Pengantar Proses Stokastik - WordPress.com · Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2015 Atina Ahdika, S.Si, M.Si Pengantar Proses Stokastik. Pendahuluan Ruang Sampel dan Kejadian

PendahuluanRuang Sampel dan Kejadian

Peubah AcakParameter Distribusi

DiskusiPustaka

Pengantar Proses StokastikBab 1: Dasar-Dasar Probabilitas

Atina Ahdika, S.Si, M.Si

Statistika FMIPAUniversitas Islam Indonesia

2015

Atina Ahdika, S.Si, M.Si Pengantar Proses Stokastik



DiskusiPustaka

Ruang Sampel dan Kejadian

Percobaan adalah kegiatan yang menghasilkan keluaran/hasilyang mungkin secara acak. Contoh: pelemparan sebuah dadu.

Ruang sampel S adalah himpunan dari semua hasil yangmungkin dari suatu percobaan. Contoh: dari pelemparansebuah dadu diperoleh keluaran S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Biasadinotasikan dengan huruf kapital. Contoh: munculnyabilangan genap pada pelemparan sebuah dadu: A = {2, 4, 6}.




DiskusiPustaka

Gabungan Kejadian

A ∪ B = {a ∈ S : a ∈ A atau a ∈ B}

Irisan Kejadian

A ∩ B = {a ∈ S : a ∈ A dan a ∈ B}




DiskusiPustaka

Kejadian A dan B bersifat ’mutually exclusive (saling asing)’ jikaA ∩ B = φ.

KomplemenAc = A = {a ∈ S : a /∈ A}




DiskusiPustaka

Partisi Ruang SampelSebuah himpunan kejadian {A1,A2, . . .} merupakan partisidari ruang sampel S jika

1 Kejadian-kejadian tersebut bersifat ’mutually exclusive’,Ai ∩ Aj = φ jika i 6= j .

2 ∪iAi = S




DiskusiPustaka

Peluang

Peluang kejadian A adalah

P(A) = limn→∞

n(A)

n

n(A) : banyaknya keluaran A

n : banyaknya percobaan

atau

P(A) =n(A)

n(S)

n(A) : banyaknya keluaran A

n(S) : banyaknya anggota ruang sampel S




DiskusiPustaka

Sifat-sifat peluang1 0 ≤ P(A) ≤ 12 P(S) = 1 P(φ) = 03 Untuk himpunan kejadian A1,A2, . . . yang ’mutually exclusive’,

P

( ∞⋃n=1

An

)=

∞∑n=1

P(An)

4 P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B)5 P(Ac) = 1− P(A)6 Jika A ⊆ B maka P(A) ≤ P(B)




DiskusiPustaka

Misalkan P(A ∪ B) = P(A ∪ Bc) = 0.6. Hitung P(A)!




DiskusiPustaka

Jawab:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B) = 0.6

P(A ∪ Bc) = P(A) + P(Bc)− P(A ∩ Bc) = 0.6

Jumlahkan kedua persamaan tersebut diperoleh

2P(A) + P(B) + P(Bc)− (P(A ∩ B) + P(A ∩ Bc)) = 1.2

2P(A) + 1− P(A) = 1.2

P(A) = 0.2

Note:

P(B) + P(Bc) = 1

P(A ∩ B) + P(A ∩ Bc) = P(A)




DiskusiPustaka

Ruang Sampel dan KejadianPeluang

Peubah Acak

Peubah acak adalah fungsi yang memetakan anggota ruang sampelS ke bilangan real. Contoh:

Misalkan dua buah koin dilemparkan. Misalkan X menyatakanbanyaknya sisi muka yang muncul, maka X adalah peubah acakyang bernilai 0, 1, dan2 dengan peluang munculnya

P(X = 0) = P(BB) =1

4

P(X = 1) = P(MB,BM) =1

2

P(X = 2) = P(MM) =1

4




DiskusiPustaka


Peubah Acak Diskrit

Peubah acak diskrit merupakan peubah acak yang terdefinisi padabarisan terhitung dari bilangan {xi , i = 1, 2, . . .} sedemikian hingga

P

(⋃i

{X = xi}

)=∑i

P(X = xi ) = 1




DiskusiPustaka


Fungsi peluang

p(x) = P(X = x) =

{pi , jika x = xi

0, lainnya.

