Upload
myanti
View
280
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
8/19/2019 Persamaan Tiga Momen a.pdf
1/35
8/19/2019 Persamaan Tiga Momen a.pdf
2/35
TM- 7
Persamaan Tiga Momen
(Three Moments Equation)
8/19/2019 Persamaan Tiga Momen a.pdf
3/35
8/19/2019 Persamaan Tiga Momen a.pdf
4/35
•
Struktur statis tertentuStruktur yang dapat dianalisis dengan menggunakan
3 persamaan keseimbangan (∑M = 0, ∑H = 0, ∑V = 0)
• Struktur statis tak tentu
Struktur yang tidak dapat dianalisis dengan
menggunakan 3 persamaan keseimbangan, perlumetode lain.
8/19/2019 Persamaan Tiga Momen a.pdf
5/35
• ∑M = 0
• ∑H = 0
• ∑V = 0
3 persamaan
dengan 3 variabel(H, V1, V2)
OK !!
H
V2V1
Struktur statis tertentu
8/19/2019 Persamaan Tiga Momen a.pdf
6/35
Struktur statis tertentu
V
H
M
• ∑M = 0
• ∑H = 0
•
∑V = 0
3 persamaan
dengan 3 variabel
(M, H, V)OK !!
8/19/2019 Persamaan Tiga Momen a.pdf
7/35
V1
H1M1
V2
H2M2
• ∑M = 0
• ∑H = 0
•
∑V = 0
3 persamaan dengan 6
variabel (M1, H1, V1,
M2, H2, V2)
Tidak
OK !!
Struktur statis tak tentu
8/19/2019 Persamaan Tiga Momen a.pdf
8/35
• ∑M = 0
• ∑H = 0
• ∑V = 0
3 persamaandengan 5 variabel
(H1, H2, V1,V2,V3)
TidakOK !!
Struktur statis tak tentu
H2
V3V2
H1
V1
8/19/2019 Persamaan Tiga Momen a.pdf
9/35
Struktur Statis Tak tentu
• Balok yang respons strukturnya tidak dapat
diselesaikan dengan menggunakan persamaan
persamaan statika.
• Derajat ketidak-tentuan dirumuskan dengan
persamaan:
NI = NR - 2 - NIH
NI = derajat ketidak tentuan,
NR = jumlah total reaksi,
NIH = jumlah sendi dalam pada struktur
8/19/2019 Persamaan Tiga Momen a.pdf
10/35
Struktur Statis Tak tentu
• Metode yang bisa digunakan untuk analisis
struktur:
– Persamaan Tiga Momen (Clayperon)
– Ubahan Sudut (Slope deflection)
– Distribusi Momen (Moment Distribution/Cross)
– dll
8/19/2019 Persamaan Tiga Momen a.pdf
11/35
8/19/2019 Persamaan Tiga Momen a.pdf
12/35
Penurunan persamaan
Balok menerus dengan beberapa tumpuan sendiq
P
A BC
L1 L2
L2/2I1I2
Balok menerus yg dipotong dengan hanya 3 tumpuan sendi
A BC
L1 L2
L2/2
P
I1I2
8/19/2019 Persamaan Tiga Momen a.pdf
13/35
q
A B C
L1 L2
L2/2
P
I1I2
Balok menerus A-B-C dengan 3 tumpuan sendi
A B B C
A2 A1
A4 A5
A3 A6
MB
MCMA
8/19/2019 Persamaan Tiga Momen a.pdf
14/35
A BC
L1 L2
L2/2I1I2
C’
C1
A’
A1
hA hC
2
1
1
1
L
CC
L
AA
Dengan:
AA1 = hA – A1A’ = hA – (lendutan di A’ dari garis singgung di B)
CC1 = C’C1 - hC = (lendutan di C’ dari garis singgung di B) - hC
Metode Luas Momen
Segitiga
Sebangun
8/19/2019 Persamaan Tiga Momen a.pdf
15/35
Metode Luas Momen
(Moment Area Methode)
• Teorema I
– Beda kemiringan antara 2 garis singgung pada kurva elastisbatang yang mulanya lurus = luas bidang momen diantarakedua titik singgung tersebut dibagi EI
• Teorema II – Lendutan di sebuah titik pada kurva elastis terhadap garis
singgung di sebuah titik lain pada kurva yang sama, diukurdalam arah tegak lurus dari sumbu batang yang semula
lurus, = momen dari luas bidang momen diantara keduatitik tersebut dibagi EI, terhadap tempat terjadinyalendutan.
