Upload
truongthu
View
347
Download
17
Embed Size (px)
Citation preview
PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA
�Buku pegangan mata kuliah Persamaan Difrensial�
Oleh
Drs� D a f i k� M�Sc�NIP� ��� ��� ���
Program Pendikan Matematika
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS JEMBER
Februari� ����
Untuk Keluarga Tercinta
ii
Daftar Isi
Daftar Tabel v
Daftar Gambar vi
Kata Pengantar vii
� Konsep Dasar �
��� Klasikasi Persamaan Difrensial � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
��� Solusi PDB � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
��� Metoda Penyelesaian � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
��� Masalah Nilai Awal MNA� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
� PDB Linier Order Satu ��
��� PDB Linier Order Satu Homogen � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� PDB Eksak � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� Solusi PDB Eksak � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� Faktor Integrasi � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �
����� Teknik Variabel Terpisah � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� PDB Linier Order Satu Nonhomogen � � � � � � � � � � � � � � � � ��
iii
� Aplikasi PDB Order Satu ��
��� Masalah Dalam Mekanik � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� Pertumbuhan dan Peluruhan � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� Pertumbuhan Populasi � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� Peluruhan Radioaktif � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� Hukun Pendinginan Newton � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� Campuran � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
� PDB Linier Order Dua ��
��� PDB Order n Homogen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� PDB Order n Nonhomogen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� PDB Order Dua � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� PDB Order Dua Homogen � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
����� PDB Order Dua Nonhomogen � � � � � � � � � � � � � � � � �
iv
Daftar Tabel
��� Panduan permisalan solusi khusus PDB non homogen� � � � � � � ��
v
Daftar Gambar
��� Diagram kekonvekan untuk D � R� � � � � � � � � � � � � � � � � � �
��� Diagram kekonvekan untuk D � R� � � � � � � � � � � � � � � � � � �
��� Solusi kualitatif persamaan pertumbuhan populasi� � � � � � � � � ��
��� Proses campuran dalam tangki� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� Gerakan benda pada bidang miring� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
vi
Kata Pengantar
Puji syukur kehadirat Allah S�W�T karena atas anugerah dan karuniahNya penulis
dapat menyelesaikan buku pegangan kuliah dengan judul �Persamaan Difer�
ensial Biasa �PDB�� Masalah Nilai Awal dan Batas�� Buku pegangan
ini dibuat untuk membantu mahasiswa menemukan refrensi utama mata kuliah
Persamaan Difrensial Biasa memandang cukup langkanya buku�buku persamaan
difrensial dalam bahasa Indonesia�
Dalam buku ini dijelaskan bagaimana konsep Persamaaan difrensial secara
umum� PDB order satu homogen dan nonhomogen� PDB order dua atau lebih
serta aplikasi dari suatu PDB� Pokok bahasan ini disajikan dengan harapan ma�
hasiswa memahami esensi dari persamaan difrensial dan sekaligus sebagai penun�
jang langsung materi perkuliahan� Dalam buku pegangan ini dilengkapi beberapa
fungsi dalam MAPLE programming serta latihan soal�soal tutorial untuk mem�
perdalam wawasan pemahaman mahasiswa tentang PDB� Semua materi dalam
buku ini ditulis dalam LATEX�E word processing sehingga ekspresi fungsi
matematik dapat disajikan dengan benar�
Selanjutnya dalam kesempatan ini penulis tak lupa menyampaikan banyak
terima kasih kepada yang terhormat�
�� Rektor Universitas Jember�
vii
�� Dekan FKIP Universitas Jember�
�� Pimpinan Proyek Peningkatan Universitas Jember yang telah mendanai
pengembangan bahan ajar Mata Persamaan Diferensial I�
�� Ketua Program Pendidikan Matematika yang telah memberikan motivasi
dan rekomendasi penggunaannya dalam perkuliahan�
�� Semua pihak yang terlibat langsung maupun tak langsung dalam penyusunan
buku ajar ini�
Semoga bantuan rielnya mendapat balasan yang setimpal dari Allah S�W�T�
Akhirnya penulis berharap agar buku pegangan ini memberikan manfaat bagi
pembaca� oleh karena itu kritik dan saran masih penulis harapkan untuk penyem�
purnaan dikemudian hari�
Jember� Agustus ���� Penulis
viii
Daftar Isi
ix
Daftar Tabel
x
Daftar Gambar
xi
BAB �
Konsep Dasar
��� Klasi�kasi Persamaan Difrensial
Pada umumnya dikenal dua jenis persamaan difrensial yaitu Persamaan Difren�
sial Biasa PDB� dan Persamaan Difrensial Parsial PDP�� Untuk mengetahui
perbedaan kedua jenis persamaan difrensial itu dapat dilihat dalam denisi berikut�
Denisi ��� Persamaan Difrensial Suatu persamaan yang meliputi turunan
fungsi dari satu atau lebih variabel terikat terhadap satu atau lebih variabel bebas
disebut Persamaan Difrensial� Selanjutnya jika turunan fungsi itu hanya tergan�
tung pada satu variabel bebas maka disebut Persamaan Difrensial Biasa �PDB�
dan bila tergantung pada lebih dari satu variabel bebas disebut Persamaan Difren�
sial Parsial �PDP�
Contoh ��� Kelompokkan persamaan diferensial dibawah ini kedalam PDB
dan PDP�
�� �y�x
� �y�t� xy � �
�
BAB �� KONSEP DASAR �
�� dydx
� d�ydx�
�
�dydx
��
� �x � �
�� ��y�s�
� �y�t� y � �
�� d�ydx�
�
�d�ydx�
��
�
�dydx
��
� x � �y
�� �u�x
� �u�y
� �u�z
� �
��
�dydx
��
� d�ydx�
�
�dydx
��
� � yx
Dalam bahan ajar ini pembahasan persamaan difrensial akan difokuskan pada
Persamaan Difrensial Biasa PDB�� Sehingga semua contoh soal dan aplikasinya
akan dikaitkan dengan model fenomena persamaan difrensial yang hanya terikat
pada satu variabel bebas�
Denisi ��� Order Order suatu PDB adalah order tertinggi dari turunan
dalam persamaan F x� y�� y��� � � � � y�n�� � ��
Denisi ��� Linieritas dan Homogenitas PDB Order n dikatakan linier
bila dapat dinyatakan dalam bentuk
a�x�y�n� � a�x�y
�n��� � � � � � anx�y � F x�� dimana a�x� �� �
Selanjutnya�
�� Bila tidak dapat dinyatakan dengan bentuk diatas dikatakan tak linier
�� Bila koesien a�x�� a�x�� � � � � anx� konstan dikatakan mempunyai koesien
konstan bila tidak dikatakan mempunyai koesien variabel�
�� Bila F x� � � maka PDB tersebut dikatakan homogen bila tidak disebut
