Tim Ilmu Komputasi

Coordinator contact:

Dr. Putu Harry Gunawan

phgunawan@telkomuniversity.ac.id

Persamaan Diferensial

Parsial CNH3C3Week 3: Pengantar, konsep

dasar dan klasi�kasi PDP

1 Kontrak kuliah

2 Pendahuluan

Konsep Dasar

Kehomogenan

Orde

Kelinieran

3 Klasi�kasi PDP

4 Aplikasi

Kontrak kuliah

Batasan materiBatasan kuliah ini

Pendahuluan

Konsep dasar

De�nisi (PDP)

Persamaan diferensial parsial (PDP) merupakan sebuah persamaanyang memfokuskan pada hubungan antara sebuah fungsi yangbelum diketahui u(x1, x2, · · · , xn) berdimensi n ≥ 2, dan turunanparsial fungsi terhadap variabel-variabel bebasnya.

Bentuk umumdari PDP diberikan sebagai berikut:

F

(x1, x2, · · · xn, u,

∂u

∂x1, · · · , ∂u

∂xn,∂2u

∂x1x1, · · · , ∂

2u

∂x1xn, · · ·

)= 0.

Pendahuluan

Konsep dasar

De�nisi (PDP)

Persamaan diferensial parsial (PDP) merupakan sebuah persamaanyang memfokuskan pada hubungan antara sebuah fungsi yangbelum diketahui u(x1, x2, · · · , xn) berdimensi n ≥ 2, dan turunanparsial fungsi terhadap variabel-variabel bebasnya. Bentuk umumdari PDP diberikan sebagai berikut:

F

(x1, x2, · · · xn, u,

∂u

∂x1, · · · , ∂u

∂xn,∂2u

∂x1x1, · · · , ∂

2u

∂x1xn, · · ·

)= 0.

Pendahuluan

Contoh

Berikut beberapa contoh PDP sederhana dengan u sebagai fungsi

yang belum diketahui (unknown function) dan hanya memiliki dua

variabel bebas:

∂2u(x , y)

∂x2+∂2u(x , y)

∂y2= 0,persamaan Laplace (2.1)

∂u(t, x)

∂t− α∂

2u(t, x)

∂x2= 0,persamaan difusi (2.2)

∂2u(t, x)

∂t2− c2

∂2u(t, x)

∂x2= 0,persamaan gelombang (2.3)

dengan ∂u/∂t, ∂2u/∂x2 menyatakan turunan partial terhadap

variabel waktu orde satu dan ruang orde dua secara berurutan.

Pendahuluan

Contoh

Berikut beberapa contoh PDP sederhana dengan u sebagai fungsi

yang belum diketahui (unknown function) dan hanya memiliki dua

variabel bebas:

∂2u(x , y)

∂x2+∂2u(x , y)

∂y2= 0,persamaan Laplace (2.1)

∂u(t, x)

∂t− α∂

2u(t, x)

∂x2= 0,persamaan difusi (2.2)

∂2u(t, x)

∂t2− c2

∂2u(t, x)

∂x2= 0,persamaan gelombang (2.3)

dengan ∂u/∂t, ∂2u/∂x2 menyatakan turunan partial terhadap

variabel waktu orde satu dan ruang orde dua secara berurutan.

Pendahuluan

Contoh

Berikut beberapa contoh PDP sederhana dengan u sebagai fungsi

yang belum diketahui (unknown function) dan hanya memiliki dua

variabel bebas:

∂2u(x , y)

∂x2+∂2u(x , y)

∂y2= 0,persamaan Laplace (2.1)

∂u(t, x)

∂t− α∂

2u(t, x)

∂x2= 0,persamaan difusi (2.2)

∂2u(t, x)

∂t2− c2

∂2u(t, x)

∂x2= 0,persamaan gelombang (2.3)

dengan ∂u/∂t, ∂2u/∂x2 menyatakan turunan partial terhadap

variabel waktu orde satu dan ruang orde dua secara berurutan.

Pendahuluan

Contoh

Biasanya, dalam beberapa kajian pustaka, secara singkat PDP

dapat juga ditulis dalam bentuk:

uxx + uyy = 0, (2.4)

ut − αuxx = 0, (2.5)

utt − c2uxx = 0, (2.6)

dengan subscript menyatakan turunan parsial.

