NAMA KELOMPOK : 1. 2. 3. 4. ISFATRIA NURULLAH REI ALVIN MARLINA NUR UTAMI RIZKY 33109956 36109107 34109591 33109741

1. Pengantar Linier Programming Pemrograman linier (Linier Programming yang disingkat LP) mungkin merupakan salah satu teknik Operation Research yang digunakan dengan jelas dan diketahui dengan baik. Ia merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang langka untuk mencapai tujuan yang tunggal seperti memaksimumkan keuntungan atau meminimumkan biaya. Linier programming banyak diterapkan dalam membantu menyelesaikan masalah ekonomi, industri, militer, social, dan lain-lain. LP berkaitan dengan penjelasan suatu dunia nyata sebagai model matematik yang terdiri atas sebuah fungsi tujuan linier dan sistem kendala linier. George B. Dantzig diakui umum sebagai pioneer LP, karena jasanya dalam menemukan metode mencari solusi masalah LP dengan banyak variabel keputusan. Dantzig bekerja pada penelitian teknik matematik untuk memecahkan masalah logistik militer ketika ia dipekerjakan oleh angkatan udara Amerika Serikat selama Perang Dunia II. Penelitiannya didukung oleh ahli-ahli lain seperti : J. Von Neumann, L. Hurwicz dan T.C. Koopmans, yang bekerja pada subyek yang sama. Nama asli teknik ini adalah program saling ketergantungan kegiatankegiatan dalam suatu struktur linier yang kemudian dipendekkan menjadi Linier Programming.

Setelah Perang Dunia II, banyak ahli bergabung dengan Dantzig dalam pengembangan konsep LP. Paper pertama yang berisi metode solusi yang sekarang dikenal sebagai metode simpleks dipublikasikan oleh Dantzig tahun 1947. Dantzig bekerja sama dengan Marshall Wood dan Alex Orden dalam pengembangan metode simpleks. Dalam pengembangan penerapan LP, banyak peneliti seperti W.W. Cooper, A. Henderson, dan W. Orchard bergabung dengan Dantzig. Pada tahap awal penerapan-penerapan LP banyak dijumpai pada masalah-masalah militer seperti logistik, transportasi, dan perbekalan. Kemudian program linier segera diterapkan dalam bidang pemerintahan dan bisnis. Hasinya, LP disadari sebagai pendekatan penyelesaian masalah yang sangat ampuh untuk analisis keputusan dalam bidang bisnis. Disamping itu, analisis Input-Output dari Wassily Leontief memberikan suatu dasar untuk menerapkan LP pada analisis ekonomi antar industri. Akhir-akhir ini aplikasi LP telah meningkat dengan perkembangan yang cepat karena dukungan komputer elektronik.

1.2 Konsep Linier Programming Linier Programming (LP) merupakan teknik riset operasional (operation research technique) yang telah dipergunakan secara luas dalam berbagai jenis masalah manajemen. Banyak keputusan manajemen produksi dan inventori mencoba untuk membuat agar penggunaan sumber-sumber daya manufakturing menjadi lebih efektif dan efisien. Sumber-sumber daya manufakturing seperti

mesin, tenaga kerja, modal, waktu, dan bahan baku digunakan dalam kombinasi tertentu yang paling optimum untuk menghasilkan produk (barang dan/atau jasa). Dengan demikian Linier Programming dipergunakan untuk membantu manajermanajer PPIC guna merencanakan dan membuat keputusan tentang pengalokasian sumber-sumber daya yang optimum. Beberapa contoh penggunaan linier programming dalam bidang produksi dan inventori yang telah menunjukkan hasil memuaskan adalah: Menentukan kombinasi (diversifikasi) produk yang terbaik dalam menggunakan kapasitas mesin, tenaga kerja, dan modal yang tersedia agar memaksimumkan keuntungan perusahaan (masalah maksimasi keuntungan). Menentukan pencampuran bahan baku dalam pabrik farmasi atau pengolahan makanan untuk menghasilkan produk obat atau makanan yang meminimumkan biaya produksi (masalah minimasi biaya produksi). Menentukan sistem distribusi yang akan menimbulkan ongkos total transportasi dari beberapa gudang ke beberapa lokasi pasar (masalah minimasi biaya transportasi). Mengembangkan jadwal produksi yang akan memenuhi permintaan produk mendatang pada tingkat biaya produksi dan inventori yang minimum (minimasi biaya produksi dan inventori). Semua masalah linear programming pada dasarnya memiliki lima karakteristik utama berikut:

1. Masalah linier programming berkaitan dengan upaya memaksimumkan (pada umumnya keuntungan) atau meminimumkan (pada umumnya biaya). Upaya optimasi (maksimum atau minimum) ini disebut sebagai fungsi tujuan (objective fungction) dari linier programming. Fungsi tujuan ini terdiri dari variable-variabel keputusan (decision variables). 2. Terdapat kendala-kendala atau keterbatasan, yang membatasi pencapaian tujuan yang dirumuskan dalam linier programming. Kendala-kendala ini dirumuskan dalam fungsi-fungsi kendala (constrains fungction), terdiri dari variabel-variabel keputusan yang menggunakan sumber-sumber daya terbatas itu. Dengan demikian yang akan diselesaikan dalam linier programming adalah mencapai fungsi tujuan (maksimum keuntungan atau minimum biaya) dengan memperhatikan fungsi-fungsi kendala (keterbatasan atau kendala) sumber-sumber daya yang ada. 3. Memiliki sifat linieritas. Sifat linier ini berlaku untuk semua fungsi tujuan dan fungsi-fungsi kendala. Sebagai misal, apabila satu unit produk A dapat menghasilkan keuntungan, katakanlah $30, maka apabila kita memproduksi dua unit produk A akan memberikan keuntungan $60 (2 x $30), produksi tiga unit A akan menghasilkan keuntungan $90, dan seterusnya. Demikian pula untuk penggunaan sumber-sumber daya. Misalkan untuk sumber daya tenaga kerja, katakanlah untuk memproduksi satu unit produk A membutuhkan dua jam kerja, maka untuk menghasilkan dua unit produk A akan membutuhkan empat jam kerja, dan seterusnya.

