1

Pertemuan 8Estimable parameter

Matakuliah : I0204/Model Linier

Tahun : Tahun 2005

Versi : revisi

2

Learning Outcomes

Pada akhir pertemuan ini, diharapkan mahasiswa

akan mampu :

• Mengidentifikasi fungsi parameter yang dapat diduga

3

Outline Materi

• Fungsi parameter

• BLUE

• Teori Gauss-Markoff

4

Teori model linear merupakan dasar bagi:analisis statistik seperti : analisis regresi, anova dalam perancangan percobaan.Regresi linier sederhana y = a + bx, atau model regresi berganda. Anova dalam model y= u + ti + eij.

Model linier

5

Model linier dalam matrik

• Model linier umum ditulis dalam

bentuk matrik y = X β + ε ,

• dimana y = vektor pengamatan

X = matrik desain, ε = vektor galat

• Dengan asumsi E(ε )=0 dan V(ε )= Ơ2In

6

Tujuan:

• Menduga (penduga titik atau interval) bagi parameter b1, b2 …, bp jika mungkin atau paling tidak menduga kombinasi linier dari parameter tersebut.

• menduga Ơ2

• menguji hipotesis yang berkaitan dengan β atau paling tidak fungsi dari β

7

Model full rank

• Rank dari matrik X sama dengan r, r <min (n,p)

• Jika r=p<n maka model X β + ε disebut Full rank model dan lainnya disebut not full rank model.

8

Penduga β

• Untuk menduga β , penduganya B merupakan fungsi dari y dan variable lain yang diketahui yaitu X, sehingga B dekat dengan β . variabel y didekati dengan XB dan sisaan/ bedanya

e = y- XB disebut vector residual.

9

Persamaan normal

• B dipilih sehingga jumlah kuadrat sisaan e minimum.

• Dengan metode kuadrat terkecil• e’ e= (y-XB)’(y-XB)• = y’ y – 2 B’X y + B’ X’ X B

ingat B’X y = y X B

• Turunan d(e’ e)/dB = - 2 X’ y + 2 X’ X B = 0• atau X’ y = X’ X B disebut persamaan normal.

10

11

Solusi B

• Persamaan normal bersifat konsisten jika rank (X’X|X’y) = rank (X’ X)

• Solusi persamaan normal X’ y = X’ X B

• Jika S = X’ X maka B = S- X’ y

• S- = matrik invers (umum) X’X

12

Model not full rank

• Bagi model not full rank ada banyak solusi bagi B, sehingga B tidak bersifat unik dan

• E(B) = E(S- X’ y)

• = S- X’ X β

• = H β tidak sama dengan β , sehingga bukan penduga tak bias bagi β

13

Definisi fungsi parameter yang dapat diduga:

• Fungsi linier parameter λ’B dimana λ = λ1, λ2 , …, λp) dikatakan dapat diduga jika ada paling sedikit ada satu fungsi linier

u’ y dimana u= (u1, u2, .., un) sehinga

E(u’ y) = λ’ B

• u’XB = λ ’ B atau u’X = λ’

14

BLUE

• Fungsi linier b’ y dari model y = X B dikatakan Best Linear Unbiased Estimate (BLUE) dari fungsi parameter λ’B, jika merupakan penduga tak bias bagi λ’B dan memiliki ragam minimum diantara semua penduga linier tak bias bagi λ’B.

15

Teori Gauss-Markoff.

Bagi model y = X β + ε, E(ε )=0 dan V(ε )= Ơ2 I, y = nilai pengamatan, X= variabel diketahui dan B dan Ơ2 tidak diketahui, BLUE bagi fungsi linier yang dapat diduga λ’ B (λ diketahui) adalah λ’ B, B sembarang solusi bagi persamaan normal X’ y = X’ X B, yang diperoleh dengan meminimumkan (y-XB)’ (y-XB) dengan menurunkan (deferensial) terhadap B.

16

blue

• Jika λ’ β merupakan fungsi parameter yang dapat diduga, maka λ’B adalah BLUE dan ragamnya V (λ’B) = λ’V(B) λ

= λ’ S- λ σ .

17

• Penduga parameter model linier dapat dikelompokkan dalam 2 kategori yaitu

• Model full rank dan model not full rank