Pesquisa e Ordenação de Vectores Pedro Barahona DI/FCT/UNL Introdução aos Computadores e à Programação 2º Semestre 2008/2009 22 Maio 20091Vectores (e Listas):

Pesquisa e Ordenação de Vectores

Pedro BarahonaDI/FCT/UNL

Introdução aos Computadores e à Programação2º Semestre 2008/2009

22 Maio 2009 1Vectores (e Listas): Pesquisa e Ordenação

22 Maio 2009 Vectores (e Listas): Pesquisa e Ordenação 2

• Como vimos anteriormente a função seguinte lê um ficheiro de empregados e retorna

um vector de estruturas com a informação aindicada abaixo:

Leitura de Vectores de Estruturas

function Emps = ler_emps(filename); [f_in, msg] = fopen(filename, "r"); i = 0; [e.cod, e.nome, e.venc, e.data, count] = ler_linha(f_in); while count> 0 i = i+1; Emps(i) = e; [e.cod, e.nome, e.venc, e.data, count] = ler_linha(f_in); endwhile; fclose(f_in);endfunction;

i nd cod nome venci ment o dat a1 610 Paul o Fer nandes Lopes 2341. 36 15/ 04/ 19962 825 Pedr o Vi ei r a 989. 24 25/ 06/ 19993 316 Mar t a Cost a Mar t i ns 1389. 17 05/ 01/ 19924 34 Rui Vasco Per ei r a 5310. 32 15/ 04/ 19965 723 J or ge Bar at a 767. 26 03/ 09/ 2002


Processamento de Vectores de Estruturas

• A partir deste momento, todo o processamento da informação sobre os empregados

pode ser feito sem leitura do ficheiro, mas apenas por acesso ao vector vec_emps,

que pode ser criado com a chamada da função ler_emps

vec_emps = ler_emps(filename);

• Vamos ilustrar esta situação em 3 problemas:

– Cálculo da média dos vencimentos dos empregados.

– Selecção dos empregados com o nome Paulo

– Ordenação dos empregados por ordem crescente de antiguidade


Cálculo de Médias em Vectores de Estruturas

• Uma vez lida a informação dos empregados para o vector vec_emps, ela pode ser

acedida directamente e passada como parâmetros de entrada em funções.

• Assim o cálculo do total e da média dos vencimentos é feito pela chamada da função

vencimentos, definida abaixo e chamada com o parâmetro vec_emps. Por exemplo,

na instrução

[m,t] = vencimentos(vec_emps)

function [media, total] = vencimentos(vec_x); total = 0; n = length(vec_x) for i = 1:n total = total + vec_x(i).venc; endfor; media = total / n; % printf("o total de vencimentos é %7.2f \n“, total); % printf(“ e a sua média é %7.2f \n", total/n);endfunction;


Selecção de Elementos em Vectores de Estruturas

• Igualmente se podem seleccionar os elementos de um vector de estruturas que

satisfazem um certo critério.

• No exemplo abaixo os empregados cujo vencimento é superior a um dado valor

são seleccionados e organizados num vector, emps, que é o resultado da função

vencimento_maior.

• Estes empregados podem ser obtidos pela chamada da função

emps_mais_de_1000 = vencimento_maior(vec_emps, 1000)

function emps = vencimento_maior(vec_x, valor); k = 0; for i = 1:length(vec_x) emp = vec_x(i); if emp.venc > valor k = k + 1; emps(k) = emp; endif; endfor;endfunction;


Selecção de Elementos em Listas

• O critério utilizado para seleccionar os elementos de um vector de estruturas é

arbitrário, podendo ser naturalmente outro.

• No exemplo abaixo são seleccionados, e retornados como resultado da função

emps_com_nome, os empregados que têm uma dada palavra no seu nome. Por

exemplo, os empregados cujo nome inclui a palavra “Paulo” são retornados pela

chamada da função

paulos = emps_com_nome(vec_emps, ‘Paulo’)

function emps = emps_com_nome(vec_x, nome); k = 0; for i = 1:length(vec_x) if index(toupper(vec_x(i).nome),toupper(nome))> 0 k = k + 1; emps(k) = vec_x(i); endif; endfor;endfunction;


Ordenação de Listas e Vectores

• As estruturas de dados lineares (nomeadamente listas e vectores) são

frequentemente armazenadas de uma forma ordenada.

