METODE TRANSPORTASI

Masalah transportasi ini sebenarnya telah lama dipelajari dan dikembangkan sebelum lahir model program linear. Pada tahun 1939, L.V Kantorovitch mempelajari beberapa permasalahan yang berhubungan dengan model transportasi. Kemudian, pada tahun 1941, F.L. Hitchcock merumuskan model matematika dari persoalan transportasi yang kini dianggap sebagai model matematika dari persoalan transportasi yang kini dianggap sebagai model baku, sehingga sering disebut juga sebagai model Hitchcock. Ada lagi seseorang yang bernama T.C. Koopmans pada tahun 1947 banyak mempelajari hal-hal yang berhubungan dengan program transportasi (PT) atau model transportasi (MT).

Metode transportasi digunakan untuk mengoptimalkan biaya pengangkutan (transportasi) komoditas tunggal dari berbagai daerah sumber menuju berbagai daerah tujuan. Tiga hal penting harus diingat dari penjelasan di atas, yaitu komoditas tunggal, daerah sumber (asal) lebih dari satu dan daerah tujuan juga lebih dari satu.

Meskipun demikian, metode transportasi tidak hanya berguna untuk optimasi pengangkutan komoditas (barang) dari daerah sumber menuju daerah tujuan. Metode transportasi juga dapat digunakan untuk perencanaan produksi. Data yang dibutuhkan dalam metode transportasi adalah:

1. Level suplai(penawaran) pada setiap daerah sumber dan level permintaan pada setiap daerah tujuan untuk kasus pendistribusian barang; jumlah produksi dan jumlah permintaan (kapasitas inventori) pada kasus perencanaan produksi.

2. Biaya transportasi per unit komoditas dari setiap daerah sumber menuju berbagai daerah tujuan pada kasus pendistribusian; biaya produksi dan inventori per unit pada kasus perencanaan produksi.

Karena hanya ada satu jenis komoditas, pada dasarnya setiap daerah tujuan dapat menerima komoditas dari sembarang daerah sumber, kecuali ada kendala lainnya. Kendala yang mungkin terjadi adalah tidak adanya jaringan transportasi dari suatu sumber menuju suatu tujuan; waktu pengangkutan yang lebih lama dibandingkan masa berlaku komoditas.

[Type text]

Secara diagramatik, model transportasi dapat digambarkan sebagai berikut: Misalkan ada m buah sumber dan n buah tujuan.

a. Masing-masing sumber mempunyai kapasitas ai , 𝑖 = 1,2,3,...,𝑚.

b. Masing-masing tujuan membutuhkan komoditas sebanyak bj, 𝑗 = 1,2,3,...,𝑛.

c. Jumlah satuan (unit) yang dikirimkan dari sumber i ke tujuan j adalah sebanyak xij.

d. Ongkos pengiriman per unit dari sumber i ke tujuan adalah cij.

[Type text]

Sebagai ilustrasi, jika ada 3 buah sumber dan 3 tujuan (m = 3, n = 3)

formulasi

Minimumkan:

Z = c11x11 + c12 x12 + c13x13 + c21x21 + c22x22 + c23x23 + c31x31 + c32x32 + c33x33

[Type text]

Berdasarkan pembatas: x11 + x12 + x13 = a1 x21 + x22 + x23 = a2 x31 + x32 + x33 = a3 x11 + x21 + x31 = b1 x12 + x22 + x32 = b2 x13 + x23 + x33 = b3

Untuk menyelesaikan persoalan transportasi, harus dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut:

1. Menentukan Solusi Fisibel Basis Awal.

2. Manentukan entering variabel dari variabel-variabel nonbasis. Bila semua variabel sudah memenuhi kondisi optimal, STOP. Bila beum lanjutkan ke langkah 3.

3. Tentukan leaving variabel diantara variabel-variabel basis yang ada, kemudian hitung solusi yang ada. Kembali ke langkah 2.

