PENGANTAR PELUANG

Disusun untuk memenuhi tugas mata kuliah Statistika Dasar

oleh :

Nama :

Kelompok 1

M. Indra Pratama 150610130073Jesica Ferina Tarigan 150610130082Nur Sari 150610130087Edin Friston Sinurat 150610130146Sesilia Kirana P. 150610130151

AGRIBISNIS DUNIVERSITAS PADJAJARAN

2014

KATA PENGANTAR

Puji syukur kami panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena dengan rahmat, karunia, serta hidayah-Nya kami dapat menyelesaikan tugas untuk mata.kuliah Statistika Dasar. Kami juga berterima kasih kepada Dosen mata kuliah Statistika dasar yang telah memberikan tugas ini kepada kami.

Kami sangat berharap tugas ini dapat berguna dalam rangka menambah wawasan serta pengetahuan kita mengenai ”Pengantar Peluang”. Kami juga menyadari sepenuhnya bahwa di dalam tugas ini terdapat kekurangan-kekurangan dan jauh dari apa yang kami harapkan. Untuk itu, kami berharap adanya kritik, saran dan usulan demi perbaikan di masa yang akan datang, mengingat tidak ada sesuatu yang sempurna tanpa sarana yang membangun.

Semoga laporan ini dapat dipahami oleh siapapun yang membacanya dan dapat berguna bagi diri kami sendiri maupun orang yang membacanya. Sebelumnya kami mohon maaf apabila terdapat kesalahan kata-kata yang kurang berkenan dan kami memohon kritik dan saran yang dapat membangun demi perbaikan yang lebih baik di masa yang akan datang.

Jatinangor, Maret 2014

Penyusun

A. DEFENISI PELUANG

Mengundi dengan sebuah mata uang logam atau sebuah dadu, membaca temperatur udara tiap hari dari termometer, menghitung banyak barang rusak yang dihasilkan tiap hari, mencatat banyak kendaraan yang melalui sebuah tikungan setiap jam dan masih banyak contoh lainnya lagi, merupakan eksperimen yang dapat diulangi. Dari eksperimen demikian yang semua hasil yang mungkin terjadi bisa dicatat. Segala bagian yang mungkin didapat dari hasil ini dinamakan peristiwa.

Contoh : Ambil eksperimen mengenai mencatat banyak kendaraan yang melalui sebuah tikungan setiap jam. Hasilnya bisa terdapat 0, 1, 2, 2, 4,.. buah kendaraan setiap jam yang melalui tikungan tersebut. Beberapa peristiwa yang didapat misalnya : tidak ada kendaraan yang melalui tikungan itu selama satu jam, lebih dari tiga kendaraan melalui tikungan selama satu jam, adaenam kendaraan dalam satu jam yang melalui tikungan dan sebagainya.

Untuk menyatakan peristiwa akan digunakan huruf-huruf besar, A, B, C, ... baik disertai indeks ataupun tidak. Misalnya : A berarti tidak ada kendaraan yang melalui tikungan selama satu jam, B berarti tidak ada 10 kendaraan dalam satu jam yang melalui tikungan, dan sebagainya.

Defenisi : Dua peristiwa atau lebih dinamakan saling eksklusif atau saling asing jikaterjadinya peristiwa yang satu mencegah terjadinya yang lain.

Beberapa contoh : a) Jika E menyatakan suatu peristiwaterjadi, maka Ē kita pakai untuk menyatakan

peristiwa itu tidak terjadi. Peristiwa – peristiwa Ė dan Ē jelas saling eksklusif atau saling asing.

b) E berarti barang yang dihasilkan rusak dan Ē berarti barang yang dihasilkan tidak rusak. Dua peristiwa ini saling eksklusif.

c) Mata uang logam kita mempunyai dua muka berlainan. Kita sebut saja muka G dan muka H. Kita lakukan undian dengan sebuah mata uang lalu perhatikan muka mana yang nampak. Maka peristiwa-peristiwa muka G yang nampak dan muka H yang nampak sebagu hasil undian dengan sebuah mata uang merupakan dua peristiwa yang saling eksklusif.

d) Ketika melakukan undian dengan sebuah dadu yang bermuka enam, dimana satu muka berisi sebuah titik (disebut muka bermata satu), maka kedua bermata dua, ..., muka keenam bermata enam, maka salah satu muka akan nampak disebelah atas. Kita dapatkan enam peristiwa yang semuanya saling eksklusif.

