Upload
nguyenminh
View
227
Download
5
Embed Size (px)
Citation preview
PENGGUNAAN METODE HOMOTOPI UNTUK MENYELESAIKAN
MASALAH GETARAN TAKLINEAR
TIKA PURWANTI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2012
ABSTRAK
TIKA PURWANTI. Penggunaan Metode Homotopi untuk Menyelesaikan Masalah Getaran
Taklinear. Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan ALI KUSNANTO.
Masalah taklinear merupakan masalah yang memuat bentuk taklinear pada model
matematikanya, salah satunya masalah getaran. Secara analitik masalah taklinear ini sulit untuk
diselesaikan, sehingga diperlukan suatu metode pendekatan analitik. Dalam tulisan ini masalah
getaran taklinear diselesaikan menggunakan metode homotopi. Penggunaan metode homotopi
dilakukandengan mendefinisikan fungsi homotopi yang memerlukan parameter bantu untuk
mengontrol daerah kekonvergenan penyelesaian. Penyelesaianyang dihasilkan merupakansuatu
rumus rekursif dengan suatu hampiran awal yang diberikan. Dengan menggunakan software
MAPLE diperoleh penyelesaian berupa besaran frekuensi dan titik keseimbangan yang konvergen
ke suatu nilai. Kekonvergenan dari penyelesaian bergantung pada pemilihan nilai parameter bantu
dalam fungsi homotopi.
Kata kunci: getaran taklinear,parameter bantu, metode homotopi
ABSTRACT
TIKA PURWANTI. The Use of Homotopy Methods to Solve Nonlinear Oscillation Problem.
Supervised by JAHARUDDIN and ALI KUSNANTO.
Nonlinear problem is a problem that contains nonlinear mathematical equation. One example
of nonlinear problem is oscillation. Nonlinear problem is difficult to solve directly, so it needs an
analytical approach. Homotopy method is one of the known analytical approaches. In this paper,
nonlinear oscillation problem is solved using the homotopy method. The use of homotopy method
is done by defining a homotopy function that requires auxiliary parameters to control the
convergence region of the solution. The solutionis a recursive formula with given initial
conditions. A case study using MAPLE shows that oscillation frequency and the equilibrium
position converge to some certain values. This convergence of solution depends on the selection of
auxiliary parameters in the homotopy function.
Keyword: nonlinear oscillation, auxiliary parameter, homotopy method
PENGGUNAAN METODE HOMOTOPI UNTUK MENYELESAIKAN
MASALAH GETARAN TAKLINEAR
TIKA PURWANTI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2012
Menyetujui,
Pembimbing I Pembimbing II
Dr. Jaharuddin, MS Drs. Ali Kusnanto, M.Si
NIP. 19651102 199302 1 001 NIP. 19650820 199003 1 001
Mengetahui
Ketua Departemen
Dr. Berlian Setiawaty, MS
NIP. 19650505 198903 2 004
Tanggal Lulus :
Judul Skripsi : Penggunaan Metode Homotopi untuk Menyelesaikan
Masalah Getaran Taklinear
Nama : Tika Purwanti
NRP : G54080030
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya
sehingga karya ilmiah ini dapat diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari
bantuan berbagai pihak. Oleh karena itu penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak
yang telah membantu dalam proses penyusunan karya ilmiah ini antara lain :
1. Alm. Sunardi (Ayah) dan Sutanti (Ibu) selaku orangtua, Rizal Adi Saputra, adik-adikku
Ichsan Setiawan dan Annisa Fatika atas semua do’a, dukungan, semangat, pengorbanan,
nasihat, perhatian, dan kasih sayang sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah
ini.
2. Dr. Jaharuddin, MS. selaku dosen pembimbing pertamadan Drs. Ali Kusnanto, M.Si
selaku pembimbing kedua atas semua ilmu, motivasi, dan bantuannya selama penulisan
karya ilmiah ini.
3. Drs. Siswandi M.Si selaku dosen penguji atas saran dan kritik untuk perbaikan
penulisan karya ilmiah ini.
4. Seluruh dosen Departemen Matematika yang telah memberikan ilmu kepada penulis.
5. Seluruh staf Departemen Matematika yang telah membantu dalam menyelesaikan karya
ilmiah ini.
6. Keluarga besar Karya Salemba Empat (KSE) atas dukungan dan bantuannya.
7. Teman terbaik Ade Nelvia dan Surya Pratiwi yang selalu memberikan motivasi dan
semangat kepada penulis.
8. Teman-teman Math 45: Ana, Santi, Isna, Dewi, Wulan, Fina, dan semuanya.
9. Teman-teman kost Wisma Ayu.
Penulis menyadari bahwa karya ilmiah ini memiliki kekurangan sehingga perlu masukan.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian
selanjutnya.
Bogor, September 2012
Tika Purwanti
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Sukoharjo tanggal 5 Januari 1991 sebagai anak pertama dari tiga
bersaudara dari pasangan Sunardi dan Sutanti. Pendidikan formal yang ditempuh penulis yaitu di
SDN 08 Pagi Cilandak lulus pada tahun 2002, SMPN 37 Jakarta lulus pada tahun 2005, SMAN 34
Jakarta lulus pada tahun 2008 dan pada tahun yang sama penulis di terima di Institut Pertanian
Bogor melalui jalur USMI di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam.
Selama menuntut ilmu di IPB, penulis pernah berkecimpung dalam himpunan profesi Gugus
Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) sebagai staf kesekretariatan tahun 2009-2010. Penulis
mendapat beasiswa Peningkatan Prestasi Akademik (PPA) periode 2008-2010, beasiswa Karya
Salemba Empat (KSE) periode 2010-2012. Selain itu penulis juga pernah menjadi asisten dosen
untuk mata kuliah Kalkulus II, menjadi pengajar bimbel di sekitar kampus, serta pengajar di
Bimbingan Test Alumni (BTA).
