PENYELESAIAN PERSAMAAN GELOMBANG AIR DANGKAL … · Aliran fluida merupakan salah ... Persamaan gelombang air dangkal dalam bentuk sistem persamaan diferensial parsial ... Pada bagian

PENYELESAIAN PERSAMAAN GELOMBANG AIR

DANGKAL DENGAN BEBERAPA METODE NUMERIS

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Matematika

Program Studi Matematika

Disusun oleh:

Ilga Purnama Sari

NIM: 123114023

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2016

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

i

PENYELESAIAN PERSAMAAN GELOMBANG AIR

DANGKAL DENGAN BEBERAPA METODE NUMERIS

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

Memperoleh Gelar Sarjana Matematika

Program Studi Matematika

Disusun oleh:

Ilga Purnama Sari

NIM: 123114023

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2016


ii

SOLUTION TO THE SHALLOW WATER WAVE

EQUATIONS WITH SOME NUMERICAL METHODS

A THESIS

Presented as Partial Fulfillment of the

Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Matematika

Mathematics Study Program

Written by:

Ilga Purnama Sari

Student ID: 123114023

MATHEMATICS STUDY PROGRAM

DEPARTMENT OF MATHEMATICS

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

2016


iii


iv


v


vi


vii

ABSTRAK

Persamaan gelombang air dangkal adalah persamaan yang memodelkan

aliran air di tempat terbuka. Persamaan gelombang air dangkal seringkali disebut

sistem Saint-Venant yang diturunkan dari hukum kekekalan massa dan momentum.

Dalam skripsi ini, persamaan gelombang air dangkal diselesaikan

menggunakan beberapa metode, yaitu metode volume hingga, metode beda hingga

grid kolokasi dan metode beda hingga grid selang-seling. Metode volume hingga

bekerja dengan cara membagi domain ruang menjadi sebanyak berhingga sel,

kemudian dihitung rata-rata kuantitas untuk masing-masing sel. Metode beda

hingga grid kolokasi dikerjakan secara implisit yaitu membagi domain ruang

menjadi sebanyak berhingga titik, kemudian persamaan gelombang air dangkal

didiskretkan dan membentuk sebuah sistem persamaan linear. Terakhir, metode

beda hingga grid selang-seling bekerja dengan cara membagi domain perhitungan

ruang secara selang-seling. Kedalaman air dihitung pada grid dengan indeks

bilangan bulat dan kecepatan air dihitung pada grid dengan indeks pecahan.

Penggunaan metode yang tepat akan menghasilkan solusi yang akurat untuk

persamaan gelombang air dangkal.

Penelitian ini menguji beberapa metode numeris yang bisa digunakan untuk

menyelesaikan persamaan gelombang air dangkal satu dimensi. Pengujian

dilakukan menggunakan simulasi numeris. Analisis hasil simulasi dilakukan

dengan observasi hasil simulasi di setiap metode dan membandingkannya dengan

hasil solusi eksak.


viii

ABSTRACT

The shallow water wave equations model water flows in an open channel.

The shallow water wave equations are often called the Saint-Venant system derived

from the conservations of mass and momentum.

In this thesis, the shallow water wave equations are solved using several

methods, the Lax-Friedrichs finite volume method, collocation grid finite difference

method and staggered grid finite difference method. The finite volume method

works by dividing the spatial domain into a finite number of cells, then calculating

the average quantity for each cell. The collocation grid finite difference method

divides the spatial domain into a finite number of computational points for the

shallow water equation discretization and forms a linear system of equations.

Finally, the staggered grid finite difference method works by discretising the

computational domain into staggered spatial partitions. The staggered finite

diference means that we approximate the quantities of interest of the shallow water

equations on different cells. In the staggered formulation, water depth is calculated

at full grid points and water velocity is calculated at half grid points. The

appropriate method will produce an accurate solution for the shallow water wave

equations.

This study examines several numerical methods for solving the one

dimensional shallow water wave equations. We investigate the performance of

these numerical methods using numerical simulations. Analysis of simulation

results are done by observing the results of each method and comparing the

numerical results with the exact solution.


ix

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL .............................................................................................. i

HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS .......................................... ii

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................. iii

HALAMAN PENGESAHAN .............................................................................. iv

HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA .......................................... v

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI............................... vi

ABSTRAK .......................................................................................................... vii

ABSTRAK DALAM BAHASA INGGRIS ....................................................... viii

DAFTAR ISI ........................................................................................................ ix

BAB I PENDAHULUAN .................................................................................... 1

A. Latar Belakang ......................................................................................... 1

B. Rumusan Masalah .................................................................................... 4

C. Pembatasan Masalah ................................................................................ 5

D. Tujuan Penulisan ...................................................................................... 5

E. Metode Penulisan ..................................................................................... 5

F. Manfaat Penulisan .................................................................................... 6

G. Sistematika Penulisan .............................................................................. 6

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL ........................................................... 8


x

A. Integral ...................................................................................................... 8

B. Klasifikasi Persamaan Diferensial .......................................................... 11

C. Nilai Eigen dan Vektor Eigen ................................................................. 15

D. Persamaan Diferensial Hiperbolik .......................................................... 16

E. Penurunan Numeris ................................................................................. 18

F. Karakteristik Persamaan Gelombang Air Dangkal ................................. 25

BAB III METODE NUMERIS UNTUK PERSAMAAN GELOMBANG AIR

DANGKAL ........................................................................................................ 28

A. Solusi Eksak Persamaan Gelombang Air Dangkal ................................. 28

B. Penurunan Persamaan Gelombang Air Dangkal Satu Dimensi .............. 29

C. Masalah Bendungan Bobol ..................................................................... 35

D. Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs ................................................. 37

E. Metode Beda Hingga Grid Kolokasi ....................................................... 44

F. Metode Beda Hingga Grid Selang-Seling ............................................... 53

BAB IV PERBANDINGAN BEBERAPA METODE NUMERIS DALAM

PENYELESAIAN MODEL GELOMBANG AIR DANGKAL .................... 57

A. Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs ................................................. 58

B. Metode Beda Hingga Grid Kolokasi ....................................................... 62

C. Metode Beda Hingga Grid Selang-Seling ............................................... 66

BAB V PENUTUP ............................................................................................. 71


xi

A. Kesimpulan ............................................................................................ 71

B. Saran ........................................................................................................ 72

DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 73

LAMPIRAN ....................................................................................................... 74


1

BAB I

PENDAHULUAN

Dalam bab ini akan dijelaskan latar belakang, rumusan dan pembatasan

masalah, tujuan dan manfaat penulisan, juga akan disertakan sistematika penulisan.

A. Latar Belakang

Persamaan diferensial merupakan persamaan yang menghubungkan suatu

fungsi beserta turunan-turunannya. Banyak masalah fisis yang dapat diselesaikan

dengan persamaan diferensial. Masalah fisis merupakan masalah yang

berhubungan dengan hukum alam yang dibahas dalam ilmu fisika. Masalah fisis

seperti fluida dapat diselesaikan dengan menggunakan persamaan diferensial

parsial.

Fluida merupakan zat yang dapat mengalir. Zat itu dapat berupa gas atau

cairan. Aliran fluida merupakan salah satu masalah fisis yang sering dijumpai

dalam kehidupan sehari-hari. Masalah yang sudah pernah ada adalah terjadinya

bencana alam seperti bobolnya bendungan air atau tsunami. Bencana alam tersebut

disebabkan oleh aliran air dalam skala besar. Aliran tersebut dapat dimodelkan

secara matematis (Crowhurst, 2013; Crowhurst dan Li, 2013).

Model gelombang air yang sudah ada salah satunya adalah model gelombang

air dangkal atau Shallow Water Wave Equations. Dangkal dalam arti matematis

adalah amplitudo gelombang jauh lebih kecil dibandingkan panjang gelombangnya.


2

Dengan demikian, nilai perbandingan antara amplitudo gelombang (𝑎) dengan

panjang gelombang (𝜆) ditulis 𝑎

𝜆≪ 1.

Penyelesaian persamaan gelombang air dangkal memiliki dua komponen

penting yang tidak diketahui yaitu kedalaman dan kecepatan air, dengan ℎ(𝑥, 𝑡)

adalah kedalaman air dan 𝑢(𝑥, 𝑡) adalah kecepatan air. Di sini, 𝑡 adalah variabel

yang menyatakan waktu dan 𝑥 adalah variabel yang menyatakan ruang satu

dimensi. Persamaan gelombang air dangkal dalam bentuk sistem persamaan

diferensial parsial dinyatakan oleh dua persamaan simultan, yaitu

ℎ𝑡 + (𝑢ℎ)𝑥 = 0 (1.1)

dan

(𝑢ℎ)𝑡 + (𝑢2ℎ +

1

2𝑔ℎ2)𝑥 = −𝑔ℎ𝑧𝑥 (1.2)

dengan 𝑧(𝑥) adalah ketinggian tanah, dan 𝑔 adalah konstanta percepatan gravitasi.

Ilustrasi gelombang air dangkal ditunjukkan dalam Gambar 1.1.

Gambar 1.1: Gelombang air dangkal dan variabel-variabel terkait dalam


𝜆

x

y

𝑤(𝑥, 𝑡)


3

Pada skripsi ini akan diselesaikan persamaan gelombang air dangkal terkait

dengan masalah bendungan bobol. Masalah bendungan bobol memiliki beberapa

asumsi, syarat awal dan syarat batas yang akan dibahas lebih lanjut pada Bab III.

Ilustrasi bendungan air dapat dilihat pada Gambar 1.2.

Gambar 1.2: Bendungan air

Secara umum, solusi persamaan gelombang air dangkal tersebut cukup sulit

untuk dicari secara analitis, sehingga diperlukan cara lain untuk memecahkannya.

Metode numeris adalah salah satu cara untuk memperoleh solusi persamaan

gelombang air dangkal tersebut. Banyak metode numeris yang telah dikembangkan

sebelumnya untuk memecahkan solusi persamaan tersebut, mulai dari metode

karakteristik, metode beda hingga, metode elemen hingga, metode volume hingga

dan sebagainya. Metode beda hingga dikembangkan berdasarkan diskritisasi

langsung dari persamaan diferensial yang dipandang (LeVeque, 1992). Metode

beda hingga unggul dalam kemudahan komputasi. Dalam tugas akhir ini akan

dibahas penyelesaian persamaan gelombang air dangkal dengan metode beda

hingga dan metode volume hingga, karena perumusan kedua metode tersebut

sederhana.

Bendungan air Permukaan air

Permukaan air ℎ1

ℎ0

𝑥


4

Metode beda hingga terbagi atas dua model yaitu model grid kolokasi dan

model grid selang-seling. Pada grid kolokasi ditentukan nilai pendekatan untuk

semua variabel ℎ dan 𝑢 yang tidak diketahui secara bersamaan. Pada grid selang-

seling ditentukan pendekatan variabel ℎ dan 𝑢 secara selang-seling. Salah satu

referensi tentang grid kolokasi adalah LeVeque (1992). Salah satu referensi tentang

grid selang-seling adalah Stelling dan Duinmeijer (2003).

Penelitian ini akan membandingkan hasil perhitungan terbaik antara metode

volume hingga, metode beda hingga grid kolokasi dan metode beda hingga grid

selang-seling. Dari ketiga metode tersebut diperoleh hasil perhitungan terbaik yang

dapat memperbaiki metode beda hingga dengan tidak ada getaran semu (artificial

oscillation) pada hasil simulasi aliran air. Fokus penelitian ini adalah

mengembangkan metode numeris dengan metode beda hingga dan volume hingga

untuk menyimulasikan aliran air.

B. Rumusan Masalah

Permasalahan yang dirumuskan dalam skripsi ini ada empat, yaitu:

1. Bagaimana memodelkan gelombang air dangkal?

2. Bagaimana menyelesaikan dan menyimulasikan persamaan gelombang air

dangkal dengan menggunakan metode volume hingga?


dangkal dengan menggunakan metode beda hingga grid kolokasi?


dangkal dengan menggunakan metode beda hingga grid selang-seling?


5

C. Pembatasan Masalah

Pembahasan masalah dalam skripsi ini akan dibatasi pada memodelkan

gelombang air dangkal satu dimensi dan mencari penyelesaian persamaan

gelombang air dangkal dengan metode beda hingga dan volume hingga.

D. Tujuan Penulisan

Skripsi ini mempunyai dua tujuan, yaitu:

1. Merumuskan dan menyelesaikan persamaan gelombang air dangkal dengan

beberapa metode numeris, yaitu metode volume hingga Lax-Friedrichs, metode

beda hingga grid kolokasi dan metode beda hingga grid selang-seling.

2. Membandingkan beberapa hasil simulasi numeris menggunakan metode volume

hingga Lax-Friedrichs, metode beda hingga grid kolokasi dan metode beda

hingga grid selang-seling. Dari hasil simulasi tersebut kemudian dipilih hasil

yang terbaik yang memuat galat yang paling kecil.

3. Menyimulasikan metode volume hingga Lax-Friedrichs, metode beda hingga

grid kolokasi dan metode beda hingga grid selang-seling untuk masalah

bendungan bobol.

E. Metode Penulisan

Metode penulisan yang digunakan adalah studi pustaka dari buku-buku dan

jurnal serta praktek simulasi numeris.


6

F. Manfaat Penulisan

Dengan memodelkan persamaan gelombang air, kita dapat

1. Menyimulasikan terjadinya banjir.

2. Memperkirakan daerah mana saja yang akan tenggelam.

3. Memperkirakan kecepatan dan kedalaman air pada daerah tersebut.

G. Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan tugas akhir ini adalah sebagai berikut:

BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang Masalah

B. Rumusan Masalah

C. Batasan Masalah

D. Metode Penulisan

E. Tujuan Penulisan

F. Manfaat Penulisan

BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL

A. Integral

B. Klasifikasi Persamaan Diferensial

C. Nilai eigen dan vektor eigen

D. Persamaan Diferensial Hiperbolik

E. Penurunan Numeris

F. Karakteristik Persamaan Gelombang Air Dangkal

BAB III METODE NUMERIS UNTUK PERSAMAAN GELOMBANG

AIR DANGKAL

A. Solusi Eksak Persamaan Gelombang Air Dangkal

B. Penurunan Persamaan Gelombang Air Dangkal Satu Dimensi

C. Masalah Bendungan Bobol

D. Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs


7

E. Metode Beda Hingga Grid Kolokasi

F. Metode Beda Hingga Grid Selang-Seling

BAB IV PERBANDINGAN BEBERAPA METODE NUMERIS DALAM

PENYELESAIAN MODEL GELOMBANG AIR DANGKAL

A. Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs

B. Metode Beda Hingga Grid Kolokasi

C. Metode Beda Hingga Grid Selang-Seling

BAB V PENUTUP

A. Kesimpulan

B. Saran

DAFTAR PUSTAKA

LAMPIRAN


8

BAB II

PERSAMAAN DIFERENSIAL

Landasan teori skripsi ditulis dalam bab ini. Landasan teori tersebut meliputi:

integral, klasifikasi persamaan diferensial, nilai eigen dan vektor eigen, persamaan

diferensial hiperbolik, penurunan numeris, dan karakteristik persamaan gelombang

air dangkal.

A. Integral

Pada bagian ini dibahas mengenai integral yang meliputi definisi dan contoh

dari integral tentu dan aturan Leibniz.

Definisi 2.1

Jika diberikan suatu fungsi 𝑓(𝑥) pada suatu interval 𝐼 dan berlaku 𝐹′(𝑥) =

𝑓(𝑥), untuk suatu 𝐹(𝑥), maka 𝐹(𝑥) adalah anti turunan dari 𝑓(𝑥). Dengan kata lain

𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥).

Contoh 2.1

Carilah suatu anti turunan dari 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 pada (−∞,∞).

Penyelesaian:

Fungsi 𝐹(𝑥) = 2𝑥3 bukan anti turunannya karena turunan 2𝑥3 adalah 6𝑥2. Tetapi

hal ini menyarankan 𝐹(𝑥) =2

3𝑥3, yang memenuhi 𝐹′(𝑥) =

2

33𝑥2 = 2𝑥2. Dengan

demikian, suatu anti turunan dari 𝑓 adalah 2

3𝑥3.


9

Anti turunan dinotasikan dengan ∫…𝑑𝑥. Notasi tersebut menunjukkan anti

turunan terhadap 𝑥. Anti turunan biasanya disebut integral tak tentu.

Integral Tentu

Perhatikan Gambar 2.1 berikut ini.

Gambar 2.1: Ilustrasi fungsi satu variabel

Untuk menghitung luasan dibawah kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) pada interval [𝑎, 𝑏], dapat

dihitung dengan cara aproksimasi yaitu dengan membagi interval [𝑎, 𝑏] menjadi 𝑛

subinterval. Subinterval tersebut memiliki panjang yang sama yaitu 𝑏−𝑎

𝑛 untuk 𝑛 >

0. Setelah membagi interval menjadi 𝑛 subinterval kemudian menghitung total

jumlah luasan dari masing-masing persegi panjang yang dibentuk oleh masing-

masing subinterval tersebut. Hal ini diperoleh dengan memilih 𝑥0, 𝑥1, … , 𝑥𝑛 dengan

𝑎 = 𝑥0, 𝑏 = 𝑥𝑛, dan

𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 =𝑏 − 𝑎

𝑛

𝑦

𝑥

𝑎 𝑏

𝑦 = 𝑓(𝑥)


10

untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛. Andaikan panjang masing-masing subinterval yaitu 𝑏−𝑎

𝑛

dinotasikan dengan

∆𝑥 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1.

Luas daerah dibawah kurva diaproksimasikan dengan total luas daerah yang

dibentuk oleh masing-masing subinterval, aproksimasi luas di bawah kurva adalah

𝐴1 + 𝐴2 +⋯+ 𝐴𝑛. Artinya total luas tersebut yang dapat ditulis

𝑓(𝑢1)∆𝑥 + 𝑓(𝑢2)∆𝑥 +⋯+ 𝑓(𝑢𝑛)∆𝑥 =∑𝑓(𝑢𝑖)∆𝑥

𝑛

𝑖=1

yang disebut jumlahan Riemann fungsi 𝑓 pada interval [𝑎, 𝑏], sebagai pendekatan

luas daerah di bawah kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) dan diatas sumbu 𝑥. Di sini, 𝑢𝑖 ∈ [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖].

Semakin banyak subinterval yang digunakan, artinya ∆𝑥 → 0 maka semakin

baik pula aproksimasi luasan tersebut dan semakin dekat dengan luasan yang

sebenarnya. Dengan demikian,

Luas daerah = lim∆𝑥→0

∑𝑓(𝑢𝑖)∆𝑥.

𝑖

Definisi 2.2

Andaikan 𝑓 fungsi yang terdefinisi pada [𝑎, 𝑏]. Integral tentu 𝑓 dari 𝑎 sampai

𝑏 dinotasikan ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎, adalah

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

= lim∆𝑥→0

∑𝑓(𝑢𝑖)∆𝑥.

𝑖


11

Aturan Leibniz

Teorema 2.1

Aturan Leibniz untuk satu variabel:

Jika 𝑓 adalah fungsi kontinu pada interval [𝑎, 𝑏] dan jika 𝑢(𝑥) dan 𝑣(𝑥) adalah

fungsi yang dapat diturunkan terhadap 𝑥 yang nilainya terletak di interval [𝑎, 𝑏],

maka

𝑑

𝑑𝑥∫ 𝑓(𝑡)𝑑𝑡𝑣(𝑥)

𝑢(𝑥)

= 𝑓(𝑣(𝑥))𝑑𝑣

𝑑𝑥− 𝑓(𝑢(𝑥))

𝑑𝑢

𝑑𝑥

Teorema 2.2

Aturan Leibniz untuk dua variabel:

Jika 𝑓(𝑥, 𝑡) adalah fungsi sedemikian sehingga turunan parsial dari 𝑓 terhadap 𝑡

ada dan kontinu, maka

𝑑

𝑑𝑥∫ 𝑓(𝑥, 𝑡)𝑑𝑡𝑣(𝑥)

𝑢(𝑥)

= ∫𝜕𝑓

𝜕𝑥𝑑𝑡

𝑣(𝑥)

𝑢(𝑥)

+ 𝑓(𝑣(𝑥), 𝑥)𝑑

𝑑𝑥𝑣(𝑥) − 𝑓(𝑢(𝑥), 𝑥)

𝑑

𝑑𝑥𝑢(𝑥).

Bukti dapat dilihat pada buku karangan David. B dan George. C yang berjudul

Basic Partial Differential Equations.

B. Klasifikasi Persamaan Diferensial

Berikut ini dibahas tentang klasifikasi persamaan diferensial. Klasifikasi

persamaan diferensial yang dibahas meliputi definisi dan contoh persamaan


12

diferensial, persamaan diferensial biasa, persamaan diferensial parsial, orde

persamaan diferensial dan kelinearan suatu persamaan diferensial.

