1

Pertemuan #2Transformasi Elemen Batang

Matakuliah : <<S0494>>/<<Pemrograman dan Rekayasa Struktur>>

Tahun : <<2005>>

Versi : <<1/0>>

2

Learning Outcomes

Pada akhir pertemuan ini, diharapkan mahasiswa

akan mampu :• Menghitung matriks transfomasi batang• membuat perakitan matriks kekakuan struktur

secara manual dengan orientasi komputer• Mahasiswa mampu membuat perhitungan

perpindahan dan gaya batang transformasi secara manual dengan orientasi komputer

3

Outline Materi

• Transformasi Koordinat

• Transformasi Gaya dan Perpindahan

• Matriks Kekakuan Transformasi

• Perakitan Matriks Kekakuan Struktur

• Perpindahan Struktur

• Perpindahan Batang dalam Koordinat Lokal

• Gaya-gaya Batang dalam Koordinat Lokal

4

Matriks Kekakuan Lokal

Pers. keseimbangan gaya dalam Koordinat Lokal :

j

j

j

i

jy

jx

iy

ix

v

v

u

u

L

EA

f

f

f

f

0000

0101

0000

0101

f = k’ u (2.1)

5

Transformasi Koordinat

u

v

X

Y

θθ

Pix

Piy

Pix sin θ

Pix cos θ

Piy sin θ

Piy cos θ

X,Y = koordinat sumbu globalu,v = koordinat sumbu lokalPix, Piy = gaya pada titik I dengan arah sejajar sumbu-X ,sumb-Y

6

Transformasi Gaya / Perpindahan

jy

jx

iy

ix

jy

jx

iy

ix

P

P

P

P

f

f

f

f

cossin00

sincos00

00cossin

00sincos

f = R P (2.2) Gaya :

j

j

i

i

j

j

i

i

Y

X

Y

X

v

u

v

u

cossin00

sincos00

00cossin

00sincos

u = R X (2.3) Perpindahan :

7

Matriks Kekakuan Transformasi

f = k’ u

R P = k’ R X

RT R P = RT k’ R X

Dimana : RT R = I dan k = RT k’ R

P = k X

sc

22

22

22

22

sscssc

sccscc

sscssc

sccc

L

EAk

c = cos θ

s = sin θ

8

Perakitan Matriks Kekakuan

NELi

i

NELi

i 11i

'i

Tii RkRkK

dimana :

NEL = jumlah batang

ki = matriks kekakuan batang nomor ke-I

R = Matriks transfomasi

K = Matriks kekakuan struktur

9

Pers. Keseimbangan Struktur

• Persamaan keseimbangan struktur dapat ditulis menjadi :

Pf = vektor beban pada nodal yang tidak dikekang (diketahui)Ps = vektor beban pada perletakan (unknown)Xf = vektor perpindahan pada nodal-nodal yang tidak dikekang. (unknown)Xs =vektor yang berisi perpindahan tumpuan (diketahui)

s

f

2221

1211

s

f

X

X

KK

KK

P

P(1)

Pf = K11 Xf + K12 Xs (2)

Ps = K21 Xf + K22 Xs (3)

Pf = K11 Xf (4)

Ps = K21 Xf (5)

Apabila tidak terjadi pergerakan tumpuan (Δs = 0 ), maka :

10

Perpindahan dlm Koordinat Lokal

j

j

i

i

j

j

i

i

Y

X

Y

X

v

u

v

u

cossin00

sincos00

00cossin

00sincos

u = R X (2.3) Perpindahan :

11

Gaya Dalam Batang

f = k’ u

Gaya Batang:

j

j

j

i

jy

jx

iy

ix

v

v

u

u

L

EA

f

f

f

f

0000

0101

0000

0101

12

TUGAS

Suatu struktur rangka batang seperti gambar di bawah dengan data penampang

Adalah sebagai berikut : Batang 1 – 8 : E =20000000000 , A = 0.04 m2 dan batang 9 & 10 : E=20000000000 , A = 0.03 m2. Hitung :

1. Matriks kekakuan transformasi setiap batang

2. Matriks rotasi setiap batang

3. Perakitan Matriks Kekakuan struktur

4. Perpindahan Struktur

5. Gaya-Gaya Batang

6.06.06.0

2

5

34

6

1

106

4

321

5 987 5.

0

12000 12000

800800