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL .............................................................................................................. ix
DAFTAR GAMBAR ......................................................................................................... ix
DAFTAR LAMPIRAN ...................................................................................................... ix
I PENDAHULUAN ........................................................................................................ 1
1.1 Latar Belakang ....................................................................................................... 1
1.2 Tujuan .................................................................................................................... 1
1.3 Sistematika Penulisan ............................................................................................ 1
II LANDASAN TEORI ................................................................................................... 2
2.1 Masalah Nilai Awal ............................................................................................... 2
2.2 Konsep Deret Taylor ............................................................................................. 2
2.3 Persamaan Osilasi Bebas Taklinear ....................................................................... 2
2.4 Metode Homotopi .................................................................................................. 3
2.5 Contoh Kasus ......................................................................................................... 4
III HASIL PEMBAHASAN .............................................................................................. 6
3.1 Analisis Metode ..................................................................................................... 6
3.2 Aplikasi Metode .................................................................................................... 6
3.3 Hasil Numerik ....................................................................................................... 10
IV KESIMPULAN ............................................................................................................ 13
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................................ 14
LAMPIRAN ....................................................................................................................... 15
DAFTAR TABEL
Halaman
1 Pendekatan analitik hingga orde saat .................................................... 11
2 Pendekatan analitik hingga orde saat ................................................. 12
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1 Perubahan getaran pada pegas ......................................................................................... 2
2 Perbandingan penyelesaian eksak dan metode homotopi dari masalah nilai awal (2.19)
dengan beberapa nilai .................................................................................................. 5
3 Fungsi frekuensi terhadap parameter bantu saat ........................................... 11
4 Fungsi titik keseimbangan terhadap parameter bantu saat ............................. 11
5 Perbandingan penyelesaian numerik denganpenyelesaian dengan metode homotopi
orde ke-2 dan orde ke-9 saat ................................................................................ 11
6 Fungsi frekuensi terhadap parameter bantu saat ....................................... 12
7 Fungsi titik keseimbangan terhadapparameter bantu saat ......................... 12
8 Perbandingan penyelesaian numerik dengan penyelesaian dengan metode homotopi
orde ke-2 dan orde ke-9 saat ............................................................................ 12
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
1 Penyelesaian pada Contoh Masalah Nilai Awal (2.19) ................................................ 16
2 Penurunan Persamaan (3.28), (3.30), dan (3.31) ........................................................... 18
3 Penurunan Persamaan (3.32) ......................................................................................... 22
4 Penurunan Persamaan (3.36) ......................................................................................... 23
5 Program Maple Persamaan (3.40)-(3.43) dan Persamaan(3.45)-(3.47) ........................ 25
6 Program Maple untuk Gambar 3 .................................................................................. 29
7 Program Maple untuk Gambar 4 .................................................................................. 29
8 Program Maple untuk Gambar 5 .................................................................................. 29
9 Program Maple untuk Gambar 6 .................................................................................. 29
10 Program Maple untuk Gambar 7 .................................................................................. 29
11 Program Maple untuk Gambar 8 .................................................................................. 29
1
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Model matematika dapat digunakan
untuk menjelaskan fenomena yang terjadi di
alam. Umumnya model matematika tersebut
berupa masalah yang melibatkan persamaan
diferensial taklinear.
Masalah taklinear merupakan masalah
yang memuat bentuk taklinear dan biasanya
digunakan dalam beberapa bidang ilmu seperti
fisika, teknik, dan sebagainya. Contoh dalam
bidang fisikaadalah masalah getaran atau
osilasi. Getaran banyak terjadi pada beberapa
aspek kehidupan manusia. Salah satunya pada
tubuh manusia yaitu osilasi frekuensi rendah
pada jantung dan osilasi frekuensi tinggi pada
telinga. Selain itu, getaran atau osilasi juga
terjadi pada mesin seperti mesin cuci, kipas
angin, dan sebagainya. Penelitian tentang
getaran dilakukan oleh Galileo Galilei yang
berhasil menunjukkan adanya hubungan
antara frekuensi, amplitudo, dan periode
getaran (Balachandran danMagrab 2009).
Getaran atau osilasi merupakan gerak
suatu partikel yang bergerak bolak-balik
melalui lintasan yang sama dalam suatu
periode waktu. Terdapat dua jenis getaran,
yaitu getaran bebas dan getaran paksa.
Getaran paksa merupakan getaran yang terjadi
karena rangsangan gaya luar secara terus
menerus. Jika rangsangan tersebut berosilasi,
maka sistem dipaksa untuk bergetar pada
frekuensi rangsangan. Contoh getaran paksa
adalah getaran gedung pada saat gempa bumi,
sedangkan getaran bebas terjadi jika sistem
dibiarkan bergetar secara bebas setelah diberi
gangguan atau gaya dari luar sistem.Jika gaya
yang diberikan dalam bentuk linear, maka
model matematika dari getaran bebas tersebut
berbentuk linear, sedangkan apabila gaya
yang yang diberikan berbentuk taklinear,
maka model matematika dari getaran bebas
tersebut berbentuk taklinear. Contoh getaran
bebas adalah memukul garpu tala dan
membiarkannya bergetar.
Penyelesaian masalah taklinear biasanya
sulit dilakukan.Terdapat beberapa metode
pendekatan yang bersifat analitik untuk
menyelesaikan masalah taklinear, diantaranya
adalah metode perturbasi. Metode perturbasi
digunakan untuk masalah taklinear yang
mengandung parameter ketaklinearan yang
kecil. Karena tidak semua masalah taklinear
memuat parameter ketaklinearan yang kecil,
maka dikembangkan metodenon-perturbasi
seperti metode dekomposisi Adomian. Metode
dekomposisi Adomian adalah penyelesaian
masalah taklinear yang dinyatakan dalam
suatu deret pangkat dan hanya terdefinisi pada
daerah kekonvergenannya (Adomian 1988).
Namun metode perturbasi dan non-perturbasi
tersebut tidak dapat menentukan cara
sederhana untuk mengontrol kekonvergenan
dari pendekatan daerah penyelesaiannya
(Jianmin dan Zhengcai 2008). Tahun 1992,
Liao menggunakan ide-ide dasar homotopi
dari topologi untuk mengusulkan suatu
metode untuk menyelesaikan masalah
taklinear secara umum yang dinamakan
metode homotopi. Terdapat beberapa
keunggulan dari metode ini yaitu tetap valid
walaupun masalah taklinear tersebut memiliki
sembarang parameter (Liao 2004). Karya ilmiah ini akan membahas
penyelesaian masalah getaran bebas dengan
ketaklinearan berupa fungsi kuadrat
menggunakan metode homotopi dimana
faktor taklinear tidak perlu diperlemah
sehingga metode homotopi dapat digunakan.
1.2 Tujuan
Berdasarkan latar belakang di atas, maka
tujuan karya ilmiah ini adalah :
a. Mengkonstruksi suatu rumus rekursif
berdasarkan fungsi homotopi yang
melibatkan suatu fungsi bantu untuk
menyelesaikan masalah getaran taklinear
b. Menentukan parameter bantu yang tepat
agar penyelesaian segera mencapai
kekonvergenan.
c. Menggambarkan frekuensi dan simpangan
dari getaran dengan ketaklinearan berupa
fungsi kuadrat.
1.3 Sistematika Penulisan
Karya ilmiah ini terdiri dari empat bab.
Bab pertama merupakanpendahuluan yang
berisi latar belakang, tujuan, dan sistematika
penulisan karya ilmiah. Bab kedua merupakan
landasan teori yang berisi beberapa istilah dan
konsep dari metode homotopi untuk
menyelesaikan persamaan getaran bebas
taklinear yang digunakan dalam pembahasan.
Bab ketiga berupa pembahasan yang berisi
analisis metode homotopi yang akan
digunakan untuk menyelesaikan persamaan
getaran bebas taklinear dan aplikasi berupa
hasil numerik disajikan untuk memperlihatkan
validitas dari metode homotopi. Bab keempat
berisi kesimpulan dari karya ilmiah ini.
2
II LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan dibahas teori-teori yang
mendukung karya ilmiah ini. Teori-teori
tersebut meliputi masalah nilai awal, konsep
dasar deret Taylor, penurunan persamaan
osilasi bebasdan konsep metode homotopi.
2.1 Masalah Nilai Awal
Penyelesaian dari persamaan diferensial
adalah suatu fungsi yang tidak lagi
mengandung turunan-turunan yang memenuhi
persamaan diferensial tersebut. Dalam
penyelesaian persamaan diferensial terdapat
penyelesaian umum dan penyelesaian khusus.
