1

Pertemuan 3Predicate Logic

Matakuliah : H0383/Sistem Berbasis Pengetahuan

Tahun : 2005

Versi : 1/0

2

Learning Outcomes

Pada akhir pertemuan ini, diharapkan mahasiswa

akan mampu :

• Menggunakan Predicate Logic untuk Representasi Pengetahuan

3

Outline Materi

• Propositional Logic

• Sintaksis dan Semantik FOPL

• Sifat-sifat FOPL

• Bentuk Klausal dari FOPL

• Prosedur konversi ke dalam bentuk klausal

4

Propositional Logic(PL)

PL merupakan bentuk khusus dari FOPL

• Hujan datang dan angin berhembus kencang.

• Bentuk PL: H & A.

• H, A : propositions

• Jika rajin belajar maka akan berhasil

• Bentuk PL: RB

5

Propositional Logic(PL)

Sintaksis:

• T(true), F(false) adalah statement (pernyataan).

• Jika P dan Q adalah statement, maka berikut ini adalah statements:

• (~P), (P&Q), (PVQ),(PQ),(PQ)

Contoh:

• ((P&(~QVR)(QS)) adalah statement

6

Propositional Logic

Semantik dari PL: True atau False

No True statements False statements

1 ~f ~t

2 t&t’ f&a

3 tVa a&f

4 aVt fVf’

5 at tf

6 fa tf

7 tt’ ft

8 ff’

t,t’:true statements

f,f’:false statements

a: any statements (false or true)

7

Propositional Logic

Contoh:

• ((P&~Q)R)VQ

• Let P is true, Q is false, R is false

• Rule 2: ~Q is true

• Rule 3: (P&~Q) is true

• Rule 6: (P&~Q)R is false

• Rule 5: statement is false

8

Propositional Logic

• Hukum-hukum ekivalen:idem potency PVP=P, P&P=P

Associative (PVQ)VR = PV(QVR)

(P&Q)&R = P&(Q&R)

Commutative PVQ=QVP, P&Q=Q&P

PQ = QP

Distributive P&(QVR) = (P&Q)V(P&R)

PV(Q&R) = (PVQ)&(PVR)

De Morgan ~(PVQ) = ~P&~Q

~(P&Q) = ~PV~Q

Conditional elimination PQ = ~PVQ

Bi-conditional elimination PQ = (PQ)&(QP)

9

Propositional Logic

Pengambilan kesimpulan dalam PL:• Modus Ponen:• P,PQ: Q• Kambing berkaki 4• If x berkaki 4 x binatang• Kambing adalah binatang• Chain Rules: PQ,QR: PR• x suka teh tawar x tak suka gula• X tak suka gula x diabetes• X suka the tawar x diabetes

10

FOPL

• Kekurangan dari PL adalah: kurang ekspresif dan tidak dapat mengakomodasi (contohnya) statement dibawah ini:– Seluruh pelajar di fasilkom harus mengambil

mata kuliah SBP– Baba adalah pelajar di fasilkom

• PL tidak dapat mengambil kesimpulan bahwa Baba harus mengambil mata kuliah SBP.

11

First Order Predicate Logic

• FOPL dikembangkan oleh para logicians sebagai pelengkap PL.

• Sintaksis FOPL sebagaimana PL namun dilengkapi oleh Predicates dan Functions.

• Semantik dari FOPL lebih ditentukan oleh interpretasi dari predikat(predicate) daripada proposition dlm PL.

12

FOPL

• Sintaksis:

• Connectives: &, V,~,,.

• Quantifiers: universal ,existential

• Constants

• Variables

• Functions

• Predicates

13

FOPL

Representasikan Pengetahuan di bawah ini dengan menggunakan FOPL:

• Seluruh pegawai berpenghasilan lebih dari $2000 per tahun wajib membayar pajak.

• Beberapa pegawai sakit hari ini.

• Tidak ada pegawai yang berpenghasilan lebih besar dari pimpinan

14

FOPL

Untuk merepresentasikan expresi tsb., definisikan predikat dan fungsi.

• E(x) atau EMPLOYEE(x) utk pegawai

• P(x) atau PRESIDENT(x) utk pimpinan

• i(x) atau income(x) utk penghasilan x

• GE(u,v) utk u lebih besar dari v

• S(x) atau SICK(x) utk pegawai sakit

• T(x) atau TAX(x) utk pajak

15

FOPL

• For all x if x an employee and the income of x greater then or equal to 1000 then x pay taxes

• There is an employee and the employee is sick today

• For all x and y if x is an employee and y is the president then the income of x is not greater than or equal to the income of y

))(),((~))(&)(((

))()((

)())2000),((&)(((

yixiGEyPxExy

ySyEx

xTxiGExEx

16

FOPL

Expresi (statement) dalam FOPL biasa disebut well-formed formula (wff)

Maka sintaksis dari FOPL dapat didefinisikan sbb:

• If P and Q are wff, then ~P, P&Q, PVQ, PQ, PQ,

adalah wff

)(),( xPxxPx

17

FOPL

• Semantik FOPL : True atau False selama elemen dari expresi berada dalam domainnya.

