Upload
nguyentuyen
View
228
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
METODE NUMERIKTKM4104
Kuliah ke-2
DERET TAYLOR DAN
ANALISIS GALAT
DERET TAYLOR
o Deret Taylor adalah alat yang utama untukmenurunkan suatu metode numerik.
o Deret Taylor berguna untuk menghampirifungsi ke dalam bentuk polinom
o Fungsi yang rumit menjadi sederhana denganderet Taylor
DERET TAYLOR
Definisi :
Andai kata f dan semua turunannya, f ’,f ’’,f ’’’,…menerus di dalam selang [a,b]. Misalkan : xoє[a,b], maka nilai-nilai x di sekitar xo danxє[a,b], f(x) dapat diperluas (diekspansi) ke dalam deret Taylor :
DERET TAYLOR
Jika (x-xo)=h, maka :
Contoh :
Hampiri fungsi f(x)=sin(x) ke dalam deret Taylor di sekitarxo=1.
Penyelesaian :
f(x) = sin(x) f ’’’(x) = - cos(x)
f ’(x) = -cos(x) f(4)(x) = sin(x)
f ’’(x) = - sin(x) dst.
DERET TAYLOR
maka :
Kasus khusus adalah bila fungsi diperluas di sekitar xo=0, maka deretnya dinamakan deret Maclaurin yang merupakan deret Taylor baku.
Contoh 1 :
f(x)= sin(x) dimana xo = 0
...)1sin(24
)1cos(6
)1sin(2
)1cos()1sin( )sin( )(432
hhh
hxxf
...0351,00901,04208,05403,08415,0)( 432 hhhhxf
Penyelesaian :
Contoh 2 : f(x)=ex dimana xo=0
Penyelesaian :
)0cos(6
)0sin(2
)0cos()0sin( )sin( )(32 hh
hxxf
...!4
)0(
!3
)0(
!2
)0(
!1
)0()( 0
430
200
e
xxe
xe
xeexf x
...1206
)sin( )(53
xx
xxxf
...!4!3!2
1)(43
02
xx
ex
xexf x
DERET TAYLOR
Karena suku-suku deret Taylor tidak berhinggabanyaknya, maka untuk alasan praktis deret Taylor dipotong sampai suku order tertentu.
Deret Taylor yg dipotong s/d order ke-n dinamakanderet Taylor terpotong yg dinyatakan:
)()(!
)(....)(
!2
)()(
!1
)()()( )(''
2
0
' xRxfn
xxxf
xxxf
xxxfxf no
nn
oo
ooo
)(/ );()!1(
)()( )1(
)1(
residusisagalatdisebutxcxcfn
xxxR o
nn
on
DERET TAYLOR
Dengan demikian deret Taylor yg dipotong sampai sukuorder ke-n dapat ditulis :
dimana :
)()()( xRxPxf nn
DERET TAYLOR
)(!
)()(
1
o
kn
k
k
on xf
k
xxxP
)()!1(
)()( )1(
)1(
cfn
xxxR n
n
on
Contoh : f(x)=sin(x); xo=1; utk deret Taylor orde
ke-n
Penyelesaian :
)1sin(!4
)1()1cos(
!3
)1()1sin(
!2
)1()1cos(
!1
)1()1sin()(
432
4
xxxxxP
)cos(!5
)1()(
)!14(
)1()(
5)14(
)14(
4 cx
cfx
xRGalat
DERET TAYLOR
a. Apa itu galat?
b. Mengapa harus ada galat?
c. Bagaimana menghitung galat?
d. Bagaimana galat timbul?
ANALISIS GALAT
oSolusi dengan metode numerik adalahsolusi hampiran (aproksimasi) terhadapsolusi eksak
oGalat (ε) adalah perbedaan antara solusihampiran dengan solusi eksak.
oDefinisi: ε= a - â
ANALISIS GALAT
ANALISIS GALAT
^
aaMutlakGalat
%100 : xa
relatifGalat R
%100 : ^
x
a
hampiranrelatifGalat RA
Misalkan :
Contoh :
: , ^
makaasejatinilaiterhadaphampirannilaiadalaha
galatdisebutaa ^
45,10 10,5; ^
aa 05,05,1045,10
ANALISIS GALAT
Contoh :
Diketahui : a= 10/3; â = 3,333
Hitung : (a). Galat !
(b). Galat mutlak !
(c). Galat relatif !
(d). Galat relatif hampiran !
Penyelesaian :
(a). Galat : ε = a-â = 10/3 – 3,333
= 10.000/3000 – 9999/3000
= 1/3000 = 0,000333
(b).
(c).
(d).
Pendekatan lain, perhitungan numerik yg meng-gunakan pendekatan lelaran(iteration), εRA dihitung dengan cara :
dimana : ar+1 = nilai hampiran lelaran sekarang
ar = nilai hampiran lelaran sebelumnya
0,01%100%x (10/3)
0,000333 100%x : relatifGalat
aR
999
1100%x
3,333
0,000333 100%x :hampiran relatifGalat
^
aRA
1
1
r
rrRA
a
aa
000333,0^
aaMutlakGalat
Proses lelaran dihentikan bila :
|εRA| < εS
εS = Toleransi galat yang dispesifikasikan
Semakin kecil εS, semakin teliti solusinya, namun semakin banyak proses lelarannya
Contoh :
Diketahui : Xr+1=(Xr3 + 3)/6; r =0,1,2,3
Xo= 0,5; εs= 0,00001
Hitung : εRA !
