Embed Size (px)
Citation preview
Pengembanganpiranti lunakuntuk analisakonsolidasi dandinding penahantanah
1999
KEMENTERIAN PEKERJAAN UMUM DAN PERUMAHAN RAKYAT
LAPORAN AKHIR
Hedy Rahadian et.al
/./'pi' ~jff) g
K{
PENGEMBANGAN PIRANTI LUNAK UNTUK ANALISA
KONSOLIDASI DAN DINDING PENAHAN TANAH J
. OtPARTEMEN PEKC:P IAAN ur ·l' ~ BADAN PENEUT!At~ DAN PF.NGEP.i6ANG .• N
Pf.RPUSTAKAAN
DEPARTEMEN PEKERJAAN UMUM
BADAN PENELITIAN DAN PENGEMBANGAN PU
PUSAT PENELITIAN DAN PENGEMBANGAN JALAN
LAPORAN PENELITLi.!~
I ....._ _ _.___.J
PENGEMBANGAN PIRANTI LUNAK UNTUK ANALISA KONSOLIDASI DAN DINDING PENAHAN TANAH
J'
. c., 1. ' BAO~~pp~~iE~~~~t:~~~~:.~~:f:~~~~(;t• ~ ~ PERPUSTAKAAN .~ Dlterima Tgl. : /8/tiff/L l N.lnduk : o 0 ~,s- 2./ ~~-, N. Klass
Ll------------------------~
l\1ARET 1999
PENGEMBANGAN PIRANTI LUNAK UNTUK ANALISA KONSOLIDASI DAN DINDING PENAHAN TANAH
PEMB
Hedy Rahadian Slamet Prabudi Setianto Titiek Wuryantatik Haliena Annela Fransiscus Suropati Endang Suwanda Annan Supannan S lamet Lukito Yayah Rokayah Denny
INGDALAM
Tim
Penanggungjawab I Penanggungjawab II Penanggungjawab III Penanggungjawab IV Penanggungjawab V Penanggungjawab VI Anggota Anggota Anggota Anggota
PENANGGUNfi~ W AB I
~rJJv~~ 'C-\ --I [jJv''-1./
Ir. He in Tjahjati. MSc NIP: 110018191
DR. Hedy Rahadian NIP: 110043985
Disetujui Oleb :
KEPALA PUSAT PENELITIAN DANPENGEMBANGANJALAN
DR.IR. Patana Rantetoding. MSc NIP : 110015630
DAFTARISI
ABSTRAK ........................................................................................................................... i
DAFT AR T ABEL .............................................................................................................. iv
DAFTAR GAMBAR ........................................................................................................... v
BAB I PENDAJIULUAN ................................................................................................ I-I
I. I La tar Belakang .......................................................................................................... I -1
1.2 Tujuan dan Kegunaan Pengembangan ...................................................................... I-2
1.3 Perumusan dan Pembatasan Masalah ........................................................................ I-3
1.3.1 Piranti Lunak Analisa Konsolidasi Vertikal Drain .......................................... I-3
1.3.2 Pengembangan Dinding Penahan Tanah ......................................................... I-3
1.4 Sistematika Laporan .................................................................................................. I-3
BAB II TINJAUAN PUSTAKA ..................................................................................... II-1
2.1 Pengantar Metoda Numerik. ..................................................................................... II -1
2.2 Analisis Peluang Keamanan (Probabilistic Safety Analysis) ................................. 11-13
2.3 Metode Bound ........................................................................................................ II-18
2.4 !'.1etode Keseimbangan Batas ................................................................................. ll-26
2.5 PengCilltar Perkembangan Teori Konsolida:si Dua dan Tiga Dirnensi .................... 11-29
2.6 Teori Konsolidasi ................................................................................................... Il-31
2. 7 Persamaan-persanta.m Konsolidasi Rendulic
(Teori Konsolidasi Semu/ Pseudo Consolidation Theory) .................................... 11-35
2.8 Contoh-contoh Solusi Konsolidasi Semu (Pseudo Consolidation) ........................ 11-42
BAB III METODOLOGI PENGEMBANGAN MODEL ............................................ .111-1
3.1 Umum ...................................................................................................................... III-1
3.2 Metodologi Pengembangan Program Analisa Konsolidasi V~rtical Drain ............. III-7
3.3 Metodologi Pengembangan Program Dinding Penahan Tanah .............................. III-8
II
BAB IV HASIL PENGEMBANGAN DINDING PENAHAN TANAH ..................... .IV-1
4.1 Urnum ...................................................................................................................... IV-1
4.2 Pengembangan Dinding Penahan Tanah ................................................................ .IV-:1
4.2.1 Distribusi Tegangan Lateral Tanah ............................................ - ................ .IV-4
4.2.2 Distribusi Tegangan Lateral Tanah yang Dipadatkan .................................. .IV -5
4.2.3 Cek Terhadap Stabilitas Rotasi/Guling ........................................................ .IV-6
4.2.4 Cek Keruntuhan Geser/Guling ..................................................................... .IV-8
4.2.5 Cek Penurunan .............................................................................................. IV-9
4.3 Bagan Menu Utama ............................................................................................... IV-10
4.4 StrukturProgram ................................................................................................... IV-11
BAB V HASIL PENGEMBANGAN PROGRAM KONSOLIDASI ............................. V -1
5.1 Formu1asi Matematis ................................................................................................ V-1
5.2 Formulasi Numerik ................................................................................................... V-3
5.3 Struktur Program ...................................................................................................... V -5
5.4 Contoh Masukan dan Luaran ................................................................................... V-7
BAB VI KESIMPULAN DAN SARAN ........................ ~ ............................................... VI-7
6.1 Kesimpulan .............................................................................................................. VI-I
6.2 Saran ........................................................................................................................ VI-1 . .
DAFT AR PUST AKA
LAMPIRAN A: GRAFIK UJI PARAMETER UNTUK. VERTIK.AL DRAIN
LAMPIRAN B : CONTOH KELUARAN DAN LISTING PROGRAM
PUSJALKONDRAIN
Ill
DAFTAR TABEL
Tabel 2.1 Kategori Masalah-masalah dalam Rekayasa Geoteknik ............................. 11-4
Tabel 2.2 Persamaan Konsolidasi dalam Koordinat Kartesien ................................. 11-33
iv
I>AFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Mctodc Numcrik ..................................................................................... II-2
Gambar 2.2 Pcndckatan Bcda Hingga pada Turunan Pcrtama .................................. 11-5
Gambar 2.3 Pcndckatan Beda Hingga dalam Satu dan Dua Dimcnsi ........................ II-6
Gambar 2.4 Prosedur Implisit .................................................................................. 11-12
Gambar 2.5 Prinsip Mctode Perhitungan Peluang Levell ....................................... ll-16
Gambar 2.6 P1insip Mctodc Perhitungan Pcluang Level I dan Level II .................. 11-17
Gam bar 2. 7 Kondisi Pcmbcbanan ............................................................................ II-19
Gambar 2.8 Gcomctri Bidang Gclincir .................................................................... 11-20
Gambar 2.9 Variasi Jcnis Kcruntuhan ...................................................................... ll-21
Gambar 2.10 Mekanisme Kinerja Tegangan ................................... _ ......................... ll-21
Gambar 2.11 Kapasitas Daya Dukung Pondasi Sederhana ........................................ 11-23
Gambar 2.12 Mekanisme Collapse untuk Pondasi ..................................................... 11-23
Gambar 2.13 Keseimbangan Stressfield untuk Pondasi ............................................. 11-25
Gambar 2.14 Gaya-gaya yang Bekerja pada Lereng .................................................. ll-27
Gam bar 2. I 5 Mekanisme Keruntuhan Pondasi .......................................................... 11-28
Gambar 2.16 Penurunan Tercatat Dibandingkan dengan Hubungan yang Dihitung
antara Penurunan dan Waktu, Menggunakan Koefisien-koefisien
Konsolidasi dengan Uji Laboratorium dan Uji Lapangan ................... 11-31
Gambar 2.17 Pengaruh Bentuk dan lmpedansi Pengalir Samping dalam Waktu
Terhadap Derajat Konsolidasi Tertentu
dari Inti Lempung untuk Bendungan ................................................... 11-44
Gambar 3.1 Klasifikasi Modei .................................................................................. III-1
Gam bar 3.2 Diagram Alir Pemilihan Metode Pengambilan Keputusan ................... 111-2
Gambar 3.3 Eleman Dasar dan Hubungan dalam Pemodelan dan Simulasi ............. 111-3
Gambar 3.4 Cara Mempelajari Sistem ...................................................................... 111-4
Gambar 3.5 Diagram Alur Proses Simulasi .............................................................. 111-6
Gam bar 4. I Pemode1an Di nding ............................................................................... IV -1
Gambar 4.2 Diagram A1ir Perencanaan Dinding Penahan Tanah ............................ .IV-3
Gam bar 4.3 Gam bar Labelisasi Program ............................................................... .IV -11
v
Gambar4.4 Form Menu Utama .............................................................................. IV-12
Gambar4.5 Form Input pada Blok I ....................................................................... IV-12
Gambar4.6 Form Input pada Blok II ...................................................................... IV-13
Gambar4.7 Form Input pada I31ok III.. ................................................................... IV-13
Gambar4.8 Form Input pada Blok Materiai ........................................................... IV-14
Gambar 4.9 Form untuk Menampilkan Keluaran .................................................. .IV-14
Gambar4.10 Form untuk Menyimpan Data ............................................................. IV-15
Gambar 5.1 Grid Saulev ............................................................................................. V-3
Gambar 5.2 Diagram Alir Program Konsolidasi Vertikal Drain ................................ V-6
1.1 Latar Bclakang
BABI PENDAHULUAN
Pusat Penelitian dan Pengembangan Jalan adalah institusi penelitian dan
pengembangan teknik jalan yang salah satu tugas utamanya adalah memberikan
dukungan teknis kepada Direk'torat Jendral Bina Marga Dcpartemen Pekerjaan
Umum serta instansi teknis terkait lainnya.
Walaupun saat ini, terutama di kota-kota besar, sudah dapat diperoleh program
program geoteknik yang dibutuhkan untuk pekerjaan sehari-~ari, akan tetapi ada
keuntungan yang sangat berarti apabila program-program tersebut dikembangkan di
Puslitbang Jalan~ keuntungannya tersebut diantaranya adalah :
• Kemudahan untuk mengupdate dikaitkan dengan perkembangan sistem operasi
komputer serta perkembangan dari model-model perencanaan itu sendiri sesuai
apa yang diinginkan.
• Kemudahan dalam standarisasi serta dukungan pasca pengadaan.
• Lebih fleksibel, dapat digunakan sebagai alat pendukung penelitian.
• Adanya jaringan kelembagaan sehingga memudahkan pemerataan akses bagi
daerah-daerah terhadap program teknis.
Pengembangan piranti lunak geoteknik ini pada tahap awalnya dirancang sebagai
program dasar. Adapun pengembangan lebih lanjut disesuaikan dengan
perkembangan ilmu rekayasa dan kebutuhan penggunaan penelitian. Oleh sebab itu
pengembangan lebih lanjut dapat dilakukan sebagai bagian dari aktifitas proyek
proyek penelitian terkait.
Program tahun anggaran 1998/1999 merupakan lanjutan dari tahun sebelumnya
dimana telah dihasilkan :
• Program pengembangan basis data rujukan (literatur).
• Program pengembangan basis data sifat-sifat tanah lunak.
halaman I- l
• Analisa konsolidasi vertikal-horizontal tanah lunak non organik dengan
pendekatan tcrpisah (uncoupled).
Sedangkan untuk tahun anggaran 1998/1999 ini telah dikembangkan dua program
aplikasi geoteknik yaitu :
• Prot,rram konsolidasi vertikal-radial (untuk analisa vertikal drain) tanah lunak
non organik dengan pendekatan terpisah (uncoupled).
• Program dinding penahan tanah metoda konvensional (equilibriwn method).
Program analisa konsolidasi vertikal drain banyak dibutuhkan dalam industri
rekayasa disain dan konstruksi timbunan jalan untuk memprediksi besamya
kecepatan dan penurunan timbunan setelah dipasang vertikal drain. Dengan
meningkatnya intensitas kegiatan pembangunan infra struk.1:ur jalan diatas tanah
lunak serta semakin tingginya tingkat pelayanan jalan yang diinginkan. Ketersediaan
program dengan analisa yang cukup akurat akan menghasilkan desain yang lebih
ekonomis dan efisien.
Pengembangan program dinding penahan tanah sangat dibutuhkan untuk
mendukung perencanaan-perencanaan sehingga diharapkan produk perencanaan
dapat lebih ekonomis dengan tetap memenuhi persyaratan-persyaratan teknis.
Kondisi geografis yang berbukit diberbagai daerah di Indonesia akan banyak
membutuhkan jenis konstruksi dinding penahan tanah.
1.2 Tujuan dan Kegunaan Pengembangan
Tujuan dan kegunaan kegiatan pengembangan ini adalah untuk menyediakan
program dasar dinding penahan tanah dan analisa konsolidasi tanah lunak non
organik yang dapat digunakan untuk kegiatan rekayasa tanah lunak dan perencanaan
dinding penahan tanah serta sebagai dasar untuk pengembangan analisa konsilidasi
dan dinding penahan tanah versi selanjutnya. Dengan tersedianya program ini
diharapkan konstruksi akan lebih ekonomis dan proses perancangan akan lebih
cepat
halaman I- 2
1.3 Perumusan dan Pembatasan Masalah
Lllliranti Lunak Analisa Konsolidasi Vertikal Drain
Pengembangan piranti lunak analisa konsolidasi pada tahun anggaran 1998/1999
mencakup analisa konsolidasi tanah lunak non organik dengan batasan-batasan :
+ Hanya untuk satu lapis tanah.
+ Drainase dua dimensi, yaitu vertikal dan radial.
t Gejala smear pada sekeliling vertikal drain diabaikan.
+ Penneabilitas selama perioda analisa dianggap konstan.
+ Pembebanan berbentuk beban merata.
1.3.2 Pengembangan Dinding Penahan Tanah
Pengembangan piranti lunak dinding penahan tanah pada tahun anggaran 1998/1999
dirancang untuk mudah digunakan sehingga pengguna tidak akan mengalami
kesulitan dalam penggunaannya. Program ini pada versi yang sekarang mempunyai
keterbatasan-keterbatasan diantaranya :
+ Tidak memperhitungkan pengaruh gempa
+ Hanya untuk pembebanan statis.
+ Hanya menggunakan metoda keseimbangan batas (limit equilibrium)
+ Tidak mencakup disain struktur.
1.3 Sistematika Laporan
Laporan ini disusun atas enam bah. Bab I berisi Jatar belakang kegiatan
pengembangan, perumusan dan pembatasan masalah, serta tujuan kegiatan
penelitian. Bab IT mendeskripsikan studi pustaka sebagai dasar kegiatan
pengembangan. Bab III menjelaskan metodologi yang digunakan, mencak.up
langkah-langkah rinci pengembangan. Bab IV memaparkan hasil pengembangan
program konsolidasi. Bab V memaparkan hasil pengembangan program dinding
penahan tanah. Bab VI berisi kesimpulan dari kegiatan pengembangan dan saran
untuk langkah kedepannya.
halaman I- 3
BARil
TIN.JAliAN PUSTAKA
2.1 l)engantar Metoda Numerik
Pcnggunaan metod!.! numcrik untuk mcnyelesaikan masalah rekayasa mcngalami
pcrkembangan pcsat akhir-akhir ini. Kepopulcran dan minat pada penggunaan metode ini
didukung olch pcrkcmbang:m kor.1putcr digital kccepatan tinggi yang te:-s'.!dia se~Arn luas.
Di masa lalu, mckanika tanah dan batuan banyak menggunakan mctode empiris karena
sulitnya penggunaan pendckatan bentuk-bentuk tertutup analitik untuk masalah dengan
keadaan geologis alami yang sulit. Pcnggunaan metode analitik tcrtutup hanya dapat
dilakukan dengan bcrbagai asumsi-asumsi untuk penyederhanaan kondisi batas
permasalahan. Mcskipun pendckatan ini mcmberikan pemccahan yang bcrguna untuk
berbagai situasi praktis, hal ini seringkali menghasilkan pemecahan yang tidak realistis
untuk masalah-masalah kompleks seperti kelakuan media non homogenous, kondisi
tegangan in situ, variasi parsial dan sementara dalam sifat-sifat material, gcometri
sembarang, ketidakmenerusan dan faktor-faktor lain yang ditimbulkan oleh karakteristik
geologis. Den!,'<ln kedatangan teknologi komputer, berbagai masalah rekayasa yang
sebelumnya sulit untuk dipecahkan dengan metode analitik tertutup, dapat diselesaikan
dengan penerapan berbagai teknik numerik.
halaman II- 1
Gambar 2.1 Metode Numerik
Metode-metode yang /)a ling Sering Digu1Uzka11 Secara Luas
Metode elemen hingga dan beda hingga merupakan prosedur umum yang banyak
digunakan pada rekayasa geoteknik. Sejumlah skema numerik lain, misalnya inte!,YJ"asi
numerik persamaan yang menentukan, metode karakteristik metode persamaan integral
batas, dan kombinasi bentuk tertutup dan skema numerik, untuk memecahkan persamaan
persamaan yang menentukan juga telah digunakan. Beberapa prosedur urnum
diperlihatkan secara skematis pada Gambar 2. 1.
Prinsip Dasar
Hampir seluruh teknik numberik didasarkan pada prinsip diskretisasi. Secara sederhana
diskretisasi adalah prosedur dimana masalah kompleks dengan bentangan luas dibagi
bagi kedalam satuan ekivalen atau komponen-komponen yang lebih kecil. Diskretisasi
dapat mengambil beberapa bentuk yang berbeda; dalam metode beda hingga, misalny~
halaman 11-2
diskretisasi dilakukan pada dasar persamaan matematisnya, sementara dalam metodc
clcmen hir.gga diskretisasi dilakukan pada daemh fisik kontinum dari masalah.
Kategori Alasalah
Masalah-masalah dalam rekayasa geoteknik dapat diklasifikasikan scbagai masalah
ekuilibrium, transien, atau nilai eigen.
Tabcl 2.1 Katcgori Masalah (Chandrakant S. Desai and John T. Christian, 1976)
j-Katcgori .
Masalah j Persamaan
Aliran tclap atau rcmbcsar-- Ekuilibrium I a2u a2u I -+-=0 (2.1)
. dalam media kaku berpori i ax2 ay2
Konsolidasi satu dimensi Tramicn I a2u au I - = - (2.2) I ax2 at I
Pcnyebaran gelombang satu Transien I a2u a2u
I -- - (2.3)
dimensi Ox2 at2
Frckuensi alami pondasi Nilai eigen a2u (2.4) m-2 +ku =0
at
Di sini variabel tak bebas u dapat berupa berbagai parameter, misalnya potensi ca1r,
tekanan air pori. dan perpindahan; m adalah massa. dank adalah konstanta.
halaman 11-1
Tabcl 2.2 Kategori Masalah-masalah dalam Rekayasa Geoteknik (Chandrakant S. Desai
and John T. Christian, 1976)
,-
1 Nilai eigen 1 Konstan atau equilibrium Transient atau penyebaran
Anal isis tegangan stat is- Kelakuan deformasi-tegangan dari Frekuensi at ami
dcformasi untuk pondasi, pondasi lereng, timbunan, dari pondasi dan I ! lereng, timbunan, terowongan, dan struktur lainnya I struktur
! tcrowongan dan struktur dibawah gaya yang tergantung pada i I I
I I
i lain. waktu I
I I ., i I Ali ran cair kcadaan konstan Analisis Viskoelastis
I Konsolidasi I AI iran cair transient dan pembelokan I
I Pcnycbaran gelombang
I
Dalam istilah matematika, persamaan (2.1 ), (2.2) dan (2.3) diklasiftkasikan bcrturut-turut
sebagai eliptik, parabolik, dan hiperbolik. Persamaan-persamaan ini merupakan kasus
khusus dari persamaan umum
o2u 82u 82u au au A-+8--+C-+D-+E-+Fu =G
ax 2 axay ()y2 ax ay (2.5)
dimana koeftsien A sampai F merupakan fungsi dari x dan y serta G adalah fungsi dari x,
y, Ou/ax, dan 8u/()y. Tiga kategori sebelumnya dapat dihasilkan dari persamaan (2.5) hila:
Metode Beda llingga
{ < 0 eliptik
8 2 - 4AC = 0 parabolik
> 0 hiperbolik
(2.6)
Sebelum berkembangnya aplikasi metode elemen hingga, metode beda hingga mungkin
merupakan teknik numerik yang banyak digunakan dalam bidang geoteknik. Meskipun
metode elemen hingga memiliki berbagai kelebihan dibandingkan metode beda hingga,
aplikasi metode beda hingga tetap sangat cocok untuk suatu masalah dengan tingkat
halaman 11-4
komplcksitas yang Icbih tcrbatas. Mctodc beda hingga secara mendalam dapat dilihat
pada bcbcrapa rujukan. Di bawah ini akan dipaparkan bebcrapa rcferensi diantaranya:
• Konsep /)asar Metode Beda 1/ingga
Prosedur diskrctisasi pada mctodc hingga didasarkan pada stabilitas persamaan
persamaan turunan menerus dari suatu pcrsamaan yang menyatakan masalah dengan
suatu rasio perubahan kecil dan tcrbatas dan variabcl-variabcl. Scbagai contoh, turunan
pcrtama pada point A dalam Gambar 2.2 dapat didckati scbagai bcrikut
u(")
au = lim ~u ~ £\u Ox 1\.-.~o £\x £\x
Gambar 2.2 Pendekatan Beda Hingga pada Turunan Pertama
(2.7)
Sebagai hasil dari substitusi ini, persamaan diferensial diubah ke dalam persaman beda
(difference equation). Persamaan diferensial yang kita tinjau pada umumnya terdiri dari
turunan pertama, kedua, ketiga, dan keempat. Karena itu kita memberikan pendekatan
pendekatan diferensial tipikal terhadap empat bentuk turunan ini.
halaman 11-:S
Pendekatan-pendekatan Diferensial
Sejumlah proscdur, r .. isalnya dcret Taylor dan interpolasi polinomial, dapat digunakan
untuk memperoleh pendekatan untuk berbagai macam turunan. Di bawah ini akan
dipaparkan pcnggunaan derct Taylor untuk mcndapatkan persamaan substitusi dalam
bentuk pendekatan diferensial. Pada dasamya kita akan menggunakan konsep seri
ekspansi Taylor.