Untuk memperoleh penyelesaian khusus
dibutuhkan suatu syarat awal atau syarat
batas. Masalah nilai awal adalah suatu
masalah untuk menyelesaikan persamaan
diferensial dengan diberikannya suatu nilai
awal. Bentuk umum dari suatu masalah nilai
awal dinyatakan oleh
( )
dengan syarat awal:
Hasil yang diperoleh dari masalah nilai
awal berupa penyelesaian khusus dimana
tidak terdapat lagi konstanta atau variabel
hasil pengintegralan dari persamaan
diferensial.
Selanjutnya masalah nilai batas adalah
suatu masalah untuk menyelesaikan
persamaan diferensial dengan diberikannya
suatu syarat batas pada selang tertentu.
Misalkan diberikan suatu persamaan
diferensial kemudian akan ditentukan suatu
penyelesaian pada daerah dalam selang
dengan dan ,
maka dan merupakan syarat batas.
(Stanley 1994)
2.2 Konsep Deret Taylor
Deret Taylor adalah bentuk khusus dari
suatu fungsi yang dapat digunakan sebagai
pendekatan dari integral suatu fungsi yang
tidak memiliki antiturunan elementer dan
dapat digunakan untuk menyelesaikan
persamaan diferensial.
Misalkan fungsi sebarang yang dapat
dinyatakan sebagai suatu deret pangkat
sebagai berikut
(2.1)
dengan menyatakan
koefisien deret pangkat dan menyatakan
titik pusatnya.
Jika fungsi dinyatakan dalam bentuk
deret berikut
( )
0
( )( )
!
nn
n
f ax a
n
(2.2)
maka deret (2.2) disebut deret Taylor dari
fungsi yang berpusat di .
(Kreyszig 1998)
2.3 Persamaan Osilasi Bebas Tak Linear
Persamaan osilasi biasanya digunakan
pada masalah getaran sebuah pegas yang
diregangkan(Halliday 1987).
Tinjau pegas yang terdapat pada Gambar 1.
Mula-mula pegas dalam keadaan diam lalu
diregangkan sepanjang sehingga
menyebabkan gaya pada pegas meningkat.
Hal ini memperlihatkan bahwa adalah gaya
yang sebanding dengan regangan sebesar ,
yaitu
adalah konstanta pegas. Tanda negatif
mengidentifikasi bahwa regangan yang
diberikan berlawanan dengan gaya yang
dihasilkan.
Saat pegas dalam keadaan setimbang
terjadi simpangan sebesar yang diukur
Gambar 1 Perubahan getaran pada pegas.
3
dari keseimbangan. Jika posisi awal
lalu diregangkan sehingga , maka
menurut hukum Hooke, gaya yang bekerja
pada pegas diberikan oleh
(2.3)
Kemudian menurut hukum Newton kedua,
gaya yang yang bekerja pada pegas berbentuk
(2.4)
dengan adalah gaya, massa, dan
merupakan percepatan getaran yang dapat
dituliskan sebagai , maka persamaan (2.4)
menjadi
(2.5)
Dengan menggunakan persamaan (2.3) dan
(2.5), maka didapat persamaan untuk model
getaran pegas dalam bentuk linear berikut
(2.6)
Misalkan terdapat sebarang gaya luar yang
bekerja pada pegas dan bentuknya taklinear
kuadratik, misalnya
[ ] dengan adalah konstanta.
Persamaan (2.6) menjadi
(2.7)
Bentuk umum dari persamaan (2.7) dapat
dituliskan sebagai berikut
[ ]. (2.8)
Secara fisis, getaran bebas merupakan
suatu gerak yang periodik. Misalkan dan
masing-masing adalah frekuensi dan
amplitudo getaran, maka didefinisikan titik
keseimbangan getaran sebagai berikut
∫
dengan periode getaran yang dinyatakan
oleh
Misalkan
dan ,
dengan bernilai tak nol.
2.4 Metode Homotopi
Berikut ini diberikan ilustrasi konsep dasar
metode homotopidari (Liao 2004). Misalkan
diberikan persamaan diferensial sebagai
berikut :
[ ] (2.9)
dengan suatu operator turunan taklinear,
variabel bebas dan fungsi yang akan
ditentukan. Selanjutnya didefinisikan pula
suatu operator linear yang memenuhi
[ ] bila (2.10)
Misalkan operator dibagi menjadi dua
bagian, yaitu dan yang masing-masing
merupakan operator linear dan taklinear,
sehingga persamaan diferensial (2.9) menjadi
[ ] [ ]
Misalkan merupakan pendekatan awal
dari persamaan (2.9) dan [ ] suatu
parameter. Didefinisikan suatu fungsi
sebagai berikut :
[ ] [ ] [ ] (2.11)
Berdasarkan persamaan (2.11), maka untuk
dan masing-masing memberikan
persamaan berikut :
[ ] [ ]
dan
[ ] [ ].
Sehingga menurut persamaan (2.9), (2.10),
dan (2.11) diperoleh bahwa fungsi :
dan
masing-masing merupakan penyelesaian dari
persamaan
[ ] dan
[ ]
4
Dengan demikian peningkatan nilai dari 0
ke 1 menyatakan perubahan nilai [ ] dari
[ ] ke [ ]. Dalam topologi hal
ini disebut dengan deformasi.
Untuk menyelesaikan suatu masalah
taklinear diperlukan perluasan konsep dasar
metode homotopi. Perluasan dari konsep dasar
metode homotopi yang telah diuraikan di atas
memerlukan fungsi yang
bergantung pada parameter dan fungsi
. Kemudian akan ditentukan solusi dari
persamaan (2.9) yang akan diperoleh dari
penyelesaian persamaan deformasi orde nol
berikut:
[ ] [ ]
(2.12)
dengan merupakan pemetaan
dari , [ ] merupakan
operator taklinear, serta dan yang masing-
masing merupakan parameter dan fungsi
bantu.
Berdasarkan persamaan (2.12), maka
pada saat dan akan diperoleh:
(2.13)
dan
. (2.14)
Karena parameter bernilai dari sampai ,
maka memetakan dari penduga
awal ke penyelesaian eksak Selanjutnya dengan menggunakan
konsep deret Taylor, dapat
diuraikan menjadi
∑
(2.15)
dengan
|
(2.16)
Kemudian dengan menurunkan
persamaan (2.12) terhadap hingga kali
dan mengevaluasi pada kemudian
dibagi oleh , maka diperoleh persamaan
berikut:
[ ] [ ] (2.17)
dengan
,
[ ]
[ ]
(2.18)
dan 0, 1
1, lainnya.m
m
m
Dengan demikian apabila diberikan masalah
taklinear dengan persamaan diferensial pada
persamaan (2.9), maka dengan metode
homotopi diperoleh penyelesaian pendekatan
masalah taklinear tersebut sebagai berikut:
∑
dengan diperoleh dari persamaan (2.17)
dan merupakan pendekatan awal dari
penyelesaian persamaan (2.9).
2.5 Contoh Kasus
Untuk lebih memahami penggunaan
metode homotopi, diberikan suatu contoh
masalah taklinear yang dinyatakan dalam
masalah nilai awal berikut :
( ) , (2.19)
dengan nilai awal .
Penyelesaian eksak masalah nilai awal pada
persamaan (2.19) adalah
(
)
Misalkan
[ ]
( )
dan
[ ]
sehingga dengan menggunakan persamaan
(2.17), diperoleh
∫ [ ]
(2.20)
5
dengan [ ] diberikan pada persamaan
(2.18). Karena dan dipilih
pendekatan awal , maka diperoleh
Penurunan diberikan pada Lampiran 1
Perbandingan penyelesaian masalah nilai
awal (2.19) secara eksak dan penyelesaian
dengan metode homotopi diberikan pada
Gambar 2. dengan nilai dan nilai h
berbeda-beda.