Definisi 2.3

Persamaan diferensial adalah persamaan yang melibatkan variabel-variabel

tak bebas dan turunan-turunannya terhadap variabel-variabel bebas.

Contoh 2.2

Persamaan di bawah ini merupakan contoh persamaan diferensial:

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+ 𝑥𝑦 (

𝑑𝑦

𝑑𝑥)2

= 0 (2.1)

𝑑4𝑥

𝑑𝑡4+ 5

𝑑2𝑥

𝑑𝑡2+ 3𝑥 = sin 𝑡

(2.2)

𝜕𝑣

𝜕𝑠+𝜕𝑣

𝜕𝑡= 𝑣

(2.3)

𝜕2𝑢

𝜕𝑥2+𝜕2𝑢

𝜕𝑦2+𝜕2𝑢

𝜕𝑧2= 0.

(2.4)

Definisi 2.4

Persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial yang melibatkan

turunan biasa beserta satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu variabel bebas.

Contoh 2.3

Persamaan (2.1) dan (2.2) adalah persamaan diferensial biasa. Pada

persamaan (2.1) variabel 𝑥 adalah suatu variabel bebas, dan variabel 𝑦 adalah

variabel tak bebas. Pada persamaan (2.2), variabel 𝑡 adalah variabel bebas, dengan

𝑥 adalah variabel tak bebasnya.


13

Definisi 2.5

Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang melibatkan

turunan parsial dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap lebih dari satu

variabel bebas.

Contoh 2.4

Persamaan (2.3) dan (2.4) adalah persamaan diferensial parsial. Pada

persamaan (2.3), variabel 𝑠 dan 𝑡 adalah variabel bebas dan 𝑣 adalah variabel tak

bebasnya. Pada persaman (2.4) terdapat tiga variabel bebas yaitu 𝑥, 𝑦, dan 𝑧. Pada

persamaan (2.4) variabel tak bebasnya adalah 𝑢.

Definisi 2.6

Orde dari persamaan diferensial adalah tingkat tertinggi dari turunan yang

terkandung dalam persamaan diferensial.

Contoh 2.5

Persamaan diferensial biasa (2.1) adalah persamaan diferensial orde kedua,

karena tingkat tertinggi dari turunan pada persamaan tersebut adalah dua.

Persamaan (2.2) adalah persamaan diferensial biasa orde keempat. Persamaan (2.3)

termasuk persamaan diferensial parsial orde pertama. Persamaan (2.4) merupakan

persamaan diferensial parsial orde kedua.

Definisi 2.7

Suatu persamaan diferensial biasa orde ke-𝑛

𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦′, 𝑦′′, … , 𝑦(𝑛)) = 0


14

dikatakan linear jika 𝐹 merupakan suatu fungsi linear dari variabel

𝑦, 𝑦′, 𝑦′′, … , 𝑦(𝑛); definisi yang sama juga berlaku untuk persamaan diferensial

parsial. Secara umum persamaan diferensial biasa linear orde 𝑛 dituliskan sebagai

𝑎0(𝑥)𝑦(𝑛) + 𝑎1(𝑥)𝑦

(𝑛−1) +⋯+ 𝑎𝑛(𝑥)𝑦 = 𝑏(𝑥) (2.5)

dengan 𝑎0 tidak sama dengan nol.

Contoh 2.6

Persamaan diferensial biasa berikut keduanya linear. Pada kedua persamaan

berikut, variabel 𝑦 adalah variabel tak bebas. Perhatikan bahwa 𝑦 dan turunan-

turunannya terjadi dengan pangkat satu saja dan tidak ada perkalian dari 𝑦 dan/ atau

turunan dari 𝑦.

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+ 5

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 6𝑦 = 0

(2.6)

𝑑4𝑦

𝑑𝑥4+ 𝑥2

𝑑3𝑦

𝑑𝑥3+ 𝑥3

𝑑𝑦

𝑑𝑥= 𝑥𝑒𝑥.

(2.7)

Definisi 2.8

Suatu persamaan diferensial biasa yang tidak memiliki bentuk (2.5)

dinamakan persamaan diferensial biasa tak linear.

Contoh 2.7

Persamaan diferensial biasa berikut semuanya tak linear:

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+ 5

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 6𝑦2 = 0

(2.8)


15

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+ 5(

𝑑𝑦

𝑑𝑥)3

+ 6𝑦 = 0 (2.9)

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+ 5𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 6𝑦 = 0

(2.10)

Persamaan (2.8) tak linear karena variabel tak bebas 𝑦 terdapat pada pangkat

kedua dalam bentuk 6𝑦2. Persamaan (2.9) juga tak linear karena terdapat bentuk

5 (𝑑𝑦

𝑑𝑥)3

yang melibatkan pangkat tiga pada turunan pertama. Persamaan (2.10) tak

linear karena pada bentuk 5𝑦𝑑𝑦

𝑑𝑥 melibatkan perkalian terhadap variabel tak bebas

dan turunan pertamanya.

C. Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Berikut dibahas mengenai definisi dan contoh dari nilai eigen dan vektor

eigen.

Definisi 2.9

Jika 𝐴 adalah matriks 𝑛 × 𝑛, maka vektor tak nol 𝐱 di ℝ𝑛 disebut vektor eigen

dari 𝐴 jika 𝐴𝒙 merupakan perkalian skalar dengan 𝐱 atau dapat ditulis

𝐴𝐱 = 𝜆𝐱

untuk suatu skalar 𝜆. Skalar 𝜆 disebut nilai eigen dari 𝐴 dan 𝐱 disebut vektor eigen

yang bersesuaian dengan 𝝀.

Contoh 2.8

Vektor 𝐱 = [12] adalah vektor eigen dari


16

𝐴 = [3 08 −1

]

yang bersesuaian dengan nilai eigen 𝜆 = 3, karena

𝐴𝐱 = [3 08 −1

] [12] = [

36] = 3𝐱.

Secara geometri, perkalian matriks 𝐴 dengan vektor 𝐱 memiliki kelipatan 3

terhadap vektor 𝐱. Ilustrasi secara geometri ditunjukkan dalam Gambar 2.2.

Gambar 2.2: Ilustrasi geometri vektor eigen.

D. Persamaan Diferensial Hiperbolik

Persamaan diferensial hiperbolik dapat digunakan untuk memodelkan banyak

fenomena yang melibatkan pergerakan gelombang. Perhatikan bentuk persamaan

diferensial berikut

𝑞𝑡(𝑥, 𝑡) + 𝐴𝑞𝑥(𝑥, 𝑡) = 0, (2.11)

Di sini 𝑞𝑡 =𝜕𝑞

𝜕𝑡 dan 𝑞𝑥 =

𝜕𝑞

𝜕𝑥.

3𝑥

1 3

6

2 𝑥

𝑥

𝑦


17

Dalam kasus yang paling sederhana yaitu koefisien konstan dan linear. Dalam

hal ini 𝑞 ∶ ℝ × ℝ → ℝ𝑛 adalah vektor dengan 𝑛 komponen yang menyatakan fungsi

yang tidak diketahui (tekanan, kecepatan, dan sebagainya) yang ingin ditentukan,

dan 𝐴 suatu konstan merupakan matriks real berukuran 𝑛 × n. Andaikan 𝐴 = �̅�

suatu konstan yang menyatakan kecepatan perambatan (aliran pada pipa satu

dimensi misalnya), maka persamaan (2.11) menjadi

𝑞𝑡(𝑥, 𝑡) + �̅�𝑞𝑥(𝑥, 𝑡) = 0, (2.12)

persamaan ini disebut persamaan adveksi.

Persamaan 𝑞𝑡(𝑥, 𝑡) + 𝐴𝑞𝑥(𝑥, 𝑡) = 0 adalah persamaan hiperbolik, jika

matriks 𝐴 memiliki nilai eigen real dan berkorespondensi dengan 𝑛 vektor eigen

yang bebas linear. Artinya, semua vektor dalam ℝ𝑛 dapat secara tunggal diuraikan

sebagai kombinasi linear dari nilai-nilai eigen tersebut. Secara formal definisi

persamaan diferensial hiperbolik sebagai berikut.

Definisi 2.10

Suatu sistem linear dengan bentuk

𝑞𝑡 + 𝐴𝑞𝑥 = 0

dikatakan hiperbolik jika matriks 𝐴 yang berukuran 𝑛 × n dapat didiagonalkan

dengan nilai eigen real.

Secara khusus untuk persamaan adveksi, diketahui bahwa 𝐴 = �̅�, yang

merupakan suatu konstanta real. Jadi 𝐴 dapat didiagonalkan oleh nilai 𝐴 itu sendiri

dan nilai eigen dari 𝐴 adalah 𝐴 itu sendiri. Dengan demikian, persamaan adveksi

merupakan persamaan diferensial hiperbolik. Keterangan lengkap tentang


18

persamaan diferensial hiperbolik dapat ditemukan dalam buku karangan LeVeque

(2004).

E. Penurunan Numeris

Pada subbab ini dibahas mengenai penurunan numeris beserta contohnya dan

penjelasan mengenai tiga hampiran dalam menghitung turunan numerik yaitu

hampiran beda maju, hampiran beda mundur dan hampiran beda pusat.

Definisi 2.11

Suatu turunan fungsi didefinisikan dengan

𝑓′(𝑥) = lim∆𝑥→0

𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥)

∆𝑥.

Seringkali fungsi 𝑓(𝑥) tidak diketahui secara eksplisit, tetapi hanya diketahui

beberapa titik data saja. Seringkali 𝑓(𝑥) diketahui secara eksplisit tetapi karena

bentuknya yang sangat rumit sehingga untuk menentukan fungsi turunannya juga

sulit, misalnya pada fungsi-fungsi berikut ini:

(a). 𝑓(𝑥) =√cos(2𝑥2) + 𝑥 tan(3𝑥)

sin(𝑥) + 𝑒𝑥 −2𝑥

cos(𝑥)

,

(b). 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑒(2𝑥+2) ln(4𝑥2).

Perhitungan nilai turunan pada fungsi (a) dan (b) dapat dikerjakan secara numerik.

Nilai turunan yang diperoleh merupakan nilai hampiran dan diharapkan nilai

galatnya sekecil mungkin.


19

Tiga Hampiran dalam Menghitung Turunan Numerik

Turunan adalah limit dari hasil bagi pengurangan dua buah nilai yang besar

𝑓(𝑥 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥) dan membaginya dengan bilangan yang kecil (∆𝑥). Misal

diberikan nilai-nilai 𝑥 di 𝑥0 − ∆𝑥, 𝑥0, dan 𝑥0 + ∆𝑥, serta nilai fungsi untuk nilai-

nilai 𝑥 tersebut. Titik-titik yang diperoleh adalah (𝑥−1, 𝑓−1), (𝑥0, 𝑓0), dan

(𝑥1, 𝑓1), yang dalam hal ini 𝑥−1 = 𝑥0 − ∆𝑥 dan 𝑥1 = 𝑥0 + ∆𝑥. Terdapat tiga

hampiran dalam menghitung nilai 𝑓′(𝑥0):

1. Hampiran Beda Maju

Diketahui fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥0). Akan ditunjukkan 𝑓′(𝑥0) dengan hampiran beda

maju.

𝑓′(𝑥0) = lim∆𝑥→0

𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0)

∆𝑥

≈𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0)

∆𝑥

=𝑓1 − 𝑓0∆𝑥

.

2. Hampiran Beda Mundur


mundur.

𝑓′(𝑥0) = lim∆𝑥→0

𝑓(𝑥0) − 𝑓(𝑥0 − ∆𝑥)

∆𝑥

≈𝑓(𝑥0) − 𝑓(𝑥0 − ∆𝑥)

∆𝑥

=𝑓0 − 𝑓1∆𝑥

.


20

3. Hampiran Beda Pusat


pusat.

𝑓′(𝑥0) = lim∆𝑥→0

𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0 − ∆𝑥)

2∆𝑥

≈𝑓(𝑥0 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑥0 − ∆𝑥)

2∆𝑥

=𝑓1 − 𝑓−12∆𝑥

.

Tafsiran geometri dari ketiga pendekatan di atas diperlihatkan pada Gambar 2.3.

Gambar 2.3: Tiga pendekatan dalam perhitungan numeris; (a) Hampiran beda

maju, (b) Hampiran beda mundur, dan (c) Hampiran beda pusat.

𝑦

𝑥 𝑥0 𝑥1 𝑥−1

∆𝑥

𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑦0

𝑦−1

𝑦

𝑥 𝑥0 𝑥1 𝑥−1

∆𝑥

𝑦 = 𝑓(𝑥)

𝑦0

𝑦1

𝑦

𝑥 𝑥0 𝑥1 𝑥−1

2∆𝑥

𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑦1

𝑦−1

(𝐚) (𝐛)

(𝐜)


21

Penurunan Rumus Turunan dengan Deret Taylor

Misalkan diberikan titik-titik (𝑥𝑖, 𝑓𝑖), 𝑖 = 0,1,2,3, … , 𝑛, yang dalam hal ini

𝑥𝑖 = 𝑥0 + 𝑖∆𝑥

dan

𝑓𝑖 = 𝑓(𝑥𝑖).

Selanjutnya akan dihitung 𝑓′(𝑥) yang dalam hal ini 𝑥 = 𝑥0 + 𝑠∆𝑥, 𝑠 ∈ 𝑅 dengan

ketiga pendekatan yang disebutkan di atas (maju, mundur, pusat).

1. Hampiran Beda Maju

Uraikan 𝑓(𝑥𝑖+1) di sekitar 𝑥𝑖:

𝑓(𝑥𝑖+1) = 𝑓(𝑥𝑖) +(𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖)

1!𝑓′(𝑥𝑖) +

(𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖)2

2!𝑓′′(𝑥𝑖) + ⋯

dengan mensubtitusikan (𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖) = ∆𝑥 dan penulisan 𝑓(𝑥𝑖+1) dapat ditulis 𝑓𝑖+1

diperoleh

𝑓𝑖+1 = 𝑓𝑖 + ∆𝑥𝑓𝑖′ +

∆𝑥2

2𝑓𝑖′′ +⋯

(2.13)

atau dapat ditulis

∆𝑥𝑓𝑖′ = 𝑓𝑖+1 − 𝑓𝑖 −

∆𝑥2

2𝑓𝑖′′ −⋯

kedua ruas dibagi dengan ∆𝑥 sehingga diperoleh

𝑓𝑖′ =

𝑓𝑖+1 − 𝑓𝑖∆𝑥

−∆𝑥

2𝑓𝑖′′ −⋯

karena ∆𝑥

2𝑓𝑖′′ −⋯ merupakan bilangan yang sangat kecil dan tidak begitu

mempengaruhi nilai 𝑓𝑖′ sehingga dapat ditulis


22

𝑓𝑖′ =

𝑓𝑖+1 − 𝑓𝑖∆𝑥

+ 𝑂(∆𝑥)

yang dalam hal ini, 𝑂(∆𝑥) =∆𝑥

2𝑓′′(𝑡), 𝑥𝑖 < 𝑡 < 𝑥𝑖+1.

Untuk nilai-nilai 𝑓 di 𝑥0 dan 𝑥1 persamaan rumusnya menjadi:

𝑓0′ =

𝑓1 − 𝑓0∆𝑥

+ 𝑂(∆𝑥).

Dalam hal ini 𝑂(∆𝑥) =∆𝑥

2𝑓′′(𝑡), 𝑥𝑖 < 𝑡 < 𝑥𝑖+1 menyatakan penurunan numeris

secara beda maju memiliki tingkat keakuratan tingkat satu atau ditulis 𝑂(∆𝑥).

2. Hampiran Beda Mundur

Uraikan 𝑓(𝑥𝑖−1) di sekitar 𝑥𝑖:

𝑓(𝑥𝑖−1) = 𝑓(𝑥𝑖) +(𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖)

1!𝑓′(𝑥𝑖) +

(𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖)2

2!𝑓′′(𝑥𝑖) + ⋯

dengan mensubtitusikan (𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖) = ∆𝑥 dan penulisan 𝑓(𝑥𝑖−1) dapat ditulis 𝑓𝑖−1

diperoleh

𝑓𝑖−1 = 𝑓𝑖 − ∆𝑥𝑓𝑖′ +

∆𝑥2

2𝑓𝑖′′ −⋯

(2.14)

atau dapat ditulis

∆𝑥𝑓𝑖′ = 𝑓𝑖 − 𝑓𝑖−1 +

∆𝑥2

2𝑓𝑖′′ −⋯

kedua ruas dibagi dengan ∆𝑥 sehingga diperoleh

𝑓𝑖′ =

𝑓𝑖 − 𝑓𝑖−1∆𝑥

−∆𝑥

2𝑓𝑖′′ +⋯

karena ∆𝑥

2𝑓𝑖′′ −⋯ merupakan bilangan yang sangat kecil dan tidak begitu



23

𝑓𝑖′ =

𝑓𝑖 − 𝑓𝑖−1∆𝑥

+ 𝑂(∆𝑥)

yang dalam hal ini, 𝑂(∆𝑥) = −∆𝑥

2𝑓′′(𝑡), 𝑥𝑖−1 < 𝑡 < 𝑥𝑖 .

Untuk nilai-nilai 𝑓 di 𝑥0 dan 𝑥−1 persamaan rumusnya menjadi:

𝑓0′ =

𝑓0 − 𝑓−1∆𝑥

+ 𝑂(∆𝑥)

Dalam hal ini 𝑂(∆𝑥) = −∆𝑥

2𝑓′′(𝑡), 𝑥𝑖+1 < 𝑡 < 𝑥𝑖 menyatakan penurunan numeris

secara beda mundur memiliki tingkat keakuratan tingkat satu atau ditulis 𝑂(∆𝑥).

3. Hampiran Beda Pusat

Kurangkan persamaan (2.13) dengan persamaan (2.14) diperoleh:

𝑓𝑖+1 − 𝑓𝑖−1 = 𝑓𝑖 + ∆𝑥𝑓𝑖′ +

∆𝑥2

2𝑓𝑖′′ +⋯− (𝑓𝑖 − ∆𝑥𝑓𝑖

′ +∆𝑥2

2𝑓𝑖′′ −⋯)

dengan menggunakan operasi penjumlahan dan pengurangan diperoleh

𝑓𝑖+1 − 𝑓𝑖−1 = 2∆𝑥𝑓𝑖′ +

∆𝑥3

3𝑓𝑖′′′ +⋯

atau dapat ditulis

2∆𝑥𝑓𝑖′ = 𝑓𝑖+1 − 𝑓𝑖−1 −

∆𝑥3

3𝑓𝑖′′′ −⋯

Kedua ruas dibagi dengan 2∆𝑥 sehingga diperoleh

𝑓𝑖′ =

𝑓𝑖+1 − 𝑓𝑖−12∆𝑥

−∆𝑥2

6𝑓𝑖′′′ −⋯

karena ∆𝑥2

6𝑓𝑖′′′ −⋯ merupakan bilangan yang sangat kecil dan tidak begitu


𝑓𝑖′ =

𝑓𝑖+1 − 𝑓𝑖−12∆𝑥

+ 𝑂(∆𝑥2),


24

yang dalam hal ini, 𝑂(∆𝑥2) = −∆𝑥2

6𝑓′′′(𝑡), 𝑥𝑖−1 < 𝑡 < 𝑥𝑖+1.

Untuk nilai-nilai 𝑓 di 𝑥−1 dan 𝑥1 persamaan rumusnya menjadi:

𝑓0′ =

𝑓1 − 𝑓−12∆𝑥

+ 𝑂(∆𝑥2)

Dalam hal ini 𝑂(∆𝑥2) = −∆𝑥2

6𝑓′′′(𝑡), 𝑥𝑖−1 < 𝑡 < 𝑥𝑖+1 menyatakan penurunan

numeris secara beda pusat yang memiliki tingkat keakuratan tingkat dua atau ditulis

𝑂(∆𝑥2). Perhatikan bahwa hampiran beda pusat lebih baik daripada dua hampiran

sebelumnya, sebab orde galatnya adalah 𝑂(∆𝑥2).

Menentukan Orde Galat

Pada penurunan rumus turunan numeris dengan deret Taylor, rumus galat

dalam penurunan rumus turunan numeris tersebut dapat langsung diperoleh. Tetapi

dengan polinom interpolasi harus dicari rumus galat tersebut dengan bantuan deret

Taylor.