Fungsi distribusi

FX (x) =∑i

p(xi )




DiskusiPustaka


Distribusi Binomial

Misalkan sebuah percobaan yang keluarannya berupa sebuahsukses atau sebuah gagal. Misalkan X = 1 jika hasilnya sukses danX = 0 jika gagal, maka fungsi peluangnya

p(0) = P(X = 0) = 1− p

p(1) = P(X = 1) = p

di mana p merupakan peluang sukses dan 0 ≤ p ≤ 1.Maka X merupakan peubah acak Bernoulli.




DiskusiPustaka


Jika terdapat n percobaan independen dengan keluaran berupasukses dan gagal dan X menyatakan banyaknya sukses yangdiperoleh, maka X berdistribusi Binomial dengan parameter (n, p)dan fungsi peluangnya

p(x) =

(nx

)px(1− p)n−x , x = 0, 1, 2, . . .




DiskusiPustaka


Misalkan sebuah mesin pesawat akan rusak dalam penerbangannyadengan peluang 1− p, saling bebas antara mesin satu denganlainnya. Misalkan pesawat akan terbang dengan sukses jikasetidaknya 50% mesinnya dapat bekerja dengan baik. Untuk pberapa, sebuah pesawat dengan 4 mesin akan lebih dipilih daripadapesawat dengan 2 mesin?




DiskusiPustaka


Peluang bahwa pesawat dengan 4 mesin akan terbang dengansukses adalah

P(X ≥ 2) = P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)

=

(42

)p2(1− p)2 +

(43

)p3(1− p) +

(44

)p4(1− p)0

= 6p2(1− p)2 + 4p3(1− p) + p4

Peluang bahwa pesawat dengan 2 mesin akan terbang dengansukses adalah

P(X ≥ 1) = P(X = 1) + P(X = 2)

=

(21

)p(1− p) +

(22

)p2(1− p)0

= 2p(1− p) + p2




DiskusiPustaka


Maka, peluang pesawat dengan 4 mesin akan lebih dipilih daripadapesawat dengan 2 mesin adalah

6p2(1− p)2 + 4p3(1− p) + p4 ≥ 2p(1− p) + p2

6p(1− p)2 + 4p2(1− p) + p3 ≥ 2− p

3p3 − 8p2 + 7p − 2 ≥ 0

(p − 1)2(3p − 2) ≥ 0

p ≥ 2

3




DiskusiPustaka


Distribusi Geometrik

Misalkan percobaan-percobaan yang saling bebas, masing-masingmemiliki peluang sukses p, dilakukan hingga diperoleh suksespertama. Misalkan X menyatakan banyaknya percobaan yangdilakukan untuk mencapai sukses pertama, maka X dikatakansebagai peubah acak Geometrik dengan parameter p dan fungsipeluangnya

P(X = n) = (1− p)n−1p, n = 1, 2, . . .




DiskusiPustaka


Sebuah koin dilemparkan dengan peluang muncul sisi muka sebesarp, sampai muka pertama muncul. Misalkan N menyatakanbanyaknya pelemparan yang dibutuhkan, asumsikan bahwamasing-masing pelemparan yang sukses saling bebas. TentukanP(N)!




DiskusiPustaka


N merupakan p.a yang menyatakan banyaknya pelemparan yangdibutuhkan sehingga muncul sisi muka yang pertama. Maka

P(N = 1) = P(M) = p,

P(N = 2) = P(B,M) = (1− p)p,

P(N = 3) = P(B,B,M) = (1− p)2p,

...

P(N = n) = P(B,B, . . . ,B,M) = (1− p)n−1p, n ≥ 1

Note: muncul B sebanyak n − 1 kali




DiskusiPustaka


Distribusi Poisson

Sebuah peubah acak X yang bernilai 0, 1, 2, . . . dikatakan peubahacak Poisson dengan parameter λ, jika untuk λ > 0,

P(X = x) = e−λλx

x!, x = 0, 1, 2, . . .

Distribusi Poisson menyatakan banyaknya kejadian yang terjadipada suatu selang waktu atau area tertentu.