Pada Gambar 2 terlihat bahwa penyelesaian
eksak dan penyelesaian menggunakan metode
homotopi cukup mendekati penyelesaian
eksak pada saat h bernilai negatif yaitu ketika
. Sedangkan ketika h bernilai positif
yaitu ketika penyelesaian berubah dengan cepat sehingga tidak
mencapai kekonvergenan. Hal ini
menunjukkan bahwa pemilihan nilai
parameter bantu sangat berpengaruh pada
hasil pendekatan penyelesaian suatu masalah
taklinear.
Gambar 2 Perbandingan penyelesaian eksak
dan metode homotopi dari masalah nilai
awal (2.19) dengan beberapa nilai h.
6
III HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bagian ini akan dibahas
penggunaan dari metode homotopi untuk
menyelesaikan suatu masalah taklinear.
Metode homotopi yang diterapkan dalam
karya ilmiah ini mengikuti pustaka pada
(Liao 2004).
3.1 Analisis Metode
Dalam karya ilmiah ini akan dibahas
masalah nilai awal pada persamaan (2.7)
dengan menggunakan metode homotopi untuk
mencari penyelesaian pendekatannya.
Masalah nilai awal tersebut secara umum
dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan
(2.8). Perluasan metode homotopi lebih lanjut
dapat dituliskan dalam bentuk persamaan
deformasi orde nol berikut :
{ [ ]} [ ]
[ ] (3.1)
Dengan adalah pendekatan awal,
dan masing-masing adalah parameter
bantu dan fungsi bantu kedua, sedangkan
[ ] adalah operator bantu yang
bernilai nol ketika dan yang
dituliskan
[ ] [ ]
Jika dan , maka dari persamaan
(3.1) akan diperoleh
(3.2)
[ ] (3.3)
Selanjutnya karena parameter bernilai
dari 0 sampai 1, maka memetakan dari
penduga awal ke penyelesaian eksak
.
Dengan menggunakan konsep deret
Taylor, dapat diuraikan menjadi
∑
(3.4)
dimana
|
Selanjutnya, dengan menurunkan persamaan
(3.1) terhadap hingga kali kemudian
mengevaluasi pada dan dibagi akan
diperoleh bentuk persamaan orde ke-m
berikut:
[ ] [ ]
(3.5)
dengan
[ ]
[ ]
|
[ ]
|
dan
0, 1
1, lainnya.m
m
m
Untuk , persamaan (3.4)menjadi
∑
(3.6)
Hasil ini menunjukkan adanya hubungan
antara penyelesaian eksak dari persamaan
(2.7) dengan pendekatan awal dan
yang akan ditentukan.
Penyelesaian pendekatan
diperoleh dari persamaan (3.5) dengan
terlebih dahulu menentukan operator linear .
Pemilihan operator linear perlu
memerhatikan validitas dari metode homotopi.
3.2 Aplikasi Metode
Berikut ini akan dibahas mengenai
penggunaan metode homotopi yang telah
diuraikan sebelumnya. Tinjau persamaan
getaran bebas berikut
(3.7)
dengan syarat awal
dan (3.8)
dengan waktu dan suatu konstanta.
7
Untuk menggunakan metode homotopi,
misalkan
dan
sehingga persamaan (3.7) menjadi
[ ] (3.9)
dan syarat awal
(3.10)
Misalkan diberikan fungsi basis berupa
fungsi cosinus berikut: { | } (3.11)
maka penyelesaian dari persamaan (3.9)
berbentuk
∑ (3.12)
dengan adalah koefisien deret.
Berikut ini akan ditentukan penyelesaian
dari masalah nilai awal (3.9) dengan
menggunakan pendekatan metode homotopi.
Operator linear yang dipilih adalah
[ ] *
+
(3.13)
Berdasarkan operator diperoleh
. (3.14)
dimana dan adalah konstanta.
Kemudian dari persamaan (3.9) didefinisikan
operator taklinear sebagai berikut:
[ ]
[ ] (3.15)
dengan [ ] merupakan suatu parameter,
adalah fungsi yang bergantung pada
dan , fungsi yang bergantung
pada . Didefinisikan fungsi homotopi sebagai berikut:
[ ]
[ ] [ ]
{ [ ] [ ] [ ]
}
(3.16)
dengan merupakan pendekatan awal
dari penyelesaian dan fungsi didefinisikan
sebagai berikut:
[ ]
[ ]
yang serupa dengan persamaan (2.8)
Selanjutnya, misalkan fungsi yang akan dibahas adalah penyelesaian dari
persamaan berikut:
2 2; ,Ω ,Δ , , , , , 0q q q H H h h q
atau
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ]
(3.17)
dengan syarat awal
|
Berdasarkan persamaan (3.17), untuk
diperoleh
, ,
yang masing-masing merupakan pendekatan
awal dari . Kemudian untuk
, diperoleh
, , .
yang merupakan pendekatan analitik dari
, dan dengan metode homotopi.
Berdasarkan nilai awal (3.10) dan
persamaan (3.12), pendekatan awal dari
penyelesaian dipilih berbentuk:
. (3.18)
Pemilihan pendekatan awal tersebut
menjamin adanya fungsi yang dapat
diturunkan hingga kali terhadap .
8
Turunan ke- dari fungsi , , dan terhadap di masing-
masing dinotasikan sebagai berikut:
|
(3.19)
|
(3.20)
|
(3.21)
Deret Taylor dari fungsi , , dan
di sekitar masing-masing adalah
∑
(3.22)
∑
(3.23)
∑
(3.24)
Selanjutnya, dengan pemilihan parameter
bantu , serta fungsi bantu dan
mengakibatkan kekonvergenan dari
persamaan (3.22), (3.23), dan (3.24) di
dan berdasarkan
, , ,
, , ,
maka untuk diperoleh
∑
(3.25)
∑
(3.26)
∑
(3.27)
Hasil ini menunjukkan adanya hubungan
antara penyelesaian eksak dari persamaan
(3.9) dengan pendekatan awal , ,
,dan , yang akan
ditentukan. Persamaan untuk menentukan
diperoleh jika kedua ruas dari
persamaan (3.17) diturunkan terhadap
hingga kali dan dievaluasi pada
kemudian dibagi , maka akan diperoleh
persamaan berikut:
[ ]
[ ]
[ ] (3.28)
dengan syarat awal
(3.29)
dimana
[ ]
[ ]
(3.30)
dan
[ ]
(∑
∑
) [ ( )
( )] (3.31)
dengan
( )
[ ]
dan
Penurunan diberikan pada Lampiran 2
Jika persamaan (3.9) disubstitusikan ke
persamaan (3.30) dan (3.31), maka diperoleh
bentuk yang lebih sederhana sebagai
berikut:
[ ]
∑ (∑
)
∑
(3.32)
dan
( ) ∑ ,
(3.33)
0, 1
1, lainnya.m
m
m
9
dengan
Penurunan diberikan pada Lampiran 3
Terdapat tiga variabel yang akan
ditentukan yaitu , , dan
ketika atau , , dan
ketika , sedangkan hanya terdapat satu
persamaan yaitu persamaan (3.28) untuk
. Dengan demikian dibutuhkan suatu
persamaan tambahan untuk menentukan
dan ketika atau dan
ketika .