[Type text]

Untuk menentukan solusi basis awal terdapat 3 metode yang dapat digunakan adalah:

1. Metode pojok kiri atas pojok kanan bawah/ metode pojok barat laut/ nort west corner.

Mulai dari pojok kiri atas, alokasi sebesar x11 = min (s1, d1). Artinya bila d1< s1 maka x11= d1; jika d1> s1 maka x11 = s1, selanjutnya yang mendapat giliran untuk dialokasikan adalah x12 sebesar min (s1 – d1, d2); kalau x11 = s1 (atau d1 > s1), maka selanjutnya yang mendapat giliran untuk dialokasikan adalah x21 sebesar (d1 – s1, s2) dan seterusnya.

2. Metode ongkos (baris/ kolom) terkecil (least cost). Prinsip cara ini adalah pemberian prioritas pengelokasian pada tempat yang mempunyai satuan ongkos terkecil. a. Pendistribusian dimulai dari biaya terkecil dan, apabila terdapat biaya terkecil

lebih dari satu, maka dipilih salah satu. b. Setiap pendistribusian dipilih nilai sebanyak mungkin tanpa mengabaikan jumlah

sumber/tujuan.

3. Metode pendekatan vogel (vogel’s approximation method’s/ VAM).

Cara ini merupakan cara yang terbaik dibandingkan dengan cara di atas. Langkah-langkah penerjaan metode diatas adalah:

a. Menghitung opportunity cost yang didasarkan pada dua biaya terkecil pada setiap baris dan kolom dan mengurangkan keduanya, hasil perhitungannya disebut dengan penalty cost.

b. Memilih nilai penalty cost terbesar di antara baris dan kolom. c. Memilih biaya terkecil dari nilai penalty cost terbesar dan mendistribusikan

sejumlah nilai. Baris/ kolom penalti yang sudah terpilih diabaikan untuk langkah selanjutnya.

d. Menyesuaikan jumlah permintaan dan penawaran untuk menunjukkan alokasi yang sudah dilakukan. Menghilangkan semua baris dan kolom dimana penawaran dan permintaan telah dihabiskan.

e. Apabila jumlah penawaran dan permintaan belum sesuai, maka ulangi langkah pertama sampai terisi semua.

[Type text]

Untuk mencari solusi optimal terdapat 2 metode yang dapat digunakan yaitu: 1. Metode batu loncatan (Stepping Stone).

Untuk menentukan entering dan leaving variable ini, terlebih dahulu harus dibuat suatu loop tertutup bagi setiap variabel nonbasis loop tersebut berawal dan berakhir pada variabel nonbasis tadi. Dimana tiap sudut loop haruslah merupakan titik-titik yang ditempati oleh variabel-variabel basis dalam tabel transportasi. Langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut :

1. Apakah jumlah variabel basis sama dengan n+m-1 ? Jika kurang dari m+n-1 maka akan terjadi kemerosotan (degeneracy). STOP. Tetapi jika sama maka dapat dihitung Zij –Cij untuk sel-sel yang bukan basis, dengan cara sebagai berikut : a. Dibuat loop tertutup bagi setiap variabel non basis dimana loop tersebut

berawal dan berakhir pada variabel non basis, dan setiap titik sudut loop tersebut harus merupakan titik-titik yang ditempati oleh variabel-variabel basis dalam tabel transportasi.

b. Dihitung Zij-Cij = jumlahan para Cij pada loop dengan koefisien (+1) dan (-1)bergantian dengan koefisien variabel non basis (-1).

2. Menentukan variabel yang masuk menjadi basis (entering variable) dengan cara memilih nilai Zij-Cij yang terbesar atau Max{Zij-Cij}. (Xij masuk menjadi basis bila dan hanya bila Zij-Cij = Max{Zij-Cij}).

3. Menentukan variable yang keluar dari basis, caranya:a. Dibuat loop yang memuat Xstb. Diadakan pengamatan para Cij dalam loop yang mempunyai koefisien (+1)c. Variabel Xab yang keluar basis bila dan hanya Xab minimum dari langkah

4. Menentukan harga variabel basis (yang berada di dalam loop yang baru/penyesuaian untuk variabel basis yang baru). Xst = Xab = Xpq sedangkan untuk variabel-variabel basis yang lain yang juga berada dalam loop. Xab(baru) = Xab + Xpq (untuk a+b = ganjil) Xab(baru) = Xab – Xpq (untuk a+b = genap).

