Permeabilidad de Medios Porosos

Universidad de ConcepciónFacultad de IngenieríaDepartamento de Ingeniería Química

Profesor Patrocinante:Pedro G. Toledo R.

Permeabilidad de Medios Porosos:Experimentos Numéricos y Teoría

Roberto Eduardo Rozas Cárdenas

Tesis presentada a la Escuela de Graduados de la Universidad de Concepción para optar al Grado de

Magíster en Ciencias de la Ingeniería con Mención en Ingeniería Química

Concepción, Chile, Septiembre de 2002

A Carolina y Paloma.

Resumen

La permeabilidad es la propiedad que determina el flujo a través de un medio poroso,

en régimen laminar queda definida por la ley Darcy. En literatura se encuentran numerosas

expresiones que intentan relacionar la permeabilidad con la porosidad; sin embargo, ninguna

de ellas representa satisfactoriamente el comportamiento de la permeabilidad observado en

diversas clases de materiales porosos, no poseen carácter universal. Los resultados

experimentales disponibles en literatura señalan que relaciones tipo Carman-Kozeny y leyes

de potencia simple entre la permeabilidad y la porosidad son satisfactorias en rangos estrechos

de porosidad en un mismo material. Hasta ahora las desviaciones observadas respecto de estas

relaciones son atribuidas sin mayor argumentación a errores experimentales en la

determinación de permeabilidad a baja porosidad.

En este trabajo se estudia, mediante simulación de Monte Carlo, la evolución de las

propiedades geométricas y de transporte, y la relación entre ellas, de un material poroso

sometido a compactación. El espacio poroso es representado mediante redes regulares,

cuadrada y cúbica, de conductos de tamaño distribuido que son deformados de acuerdo a un

mecanismo de compactación aleatorio. Las propiedades de transporte, específicamente la

permeabilidad y la conductividad eléctrica, son estimadas en forma rigurosa mediante

simulación de Monte Carlo; la solución es corroborada mediante aproximación de medio

efectivo. Dado que Monte Carlo conduce a un sistema lineal de 105 o más ecuaciones, aquí se

implementa un algoritmo de almacenamiento óptimo de matrices, denominado,

almacenamiento ralo simétrico. Por otra parte, dadas las características de condicionamiento

del sistema, para su solución se utiliza el algoritmo de sobrerrelajación sucesiva simétrica

precondicionada con gradiente conjugado de parámetros fijos y optimizados en forma

empírica.

Otra propiedad de interés es la longitud característica de un medio poroso que fija la

escala de las propiedades de transporte. Diversas longitudes han sido propuestas, entre ellas el

radio hidráulico. Sin embargo, de acuerdo a los resultados, la longitud crítica se muestra

particularmente sensible a cambios en la microestructura porosa a medida que se compacta.

Esta longitud se encuentra relacionada con el camino de mínima resistencia en una situación

de flujo en un medio poroso y se determina mediante un experimento clásico o numérico de

porosimetría. Los resultados de simulación de Monte Carlo reproducen el comportamiento

observado en datos experimentales de permeabilidad-porosidad, incluyendo aquellos aspectos

que hasta ahora han sido atribuidos a error experimental. Durante una compactación débil

todas las propiedades de medios porosos pueden ser relacionadas mediante leyes simples de

potencia, válidas en todo el rango de porosidad. En compactaciones severas se observan

cambios abruptos en las propiedades de transporte y en la longitud crítica. Estos cambios, que

se manifiestan como puntos singulares en las propiedades cuando se despliegan en función de

la porosidad, en este trabajo son interpretados en términos de transiciones en la

microestructura de los materiales porosos. La existencia de estas transiciones es comprobada

aquí mediante una extensión de la teoría de percolación a materiales que sufren transiciones

del tipo conductor-conductor débil. Si un material posee una población de poros que en

proporción es mayor que la probabilidad crítica de percolación de la red que lo representa, el

tamaño característico de esta población domina las propiedades de transporte del material.

Cuando esta proporción es igual a la probabilidad crítica de percolación, entonces existe un

camino crítico conexo de estos poros a través del medio; un avance diferencial en este estado

hacia una porosidad más baja implica, en una muestra representativa, la desaparición del

camino conexo de poros de mayor conductancia. Esto es, ocurre una transición de

microestructura que se manifiesta como un descenso abrupto en las propiedades

macroscópicas del material, tales como la conductividad eléctrica, permeabilidad, difusividad,

etc. Los puntos de inflexión observados en resultados de permeabilidad experimentales

representados en escala logarítmica no son más que la evidencia de tales transiciones.

La presencia de transiciones indica la necesidad de incorporar nuevos parámetros en

las relaciones de permeabilidad, a fin de otorgarles carácter predictivo, notablemente la

longitud crítica y la porosidad a la que ocurren las transiciones microestructurales. Dos

relaciones con carácter universal se establecen en base a los resultados de simulación de

Monte Carlo. La primera, de Katz y Thompson (1986) Flk c /2α= , establece una relación

entre la permeabilidad k , la longitud crítica cl y el factor de formación F . Esta ley tiene

sustento en análisis de trayectoria crítica y teoría de percolación. La segunda, ( )'2cclk φφα −= ,

donde 'cφ es una porosidad pseudocrítica, es postulada aquí en base a las relaciones de

escalamiento que exhibe la permeabilidad y la longitud característica con la porosidad.

Las rutinas implementadas en esta tesis se reúnen en un programa que denominamos

PROTRAN. Se trata de una interfaz Windows a un grupo de rutinas que permite la estimación

de la permeabilidad, conductividad eléctrica y longitudes características a distintos valores de

porosidad. El programa permite también simular experimentos de porosimetría y obtener

gráficos de patrones de flujo. Las variables de alimentación de las rutinas son la dimensión de

la red, el método de cálculo de las propiedades de transporte, el factor de compactación y la

distribución de tamaño de poros.

Tabla de Contenidos

Capítulo 1Estudio de Flujo en Medios Porosos: Motivación 1

Capítulo 2Permeabilidad de Medios Porosos: Una Revisión 14

Capítulo 3Permeabilidad de Medios Porosos: Fundamentos y Relaciones 23

3.1 Teoría de percolación 25

3.1.1 Trasfondo histórico 25

3.1.2 Tipos de percolación 26

3.1.3 Propiedades de un proceso de percolación 27

3.1.4 Escalamiento crítico de las propiedades de percolación 32

3.1.5 Escalamiento en redes de dimensión finita 34

3.2 Solución analítica de modelos geométricos simples 36

3.2.1 Ensamble de capilares paralelos de igual tamaño 36

3.2.2 Ensamble de capilares paralelos de tamaño distribuido 42

3.2.3 Red tridimensional de capilares interconectados y con tamaño distribuido 44

3.2.4 Modelo de compactación de capilares 47

3.3 Análisis de trayectoria crítica, teoría de percolación y permeabilidad 57

3.3.1 Análisis de trayectoria crítica 57

3.3.2 Modelo de Katz y Thompson 58

3.3.3 Longitudes características 61

3.4 Resumen 66

Capítulo 4Permeabilidad de Medios Porosos: Métodos de Estimación en Redes de Poros 67

4.1 Simulación de Monte Carlo en redes de poros 68

4.1.1 Representación del espacio poroso 68

4.1.2 Definición de conductancia de poro 73

4.1.3 Decoración de la red 77

4.1.4 Determinación de la porosidad 78

4.1.5 Determinación de las propiedades de transporte 78

4.2 Teoría de medio efectivo 81

4.2.1 Aproximación de medio efectivo (EMA) 81

4.2.2 Aproximación de enlace simple (SBA) 85

4.3 Renormalización y grupo de renormalización de espacio real (PSRG) 89

4.4 Resumen 92

Capítulo 5Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo,

Campo Medio y Renormalización 93

5.1 Representación del espacio poroso 95

5.2 Definición de conductancia de poro 96

5.3 Decoración de la red subyacente 99

5.3.1 Algoritmo de decoración 99

5.4 Modelo de compactación 103

5.5 Determinación de la porosidad 106

5.6 Determinación de las propiedades de transporte 108

5.6.1 Método Monte Carlo 108

5.6.2 Aproximación de medio efectivo (EMA) 136

5.6.3 Renormalización y grupo de renormalización de espacio real (PRSG) 140

5.7 Determinación de longitudes características 145

5.7.1 Simulación de porosimetría 147

5.8 Resumen 156

Capítulo 6Resultados y Discusión 157

6.1 Efecto de la compactación sobre la función de distribución de tamaño de poros 158

6.2 Evolución de las propiedades de transporte durante compactación 186

6.3 Porosimetría en redes de poros 224

6.4 Longitudes de escala y sus evoluciones en redes sometidas a compactación 234

6.5 Longitud característica y su evolución en redes sometidas a compactación 237

6.6 Relaciones de escalamiento entre la permeabilidad y otras propiedades 260

Capítulo 7Conclusiones 277

Referencias 288

Apéndices

A. Aproximación de enlace simple (SBA) 295

B. Definición de conductancia en capilares bidimensionales 311

C. Muestreo Monte Carlo 315

D. Conductancia de la celda de renormalización 2×2×2 322

E. Programa PROTRAN para la estimación de propiedades de medios porosos 327

Nomenclatura

Operadores

∇ Gradiente.2∇ Laplaciano.

Promedio aritmético.

∆ Diferencia.

x& Derivada temporal de la variable x.

'x Derivada total de la variable x.

R Operador discreto de renormalización de celda.

Capítulo 1

u Velocidad.

ρ Densidad.

t Tiempo.

P Presión.

q Densidad de flujo hidrodinámico.

g Aceleración de gravedad.

k Permeabilidad.

µ Viscosidad.

cl Longitud característica.

F Factor de formación.

φ Porosidad.rik Coeficiente de permeabilidad relativa de una fase i.

Capítulo 2

ρ Densidad.

P Presión.

q Densidad de flujo hidrodinámico.

g Aceleración de gravedad.

k Permeabilidad.

µ Viscosidad.

cl Longitud característica.


φ Porosidad.

c Prefactor de la ecuación de Kozeny.

S Superficie específica de poros.

d Diámetro de partículas.

z Indice de coordinación de red.

β Prefactor de la ecuación de Kozeny para un arreglo uniforme de esferas.

α , m Parámetros de ajuste de la relación de permeabilidad (Bourbié et al., 1987).

x Factor de compactación.

cφ Porosidad crítica.

cg Conductancia crítica.

*eσ Conductividad eléctrica de un fluido conductor.

eσ Conductividad eléctrica de una red de poros saturada de fluido conductor.

'µ , λ Parámetros de la relación de potencia entre la conductividad eléctrica y la porosidad.

p Fracción de enlaces conductores en una red.

cp Probabilidad crítica de percolación.

pµ , γ Parámetros de escalamiento entre la conductividad eléctrica y la fracción de enlaces

conductores en una red percolativa en el estado crítico.

Capítulo 3

p Fracción de enlaces conductores en una red.

cp Probabilidad crítica de percolación.


f Función de distribución.

eg Conductancia eléctrica.

hg Conductancia hidrodinámica.

nd Dimensión de red.

)( pP Probabilidad de percolación.

)( pX A Fracción de enlaces accesibles de una red percolativa.

)( pX B Fracción de enlaces conductores efectivos de una red percolativa.

)( pξ Longitud de correlación de una red percolativa.

)( pS Tamaño promedio de racimos de una red percolativa.

s Número de enlaces de un racimo.

)( pns Densidad de racimos de tamaño s (enlaces) de una red percolativa.

)( pgef Conductancia efectiva de una red percolativa.

pβ , Bβ , pµ , pγ , pυ Exponentes de escalamiento crítico de las propiedades de percolación

de enlaces en redes.

eD Difusividad eléctrica.

en Densidad de electrones.

Ψ Propiedad genérica de una red percolativa.

ε Exponente crítico de la propiedad Ψ de una red percolativa.

N Tamaño de la red expresado en número de nodos (o de enlaces).

A Sección transversal.

I Flujo eléctrico.

V Potencial eléctrico.

eσ Conductividad eléctrica.

hσ Conductividad hidrodinámica.

*σ Conductividad eléctrica de un fluido.

L Longitud de un medio en la dirección del flujo.

l Longitud de un enlace de red.

TV Volumen total de un material poroso.

pV Volumen de poros de un material.

τ Tortuosidad.

Q Flujo volumétrico o caudal.

m Masa.

r Radio de un conducto.

mpr Radio más probable de un conducto a una cantidad dada de pasos de compactación.

rmsr Radio cuadrático medio de una red heterogénea.

S Superficie específica de matriz sólida.

cl Longitud característica de un medio poroso.

k Permeabilidad.

'µ Exponente de escalamiento entre la conductividad eléctrica y la porosidad.

"µ Exponente de escalamiento entre la permeabilidad y la porosidad.


n Número de deformaciones sobre un enlace.

M Número de deformaciones aleatorias sobre una red de poros.


bd Diámetro de partículas esféricas de vidrio.

he cc , Prefactores de las definiciones de conductancia de poro.

eα , hα Prefactores de las relaciones de Katz y Thompson para conductividad eléctrica y

permeabilidad de red.mínhl Tamaño de poro que maximiza la conductividad hidráulica de una red.

mínel Tamaño de poro que maximiza la conductividad eléctrica de una red.

pV Volumen de poro.

pS Superficie de poro.

Λ Longitud característica lambda.

hl Longitud característica hidrodinámica.

θ Angulo de contacto.

γ Tensión superficial.

d Diámetro de poro.

cP Presión capilar.

*cP Presión umbral de una curva de saturación-presión capilar.

nwS Saturación de fluido no-mojante en una red.

Capítulo 4

J Flujo genérico.

P Presión.

g Conductancia.eg Conductancia eléctrica.hg Conductancia hidrodinámica.

ϕ Potencial de nodo.

l Largo de enlace.




eσ Conductividad eléctrica.

I Flujo eléctrico.

A Area de la sección transversal de conductor.

r Radio de conductor.

Q Flujo hidrodinámico.

µ Viscosidad.

v Velocidad.

x Coordenada espacial.

ξ Factor de forma de conducto.

W Perímetro de la sección transversal de un conducto.

ba , Dimensiones características de un conducto.

Γ Definición geométrica de frontera de un conducto.

ε Tolerancia numérica.

k Permeabilidad.

f Función de distribución.efg Conductancia efectiva.

p Fracción de enlaces conductores de red.

℘ Función discreta de Green.

mla Término correctivo de la expresión de desviación de conductividad (SBA).

G Matriz de conductancias.

ϕ Vector de potenciales de nodo.

V Vector de voltajes de nodo.

P Vector de presiones de nodo.

b Vector libre del sistema lineal de balances nodales.

Capítulo 5

j Densidad de flujo.

J Flujo.

σ Conductividad.

A Area de sección transversal.

l Longitud de conductor.

ϕ Potencial.

g Conductancia.

r Radio de conducto.

V Potencial eléctrico.

P Presión.

µ Viscosidad.

Q Flujo hidrodinámico.

F Función de distribución acumulada.


u Variable aleatoria distribuida uniformemente.

1λ , 2λ Parámetros de una distribución.

g Conductancia.

),( baU Función de distribución uniforme de parámetros a y b .

),( baL Función de distribución log-normal de parámetros a y b .

θ Dirección genérica de una red cúbica.

x , y , z (superíndice) Direcciones de una red cúbica.

x Factor de compactación.eP Presión externa aplicada a la matriz sólida de un material poroso.

E Módulo de Young.

υ Módulo de Poisson.

ν Exponente de la relación k-φ en el modelo de Wong.

pV Volumen de poros.

TV Volumen del medio poroso.

n Número de enlaces de una red en una dirección dada.

m Masa.

t Tiempo.

eln Número de elementos no-nulos en una fila de una matriz.

cn Número de columnas de la matriz intermedia de conductancias.

s Variable de numeración de nodos conductores de una red.

d Distancia entre las bandas diagonales a la diagonal central en la matriz de conductancias.

N Número total de nodos de una red.

s Variable de numeración de nodos conductores de una red percolativa.

ε Tolerancia numérica.efg Conductancia efectiva de red.


h Función objetivo de la ecuación autoconsistente EMA.

pV Volumen de poros.

pS Superficie de poros.

hl Longitud característica hidrodinámica.





b Vector de posición del sistema lineal de balances nodales.

P Vector de presiones de nodo.

V Vector de voltajes de nodo.

A , IA , JA Vectores de almacenamiento ralo de una matriz.

M Matriz de ejemplo.

G' Matriz intermedia de conductancias.

R Matriz de decoración de radios en la simulación de porosimetría.

lst Vector de los nodos del frente de avance de fluido invasor en porosimetría.

e Vector de rótulos de los nodos en el algoritmo de reconocimiento de racimos.

et Vector de rótulos en el algoritmo de reconocimiento de racimos.

rs Vector de relación entre las numeraciones de nodo s y s’ en una red percolativa.

Capítulo 6


),( baU Función de distribución uniforme de parámetros a y b .

),( baL Función de distribución log-normal de parámetros a y b .


)(kp Fracción de enlaces en la celda k.

ξ Parámetro de avance de una compactación.

α Constante de proporcionalidad entre el flujo de salida de un modo y su población.

s Variable temporal en el espacio de Laplace.

N Número de modos en una distribución.

φ Porosidad.

r Radio de poro.ikw Fracción de transferencia de elementos desde el modo k al modo i.

σ Conductividad eléctrica.

k Permeabilidad.

m Exponente de la relación de potencia entre una propiedad de transporte y la porosidad.


cl Longitud crítica.


hd Longitud característica hidrodinámica.


g Conductancia.)(kΓ Racimo conductor de enlaces que pertenecen a un modo k.


b Coeficiente de posición de la relación de permeabilidad.'cφ Porosidad pseudo-crítica.

cφ Porosidad de transición de régimen de transporte.

Apéndices

J Flujo genérico.

g Conductancia.

ji,δ Delta de Kronecker.

ϕ Potencial.

N Número de nodos en una red.

S Conductividad de red.

Z Impedancia de red.


F Función de distribución acumulada de f.


nd Dimensión de la red.

nI Función de Bessel modificada de orden n.

p Fracción de enlaces conductores.

)( pP Probabilidad de percolación.

v Velocidad.

µ Viscosidad de fluido.

Lpp ,0 Presión de entrada y de salida de un ducto, respectivamente.

Γ Fuerzas de campo por unidad de masa.

l Longitud de un conducto.

R Radio de un conducto.

A Area de la sección transversal de un conducto.

P Probabilidad.

un Número de nodos de una red en la dirección u.

J Vector de flujo en nodos.


b Vector libre de un sistema de balances nodales.

℘,E Operadores de Green discretos de una red efectiva y de una red aleatoria,

respectivamente.

Indice de Figuras

Capítulo 1

Figura 1.1 Relación permeabilidad-porosidad en diversos materiales porosos naturales y

sintéticos. (a) Bourbié et al. (1987) (b) Bosl et al. (1998).

Figura 1.2 Relación permeabilidad-porosidad para Arena Fontainebleau. Los datos

obedecen Kozeny-Carman a alta porosidad. El ajuste de Mavko y Nur es bueno en todo el

rango de porosidad.

Figura 1.3 Relación permeabilidad-porosidad para calcita prensada. Los datos obedecen

Kozeny-Carman a alta porosidad. El ajuste de Mavko y Nur es bueno en todo el rango de

porosidad.

Figura 1.4 Relación permeabilidad-porosidad para material fibroso. Los datos obedecen

Kozeny-Carman a alta porosidad, en un rango muy estrecho de porosidad.

Figura 1.5 Relación permeabilidad-porosidad para esferas de vidrio cementadas con resina.

Los datos muestran un comportamiento no lineal con presencia de inflexiones.

Capítulo 3

Figura 3.1 Red de Bethe o árbol de Cayley de índice de coordinación 3=z .

Figura 3.2 Proceso de percolación en una red cuadrada de 140×140 nodos. En negro,

enlaces aislados; en gris, enlaces conductores; y en blanco, enlaces eliminados. A) Estado

inicial de la red, la conectividad es máxima, .1=p b) Aparecen racimos aislados, .55.0=p

c) Umbral crítico de percolación, se observa conectividad de largo rango, .50.0=p d) Zona

subcrítica, la red posee una fracción de enlaces 45.0=p inferior a la mínima que establece

conducción a través de la red.

Figura 3.3 Evolución de la función de distribución percolativa, Ecuación (1.1), durante el

proceso de percolación en una red regular cuadrada. (a), (b), (c) y (d) corresponden a los

estados representados en la Figura 3.2. cp es la fracción crítica de enlaces que garantiza

conducción a través de la red.

Figura 3.4 Red tridimensional de capilares paralelos de sección constante.

Figura 3.5 Red cúbica simple tridimensional de capilares cilíndricos de tamaño distribuido.

Figura 3.6 Patrón de flujo en un experimento de porosimetría en una red cuadrada de

380×380 nodos. La imagen muestra el momento exacto en que el fluido invasor alcanza la

presión necesaria para formar un racimo que atraviesa la red de arriba a abajo. El medio

corresponde a una red decorada con una distribución de radios inicial uniforme U(1,2) que

fue sometido a una alta compactación, 3.0=x , hasta una porosidad normalizada de 0.6. El

círculo negro indica la posición del poro crítico en la red. Los tonos de gris indican rangos

diferentes de presión capilar.

Figura 3.7 Curva de presión capilar de un experimento simulado de porosimetría en la red

de la Figura 3.6. El círculo blanco en la curva corresponde al punto en que el fluido invasor

atraviesa la red, es decir, el estado que define la longitud característica del medio.

Capítulo 4

Figura 4.1 (a) Imagen RMN del espacio poroso de una Arena del Mar del Norte. (b) Red

subyacente.

Figura 4.2 Redes regulares bidimensionales. De izquierda a derecha red Honeycomb, red

cuadrada, red Kagomé y red triangular.

Figura 4.3 Redes irregulares. A la izquierda red Voronoi, a la derecha triangulación

Delaunay.

Figura 4.4 Curvas de saturación ( )nwS o presión capilar ( )cP de fluido no mojante (nw)

para un experimento de porosimetría simulado en redes de poros de 50×50×50 nodos y

distribución de radio de conductos uniforme U(1, 2) para distintos valores de conectividad

media, z = 2, 3, 4, 5 y 6.

Figura 4.5 Conductancia adimensional vs factor de forma (Patzek y Silin, 2001).

Figura 4.6 La cinta de Moebius es un ejemplo de una condición de medio periódico. La

hormiga camina sobre una trayectoria ilimitada en un espacio periódico limitado. (Grabado

de Escher).

Figura 4.7 Conductividad efectiva en una red cúbica simple mediante MC, EMA, SBA y

REMA en con celda 2×2×2. La función de distribución de conductancias locales es binaria.

El tamaño de red es de 50×50×50 nodos. (Los datos de REMA son de Sahimi et al., 1983).

Figura 4.8 Representación esquemática del método de renormalización. (a) El medio

original es heterogéneo, presenta una distribución amplia de colores (o de propiedades de

conducción). (b) En una primera etapa de renormalización se subdivide el espacio en celdas

que contienen 2×2 elementos, la distribución resultante es menos heterogénea que en a). (c)

Segunda etapa de renormalización, se repite el proceso sobre el medio en b). (d) En la

última etapa de renormalización el medio es homogéneo y su color (o propiedad de

transporte) es representativo del medio heterogéneo original en a).

Capítulo 5

Figura 5.1 Redes de poros utilizadas en simulaciones de flujo en medios porosos. Red

cuadrada bidimensional de conductos cilíndricos planos o rectangulares (izquierda), red

cúbica simple tridimensional de conductos cilíndricos (derecha).

Figura 5.2 Procedimiento de muestreo Monte Carlo. Función de distribución continua de

una variable aleatoria r (izquierda) que se desea muestrear. Muestreo uniforme del

recorrido de la función de distribución acumulada y cálculo de la función inversa (centro).

Función de distribución obtenida mediante el muestreo (derecha).

Figura 5.3 Modelo de compactación de poros de Wong et al. (1984). Izquierda:

compactación severa de un capilar cilíndrico (x = 0.5). Derecha: compactación débil (x =

0.8).

Figura 5.4 Izquierda: nodo genérico (i,j) de una red cuadrada. Derecha: nodo genérico

(i,j,k) de una red cúbica simple.

Figura 5.5 Notación de índices ji, y decoración de una red cuadrada de 3×3 nodos.

Figura 5.6 Notación de índices jis , y decoración de la red cuadrada de 3×3 nodos.

Figura 5.7 Red cuadrada de 3×3 nodos con condición de borde lateral, horizontal,

periódica.

Figura 5.8 Comparación de memoria de computador requerida para almacenar la matriz de

conductancias en el modo convencional y en el ralo periódico para distintos tamaños de

red. Red cuadrada (izquierda). Red cúbica simple (derecha).

Figura 5.9 Red percolativa. Racimos aislados aparecen en gris. Racimo infinito en negro.

En gris claro aparecen nodos aislados que producen la indeterminación del sistema de

ecuaciones de los balances nodales.

Figura 5.10 Algoritmo de Hoshen y Kopelman. (a) Red cuadrada percolativa y (b)

asignación de etiquetas hasta la aparición de un conflicto de rotulación en el nodo ‘?’. (c)

Primera etapa de rotulación completa y (d) asignación de etiquetas definitivas.

Figura 5.11 Tipos de enlaces en una red percolativa. Los enlaces aislantes, de conductancia

nula, no aparecen en la red. Los enlaces gris oscuro corresponden a racimos de enlaces que

no son conductores pues no conectan con el racimo infinito. En gris claro, se indican los

enlaces terminales que son eliminados en una etapa previa a la numeración s’ de los nodos

del racimo infinito. En negro y rotulados aparecen los enlaces y nodos del racimo infinito

que son potenciales conductores y que intervienen en la determinación de las propiedades

de transporte de la red.

Figura 5.12 Comportamiento monótono y creciente de la función objetivo h que define la

conductancia efectiva de redes de poros heterogéneas. Las curvas corresponden a diferentes

valores de porosidad de redes cuadradas de 200×200 nodos decoradas con distribución

inicial uniforme de radios U(1,2) compactadas bajo factor x = 0.1.

Figura 5.13 Secuencia esquemática de renormalización de una porción de red cuadrada

con una celda de renormalización de tamaño 2×2. En este caso la renormalización se

muestra para la dirección vertical, en las otras direcciones el procedimiento es idéntico.

Figura 5.14 Secuencia esquemática de renormalización de una porción de red cúbica

simple con una celda de renormalización de tamaño 2×2×2. En este caso la renormalización

se muestra para la dirección vertical; en las otras direcciones el procedimiento es idéntico.

Figura 5.15 Ilustración del proceso de inyección de un fluido no mojante en una red

cuadrada de poros con distribución de radios. Los contornos laterales se conectan en forma

periódica, aunque desplazados en una unidad de red. La inyección del fluido ocurre desde

arriba. La Figura a la derecha muestra la red con el tamaño proporcional de sus poros en su

estado inicial, libre de fluido no mojante.

Figura 5.16 Ilustración del proceso de inyección de un fluido no mojante, en gris oscuro,

en la red de la Figura 5.15. La presión requerida para inundar el primer poro de la red

(izquierda) es suficiente para inundar todos los poros, de mayor tamaño que éste, que se

encuentran accesibles desde los poros inundados (derecha).

Figura 5.17 Continuación del proceso de inyección de fluido no mojante (en gris oscuro)

ilustrado en la red cuadrada de la Figura 5.16.

Figura 5.18 Continuación del proceso de inyección de fluido no mojante (en gris oscuro)

en la red de la Figura 5.17. La figura a la derecha muestra el momento en que el fluido

invasor forma una fase conexa a través de la red.

Figura 5.19 Curvas de saturación o presión capilar obtenidas mediante simulación de

Monte Carlo en redes cúbicas de 50×50×50 nodos y distribución de tamaño de poros

U(1,2). Los resultados corresponden a dos tipos de comportamiento observados durante la

invasión forzada de un fluido no mojante cuando las redes son sometidas a compactación

severa, izquierda, y débil, derecha. Cada curva corresponde al experimento a una porosidad

fija (φ disminuye de 1 hasta 0.1). Los círculos corresponden al estado en que el fluido no

mojante atraviesa la red.

Capítulo 6

Figura 6.1 Evolución de la distribución de radios U(1,2) en una red cuadrada para distintas

intensidades de compactación. (a) 0=x (b) 1.0=x (c) 3.0=x (d) 5.0=x (e) 99.0=x .

Figura 6.2 Evolución de la distribución de radios U(1,20) en una red cuadrada para

distintas intensidades de compactación. (a) 0=x (b) 1.0=x (c) 3.0=x (d) 5.0=x (e)

99.0=x .

Figura 6.3 Evolución de la distribución de radios L(1.5,0.1) en una red cuadrada para


99.0=x .

Figura 6.4 Evolución de la distribución de radios L(1.5,0.8) en una red cuadrada para


99.0=x .

Figura 6.5 Evolución de la distribución de radios U(1,2) en una red cúbica para distintas


Figura 6.6 Evolución de la distribución de radios U(1,20) en una red cúbica para distintas


Figura 6.7 Evolución de la distribución de radios L(1.5,0.1) en una red cúbica para


99.0=x .

Figura 6.8 Evolución de la distribución de radios L(1.5,0.8) en una red cúbica para


99.0=x .

Figura 6.9 Evolución de la distribución uniforme U(1,2) a 3.0=x en una red cúbica.

(a) Resultado Monte Carlo (b) Desarrollo analítico.

Figura 6.10 Evolución de la distribución uniforme U(1,2) a 1.0=x en una red cuadrada.


Figura 6.11 Evolución de la distribución uniforme U(1,20) a x = 0.1 en una red cuadrada.


Figura 6.12 Conductividad eléctrica normalizada vs porosidad normalizada en una red

cuadrada decorada con una distribución de radios inicial U(1,2) bajo distintas intensidades

de compactación. (a) Escala aritmética. (b) Escala logarítmica.


cuadrada decorada con una distribución de radios inicial U(1,20) bajo distintas intensidades



cuadrada decorada con una distribución de radios inicial L(1.5,0.1) bajo distintas

intensidades de compactación. (a) Escala aritmética. (b) Escala logarítmica.


cuadrada decorada con una distribución de radios inicial L(1.5,0.8) bajo distintas

intensidades de compactación. (a) Escala aritmética. (b) Escala logarítmica.


cúbica decorada con una distribución de radios inicial U(1,2) bajo distintas intensidades de

compactación. (a) Escala aritmética. (b) Escala logarítmica.


cúbica decorada con una distribución de radios inicial U(1,20) bajo distintas intensidades



cúbica decorada con una distribución de radios inicial L(1.5,0.1) bajo distintas intensidades



cúbica decorada con una distribución de radios inicial L(1.5,0.8) bajo distintas intensidades


Figura 6.20 Permeabilidad normalizada vs porosidad normalizada en una red cuadrada

decorada con una distribución de radios inicial U(1,2) bajo distintas intensidades de






decorada con una distribución de radios inicial L(1.5,0.1) bajo distintas intensidades de





Figura 6.24 Permeabilidad normalizada vs porosidad normalizada en una red cúbica


compactación. (a)Escala aritmética. (b) Escala logarítmica.


cúbica decorada con una distribución de radios inicial U(1,20) bajo distintas intensidades








Figura 6.28 Permeabilidad normalizada vs fracción de enlaces de alta conductancia p1 para

el modelo binario en una red cuadrada para distintos factores de compactación x. Los

círculos corresponden a la predicción de puntos de inflexión.

Figura 6.29 Permeabilidad normalizada vs porosidad normalizada para el modelo binario

en una red cuadrada para distintos factores de compactación x. Los círculos corresponden a

la predicción de puntos de inflexión.

Figura 6.30 Conductividad eléctrica normalizada EMA vs fracción de enlaces de alta

conductancia p1 para el modelo binario en una red cuadrada para distintos factores de

compactación x. Los círculos en las curvas corresponden a la predicción de puntos de

inflexión.

Figura 6.31 Conductividad eléctrica normalizada EMA vs porosidad normalizada para el

modelo binario en una red cuadrada para distintos factores de compactación x. Los círculos

en las curvas corresponden a la predicción de puntos de inflexión.

Figura 6.32 Fracción de enlaces en la transición de permeabilidad vs factor de

compactación x para el modelo binario en una red cúbica.

Figura 6.33 Permeabilidad normalizada EMA vs fracción de enlaces de alta conductancia

p1 para el modelo binario en una red cúbica para distintos factores de compactación x. Los

círculos en las curvas corresponden a la predicción de puntos de inflexión.

Figura 6.34 Permeabilidad normalizada EMA vs porosidad normalizada en una red cúbica

del modelo binario para distintos factores de compactación x. Los círculos en las curvas

corresponden a la predicción de puntos de inflexión.

Figura 6.35 Conductividad eléctrica normalizada EMA vs fracción de enlaces de alta

conductancia p1 para el modelo binario en una red cúbica para distintos factores de

compactación x. Los círculos en las curvas corresponden a la predicción de puntos de

inflexión.

Figura 6.36 Conductividad eléctrica normalizada EMA vs porosidad normalizada para el

modelo binario en una red cúbica para distintos factores de compactación x. Los círculos en

las curvas corresponden a la predicción de puntos de inflexión.

Figura 6.37 Evolución de curvas de saturación ( nwS ) o presión capilar ( cP ) de una red de

poros cuadrada de 250×250 nodos sometida a compactación con x = 0 (a), 0.1 (b), 0.3 (c),

0.5 (d) y 0.99 (e). La distribución de radio de poros (ductos) inicial es uniforme U(1,2).

Círculos blancos indican la presión umbral de la red.







0.5 (d) y 0.99 (e). La distribución de radio de poros (ductos) inicial es log-normal

L(1.5,0.1). Círculos blancos indican la presión umbral de la red.






poros cúbica de 40×40×40 nodos sometida a compactación con x = 0 (a), 0.1 (b), 0.3 (c),















Figura 6.45 Diámetro hidráulico normalizado vs porosidad normalizada en una red cúbica

decorada con distribución de tamaño de poros inicial (a) U(1,2) (b) U(1,20), (c) L(1.5,0.1) y

(d) L(1.5,0.8) a distintas intensidades de compactación dadas por el factor x.

Figura 6.46 Longitud lambda normalizada vs porosidad normalizada en una red cúbica con

distribución de tamaño de poros inicial (a) U(1,2) (b) U(1,20), (c) L(1.5,0.1) y (d)

L(1.5,0.8) a distintas intensidades de compactación x. La ampliación muestra Λ a baja

porosidad.

Figura 6.47 Longitud crítica normalizada vs porosidad normalizada en una red cuadrada

decorada con una distribución de radios inicial U(1,2) a distintas intensidades de

compactación.



compactación.



compactación.



compactación.

Figura 6.51 Longitud crítica normalizada vs porosidad normalizada en una red cúbica

decorada con una distribución de radios inicial U(1,2) a distintos factores de compactación.


decorada con una distribución de radios inicial U(1,20) a distintos factores de

compactación.


decorada con una distribución de radios inicial L(1.5,0.1) a distintos factores de

compactación.


decorada con una distribución de radios inicial L(1.5,0.8) a distintos factores de

compactación.

Figura 6.55 Relación de Katz-Thompson en una red cúbica decorada con una distribución

de radios inicial U(1,2) para distintos factores de compactación.


de radios inicial U(1,20) para distintos factores de compactación.


de radios inicial L(1.5,0.1) para distintos factores de compactación.


de radios inicial L(1.5,0.8) para distintos factores de compactación.

Figura 6.59 Representación esquemática del método de cálculo de la porosidad pseudo-

crítica 'cφ .

Figura 6.60 Escalamiento de la permeabilidad con la porosidad en una red cuadrada

decorada con distribución de radios inicial U(1,2) a distintos factores de compactación.


decorada con distribución de radios inicial U(1,20) a distintos factores de compactación.


decorada con distribución de radios inicial L(1.5,0.1) a distintos factores de compactación.


decorada con distribución de radios inicial L(1.5,0.8) a distintos factores de compactación.

Figura 6.64 Escalamiento de la permeabilidad con la porosidad en una red cúbica decorada

con distribución de radios inicial U(1,2) a distintos factores de compactación.


con distribución de radios inicial U(1,20) a distintos factores de compactación.


con distribución de radios inicial L(1.5,0.1) a distintos factores de compactación.


con distribución de radios inicial L(1.5,0.8) a distintos factores de compactación.

Apéndices

Figura A.1 Red unidimensional. l representa un nodo genérico en la red, 1 es el nodo de

entrada de flujo y m el nodo de salida de flujo.

Figura A.2 Representación de la red utilizada en la formulación de la aproximación del

enlace simple.

Figura A.3 Perfil de velocidades en un conducto rectangular de longitud l y radio R.

Figura A.4 Celda de renormalización 2×2×2 en la red cúbica (arriba). En una primera etapa

a los nodos superiores e inferiores (gris claro) de la celda se les impone el mismo potencial

(abajo).

Capítulo 1

Estudio de Flujo en Medios Porosos:Motivación

La relevancia y urgencia de mejorar nuestra comprensión de fenómenos de flujo en

medios porosos a fin de optimizar el diseño de procesos actuales y proponer nuevos procesos

no está en duda. Flujo en medios porosos ocurre en prácticamente todas las aplicaciones

industriales y también en el medio ambiente natural. Aplicaciones importantes incluyen la

explotación de gas y petróleo; migración de contaminantes y fertilizantes en suelos;

lixiviación de minerales; secado de madera, papel, alimentos; preparación de catalizadores y

materiales cerámicos; procesos de separación con catalizadores, membranas, filtros, columnas

empacadas; diseño de cementos y hormigones.

Estudio de Flujo en Medios Porosos: Motivación 2

La simulación de fenómenos de flujo en materiales porosos es difícil debido a la

compleja naturaleza de la geometría y topología de su espacio y la heterogeneidad en la

composición química de sus paredes internas. Para un fluido incompresible, el flujo a escala

de segmentos de poro obedece las ecuaciones de Navier-Stokes (Tritton 1988, Bear 1972),

,0=⋅∇ u (1.1)

.2uuuu∇+−∇=∇⋅+

∂∂ P

tρρ (1.2)

donde u es la velocidad local del fluido en cualquier punto del espacio poroso, y la condición

de borde en la interfase sólido-fluido se supone de no deslizamiento ( )0=u . La solución de las

Ecuaciones (1.1) y (1.2) mediante métodos tradicionales de diferencias finitas y elementos

finitos requiere de la discretización de una imagen del medio poroso sobre una malla regular

en dos o tres dimensiones, según sea el caso. Para medios porosos complejos y de tamaño

representativo la exigencia computacional, léase velocidad y memoria, hace inviable el uso de

técnicas tradicionales. Una demostración es que el método clásico de diferencias finitas en lo

que respecta a flujo microscópico en medios porosos, sólo ha sido implementado para resolver

la forma estacionaria y linealizada, o la forma de Stokes, de las Ecuaciones (1.1) y (1.2), esto

es,

,0=⋅∇ u (1.3)

.2u∇=∇P (1.4)

con la condición de borde de no deslizamiento en la interfase sólido-fluido ( )0=u . Esta

condición de borde es suficiente para flujo a bajo número Reynolds, que son los de interés en

medios porosos. La solución de estas ecuaciones mediante diferencias finitas o elementos

finitos pasa por discretizar los gradientes en la Ecuación (1.4) sobre una malla. La


implementación apropiada de la condición de borde para cada forma posible de la frontera

sólido–fluido impone una alta exigencia en la capacidad computacional disponible (léase

exigencia en desarrollo tecnológico). La idea de discretizar el espacio poroso de manera no

muy fina para reducir la necesidad de memoria y velocidad de procesamiento incide directa y

negativamente sobre la resolución con que se representa el medio poroso. El problema es

agravado por efectos multicomponentes, multifásicos, presencia de partículas sólidas y

fenómenos de deformación, entre varios otros. A nuestro mejor entender, el método de

diferencias finitas aún no ha sido aplicado a la simulación de flujo microscópico multifásico

inmiscible en medios porosos.

Un camino alternativo consiste en plantear el problema de flujo en la escala

macroscópica, es decir, en la escala de observación. Para ello se hace uso extensivo de la ley

de Darcy, que dio inicio a la ciencia de flujo en medios porosos durante la mitad del siglo

dieciocho. Conduciendo experimentos en empaques de arena, Darcy (1856) encontró la

siguiente relación entre la densidad de flujo q y la fuerza aplicada sobre el fluido,

( )gq ρµ

−∇−= Pk (1.5)

donde µ es la viscosidad del fluido, P∇ el gradiente de presión aplicado sobre el fluido, gρ

la densidad de fuerza gravitacional, y k la permeabilidad. La permeabilidad tiene dimensiones

de área y es una medida de la conductividad del medio poroso al flujo de fluido a su través

(Dullien, 1992).

Dado que la permeabilidad es una propiedad del medio poroso, no del fluido, resulta

independiente de las condiciones de flujo, surge la duda sobre el origen del interés teórico en

una ley fenomenológica lineal como la ley de Darcy. Existen al menos tres razones para tal

interés: el escalamiento de micro a macro escala, la definición de permeabilidad y la extensión

de la ley de Darcy a flujo multifásico. Cada uno de estos aspectos se discute a continuación.


Micro a macro escala

La primera razón de interés en la Ecuación 1.5 es puramente una cuestión físico-

matemática. ¿Cómo una ecuación lineal como la de Darcy puede resultar de una ecuación no

lineal como la Ecuación (1.2)? La linealidad de la ley de Darcy es difícilmente obvia

considerando que es bien conocido que la ley aplica a flujos donde el término no lineal de la

Ecuación (1.4) juega un papel de magnitud comparable al término viscoso. Este es un punto

entre muchos otros de discusión permanente en la literatura de medios porosos.

Permeabilidad

La segunda razón deriva del coeficiente de permeabilidad. Para una multitud de

preocupaciones prácticas que van de la migración de contaminantes en aguas subterráneas a la

eficiencia de recuperación de gas y petróleo desde yacimientos, lo común es insertar la

Ecuación (1.5) en la ecuación de momento de Navier-Stokes, Ecuación (1.2), para obtener una

ecuación macroscópica que se puede resolver no sin dificultad, si se dispone de la

permeabilidad, mediante técnicas tradicionales como diferencias finitas y elementos finitos.

En tal caso, el material poroso es discretizado en bloques, conocidos como bloques de

simulación, para los que se requiere la permeabilidad. El resultado es un simulador de flujo en

materiales porosos. Si el medio es homogéneo la permeabilidad de los bloques es idéntica. Si

el medio es heterogéneo, el caso más común, entonces la permeabilidad de los bloques es

distinta; en este caso se requiere de un campo de permeabilidades.

La simulación de flujo en medios porosos en la gran mayoría de las aplicaciones

descansa en simuladores macroscópicos que deben ser alimentados con las propiedades físicas

relevantes del sistema. En este sentido las ecuaciones que gobiernan el flujo están muy bien

definidas; la forma de resolverlas también. La capacidad computacional necesaria se encuentra

disponible. A pesar de todas estas ventajas, debido a la falta de datos de permeabilidad por

razones de costo y problemas de accesibilidad en casos, la simulación tiene carácter de ajuste


de historia a lo más, con escasa capacidad predictiva. Esto no debe sorprender, la verdadera

física del fenómeno no es considerada en la ecuación macroscópica de flujo sino que descansa

en la permeabilidad. Así, el problema sigue siendo la falta de caracterización apropiada del

medio poroso, esto es, la falta de ecuaciones constitutivas de sus propiedades materiales. Los

simuladores macroscópicos de flujo y transporte en medios porosos son así muy buenos, casi

exclusivamente, en la ventana de operación de las variables utilizadas en el ajuste de historia

del problema de flujo.

La necesidad de asignar carácter predictivo a los simuladores ha impulsado una

creciente actividad de investigación con el objetivo de predecir la permeabilidad de medios

porosos a partir de propiedades estadísticas de la geometría y topología del espacio poroso.

Sin embargo, a pesar del esfuerzo teórico invertido y de muchos avances significativos,

todavía es común encontrar errores de orden de magnitud o mayor en las estimaciones de

permeabilidad.

Uno de los avances más notables del último tiempo es la relación tipo ley de potencia

entre la permeabilidad y el inverso del factor de formación, razón entre la conductividad de un

medio poroso saturado con un electrolito y la conductividad eléctrica del electrolito bulto, a

través de una longitud característica del medio poroso. Esto es,

Fl

k c2

∝ (1.6)

donde cl es la longitud característica y F el factor de formación del medio (Katz y

Thompson, 1986). El reconocimiento de esta longitud característica, que fija la escala de la

permeabilidad, deja atrás décadas de intentos por relacionar la permeabilidad con el factor de

formación o con la porosidad exclusivamente. Diversos autores han propuesto definiciones

para esta longitud característica, pero a la fecha no está clara la más apropiada. Considerando

que a su vez F se relaciona con φ mediante una ley de potencia, ley de Archie (Dullien,


1992), es razonable esperar también una ley de potencia que relacione k con φ , simple

extensión de la Ecuación (1.6). Una duda importante que prevalece tiene que ver con la

universalidad del carácter de estas leyes de potencia que se han teorizado para la

permeabilidad.

Los datos de permeabilidad-porosidad de una gran variedad de materiales porosos de

origen natural presentados en la Figura 1.1 revelan efectivamente un comportamiento de ley

de potencia, de exponente que varía de un material a otro. La sola Figura 1.1a pareciera

indicar que un comportamiento universal de ley de potencia entre permeabilidad y porosidad

no es posible. Esta apreciación cobra mayor fuerza si se consideran los datos de la Figura

1.1b; no sólo el comportamiento de la relación k-φ es distinto de un material a otro sino que la

relación en la forma de ley de potencia sólo sería válida por tramos en un mismo material. Por

ejemplo, la arena de Fontainebleau en la Figura 1.1b muestra un comportamiento no-lineal en

coordenadas logarítmicas. Bourbié et al. (1987) ajustaron una ley de potencia a alta φ y una

distinta a baja φ . Mavko y Nur (1997), utilizando conceptos de teoría de percolación,

proponen que esta arena posee una porosidad crítica, cφ , distinta de cero, y que cuando se

grafican los datos de k contra cφφ − siguen la ley de potencia de Kozeny (1927) y Carman

(1937) en todo el rango de φ , como indica la Figura 1.2. Dado que cφ define un cambio de

régimen de flujo del material poroso, de conductor a no conductor ( 0=k ) en el caso de la

arena, el trabajo de Mavko y Nur (1997) sugiere una transición en la microestructura que

controla el flujo, de una abierta, permeable, a una cerrada, impermeable. La relación k-φ de

otros materiales porosos con comportamiento similar al de la arena a baja porosidad ha sido

exitosamente explicada con el argumento de Mavko y Nur (1997), ver Figuras 1.3 para el

caso de calcita prensada. Sin embargo, existen datos k-φ de otros medios porosos que

muestran comportamiento no lineal y presencia de inflexiones en coordenadas log-log, lo que

revelaría transiciones en la microestructura porosa que controla el flujo. Ejemplos son los

datos de la Figura 1.4 para material fibroso y de la Figura 1.5 para esferas de vidrio

cementadas con resina.


(a)

(b)

Figura 1.1 Relación permeabilidad-porosidad en diversos materiales porosos naturales y sintéticos.(a) Bourbié et al. (1987) (b) Bosl et al. (1998).


Figura 1.2 Relación permeabilidad-porosidad para Arena Fontainebleau. Los datos obedecen Kozeny-Carman a alta porosidad. El ajuste de Mavko y Nur es bueno en todo el rango de porosidad.

Figura 1.3 Relación permeabilidad-porosidad para calcita prensada. Los datos obedecen Kozeny-Carman a alta porosidad. El ajuste de Mavko y Nur es bueno en todo el rango de porosidad.


Figura 1.4 Relación permeabilidad-porosidad para material fibroso. Los datos obedecen Kozeny-Carman a alta porosidad, en un rango muy estrecho de porosidad.

Figura 1.5 Relación permeabilidad-porosidad para esferas de vidrio cementadas con resina. Los datosmuestran un comportamiento no lineal con presencia de inflexiones.


El comportamiento tipo escalera de los datos en la Figura 1.5 difícilmente podría ser

explicado con los argumentos de Mavko y Nur (1997), no al menos en todo el rango de

porosidad. El comportamiento de este empaque de esferas de vidrio cementadas es raro, pero

puede obedecer a una razón simple: los dominios de porosidad que se exploran en

experimentos típicos son estrechos. La pregunta abierta aquí es si el comportamiento no lineal

de los datos de φ−k en las Figuras 1.2 a 1.5 descarta un carácter universal de la relación de

ley de potencia entre la permeabilidad y la porosidad. Las explicaciones en la literatura para

la zona de inflexión de los datos de permeabilidad vs porosidad son múltiples e incluyen

argumentos tales como que la precisión de los instrumentos de medida es excedida o que los

datos revelan error de medida. En algunos casos los datos en esta región simplemente son

descartados por falta de explicación, por sospecha de error en la medida o con el argumento

que la permeabilidad en ese rango de baja porosidad carece de interés práctico.

Un problema adicional con la permeabilidad es la limitada comprensión de su

dependencia con la longitud de escala del material poroso. La necesidad de resolver esta

dificultad es central si se desea realizar predicciones en aplicaciones que involucren escalas de

orden del kilómetro o más, mientras que las medidas de laboratorio se realizan típicamente en

la escala de centímetros. Las ideas con mayor potencial en esta área son las de escalamiento

mediante renormalización, una herramienta de la física de la materia condensada.

Finalmente, la toma de decisiones sobre la mejor estrategia de producir un pozo de gas

o de petróleo, o de la mejor estrategia para desarrollar una técnica de remediación de suelos

depende fuertemente de la calidad de ésta predicción. La alimentación de simuladores con

información definitiva, sin duda otorgará carácter predictivo a los simuladores actuales.


Efectos multifásicos

La tercera razón de interés en la Ecuación (1.5) es su aplicabilidad al flujo de dos o

más fases inmiscibles en medios porosos. Comúnmente se supone que una modificación

simple de la Ecuación (1.5) aplica al flujo multifásico. Para dos fluidos, se puede escribir

( )gq iirii Pkk ρµ

−∇−= , =i 1, 2 (1.7)

donde el subíndice i se refiere a las fuerzas que actúan sobre el i-ésimo fluido o a las

propiedades del i-ésimo fluido, θ es la saturación relativa de un fluido 1, y rik es el coeficiente

de permeabilidad relativa dependiente de la saturación. Entre los muchos problemas con la

Ecuación (1.7) se encuentra la suposición implícita que el flujo de cada fluido transcurre

desacoplado del otro; es decir, cada fluido desarrolla sus propios canales independientes de

flujo y fluye sin interacción viscosa alguna con el otro fluido residente. Simulación de Monte

Carlo y de autómatas celulares en redes de poros ha arrojado luz parcial sobre este problema

(para revisiones ver Sahimi, 1993, 1995 y Wong, 1999).

La determinación de permeabilidades relativas resulta un problema similar al de la

estimación de permeabilidad en flujo monofásico aunque más complicado debido a la cantidad

de configuraciones espaciales posibles de dos fases. Con relación a las permeabilidades

relativas todavía no emerge consenso sobre como deben medirse en el laboratorio, si bien se

ha avanzado de manera significativa, experimental y numéricamente, en la comprensión del

papel que juegan la presión capilar, los efectos de borde, la mojabilidad de las superficies

sólidas, la viscosidad y la velocidad de flujo. La literatura da cuenta de relaciones funcionales

entre la permeabilidad relativa de un fluido y su saturación; sin embargo, todos estos

esfuerzos tienen carácter exclusivamente empírico. La extrapolación y el escalamiento a otras

longitudes de escala siguen siendo de alto riesgo.


Aparte de las tres razones expuestas para interesarse en la ley de Darcy, existen otras

situaciones prácticas que también necesitan definir la aplicabilidad de la ley de Darcy o de

alguna de sus variantes. Nos referimos al problema de flujo y transporte en materiales porosos

sometidos a carga; cuyas propiedades de flujo y de inventario varían con el proceso de

compactación al que son sometidos. Se encuentran en literatura numerosos estudios

experimentales y ecuaciones empíricas para explicar, por ejemplo, la relación entre la

permeabilidad y la porosidad. Trabajo de primeros principios, a escala de segmentos de poro,

sólo el de Wong et al. (1984).

La imposibilidad de abordar estos problemas con esquemas numéricos tradicionales,

diferencias finitas y elementos finitos, ha estimulado el uso de métodos discretos inspirados en

simulación de Monte Carlo y en la filosofía de los autómatas celulares. Tales simulaciones de

flujo y transporte en materiales porosos basadas en primeros principios y con fuerte carácter

ab initio pueden y deben ser utilizadas para explorar una ventana de operación más amplia a

fin de dilucidar soluciones a la gama de problemas mencionados.

Gran parte de la comprensión actual de flujo y transporte en medios porosos se debe a

estudios numéricos mediante simulación de Monte Carlo en redes de poros (para trabajos

recientes en esta área en la Universidad de Concepción ver Bustos y Toledo, 2002a,b,c,d).

Esta forma de enfrentar el problema tiene dos aspectos principales. Primero, permite una

idealización de la geometría compleja del material poroso, reduciéndolo a gargantas y cuerpos

de poro, manteniendo algún grado del desorden propio de los espacios porosos reales.

Segundo, el uso de redes de poros de geometría simple permite sustituir la integración de las

ecuaciones completas de Navier-Stokes por sus soluciones en las geometrías simples, como el

flujo Poiseuille en un tubo de radio especificado. Los modelos de red siguen siendo usados en

la actualidad; estos modelos son especialmente poderosos para estudiar fenómenos de

formación de patrones de flujo en medios porosos.