Turunan pertama
Dengan mcngcmbangkan Ui-Jj dan Ui+Jj (Gambar 2.3) kc dalam seri Taylor kita dapatkan
(2.8a)
(2.8b)
y
u
• a Jaring Beda Hingga
u u
i-Z,j i-l,j i,j i+l,ji+Z,j i,j-2 i.j-t t.ji,jtt i,j+Z
b. Potongan Sepanjang Sumbu X dan Y
Gam bar 2.3 Pendekatan Beda Hingga dalam Satu dan Dua Dimensi
halaman II-6
Dengan manipulasi matematis scdcrhana pcrsamaan (2.8a) dan (2.8b), akan didapat:
_ou = ui-l . .i- ui.i + O(~x) Ox ~X
(2.9a)
au = ui.i- ui-l.i + O(~x) OX ~X
(2.9b)
(2.9c)
Pcrsamaan-pcrsamaan pcndckatan ini bcrturut-turut dinamakan pendl!katan diferensial
dcpan, bclakang, dan tcngah tcrhadap turunan pcrtama. Ungkapan O(~x) merupakan
jumlah bcberapa scri fungsi ~x polinominal dan mcnggambarkan besar kesalahan
pendckatan turunan. Kesalahan terscbut biasa disebut kesalahan diskrctisasi. Dengan cara
yang sama, bcntuk persamaan pendckatan diferensial untuk turunan kctiga dan keempat
adalah:
(2. 1 0)
(2. 11)
Q4U U- 2 · - 4u. 1 · + 6u. 1 · - 4U · + U· 2 · - = ·- ,J ·- ,J I+ ,J o+I,J I+ ,J + O[(~x)2] Ox4 (~x)4
(2.12)
Skema dan Subskema yang Berbeda
Dalam skema eksplisit, kita mencari solusi pendekatan untuk Ui pada waktu t+ 1 dalam
bentuk nilai-nilai Ui yang diketahui pada waktu sebelumnya t. Dalam beberapa kasus,
skema eksplisit juga dapat difonnulasikan dengan menggunakan beberapa nilai u pada
waktu t+ 1 yang sudah diketahui. Prosedur eksplisit relatif mudah dimengerti
memungkinkan pengevaluasian langkah demi langkah ui secara langsung dan tidak
membutuhkan solusi persamaan simultan. Sebaliknya skema implisit, membutuhkan
pemecahan persamaan-persamaan simultan pada tingkat waktu t+ 1. Variabel Ui pada t+ 1
halaman II-7
muncul sebagai yang tidak diketahui, dan pada sebelah kanan persamaan aljabar nilai ui
pada waktu t merupakan variabel yang tidak diketahui.
Di bawah ini akan digambarkan beberapa skema eksplisit dan implisit yang umum
digunakan. Untuk itu pcrsamaan parabolik konsolidasi satu dimcnsi akan digunakan
sebagai dasar penjelasan:
(2.13)
dimana Cv adalah koefisicn konsolidasi dan u adalah tckanan lcbih air pori Bentuk umum
analog bcda hingga dari pcrsamaan (2. 13) dapat dinyatakan sebagai:
(2. I 4)
dimana o2u menandakan
(2.15)
dan 0 dapat diambil nilai-nilai yang berbeda. Skema eksplisit paling sederhana diperoleh
dengan menjadikan 0=0 sehingga:
ui.~+l = U;,l + ~T(u;-1.1- 2ui.l + ui+l.l) (2.16)
dimana ~ T = (CvAt)/(~x)2
Suatu bentuk implisit bisa menghasilkanjika e diambil Sarna dengan satu sehingga:
(2.17)
Satu bentuk implisit yang biasa di!:,'Uilakan adalah skema Crank-Nicholson (1976 ), yang
mengambil nilai e sebesar 0.5.
~T ~T --(ui-1~+1- 2u; l+t + u,.+ll+l)+ U; 1+1 = -(ui-11- 2u,. 1 + ui+ll)+ u,. 1 2 . . . . 2 . . . . (2.18)
halaman II-~
Kesalahan diskrctisasi dalam skema eksplisit dan implisit sederhana adalah dalam b~ntuk
0[.1t+(L\x)2], sementara skcma Crank-Nicholson adalah dalam bentuk 0[(.1t)2 1-(.1x)2].
Keakuratan, Kom•ergensi, dan Kestabilan
Untuk mclihat apakah skcma numcrik memberikan hasil-hasil yang rcalistik, kita harus
memastikan keandalannya. Pcngujian sifat-sifat matematis sepcrti kesalahan,
konvcrgcnsi, kcstabilan dan konsistensi dapat membcrikan gambaran mengcnai kinerja
suatu skema untuk pcnggunaan secara umum. Seringkali kincrja skcma dicvaluasi dari
verifikasi studi kasus tertentu. Walaupun pendekatan ini cukup praktis, akan tctapi ini
tidak dapat dijadikan bentuk buku acuan yang bcrlaku sccara umum. Karena itu pcnting
sckali untuk memahami dasar-dasar matematis pada suatu proscdur numcrik.
Berbagai teknik matematik metode beda hingga memungkinkan diterapkannya scjumlah
proscdur untuk analisis konvergcnsi, kestabilan, dan konsistensi.
Keakuratan suatu prosedur numerik dapat dikaji dalam bcntuk konvcrgensi dan
kestabilan. Bila dalam persamaan bedanya konsisten, stabilitas menggambarkan
kekonvergensian. Untuk suatu kclas persamaan beda yang besar, dua sifat konvergcnsi
dan kcstabilan adalah sama.
).;- Kestabilan dan Konvergensi
Konsep kestabilan dan konvergensi berkaitan dengan berbagai macam kesalahan yang
dapat masuk dalam perhitungan numerik. Untuk memahami ini, tinjau u sebagai solusi
pasti dari suatu persamaan diferensial parsial linear (2.13); u* menjadi solusi pasti
persamaan diferensial parsial untuk persamaan (2.14 ); dan u menjadi sol usi numerik
persamaan diferensial. Selisih u-u*, dinamakan kesalahan diskretisaasi atau kesalahan
trunkasi, muncul sebagai akibat penggunaan jarak hingga diantara mesh point dan
penggantian sistem menerus dengan sistim hingga (diskret). Masalah konvergensi
melibatkan studi kondisi saat u* mendekati u. Dengan kata lain, hila selama pendekatan
halaman 11-9
u* tcrhadap u sccara bcrurutan scmakin mendekat, kita katakan bahwa proscdur tersebut
konvcrgcn.
Pcrbedaan u -u mcnandakan kcsalahan numerik. Kesalahan ini disebabkan karena
bebcrapa scbab, misalnya kcsalahan kondisi awal, trunkasi lokal, dan kesalahan
pcmbulatan yang diakibatkan karcna komputcr dapat mcnyimpan angka-angka dalam
dcsimal yang tcrbatas. Studi kondisi saat u-u akan mengccil di seluruh domain, baik
secara ruang maupun waktu, akan membcntuk masalah kestabilan. Misalnya, dalam
dacrah diskrctisasi dcngan ~x, t'!.y, ~z, dan 8t scbagai pcnamuahan ruang dan waktu, kita
mcnguji apa yaog tcrjadi pada solusi s.:Iat t ~ oo.
Beberapa Skema Tambalzan
}..;-- Skema Eksplisit
Skema cksplisit stabil tak bcrsyarat dapat digunakan untuk jcnis-jenis masalah tertentu.
Sccara ringkas skema cksplisitjcnis ini akan dipaparkan di bawah ini.
Pada prosedur Dufort-Franke! bentuk beda hingga dapat diungkapkan dalam bentuk u
tingkat tiga.
(2. I 9)
Dalam skema Saulev dua persamaan berikut digunakan. Pada tingkat waktu t+ I, skema
eksplisit, pcrsamaan (2.20), lanjutkan point demi point daiam satu arah, katakanlah dalarn
arah x positif, dan pada tingkat waktu berikut, persamaan (2.2 I) digunakar:t point demi
point daiam arah x negatif
(2.20)
;x ( "•-•.•·~ u, ... , _ "'·'•' ~;., ... ,) ~ u,_,., ~ u,_,_, (2.2 I)
Patut diperhatikan bahwa nilai Ui-l,t+l dan llj+l,t+l harus sudah diketahui, misalnya dalam
kasus konsolidasi nilai tekanan air pori pada batas drainase atas dan bawah diketahui pada
halaman 11-10
scmua tingkat waktu. Bcntuk-bentuk modifikasi prosedur Saulcv dibcrikari oleh Larkin
(1964) scrta Barkat dan Clark (1966). Dalarn bcntuk skema oltenwting-direction explicit
(ADE) yang konvcrgcn dan stabil dcngan tak bcrsyarat. Bcntuk ini tC" 1ah banyak
digunakan untuk pcmecahan berbagai masalah rckayasa geoteknik.
;... Prosedur Altemating-Directionlmplicit (AD/)
Untuk mcnggambarkan pemakaian skcma /\01 secara umum, kita akan
mcmpcrtimbangkan pcrsamaan parabolik dalam bcntuk koordinat ruang dua x, y, dan t.
(2.22)
dimana C menandakan parameter material. Bentuk bcda hinga implisit sederhana yang
dibentuk untuk pcrsamaan (2.22) adalah
C[(a:>u) +(a2u).. ] = ui.j.l+l- ui.i.• ~ I,J. HI y I,J.H I tl.t (2.23)
dimana:
(a2u} · = U- I· 1- 2u. · 1 + U- 1 · 1 X 1,).1+1 1- ,J,I+ l,j,l+ H ,j,l+
dan seterusnya. Prosedur ini adalah stabil tak bersyarat. Untuk suatu point umum
(Gambar 2-4) ber.tuk yang dikembangkan dari pcrsamaan (2-23) adalah
Persamaan (2.24) mempunyai lima nilai variabel yang tak diketahui, dan hila diturunkan
untuk semua titik nodal (node point), akan diperoleh sekumpulan persamaan dengan
koefisien matriks yang mengandung lima diagonal dengan elemen bukan nol. Eliminasi
Gaussian dan metode Gauss-Seidell dapat digunakan untuk memecahkan persamaan
simultan ini.
Prosedur ADI merupakan modifikasi prosedur implisit yang detilnya diantarannya
diberikan oleh Peaceman dan Rackford (1955), Douglas (1955). Prosedur ini
halaman H- 1 1
menghasilkan koefisien matriks tri-diagonal selain penta-diagonal seperti diberikan oleh
persamaan (2.24) Prosedur ini melibatkan penggunaan dua persamaan beda hingga.
2 u .. -u .. (8 u).. + (o2u).. = '·J '·J·'
X I,J y I,J,I ~t/2 (2.25)
dan
2 u .. 1 -u .. (8 U) + (02 ) _ I,J,I+ I,J
x i,j yu i,j.t+l - ~t 12 (2.26)
dimana u dinamakan nilai menengah atau temporal. Persamaan ini digunakan lebih dari
setengah langkah waktu ~t/2. Kita dapat melihat bahwa persamaan (2.25) implisit dalam
arah x hanya jika persamaan (2.26) adalah implisit dalam arah y saja. Skema ini
umumnya stabil dengan tak bersyarat dan melibatkan kesalahan diskretisasi
O[(~t)2+(~x)2], untuk ~x=~y, dan nilai konstan dari ~x/~y. Prosedur ADI dapat
dikembangkan untuk persamaan dalam koordinat tiga dimensi.
Ui-l,j,t+l Uj,j,t+l Ui+lj,t+l
Gambar 2.4 Prosedur Implisit
halaman II-12
,.. Prosedur Alternating-Direction Explicit (ADE)
Prosedur Alternating-Direction Explicit, persamaan (2.20) dan (2.21 ), dapat
d.ikembangkan untuk m.asalah-masalah dua dan tiga dimensi. Suatu beda hingga untuk
persamaan (2.22) adalah :
{ ( U;-Ll«~ Uei<•l _ Uc;, :;•l.l< ) + ( U;.~l.o.~~ U;.;<•l _ U;,;, ~:;.;-1.• ) ] = U;,j,o.~ U;,j,, ( 2 _2 7)
Sejumlah kemungkinan untuk metode ADE dijelaskan oleh Larkin (1964), yang
menyatakan bahwa skema-skema ADE bersifat stabil tak bersyarat untuk peningkatan
waktu positif dari setiap besaran. Penerapan prosedur ADE pada masalah-masalah tiga
dimensi telah dibahas oleh Allada dan Quon ( 1966).
2.2 Analisis Peluang Keamanan (Probabilistic Safety Analysis)
Dalam pendekatan faktor keamanan tradisional yang bersifat determinasi seringkali
ditemui basil perhitungan faktor keamanan berlebih atau boros. Pada dekade terakhir ini
pendekatan faktor keamanan dikembangkan dengan menggunakan metode peluang yang
meliputi faktor keamanan parsial untuk unsur-unsur pembebanan dan parameter sifat-sifat
material ta.,ah.
Be:;amya faktor parsia~ ini bcrgant!lllg pada :
Bahaya dan resiko dalam peristiwa keruntuhan struktur.
Variasi yang menyangkut parameter.
Pengaruh parameter pada peluang keruntuhan.
FiJosoji KeamaiUln
Secara umum yang memenuhi syarat desain pada kondisi batas dapat dibagi lagi kedalarn:
• Daerah Balas 1 - Daerah Batas Ultimit: Mekanisme keruntuhan yang menyebabkan
teijadinya collapse.
halaman II- 11
• Daerah Batas 2 - Daerah Balas Pelavanan: Mekanisme keruntuhan dengan suatu
kriteria pelayanan tertentu tanpa terjadinya collapse.
Dalam struktur pondasi, daerah batas ultimit dapat dibagi kedalam keadaan collapsenya
tanah secara umum (daerah batas la) dan pondasi "collapse" setelah selesainya defonnasi
pada tanah ( daerah batas 1 b).
Secara umurn, kegagalan struktur tanah tejadi ketika kekuatan struk-rur (R) lebih kecil
dibandingkan dengan beban pada struk""tur (S): R - S < 0. Fungsi R - S dikenal sebagai
fungsi reliability (Z) Z = R - S persamaan ini bisa menjadi :
R Z=--1 s (2.28)
Kalau fungsi reliabilitas Z kalau Z < 0, maka akan teijadi keruntuhan, Z > 0 tidak teijadi
keruntuhan dan Z = 0 termasuk daerah batas (1a, 1b dan 2). Rasio antara R dan S
didefinisikan sebagai faktor keamanan menyeluruh yo:
R Y. =s (2.29)
P:!da d~samya tidak ada kdruatu. si[~t bahan suu beban yang dapst Ginitung dan
diperkirakan secara akurat. Ini diakibatkan oleh banyak swnber ketidakpastian,
diantaranya :
Lapisan tanah yang secara alami bersifat heterogen kearah lateral.
Adanya ketidakpastian secara statistik sehubungan dengan pengu.kuran propertis tanah
yang terbatas.
Ketidakpastian disekeliling pemodclan geoteknik dengan komputer yang
memperlihatkan skerna aktual perilaku fisik.
Kerusakan - kerusakan yang diakibatkan oleh program yang salah oleh manusia.
Salah perhitungan atau kesalahan desain geotekniknya
halaman II- 1 4
Estimasi distribusi peluang akan lebih akurat jika data banyak tersedia. Kenyataannya
bahwa prosedur meliputi penggunaan estimasi nilai untuk kekuatan struk"lur R dan beban
S menyatakan secara tidak Jangsung bahwa fak."lor keamanan keseluruhan yang diperoleh
sendiri lebih kecil dibanding perkiraan. Ingat bahwa kebenaran faktor kemanan dapat
lebih kecil dibanding nilai estimasi dan mungkin tak lebih dari 1.0 dalam prak."lis bahwa
selalu, bagaimanapun kecil struktur mengalami kegagalan. Definisi mengikuti :
Pr (Z<O)>O dimana Pr melambangkan pe!uang keruntuhan (2.30)
ltletoda Deterministik (Deterministic Method)
Dalam metode deterministik konvensional, asumsi konservatif dibuat variabel besaran
untuk: kekuatan (xJ,X2,X 3, ... ,xu) dan untuk beban (y1, )'2, YJ, ... ··Ym). Lalu faktor
keamanan (yo) menciptakan batas standar antara perhitungan kekuatan ( R ) dan beban
(S), dalam bentuk: formula :
R{x 1 , •••••• xa) ( ) ~Yo S y., .... ,y m
(2.31)
Metoda Peluang (Probabilistic Method)
Lebih lanjut, metode peluang keamanan struktur dalam bentuk: sebuah peluang
keruntuhan Pf 1 : 2000 , 1 : 10.000 dan seterusnya. Dengan metode pelu~ng akan
memberikan potensial deviasi dalam nilai variasi parameter. Parameter diinterpretasikan
sebagai variabel stokastik oleh parameter :
J.1 = nilai ekspektasi; dalam distribusi normal
o = Standar deviasi
v = Koefisien variasi, basil bagi o dan J.1
halaman ll- 1 S
Metode peluang dapat dipecahkan kedalam metoda level I, level II, level !!1.
Disini hanya dibahas metoda level I dalam perhitungan.
c .Q u c 2 c ·u; c .., u c .D r:l .D 0 a.
sd = s,cJ.Ls R =R~c
d JlR
Kriteria : Sd ~ Rd
Gambar 2.5 Prinsip Metode Perhitungan Peluang Level I
Metode peluang level I pada struktur harus memenuhi :
( x •. ,, ...... ,xlcn J S ( • • ) Rd ~ ~ d Y1c1 "'Yst•······•Ybn "'Ysm
'Y rl•········• 'Y m
Level II dan Level III Metode Peluang
(2.32)
Level II dan Level III Metode Peluang digunakan dalam pembahasan ini hanya untuk
menentukan seri faktor keamanan parsial yang dibutuhkan dalam level I metode peluang.
Dalam kasus Level II dan Level III, konsentrasi kerja keluar di Pdf (Probability density
function) basis variabel dan peluang keruntuhan pada kekuatan strul-tur tak sebanyak
dibanding pada perhitungan beban struktur.
haJaman 11-1 6
G {Z)
shaded area= failure probability !l {Z) 1----------...j
p · o {Z)
2 2 112 approximation: o (Z) = { Ci .R + Cl s )
reliability index: P= ~) o (Z)
Z = R-S
Gambar 2.6 Prinsip Metode Perhitungan Peluang Level II dan II
Dalam perhitungan level II, Perkiraan perhitungan peluang keruntuhan ; dalam level III
perhitungar.nya pasti. Ekspresi dalam bentuk pelua.'lg keruntuhan :
P[R(xJ, ...... ,Xn) < S[yJ, ........ ym] = P (Z < 0 ) :$ Pro (2.33)
P;0 -=· m~rnperlihathn pehl~ng ker.mtuhcill c.iapat dit.;rima.
Malahan Pr, juga indeks reabi!ity (13) menggunakan indeks untuk level keamanan.
Hubungan antara perkiraan peluang keruntuhan dan indeb reliability :
Pr =<l>N(-p) (2.34)
<l>N fungsi probabilitas normal standar. Jika Z fungsi distribusi normal stokastik, maka:
13 = ~(z) o(z)
Pr = ~exj -13) dimana 13>2 13-v2x \ 2
(2.35)
(2.36)
ha.laman II- 17
Penentuan Faktor Parsial
Sebagai gambaran dalam bagian sebelumnya penentuan faktor parsial memerlukan:
Seleksi level kearnanan untuk memilih mekanisme keruntuhan (f3)
Variasi dalam memperhatikan parameter tanah ( V)
Effek pada parameter tanah dalam peluang keruntuhan {a)
Ketika akan menentuk.an level keamanan dan {p), maka dalam memformulasikannya
dibutuhkan berdasarkan pada :
- Sruktur sebagai suatu keseluruhan.
- Mekanisme pemisa.han
- Cross-section pemisahan
Diperbolehkan peluang keruntuhan untuk struktur sebagai suatu keseluruhan bergantung
dari akibat keruntuhan I kerusakan, bedakan antra kerusakan ekonomi (economy damage)
dan risk to life.
2.3 Metode Bound
Untuk memperoleh jawaban dalam masalah mekanik harus memenuhi tiga kondisi :
Keseimbangan ( equilibriwn)
Compatibility (Kesesuaian)
Material p!"operties (sife!.t-sifa! :ne!.terial)
Hampir dipastikan untuk memperoleh jawaban penuh yang harus memenuhi kondisi di
atas untuk kasus tanah akan sangat sulit diperoleh.
Dalam menghitung masalah - masalah stabilitas yang sederhana mungkin mengabaikan
beberapa kondisi equilibrium dan compatibility.
Pengabaian kondisi keseimbangan dapat dihitung dengan menggunakan suatu ~
bound, beban keruntuhan jika dikenakan pada struktur nilai beban ini, struktur harus
collapse. Demikian pula jika menggabaikan beberapa kondisi kondisi compatibility dapat
dihitung dengan menggunakan suatu lower bounQ. beban keruntuhan yang jika
dibebankan pada struktur, struktur tidak boleh collapse. Jelaslah disini untuk memperoleh
kebenaran beban collapse harus dikatakan antara kondisi bounds itu.
halaman 11-1 R
Dua kondisi Teorema Plastik Collapse :
1. Beban undrained t = s .. , volume strain nol, volume konstan
2. Beban drained t = cr' tan ~c'
(J
t=S u
t,o i r
a. Pembebanan Undrained
, s:: p T ,u j
(J
J~t·'················ ...
t ........ -.......................................... :
b. Pembebanan Drained
Gambar 2-7 Kondisi Pembebanan
oEr = Vektor regangan plastik
~ = Sudut dibatasi daerah kritis
untuk keperluan praktis pada tanah \j/C = ~c
+ Pada perhitungan suatu upper bound harus memenuhi kondisi compatibility dan sifat
sifat material tanpa mengatakan tentang keseimbangan.
+ Pada perhitungan suatu lower bound harus memenuhi kondisi keseimbangan dan
sifat-sifat material (yang menentukan kekuatan) tanpa mengatakan perpindahan
(displacement) atau compability.
halaman 11-19
Mekanisme compatible pada permukaan gelincir
Perhitungan suatu upper bound, pennukaan gelincir harus diperlukan pada proses
kompatibility.
0
a. b.
a = P = 4 5 + Vz \I'
a dan B sudut permukaan
slip ke major principle
plane·s
Gambar 2-8 Geometri Bidang Gelincir
(2-37)
(2-38)
~~ = sudut antara rA dan rB
Persamaan ini sebuah logaritmik spiral untuk \jJ > 0, tetapi untuk pembebanan undrained
(\j/=0).
!1!. = exp(o) = 1 (2-39) rA
Untuk pembebanan drained dimana \jJ = ~c' permukaan gelincir boleh garis lurus atau
logaritma spirals, untuk pembebanan undrained dimana \V = 0, permukaan gelincir boleh
garis lurus atau lingkaran.
halaman ll-20
Pennukaan gelincir dapat dirancang menjadi suatu bentuk sebuah mekanis compatible
keruntuhan plastik. Garnbaran sederhananya dapat dilihat pada gambar dibawah ini
(pennukaan boleh garis lurus ataupun' kurva. ):
Gambar 2.9 Variasi Jenis Keruntuhan
(Lingkaran untuk pembebanan undrained dengan 'V c = 0 atau logaritmik spiral. Untuk
pembebanan drained dengan \VC = ~c' atau kombinasi garis lurus dan kurva)
Kerja Yang Dilakukan 0/eh Tegangan Internal dan Behan Eksternal
Penentuan sebuah upper bound perlu menghitung mekanisme keija yang dilakukan oleh
tegangan internal dan oleh beban eksternal selama kenaikan pergerakan sebuah
mekanisme compatible.
--7
u toro Volume
... Area
...
a. Keija Behan eksternal
cr
~
yl
... L
... Undrained Drained
b. KeJja yang dilakukan oleh tegangan internal pada
bidang gelincir
Gambar 2.10 Mekanisme Kine!ja Tegangan
halaman 11-21
Penentuan beban kelja eksternal sama untuk beban drained dan undrained tetapi untuk
distribusi tegangan d2.n beral sendiri pembebanan drained serta undrained harus
mempertimbangkan pcmisahan.