Pendahuluan

Contoh

Beberapa contoh lain PDP yang terkenal selain tiga contoh diatas

adalah

ut + ux = 0, persamaan transport (2.7)

ut + ux − αuxx = 0, persamaan reaksi-difusi (2.8)

ut + uux = 0, persamaan inviscid Burger (2.9)

uxx + uyy = f (x , y), persamaan Poisson (2.10)

ut + uux + uxxx = 0, persamaan KdV (2.11)

iut + uxx = 0. persamaan Schrödinger (2.12)

Pendahuluan

Notasi umum gradien (grad(u) = ∇u)

Gradien grad(u) = ∇u:Notasi untuk menyatakan vektor gradien dari suatu fungsi

u(x1, x2, · · · , xn) pada n-dimensi ruang Euclidean.

Contohnya:

∇u(x1, x2, · · · , xn) =

(∂

∂x1,∂

∂x2, · · · , ∂

∂xn

)u(x1, x2, · · · , xn).

Misalkan terdapat fungsi u(x , y), maka ∇u(x , y) = (ux , uy ).

Pendahuluan

Notasi umum gradien (grad(u) = ∇u)

Gradien grad(u) = ∇u:Notasi untuk menyatakan vektor gradien dari suatu fungsi

u(x1, x2, · · · , xn) pada n-dimensi ruang Euclidean. Contohnya:

∇u(x1, x2, · · · , xn) =

(∂

∂x1,∂

∂x2, · · · , ∂

∂xn

)u(x1, x2, · · · , xn).

Misalkan terdapat fungsi u(x , y), maka ∇u(x , y) = (ux , uy ).

Pendahuluan

Notasi umum divergent (div(u) = ∇ · u)

Divergent div(u) = ∇ · u:Notasi untuk menyatakan divergensi (divergence) dari suatu fungsi

u(x1, x2, · · · , xn) pada n-dimensi ruang Euclidean (yaitu jumlah dari

suku-suku vektor gradiennya).

Contohnya:

∇ · u(x1, x2, · · · , xn) =

(∂

∂x1+

∂

∂x2+ · · ·+ ∂

∂xn

)u.

Misalkan terdapat fungsi u(x , y , z), maka didapat

∇ · u(x , y , z) =

(∂u

∂x+∂u

∂y+∂u

∂z

).

Pendahuluan

Notasi umum divergent (div(u) = ∇ · u)

Divergent div(u) = ∇ · u:Notasi untuk menyatakan divergensi (divergence) dari suatu fungsi

u(x1, x2, · · · , xn) pada n-dimensi ruang Euclidean (yaitu jumlah dari

suku-suku vektor gradiennya). Contohnya:

∇ · u(x1, x2, · · · , xn) =

(∂

∂x1+

∂

∂x2+ · · ·+ ∂

∂xn

)u.

Misalkan terdapat fungsi u(x , y , z), maka didapat

∇ · u(x , y , z) =

(∂u

∂x+∂u

∂y+∂u

∂z

).

Pendahuluan

Notasi umum divergent (div(u) = ∇ · u)

Divergent div(u) = ∇ · u:Notasi untuk menyatakan divergensi (divergence) dari suatu fungsi

u(x1, x2, · · · , xn) pada n-dimensi ruang Euclidean (yaitu jumlah dari

suku-suku vektor gradiennya). Contohnya:

∇ · u(x1, x2, · · · , xn) =

(∂

∂x1+

∂

∂x2+ · · ·+ ∂

∂xn

)u.

Misalkan terdapat fungsi u(x , y , z), maka didapat

∇ · u(x , y , z) =

(∂u

∂x+∂u

∂y+∂u

∂z

).

Pendahuluan

Notasi umum Laplace (∆u = ∇2u = ∇ · ∇u)

Laplace operator ∆u = ∇2u = ∇ · ∇u:Notasi untuk menyatakan turunan orde dua u(x1, x2, · · · , xn) pada

n-dimensi ruang Euclidean.

Contohnya:

∆u(x1, x2, · · · , xn) =

(∂2

∂x21

+∂2

∂x22

+ · · ·+ ∂2

∂x2n

)u.

Misalkan terdapat fungsi u(x , y , z), maka didapat

∆u(x , y , z) =

(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+∂2u

∂z2

).