En los últimos años, sin embargo, otra posibilidad para el estudio numérico de flujo de

fluidos en medios porosos ha comenzado a ganar adeptos. Se trata de modelos basados en la

filosofía de autómatas celulares; concretamente el método gas reticular (lattice gas automata,

LGA) y, el más reciente, retículo de Boltzmann (lattice Boltzmann, LB). Los métodos LB, al

igual que los LGA, han sido desarrollados como una alternativa numérica para la simulación

de flujos complejos de fluidos sin simplificar la geometría del espacio poroso. El método LB

para simular fluidos es una evolución del método LGA. Ambos métodos tienen su origen en la

teoría cinética de los gases. La idea común detrás de estos métodos es que el proceso de

advección y colisión de partículas de fluido puede conducir a las ecuaciones de Navier-Stokes

cuando la colisión conserva masa, momento y energía. Adicionalmente, las partículas de

fluido deben moverse a lo largo de los enlaces de una malla numérica altamente simétrica

denominada retículo. Con la solución del campo de velocidades es muy fácil determinar la

permeabilidad del medio en estudio, mediante la aplicación de la ley de Darcy (para trabajos

recientes en esta área en la Universidad de Concepción ver Quispe y Toledo, 2002; y Rozas et

al. 2000).

En esta tesis se abordan algunos de los problemas mencionados en este capítulo.

Mediante simulación de Monte Carlo se estudia el problema de flujo en redes de poros que

sufren compactación, con atención especial a la permeabilidad, la longitud característica del

espacio poroso que fija la escala de la permeabilidad, y la relación funcional de la

permeabilidad con el factor de formación y la porosidad. Un objetivo importante en este

trabajo es la determinación del grado de universalidad de una relación como la indicada en la

Ecuación (1.6). También lo es la relación entre la longitud característica del espacio poroso y

la microestructura porosa.

Capítulo 2

Permeabilidad de Medios Porosos:Una Revisión

La caída de presión de un fluido incompresible en régimen laminar a través de un

medio poroso se encuentra descrita por la ley macroscópica de Darcy (1856), esto es,

Pkq ∇−=µ

(2.1)

donde q la densidad de flujo hidrodinámico a través del material poroso es proporcional al

gradiente de presión ∇P, la constante de proporcionalidad es la razón entre la permeabilidad,

una propiedad del medio, y la viscosidad del fluido µ.

Permeabilidad de Medios Porosos: Una Revisión 15

La permeabilidad, k, es la propiedad global que controla el flujo, y como toda

propiedad de transporte depende fundamentalmente de propiedades geométricas y topológicas

del medio tales como la conectividad del espacio conductor, la geometría, la disposición

espacial de las partes que lo conforman y la proporción de volumen que ocupan estas partes.

Numerosas expresiones semi-analíticas propuestas en la literatura intentan relacionar la

permeabilidad con las propiedades geométricas y topológicas de los materiales porosos. En la

formulación de relaciones de aplicación práctica se han elegido como variables independientes

aquellas que pueden ser determinadas experimentalmente con una certidumbre razonable.

Hasta ahora, en literatura, las relaciones de permeabilidad involucran variables como la

porosidad, la tortuosidad, la forma y tamaño de las partículas (en el caso de sistemas

particulados), el tamaño y forma de los intersticios y, en enfoques más modernos, longitudes

características del espacio poroso.

La ley de Kozeny, una de las ecuaciones de permeabilidad más simples y conocidas,

fue deducida a partir de la solución analítica de las ecuaciones de Navier-Stokes en una

representación simplificada del espacio poroso, un arreglo de conductos cilíndricos paralelos

de sección aleatoria, pero constante. La ley de Kozeny relaciona la permeabilidad k con las

propiedades geométricas del medio poroso, como la porosidad ,φ la superficie específica de

poros S y un parámetro empírico c, que en la mayoría de los casos es cercano a 0.2 (Kozeny,

1927; Carman, 1938). La ley que también se conoce como ley de Kozeny-Carman es

2

3

Sck φ

=(2.2)

el parámetro c contiene implícitamente la dependencia de la permeabilidad con respecto a las

desviaciones de la solución del modelo ideal respecto del medio real, por lo que es función de

variables como la tortuosidad, la forma y conectividad de los pasajes de flujo.


En medios porosos compuestos por partículas de forma regular y dispuestas en un

arreglo uniforme, la superficie específica S se encuentra relacionada directamente con la

porosidad φ y el diámetro promedio de las partículas ⟨d⟩,

( )d

zS φ−=

1 (2.3)

A modo de ejemplo, en un arreglo uniforme de esferas con conectividad z = 6, la

ecuación de Kozeny-Carman toma la forma

( )2

32

1 φφβ−

= dk(2.4)

donde φ es la porosidad, ⟨d⟩ una longitud característica que en este caso es el promedio de

tamaño de las partículas, y β un parámetro que presenta la misma funcionalidad que el término

c de la Ecuación (2.2).

La ecuación de Kozeny-Carman ha probado ser predictiva en el régimen de porosidad

alta en materiales compuestos por partículas bien distribuidas, tales como arenas naturales y

rocas sedimentarias. Su aplicación puede extenderse incluso a algunos casos en que las

partículas se encuentran pobremente distribuidas, como es el caso de sedimentos, siempre y

cuando se adopte una definición conveniente de la longitud característica. Sin embargo, no

resulta apropiada para el ajuste de datos experimentales correspondientes a clases distintas de

materiales porosos, ya que posee una dependencia fija de la porosidad. Para corregir este

defecto de la ecuación de Kozeny, Bourbié et al. (1987), basados en simple ajuste de datos,

proponen una ley de potencia capaz de ajustar datos experimentales k-φ para distintas familias

de materiales porosos, la ley es

mdk φα 2= (2.5)


Bourbié et al. (1987) advierten que esta correlación no es apropiada en materiales

altamente deformables, ya que en esos casos el exponente m no es único, sino que depende de

la porosidad, varía desde 2 en el límite diluido hasta 8 en una región de porosidad intermedia y

baja permeabilidad.

Wong et al. (1984) comprobaron la validez de la ecuación (2.2) mediante simulaciones

de Monte Carlo de flujo en medios que se compactan de acuerdo a un mecanismo aleatorio de

compactación local. La simulación consiste en la solución de las ecuaciones de conservación

de materia y movimiento de fluido en redes de poros en etapas sucesivas de compactación. De

acuerdo a sus resultados, los autores concluyen que la relación de permeabilidad-porosidad

sigue una ley de potencia en todo el rango de porosidad en compactaciones moderadas y que

el exponente de esta ley queda determinado por la intensidad de compactación. Sin embargo,

Wong et al. (1984) mencionan que en compactaciones fuertes el exponente de la relación

permeabilidad porosidad no es único sino que varía con la porosidad, pero no presentan

resultados por problemas de precisión en el cálculo de flujo en redes cuasi-percolativas

( 0→x y cφφ → ).

La causa principal de la baja capacidad de predicción de las ecuaciones tipo Kozeny-

Carman, se encuentra en la simplicidad del modelo del que se derivan las relaciones entre

permeabilidad y porosidad; el espacio poroso de los medios reales se presenta como una trama

de conductos aleatoriamente interconectados y no como un conjunto de conductos paralelos.

Tal como reconocen Mavko y Nur (1997) sobre la base del análisis de datos experimentales, la

permeabilidad del medio es baja cuando su conectividad es débil, pero no necesariamente la

porosidad. Este límite corresponde a un medio poroso en que existen zonas porosas que no

contribuyen significativamente al transporte, que los autores denominan porosidad crítica .cφ

Rigurosamente, este valor de porosidad corresponde a un estado intermedio en la transición de

un régimen de alto flujo a uno de menor permeabilidad, que debería denominarse umbral de

cuasi-percolación.


Efectivamente, a la luz de la teoría de percolación un medio de conectividad infinita

como el modelo de Kozeny presenta conducción hasta una fracción de conductores nula, es

decir, el modelo predice conducción hasta que el volumen del espacio poroso es nulo. Los

medios reales en cambio presentan conectividad finita y por lo tanto exhiben una probabilidad

de percolación finita, es decir, un límite de porosidad no-nulo en que el medio es impermeable

o débil conductor pues el espacio poroso presente se encuentra aislado o conexo a través de

caminos de difícil acceso. Por otro lado, las observaciones de Bourbié et al. (1987) y Wong et

al. (1984) respecto de la sensibilidad de la permeabilidad en las cercanías de la transición

conductor-aislante de un medio poroso encuentran sustento en el hecho que las propiedades de

transporte en redes presentan un escalamiento que depende de la distancia con respecto al

estado crítico (Erdös y Haley, 1975). Al respecto, Mavko y Nur (1997) proponen que la

introducción de la siguiente transformación de la porosidad cφφφ −→ corrige este defecto en

la ecuación de Kozeny-Carman, así

( )( )2

32

1 c

cdkφφ

φφα

+−

−=

(2.6)

En la zona de cuasi-percolación esta relación converge a la forma de escalamiento

( )( )2

32

1 c

cdkφφ

φφα

+−

−=

(2.7)

que se obtiene al expandir el denominador en serie de Taylor en las cercanías de cφ , esto es,

( ) ( )( ) ( )3232 ...1 cn

ccc ddkc

φφαφφφφφφαφφ −≈−++−+−=→(2.8)

Experimentalmente, la medición de la porosidad de transición es difícil, por ejemplo,

en un experimento convencional de porosimetría, ya que la elevada presión de fluido invasor

que se requiere para penetrar las regiones del espacio poroso que se encuentran conectadas por


poros pequeños puede alterar su estructura. Mavko y Nur (1997) aplican satisfactoriamente la

Ecuación (2.8) en un amplio rango de porosidad al utilizar la porosidad crítica cφ como

parámetro de ajuste de datos de permabilidad-porosidad.

Katz y Thompson (1986), en una extensa revisión de relaciones de permeabilidad

existentes, reconocen la importancia de una definición adecuada la longitud característica en la

relación de permeabilidad. Según estos autores, la ley de Kozeny- Carman y otras basadas en

la definición de radio hidráulico no resultan predictivas porque es imposible obtener una

representación única de la relación entre una propiedad de transporte como la permeabilidad

con propiedades macroscópicas bulto del medio poroso como son la porosidad y cualquier

promedio del tamaño de partículas y/o de intersticios que conforman el espacio poroso. Katz y

Thompson (1986) proponen una definición de longitud característica cl que involucra la

accesibilidad del fluido al espacio poroso. Esta definición de longitud se basa en el concepto

de análisis de trayectoria crítica introducido por Ambegaokar et al. (1971)

Según el análisis de Ambegaokar et al. (1971) el transporte en un sistema heterogéneo

aleatorio se encuentra dominado por aquellas partes que poseen conductancia mayor que un

valor crítico ,cg de este modo las propiedades de transporte de cualquier sistema

macroscópico pueden ser aproximadas al resolver el problema de percolación clásico que

resulta al eliminar los elementos que poseen conductancias menores que .cg Este valor crítico

de conductancia corresponde al mínimo valor de conductancia que permite la formación de un

racimo conductor.

La extensión del análisis de trayectoria crítica al flujo en materiales porosos es directa.

El camino crítico de un material conductor corresponde al racimo de poros que ofrece la

menor resistencia al paso de fluido, la longitud característica lc queda determinada por el radio

del poro en este racimo que permite el paso de fluido a través del medio. Experimentalmente,

esta longitud puede ser determinada mediante porosimetría. En este experimento el fluido

invasor busca en orden descendente los poros de mayor tamaño que son accesibles hasta


atravesar el medio. En cada paso de invasión la accesibilidad queda determinada por la presión

necesaria para inundar un poro determinado y por la conectividad local del medio.

Los conceptos empleados por Katz y Thompson (1986) se resumen en la siguiente

relación de permeabilidad,

*

2

231 e

eclkσσ

=(2.9)

donde *eσ es la conductividad eléctrica del fluido y eσ es la conductividad eléctrica del

espacio poroso inundado de fluido conductor a un valor dado de porosidad, la razón entre

ambas cantidades se denomina factor de formación,

e

eFσσ *

=(2.10)

La información experimental disponible y las simulaciones de flujo en medios porosos

indican que la permeabilidad, la porosidad, la densidad del empaque, la superficie específica

de poros, etc., son propiedades macroscópicas del medio poroso que varían continuamente

durante una compactación; sin embargo, algunas de ellas presentan una sensibilidad mayor a

las perturbaciones cerca de las condiciones críticas de flujo. En este punto cabe hacer una

clasificación de las propiedades macróscopicas mencionadas, existen algunas como la

porosidad, que quedan determinadas por un proceso de promediación que denominamos

propiedades bulto, y otras, las propiedades de transporte, que adicionalmente dependen de la

conectividad del medio. La imposibilidad de obtener relaciones biunívocas entre propiedades

bulto y propiedades de transporte radica en la diferencia de la sensibilidad, de unas y otras, a

las perturbaciones locales al aproximarse a las condiciones críticas.


El valor del trabajo de Katz y Thompson (1986) es que introduce en la relación de

permeabilidad una propiedad del medio, una longitud característica, que depende de la

conectividad efectiva del medio y que adicionalmente es consistente con la forma general de la

relación de permeabilidad que provee el desarrollo analítico de Kozeny-Carman.

Por otro lado, en muchos materiales porosos la conductividad eléctrica escala con la

porosidad con un exponente único en todo el rango de porosidad, relación empírica que

estableció Archie en el estudio de las propiedades de transporte en rocas, esto es

'µλφσ =e(2.11)

El exponente de esta relación no es universal, sino que varía de una estructura porosa a otra. A

partir de un modelo de esferas dispuestas en forma aleatoria Sen et al. (1981) proponen que

este exponente es 2/3'=µ en el límite diluido.

A partir de simulaciones de Monte Carlo y de un desarrollo analítico aproximado,

Wong et al. (1984) demostraron la validez de la Ecuación (2.11) en medios representados

como redes de poros que son deformados de acuerdo a un mecanismo aleatorio de

compactación. El exponente del modelo propuesto por Wong et al. (1984) resulta dependiente

de un término que da cuenta de la intensidad de la compactación (x).

)('' xµµ = (2.12)

La ley de Archie es válida en su forma original exclusivamente para sistemas que

presentan conectividad hasta un límite de porosidad nulo. Tal como sugiere la teoría de

percolación, es necesario introducir un término correctivo a la porosidad en los materiales que

sufren una transición de régimen de conducción, como los estudiados por Mavko y Nur

(1997). En el modelo de redes, en el caso límite de una compactación que obedece a un


bloqueo aleatorio de poros, se ha demostrado basándose en teoría de percolación que la

relación entre conductividad y fracción de enlaces es,

( ) pc

e pp µγσ −= (2.13)

La fracción de enlaces es análoga a la porosidad de los materiales porosos. Sobre la

base de esta analogía, a la ley de escalamiento de la conductividad eléctrica, a las

observaciones de Mavko y Nur (1997) y al trabajo de Katz y Thompson (1986) en esta tesis se

propone el siguiente ansatz,

( ) ''2 µφφα ccclk −= (2.14)

es decir, la permeabilidad se relaciona fundamentalmente con una longitud característica, con

la porosidad del medio que es una variable bulto y con una constante α que es una función

débil de la forma de los conductos. A su vez la longitud característica depende de la

distribución de tamaño de poros, de la conectividad y de la tortuosidad que presentan los

caminos que sigue el fluido.

La relación propuesta, Ecuación (2.14), es comprobada en este trabajo de tesis

mediante teoría de campo medio, simulaciones Monte Carlo de flujo y porosimetría en

materiales diversos, representados por redes de poros, que evolucionan de acuerdo al

mecanismo idealizado de compactación propuesto por Wong et al. (1984), enfatizando la

estimación precisa y controlada de las propiedades de transporte en las zonas de transición de

la microestructura porosa que controla el flujo.

Capítulo 3

Permeabilidad de Medios Porosos:Fundamentos y Relaciones

En este capítulo se revisan los conceptos que han motivado el desarrollo de relaciones

de permeabilidad para flujo monofásico en materiales porosos. La atención se centra en flujos

a bajo número de Reynolds que son los más relevantes del punto de vista práctico. De interés

aquí son las teorías y métodos que permiten predecir la permeabilidad macroscópica a partir

de información microscópica a escala de segmentos de poro. Uno de los objetivos claves en el

desarrollo de teorías y métodos de predicción de permeabilidad es potenciar el carácter

predictivo de los métodos macroscópicos. En lo que sigue del capítulo se discuten ideas y

conceptos de flujo a escala de segmentos de poro, especialmente teoría de percolación, que se

utilizan en el marco de esta tesis para predecir permeabilidad y conductividad eléctrica de

Permeabilidad de Medios Porosos: Fundamentos y Relaciones 24

materiales porosos. La revisión de teorías abarca la solución analítica de modelos de redes

simples, la solución aproximada de modelos más complejos basados en teoría de percolación,

leyes de escalamiento, campo medio y longitudes características. Los modelos revisados

incluyen casos con conectividad extrema, esto es, el ensamble de poros paralelos que exhibe

conectividad infinita, y el ensamble de poros en serie que exhibe conectividad mínima igual a

dos, y redes cubicas tridimensionales. Con especial detalle se analiza la evolución de

propiedades de estos modelos cuando se someten a compactación. La mayor parte de este

análisis es original y parte de este trabajo de tesis. Especial atención se presta a posibles

relaciones entre la permeabilidad y la porosidad, la permeabilidad y la conductividad eléctrica.


3.1 Teoría de percolación

3.1.1 Trasfondo histórico

Percolación es un concepto matemático utilizado con frecuencia para describir

fenómenos que ocurren en medios desordenados como la gelación de polímeros, el flujo

eléctrico en semiconductores, el transporte de fluidos a través de medios porosos, el tráfico en

una gran ciudad, la formación de dendritas, la propagación de una enfermedad en una

población y en general procesos que involucran estructuras aleatorias. La teoría de percolación

fue inicialmente planteada por Flory (1941) y Stockmayer (1943) para describir la

polimerización, es decir, la formación de macromoléculas a partir de la adición secuencial de

monómeros. En el mecanismo propuesto por estos investigadores el polímero es representado

como una de red ramificada que no contiene ciclos cerrados, conocida como red de Bethe,

Figura 3.1.

Figura 3.1 Red de Bethe o árbol de Cayley de índice de coordinación 3=z .

Broadbent y Hammersley (1957) introdujeron el concepto en la literatura matemática

para describir la dispersión de un fluido hipotético a través de un medio aleatorio. Surgieron

dos enfoques para abordar el problema; en el primero, la aleatoriedad es asignada al fluido,

como consecuencia inunda desordenadamente los caminos de una red ordenada, en el otro, los

caminos que el fluido puede seguir quedan determinados por la aleatoriedad de la red, que

presenta un número de coordinación que varía localmente.


3.1.2 Tipos de percolación

Existen dos tipos de percolación en los modelos de red; percolación de sitios y

percolación de enlaces. La percolación de enlaces consiste en eliminar aleatoriamente una

fracción p−1 de los enlaces existentes en una red regular completamente conectada, de este

modo p corresponde a la probabilidad de encontrar un enlace en la red ( [ ]1,0∈p ). La

remoción de enlaces reduce las posibilidades de desplazamiento para el fluido, es decir,

provoca un aumento en la resistencia del medio al flujo. El otro tipo de percolación, la de

sitios, consiste en elegir aleatoriamente una fracción p−1 de los nodos y remover todos los

enlaces que inciden en esos nodos. Comparativamente, la sensibilidad al parámetro p es mayor

en la percolación de sitios y por lo tanto la conductividad del medio decrece más rápidamente.

Matemáticamente el fenómeno de percolación se describe mediante la función de

distribución de conductancias,

( ) )(1)()( a gpggpgf δδ −+−= (3.1)

donde δ es la función delta de Dirac. Esta función puede ser interpretada de la siguiente

manera: existe una red que posee una fracción p de enlaces de conductancia finita igual a

,ag la fracción restante 1 - p se encuentra ausente, es decir, corresponde a enlaces de

conductancia nula.

En la Figura 3.2 se presentan distintas etapas del proceso de percolación en una red

regular cuadrada. Inicialmente la red es completamente conexa, estado que corresponde a una

fracción unitaria de enlaces presentes, esto es, p = 1 (Figuras 3.2a y 3.3). En la etapa siguiente

se ha eliminado enlaces en forma aleatoria hasta una fracción de conductores 55.0=p

(Figuras 3.2b y 3.3), la conectividad ha disminuido pero existe aún una gran región de nodos

interconectados que conecta los extremos de la red y permite el transporte de fluido a través de

la red; estas zonas de conducción se denominan racimos infinitos. Las islas oscuras que


aparecen en la Figura 3.2b corresponden a enlaces de conductancia no-nula que no aportan a la

conducción pues se encuentran aislados. Si continúa el proceso de remoción de enlaces hasta

que quede una fracción de conductores 50.0=p (Figuras 3.2c y 3.3), se observa un camino

crítico que conecta los extremos de la red y la presencia de bastas regiones de enlaces aislados.

Más allá de este punto, cuando la fracción de enlaces es inferior a 50.0=p no existen

caminos que conecten los contornos de la red, el medio ha sufrido una transición conductor-

aislante (Figuras 3.2d y 3.3). Las Figuras 3.2a,b muestran que la variación de conectividad del

medio es débil cuando la fracción de enlaces es superior a 60% y abrupta cerca de la región

crítica. Cuando la fracción de conductores es alta todos los enlaces aportan a la conducción.

En cambio, cerca de la región crítica la disminución de enlaces provoca una disminución

mayor en los enlaces que efectivamente transportan fluido, pues la eliminación de un enlace

puede producir la desconexión de una región completa de enlaces conductores.

3.1.3 Propiedades de un proceso de percolación

En una red suficientemente grande, la eliminación de un enlace justo en el punto crítico

produce la transición de percolación. La fracción mínima de enlaces que permite la

conducción en una red de topología determinada se conoce como umbral de percolación ó

probabilidad crítica de percolación de enlaces ( cbp ). En redes finitas esta fracción converge a

un valor definido a medida que el tamaño de red crece y resulta invariante al número de

realizaciones del experimento numérico. La probabilidad crítica de percolación es única para

una red determinada, depende principalmente de la dimensión de la red y en menor grado de

su topología. En la Tabla 3.1 se presenta la estimación Monte Carlo de los umbrales de

percolación para distintos tipos de redes regulares en dos y tres dimensiones.


(a) (b)

(c) (d)

Figura 3.2 Proceso de percolación en una red cuadrada de 140×140 nodos. En negro, enlaces aislados;en gris, enlaces conductores; y en blanco, enlaces eliminados. A) Estado inicial de la red, laconectividad es máxima, .1=p b) Aparecen racimos aislados, .55.0=p c) Umbral crítico depercolación, se observa conectividad de largo rango, .50.0=p d) Zona subcrítica, la red posee una

fracción de enlaces 45.0=p inferior a la mínima que establece conducción a través de la red.


Figura 3.3 Evolución de la función de distribución percolativa, Ecuación (1.1), durante el proceso depercolación en una red regular cuadrada. (a), (b), (c) y (d) corresponden a los estados representados en

la Figura 3.2. cp es la fracción crítica de enlaces que garantiza conducción a través de la red.

Tabla 3.1 Umbrales de percolación en redes regulares (Sahimi, 1995).

Red dn z pcb zpcb

Panal de avejas 2 3 0.6527 1.9581

Cuadrada 2 4 0.5 2

Triangular 2 6 0.3473 2.0838

Diamante 3 4 0.3886 1.5544

Cúbica (simple) 3 6 0.2488 1.4928

Cúbica BCC 3 8 0.1795 1.436

Cúbica FCC 3 12 0.1190 1.428


Los resultados muestran que el producto entre el índice de coordinación de la red y la

probabilidad de percolación es prácticamente constante para una dimensión dada. En redes

bidimensionales resulta 2≈cbzp , en tanto que en redes tridimensionales se obtiene 5.1≈cbzp .

El proceso de percolación en las cercanías del punto crítico puede ser interpretado como una

transición de fase que sólo depende de la topología del medio.

La probabilidad crítica de percolación es sólo una de las propiedades que presenta una

red de una topología definida. Sobre la base del mismo proceso aleatorio se pueden definir

otras cantidades que resultan de interés para el estudio de las variables relacionadas con las

propiedades de transporte, estas son:

Probabilidad de percolación )( pP : corresponde a la fracción de enlaces que pertenece al

racimo infinito cuando existe una fracción p de enlaces presente en la red (P < p). Como

analogía, en el transporte hidrodinámico en medios porosos existe una fracción de volumen

saturada de fluido que incluye las zonas de flujo y de recirculación.

Fracción accesible )( pX A : es la fracción de enlaces que pertenece al racimo conductor o

racimo infinito. En analogía al transporte de fluido, esta fracción corresponde a las zonas

saturadas de fluido, incluyendo las zonas donde el fluido se encuentra detenido.

Fracción conductora )( pX B : es la fracción de enlaces que pertenece al racimo infinito y que

adicionalmente participa en la conducción. No todos los enlaces que pertenecen al racimo

participan de la conducción, puesto que algunos forman ramificaciones, recirculaciones y

circuitos ciegos que no son conductores. Análogamente en el transporte en materiales porosos

esta cantidad equivale a la fracción de volumen de las zonas de circulación de fluido conocida

como porosidad efectiva.


Tamaño promedio de racimos S(p): Corresponde al promedio del número de enlaces que

contiene cada racimo. Se puede definir esta cantidad en función del número promedio de

racimos de s enlaces ns(p) como

∑

∑=

ss

ss

sn

nspS

2

)( (3.2)

Longitud de correlación )( pξ : es el tamaño o longitud mínima de red, medida en número de

nodos, en la que el medio es macroscópicamente homogéneo. O de otro modo, la longitud en

que las variables macroscópicas son independientes del tamaño de la red. Esta cantidad es

fundamental al definir el tamaño de una muestra en un experimento estocástico, pues bajo la

longitud de correlación las propiedades macroscópicas son afectadas por el tamaño de red.

Esta dependencia de las propiedades macroscópicas muchas veces es confundida con el efecto

del tamaño de red sobre la fluctuación de las cantidades macroscópicas. Este último efecto

puede ser minimizado, de acuerdo al principio de ergodicidad, promediando los resultados de

una gran cantidad de realizaciones para obtener un resultado representativo, sin embargo, este

promedio corresponde a una cantidad observable afectada por el tamaño finito de la red y que

sólo puede representar a una red infinita al conocer la dependencia explícita de la propiedad

con el tamaño del sistema.

Conductancia efectiva )( pg ef : es el coeficiente efectivo de transporte de una red cuando

existe una fracción p de conductores. Se relaciona directamente con la conductividad que es

el coeficiente de transporte global de un medio. Su definición depende del fenómeno de

transporte estudiado. A modo de ejemplo, la conductividad hidrodinámica corresponde a la

permeabilidad y puede ser determinada en forma aproximada, incluso exacta en algunos casos,

en redes de conductores mediante el uso de métodos que serán discutidos más adelante en este

capítulo, y en el siguiente, y que se basan en teoría de campo medio, renormalización y

simulación de Monte Carlo.


3.1.4 Escalamiento crítico de las propiedades de percolación

Las propiedades de percolación a un valor dado de fracción de conductores p dependen

de los detalles microscópicos del sistema, tales como el índice de coordinación de la red. Sin

embargo, cerca del umbral crítico de percolación, estas propiedades macroscópicas obedecen

leyes de escalamiento que no dependen de la estructura de la red ni de sus detalles

microscópicos, sino sólo de la dimensión de la red, así

( ) pcpppP β−~)(

pc

A pppX β)(~)( −

( ) Bc

B pppX β−~)(

p

cppp νξ −−~)(

p

cpppS γ−−~)(

( ) pc

e pppg µ−~)(

(3.3)

La universalidad del escalamiento de las propiedades de percolación significa que los

exponentes de estas relaciones son únicos, o universales, para una dimensión Euclideana

determinada. La dependencia de las propiedades de los detalles de una red particular se

encuentra en los prefactores de las relaciones de escalamiento.

A continuación se presentan valores de los exponentes de las leyes de escalamiento de

percolación en redes bidimensionales y tridimensionales determinados mediante simulación

Monte Carlo. Los valores de estos exponentes críticos permiten extraer algunas conclusiones y

explicar algunas observaciones respecto del comportamiento de las propiedades

macroscópicas de un medio.


Tabla 3.2 Exponentes críticos de percolación, Ecuación (3.3), en redes bidimensionales ytridimensionales (Sahimi, 1995).

Exponente dn = 2 dn = 3

βp 5/26 0.41

βB 0.48 1.05

νp 4/3 0.88

γp 43/18 1.82

µ p 1.3 2.0

Una de ellas es que la población del racimo conductor muestra una sensibilidad

pronunciada cerca de la región crítica en dos y tres dimensiones debido a que βp < βB, es decir,

en esta zona la fracción de enlaces conductores decrece mucho más rápidamente que la

fracción total de enlaces.

Otra de importancia es que las propiedades de transporte cerca del umbral crítico

resultan más sensibles a la fracción de enlaces en redes de dimensión superior. Esta es una de

las razones del porqué la aproximación de medio efectivo (EMA) subestima la permeabilidad

y la conductividad eléctrica de un medio cerca de la transición de régimen de conducción.

Como veremos más adelante en esta tesis, esta aproximación predice variaciones lineales de

las propiedades de transporte frente a perturbaciones en la fracción de conductores cerca de la

transición de percolación.

Finalmente, una de mayor importancia, es que si dos fenómenos poseen distintos

exponentes críticos las leyes físicas que los rigen son fundamentalmente diferentes, se dice

que ambos pertenecen a clases universales diferentes. Consideremos un ejemplo para ilustrar

esta afirmación. La ecuación de Einstein eee Dng ~ relaciona la difusividad eléctrica eD con

la conductividad eléctrica eg , en esta ecuación en es la densidad de electrones en el medio


que aporta al transporte y escala como la fracción de enlaces accesibles )(~ pXn Ae . Así, la

ley de escalamiento de la difusividad es

( ) ppce pppD βµ −−~)( (3.4)

donde pµ y pβ son los exponentes de percolación de la conductividad y de la fracción

accesible de enlaces respectivamente.

Como el exponente crítico de la difusividad resulta distinto al exponente de la

conductividad, se establece que los fenómenos difusivos pertenecen a una clase universal

distinta al transporte conductivo, y por lo tanto la ley macroscópica de difusión es diferente a

la ecuación macroscópica de conducción.

3.1.5 Escalamiento en redes de dimensión finita

En la práctica la estimación de las propiedades macroscópicas de un sistema se lleva a

cabo en redes de dimensión finita. Bajo estas condiciones puede ocurrir que cerca del umbral

crítico de percolación, p → pc, la longitud de correlación pueda exceder el tamaño de red N,

medido en número de nodos. En este régimen las propiedades de la red resultan dependientes

de su tamaño.

Según Fischer (1971), si el escalamiento crítico de una propiedad Ψ respecto de la

fracción de enlaces en una red infinita es

( )εcpp −Ψ ~ (3.5)

entonces en la misma red pero de tamaño finito, e inferior a la longitud de correlación, la

propiedad presentaría la siguiente dependencia al tamaño de red


pN νε

−

Ψ ~ (3.6)

donde ε es el exponente crítico de la propiedad Ψ y pν es el exponente crítico de la longitud

de correlación en la red.

Por ejemplo, la probabilidad de percolación crítica 'cp de una red finita, determinada

como promedio representativo de numerosas realizaciones del experimento de percolación,

resultaría menor que la probabilidad de percolación crítica de la red infinita cp que es una

cantidad única para esta red, pues

pNpp ccν1

' ~)(−

− (3.7)

Lo mismo ocurre con todas las propiedades de percolación definidas anteriormente. En

particular, las propiedades de transporte presentan la siguiente dependencia al tamaño de red

bajo la longitud de correlación

p

p

Ngeν

µ−

~ (3.8)


3.2 Solución analítica de modelos geométricos simples

La búsqueda de relaciones entre las propiedades macroscópicas de los materiales

porosos justifica el estudio de soluciones del campo de flujo en representaciones simplificadas

de éstos. La pérdida de detalle en estos modelos se ve compensada por la posibilidad de

obtener definiciones directas de las propiedades macroscópicas y establecer analíticamente

relaciones entre ellas basadas en el desarrollo de las ecuaciones de conservación. A

continuación se presentan deducciones de relaciones de permeabilidad basadas en modelos

simples de espacios porosos.

3.2.1 Ensamble de capilares paralelos de igual tamaño

Consideremos una muestra de material poroso como el modelo que se ilustra en la

Figura 3.4,

Figura 3.4 Red tridimensional de capilares paralelos de sección constante.

A

L

Ai

li


La muestra presenta una sección transversal al flujo A, una longitud L y contiene un

conjunto de N capilares de sección Ai y longitud li. Supongamos que el ensamble de poros,

que no es conductora de electricidad, se inunda con un fluido conductor de conductividad

eléctrica *eσ y posteriormente se aplica una diferencia de voltaje V∆ entre sus extremos. De

acuerdo a las leyes de Kirchhoff aplicadas a este modelo, la cantidad de corriente que se

establece en la matriz es la suma de las corrientes individuales de cada capilar, esto es,

VlA

NVlA

VgIIi

ieN

i

N

ii

i

ieN

ii

eii ∆=∆=∆== ∑ ∑∑

= ==

*

1 1

*

1

σσ(3.9)

De este modo, la conductancia eléctrica del medio es

i

iee l

ANg

*σ= (3.10)

Desde un punto de vista macroscópico la expresión de transporte del ensamble es

VL

AVgI e

e ∆=∆=σ

L

Ag e

eσ

=⇒ (3.11)

Así, al igualar las expresiones de conductancia de las Ecuaciones (3.10) y (3.11) se

obtiene una relación entre la conductividad eléctrica del ensamble y la conductividad eléctrica

del fluido, esto es,

i

iee l

LA

NA*σσ = (3.12)

El factor de formación de un material poroso se define como la razón entre la

conductividad del fluido conductor y la conductividad de la red


e

eFσσ *

= (3.13)

así, en este material poroso particular el factor de formación resulta

Ll

NAAF i

i

= (3.14)

La porosidad es otra propiedad macroscópica de los materiales porosos, corresponde a

la razón entre el volumen ocupado por el espacio poroso y el volumen total de la muestra

T

p

VV

=φ (3.15)

En el modelo de capilares paralelos la porosidad es

ALlNA ii=φ (3.16)

La superficie específica corresponde a la razón entre la superficie de la matriz sólida y

el volumen de la muestra, en este caso

ALNS

V

SS i

T

n

ii

==∑=1

(3.17)

La tortuosidad se define como el producto entre el factor de formación y la porosidad,

φα Ft = , entonces para el caso en estudio resulta ser una razón entre el largo de los capilares

y la longitud observada de la muestra


2

=

Lliτ (3.18)

en otras palabras, un término que da cuenta de la diferencia entre el camino efectivo que debe

seguir el fluido y la distancia mínima que debe recorrer entre dos puntos del medio poroso

(por lo tanto siempre es mayor que 1).

Del mismo modo que la conductancia eléctrica, la permeabilidad es una propiedad de

transporte global o término de proporcionalidad de una ley de transporte macroscópica, en este

caso, la ecuación de Darcy

LPAkQ ∆

=µ (3.19)

La permeabilidad y las variables microscópicas del material se relacionan a través del

balance de materia de fluido en la muestra, que en el caso de un fluido incompresible equivale

a un balance de caudales, esto es,

∑=

=N

iimm

1&& ( cte=ρ ) ⇒ P

lANP

lAQQ

i

ihi

i

N

i i

ihi

N

ii ∆=∆== ∑∑

==

σσ11

(3.20)

La solución de las ecuaciones de Poisson en capilares cilíndricos, conocida como

ecuación de Hagen-Poiseuille, determina la conductividad hidráulica de esta geometría, esto

es,

µσ

8

2ih

ir

= (3.21)

Reemplazando esta expresión en la Ecuación (3.20) y comparando el balance

microscópico con la ecuación de Darcy resulta


2

81

ii

i rlL

ANA

k = (3.22)

Al examinar esta ecuación se aprecia que aparece implícitamente el factor de

formación; luego al reemplazar la Ecuación (3.14) en la Ecuación (3.22) se obtiene

Frk i

8

2

= (3.23)

A continuación, demostramos que esta expresión es consistente en forma con la

ecuación de Kozeny-Carman utilizando las definiciones de las propiedades macroscópicas. Si

el factor de formación se expresa en términos de la porosidad y la tortuosidad

φτ

=F (3.24)

y se reemplaza en la expresión (3.23) de permeabilidad, resulta

τφ

8

2irk = (3.25)

Por otro lado, la razón entre la porosidad y la superficie específica es

22

2i

ii

ii

ii

ii rlrlr

lNSlNA

S===

ππφ

(3.26)

O bien

Sri

φ2= (3.27)


Una forma equivalente de la Ecuación (3.25) es

2

3

2

3

)(S

cS

k φττφ

== (3.28)

si la definición de superficie específica que se utiliza en la relación de permeabilidad es

referida al volumen de la muestra (S’) y no al volumen de la matriz (S), resulta

( )22

3

1')(

φφτ−

=S

ck (3.29)

que es otra forma usual de la relación de Kozeny-Carman. El inverso de la superficie

específica tiene dimensiones de longitud y la porosidad es un término adimensional, de este

modo, la razón entre la porosidad y la superficie específica cumple el papel de longitud

característica en esta ecuación. Así la ley de Kozeny-Carman satisface la forma generalizada

de la ley de permeabilidad

Fl

ck c2

= (3.30)

En este punto surgen varias interrogantes; ¿es la definición de longitud característica de

la ley de Kozeny-Carman apropiada?, y si lo es, ¿sólo para los materiales que se aproximan a

las suposiciones del modelo propuesto?. Por otro lado, ¿qué ocurre con la funcionalidad de la

permeabilidad?, ¿es de carácter universal?, ¿El exponente de porosidad en la expresión de

Kozeny-Carman es siempre el mismo para todos los materiales?.

Finalmente, una pregunta que resume las anteriores, ¿cambiará la forma de la ley de

permeabilidad si se resuelve un modelo más representativo?.


3.2.2 Ensamble de capilares paralelos de tamaño distribuido

Una de las simplificaciones más fuertes del modelo presentado es la suposición de

homogeneidad del medio. Consideremos un modelo algo más complejo, una muestra de

capilares paralelos que poseen una distribución de tamaños de radio.

En este modelo, el caudal neto que atraviesa la muestra es

∑∑==

∆=∆=

N

ii

ii

N

i i

ihi r

lPP

lAQ

1

4

1 8µπσ

(3.31)

Al igualar esta expresión con la ley de Darcy, Ecuación (3.19), resulta la siguiente

expresión para la permeabilidad

4

1

4

88 ii

N

ii

i

rNAl

LrAl

Lk ππ== ∑

=(3.32)

Para la porosidad resulta

A

rN

Ll

AL

Alii

N

iii 2

1π

φ ==∑=

(3.33)

Y el factor de formación de este medio es

2

1

i

i

rNLAlF

πφτ== (3.34)


O de otro modo

FrNAlL

ii2

1=

π(3.35)

Al reemplazar esta cantidad en la expresión de permeabilidad se obtiene

Fl

Fr

rk c

i

i

881 2

2

4

== (3.36)

Es decir, la longitud característica de un medio de capilares paralelos con sección

distribuida resulta

2/1

2

4

=

r

rlc

(3.37)

Esta definición converge a la expresión deducida anteriormente para el caso particular

de capilares paralelos de sección constante, por lo tanto, es de carácter más general. Sin

embargo, a partir de este desarrollo no se puede extraer conclusiones respecto de la definición

de la longitud característica en modelos más complejos que consideren la conectividad que

presentan los conductos de un medio poroso real.

La importancia de este resultado es que otorga una respuesta a algunas de las preguntas

planteadas, sugiere que una definición adecuada de la longitud característica permite conservar

la forma de la Ecuación (3.36).


3.2.3 Red tridimensional de capilares interconectados y con tamaño distribuido

Considere ahora un caso más complejo que puede ser resuelto en forma aproximada.

Se trata de una red tridimensional de capilares interconectados con distribución de radios

(Figura 3.5).

Figura 3.5 Red cúbica simple tridimensional de capilares cilíndricos de tamaño distribuido.

A diferencia de los modelos antes presentados, no existe una solución cerrada para el

caudal neto en este modelo. Sin embargo, existe una suposición, la aproximación de medio

efectivo, que simplifica bastante el problema. De acuerdo a esta aproximación existe un medio

homogéneo equivalente al medio original. El flujo en una red heterogénea interconectada se

encuentra gobernado por el radio efectivo de un capilar. Bajo este supuesto el medio

heterogéneo, constituido por capilares de distinto tamaño, puede ser reemplazado por un

medio homogéneo equivalente en que el radio de todos los capilares es igual al radio efectivo

o radio que controla el transporte.


En el medio efectivo el caudal neto está dado por

ii

ef Pl

rNQ ∆=

µπ8

4

(3.38)

como este medio es homogéneo, el gradiente de presión en cada capilar paralelo al flujo es el

mismo e igual al existente en el medio, esto es,

LP

lP

i

i ∆=

∆(3.39)

así, al reemplazar el gradiente de presión local en la Ecuación (3.38) e igualar ésta con la ley

de Darcy resulta

ArN

k ef

8

4π= (3.40)

como la sección transversal del medio expuesta al flujo es 2iNlA = la permeabilidad es

2

4

8 i

ef

lr

kπ

= (3.41)

por otro lado, el factor de formación es

2

2*

ef

i

ef

i

e

e

rl

LNAANlF

πσσ

=== (3.42)


De otro modo,

Flr

i

ef 12

2

=π

(3.43)

Al introducir la Ecuación (3.43) en la relación de permeabilidad (3.42) se obtiene

Fr

k ef

8

2

= (3.44)

Es decir, bajo la definición del radio que controla el flujo adoptada en este modelo

puede ser resuelto analíticamente y su solución obedece, como en los casos antes vistos, la

forma general de permeabilidad, con efc rl = . En literatura el radio efectivo, o tamaño de poro

que controla el flujo, ha sido asociado al tamaño del poro que permite la conectividad de largo

rango de un fluido invasor en un experimento de porosimetría de mercurio, con el radio que

provee la teoría de campo medio, con el radio hidráulico y con un promedio de los radios de

capilares ponderado por la distribución de voltaje en un medio poroso saturado de fluido

conductor eléctrico.


3.2.4 Modelo de compactación de capilares

Examinemos primero el término factor de formación en la relación de permeabilidad.

Luego, la relación de Kozeny-Carman para la permeabilidad. De acuerdo a la ley empírica de

Archie este el factor de formación se encuentra directamente relacionado con la porosidad de

acuerdo a la relación de potencia siguiente

'µβφ −=F (3.45)

El exponente de esta ley es cercano a 2 en la mayoría de los materiales porosos, sin

embargo no es de carácter universal. Más aún, cuando no se considera el efecto del umbral de

percolación en esta expresión el exponente de esta relación en un mismo material puede variar

desde un rango de alta porosidad, medio diluido, a un rango de baja porosidad o compacto. El

valor experimental observado del exponente de esta relación es consistente con el mecanismo

de compactación propuesto por Wong et al. (1984) que revisamos a continuación. Según este

modelo, los medios porosos se compactan de acuerdo a una sucesión de pasos de reducción de

los poros, proporcional al tamaño actual de éstos, que son escogidos aleatoriamente.

Capilares en paralelo

Consideremos el modelo de capilares cilíndricos paralelos de tamaño distribuido para

estudiar la relación entre el factor de forma y la porosidad al aplicar el mecanismo de

compactación propuesto. Si se elige aleatoriamente uno de los N conductos y se encoge, su

radio sufre la siguiente transformación

)()1( ki

ki xrr =+ (3.46)


Como la conductancia eléctrica del capilar depende de la segunda potencia de su radio, se

reduce según un factor x2, esto es,

)(2)1( kei

kei gxg =+

(3.47)

La probabilidad de que este capilar sea encogido n veces luego de M reducciones

aleatorias sobre elementos de la red se encuentra dada por una distribución binomial

( )

nMn

NN

NnnMMnP

−

−

−=

11!!

!)( (3.48)

Así el radio más probable del capilar luego de M pasos de compactación es

MM

ni

nimpi N

xNrnPxrr ∑=

−+

==0

)0()0(,

1)( (3.49)

y la conductancia eléctrica observada de este capilar es

Mei

M

n

nei

empi N

xNgnPxgg

−+== ∑

=

1)(2

)0(

0

2)0(, (3.50)

Ahora, como los conductos están dispuestos en paralelo, la conductancia de la red es igual a la

suma de las conductancias de los capilares, y estas últimas igual a su valor más probable luego

de M etapas de reducción,

M

ii

eM

ei

empie N

xNrl

NNxNgNgNg

−+=

−+==

11 22)0(

*2)0(

,πσ (3.51)


La relación macroscópica entre la conductancia y la conductividad del medio es

LA

g ee

σ= (3.52)

Luego, de la comparación de las Ecuaciones (3.51) y (3.52) el inverso del factor de formación

resulta

M

i

i

NxN

Al

rNL

F

−+=

11 22)0(π

. (3.53)

Por otro lado, la porosidad se encuentra relacionada con el promedio de los volúmenes

de los capilares,

2,

1

2,

mpii

N

iimpi

rAL

lNAL

lrπ

πφ ==

∑=

(3.54)

o sea,

M

ii

NxNr

ALlN

−+=

122)0(π

φ (3.55)

De este modo, en la red de capilares paralelos el exponente µ' de la relación de Archie es

unitario, ó, de otro modo, el factor de formación es proporcional a la porosidad en esta red de

capilares paralelos;

( ) 1ln

/1lnlím',

==∞→ φ

µ FMN (3.56)


La extensión de este desarrollo a la determinación de una expresión de permeabilidad

en un medio de capilares paralelos fue utilizada para interpretar cualitativamente los resultados

experimentales reportados por Seminario et al. (2002) sobre la evolución de la permeabilidad

en membranas de ultrafiltración que se bloquean debido a la oclusión progresiva de sus poros

(ver Seminario et al., 2002). La membrana puede ser modelada como un medio de capilares

paralelos cilíndricos con distribución de tamaños que evolucionan de acuerdo a un mecanismo

aleatorio de bloqueo de poros En este caso en cada paso de compactación la conductancia

hidráulica del poro se reduce según un factor x4

)(4)1( khi

khi gxg =+ (3.57)

La probabilidad de un capilar de ser encogido n veces de M compactaciones en una

población de N elementos se encuentra dada por la probabilidad (3.48). Así el valor esperado

de conductancia hidráulica de este capilar en esta etapa de la oclusión de la membrana es

Mhi

M

n

nhi

hmpi N

xNgnPxgg

−+== ∑

=

1)(4

)0(

0

4)0(, (3.58)

La conductancia hidráulica de esta red corresponde a la suma de las conductancias

hidráulicas de capilares observadas

M

ii

Mhi

hmpih N

xNrl

NNxNggNg

−+=

−+==

18

1 44)0(

4)0(

, µπ (3.59)

O de otro modo, la conductancia hidráulica de la red infinita escala con el promedio de las

cuartas potencias de los radios observados luego de un gran número de etapas de

compactación.


De acuerdo a la ley de Darcy, la permeabilidad hidráulica de esta red y la conductancia

de la red se relacionan mediante

ALgk h=

µ (3.60)

Luego la expresión de la permeabilidad en la membrana es

M

i

i

NxN

Al

rNLk

−+=

18

44)0(π (3.61)

Como la porosidad es dada por la Ecuación (3.55), el exponente µ” de la ley de potencia"µαφ=k en la red de capilares paralelos es

( )[ ]( )[ ]

22

4

2

4

111

/11ln/11lnlím" x

xx

NxNx

N+=

−−

=−+−+

=∞→

µ (3.62)

Una forma simple de expresar la relación de permeabilidad de acuerdo a este resultado es

( ) 2100 // xkk += φφ (3.63)

donde 0k y 0φ son un par permeabilidad-porosidad conocido. Cabe destacar, que en esta red

de conectividad infinita el escalamiento es único en todo el rango de porosidad debido a que la

porosidad de percolación es nula.

En resumen, la aplicación del análisis presentado a todas las propiedades

macroscópicas del modelo de capilares paralelos que se compacta de acuerdo al mecanismo

de Wong et al. (1984) resulta en las siguientes leyes de escalamiento (Seminario et al., 2002)


41 ~~2

ix rk +φ

21 ~~ irF φ−

2124 ~x

ii rr+

2

~2

42 x

i

ic r

rl φ=

Fl

k c2

~

(3.64)

La última relación de la Ecuación (3.64) permite establecer una consistencia entre el

escalamiento universal de las propiedades de transporte de percolación de una red de

conectividad infinita (poros en paralelo) y el caso extremo de compactación de este modelo,

cuando x = 0, que corresponde a un mecanismo de bloqueo aleatorio de poros, ya que la

permeabilidad escala como el inverso del factor de formación, o como la conductividad

eléctrica de la red.

φσ ~~ ke(3.65)

En el otro extremo, x → 1, que corresponde a una compactación reversible, la longitud

característica del medio está directamente relacionada con la porosidad del medio.

Capilares en serie

En una red de capilares dispuestos en serie la conductancia de la red es igual a la suma

de los inversos de las conductancias (resistencias) de los capilares;

M

ei

M

n

nei

N

iei

e NxN

gNnPx

gN

gg

−+===

−

=

−

=

− ∑∑ 11)(11 2

)0(0

2)0(

1

1 (3.66)


Como la expresión de porosidad es la misma que en el caso anterior, entonces el

exponente µ' en este caso resulta;

( )[ ]( )[ ] 22

2

2

2 11

1/11ln/11lnlím

ln)/1ln(lím'

xxx

NxNxF

NN=

−−

=−+−+

−==−−

∞→∞→ φµ (3.67)

El factor de compactación x pertenece al dominio [ [1,0 , esto implica que en una red de

capilares dispuestos en serie el exponente µ' se encuentra comprendido en el rango ] [∞,1 . Este

resultado entrega una noción del exponente de la conductividad eléctrica de un medio poroso,

pues se desprende que la cota inferior es 1 tanto para medios de conectividad infinita (poros

paralelos) como para medios de conectividad mínima (poros en serie).

Para poros en serie es fácil demostrar que la permeabilidad y la porosidad se relacionan

como (Wong et al., 1984)

"~ µφk (3.68)

donde ( )1''" += µµµ y 2/1' x=µ . Alternativamente

( ) "00 /~/ µφφkk (3.69)

donde 0k y 0φ son un par permeabilidad-porosidad conocido.

En resumen, la aplicación del análisis presentado a todas las propiedades

macroscópicas del modelo de capilares en serie que se compacta de acuerdo al mecanismo de

Wong et al. (1984) resulta en las siguientes leyes de escalamiento


)1/1(/1 22

~ +xxk φ2/11 ~ xF φ−

)/12(/12 22

~ xxcl

+φ

Fl

k c2

~

(3.70)

La expresión para cl no es analítica, se deriva del afán de relacionar k y F como indica la

última expresión de la Ecuación (3.70).

Redes de poros

Para redes regulares de poros en 2, 3, 4 y 5 dimensiones Wong et al. (1984) han

demostrado en forma numérica que los exponentes 'µ y "µ se encuentran comprendidos entre

los límites superior, poros en serie, e inferior, poros en paralelo. Adicionalmente, Wong et al.

(1984) mostraron que para dimensiones mayores y en el límite termodinámico de N, M y N/M

tendiendo a infinito, ( )1/ln' 22 −= xxµ y '2" µµ = . Así, para una red de poros de dimensión

infinita que se compacta de acuerdo al mecanismo de Wong et al. (1984)

Fl

k c2

~ (3.71)

Siempre que

'32 ~ µφcl (3.72)

De nuevo, la expresión para cl no es analítica, sino que resulta definida indirectamente bajo la

suposición de la validez de la Ecuación (3.71).


Un camino alternativo para demostrar que el modelo de Wong et al. (1984)

efectivamente conduce a la Ecuación (3.93) es el de campo medio aplicado, más arriba, a una

red tridimensional de capilares interconectados y con tamaño distribuido.

Primero encontremos F para el modelo de compactación de capilares de Wong et al.

(1984). En tres dimensiones, reemplazando la red regular de poros de tamaño distribuido por

un medio efectivo constituido por N×N×N bloques idénticos de tamaño característico gl , el

tamaño de granos, y volumen 3gl . Cada bloque posee un capilar de longitud gl y radio mpr en

cada dirección principal de la red. Utilizando la Ecuación (3.42) para el factor de formación se

obtiene

2

2

mp

g

rl

Fπ

= (3.73)

Considerando la geometría del medio efectivo, se puede escribir para la porosidad,

Frr

Fr

r

mp

ms

mp

i 1~1~ 2

2

2

2

φ (3.74)

Es decir, la ley de Archie del modelo de compactación de capilares resulta del contraste entre

el radio más probable de la distribución de poros original, mpr , que domina la conductividad

eléctrica y la permeabilidad de la red de poros, y el radio cuadrático medio, rms, que domina la

porosidad. Finalmente, utilizando la ecuación de Darcy, se obtiene para la permeabilidad

Fr

k mp

8

2

= (3.75)

Esta ecuación es idéntica a la Ecuación (3.71) si mpc rl ≡ .


Es importante señalar que las expresiones derivadas para la permeabilidad mediante el

modelo de compactación de capilares de Wong et al. (1984) son análogas a la ecuación de

Kozeny-Carman excepto por el factor 2/1 S , ver Ecuación (3.28). Este factor puede ser

insertado sobre la base de análisis dimensional dado que la permeabilidad tiene unidades de

longitud al cuadrado y ( )área/volumen/1 ≡S es una unidad natural de longitud de medios

porosos. Otras longitudes características son posibles de ser utilizadas. Incluso, el tamaño

característico de grano ha sido utilizado por algunos autores. Si se reemplaza la Ecuación

(3.73) en la Ecuación (3.75) se obtiene la relación

2

2

8 Fl

k g

π= (3.76)

Esta relación ha sido probada en muestras de esferas de vidrio fundidas con esferas de

diferente diámetro bd . Los datos que abarcan 5 décadas de permeabilidad muestran que

pueden ser representados muy bien por la ecuación (Wong, 1994)

2

2

76Fdk b≈ (3.77)

consistente con la Ecuación (3.76).