Defenisi klasik untuk peluang berdasarkan peristiwa yaitu:Defenisi : misalkan sebuah peristiwa E dapat terjadi sebanyak n kali di antara N peristiwa yang saling eksklusif dan masing –masing terjadi dengan kesempatan

yang sama. Maka peluang peristiwa E terjadi adalah nN

dan dituliskan dalam

bentuk P (E) = nN

Contoh :Sebuah kotak berisi 20 kelereng yang identik kecuali warnanya. Terdapat 5 berwarna merah, 12 berwarna kuning, dan sisanya berwarna hijau, kelereng dalam kotak itu diaduk baik-baik lalu diambil sebuah tanpa melihat ke dalam kotak atau dengan mata

ditutup. Maka peluang mengambil kelereng berwarna merah ¿5

20 ¿0,25 ;peluang

mengambil yang berwarna kuning ¿1220

=0,6 dan peluang mengambil yang hijau

¿ 320

=0,15

Defenisi klasik di muka bersifat samar-samar karena adanya perkataan :Masing-masing terjadi dengan kesempatan yang sama, yang nampaknya sinonim dengan pengertian peluang yang sama. Jadi defenisi di muka bersifat sirkuler, karena seolah-olah mendefenisikan peluang menggunakan istilah itu sendiri. Karena defenisi peluang empirik, sering digunakan.

Defenisi : Kita perhatikan frekuensi relatif tentang terjadinya sebuah peristiwa untuk sejumlah pengamatan. Maka peluang peristiwa itu adalah limit dari frekuensi relatif apabila jumlah pengamatan diperbesar sampai tak hingga banyaknya.

Contoh : Lakukan undian dengan sebuah mata uang yang homogen 1000 kali, misalkandidapat

muka G sebanyak 519 kali. Maka frekuensi relatif muka G = 0,519. Sekarang lakukan 2000 kali dimana didapat muka G sebanyak 1020 kali. Frekuensi relatifnya = 0,510. Jika dilakukan 5000 kali dimana muka G terdapat 2530, maka frekuensi relatifnya 0, 506. Jika proses demikian diteruskan, nilai frekuensi relatif lambat laut makin dekat kepada sebuah bilangan yang merupakan peluang untuk muka G. Dalam hal ini bilangan tersebut adalah = 0,5.

Atas dasar defenisi dimuka dan proses inilah untuk selanjutnya dengan P (G) = 12

diartikan bahwa setiap dua kali undian dengan sebuah mata uang satu kali akan nampak muka G jika undian itu dilakukan cukup banyak dalam jangka waktu yang panjang dan kondisi yang sama.

B. BEBERAPA ATURAN PELUANG

Dari defenisi klasik, kita dapat bahwa untuk peristiwa E, P(E) = nN

. Mudah

dimengerti kiranya bahwa paling kecil n=0, yakni dalam hal peristiwa E tidak ada, dan paling besar n = N, yakni dalam hal semua yang terjadi merupakan peristiwa E. Karenanya, paling kecil peluang peristiwa E berharga nol dan paling besar berharga satu. Jadi didapat batas-batas peluang :

VII(1)...... 0 ≤ P(E) ≤ 1

Jika P(E) = 0, maka diartikan peristiwa E pasti tidak terjadi, sedangkan jika P(E) = 1 diartikan peristiwa E pasti terjadi. Yang sering terjadi dalam kenyataan, ialah harga-harga P(E) antara 0 dan 1. Jika P(E) dekat sekali pada 0, sering diartikan bahwa peristiwa E praktis tidak terjadi dan dalam hal P(E) dekat sekali pada satu, biasa dikatakan bahwa peristiwa E praktis terjadi.

Selanjutnya dari defenisi bahwa P(E) ¿nN

, jika Ē menyatakan bukan peristiwa E,

maka didapat:

P(Ē ¿=1−P(E)

atau berlaku hubungan :

VII(2)...... P(E) + P(Ē ¿=1

Peristiwa-peristiwa E dan Ēdikatakan saling berkomplemen.

Contoh :1) Dalam undian dengan sebuah dadu, misalkan E = mendapat muka 6 disebelah atas.

Maka P(E) = 1/6. Jelas bahwa Ē ¿ bukan mata 6 yang nampak di sebelah atas. Dalam

hal ini yang nampak adalah mata atau mata 2 atau ... mata 5. Tentulah P(E)= 56

.

2) Kalau peluang mendapatkan hadiah = 0,61, maka peluang tidak mendapatkan hadiah 0,39

Peristiwa E dan Ē juga merupakan dua peristiwa yang saling asing atau saling aksklusif, karena terjadinya E menghindarkan terjadinya Ē dan sebaliknya.

Untuk dua peristiwa atau lebih akan terjadi empat buah hubungan seperti dijelaskan di bawah ini.

Peristiwa-peristiwa yang saling eksklusif, dihubungkan dengan kata atau. Untuk itu berlaku aturan berikut;

Jika k sebuah peristiwa E1, E2, .... Ek saling ekskusif atau saling asing maka peluang terjadinya E1, atau E2 ... atau Ek sama dengan jumlah peluang tiap peristiwa. Dalam rumus dituliskan sebagai berikut;

VII(3) P(E1 atau E2 atau ... atau Ek).. = P(E1) + P(E2) + ... + P(Ek)

Contoh: :1) Sudah kita ketahui bahwa E dan Ē saling aksklusif. Jadi berlaku :P(E atau Ē) = P(E) + P(E)Tetapi menurut rumus VII(2), didapat P(E atau Ē) = 1Ini berarti terjadi atau tidak terjadinya peristiwa E adalah pasti. Suatu kenyataan yang cukup jelas.2) Ada 200 lembar undian berhadiah dengan sebuah hadiah pertama, 5 hadiah kedua,