5. Untuk variabel-variabel basis yang lain di luar loop harganya tetap. Hitung kembali nilai Zij-Cij untuk variable non basis seperti pada langkah 1.

6. Diperoleh tabel optimal jika semua Zij-Cij >0. 7. Jika masih ada nilai Zij-Cij > 0, maka dapat ditentukan kembali Entering Variable dan

Leaving Variable seperti pada langkah yang ke-2.

[Type text]

2. Metode faktor pengali (multiplier)/ Metode MODI (Modified Distribution). Metode MODI merupakan variasi dari model Stepping Stone yang didasarkan pada rumusan dual. Perbedaannya dengan metode Stepping Stone adalah pada metode ini tidak harus menentukan semua jalur tertutup variabel non basis, kecuali pada saat akan melakukan perpindahan pengisian tabel. Dengan demikian MODI merupakan cara yang efisien untuk menghitung variabel non basis. Dalam metode MODI terdapat persamaan sebagai berikut : mi + nj = CijDi mana : mi = Nilai setiap sel baris

nj = Nilai setiap kolom Cij = Biaya transportasi per unit

Adapun langkah-langkah dalam metode MODI adalah : 1) Mentukan nilai mi untuk setiap baris dan nilai-nilai nj untuk setiap kolom dengan menggunakan hubungan Cij = mi + nj untuk semua variabel basis dan menentukan nilai mi = 0.

2) Menghitung perubahan biaya Cij untuk setiap variabel non basis dengan menggunakan rumus Cij - mi - nj.

3) Apabila hasil perhitungan terdapat nilai Cij negatif, maka solusi belum optimal. Oleh karena itu, dipilih Xij dengan nilai Cij negatif terbesar sebagai entering variabel.

4) Mengalokasikan sejumlah nilai ke entering variabel Xij sesuai dengan proses Stepping Stone dan mengulangi langkah pertama.

CONTOH :

Sebuah Perusahaan Negara berkepentingan mengangkut pupuk dari 3 pabrik ke 3 pasar. Kapasitas suplly ke tiga pabrik, permintaan ke tiga pasar dan biaya transportasi per unit adalah sbb :-------------------------------------------------------------------------Pabrik Pasar Penawaran

1 2 3 -------------------------------------------------------------------------

1 8 5 6 1202 15 10 12 803 3 9 10 80

-------------------------------------------------------------------------Permintaan 150 70 60 280-------------------------------------------------------------------------

[Type text]

Sumber Tujuan

Sumber Tujuan (Pabrik) (Pasar)S1=120 n q D1=150

S2= 80 n q D2= 70

S3= 80 n q D3= 60

Rumusan Program Linier :

(1). Fungsi Tujuan :Minimumkan : Z =8X11+5X12+6X13+15X21 +10X22+ 12X23+3X31+9X32+10X33

(2). Fungsi kendala :2.1. Pabrik (Supply) :- Pabrik-1 : X11+X12+X13=120- Pabrik-2 : X21+X22+X23= 80- Pabrik-3 : X31+X32+X33= 802.2. Pasar (demand) :- Pasar-1 : X11+X21+X31= 150- Pasar-2 : X12+X22+X32= 70- Pasar-3 : X13+X23+X33 = 60

Tabel Transportasi :-------------------------------------------------------------------- Pabrik Pasar Penawaran

1 2 3--------------------------------------------------------------------

8 5 6 1 120

15 10 12 2 80

3 9 10 3 80

-------------------------------------------------------------------- Permintaan 150 70 60 280

---------------------------------------------------------------------

[Type text]

METODE POJOK BARAT LAUT

(1). Mulai dari pojok barat laut, yaitu sel x11. Bandingkan x11= min (a1,b1) : (a). Bila a1 > b1, maka x11= b1, teruskan ke sel x12. X12= min (a1 - b1, b2). (b). Bila a1 < b1, maka x11= a1, teruskan ke sel x21. X21= min (b1 - a1, a2). (c). Bila a1 = b1, maka buatlah x11= b1, dan teruskan ke x22 (gerakan miring).