3.3 Análisis de trayectoria crítica, teoría de percolación y permeabilidad

3.3.1 Análisis de trayectoria crítica

Ambegaokar, Halperin y Langer (1971), AHL en adelante, demostraron en un estudio

de flujo en semiconductores que el transporte en sistemas aleatorios de conductancias

distribuidas es controlada por aquellas conductancias de magnitud superior a un valor

característico cg . La conductancia crítica, cg , corresponde al valor máximo que permite la

existencia de un racimo de conductores conexos, o racimo infinito, para un conjunto de

conductancias {g| g > cg }. El transporte en este sistema se reduce a un problema de

percolación con un umbral crítico cg . Kirkpatrick (1979) y Shante (1977) extendieron estas

ideas asignando el valor de conductancia crítico a todas las conductancias locales de valor

superior a cg y conductancia nula a todos los elementos restantes de la red. Para la

conductancia de la red utilizaron una solución de prueba basada en las leyes de escalamiento

del fenómeno de percolación

( ) pccc pgpagg µ−= )( (3.78)

esta función presenta un máximo para un valor de cg determinado. El término p( cg )

corresponde a la fracción de conductores en la red de valor superior o igual a cg . En redes

percolativas tridimensionales el exponente de conductancia pµ es cercano a 2 (Fisch y Harris,

1978).


3.3.2 Modelo de Katz y Thompson

Katz y Thompson (1986) aplicaron el mismo enfoque basado en análisis de trayectoria

crítica y percolación a la estimación de la permeabilidad en rocas porosas.

La conductancia es función de la magnitud de los poros. En un medio consolidado las

conductancias eléctricas de conductos cilíndricos que representan poros quedan definidas por

la relación lcg eei = , y las conductancias hidrodinámicas 3lcg h

hi = (Aquí es necesario

recordar que en el caso de las redes estudiadas en este trabajo, que mejor representan

materiales no consolidados, las conductancias son 2lcg eei = y 4lcg h

hi = . La longitud l que se

pierde en el caso de materiales consolidados se debe a que el diámetro de los poros, que es del

orden de magnitud del largo, decrece en la misma proporción que el largo a medida que el

material es compactado). Esto implica que el valor de conductancia crítica cg se encuentra

asociado a una longitud característica del medio que corresponde al diámetro del conducto

crítico cl .

Al igual que en el enfoque de AHL, Katz y Thompson (1986) proponen una función de

prueba para la conductancia efectiva de la red, esto es,

( ) pcc

ef plplglg µφ −= )()()( (3.79)

Esta función depende de la longitud l y presenta un máximo para un valor lmáx. El máximo de

la conductancia efectiva se origina por la competencia entre el aumento de la fracción de

capilares de diámetro superior a l y la disminución de la conductancia de decoración ( )lgc al

disminuir el diámetro l.

Como la función de prueba en la Ecuación (3.79) establece un límite inferior a la

conductancia medida en rocas (Katz y Thompson, 1986), el valor de longitud que maximiza


esta función lmáx corresponde a la mejor elección de l en la predicción de las propiedades de

transporte. En general, el valor de longitud que maximiza la conductancia eléctrica es

diferente al valor que produce el máximo en conductancia hidrodinámica, ya que los caminos

de flujo en ambos fenómenos son ponderados de diferente manera.

Ahora, las longitudes que maximizan las conductancias, eléctrica e hidrodinámica, de

la red escalan de manera distinta con la longitud característica del medio, sin embargo, es

posible relacionar ambas cantidades en forma aproximada a partir de una expansión de

segundo orden de las expresiones de conductancia alrededor de cl , esto es,

++−=

)('/)("11máx

ccpcp

pc

e

lplplll

µµµ

(3.80)

++−=

)('/)("31máx

ccpcp

pc

h

lplplll

µµµ

(3.81)

Estas relaciones se simplifican notablemente dado que en la mayoría de los medios

porosos se satisface la siguiente aproximación,

0)('

)("≈

c

cpc

lplpl µ

(3.82)

Luego, las relaciones entre las longitudes que maximizan las propiedades de transporte

del medio y la longitud crítica se reducen a

cp

pc

e lll31

11máx ≈

+−=

µµ

(3.83)


cp

pc

h lll53

31máx ≈

+−=

µµ

(3.84)

De acuerdo a la relación entre la conductancia efectiva de la red y su conductividad (la

propiedad de transporte macroscópica), las expresiones para la conductividad eléctrica y para

la permeabilidad son respectivamente,

( ) p

ce

ee plp µ

φασ −= )( máx (3.85)

( ) ( ) p

chh

h plplk µφα −= )( máx

2máx (3.86)

donde la constante αe corresponde a la conductividad del fluido conductor eléctrico que satura

el medio poroso, *eσ , y αh es igual a 1/32 (Landau y Lifshitz, 1959).

Si se realiza una expansión de primer orden de la probabilidad de percolación

alrededor de la longitud crítica se encuentra que

)('32))((')( máxmáx cc

ecc

e lplllpplp =−−=−

)('52))((')( máxmáx cc

hcc

h lplllpplp =−−=−

(3.87)

Al reemplazar las constantes α y β y reemplazar la Ecuación (3.87) en las Ecuaciones

(3.85) y (3.86) resulta simple relacionar la permeabilidad con la conductividad eléctrica por

comparación, esto es,

Fl

lk c

e

ec

2

*2 ~~σσ

(3.88)


La relación de permeabilidad deducida presenta un carácter mucho más general que las

desarrolladas anteriormente porque no se encuentra restringida a un arreglo particular de los

capilares del medio poroso. Otro aspecto interesante es que a pesar de la complejidad que

puede presentar un modelo de espacio poroso, la relación permeabilidad-conductividad

eléctrica conserva la forma general deducida en los modelos más simples. La longitud

característica de esta relación encierra toda la complejidad del medio en una variable que

puede ser determinada experimentalmente o que puede ser inferida indirectamente a partir de

la distribución de tamaño de poros. En la siguiente sección se define más detalladamente la

forma de determinar esta longitud crítica y otras que han sido propuestas posteriormente en

literatura.

3.3.3 Longitudes características

Sobre la base de la relación propuesta por Katz y Thompson (1986), y los trabajos de

Scheidegger (1974) y de Johnson et al. (1986), Martys y Garboczy (1992) estudian el efecto

de utilizar distintas definiciones de la longitud característica lc en la Ecuación (3.88) mediante

simulaciones de flujo en medios porosos representados mediante un arreglo bidimensional de

obstáculos circulares de tamaño y disposición aleatoria.

La más simple de estas longitudes se basa en la definición de radio hidráulico, que es la

longitud utilizada en la ecuación de Kozeny-Carman (Scheidegger, 1974). Esta longitud,

denominada longitud hidráulica, corresponde a un múltiplo del inverso de la superficie

específica del espacio poroso, esto es,

pS

pV

h Sd

Vd

l

p

p

∫

∫= (3.89)


Otra longitud que caracteriza un espacio poroso es definida a través de un experimento

de conducción eléctrica a través de un medio poroso inundado por fluido conductor (Johnson

et al., 1986). Esta longitud corresponde a la razón entre el volumen y la superficie de los poros

ponderados por el cuadrado del campo eléctrico que se establece bajo las condiciones de flujo

eléctrico, esto es,

∫

∫∆

∆

=Λ

p

p

Sp

Vp

dSV

dVV

2

2

(3.90)

Según Martys y Garboczy (1992) esta definición mejora la capacidad de predicción de

la Ecuación (3.88) ya que Λ pondera con mayor peso el volumen y la superficie de los poros

de mayor tamaño y accesibilidad que son los que aportan significativamente al transporte.

Otra longitud característica se deriva del trabajo de Wong et al. (1984). Se trata del

diámetro de poro más probable ( mpr2 ) de la distribución de tamaño de poros. Sin embargo,

esta longitud no parece bien definida para medios con distribuciones de tamaño de poros que

evolucionan, por ejemplo por compactación, generando nuevos modos en la distribución y don

y cuyas propiedades macroscópicas quedan determinadas por estos nuevos modos. No existe

en la literatura un estudio sistemático de esta longitud característica. En este trabajo tampoco

se explora en mayor detalle.

Por último, la longitud crítica, utilizada en el trabajo de Katz y Thompson (1986), se

basa en el análisis de trayectoria crítica y está definida a partir de un experimento de inyección

de un fluido eléctrico no mojante a presión controlada. Inicialmente el fluido a baja presión

inunda los poros accesibles de mayor tamaño. Las zonas conectadas a través de poros más

pequeños, que aportan en menor grado a las propiedades de transporte, son inundadas a

presiones más elevadas. La presión capilar necesaria para invadir un poro cilíndrico se

encuentra relacionada con su diámetro mediante la ecuación de Laplace


dPc

θγ cos4= (3.91)

Luego, la presión que permite la formación de un camino continuo conductor a través

del medio define un tamaño crítico de poro que es una longitud característica de este medio

)( *cc Pdl = (3.92)

Experimentalmente, la presión capilar que permite la conectividad del fluido invasor a

lo largo de toda la red se determina mediante mediciones de conductividad, de este modo, el

estado crítico queda bien definido, ya que antes de alcanzar la presión crítica la conductividad

es nula y finita una vez que el fluido atraviesa el medio. El tamaño del poro crítico es

calculado con la Ecuación (3.91) a la presión crítica. La Figura 3.6 muestra el poro crítico al

momento de formar el racimo infinito de fluido no mojante en una red cuadrada.

En una curva de saturación se observa que la presión capilar crítica se ubica en uno de

los puntos de inflexión de la curva (ver Figura 3.7). Más adelante se establece la conexión que

guarda la posición del punto crítico a una porosidad determinada con el régimen de

conducción en que se encuentra el medio a esa porosidad.

En este trabajo se realiza un seguimiento a la evolución de todas estas longitudes

mediante la simulación de los experimentos antes descritos y el cálculo de estas cantidades en

cada etapa de compactación de redes de poros.


Figura 3.6 Patrón de flujo en un experimento de porosimetría en una red cuadrada de 380×380 nodos.La imagen muestra el momento exacto en que el fluido invasor alcanza la presión necesaria para formarun racimo que atraviesa la red de arriba a abajo. El medio corresponde a una red decorada con unadistribución de radios inicial uniforme U(1,2) que fue sometido a una alta compactación, 3.0=x , hastauna porosidad normalizada de 0.6. El círculo negro indica la posición del poro crítico en la red.

Los diferentes tonos de gris indican rangos diferentes de presión capilar.


Figura 3.7 Curva de presión capilar de un experimento simulado de porosimetría en la red de la Figura3.6. El círculo blanco en la curva corresponde al punto en que el fluido invasor atraviesa la red, es

decir, el estado que define la longitud característica del medio.


3.4 Resumen

En este capítulo se ha revisado el flujo monofásico en materiales porosos y las

diferentes relaciones que se han propuesto para la determinación de la permeabilidad. La

atención se centra en flujos de interés práctico, esto es, flujos a bajo número de Reynolds. En

el capítulo se han discutido ideas y conceptos de flujo a escala de segmentos de poro,

especialmente teoría de percolación, que serán utilizadas posteriormente en el marco de esta

tesis para predecir permeabilidad y conductividad eléctrica de materiales porosos. La revisión

de teorías ha incluido la solución analítica de modelos de redes simples, la solución

aproximada de modelos más complejos basados en teoría de percolación, leyes de

escalamiento, campo medio y longitudes características. Los modelos revisados incluyen casos

con conectividad extrema, esto es, el ensamble de poros paralelos que exhibe conectividad

infinita, y el ensamble de poros en serie que exhibe conectividad mínima igual a dos, y redes

cúbicas tridimensionales. Con especial detalle se analiza la evolución de propiedades de estos

modelos cuando se someten a compactación. La mayor parte de este análisis es original y

constituye un aporte de este trabajo de tesis. Especial atención se presta a longitudes

características que fijan la escala de la permeabilidad y a posibles relaciones entre la

permeabilidad y la porosidad y entre la permeabilidad y la conductividad eléctrica. En el

siguiente capítulo se revisan los métodos para estimar permeabilidad basados en redes de

poros, que no necesariamente conducen a una relación cerrada para la permeabilidad en

términos de las propiedades de la red.

Capítulo 4

Permeabilidad de Medios Porosos: Métodosde Estimación Basados en Redes de Poros

En este capítulo se revisa la simulación de flujo monofásico en materiales porosos

representados como redes de poros y la determinación de las propiedades de transporte en

éstas, especialmente la permeabilidad y la conductividad eléctrica. La atención se centra en

flujos a bajo número de Reynolds. Los métodos revisados incluyen simulación de Monte

Carlo, campo medio y renormalización. La revisión en este capítulo se limita a conceptos

generales y a variantes de cada uno de los métodos.

Permeabilidad de Medios Porosos: Métodos de Estimación Basados en Redes de Poros 68

4.1 Simulación de Monte Carlo en redes de poros

Como se mencionó en el capítulo de Motivación, gran parte de la comprensión actual

de flujo y transporte en materiales porosos se debe a estudios numéricos mediante simulación

de Monte Carlo en redes de poros. Esta forma de enfrentar el problema tiene dos

características esenciales. Primero, permite una idealización de la geometría compleja del

material poroso, reduciéndolo a gargantas y cuerpos de poro, manteniendo algún grado del

desorden propio de los espacios porosos reales. Segundo, el uso de redes de poros de

geometría simple permite sustituir la integración de las ecuaciones de Navier-Stokes por

soluciones en geometrías simples, como flujo Poiseuille en ductos cilíndricos.

4.1.1 Representación del espacio poroso

En la simulación de flujo en materiales porosos es necesario adoptar una

representación simplificada del espacio poroso que capture las variables más relevantes que

inciden en la distribución de flujo y que determinan las propiedades de transporte. Estas

variables son la conectividad del espacio poroso y la diversidad de tamaño y forma de los

poros que lo conforman. El modelo de red permite incluir todas estas características en forma

sencilla.

El modelo de red consiste en reconocer las siguientes propiedades de un medio: (1) la

topología del espacio poroso real o de una simplificación, este proceso conduce a un esqueleto

o red subyacente de nodos y enlaces, y (2) la heterogeneidad de tamaños y formas de los

cuerpos y gargantas de poro, proceso conocido como decoración de la red subyacente. En

otras palabras la selección del modelo de red implica determinar las conexiones, distribución

de tamaño y forma de los poros y luego asignar, de manera estadística equivalente, estas

propiedades a una red de enlaces y nodos.


La Figura 4.1 ilustra el método de obtención de la red subyacente de un material

poroso real. Mediante resonancia magnética nuclear se obtiene una imagen digital del espacio

poroso (representada en color obscuro en la Figura 4.1a), la información de la imagen

almacenada en forma binaria es transformada en la red equivalente mediante un algoritmo

capaz de reconocer los poros de la red y su conectividad. Si bien el estudio de flujo en un

medio poroso tan complejo como el que se muestra en la Figura 4.1 se puede llevar a cabo, en

la práctica no es necesario incluir todo el grado de detalle que muestra la figura. Una de las

simplificaciones más importantes es que en materia de flujo en medios porosos lo importante

es la conectividad media del material y no la distribución de conectividad. Esto ha sido

demostrado ampliamente recurriendo a experimentos computacionales de flujo en medios

porosos con conectividad distribuida y en medios porosos con la media de la distribución de

conectividad. Los resultados son idénticos dentro del error de muestreo estadístico. De aquí la

popularidad de las redes regulares como modelos de espacios porosos reales.

(a) (b)

Figura 4.1 (a) Imagen RMN del espacio poroso de una Arena del Mar del Norte. (b) Red subyacente.


En tres dimensiones la red comúnmente utilizada es la cúbica con conectividad 6, ver

Figura 3.5. Esta misma red puede servir como red subyacente para medios porosos con menor

conectividad; simplemente basta con eliminar enlaces en forma estadística para terminar con

valores de conectividad intermedios entre 2 y 6. La red cúbica también sirve en casos de

conectividad mayor a 6; basta con agregar tantos enlaces diagonales como sea necesario entre

nodos vecinos más lejanos, por ejemplo entre segundos vecinos, lo que permite alcanzar

conectividades mayores a 10. No obstante, la red cúbica es preferida simplemente porque la

mayoría de los materiales porosos reales tienen una conectividad promedio cercana a 6 o

menor. El estudio de flujo en medios porosos también se ha beneficiado de simulaciones en

redes regulares bidimensionales; algunos ejemplos se muestran en la Figura 4.2.

Otra red subyacente ampliamente utilizada, especialmente en los 1980, es la red, en

realidad árbol, de Bethe (ver Figura 2.1). El árbol de Bethe resulta muy atractivo porque

permite resolver analíticamente todas las propiedades de percolación, incluida la

permeabilidad.

En menor grado se han empleado redes irregulares en la búsqueda de representaciones

más acabadas del espacio poroso. En la Figura 4.3 se muestran algunos ejemplos de estas

redes. El uso de redes irregulares se justifica hasta ahora sólo en comparaciones con redes

regulares para demostrar precisamente que una red irregular con distribución de conectividad

puede ser reemplazada por una red regular con la conectividad promedio. Los resultados

indican que dos materiales, de tamaño superior a la longitud de correlación, que poseen la

misma distribución de elementos de conductancia y la misma conectividad promedio poseen

prácticamente el mismo valor de sus propiedades de transporte.

La elección del índice de coordinación de la red en una simulación no es trivial. La

conectividad promedio de un material poroso es un parámetro de gran incidencia en la

predicción de las propiedades de transporte.


Figura 4.2 Redes regulares bidimensionales. De izquierda a derecha red Honeycomb, red cuadrada, redKagomé y red triangular.

Figura 4.3 Redes irregulares. A la izquierda red Voronoi, a la derecha triangulación Delaunay.

Para lograr una representación adecuada del espacio poroso resulta imprescindible

disponer de técnicas para la estimación de la conectividad. Una alternativa para determinar

este parámetro es a través de métodos sofisticados basados en análisis de imágenes y

reconstrucción tridimensional como el descrito anteriormente, otra forma, experimentalmente

más simple, es inferir esta cantidad a partir de un experimento de porosimetría, esto es, la

inyección forzada de un fluido no mojante en el espacio poroso. Las curvas de saturación de

un experimento de porosimetría a presión controlada muestran sensibilidad a la conectividad

promedio del medio. El método para la estimación de la conectividad se basa en el


desplazamiento observado en las curvas de porosimetría de dos materiales que tienen la misma

distribución de conductancias pero distinta conectividad. La medición es indirecta y consiste

en establecer la relación entre la conectividad de la red y el desplazamiento de la curva de

saturación con respecto a una curva de referencia de conectividad. Esta curva de referencia se

determina mediante simulaciones Monte Carlo del experimento de porosimetría en redes que

posean la misma distribución de condutancias que el medio real.

En la Figura 4.4 se muestran curvas de saturación obtenidas mediante simulación del

experimento de porosimetría en redes bidimensionales para distintos valores de conectividad

promedio ( z = 2, 3, 4, 5 y 6).

Figura 4.4 Curvas de saturación ( )nwS o presión capilar ( )cP de fluido no mojante (nw) para unexperimento de porosimetría simulado en redes de poros de 50×50×50 nodos y distribución de radio de

conductos uniforme U(1, 2) para distintos valores de conectividad media, z = 2, 3, 4, 5 y 6.


4.1.2 Definición de conductancia de poro

El siguiente paso es la definición de la conductancia individual de los enlaces que

conforman la red. En forma general, en un conductor i, el flujo genérico iJ y el diferencial

impulsor iϕ∆ se relacionan a través de la conductancia ig como

iii gJ ϕ∆= (4.1)

La ley de flujo eléctrico de Ohm, la ley de la difusión de Fick, la ley de conducción de

calor de Fourier y la ley de Hagen-Poiseuille para flujo hidráulico son expresiones de esta ley

de transporte de primer orden.

Para un conductor cilíndrico de largo il y área de sección transversal iA , el flujo

eléctrico queda definido por la ley de transporte de Ohm, esto es,

iei

i

ii

eii Vg

lV

AI ∆=∆

= σ , i

iei l

rg

2υπ=

(4.2)

donde υ es la conductibilidad de los electrones libres en el conductor, el flujo hidráulico

incompresible en régimen laminar queda definido por la ecuación de Hagen-Poiseuille, esto

es,

ihi

i

ii

hii Pg

lPAQ ∆=

∆= σ ,

i

ihi l

rg

µπ8

4

=(4.3)

donde µ es la viscosidad del fluido. En ambos casos la conductividad del enlace es una

propiedad que depende de la geometría y de las propiedades del fluido conductor.


Un elemento de la red puede ser considerado como un medio conductor homogéneo

donde la conductividad no varía espacialmente. El conjunto total de conductores dispuestos en

la red conforma un medio conductor macroscópico heterogéneo que obedece la ecuación

general de transporte del mismo modo que las partes que lo componen.

Es posible y simple implementar simulaciones en redes con conductos de formas más

complejas cuando la expresión analítica de la conductancia y del volumen de la geometría

escogida es conocida. Patzek y Silin (2001) desarrollaron expresiones para conductancias en

flujo monofásico y bifásico en capilares de sección no-circular; triangular, elíptica y

rectangular. La conductancia es deducida a partir del perfil de velocidades, iv , en el capilar,

ihiiii PgAvQ ∆== (4.4)

donde iQ es el caudal volumétrico y iP∆ el diferencial de presión aplicado. El perfil de

velocidades se obtiene de la solución de la ecuación elíptica de Poisson, combinación de las

ecuaciones de continuidad y de Navier-Stokes, en cada una de las geometrías usando una

condición de contorno de no-deslizamiento, esto es,

ii Pv ∇=∇µ12

0),( 21 =xxvi , sxx Γ∈∀ 21 ,

(4.5)

El método de resolución analítica de estas ecuaciones se obtiene mediante una transformación

al plano complejo de las coordenadas espaciales, método conocido como mapeo conforme.

Las expresiones de conductancias para diversas geometrías de poros deducidas por Patzek y

Silin (2001) se resumen en la Tabla 4.1.


Tabla 4.1 Expresiones analíticas de conduntancias en capilares de diversa forma.

Capilar Sección Conductancia hidráulica, gh

Planarl

aµ2

3

Elipsoidal( ) lba

baµ

π22

33

4 +

Circularl

aµ

π8

4

Triangular

+

+

≈

2cot

2cot

2cot

203 321

4 βββµlr

213 ββπβ −−=

Rectangular ( )[ ]( ) ( ) lba

banntanh

n µπε

επε 2

33

055

2 412

2/12643111

+

+−

−

+ ∑

∞

=

ba /=ε

Cuadradal

aµ

45623.0≈


Patzek y Silin (2001) relacionaron también la conductancia de capilares de sección

elíptica, rectangular y triangular con la conductancia de elementos de sección circular,

cuadrada y triangular equilátera, respectivamente, a través de la definición de un factor de

forma del conducto. Este parámetro se define como la superficie de la sección transversal del

conducto dividido por su perímetro (W),

WA

=ξ(4.6)

Mediante la introducción de este parámetro se demuestra que cuando la sección de un

conducto se deforma continuamente desde las formas ideales, por ejemplo, desde triángulo

equilátero a triángulo irregular, desde cuadrado a rectángulo o desde círculo a elipse, su

conductancia varía en forma prácticamente lineal con respecto al factor de forma en un amplio

rango, como muestra la Figura 4.5.

Figura 4.5 Conductancia adimensional vs factor de forma (Patzek y Silin, 2001).


La sensibilidad de las propiedades macroscópicas de transporte, como la

permeabilidad, a la forma de los conductos se encuentra actualmente en estudio. Para su efecto

en flujo bifásico el lector es referido a Bustos y Toledo (2002a,b,c,d). Cabe tener en cuenta

que si la variación de la forma de los conductos afecta linealmente la conductancia y el

volumen del conducto, entonces la relación entre la permeabilidad y la porosidad del medio

permanece inalterada.

4.1.3 Decoración de la red

Una vez establecida la topología y dimensionalidad de la red y la definición de la

forma y por tanto la conductancia de los elementos que la conforman, la descripción del

espacio poroso se completa mediante el proceso de “decoración”. Este proceso consiste en

asignar aleatoriamente valores de conductancias a los enlaces de la red de acuerdo a funciones

de distribución de tamaño. En esta sección se describe el método estocástico utilizado para

asignar valores de conductancias a los poros de la red.

Si se dispusiera de información detallada sobre el medio poroso, tal como la posición,

la forma y la conectividad de cada poro en la red sería posible decorar una red en forma

ordenada de modo que el modelo fuera una réplica determinística del medio real, sin embargo,

en sistemas desordenados compuestos de una gran cantidad de elementos, como la red de

poros que conforman un medio poroso real, el orden en que son asignadas las propiedades a

los elementos en la red no afecta la descripción macroscópica del sistema. La descripción

estadística del espacio poroso depende fundamentalmente de los parámetros de las funciones

de distribución de las propiedades microscópicas del sistema, por ejemplo el radio de los poros

o conductos. Esta información es relativamente fácil de obtener mediante técnicas no

destructivas como topografía de rayos X y resonancia nuclear magnética o mediante técnicas

destructivas, pero más asequibles, como porosimetría de mercurio y reconstrucción de

espacios tridimensionales a partir de imágenes seccionales.


La decoración de la red se basa en una técnica denominada muestreo de Monte Carlo.

Este consiste en producir un conjunto de valores que siguen una función de distribución

particular a partir de un generador de números aleatorios. El generador de números aleatorios

es un algoritmo que genera una secuencia uniforme de números en el intervalo [0,1]. En

términos estrictos, no existe un algoritmo finito que genere una distribución exactamente

uniforme, por este motivo es aconsejable estudiar previamente la calidad del generador de

números utilizado en una simulación. Moore (1953) diseñaron una serie de pruebas para

determinar la calidad de los generadores aleatorios, el criterio se basa fundamentalmente en la

magnitud del período de repetición de los números en la secuencia obtenida. En las

simulaciones desarrolladas en este trabajo se utilizó el generador multiplicativo congruencial

simple disponible en la librería de aplicaciones estadísticas IMSL y revisado por Learmonth y

Lewis (1973).

4.1.4 Determinación de la porosidad

La porosidad de un medio corresponde a la fracción de volumen ocupada por el

espacio poroso. En redes de poros es simple calcular estas cantidades en forma directa.

Experimentalmente, es algo más complejo determinarla debido principalmente a la presencia

de porosidad aislada o bien de regiones de poros que sólo conectan con la trama de poros

conductores a través de unos pocos poros de sección pequeña.

4.1.5 Determinación de las propiedades de transporte

La estimación de las propiedades de transporte de una red de poros puede llevarse a

cabo en forma exacta a partir de la solución numérica del campo de presiones y de la

distribución de flujo en la red. El método se conoce como simulación de Monte Carlo, por la

forma aleatoria como se distribuyen tamaños, y por ende conductancias, en la red de poros.


El método Monte Carlo consiste en determinar la solución del sistema lineal de

ecuaciones resultante de los balances de materia nodales en estado estacionario en la red de

poros. Los balances nodales en una red de N nodos conducen a un sistema lineal que posee la

forma bG =⋅ϕ , donde G es una matriz de conductancia de poros, ϕ el vector de potenciales

de nodo y b el vector posición, de magnitud determinada por la diferencia de potencial

impuesta sobre los contornos permeables de la red. En el transporte eléctrico los elementos de

G corresponden a la definición de conductancia eléctrica y el vector ϕ es el vector de voltaje

en los nodos V. En el transporte hidrodinámico los elementos de G contienen la definición de

conductancia hidráulica y el vector de potenciales ϕ corresponde al vector de presiones

nodales P.

En simulaciones de flujo en redes de poros que en la práctica son de tamaño infinito,

porque exigen al máximo la memoria del computador, es aconsejable utilizar condiciones de

contorno periódicas en las fronteras paralelas al flujo. El objetivo de esta elección es eliminar

el indeseable ‘efecto de borde’ que origina la condición de borde impermeable, esto es, la

perturbación que produce sobre el campo de flujo la abrupta discontinuidad de la conectividad

local en los contornos de la red. En términos prácticos el efecto de borde se minimiza

utilizando un mayor tamaño de red, promediando sobre una mayor cantidad de realizaciones o

bien utilizando una condición de borde periódica, que se ilustra artísticamente en la Figura 4.6.

La condición de borde periódica consiste en establecer continuidad de los bordes paralelos al

flujo conectando los nodos que se enfrentan

Figura 4.6 La cinta de Moebius es un ejemplo de una condición de medio periódico. La hormigacamina sobre una trayectoria ilimitada en un espacio periódico limitado. (Grabado de Escher).


Una vez almacenado el sistema de balances nodales para la red de poros, se calcula el

campo de potenciales de nodo mediante la solución iterativa del sistema de ecuaciones que

resulta. Generalmente se utiliza un método iterativo con relajación. El criterio de elección del

método normalmente es empírico. Se basa en comparar el número de iteraciones y el tiempo

necesario para alcanzar la convergencia con una cierta tolerancia ε , esto es,

εϕ <−⋅ bG (4.7)

Una vez resuelto el campo de potenciales se calculan las propiedades de transporte

mediante el uso de las leyes de transporte macróscopicas. En el caso del flujo hidrodinámico la

permeabilidad se calcula según la ecuación de Darcy, esto es,

PAQk∇

−=µ

(4.8)

Para calcular la conductividad de la red se sigue un procedimiento similar basado en la

analogía existente entre los diversos fenómenos de transporte. La conductividad eléctrica de la

red saturada con fluido conductor queda dada por la ley de Ohm,

VAIe

∇=σ

(4.9)


4.2 Teoría de medio efectivo

Las aproximaciones basadas en teoría de campo medio permiten calcular los

coeficientes globales de transporte de un medio heterogéneo a partir de la función de

distribución de conductancias de los elementos que lo componen. La estimación de

propiedades de transporte en un medio heterogéneo mediante campo medio, a diferencia de

Monte Carlo, prescinde de la solución rigurosa de las ecuaciones de conservación. El

postulado fundamental en que se basan estas aproximaciones es la existencia de un valor de

conductancia efectivo que anula el promedio de las desviaciones locales del campo originadas

por la heterogeneidad del material. Este valor permite reemplazar el medio heterogéneo por

uno homogéneo equivalente o medio efectivo. El medio efectivo posee las mismas

propiedades de transporte que el medio original y por lo tanto exhibe la misma respuesta

macroscópica a las perturbaciones externas que éste. La expresión exacta de la desviación

local del campo es desconocida en redes heterogéneas, existen, sin embargo, soluciones

analíticas aproximadas, en este capítulo se revisan dos; la aproximación de medio efectivo y la

aproximación de enlace simple.

4.2.1 Aproximación de medio efectivo (EMA)

La aproximación de medio efectivo (EMA, effective medium aproximation) fue

desarrollada por Bruggeman para abordar el problema de conducción en medios heterogéneos

continuos. La aplicación de un campo externo sobre un medio heterogéneo produce una

distribución local de éste sobre el medio cuyo promedio espacial es igual al campo aplicado

( apϕr ).

∫= rdrVT

ap3)(1 ϕϕ rr

(4.10)


Si el campo (ϕr ) se distribuye en el medio de acuerdo a la función de distribución de

conductancias se tiene la siguiente expresión equivalente:

∫= dggfap )(ϕϕ rr(4.11)

La aplicación de un campo externo ϕap sobre un medio desordenado induce

fluctuaciones locales del campo. De acuerdo a la teoría de campo medio estas fluctuaciones,

que son la diferencia entre el campo del medio real y del medio efectivo en una posición, son

independientes y poseen un promedio espacial nulo.

∫∞

=∆0

0)( dggfϕr (4.12)

Esta ecuación autoconsistente posee una solución única que corresponde al valor de

conductancia efectiva del medio.

Kirkpatrick (1973) desarrolló una expresión aproximada de las fluctuaciones locales

del campo, ϕ∆ , para una red regular con un índice de coordinación z y una distribución de

conductacias f(g).

( )12/ −+−

=∆zgg

ggef

ef

ϕ (4.13)

Esta expresión fue deducida utilizando argumentos de simetría y superposición que son

válidos en redes isotrópicas, es decir, redes que presentan la misma propiedad efectiva gef en

todas las direcciones. La ecuación autoconsistente (4.13) derivada de las Ecuaciones (4.11) y

(4.12), permite calcular la conductancia efectiva de una red de elementos aleatorios

distribuidos según una función de distribución f(g). El valor de la conductancia que anula el

promedio de las desviaciones locales del campo es la conductancia efectiva gef


,0)(

)(0

≡−

∫∞

dggS

gggfef

(4.14)

donde S(g) = g + gef(z/2-1) y z es el índice de coordinación de la red. Los resultados que se

obtienen mediante la aproximación de medio efectivo desarrollada por Kirkpatrick son

satisfactoriamente similares a los que se obtienen mediante simulaciones Monte Carlo,

excepto en las cercanías del umbral de percolación.

La Ecuación (4.14) provee una forma de determinar la conductancia efectiva de un

medio heterogéneo cuando se conoce su función de distribución de conductancias. A

continuación se presenta el método para una red regular decorada con una función de

distribución percolativa.

La ecuación autoconsistente que define la conductancia efectiva según EMA es

( ) 0)()(1)()(00

=∆−+−∆ ∫∫∞∞

dgggpdggggp δϕδϕ α (4.15)

Desarrollando las integrales en esta ecuación, se obtiene

( ) 0)(

1)(

=−

++

−zp

ggzgg

p ef

ef

ηη α

α (4.16)

Con 12/)( −= zzη una función que depende del índice de coordinación de la red. La

Ecuación (4.16) conduce a una ecuación lineal en efg cuya solución es

−−

=22

zzpgg ef

α (4.17)


Según EMA la conductividad efectiva de las redes regulares isotrópicas es una función

lineal de la fracción de conductores presente. Con este resultado podemos predecir el límite de

percolación de estas redes como el punto en que la conductividad de la red se anula gef = 0

zpc

2= (4.18)

De acuerdo a este resultado, el escalamiento crítico de las propiedades de transporte de

redes percolativas según EMA es,

( )1221

cef pp

zp

z

gg −=

−

−

= βα(4.19)

En este punto se nota la debilidad del método cerca de la transición de percolación, ya

que como sabemos de los resultados de simulaciones de Monte Carlo, el exponente crítico de

la conductividad no es unitario. Por otro lado, al comparar la probabilidad crítica de

percolación predicha por este método con los resultados más precisos que se dispone de

simulaciones de Monte Carlo se observan discrepancias en el caso de redes con índice de

coordinación distinto de 4. A modo de ejemplo, según EMA en la red cúbica simple (z = 6)

3333.0=cp mientras que el resultado Monte Carlo es 2488.0=cp . Sin embargo, en la red

cuadrada este resultado es exacto, más aún lejos de la zona crítica las predicciones de EMA y

Monte Carlo convergen a la misma solución.

Al respecto, existen otras aproximaciones que permiten una mejor estimación de los

coeficientes de transporte en la región crítica de percolación en redes tridimensionales. Una de

ellas es la aproximación del enlace simple.


4.2.2 Aproximación de enlace simple (SBA)

Ërdos y Haley (1975) determinaron una expresión para la fluctuación de conductividad

de una red al perturbar uno de sus enlaces. Esta expresión introduce un término correctivo en

la expresión desarrollada por Kirkpatrick. La aproximación del enlace simple (SBA, single

bond aproximation), permite obtener una estimación más exacta de las propiedades de

transporte efectivas en la zona crítica y se ajusta a los resultados de EMA en la región de alta

conductividad, esto es,

( ) ( ) efmlml

ef

gazgzagg+−+−

−⋅=∆

22)(ϕϕ (4.20)

El término correctivo aml es una función de la probabilidad de percolación p y se

calcula según la topología de la red que se utiliza mediante el uso de la función de Green

discreta,

( )( )m

lmlmllmla

,11,1

21,,1,1,1

21

℘−℘

℘+℘−℘−℘= ++ (4.21)

∫ ∏∞

=

−−=℘=℘

0 121 )(

21exp

21)..,,( dttItzmmm

d

imdij i

(4.22)

Con mI la función de Bessel modificada de orden m definida como,

( )∫=π

ϕϕϕπ 0

)cosexp(cos1)( dtmtI m (4.23)


En estas expresiones, ),...,( 21 dmmmm = denota la posición del nodo de

salida de corriente en la red y ( )dllll ...., 21= la posición del nodo perturbado en la red, ambas

con respecto al nodo de entrada de corriente ( )0...,0,01= .

La distancia de enlace del nodo perturbado respecto al nodo de entrada de corriente es

estimada según la correlación,

( ) 1)(11 −−=− pPl (4.24)

Para estudiar las diferencias entre la aproximación de medio efectivo convencional y la

aproximación de enlace simple consideremos el cálculo de la probabilidad crítica de

percolación en una red regular con índice de coordinación z decorada de acuerdo a la función

de distribución percolativa. En la aproximación SBA la ecuación autoconsistente que

determina la conductancia efectiva de la red efg se obtiene al imponer la anulación del

promedio de conductancias de los miembros del colectivo de redes aleatorias topológicamente

iguales decoradas según una función de distribución de conductancias particular,

( )( ) ( )

( )( ) ( ) 0

22)(

)1(22

)(

00

=−++−

−−+

−++−

−−∫∫∞∞

dggzagzaz

gggpdg

gzagzazgggg

pml

efml

ef

mlef

ml

ef δδ α (4.25)

Al desarrollar las integrales, la expresión que se obtiene para la conductividad efectivaefg de esta red es,

( )[ ]( )ppazgg mlef −−+−−= 11)(/211α

(4.26)

De acuerdo a SBA la conductividad efectiva presenta una dependencia no lineal en p ,

por la presencia del término )( paml . La probabilidad de percolación crítica en este caso es


mlCef azpg −=⇒= /20 (4.27)

El término mla es una función decreciente de la fracción de conductores, cuyo valor

máximo se alcanza en el punto crítico de percolación. Su funcionalidad varía según la

topología de cada red. La mejoría en los resultados obtenidos mediante SBA se debe

fundamentalmente al comportamiento creciente que presenta el factor corrector mla a medida

que la fracción de conductores se acerca a la probabilidad de percolación crítica. EMA es el

caso particular de esta aproximación cuando mla es nulo. La probabilidad crítica de

percolación en la red cúbica simple es

( ) 0564.02 11,1

21 =℘=→

−

∞ zaaml 277.0=⇒ cp (4.28)

que es un valor más exacto que la estimación basada en EMA ( 333.0=cp ).

La Figura 4.7 muestra una comparación de conductividad efectiva de una red cúbica

mediante EMA, SBA, REMA (campo medio aplicado a una red renormalizada) y Monte

Carlo. REMA y SBA, en menor grado, siguen los resultados rigurosos de Monte Carlo. La

metodología de cálculo de la aproximación de enlace simple, SBA, se muestra en detalle en el

Apéndice A.


Figura 4.7 Conductancia efectiva en una red cúbica simple mediante MC, EMA, SBA y REMA en concelda 2×2×2. La función de distribución de conductancias locales es binaria. El tamaño de red es de

50×50×50 nodos. (Los datos de REMA son de Sahimi et al., 1983).


4.3 Renormalización y grupo de renormalización de espacio real (PSRG)

El método de renormalización es otra forma de estimar las propiedades macroscópicas

de transporte de un medio heterogéneo prescindiendo de la solución rigurosa de las ecuaciones

de conservación. Una etapa de renormalización consiste en subdividir el medio en particiones

o celdas de menor tamaño. Cada celda posee una conductancia definida por las conductancias

de los elementos que contiene. El medio que se obtiene mediante este procedimiento, o medio

renormalizado, se encuentra conformado por nuevos elementos o celdas que, a escala

macroscópica, son consistentes con el medio original. De este modo, la repetición sucesiva de

etapas de renormalización resulta finalmente en un conductor único homogéneo de

conductancia prácticamente igual a la conductancia del medio heterogéneo. La Figura 4.8

ilustra estas ideas. Kadanoff (1966) aplicó este método en la deducción de la expresión de

energía libre de un ferromagneto representado como un arreglo regular de espines. Los pasos

de su desarrollo incluyen dividir el sistema en bloques de espines, considerar que cada bloque

representa una nueva unidad, calcular las interacciones efectivas entre los bloques, construir

una familia de hamiltonianos correspondientes a cada etapa de subdivisión y encontrar el

punto fijo del grupo de renormalización.

Cada etapa de renormalización produce una modificación en la decoración y el número

de elementos que lo conforman, es decir, el medio renormalizado presenta una nueva

distribución de conductancias. Esta nueva distribución, o distribución renormalizada, presenta

una dispersión menor que la distribución original. Sin embargo, la propiedad de transporte del

medio renormalizado es prácticamente la misma del medio original, esto es,

[ ] )()( gfgf nn →R (4.29)


(a) (b)

(c) (d)

Figura 4.8 Representación esquemática del método de renormalización. (a) El medio original esheterogéneo, presenta una distribución amplia de colores (o de propiedades de conducción). (b) En unaprimera etapa de renormalización se subdivide el espacio en celdas que contienen 2×2 elementos, ladistribución resultante es menos heterogénea que en a). (c) Segunda etapa de renormalización, se repiteel proceso sobre el medio en b). (d) En la última etapa de renormalización el medio es homogéneo y su

color (o propiedad de transporte) es representativo del medio heterogéneo original en a).

La Ecuación (4.29) define matemáticamente la afirmación anterior, la aplicación del

operador de renormalización R n veces sobre la distribución de la propiedad g original

produce su distribución en la enésima etapa de renormalización. En un medio infinito la

renormalización completa corresponde a un punto fijo del grupo de renormalización, esto es,

[ ] )()( efgggf −→∞ δR (4.30)


Así, la distribución de la propiedad g colapsa a un valor único e igual al valor efectivo de ésta

en el medio cuando la renormalización alcanza su punto estacionario.

Una alternativa a la renormalización del espacio resulta al utilizar este método en

combinación con la aproximación de medio efectivo (Sahimi et al., 1983, ver Figura 4.7). El

método, conocido como PSRG (position space renormalization group), consiste en realizar

una cantidad finita de etapas de renormalización hasta lograr una distribución de

conductancias de baja dispersión y luego establecer el valor de conductancia efectivo definido

por la ecuación autoconsistente de EMA,

∫∞

∞−

=∆ 0)()( dggfg nϕ (4.31)

Como se indicó anteriormente, una de las suposiciones realizadas en el desarrollo de la

expresión de las fluctuaciones del campo en la aproximación de medio efectivo es la

independencia de las fluctuaciones en el espacio, es decir, fluctuaciones no correlacionadas de

promedio espacial nulo en el medio efectivo. Esta suposición es válida sólo cuando estas

fluctuaciones son pequeñas, lo que no ocurre en medios que presentan una alta heterogeneidad

o en cualquier medio cerca de las condiciones críticas de flujo. Así el método PSRG corrige

precisamente las falencias de la aproximación de medio efectivo.


4.4 Resumen

En este capítulo se ha revisado la simulación de flujo monofásico en simplificaciones

de red de poros de materiales porosos y la determinación de las propiedades de transporte,

especialmente la permeabilidad y la conductividad eléctrica. Los métodos revisados incluyen

la simulación de Monte Carlo, campo medio y renormalización, que son precisamente los

seleccionados en este trabajo para determinar permeabilidad y conductividad eléctrica de redes

de poros y para explorar posibles relaciones entre estos dos parámetros y la porosidad. La

revisión aquí se limita a conceptos generales y a variantes de cada uno de los métodos; la

implementación particular utilizada en esta tesis es materia del siguiente capítulo.

Capítulo 5

Métodos de Estimación de Permeabilidad:Simulación Monte Carlo, Campo Medio yRenormalización

En este capítulo se presentan los algoritmos utilizados, y las estrategias de

implementación, para determinar la permeabilidad, la conductividad eléctrica y la longitud

característica de redes de poros deformables completamente saturadas de fluido. El fluido es

incompresible y fluye en estado estacionario en régimen laminar. Para estimar permeabilidad

y conductividad eléctrica se utiliza Simulación de Monte Carlo, Campo Medio y

Renormalización, para longitudes características se utiliza Monte Carlo. En este capítulo se

deducen también las expresiones utilizadas para estimar las propiedades macroscópicas de

redes de poros y los mecanismos de compactación utilizados en la simulación.

Métodos de Estimación de Permeabilidad: Simulación Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización 94

En términos generales, la simulación Monte Carlo de flujo en redes de poros,

desarrollada en esta tesis, comprende los siguientes pasos:

1. Representación del espacio poroso; se describe el proceso de representación del espacio

poroso mediante una red subyacente basándose en la conectividad y dimensionalidad que

presenta el medio real. En esta etapa se define también el tamaño de la red.

2. Decoración de la red; se presenta el método de muestreo de Monte Carlo que se utiliza

para “decorar” la red subyacente con características físicas, esto es, asignar forma y

tamaño a los elementos, poros, de la red de acuerdo a la distribución de tamaño de poros

del material.

3. Definición de propiedades de transporte de poros; se establece la relación entre las

propiedades geométricas de los poros con sus propiedades de transporte, esto es, se define

la conductancia del enlace para el fenómeno de transporte de interés.

4. Determinación de las propiedades macroscópicas de la red de poros; se presentan las

definiciones empleadas para calcular las propiedades bulto de la red; porosidad, volumen y

superficie del espacio poroso, y los métodos utilizados para estimar las propiedades de

transporte; permeabilidad, conductividad eléctrica y longitudes características definidas en

el Capítulo 3.

5. Evolución de las propiedades de la red de poros; se describe el mecanismo aleatorio de

reducción de tamaño de poros utilizado para simular el proceso de compactación de la red.

6. Actualización de la red de poros; en cada paso de compactación, la decoración y las

propiedades macroscópicas de la red cambian. Las propiedades bulto y de transporte de la

red se calculan en cada etapa volviendo al Paso 3. La secuencia se repite hasta un estado

de porosidad final definida en que la simulación termina.

Cada una de estas etapas es descrita en forma detallada en las siguientes secciones.


5.1 Representación del espacio poroso

Para la representación de espacios porosos en este trabajo se utiliza como red

subyacente la cuadrada con conectividad 4, en dos dimensiones, y la cúbica con conectividad

6, en tres dimensiones. En la red cuadrada los capilares son planos rectangulares de sección

constante. En la red cúbica los capilares son cilíndricos. En ambas redes los capilares poseen

la misma longitud pero distintas secciones, de valor acorde con una distribución de radios. La

Figura 5.1 muestra una representación gráfica de ambas redes.

i,j

rXi,j

rYi,j

Figura 5.1 Redes de poros utilizadas en simulaciones de flujo en medios porosos. Red cuadradabidimensional de conductos cilíndricos planos o rectangulares (izquierda), red cúbica simple

tridimensional de conductos cilíndricos (derecha).


5.2 Definición de conductancia de poro

El siguiente paso es la definición de la conductancia individual de los enlaces que

conforman la red. En forma general, en un conductor i, la densidad de flujo genérico

unidimensional ij y el gradiente impulsor iii l/ϕϕ ∆=∇ , donde il es el largo del conductor, se

relacionan a través de la conductividad iσ como

i

iii l

jϕ

σ∆

= (5.1)

Si la sección transversal iA del conductor es constante, entonces el flujo iJ queda

definido como

iii AjJ = (5.2)

y la ecuación de transporte adopta la siguiente forma,

i

iiii l

AJϕ

σ∆

= (5.3)

En esta ecuación aparece explícitamente la definición de conductancia, esto es,

i

iii l

Ag

σ= . (5.4)

De este modo, el flujo en un conductor i en términos de la conductancia es,

iii gJ ϕ∆= (5.5)


En el caso del flujo eléctrico a través de un conductor cilíndrico i de radio r la ley de

transporte de Ohm es,

iei

i

ii

eii Vg

lV

AI ∆=∆

= σ , i

iei l

rg

2υπ= (5.6a)

y para un conductor rectangular plano (para deducción el lector es remitido a Apéndice B)

iei

i

ii

eii Vg

lV

AI ∆=∆

= σ , i

iei l

rg υπ= (5.6b)

donde υ es la conductividad de los electrones libres en el conductor.

Para flujo hidráulico incompresible en régimen laminar a través de un conducto

cilíndrico i de radio r , la conductancia queda definida por la ecuación de Hagen-Poiseuille,

ihi

i

ii

hii Pg

lPAQ ∆=

∆= σ ,

i

ihi l

rg

µπ8

4

= (5.7a)

y para un rectangular plano (para deducción el lector es remitido a Apéndice B)

ihi

i

ii

hii Pg

lPAQ ∆=

∆= σ ,

i

ihi l

rgµπ2

3

= (5.7b)

donde µ es la viscosidad del fluido.

En ambos casos la conductancia del poro es una propiedad que depende de su

geometría y de las propiedades del fluido conductor.


Un elemento de la red puede ser considerado como un medio conductor homogéneo

donde la conductividad no varía espacialmente. El conjunto total de conductores dispuestos en

la red conforma un medio conductor macroscópico heterogéneo, que obedece la ecuación

general de transporte, del mismo modo que lo hacen las partes que lo componen. Conocida la

ley que gobierna el transporte a escala microscópica, es posible relacionar la propiedad de

transporte de la red con las propiedades de transporte de los elementos que la componen a

partir de la solución rigurosa de las leyes de conservación aplicadas a la red, o bien utilizando

alguna de las técnicas de homogeneización revisadas en el capítulo anterior, tales como

renormalización ó aproximación de medio efectivo.

De aquí en adelante se referirá como conductancia efectiva a la propiedad de transporte

del medio macroscópico, y como conductancia a la propiedad de transporte de los elementos

que conforman el medio heterogéneo.

En las simulaciones de flujo hidrodinámico presentadas en este trabajo se utilizan

conductos cilíndricos dispuestos en una red cúbica y conductos planos rectangulares

dispuestos en un arreglo cuadrado, para representar el espacio poroso en dos y tres

dimensiones respectivamente (ver Figura 5.1). La conductancia de los conductos rectangulares

se define a partir de la solución analítica de las ecuaciones de Navier-Stokes para el flujo

bidimensional entre dos líneas paralelas, utilizando una condición de no-deslizamiento en los

contornos. Es posible y simple implementar simulaciones con formas de conductos más

complejas cuando la expresión analítica de la conductancia y del volumen de la geometría de

poro escogida es conocida (ver Capítulo 4).


5.3 Decoración de la red subyacente

Una vez establecida la topología y dimensionalidad de la red y la definición de la

forma, y por tanto la conductancia, de los elementos que la conforman, la descripción del

espacio poroso se completa mediante un proceso de “decoración” de la red que consiste en

asignar aleatoriamente valores de conductancias a los enlaces de la red de acuerdo a funciones

de distribución de tamaño.

5.3.1 Algoritmo de decoración

El algoritmo de decoración de la red consiste en asignar valores de conductancia a los

poros de acuerdo una función de distribución de radios de poros, f(r). Para estudios

cuantitativos f(r) debe determinarse experimentalmente. En estudios cualitativos basta con

elegir una forma de la función de distribución f(r) representativa de medios porosos de una

clase interés. El paso de decoración se logra mediante el muestreo uniforme del dominio de la

función de distribución acumulada F(r) de f(r), el cálculo de la conductancia correspondiente

a cada uno de los números del muestreo y finalmente la asignación de las conductancias

calculadas a los enlaces de la red. Para ilustrar el procedimiento consideremos un ejemplo. Si

la función de densidad de probabilidad de un evento estocástico, como la ocurrencia de un

conducto de radio r en un medio poroso, es f(r), la probabilidad de que este radio sea menor

que r, está dada por la función de distribución acumulada

∫=r

dxxfrF0

)()( (5.8)

que es una función monótona creciente. Ahora si se elige un radio a con densidad de

probabilidad f(a), la probabilidad de encontrar conductos de radios superiores a a en el medio

poroso, F(a), es una variable aleatoria que ocurre con una densidad de probabilidad uniforme

comprendida en el intervalo [0,1]. Si escogemos un valor arbitrario de probabilidad u en este

intervalo,


)(rFu = (5.9)

entonces podemos encontrar un valor de radio único asociado a esta probabilidad como

)(1 uFr −= (5.10)

de este modo, si se muestrea el recorrido de la función de distribución acumulada F(r) con un

generador de números aleatorios, se obtiene una secuencia uniforme {ui} que puede ser

asociada en forma biunívoca con una secuencia de valores de radios {ri} que sigue la función

de distribución f(r) a partir de la Ecuación (5.10) (ver demostración de esta afirmación en el

Apéndice C). Finalmente, con la secuencia {ri} y la definición de conductancia, se calculan los

valores de conductancia {g(ri)} que son asignados en forma aleatoria a los elementos de la red

subyacente. Común es utilizar una función de distribución de tamaño para las gargantas de

poro y una función de distribución de tamaño para los cuerpos de poro.

Supongamos ahora que la distribución de radio de poros de un medio poroso es una

densidad de probabilidad dada por una suma de funciones exponenciales con parámetros ,α 1λ

y 2λ , esto es,

( )rr eerf 21)( λλα −− −= , [,0[ ∞∈r (5.11)

y que se desea obtener una representación de red de poros para estudiar el problema de flujo a

su través. En primer lugar se normaliza la función de densidad de probabilidad para acotar la

función de distribución acumulada al intervalo [0,1]

( ) ( )rrnorm ee

duuf

rfrf 21

12

21

0

)(

)()( λλ

λλλλ −−

∞ −−

==

∫(5.12)


Luego, la función de distribución acumulada de f es

( ) ( )21

21

0

12 11)()(

λλλλ λλ

−−−−

==−−

∫rrr

normee

drrfrF (5.13)

A continuación se muestrea el recorrido de esta función de distribución acumulada con

una secuencia uniforme {ui} de números comprendidos en el intervalo [0,1]. Para cada punto

de muestreo se obtiene ri como la inversa de F en ui, )(1ii uFr −= . En este caso, como en la

mayoría de las funciones de distribución, la inversa de la función F no es explícita sino que

está determinada por la solución numérica de la Ecuación (5.13). El cálculo de la inversa de la

función F presenta un comportamiento asintótico horizontal cerca del límite de probabilidad 1.