4. Memiliki sifat homogenitas. Sifat homogenitas ini berkaitan dengan kehomogenan sumber-sumber daya yang digunakan dalam proses produksi, misalnya semua produk A dihasilkan oleh mesin-mesin yang identik, tenaga kerja yang berketerampilan sama, dan lain-lain. 5. Memiliki sifat divisibility. Sifat divisibility diperlukan, karena linier programming mengasumsikan bahwa nilai dari variabel-variabel keputusan maupun penggunaan sumber-sumber daya dapat dibagi kedalam pecahanpecahan. Jika pembagian ini tidak mungkin dilakukan terhadap variabel keputusan, misalnya dalam industri mobil, furniture, dan lain-lain, karena nilai kuantitas produksi diukur dalam bilangan bulat, maka modifikasi terhadap linier programming harus dilakukan. Bentuk modifikasi dari linier programming ini disebut sebagai integer programming.

1.3 Formulasi Umum Model LP Masalah keputusan yang sering dihadapi analis adalah alokasi optimum sumber daya yang langka. Sumber daya dapat berupa uang, tenaga kerja, bahan mentah, kapasitas mesin, waktu, ruangan, atau teknologi. Tugas analis adalah mencapai hasil terbaik yang mungkin dengan keterbatasan sumber daya itu. Hasil yang diinginkan mungkin ditunjukkan sebagai maksimasi dari beberapa ukuran seperti profit, penjualan, dan kesejahteraan, atau minimasi seperti biaya, waktu, dan jarak.

Setelah masalah diidentifikasikan, tujuan ditetapkan. langkah selanjutnya adalah formulasi model matematik yang meliputi tiga tahap sebagai berikut : a. Tentukan variabel yang tak diketahui (variabel keputusan) dan nyatakan dalam simbol matematik. b. Membentuk fungsi tujuan yang ditunjukkan sebagai suatu hubungan linier (bukan perkalian) dari variabel keputusan. c. Menentukan semua kendala masalah tersebut dan mengekspresikan dalam persamaan atau pertidaksamaan yang juga merupakan hubungan linier dari variabel keputusan yang mencerminkan keterbatasan sumber daya masalah itu. Ingat bahwa pembentukan model bukan bersifat ilmiah murni tetapi lebih bersifat seni dan akan menjadi dimengerti terutama karena praktik. Pada model linier programming terdapat adanya suatu pola yang khas untuk merumuskan secara umum suatu masalah LP. Pada setiap masalah ditentukan variabel keputusan, fungsi tujuan, dan sistem kendala, yang bersamasama membentuk suatu model matematik dari dunia nyata. Bentuk umum model LP itu adalah: Maksimumkan (minimumkan) Z =

Cj =1

n

j

xj

Dengan syarat: aijxj (, =, ) bi, untuk semua I (i=1, 2, m) semua xj 0 Keterangan: xj : banyaknya kegiatan j, dimana j=1, 2,n.

berarti disini terdapat n variable keputusan z : Nilai fungsi tujuan cj : Sumbangan perunit kegiatan untuk masalah maksimasi cj menunjukkan keuntungan atau penerimaan perunit, sementara dalam kasus minimasi ia menunjukkan biaya perunit. bi : jumlah sumber daya i(i=1,2,m) berarti terdapat m jenis sumber daya. aij : banyaknya sumber daya I yang dikonsumsi sumber daya j. ingat bahwa tanda pertidaksamaan tidak perlu sama untuk setiap kendala. Agar diperhatikan bahwa harga suatu kegiatan tak dapat hanya dinilai berdasarkan koefisien fungsi tujuan cj, konsumsi sumber daya dari kegiatan yang bersangkutan juga merupakan faktor penting. Karena semua kegiatan dalam model saling berebut akan sumber daya yang terbatas, sehingga sumbangan relatif dari setiap kegiatan tergantung baik pada koefisien fungsi tujuan cj maupun konsumsinya terhadap sumber daya aij, Ini berarti suatu kegiatan dengan keuntungan per unit yang tinggi mungkin tak jadi dijalankan karena penggunaannya akan sumber daya langka yang berlebihan.

1.4 Asumsi Model Linier Programming

Model LP mengandung asumsi-asumsi implisit tertentu yang harus dipenuhi agar definisinya sebagai suatu masalah LP yang absah. Asumsi ini menuntut bahwa hubungan fungsional dalam masalah itu adalah linier dan aditif, dapat dibagi dan deterministik. Berikut ini akan diterangkan dengan rinci. a. Linierity dan Additivity Syarat utama dari Linier Programming adalah bahwa semua fungsi tujuan dan kendala harus linier. Dengan kata lain, jika suatu kendala melibatkan dua variabel keputusan, dalam diagram dimensi dua ia akan berupa suatu garis lurus. Begitu juga, suatu kendala yang melibatkan tiga variabel akan menghasilkan suatu bidang datar dan kendala yang melibatkan n variabel akan menghasilkan hyperplane (bentuk geometris yang rata) dalam ruang berdimensi n. Kata linier secara tidak langsung mengatakan bahwa hubungannya proporsional yang berarti bahwa tingkat perubahan atau kemiringan hubungan fungsional itu adalah konstan dan karena itu perubahan nilai variabel akan mengakibatkan perubahan relatif nilai fungsi dalam jumlah yang sama. LP juga mensyaratkan bahwa jumlah variabel kriteria dan jumlah penggunaan sumber daya harus aditif. Contohnya, keuntungan total Z, yang merupakan variabel kriteria, sama dengan jumlah keuntungan yang diperoleh dari masing-masing kegiatan, cixj. Juga, seluruh sumber daya yang digunakan untuk semua kegiatan, harus sama dengan jumlah sumber daya yang digunakan untuk masing-masing kegiatan.