nonhomogen�
BAB �� KONSEP DASAR �
��� Solusi PDB
Berikut ini akan dijelaskan pengertian dan bentuk solusi suatu PDB�
Denisi ��� Suatu PDB order n yang ditulis dalam persamaan berikut�
F�x� y� y�� y��� � � � � y�n�� � � ����
dimana F adalah fungsi real dengan n � �� argumen akan mempunyai solusi
eksplisit dan implisit dengan ketentuan sebagai berikut�
�� Bila f adalah suatu fungsi dimana f � CI� dan f � CnI� untuk �x � I
dan I adalah sebarang interval real maka f dikatakan solusi eksplisit dari
����� jika F�x� f� f �� f ��� � � � � f �n�� � CI� dan F
�x� f� f �� f ��� � � � � f �n�� � �
untuk �x � I�
�� Sedangkan gx� y� � � disebut solusi implisit dari ����� jika fungsi g da�
pat ditransformasikan dalam fungsi eksplisit f � CI� untuk �x � I dan
minimal satu merupakan solusi eksplisitnya�
Secara umum kedua solusi ini masih dikategorikan lagi kedalam tiga jenis
solusi yaitu
�� Solusi umum� yaitu solusi PDB yang mengandung konstanta esensial� katakan�
lah C� Sebagai contoh� diketahui sutau PDB y� � �y � � maka solusi
umunnya adalah y � ���� � Ce��x�
�� Solusi khusus� yaitu solusi yang tidak mengandung konstanta esensial yang
disebabkan oleh tambahan sarat awal pada suatu PDB� Misal PDB itu
y� � �y � �� y�� � � maka solusi khususnya adalah y � ���� � ��e��x�
BAB �� KONSEP DASAR �
�� Solusi singular� yaitu solusi yang tidak didapat dari hasil mensubstitusikan
suatu nilai pada konstanta pada solusi umumnya� Contoh y � Cx � C�
adalah solusi umum dari y��� � xy� � y� namun demikian disisi lain PDB
ini mempunyai solusi singular y � ���x��
��� Metoda Penyelesaian
Terdapat tiga jenis metoda yang dapat digunakan untuk menentukan solusi dari
suatu PDB yaitu�
�� Metoda Analitik� Metoda ini dapat menghasilkan dua bentuk solusi
yaitu bentuk eksplisit dan implisit� yang dicari melalui teknik deduktif
analogis dengan menggunakan konsep�konsep matematik� Kelebihannya
dapat mengetahui bentuk fungsi solusinya namun tidak cukup �eksibel un�
tuk masalah�masalah yang komplek� Dengan komputer dapat diselesaikan
dengan software MATLAB atau MAPLE� Prosedur dalam MATLAB ditulis
sebagai berikut�
�Menggunakan fungsi dsolve� dsolve�Dy���y��� y������
�� Metoda kualitatif Solusi ini hanya dapat memberikan gambaran secara
geometris bagaimana visualisasi dari solusi PDB� Dengan mengamati pola
grak gradien �eld� direction eld� maka dapat diestimasi solusi PDB
itu� Keunggulannya dapat memahami secara mudah kelakuan solusi suatu
PDB namun fungsi asli dari solusinya tidak diketahui� dan juga kurang
BAB �� KONSEP DASAR �
�eksibel untuk kasus yang komplek� Dengan MATLAB direction eld dapat
digambar sebagai berikut�
�Menggunakan fungsi eldplot atau DEplot�Misal akan diamati pola solusi dari PDB y� � �� �ty� with�plots��� eldplot�t� �� � � t � y�� t � ������ y � ������ arrows � LINE� color � t���Atau dengan menggunakan fungsi DEplot� eq���di�yt��t������t�yt���DEploteq��yt��t�������y��������
Hasil dari menjalankan fungsi ini dapat dilihat pada gambar dibawah ini�
Gambar ���� Diagram kekonvekan untuk D � R�
Atau dengan menggunakan prinsip�prinsip yang ada dalam matematika un�
tuk menggambar suatu fungsi� lihat KALKULUS��
�� Metoda Numerik Pada saat sekarang metoda ini merupakan metoda
BAB �� KONSEP DASAR
yang sangat �eksibel� Metoda ini berkembangan sesuai dengan perkem�
bangan komputer dan dapat menyelesaiakan suatu PDB dari level yang
mudah sampai level yang komplek� Walaupun fungsi solusi tidak dike�
tahui secara eksplisit maupun implisit namun data yang diberikan dapat
divisualisir dalam grak sehingga dapat dianalisis dengan baik� Namun
metoda ini berdasarkan pada prinsip�prinsip aproksimasi sehingga solusi
yang dihasilkan adalah solusi hampiran pendekatan�� Sebagai konsuk�
wensi dari penggunaan metoda ini adalah adanya evaluasi berulang de�
ngan menggunakan komputer untuk mendapatkan hasil yang akurat� Salah
satu metoda ang telah anda kenal adalah metoda EULER dengan ru�
mus yn�� � yn � hft� y�� lihat catatan Algoritma dan Pemerograman��
Dibawah diberikan programming metoda EULER dengan menggunakan
MATLAB programming�
�Programming Untuk Menyelesaikan PDB�y� � y � t� � �� y�� � ����Dengan menggunakan metoda Euler
n�input�Jumlah iterasi ����y�������t�����h�����
for i���nfprintf�nn yi� � ��� � yi� ��� ��� � ti� ��� � ����ti� � t�� � i� �� � h�endplott�y�hold onf � t�� � �� � t� �� ���� � expt��plott�f��o��
BAB �� KONSEP DASAR �
��� Masalah Nilai Awal �MNA�
Persamaan difrensial order satu secara umum ditulis dengan
y� �dy
dx� fx� y�
dimana f adalah kontinyu atas variabel x� y pada domain D dalam bidang xy��
Misal x�� y�� adalah titik pada D� maka masalah nilai awal yang berkenaan
dengan dengan y� � fx� y� adalah masalah untuk menentukan solusi y yang
memenuhi nilai awal yx�� � y�� Dengan notasi umum sebabagai berikut�
y� � fx� y�� y�� � y� ����
Permasalahannya sekarang apakah solusi yx� yang memenuhi yx�� � y�
selalu ada principle of existence� � kalau benar apakah solusi itu tunggal prin�
ciple of uniqueness�� Pertanyaan ini merupakan hal yang sangat penting un�
tuk didahulukan mengingat betapa kompleknya suatu model fenomena riel yang
banyak dimungkinkan tidak dapat diselesaikan dengan metoda analitik ataupun
kualitatif� Untuk memudahkan pemeriksaan awal tentang dua hal ini dalam hal
ini dikembangkan teorema Lipschitz dan teorema Picard�
Denisi ��� �Sarat Lipschitz� Suatu fungsi ft� y� dikatakan memenuhi sarat
Lipschitz dalam variabel y di suatu domain D � R� jika ada konstanta L � �
sedemikian hingga
jjft� y��� ft� y��jj � Ljjy� � y�jj
untuk sebarang t� y��� t� y�� � D� Selanjutnya konstanta L disebut sebagai kon�
stanta Lipschitz�
BAB �� KONSEP DASAR �
Denisi ��� �Konvek� Suatu himpunan D � R� dikatakn konvek bila untuk
sebarang t� y��� t� y�� � D maka titik � � ��t� � �t�� � � ��y� � �y�� juga
merupakan elemen dari D untuk � � ��� ���
Secara geometris dapat digambarkan sebagai berikut
Konvek Tidak Konvek
(t , y )1 1
(t , y )
2 2
1 1
2 2(t , y )
(t , y )
Gambar ���� Diagram kekonvekan untuk D � R�
Teorema ��� Teorema Lipschitz Andaikata ft� y� terdenisi dalam him�
punan konvek D � R� dan ada konstanta L � � dimana
��������dfdy t� y�
�������� � L� untuk semua t� y� � D� ����
maka f memenuhi suatu sarat Lipschitz�
Teorema ��� Misal D � ft� y�ja � t � b�� � y � g dan ft� y� adalah
