64

Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA

�Buku pegangan mata kuliah Persamaan Difrensial�

Oleh

Drs� D a f i k� M�Sc�NIP� ��� ��� ���

Program Pendikan Matematika

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS JEMBER

Februari� ����

Page 2: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

Untuk Keluarga Tercinta

ii

Page 3: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

Daftar Isi

Daftar Tabel v

Daftar Gambar vi

Kata Pengantar vii

� Konsep Dasar �

��� Klasikasi Persamaan Difrensial � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��� Solusi PDB � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��� Metoda Penyelesaian � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��� Masalah Nilai Awal MNA� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

� PDB Linier Order Satu ��

��� PDB Linier Order Satu Homogen � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� PDB Eksak � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� Solusi PDB Eksak � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� Faktor Integrasi � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �

����� Teknik Variabel Terpisah � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� PDB Linier Order Satu Nonhomogen � � � � � � � � � � � � � � � � ��

iii

Page 4: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

� Aplikasi PDB Order Satu ��

��� Masalah Dalam Mekanik � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� Pertumbuhan dan Peluruhan � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� Pertumbuhan Populasi � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� Peluruhan Radioaktif � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� Hukun Pendinginan Newton � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� Campuran � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

� PDB Linier Order Dua ��

��� PDB Order n Homogen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� PDB Order n Nonhomogen � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� PDB Order Dua � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� PDB Order Dua Homogen � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

����� PDB Order Dua Nonhomogen � � � � � � � � � � � � � � � � �

iv

Page 5: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

Daftar Tabel

��� Panduan permisalan solusi khusus PDB non homogen� � � � � � � ��

v

Page 6: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

Daftar Gambar

��� Diagram kekonvekan untuk D � R� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��� Diagram kekonvekan untuk D � R� � � � � � � � � � � � � � � � � � �

��� Solusi kualitatif persamaan pertumbuhan populasi� � � � � � � � � ��

��� Proses campuran dalam tangki� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� Gerakan benda pada bidang miring� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

vi

Page 7: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

Kata Pengantar

Puji syukur kehadirat Allah S�W�T karena atas anugerah dan karuniahNya penulis

dapat menyelesaikan buku pegangan kuliah dengan judul �Persamaan Difer�

ensial Biasa �PDB�� Masalah Nilai Awal dan Batas�� Buku pegangan

ini dibuat untuk membantu mahasiswa menemukan refrensi utama mata kuliah

Persamaan Difrensial Biasa memandang cukup langkanya buku�buku persamaan

difrensial dalam bahasa Indonesia�

Dalam buku ini dijelaskan bagaimana konsep Persamaaan difrensial secara

umum� PDB order satu homogen dan nonhomogen� PDB order dua atau lebih

serta aplikasi dari suatu PDB� Pokok bahasan ini disajikan dengan harapan ma�

hasiswa memahami esensi dari persamaan difrensial dan sekaligus sebagai penun�

jang langsung materi perkuliahan� Dalam buku pegangan ini dilengkapi beberapa

fungsi dalam MAPLE programming serta latihan soal�soal tutorial untuk mem�

perdalam wawasan pemahaman mahasiswa tentang PDB� Semua materi dalam

buku ini ditulis dalam LATEX�E word processing sehingga ekspresi fungsi

matematik dapat disajikan dengan benar�

Selanjutnya dalam kesempatan ini penulis tak lupa menyampaikan banyak

terima kasih kepada yang terhormat�

�� Rektor Universitas Jember�

vii

Page 8: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

�� Dekan FKIP Universitas Jember�

�� Pimpinan Proyek Peningkatan Universitas Jember yang telah mendanai

pengembangan bahan ajar Mata Persamaan Diferensial I�

�� Ketua Program Pendidikan Matematika yang telah memberikan motivasi

dan rekomendasi penggunaannya dalam perkuliahan�

�� Semua pihak yang terlibat langsung maupun tak langsung dalam penyusunan

buku ajar ini�

Semoga bantuan rielnya mendapat balasan yang setimpal dari Allah S�W�T�

Akhirnya penulis berharap agar buku pegangan ini memberikan manfaat bagi

pembaca� oleh karena itu kritik dan saran masih penulis harapkan untuk penyem�

purnaan dikemudian hari�

Jember� Agustus ���� Penulis

viii

Page 9: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

Daftar Isi

ix

Page 10: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

Daftar Tabel

x

Page 11: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

Daftar Gambar

xi

Page 12: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

BAB �

Konsep Dasar

��� Klasi�kasi Persamaan Difrensial

Pada umumnya dikenal dua jenis persamaan difrensial yaitu Persamaan Difren�

sial Biasa PDB� dan Persamaan Difrensial Parsial PDP�� Untuk mengetahui

perbedaan kedua jenis persamaan difrensial itu dapat dilihat dalam denisi berikut�

Denisi ��� Persamaan Difrensial Suatu persamaan yang meliputi turunan

fungsi dari satu atau lebih variabel terikat terhadap satu atau lebih variabel bebas

disebut Persamaan Difrensial� Selanjutnya jika turunan fungsi itu hanya tergan�

tung pada satu variabel bebas maka disebut Persamaan Difrensial Biasa �PDB�

dan bila tergantung pada lebih dari satu variabel bebas disebut Persamaan Difren�

sial Parsial �PDP�

Contoh ��� Kelompokkan persamaan diferensial dibawah ini kedalam PDB

dan PDP�

�� �y�x

� �y�t� xy � �

Page 13: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

BAB �� KONSEP DASAR �

�� dydx

� d�ydx�

�dydx

��

� �x � �

�� ��y�s�

� �y�t� y � �

�� d�ydx�

�d�ydx�

��

�dydx

��

� x � �y

�� �u�x

� �u�y

� �u�z

� �

��

�dydx

��

� d�ydx�

�dydx

��

� � yx

Dalam bahan ajar ini pembahasan persamaan difrensial akan difokuskan pada

Persamaan Difrensial Biasa PDB�� Sehingga semua contoh soal dan aplikasinya

akan dikaitkan dengan model fenomena persamaan difrensial yang hanya terikat

pada satu variabel bebas�

Denisi ��� Order Order suatu PDB adalah order tertinggi dari turunan

dalam persamaan F x� y�� y��� � � � � y�n�� � ��

Denisi ��� Linieritas dan Homogenitas PDB Order n dikatakan linier

bila dapat dinyatakan dalam bentuk

a�x�y�n� � a�x�y

�n��� � � � � � anx�y � F x�� dimana a�x� �� �

Selanjutnya�

�� Bila tidak dapat dinyatakan dengan bentuk diatas dikatakan tak linier

�� Bila koesien a�x�� a�x�� � � � � anx� konstan dikatakan mempunyai koesien

konstan bila tidak dikatakan mempunyai koesien variabel�

�� Bila F x� � � maka PDB tersebut dikatakan homogen bila tidak disebut

nonhomogen�

Page 14: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

BAB �� KONSEP DASAR �

��� Solusi PDB

Berikut ini akan dijelaskan pengertian dan bentuk solusi suatu PDB�

Denisi ��� Suatu PDB order n yang ditulis dalam persamaan berikut�

F�x� y� y�� y��� � � � � y�n�� � � ����

dimana F adalah fungsi real dengan n � �� argumen akan mempunyai solusi

eksplisit dan implisit dengan ketentuan sebagai berikut�

�� Bila f adalah suatu fungsi dimana f � CI� dan f � CnI� untuk �x � I

dan I adalah sebarang interval real maka f dikatakan solusi eksplisit dari

����� jika F�x� f� f �� f ��� � � � � f �n�� � CI� dan F

�x� f� f �� f ��� � � � � f �n�� � �

untuk �x � I�

�� Sedangkan gx� y� � � disebut solusi implisit dari ����� jika fungsi g da�

pat ditransformasikan dalam fungsi eksplisit f � CI� untuk �x � I dan

minimal satu merupakan solusi eksplisitnya�

Secara umum kedua solusi ini masih dikategorikan lagi kedalam tiga jenis

solusi yaitu

�� Solusi umum� yaitu solusi PDB yang mengandung konstanta esensial� katakan�

lah C� Sebagai contoh� diketahui sutau PDB y� � �y � � maka solusi

umunnya adalah y � ���� � Ce��x�

�� Solusi khusus� yaitu solusi yang tidak mengandung konstanta esensial yang

disebabkan oleh tambahan sarat awal pada suatu PDB� Misal PDB itu

y� � �y � �� y�� � � maka solusi khususnya adalah y � ���� � ��e��x�

Page 15: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

BAB �� KONSEP DASAR �

�� Solusi singular� yaitu solusi yang tidak didapat dari hasil mensubstitusikan

suatu nilai pada konstanta pada solusi umumnya� Contoh y � Cx � C�

adalah solusi umum dari y��� � xy� � y� namun demikian disisi lain PDB

ini mempunyai solusi singular y � ���x��

��� Metoda Penyelesaian

Terdapat tiga jenis metoda yang dapat digunakan untuk menentukan solusi dari

suatu PDB yaitu�

�� Metoda Analitik� Metoda ini dapat menghasilkan dua bentuk solusi

yaitu bentuk eksplisit dan implisit� yang dicari melalui teknik deduktif

analogis dengan menggunakan konsep�konsep matematik� Kelebihannya

dapat mengetahui bentuk fungsi solusinya namun tidak cukup �eksibel un�

tuk masalah�masalah yang komplek� Dengan komputer dapat diselesaikan

dengan software MATLAB atau MAPLE� Prosedur dalam MATLAB ditulis

sebagai berikut�

�Menggunakan fungsi dsolve� dsolve�Dy���y��� y������

�� Metoda kualitatif Solusi ini hanya dapat memberikan gambaran secara

geometris bagaimana visualisasi dari solusi PDB� Dengan mengamati pola

grak gradien �eld� direction eld� maka dapat diestimasi solusi PDB

itu� Keunggulannya dapat memahami secara mudah kelakuan solusi suatu

PDB namun fungsi asli dari solusinya tidak diketahui� dan juga kurang

Page 16: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

BAB �� KONSEP DASAR �

�eksibel untuk kasus yang komplek� Dengan MATLAB direction eld dapat

digambar sebagai berikut�

�Menggunakan fungsi eldplot atau DEplot�Misal akan diamati pola solusi dari PDB y� � �� �ty� with�plots��� eldplot�t� �� � � t � y�� t � ������ y � ������ arrows � LINE� color � t���Atau dengan menggunakan fungsi DEplot� eq���di�yt��t������t�yt���DEploteq��yt��t�������y��������

Hasil dari menjalankan fungsi ini dapat dilihat pada gambar dibawah ini�

Gambar ���� Diagram kekonvekan untuk D � R�

Atau dengan menggunakan prinsip�prinsip yang ada dalam matematika un�

tuk menggambar suatu fungsi� lihat KALKULUS��

�� Metoda Numerik Pada saat sekarang metoda ini merupakan metoda

Page 17: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

BAB �� KONSEP DASAR

yang sangat �eksibel� Metoda ini berkembangan sesuai dengan perkem�

bangan komputer dan dapat menyelesaiakan suatu PDB dari level yang

mudah sampai level yang komplek� Walaupun fungsi solusi tidak dike�

tahui secara eksplisit maupun implisit namun data yang diberikan dapat

divisualisir dalam grak sehingga dapat dianalisis dengan baik� Namun

metoda ini berdasarkan pada prinsip�prinsip aproksimasi sehingga solusi

yang dihasilkan adalah solusi hampiran pendekatan�� Sebagai konsuk�

wensi dari penggunaan metoda ini adalah adanya evaluasi berulang de�

ngan menggunakan komputer untuk mendapatkan hasil yang akurat� Salah

satu metoda ang telah anda kenal adalah metoda EULER dengan ru�

mus yn�� � yn � hft� y�� lihat catatan Algoritma dan Pemerograman��

Dibawah diberikan programming metoda EULER dengan menggunakan

MATLAB programming�

�Programming Untuk Menyelesaikan PDB�y� � y � t� � �� y�� � ����Dengan menggunakan metoda Euler

n�input�Jumlah iterasi ����y�������t�����h�����

for i���nfprintf�nn yi� � ��� � yi� ��� ��� � ti� ��� � ����ti� � t�� � i� �� � h�endplott�y�hold onf � t�� � �� � t� �� ���� � expt��plott�f��o��

Page 18: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

BAB �� KONSEP DASAR �

��� Masalah Nilai Awal �MNA�

Persamaan difrensial order satu secara umum ditulis dengan

y� �dy

dx� fx� y�

dimana f adalah kontinyu atas variabel x� y pada domain D dalam bidang xy��

Misal x�� y�� adalah titik pada D� maka masalah nilai awal yang berkenaan

dengan dengan y� � fx� y� adalah masalah untuk menentukan solusi y yang

memenuhi nilai awal yx�� � y�� Dengan notasi umum sebabagai berikut�

y� � fx� y�� y�� � y� ����

Permasalahannya sekarang apakah solusi yx� yang memenuhi yx�� � y�

selalu ada principle of existence� � kalau benar apakah solusi itu tunggal prin�

ciple of uniqueness�� Pertanyaan ini merupakan hal yang sangat penting un�

tuk didahulukan mengingat betapa kompleknya suatu model fenomena riel yang

banyak dimungkinkan tidak dapat diselesaikan dengan metoda analitik ataupun

kualitatif� Untuk memudahkan pemeriksaan awal tentang dua hal ini dalam hal

ini dikembangkan teorema Lipschitz dan teorema Picard�

Denisi ��� �Sarat Lipschitz� Suatu fungsi ft� y� dikatakan memenuhi sarat

Lipschitz dalam variabel y di suatu domain D � R� jika ada konstanta L � �

sedemikian hingga

jjft� y��� ft� y��jj � Ljjy� � y�jj

untuk sebarang t� y��� t� y�� � D� Selanjutnya konstanta L disebut sebagai kon�

stanta Lipschitz�

Page 19: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

BAB �� KONSEP DASAR �

Denisi ��� �Konvek� Suatu himpunan D � R� dikatakn konvek bila untuk

sebarang t� y��� t� y�� � D maka titik � � ��t� � �t�� � � ��y� � �y�� juga

merupakan elemen dari D untuk � � ��� ���

Secara geometris dapat digambarkan sebagai berikut

Konvek Tidak Konvek

(t , y )1 1

(t , y )

2 2

1 1

2 2(t , y )

(t , y )