Aditif dapat diartikan sebagai tak adanya penyesuaian terhadap perhitungan variabel kriteria karena terjadinya interaksi. Contohnya, dalam masalah kombinasi produk misal disebutkan bahwa keuntungan perunit produk 1 adalah Rp 3,00 produk 2 sebesar Rp 5,00 dan produk 3 sebesar Rp 2,00 jika masing-masing produk dijual secara terpisah. Bisa jadi, jika ketiga produk dijual secara serentak pada daerah yang sama dapat menyebabkan penurunan keuntungan, sehingga perlu memasukkan penyesuaian interaksi kedalam variabel kriteria, misalnya saja menjadi: Z = 3X1 + 5X2 + 2X3 X1X2X3 Model terakhir ini mengandung suku yang bersifat multiplikatif sehingga tidak linier, dan metode LP tak dapat menangani masalah demikian. b. Divisibility Asumsi ini berarti bahwa nilai solusi yang diperoleh, Xj, tidak harus berupa bilangan bulat. Ini berarti nilai Xj dapat terjadi pada nilai pecah manapun. Karena itu variabel keputusan merupakan variabel kontinyu, sebagai lawan dari variabel diskrit atau bilangan bulat. Pada contoh masalah kombinasi produk, akan tidak masuk akal jika harus memproduksi produk 1 (katakan kapal), misalnya saja sebanyak 2,75. akibatnya, jika nilai-nilai bulat mutlak diperlukan, suatu model LP alternatif, yaitu Integer Programming harus digunakan. c. Deterministik

Dalam Linier Programming semua parameter model (cj, aij, dan bi) diasumsikan diketahui konstan. Linier Programing secara tak langsung mengasumsikan suatu masalah keputusan dalam suatu kerangka statis dimana semua parameter diketahui dengan kepastian. Dalam kenyataannya, parameter model jarang bersifat deterministik, karena mereka mencerminkan kondisi masa depan maupun sekarang, dan keadaan masa depan jarang diketahui dengan pasti. Ada beberapa cara untuk mengatasi ketidakpastian parameter dalam model Linier Programming. Analisis sensitivitas adalah suatu teknik yang dikembangkan untuk menguji nilai solusi, bagaimana kepekaannya terhadap perubahan-perubahan parameter.

1.5 Bentuk Standar Model Linier Programming Telah diterangkan bahwa model Linier Programming ini dapat memiliki pembatas-pembatas yang bertanda , =, maupun . Demikian juga variabelvariabelnya yang dapat berupa variabel non negatif, dapat pula variabel-variabel yang tidak terbatas dalam tanda (unrestricted in sign). Didalam menyelesaikan persoalan programa linier dengan menggunakan metode simpleks, bentuk dasar yang digunakan haruslah bentuk standar yaitu bentuk formulasi yang memliki sifat-sifat berikut: 1. Seluruh pembatas harus berbentuk persamaan (bertanda=) dengan ruas kanan yang non negatif.

2. Seluruh variabel harus merupakan variable non negatif. 3. Fungsi tujuannya dapat berupa maksimasi atau minimasi. Untuk mengubah suatu bentuk formulasi yang belum standar kedalam bentuk standar ini dapat dilakukan cara-cara sebagai berikut: 1. Pembatas (constrain) a. Pembatas yang bertanda atau dapat dijadikan suatu persamaan (bertanda sama dengan) dengan menambahkan atau mengurangi dengan suatu variabel slack pada ruas kiri pembatas itu. Contoh 1: X1 + 2X2 6 Kita tambahkan slack S1 0 pada ruas kiri sehingga diperoleh persamaan: X1 + 2X2 + S1 = 6, S1 0 Jika pembatas diatas menyatakan batas penggunaan suatu sumber, maka S1 akan menyatakan banyaknya sumber yang tidak terpakai. Contoh 2: 3X1 + 2X2 3X3 5 Karena ruas kirinya tidak lebih kecil dari ruas kanan, maka harus dikurangkan variabel S2 0 pada ruas kiri sehingga diperoleh persamaan: 3X1 + 2X2 3X3 S2 = 5, S2 0 b. Ruas kanan dari suatu persamaan dapat dijadikan bilangan nonnegatif dengan cara mengalikan kedua ruas dengan -1.

Contoh: 2X1 3X2 7X3 = -5, secara matematis adalah sama dengan -2X1 + 3X2 + 7X3 = 5. c. Arah ketidaksamaan dapat berubah apabila kedua ruas dikalikan dengan 1, Contoh: 2 < 4 adalah sama dengan -2 > -4 2X1 X2 -5 adalah sama dengan -2X1 + X2 5. d. Pembatas dengan ketidaksamaan yang ruas kirinya berada dalam tanda mutlak dapat diubah menjadi dua ketidaksamaan. Contoh 1: Untuk b 0, |a1x1 + a2x2| b adalah sama dengan a1x1 + a2x2 b dan a1x1 + a2x2 -b. Contoh 2: Untuk q 0, |p1x1 + p2x2| q adalah sama dengan p1x1 + p2x2 q atau p1x1 + p2x2 -q. 2. Variabel Suatu variabel yi yang tidak terbatas dalam tanda dapat dinyatakan sebagai dua variabel nonnegatif dengan menggunakan substitusi: yi = yi yi dimana yi dan yi 0