Contoh 2.9

Tentukan rumus galat dan orde dari rumus turunan numeris hampiran beda pusat:

𝑓′(𝑥0) =𝑓1 − 𝑓−12∆𝑥

+ 𝐸

Nyatakan 𝐸 (galat) sebagai ruas kiri persamaan, lalu ekspansi rusa kanan dengan

deret Taylor di sekitar 𝑥0:

𝐸 = 𝑓′(𝑥0) −𝑓1 − 𝑓−12∆𝑥


25

=𝑓0′ −

1

2∆𝑥[(𝑓0 + ∆𝑥𝑓0

′ +∆𝑥2

2𝑓0′′ +

∆𝑥3

6𝑓0′′′ +⋯) − (𝑓0 − ∆𝑥𝑓0

′ +

∆𝑥2

2𝑓0′′ −

∆𝑥3

6𝑓0′′′ +⋯)]

=𝑓0′ −

1

2∆𝑥(2∆𝑥𝑓0

′ +∆𝑥3

3𝑓0′′′ +⋯)

=𝑓0′ − 𝑓0

′ −∆𝑥2

6𝑓0′′′ +⋯

=−∆𝑥2

6𝑓0′′′ +⋯

=−∆𝑥2

6𝑓0′′′, 𝑥−1 < 𝑡 < 𝑥1

= 𝑂(∆𝑥2).

Jadi, hampiran beda pusat memiliki galat 𝐸 = −∆𝑥2

6𝑓0′′′, 𝑥−1 < 𝑡 < 𝑥1, dengan

orde 𝑂(∆𝑥2).

F. Karakteristik Persamaan Gelombang Air Dangkal

Dipandang persamaan gelombang air dangkal

ℎ𝑡 + (𝑢ℎ)𝑥 = 0 (2.15)

(ℎ𝑢)𝑡 + (𝑢2ℎ +

1

2𝑔ℎ2)𝑥 = 0.

(2.16)

Gabungan persamaan (2.15) dan (2.16) dalam suatu sistem persamaan gelombang

air dangkal yaitu

[ℎℎ𝑢]𝑡+ [

ℎ𝑢

ℎ𝑢2 +1

2𝑔ℎ2

]

𝑥

= 0 (2.17)

Jika diasumsikan ℎ dan 𝑢 halus (smooth), maka persamaan (2.16) dapat

disederhanakan dengan memperluas turunan-turunannya dan menggunakan (2.15)


26

untuk menggantikan bentuk ℎ𝑡. Kemudian dengan menghilangkan beberapa

bentuk, persamaan (2.16) menjadi

𝑢𝑡 + [1

2𝑢2 + 𝑔ℎ]𝑥 = 0.

(2.18)

Pada persamaan (2.15) dan (2.18) memiliki bentuk yang bergantung dengan

konstanta 𝑔. Bentuk tersebut dapat disubtitusi dengan variabel 𝜑 = 𝑔ℎ. Sehingga

sistem persamaan air dangkal menjadi

[𝑢𝜑]

𝑡+ [

𝑢2

2+ 𝜑

𝑢𝜑]

𝑥

= 0 (2.19)

Sistem persamaan tersebut ekuivalen dengan sistem persamaan (2.17) untuk solusi

yang halus. Namun ada catatan penting bahwa manipulasi yang dilakukan di atas

bergantung pada kehalusan pada masalah. Kedua sistem dari hukum konservasi

tidak ekuivalen dalam menghitung shock waves. Sistem yang tepat untuk digunakan

adalah sistem persamaan (2.17) yang berasal dari persamaan integral asli. Untuk

mempelajari shock waves digunakan persamaan (2.17) dan diambil

𝑞(𝑥, 𝑡) = [ℎℎ𝑢] = [

𝑞1𝑞2] , 𝑓(𝑞) = [

ℎ𝑢

ℎ𝑢2 +1

2𝑔ℎ2

] = [

𝑞2(𝑞2)

2

𝑞1+1

2𝑔(𝑞1)

2].

Untuk solusi halus (smooth), persamaan tersebut dapat ditulis secara ekuivalen

dalam bentuk quasilinear

𝑞𝑡 + 𝑓′(𝑞)𝑞𝑥 = 0

Dengan matriks Jacobian 𝑓′(𝑞) adalah


27

𝑓′(𝑞) = [

0 1(𝑞2)

2

𝑞1+1

2𝑔(𝑞1)

2 2𝑞2𝑞1

] = [0 1

−𝑢2 + 𝑔ℎ 2𝑢].

(2.20)

Nilai eigen dari 𝑓′(𝑞) adalah

𝜆1 = 𝑢 − √𝑔ℎ, 𝜆2 = 𝑢 + √𝑔ℎ (2.21)

Dengan vektor eigen

𝑟1 = [1

𝑢 − √𝑔ℎ] , 𝑟2 = [

1

𝑢 + √𝑔ℎ].

(2.22)

Nilai eigen dan vektor eigen adalah fungsi 𝑞 untuk sistem nonlinear. Jika diinginkan

gelombang dengan amplitudo yang sangat kecil, maka persamaan (2.17) dapat

dilinearkan terlebih dahulu untuk mendapatkan sistem yang linear. Keterangan

lengkap tentang karakteristik persamaan air dangkal dapat ditemukan dalam buku

karangan LeVeque (2004).


28

BAB III

METODE NUMERIS UNTUK PERSAMAAN GELOMBANG AIR

DANGKAL

Dalam bab ini akan dijelaskan metode volume hingga, metode beda hingga

grid kolokasi dan metode beda hingga grid selang-seling. Metode tersebut

digunakan untuk menyelesaikan masalah bendungan air bobol, terkait dengan


A. Solusi Eksak Persamaan Gelombang Air Dangkal

Galat perhitungan pada penurunan numeris diperoleh dengan mengurangkan

solusi numeris dengan solusi eksak. Berikut adalah solusi eksak yang akan

digunakan dalam perhitungan simulasi numeris pada MATLAB:

ℎ(𝑥) =

{

ℎ1, jika 𝑥 ≤ −𝑡√𝑔ℎ1

ℎ3 =4

9𝑔(√𝑔ℎ1 −

𝑥

2𝑡)2

, jika − 𝑡√𝑔ℎ1 < 𝑥 ≤ 𝑡(𝑢2 − √𝑔ℎ2)

ℎ2 =ℎ02(√1 +

8�̇�2

𝑔ℎ0− 1) , jika 𝑡(𝑢2 −√𝑔ℎ2) < 𝑥 < 𝑡𝜉̇

ℎ0, jika 𝑥 ≥ 𝑡�̇�

dan


29

𝑢(𝑥) =

{

0, jika 𝑥 ≤ −𝑡√𝑔ℎ1

𝑢3 =2

3(√𝑔ℎ1 +

𝑥

𝑡)2

, jika − 𝑡√𝑔ℎ1 < 𝑥 ≤ 𝑡(𝑢2 − √𝑔ℎ2)

𝑢2 = 𝜉̇ −𝑔ℎ0

4�̇�(√1 +

8�̇�2

𝑔ℎ0) , jika 𝑡(𝑢2 −√𝑔ℎ2) < 𝑥 < 𝑡�̇�

0, jika 𝑥 ≥ 𝑡�̇�

dengan ℎ(𝑥) adalah kedalaman air pada titik 𝑥 dan 𝑢(𝑥) adalah kecepatan air pada

titik 𝑥. Notasi �̇� adalah konstanta kecepatan shock untuk 𝑡 > 0, yaitu

�̇� = 2√𝑔ℎ1 +𝑔ℎ0

4�̇�(1 + √1 +

8�̇�2

𝑔ℎ0) − [2𝑔ℎ0√1 +

8�̇�2

𝑔ℎ0− 2𝑔ℎ0]

12

.

Solusi eksak ini diambil dari Thesis karangan Mungkasi dengan judul Finite

Volume Methods for the One Dimensional Shallow Water Equations (2008).

B. Penurunan Persamaan Gelombang Air Dangkal Satu Dimensi

Persamaan gelombang air dangkal dideskripsikan dari gerak fluida. Ada dua

jenis gerak fluida yang dideskripsikan, yaitu Langrangian dan Eulerian. Deskripsi

Langrangian berpusat pada partikel individu, dan pergerakannya diamati sebagai

fungsi dari waktu. Posisi, kecepatan dan percepatan setiap partikel dinotasikan

dengan 𝑠(𝑥0, 𝑡), 𝑢(𝑥0, 𝑡), dan 𝑎(𝑥0, 𝑡), kemudian kuantitasnya misalnya massa,

momentum dan energi dapat dihitung. Pada kasus ini 𝑥0 merupakan titik awal atau

penamaan partikel.

Deskripsi Eulerian merupakan sebuah alternatif yang dapat diikuti setiap

partikel fluida secara terpisah. Kemudian dilakukan pengamatan untuk kecepatan

partikel yang melewati setiap titik identifikasi pada domain ruang yang diamati.


30

Laju perubahan kecepatan ketika partikel melewati setiap titik dapat diamati dengan

𝜕𝑢(𝑥,𝑡)

𝜕𝑥, dan perubahan kecepatan terhadap waktu pada setiap titik tertentu dapat

diamati oleh 𝜕𝑢(𝑥,𝑡)

𝜕𝑡. Dalam deskripsi Eulerian, sifat aliran (seperti kecepatan)

merupakan fungsi dari ruang dan waktu.

Persamaan air dangkal ini terdiri dari dua persamaan. Persamaan pertama

diturunkan dari hukum konservasi massa dan persamaan kedua diturunkan dari

hukum konservasi momentum. Berikut ini akan diuraikan penurunan persamaan

gelombang air dangkal atau biasa disebut Shallow Water Wave Equations.

a. Hukum Kekekalan Massa

Hukum kekekalan massa berarti massa tersebut tidak dapat diciptakan atau

dimusnahkan. Hal ini berarti massa total pada keseluruhan sistem sama setiap saat.

Terdapat beberapa asumsi yang terlibat dalam penurunan persamaan hukum

kekekalan massa. Pertama, aliran air diasumsikan tenang artinya tidak ada

gangguan dari luar dan kecepatannya diabaikan. Kedua, densitas 𝜌 air pada setiap

titik adalah konstan sehingga air mampat. Selain itu diasumsikan bahwa tempat air

kedap atau tertutup rapat karena massa adalah kekal. Oleh karena itu, massa pada

setiap volume kontrol (yaitu volume tertentu atau kolam air yang diamati) hanya

dapat berubah ketika aliran melintasi batas-batas volume kontrol.

Secara umum, aliran air dapat diilustrasikan pada Gambar 1.1. Notasi yang

digunakan yaitu 𝑥 menyatakan variabel jarak sepanjang aliran air, 𝑡 menyatakan

variabel waktu, 𝑧(𝑥) adalah topografi tanah, ℎ(𝑥, 𝑡) adalah kedalaman air di titik 𝑥

dan pada waktu 𝑡, 𝑤(𝑥, 𝑡) = 𝑧(𝑥) + ℎ(𝑥, 𝑡) adalah ketinggian air mutlak disebut


31

stage, dan 𝑢(𝑥, 𝑡) adalah kecepatan aliran air di titik 𝑥 dan pada waktu 𝑡. Massa

total 𝑚 pada air di setiap volume kontrol [𝑥1, 𝑥2] ditentukan oleh

𝑚 = ∫ 𝜌ℎ(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥𝑥2

𝑥1

(3.1)

Pernyataan ini dapat diperoleh sebagai berikut. Kepadatan massa terhadap

kedalaman �̅� di sebarang titik (𝑥, 𝑡) adalah 𝜌ℎ(𝑥, 𝑡) yang dapat dihitung dengan

mengintegralkan 𝜌 dari 𝑧(𝑥) ke 𝑤(𝑥, 𝑡), yaitu

�̅�(𝑥, 𝑡) = ∫ 𝜌 𝑑𝑦𝑤(𝑥,𝑡)

𝑧(𝑥)

= 𝜌ℎ(𝑥, 𝑡).

Akibatnya, pengintegralan 𝜌ℎ(𝑥, 𝑡) dari 𝑥1 ke 𝑥2 mengarah ke massa total di

volume kontrol seperti yang dinyatakan dalam (3.1). Tingkatan aliran air yang

melewati setiap titik (𝑥, 𝑡) terhadap kedalaman air disebut flux massa 𝑓1, yaitu

𝑓1 = �̅�(𝑥, 𝑡)𝑢(𝑥, 𝑡) (3.2)

= 𝜌ℎ(𝑥, 𝑡)𝑢(𝑥, 𝑡)

Dengan menggunakan (3.2) dan asumsi bahwa massa dapat berubah hanya karena

aliran yang melewati batas volume kontrol, dapat ditentukan bahwa

∫ 𝜌ℎ(𝑥, 𝑡 + ∆𝑡)𝑑𝑥 =𝑥2

𝑥1

∫ 𝜌ℎ(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥𝑥2

𝑥1

+∫ 𝜌ℎ(𝑥1, 𝑠)𝑢(𝑥1, 𝑠)𝑑𝑠 −𝑡+∆𝑡

𝑡

∫ 𝜌ℎ(𝑥2, 𝑠)𝑢(𝑥2, 𝑠)𝑑𝑠𝑡+∆𝑡

𝑡

(3.3)

berlaku untuk setiap volume kontrol. Hal ini berarti bahwa massa pada setiap

langkah 𝑡 + ∆𝑡 adalah sama dengan massa pada waktu 𝑡 ditambah pergerakan flux


32

yang masuk dan dikurangi dengan flux yang keluar dari volume kontrol selama

periode ∆𝑡. Ilustrasi dari kontinuitas massa ditunjukkan pada Gambar 3.1.

Gambar 3.1: Aliran air yang masuk dan keluar dari volume kontrol.

Misalkan ∆𝑥 dan ∆𝑡 adalah kuantitas yang sangat kecil, yaitu ∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1.

Dengan menggunakan perluasan Taylor, persamaan (3.3) dapat ditulis

𝜌ℎ(𝑥, 𝑡 + ∆𝑡)∆𝑥

= 𝜌ℎ(𝑥, 𝑡)∆𝑥 + 𝜌ℎ (𝑥 −∆𝑥

2, 𝑡) 𝑢 (𝑥 −

∆𝑥

2, 𝑡) ∆𝑡

− 𝜌ℎ (𝑥 +∆𝑥

2, 𝑡) 𝑢 (𝑥 +

∆𝑥

2, 𝑡) ∆𝑡 + 𝑂((∆𝑡)3) + 𝑂((∆𝑥)3).

Dengan mengabaikan bentuk 𝑂((∆𝑡)3) dan 𝑂((∆𝑥)3) persamaan terakhir di atas

ekuivalen dengan

𝜌ℎ(𝑥, 𝑡 + ∆𝑡) − 𝜌ℎ(𝑥, 𝑡)

∆𝑡= −

(𝜌ℎ𝑢)|(𝑥+

∆𝑥2,𝑡)− (𝜌ℎ𝑢)|

(𝑥−∆𝑥2,𝑡)

∆𝑥

(3.4)

Persamaan (3.4) dibagi dengan 𝜌 kemudian ∆𝑥 dan ∆𝑡 diaproksimasikan menuju

nol sehingga persamaan (3.4) menjadi

ℎ𝑡 + (𝑢ℎ)𝑥 = 0. (3.5)

Persamaan (3.5) disebut persamaan hukum kekekalan massa.

�̅�

𝑥1 𝑥2

𝑢


33

b. Hukum Kekekalan Momentum

Hukum kedua Newton menyatakan bahwa perubahan momentum dari suatu

sistem sama dengan total gaya yang bekerja. Berdasarkan hukum Newton tersebut,

maka dapat ditulis

𝐹 =𝑑𝑝

𝑑𝑡.

Gaya 𝐹 didefinisikan sebagai laju perubahan momentum 𝑝 terhadap waktu 𝑡.

Momentum total dari perpindahan air pada volume kontrol dari 𝑥1 ke 𝑥2 pada waktu

𝑡 dinotasikan dengan 𝑝(𝑡), yaitu

𝑝(𝑡) = ∫ 𝜌ℎ(𝑥, 𝑡)𝑢(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥𝑥2(𝑡)

𝑥1(𝑡)

(3.6)

Dengan mengasumsikan tekanan hidrostatik, gaya pada titik 𝑥1 dan 𝑥2 di atas

kedalaman air pada waktu 𝑡 adalah

𝐹1(𝑡) =1

2𝜌𝑔ℎ2(𝑥1(𝑡), 𝑡)

𝐹2(𝑡) = −1

2𝜌𝑔ℎ2(𝑥2(𝑡), 𝑡)

Dengan 𝑔 > 0 adalah konstanta yang menyatakan percepatan gravitasi. Lebih

lanjut, gaya pada ∆𝑧 seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.2, yaitu

∆𝐹3 = −𝜌𝑔ℎ(𝑥, 𝑡)∆𝑧

Atau dapat ditulis dengan

∆𝐹3 = −𝜌𝑔ℎ(𝑥, 𝑡)∆𝑧

∆𝑥∆𝑥


34

Dan karena gaya melalui dasar volume kontrol maka

𝐹3 = ∫ −𝜌𝑔ℎ(𝑥, 𝑡)𝑧𝑥𝑑𝑥𝑥2

𝑥1

.

Oleh karena itu, gaya total di atas volume kontrol dinyatakan dengan 𝐹 yang

merupakan jumlahan dari 𝐹1, 𝐹2, dan 𝐹3, yaitu

𝐹 =1

2𝜌𝑔ℎ2(𝑥1(𝑡), 𝑡) −

1

2𝜌𝑔ℎ2(𝑥2(𝑡), 𝑡) − ∫ 𝜌𝑔ℎ(𝑥, 𝑡)

𝑑𝑧

𝑑𝑥𝑑𝑥

𝑥2

𝑥1

(3.7)

Turunan pertama dari 𝑝 terhadap 𝑡 adalah

𝑑𝑝

𝑑𝑡=𝑑

𝑑𝑡∫ 𝜌ℎ(𝑥, 𝑡)𝑢(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥𝑥2

𝑥1

Dengan menggunakan aturan Leibniz, turunan hasil integral pada persamaan

terakhir di atas dapat ditulis

𝑑𝑝

𝑑𝑡= ∫

𝜕

𝜕𝑡𝜌ℎ(𝑥, 𝑡)𝑢(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥

𝑥2

𝑥1

+ 𝜌ℎ(𝑥2(𝑡), 𝑡)𝑢2(𝑥2(𝑡), 𝑡)

− 𝜌ℎ(𝑥1(𝑡), 𝑡)𝑢2(𝑥1(𝑡), 𝑡)

(3.8)

Menurut hukum kedua Newton tentang gerak, hasil dari persamaan (3.8) sama

dengan persamaan (3.7). Oleh karena itu, untuk periode-∆𝑡 dapat ditulis


35

∫ ∫ (𝜌ℎ𝑢)𝑡 𝑑𝑥 𝑑𝑡𝑥2(𝑡)

𝑥1(𝑡)

𝑡+∆𝑡

𝑡

+∫ 𝜌ℎ(𝑥2(𝑡), 𝑡)𝑢2(𝑥2(𝑡), 𝑡)𝑑𝑡

𝑡+∆𝑡

𝑡

−∫ 𝜌ℎ(𝑥1(𝑡), 𝑡)𝑢2(𝑥1(𝑡), 𝑡)𝑑𝑡

𝑡+∆𝑡

𝑡

= ∫1

2𝜌𝑔ℎ2(𝑥1(𝑡), 𝑡) 𝑑𝑡

𝑡+∆𝑡

𝑡

∫1

2𝜌𝑔ℎ2(𝑥2(𝑡), 𝑡) 𝑑𝑡

𝑡+∆𝑡

𝑡

−∫ ∫ 𝜌𝑔ℎ(𝑥, 𝑡)𝑧𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑡𝑥2(𝑡)

𝑥1(𝑡)

𝑡+∆𝑡

𝑡

(3.9)

Dengan cara yang sama seperti (3.3), persamaan (3.9) dapat ditulis

(ℎ𝑢)𝑡 + (ℎ𝑢2 +

1

2𝑔ℎ2)

𝑥= −𝑔ℎ𝑧𝑥

Yang biasa disebut dengan persamaan kekekalan momentum.

Dengan demikian, persamaan gelombang air dangkal seringkali disebut

sistem Saint-Venant. Persamaan tersebut dapat ditulis sebagai dua persamaan

simultan

{

ℎ𝑡 + (𝑢ℎ)𝑥 = 0

(ℎ𝑢)𝑡 + (ℎ𝑢2 +

1

2𝑔ℎ2)

𝑥= −𝑔ℎ𝑧𝑥

(3.10)

di sini variabel x menyatakan arah aliran air.