Gambar ���� Diagram kekonvekan untuk D � R�

Teorema ��� Teorema Lipschitz Andaikata ft� y� terdenisi dalam him�

punan konvek D � R� dan ada konstanta L � � dimana

��������dfdy t� y�

�������� � L� untuk semua t� y� � D� ����

maka f memenuhi suatu sarat Lipschitz�

Teorema ��� Misal D � ft� y�ja � t � b�� � y � g dan ft� y� adalah

fungsi kontinyu dalam D kemudian bila f memenuhi sarat Lipschitz dalam vari�

abel y maka masalah nilai awal

y�t� � ft� y�� a � t � b ya� � �

mempunyai solusi tunggal yt� untuk a � t � b�

Contoh ��� y� � � � t sinty�� � � t � �� y�� � �� Tentukan apakah

persamaan ini mempunyai solusi tunggal�

Page 20: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

BAB �� KONSEP DASAR �

Penyelesaian ��� ft� y� � � � t sinty� kemudian terapkan teorema nilai

rata�rata pada KALKULUS yaitu untuk sebarang y� � y� maka ada bilangan

� � y�� y�� sedmikian hingga

ft� y��� ft� y��

y� � y��

�yft� �� � t� cost���

Kemudian

ft� y��� ft� y�� � y� � y��t� cost��

jjft� y��� ft� y��jj � jjy� � y��t� cost��jj

� jjy� � y�jj jjt� cost��jj

� jjy� � y�jj jj max��t��

t� cost��jj

� �jjy� � y�jj�

Degan demikian sarat Lipschitz terpenuhi yaitu jjft� y���ft� y��jj � Ljjy��y�jj

dimana konstanta Lipschitznya adalah L � � berarti persamaan itu mempunyai

solusi tunggal�

Teorema ��� Teorema Picard Suatu masalah nilai awal y� � fx� y�� yx�� �

y� mempunyai solusi tunggal y � x� pada interval jx�x�j � dimana adalah

bilangan positif dan kecil sekali bila

�� f � CD� dimana D adalah daerah pada bidang xy yaitu D � fx� y�� a �

x � b� c � y � dg

�� �y�x� CD� yang memuat nilai kondisi awal x�� y��

Page 21: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

BAB �� KONSEP DASAR ��

Latihan Tutorial �

�� Kelompokkan persamaan diferensial dibawah ini kedalam PDB dan PDP�

a� �y�x

� �y�t� xy � �

b� dydx

� d�ydx�

�dydx

��

� �x � �

c� ��y�s�

� �y�t� y � �

d� d�ydx�

�d�ydx�

��

�dydx

��

� x � �y

e� �u�x

� �u�y

� �u�z

� �

f�

�dydx

��

� d�ydx�

�dydx

��

� � yx

�� Tentukan orde dan sifat�sifat kelinieran dari persamaan diferensial berikut

ini

a� �y�x

� xy � xex

b� d�ydx�

� �

�d�ydx�

��

� �y � �

c� d�ydx�

� ysinx � �

d� d�udt�

�d�udt�

��d�udt�

�� t � �u

e� x�dy � y�dx � �

f�

�d�ydx�

��

� xsiny � �

g�

�d�udt�

��

�q

d�udt�

� t � �u

h� d�ydt�

� tdydt� cos�t�y � t�

i� � � s��d�yds�

� sdyds� y � es

Page 22: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

BAB �� KONSEP DASAR ��

j� d�ydt�

� d�ydt�

� d�ydt�

� y � �

k�

�d�ydx�

��

� xtan�xy� � �

l� d�ydt�

� dydt� cos�t� ���y � t�

m� � � t��d�ydt�

� tdydt� tey � �

n� d�yds�

� cosec�s� � �� � siny

�� Ulangilah soal nomor �� tentukan sifat kehomgenan dari masing�masing soal

tersebut

�� Selidikilah apakah solusi yang diberikan merupakan solusi dari persamaan

diferensial berikut ini

a� y�� � �y� � �y � �� y�t� � e��t� y�t� � et

b� ty� � y � t�� yt� � �t� t�

c� y��� � �y��� � �y � t� y�t� �t�� y�t� � e�t � t

d� �t�y�� � �ty� � y � �� t � �� y�t� � t�

� � y�t� � t��

e� y� � �ty � �� yt� � et�R t

�e�s

ds� et�

�� Cermati apakah fungsi solusi dibawah ini merupakan solusi terhadap masalah

nilai awal yang bersesuaian

a� y� � �y� y�� � �� yx� � �e�x

b� y�� � �y � �� y�� � �� y��� � �� yx� � cos�x�

c� y�� � �y� � �y � �� y�� � �� y��� � �� yx� � e�x � e��x

� Periksalaha mana diantara soal berikut ini yang memenuhi teorema Lips�

chitz�

Page 23: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

BAB �� KONSEP DASAR ��

a� ft� y� � y cos t� � � t � �� y�� � �

b� ft� y� � � � t sin y� � � t � �� y�� � �

c� ft� y� � �ty � t�e�� � � t � �� y�� � �

d� ft� y� � �t�y��t�

� � � t � �� y�� � �

dan tentukan besar konstanta Lipschitz dari masing�masing soal ini�

�� Selidiki apakah persamaan diferensial berikut ini mempunyai solusi tunggal

pada interval yang memuat kondisi awal berikut

a� y� � ��� �y� y�� � �

b� y� � �� � t� y� y�� � �

c� y� � e�t � y� y�� � �

d� y� � � yx� y�� � �

�� Tentukan untuk titik�titik x�� y�� yang mana PDB berikut ini memenuhi

teori kewujudan dan ketunggalan dari Picard�

a� y� � x��yx�y

b� y� � �x� y��

c� y� � �� x� � �xy���

d� �xy� � x� � y�

Page 24: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

BAB �

PDB Linier Order Satu

��� PDB Linier Order Satu Homogen

PDB order satu dapat dinyatakan dalam

dy

dx� fx� y�

atau dalam bentuk derivatif

Mx� y�dx�Nx� y�dy � � ����

����� PDB Eksak

Denisi ��� Misal F suatu fungsi dari dua variabel real dan F kontinyu pada

turunan pertama pada domain D maka jumlah difrensial dF didenisikan sebagai

dF x� y� ��F x� y�

�xdx�

�F x� y�

�ydy

untuk semua x� y� � D�

��

Page 25: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

BAB �� PDB LINIER ORDER SATU ��

Denisi ��� Persamaan ��� disebut difrensial eksak pada domain D jika ada

fungsi F dari dua variabel x� y sedemikian hingga ekspresi tersebut sama dengan

jumlah dF x� y� untuk �x� y� � D� Sesuaikan denisi ����� dengan persamaan

��� diperoleh

Mx� y� ��F x� y�

�x

Nx� y� ��F x� y�

�y

Teorema ��� Persamaan ��� denganM�N kontinyu pada turunan pertamanyan

�M�N � C�D�� akan memenuhi dua kondisi berikut�

�� Bila ��� PDB eksak di D maka �M�x�y��y

� �N�x�y��x

untuk �x� y� � D

�� Sebaliknya bila �M�x�y��y

� �N�x�y��x

untuk �x� y� � D maka dikatakan ���

adalah PDB eksak�

Bukti

Akan dibutkikan bagian pertama dari teorema ini� Jika ��� eksak di D maka

Mdx�Ndy adalah eksak difrensial di D� Dengan denisi ����� dan ������ maka

terdapat suatu fungsi F sedemikian hingga

�F x� y�

�x�Mx� y�� dan

�F x� y�

�y� Nx� y�

untuk �x� y� � D� Selanjutnya turunkan M terhadap y dan N terhadap x

diperoleh

��F x� y�

�x�y�

�Mx� y�

�y� dan

��F x� y�

�y�x�

�Nx� y�

�x

Kita tahu bahwa

�F x� y�

�x�y�

�F x� y�

�y�x

Page 26: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

BAB �� PDB LINIER ORDER SATU ��

untuk �x� y� � D� sehingga dapat disimpulkan

�Mx� y�

�y�

�Nx� y�

�x

�x� y� � D�

Selanjutnya gunakan fakta ini untuk membuktikan bagian yang kedua�

����� Solusi PDB Eksak

Ada dua cara menyelesaikan PDB jenis ini� yaitu menggunakan prosedur dalam

teorema atau dengan teknik pengelompokan�

Contoh ��� Tentukan solusi PDB eksak �x� � �xy�dx� �x� � �y�dy � �

Penyelesaian ��� Jelas persamaan ini adalah PDB eksak karena

�Mx� y�

�y� �x �

�Nx� y�

�x

�x� y� � D� Dengan menggunakan cara yang pertama maka kita mempunyai

�F x� y�

�x� �x� � �y dan

�F x� y�

�y� �x� � �y

Integralkan bentuk pertama

F x� y� �

ZMx� y��x� y� �

Z�x� � �xy��x� y�

Kemudian turunkan terhadap y

�F x� y�

�y� �x� �

dy�

dy�

padahal kita punya

�F x� y�

�y� Nx� y� � �x� � �y

Page 27: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

BAB �� PDB LINIER ORDER SATU �

sehingga

�x� � �y � �x� �dy�

dyatau

dy�

dy� �y�

Integralkan persamaan terakhir ini diperoleh y� � y� � c�� dengan demikian

F x� y� menjadi

F x� y� � x� � �x�y � y� � c��

Bila F x� y� merupakan solusi umum maka keluarga solusi itu adalah F x� y� � c�

sehingga

� x� � �x�y � y� � c� � c� atau x� � �x�y � y� � c

yang merupakan solusi persamaan PDB eksak yang dimaksud�

Cara yang kedua adalah dengan menggunakan teknik pengelompokan� lihat catatan

dalam perkuliahan�

����� Faktor Integrasi

Faktor integrasi ini digunakan untuk menyelesaikan PDB order satu tidak eksak�

Langkah yang dimaksud adalah merubah PDB tidak eksak menjadi eksak� Re�

nungkan lagi persamaan ���� bila �M�x�y��y

�� �N�x�y��x

maka dapat ditentukan �x� y�

sedemikian hingga

�x� y�Mx� y�dx� �x� y�Nx� y�dy � � ����

Page 28: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

BAB �� PDB LINIER ORDER SATU ��

merupakan PDB eksak� Sekarang bagaimana prosedur menentukan �x� y�� da�

patlah digunakan teorema ����� diatas� Bila persamaan ��� eksak maka

��M�

�y�

��N�

�x��

�yM � �

�M

�y�

��

�xN � �

�N

�x

��M

�y� �N

�x

�� N

��

�x�M

��

�y

�x� y� �N ��

�x�M ��

�y

�M�y� �N

�x

����

adalah merupakan formula faktor integrasi secara umum�

Contoh ��� Tentukan solusi PDB berikut ini

�� �xy��y��x�dx�xx��y�dy � � bila faktor integrasinya hanya tergantung

pada x saja

�� x�y��xy���x��y�dx� x���x�y��x�dy � � bila faktor integrasinya

hanya tergantung pada xy

Penyelesaian ��� Soal nomor � bisa dilihat dalam catatan� selanjutnya kita

bahas soal nomor �� Jika � tergantung pada xy ini berarti � � �x� y� misal

z � xy maka

��

�x�

��z�

�zy atau

��

�y�

��z�

�zx

sedangkan

�M

�y� x� � �xy � �� dan

�N

�x� �x� � �xy � ��

Page 29: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

BAB �� PDB LINIER ORDER SATU ��

Sekarang gunakan faktor integrasi ��� dan substitusikan nilai�nilai diatas ini�

maka didapat

� �x� � �x�y � �x����z�

�zy � x�y � �xy� � �x� �y����z�

�zx

x� � �xy � ��� �x� � �xy � ��

� ���

�z

�z ��

���Z

�z �

Z�

���

z � ln�

� � ez � exy

Dengan demikian faktor integrasinya adalah �x� y� � exy� Sekarang soal nomor

dua menjadi PDB eksak dengan mengalikan faktor integrasi terhadap suku�

sukunya dimasing�masing ruas�

exyx�y � �xy� � �x� �y�dx� exyx� � �x�y � �x�dy � �

Dengan meyakini persamaan ini merupakan PDB eksak cara menyelesaikan sama

dengan teknik diatas yakni terdapat dua cara� Coba anda kerjakan sebagai

latihan

����� Teknik Variabel Terpisah

Bila persaman ��� kita transformasikan kedalam bentuk

f�x�g�y�dx� f�x�g�y�dy � � ����

selanjutnya kalikan persamaan ini dengan g�y�f�x� maka akan diadapat

f�x�

f�x�dx�

g�x�

g�y�dy � � ����

Page 30: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

BAB �� PDB LINIER ORDER SATU ��

Persamaan ��� tidak eksak namun persamaan ��� adalah eksak sehingga teknik

penyelesaiannya menyesuaikan� Bisa juga dengan mengintegralkan langsung ben�

tuk itu menjadi Zf�x�

f�x�dx�

Zg�x�

g�y�dy � �

Contoh ��� Tentukan solusi PDB berikut ini dengan menggunakan teknik pemisa�

han variabel�

�� x� y��dx� xydy � �

�� �xy � �y��dx� �xy � x��dy � �

Penyelesaian ��� Soal nomor � bisa dilihat dalam catatan� selanjutnya kita

bahas soal nomor �� Ambil suatu permisalan y � vx dan tentunya dy � vdx�xdv�

lalu substitusikan kedalam persamaan nomor ��

�x�v � �x�v��dx� �x�v � x��vdx� xdv� � �

�x�vdx� �x�v�dx� �x�v�dx� �x�vdv � x�vdx� x�dv � �

x�v � v��dx� x��v � ��dv � �

xdx� �v � ��

v � v��dv � �

Jelas persamaan terakhir ini merupakan PDB eksak sehingga gunakan cara

yang sama untuk menyelesaikannya� Atau bisa diintegralkan langsung menjadiZ�

xdx�

Z�v � ��

v � v��dv � �

ln x� c� � ln v � � � ln� � v� � c� � �

ln x� c� � lny�x�� � � ln� � y�x�� � c� � �

� ln x� lny�x�� � � ln� � y�x�� � c

Persamaan terakhir adalah solusi umum dari PDB yang dimaksud�

Page 31: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

BAB �� PDB LINIER ORDER SATU ��

��� PDB Linier Order Satu Nonhomogen

Pada umumnya PDB linier order satu nonhomogen dapat dinyatakan dengan

dy

dx� P x�y � Qx� �� �

dy

dx� P x�y � Qx�yn ����

Untuk persamaan �� dapat kita tulis dalam

P x�y �Qx��dx� dy � �

sehingga

Mx� y� � P x�y �Qx� dan Nx� y� � ��

Sekarang

�Mx� y�

�y� P x� dan

�Nx� y�

�x� �

dengan demikian persamaan ini bukan merupakan PDB eksak� sehingga perlu

ditentukan faktor integrasinya� Kita pilih faktor integrasi yang hanya tergantung