substitusi seperti ini harus dilakukan pada seluruh pembatas dan fungsi tujuannya. 3. Fungsi tujuan Walaupun model standar programa linier ini dapat berupa maksimasi atau minimasi, kadang-kadang diperlukan perubahan dari satu bentuk kebentuk lainnya. Dalam hal ini, maksimasi dari suatu fungsi adalah sama dengan minimasi dari negatif fungsi yang sama. Contoh: Maksimumkan z = 5x1 + 2x2 + 3x3 Secara matematis adalah sama dengan -z = -5x1 - 2x2 - 3x3 1.6 Teknik pemecahan Model Linier Programming Pada dasarnya metode-metode yang dikembangkan untuk memecahkan model linier programming ditujukan untuk mencari solusi yang dibentuk oleh persamaan-persamaan pembatas sehingga diperoleh nilai fungsi tujuan yang optimum. Ada dua cara yang bisa digunakan untuk menyelesaikan persoalanpersoalan programa linier ini yaitu dengan cara grafis dan metode simpleks. Cara grafis dapat kita pergunakan apabila persoalan programa linier yang akan diselesaikan itu hanya mempunyai dua buah variabel. Walaupun demikian cara ini telah memberikan satu petunjuk penting bahwa untuk memecahkan

persoalan-persoalan linier programming, kita hanya perlu memperhatikan titik ekstrim (titik terjauh) pada ruang solusi (daerah fisibel), petunjuk ini telah menjadi kunci dalam mengembangkan metode simpleks. Daerah fisibel dari programa linier adalah set dari seluruh titik yag memenuhi seluruh pembatas, termasuk pembatas tanda. Untuk persoalan maksimasi dengan pemecahan menggunakan solusi grafis, solusi optimal dari persoalan programa linier adalah suatu titik pada daerah fisibel dengan nilai fungsi tujuan terbesar. Pada persoalan minimasi, solusi optimal adalah suatu titik pada daerah fisibel dengan nilai fungsi tujuan terkecil. Dalam menggunakan solusi grafis terdapat beberapa persoalan linier programming yang mempunyai kasus khusus seperti: 1. Mempunyai solusi optimal yang tidak terbatas, biasa disebut juga mempunya solusi alternatif atau bersolusi optimal banyak. 2. Tidak mempunyai solusi fisibel atau persoalan programa linier yang infisibel. 3. Mempunyai ruang solusi yang tidak terbatas, yaitu kasus dimana ada titik-titik pada daerah fisibel dengan harga z yang sangat besar (pada persoalan maksimasi). Metode simpleks merupakan teknik yang paling berhasil dikembangkan untuk memecahkan persoalan programa linier yang mempunyai jumlah variabel keputusan dan pembatas yang besar. Algoritma simpleks ini diterangkan dengan menggunakan logika secara aljabar matriks, sedemikian sehingga operasi perhitungan dapat dibuat lebih efisien.

Dalam penyelesaian masalah LP dengan grafik, telah dinyatakan bahwa solusi optimum selalu terletak pada titik pojok ruang solusi. Metode simpleks didasarkan pada gagasan ini, dengan langkah-langkah sebagai berikut: a. Dimulai pada suatu titik pojok yang layak, biasanya titik asal (yang disebut sebagai solusi awal). b. Bergerak dari satu titik pojok layak ke titik pojok layak lain yang berdekatan. Pergerakan ini akan menghasilkan nilai fungsi tujuan yang lebih baik (meningkat untuk masalah maksimasi dan menurun untuk masalah minimasi). Jika solusi yang lebih baik telah diperoleh, prosedur simpleks dengan sendirinya akan menghilangkan semua solusi-solusi lain yang kurang baik. c. Proses ini diulang-ulang sampai suatu solusi yang lebih baik tak dapat ditemukan. Proses simpleks kemudian berhenti dan solusi optimum diperoleh. Mengubah bentuk baku model LP kedalam bentuk tabel akan memudahkan proses perhitungan simpleks. Langkah-langkah perhitungan dalam algoritma simpleks adalah: a. Berdasar bentuk baku, tentukan solusi awal (initial basic feasible solution) dengan menetapkan n-m variabel nonbasis sama dengan nol. Dimana n jumlah variabel dan m banyaknya kendala. b. Pilih semua entering variable diantara yang sedang menjadi variabel nonbasis, yang jika dinaikkan diatas nol, dapat memperbaiki nilai dari fungsi tujuan. Jika tak ada, berhenti, berarti solusi sudah optimal. Jika tidak, menuju kelangkah 3.

c. Pilih sebuah leaving variable diantara yang sedang menjadi variable basis yang harus menjadi nonbasis (nilainya menjadi nol) ketika entering variable menjadi variable basis. d. Tentukan solusi yang baru dengan membuat entering variable dan leaving variable menjadi nonbasis. Kembali kelangkah b.

1.7 Tools Solver pada Microsoft Excel Solver merupakan salah satu fasilitas tambahan (add-in) yang digunakan untuk memecahkan persoalan-persoalan yang rumit. Fasilitas solver memungkinkan kita menghitung nilai yang dibutuhkan untuk mencapai hasil yang terdapat pada satu sel atau sederetan sel (range). Dengan kata lain, solver dapat menangani masalah yang melibatkan banyak sel variabel dan membantu mencari kombinasi variabel untuk meminimalkan atau memaksimalkan satu sel target. Solver memungkinkan untuk mendefinisikan sendiri suatu batasan atau kendala yang harus dipenuhi agar pemecahan masalah dianggap benar. Bagian awal pembahasan menjelaskan bahwa solver merupakan fasilitas tambahan atau istilahnya add-ins. Jika anda tidak menemukan fasilitas ini pada menu Tools, klik Add-Ins. Selanjutnya klik solver dalam kotak Add-Ins Available. Bila ternyata solver todak ada, maka harus diinstal dengan memasukkan software Micrrosoft office. Langkah pada saat instalasi program dapat dilihat pada layar komputer, setelah proses instalasi selesai, excel akan menyertakan satu buku kerja yang berisi contoh penyelesaian kasus dengan solver.