Berdasarkan persamaan (3.12) dan (3.28)
dapat dipilih fungsi bantu dan berikut
, dengan dan bilangan bulat. Untuk
penyederhanaan dipilih ,
sehingga .
Kemudian berdasarkan persamaan
(3.12), ruas kanan persamaan (3.28) dapat
dinyatakan sebagai berikut:
∑
(3.34)
dimana suatu bilangan bulat bergantung
pada m dan merupakan koefisien deret
yang bernilai nol saat .
Berdasarkan persamaan (3.14) diperoleh
penyelesaian dari persamaan (3.28) memuat
bentuk jika . Selain itu ketika
menghasilkan penyelesaian
yang memuat konstanta
. Kedua bentuk
tersebut tidak memenuhi persamaan
(3.12),sehingga dipilih
(3.35)
Jadi penyelesaian masalah nilai awal
persamaan (3.9)-(3.10) berbentuk
∑
dimana dan adalah konstanta integral.
Penurunan diberikan pada Lampiran 4
Berdasarkan nilai awal (3.29) diperoleh
. Untuk menjamin bahwa amplitudo
osilasi sama dengan , digunakan
(3.37)
yang juga digunakan untuk menentukan .
Karena terdapat dua parameter yaitu ,
kasus pertama dipilih untuk
mendapatkan solusi hampiran dari
dari persamaan (3.9), sehingga dari persamaan
(3.28) dan (3.35) untuk diperoleh
persamaan aljabar dan sebagai berikut:
(3.38)
dan
. (3.39)
Kemudian dari persamaan (3.38) dan (3.39)
diperoleh
(3.40)
Selanjutnya dari persamaan (3.28) untuk
diperoleh pendekatan orde pertama
berikut
(3.41)
Untuk diperoleh pendekatan orde
kedua berikut
(
)
(3.42)
Untuk diperoleh pendekatan orde
ketiga berikut
(3.36)
(
)
(
)
(3.43)
dan seterusnya.
10
Kemudian untuk nilai diperoleh
pendekatan dan hingga orde tiga dengan
menentukan pendekatan awal dan ,
sebagai berikut:
,
(3.44)
dan dari persamaan (3.28) untuk
diperoleh pendekatan orde pertama berikut:
(3.45)
Kemudian untuk diperoleh
pendekatan orde kedua berikut:
[
]
(3.46)
Saat diperoleh diperoleh pendekatan
orde ketiga berikut:
{
[
]}
{
[
] [
]}
(3.47)
dan seterusnya.
Dengan demikian simpangan getaran,
frekuensi getaran, dan titik keseimbangan
getaran untuk masalah getaran pada
persamaan (3.9) diperoleh pendekatan dalam
bentuk
∑
(3.48)
∑
(3.49)
∑
(3.50)
3.3 Hasil Numerik
Untuk menyelesaikan masalah nilai awal
(3.9) maka berikut ini merupakan langkah-
langkah yang harus dilakukan:
1. Misalkan diberikan penyelesaian
pendekatan awal dari persamaan (3.9)
yaitu
2. Menentukan penyelesaian pendekatan
untuk orde ke M yaitu , , dan
dari persamaan (3.9) dilakukan sebagai
berikut:
i. Menentukan dan dari
persamaan (3.32) dan (3.33) ii. Menentukan dari persamaan
(3.28) iii. Menentukan dan dari
persamaan (3.28) dan (3.35) 3. Menentukan penyelesaian (3.9) dari
persamaan (3.48), (3.49) dan (3.50).
Untuk memperoleh hasil numerik dari
pendekatan dalam penyelesaian persamaan
getaran bebas dengan kudratik taklinear
11
diperlukan nilai dari parameter yang terdapat
pada persamaan getaran tersebut. Pendekatan
penyelesaian persamaan (3.9) konvergen pada
saat √ ketika . Misalkan
dipilih dan Pendekatan dari
nilai frekuensi dan titik keseimbangan
bergantung pada parameter bantu tak nol .
Gambar 3 menunjukkan bahwa penyelesaian
untuk frekuensi dengan metode homotopi
akan cepat mendekati penyelesaian eksaknya,
jika dipilih pada . Gambar 4
menunjukkan bahwa titik keseimbangan
getaran akan cepat mendekati penyelesaian
eksaknya, jika dipilih pada .
Misalkan dipilih diperoleh hasil
pendekatan analitik dari frekuensi dan titik
keseimbangan getaran dengan , dalam Tabel 1 berikut:
Tabel 1 Pendekatan analitik hingga orde
saat
Orde
ke-
Frekuensi
(ω)
Titik
keseimbangan (δ)
1 0.982209 −0.020416
2 0.982780 −0.020408
3 0.982880 −0.020405
4 0.982893 −0.020404
5 0.982894 −0.020404
6 0.982894 −0.020404
7 0.982894 −0.020404
8 0.982894 −0.020404
9 0.982894 −0.020404
10 0.982894 −0.020404
Berdasarkan Tabel 1 terlihat bahwa frekuensi
dan titik keseimbangan mendekatinilai dan .
Kemudian dari hasil tersebut dapat diperoleh
pendekatan penyelesaian dari persamaan
getaran bebas dengan ketaklinearan berbentuk
fungsi kudratpada Gambar 5.
Pada Gambar 5 terlihat bahwa pendekatan
metode Homotopi memiliki hasil yang hampir
sesuai dengan penyelesaian numerik dari
persamaan getaran bebas.
Selanjutnya untuk pendekatan
penyelesaian persamaan (3.9) konvergen pada
saat . Pendekatan dari nilai
frekuensi dan titik keseimbangan
bergantung pada parameter bantu tak nol .
Gambar 6 menunjukkan bahwa penyelesaian
untuk frekuensi dengan metode homotopi
akan cepat mendekati penyelesaian eksaknya,
jika dipilih pada .2. Gambar 7
menunjukkan bahwa titik keseimbangan
Gambar 3 Fungsi frekuensi 𝜔 terhadap
parameter bantu saat .
Gambar 5 Perbandingan penyelesaian numerik
dengan penyelesaian dengan metode homotopi
orde ke-2 dan orde ke-9 saat .
Gambar 4 Fungsi titik keseimbangan 𝛿
terhadap parameter bantu saat .
12
getaran akan cepat mendekati penyelesaian
eksaknya jika dipilih pada −1.5 −0.2.
Misalkan dipilih diperoleh hasil
pendekatan analitik dari frekuensi dan titik
keseimbangan getarandengan ,
dalam Tabel 2 berikut:
Tabel 2 Pendekatan analitik hingga orde
saat
Orde ke- Frekuensi
(ω) Titik
keseimbangan (δ)
1 0.981727 −0.019950
2 0.982855 −0.020372
3 0.923779 −0.020465
4 0.982816 −0.020485
5 0.982806 −0.020490
6 0.982806 −0.020491
7 0.982806 −0.020491
8 0.982806 −0.020491
9 0.982806 −0.020491
10 0.982806 −0.020491
Berdasarkan Tabel 1 terlihat bahwa frekuensi
dan titik keseimbangan getaran mendekati
nilai dan .