C. Masalah Bendungan Bobol

Diketahui persamaan gelombang air dangkal dengan topografi horizontal

𝑞𝑡 + 𝑓(𝑞)𝑥 = 0 (3.11)

Dengan kuantitas dan flux berturut-turut adalah


36

𝑞 = [ℎ𝑢ℎ] dan 𝑓(𝑞) = [

𝑢ℎ

𝑢2ℎ + 1

2𝑔ℎ2

]

dengan 𝑥 adalah variabel ruang, 𝑡 adalah variabel waktu, ℎ = ℎ(𝑥, 𝑡) adalah

kedalaman air, 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑡) adalah kecepatan air dan 𝑔 = 9,81 adalah percepatan

gravitasi. Semua kuantitas diasumsikan dalam satuan SI.

Akan disimulasikan solusi masalah bendungan bobol dengan metode volume

hingga Lax-Friedrics, metode beda hingga grid kolokasi dan metode beda hingga

grid selang-seling dengan menggunakan MATLAB (kondisi awal adalah "air yang

tenang" seperti yang ditunjukkan pada Gambar 3.2). Pada kasus ini dianggap

dinding bendungan ditarik ke atas secara instan.

Gambar 3.2: Bendungan air

Dinding bendungan air berada di titik 𝑥 = 0 dan kedalaman awal air adalah

ℎ(𝑥, 0) = {ℎ1, jika 𝑥 < 0ℎ0, jika 𝑥 > 0

dan kecepatan awal aliran air adalah


Permukaan air ℎ1 = 10

ℎ0 = 4

𝑥


37

𝑢(𝑥, 0) = 0, untuk semua 𝑥.

Diambil domain ruang [−5,5]. Simulasi pada program dihentikan pada 𝑡 = 0.2.

Pada kasus ini diasumsikan massa jenis konstan, tidak ada turbulen dan fluida ideal.

D. Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs

Pada bagian ini dibahas mengenai skema metode volume hingga, perhitungan

flux secara numeris dalam metode volume hingga dan solusi numeris metode

volume hingga Lax-Friedrichs.

1.1. Skema Metode Volume Hingga

Persamaan diferensial parsial hukum kekekalan yang bersifat hiperbolik

adalah

𝑞𝑡 + 𝑓(𝑞)𝑥 = 0

atau ditulis

𝜕

𝜕𝑡𝑞(𝑥, 𝑡) +

𝜕

𝜕𝑥𝑓(𝑞(𝑥, 𝑡)) = 0.

Misalkan domain pada ruang didiskretkan menjadi sebanyak berhingga kontrol

volume (interval) atau sel sebagai berikut:

dengan ∆𝑥 = 𝑥𝑖−1 − 𝑥𝑖 atau ∆𝑥 = 𝑥𝑖+

1

2

− 𝑥𝑖−

1

2

.

Domain waktu didiskretkan menjadi

𝑡𝑛 = 𝑛 ∙ ∆𝑡

𝑥𝑖−32

𝑥𝑖−1 𝑥𝑖 𝑥𝑖+1

𝑥𝑖−12 𝑥

𝑖+12 𝑥

𝑖+32


38

dengan 𝑛 = 0,1,2,3, …

Selanjutnya misalkan 𝑄𝑖𝑛 adalah pendekatan dari rata-rata volume kuantitas 𝑞(𝑥, 𝑡)

dalam interval ruang ke- 𝑖 di waktu 𝑡𝑛, yaitu

𝑄𝑖𝑛 ≈

1

∆𝑥∫ 𝑞(𝑥, 𝑡𝑛)𝑥𝑖+12

𝑥𝑖−12

𝑑𝑥.

Misalkan pula 𝐹𝑖+

1

2

𝑛 adalah pendekatan dari rata-rata debit material (flux) 𝑓(𝑞(𝑥, 𝑡))

di titik 𝑥𝑖+1

2

dalam interval waktu [𝑡𝑛, 𝑡𝑛+1], yaitu

𝐹𝑖+12

𝑛 ≈1

∆𝑡∫ 𝑓 (𝑞 (𝑥

𝑖+12, 𝑡))

𝑡𝑛+1

𝑡𝑛𝑑𝑡.

Dari hukum kekekalan, laju perubahan kuantitas (massa) dinyatakan oleh

𝑑

𝑑𝑡∫ 𝑞(𝑥, 𝑡𝑛)𝑥𝑖+12

𝑥𝑖−12

𝑑𝑥 = − [𝑓 (𝑞 (𝑥𝑖+12, 𝑡)) − 𝑓 (𝑞 (𝑥

𝑖−12, 𝑡))].

Dengan nilai-nilai pendekatan diperoleh

𝑄𝑖𝑛+1 − 𝑄𝑖

𝑛

∆𝑡= −

𝐹𝑖+12

𝑛 − 𝐹𝑖−12

𝑛

∆𝑥

atau ditulis

𝑄𝑖𝑛+1 = 𝑄𝑖

𝑛 −∆𝑡

∆𝑥(𝐹

𝑖+12

𝑛 − 𝐹𝑖−12

𝑛 )

Persamaan tersebut merupakan skema volume hingga untuk 𝑞𝑡 + 𝑓(𝑞)𝑥 = 0.

Skema metode volume hingga tersebut konsisten dengan skema metode beda

hingga sebab dari skema metode volume hingga diperoleh


39


𝑛

∆𝑡= −

𝐹𝑖+12

𝑛 − 𝐹𝑖−12

𝑛

∆𝑥

atau


𝑛

∆𝑡+

𝐹𝑖+12

𝑛 − 𝐹𝑖−12

𝑛

∆𝑥= 0

yang merupakan suatu bentuk diskrit dari 𝑞𝑡 + 𝑓(𝑞)𝑥 = 0.

1.2. Perhitungan Flux Secara Numeris dalam Metode Volume Hingga

Dipandang persamaan diferensial parsial berbentuk hukum kekekalan

𝑞𝑡 + 𝑓(𝑞)𝑥 = 0.

Misalkan 𝑄𝑖𝑛 ≈ 𝑞(𝑥𝑖, 𝑡

𝑛) dan 𝐹𝑖+1

2

𝑛 = 𝑓 (𝑞 (𝑥𝑖+1

2

, 𝑡𝑛)).

Skema metode volume hingga untuk persamaan diferensial parsial di atas adalah


𝑛 −∆𝑡

∆𝑥(𝐹

𝑖+12

𝑛 − 𝐹𝑖−12

𝑛 ).

Diketahui nilai 𝑄𝑖𝑛 yaitu kuantitas numeris di semua titik 𝑥𝑖 dan pada waktu 𝑡𝑛.

Oleh karena itu, flux di titik 𝑥𝑖 pada waktu 𝑡𝑛 juga diketahui, yaitu

𝐹𝑖𝑛 ≈ 𝑓(𝑞(𝑥𝑖, 𝑡

𝑛))

≈ 𝑓(𝑄𝑖𝑛).


40

Metode Stabil dan Tidak Stabil

Metode numeris dikatakan stabil artinya bahwa galat yang muncul pada setiap

iterasi tidak membesar terlalu cepat pada iterasi-iterasi berikutnya. Jika galat yang

muncul pada suatu iterasi membesar menuju tak terhingga pada iterasi-iterasi

berikutnya maka metodenya disebut tidak stabil. Teori kestabilan tidak dibahas

lebih lanjut dalam skripsi ini. Teori kestabilan dapat dilihat dalam buku-buku

referensi misalnya LeVeque (1992, 2004).

Di setiap titik 𝑥𝑖+1

2

, flux dapat dihitung menggunakan beberapa pendekatan.

1. Flux tak stabil

𝐹𝑖+12

𝑛 ≈1

2[𝑓(𝑄𝑖

𝑛) + 𝑓(𝑄𝑖+1𝑛 )]

Sehingga skema metode volume hingga menjadi


𝑛 −∆𝑡

∆𝑥(1

2𝑓(𝑄𝑖

𝑛) +1

2𝑓(𝑄𝑖+1

𝑛 ) −1

2𝑓(𝑄𝑖−1

𝑛 ) −1

2𝑓(𝑄𝑖

𝑛))


𝑛 −∆𝑡

2∆𝑥(𝑓(𝑄𝑖+1

𝑛 ) − 𝑓(𝑄𝑖−1𝑛 ))

Namun, skema metode volume hingga ini tidak stabil.

2. Flux Lax-Friedrichs

Skema Lax-Friedrichs memodifikasi skema metode volume hingga tak stabil di

atas, yaitu

𝑄𝑖𝑛+1 ≈

1

2(𝑄𝑖+1

𝑛 + 𝑄𝑖−1𝑛 )

Sehingga diperoleh


41

𝑄𝑖𝑛+1 =

1

2(𝑄𝑖+1

𝑛 + 𝑄𝑖−1𝑛 ) −

∆𝑡

2∆𝑥[𝑓(𝑄𝑖+1

𝑛 ) − 𝑓(𝑄𝑖−1𝑛 )]

Skema Lax-Friedrichs ini stabil untuk ∆𝑡 yang cukup kecil.

3. Flux Upwind

Metode upwind cocok untuk metode yang sudah diketahui arah rambatan

gelombangnya. Contoh jika akan diselesaikan persamaan diferensial parsial

𝑞𝑡 + 𝑐𝑞𝑥 = 0

dengan 𝑐 konstan positif (arah rambat gelombang ke kanan)

𝐹𝑖+12

𝑛 ≈ 𝑓(𝑞(𝑥𝑖 , 𝑡𝑛))

= 𝑐𝑞(𝑥𝑖, 𝑡𝑛)

≈ 𝑐𝑄𝑖𝑛

dan 𝐹𝑖−

1

2

𝑛 ≈ 𝑐𝑄𝑖−1𝑛 .

Dengan demikian skema upwind adalah


𝑛 −∆𝑡

∆𝑥(𝐹

𝑖+12

𝑛 − 𝐹𝑖−12

𝑛 )

= 𝑄𝑖𝑛 −

∆𝑡

∆𝑥(𝑐𝑄𝑖

𝑛 − 𝑐𝑄𝑖−1𝑛 )

= 𝑄𝑖𝑛 − 𝑐

∆𝑡

∆𝑥(𝑄𝑖

𝑛 − 𝑄𝑖−1𝑛 ).

Solusi Numeris Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs

Masalah persamaan gelombang air dangkal dapat diselesaikan dengan

menggunakan metode volume hingga. Dipandang sistem persamaan air dangkal

(3.11) yaitu


42

ℎ𝑡 + [𝑢ℎ]𝑥 = 0 (3.12)

dan

[𝑢ℎ]𝑡 + [𝑢2ℎ +

1

2𝑔ℎ2]𝑥 = 0.

(3.13)

Persamaan (3.12) mempunyai skema metode volume hingga sebagai berikut:


𝑛 −∆𝑡

∆𝑥(𝐹𝑖+12

𝑛 − 𝐹𝑖−12

𝑛 )

Dengan menggunakan flux Lax-Friedrichs diperoleh

𝐹𝑖+12

𝑛 = 𝑓(𝑄𝑖𝑛)

dengan asumsi solusi dan kecepatannya positif. Jadi, jika diketahui persamaan

(3.12) maka dalam metode volume hingga diperoleh 𝑞 = ℎ dan 𝑓(𝑞) = 𝑢ℎ.

Sekarang dari persamaan (3.12) dicari flux 𝐹𝑖+

1

2

𝑛 dan 𝐹𝑖−

1

2

𝑛 .

𝐹𝑖+12

𝑛 =1

2[𝑓(𝑄𝑖

𝑛) + 𝑓(𝑄𝑖+1𝑛 )] −

∆𝑥

2∆𝑡(𝑄𝑖+1

𝑛 − 𝑄𝑖𝑛)

=1

2[(𝑢ℎ)𝑖

𝑛 + (𝑢ℎ)𝑖+1𝑛 ] −

∆𝑥

2∆𝑡(ℎ𝑖+1

𝑛 − ℎ𝑖𝑛)

=1

2(𝑢𝑖

𝑛ℎ𝑖𝑛 + 𝑢𝑖+1

𝑛 ℎ𝑖+1𝑛 ) −

∆𝑥

2∆𝑡(ℎ𝑖+1

𝑛 − ℎ𝑖𝑛).

𝐹𝑖−12

𝑛 =1

2[𝑓(𝑄𝑖−1

𝑛 ) + 𝑓(𝑄𝑖𝑛)] −

∆𝑥

2∆𝑡(𝑄𝑖

𝑛 − 𝑄𝑖−1𝑛 )

=1

2[(𝑢ℎ)𝑖−1

𝑛 + (𝑢ℎ)𝑖𝑛] −

∆𝑥

2∆𝑡(ℎ𝑖

𝑛 − ℎ𝑖−1𝑛 )


43

=1

2(𝑢𝑖−1

𝑛 ℎ𝑖−1𝑛 + 𝑢𝑖

𝑛ℎ𝑖𝑛) −

∆𝑥

2∆𝑡(ℎ𝑖

𝑛 − ℎ𝑖−1𝑛 ).

Persamaan (3.13) memiliki skema metode volume hingga sebagai berikut


𝑛 −∆𝑡

∆𝑥(𝐹𝑖+12

𝑛 − 𝐹𝑖−12

𝑛 )

Dengan menggunakan flux Lax-Friedrichs diperoleh

𝐹𝑖+12

𝑛 = 𝑓(𝑄𝑖𝑛)

dengan asumsi solusi dan kecepatannya positif. Jadi, jika diketahui persamaan

(3.13) maka dalam metode volume hingga diperoleh 𝑞 = 𝑢ℎ dan

𝑓(𝑞) = 𝑢2ℎ +1

2𝑔ℎ2.

Sekarang dari persamaan (3.13) dicari flux 𝐹𝑖+

1

2

𝑛 dan 𝐹𝑖−

1

2

𝑛 .

𝐹𝑖+12

𝑛 =1

2[𝑓(𝑄𝑖

𝑛) + 𝑓(𝑄𝑖+1𝑛 )] −

∆𝑥

2∆𝑡(𝑄𝑖+1

𝑛 − 𝑄𝑖𝑛)

=1

2[(𝑢2ℎ +

1

2𝑔ℎ2)

𝑖

𝑛

+ (𝑢2ℎ +1

2𝑔ℎ2)

𝑖+1

𝑛

] −∆𝑥

2∆𝑡((𝑢ℎ)𝑖+1

𝑛 − (𝑢ℎ)𝑖𝑛)

=1

2[((𝑢2)𝑖

𝑛ℎ𝑖𝑛 +

1

2𝑔(ℎ2)𝑖

𝑛) + ((𝑢2)𝑖+1𝑛 ℎ𝑖+1

𝑛 +1

2𝑔(ℎ2)𝑖+1

𝑛 )]

−∆𝑥

2∆𝑡(𝑢𝑖+1

𝑛 ℎ𝑖+1𝑛 − 𝑢𝑖

𝑛ℎ𝑖𝑛).

𝐹𝑖−12

𝑛 =1

2[𝑓(𝑄𝑖−1

𝑛 ) + 𝑓(𝑄𝑖𝑛)] −

∆𝑥

2∆𝑡(𝑄𝑖

𝑛 − 𝑄𝑖−1𝑛 )

=1

2[(𝑢2ℎ +

1

2𝑔ℎ2)

𝑖−1

𝑛

+ (𝑢2ℎ +1

2𝑔ℎ2)

𝑖

𝑛

] −∆𝑥

2∆𝑡((𝑢ℎ)𝑖

𝑛 − (𝑢ℎ)𝑖−1𝑛 )


44

=1

2[((𝑢2)𝑖−1

𝑛 ℎ𝑖−1𝑛 +

1

2𝑔(ℎ2)𝑖−1

𝑛 ) + ((𝑢2)𝑖𝑛ℎ𝑖

𝑛 +1

2𝑔(ℎ2)𝑖

𝑛)]

−∆𝑥

2∆𝑡(𝑢𝑖

𝑛ℎ𝑖𝑛 − 𝑢𝑖−1

𝑛 ℎ𝑖−1𝑛 ).

Hasil simulasi penyelesaian model gelombang air dangkal dengan metode

volume hingga dengan menggunakan program MATLAB ditunjukkan dalam

Gambar 3.3. Pada hasil simulasi persamaan air dangkal, program simulasi berhenti

pada saat 𝑡 = 0.2. Kedalaman awal air pada program ini adalah ℎ1 = 10, ℎ0 = 4.

Gambar 3.3: Hasil simulasi penyelesaian model gelombang air dangkal

dengan metode volume hingga Lax-Friedrichs.


45

E. Metode Beda Hingga Grid Kolokasi

Metode beda hingga digunakan dalam masalah komputasi numerik. Metode

beda hingga dibagi menjadi tiga bagian, yaitu beda maju, beda mundur, dan beda

pusat.

Solusi Numeris Metode Beda Hingga Grid Kolokasi

Diketahui nilai awal kedalaman air ℎ0 = 4 dan ℎ1 = 10, kecepatan air 𝑢0 =

𝑢1 = 0, dan percepatan gravitasi 𝑔 = 9.81.

Banyaknya langkah untuk ruang adalah 𝑁 dengan 𝑁 ∈ ℤ+ dan index 𝑖 untuk

menunjukkan ruang yaitu 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑁 + 1. Langkah ukuran dilambangkan dengan

∆=𝑥𝑏−𝑥𝑎

𝑁. Jadi, 𝑥𝑖 = 𝑥𝑎 + (𝑖 − 1)∆, 𝑥1 = 𝑥𝑎 dan 𝑥𝑁+1 = 𝑥𝑏, dan banyaknya

interval kecil 𝑁 adalah 𝑁 − 1 simpul (node).

Begitu juga untuk waktu, jumlah langkah untuk waktu adalah 𝑀 dengan 𝑀 ∈

ℤ+. Untuk 𝑡𝑛 waktu, 𝑛 ∈ ℤ+: 𝑛 − 1 < 𝑛 ≤ 𝑀. Berikut akan dihitung persamaan

beda yaitu beda mundur untuk waktu dan beda pusat untuk ruang.

Beda mundur untuk variabel waktu 𝒕

Dipandang persamaan (3.12) dan (3.13). Kedua persamaan tersebut ditulis

secara sistematis dan diasumsikan nilai ℎ(𝑥, 𝑡) dan 𝑢(𝑥, 𝑡) pada waktu 𝑡𝑛−1

kemudian dicari nilai pada waktu 𝑡𝑛.

𝜕

𝜕𝑡ℎ(𝑥, 𝑡) ≈

ℎ(𝑥𝑖, 𝑡𝑛) − ℎ(𝑥𝑖 , 𝑡

𝑛−1)

∆𝑡

atau dapat ditulis


46

≈ℎ𝑖𝑛 − ℎ𝑖

𝑛−1

∆𝑡.

dan

𝜕

𝜕𝑡[ℎ(𝑥, 𝑡)𝑢(𝑥, 𝑡)] = ℎ(𝑥, 𝑡)

𝜕

𝜕𝑡𝑢(𝑥, 𝑡) + 𝑢(𝑥, 𝑡)

𝜕

𝜕𝑡ℎ(𝑥, 𝑡)

atau dapat ditulis

≈ ℎ(𝑥𝑖, 𝑡𝑛−1)

𝜕

𝜕𝑡𝑢(𝑥𝑖, 𝑡

𝑛−1) + 𝑢(𝑥𝑖, 𝑡𝑛−1)

𝜕

𝜕𝑡ℎ(𝑥𝑖, 𝑡

𝑛−1)

dengan melakukan diskritisasi lengkap diperoleh

≈ ℎ𝑖𝑛−1 𝑢𝑖

𝑛 − 𝑢𝑖𝑛−1

∆𝑡+ 𝑢𝑖

𝑛−1 ℎ𝑖𝑛 − ℎ𝑖

𝑛−1

∆𝑡.

Beda pusat untuk variabel ruang 𝒙

Dipandang persamaan (3.12) dan (3.13). Kedua persamaan tersebut ditulis

secara sistematis dan diasumsikan nilai ℎ(𝑥, 𝑡) dan 𝑢(𝑥, 𝑡) pada ruang 𝑥𝑖−1

kemudian dicari nilai pada waktu 𝑥𝑖 .