1.8 Perencanaan Produksi Pada dasarnya proses perencanaan produksi dapat dikemukakan melalui empat utama, langkah sebagai berikut: Langkah 1: Mengumpulkan data yang relevan dengan perencanaan produksi. Beberapa informasi yang dibutuhkan adalah: sales forecast yang bersifat tidak pasti dan pesanan-pesanan (orders) yang bersifat pasti selama periode waktu tertentu. Selanjutnya perlu pula diperhatikan backlog (pesanan yang telah diterima pada waktu lalu namun belum dikirim), kuantitas produksi diwaktu lalu yang masih kurang dan harus diproduksi, dan lain-lain. Penjumlahan dari data ini merupakan total kebutuhan atau total permintaan produk pada titik waktu tertentu. Selanjutnya dikumpulkan informasi yang berkaitan dengan inventori awal (begin inventory) yang ada sekarang sebelum produksi dimulai. Langkah 2: Mengembangkan data yang relevan itu menjadi informasi yang teratur seperti dikemukakan dalam tabel 3.1. Tabel 3.1 Tabel informasi yang diperlukan untuk perencanaan produksiDeskripsi 1, Ramalan Penjualan 2, Pesanan (orders) 3, Permintaan Total = (1) + (2) 4, Rencana Produksi 5, Inventori 0 1 2 3 4 Periode Waktu (bulan) 5 6 7 8 9 10 11 12

Keterangan: periode 0 adalah periode lalu. Informasi yang berkaitan dengan inventori awal yang ada ditempatkan pada periode 0. total permintaan merupakan kuantitas yang dibutuhkan pada periode waktu tertentu, dan rencana produksi

harus mengacu pada informasi ini. Dalam sistem JIT, total permintaan merupakan sasaran yang harus dicapai dimana produksi harus mampu memenuhi total permintaan itu dengan meminimumkan atau meniadakan inventori (konsep zero inventory) dan meminimumkan atau meniadakan backlog atau hutang produksi. Langkah 3: Menentukan kapabilitas produksi, berkaitan dengan sumber-sumber daya yang ada. Langkah 4: Melakukan partnership meeting yang dihadiri oleh manajer umum, manajer PPIC, manajer produksi, manajer pemasaran, manajer keuangan, manajer rekayasa (engineering), manajer pembelian, manajer jaminan kualitas, dan manajer-manajer lain yang dianggap relevan. Disini diasumsikan bahwa yang menjalankan operasi manufakturing sehari-hari adalah manajer umum dengan dibantu oleh para manajer lainnya dan mereka mempunyai otoritas untuk membuat keputusan. Apabila yang memiliki otoritas berkaitan dengan pengambilan keputusan penting adalah para direktur, seyogyanya partnership meeting itu dihadiri oleh para direktur. Hal ini penting karena perencanaan produksi merupakan aktivitas pada hierarki tertinggi (level1) yang dilakukan oleh manajemen puncak. Beberapa hal penting yang dibahas dalam partnership meeting itu seyogyanya diagendakan dan keputusan yang diambil secara konsesus harus menjadi komitmen bersama. Hal-hal yang mungkin perlu dicatat adalah: isuisu khusus, performansi perusahaan berkaitan dengan pelayanan pelanggan, isuisu bisnis dan keuangan, laporan dari masing-masing departemen, diskusi tentang produk baru, masalah-masalah dalam proses produksi, kualitas, biaya produksi,

penetapan harga, pembelian, bahan baku, performansi pemasok material, dan lainlain. Rencan produksi harus mengacu pada permintaan total, sehingga formula umum untuk perencanaan produksi adalah: Rencana produksi = (Permintaan Total Iawal) + Iakhir Formula diatas adalah formula umum dengan masih memberikan toleransi pada penyimpanan inventori akhir sebagai tindakan pengaman untuk menjaga kemungkinan hasil produksi aktual lebihj rendah dari permintaan total. Bagaimanapun, bagi industri yang telah bertekad untuk menerapkan sistem JustIn-Time secara baik, kebijaksanaan yang berkaitan dengan penetapan target inventori akhir itu harus secara terus-menerus diupayakan menurun menuju kondisi ideal yaitu: inventori minimum (konsep zero inventory). Sebagai contoh, diketahui bahwa permintaan total pada bulan januari 1998 adalah: 8500 unit. Inventori awal yang merupakan inventori pada bulan desember 1997 adalah: 800 unit. Perusahaan masih menetapkan target untuk menyimpan inventori sebesar 700 unit. Berdasarkan informasi diatas, dengan menggunakan formula yang dikemukakan, dapat dihitung nilai untuk rencana produksi, sebagai berikut: Rencana produksi = (Permintaan Total Iawal) + Iakhir = (8500 800) + 700 = 8400 unit Dengan demikian rencana produksi pada bulan januari 1998 adalah 8400 unit. Apabila target inventori akhir diturunkan, katakanlah menjadi 300 unit,

rencana produksi akan menjadi: (8500 800) + 300 = 8000 unit. Mondisi ideal adalah menetapkan rencana produksi sebesar 7700 unit, dengan inventori akhir adalah nol.meskipun hal ini dirasakan sulit atau tidak mungkin, namun disitulah makna dari perbaikan terus-menerus dalam konsep Just-In-Time untuk mengupayakan agar inventori akhir menjadi minimum menuju nol. Apabila kita ingin mempraktekan konsep JIT dalam penetapanrencana produksi ini, nilai rencana produksi bulanan harus ditransformasikan kedalam rencana produksi harian menggunakan formula:Re ncana Pr oduksi Harian = Re ncana Pr oduksi Bulanan Jumlah Hari Kerja dalam Bulan itu

Sebagai misal,

pada bulan januari 1998 terdapat 24 hari kerja, maka untuk rencana produksi harian akan menjadi: 8400/24=350 unit. Selanjutnya apabila dalam satu hari kerja itu katakanlah terdapat 7 jam kerja efektif, maka rencana produksi perjam adalah:350/7=50 unit. Berdasarkan informasi ini kita dapat menghitung siklus waktu dari produk (product cycle time) dengan menggunakan formula:Siklus Waktu ( Cycle Time ) = Jam Kerja yang Tersedia Per hari Pr oduksi Harian