pada x� yaitu �x�� sedemikian

�x�P x�y � �x�Qx��dx� �x�dy � �

merupakan PDB eksak� yang berakibat bahwa

��x�P x�y � �x�Qx�

��y

���x�

�x

Selesaikan bentuk ini didapat

P x�dx ��

�x���x�

ln j�j �

ZP x�dx

� � � eRP �x�dx � � �

Page 32: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

BAB �� PDB LINIER ORDER SATU ��

Kalikan � terhadap persamaan �� didapat

eRP �x�dx dy

dx� e

RP �x�dxP x�y � Qx�e

RP �x�dx

yang mana hal ini sama dengan

d

dx

�eRP �x�dxy

�� Qx�e

RP �x�dx

atau

eRP �x�dxy �

ZeRP �x�dxQx�dx� c

atau

� y � e�RP �x�dx

ReRP �x�dxQx�dx� c ����

Persamaan ini disebut Persamaan Bernoulli

Selanjutnya untuk persamaan ��� dapat kita tulis dalam

y�ndy

dx� P x�y��n � Qx��

Misal v � y��n maka dydx

� ����n�

yn dvdx

sehingga persamaan diatas menjadi

dv

dx� �� n�P x�v � Qx��� n�

Misal Ppx� � � � n�P x� dan Qqx� � � � n�Qx� maka persamaan diatas

dapat direduksi kedalam bentuk

�dv

dx� Ppx�v � Qqx�

adalah persaman sebagaimana �� � sehingga cara menyelesaikan sama�

Contoh ��� Tentukan solusi PDB berikut ini

Page 33: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

BAB �� PDB LINIER ORDER SATU ��

�� x� � �� dydx

� �xy � x� y�� � �

�� dydx

� y � xy�� y�� � �

Penyelesaian ��� Soal nomor � dapat diselesaikan langsung dengan persamaan

���� sehingga

dy

dx�

�x

x� � ��y �

x

x� � ��

maka P x� � �x�x����

dan Qx� � x�x����

sehingga dengan menggunakan

y � e�RP �x�dx

ZeRP �x�dxQx�dx� c

y dapat ditentukan sebagai

y �x�

�x� � ����

x�

�x� � ����

c

x� � ���

untuk y�� � � maka substitusikan ke persamaan ini didapat c � ��� akhirnya

solusi khususnya adalah

� y �x�

�x� � ����

x�

�x� � ����

��

x� � ���

Ikuti langkah dalam prosedur yang telah diberikan untuk mengerjakan soal nomor

�� Anda kerjakan sebagai latihan

Page 34: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

BAB �� PDB LINIER ORDER SATU ��

Latihan Tutorial �

�� Mana diantara soal�soal berikut ini yang merupakan PDB order � eksak�

a� y sec� x� secx tanx�dx� tanx� �y�dy � �

b� �� � �� cos rdr � �� sin rd� � �

c�

��s��t

�ds�

�s�s�

t�

�dt � �

�� Selesaikanlah PD order � eksak berikut ini

a� �y sinx cosx� y� sin x�dx� sin� x� �y cosx�dy � �� y�� � �

b�

���xy���

x���y���

�dx�

��x���y����x���

y���

�dy � �� y�� � �

�� Tentukan faktor integrasi � untuk masing�masing soal berikut ini

a� x�y � �xy� � �x� �y�dx� x� � �x�y � �x�dy � �� bila � tergantung

pada xy

b� y� � �x�y�dx� �xy� � x��dy � �� bila � tergantung pada x� y

�� Gunakan metoda variabel terpisah untuk menyelesaikan beberapa persoalan

berikut ini

a� x tan yx� y�dx� xdy � �

b� px� y �

px� y�dx�

px� y �px� y�dy � �

�� Gunakan metoda Bernoulli untuk menyelesaikan PD berikut ini

a� x� � x� �� dydx

� �x� ��y � x� �

b� drd�� r tan � � cos�� rpi

�� � �

Page 35: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

BAB �

Aplikasi PDB Order Satu

��� Masalah Dalam Mekanik

Misal x adalah perubahan jarak yang ditimbulkan benda bergerak selama

waktu t maka kecepatan rata�rata didenisikan

vr �x

t�

xB � xAtB � tA

Selanjutnya kecepatan sesaat adalah

v � lim���

vr � lim�t��

x

t

v �dx

dtm�dt��

v �dv

dtm�dt��

Hukum ��� �Hukum Newton I� Hukum ini juga disebut hukum Kelemba�

man Newton yang berbunyi�� setiap benda akan tetap berada pada keadaan diam

atau bergerak lurus beraturan kecuali jika benda itu dipaksa oleh gaya�gaya yang

bekerja pada benda itu��

��

Page 36: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

BAB �� APLIKASI PDB ORDER SATU ��

Hukum ��� �Hukum Newton II� Percepatan yang ditimbulkan oleh gaya

yang bekerja pada sebuah benda berbanding lurus sebanding� dengan besar

gaya itu� dan berbanding terbalik dengan massa kelembaman banda itu� Se�

cara matematis dapat ditulis sebagai a � F�m atau F � ma dimana F adalah

gaya dan m suatu massa�

Analog dengan hukum Newton II ini� gerak jatuh bebas suatu benda dengan

berat W tanpa mengikutsertakan gaya gesek udara adalah

W � mg�

F dalam hal ini direpresentasikan dengan W dan a � g� sehingga bisa kita tulis

mg � W

ma � F

mdv

dt� F

mdv

dx

dx

dt� F

mvdv

dx� F

adalah model dari PDB order satu�

Contoh ��� Benda dengan berat newton dijatuhkan dari suatu ketinggian

tertentu yang bearawal dari keadaan diam� Jika kecepatan benda jatuh itu v

dan kecepatan gravitasi bumi adalah g � ��m�dt� serta gaya gesek udara adalah

��v� Tentukan ekspresi kecepatan v dan jarak x pada saat tertentu�

Page 37: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

BAB �� APLIKASI PDB ORDER SATU �

Penyelesaian ��� Hukum newton mengatakan F � ma atauP

F � ma�

Dalam hal ini f� � W � � newton gaya kebawah�� dan F� �gaya gesek udara

� ��v gaya keatas� sehingga

mdv

dt� F� � F�

��

dv

dt� �� �v

�� �vdv �

��

�dt

Karena benda berawal dari keadaan diam maka v�� � �� sehingga model PDB

sekarang adalah

�� �vdv �

��

�dt

v�� � �

Integralkan kedua ruasnya didapat

��

�ln�� �v� � c� �

��

�t� c�

ln�� �v� � ��

�t� c�

�� �v� � e��

�t�c�

�v � �Ce� �

�t � �

v ��

��� Ce�

�t�

Dengan memasukkan nilai awal v�� � � maka c � � sehingga ekspresi kecepatan

adalah

vt� � �� �e��

�t�

Selanjutnya untuk menentukan ekspresi jarak maka rubah vt� kedalam v � dxdt

Page 38: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

BAB �� APLIKASI PDB ORDER SATU ��

sehingga model PDB sekarang adalalah

dx

dt� �� �e�

�t

x�� � �

Dengan cara yang sama untuk solusi PDB ini maka ekspresi jarak terhadap waktu

adalah

xt� � �t� �

�e�

�t �

��� Pertumbuhan dan Peluruhan

Jika Q menunjukkan jumlah� kuantitas atau kualitas sesuatu dalam waktu t�

maka perubahan bertambah�pertumbuhan atau berkurang�peluruhan� yang

disimbulkan dengan dQdt

berbanding lurus dengan kuantitas Q� dengan kata lain

dQ

dt� rQ pertumbuhan

dQ

dt� �rQ peluruhan

����� Pertumbuhan Populasi

Jika y adalah jumlah populasi dalam waktu t� k adalah konstanta proportionalitas

atau tingkat pertumbuhan maka model PDB pertumbuhan populasi adalah

dy

dt� ky

yt�� � y�

Page 39: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

BAB �� APLIKASI PDB ORDER SATU ��

Selanjutnya bila k berubah�ubah maka dapat kita ganti dengan hy� yang dapat

dipilih hy� � r � ay maka model pertumbuhan menjadi dydt� r � ay�y

dy

dt� r�� y

K�y dimana K �

r

a

yt�� � y�

PDB ini dikenal dengan persamaan Verhulst atau persamaan Logistik� Solusi

kualitatif persamaan ini untuk r dan K positip adalah tertera dalam Gambar

����

-3

-2

-10123

y(x)