𝜕

𝜕𝑥[𝑢(𝑥, 𝑡)ℎ(𝑥, 𝑡)] = 𝑢(𝑥, 𝑡)

𝜕

𝜕𝑥ℎ(𝑥, 𝑡) + ℎ(𝑥, 𝑡)

𝜕

𝜕𝑥𝑢(𝑥, 𝑡)

≈ 𝑢(𝑥𝑖, 𝑡𝑛−1)

𝜕

𝜕𝑥ℎ(𝑥𝑖 , 𝑡

𝑛) + ℎ(𝑥𝑖, 𝑡𝑛−1)

𝜕

𝜕𝑥𝑢(𝑥𝑖, 𝑡

𝑛)

≈ 𝑢𝑖𝑛−1 ℎ𝑖+1

𝑛 − ℎ𝑖−1𝑛

2∆𝑥+ ℎ𝑖

𝑛−1 𝑢𝑖+1𝑛 − 𝑢𝑖−1

𝑛

2∆𝑥

dan


47

𝜕

𝜕𝑥[ℎ(𝑥, 𝑡)𝑢2(𝑥, 𝑡) +

1

2𝑔ℎ2(𝑥, 𝑡)] =

𝜕

𝜕𝑥[ℎ(𝑥, 𝑡)𝑢2(𝑥, 𝑡)] +

1

2𝑔𝜕

𝜕𝑥ℎ2(𝑥, 𝑡)

dengan

𝜕

𝜕𝑥[ℎ(𝑥, 𝑡)𝑢2(𝑥, 𝑡)] = ℎ(𝑥, 𝑡)

𝜕

𝜕𝑥𝑢2(𝑥, 𝑡) + 𝑢2(𝑥, 𝑡)

𝜕

𝜕𝑥ℎ(𝑥, 𝑡)

= 2ℎ(𝑥, 𝑡)𝑢(𝑥, 𝑡)𝜕

𝜕𝑥𝑢(𝑥, 𝑡) + 𝑢2(𝑥, 𝑡)

𝜕


≈ 2ℎ(𝑥𝑖, 𝑡𝑛−1)𝑢(𝑥𝑖, 𝑡

𝑛−1)𝜕

𝜕𝑥𝑢(𝑥𝑖, 𝑡

𝑛) + 𝑢2(𝑥𝑖, 𝑡𝑛−1)

𝜕

𝜕𝑥ℎ(𝑥𝑖 , 𝑡

𝑛)

≈ 2ℎ𝑖𝑛−1𝑢𝑖

𝑛−1 𝑢𝑖+1𝑛 − 𝑢𝑖−1

𝑛

2∆𝑥+ (𝑢𝑖

𝑛−1)2 ℎ𝑖+1𝑛 − 𝑢𝑖−1

𝑛

2∆𝑥

dan untuk bentuk kedua

1

2𝑔𝜕

𝜕𝑥ℎ2(𝑥, 𝑡) = 2

1

2𝑔ℎ(𝑥, 𝑡)

𝜕


≈ 𝑔ℎ𝑖𝑛−1 ℎ𝑖+1

𝑛 − ℎ𝑖−1𝑛

2∆𝑥.

Jadi, persamaan beda dari (3.12) dan (3.13) menjadi

[

ℎ𝑖𝑛 − ℎ𝑖

𝑛−1

∆𝑡

ℎ𝑖𝑛−1 𝑢𝑖


∆𝑡+ 𝑢𝑖


𝑛−1

∆𝑡 ]

+

[ 𝑢𝑖

𝑛−1 ℎ𝑖+1𝑛 − ℎ𝑖−1

𝑛

2∆𝑥+ ℎ𝑖

𝑛−1 𝑢𝑖+1𝑛 − 𝑢𝑖−1

𝑛

2∆𝑥

2ℎ𝑖𝑛−1𝑢𝑖

𝑛−1 𝑢𝑖+1𝑛 − 𝑢𝑖−1

𝑛

2∆𝑥+ (𝑢𝑖

𝑛−1)2ℎ𝑖+1𝑛 − 𝑢𝑖−1

𝑛

2∆𝑥+ 𝑔ℎ𝑖

𝑛−1 ℎ𝑖+1𝑛 − ℎ𝑖−1

𝑛

2∆𝑥 ] = [

00]

atau dapat ditulis berdasarkan persamaan konservasi massa dalam bentuk diskrit


48


𝑛−1

∆𝑡+ 𝑢𝑖

𝑛−1 ℎ𝑖+1𝑛 − ℎ𝑖−1

𝑛

2∆𝑥+ ℎ𝑖

𝑛−1 𝑢𝑖+1𝑛 − 𝑢𝑖−1

𝑛

2∆𝑥= 0

(3.16)

dan konservasi momentum dalam bentuk diskrit



∆𝑡+ 𝑢𝑖


𝑛−1

∆𝑡+ 2ℎ𝑖

𝑛−1𝑢𝑖𝑛−1 𝑢𝑖+1

𝑛 − 𝑢𝑖−1𝑛

2∆𝑥

+ (𝑢𝑖𝑛−1)2

ℎ𝑖+1𝑛 − 𝑢𝑖−1

𝑛


𝑛−1 ℎ𝑖+1𝑛 − ℎ𝑖−1

𝑛

2∆𝑥= 0

(3.17)

Persamaan (3.16) dikali dengan 𝑢𝑖𝑛−1 diperoleh

𝑢𝑖𝑛−1 ℎ𝑖

𝑛 − ℎ𝑖𝑛−1

∆𝑡+ (𝑢𝑖

𝑛−1)2ℎ𝑖+1𝑛 − ℎ𝑖−1

𝑛

2∆𝑥+ 𝑢𝑖

𝑛−1ℎ𝑖𝑛−1 𝑢𝑖+1


2∆𝑥= 0

(3.18)

Persamaan (3.17) dikurang (3.18) diperoleh



∆𝑡+ ℎ𝑖




𝑛−1 ℎ𝑖+1𝑛 − ℎ𝑖−1

𝑛

2∆𝑥= 0

Sehingga diperoleh dua persamaan

𝑢𝑖𝑛−1 ℎ𝑖

𝑛 − ℎ𝑖𝑛−1

∆𝑡+ (𝑢𝑖

𝑛−1)2ℎ𝑖+1𝑛 − ℎ𝑖−1

𝑛

2∆𝑥+ 𝑢𝑖

𝑛−1ℎ𝑖𝑛−1 𝑢𝑖+1


2∆𝑥

= 0



∆𝑡+ ℎ𝑖




𝑛−1 ℎ𝑖+1𝑛 − ℎ𝑖−1

𝑛

2∆𝑥= 0

(3.19)

Persamaan konservasi massa pada persamaan (3.19) dibagi dengan 𝑢𝑖𝑛−1, diperoleh


𝑛−1

∆𝑡+ 𝑢𝑖

𝑛−1 ℎ𝑖+1𝑛 − ℎ𝑖−1

𝑛

2∆𝑥+ ℎ𝑖

𝑛−1 𝑢𝑖+1𝑛 − 𝑢𝑖−1

𝑛

2∆𝑥= 0



∆𝑡+ ℎ𝑖




𝑛−1 ℎ𝑖+1𝑛 − ℎ𝑖−1

𝑛

2∆𝑥

= 0

(3.20)


49

Persamaan (3.20) dikali dengan 2∆𝑥∆𝑡 diperoleh

2∆𝑥(ℎ𝑖𝑛 − ℎ𝑖

𝑛−1) + ∆𝑡𝑢𝑖𝑛−1(ℎ𝑖+1

𝑛 − ℎ𝑖−1𝑛 ) + ∆𝑡ℎ𝑖

𝑛−1(𝑢𝑖+1𝑛 − 𝑢𝑖−1

𝑛 )

= 0

2∆𝑥ℎ𝑖𝑛−1(𝑢𝑖

𝑛 − 𝑢𝑖𝑛−1) + ∆𝑡ℎ𝑖

𝑛−1𝑢𝑖𝑛−1(𝑢𝑖+1

𝑛 − 𝑢𝑖−1𝑛 )

+ ∆𝑡𝑔ℎ𝑖𝑛−1(ℎ𝑖+1

𝑛 − ℎ𝑖−1𝑛 ) = 0.

(3.21)

Dengan menggunakan sifat distributif pada perkalian, persamaan (3.21) menjadi

2∆𝑥ℎ𝑖𝑛 − 2∆𝑥ℎ𝑖

𝑛−1 + ∆𝑡𝑢𝑖𝑛−1ℎ𝑖+1

𝑛 − ∆𝑡𝑢𝑖𝑛−1ℎ𝑖−1

𝑛 + ∆𝑡ℎ𝑖𝑛−1𝑢𝑖+1

𝑛 − ∆𝑡ℎ𝑖𝑛−1𝑢𝑖−1

𝑛

= 0

2∆𝑥ℎ𝑖𝑛−1𝑢𝑖

𝑛 − 2∆𝑥ℎ𝑖𝑛−1𝑢𝑖

𝑛−1 + ∆𝑡ℎ𝑖𝑛−1𝑢𝑖

𝑛−1𝑢𝑖+1𝑛 − ∆𝑡ℎ𝑖

𝑛−1𝑢𝑖𝑛−1𝑢𝑖−1

𝑛

+ ∆𝑡𝑔ℎ𝑖𝑛−1ℎ𝑖+1

𝑛 − ∆𝑡𝑔ℎ𝑖𝑛−1ℎ𝑖−1

𝑛 = 0

Sehingga persamaan (3.16) menjadi

2∆𝑥ℎ𝑖𝑛 + ∆𝑡𝑢𝑖

𝑛−1ℎ𝑖+1𝑛 − ∆𝑡𝑢𝑖

𝑛−1ℎ𝑖−1𝑛 + ∆𝑡ℎ𝑖


𝑛−1𝑢𝑖−1𝑛

= 2∆𝑥ℎ𝑖𝑛−1

dan (3.17) menjadi

(3.22)

2∆𝑥ℎ𝑖𝑛−1𝑢𝑖

𝑛 + ∆𝑡ℎ𝑖𝑛−1𝑢𝑖


𝑛−1𝑢𝑖𝑛−1𝑢𝑖−1

𝑛 + ∆𝑡𝑔ℎ𝑖𝑛−1ℎ𝑖+1

𝑛

− ∆𝑡𝑔ℎ𝑖𝑛−1ℎ𝑖−1

𝑛 = 2∆𝑥ℎ𝑖𝑛−1𝑢𝑖

𝑛−1

(3.23)

Diambil nilai 𝑁 = 4 , kemudian dicari solusi awal untuk persamaan linear

diskritisasi sebagai berikut:

Untuk 𝑖 = 1


50

2∆𝑥ℎ1𝑛 + ∆𝑡𝑢1

𝑛−1ℎ2𝑛 − ∆𝑡𝑢1

𝑛−1ℎ0𝑛 + ∆𝑡ℎ1

𝑛−1𝑢2𝑛 − ∆𝑡ℎ1

𝑛−1𝑢0𝑛

= 2∆𝑥ℎ1𝑛−1

dan

(3.24)

2∆𝑥ℎ1𝑛−1𝑢1

𝑛 + ∆𝑡ℎ1𝑛−1𝑢1

𝑛−1𝑢2𝑛 − ∆𝑡ℎ1

𝑛−1𝑢1𝑛−1𝑢0

𝑛 + ∆𝑡𝑔ℎ1𝑛−1ℎ2

𝑛

− ∆𝑡𝑔ℎ1𝑛−1ℎ0

𝑛 = 2∆𝑥ℎ1𝑛−1𝑢1

𝑛−1

(3.25)

Untuk 𝑖 = 2

2∆𝑥ℎ2𝑛 + ∆𝑡𝑢2

𝑛−1ℎ3𝑛 − ∆𝑡𝑢2

𝑛−1ℎ1𝑛 + ∆𝑡ℎ2

𝑛−1𝑢3𝑛 − ∆𝑡ℎ2

𝑛−1𝑢1𝑛

= 2∆𝑥ℎ2𝑛−1

dan

(3.26)


𝑛 + ∆𝑡ℎ2𝑛−1𝑢2

𝑛−1𝑢3𝑛 − ∆𝑡ℎ2



𝑛


𝑛 = 2∆𝑥ℎ2𝑛−1𝑢2

𝑛−1

(3.27)

Untuk 𝑖 = 3

2∆𝑥ℎ3𝑛 + ∆𝑡𝑢3

𝑛−1ℎ4𝑛 − ∆𝑡𝑢3

𝑛−1ℎ2𝑛 + ∆𝑡ℎ3

𝑛−1𝑢4𝑛 − ∆𝑡ℎ3

𝑛−1𝑢2𝑛

= 2∆𝑥ℎ3𝑛−1

dan

(3.28)


𝑛 + ∆𝑡ℎ3𝑛−1𝑢3

𝑛−1𝑢4𝑛 − ∆𝑡ℎ3



𝑛


𝑛 = 2∆𝑥ℎ3𝑛−1𝑢3

𝑛−1

(3.29)

Variabel 𝑢1𝑛, 𝑢2

𝑛, 𝑢3𝑛, ℎ1

𝑛, ℎ2𝑛, ℎ3

𝑛 tidak diketahui dan enam persamaan berikut dapat

disederhanakan menjadi:

Untuk 𝑖 = 1


51

2∆𝑥ℎ1𝑛 + ∆𝑡𝑢1

𝑛−1ℎ2𝑛 + ∆𝑡ℎ1

𝑛−1𝑢2𝑛 − ∆𝑡ℎ1

𝑛−1𝑢0𝑛 = 2∆𝑥ℎ1

𝑛−1 +

∆𝑡𝑢1𝑛−1ℎ0

𝑛+−∆𝑡ℎ1𝑛−1𝑢0

𝑛

(3.30)


𝑛 + ∆𝑡ℎ1𝑛−1𝑢1

𝑛−1𝑢2𝑛 + ∆𝑡𝑔ℎ1

𝑛−1ℎ2𝑛

= 2∆𝑥ℎ1𝑛−1𝑢1

𝑛−1 + ∆𝑡𝑔ℎ1𝑛−1ℎ0

𝑛 + ∆𝑡ℎ1𝑛−1𝑢1

𝑛−1𝑢0𝑛

(3.31)

Untuk 𝑖 = 2

2∆𝑥ℎ2𝑛 + ∆𝑡𝑢2

𝑛−1ℎ3𝑛 − ∆𝑡𝑢2

𝑛−1ℎ1𝑛 + ∆𝑡ℎ2

𝑛−1𝑢3𝑛 − ∆𝑡ℎ2

𝑛−1𝑢1𝑛

= 2∆𝑥ℎ2𝑛−1

dan

(3.32)


𝑛 + ∆𝑡ℎ2𝑛−1𝑢2

𝑛−1𝑢3𝑛 − ∆𝑡ℎ2



𝑛


𝑛 = 2∆𝑥ℎ2𝑛−1𝑢2

𝑛−1

(3.33)

Untuk 𝑖 = 3

2∆𝑥ℎ3𝑛 − ∆𝑡𝑢3

𝑛−1ℎ2𝑛 − ∆𝑡ℎ3

𝑛−1𝑢2𝑛

= 2∆𝑥ℎ3𝑛−1 − ∆𝑡𝑢3

𝑛−1ℎ4𝑛 − ∆𝑡ℎ3

𝑛−1𝑢4𝑛

dan

(3.34)


𝑛 − ∆𝑡ℎ3𝑛−1𝑢3

𝑛−1𝑢2𝑛 − ∆𝑡𝑔ℎ3

𝑛−1ℎ2𝑛

= 2∆𝑥ℎ3𝑛−1𝑢3

𝑛−1 − ∆𝑡𝑔ℎ3𝑛−1ℎ4

𝑛 − ∆𝑡ℎ3𝑛−1𝑢3

𝑛−1𝑢4𝑛

(3.35)

Jika diketahui syarat batas kecepatan awal 𝑢(𝑥𝑎, 𝑡) = 𝑢(𝑥𝑏 , 𝑡) = 0, dan ketinggian

awal ℎ(𝑥𝑎, 𝑡) = 1, ℎ(𝑥𝑏 , 𝑡) = 1 maka diperoleh matriks

[ 0 ∆𝑡ℎ1

𝑛−10 2∆𝑥 ∆𝑡𝑢1

𝑛−1 0

2∆𝑥ℎ1𝑛−1 ∆𝑡ℎ1

𝑛−1𝑢1𝑛−1 0 0 ∆𝑡𝑔ℎ1

𝑛−10

−∆𝑡ℎ2𝑛−1

0 ∆𝑡ℎ2𝑛−1 −∆𝑡𝑢2

𝑛−1 2∆𝑥 ∆𝑡𝑢2𝑛−1

−∆𝑡ℎ2𝑛−1𝑢2

𝑛−1 2∆𝑥ℎ2𝑛−1 ∆𝑡ℎ2

𝑛−1𝑢2𝑛−1 −∆𝑡𝑔ℎ2

𝑛−10 ∆𝑡𝑔ℎ2

𝑛−1

0 −∆𝑡𝑢3𝑛−1 0 0 −∆𝑡ℎ3

𝑛−12∆𝑥

0 −∆𝑡ℎ3𝑛−1𝑢3

𝑛−1 2∆𝑥ℎ3𝑛−1

0 −∆𝑡𝑔ℎ3𝑛−1

0 ]


52

[ 𝑢1𝑛

𝑢2𝑛

𝑢3𝑛

ℎ1𝑛

ℎ2𝑛

ℎ3𝑛]

=

[

2∆𝑥ℎ1𝑛−1 + ∆𝑡𝑢1

𝑛−1


𝑛−1 + ∆𝑡𝑔ℎ1𝑛−1

2∆𝑥ℎ2𝑛−1


𝑛−1

2∆𝑥ℎ3𝑛−1 − ∆𝑡𝑢3

𝑛−1


𝑛−1 − ∆𝑡𝑔ℎ3𝑛−1]

Misalkan

𝐴

=

(

0 ∆𝑡ℎ1𝑛−1

0 2∆𝑥 ∆𝑡𝑢1𝑛−1 0

2∆𝑥ℎ1𝑛−1 ∆𝑡ℎ1

𝑛−1𝑢1𝑛−1 0 0 ∆𝑡𝑔ℎ1

𝑛−10

−∆𝑡ℎ2𝑛−1

0 ∆𝑡ℎ2𝑛−1 −∆𝑡𝑢2

𝑛−1 2∆𝑥 ∆𝑡𝑢2𝑛−1

−∆𝑡ℎ2𝑛−1𝑢2

𝑛−1 2∆𝑥ℎ2𝑛−1 ∆𝑡ℎ2

𝑛−1𝑢2𝑛−1 −∆𝑡𝑔ℎ2

𝑛−10 ∆𝑡𝑔ℎ2

𝑛−1

0 −∆𝑡𝑢3𝑛−1 0 0 −∆𝑡ℎ3

𝑛−12∆𝑥

0 −∆𝑡ℎ3𝑛−1𝑢3

𝑛−1 2∆𝑥ℎ3𝑛−1

0 −∆𝑡𝑔ℎ3𝑛−1

0 )

𝑋 =

(

𝑢1𝑛

𝑢2𝑛

𝑢3𝑛

ℎ1𝑛

ℎ2𝑛

ℎ3𝑛)

,

𝑏 =

(

2∆𝑥ℎ1𝑛−1 + ∆𝑡𝑢1

𝑛−1


𝑛−1 + ∆𝑡𝑔ℎ1𝑛−1

2∆𝑥ℎ2𝑛−1


𝑛−1

2∆𝑥ℎ3𝑛−1 − ∆𝑡𝑢3

𝑛−1


𝑛−1 − ∆𝑡𝑔ℎ3𝑛−1)

,

Sekarang enam persamaan tersebut memiliki bentuk linear 𝐴𝑋 = 𝑏 yang dapat

diselesaikan.

Dalam program MATLAB digunakan syarat batas untuk kedalaman awal air

ℎ1 = 10, ℎ0 = 4. Hasil simulasi penyelesaian model gelombang air dangkal dengan


53

metode beda hingga grid kolokasi dengan menggunakan program MATLAB

ditunjukkan dalam Gambar 3.4. Hasil simulasi program berhenti pada waktu

𝑡 = 0.2.

Gambar 3.4: Hasil simulasi penyelesaian model gelombang air dangkal

dengan metode beda hingga grid kolokasi.

F. Metode Beda Hingga Grid Selang-Seling

Sekarang persamaan air dangkal akan diselesaikan dengan metode beda

hingga grid selang-seling kemudian solusi numerisnya dibandingkan dengan

metode volume hingga dan metode beda hingga grid kolokasi yang sudah dilakukan

di atas.

Dipandang persamaan air dangkal


54

[ℎℎ𝑢]𝑡+ [

ℎ𝑢

ℎ𝑢2 +1

2𝑔ℎ2

]

𝑥

= 0.

Perhitungan domain 0 < 𝑥 < 𝑋, 𝑡 > 0 dengan grid selang-seling pada domain

ruang 𝑥12

= 0, 𝑥1, … , 𝑥𝑖−12

, 𝑥𝑖 , 𝑥𝑖+12

, … , 𝑥𝑁𝑥+

1

2

= 𝑋. Metode beda hingga selang-

seling adalah pendekatan dua persamaan (3.12) dan (3.13) pada grid berbeda. Pada

rumus selang-seling, nilai variabel ℎ dihitung pada grid bilangan bulat 𝑥𝑖 , 𝑖 =

1, … , 𝑁𝑥 dan 𝑢 dihitung pada grid pecahan 𝑥𝑖+

1

2

, 𝑖 = 1,… ,𝑁𝑥. Selanjutnya, hukum

kekekalan massa pada persamaan (3.12) dihitung dengan pendekatan pada grid

[𝑥𝑖−

1

2

, 𝑥𝑖+1

2

] dan hukum kekekalan momentum pada persamaan (3.13) dihitung

dengan pendekatan pada grid [𝑥𝑗 , 𝑥𝑗+1].