Dengan

demikian siklus waktu akan menjadi: 7 jam (=420 menit)/350 unit = 1,2 menit (per unit produk). Terdapat perbedaan antara sistem MRPII dan JIT, dimana sistem MRPII akan menetapkan rencana produksi bulanan atau mingguan, sedangkan sistem JIT akan menetapkan rencana produksi harian atau jam. Dengan demikian informasi tentang rencana produksi yang ditetapkan berdasarkan periode waktu bulanan atau

mingguan oleh sistem JIT akan dijadikan sebagai panduan guna menetapkan rencana produksi harian atau jam. Pada dasarnya dalam sistem MRPII terdapat tiga alternatif strategi perencanaan produksi, yaitu: level method, chase strategy, dan compromise strategy. Level method didefinisikan sebagai metode perencanaan produksi yang mempunyai distribusi merata dalam produksi. Dalam perencanaan produksi, level method akan mempertahankan tingkat kestabilan produksi sementara menggunakan inventori yang bervariasi untuk mengakumulasi output apabila terjadi kelebihan permintaan total. Chase strategy didefinisikan sebagai metode perencanaan produksi yang mempertahankan tingkat kestabilan inventori, sementara produksi bervariasi mengikuti permintaan total. Compromise strategy merupakan kompromi antara kedua metode perencanaan produksi diatas.

1.9 Kapasitas Penggunaan kata kapasitas secara umum berkaitan dengan volume. Misalkan kapasitas angkut satu truk adalah 100 kg. Dalam manajemen operasional, kapasitas dapat diekspresikan sebagai rate (laju produksi). Kapasitas suatu mesin produksi dapat ditampilkan sebagai 40 jam kerja perminggu atau suatu mesin dapat menghasilkan output 100 unit perjam. Pengukuran kapasitas

produksi sulit dilakukan secara akurat. Hal ini dipengaruhi beberapa faktor berikut: Variasi produk. Misalkan perhitungan kapasitas produksi suatu mesin adalan 100 unit perjam. Angka tersebut diasumsikan sebagai rata-rata jumlah unit yang dihasilkan dalam satu jam. Walaupun unit yang diproses berbeda dan mempunyai waktu proses yang berbeda pula. Efisiensi Resource. Asumsi yang dipakai adalah tingkatan keahlian atau teknologi. Misalkan untuk menjalankan suatu mesin dibutuhkan seorang operator, maka kita tidak dapat membendingkan hasil kerja antara operator training dengan operator ahli. Karena tentu saja hasil yang didapat jelas berbeda. Utilisasi Resource. Ketika suatu mesin sedang menanganisatu pekerjaan maka kapasitas mesin akan berkurang, karena sebagian kapasitas mesin dipakai untuk bekerja. Beberapa terminologi dalam kapasitas: Theoretical capacity, kapasitas total yang dipertimbangkan untuk memproses produk yang bervariasi. Demonstrated capacity, kapasitas berdasarkan data historis. Calculated capacity, Theoretical capacity yang telah disesuaikan untuk mneghitung utilisasi dan efisiensi. Solusi terhadap masalah kekurangan kapasitas: 1. Meningkatkan kapasitas melalui solusi jangka pendek: - Melakukan lembur atau over time.

- Bantuan sementara - Penugasan atau penempatan ulang (reassignment). - Menyewa peralatan (euipment rental), dan lainlain. 2. Menggunakan alternate routings. 3. Melakukan outsourcing melalui membeli parts yang biasanya dibuat. 4. Mencari subkontraktor untuk dikontrakan pekerjaan itu. 5. Melakukan overlap operations sehingga waktu tunggu menjadi lebih pendek, tetapi hal ini tidak akan meningkatkan kapasitas. 6. Menjadwalkan ulang pesanan-pesanan yang dikeluarkan.

1.10 Model Model menurut Hornby diartikan sebagai contoh yang mengandung unsur yang bersifat menyederhanakan untuk ditiru (jika perlu). Dengan model ini kita dapat membayangkan kemungkinan-kemungkinannya setelah mengetahui data serta asumsi-asumsinya sehingga keadaan menjadi jelas dan kemungkinan apa yang dapat terjadi juga dapat dibayangkan. Pentingnya pemakaian model dalam analisis adalah untuk: a. Mengetahui hubungan antara masalah yang dipecahkan dengan unsur-unsur terkait. b. Mengetahui hubungan antar unsur-unsur tadi.

c. Merumuskan hipotesis mengenai hakikat hubungan antar unsur.

PT LAQUNATEKSTIL memiliki sebuah pabrik yang akan memproduksi 2 jenis produk, yaitu kain sutera dan kain wol. Untuk memproduksi kedua produk diperlukan bahan baku benang sutera, bahan baku benang wol dan tenaga kerja. Maksimum penyediaan benang sutera adalah 60 kg per hari, benang wol 30 kg per hari dan tenaga kerja 40 jam per hari. Kebutuhan setiap unit produk akan bahan baku dan jam tenaga kerja dapat dilihat dalam tabel berikut: Jenis bahan baku Kg bahan baku & Jam tenaga kerja Maksimum dan tenaga kerja Kain sutera Kain wol penyediaan Benang sutera 2 3 60 kg Benang wol - 2 30 kg Tenaga kerja 2 1 40 jam Kedua jenis produk memberikan keuntungan sebesar Rp 40 juta untuk kain sutera dan Rp 30 juta untuk kain wol. Masalahnya adalah bagaimana menentukan jumlah unit setiap jenis produk yang akan diproduksi setiap hari agar keuntungan yang diperoleh bisa maksimal. Langkah-langkah: 1) Tentukan variabel X1=kain sutera