Para lograr una búsqueda convergente de la inversa de F es necesario definir un valor único en

el dominio de F asociado a la probabilidad acumulada en este punto, este valor corresponde al

valor máximo de radio del material poroso. La distribución de números lograda para la

simulación es una réplica discreta aproximada de la función de distribución original. La Figura

5.2 ilustra el procedimiento. Con esta secuencia de radios se calculan los valores de

conductancia de los poros del modelo de acuerdo a su forma y dimensión, esto es,

)( ii rgg = (5.14)

Aquí se utiliza la definición de conductancia para cilindros circulares y planos.

Para constatar la universalidad de la relación de permeabilidad propuesta en este

trabajo se utilizan cuatro funciones distintas de distribución de tamaños de poro; dos

uniformes de distinta amplitud y valor medio, U(r;1,2) y U(r;1,20), esto es,

abbar

−=

1),;(U , [ ]bar ,∈∀ (5.15)


y dos logarítmicas de distinto valor medio y desviación estándar, L(r;1.5,0.1) y L(r;1.5,0.8),

esto es,

−

−=2)ln(

21exp

21),;(L

BAr

Brbar

π

+=

2exp

2BAa ; ( ) ( )( )1exp/2exp 22 −+= BBAb

(5.16)

Figura 5.2 Procedimiento de muestreo Monte Carlo. Función de distribución continua de una variablealeatoria r (Izquierda) que se desea muestrear. Muestreo uniforme del recorrido de la función de

distribución acumulada y cálculo de la función inversa (centro). Función de distribución obtenidamediante el muestreo (derecha).

En medios que presentan anisotropía, esto es, en aquellos que presentan propiedades

que varían direccionalmente, se puede utilizar una decoración independiente en cada una de

las direcciones del medio poroso,

( ) )(1 uFri−

= θθ , zyx ó,=θ . (5.17)

El modelo de red así definido es capaz de capturar la heterogeneidad que presentan los

materiales porosos, esto es, la disposición de poros de diverso tamaño e índice de coordinación

que varía espacialmente.


5.4 Modelo de compactación

El modelo de compactación utilizado en las simulaciones desarrolladas en este trabajo

fue propuesto por Wong et al. (1984), este se inspira en los procesos de formación de las rocas

sedimentarias. Inicialmente las rocas se encuentran como empaquetamientos de partículas no

consolidadas, análogas a una red completamente conexa. En el transcurso del tiempo la

sección transversal de cada conducto se reduce debido a la acción de carga externa, depósito

de partículas u otros mecanismos geofísicos y geoquímicos. Como resultado de estos procesos

la porosidad y la conductividad del medio disminuyen simultáneamente.

Para modelar cualitativamente el comportamiento de compactación que exhiben los

medios porosos naturales se escoge aleatoriamente un poro de la red y se le reduce su radio de

acuerdo a un cierto factor que representa la fuerza externa, tal como se ilustra en la Figura 5.3.

La reducción del radio de cada conducto deformado es proporcional a su tamaño presente,

xrr ki

ki

)()1( =+(5.18)

O de otro modo, la deformación de un poro es proporcional a su tamaño,

1−=∆

xrrk

i

ki (5.19)

El factor [1,0[∈x es una medida de la intensidad de la compactación. El caso límite x = 0

equivale a un mecanismo de bloqueo de poros y es consistente con el problema clásico de

percolación.

En capilares cilíndricos la conductancia hidráulica es proporcional a la cuarta potencia

del radio del conducto y la sección transversal es proporcional al cuadrado del radio, por lo

tanto cada vez que se deforma un conducto, la conductancia decrece en un factor x4 y la

sección transversal en un factor x2. Mediante la repetición finita de este procedimiento,


escogiendo otros poros aleatoriamente, con un valor fijo del factor x, se hace un seguimiento

de la evolución de las variables macroscópicas de la red de poros, como la permeabilidad, la

conductividad eléctrica, la superficie específica de los poros, longitudes características del

medio, la evolución de la distribución del tamaño de poros, etc. Los métodos utilizados se

describen en las siguientes secciones.

Figura 5.3 Modelo de compactación de poros de Wong et al. (1984). Izquierda: compactación severade un capilar cilíndrico (x = 0.5). Derecha: compactación débil (x = 0.8)

Al incorporar la ecuación constitutiva que rige la deformación de un poro, sometido a

la una presión externa Pe , el factor de compactación x puede ser expresado en términos de las

propiedades elásticas del poro tales como el módulo de Young (E) y el módulo de Poisson

(υ ). Para un poro de sección cilíndrica una ecuación de elasticidad típica es

( )E

Pr

rxe

k

k 2

)(

)1( 121 υ−−==

+

(5.20)


Wong et al. (1984) desarrollaron la solución analítica de este modelo en una red lineal

(1D). De acuerdo al trabajo de estos autores, el exponente de la ley k-φ en el límite de alta

porosidad obedece la relación νφαk , donde

+= 22

111xx

ν (5.21)

Aunque se trata de un caso trivial, que puede cambiar al utilizar redes de dimensión

superior (2D, 3D) esta ley nos indica que el exponente es mayor en procesos de compactación

intensos. En una dimensión resulta ( ) ∞→= 0xν , esto se debe a que el bloqueo de cualquier

enlace escogido aleatoriamente produce en forma inmediata la transición de conductor a

aislante en una red lineal.


5.5 Determinación de la porosidad

La porosidad de un medio corresponde a la fracción de volumen ocupada por el

espacio poroso. En redes es simple calcular estas cantidades en forma directa.

Experimentalmente, es algo más complejo determinarla debido principalmente a la presencia

de porosidad aislada o bien de regiones de poros que sólo conectan con la trama de poros

conductores a través de unos pocos poros de sección pequeña.

En la simulación se determina la porosidad en la etapa inicial cuando el medio aún no

es compactado. Luego, cuando el medio se compacta sólo se actualiza de acuerdo al cálculo de

la reducción de volumen que sufrieron los poros aleatoriamente escogidos.

En la red cuadrada bidimensional de capilares rectangulares la porosidad corresponde

en términos rigurosos a una razón entre la superficie de poros y la superficie total del medio,

esto es,

( )lnn

rr

VV

yx

n

i

n

j

yji

xji

T

p

x y

∑∑= =

+≈= 1 1

,,2φ (5.22)

Esta definición es consistente con el desarrollo de las expresiones de conductancia para poros

cilíndricos planos.

En la red cúbica de capilares cilíndricos, la porosidad del medio es aproximada como

la razón entre el volumen total de los poros cilíndricos y el volumen de la red mediante la

siguiente expresión

( )2

1 1 1

2,,

2,,

2,,

lnnn

rrr

VV

zyx

n

i

n

j

n

k

zkji

ykji

xkji

T

p

x y z

∑∑∑= = =

++≈=π

φ (5.23)


En ambas aproximaciones se desprecia el espacio formado en las intersecciones de los

cilindros. La inclusión de un cuerpo de poro en cada nodo de la red subyacente no afecta las

conclusiones que se derivan de este trabajo, como se verá en el capítulo de resultados. Al

compactar algunos poros de la red la porosidad se actualiza de acuerdo a

T

kpkkkk

VV )(

)()()()1( ∆−=∆−=+ φφφφ (5.24)

donde el volumen total del medio poroso permanece fijo durante la compactación y k y k + 1

son dos pasos consecutivos de compactación.

En la red cuadrada la disminución del volumen poroso al compactar un poro i es

( ) ( ) ( )xVxlrrrlV kip

ki

ki

ki

kp −=−=−=∆ + 1122 )(

,)()1()()(

(5.25)

En la red cúbica de poros cilíndricos

( ) ( ) ( )2)(,

22)(2)1(2)()( 11 xVxlrrrlV kip

ki

ki

ki

kp −=−=−=∆ + ππ (5.26)

En las simulaciones desarrolladas se efectúa una normalización de la porosidad con

respecto a la porosidad inicial. La porosidad normalizada corresponde a la razón entre el

volumen de poros en una etapa de la compactación sobre el volumen inicial de poros en la red.

Por otro lado, el cálculo de todas las propiedades macroscópicas se realiza con un intervalo

fijo, igual a 0.01, de diferencia en la porosidad normalizada.


5.6 Determinación de las propiedades de transporte

En las simulaciones realizadas se hizo un seguimiento de dos propiedades de transporte

durante la compactación, esto es, la permeabilidad y la conductividad eléctrica de redes de

poros completamente saturadas con fluido conductor. La estimación de estas propiedades de

transporte en un medio heterogéneo puede llevarse a cabo en forma exacta mediante un

método numérico como Monte Carlo, que consiste en la solución numérica del campo de

presiones y de la distribución de flujo en la red, o bien, mediante técnicas de homogeneización

como renormalización y aproximación de medio efectivo, que prescinden de la solución

rigurosa de las ecuaciones de conservación. En esta sección se describe la implementación

realizada en este trabajo de estos métodos para el modelo de redes de poros.

5.6.1 Método Monte Carlo

El método Monte Carlo consiste en determinar la solución del sistema lineal de

ecuaciones resultante de los balances de materia, o de carga en el caso de la conductividad

eléctrica, nodales en estado estacionario, la Figura 5.4 ilustra la situación de nodos genéricos

en dos y tres dimensiones. Los balances nodales en una red de N nodos conducen a

0=dt

dml ⇔ ∑ =+δ

δ 0,llJ , Nl ,1= (5.27)

donde l representa la posición en la red del nodo donde se aplica el balance y δ es la posición

relativa de los nodos primeros vecinos al nodo l. Para una red cuadrada,

),( jil = y { })1,0(),1,0(),0,1(),0,1( −−=δ

y para una red cúbica

),,( kjil = y { })0,0,1(),0,0,1(),0,1,0(),0,1,0(),0,0,1(),0,0,1( −−−=δ .


Figura 5.4 Izquierda: nodo genérico (i,j) de una red cuadrada. Derecha: nodo genérico (i,j,k) de una redcúbica simple.

La ley de transporte aplicada a los enlaces indica que

( )δδδ ϕϕ +++ −= llllll gJ ,, (5.28)

Así, el balance desarrollado para un nodo en la red cuadrada resulta,

0,1,1,1,,,1,1,1,, =−−−− +−−+−−y

jijiy

jijix

jijix

jijip

jiji ggggg ϕϕϕϕϕ (5.29)

donde los elementos del tensor pg se definen como,

yji

yji

xji

xji

pji ggggg ,1,,,1, +++= −− (5.30)

Del mismo modo, en la red cúbica el balance nodal conduce a

0,,1,,1,,1,,

,,,1,,1,,1,,,,,1,,1,,1,,,,

=−−

−−−−−

+−−

+−−+−−

zkjikji

zkjikji

ykjikji

ykjikji

xkjikji

xkjikji

pkjikji

gg

ggggg

ϕϕ

ϕϕϕϕϕ

(5.31)


en este caso los elementos de pg son,

zkji

zkji

ykji

ykji

xkji

xkji

pkji ggggggg 1,,1,,,,,1,,,,,1,, +−−− +++++= (5.32)

El sistema lineal posee la forma bG =⋅ϕ , donde G es la matriz de conductancias, ϕ el

vector de potenciales de nodo y b el vector posición, de magnitud determinada por la

diferencia de potencial impuesta sobre los contornos permeables de la red. En el transporte

eléctrico los elementos de G corresponden a la definición de conductancia eléctrica, Ecuación

(5.6), y el vector ϕ es el vector de voltaje en los nodos V. En el transporte hidrodinámico los

elementos de G contienen la definición de conductancia hidráulica, Ecuación (5.7), y el vector

de potenciales ϕ corresponde al vector de presiones nodales P.

La matriz de conductancias en redes regulares presenta una estructura definida, es una

matriz simétrica formada por bandas diagonales de elementos no-nulos. Bajo condiciones de

contorno impermeables en las fronteras paralelas al flujo, el número de estas bandas bn es

igual a 1+z y con condiciones de borde periódicas igual a 12 −+ dz , donde d es la dimensión

de la red. Cada entrada en la banda diagonal central corresponde a la sumatoria de

conductancias que confluyen en un determinado nodo de la red y las entradas en diagonales

vecinas, leídas horizontalmente respecto de ese nodo, a las conductancias que unen este nodo

con cada uno de sus vecinos. Consideremos como ejemplo una red cuadrada con n = 3, ver

Figura 5.5, la matriz de conductancias de esta red es

−−−−−

−−−−−

−−−−−−−

−−−−−

−−

=

pxy

xpxy

xpy

ypxy

yxpxy

yxpy

ypx

yxpx

yxp

ggggggg

ggggggg

ggggggggg

ggggggg

ggg

3,33,22,3

3,23,23,12,2

3,13,12,1

2,32,32,21,3

2,22,22,22,11,2

2,12,12,11,1

1,31,31,2

1,21,21,21,1

1,11,11,1

00000000000

00000000000

00000000000000000000000000

G


Figura 5.5 Notación de índices ji, y decoración de una red cuadrada de 3×3 nodos.

De acuerdo a la teoría de percolación para obtener un resultado macróscopico

independiente del tamaño de red empleado es necesario utilizar una población de elementos

suficientemente grande para que el tamaño de la red sea superior a la longitud de correlación

del medio. En las simulaciones desarrolladas en esta tesis esta longitud fue determinada

empíricamente a partir de un análisis de sensibilidad de las propiedades macroscópicas al

tamaño de la red en 5 realizaciones, es decir, usando 5 semillas distintas en el muestreo de

Monte Carlo de la distribución de radio de poros. El análisis se realiza sobre la simulación que

exige el mayor tamaño de red, esto es, la determinación de permeabilidad en las cercanías de

la región crítica ( 0→x , cφφ → ) de una red decorada con la distribución de radios de mayor

amplitud, esto es, L(r;1.5,0.8).

Los resultados del análisis indican que al utilizar redes cuadradas de 200×200 nodos, y

redes cúbicas de 50×50×50 nodos se obtiene una dispersión menor al 1% en los resultados de

permeabilidad. Si n es la cantidad de nodos ubicados en cada dirección de la red, la cantidad

de memoria necesaria para almacenar la matriz de conductancias es n2 en dos dimensiones y


n3 en tres dimensiones. Las redes cuadradas de 200×200 nodos conducen a 4×104 filas y 4×104

columnas y las redes cúbicas de 50×50×50 nodos conducen a 1.25×105 filas y 1.25×105

columnas. Así, el requerimiento de memoria convencional resulta prohibitivo en un ordenador

común, por lo que resulta indispensable emplear un almacenamiento más eficiente de los

sistemas lineales. La forma más eficiente de utilizar la memoria del computador es utilizar un

almacenamiento ralo simétrico de la matriz de conductancias.

El almacenamiento de matrices ralas consiste en guardar sólo los elementos no nulos

de la matriz en tres vectores, A , JA e IA . El vector A contiene los valores de los elementos

no nulos que se leen de izquierda a derecha en orden descendente en la matriz. El vector JA

contiene la posición columna de los elementos de A . El vector IA almacena la sumatoria de

elementos que ocurren hasta la fila i-ésima, comenzando con un 1, por defecto, como primer

elemento.

Como ejemplo, consideremos el almacenamiento ralo de la matriz M

=

0638070200005079001020071

M

Para la matriz M los tres vectores A , JA e IA son

{ }6,3,8,7,2,5,7,9,1,2,7,1=A

{ }4,3,2,5,3,3,1,5,2,5,2,1=JA

{ }13,10,8,6,4,1=IA


Estos tres vectores almacenan la misma información que la matriz original. Para

recuperar la matriz original a partir del almacenamiento vectorial basta con determinar en

número de elementos que ocurre en una fila i-ésima,

iiieln IAIA −= +1, (5.33)

y luego determinar el valor y la ubicación de cada uno de esos elementos, que denominamos s,

como

si sM AJA =, , [ ]1, 1 −∈ +iis IAIA (5.34)

En el caso de matrices simétricas, como es el caso de la matriz de conductancias, el

almacenamiento puede ser aún más eficiente pues solo es necesario almacenar los elementos

no-nulos que se encuentran en y sobre la diagonal. Esta técnica se conoce como

almacenamiento ralo simétrico. Consideremos como ejemplo el almacenamiento ralo de la

matriz simétrica del ejemplo anterior, que repetimos por conveniencia,

=

8709270200025009003720071

M

con vectores de almacenamiento ralo,

{ }8,7,2,5,9,3,2,7,1=A

{ }5,5,4,3,5,2,5,2,1=JA

{ }10,9,8,6,4,1=IA


Cabe notar que en este caso se lee sólo la parte diagonal superior de la matriz M. El proceso

inverso en este caso para reconstruir la matriz M a partir de los vectores A, JA e IA consiste

en construir primero la parte superior de la matriz y luego completar la parte inferior haciendo

reflexión con respecto a la diagonal,

iiS

ieln IAIA −= +1,

si sM AJA =, , [ ]1, 1 −∈ +iis IAIA

MIMMM ⊗−+= T

(5.35)

Ahora, el almacenamiento ralo se utiliza para evitar almacenar la matriz de

conductancias en su forma original, en su forma original, esto implica que la matriz original se

debe recuperar directamente o a través de una matriz intermedia. El método empleado en esta

tesis se basa en el siguiente esquema: las bandas diagonales central y superiores de la matriz

de conductancias G se giran en 45º en sentido horario y se ubican en columnas de una nueva

matriz G'. Para la red cuadrada considerada anteriormente esta matriz tiene la siguiente forma,

−−

−−−−−−−−−−

=

0000

0

0

'

3,3

2,32,3

1,31,3

3,23,2

2,22,22,2

2,12,12,1

1,31,3

1,21,21,2

1,11,11,1

p

xp

xp

yp

yxp

yxp

yp

yxp

yxp

ggggg

gggggggggggggggg

G

En general, el número de columnas de G' es 12/ += znc en redes con condición de

contorno impermeable y dznc += 2/ bajo condición de borde periódica. Si se recorre esta

matriz de izquierda a derecha en forma descendente leyendo sólo los elementos no-nulos, se

obtiene el vector A requerido en el almacenamiento ralo simétrico. Si se cuentan los elementos


no-nulos que aparecen en G' se obtiene la información necesaria para construir el vector IA.

Pero no existe información alguna en G' que indique la posición columna de cada elemento en

la matriz original G. Sin embargo una inspección más detallada de G' indica que la primera

columna de esta matriz corresponde a la diagonal central de G, y que el índice de la fila

corresponde al nodo en donde se realiza el balance, la segunda columna corresponde a la

banda diagonal inmediatamente superior a la central de G, y en la red equivale al enlace que

conecta al nodo, donde se realiza el balance, con su vecino horizontal, y la segunda columna

de G' corresponde a la siguiente banda diagonal superior que en la red corresponde al enlace

que lo conecta con su vecino vertical inferior. De este modo, si se numeran los nodos en la red

de izquierda a derecha en forma descendente a partir de 1, ocurre que el vecino horizontal se

encuentra a una distancia de 1 enlace del nodo donde se realiza el balance, y el vecino vertical

a una distancia nx. Estas distancias entre nodos vecinos equivalen a la distancia entre las

bandas diagonales en G. La siguiente transformación de índices en la red cuadrada resume

estas observaciones,

injs xji +−= )1(, (5.36)

ver Figura 5.6 para notación y ejemplo.

Luego, las distancias de las bandas con respecto a la diagonal central equivalen a las

distancias que separan al nodo donde se realiza el balance de sus nodos primeros vecinos,

distancias medidas en la numeración s,

0),(),(1 =−= jijid

1)1(1)1(),(),1( ,,12 =−−−++−=−=−+= + injinjssjijid xxjiji

xxxjiji ninjinjssjijid =−−−+−=−=−+= + )2()1(),()1,( ,1,3

(5.37)

La transformación jis , establece la siguiente correspondencia entre los elementos de la

matriz intermedia G' y las matrices de decoración de enlaces en la red,


Figura 5.6 Notación de índices jis , y decoración de la red cuadrada de 3×3 nodos.

pjis ji ,

',1 ,

gG = , [ ] [ ]yx njni ,1,,1 ∈∈∀

xjis ji ,

',2 ,

gG −= , [ ] [ ]yx njni ,1,1,1 ∈−∈∀

yjis ji ,

',3 ,

gG −= , [ ] [ ]1,1,,1 −∈∈∀ yx njni .

(5.38)

La matriz G' requiere una cantidad de memoria igual a 3nxny, que en comparación a los22yx nn elementos que requiere el almacenamiento de G resulta notoriamente menor para los

valores de n requeridos en una simulación típica.

Ahora, el vector A se obtiene leyendo los elementos no-nulos de G' de izquierda a

derecha en forma descendente,

',kst GA = (5.39)


donde s es el índice fila de la matriz G', k es el índice columna de G' y t es el índice de

aparición del t-ésimo elemento no-nulo de G' recorrida del modo antes indicado.

Los elementos de JA correspondientes a los elementos de A se calculan a partir del

índice fila s de G' y de la distancia dk a la diagonal central,

kt ds +=JA (5.40)

Finalmente, el vector IA se obtiene sumando en orden descendente la cantidad de

elementos que aparecen en cada fila de G',

selss n ,1 +=+ IAIA , 11 =IA (5.41)

De acuerdo a este algoritmo, los vectores del almacenamiento ralo del ejemplo anterior

resultan ser

},,,

,..,,,,,,,,,,,,,,,,{

3,32,32,31,3

1,33,23,22,22,22,22,12,12,11,31,31,21,21,21,11,11,1

pxpx

pypyxpyxpypyxpyxp

gggg

ggggggggggggggggg

−−

−−−−−−−−−−=A

{ }9,9,8,8,7,9,6,8,6,5,7,5,4,6,3,5,3,2,4,2,1=JA

{ }22,21,19,17,15,12,9,7,4,1=IA

Una vez definidos los vectores A, JA e IA se elimina G' de la memoria, es sólo un

recurso intermedio para obtener el almacenamiento ralo de la matriz de conductancias.

En simulaciones de flujo en redes de poros que en la práctica son de tamaño infinito,

porque exigen al máximo la memoria del computador, es aconsejable utilizar condiciones de

contorno periódicas en las fronteras paralelas al flujo. El objetivo de esta elección es eliminar

el indeseable ‘efecto de borde’ que origina la condición de borde impermeable, esto es, la

perturbación que produce sobre el campo de flujo la abrupta discontinuidad de la conectividad


local en los contornos de la red. En términos prácticos el efecto de borde se minimiza

utilizando un mayor tamaño de red, promediando sobre una mayor cantidad de realizaciones o

bien utilizando una condición de borde periódica.

La condición periódica aumenta la conectividad de los nodos de borde. En el ejemplo

anterior de la red cuadrada de 3×3 nodos mostrada en las Figuras 5.5 y 5.6, la adición de borde

periódico conduce a la red que se muestra en Figura 5.7. En el caso de la Figura 5.7, la matriz

de conductancias G es

−−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−

−−−−−−

−−−

=

pxxy

xpxy

xxpy

ypxxy

yxpxy

yxxpy

ypxx

yxpx

yxxp

ggggggggggggggggg

gggggggggg

gggggggg

gggg

3,33,23,02,3

3,23,23,12,2

3,03,13,12,1

2,32,32,22,01,3

2,22,22,22,11,2

2,12,02,12,11,1

1,31,31,21,0

1,21,21,21,1

1,11,01,11,1

000000000000000

000000000000000000000000000

G

Es decir, aparecen bandas diagonales adicionales en G; los elementos nuevos ocurren

precisamente en las filas correspondientes a los nodos de la frontera. Así también aumenta el

número de columnas de G’. En el caso particular del ejemplo, G' contiene cuatro columnas,

−−−−−−

−−−

−−−

−−−

=

000

000

000

000

'

3,2

2,2

2,1

1,3

1,2

1,1

3,3

2,32,3

3,01,31,3

3,2

2,22,2

2,02,12,1

1,3

1,21,2

1,01,11,1

y

y

y

y

y

y

p

xp

xxp

p

xp

xxp

p

xp

xxp

gggggg

ggg

gggg

ggggg

ggg

ggg

G


Figura 5.7 Red cuadrada de 3×3 nodos con condición de borde lateral, horizontal, periódica.

De lo anterior se desprende la necesidad de introducir modificaciones a G' para obtener

la representación matricial rala del arreglo cuadrado periódico. Las modificaciones son dos:

1. Conectar los contornos impermeables de la red y aumentar la dimensión de G’ que ahora

contiene una nueva columna en la posición columna tres, esto es,

xj

xjn rr

x ,0, = ⇒ xj

xjn gg

x ,0, = , [ ]ynj ,1∈∀

xjns xjxn ,

',3 ,

gG −= , [ ]ynj ,1∈∀

yjis ji ,

',4 ,

gG −= , [ ] [ ]1,1,,1 −∈∈∀ yx njni .

(5.42)

2. Establecer en G' las distancias entre los nodos del borde conectados periódicamente y el

nodo donde se realiza el balance, que a su vez equivalen a las distancias entre la diagonal

central y las bandas modificadas de G, esto es,

11)1()1(),1(),( ,1,3 −=−−−+−=−=−= xxxxjjnx nnjnnjssjjndx

xxxjiji ninjinjssjijid =−−−+−=−=−+= + )2()1(),()1,( ,1,4

(5.43)


A continuación se presenta el algoritmo de cálculo de G' en una red cúbica simple. El

índice de coordinación es 6 y bajo condición de borde impermeable G presenta 71 =+= znb

bandas diagonales. La transformación de índices que resulta al recorrer el arreglo cúbico de

izquierda a derecha en x, luego en y y descendiendo luego por los planos z es,

injnnks xyxkji +−+−= )1()1(,, (5.44)

Luego, las distancias entre los nodos vecinos al nodo s en cada una de las direcciones,

en el orden descrito, equivalen a las distancias entre la diagonal central y cada una de las

bandas superiores de G, y son,

0),,(),,(1 =−= kjikjid

1),,(),,1( ,,,,12 =−=−+= + kjikji sskjikjid

xkjikji nsskjikjid =−=−+= + ,,,1,3 ),,(),1,(

yxkjikji nnsskjikjid =−=−+= + ,,1,,4 ),,()1,,(

(5.45)

Así, la transformación kjis ,, permite, al igual que en la red cuadrada antes revisada,

establecer una correspondencia simple entre los elementos de las matrices de decoración pg ,xg , y los elementos de la matriz intermedia G’, esto es,

pkjis kji ,,

',1 ,,

gG = , [ ] [ ] [ ]zyx nknjni ,1,,1,,1 ∈∈∈∀

xkjis kji ,,

',2 ,,

gG −= , [ ] [ ] [ ]zyx nknjni ,1,,1,1,1 ∈∈−∈∀

ykjis kji ,,

',3 ,,

gG −= , [ ] [ ] [ ]zyx nknjni ,1,1,1,,1 ∈−∈∈∀

zkjis kji ,,

',4 ,,

gG −= , [ ] [ ] [ ]1,1,,1,,1 −∈∈∈∀ zyx nknjni

(5.46)


Si la condición impuesta a las caras paralelas al flujo es periódica, entonces aparecen 4

bandas diagonales adicionales en G correspondientes a los nodos frontera. Para obtener el

almacenamiento ralo de G es necesario realizar los siguientes cambios,

1),,1(),,( ,,1,,3 −=−=−= xkjkjnx nsskjkjndx

xkjikji nsskjikjid =−=−+= + ,,,1,4 ),,(),1,(

( )1),1,(),,( ,1,,,5 −=−=−= yxkikniy nnsskiknidy

yxkjikji nnsskjikjid =−=−+= + ,,1,,6 ),,()1,,(

(5.47)

xkj

xkjn rr

x ,,0,, = ⇒ xkj

xkjn gg

x ,,0,, = , [ ] [ ]zy nknj ,1,,1 ∈∈∀

yki

ykni rr

y ,0,,, = ⇒ xki

xkni gg

y ,0,,, = , [ ] [ ]zx nkni ,1,,1 ∈∈∀

xkjns xkjxn ,,

',3 ,,

gG −= , [ ] [ ]zy nknj ,1,,1 ∈∈∀

ykjis kji ,,

',4 ,,

gG −= , [ ] [ ] [ ]zyx nknjni ,1,1,1,,1 ∈−∈∈∀

yknis ykyni ,,

',4 ,,

gG −= , [ ] [ ]zx nkni ,1,,1 ∈∈∀

zkjis kji ,,

',6 ,,

gG −= , [ ] [ ] [ ]1,1,,1,,1 −∈∈∈∀ zyx nknjni

(5.48)

La obtención de los vectores A, JA e IA procede igual que en el caso de la red

cuadrada.

En la Tabla 5.2 se presenta una comparación entre el requerimiento de memoria para el

almacenamiento convencional y para el almacenamiento ralo simétrico de la matriz de

conductancias intermedia para la red cuadrada y cúbica simple. Al comparar gráficamente el

requerimiento de memoria de ambos tipos de almacenamiento se aprecian diferencias de

varios órdenes de magnitud, ver Figura 5.8, incluso en el caso de redes pequeñas (n<10).


Tabla 5.2 Requerimiento de memoria para el almacenamiento de la matriz de conductancias en redescuadradas y cúbicas.

Red Condición de

Contorno

Almacenamiento

Convencional

Almacenamiento

Ralo Simétrico

Cuadrada Impermeable 2N [ ] 1)(32 +++−⋅ NnnN yx

Cuadrada Periódica 2N [ ] 132 ++−⋅ NnN x

Cúbica Impermeable 2N [ ] 1)(42 ++++−⋅ NnnnnnnN zxzyyx

Cúbica Periódica 2N [ ] 142 ++−⋅ NnnN yx

N es el número total de nodos en la red;Para la red cuadrada yxnnN = ; para la red cúbica simple zyx nnnN = .

Figura 5.8 Comparación de memoria de computador requerida para almacenar la matriz deconductancias en el modo convencional y en el ralo periódico para distintos tamaños de red.

Red cuadrada (izquierda). Red cúbica simple (derecha).


El algoritmo de almacenamiento presentado anteriormente puede ser aplicado en redes

regulares que presentan conectividad fija. En la simulación, esta situación corresponde a

factores de compactación distintos de cero.

Los elementos no-nulos del vector posición b del sistema de ecuaciones de los

balances nodales aparecen en los nodos ubicados en los contornos permeables de la red. En la

red cuadrada estas caras corresponden a los nodos,

isi =1,

inns xyni y+−= )1(, , [ ]xni ,1∈∀ (5.49)

Los elementos del vector b en las ubicaciones s son respectivamente,

0,1, 0, ii syis gb ϕ=

yniyyni synis gb

,, , ϕ= , [ ]xni ,1∈∀(5.50)

donde 0,isϕ es el potencial impuesto en los nodos del contorno superior y

ynis ,ϕ es el potencial

impuesto en los nodos del contorno inferior. La diferencia de estos potenciales es igual a la

diferencia de potencial macroscópica impuesta a la red, esto es,

ynii ss ,0,ϕϕϕ −=∆ (5.51)

Como las propiedades de transporte son independientes de la diferencia de potencial

impuesta, siempre que no alteren la naturaleza del flujo, el valor del potencial en los contornos

permeables puede ser elegido arbitrariamente. Si se impone un potencial unitario en el borde

superior y nulo en el extremo inferior, entonces sólo es necesario definir los elementos de b

que corresponden a los nodos superiores, esto es,


yis gb

i 0,1,= , [ ]xni ,1∈∀ (5.52)

En la red cúbica se emplea un procedimiento similar para definir el vector posición b

del sistema lineal. En este caso se definen los elementos de b que corresponden a los nodos

ubicados en el plano z superior de la red,

zjis gb

ji 0,,1,,= , [ ] [ ]yx njni ,1,,1 ∈∈∀ (5.53)

Cuando el mecanismo de reducción de porosidad se lleva a cabo mediante un bloqueo

aleatorio de los poros, las redes presentan una conectividad que varía localmente. Estas redes,

denominadas percolativas, se caracterizan por la presencia de enlaces de conductancia nula.

En estas redes aparecen grupos de nodos interconexos que se denominan racimos (clusters).

No todos estos racimos soportan flujo. Sólo lo hacen aquellos que conectan los extremos

permeables de la red, y por tal razón se denominan racimos infinitos, los restantes se

encuentran como islas que no aportan a la conducción y se denominan por tanto racimos

aislados. La Figura 5.9 ilustra racimos aislados e infinitos para una red cuadrada.

Si se intenta resolver la distribución de flujo en una red percolativa a partir del balance

de materia de todos los nodos de la red, se obtiene un sistema indeterminado. Esto porque en

las filas, y por tanto en la diagonal central, de la matriz de conductancias correspondientes a

los nodos aislados aparecen elementos nulos; en otras palabras la sumatoria de las

conductancias que inciden en estos nodos se anula,

∑ == +δ

δ 0,ssps gg (5.54)

Por otro lado, resulta inconsistente tratar de obtener el campo de flujo en zonas que se

encuentran aisladas. Así, es necesario realizar un reconocimiento de los racimos infinitos en

estas redes previo al planteamiento de los balances nodales. El reconocimiento de racimos

utilizado en este trabajo se basa en el algoritmo HK76 propuesto por Hoshen y Kopelman


(1976). Este es hasta ahora el método más eficiente para este objetivo. En términos generales,

el método consiste en asignar las mismas etiquetas a los nodos que pertenecen a un mismo

racimo, examinando la red una vez solamente.

Figura 5.9 Red percolativa. Racimos aislados aparecen en gris. Racimo infinito en negro. En gris claroaparecen nodos aislados que producen la indeterminación del sistema de ecuaciones de los balances

nodales.

En la secuencia de Figuras 5.10 se ilustra las distintas etapas del procedimiento de

reconocimiento de racimos en una red cuadrada. La Figura 5.10a muestra la red original con

algunos de sus nodos y enlaces declarados como conductores. En la Figura 5.10b, la red se

recorre de izquierda a derecha en forma descendente. En la primera fila de nodos interiores se

asigna la etiqueta 1 al primer nodo ocupado (Figura 5.10b), esto es, al primero que posee una

conexión (enlace ocupado). Si el nodo vecino a la derecha se encuentra ocupado y es conexo

con el nodo etiquetado, entonces es rotulado con la misma etiqueta; caso contrario, si presenta

una sola conexión pero no es conexo al nodo etiquetado, entonces se le asigna una etiqueta


distinta, y si no se encuentra ocupado se pasa al nodo siguiente. Los rótulos e de cada nodo se

almacenan en un vector e,

ejis =

,e (5.55)

Desde la segunda fila hasta la última, se recorren los nodos examinando las conexiones

izquierda y superior (Figura 5.10b). Si presenta conexión izquierda, y no superior, entonces se

rotula con la misma etiqueta del nodo al que conecta. Si presenta conexión superior e

izquierda entonces se produce un conflicto en la rotulación puesto que el nodo a la izquierda

posee un rótulo distinto al nodo superior. En el ejemplo, el conflicto ocurre en el nodo

marcado ‘?’ (Figura 5.10b); por un lado el nodo a la izquierda indica que el nodo ‘?’

pertenece al racimo de los nodos con etiqueta 5, y por otro lado el nodo que se encuentra

arriba del nodo ‘?’ indica que pertenece al racimo de los nodos etiquetados con 2. Lo que

ocurre en verdad es que tanto los nodos rotulados con 5 como los rotulados con 2 pertenecen

al mismo racimo, por esto cualquiera de las dos etiquetas es válida. Convencionalmente, se

toma la mínima de las etiquetas para el nodo. Ahora surge la pregunta ¿se debe corregir

inmediatamente hacia atrás la etiqueta de todos aquellos nodos etiquetados erróneamente? Si

la respuesta es afirmativa, el proceso de rotulación es altamente ineficiente, puesto que cada

vez que ocurra un conflicto de etiquetas se debe volver a rotular los nodos de la red hasta el

nodo con conflicto. En el algoritmo HK76 se evita el retroceso mediante un vector de

etiquetas et que almacena todas las etiquetas utilizadas y los cambios que se registran en estas

cuando ocurre un conflicto. Cuando se produce un conflicto de etiquetas, el rótulo del nodo en

conflicto y el elemento del vector de etiquetas correspondiente a la etiqueta errónea adopta el

valor del elemento del vector de etiquetas correspondiente a la etiqueta más pequeña. De este

modo, la etiqueta correcta para el nodo ‘?’ es 2 y el quinto elemento del vector de etiquetas

pasa a ser 2. El proceso se ilustra en la Figura 5.10c. Al presentarse el conflicto de etiquetas

en el nodo ‘?, el vector de etiquetas se ve modificado de la siguiente manera

{ }5,4,3,2,1=et { }2,4,3,2,1=→ et


Al pasar de una fila a otra, se debe hacer una reasignación completa de etiquetas en el

vector de etiquetas,

)( ii etetet = (5.56)

Se repite el procedimiento desde la segunda hasta la última fila (Figura 5.10c). Al final

del recorrido el vector de etiquetas del ejemplo es

}43,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,4,

..4,4,4,4,4,4,24,4,11,11,4,11,4,4,11,11,4,44,4,11,10,3,3,7,3,2,4,3,2,1{43424140393837363534333231

302928272625242322212019181716151413121110987654321=et

Finalmente, se asignan las etiquetas correctas de cada nodo de acuerdo a la

información almacenada en el vector de etiquetas

)(,, jiji ss eete = (5.57)

El conjunto de etiquetas de racimos infinitos, que pueden ser más de uno, e∞, se obtiene

intersectando el conjunto de etiquetas de los nodos de la cara superior conectados al borde,

esup, y el conjunto de etiquetas de los nodos de la cara inferior conectados al borde, einf, esto es,

infsup eee ∩=∞ (5.58)

En la red ejemplo, el racimo infinito, existe uno solamente, corresponde a los nodos

etiquetados con ‘4’

{ } { } { }44,434,3,2,1infsup =∩=∩=∞ eeet

La asignación definitiva de etiquetas en el ejemplo se ilustra en la Figura 5.10d.


(a) (b)

Figura 5.10 Algoritmo de Hoshen y Kopelman. (a) Red cuadrada percolativa y (b) asignación deetiquetas hasta la aparición de un conflicto de rotulación en el nodo ‘?’.

(c) (d)

Figura 5.10 Algoritmo de Hoshen y Kopelman. (c) Primera etapa de rotulación completa y(d) asignación de etiquetas definitivas.


Una vez realizado el reconocimiento de los nodos que pertenecen a los racimos

infinitos es posible, en teoría, resolver el campo de flujo en la subred del o los racimos a partir

de la solución de los balances nodales de materia. Sin embargo, en los racimos infinitos

existen nodos que no soportan flujo; son aquellos que poseen índice de coordinación unitario o

terminales. Es fácil distinguirlos examinando la coordinación de cada nodo en los racimos y su

eliminación reduce notoriamente la cantidad de iteraciones necesaria para la convergencia del

sistema de balances nodales. El método consiste en eliminar en varias etapas los enlaces de los

nodos con índice de coordinación unitario; es decir, anular los radios y conductancias de los

enlaces que inciden en estos nodos terminales.

Por otro lado, si existe más de un racimo infinito la solución del campo de cada racimo

es independiente, esto significa que pueden plantearse sistemas de ecuaciones independientes

para cada racimo o, como alternativa, un sistema lineal único de los balances nodales de los

nodos que pertenecen a él/los racimos infinitos. Esta última alternativa fue utilizada en este

trabajo.

Para construir la matriz de conductancias G de una red percolativa es necesario

emplear una numeración distinta a la que corresponde a la transformación de índices s, usada

en redes de conectividad fija. Esta numeración debe ser tal que exista una correspondencia

entre el índice del nodo donde se realiza el balance y el índice fila en la matriz de

conductancias. Si los nodos conductores se numeran de izquierda a derecha en forma

descendente se obtiene una nueva notación indicial que denominamos s'. Resulta

imprescindible relacionar esta numeración con la posición del nodo en la red para interpretar

los resultados del sistema de ecuaciones, esta relación se almacena en un vector rs

)( 'ijij ss rs= (5.59)

Consideremos una red percolativa como ejemplo para ilustrar la obtención de la matriz

de conductancias G, ver Figura 5.11.


En simulaciones de procesos de percolación, la matriz de conductancias se construye,

al igual que en simulaciones en redes regulares, indirectamente en forma rala simétrica a

través de una matriz intermedia de conductancias G' que corresponde a las bandas diagonales

y central de la matriz G giradas en 45º en sentido horario. En una red cuadrada esta matriz de

conductancias G' se define como

pjis gG

ji,

',1 '

,= , [ ] [ ]yx njni ,1,,1 ∈∈∀

xji

ps gG

ji,,2 '

,−= , [ ] [ ]yx njni ,1,1,1 ∈−∈∀

yji

ps gG

ji,,3 '

,−= , [ ] [ ]1,1,,1 −∈∈∀ yx njni

0', ≠∃ jis

(5.60)

Figura 5.11 Tipos de enlaces en una red percolativa. Los enlaces aislantes, de conductancia nula, noaparecen en la red. Los enlaces gris oscuro corresponden a racimos de enlaces que no son conductores

pues no conectan con el racimo infinito. En gris claro, se indican los enlaces terminales que soneliminados en una etapa previa a la numeración s’ de los nodos del racimo infinito. En negro y

rotulados aparecen los enlaces y nodos del racimo infinito que son potenciales conductores y queintervienen en la determinación de las propiedades de transporte de la red.


Cabe indicar que la diferencia con el método empleado en redes regulares radica en la

última ecuación en (5.60), que implica que sólo se recorren los nodos conductores de la red

que han sido numerados de acuerdo a la notación indicial s'. Esta observación es importante al

extender el método de representación matricial rala indirecta a redes percolativas. En la red

del ejemplo, la matriz G y la matriz intermedia G’ (en su forma transpuesta) son,

−−−−−−−

−−−−−

−−−−−

−−−

−−−−−

−

=

pxy

xpy

ypxy

yxpx

xpy

ypx

xpxy

yxp

px

yxpx

xpx

xp

gggggggggg

ggggggg

ggggggg

ggggg

ggggggg

gg

4,54,43,5

4,44,43,4

3,53,53,42,5

3,43,43,43,3

3,33,32,3

2,52,52,4

2,42,42,31,4

2,32,32,3

1,51,4

1,41,41,41,3

1,31,31,2

1,21,2

000000000000000000

0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

G

−−−−−−−−−−−−−

=pppppppppppp

xxxxxxxx

yyyyy

T

gggggggggggggggggggg

ggggg

4,54,43,53,43,32,52,42,31,51,41,31,2

4,43,43,32,42,31,41,31,2

3,53,42,52,31,4

00000000000

G'

La obtención de los vectores A e IA procede de la misma manera que en las redes

regulares no percolativas. Sin embargo, las distancias entre bandas diagonales, necesarias para

la obtención de JA, deben ser calculadas como la mínimas distancias entre nodos vecinos

medidas en el espacio s', es decir, la diferencia de índices en s’,

0'),(),('1 =−= jijid

',

',1

'2 '),(),1( jiji ssjijid −=−+= +

',

'1,

'3 '),()1,( jiji ssjijid −=−+= +

(5.61)


Estas distancias, a diferencia de las redes regulares, no pueden ser definidas a priori, sino que

se obtienen de la inspección de la numeración s’ de los nodos conductores en la red.

Ahora, el vector posición b en el caso percolativo se obtiene en forma análoga al caso

de redes regulares, pero recorriendo sólo los nodos conductores de la cara superior. En la red

cuadrada,

yis gb

i0,'

1,= , [ ]xni ,1∈∀

0', ≠∃ jis

(5.62)

En el caso particular del ejemplo sólo aparecen elementos no-nulos en b en las

posiciones 1, 2 y 4, que corresponden a los nodos conductores que conectan con el borde

superior permeable de la red. Así el vector b de este sistema es

{ }0,0,0,0,0,0,0,0,,0,, 1,51,31,2yyy ggg=b (5.63)

En una red cúbica,

zjis gb

ji0,,'

1,,= , [ ] [ ]yx njni ,1,,1 ∈∈∀

0', ≠∃ jis

(5.64)

Una vez almacenado el sistema de balances nodales para la red de poros, se calcula el

campo de potenciales de nodo mediante la solución iterativa del sistema de ecuaciones

resultante. Para este propósito, en este trabajo, se utiliza el método del gradiente conjugado

precondicionado con sobrerrelajación sucesiva simétrica, SSORCG. Este se encuentra en las

rutinas de cálculo iterativo de sistemas lineales ITPACK desarrolladas por Kincaid et al.

(1982). El criterio de elección del método, y de los parámetros de relajación, en este trabajo es

empírico; se basa en comparaciones del número de iteraciones y tiempos necesarios para la

convergencia a una tolerancia dada ε, esto es,


εϕ <−⋅ bG (5.65)

Algunos alcances son importantes de señalar en este punto, la convergencia de un

sistema de gran dimensión se acelera al comienzo de la simulación al utilizar un parámetro de

relajación cercano a 2, sin embargo, esto produce un aumento excesivo de la cantidad de

iteraciones cerca de las condiciones críticas de las variables de simulación. Existe la opción de

usar un parámetro de relajación adaptativo en la simulación, pero en todas las pruebas

realizadas la búsqueda de este parámetro óptimo aumenta el tiempo total de cálculo. Por estas

razones se utilizó un valor fijo del parámetro de relajación igual a 1.5. En todos los casos la

convergencia mejora cuando se aprovecha la solución del campo de flujo de una etapa

anterior.

Una vez resuelto el campo de potenciales se calculan las propiedades de transporte

mediante el uso de las leyes de transporte macróscopicas. En el caso del flujo hidrodinámico la

permeabilidad se calcula según la ecuación de Darcy, esto es,

PAQk∇

−=µ (5.66)

En una red cuadrada regular, el caudal neto que atraviesa la red se calcula como el

caudal que pasa por cualquier sección transversal al flujo, esto porque el caudal neto es

estacionario. En particular, el caudal neto en la cara superior es

( )∑=

−=x

i

n

is

hyi pgQ

1

,0, 1,

1 (5.67)

El área transversal al flujo en esta red bidimensional es el área de la sección transversal

lnA x= (5.68)


Y, como el diferencial de presión aplicado es unitario el gradiente de presión es

lnL

PPy )1(1+

−=∆

−=∇ (5.69)

De este modo la expresión resultante para la permeabilidad hidráulica de la red

cuadrada regular es

( )∑=

−+

=x

i

n

is

hyi

x

y Pgn

nk1

,0, 1,

1)1(

µ (5.70)

Aplicando el mismo procedimiento en la red cúbica regular resulta la siguiente

expresión para la permeabilidad,

( )∑∑= =

−+

=x y

ji

n

i

n

js

hzji

yx

z Pglnn

nk1 1

,0,, 1,,

1)1(µ

(5.71)

En redes percolativas el caudal neto se calcula sumando sólo los caudales individuales

de los nodos conductores que pertenecen al contorno superior. Esta sumatoria condicional se

logra en forma simple reemplazando s por s' en las expresiones anteriores. Por ejemplo, en la

red cúbica

( )∑∑= =

−+

=x y

ji

n

i

n

js

hzji

yx

z Pglnn

nk1 1

,0,, '

1,,1)1(

µ(5.72)

Para calcular la conductividad de la red se sigue un procedimiento similar basado en la

analogía existente entre los diversos fenómenos de transporte. La conductividad eléctrica de la

red saturada con fluido conductor queda dada por la ley de Ohm,


VAIe

∇=σ (5.73)

El flujo eléctrico neto en la red cuadrada es

( )∑=

−=x

i

n

is

eyi VgI

1

,0, 1,

1 (5.74)

El área transversal total queda dada por la misma Ecuación (5.68) y el gradiente de

voltaje impuesto en la red, para un diferencial unitario, por

lnLVV

y )1(1+

−=∆

−=∇ (5.75)

El reemplazo de las Ecuaciones (5.74), (5.68) y (5.75) en (5.73) conduce a la siguiente

expresión para la conductividad eléctrica de una red cuadrada

( )∑=

−+

=x

i

n

is

eyi

x

ye Vgn

n

1

,0, 1,

1)1(

σ (5.76)

Y para una red cúbica

( )∑∑= =

−+

=x y

ji

n

i

n

js

ezji

yx

ze Vglnn

n1 1

,0,, 1,,

1)1(

σ (5.77)

Finalmente, en redes percolativas el cálculo del flujo eléctrico neto se debe realizar

considerando solamente los flujos en los nodos conductores que pertenecen al contorno

superior. Es decir, la sumatoria se lleva a cabo sobre los índices s' que pertenecen a ese

contorno.


5.6.2 Aproximación de medio efectivo (EMA)

Otra alternativa para la determinación de las propiedades de transporte se basa en la

aplicación de aproximaciones de la teoría de campo medio. A continuación se describe el

método en redes de conductores.

De acuerdo a la aproximación de medio efectivo es posible establecer un medio

homogéneo macroscópico que presente la misma propiedad de transporte que un medio

heterogéneo a partir de la ecuación autoconsistente (4.97). En el modelo de redes esto equivale

a decorar los enlaces con un valor único de conductancia denominado conductancia efectiva.

El resultado es una red homogénea que presenta la misma propiedad de transporte que la red

heterogénea original. Como se indica más arriba, la decoración Monte Carlo en redes finitas se

lleva a cabo mediante un muestreo discreto de la distribución de conductancias continua del

medio. Por lo tanto, la ecuación autoconsistente en redes es la expresión discreta de la

Ecuación (4.97), esto es,

( ) 012/11=

−+−

=∆ ∑∑==

ee N

ief

i

iefN

ii zgg

ggϕ (5.78)

donde Ne es el número total de enlaces en la red. Es decir, la sumatoria de las fluctuaciones

originadas por la heterogeneidad del medio sobre todos los enlaces de la red se anula para un

valor de conductancia efectiva.

La unicidad de la solución de la Ecuación (5.78) se demuestra considerando que la

función (5.78) presenta una raíz única en el intervalo comprendido entre el valor mínimo y el

máximo de las conductancias de la red. Esto equivale a demostrar que la función

( )∑= −+

−=

eN

ief

i

ief

ef

zgggg

gh1 12/

)( (5.79)


es monótona en ese intervalo. Esta última afirmación es válida pues como todos los términos

de la sumatoria que corresponden a la derivada de h son positivos para cualquier valor de

conductancia de poro, h es monótona creciente, esto es,

( )( )( )

012/

2/1

2 >−+

= ∑=

eN

ief

i

ief zgg

zgdgdh

(5.80)

Esta propiedad de la función h define una estrategia simple y segura de cálculo de la

conductancia efectiva en una red decorada, un método de reducción del intervalo de búsqueda

de la solución que comienza con el valor mínimo y máximo de las conductancias de poro. En

las simulaciones aquí se utilizó el método de bisección. El proceso se ilustra en la Figura 5.12.

Figura 5.12 Comportamiento monótono y creciente de la función objetivo h que define la conductanciaefectiva de redes de poros heterogéneas. Las curvas corresponden a diferentes valores de porosidad de

redes cuadradas de 200×200 nodos decoradas con distribución inicial uniforme de radios U(r;1,2)compactadas bajo un factor x = 0.1.


El valor de conductancia efectiva de una red heterogénea en un estado determinado de

porosidad se encuentra como una raíz de la función h. A medida que una red de poros es

compactada, la decoración de la red cambia de acuerdo al mecanismo de reducción de tamaño

de los poros. El conjunto de soluciones de h de la red a distintos valores de porosidad define la

evolución de la conductancia efectiva de la red a medida que avanza el proceso de

compactación, esto es,

0)/,( 0* =φφefgh → )/( 0

* φφefef gg = (5.81)

La conductancia efectiva se encuentra directamente relacionada con la propiedad de

transporte macroscópica de la red, o conductividad. Esta relación se encuentra mediante la

comparación de la solución del campo de flujo de la red efectiva y la ley de transporte

macroscópica de la red. La solución del campo de flujo en la red efectiva es simple y analítica.

Dado que todos los poros de la red poseen la misma conductancia efectiva, la distribución del

flujo es homogénea, esto significa que la caída de potencial es constante a lo largo de los poros

orientados en la dirección del flujo y nula en los enlaces transversales a la dirección del

potencial. En la red cuadrada esto es,

lnL y

yi )1(

1+

−=∆

−=∇ϕϕ

0=∆ xiϕ

(5.82)

Así el flujo neto que atraviesa el contorno superior de la red es

( )lngn

gJy

efx

n

i

yi

yi

x

110, +

=∆= ∑=

ϕ (5.83)

La ley de transporte que relaciona el flujo neto con la diferencia de potencial impuesto

en la red es


ϕχ

∇−=

AJ

(5.84)

donde χ representa la propiedad de transporte de la red; la permeabilidad hidráulica k/µ.en el

transporte hidrodinámico y la conductividad eléctrica σe en el transporte eléctrico. Así

reemplazando las Ecuaciones (5.82), (5.82) y (5.68) para A en la Ecuación (5.84) la

propiedad de transporte de la red cuadrada resulta

l

g ef

=χ (5.85)

En la red efectiva cúbica simple las diferencias de potenciales entre nodos son,

( )0

11

=∆=∆

+=∆

yi

xi

z

zi ln

ϕϕ

ϕ(5.86)

El flujo neto, calculado en el plano z superior, es

( )lngnn

gJz

efyx

n

i

n

j

zi

zji

x y

11 10,, +

=∆= ∑∑= =

ϕ (5.87)

Por lo tanto, la relación entre la propiedad de transporte y la conductancia efectiva en

esta red resulta

2lg ef

=χ (5.88)


5.6.3 Renormalización y grupo de renormalización de espacio real (PRSG)

El método de renormalización aplicado a la determinación de las propiedades de

transporte de redes heterogéneas consiste en subdividir la red en celdas de menor tamaño,

donde cada celda posee una conductancia definida por las conductancias de los enlaces que

contiene. La red renormalizada, queda conformada por nuevos enlaces que a escala

macroscópica producen una réplica casi exacta de la red original. Cada etapa de

renormalización produce una nueva red de menor cantidad de enlaces y una nueva decoración

o función de distribución de conductancias. En la última etapa de la renormalización, la red

queda reducida a una sola celda con un enlace con conductancia efectiva por dirección del

espacio en que se encuentra la red. Si la decoración de conductancias es isotrópica, entonces

las conductancias efectivas obtenidas por renormalización son equivalentes. Si la decoración

es anisotrópica las conductancias efectivas serán distintas.

