat dari Hermite. Suratterakhir dari Hermite kepada Stieltjes tertanggal 15 Desember 1894 adalah dua minggumenjelang Stieltjes meninggal dunia.Stieltjes meninggal pada tanggal 31 Desember 1894 dan dimakamkan di Terre Cabade diToulouse yang terus dirawat oleh keluarganya.

SumbangsihDeret pecahan adalah kiprah utama dari Stieltjes. Memang pada masa itu belum banyakmatematikawan yang mendalami deret pecahan. Kelak deret temuan Stieltjes inidigunakan sebagai salah satu alat yang dapat digunakan untuk menyelesaikan hipotesisRiemann yang masih belum dapat dipecahkan.