fungsi kontinyu dalam D kemudian bila f memenuhi sarat Lipschitz dalam vari�
abel y maka masalah nilai awal
y�t� � ft� y�� a � t � b ya� � �
mempunyai solusi tunggal yt� untuk a � t � b�
Contoh ��� y� � � � t sinty�� � � t � �� y�� � �� Tentukan apakah
persamaan ini mempunyai solusi tunggal�
BAB �� KONSEP DASAR �
Penyelesaian ��� ft� y� � � � t sinty� kemudian terapkan teorema nilai
rata�rata pada KALKULUS yaitu untuk sebarang y� � y� maka ada bilangan
� � y�� y�� sedmikian hingga
ft� y��� ft� y��
y� � y��
�
�yft� �� � t� cost���
Kemudian
ft� y��� ft� y�� � y� � y��t� cost��
jjft� y��� ft� y��jj � jjy� � y��t� cost��jj
� jjy� � y�jj jjt� cost��jj
� jjy� � y�jj jj max��t��
t� cost��jj
� �jjy� � y�jj�
Degan demikian sarat Lipschitz terpenuhi yaitu jjft� y���ft� y��jj � Ljjy��y�jj
dimana konstanta Lipschitznya adalah L � � berarti persamaan itu mempunyai
solusi tunggal�
Teorema ��� Teorema Picard Suatu masalah nilai awal y� � fx� y�� yx�� �
y� mempunyai solusi tunggal y � x� pada interval jx�x�j � dimana adalah
bilangan positif dan kecil sekali bila
�� f � CD� dimana D adalah daerah pada bidang xy yaitu D � fx� y�� a �
x � b� c � y � dg
�� �y�x� CD� yang memuat nilai kondisi awal x�� y��
BAB �� KONSEP DASAR ��
Latihan Tutorial �
�� Kelompokkan persamaan diferensial dibawah ini kedalam PDB dan PDP�
a� �y�x
� �y�t� xy � �
b� dydx
� d�ydx�
�
�dydx
��
� �x � �
c� ��y�s�
� �y�t� y � �
d� d�ydx�
�
�d�ydx�
��
�
�dydx
��
� x � �y
e� �u�x
� �u�y
� �u�z
� �
f�
�dydx
��
� d�ydx�
�
�dydx
��
� � yx
�� Tentukan orde dan sifat�sifat kelinieran dari persamaan diferensial berikut
ini
a� �y�x
� xy � xex
b� d�ydx�
� �
�d�ydx�
��
� �y � �
c� d�ydx�
� ysinx � �
d� d�udt�
�
�d�udt�
��d�udt�
�� t � �u
e� x�dy � y�dx � �
f�
�d�ydx�
��
� xsiny � �
g�
�d�udt�
��
�q
d�udt�
� t � �u
h� d�ydt�
� tdydt� cos�t�y � t�
i� � � s��d�yds�
� sdyds� y � es
BAB �� KONSEP DASAR ��
j� d�ydt�
� d�ydt�
� d�ydt�
� y � �
k�
�d�ydx�
��
� xtan�xy� � �
l� d�ydt�
� dydt� cos�t� ���y � t�
m� � � t��d�ydt�
� tdydt� tey � �
n� d�yds�
� cosec�s� � �� � siny
�� Ulangilah soal nomor �� tentukan sifat kehomgenan dari masing�masing soal
tersebut
�� Selidikilah apakah solusi yang diberikan merupakan solusi dari persamaan
diferensial berikut ini
a� y�� � �y� � �y � �� y�t� � e��t� y�t� � et
b� ty� � y � t�� yt� � �t� t�
c� y��� � �y��� � �y � t� y�t� �t�� y�t� � e�t � t
�
d� �t�y�� � �ty� � y � �� t � �� y�t� � t�
� � y�t� � t��
e� y� � �ty � �� yt� � et�R t
�e�s
�
ds� et�
�� Cermati apakah fungsi solusi dibawah ini merupakan solusi terhadap masalah
nilai awal yang bersesuaian
a� y� � �y� y�� � �� yx� � �e�x
b� y�� � �y � �� y�� � �� y��� � �� yx� � cos�x�
c� y�� � �y� � �y � �� y�� � �� y��� � �� yx� � e�x � e��x
� Periksalaha mana diantara soal berikut ini yang memenuhi teorema Lips�
chitz�
BAB �� KONSEP DASAR ��
a� ft� y� � y cos t� � � t � �� y�� � �
b� ft� y� � � � t sin y� � � t � �� y�� � �
c� ft� y� � �ty � t�e�� � � t � �� y�� � �
d� ft� y� � �t�y��t�
� � � t � �� y�� � �
dan tentukan besar konstanta Lipschitz dari masing�masing soal ini�
�� Selidiki apakah persamaan diferensial berikut ini mempunyai solusi tunggal
pada interval yang memuat kondisi awal berikut
a� y� � ��� �y� y�� � �
b� y� � �� � t� y� y�� � �
c� y� � e�t � y� y�� � �
d� y� � � yx� y�� � �
�� Tentukan untuk titik�titik x�� y�� yang mana PDB berikut ini memenuhi
teori kewujudan dan ketunggalan dari Picard�
a� y� � x��yx�y
b� y� � �x� y��
�
c� y� � �� x� � �xy���
�
d� �xy� � x� � y�
BAB �
PDB Linier Order Satu
��� PDB Linier Order Satu Homogen
PDB order satu dapat dinyatakan dalam
dy
dx� fx� y�
atau dalam bentuk derivatif
Mx� y�dx�Nx� y�dy � � ����
����� PDB Eksak
Denisi ��� Misal F suatu fungsi dari dua variabel real dan F kontinyu pada
turunan pertama pada domain D maka jumlah difrensial dF didenisikan sebagai
dF x� y� ��F x� y�
�xdx�
�F x� y�
�ydy
untuk semua x� y� � D�
��
BAB �� PDB LINIER ORDER SATU ��
Denisi ��� Persamaan ��� disebut difrensial eksak pada domain D jika ada
fungsi F dari dua variabel x� y sedemikian hingga ekspresi tersebut sama dengan
jumlah dF x� y� untuk �x� y� � D� Sesuaikan denisi ����� dengan persamaan
��� diperoleh
Mx� y� ��F x� y�
�x
Nx� y� ��F x� y�
�y
Teorema ��� Persamaan ��� denganM�N kontinyu pada turunan pertamanyan
�M�N � C�D�� akan memenuhi dua kondisi berikut�
�� Bila ��� PDB eksak di D maka �M�x�y��y
� �N�x�y��x
untuk �x� y� � D
�� Sebaliknya bila �M�x�y��y
� �N�x�y��x
untuk �x� y� � D maka dikatakan ���
adalah PDB eksak�
Bukti
Akan dibutkikan bagian pertama dari teorema ini� Jika ��� eksak di D maka
Mdx�Ndy adalah eksak difrensial di D� Dengan denisi ����� dan ������ maka
terdapat suatu fungsi F sedemikian hingga
�F x� y�
�x�Mx� y�� dan
�F x� y�
�y� Nx� y�
untuk �x� y� � D� Selanjutnya turunkan M terhadap y dan N terhadap x
diperoleh
��F x� y�
�x�y�
�Mx� y�
�y� dan
��F x� y�
�y�x�
�Nx� y�
�x
Kita tahu bahwa
�F x� y�
�x�y�
�F x� y�
�y�x
BAB �� PDB LINIER ORDER SATU ��
untuk �x� y� � D� sehingga dapat disimpulkan
�Mx� y�
�y�
�Nx� y�
�x
�x� y� � D�
Selanjutnya gunakan fakta ini untuk membuktikan bagian yang kedua�
����� Solusi PDB Eksak
Ada dua cara menyelesaikan PDB jenis ini� yaitu menggunakan prosedur dalam
teorema atau dengan teknik pengelompokan�
Contoh ��� Tentukan solusi PDB eksak �x� � �xy�dx� �x� � �y�dy � �
Penyelesaian ��� Jelas persamaan ini adalah PDB eksak karena
�Mx� y�
�y� �x �
�Nx� y�
�x
�x� y� � D� Dengan menggunakan cara yang pertama maka kita mempunyai
�F x� y�
�x� �x� � �y dan
�F x� y�
�y� �x� � �y
Integralkan bentuk pertama
F x� y� �
ZMx� y��x� y� �
Z�x� � �xy��x� y�
Kemudian turunkan terhadap y
�F x� y�
�y� �x� �
dy�
dy�
padahal kita punya
�F x� y�
�y� Nx� y� � �x� � �y
BAB �� PDB LINIER ORDER SATU �
sehingga
�x� � �y � �x� �dy�
dyatau
dy�
dy� �y�
Integralkan persamaan terakhir ini diperoleh y� � y� � c�� dengan demikian
F x� y� menjadi
F x� y� � x� � �x�y � y� � c��
Bila F x� y� merupakan solusi umum maka keluarga solusi itu adalah F x� y� � c�
sehingga
� x� � �x�y � y� � c� � c� atau x� � �x�y � y� � c
yang merupakan solusi persamaan PDB eksak yang dimaksud�
Cara yang kedua adalah dengan menggunakan teknik pengelompokan� lihat catatan
dalam perkuliahan�
����� Faktor Integrasi
Faktor integrasi ini digunakan untuk menyelesaikan PDB order satu tidak eksak�
Langkah yang dimaksud adalah merubah PDB tidak eksak menjadi eksak� Re�
nungkan lagi persamaan ���� bila �M�x�y��y
�� �N�x�y��x
maka dapat ditentukan �x� y�
sedemikian hingga
�x� y�Mx� y�dx� �x� y�Nx� y�dy � � ����
BAB �� PDB LINIER ORDER SATU ��
merupakan PDB eksak� Sekarang bagaimana prosedur menentukan �x� y�� da�
patlah digunakan teorema ����� diatas� Bila persamaan ��� eksak maka
��M�
�y�
��N�
�x��
�yM � �
�M
�y�
��
�xN � �
�N
�x
�
��M
�y� �N
�x
�� N
��
�x�M
��
�y
�x� y� �N ��
�x�M ��
�y
�M�y� �N
�x
����
adalah merupakan formula faktor integrasi secara umum�
Contoh ��� Tentukan solusi PDB berikut ini
�� �xy��y��x�dx�xx��y�dy � � bila faktor integrasinya hanya tergantung
pada x saja
�� x�y��xy���x��y�dx� x���x�y��x�dy � � bila faktor integrasinya
hanya tergantung pada xy
Penyelesaian ��� Soal nomor � bisa dilihat dalam catatan� selanjutnya kita
bahas soal nomor �� Jika � tergantung pada xy ini berarti � � �x� y� misal
z � xy maka
��
�x�
��z�
�zy atau
��
�y�
��z�
�zx
sedangkan
�M
�y� x� � �xy � �� dan
�N
�x� �x� � �xy � ��
BAB �� PDB LINIER ORDER SATU ��
Sekarang gunakan faktor integrasi ��� dan substitusikan nilai�nilai diatas ini�
maka didapat
� �x� � �x�y � �x����z�
�zy � x�y � �xy� � �x� �y����z�
�zx
x� � �xy � ��� �x� � �xy � ��
� ���
�z
�z ��
���Z
�z �
Z�
���
z � ln�
� � ez � exy
Dengan demikian faktor integrasinya adalah �x� y� � exy� Sekarang soal nomor
dua menjadi PDB eksak dengan mengalikan faktor integrasi terhadap suku�
sukunya dimasing�masing ruas�
exyx�y � �xy� � �x� �y�dx� exyx� � �x�y � �x�dy � �
Dengan meyakini persamaan ini merupakan PDB eksak cara menyelesaikan sama
dengan teknik diatas yakni terdapat dua cara� Coba anda kerjakan sebagai
latihan
����� Teknik Variabel Terpisah
Bila persaman ��� kita transformasikan kedalam bentuk
f�x�g�y�dx� f�x�g�y�dy � � ����
selanjutnya kalikan persamaan ini dengan g�y�f�x� maka akan diadapat
f�x�
f�x�dx�
g�x�
g�y�dy � � ����
BAB �� PDB LINIER ORDER SATU ��
Persamaan ��� tidak eksak namun persamaan ��� adalah eksak sehingga teknik
penyelesaiannya menyesuaikan� Bisa juga dengan mengintegralkan langsung ben�
tuk itu menjadi Zf�x�
f�x�dx�
Zg�x�
g�y�dy � �
Contoh ��� Tentukan solusi PDB berikut ini dengan menggunakan teknik pemisa�
han variabel�
�� x� y��dx� xydy � �
�� �xy � �y��dx� �xy � x��dy � �
Penyelesaian ��� Soal nomor � bisa dilihat dalam catatan� selanjutnya kita
bahas soal nomor �� Ambil suatu permisalan y � vx dan tentunya dy � vdx�xdv�
lalu substitusikan kedalam persamaan nomor ��
�x�v � �x�v��dx� �x�v � x��vdx� xdv� � �
�x�vdx� �x�v�dx� �x�v�dx� �x�vdv � x�vdx� x�dv � �
x�v � v��dx� x��v � ��dv � �
�
xdx� �v � ��
v � v��dv � �
Jelas persamaan terakhir ini merupakan PDB eksak sehingga gunakan cara
yang sama untuk menyelesaikannya� Atau bisa diintegralkan langsung menjadiZ�
xdx�
Z�v � ��
v � v��dv � �
ln x� c� � ln v � � � ln� � v� � c� � �
ln x� c� � lny�x�� � � ln� � y�x�� � c� � �
� ln x� lny�x�� � � ln� � y�x�� � c
Persamaan terakhir adalah solusi umum dari PDB yang dimaksud�
BAB �� PDB LINIER ORDER SATU ��
��� PDB Linier Order Satu Nonhomogen
Pada umumnya PDB linier order satu nonhomogen dapat dinyatakan dengan
dy
dx� P x�y � Qx� �� �
dy
dx� P x�y � Qx�yn ����
Untuk persamaan �� dapat kita tulis dalam
P x�y �Qx��dx� dy � �
sehingga
Mx� y� � P x�y �Qx� dan Nx� y� � ��
Sekarang
�Mx� y�
�y� P x� dan
�Nx� y�
�x� �
dengan demikian persamaan ini bukan merupakan PDB eksak� sehingga perlu
ditentukan faktor integrasinya� Kita pilih faktor integrasi yang hanya tergantung
pada x� yaitu �x�� sedemikian
�x�P x�y � �x�Qx��dx� �x�dy � �
merupakan PDB eksak� yang berakibat bahwa
�
��x�P x�y � �x�Qx�
��y
���x�
�x
Selesaikan bentuk ini didapat
P x�dx ��
�x���x�
ln j�j �
ZP x�dx
� � � eRP �x�dx � � �
BAB �� PDB LINIER ORDER SATU ��
Kalikan � terhadap persamaan �� didapat
eRP �x�dx dy
dx� e
RP �x�dxP x�y � Qx�e
RP �x�dx
yang mana hal ini sama dengan
d
dx
�eRP �x�dxy
�� Qx�e
RP �x�dx
atau
eRP �x�dxy �
ZeRP �x�dxQx�dx� c
atau
� y � e�RP �x�dx
ReRP �x�dxQx�dx� c ����
Persamaan ini disebut Persamaan Bernoulli
Selanjutnya untuk persamaan ��� dapat kita tulis dalam
y�ndy
dx� P x�y��n � Qx��
Misal v � y��n maka dydx
� ����n�
yn dvdx
sehingga persamaan diatas menjadi
dv
dx� �� n�P x�v � Qx��� n�
Misal Ppx� � � � n�P x� dan Qqx� � � � n�Qx� maka persamaan diatas
dapat direduksi kedalam bentuk
�dv
dx� Ppx�v � Qqx�
adalah persaman sebagaimana �� � sehingga cara menyelesaikan sama�
Contoh ��� Tentukan solusi PDB berikut ini
BAB �� PDB LINIER ORDER SATU ��
�� x� � �� dydx
� �xy � x� y�� � �
�� dydx
� y � xy�� y�� � �
Penyelesaian ��� Soal nomor � dapat diselesaikan langsung dengan persamaan
���� sehingga
dy
dx�
�x
x� � ��y �
x
x� � ��
maka P x� � �x�x����
dan Qx� � x�x����
sehingga dengan menggunakan
y � e�RP �x�dx
ZeRP �x�dxQx�dx� c
y dapat ditentukan sebagai
y �x�
�x� � ����
x�
�x� � ����
c
x� � ���
untuk y�� � � maka substitusikan ke persamaan ini didapat c � ��� akhirnya
solusi khususnya adalah
� y �x�
�x� � ����
x�
�x� � ����
��
x� � ���
Ikuti langkah dalam prosedur yang telah diberikan untuk mengerjakan soal nomor
�� Anda kerjakan sebagai latihan
BAB �� PDB LINIER ORDER SATU ��
Latihan Tutorial �
�� Mana diantara soal�soal berikut ini yang merupakan PDB order � eksak�
a� y sec� x� secx tanx�dx� tanx� �y�dy � �
b� �� � �� cos rdr � �� sin rd� � �
c�
��s��t
�ds�
�s�s�
t�
�dt � �
�� Selesaikanlah PD order � eksak berikut ini
a� �y sinx cosx� y� sin x�dx� sin� x� �y cosx�dy � �� y�� � �
b�
���xy���
x���y���
�dx�
��x���y����x���
y���
�dy � �� y�� � �
�� Tentukan faktor integrasi � untuk masing�masing soal berikut ini
a� x�y � �xy� � �x� �y�dx� x� � �x�y � �x�dy � �� bila � tergantung
pada xy
b� y� � �x�y�dx� �xy� � x��dy � �� bila � tergantung pada x� y
�� Gunakan metoda variabel terpisah untuk menyelesaikan beberapa persoalan
berikut ini
a� x tan yx� y�dx� xdy � �
b� px� y �
px� y�dx�
px� y �px� y�dy � �
�� Gunakan metoda Bernoulli untuk menyelesaikan PD berikut ini
a� x� � x� �� dydx
� �x� ��y � x� �
b� drd�� r tan � � cos�� rpi
�� � �
BAB �
Aplikasi PDB Order Satu
��� Masalah Dalam Mekanik
Misal x adalah perubahan jarak yang ditimbulkan benda bergerak selama
waktu t maka kecepatan rata�rata didenisikan
vr �x
t�
xB � xAtB � tA
�
Selanjutnya kecepatan sesaat adalah
v � lim���
vr � lim�t��
x
t
v �dx
dtm�dt��
v �dv
dtm�dt��
Hukum ��� �Hukum Newton I� Hukum ini juga disebut hukum Kelemba�
man Newton yang berbunyi�� setiap benda akan tetap berada pada keadaan diam
atau bergerak lurus beraturan kecuali jika benda itu dipaksa oleh gaya�gaya yang
bekerja pada benda itu��
��
BAB �� APLIKASI PDB ORDER SATU ��
Hukum ��� �Hukum Newton II� Percepatan yang ditimbulkan oleh gaya
yang bekerja pada sebuah benda berbanding lurus sebanding� dengan besar
gaya itu� dan berbanding terbalik dengan massa kelembaman banda itu� Se�
cara matematis dapat ditulis sebagai a � F�m atau F � ma dimana F adalah
gaya dan m suatu massa�
Analog dengan hukum Newton II ini� gerak jatuh bebas suatu benda dengan
berat W tanpa mengikutsertakan gaya gesek udara adalah
W � mg�
F dalam hal ini direpresentasikan dengan W dan a � g� sehingga bisa kita tulis
mg � W
ma � F
mdv
dt� F
mdv
dx
dx
dt� F
mvdv
dx� F
adalah model dari PDB order satu�
Contoh ��� Benda dengan berat newton dijatuhkan dari suatu ketinggian
tertentu yang bearawal dari keadaan diam� Jika kecepatan benda jatuh itu v
dan kecepatan gravitasi bumi adalah g � ��m�dt� serta gaya gesek udara adalah
��v� Tentukan ekspresi kecepatan v dan jarak x pada saat tertentu�
BAB �� APLIKASI PDB ORDER SATU �
Penyelesaian ��� Hukum newton mengatakan F � ma atauP
F � ma�
Dalam hal ini f� � W � � newton gaya kebawah�� dan F� �gaya gesek udara
� ��v gaya keatas� sehingga
mdv
dt� F� � F�
�
��
dv
dt� �� �v
�
�� �vdv �
��
�dt
Karena benda berawal dari keadaan diam maka v�� � �� sehingga model PDB
sekarang adalah
�
�� �vdv �
��
�dt
v�� � �
Integralkan kedua ruasnya didapat
��
�ln�� �v� � c� �
��
�t� c�
ln�� �v� � ��
�t� c�
�� �v� � e��
�t�c�
�v � �Ce� �
�t � �
v ��
��� Ce�
�
�t�
Dengan memasukkan nilai awal v�� � � maka c � � sehingga ekspresi kecepatan
adalah
vt� � �� �e��
�t�
Selanjutnya untuk menentukan ekspresi jarak maka rubah vt� kedalam v � dxdt
BAB �� APLIKASI PDB ORDER SATU ��
sehingga model PDB sekarang adalalah
dx
dt� �� �e�
�
�t
x�� � �
Dengan cara yang sama untuk solusi PDB ini maka ekspresi jarak terhadap waktu
adalah
xt� � �t� �
�e�
�t �
�
�
��� Pertumbuhan dan Peluruhan
Jika Q menunjukkan jumlah� kuantitas atau kualitas sesuatu dalam waktu t�
maka perubahan bertambah�pertumbuhan atau berkurang�peluruhan� yang
disimbulkan dengan dQdt
berbanding lurus dengan kuantitas Q� dengan kata lain
dQ
dt� rQ pertumbuhan
dQ
dt� �rQ peluruhan
����� Pertumbuhan Populasi
Jika y adalah jumlah populasi dalam waktu t� k adalah konstanta proportionalitas
atau tingkat pertumbuhan maka model PDB pertumbuhan populasi adalah
dy
dt� ky
yt�� � y�
BAB �� APLIKASI PDB ORDER SATU ��
Selanjutnya bila k berubah�ubah maka dapat kita ganti dengan hy� yang dapat
dipilih hy� � r � ay maka model pertumbuhan menjadi dydt� r � ay�y
dy
dt� r�� y
K�y dimana K �
r
a
yt�� � y�
PDB ini dikenal dengan persamaan Verhulst atau persamaan Logistik� Solusi
kualitatif persamaan ini untuk r dan K positip adalah tertera dalam Gambar
����
-3
-2
-10123
y(x)
-1
-0.5
0.5
11.5
22.5
x
Asymptotic solution
Gambar ���� Solusi kualitatif persamaan pertumbuhan populasi�
Contoh ��� Pertumbuhan populasi memenuhi model sebagai berikut
dx
dt�
�
���x� �
���x�
Bila tahun �� � jumlah populasinya ������ maka
�� berapa besar populasi tahaun ����
�� tahun berapa jumlah populasi akan menjadi �� tahun �� �
�� berapa jumlah populasi terbesar untuk t � ����
BAB �� APLIKASI PDB ORDER SATU ��
Penyelesaian ��� Bila tahun ���� jumlah populasi ������� maka dapat dikatakan
x����� � ���� ��� sehingga model PDB sekarang adalah
dx
dt�
�
���x� �
���x�
xt�� � x�
Rubah kedalam kedalam PD dengan variabel terpisah
�
�����x� ����x�dx � dt
Integralkan kedua ruasnya
Z�
�����x�� ����x�dx �
Zdt
���
Z�
x�
����
�� ����xdx �
Zdt
����ln x� ln�� ����x�
�� c� � t� c�
lnx
�� ����x�
t
���� c�
x
�� ����x� e
t���
�c�
x
�� ����x� ce
t���
x �ce
t���
� � ����cet
���
Terapkan nilai awal x����� � ���� ��� didapat c � �����
�e����sehingga
xt� ���
� � �e����t��������
Dengan demikian beberapa pertanyaan itu dapat diselesaikan sebagai berikut
�� jumlah populasi tahun ���� artinya t � ����� Substitusikan nilai t ini
kedalam persamaan ��� didapat x � ���� ���� Dengan demikian jumlah
populasi tahun ���� adalah ������� orang�
BAB �� APLIKASI PDB ORDER SATU ��
�� jumlah populasi �� tahun ����� berarti x � ���� ���� Substitusikan nilai
x ini kedalam persamaan ��� didapat t � �� �� Dengan demikian jumlah
populasi akan dua kali lipat tahun ���� dicapai pada tahun �� ��
�� Besar populasi untuk waktu yang tidak terbatas t�� berarti
x � limt��
��
� � �e����t����
x � limt��
��
� � �e���et����
x � �� � �� ���� ���
Dengan demikian jumlah maksimum populasi untuk waktu yang tidak ter�
batas adalah satu juta orang�
����� Peluruhan Radioaktif
Contoh ��� Radioaktif isotop Thorium���� meluruh pada tingkat yang seband�
ing dengan jumlah isotop� Jika ��� mg dari material meluruh menjadi ���� mg
dalam satu minggu maka
�� tentukan ekspresi jumlah pada saat tertentu
�� tentukan interval waktu sehingga isotop itu meluruh menjadi setengah dari
jumlah semula�
Penyelesaian ��� Gunakan rumus peluruhan� MisalQ jumlah isotop Thorium�
��� maka dalam waktu t model peristiwa peluruhan itu adalah
dQ
dt� �rQ
Q�� � ���
BAB �� APLIKASI PDB ORDER SATU ��
Kemudian selesaikan PDB ini akan diperoleh
Qt� � ���e�rt
Kemudian terapkan sarat kedua� yakni dalam satu minggu � hari� isotop men�
jadi ����� mg artinya Q�� � ����� mg akan didapat nilai r� sedemikian hingga
ekspresi jumlah terhadap waktu hari� adalah
Qt� � ���e������t�
Dengan mengetahui ekspresi ini akan menjadi mudah untuk mengerjakan pertanyaan�
pertanyaan diatas� Teruskan sebagai latihan��
��� Hukun Pendinginan Newton
Perubahan suhu suatu benda atau bahan yang mengalami proses pendinginan
sebanding dengan perbedaan antara suhu benda dan suhu disekitarnya� Dengan
demikian bila Suhu benda itu adalah x dan suhu sekitarnya itu adalah xs maka
proses pendinginan Newton terhadap waktu t digambarkan dengan
dx
dt� kx� xs�� k � �
dimana k adalah konstanta tingkat pendinginan�
Contoh ��� Suatu benda dengan suhu ��oC diletakkan diruangan yang bersuhu
��oC pada saat t � �� Dalam waktu � menit suhu benda tersebut menjadi ��oC
maka
�� tentukan fungsi suhu pada saat tertentu
�� tentukan besarnya suhu benda pada �� menit terakhir
BAB �� APLIKASI PDB ORDER SATU ��
�� kapan suhu menjadi �oC
Penyelesaian ��� Dengan memahami persoalan ini maka model PDB proses
pendinginan dapat ditulis sebagai