En renormalización es posible elegir arbitrariamente el tamaño de la celda. Un tamaño

de celda más grande mejora la predicción de las propiedades de transporte de la red, pues se

incluye mayor cantidad de información de la red original. Sin embargo, a medida que la celda

crece las expresiones analíticas de conductancia de celda resultan más complejas y difíciles de

deducir. En particular, la elección de un tamaño de celda igual al tamaño de la red equivale a

resolver analíticamente el inverso de la matriz de conductancias de la red.

A continuación se describe el algoritmo de renormalización de una red cuadrada con

tamaño de celda 2×2. La Figura 5.13 ilustra el procedimiento. La Figura 5.14 ilustra el

procedimiento de para una red cúbica con una celda de renormalización 2×2×2.

La aplicación de las ecuaciones de conservación de materia, balances nodales,

aplicados a los elementos de una celda definen la conductancia efectiva de la celda en una

determinada dirección. En el caso particular de la celda de 2×2 en la red cuadrada estos

balances son aplicados a los nodos internos de la celda donde el potencial es desconocido,

nodos (i,j) e (i+1,j), esto es,


0,1,1,1,,,1,, =−−− +−−+y

jijiy

jijix

jijip

jiji gggg ϕϕϕϕ

0,11,11,11,1,,,1,1 =−−− +++−+−+++y

jijiy

jijix

jijip

jiji gggg ϕϕϕϕ(5.89)

Como la elección de la diferencia de potencial impuesta sobre la celda no afecta su

conductancia, el potencial en los nodos de borde puede asignarse en forma arbitraria, una

elección particular y simple es

11,11, == −+− jiji ϕϕ

01,11, == +++ jiji ϕϕ (5.90)

Luego, los balances nodales de los nodos internos de la celda se reducen a un sistema

lineal de ecuaciones de 2×2, esto es,

yji

xjiji

pjiji ggg 1,,,1,, −+ =−ϕϕ

yji

pjiji

xjiji ggg 1,1,1,1,, −+++ =+− ϕϕ

(5.91)

La solución del sistema de ecuaciones (5.91) permite conocer los potenciales de los

nodos internos en la celda, esto es,

Dgggg

D

gggg

yji

xji

pji

yji

pji

yji

xji

yji

ji1,1,,11,,11,1

,1,

,−++−+−+

−

+=

−

=ϕ

Dgggg

D

gggg

yji

xji

yji

pji

yji

xji

yji

pji

ji1,,1,1,1,1,

1,,

,1−−+−+

−

+

+=

−=ϕ

2,1,

,1,

,, xji

pi

pjip

jix

ji

xji

pji ggg

gggg

D +=−

−= +

+

(5.92)


(a) (b)

(c) (d) (e)

Figura 5.13 Secuencia esquemática de renormalización de una porción de red cuadrada con una celdade renormalización de tamaño 2×2. En este caso la renormalización se muestra para la dirección

vertical, en las otras direcciones el procedimiento es idéntico.


A partir de estos potenciales se calcula el flujo neto que atraviesa la celda en la

dirección y

jiy

jijiy

ji ggJ ,1,1,, +++= ϕϕ (5.93)

Ahora, la ecuación de transporte aplicada a la celda es

)01(, −⋅=Ry

jigJ (5.94)

Finalmente, al comparar las Ecuaciones (5.93) y (5.94) se obtiene la expresión de la

conductancia de la celda (en la dirección vertical) en términos de las conductancias en una

etapa anterior de renormalización de la red, esto es,

CBAg Ry

ji+

=,

( ) yji

yji

yji

yji

yji

yji

xji

yji

xji gggggggggA ,11,1,1,11,1,1,1,, +−+−+−−+− +++=

( ) yji

yji

yji

yji

xji

yji

xji

yji

yji gggggggggB ,,11,1,1,1,,1,11, +−−+−−+− +++=

yji

yji

xji

yji

yji

yji

yji

yji

yji

xji

yji

yji

yji

xji

yji

yji

gggg

ggggggggggggC

,1,,,

1,1,,11,1,1,,11,1,,1,11, ..

+

−++−−++−−−+−

++

++++++=

(5.95)

El mismo procedimiento aplicado en la dirección x conduce a una expresión para Rxjig , .

En general, el orden del sistema de ecuaciones resultante es igual a la cantidad de

nodos que contiene la celda de renormalización. Esto implica que en la renormalización de

redes cúbicas mediante una celda de renormalización de 2×2×2 se necesita encontrar la

solución analítica de la conductancia de la celda a partir de un sistema lineal de orden 8. La

Figura 5.14 ilustra el procedimiento de renormalización de una red cúbica con la celda de

renormalización más pequeña, las deducciones de conductancias de celda se pueden encontrar

en el Apéndice D.


Como se señaló anteriormente, existe un método, denominado grupo de

renormalización de espacio real (PRSG), que resulta de la combinación de etapas de

renormalización con la aplicación de la aproximación de medio efectivo en la última de etapa.

La idea consiste en realizar una cantidad k de etapas de renormalización, menor que las

necesarias para renormalizar completamente la red, tal que la distribución de conductancias

renormalizada muestre una menor dispersión que antes de renormalizar. Finalmente, la

ecuación autoconsistente de la aproximación de medio efectivo en su forma discreta es

resuelta para estimar la conductancia efectiva de la red renormalizada en k etapas, esto es,

( ) 012/

'

1=

−+−∑

=

eN

iefk

i

ki

ef

zgggg

(5.96)

donde el superíndice k representa los valores de conductancia renormalizados de los enlaces

de la red.

Figura 5.14 Secuencia esquemática de renormalización de una porción de red cúbica simple con unacelda de renormalización de tamaño 2×2×2. En este caso la renormalización se muestra para la

dirección vertical, en las otras direcciones el procedimiento es idéntico.


5.7 Determinación de longitudes características

La más simple de las longitudes características estudiadas en este trabajo se basa en la

definición de diámetro hidráulico, y puede ser calculada en forma directa en el modelo de

redes. La longitud hidráulica se define como el inverso de la superficie específica de los poros,

es decir, como la razón entre el volumen y la superficie de los poros (Scheidegger, 1974; ver

Capítulo 3). En redes, la expresión discreta que define esta longitud es,

∑

∑

=

==e

e

N

ssp

N

ssp

h

S

Vl

1,

1,

(5.97)

En la red cuadrada de poros cilíndricos planos, el volumen de cada poro corresponde a

su área y la superficie es igual a su perímetro mojado, por lo tanto la longitud hidráulica de la

red cuadrada es,

s

N

ssN

ss

N

sss

h rrl

lrl

e

e

e

=== ∑∑

∑=

=

=

1

1

1

2

2(5.98)

En la red cúbica decorada con poros cilíndricos la longitud hidráulica resulta ser

s

s

N

is

N

ss

N

sss

N

sss

h r

r

r

r

lr

lrl

e

e

e

e

221

2

2

1

1

2

1

1

2

===

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

π

π(5.99)

Otra longitud característica es la definida por Λ (Johnson et al., 1986; ver Capítulo 3).

Esta longitud requiere conocer la distribución del flujo eléctrico en la red de poros pues se


basa en un experimento de conducción eléctrica en la red completamente saturada con fluido

conductor. La distribución del flujo eléctrico en la red es determinada a partir de la misma

simulación de Monte Carlo usada para estimar la conductividad eléctrica de la red. La

expresión discreta que define Λ en una red es,

( )

( )∑∑

∑∑

=+

=+

−

−=Λ

e

e

N

sllsp

N

sllsp

VVS

VVV

1

2

,

1

2

,

δδ

δδ (5.100)

donde s representa el índice del enlace que conecta al nodo l con su vecino l + δ. La sumatoria

en δ se extiende sólo hacia los vecinos en un determinado sentido. En la red cuadrada las

posiciones relativas de los nodos vecinos a ),( jil = sobre los que se extiende la sumatoria en

δ son { })1,0(),0,1(=δ . En la red cúbica, ),,( kjil = y { })0,0,1(),0,1,0(),0,0,1(=δ .

En la red cuadrada de capilares planos la definición de esta longitud conduce a

( ) ( )

( ) ( )∑∑

∑∑

= =++

= =++

−+−

−+−=Λ

x y

x y

n

i

n

jjijijiji

n

i

n

jjiji

yjijiji

xji

VVVV

VVrVVr

1 1

21,,

2,1,

1 1

21,,,

2,1,, (5.101)

En la red cúbica con capilares cilíndricos la definición de esta longitud conduce a

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )∑∑∑

∑∑∑

= = =+++

++= = =

+

−+−+−

−+−+−=Λ

x y z

x y z

n

i

n

j

n

kkjikji

zkjikjikji

ykjikjikji

xkji

kjikjiz

kjikjikjiy

kji

n

i

n

j

n

kkjikji

xkji

VVrVVrVVr

VVrVVrVVr

1 1 1

21,,,,,,

2,1,,,,,

2,,1,,,,

21,,,,

2,,,

2,1,,,

2,,,

1 1 1

2,,1,,

2,,, (5.102)

La longitud característica definida a partir del análisis de trayectoria crítica de

Ambegaokar et al. (1971) no puede ser calculada en forma directa pues requiere de la


simulación de un experimento de inyección de un fluido no mojante en una red de poros. El

proceso se conoce como porosimetría y cuando el fluido no mojante es mercurio se conoce

como porosimetría de mercurio (Toledo et al., 1994a). A continuación se presenta la

simulación del proceso de porosimetría desarrollada en este trabajo y la forma como se

determina la longitud característica de una red de poros.

5.7.1 Simulación de porosimetría

La simulación que se describe a continuación consiste en el seguimiento del avance

progresivo y ordenado de un fluido incompresible y no-mojante en una red estática de poros,

de porosidad fija, que inicialmente se encuentra vacía o bien saturada de un fluido de

compresibilidad infinita. Este experimento se utiliza comúnmente para determinar la

distribución de tamaño de poros de un medio poroso. Naturalmente que el experimento real

esta limitado a poros relativamente grandes; una presión excesiva, para penetrar microporos,

puede producir deformación del material poroso. El asunto es de discusión frecuente en la

literatura (Toledo et al., 1994a,b; para una revisión reciente ver Yortsos, 1999). En este

trabajo, el experimento, y su simulación, es concebido como un método indirecto para

determinar la longitud característica crítica de una red de poros. El método consiste en

determinar la presión a la que el fluido no-mojante forma un camino conductor en el medio

real a partir de la simulación en una red decorada con la misma conectividad y distribución de

tamaños de poro experimental (Katz y Thompson, 1986).

Para ilustrar el algoritmo de invasión consideremos las distintas etapas de la simulación

en una pequeña red cuadrada decorada con una distribución de radios uniforme U[r;1,2]

(Figura 5.15). La decoración de la red, esto es, los radios de poro son almacenados en una

matriz R de tamaño s×z, donde s, el número de filas de esta matriz, es igual al número de

nodos de la red y z es el índice de coordinación de la red. No se consideran los cuerpos de

poro, que podrían agregarse fácilmente. La matriz R para el ejemplo se muestra a

continuación.


En la matriz se establecen correspondencias entre el índice fila de R y la numeración s

de los nodos y entre el índice columna de R y los z enlaces incidentes en el nodo s.

=

679.1933.1511.1135.1583.1168.1679.1472.1977.1377.1583.1590.1050.1226.1977.1690.1391.1135.1050.1569.1635.1472.1391.1297.1273.1590.1635.1845.1900.1690.1273.1297.1590.1569.1900.1935.1476.1297.1590.1929.1957.1845.1476.1287.1299.1297.1957.1067.1931.1935.1299.1871.1558.1929.1931.1507.1853.1287.1558.1413.1400.1

0000

067.1871.1507.1413.1524.1

853.10000

524.10000

R

Al comienzo de la simulación el fluido invasor se encuentra en contacto con una de las

caras permeables de la red, este estado de la red se almacena en una lista que contiene todos

los nodos en contacto con el fluido invasor, es decir, la lista define el frente de avance del

fluido. Así, en la red del ejemplo el estado inicial de la lista corresponde al conjunto de nodos

exteriores en la cara superior, esto es,

{ } { } { }0,1,2,3,40,..,,10,)0( −−−−=−+−== xxi nnslst (5.103)


Figura 5.15 Ilustración del proceso de inyección de un fluido no mojante en una red cuadrada de poroscon distribución de radios. Los contornos laterales se conectan en forma periódica, aunque desplazadosen una unidad de red. La inyección del fluido ocurre desde arriba. La Figura a la derecha muestra la red

con el tamaño proporcional de sus poros en su estado inicial, libre de fluido no mojante.

El primer enlace, o garganta de poro, es inundado cuando la presión en el fluido no

mojante es igual a la presión capilar umbral del poro de mayor tamaño que se encuentra en el

frente de avance. La presión capilar umbral es aquella necesaria para penetrar un poro. El

diámetro de este poro dmáx define, de acuerdo a la ecuación de Laplace, la presión del fluido

invasor durante una etapa de presión fija. En el ejemplo de la Figura 5.15 el capilar de mayor

radio en la cara superior es 1.871 y corresponde al enlace que conecta el poro 0 con el nodo 4,

la presión mínima, referida también como umbral, necesaria para inundar este poro es,

)0(máxdcPc = (5.104)

En las simulaciones la constante c se estableció unitaria, pues la elección arbitraria del valor

de esta constante no altera la trayectoria del fluido invasor en la red de poros.


Cuando un capilar es inundado se anexa el nodo destino del fluido no mojante a la lista

lst y se anulan los elementos de R ubicados en las filas correspondientes a los dos nodos en

que el enlace inundado incide y en las columnas correspondientes al enlace para cada fila-

nodo. Para el primer enlace inundado se anulan los elementos R(0,3) y R(4,1).

A la misma presión establecida, el fluido penetra todos los poros accesibles de mayor o

igual diámetro que el poro recién inundado. Las condiciones necesarias para que un poro sea

accesible son tener un radio mayor o igual que el poro inundado y estar conectado a un poro

saturado, en términos de la simulación todos los enlaces de diámetro mayor a dmáx que inciden

en alguno de los nodos de la lista lst. En el ejemplo, una vez inundado el primer enlace, el

proceso de inundación continúa a la misma presión en los enlaces vecinos de tamaño igual o

mayor al primero, esto es, 4→3, 4→8, 8→9 (por condición de borde periódica) y 3→7, como

muestra la Figura 5.16.

Figura 5.16 Ilustración del proceso de inyección de un fluido no mojante, en gris oscuro, en la red dela Figura 5.15. La presión requerida para inundar el primer poro de la red (izquierda) es suficiente para

inundar todos los poros, de mayor tamaño que éste, que se encuentran accesibles desde los porosinundados (derecha).


El avance que logra el fluido a una presión fija termina cuando ningún poro adicional

puede ser inundado a esa presión. En un experimento real de porosimetría el proceso se realiza

en condiciones cuasi-estáticas. Después de cada incremento de presión se espera un tiempo

suficiente para que el fluido no mojante inunde todo el espacio poroso accesible.

En la primera etapa de avance a presión constante la matriz R y la lista de los nodos del

frente de invasión son

=

679.1933.1511.1135.1583.1168.1679.1472.1977.1377.1583.1590.1050.1226.1977.1690.1391.1135.1050.1569.1635.1472.1391.1297.1273.1590.1635.1845.1

690.1273.1297.1590.1569.1476.1297.1590.1957.1845.1476.1287.1299.1297.1957.1067.1

299.1558.1507.1853.1287.1558.1413.1400.1

0000

067.1

507.1413.1524.1

853.10000

524.10000

000

0

00000

0

R

}9,7,8,3,4,0,1,2,3{ −−−=lst

Si no existen más enlaces accesibles de diámetro superior a dmáx entonces se pasa a una

etapa de búsqueda del enlace de mayor diámetro entre los enlaces incidentes a los nodos

inundados, esto es, entre los elementos de la matriz R ubicados en las filas de los elementos de


la lista lst. Este enlace siempre tiene un diámetro menor que el máximo anterior, debido a que

la búsqueda de los enlaces de diámetro mayor se agota en la etapa previa de avance de fluido a

presión constante. Esto implica que la presión debe aumentar para que sea posible un nuevo

avance de la fase no-mojante hacia el nuevo enlace de mayor diámetro. El nuevo valor de

presión se encuentra determinado por el nuevo valor de diámetro máximo y definido de

acuerdo a la ecuación de Laplace. La Figura 5.17 ilustra los poros inundados a la nueva

presión.

Figura 5.17 Continuación del proceso de inyección de fluido no mojante (en gris oscuro) ilustrado enla red cuadrada de la Figura 5.16.

La simulación completa corresponde a la repetición de dos etapas: un avance masivo

de fluido invasor a presión fija y una etapa de avance hacia un poro individual que va

acompañada de un incremento en la presión del fluido.


Figura 5.18 Continuación del proceso de inyección de fluido no mojante (gris oscuro) en la red de laFigura 5.17. La figura a la derecha muestra el momento en que el fluido invasor forma una fase conexa

a través de la red.

Cuando el fluido alcanza el extremo inferior de la red se establece un camino

conductor a su través, la Figura 5.18 ilustra la situación. La presión que permite la formación

de un camino conductor se denomina crítica y queda determinada por el diámetro del poro que

define la presión en la última etapa de avance. El tamaño de este poro se denomina crítico. La

longitud característica de la red, en el sentido de Ambegaokar et al. (1971), es equivalente al

diámetro del poro crítico. En este punto finaliza el algoritmo de determinación de la longitud

característica definida mediante un experimento, simulado en este caso, de inyección de

fluido no mojante en una red de poros.

El llenado de la red a partir del momento en que se establece el camino conductor es

mucho más lento que en las etapas previas porque involucra invasión poro a poro. Sin

embargo, si se desea conocer la curva de saturación completa de la red de poros, a una

porosidad dada, el algoritmo simplemente se continúa hasta que el volumen accesible de poros

se encuentre totalmente saturado de fluido no mojante. Una curva de saturación, o curva de

presión capilar, es la colección de pares de puntos de saturación de fase no mojante y presión


capilar en distintas etapas del experimento de inyección. La presión capilar en cada etapa del

experimento es determinada mediante la ecuación de Laplace y la saturación es calculada

como la razón entre el volumen de poros ocupado por el fluido invasor y el volumen de poros

conexo de la red, esto es,

pc

pinw V

VS = (5.105)

En una red no-percolativa el volumen conexo de poros es idéntico al volumen total de

poros y puede ser calculado una vez conocida la decoración de la red,

p

pinw V

VS = (5.106)

En una red percolativa no todo el volumen de poros es conexo, lo que implica que el

fluido invasor no llega a las zonas aisladas en ninguna etapa de la porosimetría. Luego, el

cálculo de saturación en las distintas etapas del experimento requiere el reconocimiento previo

de los nodos y enlaces del racimo infinito. El cálculo puede realizarse en forma más eficiente

al final del experimento cuando el fluido inunda todas las zonas accesibles de la red

percolativa calculando para ello el volumen de poros inundado en cada etapa y

normalizándolos finalmente por el volumen total inundado, que equivale al volumen de poros

conexo.

Como veremos en el capítulo de resultados, la curva de saturación completa del

sistema puede aportar información relevante respecto del régimen de conducción del medio y

de su distribución de tamaño de poros. La Figura 5.19 muestra curvas de saturación o presión

capilar obtenidas mediante la simulación de Monte Carlo de porosimetría presentada aquí en

redes cúbicas de 50×50×50 nodos. Los resultados corresponden a dos tipos de

comportamiento observados durante la invasión forzada del fluido no mojante cuando las

redes son sometidas a compactación intensa y débil.


Figura 5.19 Curvas de saturación o presión capilar obtenidas mediante simulación de Monte Carlo enredes cúbicas de 50×50×50 nodos y distribución inicial de tamaño de poros U(r;1,2). Los resultadoscorresponden a dos tipos de comportamiento observados durante la invasión forzada de un fluido nomojante cuando las redes son sometidas a compactación severa, izquierda, y débil, derecha. Cada curvacorresponde al experimento a una porosidad fija (φ disminuye de 1 hasta 0.1). Los círculos abiertos

corresponden al estado en que el fluido no mojante atraviesa la red.

Todos los algoritmos descritos en este capítulo y que se utilizan para obtener los

resultados que se presentan en el capítulo siguiente se han dispuesto en un programa al que se

puede acceder desde una ventana interfaz amigable con menú de opciones. El programa y su

forma de uso se describen en forma detallada en el Apéndice E. Para las simulaciones en este

trabajo se utilizó en forma paralela 3 computadores personales con procesador Pentium III.

Tiempos típicos de cálculo para una red cuadrada de 250×250 nodos: una curva de

porosimetría a una porosidad fija 2.5 horas, una curva de permeabilidad-porosidad 45 minutos,

una curva de conductividad-porosidad 45 minutos, una curva de longitud crítica 1 hora.

Tiempos típicos de cálculo para una red cúbica de 50×50×50 nodos: una curva de porosimetría

a una porosidad fija 3 horas, una curva de permeabilidad-porosidad 1 hora, una curva de

conductividad-porosidad 1 hora, una curva de longitud crítica 1.5 horas. Los tiempos

indicados para las permeabilidades y conductividades son válidos para la tolerancia utilizada

en el algoritmo de cálculo (10-8).


5.8 Resumen

En este capítulo se ha presentado con gran detalle y ejemplos los algoritmos utilizados

para determinar la permeabilidad y conductividad eléctrica de redes de poros deformables

completamente saturadas de fluido. Las redes de poros empleadas son bi y tridimensionales.

El fluido es incompresible y fluye en estado estacionario en régimen laminar. Los métodos

desarrollados para estimar la permeabilidad y la conductividad eléctrica son Simulación de

Monte Carlo, Campo Medio y Renormalización. En este capítulo se han presentado también

los métodos, y los algoritmos cuando corresponde, utilizados en este trabajo para estimar la

longitud característica de una red de poros, esto es, la longitud que fija la escala de la

permeabilidad. Los algoritmos desarrollados en el curso de esta tesis y descritos en este

capítulo han sido ensamblados en un programa, que denominamos PROTRAN, al que se

accede desde una ventana interfaz amigable con menú de opciones. El programa y su forma de

uso se describen en forma detallada en el Apéndice E de esta tesis. En el siguiente capítulo se

presentan y discuten los resultados obtenidos con las herramientas desarrolladas aquí.

Capítulo 6

Resultados y Discusión

A continuación se presentan y discuten los resultados obtenidos con el modelo de

compactación de encogimiento de poros en redes cuadradas y cúbicas decoradas con

distribuciones de tamaño de poro angostas y anchas. Especial atención se presta a la variación

de propiedades tales como permeabilidad, conductividad eléctrica y longitud característica de

espacio poroso con la porosidad. Los resultados de simulación de Monte Carlo son explicados

a la luz de un desarrollo teórico nuevo producto de este trabajo de tesis.

Partes de este capítulo han sido publicadas como: R. Rozas, J.R. Quispe y P.G. Toledo, On the porosity-permeability relationship of porous media with evolving porosity. En XXI IMPC International MineralProcessing Congress, Massacci, P. (Ed.), Elsevier B. V., Amsterdam, Volumen D, pp. 5-12, 2000 y L. Seminario,R. Rozas, R. Bórquez y P.G. Toledo, Pore blocking and permeability reduction in cross-flow microfiltration. J.Membrane Sci., aceptado 28 Mayo 2002 [en prensa].

Resultados y Discusión 158

6.1 Efecto de la compactación sobre la función de distribución de tamaño de poros

Experimentos Numéricos

La distribución de tamaño de poros y la conectividad del espacio poroso son las

variables fundamentales para una representación adecuada de un medio poroso. La

conectividad no debería ser muy sensible a procesos de compactación a menos que estos sean

severos. En este trabajo se utiliza la idealización que la conectividad se mantiene constante

excepto cuando la compactación conduce al cierre de poros. Así, para una conectividad fija,

las propiedades de transporte y todas las cantidades macroscópicas en un estado particular del

sistema dependen y se definen a partir de la función de distribución de tamaño. Aquí descansa

el interés por estudiar la evolución de esta función en diversas redes de poros sometidas a

procesos de compactación de intensidad controlada.

Los materiales porosos pueden ser clasificados de acuerdo a las características de su

población de poros al comienzo y durante la compactación. Algunos materiales presentan una

distribución de tamaño de poros marcadamente ancha, son heterogéneos; otros en cambio

poseen una distribución angosta, o sea, presentan un grado relativo menor de heterogeneidad.

Otra característica es el grado de asimetría de la distribución que revela coexistencia de

poblaciones de poros con tamaño marcadamente distinto. Una de estas poblaciones, la

mayoritaria generalmente, controla las propiedades macroscópicas del material. Algunos

materiales en cambio exhiben una distribución más uniforme; en estos casos es difícil

establecer un tamaño característico de poro que controle las propiedades macroscópicas de

material pues coexisten fracciones de poro idénticas de cada tamaño. Obviamente, lo que aquí

denominamos tamaño medio, ancho y asimetría de una distribución corresponde formalmente

a sus tres primeros momentos; la media, la desviación estándar y la asimetría o skewness.

En preparación: R. Rozas y P.G. Toledo, Pore space microstructure transitions as revealed by critical lengths, yR. Rozas and P. G. Toledo, How universal is the relationship between permeability and porosity?


Las distribuciones de tamaño de poros empleadas en este estudio para decorar redes

cuadradas y cúbicas fueron dos uniformes U(r;1,2) y U(r;1,20) y dos log-normal L(r;1.5,0.1)

y L(r;1.5,0.8). En adelante serán referidas simplemente como U(1,2), U(1,20), L(1.5,0.1) y

L(1.5,0.8). Las distribuciones de tamaño de poros se muestran en las Figuras 6.1 a 6.8 para

una porosidad normalizada unitaria. Las distribuciones uniformes raramente ocurren en

materiales naturales, su elección en este estudio se justifica por la importancia que tienen para

estudiar el efecto del ancho de la distribución sobre la evolución de las propiedades de redes

sometidas a compactación. Las distribuciones log-normal son características de medios

naturales; su elección en las simulaciones desarrolladas aquí permite estudiar el efecto de la

asimetría de la población sobre la evolución de las propiedades de transporte. De acuerdo a

esta clasificación las distribuciones más angostas U(1,2) y L(1.5,0.1) son propias de medios

más homogéneos, en comparación a las distribuciones más anchas U(1,20) y L(1.5,0.8) que

pertenecen a materiales más heterogéneos. De acuerdo a la composición de la población de

poros, los materiales que presentan distribuciones asimétricas como L(1.5,0.1) y L(1.5,0.8)

presentan poblaciones marcadamente mayoritarias de poros pequeños en comparación con las

distribuciones uniformes. De las distribuciones señaladas, la log-normal L(1.5,0.8) muestra la

mayor asimetría.

La evolución de una distribución depende principalmente de las propiedades elásticas

del material y de la intensidad del proceso de compactación. En las simulaciones desarrolladas

aquí el factor de compactación x regula ambos efectos. En las Figuras 6.1 a 6.8 se aprecia la

evolución de las funciones de distribución de tamaño de poros a medida que la porosidad

disminuye como resultado de procesos de compactación de diversa intensidad. Las Figuras 6.1

a 6.4 corresponden a redes cuadradas y las Figuras 6.5 a 6.8 a redes cúbicas. Es importante

notar aquí que la porosidad en redes cúbicas y cuadradas es distinta debido a la naturaleza

diferente de los poros que las constituyen; en redes cuadradas los poros son planos en tanto

que en redes cúbicas los poros son cilíndricos. Sin embargo, de acuerdo a los resultados

obtenidos, se aprecia que esta diferencia no provoca cambios importantes en la evolución de

las distribuciones. Así, el análisis de resultados de evolución de distribuciones de tamaño de

poros para redes cuadradas resulta idéntico al de redes cúbicas.


Todas las distribuciones muestran una evolución suave cuando la red de poros es

sometida procesos de compactación suaves, esto es, con x = 0.99, como revelan las Figuras

6.1e, 6.2e, 6.3e y 6.4e para redes cuadradas y las Figuras 6.5e, 6.6e, 6.7e y 6.8e para redes

cúbicas. Las distribuciones conservan su unimodalidad pero aumentan su asimetría debido a

que la compactación provoca un aumento preferencial de la población de poros de tamaño

pequeño.

Resultados similares se obtienen para la distribución ancha L(1.5,0.8) no sólo para

procesos de compactación suave, x = 0.99, sino también para procesos de intensidad

intermedia, x = 0.5 y 0.3, como muestran las Figuras 6.4c y 6.4d para redes cuadradas y las

Figuras 6.8c y 6.8d para redes cúbicas. La distribución permanece unimodal y centrada

asimétricamente alrededor de una media de tamaño que disminuye a medida que avanza la

compactación. Al inicio del proceso la asimetría de la distribución aumenta para disminuir

notablemente hacia el final del proceso. Este efecto es más pronunciado para el caso de

compactación con x = 0.3. Estos resultados parecen indicar que los materiales porosos

conservan sus características estructurales originales al sufrir procesos de compactación como

los señalados. Es altamente probable que materiales porosos sometidos a compactaciones de

esta naturaleza no muestren diferencias más allá de la porosidad en dos etapas distintas de su

historia, sin embargo la sola observación de la evolución de la distribución no es suficiente

para establecer conclusiones definitivas al respecto. Como veremos más adelante la longitud

característica de cada medio, que fija la escala de la permeabilidad, es la propiedad clave para

determinar la existencia de transiciones de una microestructura porosa a otra a medida que el

proceso de compactación avanza.

La situación cambia significativamente cuando el proceso de compactación ocurre a

mayor intensidad, caracterizada por valores de x pequeños. Las Figuras 6.1a-c y 6.3a-d para

redes cuadradas y las Figuras 6.5a-c y 6.7a-d para redes cúbicas muestran que las

distribuciones U(1,2) y L(1.5,0.1) que inicialmente son unimodales evolucionan hacia un

comportamiento multimodal. La multimodalidad es la aparición de nuevas poblaciones de

poros de menor tamaño, que coexisten con parte de la población de poros primitiva del


material. La población de poros inicial disminuye a medida que avanza la compactación

conservando la forma de la distribución original. La distribución de tamaño de estos poros

permanece unimodal y centrada simétricamente alrededor de la media de tamaño inicial; su

desviación estándar aumenta al inicio de la compactación para disminuir hacia el final del

proceso. Las nuevas poblaciones de poros crecen a expensas de las poblaciones de poros de

mayor tamaño y la forma de estos modos son una réplica a menor escala del modo que los

alimenta. Una población de poros, o modo de la distribución de tamaño, aparece, crece,

alcanza un tamaño máximo, decrece y desaparece a medida que el proceso de compactación

avanza. La separación de poblaciones de poros es más pronunciada para el caso de

compactación con x = 0.1. El caso extremo lo constituye el proceso de percolación clásica que

equivale a una compactación con x = 0; el efecto neto es separar la población de poros inicial

en dos poblaciones, una de poros abiertos y otra de poros cerrados. Las Figuras 6.1a, 6.2a,

6.3a y 6.4a muestran la situación para redes cuadradas y las Figuras 6.5a, 6.6a, 6.7a y 6.8a

para redes cúbicas.

Resultados similares, aunque menos pronunciados, se obtienen para las distribuciones

anchas U(1,20) y L(1.5,0.8) con un factor de compactación x = 0.1, como muestran las Figuras

6.2b y 6.4b para redes cuadradas y las Figuras 6.6b y 6.8b para redes cúbicas. La población de

poros inicial disminuye a medida que avanza la compactación. La distribución de tamaño de

estos poros permanece unimodal y centrada asimétricamente alrededor de la media de tamaño

inicial; su asimetría aumenta al inicio de la compactación para disminuir hacia el final del

proceso. Al igual que en los casos de distribuciones angostas, nuevas poblaciones de poros

crecen a expensas de poblaciones de poros de tamaño más grandes.

Estos resultados sugieren en principio que los materiales porosos estudiados no

conservan sus características estructurales originales al sufrir procesos de compactación

intensos como los señalados. Materiales porosos a dos niveles o etapas de compactación de

este tipo podrían mostrar diferencias adicionales a la porosidad si poblaciones distintas

dominan sus distribuciones de tamaño de poros, la respuesta definitiva se obtiene de la


evolución de la longitud característica de cada red de poros a medida que avanza el proceso de

compactación.

Se dice que una compactación es intensa cuando provoca cambios radicales en la

microestructura porosa de un material. Como muestran las Figuras 6.2a-c y 6.4a-c para redes

cuadradas y las Figuras 6.6a-c y 6.8a-c para redes cúbicas, el comportamiento de las

distribuciones más anchas es distinto al que exhiben las distribuciones más angostas para un

mismo factor de compactación cuando este es pequeño. De aquí se deduce que el valor del

factor de compactación es insuficiente para concluir respecto de la intensidad de un proceso de

compactación.

Las Figuras 6.3c, 6.3d, 6.4c y 6.4d para redes cuadradas y las Figuras 6.7c, 6.7d, 6.8c y

6.8d para redes cúbicas muestran que el efecto de compactación a x = 0.5 y x=0.3 es distinto

para la distribución L(1.5,0.1) que para L(1.5,0.8). Análogamente, la diferencia también se

observa a x = 0.3 para las distribuciones U(1,2) y U(1,20), comparar Figuras 6.1c y 6.2c para

redes cuadradas y Figuras 6.5c y 6.6c para redes cúbicas. Para las distribuciones L(1.5,0.1) y

U(1,2) la compactación es suficientemente intensa como para producir la aparición de modos

separados, que denominamos multimodalidad; para las distribuciones L(1.5,0.8) y U(1,20) no

lo es. Un argumento simple permite explicar este hecho. Cuando el poro de máximo tamaño

de una distribución se compacta existen dos alternativas: el tamaño resultante del poro es

menor o mayor que el poro de mínimo tamaño de la distribución. Si el poro resulta más

pequeño que el de mínimo tamaño, la compactación origina nuevos modos en la distribución

puesto que el tamaño de poro se ubica fuera del dominio de la distribución original. Cuando

ocurre la otra posibilidad el poro al ser encogido es transferido a una celda de poros más

pequeños pero comprendida en el dominio de la distribución original, el efecto neto de la

compactación en este caso es aumentar la asimetría de la distribución, hacia los poros más

pequeños, pero no generar nuevas poblaciones o modos separados.

Así la intensidad de un proceso de compactación en un material queda definida

principalmente por dos aspectos: las propiedades elásticas del material y la fuerza aplicada


sobre el medio que definen el factor de compactación x y la amplitud de la distribución inicial

de tamaño de poros. Así para dos materiales que presentan distribuciones de distinta amplitud,

pero de igual tamaño mínimo de poro, es más probable que la compactación produzca nuevos

modos en la distribución más angosta para un mismo factor de compactación. Este efecto tiene

consecuencias importantes sobre el comportamiento de las propiedades de transporte de redes

de poros ya que si alguno de estos nuevos modos con poros de menor tamaño domina la

población total de poros entonces el medio puede sufrir una transición en su microestructura

porosa.


(a) (b)

(c) (d)

(e)

Figura 6.1 Evolución de la distribución de radios U(1,2) en una red cuadrada para distintasintensidades de compactación. (a) 0=x (b) 1.0=x (c) 3.0=x (d) 5.0=x (e) 99.0=x .


(a) (b)

(c) (d)

(e)

Figura 6.2 Evolución de la distribución de radios U(1,20) en una red cuadrada para distintasintensidades de compactación. (a) 0=x (b) 1.0=x (c) 3.0=x (d) 5.0=x (e) 99.0=x .


(a) (b)

(c) (d)

(e)

Figura 6.3 Evolución de la distribución de radios L(1.5,0.1) en una red cuadrada para distintasintensidades de compactación. (a) 0=x (b) 1.0=x (c) 3.0=x (d) 5.0=x (e) 99.0=x .


(a) (b)

(c) (d)

(e)

Figura 6.4 Evolución de la distribución de radios L(1.5,0.8) en una red cuadrada para distintasintensidades de compactación. (a) 0=x (b) 1.0=x (c) 3.0=x (d) 5.0=x (e) 99.0=x .


(a) (b)

(c) (d)

(e)

Figura 6.5 Evolución de la distribución de radios U(1,2) en una red cúbica para distintasintensidades de compactación. (a) 0=x (b) 1.0=x (c) 3.0=x (d) 5.0=x (e) 99.0=x .


(a) (b)

(c) (d)

(e)

Figura 6.6 Evolución de la distribución de radios U(1,20) en una red cúbica para distintasintensidades de compactación. (a) 0=x (b) 1.0=x (c) 3.0=x (d) 5.0=x (e) 99.0=x .


(a) (b)

(c) (d)

(e)

Figura 6.7 Evolución de la distribución de radios L(1.5,0.1) en una red cúbica para distintasintensidades de compactación. (a) 0=x (b) 1.0=x (c) 3.0=x (d) 5.0=x (e) 99.0=x .


(a) (b)

(c) (d)

(e)

Figura 6.8 Evolución de la distribución de radios L(1.5,0.8) en una red cúbica para distintasintensidades de compactación. (a) 0=x (b) 1.0=x (c) 3.0=x (d) 5.0=x (e) 99.0=x .


Teoría

A continuación se presenta un desarrollo teórico que explica en forma cualitativa y

cuantitativa la evolución de los modos de la distribución de tamaño de poros observada en los

resultados de simulación de Monte Carlo cuando una red de poros es sometida a

compactación. Supongamos que cada modo k puede ser representado como una celda k que

contiene una cantidad de poros de tamaño comprendido entre rmín y rmáx. Luego, la fracción de

poros contenida en la celda k queda definida por

∫=

)(máx

)(mín

)()(

k

k

r

r

k drrfp (6.1)

En una compactación intensa, el proceso de encogimiento de un poro de la celda k

implica su transferencia a otra celda correspondiente al modo que contiene poros de tamaño

comprendido entre xrmín y xrmáx . Este modo es una nueva celda numerada como 1+k . Si uno

de los elementos de la celda 1+k es encogido, entonces es transferido a la celda siguiente

2+k que corresponde a poros de tamaño comprendido entre 2mín xr y 2

máx xr . Por inducción, si

un poro de la celda k es deformado n veces, entonces al final del proceso pertenece a la celda

nk + de poros de tamaño en el dominio [ nn xrxr máxmín , ]. Si el número n de deformaciones

sobre un elemento es elevado, es decir, si un mismo poro es compactado en repetidas

ocasiones, como resultado se ubicará finalmente en la celda de tamaños de poro nulo, lo que

corresponde a un límite matemático, no necesariamente físico.

Ahora, cuando se analiza lo que ocurre en las celdas, se encuentra que inicialmente hay

una celda que contiene todos los poros, esta celda corresponde a la distribución original que es

unimodal. Cuando se ha efectuado una cantidad finita de etapas de compactación, una fracción

de poros han salido de la celda inicial para alimentar a la celda vecina de poros más pequeños.

El primer encogimiento de poro necesariamente ocurre en uno que pertenece a la celda

primitiva, pues todos los poros existentes se encuentran allí. No ocurre necesariamente así en


las compactaciones siguientes ya que como existen poros en otras celdas y la elección del poro

a ser encogido es completamente aleatoria entonces puede ocurrir que la siguiente

deformación ocurra sobre un poro de una celda k-ésima. Como todos los poros tienen la

misma probabilidad de ser encogidos se puede establecer que la probabilidad de encoger un

poro de una celda k-ésima es proporcional a la población de esa celda en el instante de la

compactación. En términos matemáticos el flujo de salida de poros de una celda k es

proporcional a la fracción de elementos en la misma celda k, esto es,

)()()( kkks pp α=& (6.2)

El flujo de entrada de poros a la celda k es igual al flujo de salida de poros de la celda

k-1 que la alimenta, así

)1()1()1()( −−− == kkks

ke ppp α&& (6.3)

Un balance de las poblaciones de poro de una de las celdas intermedias indica que

)()()1()1()()()(

kkkkks

ke

k

ppppddp ααξ

−=−= −−&& (6.4)

donde ξ es una variable de avance del proceso de compactación, que pertenece al dominio

real positivo cuando el medio es infinito. Cuando la compactación se lleva a cabo sobre una

distribución unimodal, la fracción de poros del modo original es unitaria y la de cualquier otro

modo es obviamente nula. Así las condiciones iniciales del problema son ( 0=ξ ),

1)0()1( =p

0)0()( =ip , 1≠∀ i .(6.5)


La facción de poros de la celda (ficticia) que antecede a la primera, es decir, la

población de la celda 0, es nula durante toda la compactación. Por otra parte, el flujo de poros

que sale de la última celda, que numeramos N, es nulo. Físicamente, en el primer modo sólo

salen poros y en la celda que contiene los poros de tamaño mínimo sólo entran nuevos poros.

Así, las condiciones de contorno del problema son

0)0( =p ⇔ )1()1()1(

pd

dp αξ

−=

0)( =Nsp& ⇔ )1()1(

)(−−= NN

N

pd

dp αξ

(6.6)

La equiprobabilidad de elección de poros permite establecer que las constantes de

proporcionalidad α son iguales para todas las celdas. Más adelante se demostrará que el valor

de esta constante es arbitrario. Ahora, si pensamos en las celdas como recipientes de

elementos, en este caso de poros, la celda primitiva es un recipiente que se vacía transfiriendo

sus elementos a un recipiente vecino, las celdas intermedias son recipientes que tienen un flujo

de entrada y uno de salida, y la última celda, de poros de tamaño nulo, es un recipiente que

acumula en todo instante. Es decir, la evolución de una distribución durante un proceso de

compactación es análoga a un problema conocido, esto es, la dinámica de un sistema de vasos

comunicantes. Se puede resolver este sistema de ecuaciones (6.4), sujeto a las condiciones

iniciales (6.5) y de borde (6.6), en forma simple en el espacio de Laplace. La solución es

α+=

ssp 1)()1(

k

kk

ssp

)()(

1)(

αα+

=−

, [ ]Nk ,2∈∀

( ) 1

1)( )( −

−

+= N

NN

sssp

αα

(6.7)


Analicemos un caso particular de distribución que presente un comportamiento

multimodal durante su evolución por compactación y que presente un desarrollo algebraico

simple y analítico, por ejemplo la distribución uniforme U(1,2) bajo una compactación intensa

en una red cúbica para 3.0=x . La Figura 6.5c muestra la evolución de esta distribución

según predice la simulación de Monte Carlo, cuatro modos son claramente distinguibles. En

teoría hay muchos más pero no son apreciables.

De acuerdo al sistema de ecuaciones (6.4), (6.5) y (6.6) la evolución de las poblaciones

de poros de los modos distinguibles en términos del parámetro de avance es

αξξ −= ep )()1(

αξαξξ −= ep )()2(

αξξαξ −= ep 22)3(

21)(

( )( )22)4( 22221)( ξααξξ αξ ++−= −ep

(6.8)

La condición de normalización de la distribución impone que la suma de estas

probabilidades sea unitaria, esto es,

∑=

=N

i

ip1

)( 1 (6.9)

Por otro lado, la población de cada uno de los modos resulta dependiente del término de

avance αξ . Así la elección de α es arbitraria.

Como p(k) representa a la fracción de poros que pertenecen al modo k, y en el caso de la

distribución uniforme cada uno de los modos es también una función uniforme, se puede


establecer que el área de cada uno de los modos es )()()( kkk rfp ∆= y como xrr kk )()1( ∆=∆ + ,

entonces la densidad de probabilidad máxima de cada uno de los modos es

1

)()(

−∆= k

kk

rxpf (6.10)

Así, para el caso estudiado se tiene que

ref∆

=−αξ

)1(

xref⋅∆

=−αξαξ)2(

2

22)3(

21

xref

⋅∆=

−αξξα

( )( )3

22)4( 222

21

xref

⋅∆++−

=− ξααξαξ

(6.11)

Dado que la variable de avance natural de un proceso de compactación es la porosidad,

es fundamental relacionarla con el término αξ . La definición de porosidad normalizada en

una red cúbica de elementos cilíndricos es

∫

∫∞

∞

=

0

)0(2

0

2

0

)(

drfr

drrfr

φφ (6.12)

donde )0(f es la función de distribución de tamaños y 0φ la porosidad al comienzo de la

compactación.


En el caso particular estudiado, la porosidad normalizada en términos explícitos del

factor de compactación y del término de avance αξ resulta

( )∑∑∫

∫=

−

=

−∞

∞

===4

1

12)(4

1

)1(3)(

0

2

0

2

0

)()()2,1(

)(

k

kk

k

kk xpxfdrUr

drrfrαξαξ

φφ (6.13)

En la Figura 6.9 se reiteran resultados de Monte Carlo para la distribución U(1,2) en

una red cúbica y la predicción teórica. La predicción de la topología de la función de tamaño

de poros en función del parámetro de compactación y de la porosidad es prácticamente exacta.

Lo sería totalmente si se consideraran todos los términos de la serie que define la porosidad.

Revisemos otro caso en forma teórica, la evolución de la distribución uniforme U(1,2)

bajo una compactación intensa 1.0=x en una red cuadrada. La Figura 6.1b muestra los

resultados de Monte Carlo. Para los tres modos observables las ecuaciones de evolución son

αξξ −= ep )()1(

αξαξξ −= ep )()2(

( )αξξ αξ +−= − 11)()3( ep

(6.14)

La densidad de probabilidad de cada uno de estos modos es

ref∆

=−αξ

)1(

xref⋅∆

=−αξαξ)2(

( )2

)3( 11)(xr

ef⋅∆

+−=

− αξξαξ

(6.15)


(a)

(b)

Figura 6.9 Evolución de la distribución uniforme U(1,2) a 3.0=x en una red cúbica.(a) Resultado Monte Carlo (b) Desarrollo analítico.


La porosidad normalizada de la red cuadrada de elementos conductores planos queda

definida como

∑∑∫

∫=

−

=

−∞

∞

===3

1

1)(3

1

)1(2)(

0

0

0

)()()2,1(

)(

k

kk

k

kk xpxfdrrU

drrrfαξαξ

φφ

(6.16)

La evolución de la distribución de tamaños tanto en la red cúbica como en la cuadrada,

determinada mediante ecuaciones de balances poblaciones de poros, ajusta bastante bien el

observado en los resultados de simulación, al parecer las suposiciones del desarrollo teórico

formal presentado aquí son correctas.

Hasta este punto hemos establecido con éxito las ecuaciones que gobiernan la dinámica

de las poblaciones de un medio sometido a compactaciones intensas, esto es, el caso en que los

modos originados evolucionan en forma separada. Pero ¿qué pasa con aquellas situaciones de

compactación en que solo una fracción de los poros compactados de una cierta celda o modo

es transferida a nuevas celdas de poros de tamaño más pequeño y la fracción complementaria

simplemente realimenta ese mismo cierto modo? Más aun, ¿qué pasa con aquellas situaciones

en que no se crean nuevos modos, donde el efecto de la compactación es reducir el límite

inferior del intervalo de tamaño de poros de la red? A continuación se muestra que estos casos

son también susceptibles a análisis teórico.

Cuando la compactación origina nuevas poblaciones de poros pero estas no se separan,

lo que ocurre cuando un poro al ser encogido es transferido a una celda de poros de menor

tamaño pero que se ubica en el dominio del modo original, entonces se solapan con los modos

que las originan. En términos matemáticos,

[ ] [ ] 0,, 1)1(máx

1)1(mín

)1(máx

)1(mín ≠∩ −− nnnn xrxrxrxr (6.17)


(a)

(b)

Figura 6.10 Evolución de la distribución uniforme U(1,2) a 1.0=x en una red cuadrada.(a) Resultado Monte Carlo (b) Desarrollo analítico.


Por ejemplo, en un medio que presenta una distribución ancha como la U(1,20) bajo

una compactación con 1.0=x , el encogimiento de poros comprendido en el rango [ ]20,10∈r

origina un nuevo modo en el dominio [ ]2,1 , es decir, un modo dentro del modo original. Tal

vez no sea del todo correcto seguir refiriéndose a estas nuevas poblaciones como modos,

ciertamente no lo es del punto de vista de la estadística, pero es práctico si no se confunde.

En casos como el anterior, los balances de poblaciones (6.4) no pueden ser utilizados

para seguir la evolución de una distribución de tamaño ya que una de las suposiciones para

derivar (6.4) es que el encogimiento de un poro de un modo k produce su transferencia hacia

un modo separado 1+k . Este aspecto es corregido aquí si consideramos que los submodos son

en sí nuevos modos, en el caso de ejemplo,

Modo 1; [ ]20,2∈r

Modo 2; [ ]2,1∈r (6.18)

Sin embargo, la suposición que el modo 1+k es alimentado por cualquiera de los

poros que pertenecen al modo k deja de ser válida. Es fácil observar que esto es así en el

ejemplo de la distribución U(1,20) con 1.0=x . En este caso el modo 2 con [ ]2,1∈r es

alimentado por un subconjunto de poros que pertenecen al modo original [ ]20,1 . El modo 2 es

originado por el encogimiento de poros de tamaño comprendido en el domino [ ]20,10 . Así

una forma más general de los balances (6.4) debe considerar los efectos de solapamiento y de

transferencia parcial entre los modos. Cuando existe solapamiento los submodos generados

son considerados como modos, como elemento de control para establecer el balance de

poblaciones. La velocidad a la que un submodo i es alimentado es proporcional a una fracción

w(ik) de la población del modo k que lo alimenta en un instante dado de la evolución de la

distribución, así

)()()( kikie pwp α=& (6.19)


La fracción w(ik) es la razón entre el área de la distribución en el dominio que alimenta

al modo i y el área de la distribución en todo el dominio del modo fuente k, esto es,

∫

∫= )(

)(

)(

)(

)(

)(

)(k

máx

kmín

imáx

imín

r

r

k

xr

xr

k

ik

drf

drf

w (6.20)

Así, el balance general de población para los modos intermedios es

)()()()(

ikiki

ppwd

dp ααξ

−= (6.21)

El caso anteriormente estudiado de distribuciones que presentan modos separados

resulta ser un caso particular que puede ser explicado por estas ecuaciones con todas las

fracciones de transferencia iguales a 1 ( 1)( =ikw ).

Para todo modo k que alimenta simultáneamente n modos se satisface ∑ ==

n

iikw

1)( 1,

esta propiedad indica que los n flujos de elementos que salen del modo k suman el flujo total

de salida desde ese modo.

A partir de las ecuaciones (6.21) podemos deducir ahora la evolución de los modos de

la distribución U(1,20) con 1.0=x del ejemplo. En la Tabla 6.1 se resumen el dominio de los

modos observados, el dominio de las poblaciones que alimentan a cada uno de estos modos, el

o los modos al que pertenecen estos dominios y el rango total del dominio fuente. En la

analogía con el sistema de vasos comunicantes el modo 1 corresponde a un recipiente con dos

salidas paralelas, una dirigida al modo 2, la otra al modo 3. El modo 4 actúa como capacitor,

esto es, acumula los elementos transferidos desde los modos 2 y 3. La situación queda

ilustrada en los esquemáticos a continuación.


Tabla 6.1 Evolución de modos de la distribución U(1,20) con 1.0=x

Modoreceptor i

Modofuente k

Dominio delmodo receptor i

Dominio quetransfiere al modo

Dominio delmodo fuente

Fracción detransferencia w(ik)

1 0 [2, 20] -- -- --

2 1 [1, 2] [10, 20] [2,20] 10/18

3 1 [0.2, 1] [2,10] [2,20] 8/18

4 2-3 [0, 0.2] [0.2,2] [0.2,1]-[1,2] 1

Las ecuaciones de evolución son por lo tanto

αξξ −= epp )0()( )1()1(

αξαξ αξξ −− += epepp )0(1810)0()( )1()2()2(

αξαξξ −= epp )0(188)( )1()3(

( ) ( )( )1)0(101)0(991)( )1()2()4( −+−+−= − αξαξαξ αξξ epepep

(6.22)

Ahora, como cada modo generado en una distribución uniforme es también una

distribución uniforme, la probabilidad de cada modo se encuentra relacionada con su densidad

de probabilidad en términos simples como,

)()()( iii rfp ∆= (6.23)


Luego, la densidad de probabilidad de cada uno de los modos es

αξξ −= ef191)()1(

αξαξ αξξ −− += eef1910

191)()2(

αξαξξ −= ef1910)()3(

( )( )αξξ αξ 202121195)()4( +−= −ef

(6.24)

La porosidad normalizada en términos explícitos del parámetro de avance αξ es

( )∑∫

∫=

∞

∞

−==4

1

2)(mín

2)(máx

)(

0

0

0

)(39919

)20,1(

)(

k

kkk rrfdrrU

drrrfαξ

φφ

(6.25)

Cabe hacer notar que los radios máximo y mínimo de cada modo en esta expresión

dependen del factor de compactación x. En la Figura 6.11 se comparan los resultados de

simulación de Monte Carlo con la predicción basada en las Ecuaciones (6.24) y (6.25). En este

desarrollo se consideraron sólo los modos observables en los resultados de Monte Carlo de

esta distribución en una red cuadrada a fin de establecer una comparación (ver Figura 6.2b),

aunque en teoría existen infinitos modos en el intervalo [0,0.2].

Un aspecto no estudiado aún es la distribución espacial de poros a medida que la

compactación avanza. ¿Cómo se distribuye espacialmente la multitud de poblaciones de poro

que se genera en una compactación fuerte? ¿Se entremezclan o segregan? ¿Cuántos modos de

la distribución dominan las propiedades del material? ¿Sólo uno, o puede haber competencia?.


Los resultados de esta sección tienen consecuencias importantes sobre la evolución de

las propiedades de transporte de materiales porosos sometidos a compactación, especialmente

en la permeabilidad como se discute más adelante.