-1

-0.5

0.5

11.5

22.5

x

Asymptotic solution

Gambar ���� Solusi kualitatif persamaan pertumbuhan populasi�

Contoh ��� Pertumbuhan populasi memenuhi model sebagai berikut

dx

dt�

���x� �

���x�

Bila tahun �� � jumlah populasinya ������ maka

�� berapa besar populasi tahaun ����

�� tahun berapa jumlah populasi akan menjadi �� tahun �� �

�� berapa jumlah populasi terbesar untuk t � ����

Page 40: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

BAB �� APLIKASI PDB ORDER SATU ��

Penyelesaian ��� Bila tahun ���� jumlah populasi ������� maka dapat dikatakan

x����� � ���� ��� sehingga model PDB sekarang adalah

dx

dt�

���x� �

���x�

xt�� � x�

Rubah kedalam kedalam PD dengan variabel terpisah

�����x� ����x�dx � dt

Integralkan kedua ruasnya

Z�

�����x�� ����x�dx �

Zdt

���

Z�

x�

����

�� ����xdx �

Zdt

����ln x� ln�� ����x�

�� c� � t� c�

lnx

�� ����x�

t

���� c�

x

�� ����x� e

t���

�c�

x

�� ����x� ce

t���

x �ce

t���

� � ����cet

���

Terapkan nilai awal x����� � ���� ��� didapat c � �����

�e����sehingga

xt� ���

� � �e����t��������

Dengan demikian beberapa pertanyaan itu dapat diselesaikan sebagai berikut

�� jumlah populasi tahun ���� artinya t � ����� Substitusikan nilai t ini

kedalam persamaan ��� didapat x � ���� ���� Dengan demikian jumlah

populasi tahun ���� adalah ������� orang�

Page 41: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

BAB �� APLIKASI PDB ORDER SATU ��

�� jumlah populasi �� tahun ����� berarti x � ���� ���� Substitusikan nilai

x ini kedalam persamaan ��� didapat t � �� �� Dengan demikian jumlah

populasi akan dua kali lipat tahun ���� dicapai pada tahun �� ��

�� Besar populasi untuk waktu yang tidak terbatas t�� berarti

x � limt��

��

� � �e����t����

x � limt��

��

� � �e���et����

x � �� � �� ���� ���

Dengan demikian jumlah maksimum populasi untuk waktu yang tidak ter�

batas adalah satu juta orang�

����� Peluruhan Radioaktif

Contoh ��� Radioaktif isotop Thorium���� meluruh pada tingkat yang seband�

ing dengan jumlah isotop� Jika ��� mg dari material meluruh menjadi ���� mg

dalam satu minggu maka

�� tentukan ekspresi jumlah pada saat tertentu

�� tentukan interval waktu sehingga isotop itu meluruh menjadi setengah dari

jumlah semula�

Penyelesaian ��� Gunakan rumus peluruhan� MisalQ jumlah isotop Thorium�

��� maka dalam waktu t model peristiwa peluruhan itu adalah

dQ

dt� �rQ

Q�� � ���

Page 42: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

BAB �� APLIKASI PDB ORDER SATU ��

Kemudian selesaikan PDB ini akan diperoleh

Qt� � ���e�rt

Kemudian terapkan sarat kedua� yakni dalam satu minggu � hari� isotop men�

jadi ����� mg artinya Q�� � ����� mg akan didapat nilai r� sedemikian hingga

ekspresi jumlah terhadap waktu hari� adalah

Qt� � ���e������t�

Dengan mengetahui ekspresi ini akan menjadi mudah untuk mengerjakan pertanyaan�

pertanyaan diatas� Teruskan sebagai latihan��

��� Hukun Pendinginan Newton

Perubahan suhu suatu benda atau bahan yang mengalami proses pendinginan

sebanding dengan perbedaan antara suhu benda dan suhu disekitarnya� Dengan

demikian bila Suhu benda itu adalah x dan suhu sekitarnya itu adalah xs maka

proses pendinginan Newton terhadap waktu t digambarkan dengan

dx

dt� kx� xs�� k � �

dimana k adalah konstanta tingkat pendinginan�

Contoh ��� Suatu benda dengan suhu ��oC diletakkan diruangan yang bersuhu

��oC pada saat t � �� Dalam waktu � menit suhu benda tersebut menjadi ��oC

maka

�� tentukan fungsi suhu pada saat tertentu

�� tentukan besarnya suhu benda pada �� menit terakhir

Page 43: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

BAB �� APLIKASI PDB ORDER SATU ��

�� kapan suhu menjadi �oC

Penyelesaian ��� Dengan memahami persoalan ini maka model PDB proses

pendinginan dapat ditulis sebagai

dx

dt� kx� ���

x�� � �� dan x�� � ��

Solusi dari persamaan itu adalah

lnx� ��� � c� � kt� c�

x� ��� � cekt

x � �� � cekt

Masukkan nilai awal maka nilai c � �� sehingga persamaan menjadi

x � �� � ��ekt

Dan masukkan kondisi kedua didapat

ek ����

� �

sehingga ekspresi terakhir menjadi

xt� � �� � �����

� t�

Selanjutnya anda selesaikan pertanyaan diatas dengan memakai ekspresi ini�

��� Campuran

Suatu bahan dengan konsentrasi terterntu dicampur dengan bahan lain dalam

suatu tempat sehingga bahan bercampur dengan sempurna dan menjadi campu�

ran lain dengan konsentrasi berbeda� Bila Q menunjukkan jumlah bahan pada

Page 44: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

BAB �� APLIKASI PDB ORDER SATU ��

saat tertentu� maka perubahan Q terhadap t ditunjukkan dengan dQdt� Kemudian

bila proses yang terjadi adalah terdapat campuran masuk dan campuran yang

keluar� dimana laju jumlah bahan masuk dinyatakan dengan proses IN dan laju

jumlah bahan keluar dinyatakan dengan proses OUT maka

dQ

dt� IN � OUT

K= L literQ(0) = Q_0 gram

v =r liter/mink =s gram/liter

v =r liter/min

Gambar ���� Proses campuran dalam tangki�

Dimana bila laju masuk sama dengan laju keluar maka

IN � kv � sr gram�liter

OUT �Q

Kv �

Qr

Lgram�liter

Contoh ���

Suatu tangki mula�mula berisi ��� liter larutan yang mengandung ��� gram garam�

Larutan �lain� yang mengandung garam dengan konsentrasi � gram�liter masuk

kedalam tangki dengan laju � liter�menit dan bercampur dengan sempurna ke�

mudian campuran itu diperkenankan keluar dengan laju � liter�menit�

�� Formulasikan masalah nilai awal tersebut

Page 45: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

BAB �� APLIKASI PDB ORDER SATU ��

�� Tentukan jumlah garam Q setiap saat�

Penyelesaian ��� Formula campuran adalah

dQ

dt� IN �OUT�

Diketahui s � � gram�liter� r � � liter�menit� L � ��� liter dan Q�� � ���

didapat

IN � kv � s gram�liter � r liter�menit � � gram�liter

OUT �Q

Kv �

Q

Kgram�liter � r liter�menit �

�Q

���gram�liter

Sehingga

�� Model PDBnya adalah

dQ

dt� �� �Q

���� �� Q

��

Q�� � ���

�� Dengan menyelesaikan PDB ini didapat ekspresi jumlah garam setiap saat

Qt� � ���� ���e�t���

Page 46: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

BAB �� APLIKASI PDB ORDER SATU ��

Latihan Tutorial �

�� Suatu benda yang massanya �� kg dari keadaan diam di suatu puncak ber�

gerak diatas bidang miring dengan panjang �� m dari puncak ketanah�

dan sudut kemiringan ��o lihat Gambar ��� Bila koesien gesek kinitis

�k � ���� Tentukan� �i� ekspresi fungsi kecepatan dalam waktu t� �ii�

berapa jarak yang ditempuh benda selama � detik� dan �iii� berapa waktu

t yang dibutuhkan untuk mencapai tanah�

45 o

N

W

45o

f gesek

Gambar ���� Gerakan benda pada bidang miring�

fPetunjuk � uraikan gaya�gaya yang bekerja pada benda dan ingat

fgesek � �k �N g�

�� Suatu benda dengan massa konstanm ditembakkan tegak lurus keatas men�

jauhi permukaan bumi dengan kecepatan awal V� km�dt�� Bila diasumsikan

tidak ada gesekan udara namun berat benda berubah dalam jarak�jarak ter�

tentu terhadap bumi� maka tentukan

a� model matematik dari kecepatan V t� selama benda itu meluncur

b� tentukan V� untuk mencapai ketinggian maksimum ��� km

Page 47: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

BAB �� APLIKASI PDB ORDER SATU �

c� tentukan maksimum V� supaya benda yang ditembakkan tadi tidak

kembali kebumi�

Petunjuk � gunakan g � ����� km�dt�� jari�jari bumi R � ������� km

dan fungsi berat dalam jarak x terhadap bumi yang umumnya dinyatakan

sebagai wx� � mgR�

�R�x���

�� Model pertumbuhan populasi dapat ditulis dalam persamaan dydt� ry

��Ty�

��untuk r dan T konstanta positip� maka

a� gambar grak fy� dan y�

b� tentukan model grak y dan t untuk memberikan gambaran solusi

kualitatif dari PD tersebut�

�� Jam ����� WIB seseorang mengambil secangkir kopi panas dari microwave

oven dan meletakkan di ruang tamu dengan maksud untuk meminumnya

setelah agak dingin� Awal mula suhu kopi adalah ��oC� Selanjutnya ��

menit kemudian besar suhu kopi menjadi ��oC� Asumsikan suhu ruang

tamu itu adalah konstan ��oC�

a� Berapa besar suhu kopi pada jam ����� WIB

b� Orang ini suka meminum kopi yang suhunya antara ��oC sampai �oC�

maka antara jam berapa dia harus minum kopi itu�

�� Sebuah tangki besar awal mula berisi ��� liter larutan yang mengandung

� kg garam� Larutan lain yang mengandung garam de�ngan konsentrasi

��kg�liter dituangkan kedalam tangki dengan laju � liter�menit dan campu�

ran dalam tangki mengalir keluar dengan laju � liter�menit�

Page 48: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

BAB �� APLIKASI PDB ORDER SATU ��

a� Tentukan model matematik tentang banyaknya garam dalam tangki

setiap saat�

b� Bila kapasitas maksimum tangki ��� liter tentukan domain waktu t

sehingga model diatas tetap berlaku�

c� Pada poin b� berapa besar konsentrasi larutan pada saat tangki penuh�

d� Bila tangki tidak mempunyai kapasitas maksimum� tentukan konsen�

trasi larutan untuk jangka waktu tak terbatas�

� Suatu tangki berkapasitas ��� liter mula�mula berisi ��� liter larutan yang

mengandung ��� gram garam� Larutan lain� yang mengandung garam den�

gan konsentrasi � gram�liter masuk kedalam tangki dengan laju � liter�menit

dan campuran dalam tangki diperkenankan keluar dengan laju � liter�menit�

Tentukan model matematik yang menyatakan banyaknya garam dalam tangki

setiap saat sebelum dan sesudah tangki penuh��

Page 49: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

BAB �

PDB Linier Order Dua

Untuk memulai pembahasan ini terlebih dahulu akan ditinjau beberapa teo�

rema tentang konsep umum PDB order n�

��� PDB Order n Homogen

Denisi ��� Bila f�� f�� � � � � fm adalah fungsi kontinyu pada sebarang x � �a� b�

dan c�� c�� � � � � cm adalah konstanta sebanyak m maka kombinasi linier fungsi ini

ditulis dengan c�f� � c�f� � � � � � cmfm

Denisi ��� Fungsi f�� f�� � � � � fm dikatakan tergantung linier pada interval

�a� b� bila terdapat c�� c�� � � � � cm yang tidak semuanya nol sedemikian hingga c�f��

c�f� � � � � � cmfm � � untuk sebarang x � �a� b� dan dikatakan bebas linier bila

semua c�� c�� � � � � cm sama dengan nol�

Teorema ��� Suatu PDB disajikan dalam

a�x�y�n� � a�x�y

�n��� � � � � � anx�y � �� dimana a�x� �� �� ����

��

Page 50: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

BAB �� PDB LINIER ORDER DUA ��

Misal f�� f�� � � � � fm solusi sebanyak m maka solusi umum PDB ini merupakan

kombinasi bebas linier dari fungsi�fungsi ini yaitu y � c�f� � c�f� � � � �� cmfm�

Bukti � Turunkan solusi umum ini sebanyak n kali kemudian substitusikan

kedalam persamaan �����

y � c�f� � c�f� � � � � � cmfm

y� � c�f�� � c�f

�� � � � � � cmf

�m

���

y�n��� � c�f�n���� � c�f

�n���� � � � � � cmf

�n���m

y�n� � c�f�n�� � c�f

�n�� � � � � � cmf

�n�m

maka a�x�

�c�f

�n�� � c�f

�n�� � � � � � cmf

�n�m

�� a�x�

�c�f

�n���� � c�f

�n���� � � � � �

cmf�n���m

�� � � ��anx�

�c�f��c�f�� � � ��cmfm

�� �� dan dapat disederhanakan

menjadi c�

�a�x�f

�n�� �a�x�f

�n���� �� � ��anx�f�

��c�

�a�x�f

�n�� �a�x�f

�n���� �

� � �� anx�f�

�� � � �� cm

�a�x�f

�n�m � a�x�f

�n���m � � � �� anx�fm

�� �� Analog

dari persamaan ���� maka ruas kiri persamaan terakhir akan sama dengan nol�

sehingga terbukti y � c�f� � c�f� � � � � � cmfm merupakan solusi umum� �

Denisi ��� Misal f�� f�� � � � � fm adalah fungsi riel yang kontinyu pada tu�

runan ke n� �� dalam interval �a� b� maka

W f�� f�� � � � � fn� �

��������������

f� f� � � � fn

f �� f �� � � � f �n

������

������

f�n���� f

�n���� � � � f

�n���n

��������������disebut determinan matrik �Wronskian� yang terdenisi pada �a� b��

Page 51: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

BAB �� PDB LINIER ORDER DUA ��

Teorema ��� Fungsi�fungsi solusi f�� f�� � � � � fn dari PDB homogen order n

dikatakan bebas linier bila W f�� f�� � � � � fn� �� �

Contoh ��� Buktikan bahwa

�� Jika sin x� cosx merupakan solusi dari y���y � � maka y � c� sin x�c� cosx

juga solusi PDB ini dan buktikan solusi�solusi itu bebas linier�

�� Jika ex� e�x� e�x merupakan solusi dari y�� � �y�� � y� � �y � � maka y �

c�ex�c�e

�x�c�e�x juga solusi PDB ini dan buktikan solusi�solusi itu bebas

linier�

Cara sederhana untuk menyelesaikan PDB homogen order n ini adalah dengan

cara mereduksi ordernya�

Teorema ��� Suatu PDB

a�x�y�n� � a�x�y

�n��� � � � � � anx�y � �� a�x� �� �

maka permisalan y � fx�v akan mengurangi order PDB menjadi n� ���

Contoh ��� Salah satu solusi PDB x� � ��y�� � �xy� � �y � � adalah f� � x

maka tentukan solusi umumnya�

Penyelesaian ��� Misal

f� � y � f�v � xv

y� � v � xv�

y�� � �v� � xv���

Page 52: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

BAB �� PDB LINIER ORDER DUA ��

Substitusikan kedalam PDB pada persoalan ini didapat xx����v����v� � � dan

misal w � v� maka

xx� � ��dw

dx� �w � �

dw

dx� � �w

xx� � ���

wdw � � �

xx� � ��dx

� ��� �

x�

�x

x� � ��

�dx

lnw � lnx�� � lnx� � �� � ln c

lnw � ln�

x�x� � ��

sehingga solusi umunnya adalah

� w ��

x�x� � ���

Sementara w � v�� maka persamaan terakhir dapat diperoses menjadi

dv

dx�

cx� � ��

x�

dv �x� � ��

x�pilih c � �

dv �

�� �

x�

�dx

v � x� �

x�

Sekarang f� � f�v � x�x � �

x

�� x� � � maka solusi umum dari PDB diatas

adalah

� y � c�x� c�x� � ���

Page 53: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

BAB �� PDB LINIER ORDER DUA ��

��� PDB Order n Nonhomogen

Suatu PDB order n nonhomogen disajikan dalam bentuk

a�x�y�n� � a�x�y

�n��� � � � � � anx�y � F x�� a�x� �� � ����

Teorema ��� Bila u adalah solusi umum PDB homogen dari persamaan �����

dan v solusi khusus persamaan ����� maka u� v adalah solusi umum PDB non�

homogen�

Misal diberikan PDB y�� � y � x� Bila solusi umum PDB y�� � y � � adalah

yu � c� sin x � c� cosx dan solusi khusus y�� � y � x adalah yk � x maka solusi

umum PDB ini adalah y � yu � yk atau y � c� sinx� c� cosx� x�

��� PDB Order Dua

����� PDB Order Dua Homogen

Suatu PDB order dua didenisikan dengan persamaan

px�y�� � qx�y� � rx�y � �� ����

bila p� q� r adalah fungsi konstan maka dapat ditulis dengan persamaan berikut

ay�� � by� � cy � �� ����

Persamaan karakteristik dari persamaan ini diperoleh dengan cara memisalkan

y � ert

y� � rert

y�� � r�ert

Page 54: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

BAB �� PDB LINIER ORDER DUA ��

sehingga persamaan ���� menjadi

ar�ert � brert � cert � �

ar� � br � c�ert � ��

Bila ert �� � maka ar�� br� c � � merupakan persamaan karakteristik dari PDB

order dua homogen dengan dengan koesien konstan� dan y � ert merupakan

solusi dari persamaan �����

Akar�Akar Riel dan Berbeda

Bila persamaan karakteristik mempunyai akar�akar riel dan berbeda D � ��

maka ditemukan r� �� r� sehingga solusi PDB dalam persamaan ���� adalah

� y � c�er�t � c�e

r�t �

Misal diberikan PDB y�� � �y� � y � � maka persamaan karakteristiknya

adalah r� � �r � � �� dengan akar�akar r� � �� dan r� � ��� sehingga solusi

umumnya y � c�e��t � c�e

��t� Selanjutnya bila diterapkan nilai awal y�� � �

dan y��� � � maka nilai c�� c� dapat diperoleh dengan cara menurunkan solusi

umum dua kali� yaitu y� � ��c�e��t � �c�e��t dan y�� � �c�e

��t � �c�e��t dan

substitusikan kedua nilai awal itu kedalam persamaan ini� diperoleh sistem

c� � c� � �

��c� � �c� � �

dimana c� � � dan c� � �� dan solusi khususnya menjadi y � �e��t � �e��t�

Contoh ��� Selesaikan persoalan berikut

�� �y�� � �y� � �y � � y�� � �� y��� � ��

Page 55: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

BAB �� PDB LINIER ORDER DUA ��

�� y�� � �y� � �y � � y�� � �� y��� � �

�� y�� � �y� � �y � � y�� � �� y��� � �

Akar�Akar Komplek

Persamaan karakteristik persamaan PDB order dua homogen adalah ar��br�c �

�� Jika D � � maka akar�akarnya adalah bilangan komplek� yaitu r� � � � i�

dan r� � �� i�� dengan demikian solusi kompleknya adalah

y� � c�e���i��t ����

y� � c�e���i��t �� �

Teorema ��� �Teorema Taylor� Jika ft� mempunyai n � � turunan kon�

tinyu pada interval �a� b� untuk beberapa n � dan bila t� t� � �a� b� maka

ft� � pnt� �Rn��t�

pnt� � ft�� �t� t��

��f �t�� � � � �� t� t��

n

n�f �n�t��

Rn��t� ��

n�

Z t

t�

t� t�nf �n���t�dt

�t� t��

n��

n� ���f �n�����

untuk � antara t� dan t�

Dengan menerapkan teorema ini maka aproksimasi untuk fungsi�fungsi berikut

pada t� � � adalah�

eat � � � at�at��

���

at��

��� � � � �

�Xn��

at�n

n�

sin at �at��

��� at��

���

at��

��� � � � �

�Xn��

���n�� at��n��

�n� ���

cos at �at��

��� at��

���

at��

��� � � � �

�Xn��

���n at��n

�n��

Page 56: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

BAB �� PDB LINIER ORDER DUA ��

Selanjutnya dalam ekspresi solusi komplek eit dapat ditulis sebagai berikut

eit � � � it�it��

���

it��

��� � � �

�Xn��

���n at��n

�n��� i

�Xn��

���n�� at��n��

�n� ���

� cos t� i sin t�

Dengan menerapkan persamaan terakhir ini maka solusi komplek ���� dan �� �

menjadi

y� � e���i��t � e�t�cos�t� i sin�t

�y� � e���i��t � e�t

�cos�t� i sin�t

��

Bila keduanya dijumlahkan dan dikurangkan maka

ut� � y� � y� � �e�t cos�t

vt� � y� � y� � �ie�t sin�t�

Abaikan bilangan � dan �i dengan pertimbangan diganti dengan konstanta esen�

sial lainnya maka solusi umum PDB dengan persamaan akar karakteristik kom�

plek adalah

� y � c�ut� � c�vt� � c�e�t cos�t� c�e

�t sin�t �

Suatu contoh dapat ditunjukkan untuk menyelesaikan PDB y�� � y� � y �

�� Persamaan karakteristik PDB ini adalah r� � r � � � � sehingga akar�akar

kompleknya adalah r�� � ���� i

q��� Jadi � � ��

�dan � �

q��sehingga solusi

umunya y � c�e� �

�t cos

q��t� c�e

� �

�t sin

q��t�

Page 57: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