dx
dt� kx� ���
x�� � �� dan x�� � ��
Solusi dari persamaan itu adalah
lnx� ��� � c� � kt� c�
x� ��� � cekt
x � �� � cekt
Masukkan nilai awal maka nilai c � �� sehingga persamaan menjadi
x � �� � ��ekt
Dan masukkan kondisi kedua didapat
ek ����
� �
�
sehingga ekspresi terakhir menjadi
xt� � �� � �����
� t�
Selanjutnya anda selesaikan pertanyaan diatas dengan memakai ekspresi ini�
��� Campuran
Suatu bahan dengan konsentrasi terterntu dicampur dengan bahan lain dalam
suatu tempat sehingga bahan bercampur dengan sempurna dan menjadi campu�
ran lain dengan konsentrasi berbeda� Bila Q menunjukkan jumlah bahan pada
BAB �� APLIKASI PDB ORDER SATU ��
saat tertentu� maka perubahan Q terhadap t ditunjukkan dengan dQdt� Kemudian
bila proses yang terjadi adalah terdapat campuran masuk dan campuran yang
keluar� dimana laju jumlah bahan masuk dinyatakan dengan proses IN dan laju
jumlah bahan keluar dinyatakan dengan proses OUT maka
dQ
dt� IN � OUT
K= L literQ(0) = Q_0 gram
v =r liter/mink =s gram/liter
v =r liter/min
Gambar ���� Proses campuran dalam tangki�
Dimana bila laju masuk sama dengan laju keluar maka
IN � kv � sr gram�liter
OUT �Q
Kv �
Qr
Lgram�liter
Contoh ���
Suatu tangki mula�mula berisi ��� liter larutan yang mengandung ��� gram garam�
Larutan �lain� yang mengandung garam dengan konsentrasi � gram�liter masuk
kedalam tangki dengan laju � liter�menit dan bercampur dengan sempurna ke�
mudian campuran itu diperkenankan keluar dengan laju � liter�menit�
�� Formulasikan masalah nilai awal tersebut
BAB �� APLIKASI PDB ORDER SATU ��
�� Tentukan jumlah garam Q setiap saat�
Penyelesaian ��� Formula campuran adalah
dQ
dt� IN �OUT�
Diketahui s � � gram�liter� r � � liter�menit� L � ��� liter dan Q�� � ���
didapat
IN � kv � s gram�liter � r liter�menit � � gram�liter
OUT �Q
Kv �
Q
Kgram�liter � r liter�menit �
�Q
���gram�liter
Sehingga
�� Model PDBnya adalah
dQ
dt� �� �Q
���� �� Q
��
Q�� � ���
�� Dengan menyelesaikan PDB ini didapat ekspresi jumlah garam setiap saat
Qt� � ���� ���e�t���
BAB �� APLIKASI PDB ORDER SATU ��
Latihan Tutorial �
�� Suatu benda yang massanya �� kg dari keadaan diam di suatu puncak ber�
gerak diatas bidang miring dengan panjang �� m dari puncak ketanah�
dan sudut kemiringan ��o lihat Gambar ��� Bila koesien gesek kinitis
�k � ���� Tentukan� �i� ekspresi fungsi kecepatan dalam waktu t� �ii�
berapa jarak yang ditempuh benda selama � detik� dan �iii� berapa waktu
t yang dibutuhkan untuk mencapai tanah�
45 o
N
W
45o
f gesek
Gambar ���� Gerakan benda pada bidang miring�
fPetunjuk � uraikan gaya�gaya yang bekerja pada benda dan ingat
fgesek � �k �N g�
�� Suatu benda dengan massa konstanm ditembakkan tegak lurus keatas men�
jauhi permukaan bumi dengan kecepatan awal V� km�dt�� Bila diasumsikan
tidak ada gesekan udara namun berat benda berubah dalam jarak�jarak ter�
tentu terhadap bumi� maka tentukan
a� model matematik dari kecepatan V t� selama benda itu meluncur
b� tentukan V� untuk mencapai ketinggian maksimum ��� km
BAB �� APLIKASI PDB ORDER SATU �
c� tentukan maksimum V� supaya benda yang ditembakkan tadi tidak
kembali kebumi�
Petunjuk � gunakan g � ����� km�dt�� jari�jari bumi R � ������� km
dan fungsi berat dalam jarak x terhadap bumi yang umumnya dinyatakan
sebagai wx� � mgR�
�R�x���
�� Model pertumbuhan populasi dapat ditulis dalam persamaan dydt� ry
��Ty�
��untuk r dan T konstanta positip� maka
a� gambar grak fy� dan y�
b� tentukan model grak y dan t untuk memberikan gambaran solusi
kualitatif dari PD tersebut�
�� Jam ����� WIB seseorang mengambil secangkir kopi panas dari microwave
oven dan meletakkan di ruang tamu dengan maksud untuk meminumnya
setelah agak dingin� Awal mula suhu kopi adalah ��oC� Selanjutnya ��
menit kemudian besar suhu kopi menjadi ��oC� Asumsikan suhu ruang
tamu itu adalah konstan ��oC�
a� Berapa besar suhu kopi pada jam ����� WIB
b� Orang ini suka meminum kopi yang suhunya antara ��oC sampai �oC�
maka antara jam berapa dia harus minum kopi itu�
�� Sebuah tangki besar awal mula berisi ��� liter larutan yang mengandung
� kg garam� Larutan lain yang mengandung garam de�ngan konsentrasi
��kg�liter dituangkan kedalam tangki dengan laju � liter�menit dan campu�
ran dalam tangki mengalir keluar dengan laju � liter�menit�
BAB �� APLIKASI PDB ORDER SATU ��
a� Tentukan model matematik tentang banyaknya garam dalam tangki
setiap saat�
b� Bila kapasitas maksimum tangki ��� liter tentukan domain waktu t
sehingga model diatas tetap berlaku�
c� Pada poin b� berapa besar konsentrasi larutan pada saat tangki penuh�
d� Bila tangki tidak mempunyai kapasitas maksimum� tentukan konsen�
trasi larutan untuk jangka waktu tak terbatas�
� Suatu tangki berkapasitas ��� liter mula�mula berisi ��� liter larutan yang
mengandung ��� gram garam� Larutan lain� yang mengandung garam den�
gan konsentrasi � gram�liter masuk kedalam tangki dengan laju � liter�menit
dan campuran dalam tangki diperkenankan keluar dengan laju � liter�menit�
Tentukan model matematik yang menyatakan banyaknya garam dalam tangki
setiap saat sebelum dan sesudah tangki penuh��
BAB �
PDB Linier Order Dua
Untuk memulai pembahasan ini terlebih dahulu akan ditinjau beberapa teo�
rema tentang konsep umum PDB order n�
��� PDB Order n Homogen
Denisi ��� Bila f�� f�� � � � � fm adalah fungsi kontinyu pada sebarang x � �a� b�
dan c�� c�� � � � � cm adalah konstanta sebanyak m maka kombinasi linier fungsi ini
ditulis dengan c�f� � c�f� � � � � � cmfm
Denisi ��� Fungsi f�� f�� � � � � fm dikatakan tergantung linier pada interval
�a� b� bila terdapat c�� c�� � � � � cm yang tidak semuanya nol sedemikian hingga c�f��
c�f� � � � � � cmfm � � untuk sebarang x � �a� b� dan dikatakan bebas linier bila
semua c�� c�� � � � � cm sama dengan nol�
Teorema ��� Suatu PDB disajikan dalam
a�x�y�n� � a�x�y
�n��� � � � � � anx�y � �� dimana a�x� �� �� ����
��
BAB �� PDB LINIER ORDER DUA ��
Misal f�� f�� � � � � fm solusi sebanyak m maka solusi umum PDB ini merupakan
kombinasi bebas linier dari fungsi�fungsi ini yaitu y � c�f� � c�f� � � � �� cmfm�
Bukti � Turunkan solusi umum ini sebanyak n kali kemudian substitusikan
kedalam persamaan �����
y � c�f� � c�f� � � � � � cmfm
y� � c�f�� � c�f
�� � � � � � cmf
�m
���
y�n��� � c�f�n���� � c�f
�n���� � � � � � cmf
�n���m
y�n� � c�f�n�� � c�f
�n�� � � � � � cmf
�n�m
maka a�x�
�c�f
�n�� � c�f
�n�� � � � � � cmf
�n�m
�� a�x�
�c�f
�n���� � c�f
�n���� � � � � �
cmf�n���m
�� � � ��anx�
�c�f��c�f�� � � ��cmfm
�� �� dan dapat disederhanakan
menjadi c�
�a�x�f
�n�� �a�x�f
�n���� �� � ��anx�f�
��c�
�a�x�f
�n�� �a�x�f
�n���� �
� � �� anx�f�
�� � � �� cm
�a�x�f
�n�m � a�x�f
�n���m � � � �� anx�fm
�� �� Analog
dari persamaan ���� maka ruas kiri persamaan terakhir akan sama dengan nol�
sehingga terbukti y � c�f� � c�f� � � � � � cmfm merupakan solusi umum� �
Denisi ��� Misal f�� f�� � � � � fm adalah fungsi riel yang kontinyu pada tu�
runan ke n� �� dalam interval �a� b� maka
W f�� f�� � � � � fn� �
��������������
f� f� � � � fn
f �� f �� � � � f �n
������
������
f�n���� f
�n���� � � � f
�n���n
��������������disebut determinan matrik �Wronskian� yang terdenisi pada �a� b��
BAB �� PDB LINIER ORDER DUA ��
Teorema ��� Fungsi�fungsi solusi f�� f�� � � � � fn dari PDB homogen order n
dikatakan bebas linier bila W f�� f�� � � � � fn� �� �
Contoh ��� Buktikan bahwa
�� Jika sin x� cosx merupakan solusi dari y���y � � maka y � c� sin x�c� cosx
juga solusi PDB ini dan buktikan solusi�solusi itu bebas linier�
�� Jika ex� e�x� e�x merupakan solusi dari y�� � �y�� � y� � �y � � maka y �
c�ex�c�e
�x�c�e�x juga solusi PDB ini dan buktikan solusi�solusi itu bebas
linier�
Cara sederhana untuk menyelesaikan PDB homogen order n ini adalah dengan
cara mereduksi ordernya�
Teorema ��� Suatu PDB
a�x�y�n� � a�x�y
�n��� � � � � � anx�y � �� a�x� �� �
maka permisalan y � fx�v akan mengurangi order PDB menjadi n� ���
Contoh ��� Salah satu solusi PDB x� � ��y�� � �xy� � �y � � adalah f� � x
maka tentukan solusi umumnya�
Penyelesaian ��� Misal
f� � y � f�v � xv
y� � v � xv�
y�� � �v� � xv���
BAB �� PDB LINIER ORDER DUA ��
Substitusikan kedalam PDB pada persoalan ini didapat xx����v����v� � � dan
misal w � v� maka
xx� � ��dw
dx� �w � �
dw
dx� � �w
xx� � ���
wdw � � �
xx� � ��dx
� ��� �
x�
�x
x� � ��
�dx
lnw � lnx�� � lnx� � �� � ln c
lnw � ln�
x�x� � ��
sehingga solusi umunnya adalah
� w ��
x�x� � ���
Sementara w � v�� maka persamaan terakhir dapat diperoses menjadi
dv
dx�
cx� � ��
x�
dv �x� � ��
x�pilih c � �
dv �
�� �
�
x�
�dx
v � x� �
x�
Sekarang f� � f�v � x�x � �
x
�� x� � � maka solusi umum dari PDB diatas
adalah
� y � c�x� c�x� � ���
BAB �� PDB LINIER ORDER DUA ��
��� PDB Order n Nonhomogen
Suatu PDB order n nonhomogen disajikan dalam bentuk
a�x�y�n� � a�x�y
�n��� � � � � � anx�y � F x�� a�x� �� � ����
Teorema ��� Bila u adalah solusi umum PDB homogen dari persamaan �����
dan v solusi khusus persamaan ����� maka u� v adalah solusi umum PDB non�
homogen�
Misal diberikan PDB y�� � y � x� Bila solusi umum PDB y�� � y � � adalah
yu � c� sin x � c� cosx dan solusi khusus y�� � y � x adalah yk � x maka solusi
umum PDB ini adalah y � yu � yk atau y � c� sinx� c� cosx� x�
��� PDB Order Dua
����� PDB Order Dua Homogen
Suatu PDB order dua didenisikan dengan persamaan
px�y�� � qx�y� � rx�y � �� ����
bila p� q� r adalah fungsi konstan maka dapat ditulis dengan persamaan berikut
ay�� � by� � cy � �� ����
Persamaan karakteristik dari persamaan ini diperoleh dengan cara memisalkan
y � ert
y� � rert
y�� � r�ert
BAB �� PDB LINIER ORDER DUA ��
sehingga persamaan ���� menjadi
ar�ert � brert � cert � �
ar� � br � c�ert � ��
Bila ert �� � maka ar�� br� c � � merupakan persamaan karakteristik dari PDB
order dua homogen dengan dengan koesien konstan� dan y � ert merupakan
solusi dari persamaan �����
Akar�Akar Riel dan Berbeda
Bila persamaan karakteristik mempunyai akar�akar riel dan berbeda D � ��
maka ditemukan r� �� r� sehingga solusi PDB dalam persamaan ���� adalah
� y � c�er�t � c�e
r�t �
Misal diberikan PDB y�� � �y� � y � � maka persamaan karakteristiknya
adalah r� � �r � � �� dengan akar�akar r� � �� dan r� � ��� sehingga solusi
umumnya y � c�e��t � c�e
��t� Selanjutnya bila diterapkan nilai awal y�� � �
dan y��� � � maka nilai c�� c� dapat diperoleh dengan cara menurunkan solusi
umum dua kali� yaitu y� � ��c�e��t � �c�e��t dan y�� � �c�e
��t � �c�e��t dan
substitusikan kedua nilai awal itu kedalam persamaan ini� diperoleh sistem
c� � c� � �
��c� � �c� � �
dimana c� � � dan c� � �� dan solusi khususnya menjadi y � �e��t � �e��t�
Contoh ��� Selesaikan persoalan berikut
�� �y�� � �y� � �y � � y�� � �� y��� � ��
BAB �� PDB LINIER ORDER DUA ��
�� y�� � �y� � �y � � y�� � �� y��� � �
�� y�� � �y� � �y � � y�� � �� y��� � �
Akar�Akar Komplek
Persamaan karakteristik persamaan PDB order dua homogen adalah ar��br�c �
�� Jika D � � maka akar�akarnya adalah bilangan komplek� yaitu r� � � � i�
dan r� � �� i�� dengan demikian solusi kompleknya adalah
y� � c�e���i��t ����
y� � c�e���i��t �� �
Teorema ��� �Teorema Taylor� Jika ft� mempunyai n � � turunan kon�
tinyu pada interval �a� b� untuk beberapa n � dan bila t� t� � �a� b� maka
ft� � pnt� �Rn��t�
pnt� � ft�� �t� t��
��f �t�� � � � �� t� t��
n
n�f �n�t��
Rn��t� ��
n�
Z t
t�
t� t�nf �n���t�dt
�t� t��
n��
n� ���f �n�����
untuk � antara t� dan t�
Dengan menerapkan teorema ini maka aproksimasi untuk fungsi�fungsi berikut
pada t� � � adalah�
eat � � � at�at��
���
at��
��� � � � �
�Xn��
at�n
n�
sin at �at��
��� at��
���
at��
��� � � � �
�Xn��
���n�� at��n��
�n� ���
cos at �at��
��� at��
���
at��
��� � � � �
�Xn��
���n at��n
�n��
BAB �� PDB LINIER ORDER DUA ��
Selanjutnya dalam ekspresi solusi komplek eit dapat ditulis sebagai berikut
eit � � � it�it��
���
it��
��� � � �
�
�Xn��
���n at��n
�n��� i
�Xn��
���n�� at��n��
�n� ���
� cos t� i sin t�
Dengan menerapkan persamaan terakhir ini maka solusi komplek ���� dan �� �
menjadi
y� � e���i��t � e�t�cos�t� i sin�t
�y� � e���i��t � e�t
�cos�t� i sin�t
��
Bila keduanya dijumlahkan dan dikurangkan maka
ut� � y� � y� � �e�t cos�t
vt� � y� � y� � �ie�t sin�t�
Abaikan bilangan � dan �i dengan pertimbangan diganti dengan konstanta esen�
sial lainnya maka solusi umum PDB dengan persamaan akar karakteristik kom�
plek adalah
� y � c�ut� � c�vt� � c�e�t cos�t� c�e
�t sin�t �
Suatu contoh dapat ditunjukkan untuk menyelesaikan PDB y�� � y� � y �
�� Persamaan karakteristik PDB ini adalah r� � r � � � � sehingga akar�akar
kompleknya adalah r�� � ���� i
q��� Jadi � � ��
�dan � �
q��sehingga solusi
umunya y � c�e� �
�t cos
q��t� c�e
� �
�t sin
q��t�
BAB �� PDB LINIER ORDER DUA �
Akar�Akar Riel dan Sama
Untuk kasus ini� persamaan karakteristik ar� � br � c � � akan mempunyai