(a)

(b)

Figura 6.11 Evolución de la distribución uniforme U(1,20) a x=0.1 en una red cuadrada.(a) Resultado Monte Carlo (b) Desarrollo analítico.


6.2 Evolución de las propiedades de transporte durante compactación

A continuación se presentan resultados de la evolución que experimentan la

permeabilidad y la conductividad eléctrica de redes de poros a medida que el espacio poroso

es compactado. El tamaño de red utilizado es 250×250 nodos en dos dimensiones y 50×50×50

nodos en tres dimensiones.

En los casos estudiados se comparan los resultados de simulación de Monte Carlo con

estimaciones basadas en aproximación de campo medio (EMA). Ambos métodos son

revisados en detalle en el Capítulo 4. La implementación computacional de estos métodos

utilizada en este trabajo se presenta en el Capítulo 5. Como es bien conocido, EMA provee

una solución aproximada del problema de transporte en redes de conductores, exacta en el

caso bidimensional del problema clásico de percolación, precisa en redes cúbicas lejos de las

condiciones críticas de flujo, siempre única y de carácter físico. Por estos motivos la solución

EMA resulta clave al momento de decidir sobre la validez de los resultados de simulación de

Monte Carlo que se encuentran afectados por problemas de mal condicionamiento del sistema

lineal de balances nodales en la proximidad de las condiciones críticas.

Las Figuras 6.12 a 6.15 muestran la conductividad eléctrica en función de la porosidad

para una red cuadrada y las Figuras 6.16 a 6.19 para una red cúbica, para cuatro funciones de

distribución y para cinco factores de compactación, esto es, x = 0, 0.1, 0.3, 0.5 y 0.99. Las

Figuras 6.12-14 muestran la conductividad eléctrica de redes cuadradas de 250×250 nodos con

distribución inicial angosta U(1,2) y L(1.5,0.1) respectivamente; las Figuras 6.13-15

corresponden a distribuciones iniciales anchas U(1,20) y L(1.5,0.8) respectivamente. Las

Figuras 6.16-18 muestran la conductividad eléctrica de redes cúbicas de 50×50×50 nodos con

distribución inicial angosta U(1,2) y L(1.5,0.1) respectivamente; las Figuras 6.17-19

corresponden a distribuciones iniciales anchas U(1,20) y L(1.5,0.8) respectivamente. Para

facilitar el análisis, los resultados en las figuras se muestran en coordenadas aritméticas y

logarítmicas.


Los resultados para la red cuadrada, ver Figuras 6.12 a 6.15, revelan que la evolución

de la conductividad eléctrica en esta red depende de la intensidad con que se compactan los

poros, tal como predice la teoría en la Sección 6.1. A mayor intensidad de compactación, más

rápido es el descenso de conductividad a medida que la porosidad disminuye. En todos los

gráficos en escala logarítmica se aprecia que una ley de potencia simple rige la disminución de

conductividad, es decir, un valor único del exponente de la ley es necesario para describir la

relación en todo el rango de porosidad. El exponente de esta ley depende de la intensidad de la

compactación, la cota inferior m = 1 corresponde a una compactación débil. En el caso de

percolación, 0=x , el comportamiento de las curvas de conductividad resulta lineal hasta las

cercanías de la región crítica, donde el exponente aumenta; el comportamiento de la

conductividad es idéntico al que presenta una propiedad de transporte en función de la

fracción de enlaces conductores en un problema de percolación clásico. El límite crítico en

porosidad normalizada resulta idéntico a la probabilidad crítica de percolación en dos

dimensiones, igual a 1/2. Esto indica que la porosidad normalizada juega el rol de la fracción

de enlaces en el problema de transporte en redes.

La estimación de EMA de la conductividad eléctrica en la red cuadrada resulta en

concordancia cuantitativa con los resultados de Monte Carlo en todo el rango de porosidad

para todos los casos estudiados.

En tres dimensiones el comportamiento es similar al caso de la red cuadrada, con la

diferencia que a valores de x debajo de 0.3 las curvas en coordenadas logarítmicas presentan

puntos de inflexión como se puede ver en las Figuras 6.16 a 6.19. A simple vista una ley tipo

Archie (ver Capítulo 4) es válida en materiales débilmente deformables, para los que el

exponente de esta ley de potencia entre el factor de formación y la porosidad es único. La cota

inferior del exponente de la ley de potencia entre la conductividad eléctrica y la porosidad, es

m =1 .06, y ocurre en una compactación débil para x=0.99.

Por otro lado, en esta red los resultados de EMA concuerdan cuantitativamente con los

resultados de Monte Carlo sólo para compactaciones débiles. Sin embargo, los resultados son


cualitativamente similares en todos los casos. La diferencia entre los resultados de EMA y los

de Monte Carlo es siempre negativa, esto es, la estimación de conductividad de EMA resulta

subpredictiva, este comportamiento no es novedoso de acuerdo a las falencias conocidas del

método en el problema de percolación en redes distintas de la cuadrada. EMA no es capaz de

predecir el pie de la curva de conductividad en la red cúbica.

En el caso x = 0, el límite crítico en porosidad normalizada según Monte Carlo resulta

~0.259, prácticamente idéntico a la probabilidad crítica de percolación en tres dimensiones

( 248.0=cp ). Según EMA el límite crítico resulta igual a 0.333 lo que a pesar de ser erróneo

es consistente con la probabilidad crítica de percolación calculada mediante este método en el

problema de percolación clásico ( 3/1=cp ).

La coincidencia entre la porosidad normalizada y la probabilidad de percolación en el

límite crítico de conducción corrobora la idea de la independencia de las propiedades de

transporte en las cercanías de la región crítica de los detalles del medio, tales como la

distribución de las propiedades de los enlaces o poros. La dependencia es exclusiva de la

dimensión de la red.

Es probable que las inflexiones observadas en las curvas de conductividad eléctrica a

valores de x característicos de compactaciones intensas ocurran también en otros casos, por

ejemplo a x mayores, pero no es posible inferir una conclusión basándose en el examen visual

de los resultados de simulación. Más adelante en este capítulo se analiza la existencia y

significado de estas inflexiones sobre la base de un modelo teórico.


(a)

(b)Figura 6.12 Conductividad eléctrica normalizada vs porosidad normalizada en una red cuadrada

decorada con una distribución de radios inicial U(1,2) bajo distintas intensidades de compactación.(a) Escala aritmética. (b) Escala logarítmica.


(a)




(a)


decorada con una distribución de radios inicial L(1.5,0.1) bajo distintas intensidades decompactación. (a) Escala aritmética. (b) Escala logarítmica.


(a)




(a)

(b)Figura 6.16 Conductividad eléctrica normalizada vs porosidad normalizada en una red cúbica



(a)




(a)




(a)




Las Figuras 6.20 a 6.23 muestran la permeabilidad en función de la porosidad para una

red cuadrada y las Figuras 6.24 a 6.27 para una red cúbica, para cuatro funciones de

distribución y para cinco factores de compactación, esto es, x = 0, 0.1, 0.3, 0.5, 0.99. Las

Figuras 6.20-22 muestran respectivamente la permeabilidad de redes cuadradas de 250×250

nodos con distribución inicial angosta U(1,2) y L(1.5,0.1), las Figuras 6.21-23

respectivamente la correspondiente a distribuciones iniciales anchas U(1,20) y L(1.5,0.8). Las

Figuras 6.24-26 muestran respectivamente la permeabilidad de redes cúbicas de 50×50×50

nodos con distribución inicial angosta U(1,2) y L(1.5,0.1), las Figuras 6.25-27

respectivamente la correspondiente a distribuciones iniciales anchas U(1,20) y L(1.5,0.8). Para

facilitar el análisis los resultados se presentan en coordenadas aritméticas y logarítmicas.

Las Figuras 6.20-23 muestran que para x = 0.99 y x = 0.5 la permeabilidad de la red

cuadrada muestra una dependencia simple con la porosidad, del tipo ley de potencia, esto es,mk φ∝ . En estos casos los resultados EMA son similares a los de Monte Carlo en todo el

rango de porosidad. Un solo valor de m es suficiente para describir la relación k vs. φ para

todo φ en este tipo de compactación. La cota inferior para este exponente es m = 3 y ocurre

cuando x tiende a 1.

Las mismas Figuras 6.20-23 muestran que la permeabilidad de redes cuadradas para

3.0=x , sigue dependencias tipo ley de potencia con la porosidad. Sin embargo, a diferencia

de los casos anteriores se observa una leve inflexión a porosidad intermedia. No es posible

determinar por inspección de los resultados numéricos de permeabilidad si esta inflexión

existe también en los casos anteriores, x = 0.5 y 0.99. Antes del punto de inflexión un solo

valor de m es suficiente para describir la relación k vs. φ. Para el rango de porosidad bajo el

punto de inflexión otro valor de m parece necesario. Es importante notar que las distribuciones

angostas L(1.5,0.1) y U(1,2) muestran multiplicidad de modos o poblaciones de poros para x

menores o iguales a 0.3 como indican las Figuras 6.1 y 6.3, esto explicaría en principio la

aparición del punto de inflexión que revela microestructuras porosas distintas antes y después

del punto de inflexión.


Para x = 0.1 es más notorio el comportamiento no-lineal de las curvas de permeabilidad

que para x = 0.3 en coordenadas logarítmicas. La curva de permeabilidad presenta claros

puntos de inflexión, reflejo de poblaciones de poros distintas que controlan la permeabilidad

en distintas etapas del proceso de compactación. Más de un valor de m es necesario para

describir la relación k vs. φ.

A x = 0 el comportamiento de la permeabilidad, es similar al que presentan las

propiedades de transporte en percolación clásica, lo novedoso es que el punto crítico para

todos los casos estudiados en la red cuadrada ocurre a una porosidad normalizada, 0/φφ , igual

a 0.5, idéntica a la probabilidad crítica de percolación de enlaces en la misma red. Lo mismo

ocurría en el caso de la conductividad eléctrica que es otra propiedad de transporte. Este

resultado indica que cuando el volumen de poros de la red se ha reducido en un 50% respecto

al inicial no existe un camino que conecte los extremos de la red, e implica necesariamente

que se ha eliminado la mitad de los enlaces. Más adelante se demostrará que cuando x = 0, en

este modelo la porosidad normalizada resulta exactamente igual a la fracción de enlaces p en

la red cuadrada. Cualitativamente, cuando x = 0 la compactación equivale a eliminar

aleatoriamente enlaces de la red, es un proceso de percolación, y por lo tanto el estado de

transición conductor-aislante de la red no depende de la distribución de tamaño de los poros,

ni de la definición de los elementos de conductancia, ni de otros detalles, sino que depende

exclusivamente de la dimensión de la red.

En todos los resultados para la red cuadrada la predicción de EMA resulta en

concordancia cuantitativa con los resultados precisos de simulación de Monte Carlo, sólo en

coordenadas logarítmicas es posible apreciar leves diferencias en las zonas de transición que

en términos de convergencia son las que presentan mayor dificultad para el método de Monte

Carlo.

En la red cúbica los resultados son cualitativamente similares a los de la red cuadrada.

Las Figuras 6.24-27 muestran que para x = 0.99, esto es, para compactaciones leves de poro, la


permeabilidad muestra una dependencia tipo ley de potencia simple con la porosidad para

todas las distribuciones estudiadas. La cota mínima del exponente de esta ley ocurre en estas

compactaciones débiles, x tiende a 1, y resulta igual a 2. Los resultados EMA se encuentran en

excelente acuerdo con los de Monte Carlo en todo el rango de porosidad. Un solo valor de m

es suficiente para describir la relación k vs. φ para todo φ en estas compactaciones débiles.

Las mismas Figuras 6.24-27 muestran también que la permeabilidad de la red cúbica

para x = 0.5 sigue dependencias tipo ley de potencia con la porosidad. Sin embargo, al igual

que en el caso de la red cuadrada, los resultados Monte Carlo y EMA insinúan al menos un

punto de inflexión. En esta zona que corresponde a una compactación de poros intermedia el

punto de inflexión es notorio sólo para la distribución L(1.5,01), ver Figura 6.25, en las

restantes distribuciones sólo se insinúa como una no linealidad de la curva logarítmica de

permeabilidad. En este rango de porosidad alta un solo valor de m es suficiente para describir

la relación k vs. φ. Para el rango de porosidad bajo el punto de inflexión otro valor de m parece

necesario. Es importante notar que de todas las distribuciones iniciales la L(1.5,0.1) es la única

que muestra modos separados durante su evolución a x = 0.5 (ver Figura 6.6), las restantes a

pesar de mantener un solo modo o población de poros en todo el rango de porosidad, generan

medios estructuralmente distintos a medida que la compactación avanza. Una explicación es

que la distribución a pesar de mantenerse unimodal, se desplaza hacia poros muy pequeños los

que eventualmente controlan la permeabilidad del medio; al inicio del proceso de

compactación la red posee una microestructura compuesta por una mezcla de poros de distinto

tamaño pero todos conductores, hacia el final del proceso la microestructura porosa se

encuentra compuesta por una mezcla de poros cuyos tamaños difieren en varios ordenes de

magnitud, una fracción importante de ellos simplemente no constituye pasos efectivos de

flujo, sino más bien lo resisten. Es fácil imaginar que en los extremos de un proceso de

compactación, que mantenga la distribución unimodal pero que genere muchos poros

pequeños, las microestructuras sean radicalmente distintas unas de otras. Esto explicaría el

punto de inflexión en la curvas de permeabilidad para L(1.5,0.1).


Las Figuras 6.24-27 muestran que la permeabilidad de la red cúbica sigue

dependencias muy complejas con la porosidad a valores bajos del factor de compactación, x =

0.1 y 0.3. La permeabilidad muestra puntos de inflexión, lo que refleja que poblaciones de

poros distintas, ver Figuras 6.5 a 6.8, controlan la permeabilidad en distintas etapas del

proceso de compactación. Evidentemente, más de un valor de m es necesario para describir la

relación k vs. φ.

El acuerdo entre EMA y datos precisos de Monte Carlo es sólo cualitativo en todo el

rango de porosidad. Ambos muestran las zonas de inflexión, pero las curvas calculadas

mediante EMA muestra un desplazamiento respecto de la curva Monte Carlo. EMA siempre

subpredice la permeabilidad. En relación con este punto es importante señalar que para

mejorar la predicción de EMA de las propiedades de transporte para x > 0, se encuentra en

progreso la aplicación de etapas previas de renormalización sobre la distribución de tamaño de

poros antes de aplicar campo medio y la incorporación de un término correctivo a la expresión

de las fluctuaciones en la aproximación de medio efectivo tal como sugiere la aproximación de

enlace simple SBA (ver Capítulo 4) para el caso de percolación.

A x = 0 ocurre lo mismo que en la red cuadrada, el comportamiento de la

permeabilidad corresponde a un proceso de percolación. De acuerdo a Monte Carlo el punto

crítico en la red cúbica, para todas las distribuciones, resulta igual a 0.259 en porosidad

normalizada, 0/φφ , que resulta prácticamente idéntico a la probabilidad crítica de percolación

en esta red (pc = 0.248). Como se indicó anteriormente, aunque la aproximación de medio

efectivo en la red cúbica sólo posee un carácter cualitativo, señala un resultado interesante, la

porosidad normalizada crítica estimada mediante este método resulta idéntica a la probabilidad

crítica de percolación que provee esta teoría en el problema de percolación clásico. Esto

corrobora la independencia de las propiedades críticas, tales como la fracción crítica de

percolación, de los detalles no topológicos de la red en las cercanías del punto crítico.

Existe un cuerpo importante de datos experimentales de permeabilidad en diversas

clases materiales porosos que sometidos a compactación muestran el inicio de una transición


de régimen de transporte, esto es, el cambio que ocurre cuando una microestructura porosa que

controla la permeabilidad deja de hacerlo para que otra nueva asuma esta función. El lector es

referido por ejemplos a los datos de Bourbié et al. (1987) para permeabilidad de arena de

Fontainebleau, de Ken y Winkler (citados por Mavko y Nur 1997) para permeabilidad de

esferas de vidrio fundidas, y de Bernabe et al. (1982) para permeabilidad de calcita prensada

en caliente. En general, la literatura ha negado sentido físico al abrupto descenso de la

permeabilidad en la proximidad de un punto de inflexión. En la mayoría de los casos los datos

son medidos pero no son reportados, y cuando lo son se explica que corresponden a la zona

donde las medidas no son válidas. En el afán de ajustar una relación de potencia, mk φ∝ , los

datos en la zona de decaimiento rápido de la permeabilidad son simplemente descartados. En

algunos casos se ajusta la relación mk φ∝ por tramos. Recientemente Mavko y Nur (1997)

ajustaron la relación ( )3ck φφ −∝ a los datos mencionados con notable éxito, cφ es una

porosidad pseudocrítica que cumple la función de parámetro de ajuste. Mavko y Nur, sin

embargo, no explican el significado físico de cφ , no reconocen la existencia de una longitud

característica del espacio poroso y menos insinúan la posible existencia de un punto de

inflexión a porosidades más bajas que cφ en las curvas de permeabilidad examinadas. A modo

anecdótico cabe mencionar que en el desarrollo del trabajo teórico de Wong et al. (1984) para

el modelo de encogimiento de poros, en un pasaje del trabajo menciona que no fue posible

calcular permeabilidades para factores compactación x < 0.25 por problemas numéricos. A la

luz de los resultados presentados en este trabajo cabe preguntarse si la sinuosidad que exhiben

las curvas de permeabilidad vs porosidad a bajos valores de x en coordenadas logarítmicas

pudo confundir a Wong y colaboradores.


(a)

(b)Figura 6.20 Permeabilidad normalizada vs porosidad normalizada en una red cuadrada decorada

con una distribución de radios inicial U(1,2) bajo distintas intensidades de compactación.(a) Escala aritmética. (b) Escala logarítmica.


(a)


con una distribución de radios inicial U(1,20) bajo distintas intensidades de compactación.(a) Escala aritmética. (b) Escala logarítmica.


(a)


con una distribución de radios inicial L(1.5,0.1) bajo distintas intensidades de compactación.(a) Escala aritmética. (b) Escala logarítmica.


(a)


con una distribución de radios inicial L(1.5,0.8) bajo distintas intensidades de compactación.(a) Escala aritmética. (b) Escala logarítmica.


(a)

(b)Figura 6.24 Permeabilidad normalizada vs porosidad normalizada en una red cúbica decorada con

una distribución de radios inicial U(1,2) bajo distintas intensidades de compactación.(a) Escala aritmética. (b) Escala logarítmica.


(a)

(b)

Figura 6.25 Conductividad eléctrica normalizada vs porosidad normalizada en una red cúbicadecorada con una distribución de radios inicial U(1,20) bajo distintas intensidades de compactación.

(a) Escala aritmética. (b) Escala logarítmica.


(a)


una distribución de radios inicial L(1.5,0.1) bajo distintas intensidades de compactación.(a) Escala aritmética. (b) Escala logarítmica.


(a)


una distribución de radios inicial L(1.5,0.8) bajo distintas intensidades de compactación.(a) Escala aritmética. (b) Escala logarítmica.


Teoría

A continuación se demuestra que los puntos de inflexión en compactaciones intensas

existen en la solución del modelo de transporte propuesto, es decir, que no son un efecto

numérico como supusieron Wong et al. (1984). El significado de estos puntos de inflexión se

encuentra a la luz de la teoría de percolación extendida al caso más general ] ]cxx ,0∈ , lo que

de aquí en adelante se denomina proceso de semi-percolación.

En el modelo de compactación, es posible en principio determinar expresiones

analíticas de las propiedades de transporte en términos de las restantes variables del modelo;

porosidad, intensidad de compactación y conectividad de la red. El desarrollo se obtiene

mediante teoría de campo medio aplicada sobre la evolución de la distribución de tamaño de

poros a lo largo del proceso de compactación. En la Sección 6.1 se demostró que la evolución

de la distribución puede ser deducida a partir de balances diferenciales de poblaciones de

poros en la distribución.

La ecuación autoconsistente que define la conductancia efectiva de una red es

0);()(

1

)(

)(

)(máx

)(mín

=

+−∑ ∫

=

dggfgg

gg iN

i

rg

rgef

efi

i

φη

(6.26)

donde );()( φrf i es la definición analítica de la distribución f sobre el dominio en r del modo

i-ésimo a un valor dado de porosidad, 12/ −= zη es un término que depende de la

conectividad de la red. Resulta imposible expresar la evolución de los modos en términos

explícitos de la porosidad normalizada, pero sí es posible hacerlo en términos de la variable de

avance ξ . De cualquier forma, aunque la variable ξ simplifica el problema, la ecuación sólo

define implícitamente la conductancia efectiva en el caso simple de una distribución uniforme

con dos modos, y por lo tanto su solución es numérica.


Sin embargo, podemos estudiar en forma completa un modelo más simple de

compactación. Consideremos un espacio poroso compuesto por elementos de igual tamaño,

aleatoriamente se compactan de acuerdo a un factor de compactación x y los elementos son

compactados sólo una vez. Es decir una vez compactados alcanzan su radio mínimo. Este

problema genera la transferencia de elementos entre dos modos, es decir, corresponde al

problema de conducción en una distribución binaria. La distribución de tamaño de poros es

)()()( 1211 xrrprrprf −+−= δδ (6.27)

Y la distribución de conductancias es

)()()( 2211 ggpggpgf −+−= δδ

)( 11 rgg = ; )( 12 xrgg = .

(6.28)

De acuerdo a la condición de normalización de la distribución, la sumatoria de las

probabilidades de los dos modos es unitaria. En la distribución binaria esto es

12 1 pp −= (6.29)

En este caso no son necesarios los balances de población, ya que este es un problema

univariante en donde puede ser elegida como variable de avance 1p para definir la

distribución y las propiedades macroscópicas del sistema en cualquier etapa del proceso de

compactación. La aplicación de la aproximación de medio efectivo resulta en la siguiente

ecuación cuadrática que define la conductancia efectiva

( ) ( )( ) 0212211122

=−−+−+ gggpggpggg efef ηηη (6.30)


Cuya la solución es

ηη

24 21

2 ggbbg ef ++−

=

( ) ( ) 221112 pggpggb ηη −+−=

(6.31)

La permeabilidad y la conductividad eléctrica en el modelo son múltiplos de la

conductancia efectiva. Por lo tanto el punto de inflexión ocurre a la misma porosidad para la

conductancia efectiva y para otras propiedades de transporte.

La porosidad normalizada en la red cuadrada queda definida como

( )

xppdrrrr

drxrrprrpr

21

01

01211

0 )(

)()(+=

−

−+−=

∫

∫∞

∞

δ

δδ

φφ

(6.32)

Y en la red cúbica como

( )2

21

01

2

01211

2

0 )(

)()(xpp

drrrr

drxrrprrpr+=

−

−+−=

∫

∫∞

∞

δ

δδ

φφ

(6.33)

Cabe notar que en el caso x = 0, que es el proceso de percolación, la porosidad

normalizada en ambas redes equivale exactamente a la fracción de conductores p1.


El exponente de la relación de potencia entre la propiedad de transporte y la porosidad

queda definido como

φlnln

dgdm

e

=(6.34)

El punto de inflexión queda definido como el estado en que la derivada con respecto a

la porosidad del exponente de la relación de potencia entre la propiedad de transporte y la

porosidad se anula, esto es,

0=φd

dm (6.35)

Una forma equivalente y más simple de determinar este punto es

0ln21

2

=dp

gd ef (6.36)

que en la ecuación de conductancia define la condición equivalente del punto de inflexión

( ) 0"4' 221

2 =++− bbggbb η

⇔ ( ) 0)1)(()1()( 1212122

21 =+−++−+− pgggggg ηηη

(6.37)

Al desarrollar esta expresión la probabilidad a la que ocurre la transición resulta igual a

)1)(( 21

21*

ηη+−

−=

ggggp

(6.38)


Ahora para la permeabilidad en la red cuadrada (ver Capítulo 4)

3111 )( rrgg α==

31

33112 )( xgxrxrgg === α

1=η

(6.39)

Reemplazando en la Ecuación (6.38) resulta

2/1* =p (6.40)

que es invariante e idéntico al umbral crítico de percolación de la red cuadrada. Este resultado

implica que para cualquier factor de compactación existe un punto de inflexión en la curva de

evolución de la propiedad de transporte y que ocurre siempre a un valor fijo de p e igual a la

probabilidad de percolación crítica. La Figura 6.28 muestra la permeabilidad normalizada

EMA del modelo binario versus la fracción de enlaces de alta conductancia p1 en una red

cuadrada para distintos factores de compactación. Círculos abiertos señalan la predicción de

puntos de inflexión en p1 mediante la Ecuación (6.40).

Por otro lado, la porosidad a la que ocurre la inflexión resulta dependiente de la

intensidad de compactación de acuerdo a la Ecuación (6.32). La inflexión de las curvas de

permeabilidad en la red cuadrada es

21*

0

x+=

φφ (6.41)

La Figura 6.29 muestra la permeabilidad normalizada EMA del modelo binario versus

porosidad normalizada para el modelo binario en una red cuadrada para distintos factores de

compactación x. La Ecuación (6.41) y la Figura 6.29 indican que el punto de inflexión no es

un límite único sino que resulta dependiente de la intensidad del proceso de compactación.


Figura 6.28 Permeabilidad normalizada vs fracción de enlaces de alta conductancia p1 para elmodelo binario en una red cuadrada para distintos factores de compactación x. Los círculos


Figura 6.29 Permeabilidad normalizada vs porosidad normalizada para el modelo binario en unared cuadrada para distintos factores de compactación x. Los círculos corresponden a la predicción

de puntos de inflexión.


De acuerdo a la Ecuación (6.38) la transición en conductividad eléctrica ocurre a una

fracción p1 igual a

21

)(2 11

11* =−−

=xgg

xggp(6.42)

Es decir, los puntos de inflexión en las curvas de conductividad eléctrica en la red

cuadrada existen y ocurren a una fracción de enlaces de alta conductancia p1 idéntica a la del

caso de la permeabilidad e igual a la probabilidad de percolación crítica de esta red.

La porosidad normalizada a la que ocurre la transición se encuentra dada también por

la Ecuación (6.32), es decir, resulta dependiente a la intensidad del proceso de compactación.

La Figura 6.30 muestra la conductividad eléctrica normalizada EMA del modelo

binario versus la fracción de enlaces de alta conductancia p1 en una red cuadrada para distintos

factores de compactación. Círculos abiertos señalan la predicción de puntos de inflexión en p1

mediante la Ecuación (6.42). La Figura 6.31 muestra la conductividad eléctrica normalizada

EMA del modelo binario versus porosidad normalizada para el modelo binario en una red

cuadrada para distintos factores de compactación x. La Ecuación (6.41) y la Figura 6.31

indican que el punto de inflexión no es un límite único sino que resulta dependiente de la

intensidad del proceso de compactación.

Veamos que ocurre con la permeabilidad en una red cúbica,

4111 )( rrgg α==

41

44112 )( xgxrxrgg === α

2=η

(6.43)


Figura 6.30 Conductividad eléctrica normalizada EMA vs fracción de enlaces de alta conductanciap1 para el modelo binario en una red cuadrada para distintos factores de compactación x. Los

círculos en las curvas corresponden a la predicción de puntos de inflexión.

Figura 6.31 Conductividad eléctrica normalizada EMA vs porosidad normalizada para el modelobinario en una red cuadrada para distintos factores de compactación x. Los círculos en las curvas



Reemplazando en (6.38) resulta

)1(321

4

4*

xxp

−−

=(6.44)

A diferencia de la red cuadrada, en la red cúbica este punto no ocurre a un valor fijo de

la fracción de enlaces p, sin embargo, como el término x4 es muy pequeño en la mayoría de los

casos ocurre que este límite es cercano a 1/3 que es la probabilidad de percolación crítica de la

red cúbica de acuerdo a la teoría de campo medio. Cuando x = 0 la transición de régimen de

acuerdo a (6.44) ocurre exactamente a la probabilidad crítica de percolación de esta red.

Por otro lado, como la probabilidad p del punto de inflexión se encuentra contenida en

el dominio [0,1] podemos establecer que existe un límite para el factor de compactación sobre

el que la curva de permeabilidad no exhibe cambio en el exponente de la ley de transporte. En

el lenguaje de las transiciones de fase este factor de compactación xc corresponde a la curva de

compactación crítica, esto es la cota superior en x a la que puede ocurrir la transición

conductor-conductor débil existente en el modelo binario, esto es,

8409.021 4/1

=

=cx

(6.45)

Para factores de compactación distintos de 0 la fracción de enlaces a la que ocurre la

transición de semipercolación resulta similar a pc = 1/3 para valores de x lejos del factor crítico

de compactación xc. Así, cuando la compactación es intensa, x tiende a 0, la probabilidad de

transición es distinta pero cercana a pc, sólo en las cercanías de xc la probabilidad de transición

muestra una dependencia fuerte de x pero aquí la inflexión es apenas notable en la evolución

de la propiedad de transporte. La Figura 6.32 muestra la fracción de enlaces en la transición de

permeabilidad versus el factor de compactación x para el modelo binario en una red cúbica.

Cuando x = 0 el proceso es percolativo y la fracción de enlaces en la transición coincide con la


probabilidad de percolación bajo el análisis de teoría de campo medio. La envolvente de

transiciones de semipercolación muestra un punto crítico en x.

Figura 6.32 Fracción de enlaces en la transición de permeabilidad vs factor de compactación x parael modelo binario en una red cúbica.

En la red cúbica la porosidad normalizada a la que ocurre la inflexión en la curva de

permeabilidad también depende de la intensidad del proceso de compactación,

2

42*

0 3331

xxx

+++

=φφ (6.46)

La Figura 6.33 muestra la permeabilidad normalizada EMA del modelo binario versus

la fracción de enlaces de alta conductancia p1 en una red cúbica para distintos factores de

compactación. Círculos abiertos señalan la predicción de puntos de inflexión en p1 mediante la

Ecuación (6.44). La Figura 6.34 muestra la permeabilidad normalizada EMA del mismo

modelo. La Ecuación (6.46) y la Figura 6.34 indican que el punto de inflexión no es un límite

único sino que resulta dependiente de la intensidad del proceso de compactación.


Figura 6.33 Permeabilidad normalizada EMA vs fracción de enlaces de alta conductancia p1 para elmodelo binario en una red cúbica para distintos factores de compactación x. Los círculos en las

curvas corresponden a la predicción de puntos de inflexión.

Figura 6.34 Permeabilidad normalizada EMA vs porosidad normalizada en una red cúbica delmodelo binario para distintos factores de compactación x. Los círculos en las curvas corresponden a

la predicción de puntos de inflexión


Siguiendo el mismo análisis, la conductividad eléctrica en la red cúbica presenta una

transición en

)1(321

2

2*

xxp

−−

=(6.47)

Es decir, presenta inflexiones a fracciones p1 cercanas a 1/3 igual que en el caso de la

permeabilidad.

También esta transición muestra un factor de compactación crítico sobre el que las

curvas de conductividad eléctrica no muestran inflexiones, esto es,

7071.021 2/1

=

=cx

(6.48)

Luego la porosidad normalizada a la que ocurren los puntos de inflexión de las curvas

de conductividad eléctrica en la red cúbica es

31 2*

0

x+=

φφ (6.49)

La Figura 6.35 muestra la conductividad eléctrica normalizada EMA del modelo

binario versus la fracción de enlaces de alta conductancia p1 en una red cúbica para distintos

factores de compactación. Círculos abiertos señalan la predicción de puntos de inflexión en p1

mediante la Ecuación (6.47). La Figura 6.36 muestra la conductividad eléctrica normalizada

EMA del mismo modelo. La Ecuación (6.49) y la Figura 6.36 indican que el punto de

inflexión no es un límite único sino que resulta dependiente de la intensidad del proceso de

compactación.


Figura 6.35 Conductividad eléctrica normalizada EMA vs fracción de enlaces de alta conductanciap1 para el modelo binario en una red cúbica para distintos factores de compactación x. Los círculos

en las curvas corresponden a la predicción de puntos de inflexión.

Figura 6.36 Conductividad eléctrica normalizada EMA vs porosidad normalizada para el modelobinario en una red cúbica para distintos factores de compactación x. Los círculos en las curvas



Algunas conclusiones importantes se pueden extraer de este desarrollo analítico. La

inflexión observada en las curvas de evolución de las propiedades de transporte existe en el

modelo de compactación, estos puntos se encuentran relacionados con estados de transición de

régimen de transporte conductor-conductor débil. La transición de semipercolación ocurre a

fracciones de enlaces p del modo de alta conductancia bien definidos y cercanos a la

probabilidad de percolación clásica en ambas redes. En términos de la porosidad el punto de

transición no es único, en general, sino que resulta mucho más sensible a la intensidad del

proceso de compactación y a las características de cada medio particular pues esta propiedad

depende de la integración sobre la distribución de tamaño en las distintas etapas del proceso de

compactación.

Las transiciones de semipercolación son el producto de la existencia de modos

diferenciados en la evolución de la distribución de tamaño de poros. Resulta, sin embargo,

más difícil determinar criterios analíticos de transición sobre la base del desarrollo de

expresiones explícitas para la conductancia efectiva en distribuciones continuas como las

empleadas aquí en simulación de Monte Carlo.

Los puntos críticos determinados en la transición de semipercolación existen en el

modelo binario y tal vez también en el modelo de Wong et al. (1984). Los puntos críticos

definen zonas en el espacio de las propiedades elásticas de los materiales porosos y de la

intensidad de compactación de materiales que pueden presentar cambios en el régimen de

transporte durante su compactación.


6.3 Porosimetría en redes de poros

Las Figuras 6.37 a 6.44 muestran curvas de inyección de fluido no mojante, en este

caso mercurio, en redes de poros cuadradas y cúbicas, a distintos niveles de compactación que

van desde débil a severo. Los resultados en estas figuras fueron generados mediante el

algoritmo de simulación de Monte Carlo de inyección de mercurio en redes de poros

desarrollado en el Capítulo 5. Para cada presión aplicada externamente sobre el mercurio se

determina el diámetro del menisco mercurio-vacío que se forma mediante la ecuación de

capilaridad de Laplace, esto es, dpc /cos4 θσ−= , donde cp es la presión capilar, que es la

diferencia de presión a través de la interfase mercurio-vacío, σ es la tensión superficial (485

dyn/cm para mercurio), θ es el ángulo de contacto medido a través de la fase no mojante

(130° a través del mercurio), y d es el radio de curvatura del menisco hemisférico que se forma

en la boca de cada poro accesible al mercurio. Si el tamaño de un poro dado accesible al

mercurio es mayor que d, entonces el poro es inundado completamente de fase no mojante. Si

el tamaño de un poro dado accesible es menor a d, entonces el menisco se mantiene en la boca

del poro a la espera que la presión externa aumente.

Las figuras muestran variación de saturación de mercurio, esto es, volumen de

mercurio normalizado por el volumen total del espacio poroso, en función de presión aplicada

sobre mercurio. Las Figuras 6.37 a 6.40 muestran las curvas correspondientes a redes

cuadradas de 250×250 nodos con distribución de tamaño de poros U(1,2), U(1,20), L(1.5,0.1)

y L(1.5,0.8). Las Figuras 6.41 a 6.44 muestran las curvas correspondientes a simulaciones en

redes cúbicas de 40×40×40 nodos y las mismas distribuciones anteriores.

La compactación débil se obtiene con x = 0.99 y la severa con x = 0, el problema de

percolación. Los círculos blancos en las figuras son puntos de inflexión que indican la

formación de un racimo de mercurio que percola a través de la red de poros. En terminología

de teoría de percolación, en el punto de inflexión se forma un racimo conectado que atraviesa

la red de poros y que se califica como racimo infinito. En un punto de inflexión típico la

presión externa sobre el fluido no mojante es suficiente para penetrar el espacio poroso hasta


atravesar la red de poros completamente. Al igual que Katz y Thompson (1986) aquí

consideramos que el punto de inflexión en la curva de inyección de mercurio marca la presión

umbral ucp , para la formación de un racimo infinito. De la ecuación de Laplace se deduce que

los poros que forman el racimo infinito poseen tamaños l que satisfacen la relación

./cos4 ,ucpl θσ−≥ Por otra parte, no es posible formar un racimo infinito con poros de

tamaño estrictamente mayor que ./cos4 ,ucpθσ− Así entonces, esta expresión define la

longitud característica cl que fija la escala de la permeabilidad como veremos más adelante.

Es importante notar en las Figuras 6.37 a 6.44 que las curvas de inyección de mercurio

en algunos casos muestran más de un punto de inflexión, especialmente aquellas curvas

correspondientes a regímenes de compactación mediana y fuerte donde la distribución de

tamaño de poros evoluciona de monomodal a multimodal (ver por ejemplo Figuras 6.1, 6.3,

6.5 y 6.7). Sin embargo, solo un punto de inflexión marca la presión umbral, esto es, la presión

mínima necesaria para formar un racimo de mercurio infinito. Tal punto de inflexión es

marcado con el círculo blanco antes referido en cada una de las curvas de inyección de

mercurio en las Figuras 6.37 a 6.44. En situaciones de compactación donde las distribuciones

desarrollan multimodos, por ejemplo las Figuras 6.1, 6.3, 6.5 y 6.7, cada meseta o plateau de

presión en las curvas de saturación corresponde a la presión mínima necesaria para comenzar a

invadir poros de una cierta población de tamaño. Mientras más alta es la meseta en términos

de presión menor es el tamaño de poros de la población invadida. Entonces, se puede concluir

que cada una de las inflexiones de la curva de saturación corresponde a la presión mínima

necesaria para invadir los poros de cada uno de los modos de la distribución. Adicionalmente,

como se discutió antes, la inflexión marcada con el punto blanco en las Figuras 6.37 a 6.44

corresponde a la invasión de la población de poros del modo de la distribución de tamaño que

controla la permeabilidad del medio.

Las curvas de porosimetría en redes de poros se utilizan a continuación para determinar

la longitud crítica de la microestructura porosa que controla la permeabilidad.


(a) (b)

(c) (d)

(e)Figura 6.37 Evolución de curvas de saturación ( nwS ) o presión capilar ( cP ) de una red de poros

cuadrada de 250×250 nodos sometida a compactación con x = 0 (a), 0.1 (b), 0.3 (c), 0.5 (d) y 0.99 (e).La distribución de radio de poros (ductos) inicial es uniforme U(1,2). Círculos blancos indican la presión

umbral de la red.


(a) (b)

(c) (d)


cuadrada de 250×250 nodos sometida a compactación con x = 0 (a), 0.1 (b), 0.3 (c), 0.5 (d) y 0.99 (e). Ladistribución de radio de poros (ductos) inicial es uniforme U(1,20). Círculos blancos indican la presión

umbral de la red.


(a) (b)

(c) (d)


cuadrada de 250×250 nodos sometida a compactación con x = 0 (a), 0.1 (b), 0.3 (c), 0.5 (d) y 0.99 (e).La distribución de radio de poros (ductos) inicial es log-normal L(1.5,0.1). Círculos blancos indican la

presión umbral de la red.


(a) (b)

(c) (d)


cuadrada de 250×250 nodos sometida a compactación con x = 0 (a), 0.1 (b), 0.3 (c), 0.5 (d) y 0.99 (e).La distribución de radio de poros (ductos) inicial es log-normal L(1.5,0.8). Círculos blancos indican la



(a) (b)

(c) (d)

(e)Figura 6.41 Evolución de curvas de saturación ( nwS ) o presión capilar ( cP ) de una red de poros cúbica

de 40×40×40 nodos sometida a compactación con x = 0 (a), 0.1 (b), 0.3 (c), 0.5 (d) y 0.99 (e).La distribución de radio de poros (ductos) inicial es uniforme U(1,2). Círculos blancos indican la presión

umbral de la red.


(a) (b)

(c) (d)


de 40×40×40 nodos sometida a compactación con x = 0 (a), 0.1 (b), 0.3 (c), 0.5 (d) y 0.99 (e).La distribución de radio de poros (ductos) inicial es uniforme U(1,20). Círculos blancos indican la



(a) (b)

(c) (d)


de 40×40×40 nodos sometida a compactación con x = 0 (a), 0.1 (b), 0.3 (c), 0.5 (d) y 0.99 (e).La distribución de radio de poros (ductos) inicial es log-normal L(1.5,0.1). Círculos blancos indican la



(a) (b)

(c) (d)


de 40×40×40 nodos sometida a compactación con x = 0 (a), 0.1 (b), 0.3 (c), 0.5 (d) y 0.99 (e).La distribución de radio de poros (ductos) inicial es log-normal L(1.5,0.8). Círculos blancos indican la


Resultados y Diuscusión 234

6.4 Longitudes de escala y sus evoluciones en redes sometidas a compactación

Diversas longitudes de escala han sido sugeridas a fin de relacionar la conductividad

eléctrica de un medio poroso saturado con su permeabilidad. En este trabajo se calcularon tres

longitudes de escala: el diámetro hidráulico, cd , la longitud lambda, Λ , y la longitud crítica

cl . El diámetro hidráulico corresponde a la razón entre el volumen de poros y su área

superficial, la longitud lambda considera el espacio poroso conectado dinámicamente en un

experimento de flujo eléctrico, y la longitud crítica queda determinada mediante un

experimento de porosimetría y corresponde al tamaño de poro que una vez invadido por fluido

no mojante no se puede impedir que atraviese el medio completamente sin ayuda adicional. En

esta sección se presentan resultados para hd y Λ en redes cúbicas solamente. La sección

siguiente se dedica a cl para redes cúbicas y cuadradas. La literatura ha mostrado una y otra

vez que el diámetro hidráulico no es un buen predictor de la permeabilidad. La falla se debe a

que no representa adecuadamente el espacio poroso conectado dinámicamente en situaciones

de flujo de fluidos. Los resultados de diámetro hidráulico se informan aquí como mera

formalidad y se limitan a redes cúbicas. La longitud lambda ha sido ofrecida en el mismo nivel

que la longitud crítica. La literatura señala que ambas longitudes son buenas predictoras de la

permeabilidad. Sin embargo, los estudios se han limitado a rangos modestos de porosidad.

Aparentemente, la longitud lambda no es tan buen predictor en todo el rango de porosidad si

se consideran intervalos amplios. Las razones deben quedar claras después de analizar los

resultados de longitud crítica en la siguiente sección. La longitud lambda se calcula aquí para

redes cúbicas solamente.

Longitud hidráulica

La Figura 6.45 muestra el diámetro hidráulico normalizado versus la porosidad

normalizada para una red cúbica decorada con diversas distribuciones de tamaño de poros a

distintas intensidades de compactación.


El resultado para x = 0, a primera vista extraño, se puede explicar fácilmente. El

diámetro hidráulico permanece constante dado que el efecto neto de cerrar poros simplemente

empobrece el muestreo de la distribución pero la mantiene prácticamente inalterada. La curva

para x = 0 tiene sentido sólo hasta la porosidad que marca el punto de percolación. Para

valores de x mayores a 0, la compactación modifica la distribución inicial de tamaño de poros.

Así, el diámetro hidráulico disminuye a medida que la porosidad disminuye, un resultado

esperado. Un análisis más detallado de los resultados en la Figura 6.45 muestra la

insensibilidad del diámetro hidráulico a la rica y compleja evolución de la distribución de

tamaño a medida que la red de poros es compactada.

(a) (b)

(c) (d)Figura 6.45 Diámetro hidráulico normalizado vs porosidad normalizada en una red cúbica decoradacon distribución de tamaño de poros inicial (a) U(1,2) (b) U(1,20), (c) L(1.5,0.1) y (d) L(1.5,0.8) a

distintas intensidades de compactación dadas por el factor x.


Longitud lambda

La Figura 6.46 muestra la longitud lambda normalizada versus la porosidad

normalizada para una red cúbica decorada con diversas distribuciones de tamaño de poros a

distintas intensidades de compactación. El resultado es sorprendente, la longitud lambda

normalizada no es sensible a cambios en el factor de compactación. Un análisis más detallado

de los resultados en la Figura 6.46 muestra que la longitud lambda, al igual que el diámetro

hidráulico, es insensible a la rica y compleja evolución de la distribución de tamaño de poros a

medida que la red es compactada.

(a) (b)

(c) (d)Figura 6.46 Longitud lambda normalizada vs porosidad normalizada en una red cúbica con

distribución de tamaño de poros inicial (a) U(1,2) (b) U(1,20), (c) L(1.5,0.1) y (d) L(1.5,0.8) adistintas intensidades de compactación x. La ampliación muestra Λ a baja porosidad.


6.5 Longitud característica y su evolución en redes sometidas a compactación

Experimentos Numéricos

Las Figuras 6.47 a 6.54 muestran la evolución de la longitud característica o crítica de

redes de poros a distintos niveles de compactación, o porosidad, a regímenes de compactación

que abarcan el espectro completo de débil a fuerte. La longitud característica se calcula a partir

de simulaciones de Monte Carlo del proceso de inyección de mercurio en redes de poros tal

como se indica en la Sección 6.3. Tanto la longitud característica como la porosidad se

despliegan normalizadas por los respectivos valores que estas propiedades poseen en la red de

poros original sin compactar, es decir, por los valores al comienzo de cada simulación. La

Figuras 6.47 a 6.50 muestran las curvas de longitud característica vs. porosidad normalizada

correspondientes a redes cuadradas de 600×600 nodos con distribuciones de tamaño de poros

U(1,2), U(1,20), L(1.5,0.1) y L(1.5,0.8). La Figuras 6.51 a 6.54 muestran las curvas

correspondientes a redes cúbicas de 50×50×50 nodos con las mismas distribuciones de tamaño

de poros que en el caso anterior. Los regímenes de compactación considerados son x = 0.99,

0.5, 0.3, 0.1 y 0.

Los resultados revelan que compactaciones débiles producen medios que se parecen al

material poroso original, esto es, todos los detalles importantes del medio permanecen; la

longitud característica evoluciona continuamente a medida que la porosidad decrece debido al

proceso de compactación. Un observador del medio poroso a cualquier nivel de porosidad,

mas allá de la obvia reducción de porosidad, no percibiría cambios geométricos-topológicos

significativos en el espacio poroso respecto del espacio original al inicio del proceso de

compactación. La microestructura porosa retiene sus características durante todo el proceso de

compactación. En otras palabras, la microestructura porosa “recuerda” su forma primitiva.

Desde un punto de vista geofísico lo que aquí denominamos compactación débil no es otra

cosa que un proceso diagenético suave que reduce la porosidad del medio poroso pero que no

cambia su clase; una arena de Berea sigue siendo una arena de Berea aunque con menor

porosidad, una dolomita sigue siendo una dolomita aunque con menor porosidad. Cabe


mencionar aquí que la reducción de porosidad de 1 a 0 para el régimen de compactación suave

(x=0.99) es posible en el marco del modelo de compactación propuesto. En la práctica un

régimen de compactación suave puede reducir la porosidad de un material hasta un límite

finito distinto de cero, pero en el proceso la microestructura porosa retendrá las características

del material primitivo.

Los resultados expuestos para los regímenes de compactación severos revelan claras

transiciones en la longitud característica de redes de poros a medida que la porosidad decrece

como consecuencia del proceso de compactación. La longitud característica es continua por

partes solamente, exhibiendo transiciones a porosidades críticas, pseudo críticas en rigor,

finitas. Estas transiciones se asocian a cambios fuertes en la distribución de tamaño de poros,

que incluyen la aparición de nuevos modos en la distribución. Los tramos continuos de

longitud característica corresponden a medios porosos estructuralmente diferentes. Una

discontinuidad marca una transición de una microestructura porosa a otra, el tamaño de los

poros que controlan las propiedades de transporte del medio disminuye abruptamente. La

nueva microestructura “olvida” su origen, su “memoria” es suficiente sólo para recordar la

microestructura al inicio del pedazo continuo de longitud característica al que pertenece.

Desde un punto de vista geofísico lo que aquí denominamos compactación fuerte se puede

asociar a procesos diagenéticos fuertes que no sólo reducen la porosidad sino que transforman

una microestructua porosa en otra, a tal punto que cambia su clase. Por ejemplo la

transformación geofísica y geoquímica de una arena limpia débilmente cementada en una

arena fuertemente cementada y con inclusiones minerales transforma una microestructura

porosa en otra radicalmente distinta. Al igual que en el caso de compactación débil es

necesario indicar que la reducción de porosidad de 1 a 0 y las múltiples transiciones

microestructurales de espacio poroso para el régimen de compactación fuerte es sólo posible

en el marco del modelo de compactación propuesto. En la práctica un régimen de

compactación fuerte puede reducir la porosidad de un material hasta un límite finito distinto

de cero, pero en el proceso puede producir una o más transformaciones de microestructuras.

La compactación fuerte produce espacios porosos ricamente conectados a alta porosidad y

pobremente conectados a baja porosidad.


La longitud característica de un material y sus transiciones durante un proceso de

compactación se encuentran estrechamente relacionadas con la permeabilidad del material, y

su seguimiento permite establecer una clara distinción entre aquellos materiales que son

altamente deformables y los que lo son débilmente.

Es importante señalar que esta nueva transición, aparentemente de primer orden, que

encuentra respaldo en datos experimentales en la literatura, es identificada por primera vez en

este trabajo de tesis. Observando por ejemplo las Figuras 6.47 y 6.49 es fácil establecer una

analogía entre la transición de microestructuras porosas y la transición de primer orden en

fases fluidas.

Finalmente, después de observar el comportamiento no trivial de la longitud crítica

durante un proceso de compactación de redes de poros, especialmente su capacidad para

responder a cambios microestructurales, se puede concluir que es la longitud de escala

apropiada para predecir la permeabilidad y otras propiedades de transporte. A la luz de estos

resultados es imposible que el diámetro hidráulico o la longitud lambda (ver Sección 6.4) sean

capaces de capturar la riqueza y complejidad de espacios porosos que sufren transiciones a

medida que se compactan.


Figura 6.47 Longitud crítica normalizada vs porosidad normalizada en una red cuadrada decoradacon una distribución de radios inicial U(1,2) a distintas intensidades de compactación.


Figura 6.48 Longitud crítica normalizada vs porosidad normalizada en una red cuadrada decoradacon una distribución de radios inicial U(1,20) bajo distintas intensidades de compactación.


Figura 6.49 Longitud crítica normalizada vs porosidad normalizada en una red cuadrada decoradacon una distribución de radios inicial L(1.5,0.1) bajo distintas intensidades de compactación.


Figura 6.50 Longitud crítica normalizada vs porosidad normalizada en una red cuadrada decoradacon una distribución de radios inicial L(1.5,0.8) bajo distintas intensidades de compactación.


Figura 6.51 Longitud crítica normalizada vs porosidad normalizada en una red cúbica decorada conuna distribución de radios inicial U(1,2) a distintos factores de compactación.


Figura 6.52 Longitud crítica normalizada vs porosidad normalizada en una red cúbica decorada conuna distribución de radios inicial U(1,20) a distintos factores de compactación.


Figura 6.53 Longitud crítica normalizada vs porosidad normalizada en una red cúbica decorada conuna distribución de radios inicial L(1.5,0.1) a distintos factores de compactación.


Figura 6.54 Longitud crítica normalizada vs porosidad normalizada en una red cúbica decorada conuna distribución de radios inicial L(1.5,0.8) a distintos factores de compactación.


Teoría

Para encontrar una explicación satisfactoria al fenómeno descrito de transición de

microestructuras porosas pensemos por un momento en el problema clásico de percolación,

inicialmente el medio presenta una buena distribución del flujo, todos los conductos aportan al

transporte y se ubican en el modo de los elementos conductores. La estructura conductora

disminuye progresivamente a medida que parte de los poros contenidos en la celda de

conductores son transferidos aleatoriamente a la celda de elementos aislantes. La transición

conductor-aislante ocurre cuando la cantidad de enlaces existentes corresponde a la mínima

necesaria que permite la formación de un camino, esta fracción corresponde a la probabilidad

crítica de percolación que es única para una red determinada y sólo depende de la

conectividad. Ahora, en el problema más general, esto es, durante una compactación intensa

que origina transiciones de régimen conductor-conductor débil observadas como puntos

singulares en las curvas de longitud característica, podemos imaginar que inicialmente cuando

la porosidad es alta y la distribución es unimodal el flujo se distribuye a través de una masa de

conductores de alta conductancia y similar, pero a medida que algunos conductores son

transferidos aleatoriamente hacia modos de menor conductancia se forman patrones de flujo

distinguibles, la conectividad entre los elementos de alta conductividad se empobrece, es

decir, se forman racimos infinitos semipercolativos de elementos de alta conductancia en un

mar de elementos de baja conductancia. Los conductores que pertenecen a estos racimos

satisfacen las siguientes condiciones,

)( )(mín

ks rgg ≥δ

)(kΓ∈δ(6.50)

donde δ representa un nodo de la red, δs uno de los enlaces/poros del nodo δ , k el índice del

modo de los conductores de alta conductancia y )(kΓ el conjunto de enlaces en el modo k que

forma un racimo infinito.