DiskusiPustaka


Misalkan banyaknya kesalahan penulisan dalam sebuah halamandari suatu buku berdistribusi Poisson dengan parameter λ = 1.Hitung peluang bahwa terdapat setidaknya satu kesalahan padahalaman 5!




DiskusiPustaka


P(X ≥ 1) = 1− P(X = 0) = 1− e−1 ≡ 0.633




DiskusiPustaka


Peubah Acak Kontinu

X merupakan peubah acak kontinu jika terdapat fungsi nonnegatiff (x), terdefinisi untuk semua bilangan real x ∈ (−∞,∞) sehingga

FX (x) =

x∫−∞

fX (t)dt

atau

fX (x) =d

dxFX (x)




DiskusiPustaka


Distribusi Uniform

Sebuah peubah acak dikatakan berdistribusi Uniform sepanjanginterval (a, b) jika fungsi peluangnya diberikan

fX (x) =

{1

b−a , a < x < b

0, x lainnya.




DiskusiPustaka


Jika X ∼ U(−1, 1). Tentukan P(|X | > 1

2

)!




DiskusiPustaka


fX (x) =1

1− (−1)=

1

2, −1 < x < 1

Maka

P

(|X | > 1

2

)= P

(X < −1

2

)+ P

(X >

1

2

)

=

−1/2∫−1

1

2dx +

1∫1/2

1

2dx

=

[1

2x

]−1/2−1

+

[1

2x

]11/2

= −1

4+

1

2+

1

2− 1

4=

1

2




DiskusiPustaka


Distribusi Eksponensial

Sebuah peubah acak kontinu yang memiliki fungsi peluang sebagaiberikut, untuk suatu λ > 0,

fX (x) =

{λe−λx , jika x ≥ 0

0, jika x < 0.

disebut sebagai peubah acak Eksponensial dengan parameter λ.




DiskusiPustaka


Misalkan waktu tunggu (dalam menit) antrian di Bankberdistribusi Eksponensial dengan mean 10. Berapa peluang bahwaseorang nasabah menunggu lebih dari 15 menit untuk dilayani?




DiskusiPustaka


P(X > 15) = 1− P(X ≤ 15)

= 1− (1− e−15λ)

= e−15(110) = e−

32




DiskusiPustaka


Distribusi Gamma

Sebuah peubah acak kontinu X dengan fungsi peluang

fX (x) =1

Γ(α)βαxα−1e−

xβ , x ≥ 0

untuk suatu β > 0, α > 0 dikatakan berdistribusi Gamma denganparameter (α, β)




DiskusiPustaka


Definisi fungsi Gamma:

Γ(α) =

∞∫0

e−xxα−1dx

Note:Γ(n) = (n − 1)!

Γ(n + 1) = nΓ(n), n > 0




DiskusiPustaka


Apa yang dapat kita katakan tentang disribusi Gamma jika α = 1?




DiskusiPustaka


Misalkan X ∼ Gamma(α = 1, β) maka

f (x) =1

Γ(1)β1x1−1e−

xβ

=1

βe−

xβ

Maka X ∼ Eksp(λ = 1

β

)




DiskusiPustaka


Distribusi Normal

X merupakan peubah acak Normal dengan parameter µ dan σ2

jika fungsi peluang X diberikan

fX (x) =1

σ√

2πe−

12( x−µ

σ )2

, ∞ < x <∞




DiskusiPustaka


Jumlah (dalam ons) sereal MILO berdistribusi Normal denganmean 16.5 dan standar deviasi σ. Jika si pengemas MILOdisyaratkan harus mengisi minimal 90 % kotak sereal MILO dengan16 ons atau lebih, berapa nilai maksimal dari σ?