8/19/2019 Persamaan Tiga Momen a.pdf
16/35
A BC
C’
C1
A’
A1
lendutan di C’ dari garis singgung di B = momen dari diagram bidang momenantara titik B dan titik C.
Momen dari bidang momen tersebut = luas bidang momen antara B dan C
dikalikan dengan jarak titik berat bidang tersebut ke titik C.
lendutan di A’ dari garis singgung di B = momen dari diagram bidang momen
antara titik A dan titik B.
Momen dari bidang momen tersebut = luas bidang momen antara A dan B
dikalikan dengan jarak titik berat bidang tersebut ke titik A.
8/19/2019 Persamaan Tiga Momen a.pdf
17/35
lendutan di A’ dari garis singgung di B = momen dari diagram bidang momen
antara titik A dan titik B, dibagi dengan EI
Momen dari bidang momen tersebut = luas bidang momen antara B dan C
dikalikan dengan jarak titik berat bidang tersebut ke titik A, dibagi dengan EI
Lendutan di A = jumlah dari semua perkalian luas bidang momen antara A-B dengan
titik beratnya dari A, dibagi dengan EI
= (A1a1 + (2/3) A4a4 + (1/2) A3a3)/EIABLendutan di B = jumlah dari semua perkalian luas bidang momen antara A-B dengan
titik beratnya dari C, dibagi dengan EI
= (A2a2 + (2/3)A5a5 + (1/2)A6a6)/EIAB
A2A1
a1 a2
a5
a6
a4
a3
A4 A5
A3 A6
A B C
A B C
8/19/2019 Persamaan Tiga Momen a.pdf
18/35
(hA – (A1a1 + ( 1/6) MAL12 + (1/3) MB L1
2 ) )/EI1
=
((A2a2 + (1/3) MBL22
+ (1/6)MCL22
) –
hC )
AA1 = hA – A1A’ = hA – (lendutan di A’ dari garis singgung di B)
= hA – (A1a1 + A3a3 + A4a4)
= hA – (A1a1 + (1/2) L1MA(1/3) L1 + (1/2)MBL1 (2/3)L1)
= hA – (A1a1 + ( 1/6) MAL12+ (1/3) MB L1
2 )
CC1 = CC1 - hC = (lendutan di C’ dari garis singgung di B) – hC
= (A2a2 + A5 (2/3)a5 + (A6(1/3) a6)) – hC
=(A2a2 + (1/2) MBL2(2/3) L2 + (1/2)MCL2(1/3)L2) – hC
= (A2a2 + (1/3) MBL22 + (1/6)MCL2
2) – hC
2
1
1
1
L
CC
L
AA
Bentang A-B-C
8/19/2019 Persamaan Tiga Momen a.pdf
19/35
Bentang A-B-C
2122
22
11
11
2
2
2
2
1
1
1
1
6666
2
L
Ehc
L
Eh
I L
a A
I L
a A
I
L M
I
L
I
L M
I
L M
A
C B A
8/19/2019 Persamaan Tiga Momen a.pdf
20/35
Balok dengan perletakan jepitPenyelesaian balok dengan perletakan jepit sama dengan balok menerus
perletakan sendi.
Pada kasus ini, perletakan jepit disubstitusi dengan perletakan sendi + bentang
imajiner yang memiliki kekakuan TAK TERBATAS dan panjang MENDEKATI 0,
sehingga dengan demikian kondisi perletakan jepit tetap tercapai.
Penyelesaian selanjutnya sama dengan balok menerus perletakan sendi.