Solusi Numeris Metode Beda Hingga Grid Selang-Seling

Pendekatan konsisten terhadap ruang dari (3.12) dan (3.13) adalah

∆ℎ𝑖∆𝑡

= −

𝑞𝑖+12− 𝑞

𝑖−12

∆𝑥

(3.36)

∆(ℎ𝑖+12𝑢𝑖+12)

∆𝑡= −

1

2𝑔ℎ𝑖+12 − ℎ𝑖

2

∆𝑥−𝑞𝑖+1�̂�𝑖+1 − 𝑞𝑖�̂�𝑖

∆𝑥

(3.37)

dengan

𝑞𝑖+12= ℎ̂

𝑖+12𝑢𝑖+12, ℎ𝑖+12=1

2(ℎ𝑖 + ℎ𝑖+1), 𝑞𝑖 =

1

2(𝑞

𝑖+12+ 𝑞

𝑖−12)

(3.38)

Dengan menggunakan metode upwind orde satu, pendekatan nilai dari

ℎ̂𝑖+12= {

ℎ𝑖, jika 𝑢𝑖+12≥ 0

ℎ𝑖+1, jika 𝑢𝑖+12< 0

(3.39)

dan


55

�̂�𝑖 = {

𝑢𝑖−12, jika 𝑞𝑖 ≥ 0

𝑢𝑖+12, jika 𝑞𝑖 < 0

(3.40)

Dalam melakukan perhitungan, variabel ℎ dihitung pada grid ℎ𝑖 , 𝑖 = 1,2, … ,𝑁𝑥 dan

variabel 𝑢 dihitung pada grid 𝑢𝑖+

1

2

, 𝑖 = 0,1, … ,𝑁𝑥. Dengan menerapkan beda maju

untuk persamaan (3.36) dan beda mundur untuk persamaan (3.37), persamaan

(3.36) dan (3.37) menjadi

ℎ𝑖𝑛+1 − ℎ𝑖

𝑛

∆𝑡= −

𝑞𝑖+12− 𝑞

𝑖−12

∆𝑥

(3.41)

ℎ𝑖+12

𝑛+1𝑢𝑖+12

𝑛+1 − ℎ𝑖+12

𝑛 𝑢𝑖+12

𝑛

∆𝑡= −

1

2𝑔ℎ𝑖+12 − ℎ𝑖

2

∆𝑥−𝑞𝑖+1�̂�𝑖+1 − 𝑞𝑖�̂�𝑖

∆𝑥

(3.42)

Persamaan (3.41) dan (3.42) dihitung dengan menggunakan program MATLAB.

Hasil simulasi gelombang air dangkal dengan metode beda hingga grid selang-

seling ditunjukkan dalam Gambar 3.5. Pada simulasi penyelesaian persamaan

gelombang air dangkal berikut, program berhenti pada saat 𝑡 = 0.2 dengan

kedalaman awal air adalah ℎ1 = 10 dan ℎ0 = 4.


56

Gambar 3.5: Hasil simulasi model gelombang air dangkal dengan metode beda

hingga grid selang-seling.


57

BAB IV

PERBANDINGAN BEBERAPA METODE NUMERIS DALAM

PENYELESAIAN MODEL GELOMBANG AIR DANGKAL

Pada bagian ini akan dibahas hasil-hasil simulasi numeris untuk tiga metode,

yaitu metode volume hingga, metode beda hingga grid kolokasi dan metode beda


Simulasi numeris untuk masing-masing metode dilakukan menggunakan

program MATLAB dengan konsidi awal ditunjukkan pada Gambar 4.1.

Gambar 4.1: Bendungan air dengan kondisi awal adalah air yang tenang.

Kedalaman air di sebelah kiri bendungan adalah ℎ1 = 10 dan di sebelah kanan

bendungan adalah ℎ0 = 4.


Permukaan air ℎ1 = 10

ℎ0 = 4

𝑥


58

Galat solusi perhitungan 𝑢 dan ℎ dihitung dengan menggunakan rumus

𝐺𝑎𝑙𝑎𝑡 𝑢 =1

𝑁∑|𝑢(𝑖) − 𝑢_𝑒𝑥(𝑖)|

𝑁

𝑖=1

dan

𝐺𝑎𝑙𝑎𝑡 ℎ =1

𝑁∑|ℎ(𝑖) − ℎ_𝑒𝑥(𝑖)|

𝑁

𝑖=1

,

di mana 𝑢 dan ℎ adalah nilai numeris di titik 𝑥𝑖, 𝑢_𝑒𝑥 dan ℎ_𝑒𝑥 adalah nilai eksak

di titik 𝑥𝑖, dan 𝑁 adalah banyaknya sel yang digunakan untuk mendiskretkan

domain ruang 𝑥.

A. Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs

Pada Bab III dibahas mengenai solusi numeris dari persamaan gelombang air

dangkal dengan metode volume hingga. Dalam Bab IV ini dibahas mengenai hasil

simulasi solusi numeris persamaan gelombang air dangkal dengan menggunakan

MATLAB. Simulasi ini dilakukan untuk beberapa nilai 𝑁, yaitu 100, 200, 400, 800,

1600, dan 3200.

Berikut merupakan hasil simulasi numeris untuk persamaan gelombang air

dangkal menggunakan metode volume hingga Lax-Friedrichs. Grafik simulasi

numeris ditunjukkan pada Gambar 4.2.


59

Gambar 4.2: Grafik simulasi numeris dengan metode volume hingga Lax-

Friedrichs untuk 𝑁 = 1000, 𝑡 = 0.2 detik, ∆𝑥 = 0.01, dan ∆𝑡 = 0.05 ∆𝑥.

Gambar 4.2 memberikan ilustrasi geometris mengenai simulasi yang telah

dilakukan. Terlihat pada gambar bahwa selisih solusi numeris dan eksaknya kecil.

Dengan kata lain, solusi numerisnya hampir mendekati solusi eksak. Simulasi ini

menggunakan nilai 𝑁 = 1000, ∆𝑥 = 0.01, dan ∆𝑡 = 0.05 ∆𝑥. Simulasi berhenti

pada saat 𝑡 = 0.2.

Tabel 4.1. Hasil simulasi numeris menggunakan metode volume hingga Lax-

Friedrichs pada 𝑡 = 0.2

Galat pada

N Galat u Galat h

100 0.2650 0.2112

200 0.1684 0.1362

400 0.1028 0.0842

800 0.0601 0.0498

1600 0.0344 0.0287


60

3200 0.0198 0.0166

Rata-rata

galat 0.1084 0.0877

Dari Tabel 4.1 tampak bahwa semakin kecil 𝑁 yang diambil, semakin besar

galat (error) yang dihasilkan. Ketika diambil nilai 𝑁 yang cukup besar maka galat

simulasi akan semakin kecil karena banyaknya partisi pada ruang di sumbu 𝑥 yang

semakin banyak dan mendekati solusi eksaknya. Artinya ketika 𝑁 besar solusi yang

diperoleh akan lebih akurat. Dapat dilihat juga pada grafik bahwa solusi eksak dan

numerisnya berhimpit. Namun pada ujung-ujung grafik, kedua grafik terlihat tidak

berhimpit. Artinya masih ada galat perhitungan pada penggunaan metode ini.

Ilustrasi galat secara geometris ditunjukkan pada Gambar 4.3.

Gambar 4.3: Grafik galat kecepatan aliran air (𝑢) dan kedalaman air (ℎ)

menggunakan metode volume hingga Lax-Friedrichs


61

Gambar 4.4: Grafik log galat kecepatan aliran air (𝑢) dan log galat kedalaman

aliran air (ℎ) menggunakan metode volume hingga Lax-Friedrichs

Gambar 4.4 menunjukkan nilai log galat 𝑢 𝐿1, ℎ 𝐿1, 𝑢 𝐿2, ℎ 𝐿2, 𝑢 𝐿∞ dan

ℎ 𝐿∞. Rumus galat 𝐿∞ tidak tepat digunakan sebagai alat untuk mengukur

keakuratan metode volume hingga Lax-Friedrichs untuk persamaan gelombang air

dangkal. Rumus galat 𝐿∞ tidak dapat menunjukkan bahwa semakin banyak titik,

komputasi errornya akan semakin kecil. Sedangkan rumus galat 𝐿1 dan 𝐿2

merupakan rumus yang tepat untuk digunakan sebagai alat untuk mengukur

keakuratan metode ini untuk persamaan gelombang air dangkal karena 𝐿1 dan 𝐿2

dapat menunjukkan bahwa semakin banyak titik, komputasi errornya akan semakin

kecil.


62

Kelebihan dari metode ini adalah skema numeriknya sederhana dan

perhitungan komputasinya juga sangat mudah. Kekurangan metode ini adalah

ketika diambil ∆𝑡 cukup besar metode volume hingga Lax-Friedrichs tidak stabil.

B. Metode Beda Hingga Grid Kolokasi

Selanjutnya akan dipaparkan hasil simulasi numeris penyelesaian gelombang

air dangkal menggunakan metode beda hingga grid koloksi. Pada Bab III telah

dibahas solusi numeris untuk model gelombang air dangkal dengan metode beda

hingga grid kolokasi. Solusi numeris yang diperoleh disimulasikan dengan

menggunakan MATLAB. Kondisi awal yang digunakan adalah sama dengan pada

simulasi sebelumnya.

Grafik simulasi numeris ditunjukkan pada Gambar 4.5. Grafik yang

dihasilkan tidak mulus karena banyak getaran semu pada grafik. Simulasi ini

menggunakan nilai 𝑁 = 1000, ∆𝑥 = 0.01, dan ∆𝑡 = 0.05 ∆𝑥. Simulasi berhenti

pada saat 𝑡 = 0.2.


63

Gambar 4.5: Grafik simulasi numeris dengan metode beda hingga grid kolokasi

untuk 𝑁 = 1000, 𝑡 = 0.2 detik, ∆𝑥 = 0.01, dan ∆𝑡 = 0.01.

Tampak pada gambar bahwa selisih solusi numeris dengan solusi eksak

sangat besar. Hal ini mengakibatkan solusi numeris yang dihasilkan tidak akurat.

Berikut merupakan hasil simulasi numeris untuk persamaan gelombang air dangkal

menggunakan metode beda hingga grid kolokasi.

Tabel 4.2. Hasil simulasi numeris metode beda hingga grid kolokasi pada 𝑡 = 0.2

Galat pada

𝑁 Galat 𝑢 Galat ℎ

100 1.2075 0.9629

200 1.2168 0.9751

400 1.2122 0.9746

800 1.2099 0.9744

1600 1.2110 0.9759

3200 1.2105 0.9758


64

Rata-rata

galat 1.2113 0.9731

Dari Tabel 4.2 terlihat bahwa tidak ada perbedaan galat yang signifikan.

Misalnya pada 𝑁 = 200 dan 𝑁 = 1600, di mana galat yang dihasilkan hampir

sama. Nilai galat 𝑢 cukup besar yaitu berkisar 1.2 sedangkan nilai galat ℎ berkisar

0.9, hal ini tidak sesuai dengan yang diharapkan. Ilustrasi galat secara geometris

ditunjukkan pada gambar 4.6.

Gambar 4.6: Grafik galat kecepatan aliran air (𝑢) dan kedalaman air (ℎ) menggunakan metode beda hingga grid kolokasi


65


menggunakan metode beda hingga gris kolokasi


ℎ 𝐿∞. Rumus galat 𝐿1, 𝐿2, dan 𝐿∞ tidak tepat digunakan sebagai alat untuk

mengukur keakuratan metode beda hingga grid kolokasi untuk persamaan

gelombang air dangkal. Rumus galat 𝐿1, 𝐿2, dan 𝐿∞ tidak dapat menunjukkan

bahwa semakin banyak titik, komputasi errornya akan semakin kecil.

Metode ini memiliki kelebihan yaitu ketika diambil ∆𝑡 cukup besar metode

ini tetap stabil. Adapun kekurangan dari metode ini yaitu memiliki skema

perhitungan numerik yang cukup rumit jika dibandingkan dengan skema eksplisit

metode volume hingga Lax-Friedrichs. Metode ini memiliki sifat stabil tanpa

syarat. Selain itu, kekurangan pada model ini adalah memiliki galat yang besar pada

perhitungan numeriknya karena hanya dipandang satu grid saja untuk menghitung

variabel yang tidak diketahui. Dengan demikian metode beda hingga grid kolokasi


66

bukan pilihan yang tepat untuk menyelesaikan persamaan gelombang air dangkal

terkait dengan masalah bendungan bobol.

C. Metode Beda Hingga Grid Selang-Seling

Pada bagian sebelumnya telah dilihat hasil simulasi menggunakan metode

volume hingga dan metode beda hingga grid kolokasi. Pada metode beda hingga

grid kolokasi masih terdapat getaran semu dalam hasil grafik yang dapat dilihat

pada Gambar 4.8. Sehingga diperlukan model grid selang-seling untuk

memperbaiki model grid kolokasi agar tidak ada getaran semu dalam hasil simulasi

persamaan gelombang air dangkal. Hasil simulasi numeris menggunakan model

grid selang-seling ditunjukkan pada Gambar 4.8.

Gambar 4.8: Grafik simulasi numeris dengan metode beda hingga grid selang-

seling untuk 𝑁 = 1000, 𝑡 = 0.2 detik, ∆𝑥 = 0.01, dan ∆𝑡 = 0.05 ∆𝑥.


67

Tampak pada Gambar 4.8 bahwa grafik kedalaman dan kecepatan aliran air

terlihat lebih halus dari simulasi-simulasi sebelumnya. Grafik solusi numeris

terlihat berhimpit dengan grafik solusi eksak. Namun pada ujung kiri grafik

kecepatan aliran air tampak tidak berhimpit. Artinya, galat yang dihasilkan sangat

kecil.

Dibandingkan dengan kedua metode yang sudah dibahas diatas, metode beda

hingga grid selang-seling memberikan hasil yang lebih akurat. Secara grafis terlihat

bahwa solusi numeris tampak berhimpit dengan solusi eksaknya. Dengan kata lain,

solusi numeris sudah sangat dekat dengan solusi eksaknya.

Sekarang akan dilihat hasil simulasi numeris menggunakan metode beda


Tabel 4.3. Hasil simulasi numeris menggunakan metode beda hingga grid selang-

seling pada 𝑡 = 0.2

Galat pada

𝑁 Galat 𝑢 Galat ℎ

100 0.1804 0.1239

200 0.0897 0.0621

400 0.0415 0.0416

800 0.0285 0.0209

1600 0.0144 0.0140

3200 0.0089 0.0067

Rata-rata

galat 0.0605 0.0448

Tabel 4.3 menunjukkan bahwa semakin besar nilai 𝑁 yang diambil, semakin

kecil galat yang dihasilkan. Galat yang dihasilkan dengan metode beda hingga

selang-seling yaitu setengah kali dari galat dengan nilai 𝑁 yang diambil


68

sebelumnya. Misalnya pada 𝑁 = 100 diperoleh galat 𝑢 = 0.1804 dan galat ℎ =

0.1239. Kemudian diuji untuk nilai 𝑁 = 200 diperoleh galat 𝑢 = 0.0897 dan galat

ℎ = 0.0621. Artinya, galat pada 𝑁 = 200 adalah setengah kalinya galat pada 𝑁 =

100. Ilustrasi galat secara geometris ditunjukkan pada Gambar 4.9.

Gambar 4.9: Grafik galat kecepatan aliran air (𝑢) dan kedalaman air (ℎ) menggunakan metode beda hingga grid selang-seling

Galat yang dihasilkan pada metode beda hingga grid selang-seling lebih kecil

jika dibandingkan dengan metode beda volume hingga dan metode beda hingga

kolokasi. Metode beda hingga grid kolokasi memiliki galat yang lebih besar dari

kedua metode yang lain.


69


menggunakan beda hingga grid selang-seling


ℎ 𝐿∞. Rumus galat 𝐿∞ tidak tepat digunakan sebagai alat untuk mengukur

keakuratan metode beda hingga grid selang-seling untuk persamaan gelombang air

dangkal. Rumus galat 𝐿∞ tidak dapat menunjukkan bahwa semakin banyak titik,

komputasi errornya akan semakin kecil.

Sedangkan rumus galat 𝐿1 dan 𝐿2 merupakan rumus yang tepat untuk

digunakan sebagai alat untuk mengukur keakuratan metode ini untuk persamaan

gelombang air dangkal karena 𝐿1 dan 𝐿2 dapat menunjukkan bahwa semakin

banyak titik, komputasi errornya akan semakin kecil.

Model grid selang-seling memiliki kelebihan dan kekurangan. Kelebihan dari

model ini adalah perhitungan numeriknya lebih akurat dibandingkan dengan


70

metode beda hingga grid kolokasi dan metode volume hingga Lax-Friedrichs.

Kekurangan metode ini yaitu skema untuk menyelesaikan persamaan lebih rumit

dibandingkan dengan skema grid kolokasi karena dalam perhitungan dipandang dua

grid untuk menghitung setiap variabel yang berbeda. Jadi, setiap variabel yang tidak

diketahui dihitung pada grid yang berbeda. Sehingga menghasilkan galat yang

kecil.

Dengan demikian, untuk menyelesaikan persamaan gelombang air dangkal

secara numeris terkait dengan masalah bendungan bobol, penulis menyarankan

penggunaan skema beda hingga grid selang-seling.

Hasil-hasil pada bab ini telah diseminarkan pada The 2016 International

Conference on Information Systems and Applied Mathematics (Mungkasi dan Ilga

Purnama Sari, 2016).


71

BAB V

PENUTUP

Pada bab ini diberikan kesimpulan atas pembahasan bab-bab sebelumnya

serta saran untuk penelitian selanjutnya.

A. Kesimpulan

Telah dilihat bahwa untuk menyelesaikan model gelombang air dangkal

secara numeris dapat diselesaikan dengan berbagai metode numeris. Pada bab-bab

sebelumnya telah diuji beberapa metode yaitu metode volume hingga, metode beda

hingga grid kolokasi dan metode beda hingga grid selang-seling. Berdasarkan hasil

simulasi numeris didapatkan penyelesaian yang terbaik dan sesuai yang diharapkan.

Nilai rata-rata galat dari ketiga metode yang sudah dibahas pada Bab IV

adalah sebagai berikut

Metode Numeris Rata-rata galat 𝑢 Rata-rata galat ℎ

Metode volume hingga

Lax-Friedrichs 0.1084 0.0877

Metode beda hingga grid

kolokasi 1.2113 0.9731

Metode beda hingga grid

selang-seling 0.0605 0.0448

Dari ketiga metode tersebut dapat dilihat bahwa metode beda hingga grid selang-

seling memiliki rata-rata galat 𝑢 dan ℎ yang paling kecil dibandingkan dengan

kedua metode lainnya. Metode beda hingga grid selang-seling adalah metode yang

terbaik berdasarkan hasil simulasi numeris yang dilakukan, apabila dibandingkan

dengan metode volume hingga dan metode beda hingga grid kolokasi.


72

Dengan demikian, untuk menyelesaikan model gelombang air dangkal

terkait dengan masalah bendungan bobol, penulis menyarankan untuk

menggunakan metode beda hingga grid selang-seling.

B. Saran

Penulis sadar bahwa dalam penulisan skripsi ini masih banyak kekurangan.

Oleh sebab itu, penulis mengharapkan kelak akan ada yang melanjutkan penelitian

ini. Tulisan ini hanya membahas model gelombang air dangkal satu dimensi.

Penulis berharap kelak akan ada yang melanjutkan penelitian ini di ruang dimensi

yang lebih tinggi dan jika dimungkinkan menggunakan model yang lain yang

mungkin memberikan hasil yang lebih baik lagi.


73

DAFTAR PUSTAKA

Anton, H. (2010). Elementary Linear Algebra: Applications version. Hoboken:

John Wiley & Sons.

Crowhurst, P. (2013). Numerical Solutions of One-Dimensional Shallow Water

Equations. Melbourne: Australian Mathematical Sciences Institute.

Crowhurst P. dan Li Z. Proceedings of the 2013 UKSim 15th International

Conference on Computer Modelling and Simulation (IEEE, 2013), pp. 55-60.

David. B dan George. C. (1995). Basic Partial Differential Equations, Honolulu:

Hawaii.