BAB �� PDB LINIER ORDER DUA �

Akar�Akar Riel dan Sama

Untuk kasus ini� persamaan karakteristik ar� � br � c � � akan mempunyai

D � b� � �ac � � sehingga r� � r� � � b�a� Dengan demikian salah satu solusi

PDB adalah yk � e�b�at� Misal solusi umumnya adalah y � vt�ykt� � vt�e�

b�at

maka

y� � v�t�e�b�at � b

�avt�e�

b�at

y�� � v��t�e�b�at � b

av�t�e�

b�at �

b�

�a�vt�e�

b�at

Sehingga dengan mensubstitusikan kedalam PDB ay�� � by� � cy � � diperoleh�a

�v��t�� b

av�t�� b�

�a�vt�

�� b

�v�t�� b

�avt�

�� cvt�

�e�

b�at � �� Bila e�

b�at �� �

maka av��t��

�� b�

�a� c

�� �� Karena b���ac � � maka persamaan ini menjadi

av��t� � � dimana solusi umumnya adalah vt� � c�t � c�� Dengan demikian

solusi umum PDB dengan akar persamaan karakteristik berulang adalah�

� y � vt�y�t� � c�e� b

�at � c�te

� b�at

����� PDB Order Dua Nonhomogen

Suatu PDB disajikan dalam persamaan berikut�

L�y� � y�� � pt�y� � qt�y � gt� ����

L�y� � y�� � pt�y� � qt�y � � ����

Teorema ��� Jika Y� dan Y� adalah solusi persamaan ����� maka Y� � Y�

adalah solusi persamaan ������ Dan bila y�� y� solusi persamaan ����� maka

Y�t�� Y�t� � c�y�t� � c�y�t�

Page 58: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

BAB �� PDB LINIER ORDER DUA ��

Ini berarti solusi umum dari persamaan ���� adalah

� yt� � c�y�t� � c�y�t z �solusi homogen

�ykt�

Diberikan PDB y�� � �y� � �y � �e�t� Solusi persamaan homogennya adalah

yh � c�e�t � c�e

�t� Kemudian akan ditentukan solusi persamaan nonhomogen

dengan memisalkan yk � Ae�t sebagai solusi� Berikutnya adalah menentukan nilai

A yang dalam dalam hal ini diperoleh dari menurunkannnya dua kali y�k � �Ae�t

dan y��k � �Ae�t kemudian mensubstitusikan kedalam PDB diperoleh A � ����

Sehingga solusi umumnya adalah y � c�e�t � c�e

�t � ��e�t�

Permasalahan yang paling banyak dihadapi nantinya adalah bagaimana mem�

buat permisalan untuk menentukan solusi khusus yk� Kadangkala pemisalahan

itu harus diulang dua kali untuk menentukan koesien yang tepat bagi solusi ini�

Oleh karena itu untuk memudahkannya diberikan panduan berikut�

git� Yit�Pnt� � a�t

n � a�tn�� � � � � � an tsA�t

n � A�tn�� � � � �� aN �

Pnt�eat tsA�t

n � A�tn�� � � � � � aN �e

at

Pnt�eat

�sin �t

cos�t

ts�A�t

n � A�tn�� � � � � � aN �e

at cos t�

A�tn � A�t

n�� � � � � � aN �eat sin t

�Tabel ���� Panduan permisalan solusi khusus PDB non homogen�

Contoh ��� Selesaikan persoalan berikut

�� y�� � �y� � �y � � sin t

�� y�� � �y� � �y � ��et cos �t

�� y�� � y�� � �y � �e�t � � sin �t� ��et cos �t

Page 59: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

BAB �� PDB LINIER ORDER DUA ��

Variasi Parameter

Diberikan PDB nonhomogen

y��t� � pt�y�t� � qt�yt� � gt�� ����

maka yht� � c�y�t� � c�y�t� adalah solusi PDB homogen

y�� � pt�y� � qt�y � �� �����

Kemudian bila c� diganti dengan u�t� dan c� dengan u�t� maka diperoleh

yt� � u�t�y�t� � u�t�y�t�� �����

adalah solusi umum persamaan ����� Turunkan satu kali

y�t� � u��t�y�t� � u�t�y��t� � u��t�y�t� � u�t�y

��t��

Set

u��t�y�t� � u��t�y�t� � � �����

maka

y�t� � u�t�y��t� � u�t�y

��t�

y��t� � u��t�y��t� � u�t�y

���t� � u��t�y

��t� � u�t�y

���t��

Substitusikan dua persamaan terakhir ini kedalam persamaan ���� diperoleh

u�t�

�y���t��pt�y

��t��qt�y�t�

��u�t�

�y���t��pt�y

��t��qt�y�t�

��u��t�y

��t��

u��t�y��t� � gt�� Suku pertama dan kedua adalah sama dengan nol� karena y�� y�

adalah solusi PDB ����� sehingga

u��t�y��t� � u��t�y

��t� � gt� �����

Page 60: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

BAB �� PDB LINIER ORDER DUA ��

Dua persamaan ����� dan ����� akan membentuk sistem persamaan linier

dimana u��t� dan u��t� dapat ditentukan sebagai berikut�

u��t� �

�������� y�t�

gt� y��t�

�������W y�� y��t�

� �y�t�gt�W

u��t� �

�������y�t� �

y��t� gt�

�������W y�� y��t�

�y�t�gt�

W�

Sehingga

u�t� �

Z�y�t�gt�

Wdt� c�

u�t� �

Zy�t�gt�

Wdt� c��

Dan solusi umum ����� menjadi

� yt� �R �y��t�g�t�

Wdt y�t� �

R y��t�g�t�W

dt y�t�

Sebagai contoh dapat diselesaikan PDB y����y � � csc t� Persamaan homogen�

nya adalah y����y � � dengan persamaan karakteristik r��� � � dan mempunyai

akar komplek r�� � � � �i� Dengan demikian solusinya yh � c� cos �t � c� sin �t�

Dari keseluruhan soal ini dapat disimpulkan bahwa gt� � � csc t� y�t� � cos �t

dan y� � sin �t sehingga y��t� � �� sin �t dan y��t� � �� sin �t� Dengan mene�

rapkan prosedur diatas maka

u��t� �

�������� y�t�

gt� y��t�

�������W y�� y��t�

� � � sin �t csc t

��cos� �t� sin� �t�

Page 61: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

BAB �� PDB LINIER ORDER DUA ��

u��t� �

�������y�t� �

y��t� gt�

�������W y�� y��t�

��

�csc t� � sin t

Dengan proses yang sederhana diperoleh

u�t� � �� sin t� c�

u�t� ��

�ln j csc t� cot tj � � cos t� c�

Sehingga solusi umumnya adalah

� yt� � c� cos �t� c� sin �t� � sin t cos �t� � cos t sin �t��

�ln j csc t� cot tj sin �t

Page 62: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

BAB �� PDB LINIER ORDER DUA ��

Latihan Tutorial �

�� Tentukan solusi umum dari masing�masing persamaan diferensial order dua

berikut ini�

a� y�� � �y� � �y � �e�x � ��e��x

b� y�� � �y� � �y � sin �x� � cos �x

c� �y�� � ��y� � �y � x�ex � �x� � ��

d� y�� � �y � � sin �x� � cos �x

e� y�� � y� � �y � e��x � �ex � �x�

f� y�� � y� � �y � ��x�ex � �e�x

g� y�� � �y� � �y � e�x cosx

h� y�� � �y� � � sin �x� � cos �x

i� y�� � y� � y � ��e�x � ��e�x � x� ��

j� y�� � �y � ��x� � � x cos �x

k� �y�� � �y� � y � ex�� � e�x��

l� y�� � �y� � ��y � �xe��x

m� y�� � y� � �y � �ex � ��e�x

n� y�� � �y� � �y � �� cos �x

�� Selesaikan masalah nilai awal berikut ini�

a� y�� � �y� � �y � �x� � �� y�� � � y��� � �

b� y�� � �y� � �y � � x� ��ex� y�� � �� y��� � �

Page 63: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

BAB �� PDB LINIER ORDER DUA ��

c� y�� � �y� � ��y � �xe�x� y�� � �� y��� � ��

d� y�� � �y� � ��y � �xe��x� y�� � �� y��� � ��

e� y�� � �y� � � y � �e��x� y�� � �� y��� � �

f� y�� � y� � �y � ��e�x� y�� � ��� y��� � �

g� y�� � �y� � ��y � ��e��x� y�� � �� y��� � �

h� y�� � ��y� � ��y � �e�x� y�� � �� y��� � �

i� y�� � �y� � ��y � � sin �x� y�� � �� y��� � �

j� y�� � y� � y � �e�x � �e�x� y�� � �� y��� � �

k� y�� � �y� � y � �xe�x � ex� y�� � �� y��� � �

Page 64: Persamaan Difrensial - dafik-fkip-unej.org Persamaan... · PERSAMAAN DIFRENSIAL BIASA Buku pegangan ma t a kuliah Persamaan Difrensial Oleh Drs D a f i k MSc NIP Program P endik an

Daftar Pustaka

Boyce� W� E� � Diprima� R� C� ����� Elementary Di�erential Equations and

Boudary Value Problems� John Wiley � Sons� Inc� Singapore

Burden� R� L� and Faires� J� D� �����Numerical Analysis� Brooks�Cole Publishing

Company� U�S�

Lambert� J�D� ����� Numerical Methods for Ordinary Di�erential Systems� John

Wiley � Sons� Inc� Singapore

Powell� M�J�D� ����� Approximation Theory and Methods� Cambridge University

Press� U�K�

Ross� S� L� ����� Introduction to Ordinary Di�erential Equations� John Wiley �

Sons� Inc� New York� U�S�

Shampine� L� F� � Baca� L�S� ����� Computer Solution of Ordinary Di�erential

Equations� The Initial Value Problem� Freeman� San Francisco�

��