Ao
A
8/19/2019 Persamaan Tiga Momen a.pdf
21/35
Langkah perhitungan
• Amati struktur dengan baik. Perhatikan kondisi perpindahan
perletakan. Untuk kondisi jepit, modifikasi struktur dengan
menambahkan bentang imajiner dan mensubstitusi
perletakan jepit menjadi perletakan sendi.
• Bagi balok menerus menjadi 2 bentang (A-B-C). Buatlah
diagram momen akibat beban luar. Hitung luas dan jarak titik
beratnya dari titik ujung luar.
• Gunakan persamaan tiga momen untuk mendapatkan momen
momen ujung, dan buatlah diagram bidang momennya.
• Kontrol putaran sudut
• Hitung reaksi perletakan, dan buatlah persamaan gaya
dalamnya.
• Buatlah diagram gaya dalam dan kurva elastis struktur.
8/19/2019 Persamaan Tiga Momen a.pdf
22/35
Contoh SoalSebuah balok menerus seperti gambar dibawah ini akan
dianalisa dengan menggunakan Persamaan Tiga Momen. Tidakterjadi perpindahan tumpuan.
q = 1.8 kN/m
5mBA
2I2I3I
P = 18 kN
q = 1.8 kN/m
10m 10m 4m
C
D
a) Hitunglah Reaksi Perletakan dari masing masing tumpuan (40%)
b) Gambarkan Bidang Gaya Dalam (bidang momen dan bidang geser) (40%)
c) Gambarkan kurva elastis dari balok (20%)
8/19/2019 Persamaan Tiga Momen a.pdf
23/35
• Step 1.
– Amati soal dengan baik. Soal menggunakan satuaninternasional (meter dan kilonewton).
– Struktur merupakan balok menerus dengan perletakan jepit di ujung kiri. Maka struktur dimodifikasi dengandisebelah tumpuan jepit diberikan bentang imajinertambahan.
– Struktur tidak mengalami perpindahan tumpuan sehinggahA, hB dan hC = 0
– Beban di bentang CD dijadikan momen tumpuan, yaitusebesar:
•
MC = 0.5*qL2
= 0.5*1.8*16
= -14.4 kNm
8/19/2019 Persamaan Tiga Momen a.pdf
24/35
q = 1.8 kN/m
Ao
5mBA
2I2I3I
P = 18 kN
q = 1.8 kN/m
10m 10m 4m
C
D
8/19/2019 Persamaan Tiga Momen a.pdf
25/35
• Step 2.
Buat diagram momen akibat beban luar.
CA Ao
5mB2I3I
q = 1.8 kN/m
10m 10m
DA2 A3 A1
2I
4m
P = 18 kN
A1 = 0
A2 = (2/3)LAB(1/8)q1LAB2
= (1/12)qLAB3
= (1/12)*1.8*1000
= 150
A3 = (1/2)LBC(1/4)PLBC= (1/8)PLBC
2
= (1/8)18*100
= 225
8/19/2019 Persamaan Tiga Momen a.pdf
26/35
• Step 3: Gunakan Persamaan Tiga Momen
Bentang Ao-A-B
0226116
2
AB I AB L
a A
AoA I AoA L
a A
AB I AB
L
B M AB I AB
L
AoA I AoA
L
A M AoA I AoA
L
Ao M
AB I AB L
a A
AB I
AB L
B M
AB I
AB L
A M 226
2
I I M
I M
B A310
51506
3
10
3
102
2MA + MB = -45 ………… (1)
8/19/2019 Persamaan Tiga Momen a.pdf
27/35
Bentang A-B-C
0336226
2
BC I BC L
a A
AB I AB L
a A
BC I
BC L
C M BC I