Kemudian diperoleh pendekatan penyelesaian
persamaan getaran bebas dengan
ketaklinearan berbentuk fungsi kuadrat
dengan metode Homotopi terlihat pada
Gambar 5 berikut:
Terlihat pada Gambar 8, hasil pendekatan
dengan metode Homotopi dapat sesuai dengan
hasil numerik dari model getaran bebas.
Pemilihan operator bantu dan
memengaruhi kekonvergenan dari
penyelesaian persamaan getaran bebas dengan
ketaklinearan berbentuk kuadrat.
Gambar 8 Perbandingan penyelesaian
numerik dengan penyelesaian dengan metode
homotopi orde ke-2 dan orde ke-9 saat
.
Gambar 6 Fungsi frekuensi 𝜔 terhadap
parameter bantu saat .
Gambar 7 Fungsi titik keseimbangan
terhadap parameter bantu saat .
13
IV KESIMPULAN
Metode homotopi merupakan salah satu
metode untuk menyelesaikan suatu masalah
taklinear. Metode homotopi memerlukan
suatu parameter bantu dan operator linear dan
taklinear yang dipilih berdasarkan model
persamaan yang muncul dalam masalah
tersebut. Parameter bantu dalam metode
homotopi mempengaruhi daerah penyelesaian
masalah taklinear.
Model getaran dengan ketaklinearan
berbentuk kuadrat merupakan salah satu
masalah yang dapat diselesaikan
menggunakan metode homotopi. Persamaan
dalam model getaran tersebut memuat
frekuensi dan titik keseimbangan getaran yang
ditentukan dalam metode ini. Dalam metode
ini, diperoleh suatu rumus rekursif untuk
menentukan frekuensi dan titik keseimbangan
getaran.
Dengan menggunakan software Maple
diperoleh penyelesaian masalah getaran
taklinear serta pendekatan analitik dari
frekuensi dan titik keseimbangan getaran.
Dalam penelitian ini, diperoleh bahwa
semakin tinggi orde yang digunakan maka
hampiran penyelesaian mendekati
penyelesaian eksaknya. Pemilihan parameter
untuk dan memengaruhi daerah
kekonvergenan dari solusi hampiran untuk
frekuensi dan titik keseimbangan getaran. Jika
amplitudo getaran dipilih dan ,
maka parameter dipilih pada
dan untuk medapatkanfrekuensi yang
mendekati penyelesaian eksaknya. Sedangkan
titik keseimbangan getaran memenuhi pada
. dalam hal , pemilihan
pada memberikan nilai
frekuensi yang mendekati penyelesaian
eksaknya, sedangkan untuk
memberikan nilai titik keseimbangan getaran
yang mendekati penyelesaian eksaknya.
14
DAFTAR PUSTAKA
Adomian G. 1988. A review of The
Decomposition Method in Applied
Mathematics. J. Math. Anal. Appl., 135,
501-544.
Balachandran B,Magrab E.2009.
Oscillation 2nd
edition. Nelson Education
Ltd, Kanada.
Jianmin W, Zhengcai C.2008. Nonlinear
oscillations with parametric excitation
solvedby homotopy analysis method.
Acta Mech Sin(24:325–329).
Halliday R. 1987. Fisika Jilid 1.Edisi
Ketiga. P Silaban dan E Sucipto,
penerjemah. Jakarta: Erlangga.
Terjemahan dari: Physics, 3rd Edition.
Kreyszig E. 1998. Advanced Engineering
Mathematics 8th
edition. John Wiley,
New York.
Liao S.2004. Beyond Pertubation:
Introduction to the Homotopy Analysis
Method. Boca Raton, New York
Washington,D.C.
Stanley JF.1994. An Introduction to
Differential Equations and Their
Applications. Mc Graw-Hill Inc, USA.
LAMPIRAN
16
Lampiran 1 Penyelesaian pada Contoh Masalah Nilai Awal (2.19)
Perhatikan masalah nilai awal (2.19) berikut:
( ) ,
Didefinisikan
[ ]
( ) dan [ ]
Dengan menggunakan persamaan (2.20) yaitu
[ ] [ ] diperoleh
[ ] [ ]
atau
∫ [ ]
atau
∫ [ ]
Jika dipilih , maka diperoleh
∫ [ ]
atau
∫
[ ]
Karena dan dipilih pendekatan awal , maka untuk m = 1
∫ [
∫
( )
∫
Untuk m = 2
∫
(
( ))
∫
( )
∫
(
) ( )
∫
17
Dengan cara yang sama untuk nilai m yang lainnya, diperoleh barisan sebagai berikut
.
.
.
Dengan demikian penyelesaian masalah nilai awal (2.19) dengan menggunakan metode homotopi
adalah
atau
18
Lampiran 2 Penurunan Persamaan (3.28), (3.30), dan (3.31)
Tinjau persamaan (3.17) sebagai berikut:
[ ] [ ] [ ] [ ] [
]
atau
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [
]
[
]
Turunan pertama terhadap q dari kedua ruas persamaan (3.17), diperoleh
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ]
[
]
[ ]
Untuk q = 0 kemudian kedua ruas dikalikan
[ ]
|
[ ]
[ ]|
[ ]
|
[ ] [ ] |
[ ]
|
[
] |
Karena dan berdasarkan persamaan (3.19)-(3.21), maka persamaan di
atas menjadi
[
|
]
[ ]|
[
[ ]
|
]
atau
[ ] [ ]|
[ [ ]
|
]
19
Selanjutnya, jika kedua ruas pada persamaan (3.17) diturunkan dua kali (m = 2) terhadap q maka
diperoleh
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
(
)
(
)
(
)
Untuk q = 0 kemudian kedua ruas dikalikan
[ ]
|
[ ]
|
[ ]
|
[ ]
|
[ ]
|
(
)|
(
)|
Karena dan berdasarkan persamaan (3.19)-(3.21), maka persamaan di
atas menjadi
[
|
|
]
[ ]
|
(
[ ]
|
[ ]
|
)
atau
20
[ ] [ ]
|
(
[ ]
|
[ ]
|
)
Dengan cara yang sama dengan sebelumnya, untuk m = 3,diperoleh
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
(
)
(
)
(
)
Untuk q = 0 kemudian kedua ruas dikalikan
diperoleh
[ ]
|
[ ]
|
[ ]
|
[ ]
|
[ ]
|
(
)|
(
)|
Karena dan berdasarkan persamaan (3.19)-(3.21), maka persamaan di
atas menjadi
21
[
|
|
]
[ ]
|
(
[ ]
|
[ ]
|
)
atau
[ ]
[ ]
|
(
[ ]
|
[ ]
|
)
Dengan demikian secara umum diperoleh untuk m = 1,2,3,...