(2). Teruskan langkah ini, setapak demi setapak, menjauhi pojok barat laut hingga akhirnya harga telah mencapai pojok tenggara.

Penyelasaian Tabel Transportasi di atas : (1). Mulai pojok barat laut : x11=a1<b1 , yaitu :

x11=120>150 maka x11=min(120,150)=120. Teruskan ke sel x21 . (2). x21 =(150-120) < 80 maka x21 =min(30,80)= 30. Teruskan ke sel x22 . (3). x22 =(80-30) < 70 maka x22 =min(50,80)=50. Teruskan ke sel x32 . (4). x32 =(70-50) < 80 maka x32 =min(20,80)=20. Teruskan ke sel x33 . (5). x33 = (80-60) = 60 maka x33 = 60Total Biaya Transportasi minimum = 120(8)+ 30(15)+50(10)+20(9)+60(10) = 2690

METODE BIAYA TERENDAH (LEAST-COST METHOD)

[Type text]

Jadi, total biaya transportasi terendah = 70(5)+50(6)+70(15)+10(12)+80(3) = 2.060.

METODE APROKSIMASI VOGEL (VAM)VAM melakukan alokasi dalam suatu cara yang akan meminimumkan penalty (oppor-tunity cost) dalam memilih kotak salah satu kotak. Langkah-langkahnya sbb :

1. Hitung opportunity cost untuk setiap baris dan kolom. Opportunity cost yang terpilih adalah dengan mengurangi dua biaya transportasi per unit yang terkecil.

2. Pilih baris atau kolom dengan opportunity cost terbesar (jika terdapat nilai kembar pilih secara sembarang). Xij = min(ai,bj).

3. Ulangi lagi pemilihan opportunity cost dari selisih dua biaya transportasi per unit.4. Pilih baris atau kolom dengan opportunity cost terbesar (jika terdapat nilai

kembar pilih secara sembarang). Xij = min(ai,bj).

[Type text]

[Type text]

[Type text]

Total Biaya Transportasi minimum = 70(8)+50(6)+70(10)+10(12)+80(3)=1920

SOLUSI OPTIMUM1. Metode Batu Loncat (Stepping-Stone)

Setelah solusi layak dasar awal diperoleh dari masalah transportasi, langkah berikutnya adalah menekan ke bawah biaya transportasi dengan memasukkan variabel non basis (alokasi barang ke kotak kosong) ke dalam solusi. Proses evaluasi variabel non basis yang memungkinkan terjadinya perbaikan solusi dan kemudian meng-alokasikan kembali. Dengan menggunakan solusi awal yg diperoleh melalui Metode Pojok Barat Laut yang belum optimum akan dievaluasi masing-masing variabel non basis melalui Metode Stepping-Stone. Variabel non basis (kotak kosong) adalah X12,X13, X23, X31.

[Type text]

Beberapa hal penting dalam penyusunan jalur batu loncat (stepping-stone) :(1). Arah yg diambil, baik searah maupun berlawanan arah dengan jarum jam adalah tdk penting dlm membuat jalur tertutup.(2). Hanya ada satu jalur tertutup untuk setiap kotak kosong.(3). Jalur harus hanya mengikuti kotak terisi, kecuali pada kotak kosong yg sedang dievaluasi.(4). Kotak kosong maupun kotak isi dapat dilewati dlm penyusunan jalur tertutup.(5). Suatu jalur dapat melintasi dirinya.(6). Sebuah penambahan dan sebuah pengurangan yg sama besar hrs kelihatan pada setiap baris dan kolom pada jalur itu.------------------------------------------------------------------------Kotak Kosong Jalur Tertutup ------------------------------------------------------------------------ X12 X12 X22 X21 X11 X12 X13 X13 X33 X32 X22 X21 X11 X13

X23 X23 X33 X32 X22 X23

X31 X31 X21 X22 X32 X31

[Type text]

-------------------------------------------------------------------------Cij Jalur Penambahan dan Pengurangan Biaya Perubahan Biaya -------------------------------------------------------------------------X12 5-10+15-8 2X13 6-10+9-10+15-8 2X23 12-10+9-10 1X31 3-15+10-9 -11-------------------------------------------------------------------------Dari analisis biaya semua var non basis, hanya X31 yg memiliki perubahan biaya negatif (C31=-11), sehingga X31 adalah satu-satunya variabel non basis dimasukkan ke solusi yg akan menurunkan biaya.