BC L
AB I
AB L
B M AB I
AB L
A M
I I
I I I B M
I A M
210
52256
310
51506
2
104.14
2
10
3
102
3
10
(10/3) MA + 2MB (50/6) - 72 = -150 – 337.5
10MA + 50 M
B - 216 = -1462,5
MA + 5 MB = -124.65 ……………. (2)
8/19/2019 Persamaan Tiga Momen a.pdf
28/35
2MA + MB = -45 ………… (1)
MA + 5 MB = -124.65 ………… (2)
MA = -124.65 – 5MB
2(-124.65 – 5MB) + MB = -45
-249.3 – 10MB + MB = -45
-9MB = -45 + 249.3
= 204.3
MB = -22.7
MA = -124.65 – 5(-22.7)
= -124.65 + 113.5
= -11.15
Didapat momen di tumpuan
yaitu:
MA = -11.15 kNm
MB = -22.7 kNm
MC = -14.4 kNm
8/19/2019 Persamaan Tiga Momen a.pdf
29/35
Perhitungan rotasi / putaran sudut
8/19/2019 Persamaan Tiga Momen a.pdf
30/35
Konsep
• Balok Fiktif
• Balok nyata
• Geser pada balok semu = Rotasi pada balok
nyata
• Momen pada balok semu = lendutan pada
balok nyata
8/19/2019 Persamaan Tiga Momen a.pdf
31/35
10m 10m
11.15A7
BA
A5
A4 C DA6
22.7
14.4
4m
A4 = 11.15*10
= 111.5A5 = 0.5*10*(22.7-11.15)
= 5*11.55
= 57.75
A6 = 10*14.4
= 144A7 = 0.5*10*(22.7-14.4)
= 5*8.3
= 41.5
8/19/2019 Persamaan Tiga Momen a.pdf
32/35
10m 10m
11.15A7
BA
A5
A4C DA6
22.7
14.4
4m
CA Ao 5mB2I3I
10m 10m
DA2 A3 A1
2I
4m
Kontrol Putaran Sudut
8/19/2019 Persamaan Tiga Momen a.pdf
33/35
B = (1/3EI)*(-0.5A2 + 0.5A4 + (2/3)A5)
= (1/3EI)*(-0.5*150 + 0.5*111.5 + (2/3)*57.75)
=(1/3EI)*(-75 + 55.75 + 38.5)
= (1/3EI)* 19.25
= + 6.4167 / EI
Kontrol Putaran Sudut
Bentang AB
A = (1/3EI)*(0.5A2-0.5A4-(1/3)A5)= (1/3EI)*(0.5*150 – 0.5*111.5 – (1/3)*57.75)
=(1/3EI)*(75 – 55.75 – 19.25)
= (1/3EI) * 0.0
= 0
8/19/2019 Persamaan Tiga Momen a.pdf
34/35
C = (1/2EI)*(-0.5A3 + 0.5A6 + (1/3)A7)= (1/2EI)*(-0.5*225 + 0.5*144 + (1/3)*41.5)
= (1/2EI)*(-112.5 + 72 + 13.8333)
= (1/2EI)*( -26.6667)
= - 13.3333 / EI
Dari A = 0, dan adanya kesamaan nilai dan arah B pada
bentang AB dan bentang BC,
dapat diketahui bahwa hitungan sudah benar.
Bentang BC
B = (1/2EI)*(0.5A3 – 0.5A6 – (2/3)A7)= (1/2EI)*(0.5*225 – 0.5*144 – (2/3)*41.5)
= (1/2EI)*(112.5 – 72 – 27.6667)
= (1/2EI)*(12.8333 )
= + 6,4167 / EI
8/19/2019 Persamaan Tiga Momen a.pdf
35/35
Reaksi Perletakan
q = 1.8 kN/m
5mBA
2I2I3I
P = 18 kN
q = 1.8 kN/m
10m 10m 4m
C
D
R A
(kN) R B
(kN) R B
(kN) R C
(kN) R C
(kN)
Akibat Beban 9 9 9 9 7.2
Akibat Momen tumpuan 1.115 -1.115 2.27 -2.27 0
-2.27 2.27 -1.44 1.44 0
Total Reaksi Perletakan 7.845 19.985 15.37
Chek V = 0
V = (1.8*10 + 18 + 1.8*4) – (7.845+19.985+15.37)
43.2 – 43.2 = 0 ………………. Perhitungan ok!