Si la fracción mínima de enlaces que permite la formación de un racimo conexo es fija,

única para una red determinada e igual a la probabilidad crítica de percolación, podemos

suponer que cuando la fracción de enlaces de alta conductancia es mayor que esta probabilidad

crítica existe un camino de alta conductividad y que cuando esta fracción es menor que la

mínima este camino desaparece o no puede formarse. Esto implica que la primera transición

de régimen de conducción (ver por ejemplo las Figuras 6.47 y 6.51), observada como un

descenso abrupto de la longitud característica que domina el transporte en la red es

determinado por la siguiente condición de equilibrio,

ceq pp =),1( (6.51)

Aún más, el hecho que la porosidad y la fracción de enlaces conductores jueguen roles

análogos en el problema de percolación clásico y en la compactación con x = 0 puede ser

explicado mediante la Ecuación (6.16) para redes cuadradas y la Ecuación (6.13) para redes

cúbicas. Para x = 0, sólo son apreciables dos modos en la distribución durante su evolución por

compactación, independientemente de la decoración de la red, uno de conductores y otro de

aislantes. De acuerdo a las expresiones, obtenidas mediante la transformada inversa de

Laplace de las Ecuaciones (6.7), la evolución de los modos de la distribución percolativa en

cualquier red es

)exp()1( ξ−=p

)exp(1)2( ξ−−=p(6.52)

La porosidad normalizada de la red cuadrada en el caso x = 0 queda definida como

( ) )1(2

1

1)(0 )exp()exp(1)exp(/ pxxp

k

kk =−=−−⋅+−== ∑=

− ξξξφφ (6.53)


Del mismo modo la porosidad normalizada en la red cúbica para x = 0 es

( ) ( ) )1(22

1

12)(0 )exp()exp(1)exp(/ pxxp

k

kk =−=−−⋅+−== ∑=

− ξξξφφ (6.54)

Así en ambas redes, cuadrada y cúbica, para el caso x = 0 la fracción de conductores p

resulta exactamente igual a la porosidad normalizada, y por lo tanto en el estado de transición

conductor-aislante ambas resultan igual a la probabilidad crítica de percolación de cada red.

En general, como la definición de la porosidad depende de la definición algebraica de

la distribución de tamaño de poros, de la dimensión y forma de los conductos y de la

intensidad de la compactación, el límite de transición ocurre a distintos valores de porosidad

en los diferentes casos estudiados. Es decir, aunque la porosidad es una variable de estado

natural de los medios porosos y simple de determinar experimentalmente, resulta imposible

definir la condición de equilibrio en forma única en términos de porosidad. Es necesario

recurrir a una variable más fundamental del problema de transporte como es la fracción

semipercolativa de conductores. A fin de probar la validez de la Ecuación (6.51) se presenta la

predicción de la primera transición observada en una red cuadrada y en una cúbica para la

distribución U(1,2) a distintos factores de compactación.

En la red cuadrada la probabilidad crítica de percolación es 5.0=cp , la condición de

equilibrio (6.51) establece que

5.0)exp( =−ξ ⇒ 6931.0=ξ (6.55)

Para x = 0, la porosidad normalizada a la que ocurre la transición es (ver Figura 6.1a)

( ) 5.0)6931.0exp(10)6931.0exp(/ 0 =−−⋅+−=φφ (6.56)


Para x = 0.1, el desarrollo de la expresión de porosidad considerando los tres modos

observados en la evolución de la distribución (ver Figura 6.1b)

K+−⋅⋅+−= )6931.0exp(6931.01.0)6931.0exp(/ 0φφ

( )( ) 5362.01.06931.01)6931.0exp(1 2 =⋅+⋅−−+K(6.57)

Para x = 0.3, considerando los cuatro términos de la serie que corresponden a los

distintos modos observados en la evolución de la distribución (ver Figura 6.1c)

K+−⋅⋅+−= )6931.0exp(6931.03.0)6931.0exp(/ 0φφ

KK +−⋅⋅+ )6931.0exp(6931.03.05.0 22

( )( ) 6157.06931.06931.022)6931.0exp(23.05.0 23 =+⋅+−−⋅+K

(6.58)

Para x = 0.5, el caso límite de factor de compactación para la red cuadrada que origina

la multimodalidad de la distribución (ver Figura 6.1d), la transición ocurre a una porosidad

normalizada igual a

K+−⋅⋅+−= )6931.0exp(6931.05.0)6931.0exp(/ 0φφ

( ) KK +−⋅⋅⋅+−⋅⋅+ 6931.0exp6931.05.01667.0)6931.0exp(6931.05.05.0 3322

7071.0)6931.0exp(6931.05.0042.0 44 =−⋅⋅+K

(6.59)

Es decir, los puntos de quiebre o puntos de discontinuidad de la primera derivada en la

curva de longitud crítica (ver Figura 6.1d) corresponden también a transiciones como las antes

señaladas.

Un aspecto no estudiado de esta transición de semipercolación es el criterio que

satisface el punto crítico de la primera transición en el modelo de compactación, esto es, el

máximo valor del factor de compactación al que ocurren puntos singulares en la curva de


longitud característica. Sin embargo, este aspecto sí fue estudiado en el caso mas simple de

una distribución binaria (ver Sección 6.2).

Ahora, en la red cúbica la Ecuación (6.51) establece la siguiente condición de

equilibrio

2488.0)exp( ≈−ξ ⇒ 3911.1=ξ (6.60)

Para x = 0 (ver Figura 6.5a), la porosidad de transición normalizada es igual a la

probabilidad crítica de percolación en la red cúbica,

( ) 2488.0)6931.0exp(10)3911.1exp(/ 20 =−−⋅+−=φφ (6.61)

Para x = 0.1 se observan tres modos en la evolución de la distribución (ver Figura

6.5b), luego la porosidad de transición es

K+−⋅⋅+−= )3911.1exp(3911.11.0)3911.1exp(/ 20φφ

( )( ) 2523.03911.11)3911.1exp(11.0 4 =+−−⋅+K(6.62)

A x = 0.3 se aprecian cuatro modos (ver Figura 6.5c), así

K+−⋅⋅+−= )3911.1exp(3911.13.0)3911.1exp(/ 20φφ

KK +−⋅⋅+ )3911.1exp(3911.13.05.0 24

( )( ) 2820.03911.13911.122)3911.1exp(23.05.0 26 =+⋅+−−⋅+K

(6.63)

Es notorio que los términos superiores de la serie que definen la porosidad aportan muy

poco a la porosidad, pues acompañan potencias altas del factor de compactación que siempre

es menor que la unidad.


El caso x = 0.5 también corresponde a una evolución multimodal de la distribución (ver

Figura 6.5d), es el caso límite en que se satisface que los nuevos modos generados en la

distribución quedan fuera del dominio del modo original. La predicción aproximada

considerando sólo los términos correspondientes a cuatro de los modos observados es,

K+−⋅⋅+−= )3911.1exp(3911.15.0)3911.1exp(/ 20φφ

KK +−⋅⋅+ )3911.1exp(3911.15.05.0 24

3556.0)3911.1exp(3911.15.01667.0 36 ≈−⋅⋅⋅+K

(6.64)

En las Figuras 6.47 y 6.54 se aprecia la concordancia entre estas predicciones y los

resultados de longitud crítica obtenidos mediante simulación de Monte Carlo de porosimetría.

La interrogante inmediata que surge es si es posible predecir la segunda transición

empleando argumentos similares. Cuando la fracción de poros con tamaño superior a )(mín

kr es

menor que la probabilidad crítica de percolación de la red es imposible la formación de un

racimo infinito de poros que satisfagan )(mín

krr ≥ , por lo tanto el nuevo racimo que domina el

transporte corresponde al conjunto de poros de tamaño mayor que el mínimo tamaño del modo

siguiente 1+k , así los poros que antes formaban un racimo infinito )(kΓ tal que )( )(mín

ks rgg ≥δ

bajo la fracción crítica pasan a formar parte de un nuevo racimo )1( +Γ k de enlaces de tamaño)1(

mín+≥ krr . Es decir, en la segunda transición se satisface que

ceqeq ppp =+ ),2(),1( (6.65)

El caso x = 0 presenta una transición única que es la de percolación. No así el caso

1.0=x en una red cuadrada, en la Figura 6.47 se observan al menos dos discontinuidades en

la longitud crítica para este factor de compactación.


De acuerdo a la Ecuación (6.65) la segunda transición en la red cuadrada satisface

5.0)exp()exp( =−+− ξξξ ⇒ 67835.1=ξ (6.66)

Luego la porosidad normalizada a la que ocurre esta segunda transición en la red

cuadrada para 1.0=x es

K+−⋅⋅+−= )6783.1exp(6783.11.0)6783.1exp(/ 0φφ

( )( ) 2230.01.06783.11)6783.1exp(1 2 =⋅+⋅−−+K(6.67)

El caso x = 0.3 resulta interesante en este análisis puesto que permite extender el

criterio a las cuatro transiciones observadas en los resultados de simulación (ver Figura 6.47).

De acuerdo a la Ecuación (6.65), la segunda transición ocurre en

K+−⋅⋅+−= )6783.1exp(6783.13.0)6783.1exp(/ 0φφ

KK +−⋅⋅+ )6783.1exp(6783.13.05.0 22

( )( ) 3107.06783.16783.122)6783.1exp(23.05.0 23 =+⋅+−−⋅+K

(6.68)

La tercera transición satisface la siguiente condición de equilibrio

ceqeqeq pppp =++ ),3(),2(),1( (6.69)

Es decir, en la red cuadrada

5.0)exp(5.0)exp()exp( 2 =−+−+− ξξξξξ ⇒ 67406.2=ξ (6.70)


Lo que para la distribución U(1,2) en la red cuadrada para x = 0.3 ocurre a una

porosidad normalizada igual a

K+−⋅⋅+−= )6741.2exp(6741.23.0)6741.2exp(/ 0φφ

KK +−⋅⋅+ )6741.2exp(6741.23.05.0 22

( )( ) 1600.06741.26741.222)6741.2exp(23.05.0 23 =+⋅+−−⋅+K

(6.71)

La predicción de la cuarta transición requiere desarrollar la expresión de evolución del

cuarto modo intermedio. Esta satisface, de acuerdo al análisis anterior, la siguiente expresión

ceqeqeqeq ppppp =+++ ),4(),3(),2(),1( (6.72)

Entonces

5.0)exp(1667.0)exp(5.0)exp()exp( 32 =−+−+−+− ξξξξξξξ ⇒ 67206.3=ξ (6.73)

El cálculo de la porosidad normalizada a la que ocurre esta transición considerando los

primeros cuatro términos de la serie indica que es igual a

K+−⋅⋅+−= )6721.3exp(6721.33.0)6721.3exp(/ 0φφ

KK +−⋅⋅+ )6721.3exp(6721.33.05.0 22

075.0)6721.3exp(6721.33.01667.0 33 =−⋅⋅⋅+K

(6.74)

Las Tablas 6.2 y 6.3 resumen los límites de transición en porosidad calculados

mediante el desarrollo indicado para la distribución U(1,2) en redes cuadrada y cúbica. La

predicción resulta prácticamente exacta en todos los casos calculados. El análisis presentado

es válido también para otras distribuciones más complejas que presentan la misma evolución


multimodal en compactaciones intensas, por ejemplo para la distribución L(1.5,0.1), por las

siguientes razones:

1. Al definir el criterio de equilibrio interesa la evolución de las poblaciones de los modos,

esto es, la fracción de enlaces que pertenece a cada modo y no la distribución dentro de

cada uno, así las ecuaciones de evolución de p (6.4, 6.5 y 6.6) son válidas también para la

distribución L(1.5,0.1) cuando presenta modos separados.

2. La porosidad en estas distribuciones sigue también las Ecuaciones (6.13) para redes

cúbicas y (6.16) para redes cuadradas.

3. El criterio de transición es el mismo.

Ahora si se observan las Figuras 6.49 para red cuadrada y 6.53 para red cúbica es

notorio que los puntos de transición en porosidad normalizada de la longitud crítica para la

distribución L(1.5,0.1) ocurren a los mismos valores que en la distribución U(1,2) para cada

red lo que resulta una prueba de lo señalado.

Tabla 6.2 Predicción de puntos de inflexión en red cuadrada con distribución U(1,2).

Factor de

compactación x

1ra

ξ=0.6931

2da

ξ=1.67835

3ra

ξ=2.67406

4ta

ξ=3.67206

0 0.5 -- -- --

0.1 0.5362 0.2230 0.0924 0.042

0.3 0.6157 0.3107 0.1600 0.075

0.5 0.7071 0.4322 0.2637 0.1628


Tabla 6.3 Predicción de puntos de inflexión en red cúbica con distribución U(1,2).

Factor de

compactación x

1ra

ξ=1.3911

2da

ξ=2.6992

3ra

ξ=3.9283

4ta

ξ=5.1184

0 0.2488 -- -- --

0.1 0.2523 0.0690 0.0205 0.0063

0.3 0.2820 0.0858 0.0280 0.0095

0.5 0.3556 0.1321 0.0527 0.0219

Para las distribuciones anchas que no presentan modos separados durante su evolución,

por ejemplo la distribución U(1,20), la condición de equilibrio continúa siendo válida, sin

embargo, para lograr una predicción correcta de las transiciones en longitud característica se

deben emplear las ecuaciones de evolución de distribuciones que presentan solapamiento de

modos y la definición de porosidad normalizada respectiva.

A continuación se ilustra el método para la distribución U(1,20) en una red cuadrada

con x = 0.1, caso que fuera desarrollado en la Sección 6.1. La primera transición ocurre

cuando la fracción de elementos que pertenece al primer modo es igual a la probabilidad

crítica de percolación de esta red, esto es,

cpp =)1( ⇒ 5.0)exp(9474.0 =−ξ

6391.0=ξ(6.75)

De acuerdo a la expresión de porosidad normalizada (6.16) reemplazando x y ξ resulta

5627.0/ 0 =φφ (6.76)


En concordancia con el resultado de Monte Carlo (ver Figura 6.48). La segunda

transición debería ocurrir cuando la suma de las fracciones de elementos que pertenecen a los

dos primeros modos es igual a la probabilidad crítica de percolación de la red, esto es,

cppp =+ )2()1( ⇒ 5.0)5263.01)(exp( =+− ξξ

1744.1=ξ , 3483.0/ 0 =φφ(6.77)

Sin embargo, de acuerdo a los resultados de Monte Carlo esta predicción es errónea, a

esta porosidad no se observa ningún punto singular en la curva de longitud característica

respectiva. Tal vez las poblaciones que se ubican en submodos no controlan el transporte en la

red en ninguna etapa de la compactación.

Veamos que ocurre si consideramos que la fracción de los elementos de los tres

primeros modos es igual a pc, esto es,

cpppp =++ )3()2()1( ⇒ 5.0)9474.01)(exp( =+− ξξ

6252.1=ξ , 2317.0/ 0 =φφ(6.78)

Efectivamente, el modo 3 se encuentra separado de los modos 1 y 2, cuando la suma de

los tres modos es considerada el método predice la transición observada en los resultados de

simulación de la evolución de la longitud crítica. Podemos inferir de esta evidencia

experimental que en distribuciones que muestran solapamiento, durante su evolución por

compactación, el transporte es gobernado por las poblaciones de elementos que se encuentran

en los modos separados de la distribución y no por aquellos que se ubican en los dominios de

solapamiento de modos.

En las Tablas 6.6 y 6.7 se resumen los resultados de las transiciones calculadas de

acuerdo a este criterio para la distribución U(1,20) en las redes cuadrada y cúbica.


Tabla 6.6 Predicción de puntos de inflexión en red cuadrada con distribución U(1,20).

Factor x 1ra 2da 3ra

0 0.5 -- --

0.1 0.5627 0.2127 0.0924

0.3 0.7732 0.3851 0.4130

0.5 0.8123 0.6458 0.4130

Tabla 6.7 Predicción de puntos de inflexión en red cúbica con distribución U(1,20).

Factor x 1ra 2da 3ra

0 0.2488 -- --

0.1 0.2805 0.075 --

0.3 0.3817 0.1322 0.0406

0.5 0.5811 0.2230 0.1102


6.6 Relaciones de escalamiento entre la permeabilidad y otras propiedades

A continuación se relacionan las propiedades macroscópicas de medios porosos

mediante relaciones de escalamiento. La primera de ellas es la relación de Katz y

Thompson (1986) entre la permeabilidad k, el factor de formación F y la longitud crítica lc,

esto es,

Flck c

2

= (6.79)

El factor de formación es proporcional al inverso de la conductividad eléctrica de un

medio poroso inundado con fluido conductor, esto es, σσ /0≡F . Esta relación fue

deducida para medios tridimensionales, concretamente rocas y arenas consolidadas. Por

este motivo, la relación (6.79) es probada aquí sólo en redes cúbica de poros cilíndricos.

Las Figuras 6.55 a 6.58 de k vs Fclc /2 para redes cúbicas decoradas con diversas

distribuciones de tamaño de poros muestran que la relación (6.79) ajusta bastante bien los

resultados de simulación de Monte Carlo. El resultado es una curva única con pendiente

unitaria para todas las distribuciones estudiadas y para factores de compactación en un

amplio rango. Como los resultados se presentan normalizados es útil indicar el prefactor de

la relación, esto es,

020

0 1Fl

kcc

= (6.80)

Los resultados en las Figuras 6.55 a 6.58 son importantes a nuestro juicio porque

señalan por primera vez el carácter universal de la relación (6.79). La importancia práctica

de este resultado es fácil de prever. El único parámetro de esta relación tiene significado

físico y puede ser determinado con un punto experimental.


Según se discutió en la Sección 6.5, cada tramo continuo de la longitud

característica corresponde a una misma microestructura porosa que sólo ve reducida su

porosidad durante la compactación. Esta microestructura controla la permeabilidad del

material. En la transición, el control de la permeabilidad pasa de una microestructura a otra

distinta, en otras palabras de un medio poroso de una clase geológica a otra.

Cuando los resultados se representan en la forma 2/ clk vs φ , como en el esquema

de la Figura 6.59, se observa un comportamiento lineal en los tramos que corresponden a

cada régimen de permeabilidad, con leves desviaciones cerca de las regiones de transición.

Es decir, la siguiente relación es válida para cada tramo de porosidad,

)(2 blk

c

+= φα (6.81)

donde b es el coeficiente de posición de esta función de prueba lineal. Ahora, si se

extrapola el régimen lineal hasta un estado hipotético de porosidad en que la permeabilidad

se anula resulta que

0' =+ bcφ ⇒ 'cb φ−= (6.82)

Es decir, el término 'cφ , que en este trabajo denominamos porosidad pseudocrítica,

corresponde a la porosidad de una transición hipotética conductor-aislante que resulta de la

extrapolación de un régimen de permeabilidad. En la Figura 6.59 se ilustra el método de

determinación de este parámetro.

Luego, la segunda relación de prueba o ansatz que se postula en este trabajo es,

( )'2 cclk φφα −= (6.83)


Como se muestra en las Figuras 6.60 a 6.67 la forma propuesta es de carácter

universal y resulta adecuada para el ajuste de datos experimentales a lo largo de cada

régimen o tramo de permeabilidad, correspondiente a una cierta microestructura, hasta una

región cercana a la transición a una microestructura diferente y por ende a otro régimen de

permeabilidad.

La relación (6.83), resulta válida en cada uno de los tramos de porosidad que

corresponden a distintos regímenes de transporte en un material sometido a ompactación,

se muestra así como una alternativa a la relación de Katz y Thompson para extrapolar e

interpolar con certeza la permeabilidad a partir de datos experimentales. Los parámetros de

la relación pueden ser inferidos partir de tres puntos experimentales.

Estos resultados muestran que la antigua teoría de Kozeny-Carman, derivada para

medios porosos sobresimplificados, contiene algunos elementos de esta nueva relación

universal. El problema es que las limitaciones intrínsecas de la relación de Kozeny-Carman

han sido aumentadas por el afán de ajustar datos experimentales escasos con fines de

interpolar y extrapolar información. Este afán se ha mantenido por más de 5 décadas, y

continúa en la actualidad a pesar de los trabajos aclaratorios de Katz y Thompson (1986),

Roberts y Schwartz (1985) y Wong et al. (1984) a fines de los 80 y comienzos de los 90.

Prácticas riesgosas en el tratamiento de datos de permeabilidad incluyen (1) el uso de la

teoría de Kozeny-Carman con una longitud característica constante durante todo el proceso

de reducción de porosidad y (2) el simple reemplazo de la longitud característica asociada

al espacio poroso por el tamaño medio de partículas o granos que conforman el material

sólido si es granular o de pseudogranos si el material sólido es consolidado sin grano

definido (3) la extrapolación de permeabilidad obviando la existencia de transiciones de

microestructura.

Respecto a este último punto Mavko y Nur (1997) logran un ajuste satisfactorio de

datos de permeabilidad-porosidad según una modificación a la relación de Kozeny-Carman

reconociendo la existencia de una porosidad pseudocrítica que actúa como parámetro de

ajuste. Sin embargo, en los ajustes que presentan se usa una longitud característica


constante e igual al tamaño de grano. La dependencia de la permeabilidad con la porosidad

resulta en una ley de potencia con exponente 3 como en Kozeny-Carman, en oposición a la

dependencia que muestra la relación φ∝2ck/l . Resultados en la literatura son variados,

pero en general, cuando el ajuste de datos permeabilidad-porosidad se lleva a cabo

mediante relaciones de potencia utilizando una longitud característica constante y

obviando un parámetro de porosidad de transición se observa la sensibilidad del exponente

a la porosidad. En algunos casos se requiere exponentes que varían de 3 a 8 para un mismo

material (ver Bourbié et al. 1987). El análisis de estos resultados a la luz de los resultados

del modelo presentado en este trabajo revela que estos exponentes altos son necesarios

porque los datos que se ajustan se encuentran en la vecindad de un punto de transición de

régimen de transporte. Esta situación es especialmente peligrosa porque se intenta

extrapolar datos de permeabilidad, controlada por un tipo de microestructura, a una zona

donde la permeabilidad es controlada por una microestructura diferente.


Figura 6.55 Relación de Katz-Thompson en una red cúbica decorada con una distribución de radiosinicial U(1,2) para distintos factores de compactación.


Figura 6.56 Relación de Katz-Thompson en una red cúbica decorada con una distribución de radiosinicial U(1,20) para distintos factores de compactación.


Figura 6.57 Relación de Katz-Thompson en una red cúbica decorada con una distribución de radiosinicial L(1.5,0.1) para distintos factores de compactación.


Figura 6.58 Relación de Katz-Thompson en una red cúbica decorada con una distribución de radiosinicial L(1.5,0.8) para distintos factores de compactación.


Figura 6.59 Representación esquemática del método de cálculo de la porosidad pseudo-crítica 'cφ .


Figura 6.60 Escalamiento de la permeabilidad con la porosidad en una red cuadrada decorada condistribución de radios inicial U(1,2) a distintos factores de compactación.


Figura 6.61 Escalamiento de la permeabilidad con la porosidad en una red cuadrada decorada condistribución de radios inicial U(1,20) a distintos factores de compactación.


Figura 6.62 Escalamiento de la permeabilidad con la porosidad en una red cuadrada decorada condistribución de radios inicial L(1.5,0.1) a distintos factores de compactación.


Figura 6.63 Escalamiento de la permeabilidad con la porosidad en una red cuadrada decorada condistribución de radios inicial L(1.5,0.8) a distintos factores de compactación.


Figura 6.64 Escalamiento de la permeabilidad con la porosidad en una red cúbica decorada condistribución de radios inicial U(1,2) a distintos factores de compactación.


Figura 6.65 Escalamiento de la permeabilidad con la porosidad en una red cúbica decorada condistribución de radios inicial U(1,20) a distintos factores de compactación.


Figura 6.66 Escalamiento de la permeabilidad con la porosidad en una red cúbica decorada condistribución de radios inicial L(1.5,0.1) a distintos factores de compactación.


Figura 6.67 Escalamiento de la permeabilidad con la porosidad en una red cúbica decorada condistribución de radios inicial L(1.5,0.8) a distintos factores de compactación.

Capítulo 7

Conclusiones

En este trabajo se ha estudiado mediante simulaciones numéricas y en forma teórica un

modelo simple de representación de un material poroso que es deformado de acuerdo a un

mecanismo aleatorio de compactación. El valor físico de esta solución es analizado en

términos de la selección de las variables que se han utilizado para describir el problema de

transporte. Estas variables son la distribución de tamaño de poros, el mecanismo de

compactación, la intensidad de compactación, y la conectividad del espacio poroso. Los

métodos y algoritmos desarrollados en el curso de esta tesis han sido ensamblados en un

programa, denominado PROTRAN, al que se puede acceder desde una ventana interfaz

amigable con menú de opciones.

Conclusiones 278

Sobre transiciones de microestructuras porosas

El modelo describe cualitativamente el comportamiento de las propiedades

macroscópicas de materiales porosos sometidos a carga, esto es, la reproducción de los puntos

de inflexión y de los fenómenos críticos observados en los resultados experimentales

disponibles de permeabilidad. La predicción cuantitativa de las propiedades estudiadas es

posible en la medida que se utilice una caracterización adecuada del material de interés y

modelos mecánicos específicos para describir la compactación de segmentos de poro.

El resultado más importante de este trabajo es la demostración de la existencia de

transiciones en el régimen de transporte que ocurren en límites de porosidad que dependen

fundamentalmente de la conectividad promedio del espacio poroso de materiales, de la

intensidad de la compactación y en menor grado de los detalles tales como la distribución

inicial de tamaño de poros.

Las transiciones que ocurren durante compactaciones intensas generan una

diferenciación marcada de las poblaciones de poros, esto es, la aparición de multimodalidad en

la función de distribución de tamaño de poros. A escala macroscópica este fenómeno tiene

consecuencias importantes sobre las propiedades de transporte.

La extensión de la teoría de percolación permite determinar la condición que satisface

un sistema poroso en un cambio de régimen de transporte. La probabilidad crítica de

percolación es la fracción mínima de enlaces necesaria para formar un camino conexo a lo

largo de una red. Cuando en un material existe una población de poros que en proporción es

mayor que la probabilidad crítica de percolación de la red que lo representa, el tamaño

característico de esta población domina las propiedades de transporte del material. Ahora,

durante una compactación, las fracciones de las poblaciones de distinto tamaño varían

permanentemente, la fracción de los poros ubicados en los modos de menor tamaño aumenta a

expensas de las poblaciones de poros de mayor tamaño. Así cuando los poros más grandes se

encuentran en una proporción igual a la probabilidad crítica de percolación existe un camino

Conclusiones 279

crítico conexo de estos poros a través del medio, un avance diferencial en este estado hacia

una porosidad más baja implica, en una muestra representativa, la desaparición del camino

conexo de poros de alta conductancia. Esto se manifiesta como un descenso abrupto en las

propiedades macroscópicas del material tales como la conductividad eléctrica, permeabilidad,

difusividad, etc. En términos precisos las curvas de evolución de las propiedades de transporte

muestran una alta sensibilidad a la porosidad en las cercanías de la transición. Los puntos de

inflexión observados en resultados de permeabilidad experimentales representados en escala

logarítmica no son más que la evidencia de transiciones de régimen de conducción. En el caso

límite de una compactación con bloqueo de poros, la transición es del tipo conductor-aislante,

y ocurre entre dos modos, uno de poros conductores y otro de poros bloqueados. En el caso

más general, cuando el factor de compactación es mayor que cero, la transición ocurre entre

los modos que gobiernan el transporte antes y después del punto de transición.

Aunque la porosidad resulta una variable de avance natural en un proceso de

compactación, resulta difícil determinar un criterio general de transición en términos de ella,

ya que la porosidad es una variable bulto que pondera los poros de una red de acuerdo a su

tamaño y cantidad, no de acuerdo a su aporte efectivo al transporte que depende mas bien de la

accesibilidad de los poros. En el problema de percolación clásico, esta misma diferencia

ocurre entre la fracción de enlaces conductores y la fracción de enlaces del esqueleto

conductor de la red. Por este motivo, es necesario establecer la condición de transición en

función de una variable más fundamental, la fracción de poros de tamaño superior al que

domina las propiedades de transporte del sistema. El criterio general establecido es que la

transición ocurre cuando esta fracción es igual a la probabilidad crítica de percolación de la

red que tiene la misma conectividad promedio que el espacio poroso del material.

La porosidad depende de la forma de la distribución de tamaño de poros y de la

dimensión y forma de los conductos, por lo tanto la predicción de los puntos de transición en

esta variable debe ser determinada en cada caso particular sobre la base del desarrollo de las

ecuaciones de evolución de los modos de la distribución en una compactación. Estas últimas

pueden ser deducidas analíticamente, cuando se conoce el mecanismo de deformación de los

Conclusiones 280

poros, mediante balances diferenciales de las poblaciones de los modos de distinto tamaño. El

desarrollo de estas ecuaciones permite demostrar que en el caso particular de una

compactación intensa, el modelo de compactación aleatorio equivale al problema clásico de

percolación y la porosidad normalizada juega el mismo rol que la fracción de poros

conductores en la red.

El desarrollo de modelos simples, como el sistema binario de conductancias ilustrado

en este trabajo, permitió constatar la validez general de las ideas anteriores. Esto es, la

demostración de la presencia de inflexiones en las curvas de evolución de las propiedades de

transporte en un medio que presenta modos diferenciados durante una compactación. Las

transiciones del modelo binario ocurren cuando una población de poros de mayor tamaño se

encuentra en proporción mayor que la fracción mínima que permite la formación de un

conjunto conexo de estos elementos. Como esta fracción mínima, o probabilidad de

percolación, sólo depende de la conectividad promedio de la red, la definición de los estados

de transición es de carácter estrictamente topológico, es decir, insensible a detalles tales como

las formas y tamaños de los poros. Respecto a este punto, el desarrollo de las expresiones de

porosidad en el modelo binario y en el modelo de Wong et al. (1984) revelan que el límite de

transición en esta variable resulta distinto para cada material poroso particular debido a la

dependencia de esta variable de la dimensionalidad, tamaño y forma de los conductos y a la

intensidad del proceso de compactación. Finalmente, la teoría de campo medio predice un

punto crítico en el factor de compactación que es sugerido en los resultados de simulación,

esto es, el límite de intensidad de compactación bajo el que los materiales porosos no sufren

transiciones de régimen de transporte y pueden ser representados por leyes de potencia simple

o ecuaciones del tipo Carman-Kozeny.

La longitud característica, o longitud crítica, determinada mediante porosimetría fija la

magnitud del tamaño de poro que controla el transporte en un medio heterogéneo. Así esta

longitud fija la escala de las propiedades de transporte.

Conclusiones 281

Durante una compactación débil, la longitud crítica y las propiedades de transporte

disminuyen en forma suave y continua, el medio evoluciona a través de estados que se parecen

al original. Un observador del medio poroso a cualquier nivel de porosidad, mas allá de la

obvia reducción de porosidad, no percibiría cambios geométricos-topológicos significativos en

el espacio poroso respecto del espacio original al inicio del proceso de compactación. La

microestructura porosa retiene sus características durante todo el proceso de compactación. En

otras palabras, la microestructura porosa “recuerda” su forma primitiva. Desde un punto de

vista geológico lo que aquí denominamos compactación débil no es otra cosa que un proceso

diagenético suave que reduce la porosidad del medio poroso pero que no cambia su clase; una

arena de Berea sigue siendo una arena de Berea aunque con menor porosidad, una dolomita

sigue siendo una dolomita aunque con menor porosidad.

Durante una compactación intensa la longitud crítica revela puntos singulares que se

observan a los mismos valores de porosidad en que ocurre una transición de régimen de

transporte. Los tramos suaves y continuos de longitud crítica corresponden a medios porosos

estructuralmente diferentes. Un punto singular en la longitud crítica marca una transición de

una microestructura porosa a otra. La nueva microestructura “olvida” su origen, su “memoria”

es suficiente sólo para recordar la microestructura al inicio del tramo de longitud característica

al que pertenece. Desde un punto de vista geológico lo que aquí denominamos compactación

fuerte se puede asociar a procesos diagenéticos fuertes que no sólo reducen la porosidad sino

que transforman una microestructua porosa en otra, a tal punto que cambia su clase. Por

ejemplo la transformación geofísica y geoquímica de una arena limpia débilmente cementada

en una arena fuertemente cementada y con inclusiones minerales transforma una

microestructura porosa en otra radicalmente distinta.

Las transiciones pueden ser clasificadas de acuerdo a las condiciones que satisfacen

las singularidades observadas en las curvas de evolución de la longitud crítica. En

compactaciones intensas, que generan modos segregados en la distribución, las transiciones se

observan como una discontinuidad de la longitud crítica. En compactaciones que generan

Conclusiones 282

modos solapados las transiciones ocurren como puntos de discontinuidad de la derivada de la

longitud característica.

Aunque la longitud característica se muestra como una variable experimental sensible

a los cambios de microestructura que sufre un medio poroso al ser compactado resulta

imposible determinar experimentalmente en forma directa esta propiedad en materiales

deformables, ya que la presión necesaria para inundar los poros en un estado particular de

porosidad modificaría la estructura del espacio poroso. Una alternativa consiste en realizar

simulaciones del experimento de porosimetría en una red representativa del espacio poroso.

Técnicas experimentales sofisticadas como la resonancia nuclear magnética ofrecen

actualmente la posibilidad de determinar la conectividad y la distribución de tamaño de poros

que son las variables necesarias para alimentar la simulación.

Sobre la relación de la permeabilidad y otras propiedades del espacio poroso

Sobre la base del estudio de los efectos que imprime un proceso de compactación sobre

el espacio poroso de un material es posible postular una relación de carácter universal entre la

permeabilidad y la porosidad para este modelo, esto es, una ley que no cambia en forma para

los distintos materiales estudiados en distintas condiciones de deformación. La ley adopta la

forma )( '2c ck/l φφ −∝ , donde k es la permeabilidad, lc es la longitud crítica del espacio poroso,

φ la porosidad y 'cφ una porosidad pseudo-crítica. La relación es válida en todos los tramos de

porosidad correspondientes a los diferentes regímenes de transporte de un material sometido a

procesos de compactación como los descritos en este trabajo. La ley se simplifica

notoriamente en dos casos, cuando el mecanismo de reducción de porosidad es percolativo y

cuando el proceso de deformación es débil, en el primer caso la porosidad normalizada

pseudocrítica es igual a la probabilidad de percolación de una red representativa del espacio

poroso del material, entonces ( )02/ φφα cc plk − ; en el segundo caso no ocurren transiciones de

régimen de transporte, la porosidad pseudocrítica es nula y la ley se reduce a φα2/ clk .

Conclusiones 283

Por otro lado, los resultados de simulación en medios tridimensionales muestran que la

relación de Katz y Thompson (1986) es de carácter universal y válida hasta límites de

conductividad muy baja. Es decir, la relación entre la permeabilidad, la longitud característica

y el factor de formación es la misma para materiales que presentan distribuciones de tamaño

muy diferentes. El único parámetro que aparece en la relación es de carácter físico y puede ser

determinado en forma experimental a través de la medición de la conductividad eléctrica, la

permeabilidad y la longitud característica de un material en un estado dado de porosidad.

Es posible que estas leyes sufran modificaciones si la física a escala de poros se

enriquece, sin embargo lo importante es que la ley que emerja tendrá características

universales. Por ejemplo en este trabajo se consideró que la conductancia hidráulica de poros

es proporcional a la cuarta potencia del radio, ley tipo Poiseuille, y que el largo de poros es

constante. Este puede ser un buen modelo para material no consolidado donde el tamaño de

grano no cambia y por tanto tampoco lo hace la longitud de poros entre granos.

Alternativamente se puede considerar que la conductancia hidráulica de poros sea

proporcional a la tercera potencia del radio, la ley sigue siendo Poiseuille, solo que el largo de

poro se reduce a la misma velocidad que el diámetro de poro y por tanto se pierde un radio en

la conductancia. Un modelo de estas características puede ser adecuado para materiales

consolidados.

Sobre la utilidad práctica de los resultados

La necesidad de extrapolar permeabilidades de materiales porosos a partir de datos

escasos es una constante, por ejemplo en la industria petrolera y del gas, en actividades que

involucran suelos, en remediación de suelos. En gran modo la capacidad predictiva de los

simuladores depende de la calidad de estas permeabilidades.

Las leyes derivadas en este trabajo para la permeabilidad, y el reconocimiento de

longitudes características del espacio poroso que controlan la escala de la permeabilidad,

debería constituirse en una herramienta útil para la extrapolación confiable de datos escasos.

Conclusiones 284

En este sentido la relación de Katz y Thompson (1986), permite predecir

permeabilidad a partir del factor de formación, que es fácilmente medible en campo. Esta

posibilidad se utiliza en la industria aunque sin atender la variación no trivial de la longitud

característica con la compactación.

Adicionalmente, si se dispone de una caracterización adecuada del medio, esto es,

información geométrica y topológica del medio, distribución de formas y tamaños de poros

que lo constituyen y las propiedades de deformación del material, las simulaciones del modelo

propuesto aquí permitirían predecir la permeabilidad, y también la conductividad eléctrica o

factor de formación como se conoce en la industria petrolera.

Los resultados aquí no sólo son relevantes al quehacer de la industria petrolera y de gas

sino también al de otras actividades industriales, como lixiviación, sedimentación, hidráulica

en suelos, percolación en catalizadores y cerámicos; y de cuidado medioambiental, como flujo

y transporte de contaminantes en subsuelo y diseño de cubiertas para basureros a rajo abierto.

Sobre la eficiencia de los métodos y sus implementaciones

Los aspectos más relevantes que inciden sobre la eficiencia de una simulación, en

particular, en el cálculo de propiedades de transporte mediante Monte Carlo son la selección

adecuada de un algoritmo de solución de sistemas lineales de gran dimensión, los parámetros

del algoritmo seleccionado y el método de almacenamiento de matrices. El sistema lineal que

define la distribución del flujo en una red de conductores de tamaño estadístico representativo

contiene una cantidad de ecuaciones del orden 105, los elementos que se ubican en la diagonal

de la matriz del sistema, o matriz de conductancias, pueden diferir en varios ordenes de

magnitud en redes heterogéneas que presentan una distribución amplia de valores de

conductancia lo que resulta en un sistema mal condicionado. Por otro lado, la estructura de la

matriz es rala, presenta bandas diagonales y es simétrica. Dadas estas características del

sistema se optó por el uso de un método de sobrerrelajación sucesiva simétrica

Conclusiones 285

precondicionado con el método del gradiente conjugado SSORCG que se encuentra

implementado en rutinas ITPACK. Este se ha empleado en forma satisfactoria en problemas

similares como la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales.

La tolerancia empleada se fijó como la mínima que permite el procesador. El

parámetro de relajación del método se eligió sobre la base de pruebas preliminares. El uso de

un parámetro de relajación fijo resulta en una cantidad menor de tiempo de cómputo, este se

fijó en 1.7 para todas las simulaciones. Cabe destacar que la determinación de un criterio

riguroso para su elección resultó compleja, ya que es sensible a muchas variables, por ejemplo

tamaño de la red, amplitud de la distribución de los elementos de conductancia de la red (y por

lo tanto de su evolución) y valor inicial del campo de potencial. Respecto a este último punto,

el uso de la solución de una etapa anterior de compactación como solución inicial mejora

notoriamente el desempeño de la simulación y por lo tanto el tamaño del paso en porosidad

incide sobre el número de iteraciones necesarias para la convergencia.

El tamaño de la matriz de conductancias impide un almacenamiento convencional en

un ordenador personal, en las simulaciones se optó por una alternativa equivalente y mucho

más eficiente, esto es, el almacenamiento ralo simétrico. La reducción del uso de memoria

necesario es notable, de varios ordenes de magnitud en los sistemas que se necesitan en una

simulación estocástica. Dada la relación que muestra la aparición de los elementos en la matriz

con el índice de nodos en la red, se desarrolló un algoritmo de almacenamiento directo en la

forma rala final en redes de conectividad fija y variable.

La solución numérica de la aproximación de medio efectivo en el cálculo de

propiedades de transporte se muestra como un algoritmo robusto y eficiente para la valoración

física de los resultados de una simulación de Monte Carlo. Dado que la ecuación

autoconsistente de EMA tiene solución única, el método de bisección (que no requiere

información diferencial) implementado resultó ser el más adecuado; el intervalo en el que se

encuentra la solución es acotado y la función objetivo presenta un comportamiento monótono.

Conclusiones 286

El algoritmo de porosimetría desarrollado resulta eficiente en la búsqueda de los poros

que pueden ser inundados debido al uso de una lista dinámica que contiene los elementos que

se encuentran en el frente de avance de la fase no mojante. Esta simulación utilizada en

conjunto con microtomografía electrónica de rayos X y algoritmos de análisis de imágenes se

muestra como una alternativa indirecta para la determinación de la longitud crítica pues

permite simular una situación hipotética, esto es, el avance de fluido invasor hasta poros de

dimensión muy pequeña a alta presión sin la deformación de la estructura porosa, que en la

práctica resulta imposible mediante experimentos de porosimetría convencional.

Sobre líneas futuras de investigación y desarrollo

Una línea nueva que se sugiere seguir desarrollando tiene que ver con las transiciones

de microestructuras porosas descubiertas en este trabajo. Para ello se propone estudiar las

transiciones en el marco de la teoría formal de transiciones de fases, que en el caso de fluidos,

espines y semiconductores se encuentra bien elaborada. La teoría de transiciones de fase ha

permitido el desarrollo de ecuaciones de estado que actualmente se utilizan en aplicaciones de

ingeniería.

Para la validación experimental de los resultados de simulación, que se encuentran

respaldados por la teoría desarrollada en esta tesis, se propone el empleo de experimentos de

flujo en micromodelos bidimensionales transparentes de poros impresos de acuerdo a

imágenes de secciones de un medio poroso en distintas etapas de compactación.

Otro aspecto interesante que debiera ser explorado es el efecto de la forma de

segmentos de poro y de mecanismos de compactación sobre la evolución de las propiedades

macroscópicas del medio y, por ende, sobre las relaciones de escalamiento entre estas

propiedades. Para este efecto se dispone de ecuaciones constitutivas que incorporan los

parámetros materiales elásticos para medios con poros de formas especiales como esferoides,

elipsoides, agujas y discos planos.

Conclusiones 287

También se sugiere realizar experimentos de compactación en muestras de materiales

porosos en un equipo de física de rocas en un rango amplio de porosidad. El experimento debe

ser diseñado para que en otros experimentos dispuestos en serie se pueda caracterizar el

material y medir su porosidad, permeabilidad, conductividad eléctrica y longitud crítica. La

caracterización del material alimentada al simulador PROTRAN proporcionaría resultados de

simulación que se podrían validar confrontándolos con los experimentales.

Otra línea de investigación que se recomienda iniciar a la luz de los resultados

expuestos en este trabajo es la extensión a flujo multifásico en medios sometidos a

compactación. El objetivo aquí sería explorar el impacto de compactación sobre

permeabilidades relativas en procesos de drenaje y embebido.

Algunos problemas puntuales de fácil implementación son:

Determinación del coeficiente de difusión de materiales porosos sometidos a

compactación. Las rutinas en el programa PROTRAN pueden ser modificadas fácilmente para

incluir la definición de conductancia en procesos difusivos. El ancho de la distribución de

tamaño de poros es un aspecto interesante a estudiar. En un mismo material pueden coexistir

poros extremadamente pequeños que aceptan difusión balística solamente, poros muy

pequeños que aceptan difusión Knudsen solamente y poros grandes que aceptan difusión

Gaussiana solamente. Esto, que en continuo puede ser muy difícil de simular, en escala

microscópica y con la ayuda de PROTRAN debe ser muy sencillo.

Determinación de un criterio de elección de tamaño óptimo de celda de

renormalización para una función de distribución dada y sus parámetros. La elección se puede

realizar sobre la base de una comparación de resultados de Monte Carlo con la predicción del

método REMA en redes cúbicas de elementos tridimensionales. El impacto de este estudio es

el desarrollo de un simulador que reporte datos confiables de permeabilidad en tiempo real.

Referencias

[Los números en paréntesis cuadrados indican el(los) capítulo(s) donde se realiza la cita]

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Apéndices

A. Aproximación de enlace simple (SBA)

Erdös y Haley (1975) dedujeron expresiones aproximadas para la desviación de

conductividad y de impedancia de un colectivo de redes topológicamente idénticas

decoradas con elementos de conductancia que siguen una determinada función de

distribución.

Consideremos una red finita n-dimensional de N nodos donde los nodos han sido

numerados en orden arbitrario pero fijo Nl K1= . Si el índice de coordinación de esta red

es z entonces el nodo l es conexo con sus nodos vecinos δ+l a través de elementos de

conductancia δ+llg , . De acuerdo a la ley de transporte genérica, el flujo entre dos nodos a

través de un conductor es proporcional a la diferencia de potencial entre ellos

( )δδδ ϕϕ +++ −= llllll gJ ,, (A.1)

La corriente externa neta que entra o sale del nodo l es igual a la suma de los flujos

entre l y sus nodos vecinos δ+l

( )∑ ∑ +++ −==δ δ

δδδ ϕϕ lllllll gJJ ,, ; Nl ..1=(A.2)

Estas ecuaciones pueden ser expresadas en forma matricial como

mm

lml GJ ϕ∑= ; Nl ..1= ϕ⋅=⇔ GJ (A.3)

Apéndices 296

donde los elementos de la matriz de conductancias lmG , están definidos como

( ) δδ

δδδ ++∑ −= llmlmllm gG ,,, (A.4)

con ji,δ la función delta de Kronecker, que se define como

1, =jiδ si ji =

0, =jiδ si ji ≠(A.5)

Por simple intercambio de índices en la ecuación (A.4), se deduce que la matriz de

conductancias es simétrica. Adicionalmente, esta matriz es singular, ya que,

NGNGrang =<−= )dim(1)( , lo que puede probarse añadiendo las ecuaciones de

corriente externa de cada nodo, esto es,

∑ ∑∑= ==

==

N

mm

N

llm

N

lln GJJ

1 11ϕ (A.6)

Como no existe generación de materia en la red, la corriente neta es nula, en

términos matemáticos ésto se traduce en que uno de los potenciales de nodo puede ser

escrito como una combinación lineal de los 1−N nodos restantes. Así,

01 1

=

∑ ∑= =

N

mm

N

llmG ϕ m

jm illmjij GG ϕϕ ∑∑

≠ ≠

=−⇒ (A.7)

Si se escoge arbitrariamente el nodo N como nodo de referencia de potenciales

0=Nϕ , el sistema de ecuaciones puede ser reducido a un sistema no-singular,

∑∑−

=

−

=

=1

1

1

10

N

l

N

mmlmG ϕ (A.8)

Apéndices 297

Como este sistema es no-singular, existe la inversa de G y se define como

JG =℘: (A.9)

Esta matriz ℘ es conocida como el operador de Green de la red. A través de este

operador es posible expresar los potenciales de nodo en término de las corrientes externas,

∑−

=

℘=1

1

N

mmlml Jϕ ; 1..1 −= Nl J⋅℘=⇔ ϕ (A.10)

Para aclarar la notación se presenta el desarrollo de estas expresiones en una red

unidimensional (Figura A.1)

Figura A.1 Red unidimensional. l representa un nodo genérico en la red, 1 es el nodo de entrada deflujo y m el nodo de salida de flujo J.

De acuerdo a la ecuación (A.6) la corriente que circula por uno de los nodos de la

red es

11,11,11,22,11, ....... −−++−− +++++= NNllllllllll GGGGGJ ϕϕϕϕϕ (A.11)

Los coeficientes que acompañan a los potenciales son elementos de la matriz G que

corresponden a conductancias

Apéndices 298

( )∑ ++++++ −=−=δ

δδδδ 1,,1,1,1, llllllllll ggG

( )∑ −+++ +=−=δ

δδδδ 1,1,,,,, llllllllllll gggG

( )∑ −+−+−− −=−=δ

δδδδ 1,,1,1,1, llllllllll ggG

( )∑ =−= +±+±±δ

δδδδ 0,,,, llnllnllnll gG ; 1>∀n

(A.12)

La matriz de conductancias G presenta una estructura bandeada y simétrica, cada

fila de la matriz es el balance de materia de un nodo, en cada fila el elemento ubicado en la

banda diagonal central es igual a la suma de las conductancias de los enlaces que inciden en

el nodo donde se realiza el balance, los elementos no-nulos ubicados en las bandas restantes

son iguales a las conductancias de los enlaces que inciden en el nodo donde se realiza el

balance. Estas propiedades se aprecian claramente al desarrollar las expresiones anteriores

para 11 −= Nl K y cuando se ordenan estas ecuaciones en forma matricial, esto es,

+

−+−−

−+−−+

=

−−−

+−+−

2,1,1

1,1,1,1,

3,2

3,21,23,22,1

2,10,12,1

...00000.........00000.........0000000000......0000000000

NNNN

llllllll

gg

ggggg

ggggggg

G

Ahora, la corriente externa que atraviesa el nodo l de esta red lineal es

11,1,1,11,11,,11, ++−+−−++−− −++−=++= llllllllllllllllllllll ggggGGGJ ϕϕϕϕϕϕϕ (A.13)

Al agrupar términos se obtiene nuevamente las leyes de conservación de materia,

( ) ( ) ( )∑ ∑ +++++−− =−=−+−=δ δ

δδδ ϕϕϕϕϕϕ lllllllllllllll JgggJ ,,11,11, (A.14)

Apéndices 299

Consideremos ahora que toda la corriente externa entra por un solo nodo y

abandona la red a través de otro. Denotemos nodo 1 al punto de entrada de la corriente total

J y m al punto de salida de esta misma cantidad de corriente. Se deduce a partir de (A.4) y

la ley de Ohm que la impedancia de la red mZ y la conductividad mS entre esos nodos está

dada por

JZS m

mmϕϕ −

==− 11(A.15)

Los potenciales de nodo según la ecuación (A.10),

11,1,133,122,111,11 ...... −−℘++℘++℘+℘+℘= NNmm JJJJJϕ

11,,33,22,11, ...... −−℘++℘++℘+℘+℘= NNmmmmmmmm JJJJJϕ(A.16)

Como hay corriente externa sólo en los nodos 1 y m, las expresiones de voltaje en

ellos se reducen a

mm JJ ,111,11 ℘+℘=ϕ

mmmmm JJ ,11, ℘+℘=ϕ(A.17)

Y como la corriente que entra en 1 es la misma que sale por m, esto es, JJJ m =−=1 ,

entonces

( )Jm,11,11 ℘−℘=ϕ

( )Jmmmm .1, ℘−℘=ϕ(A.18)

Apéndices 300

Reemplazando las ecuaciones (A.18) en las ecuaciones (A.17) se llega a

( ) ( )[ ]mmm

mmmmmm J

JZS ,,11,1

,1,,11,11 2 ℘+℘−℘=℘−℘−℘−℘

==−(A.19)

Se definen las siguientes cantidades para el colectivo de redes topológicamente

idénticas decoradas con elementos de conductancia distribuida según )(gf .

Impedancia promedio mZ , es el promedio aritmético de las impedancias medido a través

de la diferencia de potencial entre los nodos 1 y m cuando se hace pasar una corriente

constante J a través de estos nodos.

Conductancia promedio mS : es el promedio aritmético de las conductancias medido a

través de la corriente externa que entra o sale de la red cuando se mantiene una diferencia

de potencial constante entre los nodos 1 y m.

Red efectiva de impedancias, es una red topológicamente idéntica a la red de conductancias

aleatorias, con una decoración homogénea en que todos los enlaces tienen la misma

conductancia efZg . La conductancia efectiva posee un valor tal que la impedancia de la red

efectiva efmZ iguala a la impedancia promedio del conjunto de redes considerado, esto es,

mef

m ZZ = (A.20)

Red efectiva de conductividades, es una red topológicamente idéntica a los miembros del

conjunto y de enlaces de conductancia igual a efSg .

Cabe hacer notar que, de acuerdo a la definición anterior, efXg ( ZSX ó= ) depende

de la topología de la red y de la función de distribución de conductancias )(gf , y en

general efS

efZ gg ≠ .

Apéndices 301

A partir de las definiciones anteriores, la desviación de conductancias de la red

aleatoria con respecto a la conductancia efectiva (o conductancia del medio efectivo) queda

dada por

efXllll ggg −=∆ ++ δδ ,,

(A.21)

La desviación de impedancia de una red aleatoria con respecto a la impedancia de la

red efectiva es

efmmm ZZZ −=∆ (A.22)

Y del mismo modo, la desviación de conductividad de una red aleatoria con

respecto a la conductividad de una red efectiva es

efmmm SSS −=∆ (A.23)

Así la ecuación fundamental que determina a efZg es

0)( =∆ efZm gZ (A.24)

Y la que determina a efSg

0)( =∆ efSm gS (A.25)

Apéndices 302

Deducción de efSg y ef

Zg

Como en el medio efectivo todos los enlaces poseen la misma conductancia efXg , se

puede obtener una expresión analítica para el operador de Green E de un medio efectivo

infinito. Se define el operador adimensional de Green de medio efectivo dividiendo los

elementos de ef℘ por la conductancia efectiva de red efXg , esto es,

( )EE efX

a g= (A.26)

El objetivo de buscar una representación de ℘ y E , los operadores de Green de las

redes aleatoria y efectiva, respectivamente, es deducir expresiones para efXg que dependan

de los elementos de esas matrices.