[ ]
[ ]
|
((∑
∑
)
[ ]
|
[ ]
|
)
atau
[ ] [ ] [ ]
dengan
[ ]
[ ]
[ ] (∑ ∑
) [ ( ) ( )]
dan
( )
[ ]
0, 1
1, lainnya.m
m
m
22
Lampiran 3 Penurunan Persamaan (3.32)
Tinjau Persamaan (3.30) berikut:
[ ]
[ ]
dan persamaan (3.15)
Untuk m = 1
[ ] [ ]|
[ ] |
atau
[ ]
[ ]
karena , , dan maka diperoleh
[ ]
[
]
Untuk m = 2
[ ] [ ]
(
[ ] |
)
(
)
*
+|
Berdasarkan persamaan (3.15)-(3.21) diperoleh
[ ] [
]
Dengan demikian secara umum untuk , diperoleh
[ ] ∑ (∑
) ∑
dengan
23
Lampiran 4 Penurunan Persamaan (3.36)
Karena [ ] [
], dan berdasarkan persamaan (3.28) dan (3.34)
berikut
[ ] ∑
maka diperoleh
*
( ) + ∑
atau
( )
( ∑
)
Penyelesaian tak homogen diperoleh dengan metode koefisien tak tentu,
untuk , misalkan
(∑
)
(∑
)
(∑
)
(∑
)
( ∑
)
Jadi,
(∑
)
∑
Untuk ,
( )
(∑
)
(∑
)
24
∑
(∑
)
Misal
(∑
)
(∑
)
(∑
)
(∑
)
(∑
)
(∑
)
∑
(∑
)
(∑
)
(∑
)
∑
∑
dan seterusnya.
Sehingga bentuk sebagai berikut:
∑
Penyelesaian homogennya sebagai berikut:
persamaan karakteristik :
diperoleh penyelesaian
sehingga diperoleh solusi homogennya sebagai berikut
Secara umum bentuk dapat dituliskan sebagai berikut:
∑
25
Lampiran 5. Program Maple Persamaan (3.40)-(3.43) dan Persamaan (3.45)-(3.47)
Program Maple Persamaan (3.40)-(3.43)
> restart;
> m:=10:
> V[0]:=a*cos(tau):
> L:=U->omega[0]^2*(diff(U,tau$2)+U):
> k:=1..4:
> if k=1 then chi:=0;
else
chi:=1;
fi:
> p1:=0:
for j from 0 to k-1 do
q:=0:
for i from 0 to j do
q:=q+omega[i]*omega[j-i];
od;
p1:=p1+q*diff(V[k-1-j],tau$2)
od:
> p1:=combine(p1,trig):
> p1:=frontend(expand,[p1]):
> p2:=0:
for j from 0 to k-1 do
p2:=p2+(delta[j]+V[j])*(delta[k-1-j]+V[k-1-j]);
od:
> p2:=combine(p2,trig):
> p2:=frontend(expand,[p2]):
> p:=p1+delta[k-1]+V[k-1]+gamma*p2:
> p:=frontend(expand,[p]):
> coef_cos:=coeff(p,cos(tau)):
> q:=indets(p):
> r:=0:
for i from 1 to nops(q) do
if hasfun(q[i],cos) then r:=r+coeff(p,cos(op(q[i])))*cos(op(q[i])) fi;
od;
> r:
> frontend(expand,[r]):
> C:=p-frontend(expand,[r]):
> sol_delta:=solve({C=0},[delta[k-1]]):
> if k=1 then
if (signum(rhs(sol_delta[2][1])) assuming a>0 assuming gamma>0)=1 then
delta[0]:=rhs(sol_delta[2][1]);
sol_omega:=solve(subs(sol_delta[2],coef_cos),[omega[0]]);
else
delta[0]:=rhs(sol_delta[1][1]);
sol_omega:=solve(subs(sol_delta[1],coef_cos),[omega[0]]);
fi;
else
delta[k-1]:=rhs(sol_delta[1][1]);
sol_omega:=solve(subs(sol_delta[1],coef_cos),[omega[k-1]]);
fi:
> if k=1 then
if (signum(rhs(sol_omega[2][1])) assuming a>0 assuming gamma>0)=1 then
omega[0]:=rhs(sol_omega[2][1]);
else
omega[0]:=rhs(sol_omega[1][1]);
26
fi;
else
omega[k-1]:=rhs(sol_omega[1][1]);
fi:
> solution:=rhs(dsolve(L(u(tau)))):
> uSpecial:=0:
> for j from 2 to 5 do
uSpecial:=uSpecial+coeff(p,cos(j*tau))/(1-j^2)*cos(j*tau);
od:
> V[k]:=subs(_C1=0,chi*V[k-1]+h/omega[0]^2*uSpecial+solution):
> v:=unapply(V[k],tau):
> V[k]:=subs(_C2=solve(v(0)-v(Pi),_C2),V[k]):
> appr:=0:
> for i from 0 to 4 do
appr:=appr+V[i];
od:
> gamma:
> appr0:=unapply(appr,(h,gamma,a,tau)):
> omega_appr1:=0:
> for i from 0 to 1 do
omega_appr1:=omega_appr1+omega[i];
od:
> omega_appr1:
> omega_appr1:=subs(a=x/gamma,omega_appr1):
> omega_appr1:=unapply(omega_appr1,(h,x)):
> omega_appr2:=0:
> for i from 0 to 2 do
omega_appr2:=omega_appr2+omega[i];
od:
> omega_appr2:
> omega_appr2:=subs(a=x/gamma,omega_appr2):
> omega_appr2:=unapply(omega_appr2,(h,x)):
> omega_appr3 := 0;
> for i from 0 to 3 do omega_appr3 := omega_appr3+omega[i]
end do;
> omega_appr3;
> omega_appr3 := subs(a = x/gamma, omega_appr3);
> omega_appr3 := unapply(omega_appr3, h, x);
> delta_appr1:=0:
> for i from 0 to 1 do
delta_appr1:=delta_appr1+delta[i]
od:
> delta_appr1:
> delta_appr1:=delta_appr1*gamma:
> delta_appr1:=subs(a=x/gamma,delta_appr1):
> delta_appr1:=unapply(delta_appr1,(h,x)):
> delta_appr2:=0:
> for i from 0 to 2 do
delta_appr2:=delta_appr2+delta[i];
od:
> delta_appr2:
> delta_appr2:=subs(a=x/gamma,simplify(delta_appr2*gamma)):
> delta_appr2:=unapply(delta_appr2,(h,x)):
> delta_appr3 := 0;
> for i from 0 to 3 do delta_appr3 := delta_appr3+delta[i]
od;
> delta_appr3;
> delta_appr3 := subs(a = x/gamma, simplify(delta_appr3*gamma));
27
> delta_appr3 := unapply(delta_appr3, h, x);
Program Maple Persamaan (3.45)-(3.47)
> restart:
> m:=10:
> V:=array(0..m):
> V[0]:=a*cos(tau):
> L:=U->omega[0]^2*(diff(U,tau$2)+U):
> h2:=-1:
> delta[0]:=(omega[0]^2-1)/(2*gamma):
> k:=1..3:
> if k=1 then chi:=0;
else
chi:=1;
fi:
> p1:=0:
for j from 0 to k-1 do
q:=0:
for i from 0 to j do
q:=q+omega[i]*omega[j-i];
od;
p1:=p1+q*diff(V[k-1-j],tau$2)
od:
> p1:=combine(p1,trig):
> p1:=frontend(expand,[p1]):
> p2:=0:
for j from 0 to k-1 do
p2:=p2+(delta[j]+V[j])*(delta[k-1-j]+V[k-1-j]);
od:
> p2:=combine(p2,trig):
> p2:=frontend(expand,[p2]):
> p:=p1+delta[k-1]+V[k-1]+gamma*p2:
> p:=frontend(expand,[p]):
> p3:=0:
for j from 0 to k do
p3:=p3+omega[j]*omega[k-j];
od:
> p4:=0:
for j from 0 to k-1 do
p4:=p4+omega[j]*omega[k-1-j];
od:
> p4:
> p_omega:=-a*cos(tau)*(p3-chi*p4)*h2:
> p5:=0:
for j from 0 to k do
p5:=p5+delta[j]*delta[k-j];
od:
> p6:=0:
for j from 0 to k-1 do
p6:=p6+delta[j]*delta[k-1-j];
od:
> p_delta:=(delta[k]+gamma*p5-chi*(delta[k-1]+gamma*p5))*h2:
> p:=p*h+p_omega+p_delta:
> p:=frontend(expand,[p]):
> q:=indets(p):
> nops(q):
> r:=0:
28
> for i from 1 to nops(q) do
if hasfun(q[i],cos) then r:=r+coeff(p,cos(op(q[i])))*cos(op(q[i])); fi
od:
> r:
> C:=p-frontend(expand,[r]):
> coef_cos:=coeff(p,cos(tau)):
> p:=p-frontend(expand,[coef_cos*cos(tau)])-C:
> sol_delta:=solve(C,[delta[k]]):
> sol_omega:=solve(coef_cos,[omega[k]]):
> delta[k]:=rhs(sol_delta[1][1]):
> omega[k]:=rhs(sol_omega[1][1]):
> solution:=rhs(dsolve(L(u(tau)))):
> uSpecial:=0:
> for j from 2 to 4 do
uSpecial:=uSpecial+coeff(p,cos(j*tau))/(1-j^2)*cos(j*tau);
od:
> V[k]:=subs(_C1=0,chi*V[k-1]+1/omega[0]^2*uSpecial+solution):
> v:=unapply(V[k],tau):
> V[k]:=subs(_C2=solve(v(0)-v(Pi),_C2),V[k]):
> V[k]:=frontend(expand,[V[k]]):
> omega[0]:=(1-16/9*a^2*gamma^2)^(1/4):
> omega_appr1:=0:
> for i from 0 to 1 do
omega_appr1:=omega_appr1+omega[i];
od:
> omega_appr1:
> omega_appr1:=subs(a=x/gamma,omega_appr1):
> omega_appr1:=unapply(omega_appr1,(h,x)):
> omega_appr2:=0:
> for i from 0 to 2 do
omega_appr2:=omega_appr2+omega[i];
od:
> omega_appr2:
> omega_appr2:=subs(a=x/gamma,omega_appr2):
> omega_appr2:=unapply(omega_appr2,(h,x)):
> omega_appr3 := 0;
> for i from 0 to 3 do omega_appr3 := omega_appr3+omega[i]
od;
> omega_appr3;
> omega_appr3 := subs(a = x/gamma, omega_appr3);
> omega_appr3 := unapply(omega_appr3, h, x);
> delta_appr1:=0:
> for i from 0 to 1 do
delta_appr1:=delta_appr1+delta[i]
od:
> delta_appr1:
> delta_appr1:=simplify(delta_appr1*gamma):
> delta_appr1:=subs(a=x/gamma,delta_appr1):
> delta_appr1:=unapply(delta_appr1,(h,x)):
> delta_appr2:=0:
> for i from 0 to 2 do
delta_appr2:=delta_appr2+delta[i];
od:
> delta_appr2:
> delta_appr2:=subs(a=x/gamma,simplify(delta_appr2*gamma)):
> delta_appr2:=unapply(delta_appr2,(h,x)):
> delta_appr3 := 0;
> for i from 0 to 3 do delta_appr3 := delta_appr3+delta[i]
29
od;
> delta_appr3;
> delta_appr3 := subs(a = x/gamma, simplify(delta_appr3*gamma));
> delta_appr3 := unapply(delta_appr3, h, x);
Lampiran 6. Program Mapleuntuk Gambar 3
> appr2 := 0;
> for i from 0 to 8 do appr2 := appr2+omega[i] end do;
> appr3 := unapply(appr2, h, a, gamma);
> plot(appr3(h, .2, 1), h = -3 .. 2, -0.5 .. 1.5);
Lampiran 7. Program Maple untuk Gambar 4
> appr1 := 0;
> for i from 0 to 8 do appr1 := appr1+delta[i] end do;
> appr2 := unapply(appr1, h, a, gamma);
> plot(appr2(h, .2, 1), h = -3 .. 2, -0.1 .. 0.1);
Lampiran 8. Program Maple untuk Gambar 5
> with(plots); with(Student[NumericalAnalysis]);
> solusi := −0.020404+V[0]+V[1]+V[2];
> solusi1 := −0.020404+V[0]+V[1]+V[2]+V[3]+V[4]+V[5]+V[6]+V[7]+V[8]+V[9];
> tau :=0.982894*t;
> grafik := unapply(solusi, h, a, gamma, t);
> grafik1 := unapply(solusi1, h, a, gamma, t);
> plot1 := plot(grafik(-0.8, 0.2, 1, t), t = 0 .. 15, color = magenta, thickness = 2, linestyle = dash,
legend = HAM_orde_2);
> plot2 := plot(grafik1(-0.8, 0.2, 1, t), t = 0 .. 15, color = yellow, thickness = 2, linestyle = dashdot,
legend = HAM_orde_6);
> ode := diff(u(t), t, t)+u(t)+1*u(t)^2 = 0;
> ics := u(0) = 0.2-0.87398e-1, (D(u))(0) = 0;
> sol := dsolve({ics, ode}, u(t), numeric, stiff = true, range = 0 .. 15);
> plot3 := odeplot(sol, 0 .. 15, refine = 1, thickness = 2, legend = numerik);
> plots[display](plot1, plot2, plot3);
Lampiran 9. Program Maple untuk Gambar 6
> appr1 := 0;
> for i from 0 to 11 do appr1 := appr1+omega[i] end do;
> appr2 := unapply(appr1, h, a, gamma);
> plot(appr2(h, .2, 1), h = -3 .. 2, -1 .. 1.5);
Lampiran 10. Program Maple untuk Gambar 7
> appr := 0;
> for i from 0 to 11 do appr := appr+delta[i] end do;
> appr0 := unapply(appr, h, a, gamma);
> plot(appr0(h, .2, 1), h = -2.3 .. 1, -0.05 .. 0.01);
Lampiran 11. Program Mapleuntuk Gambar 8
> with(plots); with(Student[NumericalAnalysis]);
solusi:=−0.020491V[0]+V[1]+V[2]:
> solusi1 := −0.020491+V[0]+V[1]+V[2]+V[3]+V[4]+V[5]+V[6];
> tau := 0.982806*t;
> grafik := unapply(solusi, h, a, gamma, t);
30
> grafik1 := unapply(solusi1, h, a, gamma, t);
> plot1 := plot(grafik(-0.8, 0.2, 1, t), t = 0 .. 15, color = blue, linestyle = dash, thickness = 2, legend
= HAM_orde_2);
> plot2 := plot(grafik(-0.8, 0.2, 1, t), t = 0 .. 15, color = green, linestyle = dashdot, thickness = 2,
legend = HAM_orde_6);
> ode := diff(u(t), t, t)+u(t)+1*u(t)^2 = 0;
> ics := u(0) = 02-0.89363e-1, (D(u))(0) = 0;
> sol := dsolve({ics, ode}, u(t), numeric,stiff=true, range = 0 .. .1);
> plot3 := odeplot(sol, 0 .. 15, refine = 1, color = red, thickness = 2, legend = numerik);
> plot3;
> plots[display](plot1, plot2, plot3);