Penyelesaian :
Xo = 0,5
X1 = 0,4791667;
X2 = 0,4816638;
X3 = 0,4813757;
X4 = 0,4814091;
X5 = 0,4814052;
sRA
043478,0X
)XX(
1
o1
sRA
0051843,0X
)XX(
2
12
sRA
0005984,0X
)XX(
3
23
sRA
0000693,0X
)XX(
4
34
! ,0000081,0X
)XX(
5
45 berhentisRA
Secara umum terdapat dua sumber utamapenyebab galat dlm perhitungan numerik, yaitu :
1. Galat pemotongan (truncation error)
2. Galat pembulatan (round-off error)
Ada sumber galat lain, yaitu :
1. Galat eksperimental
2. Galat pemrograman
SUMBER UTAMA GALAT NUMERIK
o Galat ini timbul akibat penggunaan hampiran sebagaipengganti formula eksak.
o Ekspresi matematika yg lebih kompleks diganti denganformula yg lebih sederhana
o Tipe galat pemotongan bergantung pada metodekomputasi yg digunakan untuk penghampiran shgkadang-kadang disebut juga galat metode.
GALAT PEMOTONGAN
Misalkan: turunan pertama f(x1), dihampiri dengan formula :
dimana : h = lebar absis xi+1
Contoh : hampiran fungsi cos(x) dengan bantuan deret Taylor di sekitar x = 0 !
Penyelesaian :
f(x) = cos(x) f(4)(x) = sin(x)
f ’(x) = - sin(x)
f ’’(x) = - cos(x)
h
xfxfx iif
)()()( 1
1
'
Maka :
Galat pemotongan :
......!10!8!6!4!2
1)cos()(108642
xxxxx
xxf
)()!1(
)()( )1(
)1(
cfn
xxxR n
n
on
Nilai hampiran Galat pemotongan
)cos(!5
)()!14(
)0()(
5)14(
)14(
4 cx
cfx
xR
Nilai Rn yg tepat hampir tdk pernah dapat kitaperoleh, karena kita tdk mengetahui nilai c sebenarnyaterkecuali informasi bahwa c terletak pada selangtertentu. Karenanya tugas kita adalah mencari nilaimaksimum yg mungkin dari |Rn| untuk c dalam selangyg diberikan, yaitu :
)!1(
)x-(x )()(
)1(
o)1(
ncfxR
nn
xcx
n Makso
Contoh-1 :
Gunakan deret Taylor orde 4 di sekitar xo=1 untuk menghampiri ln(0,9) danberi-kan taksiran untuk galat maksimum yang dibuat !
Penyelesaian :
f(x) = ln(x) f(1) = 0
f’(x) = 1/x f’(x) = 1
f’’(x) = -1/x2 f’(x) = -1
f’’’(x) = 2/x3 f’’’’(x) = 2
f(4)(x) = - 6/x4 f(4)(x) = -6
f(5)(x) = 24/x5 f(5)(c) = 24/c5
Deret Taylor :
Jadi : ln(0,9) = -0,1053583 dengan galat pemo-tongan < 0,0000034.
)(4
)1(
3
)1(
2
)1()1()ln( 4
432
xRxxx
xx
)(4
)1,0(
3
)1,0(
2
)1,0(1,0)9,0ln( 4
432
xR
)(1053583,0)9,0ln( 4 xR
0000034,05!
(-0,1)x
c
24)9,0(
5
519,0
4
Maksc
R
Contoh-2 :
Hampiri nilai secara numerik, yaitu :
dengan deret Maclaurin orde 8 !
Penyelesaian :
Deret Maclaurin orde 8 dari adalah :
dxex
1
0
2 2
)( xexf
2
)( xexf
!4!3!21
86422 xxx
xex
dxxxx
xdxex )!4!3!2
1(861
0
1
0
422
4617724,1216
1
42
1
10
1
3
11
0
1
21642103
9753
x
xxxxxx
o Perhitungan dgn metode numerik hampir selalumenggunakan bilangan nyata
o Dengan aplikasi computer, semua bilangan riiltdk dapat disajikan secara tepat
o Keterbatasan komputer dalam menyajikanbilangan riil menghasilkan galat yang disebutgalat pembulatan.
GALAT PEMBULATAN
Contoh :
1/6 = 0,16666666, kalau 6 digit komputer hanya menuliskan0,166667.
Galat pembulatannya = 1/6 – 0,166667 = -0,00000033.
Kebanyakan komputer digital mempunyai dua cara penyajianbilangan riil, yaitu :
(a). Bilangan titik tetap (fixed point)
Contoh : 62.358; 0,013; 1.000
(b). Bilangan titik kambang (floating point)
Contoh : 0,6238 x 103 atau 0,6238E+03
0,1714 x 10-13 atau
0,1714E-13
Digit-digit berarti di dalam format bilangan titik kambang disebutjuga “Angka Bena” (significant figure).
Adalah angka bermakna, angka penting atauangka yg dapat digunakan dgn pasti.
Contoh :
43.123 memiliki 5 angka bena (4,3,1,2,3)
0,1764 memiliki 4 angka bena (1,7,6,4)
0,0000012 memiliki 2 angka bena (1,2)
278.300 memiliki 6 angka bena (2,7,8,3,0,0)
0,0090 memiliki 2 angka bena (9,0)
ANGKA BENA
Galat akhir atau galat total pada solusi numerik merupakanjumlah galat pemotongan dan galat pembulatan.
Contoh :
Galat pemotongan timbul karena kita menghampiri cos(0,2) s/d suku orde 4 sedangkan galat pembulatan timbul karenakita membulatkan nilai hampiran ke dalam 7 digit bena.
9800667,024
)2,0(
2
)2,0(1)2,0(
42
Cos
Galat pemotongan Galat pembulatan
GALAT TOTAL