Si se descompone la matriz de conductancias G en una matriz homogénea H y una

de términos aleatorios U

UHG −= (A.27)

donde H es la parte de la matriz de conductancias G que caracteriza a la red efectiva de

conductancias efXg y U es la parte aleatoria de la matriz que depende de los términos de

desviación de conductancias δ+∆ llg , , entonces

( ) ( ) ∑∑ ∑ ++++ ∆−−=−=δ

δδ δ

δδδ αδδδδ lllmefXmllmllmllmlm gggG ,,,, (A.28)

( )∑ +−=δ

δδδ efXmllmlm gH , (A.29)

Apéndices 303

Para satisfacer (A.27) se requiere que ( )lmlm HGU −−= . Por lo tanto

( )( ) ( )∑∑ ++++ ∆−−=−−−=δ

δδδ

δδ δδδδ llmllmeffXllmllmml gggU ,,,,, (A.30)

Se introduce el operador T, que se define como

ETEE ⋅⋅+=℘ (A.31)

TEUUT ⋅⋅+= ( ) ( )∑∞

=

− ⋅=⋅−=⇒0

11n

n UEUUEUT (A.32)

Luego, la desviación de conductancias expresada en términos de los operadores de

Green de la red aleatoria y de la red efectiva es

( ) ( )mmmmmmef

mmm EEEZZZ ,1,1,1,1,1,1 22 −+−℘−℘+℘=−=∆

( ) ( ) ( )mmmmmm EEE ,1,1,,1,11,1 2 −℘−−℘+−℘=(A.33)

Empleando la ecuación (A.31)

ETEE ⋅⋅=−℘ (A.34)

mmmmZ ,1,1,1 2 ETEETEETE ⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅=∆ (A.35)

A partir del álgebra de tensores (o bien del álgebra de matrices), se obtiene una

expresión general para los términos ji ,ETE ⋅⋅

( ) jieeE aji

efX Eg ,

1−= , jieeT jiT ,= (A.36)

Apéndices 304

( ) ( ) vumljivumlji eeeeeeeeeeeeETE ))((,,,2

,,2

⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅−− a

vumla

jiefX

avuml

aefX ETEgETEg

( ) ( ) vivi eeee avmmj

ajv

efXumlj

avuml

aji

efX ETEgETEg ,,,

2,,,,,

2 −−== δδ

(A.37)

Así,

( ) ∑∑−

=

−

=

−=

1

1

1

1,,,

2,

N

n

N

knk

ajn

aki

efXji TEEgETE (A.38)

Desarrollando los términos que aparecen en (A.35)

( ) ∑∑−

=

−

=

−=

1

1

1

1,1,,1

2

1,1

N

n

N

knk

an

ak

efX TEEgETE (A.39)

( ) ∑∑−

=

−

=

−=

1

1

1

1,,,

2,

N

n

N

knk

amn

akm

efXmm TEEgETE (A.40)

( ) ∑∑−

=

−

=

−=

1

1

1

1,,,1

2,1

N

n

N

knk

amn

ak

efXm TEEgETE (A.41)

Reemplazando (A.33) en la ecuación que determina a efZg es

( ) ( )∑∑−

=

−

=

−=−+

1

1

1

1,,,1,.1,,1

2 02N

k

N

nnkmnkmnkmnk

efZ Tggggggg (A.42)

Siguiendo el mismo desarrollo para efSg

( ) ( )mmmmmm

efmmm EEE

ZZS,1,1,1,1,1,1

11

21

21

−+−

℘−℘+℘=−=∆

−−

( ) ( )( )( )mmmmmm

mmmmmm

EEEEEE

,1,1,1,1,1,1

,1,1,1,1,1,1

2222℘−℘+℘−+

℘−℘+℘−−+=

( ) ( )( )mmmmmmmmm

mmm

ETEEETEGETEEEEEETEETEETE

,1,1,,1,11,1,1,1,1

,1,1,1

222

+⋅−+++⋅−+

−+=

(A.43)

Apéndices 305

La ecuación que determina a efSg es

( )

( ) ( ) ( )0

222

2

1

1

1

1,,,1,,1,,1

1,11,1,11,1

1

1

1

1,,,1,,1,,1

=

−++⋅−

−+

∑∑

∑∑−

=

−

=

−

−

=

−

=N

k

N

nnk

amn

ak

amn

akm

an

ak

efS

am

aam

a

N

k

N

nnk

amn

ak

amn

akm

an

ak

TEEEEEEgEEEE

TEEEEEE(A.44)

En la aproximación del enlace simple se resuelven estas ecuaciones para efXg en el

caso simplificado en que sólo uno de los enlaces de la red sea aleatorio y el resto de la

decoración es homogénea.

Apéndices 306

Aproximación del enlace simple

En las redes del ensamble en que sólo una cantidad fija de los enlaces tiene

conductancia aleatoria y el resto tiene una conductancia fija igual a efXg , se tiene que

0, =∆ +δllg excepto para una cantidad de enlaces n escogida. Si etiquetamos los enlaces

como 1',...1, −++ nlll , con nn 2'< , la matrices T y U resultan cuadradas de rango 'n . Los

elementos de T pueden ser calculados a partir de la solución del sistema lineal de

ecuaciones de '' nn× , esto es,

∑∑−

=

−

=+++++=

1'

0

1'

0,,,,,

n

q

n

rjrl

arlqlqlijiji TEUUT ; 1',..., −+= nlli ; 1',...,1 −+= nlj (A.45)

La aproximación más sencilla de este tipo corresponde a variar sólo un enlace, este

está ubicado entre los nodos l y 1+l (Figura A.2). Esta variación obedece a la función de

distribución )(gf .

Figura A.2 Representación de la red utilizada en la formulación de la aproximación del enlace simple.

Apéndices 307

Desarrollando los términos del sistema de ecuaciones (A.45)

∑∑= =

+++++=1

0

1

0,,,,,

q rlrl

arlqlqllllll TEUUT

lla

lllllla

llllllallllll

allllllll TEUTEUTEUTEUUT ,11,11,,,11,,11,,,,,,, ++++++++ ++++=

( ) ( ) lla

llllallllll

allll

allllll UEUEUTEUEUT ,1,11,1,,,1,11,,,, 1 =−−+−− +++++++

(A.46)

∑∑= =

+++++++ +=1

0

1

01,,,1,1,

q rlrl

arlqlqllllll TEUUT

1,11,11,1,,11,1,11,,1,,,1,1, ++++++++++++++ ++++= lla

lllllla

llllllallllll

allllllll TEUTEUTEUTEUUT

( ) ( ) 1,1,11,1,,1,1,11,,,1, 1 ++++++++++ =−−+−− lla

llllallllll

allll

allllll UEUEUTEUEUT

(A.47)

∑∑= =

+++++++ +=1

0

1

0,,,1,1,1

q rlrl

arlqlqllllll TEUUT

lla

lllllla

llllllallllll

allllllll TEUTEUTEUTEUUT ,11,11,1,,11,1,11,,1,,,1,1,1 ++++++++++++++ ++++=

( ) ( ) lla

llllallllll

allll

allllll UEUEUTEUEUT ,1,11,1,,1,1,11,11,,1,1 1 ++++++++++++ =−−+−−

(A.48)

∑∑= =

++++++++++ +=1

0

1

01,,,11,11,1

q rlrl

arlqlqllllll TEUUT

K++++= ++++++++++++++ 1,,11,11,11,,11,,,11,11,1 lla

lllllla

llllllallllllll TEUTEUTEUUT

( ) KK +−−++ ++++++++++++++a

llllallllllll

allll EUEUTTEU 1,11,11,,11,11,11,11,1 1

( ) 1,1,11,1,,11, +++++++ =−−+ lla

llllallllll UEUEUTK

(A.49)

Apéndices 308

Sea

allll

allll EUEUA ,11,,,1 ++−−=

allll

allll EUEUB 1,11,1,, ++++ −−=

allll

allll EUEUC 1,11,11,,11 ++++++ −−=

allll

allll EUEUD ,11,1,,1 ++++ −−=

(A.50)

el sistema lineal a resolver es

=

⇔

=

++

+

+

++

+

+

++

+

+

++

+

+

1,1

1,

,1

,

1,1

,1

1,

,

1,1

,1

1,

,

1,1

1,

,1

,

0000

0000

0000

0000

ll

ll

ll

ll

ll

ll

ll

ll

ll

ll

ll

ll

ll

ll

ll

ll

UUUU

TTTT

CDBA

CDBA

UUUU

TTTT

CDCD

BABA

donde las expresiones algebraicas para los términos jiU , se obtiene a partir de (A.30)

( ) ( )∑ −−=∆−−= ++δ

δδδδ efXllllllll ggzgU ,,,,

( )∑ −=∆−−= +++++δ

δδδδ efXllllllll gggU ,1,1,1,

( )∑ −=∆−−= +++++δ

δδδδ efXllllllll gggU ,,1,1,1

( ) ( )∑ −−=∆−−= +++++++++δ

δδδδ efXllllllll ggzgU 1,1,11,11,1

(A.51)

La solución de los términos de la matriz de trasnformación jiT , es

( )( ) ggz

ggzgTTTT efX

efX

efX

llllllll 22,11,1,1, +−−

=−=−== ++++ (A.52)

Apéndices 309

Luego, para promediar impedancias se reemplaza (A.52) en (A.42)

( ) ( )( ) 0

22)(

)(,00

=+−

−=∫∫∞∞

dgggzgfggzg

dggfggF efZ

efZ

efZef

Z (A.53)

y para promediar conductividades, se reemplaza (A.52) en (A.44) y en combinación con la

identidad zEE all

all /1,, =− +δ , se obtiene

( ) ( )( ) ( ) 0

22)(

)(,00

=−++−

−=⋅ ∫∫

∞∞

dggzagzaz

gfggdggfggF

mlefSml

efSef

S (A.54)

El término mla se calcula mediante la expresión

( ) ( ) 1,11,1

21,,1,1,12

1 −

++ −+−−= am

aalm

alm

al

alml EEEEEEa (A.55)

Los subíndices m y l corresponden a las distancias de enlace del enlace perturbado

y del nodo de salida de corriente respecto del nodo de entrada de corriente. Los términosa

jiE , corresponden a los elementos del operador de Green de la red. En una red cúbica

simple en nd dimensiones ( 2=nd red cuadrada, 3=nd red cúbica simple) el operador de

Green se determina como

∫ ∏∞

=

−−==

0 121, )(

21exp

21)..,,( dttItzmmmEE

d

imd

aaji i

(A.56)

Con mI la función de Bessel modificada de orden m. Esta se define como

( )∫=π

ϕϕϕπ 0

)cosexp(cos1)( dtmtIm (A.57)

Apéndices 310

En la expresión para el operador de Green se ha designado arbitrariamente, y sin

pérdida de generalidad, las coordenadas relativas de los nodos i y j en la red como

)0,...0,0(=i y ),...,( 21 dmmmj = , luego, la distancia entre estos nodos, medida en

longitudes de enlace, es dmmmji +++=− ...21 .

En una red de infinitos nodos podemos suponer que el nodo en donde se extrae la

corriente se encuentra a una distancia (en longitudes de enlace) infinita. La distancia del

enlace perturbado con respecto al nodo de entrada de corriente 1l −=l , es determinada

por la correlación propuesta por Ërdos y Haley

( ) 1)(1)( −−= pPpl (A.58)

La correlación se basa en una de las cantidades de percolación definidas

anteriormente, la probabilidad de percolación )( pP . De acuerdo a esta correlación, la

distancia l no es otra cosa que la razón entre el número total de nodos y la cantidad de

nodos que no participan de la conducción (nodos que no pertenecen al racimo infinito).

Apéndices 311

B. Definición de conductancia en capilares bidimensionales

Para flujo hidrodinámico laminar en estado estacionario de un fluido incompresible

en un ducto plano rectangular de longitud l y radio r el siguiente balance de fuerzas es

válido en un elemento de control plano al despreciar los efectos de finales (de entrada y

salida),

02222222 02

02 =∆−∆+Γ∆+∆−∆+− ==∆+ lzlzzzzrrrzrrz rprprlvrvrll ρρρττ (A.59)

donde rzτ son los esfuerzos de corte entre capas de fluido paralelas a las paredes del ducto,

p0 y pl son las presiones del fluido a la entrada y a la salida del ducto, respectivamente, zΓ

es la suma de las fuerzas de campo específicas en la dirección del flujo z y ρ es la

densidad del fluido. La Figura A.3 muestra una representación gráfica del sistema.

Figura A.3 Perfil de velocidades en un conducto rectangular de longitud l y radio R.

Si el fluido es incompresible la velocidad a un radio dado es la misma a lo largo de

toda línea paralela al flujo,

0== = zzlzz vv (A.60)

Apéndices 312

En el caso de flujo monofásico es simple incluir las fuerzas de campo en los

términos de presión

zlpP Γ+= ρ (A.61)

Luego, el balance de fuerzas en un elemento de control diferencial se reduce a

lP

drd rz ∆

=τ

(A.62)

El perfil de velocidades es simétrico con respecto al eje central del ducto, esto

define una de las condiciones de contorno del problema, en el centro del ducto los esfuerzos

de corte entre capas de fluido son nulos, esto es,

00 ==rrzτ (A.63)

Así el perfil de esfuerzo de corte se puede obtener por integración de la ecuación

(A.62)

∫∫∆

=r

drlPd

rz

00

τ

τ ⇒ rlP

rz∆

=τ (A.64)

Si el fluido es Newtoniano, la ecuación reológica del fluido es

drdvz

rz µτ −= (A.65)

En términos de la velocidad, la ecuación puede escribirse como

rlP

drdvz ∆

−=µ1

(A.66)

Apéndices 313

Otra condición de contorno del problema es la condición de no-deslizamiento en las

paredes del ducto, esto es,

0==Rrzv (A.67)

Luego, a partir de (A.66) se puede obtener el perfil de velocidades mediante

integración

∫ ∫∆

−=zv r

Rz rdr

lPdv

0

1µ

⇒ ( )22

2rR

lPvz −

∆=

µ(A.68)

La velocidad media seccional es

2

0

0

3

)(R

lP

dr

drrvv R

R

z

z µ∆

==

∫

∫(A.69)

Y la velocidad máxima se obtiene como

0máx,

=zv

z

drdv ⇒ 2

máx, 2R

lPvz µ

∆= (A.70)

Ahora, la razón entre la velocidad máxima y la velocidad media seccional es igual a

3/2, esto es, el perfil en el ducto plano rectangular es más pronunciado que en un capilar

cilíndrico tridimensional.

La conductancia hidráulica de un capilar plano se obtiene como

PgAvQ hz ∆== (A.71)

Apéndices 314

El área transversal de un ducto rectangular es igual al diámetro del ducto RA 2= ,

es decir, la sección transversal es una línea no una superficie. Así, a partir de (A.69) y

(A.71) la conductancia hidráulica es

lRg h

µ32 3

= (A.72)

Apéndices 315

C. Muestreo Monte Carlo

La técnica de muestreo que se describe a continuación es el punto de partida de toda

simulación Monte Carlo. En términos generales el muestreo Monte Carlo consiste en

obtener, a partir de un generador de números pseudo-aleatorios, una secuencia de valores

que obedece la misma densidad de probabilidad que un evento físico estocástico. Los

valores generados constituyen un conjunto equivalente al total de observaciones del evento

físico.

Un generador de números aleatorios es un algoritmo capaz de generar una secuencia

uniforme de valores comprendidos en el intervalo [0,1] de periodo infinito. En la práctica

el método de generación siempre produce una secuencia periódica. Por este motivo se habla

de generadores de números pseudo-aleatorios. En simulaciones la repetición es indeseada,

sin embargo, basta que el algoritmo presente un periodo superior al número de elementos

de la secuencia necesaria en la simulación. En general las variables estocásticas de una

simulación obedecen distribuciones distintas de la uniforme. En particular, los medios

porosos naturales exhiben distribución de tamaño de poros muy distinta a la uniforme, más

bien log-normal. El método Monte Carlo de muestreo permite reproducir cualquier

distribución.

A continuación se presentan propiedades de las funciones de probabilidad y

demostraciones en que se sustenta el método de muestreo y luego se ilustra el método con

un ejemplo, la obtención de una secuencia de valores de radio de poro que sigue una

función de distribución dada, es decir, el muestreo de una de las variables aleatorias de las

simulaciones implementadas.

Sea f la función de densidad de probabilidad, o función de distribución, de una

variable aleatoria r. La probabilidad de encontrar un elemento r de valor comprendido en el

intervalo [rmín, rmáx] es

Apéndices 316

[ ] ∫=∈máx

mín

)(),( máxmín

r

r

dxxfrrrP (A.73)

Una función directamente relacionada con la probabilidad de encontrar r en un

intervalo dado es la función de distribución acumulada F de f, esta se define como

∫∞−

=r

dxxfrF )()( (A.74)

La ecuación (A.73) escrita en términos de (A.74) es

[ ] )()()()(),( mínmáxmáxmín

mínmáx

rFrFdxxfdxxfrrrPrr

−=−=∈ ∫∫∞−∞−

(A.75)

La función de distribución acumulada F satisface las siguientes condiciones: tiene

recorrido en el intervalo [0,1] y es monótona creciente. La primera condición se satisface

siempre que la función de distribución f se encuentre correctamente definida, esto es, que

esté normalizada. La segunda condición se satisface dado que la función f es definida

positiva y el área bajo la curva se encuentra acotada. Si la primera propiedad no se satisface

se debe normalizar la función de distribución original, de modo que cumpla

∫∞

∞−

=dxxf

xfrfnorm

)(

)()((A.76)

Así, el muestreo uniforme del recorrido de la función F origina una secuencia

aleatoria que sigue una función de distribución g uniforme, o bien, F es una variable

aleatoria distribuida uniformemente

aUFg == )1,0()( (A.77)

Apéndices 317

Con a una constante determinada por la condición de normalización de la función de

densidad de probabilidad g.

Esto es,

∫∞

∞−

= 1)( dFFg (A.78)

De este modo se tiene

∫∫∞−

∞

∞−

=⇒==1

11)1,0( aadFdFU (A.79)

Ahora, los valores muestreados en el recorrido de F siguen la siguiente distribución

1)( =Fg (A.80)

Esta última ecuación debe interpretarse del modo siguiente, todo valor en el

recorrido de F, [0,1], tiene la misma probabilidad de ser muestreado con un generador de

números aleatorios.

Resultaría interesante conocer qué función de distribución siguen los valores en el

dominio de F al muestrear uniformemente el recorrido de F. Para ello se recurre al teorema

de igualdad de probabilidades diferenciales, este permite realizar transformaciones entre

funciones de distribución. El contenido de este teorema es el siguiente: si x es una variable

aleatoria que sigue una función de distribución )(xX y si y es otra variable aleatoria que

sigue una función de distribución )(yY , tal que y se encuentra relacionada con la variable x

a través de la función )(xhy = , y si se satisface xdxdy ∀> ,0/ entonces se cumple que

dyyYdxxX )()( = (A.81)

Apéndices 318

A partir de esta ecuación se puede deducir la función de distribución de la variable

aleatoria x conociendo sólo la función de distribución de la variable aleatoria y y la

relación funcional h entre las dos variables x e y, esto es,

∂∂

=xhyYxX )()( (A.82)

De acuerdo a este teorema, si conocemos la distribución g que siguen los elementos

muestreados en el dominio de F podemos conocer que distribución que siguen los

elementos r en el dominio de F si conocemos la relación funcional entre F y r. Esta relación

es conocida, pues sabemos que F es la función de distribución acumulada de f

∫∞−

==r

dxxfrFF )()( (A.83)

Para aplicar el teorema además debe cumplirse que

0>drdF

(A.84)

esto es así, ya que la función de distribución acumulada F es una función monótona

creciente de r. Luego, si denotamos como w a la función de distribución que siguen los

elementos r en el dominio de F la ecuación (A.81) establece que

drrwdFFg )()( = ⇒ drdFFgrw )()( = (A.85)

Apéndices 319

Reemplazando (A.80) y (A.83) en (A.85) y aplicando el teorema de L’Hôpital para

la derivación de la integral con variable en el límite superior de integración

)(lím)()()( rfrfdxxfdrdrw

r

r

−∞→∞−

−=

= ∫ (A.86)

Ahora, como toda función de distribución tiene área acotada se satisface que

0)(lím =−∞→

rfr

(A.87)

Finalmente, se logra demostrar que

)()( rfrw ≡ (A.88)

es decir, los valores en el dominio de F, que se obtienen mediante la aplicación de la

función inversa de F a los elementos del muestreo uniforme del recorrido de F, siguen la

función de distribución f.

Este resultado es importante, ya que provee un algoritmo de asignación de valores

de acuerdo a una función de distribución específica cuando se dispone de un generador de

números pseudo-aleatorios en el intervalo [0,1] y de la definición de una función de

distribución de una variable física aleatoria. El algoritmo se denomina muestreo Monte

Carlo.

Las etapas del algoritmo de obtención de las matrices de decoración empleadas en la

simulación de flujo en medios porosos, consisten en aplicar el muestreo Monte Carlo para

obtener valores de radio de los enlaces de la red y calcular a partir de estos valores el resto

de las propiedades de los enlaces tales como las conductancias. Estas etapas se detallan a

continución.

Apéndices 320

• Caracterizar adecuadamente la distribución experimental, esto es, determinar los

parámetros estadísticos de ésta; media, varianza, etc. y normalizarla si es necesario.

• Determinar la función de distribución acumulada F a partir de la integración de f.

• Generar una secuencia uniforme de valores { }iu en el intervalo [0,1]. Esto se consigue

con el generador de números pseudo-aleatorios. La secuencia debe una cantidad de

elementos igual al número de enlaces de la red.

• Aplicar a cada elemento de la secuencia uniforme la función inversa de F , esto es,

encontrar )(1ii uFr −= . De acuerdo a la demostración anterior, la secuencia { }ir sigue

la distribución f.

• Calcular las conductancias, eléctrica e hidrodinámica, para cada uno de los elementos

de la secuencia de radios; ( )ixx

i rgg = .

• Asignar cada valor de conductancia a un enlace. En un medio que no exhibe correlación

espacial no interesa el orden de asignación, sino sólo que el conjunto de conductancias

sigue la distribución experimental. Una forma simple de realizar la asignación es en

forma ordenada, siguiendo la numeración indicial de los nodos de la red.

Otra variable aleatoria de la simulación es la ubicación del nodo que es deformado

en cada etapa de compactación, como todos los enlaces tienen la misma probabilidad de

ser compactados en una etapa la ubicación del nodo sigue una distribución uniforme. En

una primera aproximación, en una red cúbica dn-dimensional de coordinación z, son

necesarias dn + 1 variables aleatorias uniformes para establecer la ubicación de un enlace

en la red, las dn corresponden a las coordenadas en cada una de las direcciones para ubicar

un nodo en esta red, la variable adicional es el índice del enlace en el nodo que es

compactado, esta variable puede adoptar z valores posibles. De este modo serían necesarias

dn + 1 secuencias uniformes independientes, esto es, en cada secuencia no existe repetición

de elementos y las secuencias no presentan correlación entre sí. Una forma de lograr ésto

es eligiendo adecuadamente el algoritmo de generación y las semillas de cada secuencia, la

semilla determina el punto de comienzo de generación de una secuencia.

Apéndices 321

Sin embargo, una forma más simple y correcta de muestrear aleatoriamente la

ubicación de un enlace en la red consiste en utilizar la notación de un índice, esto es, cada

conjunto de coordenadas en la red dn-dimensional puede ser asociado en forma biunívoca

con un sólo nodo de la red y por lo tanto con un sólo índice. A modo de ejemplo, en una

red cúbica con nx nodos en el eje X, ny nodos en el eje Y y nz nodos en el eje Z, la relación

entre las coordenadas i, j, k de un nodo se relaciona con la notación de un solo índice si,j,k

mediante la siguiente relación

( ) injnnks xyxkji +−+−= )1(1,, (A.89)

la relación entre ambas notaciones de índices es biyectiva, es decir, en el sentido inverso se

puede asignar una terna única a un índice dado de la red cúbica. Así sólo son necesarias dos

secuencias uniformes independientes para elegir el enlace a ser compactado en cada etapa

de la simulación, una para determinar la ubicación del nodo en la red si,j,k y otra para elegir

cuál de los z enlaces del nodo es compactado.

Apéndices 322

D. Conductancia de la celda de renormalización 2×2×2

A continuación se presentan las ecuaciones que definen la conductancia efectiva de

una celda de renormalización, esto es, la conductancia equivalente de una porción de la red.

Figura A.4 nodos sup

a b

c d

0

1 1

1 1

Celda de renormalizaeriores e inferiores (g

0
0
ción 2×2×2 en una red ris claro) de la celda se

a b

c

1

0

0

cúbica (Arriba). En una primera etapa a los les impone el mismo potencial (Abajo).

d

Apéndices 323

Los balances de materia en los nodos principales de esta celda (en gris oscuro) son

01100 =−−−− ϕϕϕϕϕ aacacbabap

a ggggg

01100 =−−−− ϕϕϕϕϕ bbdbdaabbp

b ggggg

01100 =−−−− ϕϕϕϕϕ ccaacdcdcpc ggggg

01100 =−−−− ϕϕϕϕϕ ddbbdccddp

d ggggg

(A.90)

Es un sistema lineal de 4×4, las variables a resolver son los potenciales de los nodos

principales de la celda. La forma matricial de este sistema de ecuaciones es bG =⋅ϕ ,

donde,

++++

=

−−−−−−

−−

1100

1100

1100

1100

00

00

ϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

dd

cc

bb

aa

d

c

b

a

pdcdbd

xcd

pcac

bdpbab

acabpa

gggggggg

ggggggggg

ggg

(A.91)

Los elementos con subíndice p que aparecen en la diagonal de la matriz de

conductancias de la celda corresponden a la sumatoria de las conductancias de los enlaces

que inciden en cada uno de los elementos,

01

01

01

01

ddbdcdpd

ccaccdpc

bbbdabpb

aaacabpa

ggggg

ggggg

ggggg

ggggg

+++=

+++=

+++=

+++=

(A.92)

Ahora, la conductancia efectiva de la celda no depende de la diferencia de potencial

impuesta entre sus bordes permeables al flujo, por lo tanto, arbitrariamente se eligen los

potenciales de los nodos superiores y de los nodos inferiores

Apéndices 324

11 =ϕ

00 =ϕ (A.93)

Así el vector libre del sistema se reduce a

=

1

1

1

1

d

c

b

a

gggg

b

(A.94)

luego la solución analítica del vector de potenciales de nodo se obtiene mediante la

inversión de la matriz G. Se omite aquí la solución de cada potencial pues las expresiones

resultantes son extensas, se adjunta a continuación las líneas de código Mathematica que

otorgan la solución de cada potencial.

G = {{gpa, -gab, -gac, 0}, {-gab, gpb, 0, -gbd}, {-gac, 0, gpc, -gcd}, {0, -gbd, -gcd, gpd}};

b = {ga1, gb1, gc1, gd1};

p=FullSimplify(LinearSolve(G, b))

pa=FullSimplify(Extract(p,1))

pb=FullSimplify(Extract(p,2))

pc=FullSimplify(Extract(p,3))

pd=FullSimplify(Extract(p,4))

El flujo neto a través de la celda en la dirección nodo 1 a nodo 0 es

ddccbbaa ggggJ ϕϕϕϕ 0000 +++= (A.95)

y la ecuación de transporte macroscópica de la celda es

( ) RR ggJ =−= 01 ϕϕ (A.96)

Apéndices 325

Al igualar las expresiones (A.95) y (A.96) se obtiene una expresión para la

conductancia efectiva de la celda en la dirección 1 a 0. Si se reemplazan los potenciales de

los nodos principales en esta expresión se obtiene una expresión para la conductancia

efectiva de la celda en la dirección 1 a 0. Las siguientes líneas deben incluirse al final del

código anterior para obtener una expresión de conductancia efectiva de celda de

renormalización 2×2×2.

gpa=gab+gac+ga1+ga0;

gpb=gab+gbd+gb1+gb0;

gpc=gcd+gac+gc1+gc0;

gpd=gcd+gbd+gd1+gd0;

gr=ga0*pa+gb0*pb+gc0*pc+gd0*pd

La notación de nodos y enlaces introducida permite aplicar el mismo desarrollo en

la red cúbica para las direcciones X, Y y Z. Las siguientes asignaciones de variables son

necesarias para aplicar el resultado anterior a cada una de las direcciones de la red y

relacionar la expresión de conductancia efectiva con las conductancias de los enlaces de la

celda que se encuentran almacenadas en las matrices de decoración.

En la dirección Z las asignaciones son

kjia ,,→ ; kjib ,,1+→ ;

kjic ,1, +→ ; kjid ,1,1 ++→

xkjiab gg ,,= ; x

kjicd gg ,1, += ; ykjibd gg ,,1+= ; y

kjiac gg ,,=

zkjia gg 1,,1 −= ; z

kjib gg 1,,11 −+= ; zkjic gg 1,1,1 −+= ; z

kjid gg 1,1,11 −++=

zkjia gg ,,0 = ; z

kjib gg ,,10 += ; zkjic gg ,1,0 += ; z

kjid gg ,1,10 ++=

(A.97)

Apéndices 326

En la dirección Y

kjia ,,→ ; kjib ,,1+→ ;

1,, +→ kjic ; 1,,1 ++→ kjidx

kjiab gg ,,= ; xkjicd gg 1,, += ; z

kjibd gg ,,1+= ; zkjiac gg ,,=

ykjia gg ,1,1 −= ; y

kjib gg ,1,11 −+= ; ykjic gg 1,1,1 +−= ; y

kjid gg 1,1,11 +−+=

ykjia gg ,,0 = ; y

kjib gg ,,10 += ; ykjic gg 1,,0 += ; y

kjid gg 1,,10 ++=

(A.98)

Finalmente en la dirección X

kjia ,,→ ; 1,, +→ kjib ;

kjic ,1, +→ ; 1,1, ++→ kjidz

kjiab gg ,,= ; zkjicd gg ,1, += ; y

kjibd gg 1,, += ; ykjiac gg ,,=

xkjia gg ,,11 −= ; x

kjib gg 1,,11 +−= ; xkjic gg ,1,11 +−= ; x

kjid gg 1,1,11 ++−=

xkjia gg ,,0 = ; x

kjib gg 1,,0 += ; xkjic gg ,1,0 += ; x

kjid gg 1,1,0 ++=

(A.99)

Apéndices 327

E. Programa PROTRAN para la estimación de propiedades de medios porosos

Descripción de las rutinas

compact2d.for

Rutina principal de cálculo de propiedades macroscópicas en una red cuadrada de

capilares rectangulares, desde este programa se llama a las subrutinas de decoración,

cálculo de propiedades macroscópicas y actualización de la red en distintas etapas de

compactación.

Los parámetros de la simulación se leen desde los archivos nombre.par. Las

propiedades a ser calculadas se definen a partir de variables booleanas indicadas en estos

archivos. Las opciones de distribución de tamaño de poros, factor de compactación, la

porosidad inicial y final de simulación, el paso en porosidad y método de cálculo, en el caso

de las propiedades de transporte, se leen también desde los archivos nombre.par.

Archivo(s) de entrada: nombre.par.

Archivo(s) de salida: nombrege.dat, nombregh.dat, nombredc.dat, nombredl.dat,

nombredh.dat.

Subrutinas anexas: conduct2d.for, diamcrit2d.for, diamhidr2d.for, diamlamb2d.for,

distrib2d.for, dmatrixloadpack.for, dsrc2c.f, emag2d.for, mc2dg.for, mc2dgp.for,

shrink2d.for, volpor2d.for.

conduct2d.for

Calcula las conductancias, eléctrica e hidráulica, de los enlaces de una red cuadrada

de acuerdo a las ecuaciones (5.6b) y (5.7b) válidas para conductos rectangulares. Los radios

de los enlaces se encuentran en las matrices de decoración de radios, las conductancias

calculadas son almacenadas en matrices de decoración de conductancias.

Apéndices 328

diamcrit2d.for

Calcula la longitud crítica de una red cuadrada en un estado determinado de

porosidad. El algoritmo se basa en la determinación del tamaño de poro crítico mediante la

simulación de un experimento de porosimetría hasta el estado en que se forma un racimo

conductor en la red.

diamhidr2d.for

Calcula la longitud característica hidrodinámica de una red cuadrada de capilares

rectangulares en un estado dado de porosidad. La longitud es calculada como la razón entre

el área y el diámetro de poros. Para el cálculo se utilizan las matrices de decoración de

radio de poros.

diamlamb2d.for

Calcula la longitud característica lambda de una red cuadrada de capilares

rectangulares en un estado dado de porosidad. La longitud es calculada como la razón entre

la sumatoria de las áreas de poros ponderadas por el campo eléctrico en ellos y la sumatoria

de los diámetros de poros ponderados por el campo eléctrico en ellos. Para realizar el

cálculo se utilizan las matrices de decoración de radios y el vector de potenciales nodales

eléctricos.

distrib2d.for

Subrutina de muestreo Monte Carlo de una distribución. Genera dos secuencias de

valores de radio que siguen una función de distribución determinada. La secuencias

generadas son almacenadas en matrices denominadas matrices de decoración de radios, que

no son más que arreglos donde se almacenan los valores de radio en posiciones que

guardan una correspondencia con la posición de los enlaces en la red. En la red cuadrada

cada arreglo corresponde a una de las direcciones de la red.

Apéndices 329

Hasta ahora esta rutina permite elegir entre cinco diferentes tipos de distribución,

esto es, Uniforme, Normal, Log-Normal, Cauchy y Weibull.

dmatrixloadpack.for

Rutina de construcción del sistema lineal que define el transporte estacionario en

redes no-percolativas cuadradas y cúbicas. Esta rutina dimensiona y construye la matriz de

conductancia en forma rala simétrica y el vector libre del sistema de balances nodales de

una red regular a partir de las matrices de decoración de conductancias.

Esta rutina se puede utilizar para redes cuadradas y cúbicas, de cordinación

completa, con condición de frontera impermeable o periódica.

dsrc2c.f

Rutinas de doble precisión para la solución de sistemas lineales de gran dimensión

mediante métodos iterativos (ITPACK). Se encuentran disponibles cinco diferentes

métodos de solución. En las simulaciones implementadas se utiliza el método de

sobrerelajación sucesiva simétrica precondicionada con el método de gradiente conjugado

(SSORCG). La matriz del sistema debe almacenarse en forma rala simétrica para el uso de

estas rutinas.

Información completa respecto del uso de estas rutinas se encuentra en

http://www.ma.utexas.edu/CNA/ITPACK.

emag2d.for

Determina la conductancia efectiva de una red cuadrada mediante aproximación de

medio efectivo EMA. Esta rutina calcula numéricamente la solución de la ecuación

autoconsistente (5.78) mediante el método de bisección. Para el cálculo se utilizan las

matrices de decoración de conductancias.

Apéndices 330

graphdistr2d.for

Esta subrutina determina el histograma de radios de una red cuadrada en cualquier

etapa de compactación, es decir, cuando se alcanza una porosidad dada. Para el cálculo se

determina el valor máximo y mínimo de radio que ocurre en la matriz de decoración de

radios, luego se divide en celdas el intervalo [rmín, rmáx] y se calcula la cantidad de

elementos que ocurren en cada celda, esto es, la frecuencia con que ocurren elementos en

cada celda.

Si la población muestreada es grande y el tamaño de celda suficientemente pequeño

el histograma se aproxima bastante a la función de distribución continua de tamaños de

poro.

mc2dg.for

Determina la conductancia efectiva y el campo de potenciales de una red cuadrada

no-percolativa mediante la solución del sistema de balances nodales. Se definen los

parámetros del método de solución del sistema lineal, tales como el parámetro de relajación

y la tolerancia. Desde la rutina se llama a las subrutinas dmatrixloadpack.for y dsrc2c.f. La

primera carga el sistema de ecuaciones, la segunda lo resuelve. La conductividad eléctrica y

la permeabilidad son calculadas a partir de los potenciales de nodo mediante las ecuaciones

(5.70) y (5.76).

mc2dgp.for

Determina la conductancia efectiva y el campo de potenciales de una red cuadrada

percolativa mediante la solución numérica del sistema de balances nodales. En esta rutina

se definen los parámetros del método de solución del sistema lineal, tales como el

parámetro de relajación, la tolerancia, el vector inicial de potenciales, etc. A diferencia de la

rutina mc2dg.for, en esta rutina se realiza un reconocimiento previo de los nodos que

participan en forma efectiva de la conducción, esto se realiza mediante el algoritmo HK76

Apéndices 331

incorporado en la rutina. El almacenamiento ralo de la matriz de conductancias y del vector

libre se lleva a cabo en la rutina, de este modo, sólo se llama a la rutina dsrc2c.f para

resolver el sistema. La conductividad eléctrica y la permeabilidad son calculadas a partir de

los potenciales de nodo mediante las ecuaciones (5.70) y (5.76) (sumando sobre los índices

de los nodos que participan en forma efectiva de la conducción s').

mercury2d.for

Simula el experimento de porosimetría en una red bidimensional de capilares planos

y establece las coordenadas cartesianas en píxeles de los nodos inundados. La simulación se

detiene en el estado crítico. Las coordenadas son almacenadas en un archivo nombre.dat

que es interpretado por el programa para la visualización de patrón de flujo en redes

bidimensionales PROTRAN FPV.

pattern2d.for

Es el programa principal para la visulaización de patrones de avance de fluido

durante un experimento de porosimetría en una red bidimensional. Los parámetros de

simulación se leen desde los archivos nombre.par. Las opciones de distribución de tamaño

de poros, factor de compactación y la porosidad se leen también desde los archivos

nombre.par.


Archivo(s) de salida: nombre.dat, nombrecp.dat, nombreijr.dat, nombrergb.dat.

Subrutinas anexas: distrib2d.for, mercury2d.for, shrink2d.for, volpor2d.for.

porosim2d.for

Rutina principal de simulación del experimento de porosimetría en una red cuadrada

de capilares rectangulares a una porosidad determinada fija. Desde este programa se llama a

Apéndices 332

las subrutinas de decoración, reducción de porosidad y simulación de avance de fluido

invasor a presión controlada.


opciones de distribución de tamaño de poros, el factor de compactación y la porosidad a la

que se realiza el experimento se leen también desde los archivos nombre.par.


Archivo(s) de salida: nombre.dat, nombrecp.dat, nombredc.tm, nombre.tmp.

Subrutinas anexas: distrib2d.for, shrink2d.for, satvspc2d.for, volpor2d.for.

satvspc2d.for

Simula el avance bajo presión controlada de un fluido a través de una red cuadrada.

Dos estados de un enlace son posibles durante la simulación; el enlace se encuentra

inundado o no lo está, esta información se almacena en un arreglo. El avance se denota por

un vector que almacena el rótulo de los nodos que se encuentran en el frente de avance de

fluido.

La saturación de la red en cada etapa de la simulación es calculada como el área

total de poros inundados sobre el área total de poros, la presión es calculada mediante la

ecuación de Laplace para capilares rectangulares en las etapas de aumento de presión.

La rutina determina la curva de saturación vs presión capilar, y el punto crítico del

sistema, esto es, la presión que permite la formación de un racimo conductor de fluido

invasor y la saturación en este estado de la red.

scandst2d.for

Rutina principal para la determinación del histograma de radios de una red cuadrada

sometida a compactación en un estado dado de porosidad. Desde este programa se llama a

las subrutinas de decoración, reducción de porosidad y determinación del histograma de

radios.

Apéndices 333


opciones de distribución de tamaño de poros inicial, el factor de compactación y la

porosidad a la que se desea determinar el histograma se leen también desde los archivos

nombre.par.


Archivo(s) de salida: nombre.dat.

Subrutinas anexas: distrib2d.for, graphdistr2d.for, shrink2d.for, volpor2d.for.

shrink2d.for

Reduce la porosidad de una red cuadrada de conductores rectangualres. La

compactación sigue el mecanismo de compactación aleatoria, esto es, los enlaces a ser

encogidos se eligen al azar. El algoritmo consiste en el muestreo uniforme del par de

variables que definen la posición de un enlace, al ser muestreada una posición se multiplica

por un factor fijo x el elemento de la matriz de decoración de radios que corresponde al

enlace escogido. El procedimiento se repite hasta lograr una porosidad determinada en la

red.

volpor2d.for

Calcula el área de poros de una red cuadrada de conductos rectangulares. El área de

poros es calculada como la suma de las áreas individuales de poro, se desprecia el área

formada en la intersección de los conductos. Para tal cálculo se utilizan las matrices de

decoración de radios. Esta rutina se llama una sola vez en la simulación de compactación

para determinar el área de poros una vez decorada la red. Cuando la red se compacta se

calcula la reducción de área en cada paso de compactación y se resta al área inicial de poros

de la red, esta forma disminuye notablemente la cantidad de cálculos necesarios para la

reducción de la porosidad.

Apéndices 334

compact3d.for

Rutina principal de cálculo de propiedades macroscópicas en una red cúbica de

capilares cilíndricos, desde este programa se llama a las subrutinas de decoración, cálculo

de propiedades macroscópicas y actualización de la red en distintas etapas de

compactación.


propiedades a ser calculadas se definen a partir de variables booleanas indicadas en estos

archivos. Las opciones de distribución de tamaño de poros, factor de compactación, la

porosidad inicial y final de simulación, el paso en porosidad y el método de cálculo a

utilizar, en el caso de las propiedades de transporte, se leen también desde los archivos

nombre.par.


Archivo(s) de salida: nombrege.dat, nombregh.dat, nombredc.dat, nombredl.dat,

nombredh.dat.

Subrutinas anexas: conduct3d.for, diamcrit3d.for, diamhidr3d.for, diamlamb3d.for,

distrib3d.for, dmatrixloadpack.for, dsrc2c.f, emag3d.for, mc3dg.for, mc3dgp.for,

shrink3d.for, volpor3d.for.

conduct3d.for

Calcula las conductancias, eléctrica e hidráulica, de los enlaces de una red cúbica

de acuerdo a las ecuaciones (5.6a) y (5.7a), válidas para capilares cilíndricos. Los radios de

los enlaces se encuentran en las matrices de decoración de radios, las conductancias

calculadas son almacenadas en matrices de decoración de conductancias.

diamcrit3d.for

Apéndices 335

Calcula la longitud crítica de una red cúbica en un estado determinado de porosidad.

El algoritmo se basa en la determinación del tamaño de poro crítico mediante la simulación

de un experimento de porosimetría hasta el estado en que se forma un racimo conductor en

la red.

diamhidr3d.for

Calcula la longitud característica hidrodinámica de una red cúbica de capilares

cilíndricos en un estado dado de porosidad. La longitud es calculada como la razón entre el

volumen total de poros y la superficie total de éstos que pueden son calculadas a partir de

las matrices de decoración de radio de poros.

diamlamb3d.for

Calcula la longitud característica lambda de una red cúbica de capilares cilíndricos

en un estado dado de porosidad. La longitud es calculada como la razón entre la sumatoria

de los volúmenes de poro ponderados por el campo eléctrico en éstos y la sumatoria de las

superficies de poro ponderadas por el campo eléctrico en éstos. Para realizar el cálculo se

utilizan las matrices de decoración de radios y el vector de potenciales nodales eléctricos.

distrib3d.for

Subrutina de muestreo Monte Carlo de una distribución. Genera tres secuencias de

valores de radio que sigue una función de distribución determinada. La secuencias

generadas son almacenadas en matrices denominadas matrices de decoración de radios, que

no son más que arreglos en que se almacenan los valores de radio en posiciones que

guardan una correspondencia con la posición de los enlaces en la red. En la red cúbica cada

arreglo corresponde a una de las direcciones de la red.

Apéndices 336

Hasta ahora esta rutina permite elegir entre cinco diferentes tipos de distribución;

Uniforme, Normal, Log-Normal, Cauchy y Weibull.

emag3d.for

Determina la conductancia efectiva de una red cúbica mediante aproximación de

medio efectivo EMA. Se calcula numéricamente la solución de la ecuación autoconsistente

(5.78) mediante el método de bisección. Para el cálculo se utilizan las matrices de

decoración de conductancias.

graphdistr3d.for

Esta subrutina determina el histograma de radios de una red cúbica en cualquier

etapa de compactación. Para el cálculo se determina el valor máximo y mínimo de radio

que ocurre en la matriz de decoración de radios, luego se divide en celdas el intervalo (rmín,

rmáx) y se calcula la cantidad de elementos que ocurren en cada celda, esto es, la frecuencia

con que ocurren elementos en cada celda.

Si la población muestreada es grande y el tamaño de celda suficientemente pequeño

el histograma se aproxima bastante a la función de distribución de tamaños de poro.

mc3dg.for

Determina la conductancia efectiva y el campo de potenciales de una red cúbica no-

percolativa mediante la solución del sistema de balances nodales. En la rutina se definen los

parámetros del método de solución del sistema lineal, tales como el parámetro de relajación

y la tolerancia. Desde la rutina se llama a las subrutinas dmatrixloadpack.for y dsrc2c.f. La

primera permite cargar el sistema de ecuaciones, la segunda lo resuelve. La conductividad

eléctrica y la permeabilidad son calculadas a partir de los potenciales de nodo mediante las

ecuaciones (5.71) y (5.77) (sumando sobre los índices de los nodos que participan en

forma efectiva de la conducción s').

Apéndices 337

mc3dgp.for

Determina la conductancia efectiva y el campo de potenciales de una red cúbica

percolativa a partir de la solución numérica del sistema de balances nodales. En esta rutina

se definen los parámetros del método de solución del sistema lineal, tales como el

parámetro de relajación, la tolerancia, el vector inicial de potenciales, etc. A diferencia de la

rutina mc3dg.for, en esta rutina se realiza un reconocimiento previo de los nodos que

participan en forma efectiva de la conducción, esto se logra mediante el algoritmo HK76

incorporado en la rutina. El almacenamiento ralo de la matriz de conductancias y del vector

libre se lleva a cabo en la rutina, de este modo, sólo se llama a la rutina dsrc2c.f para

resolver el sistema. La conductividad eléctrica y la permeabilidad son calculadas a partir de

los potenciales de nodo mediante las ecuaciones (5.71) y (5.77) (sumando sobre los índices

de los nodos que participan en forma efectiva de la conducción s').

porosim3d.for

Rutina principal de simulación del experimento de porosimetría en una red cúbica

de capilares cilíndricos a una porosidad determinada fija. Desde este programa se llama a

las subrutinas de decoración, reducción de porosidad y simulación de avance de fluido

invasor a presión controlada.


opciones de distribución de tamaños de poro, el factor de compactación y la porosidad a la

que se realiza el experimento se leen también desde los archivos nombre.par.


Archivo(s) de salida: nombre.dat, nombrecp.dat, nombredc.tm, nombre.tmp.

Subrutinas anexas: distrib3d.for, shrink3d.for, satvspc3d.for, volpor3d.for.

satvspc3d.for

Apéndices 338

Simula el avance bajo presión controlada de un fluido a través de una red cúbica.

Dos estados de un enlace son posibles durante la simulación; el enlace se encuentra

inundado o no lo está, esta información se almacena en un arreglo. El avance se denota por

un vector que almacena el rótulo de los nodos que se encuentran el frente del fluido.

La saturación de la red en cada etapa de la simulación es calculada como el volumen

total de poros inundados sobre el volumen total de poros, la presión es calculada mediante

la ecuación de Laplace para capilares cilíndricos en las etapas de aumento de presión.

La rutina determina la curva de saturación vs presión capilar, y el punto crítico del

sistema, esto es, la presión que permite la formación de un racimo conductor de fluido

invasor y la saturación en este estado de la red.

scandst3d.for

Rutina principal para la determinación del histograma de radios de una red cúbica

sometida a compactación en un estado dado de porosidad. Desde este programa se llama a

las subrutinas de decoración, reducción de porosidad y determinación del histograma de

radios. Los parámetros de la simulación se leen desde los archivos nombre.par. Las

opciones de distribución de tamaños de poro inicial, el factor de compactación y la

porosidad a la que se desea determinar el histograma se leen también desde los archivos

nombre.par.


Archivo(s) de salida: nombre.dat.

Subrutinas anexas: distrib3d.for, graphdistr3d.for, shrink3d.for, volpor3d.for.

Apéndices 339

shrink3d.for

Reduce la porosidad de una red cúbica de conductores cilíndricos. La compactación

sigue el mecanismo de compactación aleatoria, esto es, los enlaces a ser encogidos se eligen

al azar. El algoritmo consiste en el muestreo uniforme del par de variables que definen la

posición de un enlace, al ser muestreada una posición se multiplica por un factor fijo x el

elemento de la matriz de decoración de radios que corresponde al enlace escogido. El

procedimiento se repite hasta lograr una porosidad determinada en la red.

volpor3d.for

Calcula el volumen de poros de una red cúbica de conductos cilíndricos. El volumen

de poros es calculado como la suma de los volúmenes individuales de poro, se desprecia el

volumen formado en la intersección de los conductos. Para tal cálculo se utilizan las

matrices de decoración de radios. Esta rutina se llama una sola vez en la simulación de

compactación para determinar el volumen de poros una vez decorada la red. Cuando la red

se compacta se calcula la reducción de volumen en cada paso de compactación y se resta al

volumen inicial de poros, esta forma disminuye notablemente la cantidad de cálculos

necesarios para la reducción de la porosidad.

Apéndices 340

Interfaz de usuario

El programa PROTRAN puede ser ejecutado en entorno Windows. La Figura

muestra la interfaz de usuario que se despliega al ejecutar el programa.

Descripción de las opciones de PROTRAN

Network: Selecciona la red a utilizar en la simulación. 2D es la red cuadrada de conductos

rectangulares, 3D la red cúbica de conductos cilíndricos.

Apéndices 341

En esta ventana se define el tamaño de red a utilizar y la intensidad de la compactación. n

es el número de nodos de la red en cada una de las dimensiones de la red, es una variable

que adopta valores enteros. x es el factor de compactación, éste debe estar comprendido en

el intervalo (0,1).

En los recuadros Distribution y Parameters se define la distribución con que es decorada la

red en el estado inicial, esto es, antes de ser compactada. En Distribution se selecciona uno

de los cinco tipos de distribución disponibles en el programa (uniforme, normal, log-

normal, Cauchy y Weibull). En los campos a y b de Parameters se indican los parámetros

de la distribución seleccionada.

En Simulation se define que simulación se llevará a cabo. Compaction corresponde al

cálculo de alguna de las propiedades macroscópicas de la red a distintos valores de

porosidad. Porosimetry es la simulación de porosimetría, desde esta opción se obtiene las

curvas de saturación vs presión capilar a un valor dado de porosidad. Histogram construye

el histograma de radios de la red en una etapa de porosidad dada, esto es una tabla de

frecuencia vs radio. Flow Pattern crea un gráfico del mapa de avance de un fluido invasor

durante un experimento de porosimetría en el punto en que el fluido forma un racimo

Apéndices 342

conducto, los distintos colores del mapa señalan la presión necesaria para inundar los poros

(esta opción se encuentra disponible sólo para la red cuadrada).

Method establece el método con que se calculan las propiedades de transporte

(permeabilidad y conductividad eléctrica). Monte Carlo calcula las propiedades de

transporte en base a la solución rigurosa de los balances nodales en la red. EMA calcula en

forma aproximada las propiedades de transporte en base a la aproximación de medio

efectivo.

Este recuadro es utilizado por las opciones Porosimetry, Histogram y Flow Pattern, en éste

se indica la porosidad φ a la que se desea determinar una curva de saturación, un

histograma de radios o un mapa de avance de fluido durante una simulación de

porosimetría

.

Este recuadro es utilizado por la opción Compaction, en éste se establece la porosidad

inicial φ0, la porosidad final φ, el paso en porosidad ∆φ y las propiedades que serán

calculadas durante la simulación de compactación de una red.

Apéndices 343

En este listado de simulaciones se despliega el conjunto de simulaciones que ejecutará el

programa. En esta se aparecen todos los parámetros y opciones con que se ejecutará cada

una de ellas. Por ejemplo; en la simulación Nº2 de este recuadro se calculará la

conductividad eléctrica, la permeabilidad y la longitud característica lambda de una red

cúbica de capilares cilíndricos de 50×50×50 nodos decorada con una función de

distribución inicial de radios log-normal de parámetros a=1.5 y b=0.1 sometida a una

compactación de intensidad x=0.3 a distintas porosidades comprendidas en el intervalo 0.2

a 1 con un paso de porosidad igual a 0.01.

Descripción de las funciones de PROTRAN

Botón Función

Añade una simulación al listado de simulaciones con los parámetros y

opciones indicadas en los recuadros antes descritos.

Elimina la última simulación que aparece en el listado de

simulaciones.

Crea un archivo batch con el conjunto de simulaciones indicada en el

listado y los archivos con todos los parámetros y opciones de las

simulaciones, archivos nombre.par. El archivo batch y los archivos

nombre.par sirven para ejecutar las simulaciones en distintos

computadores que tengan los archivos ejecutables del programa

PROTRAN sin necesidad de la interfaz.

Apéndices 344

Ejecuta desde la interfaz de usuario el conjunto de simulaciones

indicada en el listado a momento de presionar este botón. Los

resultados quedan almacenados en archivos nombre.dat y

nombre.bmp. Los resultados son identificables ya que los nombres de

los archivos de resultados se encuentran en correspondencia con los

nombres de los archivos de parámetros y opciones.

Programa PROTRAN FPV

El programa PROTRAN FPV es un intérprete de archivos de mapas de avance de

fluido durante porosimetría. La interfaz de usuario de este programa permite abrir archivos

nombre.dat que contiene las coordenadas cartesianas de los nodos inundados de una red

cuadrada durante un experimento de porosimetría, estos archivos son generados desde la

interfaz de PROTRAN.

Ilustraremos el modo de uso con un ejemplo, se desea obtener el patrón de avance

de fluido en una red cuadrada de 300×300 nodos decorada inicialmente con una función de

distribución uniforme de parámetros a=1 y b=2, la red se encuentra a una porosidad igual a

0.5 y ha sido compactada con una intensidad x=0.3. El primer paso es establecer los

parámetros de simulación desde la interfaz PROTRAN y ejecutar la simulación. Una vez

realizadas estas operaciones se ha generado el archivo pattern2DU1.dat en el mismo

directorio en que se encuentra los archivos ejecutables (*.exe) de PROTRAN. En nuestro

caso este es el directorio C:\prueba\.

A continuación desde la interfaz PROTRAN FPV se abre el archivo que contiene

las coordenadas del mapa de avance de fluido. El botón OPEN permite realizar esta

operación. Luego, al presionar DRAW se obtiene el gráfico deseado. Finalmente el gráfico

puede ser almacenado como archivo de mapa de bits (*.bmp) presionando el botón SAVE.

El archivo gráfico tiene el mismo nombre que el archivo de datos pero con extensión bmp y

se encuentra en el directorio de la aplicación PROTRAN, en este caso,

C:\prueba\pattern2DU1.bmp.

Apéndices 345

Apéndices 346

Apéndices 347

Estructura del programa PROTRAN

Interfaz deusuario

compact2ddistrib2d

mc2dg(p)

ema2dg

conduct2d
2D porosim2d
scandst2d

dmatrixloadpack

dsrc2d

shrink2d

graphdistr2d

satvspc2d

Rutinas principales Subrutinas

compact3d

porosim3d

scandst3d

distrib3d

mc3dg(p)

ema3dg

conduct3d

shrink3d

graphdistr3d

satvspc3d

3D

Documents

Permeabilidad de Medios Porosos