X2=kain wol 2) Fungsi tujuan Zmax= 40X1 + 30X2 3) Fungsi kendala / batasan 1. 2X1 + 3X2 60 (benang sutera) 2. 2X2 30 (benang wol) 3. 2X1 + X2 40 (tenaga kerja) Cara mendapatkan solusi optimal: 1. Dengan mencari nilai Z setiap titik ekstrim. Titik A X1=0, X2=0 masukkan nilai X1 dan X2 ke Z Z = 40 . 0 + 30 . 0 = 0 Titik B X1=20, X2=0 masukkan nilai X1 dan X2 ke Z Z = 40 . 20 + 30 . 0 = 800 Titik C Mencari titik potong (1) dan (3) 2X1 + 3X2 = 60 2X1 + X2 = 40 2X2=20 X2=10

Masukkan X2 ke kendala (1) 2X1 + 3X2 = 60 2X1 + 3 . 10 = 60 2X1 + 30 = 60 2X1 = 30 X1 = 15 masukkan nilai X1 dan X2 ke Z 40X1 + 30X2 = 40 . 15 + 30 . 10 = 600 + 300 = 900 (optimal) Titik D 2X2 = 30 X2 = 15 masukkan X2 ke kendala (1) 2X1 + 3 . 15 = 60 2X1 + 45 = 60 2X1 = 15 X1 = 7,5 masukkan nilai X1 dan X2 ke Z Z = 40 . 7,5 + 30 . 15 = 300 + 450 = 750 Titik E X2 = 15 X1 = 0 masukkan nilai X1 dan X2 ke Z Z = 40 . 0 + 30 .15 = 450 Kesimpulan :

untuk memperoleh keuntungan optimal, maka X1 = 15 dan X2 = 10 dengan keuntungan sebesar Rp 900 juta. 2. Dengan cara menggeser garis fungsi tujuan. Solusi optimal akan tercapai pada saat garis fungsi tujuan menyinggung daerah feasible (daerah yang diliputi oleh semua kendala) yang terjauh dari titik origin. Pada gambar, solusi optimal tercapai pada titik C yaitu persilangan garis kendala (1) dan (3). Titik C Mencari titik potong (1) dan (3) 2X1 + 3X2 = 60 2X1 + X2 = 40 2X2=20 X2=10 Masukkan X2 ke kendala (1) 2X1 + 3X2 = 60 2X1 + 3 . 10 = 60 2X1 + 30 = 60 2X1 = 30 X1 = 15 masukkan nilai X1 dan X2 ke Z 40X1 + 30X2 = 40 . 15 + 30 . 10 = 600 + 300 = 900

2 . Masalah Minimisasi Minimisasi dapat berupa meminimumkan biaya produksi. Solusi optimal tercapai pada saat garis fungsi tujuan menyinggung daerah fasible yang terdekat dengan titik origin. Contoh : Perusahaan makanan ROYAL merencanakan untuk membuat dua jenis makanan yaitu Royal Bee dan Royal Jelly. Kedua jenis makanan tersebut mengandung vitamin dan protein. Royal Bee paling sedikit diproduksi 2 unit dan Royal Jelly paling sedikit diproduksi 1 unit. Tabel berikut menunjukkan jumlah vitamin dan protein dalam setiap jenis makanan: Jenis makanan Vitamin (unit) Protein (unit) Biaya per unit (ribu rupiah) Royal Bee 2 2 100 Royal Jelly 1 3 80 minimum kebutuhan 8 12 Bagaimana menentukan kombinasi kedua jenis makanan agar meminimumkan biaya produksi. Langkah langkah: 1. Tentukan variabel X1 = Royal Bee X2 = Royal Jelly 2. Fungsi tujuan

Zmin = 100X1 + 80X2

3. Fungsi kendala 1) 2X1 + X2 2) 2X1 + 3X2 3) X1 4) X2 persilangan garis kendala (1) dan (2). 2X1 + X2 = 8 2X1 + 3X2 = 12 -2X2 = -4 X2 = 2 masukkan X2 ke kendala (1) 2X1 + X2 = 8 2X1 + 2 = 8 2 X1 = 6 X1 = 3 masukkan nilai X1 dan X2 ke Z Z min = 100X1 + 80X2 = 100 . 3 + 80 . 2 = 300 + 160 = 460 Kesimpulan : Untuk meminimumkan biaya produksi, maka X1 = 3 dan X2 = 2 dengan biaya produksi 460 ribu rupiah. 2 1 8 (vitamin) 12 (protein)

Solusi optimal tercapai pada titik B (terdekat dengan titik origin), yaitu

Post kali ini adalah tugas mata kuliah saya. Pembahasan 2 butir soal dari bab Teknik Pemecahan Model Program Linier di mata kuliah Teknik Riset Operasi (TRO). Pengerjaan saya lakukan sendiri, jadi mohon koreksinya jika terdapat kesalahan. Terima kasih. 2. Persamaan matematis suatu program linier adalah sebagai berikut: Minimasi: z = 61 + 7,52 dengan pembatas: 71 + 32 210 61 + 122 180 42 120 x1, x2 0 Carilah harga x1, x2 Penyelesaian: 1. Dibuat bentuk standarnya (formulasi kanonik): Baris 0 z 61 7,52 = 0 Baris 1 71 + 32 + S1 = 210 Baris 2 61 + 122 + S2 = 180 Baris 3 42 + S3 = 120