DiskusiPustaka


X ∼ N(16.5, σ2)

P(X ≥ 16.5) = 0.9

P

(Z ≥ 16− 16.5

σ

)= 1− P

(Z ≤ 16− 16.5

σ

)= 0.9

P

(Z ≤ −0.5

σ

)= 0.1

Z ≤ −0.5

σ= −1.28

σ = 0.390625




DiskusiPustaka

Peubah AcakPeubah Acak DiskritPeubah Acak Kontinu

Ekspektasi

Distribusi Kontinu

E (X ) =

∞∫−∞

x fX (x)dx

Distribusi DiskritE (X ) =

∑i

xipi




DiskusiPustaka


Karakteristik ekspektasi:

E (g(X )) =∞∫−∞

g(x)f (x) (untuk distribusi kontinu)

E (cX ) = cE (X ), c konstan

E (aX + b) = aE (X ) + b

E (X1 + X2 + . . .+ Xn) = E (X1) + E (X2) + . . .+ E (Xn)

E (X · Y ) = E (X ) · E (Y ), hanya jika X dan Y saling bebas




DiskusiPustaka


Misalkan X menyatakan lama (jam) mahasiswa belajar PengantarProses Stokastik dan fungsi peluang X adalah sebagai berikut:

f (x) =

{x − 2, 2 ≤ x < 314 , 4 < x < 6

Berapa rata-rata lama waktu mahasiswa belajar Pengantar ProsesStokastik?




DiskusiPustaka


E (X ) =

∞∫−∞

x f (x) dx

=

2∫−∞

x (0)dx +

3∫2

x (x − 2) dx +

4∫3

x (0)dx +

6∫4

x

(1

4

)dx

=

[1

3x3 − x2

]32

+

[1

8x2]64

=25

6




DiskusiPustaka


Variansi

Variansi:

Var(X ) = E [(X − X )2] = E (X 2)− [E (X )]2

Karakteristik variansi:

Var(cX ) = c2Var(X ), c konstan

Var(X1 + X2 + . . .+ Xn) =n∑

i ,j=1Cov [Xi ,Xj ]

Var(X1 +X2 + . . .+Xn) = Var(X1) +Var(X2) + . . .+Var(Xn),hanya jika Xi saling bebas




DiskusiPustaka


Kovariansi

Kovariansi:

Cov(X ,Y ) = E [(X − X )(Y − Y )] = E (XY )− E (X )E (Y )

Karakteristik kovariansi:

Cov(X ,X ) = Var(X )

Cov(X ,Y ) = 0, jika X dan Y saling bebas

Cov(X ,Y ) = Cov(Y ,X )

Cov(X + Y ,Z ) = Cov(X ,Z ) + Cov(Y ,Z )




DiskusiPustaka

EkspektasiVariansiKovariansi

Diskusi

1. Diketahui

f (x) =

2x , 0 ≤ x ≤ 1

234 , 2 < x < 3

0, x yang lain

.

Tentukan:

a. P(X > 1

4

)b. Tentukan F (x)

2. Diketahui fungsi peluang:

f (x) = c(4x − 2x2), 0 < x < 2

Hitung E (X ) pada P(12 < X < 3

2

).




DiskusiPustaka


3. Maskapai penerbangan mengetahui bahwa 5% dari pemesantiket tidak datang untuk membeli tiketnya. Dengan alasan ini,maskapai tidak ragu untuk menjual 52 tiket dengan kapasitasduduk 50 orang. Berapa peluang ada kursi yang tersediauntuk setiap pemesan tiket yang datang?




DiskusiPustaka


4. Medibank, perusahaan asuransi kesehatan terbesar diAustralia, memiliki polis yang menanggung 100% biayakesehatan hingga maksimal 1 juta dolar/th polis. Diketahuitotal tagihan kesehatan X/th memiliki fungsi peluang:

fX (x) =x(4− x)

9, 0 < x < 3

Jika Y menyatakan total pembayaran yang dilakukanMedibank, tentukan nilai yang mungkin untuk Y ! Tentukanekspektasi dari Y !




DiskusiPustaka

Diskusi

Pustaka

Ross, Sheldon M. 2007. Introduction to Probability Models;9th Edition. New York: Academic Press.

Syuhada, Khreshna I.A. Materi Kuliah: MA4181 PengantarProses Stokastik. Departemen Matematika ITB, Bandung.

Taylor, Howard M. dan Samuel Karlin. 1975. A First Coursein Stochastic Processes; Second Edition. New York: AcademicPress.

Virtamo, J. 38.143 Queueing Theory/ Probability Theory.


Documents

Pengantar Proses Stokastik - WordPress.com · Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2015 Atina Ahdika, S.Si, M.Si Pengantar Proses Stokastik. Pendahuluan Ruang Sampel dan Kejadian