Pendahuluan

Notasi umum Laplace (∆u = ∇2u = ∇ · ∇u)

Laplace operator ∆u = ∇2u = ∇ · ∇u:Notasi untuk menyatakan turunan orde dua u(x1, x2, · · · , xn) pada

n-dimensi ruang Euclidean. Contohnya:

∆u(x1, x2, · · · , xn) =

(∂2

∂x21

+∂2

∂x22

+ · · ·+ ∂2

∂x2n

)u.

Misalkan terdapat fungsi u(x , y , z), maka didapat

∆u(x , y , z) =

(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+∂2u

∂z2

).

Pendahuluan

Notasi umum Laplace (∆u = ∇2u = ∇ · ∇u)

Laplace operator ∆u = ∇2u = ∇ · ∇u:Notasi untuk menyatakan turunan orde dua u(x1, x2, · · · , xn) pada

n-dimensi ruang Euclidean. Contohnya:

∆u(x1, x2, · · · , xn) =

(∂2

∂x21

+∂2

∂x22

+ · · ·+ ∂2

∂x2n

)u.

Misalkan terdapat fungsi u(x , y , z), maka didapat

∆u(x , y , z) =

(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+∂2u

∂z2

).

Pendahuluan

Solusi PDP

Secara umum, solusi PDP adalah nontrivial, akan tetapi ketika

sebuah solusi ditemukan, akan sangat mudah untuk membuktikan

apakah fungsi tersebut merupakan solusi atau bukan.

Sebagai

contoh, untuk melihat u(x , t) = et−x merupakan solusi dari

persamaan gelombang

utt − uxx = 0, (2.13)

secara sederhananya fungsi solusi tersebut kita substitusikan ke

dalam persamaan, sehingga didapat:

(et−x)tt − (et−x)xx = et−x − et−x = 0.

Pendahuluan

Solusi PDP

Secara umum, solusi PDP adalah nontrivial, akan tetapi ketika

sebuah solusi ditemukan, akan sangat mudah untuk membuktikan

apakah fungsi tersebut merupakan solusi atau bukan. Sebagai

contoh, untuk melihat u(x , t) = et−x merupakan solusi dari

persamaan gelombang

utt − uxx = 0, (2.13)

secara sederhananya fungsi solusi tersebut kita substitusikan ke

dalam persamaan, sehingga didapat:

(et−x)tt − (et−x)xx = et−x − et−x = 0.

Pendahuluan

Solusi PDP

Secara umum, solusi PDP adalah nontrivial, akan tetapi ketika

sebuah solusi ditemukan, akan sangat mudah untuk membuktikan

apakah fungsi tersebut merupakan solusi atau bukan. Sebagai

contoh, untuk melihat u(x , t) = et−x merupakan solusi dari

persamaan gelombang

utt − uxx = 0, (2.13)

secara sederhananya fungsi solusi tersebut kita substitusikan ke

dalam persamaan, sehingga didapat:

(et−x)tt − (et−x)xx = et−x − et−x = 0.

Pendahuluan

Latihan

Tunjukkan apakah u(x , t) = sin(x − t) merupakan solusi dari

persamaan gelombang dibawah ini ?

utt − uxx = 0, (2.14)

Pendahuluan

Latihan

Tunjukkan apakah u(x , t) = f (x − ct) merupakan solusi dari

persamaan gelombang dibawah ini ?

utt − c2uxx = 0, (2.15)

Pendahuluan

Kehomogenan

De�nisi (PDP tak-homogen)

Persamaan diferensial parsial (PDP) dengan fungsi yang belumdiketahui (u) dikatakan tak-homogen jika dalam persamaanPDP-nya terdapat term/fungsi lain yang tidak bergantung padafungsi u.

Sebagai contoh, persamaan Poisson:

uxx(x , y) + uyy (x , y) = f (x , y)

merupakan persamaan tak-homogen karena ada fungsi f (x , y)yang tidak bergantung pada fungsi u(x , y). Sedangkan persamaan

Laplace:

uxx(x , y) + uyy (x , y) = 0

merupakan persamaan yang homogen.

Pendahuluan

Kehomogenan

De�nisi (PDP tak-homogen)

Persamaan diferensial parsial (PDP) dengan fungsi yang belumdiketahui (u) dikatakan tak-homogen jika dalam persamaanPDP-nya terdapat term/fungsi lain yang tidak bergantung padafungsi u.

Sebagai contoh, persamaan Poisson:

uxx(x , y) + uyy (x , y) = f (x , y)

merupakan persamaan tak-homogen karena ada fungsi f (x , y)yang tidak bergantung pada fungsi u(x , y).