&> = Kcnaikan pcrpindahan
U = tekanan pori
Unluk pembebanan undrained kenaikan kerja {)E:
8E = FBro + pAo(:) + jv8ro
Untuk pembebanan drained, kerja dilakukan oleh tegangan efektif:
oE = Focu + (p- u )Ao(!) + (j- ju) )v&·)
Uniuk tanah kering sederhana dipakai v = j<t.l = 0
Sedangkan kerja yang dilakukan internal untuk beban drained:
O{J) = rLoe -on 'L~1
c>&~ tan If/ -~ r -~ r tan If/ = -7-uE =~ bjl' tan' ¢c n tan' ¢c
j,' v( '}.'; •.>: ) v tj,"(l tanlf/' uru = , ·~ + on vc" = , ~ - , 1 tan ¢c J
(2-40)
(2-41)
(2-42)
(2-43)
(2-44)
untuk material plastis sempurna 't'C = cpc' dan juga kelja yang terdissipasi oleh tegangan
internal untuk beban drained adalah :
halarnan II-2 2
.\'imple Upper Bound untuk Pondasi
Gambaran yang menggunakan teorema bound disini, akan dijelaskan kapasitas daya
dukung scbuah pondasi dcngan pembcbanan undrained.
~
I3
fc qc=-
1 I3 F .---'"=""" _____ ___;,\,/ q = -
B ······
······~·· ·····.
p
Gambar 2-11 Kapasitas Daya Dukung Pondasi Sederhana
13 .. Oroc
Fv
~ orofl
f a
6.a 6.b Gambar 2.12 Mekanisme Collapse untuk Pondasi
hal a man II-2]
Gamhar diatas memperlihatkan sehuah pondasi dengan panjang B dan luas A, sebagai
beban pondasi f dan tekanan daya dukung q yang mengalami penurunan p dan akan
terus memhesar sampai dalam keadaan collapse Fe atau kapasitas daya dukung qc. Pada
pondasi yang halus disana tidak ada tegangan geser antara tanah dan pondasi. Disini akan
dijelaskan : pertama: sebuah mekanisme sederhana, kedua; dua tegangan tak menerus dan
sclanjutnyajawaban lebih kompleks yang mcnggunakan slip fan dan tcgangan fan. Disini
hanya dibahas prinsip dac;;amya solusi bound.
Gamhar o.a memncrlihatkan mekanisme sederhana van£! terdiri dari tig:a Se£!itig:a dan 6.b . I .; -· - - -
diagram perpindahan. Kenaikan ke1ja yang dilakukan okh g£tya berat sendiri ke l-'0sisi nol
pada saat blok B bergcrak horisontal h!rus perpindahan komponen vertikal pada blok A
dan C sama dan bcrlawanan arah, karcnanya dari persamaan scbclumnya didapat :
(2-45)
Sedangkan perhitungan kerja dilakukan oleh tegangan internal pada bidang gelincir:
(2-46)
L dan oW untuk tiap bidang gelincir. Unluk lebihjelasnya lihal tabel dibav.·ah ini :
I Bidang gelincir 1 Tegangan Oeser I Panjang Perpindahan oW= ou.L.o(t) j I I I . I
oa I ou _I B ..fi Ou)f ou.B.omf I J2 I ob I ou B 28mf 2 ou.B.omf I oc ()u _I_B J2 o(J)f 8u.B.8co f I
..fi I
ab ou _1_8 ..fi 0(1)[ ou.B.&)f .
J2 be ou _l_B J2 8cof o·u.B.o<!}f
J2 fa 0 B bu)f 0
Total = 6 ou.B.omf
8E =oW ~ Fu = 6.B.ou
halaman II-24
Simple Lower Bound untuk Pondasi
Disini akan dibahas solusi lower hound sederhana untuk pondasi.
I I I I
'<
III
8s = 2 8u
(b)
I I I I
>'
(a)
< 8s = 2 8u
(c)
>
Gambar 2-13 Keseimhangan Stressfield untuk pondasi
Gamhar (a) memperlihatkan bagian tegangan dengan dua tegangan vertikal tak menerus
dimana bagian tegangan simetris terhadap garis tengah.Tegangan geser horisontal dan
vertikal bidang adalah nol dan tegangan vertikal di elemen A dan C di daerah I dan III
<rz = yZ
Dan tegangan vertikal di elemen 8 dan D didaerah II dan IV
<rz = ql +yZ
(2-47)
(2-48)
halaman 11-25
Gambar (b) memperlihatkan llingkaran mohr, tegangan total untuk clemen A dan B dan
Gambar (c) mcmperlihatkan lingkaran mohr elcmen C dan 0; titik a dan b mcwakili
tegangan tak menerus pada tanda a dan~- Dari gambar (b) dan (c) didapa~:
q 1 +yz=4<5u+yZ (2-49)
dan karenanya sebuah lower bound untuk beban collapse adalah :
F1 = 4<5uB (2-50)
Berarti solusi upper dan lower bound memberikan Fe + 5 bu dan perbedaan bound kira
kira ± 20% dari nilai yang didapat.
Hal yang perlu diperhatikan adalah:
>- Pcrkiraan kcnmtuhan struktur dapat ditentukan dari pcrhitungan rclatif upper dan
lower bound. Sebuah Upper bound solution memberikan sebuah beban
ketidakamanan dan jika beban ini dipakai struktur diasumsikan collapse; Lower
bound mcmberikan sebuah beban aman dan dengan beban ini struktur diasumsikan
tidak mcngalami keruntuhan.
>- Pada pcrhitungan scbuah upper bound kita mempunyai pilihan mckanismc compatible
keruntuhan dan persamaan kerja yang dilakukan oleh beban ekst~rnal dengan kerja
yang dilakukan oleh tegangan intemal. Mekanismenya terdiri dari permukaan gelincir
berupa lingkaran logaritmik spiral atau garis lurus dan boleh berupa zona kipas.
);> Pada perhitungan sebuah lower bound kita perlu menemukan distribusi tegangan yang
berada dalam keseimbangan dengan beban eksternal dan tidak melebihi ketepatan
kriteria keruntuhan.
2.4 Metode Keseimbangan Batas
Metode keseimbangan batas umumnya digunakan untuk analisis stabilitas geoteknik.
Langkah dalam perhitungan dari metode ini adalah:
1. Gambarkan sebuah pengandaian mekanisme keruntuhan permukaan gelincir, 1111
terdiri dari boleh garis lurus, kurva atau kombinasi keduanya.
2. Hitung keseimbangan statis komponen dari mekanisme gaya-gaya atau momen
momen dan hitung mobilisasi kekuatan dalam tanah atau gaya-gaya ekstemal.
halaman Il-26
3. Memeriksa keseimbangan slatis mekanisme yang lain dan juga inenemukan
mekanisme kritis untuk pembebanan pada beban keseimbangan batas.
Metode keseimbangan batas merupakan kombinasi istime\va dari metode uprer dan lovv·er
bound. Geometri permukaan gelincir harus berbentuk suatu mekanisme yang akan
membolehkan collapse terjadi. Kondisi keseluruhan keseimbangan gaya-gaya pada blok
ke dalam mckanismc harus dipcnuhi, tapi bagian lokal tegangan kedalam blok tidak
diselidiki. Meskipun bukan bukti resmi bah\va metode keseimbangan batas menunjukan
solusi yang benar, pengalaman meml-""to,;rlihatkan metode itu biasanya memberikan
jawa.bn yang sar.gat memu:!skan dengan pengrunata.n kenmtuhan sesuai kenyataannya. di
lapangan dan mctodc ini sungguh tidak bisa dipungkiri lagi sebagai metode rckayasa
geoteknik .
• \'olusi Keseimbangan /Iatas Setlerluma
)',$c v=O
N'
Poligon gaya yang didapat dalam keseimbangan.
Gambar 2-14 Gaya-gaya yang bekerja pada lereng
Pada suatu lereng yang sangat panjang dimana tekanan pori adalah no!, masalahnya
adalah penentuan sudut kemiringan kritis ic ketika lereng longsor. Suatu mekanisme dapat
diambil garis permukaan gelincir dengan kedalaman z dan gaya pada blok dengan Iebar
L Jika slope sangat panjang, F 1 dan F2 sama dan berlawanan, gaya normal dan geser
bekerja pada permukaan gelincir .
hataman 11-27
T' = 1'L dan N' = cr'L dan w = yLZ cos i
T' r' . . . -- = --- = tan I ~ I = CD l\. T' I c c . c ~-- (j
j T I
Gambar 2-15 Mekanisme keruntuhan pondasi
(2-51)
(2-52)
Solusi keseimbangan hatas kapasitas daya dukung poPdasi untuk beban undrained.
- Fe qe =A
Rotasi blok lanah dalam keseimbangan dengan pusal 0.
Fe X~ B = Su.B.ST 2
ST = 1tB didapat Fe = 21t.B.Su
(2-53)
(2-54)
lngat bahwa dalam metode upper dan lower bound solution untuk pondasi dengan
pembebanan undrained Fe= (2 + 7t) B.Su dan dalam kasus ini, solusi keseirnbangan batas
terbaik dengan suatu permukaan gelincir lingkaran yang mengalami overestimates dari
jawaban benar lebih kurang I 0%.
Hal yang perlu diperhatik.an dalam metoda keseimbangan batas adalah :
1. Dasar metode kcseimbangan batas membutuhkan blok isi tanah suatu mckanisme
pennukaan gelincir dalam keseimbangan statis.
2. Mekanisme penuukaan gelincir yang terdiri dari garis lurus, lingkaran ( dalam met ode
lingkaran gelincir) atau bentuk umwn lainnya.
haJaman II-2R
3. Analisis Coloum dan Rankine digunakan untuk mekanisme yang· terdiri satu
permukaan gans gelincir dan perhitungan keseimbangan dapat dilakukan
m.:nggunakan poligon gaya.
4. Untuk anal isis undrained dcngan lingkaran gciincir ja\'.'aban dapat dicari olch momcn
pada pusat lingkaran.
5. Untuk analisis drained dengan lingkaran gelincir atau dengan pennukaan gelincir
wnum lainnya menjadi masalah sta.tis t.ak tent.u dan jawaba.rt ditemukan dengan
mcnggunakan mctodc potongan dcngan satu altematif asumsi.
2.5 l'eogantar Perlicrnbangan Teori KiHIMtlidasi l>ua dan Tiga Dimensi
Teori konsolidasi telah mencapai sua~u tahap perkembangan yang maju, dan sekarang
solusi-solusi untuk sebagian besar masalah-masalah prak"tis telah tersedia, baik dalam
bentuk analisis tert.utup a.tau dengan teknik-teknik numerik. Bagaimanapun, kelaJ;.uan
ko:1solidasi yang diasumsikan mungkin dapat diakibatkan olch kctcpat.an profil tanah
yang diperkirakan, dan dengan dapat dipercayanya pengambilan contoh serta prosedur
pengujian yang digunakan untuk menentukan data tanah. Dengan demikian prosedur
analisis sederhana, menggunak.an parameter tanah yang dapat dipercaya, sering akan
mcmberikan perancang suatu prediksi kelakuan konsolidasi yang layak. Scring terdapat
pemikiran bahwa teori kompleks bagaimanapun akan mengganti data yang tidak cukup.
Secara nyata, kebalikannya adalah benar, dan penggunaan teori canggih hanya dapat
dinilai oleh data berkualitas tinggi.
Gambar 2-16 memperlihatkan efek yang sangat penting bahwa prosedur-prosedur
pengujian yang tidak benar mungkin ada pada kelakuan yang telah diprediksi. Gambar
tersebut membandingkan hubungan- hubungan yang diprediksi dan diamati antara
penurunan dan waktu untuk suatu timbunan pada jalan utama A40 dekat Gloucester.
Perhitungan-perhitunannya berdasar pada teori konsolidasi dua dimensi, dengan
memperhitungkan profil tanah beberapa lapis dan pada sifat tanah non linear. Untuk
kurva 2, parameter- parameter tanah diperoleh dari uji konsolidasi skala kecil. Secara
serius prediksi ini kurang memperhitungkan besamya penurunan, dan bisa mengakibatkan
halarnan II-29
insinyur pcrcncana mcnggunakan bcntuk konstruksi yang lcbih mahal. Gambar itu juga
memperlihatkan prediksi kedua (kurva 3). Hal ini diperoleh dengan menggunakan
proscdur analisis yang sama, tapi kocfisicn-kocfisicn konsolidasinya bcrdasarkan pada
hasil uji pem1eabilitas in-situ dalam setiap lapisan tanah dasar utama. Prediksi kedua 1111
sangat scsuai dcngan sifat yang diamati.
Pcrbcdaan-pcrbcdaan yang dihasilkan oleh pcnggunaan tcori konsolidasi yang bcrbeda
secara umum tidak akan sebesar dengan yang telah dibicarakan sebelumnya. Meskipun
d..:.mikian, p•:.rbcd~tan-pcrbcdaan tcrscbut mungkin J:..il:.nting, dan pcnggunaan pros..:.dur
akurat yang tidak cukup secara penting dapat berpengan!h pzda biaya suatu strul-..iur.
menunjukknn terdapat batas-batas dan oleh karennnya
p..:.nggunaan teori multi dimensi lcbih scsuai.
Dcngan dernikian~ scorang iusinyur harus rncngctahui kapan suatu tcori scderhana sudah
mencukupi, dan kapan in hr.rus menggunakan anr.lisis yanc lebih teliti. nanyak kar_ya
tcrbaru pada tcori konsolidasi bet1ujuan untuk mencntukan hal ini, dan bcl~rapa
penemuan yang diperoleh secara garis besar diberikan pada bab ini. Ditambah lagi, studi
r,enyederhannan, dengan memisahkan parameter-parameter itu agar hasil-hasilnya paling
tidak sensitif.
ha!aman II-10
E 1~
I - 10
t 0
5 ~
~ 0
: October 1970 : ~ptember 1971 ~---
/ 0 01 0 04 0 1 04 1.0 10 0 100(l
0
:>00
4J(l
( [
•4:<1 i. ;
.!i ~llO
10(1()
1~00 -
IJ{)1 ti.1 10 4(l 10(1 40C HIO 0
Gambar 2-16 Penurunan Tercatat Dibandingkan dengan Hubungan yang Dihitung antara
Penurunan dan Waktu, Menggunakan Koefisicn-koefisien Konsolidasi dengan Uji
Laboratorium dan Uji Lapangan.
Keterangan:
CD Penurunan tercatat
® Penurunan yang dihitung berdasarkan koefisien-koefisien konsolidasi dari UJI
laboratorium (koefisien-koefisien dianggap konstan pada nilai-nilai yang sesuai
dengan tegangan rata-rata).
® Penurunan yang dihitung berdasarkan ukuran permeabilitas in-situ (koefisien-koefisien
dianggap konstan pada nilai-nilai yang sesuai dengan tegangan rata-rata).
2.6 Teori Konsolidasi
Dua dasar pendekatan umumnya digunakan untuk menganalisis masalah-masalah
konsolidasi dalam dua dan riga dimensi.Yang pertama dikembangkan dari teori difusi
halaman 11-11
olch Terzaghi dan Rendulic. Yang kedua secara langsung dikembangkan dari teori elastis
olch Biot.
Teori difusi secara luas telah digunakan, terutama karena secara matematis lebih
scdcrhana untuk diterapkan, juga karena rangkaian solusi yang dapat dipcrtimbangkan
telah diperoleh dalam bidang konduksi panas. Bagaimanapun teori ini sedikit lebih teliti
daripada teori Biot dan secara umum disebut teori konsolidasi semu (pseudo
consolidation) dua dan tiga dimcnsi.
Mcskipun ditcrbitkan pada tahun 1941, metode Biot telah jarang digunakan, terutama
karcna kcrumitan pcrsaman matematisnya. Bagaimanapun, dengan mcningkatnya
ketersediaan komputer-komputer, penyelesaian masalah-masalah pelik sebelumnya dapat
diperoleh dengan teknik anal isis numerik. Persamaan-persamaan · untuk kedua teori itu
bcrasal dari suatu media tanah isotropis homogcn dan jcnuh secara mcnyeluruh. Banyak
pcrkembangan-perkcmbangan terbaru telah memperluas tcori-tcori dengan baik
melampaui konsep aslinya, tcrutama bcrkcnaan dcngan batasan-batasan pada
homogenitas dan isotropi. Persamaan-persamaan dasar untuk dua metode itu pada ruang
dua dan tiga dimensi dalam koordinat kartesian diberikan pada Tabel 2-2. Persamaan satu
dimensi juga diberikan untuk perbandingan.
Penggunaan persamaan Renculic biasanya harus memakai koefisien konsolidasi satu
dimensi yang cocok untuk setiap arah ruang atau pilihan lainnya adalah dengan
menganggap bahwa suatu nilai tunggal koefisien diterapkan untuk konsolidasi satu, dua
dan tiga dimensi, seperti yang diperlihatkan dalam tabel 2-2. Teori elastis, bag':limanapun
menunjukkan bahwa koefisien konsolidasi bergantung pada kondisi tegangan, dengan
demikian nilai-nilai dalam konsolidasi satu, dua dan tiga dimensi secara umum berbeda.
Suatu perbandingan pada ketiga koefisien yang diberikan pada tabel 2-2 menunjukkan
bahwa:
( 1-v) c 1 = 2(1-v)c 2 = 3 -- c 3 1+v (2-55)
halaman 11-12
Hanya untuk kondisi undrained, ketika v adalah 0.5, ketiga koefisien 1111 sama. Pada
masalah ini, persamaan Biot dan Rendulic identik, seperti dalam bentuk
1 a --(o- +o- ) 2Ct: X y (2-56)
dan (2-57)
dalam persamaan Biot-yang menggambarkan laju perubahan bcsamya tegangan total
dengan waktu-adalah nol. Syarat ini dikecualikan dari persamaan Rendulic karena secara
salah memperkirakan bahwa tegangan total rata-rata konstan selama konsolidasi.
Tabcl 2-2 Persamaan Konsolidasi dalam Koordinat Kartesian
Jumlah Dimcnsi Ruang
2
3
Persamaan Sistem Rendulic
..... .... 2 au au -=C --dt..... I ..... 2 oz
a tau:
au o2u o2u o2u at= ex ax2 +cy &/ +cz az2
u = tekanan ekses air pori
k = keofisien permeabilitas
v = rasio Poisson dari rangka tanah
t = lamanya waktu
Yw = berat isi air
Persamaan Sistcm Biot
..... ....2 au ou -=c --01: 1 az2
au =C (o2u + 02UJ at 2 az2 ax2
+.!. o(o-x + o-7) 2 at
au= c (o2u + o2u + o2uJ at 3 ax2 &y2 oz2
+ H-O"..:..:.x_+_~-'y~+_o-~, J
Koefisien Konsolidasi
kE(I- v) c - __ __;_ _ ___:___ 1 - YwO + v)(I- 2v)
kE c =-------2 2y"'(l- 2v)(l + v:
kE c -----3-3yw(1-2v)
O'x,cry,crz = peningkatan tegangan total dalam arah x, y, z, secara berturut-turut
Cx, ey, Cz = koefisien konsolidasi satu dimensi dalam arah x, y, dan z secara berturut-turut
halaman 11-11
Modulus bulk air (bulk modulus of water) sering kali lebih besar daripada rangka tanah.
Tanah jenuh undrained karcna itu hampir tidak dapat dimampatkan, dan pada awalnya
tegangan air pori mcndukung sctiap kenaikan beban luar. Bagaimanapun, ketika
konsolidasi berlangsung, beban secara bertahap dipindahkan pada rangka tanah. Modulus
elastis yang equivalen, Eu, Vu, untuk keadaan undrained bcrbcda dari nilai E', dan v',
untuk konsolidasi menyeluruh, atau keadaan drained. Tanah yang berdekatan dengan
suatu batas pengaliran bebas bcrkonsolidasi secara relatif lcbih ccpat, sementara daerah
yang jauh dari batas itu hampir tetap undrained, sehingga tegangan diferensial
berkembang pada tanah. Hal ini membutuhkan pcrubahan pada tegangan total untuk
memcnuhi hukum tcgangan-rcgangan. Efek pcrubahan ini dalam tcgangan total pada
tckanan ckscs pori dibcrikan olch bcntuk tambahan dalam pcrsamaan Biot.
Ciri penting teori Biot adalah efek Mandel-Cryer. Karena tekanan ekses air pon
diakibatkan olch perubahan dalam tegangan total rata-rata, hal itu mungkin-pada bcberapa
tempat dalam massa t<lnah-tciUs uertarnbah untuk bcbcrapa saat sctelah pencrapan
kenaikan beban. Akhirnya, tekanan ekses air pori dapat mencapai nilai yang lcbih besar
daripada tekanan yang diterapkan. Gejala ini telah dikonfirmasikan dengan percobaan
pada suatu skala laboratorium tetapi dari pengamatan lapangan belum dilaporkan. Hal ini
tidak semuanya mengejutkan, karena diperlukan ukuran yang sangat tcpat pada bcban
yang diterapkan dan pada tekanan pori. Pada prakteknyl:l., laju konstruksi di lapangan
biasanya tidak konstan, sementara piezometer lapangan tidak selalu segera merespon
terhadap perubahan tekanan pori. Karena itu sulit untuk memisahkan efek penambahan
pada tekanan yang diterapkan, waktu respon piezometer, dan pelenyapan tekanan ekses
air pori yang disebabkan oleh konsolidasi.
Meskipun demikian, efek Mandel-Cryer sekarang dianggap secara tegas menjadi
menentukan, dan dapat mempunyai akibat yang penting. Dalam beberapa kasus
konsolidasi multi-dimensi, waktu tambahan yang dibutuhkan untuk menimbulkan tekanan
air pori sebenarnya dapat menambah waktu yang diperlukan untuk memenuhi suatu
tingkat konsolidasi yang diberikan. Dengan demikian, penyelidikan satu dimensi bisa
memprediksi konsolidasi yang lebih cepat daripada yang ditunjukkan oleh anal isis dua ·
halaman 11-14
dan tiga dimensi. Hal ini bertentangan dengan pendapat terdahulu, karena umumnya telah
diperkirakan bahwa teori satu dimensi mcmbcrikan batas lcbih rcndah pada laju
kopc;;olidasi, dan cakupan hatas aliran tamhahan dalam analisis multi-dimcnsi harus
menambah besarnya rata-rata tersehut.
Mcskipun mctode Rendulic tidak memperhitungkan efek perubahan tegangan total, efek
ini sering kccil. Ketika hal ini tcrjadi, tcori dasar matcmatis yang lcbih sederhana bisa
digunakan dcngan lchih scsua1, untuk dipelajari, misalnya, sifat non linear.
I3agaimanapun dengan perkcmhangan scperti tcknik numerik yang unggul sepcrti metode
clcmcn hingga, kclihatannya tcori I3iot lcbih umum digunakan, khususnya kctika efck
non linear dapat digunakan dalam tcknik numcrik tcrscbut.
2.1 Persamaan-persamaan Konsolidasi Rendulic (Teori Konsolidasi Semu/Pseudo
Consolidation Theory)
Solusi-solusi untuk sebagian bcsar jenis masalah konsolidasi scpertinya muncul dalam
tcknik praktis dalam bcntuk tcori tegangan kecil yang tclah diperoleh dengan pendekatan
ini dan diterbitkan dalam literatur mekanika tanah, konduksi panas serta teori difusi.