2. Menentukan solusi basis fisibel (BFS): BV = {z, S1, S2, S3}; NBV = {x1, x2} Jadi BFSnya adalah: z= 0, S1= 210, S2= 180, S3= 120, x1= 0, x2= 0. Karena ini merupakan proses minimasi, dan semua koefisien di baris 0 sudah bernilai negatif maka BFS sudah optimal. Penyelesaian sudah didapat, langkah selanjutnya tidak perlu dilakukan. Jadi harga dari x1 dan x2 adalah 0. 3. PT. Unilever bermaksud membuat 2 jenis sabun, yakni sabun bubuk dan sabun batang. Untuk itu dibutuhkan 2 macam zat kimia, yakni A dan B. Jumlah zat kimia yang tesedia adalah A = 200 kg dan B = 360 kg. Untuk membuat 1 kg sabun bubuk diperlukan 2 kg A dan 6 kg B. Untuk membuat 1 kg sabun bubuk diperlukan 2 kg A dan 6 kg B. Untuk membuat 1 kg sabun batang diperlukan 5 kg A dan 3 kg B. Bila keuntungan yang akan diperoleh setiap membuat 1 kg sabun bubuk = $ 3 sedangkan setiap 1 kg sabun batang = $ 2, berapa kg jumlah sabun bubuk dan sabun batang yang sebaiknya dibuat? Penyelesaian: Proses ini berarti menggunakan maksimasi, karena mencari komposisi produksi yang paling sesuai untuk mendapatkan keuntungan yang paling maksimal. x1 = sabun bubuk x2 = sabun batang z 31 22 = 0 (dicari yang maksimal, semua koefesien bernilai positif)z =

31 + 22 21 + 52 200 21 + x2 12061 + 32 360 Bentuk standarnya (formulasi kanonik): Baris 0 z 31 22 = 0 Baris 1 21 + 52 + S1 = 200 Baris 2 21 + x2 + S2 = 120 Solusi baris fisibel: BV = {z, S1, S2}; NBV = {x1, x2} nilai koefisien yang paling negatif dari baris 0Menentukan Entering Variabel (EV) Jadi EV= x1 Menghitung rasio (nilai dibagi koefisien EV) dan melakukan operasi baris elementer Rasio baris 1 adalah 200/2 = 100 Rasio baris 2 adalah 120/2 = 60 Karena rasio baris kedua bernilai paling kecil, maka koefisien EV di baris 2 dijadikan 1. Sehingga baris 2 menjadi: x1 + x2 + S2 = 60 Karena x1 terpilih sebagai EV maka x1 menjadi variabel basis (BV), dan S2, yang memiliki rasio terkecil pada barisnya, menjadi variabel non basis (NBV). Selanjutnya lakukan operasi baris elementer (menghilangkan x1, yang merupakan EV, pada baris lain):

Baris 0: z 31 22 = 0 ==> x1 ==> z- 31 22 = 0 x1 + 1/22 +1/6S2 = 60 ==> x3 ==> 31 + 3/22 +1/2S2 = 180 hasil (dijumlahkan): Z 1/22 + 1/2 S2 = 180 Baris 1: 21 + 52 + S1 = 200 ==> x1 ==> 21 + 52 + S1 =200 x1 + 1/22 +1/6S2 = 60 ==> x2 ==> 21 + x2 +1/3S2 = 120 hasil (dikurangi): 42 + S1- 1/3S2 = 80 Selanjutnya bisa didapatkan bentuk kanonik yang baru, yaitu: Baris 0 z 1/22 + 0,5 S2 = 180 Baris 1 42 + S1- 1/3S2 = 80 Baris 2 x1 + 1/2x 2 +1/6S2 = 60 Dari data ini bisa ditentukan: BV= {z, x1,S1 } NBV= { S2 , x2 } BFS : z=180 S1 = 80 x1 = 60 dan S2, x2 = 0 Karena baris 0 belum semua bernilai positif (maksimasi), maka lakukan lagi langkah-langkah diatas: nilai koefisien yang paling negatif dari baris 0Menentukan Entering Variabel (EV) Jadi EV= x2

Menghitung rasio (nilai dibagi koefisien EV) dan melakukan operasi baris elementer Rasio baris 0 adalah 180/0,5 = 360 Rasio baris 1 adalah 1: 80/4 = 20 Rasio baris 2 adalah 60/0,5 = 120 Karena rasio baris pertama bernilai paling kecil, maka koefisien EV di baris pertama dijadikan 1. Sehingga menjadi: x2 + 1/4S1- 1/12S2 = 20 Karena x2 terpilih sebagai EV maka x1 menjadi variabel basis (BV), dan S1, yang memiliki rasio terkecil pada barisnya, menjadi variabel non basis (NBV). Selanjutnya lakukan operasi baris elementer (menghilangkan x1, yang merupakan EV, pada baris lain): Baris 0: Z 1/22 + 1/2 S2 = 180 ==> x1 ==> Z 1/22 + 1/2 S2 = 180 x2 + 1/4S1- 1/12S2 = 20 ==> x1/2 ==> 1/22 + 1/8S1- 1/24S2 = 10 Hasil (dijumlahkan): Z + 1/8S1+ 11/24 S2 = 190 Baris 2: x1 + 1/22 +1/6S2 = 60 ==> x1 ==> x1 + 1/22 +1/6S2 = 60 x2 + 1/4S1- 1/12S2 = 20 ==> x1/2 ==> 1/22 + 1/8S1- 1/24S2 = 10 Hasilnya (dikurangi): x1 1/8S1+ 5/24 S2 = 50 Selanjutnya bisa didapatkan bentuk kanonik yang baru, yaitu: Baris 0 Z + 1/8S1+ 11/24 S2 = 190

Baris 1 x2 + 1/4S1- 1/12S2 = 20 Baris 2 x1 -1/8S1+ 5/24 S2 = 50 Dari data ini bisa ditentukan: BV= {Z, x1,x2 } NBV= { S2 , S1 } BFS : Z=190 x2= 20 x1 = 50 dan S2, S1 = 0 Karena baris 0 sudah semua bernilai positif (maksimasi), maka hasil sudah didapatkan. Jadi sebaiknya dibuat 50 kg sabun bubuk dan 20 kg sabun batang.