Sedangkan persamaan

Laplace:

uxx(x , y) + uyy (x , y) = 0

merupakan persamaan yang homogen.

Pendahuluan

Kehomogenan

De�nisi (PDP tak-homogen)

Persamaan diferensial parsial (PDP) dengan fungsi yang belumdiketahui (u) dikatakan tak-homogen jika dalam persamaanPDP-nya terdapat term/fungsi lain yang tidak bergantung padafungsi u.

Sebagai contoh, persamaan Poisson:

uxx(x , y) + uyy (x , y) = f (x , y)

merupakan persamaan tak-homogen karena ada fungsi f (x , y)yang tidak bergantung pada fungsi u(x , y). Sedangkan persamaan

Laplace:

uxx(x , y) + uyy (x , y) = 0

merupakan persamaan yang homogen.

Pendahuluan

Latihan

Tentukan apakah persamaan-persamaan berikut homogen atau

non-homogen!

ut + ux = 0, persamaan transport (2.16)

ut + ux − αuxx = 0, persamaan reaksi-difusi (2.17)

ut + uux = 0, persamaan inviscid Burger (2.18)

uxx + uyy = f (x , y), persamaan Poisson (2.19)

ut + uux + uxxx = 0, persamaan KdV (2.20)

iut + uxx = 0. persamaan Schrödinger (2.21)

Pendahuluan

Orde

De�nisi (Orde)

Orde (order) dari PDP adalah orde dari turunan tertinggi yang adadi dalam persamaan itu sendiri.

Secara umum, kita dapat menuliskan persamaan umum PDP orde

satu untuk (x , y) sebagai

F (x , y , u(x , y), ux(x , y), uy (x , y)) = F (x , y , u, ux , uy ) = 0, (2.22)

sedangkan untuk PDP orde dua adalah:

F (x , y , u, ux , uy , uxx , uyy ) = 0. (2.23)

Pendahuluan

Orde

De�nisi (Orde)

Orde (order) dari PDP adalah orde dari turunan tertinggi yang adadi dalam persamaan itu sendiri.

Secara umum, kita dapat menuliskan persamaan umum PDP orde

satu untuk (x , y) sebagai

F (x , y , u(x , y), ux(x , y), uy (x , y)) = F (x , y , u, ux , uy ) = 0, (2.22)

sedangkan untuk PDP orde dua adalah:

F (x , y , u, ux , uy , uxx , uyy ) = 0. (2.23)

Pendahuluan

Latihan

Tentukan Orde dari:

ut + ux = 0, persamaan transport (2.24)

ut + uux + uxxx = 0, persamaan KdV (2.25)

Pendahuluan

Kelinieran

PDP dapat ditulis dalam bentuk:

L(u) = 0, (2.26)

dengan L disebut sebagai sebuah operator.

Maka contoh

persamaan reaksi difusi (2.8), dapat kita tulis menjadi

L = ∂∂t + ∂

∂x + α ∂2

∂x2, dan sehingga Lu sama dengan (2.8).

De�nisi (PDP Linier)

Operator L dikatakan linier jika memenuhi

L(u + v) = Lu + Lv , dan L(cu) = cLu, (2.27)

untuk setiap fungsi u, v dan konstanta c.

Pendahuluan

Kelinieran

PDP dapat ditulis dalam bentuk:

L(u) = 0, (2.26)

dengan L disebut sebagai sebuah operator. Maka contoh

persamaan reaksi difusi (2.8), dapat kita tulis menjadi

L = ∂∂t + ∂

∂x + α ∂2

∂x2, dan sehingga Lu sama dengan (2.8).

De�nisi (PDP Linier)

Operator L dikatakan linier jika memenuhi

L(u + v) = Lu + Lv , dan L(cu) = cLu, (2.27)

untuk setiap fungsi u, v dan konstanta c.

Pendahuluan

Kelinieran

PDP dapat ditulis dalam bentuk:

L(u) = 0, (2.26)

dengan L disebut sebagai sebuah operator. Maka contoh

persamaan reaksi difusi (2.8), dapat kita tulis menjadi

L = ∂∂t + ∂

∂x + α ∂2

∂x2, dan sehingga Lu sama dengan (2.8).

De�nisi (PDP Linier)

Operator L dikatakan linier jika memenuhi

L(u + v) = Lu + Lv , dan L(cu) = cLu, (2.27)

untuk setiap fungsi u, v dan konstanta c.