Sejumlah solusi telah diperoleh dalam bentuk analisis tertutup. Hal ini memberikan
gambaran bcmilai kedalam sifat konsolidasi, dan juga memungkinkan standar-standar
terhadap solusi-solusi yang berdasar pada analisis numerik dapat diperiksa. Contoh
contoh hasil semacam itu, sebagai tambahan pada solusi rectilinear dan sumbu-simetris
untuk suatu lapisan homogen, adalah masalah pengaliran pasir yang dipecahk.an oleh
Baron, solusi multi lapisan oleh Home, dan perluasannya oleh Rowe yang mencakup
adanya pengaliran pasir (sand drain) yang digunakan dalam sistem multi lapis.
Solusi-solusi Beda Hingga
Sebagian besar solusi-solusi masalah yang lebih kompleks pada teori konsolidasi semu
telah ditentukan oleh metode beda hingga. Metode ini melibatkan pengantian turunan-
halaman II-1.S
turunan dalam persamaan diferensial parsial oleh pendekatan beda hingga dalam bentuk
nilai-nilai pada node atau titik jaring (mesh point) yang bcrdekatan. l3agian pertama
dibagi lagi oleh jaring rectilinear yang mcmpunyai sisi-sisi (pada masalah dua dimensi)
dx dan dy. Nilai awal yang diketahui pada tekanan air pori ditentukan untuk tiap node
pada jaring, dan kondisi batas yang layak disisipkan. Dari nilai-nilai awal ini, nilai
tckanan air pori pada tiap titik node ditcntukan sctclah interval waktu bcrurutan dt.
Terdapat dua dasar pendekatan untuk menentukan air pori yang tidak diketahui,
digambarkan sebagai mctodc eksplisit dan implisit. Pada mctode cksplisit, nilai tckanan
pori yang tidak diketahui u sctelah suatu interval waktu dt secara eksplisit dinyatakan
untuk tiap node selanjutnya dalam bentuk nilai-nilai yang diketahui pada node yang
bcrdekatan pada permulaan interval waktu. Metodc implisit, sebaliknya, mcmerlukan
solusi serangkaian persamaan simultan (satu untuk tiap node) untuk tiap langkah waktu.
Mcskipun mctodc cksplisit scdcrhana untuk digunakan, mctodc ini hanya stabil bila
interval waktu sangat kecil. (Scbaliknya kesalahan-kesalahan berupa meningkatnya
besaran dan tanda alternating/alternating sign muncul pada tiap langkah waktu). Karena
itu umumnya hal ini tidak sesuai untuk masalah dua dan tiga dimensi, ketika volume
perhitungan terlalu besar.
Metode Implisit Crank-Nicholson
Metode implisit umumnya sebagian besar digunakan karena Crank-Nicholson, yang
didalamnya turunan parsial orde pertama au/at diganti dengan nilai turunan orde kedua
&u!ax.? dan &u!ai atas suatu interval waktu dt. Dengan demikian, untuk solusi masalah
dua dimensi dalam daerah pcrsegi, koordinat-koordinat point node dalam solusi
didefinisikan sebagai : x = i dx ; y = j dz ; t = n dt
dan nilai tekanan ekses air pori setelah suatu waktu t pada lokasi koordinat x,z diberikan
dalam bentuk simbolik berikut:
u(x,z,t) = (i dx, j dz, n dt) = Uij,n
Gambaran beda hingga dari persamaan konsolidasi semu dua dimensi
(2-58)
halaman ll-1o
(2-59)
dalam bentuk Crank-Nicholson adalah sebagai berikut
I,J.n+ l,_t.n = C _ I+ ,J.n+ I,J.n+ 1- ,J.n+ + I+ ,J.n I,J,n 1- ,J.n u .. 1 -u.. [t(u- 1 • 1 -2u .. 1 -U- 1 - 1 U- 1 • -2u .. +u- 1 . J dt ,. 2 dx 2 dx 2
1 ( U · · I I - 2 U · · I + U · · I I ll · · I - 2 U · · + U · · I ]] + 2 I.J+ .n+ ~~-;+ I.J- .n+ + I.J+ .n d~~-" 1._1- .n (2-60)
Solusi persamaan oiatas selanjutnya akan dicapai dengan menghitung (dalam bentuk
matrik) tckanan ekses air pori yang tidak diketahui yang berisi istilah subskrip (n+ 1)
untuk nilai yang diketahui dengan subskrip n. Bila ukuran keseluruhan dari suatu daerah
mempunyai panjang L dan dalam Z, lalu, dertgan nila\ batas yang diketahui, hal ini akan
melibatkan so1usi (P-l)X(Q-1) pcrsamaan aljabar simultan dimana P=Lidx dan Q=Z/dz.
Dcngan dcmikian bahkan dcngan masalah berukuran relatif kccil, sistcm pcrsamaan yang
agak luas mungkin bisa ikut digunakan. Untuk mcningkatkan cfisiensi dalam masalah
masalah dua dan tiga dimensi, metode tambahan telah dikembangkan terutama metode
alternating direct implicit (ADI) dan metode satu dimensi secara lokal/locally one
dimensional method (LOD). Pada kedua metode itu umumnya digunakan persamaan beda
hingga implisit Crank-Nicholson. Mctode AD[ telah menjadi yang paling umum
digunakan dibanding metode LOD. Prinsipnya, metode itu terdiri dari hanya penggantian
satu tunman orde kedua, katakan ifutm.l, oleh pendekatan beda hingga implisit pada
langkah waktu (nth+ 1 ). Turunan orde kedua yang tersisa, ifutuz.? diganti oleh bentuk
eksplisit dari pendekatan beda hingga.
Dengan demikian, tiap baris nilai-nilai tekanan ekses air pori yang tidak diketahui pada
tingkat waktu (nth+ I) secara bebas dipecahkan dan prosedur ini digunakan untuk
serangkaian persamaan (Q-1). Solusi untuk langkah waktu berikutnya (t=(n+2)dt) dicapai
oleh pembalikan orde pendekatan beda hingga untuk memecahkan serangkaian
persamaan (P-1) yang berkaitan dengan tekanan ekses air pori yang disusun da1am kolom.
halaman 11-17
Metodc ini secara stabil memberikan solusi alternatif baris dan kolom yang
d i pcrtahan kan.
Gambaran implisit dari dulex2 yang akan digunakan pada waktu (n+ l)dt adalah
(u - u ·) (u . - ?u . + u . ) (u . - ?u . + u . ) o,J.n-1 o,j,n ::= o-I.J,n-1 - I,J,n+l o+I,J,n"-1 + I,J-I,n - I,J,n I,J+I,n
c dt dx 2 dz 2 \'
Gambaran implisit dari &u/ex2 yang akan digunakan pada waktu (n+2)dt adalah
c dt masukkan rx == ~
dx-
c,.dt rz == --,
dz·
(2-61)
dan susun kembali pcrsamaan di atas dalam bentuk yang sesuai untuk operasi matrik, kita
pcrolch:
-rxUi-lj,n.._l+( l-2rx)Uij,n+l-r xlli-lj,n+l=rzUij-l,n+( l-2rz}Uij,n+rzUij-l,n
dan -rzUi.j-l,n 12+(] +2rz}Uij.n+2-fzUij+l,n 12=rxUi-lj.n11+(1 -2rx}Uij.nll+rxUit lj,nll
(2-63)
(2-64)
Fornmlasi clcmcn hingga yang dibcrikan di atas bcrkaitan pada kondisi lapisan
homogenous isotropis. Pada kcnyataannya, scring tcrdapat bcberapa lapisan dalam tanah
dasar dcngan sifat-sifat bcrbeda, scmcntara kocfisicn konsolidasi vertikal dan horizontal
bisa berbeda. Juga mungkin akan diperlukan untuk memperhatikan suatu batas kedap air
pada lapisan yang dapat dimampatkan. Disamping itu, pertimbangan ekonomi dalam
volume perhitungan dapat dicapai dengan memperhitungkan kesimetrian suatu masalah.
Semua kondisi di atas memerlukan modifikasi pada bentuk operasional dari gambaran
yang diberikan untuk suatu sistem homogen. Sekarang hal ini akan disajikan.
Sumbu-sumbu Simetri
Pada suatu batas, kesimetrian masalah dikenal dengan memperhatikan kondisi bahwa
nilai-nilai u pada point-point dalam tiap sisi sumbu simetri, dan yang berdekatan
dengannya, adalah sama. Dengan demikian, bila kita mendefinisikan point jaring ke-i
ketika teijadi pada sumbu yang simetri, nilai u pada point salah satu sisi dari sumbu ini
dapat dihitung
Ui-1 j,n+ I =ui+ I j,n+ I (2-65)
halaman 11-1 R
Sckarang, kdika point {i1h-l) muncul diluar daerah integrasi, penjelasari operasional
dibcntuk olch penggantian nilai tekanan air pori yang bersubskrip (i+ I) dengan ni!ai
bcrsubskrip (i-1 ), untuk menghasilkan bentuk berikut
dan
(2-66)
(2-67)
Secara tepat bentuk-bcntuk prsamaan yang sama digunakan untuk batas-batas yang tidak
tutus air (impermeahel).
Batas-ba!w; Internal anfara Lapisatt-lapisatt dengan Pr!Jjil Berbeda
Pertimbangkan dua lapis tanah dengan suatu antar-muka (interface) sejajar terhadap
sumbu x, sifat-sifatnya dibcdakan oleh subskrip r dan s secara berturut-turut. Untuk aliran
sepanjang antar-muka (dalam arah x) koefisien konsolidasi equivalen adalah rata-rata
koefisien-koetisien dalam kedua lapisan itu. Untuk aliran melintang dari antar-muka ini
aliran harus mcrupakan arus yang menerus. Kondisi-kondisi ini membawa pada
pcnjelasan operasional bcrikut untuk tckanan pori pada node yang berdekatan dcngan
antar-muka:
-r rslli-lj,n+t+( l +2 r rs)llij,n+l- r rslli+lj,n+t=r' rllij-t,n+(l-r' ,-r' s)llij,n+r' sllij+l,n (2-68)
(2-69) -r' rUij-l,n+2+( I +r' ,+r' s)Uij,n+2-r' sUij+l,n+2= r rslli-lj,n+t+( 1-2 r rs)llij,n+t+ r rslli+lj,n+l
dengan: f = (c, +cs) rs 2dx2
dimana:
Cr = koefisien konsolidasi lapisan r
Cs = koefisien konsolidasi lapisan s
mr = koefisien kompresibilitas volume lapisan r
m5 = koefisien kompresibilitas volume lapisan s
dZr = jarak vertikal antara point node dalam lapisan r
dzs = jarak vertikal antara point node dalam lapisan s
halaman 11-19
Hal ini sangat pcnting unruk dipcrhatikan bahwa dalam keadaan dimana suatu
pengurangan dalam tcgangan vcrtikal tcrjadi, koetisicn-kocfisicn yang ditunjukkan di atas
akan dipcroleh dari uji konsolidasi-pcnghilangan beban (unloading).
Pcnjelasan yang sama bisa berasal dari batas-batas yang sejajar pada sumbu z.
Variabel sifat-sifat Tatwh dan Behan Rata-rata
Dimana koefisicn konsolidasi bervariasi dengan tegangan efektif, suatu prosedur
scdcrhana harus mcndckati hubungan antara parameter tanah dan tegangan cfcktif olch
fungsi langkah demi langkah. Dengan demikian, diasumsikan bahwa parameter khusus
tetap konstan selama suatu rentang terhingga dari tegangan efektif. Mengikuti
penyelesaian pada tahap ini, selanjutnya nilai dipilih, matrik oper-asional dibcntuk ulang,
dan pcmccahan ditcruskan.
Suatu pcndekatan fungsi langkah yang sama dapat digunakan untuk mcnganalisis
masalah-masalah yang dipcngaruhi olch bcban rata-rata yang bcrvariasi. I3cban rata-rata
aktual dapat didekati oleh suaru rangkaian peningkatan beban yang diterapkan pada point
node pada permulaan tiap langkah waktu. Selanjutnya,
dan
dimana:
8.u· ·=8.cr3 · +A'(8.cr1 · ·-8.cr· · ·) IJ ,IJ ,IJ .>,IJ
(2-70)
(2-71)
u'ij,n nilai tekanan ekses air pori yang diketahui pada point node (i,j) sebelum
menentukan tekanan air pori yang tak diketahui pada tingkat waktu (n:+I)
8.Uij = kenaikan tekanan ekses air pori pada point node (ij) yang disebabkan oleh beban
selama interval waktu dt (pada batas aliran bebas nilai ini menjadi nol)
8.cr3,ij = kenaikan tegangan utama minor pada node (ij) yang disebabkan oleh kenaikan
beban yang diterapkan
8.cr1,ij = kenaikan tegangan utama mayor pada node (ij) yang disebabkan oleh kenaikan
beban yang diterapkan
A'= 0.336A+0.211
halaman 11-40
A = parameter tekanan air pori yang diperoleh dari uji trizxial; A' adalah parameter
tekanan air pori cquivalen untuk kondisi regangan bidang (plane strain)
Aplikasi pada Masalah Tiga Dimensi
Aplikasi metode beda hingga terhadap masalah konsolidasi semu tiga dimensi dalam
koordinat kartesian dapat dicapai dengan mengembangkan prosedur AD!, yang telah
dijelaskan secara garis bcsar di atas, dengan menggunakan dua penjelasan cksplisit
mencngah berkaitan dengan bentuk implisit yang diterapkan pada tiap arah koordinat
sctiap langkah waktu ketiga. Sayangnya proscdur ini tidak lagi stabil tak bersyarat, dan
variasi pada mctodc ini telah dikcmukakan oleh Douglas dan oleh Brian. Sesuai dcngan
skcma yang diusulkan olch Brian untuk tanah anisotropik, pcnjclasan bcda hingga yang
akan digunakan dalam urutan adalah sebagai berikut:
(2-72)
(2-73)
(2-74)
dimana
dan i dx=koordinat x; j dy=koordinat y; k dz=koordinat z.
Prosedur yang telah dijelaskan untuk menghadapi batas-batas internal, dan sebagainya
dalam ruang dua dimensi juga dapat digunakan untuk konsolidasi tiga dimensi.
Masalah-m~·alah dengan Sumbu Simetri
Banyak masalah dalam ruang tiga dimensi merupakan masalah sumbu simetris.
Persamaan difusi dalam koordinat silindris untuk tanah anisotropik selanjutnya dalam
bentuk berikut:
halaman 11-41
(2-75)
dimana cR, Cz adalah koefisien konsolidasi dalam arah radial dan aksial secara berturut
turut. Pcrsamaan bcda hingga yang scsuai dalam bentuk ADI adalh sebagai bcrikut:
r~ { -ui+l( I+ I /2i)+2ui(l + 1/rR)-ui-J( 1-1 /2i) }j.n+l= r; { Ui+l( I+ I /2i)+ui-1(1-l /2i) }j.n
(2-76)
(2-77)
dimana
dan i dR= koordinat R (arah radial);j dz = koordinat z.
Bentuk (l/R)(oo/cR) adalah tidak menentu pada sumbu simetri, karena kedua R dan
8u/oR adalah nol. Bagaimanapun, hal ini memperlihatkan bahwa, R cendcrung untuk nol.
Pada sumbu, oleh karenanya, persamaan difusi mempunyai bentuk:
au o2u a:!u -=2cR--2 +cz-~ at aR az-
(2-78)
(2-79)
dan penjelasan beda hingga yang sesuai untuk digunakan sebagai pilihan lain adalah:
(2-80)
dan
2.8 Contoh-contoh Solusi Konsolidasi Semu (Pseudo Consolidation)
Koppula dan Morgenstern telah menggambarkan penggunaan metode ADI untuk
mempelajari efisiensi pengalir dalam bendungan. Studi ini mempertimbangkan suatu
halaman JI-42
susunan geometri dari inti lempung, ras1o koefisien kelulusan pengalir ·pada bagian
intinya, dan Iebar relatif pola aliran dalam dua bagian. Mereka menjelaskan hasilnya
dalam bentuk faktor impedansi
dimana
k1 = koefisien permeabilitas inti lempung
k:2 = koefisicn permeabilitas pengalir samping
11 = tinggi inti lempung
d = Iebar pengalir samping
(2-82)
Nilai-nilai luas dari A menandakan efisiensi titter pengalir. Dengan demikian, ketika suatu
nilai mendekati tak berhingga, pengalir mendekati efisiensi yang sempurna dan tekanan
lebih air pori pada antar-muka antara inti lempung dan pengalir selalu not. Sebaliknya,
hila A adalah nol, filter pengalir sepenuhnya menghambat arus dan semua pelenyapan
tekanan ekses air pori terjadi secara vertikal ke atas.
Pengaruh geometri inti lempung dan impedansi pengalir sarnpmg diberikan untuk
tingkatan konsolidasi tertentu dalam gam bar 2-17.
Perhatikan bahwa, untuk nilai-nilai rasio yang kecil H/2w, impedansi dari pengalir tidak
memberikan pengaruh penting pada hasil, karena pola pengaliran horisontal lebih lama
daripada vertikal, sehingga aliran vertikal sangat berpengaruh. Bagaimanapun, seperti
telah jelaskan, impedansi dapat menghasilkan suatu harnbatan pelenyapan tekanan ekses
air pori yang penting untuk A lebih kecil daripada 10 yang berhubungan dengan H/2w
yang lebih besar dari 0.25.
Aplikasi teori konsolidasi semu dua dimensi terhadap perencanaan timbunan jalan juga
telah menerima perhatian yang sungguh-sungguh. Pengaruh bentuk timbunan, kedalam
lapisan yang dapat dimampatkan, dan tanah anisotropis secara luas telah dipelajari oleh
Dunn dan Razouki. Hasilnya disajikan dalam bentuk yang cocok untuk dipakai berupa
grafLk. perencanaan.
halaman 11-41
Untuk menunjukkan pengaruh fak.'1or-faktor ini pada berlangsungnya konsolidasi dcngan
lebih jelas, beberapa hasil untuk tanah isotropik ditunjukkan dalam garnbar 2-17. Rasio
Hlbu adalah no! untuk konsolidasi satu dimensi dan dalam kasus itu hasilnya adalah
1·0 Degree of consolidot ion of 50 per cent
-- --=-~ _ 1Degree of consolidation .::::: ~ ~ ·tJ/-;;_ of 90 per cent
~~"" // - ~~ I
\ \'( \ \ \\ (00)
''0' \ \ \
Values of impedonce----..J \ \ I \
lt I \ foetor h
It I I H
It I I ! ! I "\ '' I II
s~L-----~------~~--~~----~~-L~~~--~~L__J~------~~---.noo 0·01 002 0 50 2-() 50 1 . Time factor I T.J
Gambar 2-J 7 Pengaruh bentuk dan impedansi pengalir samping dalam wak'1u terhadap
derajat konsolidasi tertentu dari inti lernpung untuk bendungan.
halaman II-44
BABID
i\lETODOLOGI PENGEMBANGAN MODEL
3.1 Umum
Secara umum, pengembangan model suatu sistem mengandung dua tahapan proses, yang
pada pral'1eknya, tidak selalu harus mengikuti urutan yang diusulkan. Jadi, bisa terjadi
urutan yang sebaliknya dilakukan. Kedua tahapan proses tersebut adalah sebagai berikut.
I. Pcmbuatan struktur model, yaitu menetapkan batas-batas sistem (system reference)
yang akan memisahkan sistem dari lingkungannya, dan menetapkan komponen
komponen pembentuk sistem yang akan diikutsertakan atau dikeluarkan dari mosel.
Dalam menetapkan keduanya, harus diingat bahwa model harus lengkap, valid, tetapi
juga cukup sederhana.
2. Pengurnpulan data, yaitu untuk mendapatkan besaran-besaran atribut komponen yang
dipilih, dan untuk mengetahui hubungan yang terjadi pada aktivitas-aktivitas sistem.
Klasifikasi Model
Gordon (1989) mengklasifikasikan model-model ke dalam bentuk model-model sebagai
berikut.
. . MATtMATIK
Gambar 3. 1 Klasifikasi Model
halaman- 1
Mempclajari sistem dapat dilakukan melalui pendekatan eksperimental, baik dengan
menggunakan sistem aktual, atau menggunakan model dari suatu sistem. Eksperimen
pada umumnya mcnggunakan model yang dapat dilakukan melalui pendekatan model
fisik atau model matematika. Eksperimen dengan model matematika dilakukan dengan
solusi analitik atau mcnggunakan simulasi. Model simulasi mcrupakan alat yang cukup
fleksibel untuk memecahkan masalah. Permasalahan yang tidak dapat dipecahkan dengan
metodc lain, biasanya dapat dipecahkan dengan menggunakan model simulasi. Hal ini
bukan berarti setiap permasalahan diperbolehkan mencari solusi dengan langsung
menggu:1akan model simulasi. Model simulasi Iebih tepat digl..inakan untuk sistem yang
relatif kompleks.
GUNAKAN INTUISI UNTUK PENGAMBILAN KEPUTUSAN
BUAT ALTERNATIF ALTERNATIF
CARl ALTERNATIF
TERBAIK
TEGASKAN SOLUSJ DENGAN
--------------,
YA
FORMULAS I MASALAH
KE BENTUK MODEL
CARl SOLUSI OPTIMAL
TIDAK -----------------·
Gambar 3.2 Diagram Alir Pemilihan Metode Pengambilan Keputusan
halaman III - 2
Kata pcmodelan dan simulasi menunjukkan kompleksnya aktivitas-aktivitas yang
berhubungan dengan pcmbentukan model sistem nyata dan mensimulasikannya pada
komputer. Dari uraian tersebut dapat ditarik sebuah pernyataan, bahwa elemen utama
yang menjadi perhatian dalam model simulasi adalah sistem nyata, model dan komputer.
Model dalam simulasi tidak hanya memperhatikan elemen-elemen didalamnya, tetapi
juga hubungan antara elemen-elemennya. Pemodelan berkaitan dengan hubungan antara
sistem nyata dan model, sedangkan simulasi berkaitan dcngan hubungan antara komputer
denganmodel. Untuk lebih jelasnya dapat dilihat pada Gambar 3.3.
SISTEM NYATA ~ MODEL ~ KOMPUTER ~ ....
Pemodelan Simulasi ·. ~\ .. ·····-··---........ .•·
······--·-·-·······---····-·············-·-·············-··········· ... ····· ························ .. -............................................................... ....
Validasi Verifikasi
Gambar 3.3 Elemen Dasar dan Hubungan dalam Pemodelan dan Simulasi
Karakteristik Model Simulasi I
Berdasarkan uraian di atas, dapat diungkapkan bahwa simulasi merupakan suatu alat
analisis yang handal untuk merencanakan, mendesain, dan mengontrol proses atau sistem
yang kompleks. Untuk menunjang hal itu, simulasi berkaitan erat dengan model berbasis
komputer, serta penggunaan model untuk berbagai eksperimen sehingga orang dapat
menarik kesimpulan (keputusan) terhadap suatu sistem tanpa harus melaksanakannya
secara nyata atau terhadap perubahan atas sistem yang sudah ada tanpa harus
mengganggu sistem tersebut.
Pada dasarnya studi terhadap sistem dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu melakukan
eksperimen terhadap sistem nyata atau melakukan eksperimen terhadap model dari sistem
yang berlaku. Cara terakhir ini lebih disukai karena lebih praktis dan ekonomis. Lebih
lanjut, sistem dapat dimodelkan secara fisik dan matematis. Berkembangnya analisis
sistem dengan penelitian operasional, model matematis lebih diminati ( walaupun dalam
halaman III - 3
bidang-bidang tertentu model fisik tetap digunakan). Model matematika dapat
memberikan solusi dari proses analitis atau simulasi yang masing-masing mempunyai
kelebihan dan kekurangan. Untuk sistem yang kon1pleks solusi analitik sulit diperoleh
sehingga dlam hal ini simulasi menjadi sangat berperan. Disamping itu, dengan simulasi
dimungkinkan melakukan studi suatu sistem jangka panjang dalam waktu yang relatif
singkat Secarajelas posisi simulasi dalam studi suatu sistem dapat dilihat pada
Gambar 3.4
Tipe Model Simulasi
MODEL FISIK
MODEL MATEMATIKA
Gambar 3.4 Cara Mempelajari Sistem
Model simulasi adalah model matematis yang dipelajari dengan simulasi (Gambar 3.5).