• Evaluasi truth value dari

)())(&)))((),((( xDxCxfBxaAx

18

FOPL

• Diberikan domain dari expresi adalah {1,2}

• Diketahui konstanta a=2, f(1)=2, f(2)=1, A(2,1)=B(1)=C(1)=D(2)=true, A(2,2)=B(2)=C(2)=D(1)= false.

• Maka apabila expresi tersebut NOT TRUE untuk seluruh nilai x, x={1,2} maka expresi tsb. bernilai FALSE

19

FOPL

• Sifat-sifat expresi dalam FOPL

20

FOPL

PQ = ~P V Q:• PINTAR(x) SUKSES(x)Asumsi:• PINTAR(budi) SUKSES(budi) :TRUEEkivalen:• ~PINTAR(budi) V SUKSES(budi) :TRUEPembuktian:• Bila PINTAR(budi) adalah TRUE maka

~PINTAR(budi) adalah FALSE• Konsekuensinya SUKSES(budi) harus TRUE

21

FOPL

• Bentuk klausal adalah bentuk formal disjunk(DNF), yaitu bentuk koneksi logika terdiri atas &(AND), V(OR) dan ~(NOT).

• Pemetaan wff predicate logic ke dalam bentuk klausal akan memudahkan sistem melakukan automatic reasoning.

22

FOPL

Tahapan konversi ke dalam bentuk klausal:

• Eliminasi ekivalen () & implikasi ()

sesuai tabel ekivalen

• Pindahkan simbol negasi langsung ke depan atom individu, misalkan.

][~][)(~ xFxxFx ][~)(][)(~ xFxxFx

23

FOPL

• Ubah nama variabel sehingga masing-masing quantifier menunjuk variabel yg berbeda.

• Eleminasi existential quantifier melalui proses Skolemization (lihat prosedur)

• Pindahkan seluruh universal quantifier kemuka (kiri) expresi dan ubah expresi menjadi bentuk normal konjunk (CNF).

• Eleminasi seluruh universal quantifier dan konjungsi (operator &).

)))(()((

)))(()((

yQyxPx

xQxxPx

24

FOPL

Skolemization:• Apabila quantifier terdepan(terkiri) dalam sebuah

ekspresi adalah sebuah existential quantifier, maka ganti seluruh variabel yg dikuantisasi olehnya dengan sebuah konstanta yang unik. Kemudian eleminasi existential quantifier tsb.

• Prosedur diatas berlaku pula untuk existential quantifier yg tidak didahului universal quantifier.

• Apabila existential quantifier didahului oleh universal quantifier, maka ubah variabel yg dikuantisasi menjadi sebuah fungsi, dimana argumen funsi tsb. adalah variabel yang dikuantisasi universal quantifier yg mendahului existential quantifier tsb.. Kemudian eleminasi existential quantifier tsb.

25

FOPL

• Contoh:

• Setelah skolemization:

),,(),,),(( yvuQyxvufPyxvu

)),(,,()),(,,),(( xvgvaQxvgxvafPxv

26

FOPL

• Contoh konversi ke bentuk klausal

))(,())(,),((~

))(,(())(,),((~

:

)))(,())(,),((~&))(,(())(,),((~(

)))(,(&))(,(())(,),((~(

)),(&),((),),((~(

)),(&),((),),((~(

))),(&),(()),),((((~

))),(&),((),),(((

ypyRygyafP

yhaQygyafP

klausalBentuk

ypyRygyafPyhaQygyafPy

ypyRyhaQygyafPy

vyRvuaQuzyafPzy

vyRvuxQuzyxfPzyx

vyRvuxQuzyxfPzyx

vyRvuxQuzyxfPzyx

27

Penutup

• Pengetahuan direpresentasikan kedalam bentuk formal logika sehingga dapat dilakukan manipulasi menurut logika.

• First Order Predicate Logic merupakan pengembangan dari Propositional Logic dengan menambahkan unsur class dan subclass sehingga “expressiveness” dari Pengetahuan dapat direpresentasikan.

• Bentuk klausal diperlukan untuk melakukan automated reasoning pada bab selanjutnya