10 hadiah ketiga dan sisanya tak berhadiah. Seseorang membelinya selembar. Berapa peluang orang itu akan memenangkan hadiah pertama atau hadiah kedua?Jawab:Disini ada 4 peristiwa yang saling eksklusif ialah A=hadiah pertama, B=hadiah kedua, C=hadiah ketiga dan D=tak berhadiah. Menurut defenisi P(A) = 0,005; P(B) = 0,025; P(C) = 0,05; dan P(D) = 0,92Dengan rumus VIII(3), makaP(A atau B) = P(A) + P(B) = 0,005 + 0,025 = 0,03

Hubungan kedua yang terdapat antara peristiwa ialah hubungan bersyarat. Dua peristiwa dikatakan mempunyai hubungan bersyarat jika peristiwa yang satu menjadi syarat terjadinya peristiwa yang lain. Kitatulis A | B untuk menyatakan peristiwa A terjadi dengan didahului terjadi peristiwa B. Peluangnya ditulis P(A|B) dan disebut peluang bersyarat unutk terjadinya peristiwa A dengan syarat B.

Jika terjadinya atau tidak terjadinya peristiwa B tidak mempengaruhi terjadinya peristiwa A, maka A dan B disebut peristiwa- peristiwa bebas atau independen. Jika kita tulis A dan B untuk menyatakan peristiwa-peristiwa A dan B kedua-duanya terjadinya, maka peluang dinyatakan dalam peluang bersyarat diperoleh :

VII(4)....... P(A dan B) = P (B) . P (A | B)

Jika A dan B indenpenden, maka:

VII(5)...... P (A | B) = P (A)

Dan dalam hal ini, dari rumus VII(4) diperoleh:

VII(6)...... P(A dan B) = P (A) . P (B)

Rumus VII(6) ini dapat diperluas untuk k buah peristiwa E1, E2, ..., Ek yang indenpenden. Rumusnya adalah:

VII(7) ... P(E1 dan E2 dan ... dan Ek) = P(E1) . P(E2) ... P(Ek)

Contoh :1) Kita lakukan undian dengan sebuah mata uang sebanyak dua kali. Ambil A = nampak

muka G pada undian pertama dan B = nampak muka G pada undian ke- dua. Jelas A dan B dua peristiwa yang independen. Maka menurut rumus VII(6) didapat:

P(A dan B) = P(A) . P (B) = 12

. 12

= 14

Hubungan terakhir antar peristiwa ialah hubungan inklusif. Untuk dua peristiwa A dan B yang mempunyai hubungan inklusif, berlaku hubungan : atau A atau B atau kedua – duanya terjadi, dan untuk ini berlaku rumus:

VII(8) ... P(A dan atau B) = P(A) + P(B) – P(A dan B)dengan A atau B disini diartikan hubungan inklusif antara peristiwa A dan peristiwa B.

C. EKSPEKTASI

Misalkan kita punya sebuah eksperimen yang menghasilkan k buah peristiwa dapat terjadi. Peluang terjadinya tiap peristiwa masing-masing p1, p2, ... , pk dan untuk tiap peristiwa dengan peluang tersebut terdapat satuan-satuan d1, d2, ..., dk. Satuan-satuan ini bisa nol, positif ataupun negatif dan tentulah p1 + p2 + ... + pk = 1

Maka ekspektasi eksperimen itu, ditulis Ɛ, didefenisikan sebagai berikut:VII(9)...... Ɛ = p1d1 + p2d2 + ... + pkdk

= ∑i=1

k

❑ p1d1

Rumus VII(9) menyatakan, bahwa jika tiap peristiwa diberi nilai maka pukul rata diharapkan

terdapat nilai sejumlah ∑ p1d1 untuk eksperimen berikut.

Contoh :

1) Si A dan si B bertaruh dengan melakukan undian menggunakan sebuah mata uang. Jika dalam undian itu nampak muka G, si A membayar kepada si B sebanyak Rp 5,-. Jika yang nampak muka H, si B membayar Rp 5,- kepada si A. Dari permainan

(eksperimen) ini, maka untuk si A menang Rp 5,- dengan peluang 12

, kalah Rp 5,-

dengan peluang 12

, sehingga ekspektasi taruhan itu adalah

Ɛ (untuk si A) = 12

(Rp 5) + 12

(- Rp 5) = Rp 0.

Untuk si B juga berlaku hal yang sama. Berarti untuk jangka waktu yang cukup lama, dalam permainan ini si A dan si B masing-masing nol rupiah.

2) Produksi semacam barang rusak 6%. Diambil sebuah sampel acak*) terdiri atas 50 barang . Maka setiap sampel diharapkan rata-rata berisi 0,06 x 50 = 3 barang rusak.

DAFTAR PUSTAKA

Sujana.2005. Metoda Statistika, Bandung: Tarsito.