D � b� � �ac � � sehingga r� � r� � � b�a� Dengan demikian salah satu solusi
PDB adalah yk � e�b�at� Misal solusi umumnya adalah y � vt�ykt� � vt�e�
b�at
maka
y� � v�t�e�b�at � b
�avt�e�
b�at
y�� � v��t�e�b�at � b
av�t�e�
b�at �
b�
�a�vt�e�
b�at
Sehingga dengan mensubstitusikan kedalam PDB ay�� � by� � cy � � diperoleh�a
�v��t�� b
av�t�� b�
�a�vt�
�� b
�v�t�� b
�avt�
�� cvt�
�e�
b�at � �� Bila e�
b�at �� �
maka av��t��
�� b�
�a� c
�� �� Karena b���ac � � maka persamaan ini menjadi
av��t� � � dimana solusi umumnya adalah vt� � c�t � c�� Dengan demikian
solusi umum PDB dengan akar persamaan karakteristik berulang adalah�
� y � vt�y�t� � c�e� b
�at � c�te
� b�at
����� PDB Order Dua Nonhomogen
Suatu PDB disajikan dalam persamaan berikut�
L�y� � y�� � pt�y� � qt�y � gt� ����
L�y� � y�� � pt�y� � qt�y � � ����
Teorema ��� Jika Y� dan Y� adalah solusi persamaan ����� maka Y� � Y�
adalah solusi persamaan ������ Dan bila y�� y� solusi persamaan ����� maka
Y�t�� Y�t� � c�y�t� � c�y�t�
BAB �� PDB LINIER ORDER DUA ��
Ini berarti solusi umum dari persamaan ���� adalah
� yt� � c�y�t� � c�y�t z �solusi homogen
�ykt�
Diberikan PDB y�� � �y� � �y � �e�t� Solusi persamaan homogennya adalah
yh � c�e�t � c�e
�t� Kemudian akan ditentukan solusi persamaan nonhomogen
dengan memisalkan yk � Ae�t sebagai solusi� Berikutnya adalah menentukan nilai
A yang dalam dalam hal ini diperoleh dari menurunkannnya dua kali y�k � �Ae�t
dan y��k � �Ae�t kemudian mensubstitusikan kedalam PDB diperoleh A � ����
Sehingga solusi umumnya adalah y � c�e�t � c�e
�t � ��e�t�
Permasalahan yang paling banyak dihadapi nantinya adalah bagaimana mem�
buat permisalan untuk menentukan solusi khusus yk� Kadangkala pemisalahan
itu harus diulang dua kali untuk menentukan koesien yang tepat bagi solusi ini�
Oleh karena itu untuk memudahkannya diberikan panduan berikut�
git� Yit�Pnt� � a�t
n � a�tn�� � � � � � an tsA�t
n � A�tn�� � � � �� aN �
Pnt�eat tsA�t
n � A�tn�� � � � � � aN �e
at
Pnt�eat
�sin �t
cos�t
ts�A�t
n � A�tn�� � � � � � aN �e
at cos t�
A�tn � A�t
n�� � � � � � aN �eat sin t
�Tabel ���� Panduan permisalan solusi khusus PDB non homogen�
Contoh ��� Selesaikan persoalan berikut
�� y�� � �y� � �y � � sin t
�� y�� � �y� � �y � ��et cos �t
�� y�� � y�� � �y � �e�t � � sin �t� ��et cos �t
BAB �� PDB LINIER ORDER DUA ��
Variasi Parameter
Diberikan PDB nonhomogen
y��t� � pt�y�t� � qt�yt� � gt�� ����
maka yht� � c�y�t� � c�y�t� adalah solusi PDB homogen
y�� � pt�y� � qt�y � �� �����
Kemudian bila c� diganti dengan u�t� dan c� dengan u�t� maka diperoleh
yt� � u�t�y�t� � u�t�y�t�� �����
adalah solusi umum persamaan ����� Turunkan satu kali
y�t� � u��t�y�t� � u�t�y��t� � u��t�y�t� � u�t�y
��t��
Set
u��t�y�t� � u��t�y�t� � � �����
maka
y�t� � u�t�y��t� � u�t�y
��t�
y��t� � u��t�y��t� � u�t�y
���t� � u��t�y
��t� � u�t�y
���t��
Substitusikan dua persamaan terakhir ini kedalam persamaan ���� diperoleh
u�t�
�y���t��pt�y
��t��qt�y�t�
��u�t�
�y���t��pt�y
��t��qt�y�t�
��u��t�y
��t��
u��t�y��t� � gt�� Suku pertama dan kedua adalah sama dengan nol� karena y�� y�
adalah solusi PDB ����� sehingga
u��t�y��t� � u��t�y
��t� � gt� �����
BAB �� PDB LINIER ORDER DUA ��
Dua persamaan ����� dan ����� akan membentuk sistem persamaan linier
dimana u��t� dan u��t� dapat ditentukan sebagai berikut�
u��t� �
�������� y�t�
gt� y��t�
�������W y�� y��t�
� �y�t�gt�W
�
u��t� �
�������y�t� �
y��t� gt�
�������W y�� y��t�
�y�t�gt�
W�
Sehingga
u�t� �
Z�y�t�gt�
Wdt� c�
u�t� �
Zy�t�gt�
Wdt� c��
Dan solusi umum ����� menjadi
� yt� �R �y��t�g�t�
Wdt y�t� �
R y��t�g�t�W
dt y�t�
Sebagai contoh dapat diselesaikan PDB y����y � � csc t� Persamaan homogen�
nya adalah y����y � � dengan persamaan karakteristik r��� � � dan mempunyai
akar komplek r�� � � � �i� Dengan demikian solusinya yh � c� cos �t � c� sin �t�
Dari keseluruhan soal ini dapat disimpulkan bahwa gt� � � csc t� y�t� � cos �t
dan y� � sin �t sehingga y��t� � �� sin �t dan y��t� � �� sin �t� Dengan mene�
rapkan prosedur diatas maka
u��t� �
�������� y�t�
gt� y��t�
�������W y�� y��t�
� � � sin �t csc t
��cos� �t� sin� �t�
BAB �� PDB LINIER ORDER DUA ��
u��t� �
�������y�t� �
y��t� gt�
�������W y�� y��t�
��
�csc t� � sin t
Dengan proses yang sederhana diperoleh
u�t� � �� sin t� c�
u�t� ��
�ln j csc t� cot tj � � cos t� c�
Sehingga solusi umumnya adalah
� yt� � c� cos �t� c� sin �t� � sin t cos �t� � cos t sin �t��
�ln j csc t� cot tj sin �t
BAB �� PDB LINIER ORDER DUA ��
Latihan Tutorial �
�� Tentukan solusi umum dari masing�masing persamaan diferensial order dua
berikut ini�
a� y�� � �y� � �y � �e�x � ��e��x
b� y�� � �y� � �y � sin �x� � cos �x
c� �y�� � ��y� � �y � x�ex � �x� � ��
d� y�� � �y � � sin �x� � cos �x
e� y�� � y� � �y � e��x � �ex � �x�
f� y�� � y� � �y � ��x�ex � �e�x
g� y�� � �y� � �y � e�x cosx
h� y�� � �y� � � sin �x� � cos �x
i� y�� � y� � y � ��e�x � ��e�x � x� ��
j� y�� � �y � ��x� � � x cos �x
k� �y�� � �y� � y � ex�� � e�x��
l� y�� � �y� � ��y � �xe��x
m� y�� � y� � �y � �ex � ��e�x
n� y�� � �y� � �y � �� cos �x
�� Selesaikan masalah nilai awal berikut ini�
a� y�� � �y� � �y � �x� � �� y�� � � y��� � �
b� y�� � �y� � �y � � x� ��ex� y�� � �� y��� � �
BAB �� PDB LINIER ORDER DUA ��
c� y�� � �y� � ��y � �xe�x� y�� � �� y��� � ��
d� y�� � �y� � ��y � �xe��x� y�� � �� y��� � ��
e� y�� � �y� � � y � �e��x� y�� � �� y��� � �
f� y�� � y� � �y � ��e�x� y�� � ��� y��� � �
g� y�� � �y� � ��y � ��e��x� y�� � �� y��� � �
h� y�� � ��y� � ��y � �e�x� y�� � �� y��� � �
i� y�� � �y� � ��y � � sin �x� y�� � �� y��� � �
j� y�� � y� � y � �e�x � �e�x� y�� � �� y��� � �
k� y�� � �y� � y � �xe�x � ex� y�� � �� y��� � �
Daftar Pustaka
Boyce� W� E� � Diprima� R� C� ����� Elementary Di�erential Equations and
Boudary Value Problems� John Wiley � Sons� Inc� Singapore
Burden� R� L� and Faires� J� D� �����Numerical Analysis� Brooks�Cole Publishing
Company� U�S�
Lambert� J�D� ����� Numerical Methods for Ordinary Di�erential Systems� John
Wiley � Sons� Inc� Singapore
Powell� M�J�D� ����� Approximation Theory and Methods� Cambridge University
Press� U�K�
Ross� S� L� ����� Introduction to Ordinary Di�erential Equations� John Wiley �
Sons� Inc� New York� U�S�
Shampine� L� F� � Baca� L�S� ����� Computer Solution of Ordinary Di�erential
Equations� The Initial Value Problem� Freeman� San Francisco�
��