Model simulasi dapat ditinjau dari tiga dimensi yang berbeda:
a) Statis-Dinamis
Model simulasi dapat digunakan untuk menggambarkan sistem yang bersifat statis
maupun dinamis. Model simulasi statis adalah model yang menggambarkan sistem
dimana keadaannya tidak dipengaruhi waktu. Model sumulasi dinamis adalah model
simulasi yang keadaan sistemnya berubah dipengaruhi oleh waktu.
b) Stokastik-Deterministik
Model simulasi dapat menggambarkan kejadian yang bersifat pasti atau tidak
mengandung unsur probabilitas (deterministik), maupun yang bersifat tidak pasti
halaman III - 4
dengan mengandung unsur probabilitas yang ditandai dengan adanya kcrandoman
input dari model (stokastik).
c) Kontinu-Diskrit
Model simulasi disebut diskrit jika status sistem berubah pada wal'1u yang diskrit.
Sedangkan model simulasi disebut kontinu jika status variabelnya bcrubah seiring
berjalannya wal'1u. Variabel-variabcl model simulasi dapat berubah dengan cara:
• Kontinu setiap saat
• diskrit setiap saat
• kontinu pada saat-saat tcrtentu
• diskrit pada saat-saat tcrtcntu
Oleh karcna itu sistem berubah secara dinamis, maka dalam simulasi dikenal variabel
wal'1u simulasi yang dinyatakan wal'1u aktual dari simulasi. Mekanisme beijalannya
waktu simulasi dapat ditinjau dalam dua cara, yaitu:
1. Next-event time advance
Dengan p~ndekatan in, waktu s!rnulasi diinisialkan pada nilai 0 dan wal'1u
tcrjadinya event berikutnya ditentukan. Kernudian, wal'1u sirnulasi dirnajukan
kepada wal'1u teijadinya event yang terdekat (pertarna) dari event-even!
berikutnya. Pada setiap titik wal'1u status sistern diperbaharui. Proses seperti ini
berlangsung terns hingga diternui kondisi yang rnenjadi batas simulasi (stopping
condition).
2. Fixed-increment time advance
Dengan pendekatan kedua ini, waktu sirnulasi dirnajukan dengan selang waktu
yang konstan ( ~t ). Setelah waktu diperbaharui sesuai dengan selang waktu yang
ditetapkan, dilakukan pengecekan apakah ada event yang terjadi selarna
~t sebelurnnya. Jika ada satu atau lebih event yang terjadi, event-event ini
dianggap akhir dari selang ~t tersebut. Baru kernudian status sistern
diperbaharui.
Tahapan Studi dengan Teknik Simulasi
Model sebagai bagian dari sirnulasi harus benar-benar rnerepresentasikan sistern yang
dipelajari. Untuk itu, model hams dibuat dengan benar. Adapun, langkah-langkah yang
halaman III - 5
diajukan oleh Law dan Kelton ( 1991) dalam melakukan studi simulasi agar proses
simulasi dapat berjalan dengan baik dan terarah disajikan pada Gambar 3.4.
FORMULAS! MASALAH DAN RENCANA STUDI
UJICOBA PROGRAM
y~
PERANCANGAN EKSPERIMEN
• EKSEKUSI PROGRAM
+ ANALISIS
DATA OUTPUT
+
TIDAK
TIDAK
DOKUMENTASI, PRESENTASI DAN IMPLEMENTASI
Gambar 3.5 Cara Mempelajari Sistem
halaman-
3.2 Metodologi Pengembangan Program Analisa Konsolidasi Vertical Drain
Metodologi pengembangan program analisa konsolidasi merupakan simulasi dari
model komputer, yang terdiri atas :
A. Pemilihan Kompiler
Kompiler dipilih berdasarkan kriteria sebagai berikut :
+ Bahasa pemrograman Turbo pascal versi windows.
+ bekerja dengan data 32 bits.
B. Pemilihan Sampel Data
Pemilihan data untuk uji coba program diambil data sekunder vertikal drain pada ruas
jalan tol Semarang seksi C.
C. Pengembangan Model Matematis
Langkah ini mencakup penurunan persamaan model matematis diferensial dengan
karakteristik :
+ Drainase dua dimensi vertikal dan radial.
+ Kompresibilitas non linier.
+ Analisa untuk satu lapis tanah homogen.
+ Tipikal vertikal drain tiangular dan segi empat.
D. Formulasi Numerik
Model matematis diterjemahkan kedalam bentuk numerik beda hingga (finite
deference) dengan solusi kombinasi teknik ADI (Alternating Directional Implicit) dan
ekspilisit.
G. Verifikasi
Langkah ini berupa pengecekan apakah program sesuai dengan formulasi numerik dan
matematisnya.
halaman III - 7
3.3 Metodologi Pengembangan Program Dinding Penahan Tanah
Piranti lunak yang dikembangkan untuk dapat dipergunakan untuk optimalisasi dimensi
dinding penahan tanah dengan memperlihatkan lima kriteria yaitu kestabilan terhadap
guling, kestabilan terhadap geser, daya dukung tanah, kestabiian keseluruhan dan
penurunan yang bisa dianggap wajar.
Metodologi pengembangan program dinding penahan tanah terdiri dari
• Metoda perencanaan yang digunakan adalah metoda keseimbangan batas.
• Perhitungan tegangan lateral menggunakan analisa Rankine.
• Perhitungan tegangan lateral untuk tanah yang dipadatkan menggunakan analisa
Broms.
• Perhitungan faktor keamanan akan menggunakan dua metoda yaitu faktor
keamanan stabilitas struktur secara keseluruhan dan faktor keamanan terbatas pada
propertis tanah dengan n;tetoda peluang.
• Pembuatan program akan menggunakan baha<:a Pascal versi 7 yang akan disajikan
dalam iingkungan vvindows deugan progr~ Delphi versi 3.
• Untuk langkah vahta:;i akan dilakukan dengan cara manual dan software yang telah
banyak digunakan dipasaran.
• Studi kasus diambil model fiktif. karena program ini hanya sebagai alat bantu
perhitungan.
halaman III - 8
UABIV
IIASIL PENGEMBANGAN l>INDING PENAIIAN TANAII
4.1 Umum
Program dinding penahan tanah yang dikembangkan ini adalah untuk
perencanaan dengan mengguinakan material beton dan pasangan batu kali.
Program ini mampu merencanakan untuk tanah yang mempun:yai jcnis lapisan
yang bervariasi dan juga bisa mcnganalisa tcgangan lateral untuk tanah yang
dipadatkau. Struktur program dibuat dalam lmgkungan visual delphi Yersi 3.0,
sedangkan untuk source program akan didokumentasikan di disket secara
tersendiri.
4.2 Pcngembangan Dinding Pcnahan T:tnah
Pemodelan dinding yang dikcmbangkan adalah scbagai berikut :
\-EJ QJ /
0/ ~
~ Lapisan tanah keras
Gambar 4.1 Pemodelan Dinding
halaman IV - 1
Kctcr~ngan Gambar :
• Blok I Tanah untuk mcnghitung tckanan lateral aktif
• Blok II Tanah untuk mcnghitung tekanan lateral pasif
• I3lok III Tanah untuk menghitung penurunan & daya dukung dinding
• Blok IV dan V Tanah yang merupakan beban pada dinding untuk
perhitungan penurunan dan daya dukung dinding.
Masukan pada pragram :
1. Parameter tanah :
• Jumlah lapisan blok I I ,2, ........ n ( Cn, <l>n. "(n, hu)
• Jumlah l~pisan blok II 1,2, ........ n (en, <l>n, Yn, hn)
• Jumlah lapisan blok III 1,2, ........ n (e1~> <l>n, y11, hn, Cen, Csn, eon, Esn)
2. Letak air tanah hw
3. Ketinggian dinding H
4. Perlakuan pada tanah:
• Dipadatkan
• Tanpa dipadatkan
5. Variasi pada SF :
• SF pada stabilitas secara keselumhan.
• SF pada parameter
halaman IV - 2
Flow Chart Program Utama
mulai
r
I Baca: data I masukanlinput
Panggil Sub program tekanan lateral Aktif dan Pasif
Panggil . Perhitungan SF stabilitas guling .
r
Panggil . Perhitungan SF stabilitas geser/gelincir .
Panggil . Perhitungan SF stabilitas daya dukung .
,, . .
I p ., : Perh!tur.gan SF ovarall gtc:bi!lity . angg!.
,,
I Tulis : Hasil proses keluaran/ I output dalam bentuk tabel & grafik
,, Se!esai
Gambar 4.2 Diagram alir perencanaan Dinding penahan tanah
halaman- 3
4.2). Distribusi Tegangan Lateral Tacah
h2
________ _1 __ ·-·---····"----... (q+y1h1+y~h2)Ka3
~------------·-·------~---···"----..
±~--------------------------------~~ Tekanan iateral ak-tif a~Jah :
1 = 1,2,3, ............ n
Jika tanah berjenis kohesif dan mengandung muka air tanah (c & hw):
i = 1,2,3 ... n
halaman- 4
Tekanan Lateral Pasif:
i = 1,2,3, .. n
4.2.2 Distribusi Tegangan Lateral Tanab Yang Dipadatkan
cr' I< >!
(q+y,h,)Ka2 :
--·--·- ___ j __ ,.___,
halaman- 5
Tekanan lateral aktif adalah:
1=~d+qKaJ~ +d(l~ -zJ+1{a,~K'1-v'X~ -hJ+(q+r,~)Ka)~ +1ri~K~ +
Pan= (q+rA +yiz..z}K~~ +1rl~K~ + ....... +(q+y,~ +cr/~ + ....... +Yn-lhn_,)Ka,.hn +1rnh;,Kq,
n n
Pan= 1=cd+qKqJ~ +d(l~ -zc)+1(0j~Kq -dX~ -hJ+ L (q+Y;_/;_,)Kql~ + L 1r/(Kq 1-2 i:2
IV.2.3 Cek Terhadap Stabilitas Rotasi/Guling
a
b
,... .,____ __ 6 _ ___, I d
\.-1<~--------~>1 f
Ph=P"cose P,. = Pa sine
W, = {c(H -d)+.l (H -df}r 2 tanp
halaman IV - 6
w _I (H -dr 3- 2 tanp Yc
w -I (H -d) 5- 2 Yc
tan a
{c(H -d" r -lc)+l (H -df (r _! (H -d) -cJ}r N 2 2 tanp 3 tanP
Xt=~----------------~~--------~-~
(H -d) (H -d) X3 = b + + a + I -'------'-tan a 3 tanP
(H -d) N=b+ +.!.a
tana 2
X -b 2 (H -d) s- + 3 tana
~=tf
Maka didapat harga SF :
SF= ~x~ + w2x2 + w3x3 + w4x4 + WsXs + ~x6 + P.,X1 H'Pacos(}
W = berat segmen tanah
X= jarak titik tangkap segmen tanah terhadap titik C
MR = Momen penahan terhadap titik C
Mo = Momen guling terhadap titik C
(4.4)
(4.5)
halaman IV - 7
4.2.4 Cek Keruntuhan Geser/Gelincir
~d , cd = parameter yang didasar diP-ding
R = S (Luas cross section) = s( e x 1) = e.utan~d + e.cd
Lfd = P. cos a
4.2.5. Cek .Kapasitas Daya-Dukung
SF=~ qt!WX
q=ypD
B' = B -- 2e
D Fed= 1 + 0.4-
B'
D F qd = 1 + 2tan~d( 1-sin~ )2 B'
F.,d =I
Fci=Fqi=
( ]
2 . 1-qJ
F.,t= T
. .
halaman IV- 8
q _ = 2: v 0 + 6t; >.
m:JX ' B e . e1 = eksentrisitas pada R
SF= qu ~ 3 qma:'C
4.2.6- Cek Penurunan (Settlement)
• Penurunan Segera (immediate settlement)
Se = eqo (1- 1-l \a --)- Penurunan disudut dinding E ·'2 .J
Se = ~n (1- p~ }x --)- Penurunan ditengah dinding .J
Es =modulus Young's
J.1s = Poisson's Ratio
a= _!_[ln(.JI+m2 +m)+mln(JI+m2 +mJl tr JI+m2 -m .JI+m2 -m J
e m·-=·-
1
I = panjang dinding
e = Lebar dinding
• Consolidation Settlement
· Sc = ccHc log Po+ !lPav --)- untuk normal konsolidasi I+e0 ~
S c .. Hc 1 ~+Mav uk k '"das" p AD p c = -- og --)- unt over ODSOtl 1 o+ ur-"" < .: l+e0 ~
halaman IV- 9
S CSHC I F. C.H.I p + M. k k I'd . d k d' . c = -- og-' + -· -· og u '" ~ untu ·over onso 1 as1 pa a ·on ISI 1 +en P, 1 +en F.:
Pc = Tekanan prakonsolidasi
Cc = lndeks kompresi
e0 = void ratio av..-al clay
P 0 = rata-rata tekanan efek1if clay
ha!aman IV -10
4.3. Bagan Menu Utama
1\-1 E N u
u T A .l\1 A
~ Masukan
Kalkulasi
L...-- Kel uaran
Dimensi dinding
Parameter tanah
Letak air tanah
---+-Tambahan beban permukaan
Peilak"Uan tanah -{
Dipadatkan
Tidak dipadatkan
Aktif
Dipadatkan
Tekanan lateral Pas if
Tidak dipadatkan
SF StabiEtas Gul~ng
SF Stabilitas geser
SF Stabilitas daya dukt~.1g
SF Gelincir dalam
Aktif
Pas if
Consolidasi (consolidated)
Penurunan
egera (immediate)
-E Tabel dari masukan data
T abel dari kel uaran data
Grafik SF vs Variasi dimensi dinding
halaman IV -1 I
4.4 Struktur Program
Labelisasi program seperti terlihat gambar di bawah ini :
Vetsion 1.0
Cop}•right <S> 1999._
4.3 Gambar labelisasi program
halarnan IV -11
, . f i
f ~ l .. •· i:
Untuk form menu utama program sebagai berikut
- - - .- - - :- - - ;- - - I - - - 1- - - - - - I - - I
:I~;~;~,;;~~ :~1J~~:~~:9:~~ - - - I
:p:=: I - - -
" ij
Gambar 4.4 Form menu utama
Untuk fonn masukan pada program tcrbagi dalam empat bagian diantaranya :
Blok I
~r,.r.··--------------,
I ~~~lri•Jiro-~1 0 C•.•n•;.•o:~•)ro_or I I - I j 1
,~ 0 lche lo>J .------____,,! 'Wm I
,, I Beban o~. .__ ___ __.=1! HJ/r1r ~
I ,-------:-!_" I 1Tinqqir·.-1uk-~.C..u i ·im 1
. Lapsan ke I H (m) J 1· 1 )" r c J !
I ... --~~:_L __ - - .... ____ ,_.;; : ___________ --- ---~-=' I. : ! ----------- ---- _____ !_ ------------- ---~~-l ------ . I:
li
Jl I
Gambar 4.5 Form input pada blok I
halaman IV - 12
II II ., i I j
I I I
I·
I .. . . . . . . . . . . . . .. . ! . · · Blok II: ::: : :::: : : :· : . : : · ·:.::: . . . . ... . . I .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . ... . . I · · . ;-~::::.·__ --~ i : : : : : : : : : : : : . · : . . . . . . . : : : : : : : : : : : : . i . . :; --f:' li: : . . . . . . . ~: :: ... ... . . I ,;- .;·----- ~ j ... . I _Ir;~.;;-, ;_: :,_r~~:-~-. ~ .. ~ . . : ~ :: __
: l : I . i 1
f i ! :.
·:•· l ' Iii_' : . . . ~--· ----. ... l i t t ..
.!-.j_!..:_;_~.:.. { \ l i · · i·:--t-..;r, ..,:... '·" kN/m .. i Ji. : - . . . . . . . . . . . ::::::.
r 11 • : • :- :nggi :t .. 1_:.:!'.·" -~': l-:- . . . oj r • .; : : • • . . =:
I' 1!
II : : : . . : . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . . . ;! I ... . . . . . . . . . . . . . . - ... . . =====:..-====::::l . . . . . . . . . . . . . . . . .. .. . : : : : : . : : : : : .
L ________ _ i rOO"r ~- ,...."> ... ---~,;;;.;;;.1;J"'r;;;;;_r:;;· .;;;_ ;;;;;;;.;-~r;;;;;;;;;;,;_;;;;;;;:;;;._;;,;;:;:;. ,;:;;;;;;;;;;;;;;;;;;;:.;;;.~;;: .. :;;,r;;;;;;;;:;;;;;;;;;;;;;;._;;;;.;,~
if, ~ L::.:=•iS.3r, > -~~ i H (m) l ·t~ I i c I ! m=. --~----- -· _:·----------=--~~-- .._ .... : ~~------::-o -!-; -----==_-_--_;_:: ..... 1_-__ -_-_ - __ -_ - __ -~__.·;).! i i : ~
il !i il ~-'::._-.--------------·· ···--=--=--==-·-======:::::::=::=::=::=:::=::::=::=:=::=-====~ I I+ 1- i .... j v' f X II <<.ead·, II u~ :-: t >. II ./ IJI", II X Car~e! I I ....._ ___ _.
Gamabar 4.6. Fonn input rada Blck II
Blok III d
I r -~~ E_: ad: l~..l _h_'. e._:.:~_:-_.> __.1 ./ m~ Jl,..... -X-C-an_ce_,l I
__,-' l l ~II
,...\ 11 \ II
\ I! I
l I
I I III I
La.pisan kel H (r:1) I I j J. ! ,,.. ·~ 'f
.. 1 ! 2! H-;j 20! ::JJ
'""' ,,...
Lapis6.n kel Cc eo E I II I ~ 1 I !J.5 0.5 1((10 i 0.5
I I I
Gambar 4.7. Form input pada Blok III
halaman IV - 13
I I
Program ini juga menycdiakan t'orm untuk mcnyimpan data dalam bcntuk
directori (*.Rtw) yang tampilan fo rmnya scbagai bcrikut :
r-,..-----t ! ..... ~·: \ -/ . .::..: i i i -~·----·
, . ':. ·' ':
.. . .. , . ..
·'
.;
!!
I ;: :...___------~------ ;_ l _ ____ ________________ __________________ j
-i _ ;; ~ 1.",1 f '----···--------·------_j
!. .. -----··.·-··---· - ·- -· ..... __ _
Gam bar 4 .10 Form untuk mcnyimpan data
halaman IV - 1 S
STUDI KASUS
100 KN/m
0.25m I /-/ 1
1m 0.5 m
berat isi tanah = 18 kN/m3
berat isi beton = 23.61 kN/m3
4> tanah = 32 ° c =20 kN/m2
dari basil analisa didapat :
No Safety Factor
1 SF Overtuning
2 SF Sliding
XXX
5.5m
STAAD III
6.83
2.02
PUSJALWALL
6.601
2.821
halaman IV - 16
BABV
HASlL PENGEMBANGAN PROGRAM KONSOLIDASI
5.1 Formulasi Matematis
Model yang dikcmbangkan mcmpcrhitungkan pcrubahan tckanan ckses air pori setiap
saat, pcrubahan pcrmcabilitas dan angka pori. Drainasc 2 dimcnsi aksi-simctri untuk
vcrtikal drain.
Formulasi Tekanan Pori
Solusi konsolidasi dua dimcnsi dcngan kombinasi aliran vcrtikal dan radial dipcrolch
dcngan mcnambahkan asumsi-asumsi: aliran air pori radial diasumsikan kc arah drainasc
vcrtikal, smear di sisi drainasc vcrtikal diabaikan, kondisi tckanan air pori aw-al pada saat
pcmbcbanan diasumsikan sama untuk sctiap titik, cfck tcgangan gcscr hasil kcccpatan
pcnurunan yang bcrbeda scpanjang tanah diabaikan, hukum Darcy diasumsikan bcrlaku
untuk alimn radial dan pcnncabilitas arah vertikal dan radial diasumsikan sama.
Pcrsamaan dasar konsolidasi vcrtikal drain dua dimcnsi dapat dinyatakan sebagai : (Baron
1948)
(5-1)
dimana u = ckscs tekanan air pori
Fonnulasi beda hingga membutuhkan jaring yang konstan. Ini artinya jarak antar garis ke
arah vertikal dan ke arah lateral pada sistem koordinat harus tctap pada berbagai kondisi
dan waktu. Hal ini dapat dilakukan dengan mengadopsi sistem koordinat Lagrangian atau
reduksi. Sistem koordinat Lagrangian akan diadopsi karena sistem koordinat reduksi
membutuhkan transfonnasi lebih lanjut. Dengan cara ini perubahan data jaring tidak
dibutuhkan.
halaman V-1
Penuruna11 Konsolidasi Primer
Perubahan tegangan efektif setiap cycle akan sama dengan perubahan tekanan air pori
akibat konsolidasi:
(5-2)
tegangan efektif menjadi:
(5-3)
dengan memakai kurva Schmertmann, perubahan angka pon untuk setiap inkremen
waktu adalah:
kemudian penurunan dihitung dengan:
Perubaltan Permeabilitas
Ae As=----6-h
I+ ecn-t>t.t
(5-4)
(5-5)
(5-6)
Perubahan permeabilitas dinyatakan dalam hubungan tinier persamaan berikut (Tavenas
et. al, 1983 ):
l-v e- e0 = ckv log-
kv 0 (5-7)
dimana eo adalah angka pori awal, kv0 adalah koefisien permeabilitas vertikal pada
kondisi eo dan CL:v adaJah indeks permeabilitas.
halaman V-2
5.2 Formulasi Numcrik
Sebelum numerik persamaan diferensial (5-1) dilakukan dengan metode beda hingga
untuk kondisi batas yang sama metode ADI digabungkan untuk memperoleh hasil yang
efisien, stabil dan tepat. Grid komputasi dapat dilihat pada gambar berikut:
y
/ , ,
,"
,"
, , , i .. j-1
L\X L\X
1=1
y I I I
i+1 .. j
, , , ,
l I
.....
, ,
, , , ,
i-, .. j ....... ,;o{t;;..-.f!§.~~ i+, .. j
__L"l
, , ,
:;.y
\ y
/ , ,
X
,,'1 ~~-+-i .. j-1
t=n
Gambar 5.1 Grid Saulev
/
X
(5-8)
teknik modifikasi ADI menyelesaikan persamaan pada arah yang berganti-ganti untuk
setiap putaran waktu. Untuk putaran ganjil, tekanan air pori diselesaikan secara horisontal
dan putaran genap secara vertikal.