Pendahuluan

Contoh

Sebagai contoh, kita akan menunjukkan bahwa apakah persamaan

transport ut + ux linier atau tidak?

Hal ini dapat ditunjukkan

dengan,

L(u + v) = (u + v)t + (u + v)x = ut + vt + ux + vx

= (ut + ux) + (vt + vx) = Lu + Lv

dan

L(cu) = (cu)t + (cu)x = cut + cux = cLu.

Sehingga berdasarkan De�nisi 2.4, persamaan ut + ux merupakan

persamaan linier.

Pendahuluan

Contoh

Sebagai contoh, kita akan menunjukkan bahwa apakah persamaan

transport ut + ux linier atau tidak? Hal ini dapat ditunjukkan

dengan,

L(u + v) = (u + v)t + (u + v)x = ut + vt + ux + vx

= (ut + ux) + (vt + vx) = Lu + Lv

dan

L(cu) = (cu)t + (cu)x = cut + cux = cLu.

Sehingga berdasarkan De�nisi 2.4, persamaan ut + ux merupakan

persamaan linier.

Pendahuluan

Contoh

Sebagai contoh, kita akan menunjukkan bahwa apakah persamaan

transport ut + ux linier atau tidak? Hal ini dapat ditunjukkan

dengan,

L(u + v) = (u + v)t + (u + v)x = ut + vt + ux + vx

= (ut + ux) + (vt + vx) = Lu + Lv

dan

L(cu) = (cu)t + (cu)x = cut + cux = cLu.

Sehingga berdasarkan De�nisi 2.4, persamaan ut + ux merupakan

persamaan linier.

Pendahuluan

Latihan

Tunjukkan apakah PDP-PDP berikut linier apa tidak!

1. ut + ux − αuxx = 0

2. ut + uux = 0

3. uxx + uyy = f (x , y)

4. ut + uux + uxxx

Klasi�kasi PDP

Kalsi�kasi PDP orde dua

Pada PDP dengan turunan orde dua, klasi�kasi PDP dapat

ditentukan dengan mudah.

Diberikan PDP quasilinier orde dua

nonhomogen dengan dua variabel bebas:

Auxx + Buxy + Cuyy + Dux + Euy + Fu = G . (3.1)

Klasi�kasi (3.1) bergantung pada tanda (sign) dari nilaidiskriminan, B2 − 4AC sebagai berikut:

B2 − 4AC Klasi�kasi

Negative Eliptik

Nol Parabolik

Positif Hiperbolik

Klasi�kasi PDP

Kalsi�kasi PDP orde dua

Pada PDP dengan turunan orde dua, klasi�kasi PDP dapat

ditentukan dengan mudah. Diberikan PDP quasilinier orde dua

nonhomogen dengan dua variabel bebas:

Auxx + Buxy + Cuyy + Dux + Euy + Fu = G . (3.1)

Klasi�kasi (3.1) bergantung pada tanda (sign) dari nilaidiskriminan, B2 − 4AC sebagai berikut:

B2 − 4AC Klasi�kasi

Negative Eliptik

Nol Parabolik

Positif Hiperbolik

Klasi�kasi PDP

Kalsi�kasi PDP orde dua

Pada PDP dengan turunan orde dua, klasi�kasi PDP dapat

ditentukan dengan mudah. Diberikan PDP quasilinier orde dua

nonhomogen dengan dua variabel bebas:

Auxx + Buxy + Cuyy + Dux + Euy + Fu = G . (3.1)

Klasi�kasi (3.1) bergantung pada tanda (sign) dari nilaidiskriminan, B2 − 4AC sebagai berikut:

B2 − 4AC Klasi�kasi

Negative Eliptik

Nol Parabolik

Positif Hiperbolik

Klasi�kasi PDP

Latihan

Klasi�kasikan PDP-PDP berikut ini!

1. ut + ux − αuxx = 0

2. uxx + uyy = f (x , y)

3. ut + ux + uxx

4. utt + uxy + uxx

Aplikasi

Aplikasi

Beberapa aplikasi PDP dalam kehidupan sehari-hari:

I Penyebaran panas pada suatu medium

I Vibrasi senar gitar

I Pemberian harga Option (Financial Engineering)

I Gelombang air laut

I Pertumbuhan bakteri pada media tertentu

I Penyebaran polusi virus, atau gossip

I dll

End of presentation!