[Type text]

Kotak Kosong Jalur Tertutup

X23 X23 X33 X31 X21 X23

Cij Jalur Penambahan dan Pengurangan Biaya Perubahan Biaya

X23 12-10+3-15 -10

[Type text]

Jadi Total Biaya Transportasi minimum yg telah diperbaiki dengan Metode Batu Loncat (Stepping Stone) adalah = 70(8)+50(6)+70(10)+10(12)+ 80(3) = 560+300+700+120+240 = 1920.-

[Type text]

METODE MODIFIED DISTRIBUTION (MODI)Metode Modi merupakan perkembangan dari metode stepping stone, krn penentuan segi empat kosong yg bisa menghemat biaya dilakukan dgn prosedur yg lebih pasti dan tepat serta metode ini dapat mencapai hasil optimal lebih cepat. Cara memilihnya diguna-kan persamaan :dimana : Ri = nilai baris i

Kj = nilai kolom j

Langkah-langkah penyelesaian : (1). Tentukan tabel solusi awal dasar Pojok Barat Laut (North-West-Corner).

(2). Menentukan Nilai Baris dan Kolom : 2.1. R1=0

2.2. K1=C11-R1=8-0=8 2.3. R2=C21-K1=15-8=7 2.4. K2=C22-R2=10-7=3

2.5. R3=C32-K2= 9-3=6 2.6. K3=C33-K3= 10-6=4

(3). Menghitung Indeks Perbaikan : 3.1. Kotak X12 C12-R1-K2=5-0-3=2

3.2. Kotak X13 C13-R1-K3=6-0-4=2 3.3. Kotak X23 C23-R2-K3=12-7-4=1 3.4. Kotak X31 C31-R3-K1=3-6-8=-11

[Type text]

[Type text]

(4). Menentukan kembali nilai baris dan kolom :

4.1. R1 = 0

4.2. R1+K1=C11; K1=8-0=8

4.3. R2+K1=C21; R2=15-8=7

4.4. R2+K2=C22; K2=10-7=3

4.5. R3+K1=C31; R3=3-8=-5

4.6. R3+K3=C33; K3=10+5=15

(5). Menghitung Indeks Perbaikan :

X12: C12-R1-K2=5-0-3 = 2

X13: C13-R1-K3=6-0-15=-9

X23: C23-R2-K3=12-7-15=-10

X32: C32-R3-K2=9+5-3 = 11

[Type text]

(6). Hitung kembali nilai baris dan kolom

6.1. R1=0

6.2. R1+K1=C11; K1=8-0=8

6.3. R1+K3=C13; K3=6-0=6

6.4. R3+K1=C31; R3=3-8=-5

6.5. R2+K3=C23; R2=12-6=6

6.6. R2+K2=C22; K1=10-6=4

(7). Periksa Indeks perbaikan :

X12: C11-R1-K1=5-0-4=1

X21: C21-R2-K1=15-6-8=1

X32: C32-R3-K2=9+5-4=10

X33: C33-R3-K3=10+5-6=9

Hasil indeks perbaikan terlihat tidak ada lagi yg bernilai negatif, sehingga solusi optimum telah tercapai.

Total Biaya Transportasi Minimum yang dicapai adalah : 70(8)+50(6)+70(10)+10(12)+80(3)=560+300+700+120+240= 1920

[Type text]

DAFTAR PUSTAKA

lambang.files.wordpress.com/2010/.../05_transportasi

staff.uny.ac.id/..../Modul%20OR%20-%20METODE%...

nurfajria.staff.gunadarma.ac.id/.../METODE+TRANSP...

[Type text]