Doyen, D. dan Gunawan, P. H. (2014). An Explicit Staggered Finite Volume

Scheme for the Shallow Water Equations. Finite Volumes for Complex

Apllications VII-Methods and Theoritical Aspects, 227-235.

LeVeque, R. J. (1992). Numerical Methods for Conservation Laws, Basel:

Birkhauser.

LeVeque, R. J. (2004). Finite-Volume Method for Hyperbolic Problems.

Cambridge: Cambridge University Press.

Mungkasi, S dan Ilga Purnama Sari. (2016). Numerical Solution to the Shallow

Water Equations Using Explicit and Implicit Schemes. International

Conference on Information System and Applied Mathematics. Submitted to

AIP Conference Proceedings.

Mungkasi, S. (2008). Finite Volume Methods for the One-Dimensional Shallow

Water Equations. Masters Thesis, Canberra: Australian National University.

Munir, R. (2008). Metode Numerik, Bandung: Informatika Bandung.

Stelling, G. S. dan Duinmeijer, S. P. A. (2003). A Staggered Conservative Scheme

for every Froude Number in Rapidly Varied Shallow Water Flows.

International Journal for Numerical Methods in Fluids, 43, 1329-1354.

Thomas, G. B. (2010). Thomas’ Calculus Early Transcendentals. Boston: Pearson

Education.


74

Lampiran

Berikut ini adalah code program MATLAB untuk masing-masing metode

yang digunakan dalam simulasi numeris untuk persamaan gelombang air dangkal

satu dimensi.

1. Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs

a. Code untuk metode volume hingga Lax-Friedrichs

close all; clear all; clc;

N = 1000; %banyaknya langkah pada ruang x1 L = 5; dx = 2*L/N; %ukuran langkah pada ruang x x1 = -L:dx:L; %membuat langkah pada ruang dengan dx adalah jarak

dari titik a ke b x = x1(1:N)+dx/2; %membuat langkah pada ruang x1 sehingga jarak

langkah semakin kecil dt = 0.05*dx; %ukuran langkah waktu t

% initial conditions u = zeros(N,1); %membuat ruang untuk kecepatan aliran air u h = zeros(N,1); %membuat ruang untuk kedalaman aliran air h uh = zeros(N,1); %membuat ruang untuk debit air

Nm = N/2+1; %kedalaman air di atas kedalaman air disebelah kanan

dinding hL=10; hR=4; h(1:Nm) = h(1:Nm)+ hL; %membuat ruang untuk kedalaman air di

sebelah kiri dinding h(Nm+1:N) = h(Nm+1:N)+ hR; %membuat ruang untuk kedalaman air di

sebelah kanan dinding

h1 = h; u1 = u; uh1 = uh;

g = 9.81; %percepatan gravitasi bumi

tStop = 0.2; %waktu akhir iterasi t = 0; %waktu awal j=0;


75

uL=0; uR=0; xmin=-L; xmax=L; delta=(L-(-L))/N;

%for shock wave exact computation c_L = sqrt(g*hL); % wave speed at left side c_R = sqrt(g*hR); % wave speed at right side Smin=-101.0; % initial bracketing for bisection method for shock

speed S Smax=0.0; % terminal bracketing for bisection method for shock

speed S for i=1:100 S=(Smin+Smax)/2.0; % bisecting u2=S-c_R*c_R/4.0/S*(1.0+sqrt(1.0+8.0*S*S/c_R/c_R)); % implicit

function for velocity behind shock c2=c_R*sqrt(0.5*(sqrt(1.0+8.0*S*S/c_R/c_R)-1.0)); % implicit

function for wave speed behind shock func = -2.0*c_L -u2 +2.0*c2; %

characteristic relation between velocity and wave speed if (func > 0.0) % bisection procedure Smin=S; else % bisection procedure Smax=S; end end

while t < tStop j=j+1;

for i=2:N-1

F2_right=0.5*(u(i+1)^2*h(i+1) + 0.5*g*h(i+1)^2 +

u(i)^2*h(i)+0.5*g*h(i)^2) - dx/(2*dt)*(u(i+1)*h(i+1)-u(i)*h(i));

%menghitung flux 2 kanan F2_left=0.5*(u(i)^2*h(i) + 0.5*g*h(i)^2 + u(i-1)^2*h(i-

1)+0.5*g*h(i-1)^2) - dx/(2*dt)*(u(i)*h(i)-u(i-1)*h(i-1));

%menghitung flux 2 kiri

F1_right=0.5*(u(i+1) *h(i+1) + u(i)*h(i)) -

dx/(2*dt)*(h(i+1)-h(i)); %menghitung flux 1 kanan F1_left=0.5*(u(i) *h(i) + u(i-1)*h(i-1)) -

dx/(2*dt)*(h(i)-h(i-1)); %menghitung flux 1 kiri

h1(i)=h(i)-dt*(F1_right- F1_left)/dx; %menghitung

kedalaman aliran air uh1(i)=uh(i)-dt*(F2_right- F2_left)/dx; %menghitung debit

air yang mengalir

end t = t + dt; %update waktu


76

h = h1; %memperbarui dan memanggil hasil akhir perhitungan

kedalaman aliran air uh = uh1; %memperbarui dan memanggil hasil akhir debit air

yang mengalir u = uh1./h1; %memperbarui dan memanggil hasil akhir

perhitungan kecepatan aliran air

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Exact solution u_ex=xmin+dx/2:dx:xmax-dx/2; % initial storage for exact

velocity u_ex h_ex=xmin+dx/2:dx:xmax-dx/2; % initial storage for exact

height h_ex

% the following iteration computes the exact solution at every

spatial point xC=x; for i=1:length(xC) if xC(i) <= -c_L*t u_ex(i) = 0.0; h_ex(i) = hL; elseif xC(i) <= -(u2+c2)*t u_ex(i) = 2.0/3*(xC(i)/t + sqrt(g*hL)); h_ex(i) = 4.0/(9*g)*(-xC(i)/(2.0*t)+sqrt(g*hL))^2; elseif xC(i) < -S*t u_ex(i) = -u2; h_ex(i) = c2^2/g; else u_ex(i) = 0.0; h_ex(i) = hR; end end Q_ex = h_ex.*u_ex; % the exact momentum or discharge Q of

water

% Galat solusi eksak dengan solusi numeris %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% E_u = (1/N)*sum(abs(u(1:N)'-u_ex(1:N))) E_h = (1/N)*sum(abs(h(1:N)'-h_ex(1:N))) %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

subplot(2,1,1) %memesan tempat untuk gambar grafik kedalaman

aliran air plot(x,h,'b', xC,h_ex,'r--'); %menggambar kedalaman air legend('Numerical Solution','Exact Solution'); title(sprintf('Depth at t=%4.3f',t)) %membuat judul grafik xlim([-L L]); %membuat ukuran sumbu x ylim([0 11]); %membuat ukuran sumbu y

subplot(2,1,2) %memesan tempat untuk gambar grafik debit air

yang mengalir plot(x,u,'b', xC,u_ex,'r--'); %menggambar kecepatan air yang

mengalir legend('Numerical Solution','Exact Solution'); title(sprintf('Velocity at t=%4.3f',t)) %membuat judul grafik xlim([-L L]); %membuat ukuran sumbu x ylim([0 5]); %membuat ukuran sumbu y


77

pause(0.001); %program akan berhenti setiap t detik

end

max(h) %hasil akhir kedalaman maksimum aliran air min(h) %hasil akhir kedalaman minimum aliran air

b. Code untuk grafik galat 𝑢 dan ℎ

clc N = [100,200,400,800,1600,3200];

Galat_u = [0.265, 0.1684, 0.1028, 0.0601, 0.0344, 0.0198];

Galat_h = [0,2112, 0,1362, 0,0842, 0,0498, 0,0287, 0,0166]; plot(N,Galat_u,'--r*',N,Galat_h,'--b*') legend('Galat u','Galat h'); xlabel('Banyaknya langkah pada domain ruang (N)') ylabel('Galat') title('Galat Kecepatan dan Kedalaman Aliran Air')

c. Code untuk grafik galat 𝐿1, 𝐿2, dan 𝐿∞

clear clc

N1 = [100 200 400 800 1600 3200]; E_u_L1 = zeros(6,1) E_h_L1 = zeros(6,1) E_u_L2 = zeros(6,1) E_h_L2 = zeros(6,1) E_u_Linf = zeros(6,1) E_h_Linf = zeros(6,1)

E_u_L1a = E_u_L1 E_h_L1a = E_h_L1 E_u_L2a = E_u_L2 E_h_L2a = E_h_L2 E_u_Linfa = E_u_Linf E_h_Linfa = E_h_Linf

for kk = 1:length(N1) N = N1(kk) for k=1:length(N) L = 5; dx = 2*L/N; %ukuran langkah pada ruang x x1 = -L:dx:L; %membuat langkah pada ruang dengan dx

adalah jarak dari titik a ke b x = x1(1:N)+dx/2; %membuat langkah pada ruang x1

sehingga jarak langkah semakin kecil dt = 0.05*dx; %ukuran langkah waktu t


78

% initial conditions u = zeros(N,1); %membuat ruang untuk kecepatan aliran

air u h = zeros(N,1); %membuat ruang untuk kedalaman aliran

air h uh = zeros(N,1); %membuat ruang untuk debit air

Nm = N/2+1; %kedalaman air di atas kedalaman air disebelah

kanan dinding hL=10; hR=4; h(1:Nm) = h(1:Nm)+ hL; %membuat ruang untuk kedalaman air

di sebelah kiri dinding h(Nm+1:N) = h(Nm+1:N)+ hR; %membuat ruang untuk

kedalaman air di sebelah kanan dinding

h1 = h; u1 = u; uh1 = uh;

g = 9.81; %percepatan gravitasi bumi

tStop = 0.2; %waktu akhir iterasi t = 0; %waktu awal j=0;

uL=0; uR=0; xmin=-L; xmax=L; delta=(L-(-L))/N;

%for shock wave exact computation c_L = sqrt(g*hL); % wave speed at left side c_R = sqrt(g*hR); % wave speed at right side Smin=-101.0; % initial bracketing for bisection method for

shock speed S Smax=0.0; % terminal bracketing for bisection method

for shock speed S for i=1:100 S=(Smin+Smax)/2.0; % bisecting u2=S-c_R*c_R/4.0/S*(1.0+sqrt(1.0+8.0*S*S/c_R/c_R)); %

implicit function for velocity behind shock c2=c_R*sqrt(0.5*(sqrt(1.0+8.0*S*S/c_R/c_R)-1.0)); %

implicit function for wave speed behind shock func = -2.0*c_L -u2 +2.0*c2; %



79

while t < tStop j=j+1;

for i=2:N-1

F2_right=0.5*(u(i+1)^2*h(i+1) + 0.5*g*h(i+1)^2 +

u(i)^2*h(i)+0.5*g*h(i)^2) - dx/(2*dt)*(u(i+1)*h(i+1)-u(i)*h(i));

%menghitung flux 2 kanan F2_left=0.5*(u(i)^2*h(i) + 0.5*g*h(i)^2 + u(i-

1)^2*h(i-1)+0.5*g*h(i-1)^2) - dx/(2*dt)*(u(i)*h(i)-u(i-1)*h(i-1));

%menghitung flux 2 kiri

F1_right=0.5*(u(i+1) *h(i+1) + u(i)*h(i)) -

dx/(2*dt)*(h(i+1)-h(i)); %menghitung flux 1 kanan F1_left=0.5*(u(i) *h(i) + u(i-1)*h(i-1)) -

dx/(2*dt)*(h(i)-h(i-1)); %menghitung flux 1 kiri

h1(i)=h(i)-dt*(F1_right- F1_left)/dx;

%menghitung kedalaman aliran air uh1(i)=uh(i)-dt*(F2_right- F2_left)/dx;

%menghitung debit air yang mengalir

end t = t + dt; %update waktu h = h1; %memperbarui dan memanggil hasil akhir

perhitungan kedalaman aliran air uh = uh1; %memperbarui dan memanggil hasil akhir

debit air yang mengalir u = uh1./h1; %memperbarui dan memanggil hasil akhir

perhitungan kecepatan aliran air

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Exact solution u_ex=xmin+dx/2:dx:xmax-dx/2; % initial storage for

exact velocity u_ex h_ex=xmin+dx/2:dx:xmax-dx/2; % initial storage for

exact height h_ex

% the following iteration computes the exact solution

at every spatial point xC=x; for i=1:length(xC) if xC(i) <= -c_L*t u_ex(i) = 0.0; h_ex(i) = hL; elseif xC(i) <= -(u2+c2)*t u_ex(i) = 2.0/3*(xC(i)/t + sqrt(g*hL)); h_ex(i) = 4.0/(9*g)*(-

xC(i)/(2.0*t)+sqrt(g*hL))^2; elseif xC(i) < -S*t u_ex(i) = -u2; h_ex(i) = c2^2/g; else u_ex(i) = 0.0; h_ex(i) = hR;


80

end end Q_ex = h_ex.*u_ex; % the exact momentum or discharge Q

of water

subplot(2,1,1) %memesan tempat untuk gambar grafik

kedalaman aliran air plot(x,h,'b', xC,h_ex,'r--'); %menggambar kedalaman

air legend('Solusi Numerik','Solusi Eksak'); title(sprintf('Kedalaman air at t=%4.3f',t)) %membuat

judul grafik xlim([-L L]); %membuat ukuran sumbu x ylim([0 11]); %membuat ukuran sumbu y

subplot(2,1,2) %memesan tempat untuk gambar grafik

debit air yang mengalir plot(x,u,'b', xC,u_ex,'r--'); %menggambar kecepatan

air yang mengalir legend('Solusi Numerik','Solusi Eksak'); title(sprintf('Kecepatan aliran air at t=%4.3f',t))

%membuat judul grafik xlim([-L L]); %membuat ukuran sumbu x ylim([0 5]); %membuat ukuran sumbu y pause(0.001); %program akan berhenti setiap t detik end end

% Galat L1, L2, dan L inf

E_u_L1a(kk,1) =(1/N)*sum(abs(u(1:N)'-u_ex(1:N))) E_h_L1a(kk,1) =(1/N)*sum(abs(h(1:N)'-h_ex(1:N)))

E_u_L2a(kk,1) = (1/N)*sum((u(1:N)'-u_ex(1:N)).^2) E_h_L2a(kk,1) = (1/N)*sum((h(1:N)'-h_ex(1:N)).^2)

E_u_Linfa(kk,1) = max(abs(u(1:N)'-u_ex(1:N))) E_h_Linfa(kk,1) = max(abs(h(1:N)'-h_ex(1:N))) end

E_u_L1 = E_u_L1a E_h_L1 = E_h_L1a E_u_L2 = E_u_L2a E_h_L2 = E_h_L2a E_u_Linf = E_u_Linfa E_h_Linf = E_h_Linfa

subplot(2,1,1) plot(log(N1),log(E_u_L1),'--r*',log(N1),log(E_u_L2),'--b*',

log(N1), log(E_u_Linf),'--g*') legend('Galat u L1','Galat u L2', 'Galat u Linf'); xlabel('log(N)') ylabel('log(Galat u)') title('Galat Kecepatan Aliran Air')


81

subplot(2,1,2) plot(log(N1),log(E_h_L1),'--r*',log(N1),log(E_h_L2),'--b*',

log(N1), log(E_h_Linf),'--g*') legend('Galat h L1','Galat h L2', 'Galat h Linf'); xlabel('log(N)') ylabel('log(Galat h)') title('Galat Kedalaman Aliran Air')

2. Metode Beda Hingga Grid Kolokasi

a. Code untuk metode beda hingga grid kolokasi

clear all; clear figure;

N=1000; % jumlah langkah pada ruang zeta=0.01; % ukuran langkah waktu tStop=0.2; M=tStop/zeta; % jumlah langkah pada waktu L=5; hL=10; hR=4; uL=0; uR=0; xmin=-L; xmax=L; g=9.81; % konstanta percepatan gravitasi delta=(L-(-L))/N; dx=delta; u(:,:)=zeros(N+1,M+1); % membuat ruang untuk kecepatan h(:,:)=zeros(N+1,M+1); % membuat ruang untuk ketinggian u(1,:)=uL; u(N+1,:)=uR; h(1,:)=hL; h(N+1,:)=hR; x=-L:delta:L; % langkah ruang dan jarak t = 0;





function for wave speed behind shock


82

func = -2.0*c_L -u2 +2.0*c2; %


for k=2:N if k < N/2 h(k,1)= hL; % kedalaman aliran air di kiri dinding else h(k,1)= hR; % kedalaman aliran air di kanan dinding end end

% Penyelesaian Matriks A=zeros(2*(N-1),2*(N-1)); %memesan tempat untuk matriks A b=zeros(2*(N-1),1); %memesan tempat untuk matriks b

for j=2:M+1 A(1,N)=2*delta; A(1,N+1)=zeta*u(2,j-1); A(1,2)=zeta*h(2,j-1);

% Persamaan pertama untuk i=1 b(1,1)=2*delta*h(2,j-1)+zeta*u(2,j-1)*h(1,j)+zeta*h(2,j-

1)*u(1,j); A(2,1)=2*delta*h(2,j-1); A(2,2)=zeta*u(2,j-1)*h(2,j-1);

% persamaan kedua untuk i=1 A(2,N+1)=zeta*g*h(2,j-1); b(2,1)=2*delta*h(2,j-1)*u(2,j-1)+zeta*u(2,j-1)*h(2,j-

1)*u(1,j)+zeta*g*h(2,j-1)*h(1,j); A(2*N-3,2*N-2)=2*delta; A(2*N-3,N-2+N-1)=-zeta*u(N,j-1); A(2*N-3,N-1-1)=-zeta*h(N,j-1);

% Persamaan pertama untuk i=3 b(2*N-3,1)=2*delta*h(N,j-1)-zeta*u(N,j-1)*h(N+1,j)-zeta*h(N,j-

1)*u(N+1,j); A(2*N-2,N-1)=2*delta*h(N,j-1); A(2*N-2,N-1-1)=-zeta*u(N,j-1)*h(N,j-1); A(2*N-2,N-2+N-1)=-zeta*g*h(N,j-1);

% Persamaan kedua untuk i=3 b(2*N-2,1)=2*delta*h(N,j-1)*u(N,j-1)-zeta*u(N,j-1)*h(N,j-

1)*u(N+1,j)-zeta*g*h(N,j-1)*h(N+1,j);

for i=3:N-1 A(2*i-3,N-2+i)=2*delta; A(2*i-3,N-2+i+1)=zeta*u(i,j-1);


83

A(2*i-3,N-2+i-1)=-zeta*u(i,j-1); A(2*i-3,i+1-1)=zeta*h(i,j-1); A(2*i-3,i-1-1)=-zeta*h(i,j-1);

% persamaan pertama untuk i=2 b(2*i-3,1)=2*delta*h(i,j-1); A(2*i-2,i-1)=2*delta*h(i,j-1); A(2*i-2,i+1-1)=zeta*u(i,j-1)*h(i,j-1); A(2*i-2,i-1-1)=-zeta*u(i,j-1)*h(i,j-1); A(2*i-2,N-2+i+1)=zeta*g*h(i,j-1); A(2*i-2,N-2+i-1)=-zeta*g*h(i,j-1);

% persamaan kedua untuk i=2 b(2*i-2,1)=2*delta*h(i,j-1)*u(i,j-1); end

% menyelesaikan matriks A y=A\b;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % SOLUSI NUMERIS % solusi untuk ruang kecepatan dan kedalaman aliran air u(2:N,j)=y(1:N-1); h(2:N,j)=y(N:2*N-2);

% Syarat batas u(1:5,j)=0; u(end-5:end,j)=0; h(1:5,j)=10; h(end-5:end,j)=4;

t = t+zeta; %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % SOLUSI EKSAK u_ex=xmin+dx/2:dx:xmax-dx/2; % initial storage for exact


height h_ex


spatial point xC=x; for i=1:length(xC) if xC(i) <= -c_L*t u_ex(i) = 0.0; h_ex(i) = hL; elseif xC(i) <= -(u2+c2)*t u_ex(i) = 2.0/3*(xC(i)/t + sqrt(g*hL)); h_ex(i) = 4.0/(9*g)*(-xC(i)/(2.0*t)+sqrt(g*hL))^2; elseif xC(i) < -S*t u_ex(i) = -u2; h_ex(i) = c2^2/g; else u_ex(i) = 0.0;