(5-9)
halaman V-3
(5-10)
(5-1 I)
c_t-..t '/ = &2 (5-12)
(5-13)
(5-14)
untuk putaran genap t+ 2 persamaannya adalah sebagai bcrikut
{u.-.-u .1 {(u""1 -2u.+u_1).,_, 1 (u"", -u) ,~ 1 1 h-~ 1-o Ji.j =CR I ~2 I 1- .. + R[i] I • Ill; J .. J+
(5-15)
(5-16)
V';.10 + r)- 0.5fU,,1.,-0.5;u,,1_1 },. 2 = {u .. 1( 1- 2a- /~i) - r) + u,.,,,( a + /~]) + au,_1_1 + 0.5:u,,J.1 + 0.5}fJ;,J-I J1 - 1+1
(5-17)
kedua persamaan putaran ganjil (n+ 1) dan putaran genap kalau digambarkan dalam bagan
dalam bentuk:
halaman V-4
Putaran Ganjil
@
0 0 0 0
Putaran Genap
@
0 0 0 @
0 0 0
@ r 0
0 1-
kedua pcrsamaan (5.14) dan (5.17) bersama-sama dengan persamaan pada kondisi batas
disusun kedalam persamaan simultan yang akan diselesaikan dengan metode matrik
tridiagonal.
5.3 Struktur Prognun
Dari bentuk dua persamaan dibentuk beda hingga di atas akan dibentuk program dengan
diagram alur di bawah ini:
haJaman V-5
r- - -- --- --l / MULAI 1 l_ ________ _j
! ,r------.,.
-------------------7 BACA INPUT / I
____ _y _____ _ ·.,
( Stage=1,n :> "------- ____ _./
</~Cycles=i1,i2 ~--, ............. _.,,.,/·"''
! ..,.
-------~-------~ I r ________ y ___________ _
! Initial Condition u(i,j,O)=uo L__ .--------
! t
--------- -------------- C I ----r-----------<.__ yc es >-----
1 ------- ----1 ------- ----y r- y_
I . i ; Lateral Nodes Matnks 1
I
Vertical Nodes Matriks ! ~,------J I I
l--------~---------
i I ,----- -------------·---------------, l I I .
! I Tridiagonal Solution untuk i i
·------, Mendapatkan ekses PWP r----!
,----------.. 1
Perhitungan angka pori
I ... Perhitungan Consolidation I
,/ L-----------~-"
Settlement i
Output > (-- Selesai )
''---------~--/
Gambar 5.2 Diagram alir program konsolidasi vertikal drain
halaman V-6
5.4 Contoh Masukan dan kcluaran
STUDIKASUS
q kN/m2
---.----I _ ... . __ l __ l_. _l_l __ l _ _ L_j __ _
H=8m
r-- - ------.. 4m
cv= 0.03 c. = 0.03 Cc = 0.5 Cs =0.5 Pc: = 100 kN/m2
gama = 18 kN/w q =50 kN/m2
e 0 = 0.3
{
I \
/
-...::y r._ ··l.o5 6_
I I \
' .....
~ g
-, ·. . --~
j---25~
\ I I I
a) Triangular Drai~ Pattern (b) Squcre Drain Fattern
halaman V- 7
:~square
:----&--- + .. J.a"'"'' ·'a'" : u ··~uo •
0.32
03\ 0.28 -~
·.: 0 c. l'l 0.25 -: ~ OJ c:: l'l;j :
0.24
0.22 ..
0.2
0 10
jGrafik angka pori vs waktul
20 30 waktu (hari)
40 50 60
-·---· ··--·-- ·-·-·---··-----------·--·-·--·--- -··------------------------------· -------1
~square 1 _._ triangular I
170
160 -N
E - 150 z .!11:: -140 ~ ;:; .!11:: I
.! I I I
Cl)
130 ~ t: (Q ' i C) ! .... I - 120 ~ (Q
Ol ! Q) t- I
110 ~ I
! !
100 '
0 10
!grafik tegangan efektif vs waktu I
20 30
waktu (hari) 40 50 60
.--------------------------------
1--+-square
1---- triangular
0
0.02
-E 0.03 !:: I'CI i c: 0.04 _J
I c ' :::::1 I
I c: I Q) 0.05 I _, 0. I
i I I
0.06 i .., I I I
0.07 !
.J
' i :
10
l Grafik penurunan vs waktu I waktu (hari)
20 30 40
0.08 _.. _______ - ------ -~------------
50
!-+-square I ! ___..:.... triangular [Grafik Tekanan ekses air pori vs waktuJ
60 1 I I
i I I
50
i 40 J
I N'
I
I E I - 30 -l z ~ I
I I
:::::1 i !
20 ~ I I I ; ;
10 ~ I
i I I I
0 !
0 10 20 30 waktu (hari)
40 50
----,
60
60
I
I :
-------- --- -------------· ·-------------'
0.3~
0.3-
0.29
0.28
0.27-·.:::: n c. 0.26
.i.l: 0 ~~ . g' -~0 -
CIS
0.24 '
0.23..:
0.22 ~
0.21 ~ jTipe triangular y = -0.2172ln{x) + 1.33081
0.2 .,..: -----,----
100
0.31
0.3
0.29.;
0.28.: '
0.27 ~ ~ ' Q. 0.26 ~ .. ' .X ! Cl 0.25 i c: ' ftl •
0.24 ~ I
0.23 ~ I
0.22 ~ I I
0.21 -l
110 120 130 140 150 150
t~gangan ~f~ktif (kN/m2)
jGrafik Tegangan efektif vs angka poriJ
I ripe square y = -0.2171Ln(x) + 1.33071
170
----,
0.2 ~1 ---~---o---~--~---~--~---~--~ 100 110 120 130 140 150 160 170 160
Tegangan efektif {kNim2)
_._51 =3m -o-S2 =4 m -ir-53 =Sm
0 10
Grafik Penurunan vs Waktu (T ,.; :mgular)
20 Waktu (hari)
30 40 50 50
on---------~--------~--------~------~~------~--------~
J 0.01 I 0,021
f 0,031 ~ 0,().4 ~
i 0.. 0,05
0,06
0,07
0.~~---------------------------------------------------------J
Ket Grafik Peruman vs Waldu dengan variasi jarak antara tiang sand drain
-+-51 • 3m -G-S2•4m """"''!!r-S3 • 5 m
. • 60 r
N' 50 E z
~ "1: 0
.w 0. ... Ci 30 1ft : .X w c: 20 .. c: .. ~ 10 G ...
0 0
Grafik Tekanan Ekses Air Pori vs Waktu (Triangular)
10 20 30
Waktu (Hart) 50
Ket: Grafik Tekanan Ekses IW Pori vs Waldu dengan variasi jarak anlar tiang sand drain
60
-+-rw1 • 0,15 m --fr-~ .. 0,20 m -lr-rw3 = 0,25 m ~rw4=0,30m
0,01
0,02
:[ 0,03 c .. c 0,1).4 :s .. :I c: C,05 Ql ~
0,06
0,07
0,08
10
Grat;k Penurunan vs Waktu (Triangular)
20 Waktu (hari)
30 40 50
Ket Grafik Penurunan vs Waktu dengan variasl jari-jari sand drain
-+-rw1 • 0,15 m -c-rw:z • 0,20 m 1 -lr-rw3 • 0,25 m --*-rw-4 • 0,30 m
60
N" .§50 z ~ "C 40 0 a. ... < 30 "' • • Jilt,
"' 20 c .. c • 10 .Ill:
~ 0
0 10
Grafii( Tekanan Ekses Air Pori vs Waktu (Triangular) . .
20 30 40 50 Waktu (hari)
Ket: Grafitt T ekanao Ekses IW Pori vs Wak1u dengan variasi Jari-:lari sand chin
60
60
-+-r·u1,. C,15 m -o-rw2,. 0,20 m -b-rw3 • 0,25 m -M-rw4 = 0,30 m
0
0
0,01
0,02
E o.o3 c: .. 2 0,04
! :. 0,05
0,06
0,07
0,08
10
Grafik Penurunan vs Waktu (Square)
20 Waktu (han)
30 40 50
Ket Grafik Peruunan vs Waktu dengan variasi jari-jari sand drain
_.,_rw1 • 0,15 m -D-rw2 • 0,20m --6--rw3 • 0,25 m -w-rw4 -= 0,30 m
Grafik Tekanan Ej(ses Air Pori vs Waktu (Square)
I I
60
60r-----------------------------------------------------~
- 5n ~ ... ..IIC :c 40 0
Q. ... :c30 .. : ~
w20
1 {!!. 10 ... a I I I I
I I I I 0+-------~--------~----------------~------~--------~
0 10 20 30 Waktu (han)
40
KerGrafik Tekanan Ekses N Pori vs Waktu dengan variasi jari-jari sand drain
50 60
-+-S1 "'3m -D-S2•4m i ----A- S3 • 5 ~
0
0
0.01
0,02
:[ 0,03 c • c 0,().4 2 :II c 0,05 Gl Q,.
0,06
0,07
0,08
10
Grafik Penurunan vs Waktu (Square)
20 Waktu (hari)
30 40 50
Ket Grafik PenuN18n vs Waktu dengan variasi jarak antar tiang sand drain
-+-S1 •3m -D-S2•4m -~t.-e3 .. 5 m
~:r E z ::!. 1: 40 0 Q,. L.
C( .. 30
• .. ~ w 20 c ~ ~ 10 • t-
0 0 10
Grafik Tekanan Ekses Air Pori vs Waktu (Square)
-----------------
20 30 Waktu (hart)
40 50
Ket Grafik T ekanan Ekses IW Pori vs Waktu dengao variasl jarak antara tiang sand drai1
60
60
6.1 Kcsimpu!an
BAB VI
KESI.MPl!LAN DA:\ SARAN
• Penelitian ini telah menghasilkan paket program dinding penahan tanah (retaining
wal!) yang bersifat mudah digunakan (user friendly) sehingga dengan cepat dapat
dimengerti o!eh pengguna.
• Program konsnlidasi vertikal drain mencakup karakteristik :
• Drainase dua dimensi arah vertikal dan radial.
• Effek smear diabaikan pada sekitar daerah vertikal drain.
• Permeabilitas pada saat pembebanan dianggap konstan.
• Diperuntukan hanya untuk analisa satu lapis.
• Menurut model numerik yang dikembangkan, jarak drainase yang Jebih dekat tidak
selalu lebih efektif
• Metoda yang mengkombinasikan metoda beda hingga eksplisit dan implisit
men1!hasilkan suatu solusi yang stabil dan konvergen. _. - - -
6.2. Saran
• Pembuatan manual program.
• Program konsolidasi dibuat dalam lingkungan windows supaya mudah digunakan.
• Untuk menyempumakan program dinding penahan tanah harus memasukan faktor
gempa, menambah variasi material misalnya geotekstail yang banyak diaplikasikan
diluar terutama di jalan-jalan toll serta disain tulangan beton.
• Uji coba penerapan program dan validasi pada pada kasus-kasus nyata.
• Uji parametrik untuk melihat pengaruh berbagai parameter pada efektifitas vertikal
drain.
DAI'IAR PUSTAKA
1. A.S. Bala Subramanian & R. Peter B. Renner, 1981, Consolidation & Settlement of Soft
Clay, Development in Geotechnical Engineering , Asia-Institute of Tehnology,
Bangkok, Thailand.
2. Allada, S.R., and D. Quon, 1966 : A stable, Explicit numerical solution of the
conduction equation for multi dimensionaal non-homogenous media, Eng. Prog.
3. Borland, 1996, Visual Delphi, Borland International Inc., Scotts Valley, USA.
4. BMS, 1992, Design of Retaining Wall, Directoral General of Highways, Indonesia.
5. Braja M DAS, 1984, Principles of Foundation Engineering, Boston, Second Edition.
6. Braja M. DAS, 1983, Advanced Soil Mechanics, Me Graw Hill, New York.
7. Barkat, H.Z, and J.A. Clark, 1966 : On the solution of the diffusion equation by
numerical method, J. Heat Transfer Trans. ASME, ser. C, vol. 88,pp.
8. Crank,J. and Nicolson, P.(l947). A practical method for numerical evaluation of
svlu!ion of parliCll differential equaticr.s cf the hcct conduction type. ::>roc. Carnl1. :Phil
Soc 43.
9. Chandrakant S. Desai and John T. Christian, 1978, Introduction numerical method and
special topics, Numerical Method In Geotechnical Engineering.
I 0. G.D. Smith, 1984, Numerical Solution of Partial Differential Equation:;: Finite
DijJerence Methods, Oxford Applied Mathematics and Computing Science Series,
Third Edition.
11. Jogiyanto HM,l988, Bahasa Pascal, Penerbit Ardi Offset, Yogyakarta.
12. Joseph E. Bowles, 1988, Analysis and Design Foundation, Me Graw Hill, Inc.
13. Larkin, B. K,1964: Some stable explisit difference approximations to the diffusion
Equation, Math comput, vol. 18,.
14. Nagaraj, T.S, Murthy, B.R.S., Vatsa1a, A dan Joshi, R.C., 1990, Analysis of
Compressibility of Sensitive Soils, Journal of The Geotechnical engineering Division,
ASCE,116(1):105-117.
15. Peacemen. D.W. and H. H. Rachford, 1955: The numerical solution of parabolic and
elliptic differential equations, J. Soc. Ind appl. Math.
16. RT Murray, 1978, Development in Two and Three Dimensional Consolidation Theory,
Developments in Soil Mecban.ics-1, London,4:103-146.
17. ST AAD III, 1996, Structural Analysis and Design, Computer Programs of Research
Engineers Inc. (REP).
18. Terzaghi, K., 1943, Theoretical Soil Mechanics, Wiley, New York.
I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
Contoh Ke1uaran Program PUSJALKONDRAIN Data input diambil dari studi kasus yang tertera di bab V untuk Tipe square
u Slg.:.; - z~ttlerrt~nt ---,~~, _____________ ,,,,,, _____ ~-----------------------------------[11110] 50.00000 2 8 . 8 (; '~· ~ .~! o. 300C•( :: ,:, o r:•o 0 . (o:) 0 0 0 0 0 0 0 0 C· [11210] 50.00000 2 8 • 8 0 c ~- ~:.: 0. 3000C< 0000 0. 0000(100000(' [11310] 50.00000 28. soc·>} 0. 3000C ./10('0 0. 000000001)(11:• [21110) 50.00000 57. 60(<(·!:1 0. 30000~'1)000 0.00000000000 [21210] 50.00000 57. 60<>:<· 0. 3000C<C•OOO 0.00000000000 [21310] 50.00000 57. 600::;:) 0. 30000(J0000 0.00000000000 [31110] 50.00000 t:6. 4 00:~ l) 0. 30000·j0000 0. 0000000000(1 [ 2121 0 l 50.00000 :::6.40·>:~, 0. 30001/0000 O.OOC'OOOOOOOO [ 31 31 0 l 50.00000 ::: 6 . 4 0 (; ::: ::i 0. 30000·: (;;)(i(l 0 . (: 0 I) 0 0 0 0 0 0 0 1) [ 4 1 1 1 0 l 50.00000 11 5 . 2 0 ::r::::• 0. 3 0000 =·•:il)i}O 0.00000000000 [ 4 1:::1 0 l so. 1)1)000 115. 200.:< 0. 300•)C~.:):JUO 0. 0(•000000000 [ 4 1 31 0 l 50.00000 115. 200•:·(· 0. 30000( 0(100 0.00000000000 , __ , _________________ ,,, __________ ,, ____________ , _______ , __________
[ 11 11 3] 40.75763 38.04221 0.239562~~97 0.0~416948891
[ 1121 3] 45.29313 33.50•5::-:- 0.26712~21SO 0.05280246173 [11313) 45.60549 33.1945:.. 0.2691621300 0.05901040570 [2 1 11 3] 44.77509 62.824~:.. 0.2811452170 0.00677161079 [21213] 49.60927 57.99(!2 0.298531?435 0 . 0 (l 47 512711 5 [21313] -. 49.94220 57.6570:. :· 0.299782.=:054 0. 00(:40158215 [311,3) 44.77509 91. 62~ ~::. 0. 28725(' (1?96 0. 01271l! 41253 [31?13~ 49.60927 B6. 79(C":... 0. 29902(·:.. 9?.7 0.007SS733099 [3,3,3] 49.94220 86.457t: 0.299851;1793 0. 00~:4 854 6914 [ 4 1 11 3] 33.95391 131.240C~· 0.271683:569 0.019252539% [41213] 41.11178 124.08822 0.28386('.?568 0.01948612201 [413,3) 42.63056 122.5694; 0.2865351354 0 .. 02014 936905 __________________________________ ,~ ___________ , ___________________
[11116) 33.92102 44.87898 o.20367n4oo 0.06682763799 [11216] 37.97390 40.82610 0.2242273148 0.06662229892 [11316] 37.40402 41.3959e 0.221217::.754 0.06947431329 [21116] 43.16294 64.43706 0. 27564:.3833 0.02828105295 [2,216) 48.56910 59.03090 0.2946715357 0. 01398587639 [2,3,6] 48 .. 10087 59.4991?. 0.2929559199 0.01334369233 [311,6] 40.31083 96.08917 0.2769196394 0.03107773235 [3,216] 47.12003 89.27997 0. 2928798623 0. 01769155126 [3,31 6] 47.15311 89.2468'? 0.2929603356 0.01484117620 [41116] 24.15044 141.04 9S6 0.2560403682 0.03013589473 [412,6] 31.72636 133.4736~ 0.2680284826 0.02888052212 [41316] 33.03242 132.16758 0.2701637730 0.02796902191
------------------------------~------------------------------------[111,9] [11219) [11319] [21 1, 9] [21 21 9] [21319] [31119] [31219] [31319] [411,9] [41219] [413,9]
[1,1112) [112112]
30.03060 35.78952 35.72807 37.82047 46.48985 46.98465 33.48969 43.65558 44.99394 18.34705 26.95235 29.09921
26.59821 31.84493
-----~-- ----' -- --- -- ··--
48.76940 0 .1856225225· 0.08563953246 43.01048 0.2129090957 0.09048805117 43.07193 0.2125990733 0.09699573721 69.77953 0. 25834 7.:2308 0.04141232822 61.11015 0.2871545700 0.02672690281 60.61535 0.2889199352 0.02834766034
102.91031 0.2620274325 0.04309847820 92.74442 0.2846129670 0.02930626638 91.40606 0.2877693707 0.02719544848
146.85295 0.2472849039 0.03659995020 138.24765 0.2603973548 0.03690694979 136.10079 0.2637959191 0.03689846110
52.20179 0.1708535358 0.09978054938 46.95507 0.1938550128 0.09940339740
[1,3.12] 31.14446 47.65554 0.1906395362 0.10202022445 [2, 1, 12] 3~.31024 73.28976 0.2476895847 0.05753028136 [2,2,12] 43.49167 64.10833 0.276751!0042 0.03825305663 [2,3,12] 43.47374 64.12626 0.2766932991 0.03515805118 [3, 1, L:) 2:::.74707 107.65293 0.2522439482 0.05422881455 [~:,:?,1:2] 3?.:·1240 96.:::8/60 0. 27S1227622 0. 039064 09E:t:8 [~·,".:,1.::] ~ ::•. 6S.::l7 95.7~7:::3 0.2776924094 0.03408661663 [;, 1, L] l ~ . c: (, 7 4 ~; 15(!.::. 925 7 0.2~21130457 0.04184572117 [4,2,12] 22.76596 142.43404 0.2539193376 0.04265771524 [4,3,12] 24.50127 14(•. 69873 I). 256581143::3 0.04179328514
[1,1,15] 23.86768 54.9.:;;232 0.1597822562 0.11360461314 [1,2,15] 30.27008 48.52992 0.1866914361 0.115924 98329 [1,3,15] 30.24648 4E:.: .. 5352 0.1865858627 0.12058115174 [~, 1, l:}] 29.78391 77.t:l60S· 0.2346765331 0.06894002766 [:,2,1:·] 40.64632 66 .. ~526::: 0.2673240193 0.05158819040 r '"':• ":• 1 r: ., t...:.. I J I .... .._.• J 41 .. 80296 65. 7~·-;'(1~ 0.2711080635 0.05034565906 ~~:,1,1~) 24.179')"! 112 . 2 2 (1 0 3 0. 24 322::.67S/ 0.06210771547 [3,2,15) -:· c: r.oc-:. c:
...) ~. 0 ·-· J J..) l00.5H65 0. 2671421878 0.04852118268 [3,3,15] 38 .. 13168 98.26:332 0.2720501093 0.04465546993 [.:;,1,1:·] 11.88079 153.21921 0.2379279550 0.04502206605 [~,.:::,15] 19.69161 145.500::39 0. 24 92822179 0.04697273669 {a; 1 ~ t 15] .:::1.91349 143.2:::(:51 0. 2526235"899 0.04682043088
[l,l,H:] :21.06940 57.72060 0.14 89931987 0.12368237346 [1,2,18) 27.24173 51. 55~:~7 0.1735470787 0.12365371090 [l,.;;,H:J :::6.83316 51. 96~384 0.1718330775 0.12458946769 [:::,1,1:3] 26.40526 81.19474 0.22544'72942 0.07987724290 [2,2,18) 37.19916 70.40084 0.2564223265 0.06221416165 [2,3,18) 37.93922 69.66(i78 0.2587170887 0.05732006267 [3,1,18] 20. 832411 115.56756 0.2368389031 0.06897196753 [3,2,18] 32.211496 104.15504 0.2594167310 0. 05644 839237 [3,3,18] 3'4.15063 102.24937 0.2634265521 0~05079250808 [4,1,18] 10 .'08252 155.11748 0.2353958698 0.04802446742 [4,2,18] 17.34478 14 7. 85522 0.2458079086 0.05097989442 [4,3,18] 19.21328 145.98672 0.2485695600 0.05036978945
--------~----------------------------------------------------------[1,1,21] 18.94055 59.85945 0.1411298753 0.13460765122 [1,2,21] 25.75330 53.04670 0.1673670576 0.13705427457 [1,3,21] 26.,'05805 52.74195 0.1686181589 0.13939899227 [2,1,21] 23.03944 81!.56056 0. 2166273111 0.08853794686 [2,2,21] 34.32230 73.27770 0.2477253193 0.07362785232 [2,3,21] 36.07961 71.52039 0.2529963157 0. 0704 9083141 [3,1,21] 17.84115 118.55885 0.2312898883 0. 07 4'27 61554 4 [3,2,21] 29.09274 107.30726 0.2529423263 0.06362570552 [3,3,21] 31.75967 104.64 033 0.2584073297 0.05912964776 [4,1,21] 8.36565 156.83435 0.233005638? 0.04992108817 [4,2,21] 15. 13358 150.06642 0.2425844810 0. 05372214021 [4,3,21] 17.27608 147.92392 0.2457070383 0.05367466648
-------------------------------------------------------------------[1,1,24] 16.55010 62.24990 0.1326269152 0.14172659614 [1,2,24) 23.08623 55.71377 0.1567149549 0.14387036309 [1,3,24] 23.12235 55.67765 0.1568558119 0.14325712953 [2,1,24) 20.27642 87.32358 0.2096454827 0.09593601149 [2,2,24] 31.10684 76.49316 0.2383999533 0.08251668656 [2,3,24] 32.45109 75.14891 0.2422499054 0.07690682916 [3,1,24] 15.47839 120.92161 0.2270049074 0.07871166596 [3,2,24] 26.15946 110.24054 0.2470862031 0.06986035210 [3,3,24] 28.431110 107.96860 0.2516081349 0.06433141471 [4,1,24] 7.27144 157.92856 0. 2314 959001 0. 05181122737 [4,2,24] 13.60166 151.59834 0.2403790148 0.05669829279
--------·-- ----- - ----· - - . ---- -- - --- ----- ---- - ----·-- - - --.-- -----r
[413124] 15.45097 149.74903 0.2430442296 0.05643898311
[111127] 14. 94 04:?. 63.85957 0.1270832527 0.15022263812 [112127] 21. 6731?. 57.12687 0.1512760127 0.15491924893 [115127] 2~ .. ~·2521 S•S. 47479 0.15376139393 0.15SS4199456 [2111:=:7] 1 7 . ::: ,; ::: s ;) 89. 7::',144 o . 2 c· 3 6 s o 5 2 e 4 () .1 024 037039i [2,2,27j ~ ::; .. :, !) ~:. ? 4 7 ·~: .. ~~ · s; ~s (1 r:. 0.~31.1~;38200 0.09174214%::: [2131.27] .:;.;:; . ()ti991 7 ·~ . ~ ? ~~l 0 ~! 0 .. ~::.6~~~C:2GO 0.0877580552? [ 31 1127] u. 4 6:::ss 12.2.~3145 0 . .:::;:::::.4253610 0. 0824 5139667 [3,2127] 2~.54773 112.::::.227 0.2420017308 0.07531365982 [313127] 26.29833 110.10167 0.2473599243 0.07084456769 [ 4 1 11 27] 6.17416 159.02584 I). 2299923945 0.05307644-HS [412127] 11.92275 153.27725 0. 2379:::73871 0.05861881309 [4,3,27] 13.90735 151.29265 (1. 2 4 0 ~: 172187 0.05881544813
[111130j 12.97004 6:.· .. ;:::.. 9 9 6 (1 • l 2 (; 4 8 4 4 5 8 6 0.15523160778 [112130] 19.31679 59.~::: 321 0.1424990390 0.16071075165 [11313•)] lS~. i300(; 59 .. 06S'S~2 ;).lli40l30532 0.15921961701 [211130] 15.67265 91.92/35 0.1984888780 0.10750065017 [212130] 25.71348 81. C::3652 0.2236050306 0. 098924/i 5611 [213130] 27.40717 80.19283 0.2281434583 0.09337724361 [311130] 11. 7 4 9 r)4 124. 65096 0.2204090571 0. 0854424 0156 [312130] 21 . .21410 115.1(:590 0. 2375572052 0.08020278920 [313130] 23.57362 112. :::~63::: 1) • 2 4 2 0 515 4 2 5 0.07518555664 [411130] 5.435LJ~ 159.76458 0. 22 89::::.9 8 64 0.05434230493 [412131)] 1 (1. :::::.:~~ ~·~ 154. ::·7c,.:,::; 0.:=:3644.38308 0.06090348964 [41.3131)] 12. 56t:(J6 152.6~:194 0.:=:389035290 O.OG103816362
----------------·--------------------------·-··--·-----------------[111133] 11. 778t::3 67.02112 0.1105~•03946 0.16178320687 [112133] 1C:.0393S 60.76065 0. 137C:t:502C:3 0.16971579454 [113133] 18.92552 59.:::7Ll48 0.1410753718 0.16938461122 [211133] 13.92190 93.67810 0.1943922160 0.11237020818 [212133] 23.47255 84.12745 0.2177423851 0.10626161969 [213133] 25.69161 81.90839 0.2235470369 0.10216127284 [311133] 10.35714 126.04286 0.2179977530 0.08818106760 [312133] 19.08200 117.31800 0.2335745453 0.08440273881 [3,3,33] 21.71867 114. 6B133 0.2385105188 0. 08030511789 [411133] 4. 69316 160.50684 0. 2279794 734 0.05524501749 [412133] 9.51930 155.68070 0.2346088527 0.06232635462 [413133] 111'30502 153.89498 0. 237114 0069 0. 06283526717
~--------~---------------------------------------------------------[111136] 10.19215 68.60785 0.1115093277 0.16533830292 [112136] 16.00592 62.79408 0.1307368801 0.17449734666 [113136] 16.65819 62.14181 0.1330042883 0.17273937629 [211136] 12.21971 95.38029 0.1904819221 0.11596410366 [212,36] 21.12322 86.47678 0.2117614800 0.11199431659 [213136] 22.94566 84.65434 0.2163866193 0.10695356571 [311136] 9.06969 127.33031 0. 2157909747 0.09027115554 [312136] 17.21966 119.18034 0.2301545641 0.08825296947 [3131 36] 19.49500 116.90500 0.2343403334 0.08390520185 [411136] 4.16174 161.03826 0.2272617070 0. 05613114629 [412136] 8.69763 156.50237 0.2334657842 0.06411381732 [413136] 10.27629 154.92371 0.2356672927 0. 064 64764 852
-------------------------------------------------------------------[111139] 9.31453 69.48547 0.1087492528 0.17039719086 [112139] 14.89618 63.90382 0.1269328413 0.18176365645 [113139] 15.88771 62.91229 0.1303284889 0.18107402385 [211,39] 10.94383 96.65617 0.1875964456 0.11967799244 [212139] 19.24188 88.35812 0.2070880057 0.11781287628 [213139] 21.40568 86.19432 0.2124719150 0.11402362193 [311139] 8.07846 128.32154 0.2141070942 0.09233403692
'.
