8/3/2019 Persamaan Diferensial Biasa (Pdb) ( fisika matematika II )

1/10

PERSAMAAN DIFERENSIAL

BIASA (PDB)

8/3/2019 Persamaan Diferensial Biasa (Pdb) ( fisika matematika II )

2/10

Persamaan Diferensial

Hukum Kedua Newton

- kx = m2

2

dt

xd

Jika suatu persamaan hanya mengandung turunanbiasa : PDB

Jika suatu persamaan hanya mengandung turunanparsial : PDP

8/3/2019 Persamaan Diferensial Biasa (Pdb) ( fisika matematika II )

3/10

Persamaan Diferensial dan Pemecahannya

PDB secara umum dapat ditulis,

F (x, y, y(1), y(2), . . . , y(n) ) = 0

F : sebarang fungsi dari argumennya

y(n)

= dn

y/dxn

, turunan ke n dari y terhadap xVariabel x : variabel bebas

Variabel y : variabel tak bebas, karena benrgantung pada

x , y = y(x)

8/3/2019 Persamaan Diferensial Biasa (Pdb) ( fisika matematika II )

4/10

Orde dan Derajat

Orde suatu PD adalah orde turunan tertinggi yangmuncul didalamnya.

Derajat suatu PD adalah pangkat tertinggi dariturunan tertinggi variabel takbebasnya.

Contoh,

02)(22

2

2

=+ xydx

dy

dx

yd

022

2

=

+ xydxdy

dxyd

8/3/2019 Persamaan Diferensial Biasa (Pdb) ( fisika matematika II )

5/10

Jenis Pemecahan suatu Persamaan

Diferensial Orde n

Pemecahan Umum, yang mengandung

semua tetapan bebas sebarang.

Pemecahan Khusus, yang diperoleh daripemecahan umum denganbeberapa atau

semua tetapan bebasnya diberi nilai tertentu.

8/3/2019 Persamaan Diferensial Biasa (Pdb) ( fisika matematika II )

6/10

Orde Satu : Variabel Terpisahkan

Jika PD orde satu,

f1(x,y) dy/dx + f2(x,y) = 0

dapat disederhanakan ke dalam bentuk diferensial

f(y) dy + g(x) dx = 0

maka pemecahan umumnya adalah ,

f(y) dy + g(x) dx = C

C : tetapan bebas sebarang

8/3/2019 Persamaan Diferensial Biasa (Pdb) ( fisika matematika II )

7/10

Contoh Soal

(x + 1 ) dy/dx = x (y2 + 1 )

Laju Peluruhan suatu bahan radioaktif bergantung pada

jumlah atom N, yang tersisa pada saat t. Jika semula,

pada t=0, terdapat N0 buah atom, carilah jumlah atom

yang berada pada saat t.

8/3/2019 Persamaan Diferensial Biasa (Pdb) ( fisika matematika II )

8/10

Orde Satu : Homogen

Suatu PD yang variabelnya tak terpisahkan, kadang-

kadang dapat ditransformasikan ke suatu variabel barudalam mana persamaannya terpisahkan.

dy/dx = F(x,y) (1)

dengan F(x,y) adalah suatu fungsi homogen (berderajatnol). Artinya , bila adalah sebarang parameter, maka

F(x, y)= F(x,y) (2)

maka persamaan di atas dinamakan : PD homogen

8/3/2019 Persamaan Diferensial Biasa (Pdb) ( fisika matematika II )

9/10

Bila = 1/x, maka pers (1) teralihkan menjadi,

dy/dx = F(1, y/x) (3)

Jika diperkenalkan variabel baru v = y/x, makay = vx , dy/dx = v + x dv/dx, sehingga (3 ) menjadi,

v + x dv/dx = G (v) (4)

Dengan G(v) = F(1,v), sehingga dapat disusun ke dalam bentuk variabelterpisahkan,

0)(=

+

vGv

dv

x

dx

Pemecahan bagi y, diperoleh kembali dari y = vx

8/3/2019 Persamaan Diferensial Biasa (Pdb) ( fisika matematika II )

10/10

Contoh Soal

xy

yx

dx

dy 22 +=