84

h_ex(i) = hR; end end Q_ex = h_ex.*u_ex; % the exact momentum or discharge Q of

water

% Galat solusi eksak dengan solusi numeris %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% E_u = (1/N)*sum(abs(u(1:N)-u_ex(1:N))) E_h = (1/N)*sum(abs(h(1:N)-h_ex(1:N))) %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% membuat gambar grafik kedalaman dan kecepatan air subplot(2,1,1); plot(x,h(:,j),'b-', xC,h_ex, 'r--'); legend('Numerical Solution','Exact Solution'); title(sprintf('Depth at t=%4.3f',t)) axis([-L L 0 11]);

subplot(2,1,2); plot(x,u(:,j),'b-',xC,u_ex,'r--'); legend('Numerical Solution','Exact Solution'); title(sprintf('Velocity at t=%4.3f',t)) axis([-L L 0 5]); pause(0.1) end


clc N = [100,200,400,800,1600,3200]; Galat_u = [1.2075, 1.2168, 1.2122, 1.2099, 1.2110, 1.2105]; Galat_h = [0.9629, 0.9751, 0.9746, 0.9744, 0.9759, 0.9758]; plot(N,Galat_u,'--r*',N,Galat_h,'--b*') legend('Galat u','Galat h'); xlabel('Banyaknya langkah pada domain ruang (N)') ylabel('Galat') title('Galat Kecepatan dan Kedalaman Aliran Air')


clear all; clear figure;

N1 = [100 200 400 800 1600 3200]; E_u_L1=zeros(6,1) E_h_L1=zeros(6,1) E_u_L2=zeros(6,1) E_h_L2=zeros(6,1)


85

E_u_Linf=zeros(6,1) E_h_Linf=zeros(6,1)

E_u_L1a=E_u_L1 E_h_L1a=E_h_L1 E_u_L2a=E_u_L2 E_h_L2a=E_h_L2 E_u_Linfa=E_u_Linf E_h_Linfa=E_h_Linf

for kk = 1:length(N1) N = N1(kk) for jj=1:length(N) zeta=0.01; % ukuran langkah waktu tStop=0.2; M=tStop/zeta; % jumlah langkah pada waktu L=5; hL=10; hR=4; uL=0; uR=0; xmin=-L; xmax=L; g=9.81; % konstanta percepatan gravitasi delta=(L-(-L))/N; dx=delta; u=zeros(N+1,M+1); % membuat ruang untuk kecepatan h=zeros(N+1,M+1); % membuat ruang untuk kedalaman u(1,:)=uL; u(N+1,:)=uR; h(1,:)=hL; h(N+1,:)=hR; x=-L:delta:L; % langkah ruang dan jarak t = 0;








86

for k=2:N if k < N/2 h(k,1)= hL; % kedalaman aliran air di kiri dinding else h(k,1)= hR; % kedalaman aliran air di kanan

dinding end end

% Penyelesaian Matriks A=zeros(2*(N-1),2*(N-1)); %memesan tempat untuk matriks

A b=zeros(2*(N-1),1); %memesan tempat untuk matriks b

for j=2:M+1 A(1,N)=2*delta; A(1,N+1)=zeta*u(2,j-1); A(1,2)=zeta*h(2,j-1);

% Persamaan pertama untuk i=1 b(1,1)=2*delta*h(2,j-1)+zeta*u(2,j-

1)*h(1,j)+zeta*h(2,j-1)*u(1,j); A(2,1)=2*delta*h(2,j-1); A(2,2)=zeta*u(2,j-1)*h(2,j-1);

% persamaan kedua untuk i=1 A(2,N+1)=zeta*g*h(2,j-1); b(2,1)=2*delta*h(2,j-1)*u(2,j-1)+zeta*u(2,j-1)*h(2,j-

1)*u(1,j)+zeta*g*h(2,j-1)*h(1,j); A(2*N-3,2*N-2)=2*delta; A(2*N-3,N-2+N-1)=-zeta*u(N,j-1); A(2*N-3,N-1-1)=-zeta*h(N,j-1);

% Persamaan pertama untuk i=3 b(2*N-3,1)=2*delta*h(N,j-1)-zeta*u(N,j-1)*h(N+1,j)-

zeta*h(N,j-1)*u(N+1,j); A(2*N-2,N-1)=2*delta*h(N,j-1); A(2*N-2,N-1-1)=-zeta*u(N,j-1)*h(N,j-1); A(2*N-2,N-2+N-1)=-zeta*g*h(N,j-1);

% Persamaan kedua untuk i=3 b(2*N-2,1)=2*delta*h(N,j-1)*u(N,j-1)-zeta*u(N,j-

1)*h(N,j-1)*u(N+1,j)-zeta*g*h(N,j-1)*h(N+1,j);

for i=3:N-1 A(2*i-3,N-2+i)=2*delta; A(2*i-3,N-2+i+1)=zeta*u(i,j-1); A(2*i-3,N-2+i-1)=-zeta*u(i,j-1); A(2*i-3,i+1-1)=zeta*h(i,j-1); A(2*i-3,i-1-1)=-zeta*h(i,j-1);

% persamaan pertama untuk i=2


87

b(2*i-3,1)=2*delta*h(i,j-1); A(2*i-2,i-1)=2*delta*h(i,j-1); A(2*i-2,i+1-1)=zeta*u(i,j-1)*h(i,j-1); A(2*i-2,i-1-1)=-zeta*u(i,j-1)*h(i,j-1); A(2*i-2,N-2+i+1)=zeta*g*h(i,j-1); A(2*i-2,N-2+i-1)=-zeta*g*h(i,j-1);

% persamaan kedua untuk i=2 b(2*i-2,1)=2*delta*h(i,j-1)*u(i,j-1); end

% menyelesaikan matriks A y=A\b;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % SOLUSI NUMERIS % solusi untuk ruang kecepatan dan kedalaman aliran

air u(2:N,j)=y(1:N-1); h(2:N,j)=y(N:2*N-2);

% Syarat batas u(1:5,j)=0; u(end-5:end,j)=0; h(1:5,j)=10; h(end-5:end,j)=4;

t = t+zeta;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % SOLUSI EKSAK u_ex=xmin+dx/2:dx:xmax-dx/2; % initial storage for


exact height h_ex





88


of water

% Galat solusi eksak dengan solusi numeris

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% E_u = (1/N)*sum(abs(u(1:N)-u_ex(1:N))) E_h = (1/N)*sum(abs(h(1:N)-h_ex(1:N)))

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

% membuat gambar grafik kedalaman dan kecepatan air subplot(2,1,1); plot(x,h(:,j),'b-', xC,h_ex, 'r--'); legend('Numerical Solution','Exact Solution'); title(sprintf('Depth at t=%4.3f',t)) axis([-L L 0 11]);

subplot(2,1,2); plot(x,u(:,j),'b-',xC,u_ex,'r--'); legend('Numerical Solution','Exact Solution'); title(sprintf('Velocity at t=%4.3f',t)) axis([-L L 0 5]); pause(0.1)

end end

% Galat L1, L2, dan L inf

E_u_L1a(kk,1) =(1/N)*sum(abs(u(1:N)-u_ex(1:N))) E_h_L1a(kk,1) =(1/N)*sum(abs(h(1:N)-h_ex(1:N)))

E_u_L2a(kk,1) = (1/N)*sum((u(1:N)-u_ex(1:N)).^2) E_h_L2a(kk,1) = (1/N)*sum((h(1:N)-h_ex(1:N)).^2)

E_u_Linfa(kk,1) = max(abs(u(1:N)-u_ex(1:N))) E_h_Linfa(kk,1) = max(abs(h(1:N)-h_ex(1:N)))

end E_u_L1 = E_u_L1a E_h_L1 = E_h_L1a E_u_L2 = E_u_L2a E_h_L2 = E_h_L2a E_u_Linf = E_u_Linfa E_h_Linf = E_h_Linfa


log(N1), log(E_u_Linf),'--g*')


89

legend('Galat u L1','Galat u L2', 'Galat u Linf'); xlabel('log(N)') ylabel('log(Galat u)') title('Galat Kecepatan Aliran Air')



3. Metode Beda Hinggs Grid Selang-Seling

a. Code untuk metode beda hingga grid selang-seling

clc clear all

g = 9.81; % percepatan gravitasi N = 100; % banyaknya langkah untuk mendiskritkan domain ruang L = 5; % ujung-ujung interval xmin=-L; xmax=L; dx = (L-(-L))/N; % jarak grid a ke grid b hL = 10; % ketinggian awal di sebelah kiri dinding, dinding

berada pada x=0 hR = 4; % ketinggian awal di sebelah kanan dinding dt = 0.05*dx; % langkah waktu t tstop =0.2; % program ini berjalan sampai waktu tStop detik





function for wave speed behind shock func = -2.0*c_L -u2 +2.0*c2; %



90

% make a grid x = (-L+dx/2 : dx : L+dx/2); % membuat langkah pada ruang x

dengan ujung-ujung interval -L+dx/2 dan L+dx/2 h = zeros(1,N); % membuat ruang untuk kedalaman aliran air u = zeros(1,N); % membuat ruang untuk kecepatan aliran air q = zeros(1,N); % membuat ruang untuk debit aliran air xodd = zeros(1,N/2); % membuat ruang untuk menghitung kecepatan

aliran air uodd = zeros(1,N/2); % membuat ruang untuk perhitungan

kecepatan aliran air pada grid ganjil qodd = zeros(1,N/2); % membuat ruang untuk perhitungan debit

aliran air pada grid ganjil xeven = zeros(1,N/2); % membuat ruang untuk menghitung kedalaman

aliran air heven = zeros(1,N/2); % membuat ruang untuk perhitungan

kedalaman aliran air pada grid genap

% menghitung kecepatan dan kedalaman aliran air. Jika hasil

modulonya nol % maka hasil perhitungannya masuk ke grid genap. Jika hasil

modulonya tidak nol % maka hasil perhitungannya masuk ke grid ganjil. for i = 1:N if mod(i,2) == 0 xeven(i/2) = x(i); else xodd((i+1)/2) = x(i); end end

%initial condition h(1,1:N/2) = hL; h(1,N/2:N) = hR;

%now let start the evolution figure(1) t=0;

%initial condition h(1) = hL; h(end) = hR; u(1) = 0; u(end) = 0;

while (t<tstop) hh=h; uu=u; hnew = zeros(1,N); unew = zeros(1,N); for i = 3:N-2 if mod(i,2) == 0 %h grids i.e. even grids hhtiph = hh(i); uuiph = uu(i+1); qiph = hhtiph*uuiph;


91

hhtimh = hh(i-2); uuimh = uu(i-1); qimh = hhtimh*uuimh; hnew(i) = hh(i) - dt/(2*dx)*(qiph - qimh); end end %boundary condition hnew(1:3) = hL; hnew(end-3:end) = hR; unew(1:3) = 0; unew(end-3:end) = 0;

% perhitungan dengan metode beda hingga grid selang-seling for i=4:N-4 if mod(i,2)~=0; %u grids i.e. odd grids uutip1 = uu(i); uuti = uu(i-2);

uuip3h = uu(i+2); hhtip3h = hh(i+1); qip3h = hhtip3h*uuip3h;

uuiph = uu(i); hhtiph = hh(i-1); qiph = hhtiph*uuiph;

qip1 = 0.5*(qiph+qip3h);

uuimh = uu(i-2); hhtimh = hh(i-3); qimh = hhtimh*uuimh; qi = 0.5*(qimh+qiph);

hhip1 = hh(i+1); hhi = hh(i-1); hhiph = 0.5*(hhi+hhip1); hip1 = hnew(i+1); hi = hnew(i-1); hiph = 0.5*(hi+hip1); unew(i) = (1/hiph)*(hhiph*uuiph -

dt/(2*dx)*(qip1*uutip1 - qi*uuti + 0.5*g*(hip1^2 - hi^2) ) ); end end %boundary condition hnew(1:4) = hL; hnew(end-4:end) = hR; unew(1:4) = 0; unew(end-4:end) = 0;

h = hnew; % memperbarui hasil perhitungan h u = unew; % memperbarui hasil perhitungan u


92

t=t+dt;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Exact solution u_ex=xmin+dx/2:dx:xmax-dx/2; % initial storage for exact


height h_ex


spatial point xC=x; for i=1:length(xC) if xC(i) <= -c_L*t u_ex(i) = 0.0; h_ex(i) = hL; elseif xC(i) <= -(u2+c2)*t u_ex(i) = 2.0/3*(xC(i)/t + sqrt(g*hL)); h_ex(i) = 4.0/(9*g)*(-xC(i)/(2.0*t)+sqrt(g*hL))^2; elseif xC(i) < -S*t u_ex(i) = -u2; h_ex(i) = c2^2/g; else u_ex(i) = 0.0; h_ex(i) = hR; end end Q_ex = h_ex.*u_ex; % the exact momentum or discharge Q of

water

% Menggambar hasil perhitungan h dan u hevenex = 0*heven; uoddex = 0*uodd; for i = 1:N if mod(i,2) == 0 heven(i/2) = h(i); hevenex(i/2) = h_ex(i);

else uodd((i+1)/2) = u(i); uoddex((i+1)/2) = u_ex(i); end end

% Galat solusi eksak dengan solusi numeris %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% E_u = 1/(N/2)*sum(abs(uodd-uoddex)) E_h = 1/(N/2)*sum(abs(heven-hevenex)) %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

figure(1) subplot(2,1,1) plot(xeven,heven,'b-', xeven,hevenex,'r-') legend('solusi numeris','solusi eksak')


93

title(sprintf('Kedalaman air pada waktu t=%4.3f',t)) xlim([-L L]) ylim([0 11])

subplot(2,1,2) plot(xodd,uodd,'b-', xodd,uoddex,'r-') legend('solusi numeris','solusi eksak') title(sprintf('Kecepatan air pada waktu t=%4.3f',t)) xlim([-L L]) ylim([0 5]) pause(0.1) end


clc N = [100,200,400,800,1600,3200]; Galat_u = [0.1804, 0.0897, 0.0415, 0.0285, 0.0144, 0.0089]; Galat_h = [0.1239, 0.0621, 0.0416, 0.0209, 0.0140, 0.0067]; plot(N,Galat_u,'--r*',N,Galat_h,'--b*') legend('Galat u','Galat h'); xlabel('Banyaknya langkah pada domain ruang (N)') ylabel('Galat') title('Galat Kecepatan dan Kedalaman Aliran Air')


clc clear all

N1 = [100 200 400 800 1600 3200]; E_u_L1=zeros(6,1) E_h_L1=zeros(6,1) E_u_L2=zeros(6,1) E_h_L2=zeros(6,1) E_u_Linf=zeros(6,1) E_h_Linf=zeros(6,1)

E_u_L1a=E_u_L1 E_h_L1a=E_h_L1 E_u_L2a=E_u_L2 E_h_L2a=E_h_L2 E_u_Linfa=E_u_Linf E_h_Linfa=E_h_Linf

for kk = 1:length(N1) N = N1(kk) for k=1:length(N) g = 9.81; % percepatan gravitasi L = 5; % ujung-ujung interval


94

xmin=-L; xmax=L; dx = (L-(-L))/N; % jarak grid a ke grid b hL = 10; % ketinggian awal di sebelah kiri dinding,

dinding berada pada x=0 hR = 4; % ketinggian awal di sebelah kanan dinding dt = 0.05*dx; % langkah waktu t tstop =0.2; % program ini berjalan sampai waktu tStop

detik







% make a grid x = (-L+dx/2 : dx : L+dx/2); % membuat langkah pada

ruang x dengan ujung-ujung interval -L+dx/2 dan L+dx/2 h = zeros(1,N); % membuat ruang untuk kedalaman aliran air u = zeros(1,N); % membuat ruang untuk kecepatan aliran air q = zeros(1,N); % membuat ruang untuk debit aliran air xodd = zeros(1,N/2); % membuat ruang untuk menghitung

kecepatan aliran air uodd = zeros(1,N/2); % membuat ruang untuk perhitungan

kecepatan aliran air pada grid ganjil qodd = zeros(1,N/2); % membuat ruang untuk perhitungan

debit aliran air pada grid ganjil xeven = zeros(1,N/2); % membuat ruang untuk menghitung

kedalaman aliran air heven = zeros(1,N/2); % membuat ruang untuk perhitungan

kedalaman aliran air pada grid genap

% menghitung kecepatan dan kedalaman aliran air. Jika

hasil modulonya nol % maka hasil perhitungannya masuk ke grid genap. Jika

hasil modulonya tidak nol % maka hasil perhitungannya masuk ke grid ganjil. for i = 1:N if mod(i,2) == 0


95

xeven(i/2) = x(i); else xodd((i+1)/2) = x(i); end end

%initial condition h(1,1:N/2) = hL; h(1,N/2:N) = hR;

%now let start the evolution figure(1) t=0;

%initial condition h(1) = hL; h(end) = hR; u(1) = 0; u(end) = 0;

while (t<tstop) hh=h; uu=u; hnew = zeros(1,N); unew = zeros(1,N); for i = 3:N-2 if mod(i,2) == 0 %h grids i.e. even grids hhtiph = hh(i); uuiph = uu(i+1); qiph = hhtiph*uuiph;

hhtimh = hh(i-2); uuimh = uu(i-1); qimh = hhtimh*uuimh; hnew(i) = hh(i) - dt/(2*dx)*(qiph - qimh); end end %boundary condition hnew(1:3) = hL; hnew(end-3:end) = hR; unew(1:3) = 0; unew(end-3:end) = 0;

% perhitungan dengan metode beda hingga grid selang-

seling for i=4:N-4 if mod(i,2)~=0; %u grids i.e. odd grids uutip1 = uu(i); uuti = uu(i-2);

uuip3h = uu(i+2); hhtip3h = hh(i+1); qip3h = hhtip3h*uuip3h;

uuiph = uu(i);


96

hhtiph = hh(i-1); qiph = hhtiph*uuiph;

qip1 = 0.5*(qiph+qip3h);

uuimh = uu(i-2); hhtimh = hh(i-3); qimh = hhtimh*uuimh; qi = 0.5*(qimh+qiph);

hhip1 = hh(i+1); hhi = hh(i-1); hhiph = 0.5*(hhi+hhip1); hip1 = hnew(i+1); hi = hnew(i-1); hiph = 0.5*(hi+hip1); unew(i) = (1/hiph)*(hhiph*uuiph -

dt/(2*dx)*(qip1*uutip1 - qi*uuti + 0.5*g*(hip1^2 - hi^2) ) ); end end %boundary condition hnew(1:4) = hL; hnew(end-4:end) = hR; unew(1:4) = 0; unew(end-4:end) = 0;

h = hnew; % memperbarui hasil perhitungan h u = unew; % memperbarui hasil perhitungan u

t=t+dt;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Exact solution u_ex=xmin+dx/2:dx:xmax-dx/2; % initial storage for


exact height h_ex





97


of water

% Menggambar hasil perhitungan h dan u hevenex = 0*heven; uoddex = 0*uodd; for i = 1:N if mod(i,2) == 0 heven(i/2) = h(i); hevenex(i/2) = h_ex(i);

else uodd((i+1)/2) = u(i); uoddex((i+1)/2) = u_ex(i); end end

% Galat solusi eksak dengan solusi numeris

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% E_u = 1/(N/2)*sum(abs(uodd-uoddex)) E_h = 1/(N/2)*sum(abs(heven-hevenex))

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

figure(1) subplot(2,1,1) plot(xeven,heven,'b-', xeven,hevenex,'r-') legend('Numerical solution','Exact Solution') title(sprintf('Depth at t=%4.3f',t)) xlim([-L L]) ylim([0 11])

subplot(2,1,2) plot(xodd,uodd,'b-', xodd,uoddex,'r-') legend('Numerical solution','Exact Solution') title(sprintf('Velocity at t=%4.3f',t)) xlim([-L L]) ylim([0 5]) pause(0.1) end end

% Galat solusi eksak dengan solusi numeris E_u_L1a(kk,1) =(1/N)*sum(abs(uodd-uoddex)) E_h_L1a(kk,1) =(1/N)*sum(abs(heven-hevenex))

E_u_L2a(kk,1) = (1/N)*sum((uodd-uoddex).^2) E_h_L2a(kk,1) = (1/N)*sum((heven-hevenex).^2)

E_u_Linfa(kk,1) = max(abs(uodd-uoddex)) E_h_Linfa(kk,1) = max(abs(heven-hevenex)) end


98

E_u_L1 = E_u_L1a E_h_L1 = E_h_L1a E_u_L2 = E_u_L2a E_h_L2 = E_h_L2a E_u_Linf = E_u_Linfa E_h_Linf = E_h_Linfa


log(N1), log(E_u_Linf),'--g*') legend('Galat u L1','Galat u L2', 'Galat u Linf'); xlabel('log(N)') ylabel('log(Galat u)') title('Galat Kecepatan Aliran Air')




Documents

PENYELESAIAN PERSAMAAN GELOMBANG AIR DANGKAL … · Aliran fluida merupakan salah ... Persamaan gelombang air dangkal dalam bentuk sistem persamaan diferensial parsial ... Pada bagian