[3,2,~~9]
[3,3,39] [ 4 , 1, 3 9] [4,2,39] [ ~ , 3,2·9]
[ l, 1, 4.:: J
[1,:,.;::~
[1,3,~2]
[.2,1,42] [::,2,42} [2,3,4~]
[3,1,42] [3,2,42] [~,:-,42]
[4,1,4:::]
[1,1,45) [1,2,~5] r i :· ' c 1 l - I _.. t ":: ...J J
[2,1,4~~]
[~,2,45]
[2,3,4S] r :: 1, 4 5] ' - , r -:· .-. " c. , l _.. , .:._ , ":1: ....... J
[~-,::~,~5j
[4,1,4S] [4,2,45] [4,::;,45]
15.48723 17.90473 3.63849 7.65985 9.~3214
::; • i)4 8~7 12.17726 1.?·. 9412-2 9.60857 17.29263 19.08872 7.09300 13.99258 16. o:::795 3.24(14::: 7. 1)2 320 8.42119
7.39856 12.23780 13.23569 :::.66517 15.73456 17.74084 6. 36962 1:=:. 5t:656 14.73802 2.t:5982 6.19346 7.55521
12 ~·. s; 1211 11.: . ~ 9527 16:.. 50151 1 c-.L. .J ! • :·401S 1:,; : . . :? ~s; s 6
9(·.30737 c:~:-.511~:3
12~,. 30700 122.40742 12( . .::1205 161 .. ~~595::
156.-:-7331
71.~0144
66.56220 65.56431 %.93483 91.:::6544 t:S. ::,:.916
13 0 . ::: ~: 0 3 8 123.C:l344 12 : .. : c 1 ~.::: 162.~.;(118
159.:)0654 157.64479
0.2270207853 0.0915314~723
0.2314063616 1) • (j 8 7 9 6 3 4 4 8 8 0 0.2265572924 0.056303.:27800 0.2320306180 o. 0652ono9 H (.1. ::34 20:::6:3.:.:7 0. 06604 6899(:.(;
0.1048298~11 O.l729593380E 0.121!(90608 0.18564810049 0.1237121840 0.18402363651 0.1846171~33 0.12227137814 0.2023496458 0.12237388982 0~2067119322 0.11804579320 0.2124458471 0.09383833929 0.2243530045 0.09458030645 0.2281023084 0.09093848171 0.2260229974 0.05744463911 0.2311548472 0.0666196039E 0.23JOS2552l 0.06753351414
0.1028427505 0.17688877257 0.1180823991 0.19148189336 0 .121362~ 975 0.19080963713 0.1825366354 0.12~·13969687
0.1986351723 0.1269957058::: 0.2034300700 0.12372931132 (1.2112~:4441:::7 0. 09~·42440t:4t: 0. ::.21 :::729C: o:.. 0. 0971672:::179 0. 2.=:567?L41 0. 0941788f;961 (1. 225:·1323~-4 0.05795925676 0.2300187398 0. 06747333635 0.2318:::64317 0.06364246401
-------------------------------------------------------------------[1,1,48] [1,2,48] [1,3,48] [2,1,48] [2,2,48] [2,3,48] [3,1,48] [3,2,48] [3,3,48] [4,1,48] [4,2,48] [4,3,48]
[1,1,51] [1,2,51] [1,3,51] [2,1,51] [2,2,51] [2,3,51] [3,1,51] [3,2,51) [3,3,51) [4,1,51] [4,2,51) [4,3,51]
[1,1,54] [1,2,54) [1,3,54]
6. 39119 10.80507 11.58934 7.61198 14.12968 15.80518 5.60282 11:38108
I
13.25151 2.55375 5.69073 6.90608
5.90395 10.02222 10.96384 6.90367 12.84909 14.64645 5.06368 10.23986 12.11444 2.26993 5.02331 6.18782
5.10087 8. 83864 9.58634
72.40881 67.99493 67.21066 99.98802 93.47032 91.79482
130.79718 125.01892 123.14849 162.64625 159.50927 158.29392
72.89605 68.77778 67.83616
100.69633 94.75091 92.95355
131.33632 126.16014 124.28556 162.93007 160.17669 159.01218
73.69913 69.96136 69.21366
,.
0.0998005411 0.1134579765 0.1159771593 0.1802372553 0.1948743841 0.1988021476 0.2099576780 0.2197690018 0.2230423300 0.2251042152 0.2293332800 0.2309941272
0. 0983442341 0.110972178.7 0.113965604 4 0.1787044290 0.1919195379 0.1960782585 0.2090644576 0.2177957913 0.2210465341 0.2247256140 0.2284265808 0. 2300110385
0.0959650515 0.1072671334 0.1096003504
·--·-- ·-·-- -- L
0.17876799495 0.19461340785 0.19333751176 0.12705143872 0.13062692008 0.12707075811 0.09653395225 0.09959421598 0.09663084523 0.05843564375 0.06860302699 0.06986454118
0.18184252559 0.19928984925 0.19883980992 0.12929101837 0.13430946736 0.13164218407 0.09777182156 0.10165230772 0.09923257595 0. 05883711552 0.06928064332 0.07075319967
0.183244 95701 0.20180701039 0.20096963675
[2,1,54] 6.06806 101.53194 0.176909909? 0.13072703973 [2,2,54] 11.53336 96.06664 0.1889249401 0.13720700582 [2,3,54] 13.04005 94.55995 0.1923576214 0.13439952290 [3,1,54] 4. 4 5977 131.94 023 0.2080682~66 0.09860695197 [3,2,~·4] 9.26403 127.13597 0. 21612264 62 0 .1(13':' .. 929155~ [3,3,5~] 1 (l C:9707 125.50293 0.218929:?370 0. h'l 2H:94 058 [~,1,54] ::. 03(J~.6 162. E·%~ (i. ~:4 4 o ·~=-· s::;4 I) • 1) ~· ~~ 1 9 8 2 5 61 :.: [~,2,54] 4.62156 160.57(:44 I) .. .::::~78(;~,~~24 I). 071} H:7 ~ 72~ 3 [4,3,5.;) 5.66343 159.53657 0.2292961127 0.07175817659
[1,1,57] ~. 73130 74.06870 0. 094 87t:~:8 69 0.185667915B6 [1,2,57] 8.19244 7(1 • 60756 0 .1052706!190 0.20555764690 [1,3,57] 9.04452 69.75548 0.1079070723 0.20542239767 [2,1,57] 5.52851 102.07149 0.1757590053 0.13249159712 [:."::,2,57] 10.485:24 97.11476 0.18656:36223 0.14015106232 [2,3,57] 12.05690 95.54310 0.1901115796 0.13808108973 [3,1,57] 4.05073 132.34927 0 . .20739609~0 0.09958376339 [3,2,57j 8.33721 128.06279 0. 211!5~ 53995 (•.l-0524021336 [3,3,5/] = 9.94531 126.451!69 0.2172893929 0.10334630653 [4,1,51] 1.81456 163.33544 0.22~1195685 0.05951550721 [4,2,57] 1!.08250 161.11750 0.2271548776 0.07073018191 [4,3,57] r: J.
- .. •··. -·----·-- ---- ---·- --- ----· . -- -,.
Contoh Keluaran Program PUSJALKONDRAIN Data input diambil dari studi kasus yang tertera di bab V ~•tuk Tipe triangular
u ~ l·;-2g .=., ::; -2 t t 1-s;-:-.-= :·.-::.
---~-~··--~---~~ ~-- ~-· ·- ·~·····~·~·- -- -~·---------~------~-----· -~-[ 1, 1, 0 J 50 . 00000 :::.: . (;:1) 000 () • :: I) 0 0 0 0 0 () I) :) 0 . 0 () !) !) 0 0 0 1: .; ~· (j
[ 1, 2 , 0 J 50.00000 :=. .::. ;::oooo 0. 300000000(J 0 . 0 0 (J I) I) 0 0 (i •:: •:. !) [1, 3, 0] 50.00000 :::::: . :?. 0000 0 . 3000000 00(• 0 . OOC•O OOO G :..:.o [2,1, 0] 50 . 00000 5 I . 1)1)!) 0 0 0.300000000 0 o. ooc-ooooo:;oo [2,2,0) 50.00000 57.0:,;)000 0 . 30000000 (;(; 0 . 0 I) I) 0 0 0 0 () (i :j 0 [2 , 3, 0) 5 0 .0000 0 5-:-. 6('1)1)0 :) . 30000000 0::· 0 . 0 0 (d) 0 0 0 0 ::' :j 0 [ 3 , 1 , 0! 50.00 000 .::;) . ~ :)000 (: . 30000000 0Cs (I • 0 0 (o 0 0 0 0 0 r; C• 0 [.3 , 2 , 0] 50 . 001)00 ::. •;; . 41):)00 0 . 3:)000000:} 0 0. OO OO OOO CVCi [ 3 I 3 , C•} 5 () . 0 0 0 0 () ;:: .5 . 4 (t(iQ(i ( i . 30000000(:0 0 . OOOOOOOOC•GO [ 1! ' l, 0 l 50.00000 lE- . :2 000 0 0 . 3000000000 0 .00000000 000 [4, 2,0] 50.00000 11 5 . 20:)00 0.3000000000 0 .00000000000 [4,3,0] 50.00000 11 5 .20000 0 .3000000000 0 .0000000000 0
-~~~· ~-~·---------~--·-·---~··~~~·-~-- ~ --~-------·~~-~----~----- · ·-[ 1, 1 ~ 3 J 39 .65399 3·:- .14601 0 . 2333524 71.7 0 . 04558649:!..;::. [1,2,3) 44.486.::: 3 :7;4 . 31377 0.2619620369 0 . 05620 1528~ =· [ 1' 3,::; J 44.86151 33. 9 ~~: 49 0. 264 34 996:·6 0.06257285~~5
[2 , 1, 3) 44.28714 63 . 31286 0 . 279465269~ 0.00776724637 [2,2,3] 49 . 5120 6 :, :;:. OE:794 0 .2931682573 0. 00610585i:Sl. [2, 3 , 3] 49 . 91783 57 .6t:217 0 . 2996904521 0 . 00?7337 '?;.::2 [3,1,3] 44 . 28714 sl:.ll286 0 . 2860967335 1) . 0157686752~ [3, 2 , 3] 49.51206 f:C 8:::794 0.298777123 0 0 .009895732(5 [3, 3, 3] 49.91783 86 .4 8217 0.2997935857 0 . 010349233 0:) [4,1, 3] 31. 92297 133.27703 0.2683485900 0 . 01951321760 [4,2,3] 39.62503 125.57497 0.2812746988 0.02064452548 [4,3,3] 41.36988 123.830 12 0.2843130959 0. 02H2828374 --~-~-_, _____________________ ,, ____________________ , ____________ , __
[1,1,6) 32.37354 46.42646 0. 1963134474 0. 06711087275 [1,2,6] 36 . 45561 42.34439 0.2162982951 0 . 06934439092 [1,3,6] 35.90828 42.89172 0.2135095173 0.07240326009 [2,1,6) 42.42.010 65. 17990 0. 2731543817 0.03189891225 [2,2,6) 48.16969 59.43031 0 . 2932072489 0.01768930108 [2,3,6] 47.77827 59.82173 0. 291781744 3 0~01644621039 [3,1,6] 38.68879 97.71121 0.2732846849 0.03545910460 [3,2,6) 46.23457 90.16543 0.2907368407 0 .022111794 81 [3,3,6 ] 46.50323 89.89677 0. 291384 8339 0.01848689449 [4,1,6) 21.82802 143 . 37198 0.2524941007 0.02993609940 [4,2,6] 29.54043 135 . 65957 0.2645010219 0. 03018662769 [4,3,6] 31.03252 134.16748 0.2669026154 ·0.02953351954
-------------------------------------------------------------------[1 , 1, 9) 28.57468 50 . 22532 0.1792348845 0.08619514476 [1,2,9] 34.30790 44.49210 0.2055547986 0.09314254526 [1,3,9] 34.28134 44.51866 0 . 2054251883 0.09958329154 [2,1,9) 36.33168 71.26832 0.2537629779 0. 04 725698581 [2,2,9) 45.53074 62.06926 0.2837729586 0. 03329111439 [2,3,9] 46 . 24770 61 . 35230 0.2862958306 0 . 03408737854 [3,1,9) 31.22459 105 . 17541 0 . 2572997738 0.04818717391 [3,2,9] 41.99480 94.40520 0 . 2807589146 0.03530069845 [3,3,9] 43 . 70597 92.69403 0.2847309949 0.03244379730 [4,1,9] 16.19765 14 9. 00235 0.2441296856 0.03576228513 [4,2,9] 24.61701 140.58299 0.2567598551 0 . 03768426916
[41319) .26.89561 138.30439 0.2603082615 0.03795367603
[ 11 11 12) .:::5.00888 :.3. 79112 1) . 164 3q 093C i) . 10057125036 [ 11 ::: 1 12] ~ : .. 25951 48.54049 0. H .:=;.:=;4 417 ::;;; (1. 10227280992 [ 1' ·. 12) .- 62716 49. 1., --:• -=· .'1 i) • l ::: .:~ 8 3 3 G 0 C: .: 0. 1046(;151250 ,;,I -- I .t... '-' '::
[ :.:: I 1 12] --. 11942 7:, .. 4 :3o:..;:: 0 .. 2.;:!.29362SS 0. 06390985510 ~I
[::,2, 1 ~., -~ J ., :...77680 65.8.23:0 1:• . 2 ! ::. 0 2 1 7 4 7 ~· 0. 04 650966975
[: t 3 1 12) ~.:::.04402 65. 5559(: 0.271905072~ 0. 0425.'170754 6 [ 31 ll 12) ;:..::.085E:1 110.31419 1).246'?41172: 0.05902998952 [3,2, 12] ..:. ; . 18591 99.2141)9 0. 26997018::0:~ 0.04583925810 [3131 12] ~~ .. 71120 97. 688:::(! 0.273334482~ 0.04038948250 [ 4 1 11 12) 2.2.97408 152.2~502 0.2204C:193'S~ lj. 04 064 777985 [ 4 I 2 I 12) ~ 65215 14 4 .547;:;:,. (i • ~ s (•7 2 0 4 ~ (:::: 0.04337923920 - . [ 4 ' 12) - - :.oo<?~ 142.699::,( (i • ~ :, . .;. :.. 15 6 B 2 : ,:; . 04 294 472142 ,;,I ..:....:....
[1 1111Sj .=..:.. 16196 :..6. l:.3~::)~ :~; . l :., ::. l ~ :: 1 31 ~ O.l1S35937432 [112115) 2C .. 59888 50.20112 0.17~339544: 0.11960068819 [113115) .2:~. 70568 50.09432 0 .179t:020021j 0.12357549326 [211115) 2"7.29771 80.30229 0.2278472635 0.07595953953 [212115) 3·::. 41025 69. 1B97:· 1).260190364\. 0.06129171585 [213115) 3~.91218 67. 687t:2 0.2649559796 0.05916675469 [311115) 2:..5313::: 114.B6862 0. 2 3:::15 617 6.2 i:). 06676~ 4 8106 [312115) :::.;,.16530 103.23470 0.2612440235 0.05563749760 [313115) 3:.73721 100. 6627~· (J • 2 6 t) (:: 2 3 9 2 (: •). 0513:::69 3 808 [411115) 1-:.22557 154.974C i:l. 2 3::5 ~~ 6216 S· 0.04348121970 [412115) 1-:.57023 H 7. 6?.977 0. 2461:.:•?27:.:. 0.04732423569 [413115) l::-.t:2994 14 5. 370(li) 1). 24 '?4 ft:74 ~~ I). 0475671754 6 -~~,----~----~--,~~~-------,-~~~~---,,,,,_,,,,,,, ___ ,,,, ____ ~,-----[111, 18) 1':-.08618 59.7138.2 0.141658812:: 0.12528510386 [112118) 25.32251 53.47749 0.1656107254 0. ~2782444181 [113118] 2.: .. 11783 53.68217 0.164 7812324 0.12813699323 [211118) 23.61488 83.98512 0.2181100768 0.08651494834 [212118) 3~.44732 73.15268 0. 24 80961133 0.07257562746 [213118] 35.54640 72.05360 0. 2513833990 0.06719945001 [311,18) 1:3.17243 118.22757 0.2318974846 0.07311471205 [312118] 29.28783 107.11217 0.2533374694 0.06369596031 [313118) 31.48766 104.91234 0.257843587.2 0.05804105732 [411118) 8.~0984 156.59016 0.2333440012 0.04621210999 [412118) 15.39945 149.80055 0.2429695293 0.05124434197 [413118) 17.31721 147.88279 0.2457674179 0. 05118065315 -~------------~----~-_, ___________ ,~, _______ ,, _______ ~,~~----------[111121) [112121) [113,21) [211121) [212121) [213121) [311121] [312121] [313121) [411121) [412121) [413121)
[111124) [112124) [1131211]
16.92805 23.68450 24.20911 20.26058 31.26686 33.32466 15.34717 25.99159 28.82454
7.03873 13.21323 15.32323
14.38373 20.78636 21.08027
61.87195 55.11550 54.59089 87.33942 76.33314 74.27534
121.05283 110.40841 107.57546 158.16127 151.98677 14 9. 87677
64.41627 58.01364 57.71973
u
0.133949353.:::: 0.1590593863 0.1611361650 0.2096060835. 0.2388546756 0.2447889118 0.2267693894 0.2467557933 0.2524002731 0.2311761650 0.2398233487 0.2428590797
0.1251984545 0.14 79311763 0.1490341033
0.13658890194 0.1418794 5899 0.14342963055 0.09511250151 0.08437361226 0.08076222050 0.07813607843 0.07076931319 0.06628684786 0.04790328444 0.05375027699 0.05421218956
0.14321232347 0.14890952142 0.14785625777
[2,1,24) 17.43259 90.16741 0. 2026864l172 0.10190071622 [2,2,24) 27.80164 79.79836 0. 2292142514 0.09330156433 [2,3,24] 29.43901 73.16099 0.2337162215 O.Of;/73941231 [3,1,24] 13.067~,1 123.33249 0.22271812S<9 o. o::::=:c'8929928 [:::,2,24] ~3.018.23 113.38177 (.•. 24 09852: .. 70 1) • (1 i ·~:::54 2 6 3 0 8 [.3,.3,24] 25.44009 110. '08?.91 rJ.2456738l98 O.U7l694784t:4 (4,1,24) 6.05795 159.14205 0.22983376(:3 0. 04~·58433170 [4,:,24) 11.79903 153.40097 lj. 2378121::.52 0. 05•~61511150 (~,3,24) n. 63077 151.56923 0.2404207131 0.05·}99946101 ~-~--~--,---~-------------------------------------------,,,, _______ [1,1,27] 12.84312 65.95688 0.1200661820 0.15159875872 [1,2,27) 19.27402 59.52598 (•.142342'0<8.27 0 .16(;11397609 (1,3,27) 20.13463 5~:. 66537 0.1455052229 0 .16(·24809393 [2, 1,27] 15.13825 ?2.46175 0.1972301816 o.1o:::•J5507601 [:=',2,27) 25.0701 t:2.52569 (•.2219166514 0.10238128936 l~,.3,27) 27.35397 60.24603 0.227999~528 0. 1)9:34 0738911 [3·,1,27] 11.24424 125.15576 0.219531451B 0.08554548464 [3,2,27) 20.39809 ll6.00191 0.2360243008 0.08205517896 [3,3,27] 23.16045 113.23955 0.2412578039 0.07791529945 [4,1,27] 5.07768 160. 12232 0. 2285003•i41 0.05070945871 [~,2,27) 10.16766 155.03234 0. 2355150t:62 0.05836448145 [!1,3,27] 12.05341 153.14159 0. 238179604 5 0.05~16815907
_,~-------~---~-~------------------------~-----------~----,-~-~----[1,1,30] 10.84597 67.95403 0.11358863~5 0.1560245045~·
(1,2,30) 1·S. 79399 62.00601 0 .1334793U3 0.16Sc:13B8109 ~1.3,30) 17.42188 61.37512 C.13570006(1 0. 16-i 2::.658384 (:::,1,30] 1.3.01034 ~L 58966 0.1922894i..09 0.11254670920 [:!,2,30) 22.21054 t:5.3891l6 0.2145091124 0.10928499736 [2,3,30] 24.07247 83.52753 0.2192964183 0.10~23610751
[3,1,30] 9.62928 126.77072 0. 2167474010 0 .. 08813073952 [3,2,30] 18.11217 ll8.28783 0.23178681!68 0.08667379806 [3,3,30) 20.48532 115.91468 0.2361876568 0.08227695000 [4,1,30] 4.41822 160.78178 0.2276078214 0. 05181ll8811 [4,2,30] 9.16273 156.03727 0.2341120717 0.06052006456 [4,3,30) 10.82393 154.37607 0.:!364362445 0.06137046778
---------------------------------------------------------~---------[1,1,33) 9.76646 69.03354 0. 1101661568 0.16222365583 [1,2,33] 15.A8918 63.31082 0.1289572864 0.17458164803 [1,3,33] 16.50996 62.29004 0.1324 869310 0.17417838700 [2,1,33] 11.42717 96.17283 0.1886850427 0.11702685581 [2,2,33] 19.96657 87.63343 0.2088763330 0.116~3154252
[2,3,33] 22.21864 85.38136 0. 214529704 0 0.11254 782592 [3,1,33] 8.40808 127.99192 0. 214 6655956 0.09060989808 [3,2,33] 16.04568 120.35432 0.2280260214 0.09057557890 [3,3,33] 18.57098 117.82902 0.2326307373. 0.08703058773 [4,1,33) 3.77007 161.42993 0. 2267342ll9 0.05260812771 [4,2,33] 7.91640 157.28360 0.2323845197 0.06180460710 [4,3,33] 9.56064 155.63936 0.2346665161 0.06299240192
[1,1,36] 8.22974 70.57026 0.1053853939 0.16523354144 [1,2,36) 13.43628 65.36372 0.1220278631 0 .179079"4 6176 [1,3,36) 14.22444 64.57556 0.1246621689 0.17767249146 [2,1,36) 9.62346 97.77654 0.1850939172 0.12008957046 [2,2,36) 17.65257 89.94743 0.2032168727 0.12153930532 [2,3,36) 19.51257 88.08743 0.2077542707 O.ll731526080 [3,1,36) 7.22663 129.17337 0.2126703770 0.09236834328 [3,2,36) 14.2724 9 122.12751 0.2248501282 0.09410755929
lll
[3,3,36] 16.4511~ 119.94881 0.2287588924 0.09053609552 [4,1,36] 3.29961 161.90039 0.2261022933 0.05336323670 [4,:2,2C] 7.16877 158.03123 0.2313547762 0.06345357042 [4,?,3Cj :::. 6.23 154 156.57636 0.2233631366 0.06474B56555 , .... , .. ,,, .. ,, ... ,, ..... ,,,_, ____ , ________ , _______________________
[l,:,39] -; . 4 7 (:· 4 ;) 71.32960 0.1030613377 0.16984919506 [l,::.,JSi] 1:.~:!512 66.44487 0.1184 655127 0.18588330316 [1,3,39] 12.393(:4 65.40616 0.1218869075 0.185482841::28 [2,1,39j 8. 71179 98.88821 0.1826389820 0.12340740720 [2,2,39] E·. 84335 91.75665 0.1988924589 0.12686558170 [2,3,39] 17.91922 89.68077 0.2038615800 0.12378116550 [3,1,39) 6.38209 130.01791 0.2112552869 (i • 0 9 4 1 9 7 7 1 9 0 7 [3,:2,3S·] 12.(4563 1~3.75~37 0. 2219706065 (.09707980785 ~:..,:~,29j 14 . :::6317 121.53683 (• . 22 59 0 2 9 215 0. 094 20776157 [~,l,39] 2. ::: ~·267 162.34733 0.2255036615 0.05394961539 [4,2,39) 6.204.::./ 158.99563 0.23003361,;~7 0.06442468635 [11,3,39) 7.60311 157.59689 0.2319524237 0.06599186245 ~~~,,~~~~'~,,~,,, __ ~,,~,~,-~~--~--------------~~-------------------[1,1,42] ~3. 292•~8 72.50732 0.0995053052 0.17194345571 [1,2,42) 10.6906') 68.10935 0.1130928691 0.18939211880 [1,~:,C:) 11.:·06~~ 67.29306 o . 115 7111 o·5 7 0.18840466478 [~,1,42] 7.1;9442 100.10558 0.17991::20995 0.12555498994 [2,2,42) 13.99330 93.60670 0.1945577710 0.13094911646 [2,3,42) 15.71741 91.88259 0.1985946316 0.12763141223 [3,i.,4.2) 5. 4 9 (: r) 5 130.90195 0.2097838202 0.09543254027 (3,2,42] 11.26iH5 125.13985 0.21955906/lO 0. 09979920591 [3,3,42) E. 17874 123.22126 0.2229140508 0. 09701717011 [4,1,42) 2. 50475 162.69525 0.2250381::075 0.05448483240 [4,.2,42) 5.63353 159.56647 0. 229255414 6 0.06569919035 [4,3,42) 6.87654 158.32346 0.2309536059 0.06739650197 ___ ,, __ ~--~,--~~-----~~-------------------------------~------------[1,1,45] 5.75131 73.04869 0.0978900224 0.17541535379 [1,2,45] 9.81460 68.98540 0.11031764 61 0.19466188666 [1,3,45) 10.78495 68.01505 0.11339374 41 0.19453748127 [2,1,45) 6.69832 100.90168 0.1782620481 0.12804850155 [2,2,45) 12.54967 95.05033 0.1912344361 0.13505082171 [2,3,45) 14.37916 93.22084 0.1954547420 0.13266666776 [3,1,45) 4.89791 131.50209 0.2087905399 0.09680917462 [3,2,45) 9. 97944 126.42056 0.2173480079 0.10208789543 [3,3,45) 11.87399 124.52601 0.2206268415 0.09987449899 [4,1,45) 2.18658 163.01342 0.2246145585 0. 054 9.2674333 [4,2,45) 4.88156 160.31844 0.2282345055 0. 06644 630642 [4,3,45) 6.05193 159. 14 807 0.2298255486 0.06836327697
~· -------------------------------------------------------------------[1,1,48) 4.84651 73.95349 0.0952168997· 0.17690638678 [1,2,48) 8.48082 70.31918 0.1061593388 0.19738948015 [1,3,48) 9.24960 69.55040 0.10854 64 261 0.19693007901 [2,1,48) 5.76679 101.83321 0.1762665182 0.12959176664 [2,2,48] 11.07847 96.52153 0.1878991372 0.13820220357 [2,3,48] 12.60276 94.99724 0.1913557479 0.13575168160 [3,1,48] 4. 22586 132.17414 0.2076836238 0. 09769911425 [3,2,48) 8.89159 127.50841 0.2154874623 0.10419353662 [3,3,48] 10.53359 125.86641 0.2183019529 0.10212014 938 [4,1,48] 1. 92341 163.27659 0.2242642817 0.05531603546 [4,2,48) 4. 43903 160.76097 0.2276359289 0.06743812963 [4,3,48) 5.1.18181 159.71819 0.22901.190560 0.06948702891
-------------------------------------------------------------------
iv
[1,1,51] LL451L.2 74.34588 0.0940677997 0.17954418240 [1,2,51] 7.779f:~ 71.02051 0.1040043448 0.20147606845 [1,3,:,1] :::. 62 9 ::· .: 71) .16:)14 0.1066510335 0.20173578150 [ :=: I l, 51] s. u:s:< 102.4141~· 0.175(1311714 0.13148820877 ~: .. 2,51] ~:.93~·~·: 97 .. 66734 O.lt::J3365673 0.1412-7542525 [.::,3,51] ~1.4::.·~·=~ 96.10319 O.lt:t:8423487 0.13968026677 r :. 1, ~· 1 J ~: .. 78S1 :~ 132.61041) ~~·. 206~· 6797 91 0.0?874946541 ' - I
[3,2,51] 7 .. t::::::: 12:::. =·17':.2. o.n377Gnso 0.1059691554 6 [3,3,51] 9.1±6~~~ 1~6. 930CJ:? 0.2164747050 0.10435498002 [4,1,51] 1.6~.'12~ 163.50876 0. 2239557314 0.05565428274 [4,2,51] 3.849~:.: 161.35014 0.2268415704 0. 06801908135 (4,3,51) 4.816i~ 160.38325 0.228lll67410 0.07024506174
[l,l,S~] 3.7550:. 75. 0441::: O.OS•20377447 1).18062813251 [2.,2,5/ij (~. 71755 72.08245 0.1007814845 0.20359675418 [1,3,S4j 7.4022:0. 71.39771 0 .1028:,4113~ 0.20366991416 [2,1,54] ~. 4678C• 103.13220 0.1735140951 0.13262038845 (~,2,54] 8.7659.; 98.83406 0.1827579157 0.14381664137 [2,3,54) 10.0717: 97.52829 0.1856459355 0.14213982005 [3,1,54] 3. nn~ 133.12711 0.2061236130 0.09940446747 [~:,2,54] 7.0259':- 129.37401 0.2123333529 0.10760708604 [2:,3,54] 8.4o3e.: 127.99698 0.2146570034 0.10614587325 [4,1,54] l. 4 892•~ 163.71074 0.2236876481 0.05594317613 [4,2,54) 3.5037:. 161.69629 0.2263762077 0.06879454062 [4,3,54) 4.3665~ 1,50. t:33n 0.2275380173 0.07114320504
[1,1,57) 3.46674 75.33326 0. 0912028613 0.18264971549 [1,2,57] 6.159ES. 72.64031 0.0991074006 0.20677369468 [1,3,57] 6.8972(' 71.902(:1) 0.1013233513 0.20743512221 [2,1,57) 4.0366~ 103.56336 0.1726081804 0.1;3407631599 [2,2,57] 7.85886 99.74114 0.1807740860 0.14628191204 [2,3,57] 9.1682~ 98.43176 0.1836436199 0.14521135391 [3,1,57] 2.94965 133.45035 0.2055970077 0.10021382077 (3,2,57) 6.23075 130.16925 0. 2110026701 0.10899194909 [3,3,57) 7.54153 128.85847 0.2132003902 0.10789971010 [4,1,57] 1. 31655 163.88345 0.2234586885 0.05620475928 [4,2,57] 3.0.4062 162.15938 0.2257552040 0.06924926081 [4,3,57] 3.8i157 161.36843 0
v
I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I
program Vertical_Drain; { """""""""""""""" (\/\/\(\(\(\(\ """" """ """""" "(\(\(\(\(\(\f\f\(\IV\f\f\IV\(\f\(\(\(\f\(\IV\(\f\f\/\/\f\(\(\1\/\ / ; '/'""""""" }
{Program ini untuk menghitung tekanan ekses air pori,tegangan efektif ,pemampatan primer } {pada konstruksi vertical drain dengan batasan hanya untuk satu lapisan tanah saja dan efek dari } {smear diabaikan
{--~------~--------~~~----------------------------------------------} {Written by: Slamet Prabudi Setianto } {Geotechnical Engineering Division IRE } { Februari 1999 } ( (\(\(\(\/\f\f\(\(\(\/\(\f\(\(\(\(\(\(\(\(\(\(\(\(\(\(\(\(\(\(\(\(\(\(\(\(\(\(\(\(\(\(\(\(\(\f\IV\f\(\(\(\(\f\(\(\/\(\(\(\(\(\(\(\(\f\(\(\(\(\/'.,"·,/'.f\/\/\f\f\(\/\'
l J
uses wincrt;
type larik1 =array[0 .. 5,0 . .4,0 .. 30] of real; Jarik2 =array[0 .. 25,0 .. 25] of real; larik3 =array[0 .. 6] ofreal~
var out: text; outfile:string[20L alpha,beta,gama,bi,ao : real; uo,pv,A,re,rw,deltar,Hz,delta_z,Cz,Cr,D,Cs,Cc,Tegpracon:real~ r :larik3~ u,sigteg,e,deltae,deltas,deltah:larik I; c,H,ux: larik2~ ij,k,O,t,n,m,tx,L,deltat,ixjx,ty,tn :integer~ pola: byte~
begin writeLN('****** PROGRAM KONSOLIDASI UNTUK VERTIKAL DRAIN ******')~ \vriteLN('****** PUSAT LITBANG JALAN- BALITBANG PU,1999 ******')~ writeln(' ENTER NAMA FILE OUTPUT :')~ read In( outfile )~ assign( out,outfi le )~ rewrite( out)~ write('JUMLAH NODE VERTKAL readln(n); write('JUMLAH NODE HORIZONTAL readln(m); write('INKREMEN W AKTU readln( del tat)~ \vrite('DURA TION OF STAGE readln(tn)~
write('TEBAL LAPISAN readln(Hz)~
. ')· . '
. ')· . ,
. ')· . ,
. ')· . ,
. ')· . '
write('INDEKS KOMPRESIBIUTJ\S VERTIKAL Cz (m2/hari): '); readln(Cz); write('INDEKS KOMPRESIBILITAS RADIAL Cr (m2/hari): '); readln(Cr); write('KOEFISIEN KONSOLIDASI Cc readln(Cc); write('KOEFISIEN SWELLING Cs readln(Cs);
. ')· . '
. ')·
. '
write('DIAMETER EKIVALEN ANTAR TIANG SAND DRAIN (m): '); readln(D); \\Tite('RADIUS TIANG SAND DRAIN (m) readln(nv); write('TEGANGAN PRACONSOUDASI (kN/m2) read In( tegpracon ); \\Tite('BERA T .lENIS TANAH (kN/m3) readln(bi);
. ')· . ,
. ')· . '
\Hite('I3ERA T I3EBAN PERMUKAAN read In( uo );
(kN/m2)
\\Tite('INITIAL VOID RATIO READLN(ao); \Witeln('TIPE POLA VERTIKAL DRAIN '); \\Titeln(' 1. POLA TRIANGULAR DRAIN '); \\Titeln(' 2. POLA SQUARE DRAIN '); \\Tite('NOMOR POLA VERTIKAL DRAIN read(pola); case pola of 1: begin
re := 1.05*0/2; end;
2: begin re := 1.13*0/2; end;
end; deltar:=(re-nv)/m; delta_ z := Hz/n; alpha := deltat*Cr/( deltar*deltar); beta := deltat*Cr/deltar; gama := deltat*Cz/(delta_z*delta_z);
{initial condition} for i := 0 to n-1 do
begin for j := 0 to m do
begin u[ij,O] := uo; sigteg[ij,O] :=i *bi*delta _ z;
. ')· . '
·')· . '
II
. ')· . ,
. ')· . '
c[ij,O]:=ao; end;
end;
( pcmbcntukan matrik} t := 0; repeat begin
{ boundari condition} for i := 0 to n do
begin for j := 0 to m do
begin u[Oj,t] := 0; u[i,O,q := 0; u[ i,m+ 1 ,t]:=u[i,m-1 ,t]; u[ nj,t ]:=0;
end; end;
for i := 1 to n-1 do begin for j := I to m do begin deltar:= (re-rw)/m; r[j] := rw + j*deltar; k := m*(i-1 )+j;
c[k, 1] := (gama*u[ij+ 1 ,t])+(0.5*alpha+beta/r[j])*u[i+ 1 j,t]+(1-Beta/r[j]-alpha-2*gama)*u[ij,t)+0.5*alpha*u[i-1 j,t]+
gama*u[ij-1 ,t];
end; end;
begin 0 := (n-1)*(m);
fori:= 1 to 0 do for j:= 1 to 0 do H[ij] := 0.0; H[1,1]:= (l+a1pha); H[ 1,2):= -0.5*(alpha); H[O,O]:= (l+alpha); H[0,0-1] := -alpha;
end;
Ill
fori:= 2 to 0-1 do
begin H[i,i] := (I + alpha); H[i,i+ I]:= (-0.5*alpha);
H[i,i-1 ]:= ( -0.5*alpha);
end; for i:= 1 to n-2 do
begin H[i*m,i*m-1] :=-alpha;
H[i*m,i*m+ 1] := 0; H[i*m+l,i*m] := 0;
H[i*m+ 1 ,i*m+2] := -0.5*(alpha);
end; {invers H.}
begin for i := I to 0 do begin
pv := H[i,i]; H[i,i] := I;
for j := 1 to 0 do H[ij] := H[i,j] I pv;
for L := 1 to 0 do begin
ifL<>i then begin
A ·= H[L i]· . ' ' H[L,i] := 0; for j := 1 to 0 do H[Lj] := H[Lj] - A *H[ij];
end; end; end;
end;
for L:= 1 to 0 do begin for i := 1 to 1 do begin ux[L,1]:= 0; for j := 1 to 0 do ux[L,i]:= ux[L,i]+H[Lj]*c[j,i];
end; end; { pembentukan u}
IV
for i := I to n-1 do begin for j := I to m do begin k := m*(i-1 )+j; u[ij,t+dcltat] := ux[k, I];
end; end;
{"'""blok u[t+2]""""'"'J
for j := I to m do begin for i := I to n-1 do begin
del tar:=( re-rw)/m; rli] := rw + j *deltar; k := (n-1 )*(j-1 )+i;
c[k, I] := (0.5*gama)*u[ij+ I ,t+deltat] + ( l-2*alpha-gama-beta/rli])*u[ij,t+deltat] + 0.5*gama*u[i, 1 ,t +deltat]!-(alpha+beta/rU])*u[i+ 1 j,t+deltat]+alpha*u[i-1 j,t+deltat];
end; end;
begin 0 := (n-l )*(m);
forj:= 1 toO do for i:= I to 0 do H[ij] := 0.0; H[ l, 1 ]:= ( l +gama); H[1,2]:= -(0.5*gama); H[O,O]:= (l+gama); H[0,0-1] := -(0.5*gama);
end;
fori:= 2 to 0-1 do begin H[i,i] := ( 1 + gama); H[i,i+ I):= 0.5*( -gama); H[i,i-1]:= 0.5*(-gama);
·.end· , fori:= I to m-1 do
begin
v
H[i*(n-l),i*(n-1)-1] := -0.5*gama;
H[i*(n-l),i*(n-1)+1] :=0;
H[i*(n-l)+l,i*(n-1)] :=0;
H[i*(n-1 )+I ,i*(n-1 )+2] := -0.5*gama;
end; {invcrsH)
begin for i := l to 0 do
begin pv := H[i,i]; H[i,i] :=I;
for j := I to 0 do H[i,jJ := H[i,j] I pv;
for L := I to 0 do
begin if L<>i then begin
A := H[L,i]; H[L,i] := 0; for j := I to 0 do H[Lj] := H[Lj] -A *H[ij];
end; end;
end; end;
for L:= 1 to 0 do begin for i := 1 to 1 do begin ux[L, 1] := 0; for j := 1 to 0 do ux[L,i]:= ux{L,i]+H[Lj]*c[j,i];
end; end; {pembentukan u}
for j := 1 to m do begin for i := l to n-l do begin k := (n-1 )*(j-1 )+i;
u{ij,t+2*deltat] := ux{k,1L
end; VI
end;
t := t+2*deltat; end;
until t=deltat*tn;
{************sigma tegangan efektif******** *** ***] t:=O; repeat begin for i:= 1 to n-1 do begin for j:= 1 tom do begin
Sigteg[ij,t+deltat]:= Sigteg[i,j,t] + u[i,j,t]-u[ij,t+deltat];
end; end;
end;
t := t +deltat; until t = deltat*tn;
{**************deltaa angka pori************} t:= 0;
repeat begin fori:= 1 to n-1 do
begin for j:= I to m do begin { e[ij,0]:=0.5;}
if sigteg[ij,t] < tegpracon then begin deltae[ ij,t] := Cs*(ln((sigteg[ij,t+deltat])/(sigteg[ij,t ])))/ln(l 0); e[ij,t+deltat]:= e[ij,t]- deltae[ij,t]; end else
begin fori:= 1 to n-1 do begin
for j := 1 to m do
VII
begin
dcltae[ ij,t] := Cc*(ln( (sigteg( ij,t+deltat ])/(sigteg[ i,j ,t])) )'In( 1 0); e[i,j,t+deltat]:= e[i,j,t]- deltae[ij,t];
end; end;
end; end;
end; end;
t := t +deltat; until t = deltat*tn;
{@@@@@@@@@@@@Settlement@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@} t:=O; repeat
begin fori:= 1 to n-1 do
begin forj:= 1 to mdo begin deltas[ij,O]:=O; deltah[ij,t]:=delta_ z;
deltas[Oj,t+deltat]:=deltas[Oj,t] +( deltae[ 1 j,t+deltat])*0.25*( deltah[ 1 j,t]-deltas[ 1 j,t])/( I +e[ 1 j,t]);
end; end; fori:= 1 to n-1 do begin for j:= 1 tom do begin
deltas[ij,O]:=O; deltah[ij,t]:=delta z;
deltas[ij ,t+deltat] :=deltas[ij,t ]+(deltae[ ij,t+deltat ])*( deltah[ij ,t ]-del tas[ij ,t] )/( 1 +e[ ij,t] ); · end;
end; end;
t:= t +deltat; until t = tn*deltat;
writeln( out,' ') writeln( out,' u stgeg e settlement'); t:=O; repeat
VIII
writeln; writeln( out,'--------·-~~ begin
fori:= I to n-1 do begin for j := I to m do begin
--------------------------------');
n·teln(o t 1[ 1 1. " • I I t 1] -\~ u ' ' '' J,', , - 1,u[ij,t):6:5, sigteg[ij,t]: I 5 :5,e[ ij,t]: 15: IO,deltas[ ij ,t]: 15:15 )~
end~ end;
end~
vvrite!n~ t := t +deltat~
until t = deltat*tn~
begin for L := I to 0 do begin for j := 1 to 0 do write(H[L,J]:5:4); writeln~
end~
end~
end.
IX