• A ordenação facilita, a pesquisa de informação.

• Como veremos, numa lista ordenada com n elementos a procura de um elemento

pode ser feito com log2(n) acessos em vez de n/2 operações (em média).

• Por exemplo, se uma lista tiver 107 = 10 000 000 elementos (por exemplo, o

número de portugueses na base de dados do BI), em vez de 5 000 000 de

acessos à lista (para encontrar um #BI), são necessários apenas cerca de

log2(107) ≈ 23.25, em média.

• Evidentemente a ordenação tem custos. Mas, como é frequentemente o caso, a

ordenação é feita 1 vez, e os acessos muitas vezes, compensa manter as

estruturas de dados ordenadas.


Ordenação de Listas e Vectores

• Analisemos primeiro a ordenação de vectores (ou listas), para o que existem

vários algoritmos (de ordenação) com vantagens e desvantagens em diferentes

contextos.

• Uma característica importante dos algoritmos é o espaço de memória utilizado,

que não consideraremos neste caso, já que apenas se utiliza o espaço ocupado

pelo vector.

• Outra característica importante é a sua complexidade, medida em número de

acessos ao vector. Este número depende naturalmente do número n de

elementos da estrutura de dados utilizada.

• Embora existam algoritmos (quicksort) mais rápidos (necessitam de cerca de

nlog2n acessos), o que apresentamos (bubblesort) é mais simples de descrever

(e implementar?).


Ordenação por Bubble Sort

• A ideia do algoritmo é comparar dois elementos consecutivos do vector, e trocá-

los se estiverem na ordem “errada”. A comparação é feita entre os n-1 pares do

vector, por uma determinada ordem, por exemplo (1,2), (2,3), ..., (n-1,n).

• No final deste processo, o último elemento já está bem posicionado. Sem qualquer

optimização, pode fazer-se outro varrimento, em que ficará bem colocado o

penúltimo elemento.

• Desta forma, e no pior caso, bastará fazer n-1 varrimentos para garantir que o

vector ficou ordenado.

• No total, e para o pior caso, são feitas (n-1)comparações em cada um dos (n-1)

varrimentos, em que algumas comparações resultam em trocas.

• Desta forma serão feitas (n-1)2 comparações, pelo que a complexidade será

quadrática no número de elementos do vector, isto é lim (n-1)2 n2 (para valores

de n “grandes”).


Ordenação por Bubble Sort

• Podemos observar o comportamento deste algoritmo no (pior) caso abaixo, com

um vector de 4 elementos, em ordem decrescente que se pretende ordenar de

forma crescente!

9 7 4 1 compara 9 com 7 troca



7 4 1 9


4 7 1 9 compara 7 com 1 troca4 1 7 9 compara 7 com 94 1 7 9

4 1 7 9 compara 4 com 1 troca1 4 7 9 compara 4 com 71 4 7 9 compara 7 com 91 4 7 9

3ª iteração

o 2º valor está arrumado!

1ª iteração


2ª iteração



Bubble Sort (Não Optimizado)

• A função abaixo implementa o algoritmo de bubble sort com dois ciclos para

encadeados. No final destes ciclos o vector está ordenado por ordem decrescente.

function V = bubble_1(V); % bubble sort n = length(V); for k = 1:n-1 % n-1 varrimentos for i = 1:n-1 if V(i) < V(i+1) x=V(i); V(i)=V(i+1); %troca V(i) com V(i+1) V(i+1)=x; endif; endfor; endfor;endfunction;


Optimização do Bubble Sort

• O algoritmo pode ser optimizado de duas formas complementares.

Diminuição dos ciclos

• Por um lado, em cada iteração o último valor a ser considerado vai decrescendo de

n para n-1, para n-2, ....

• Desta forma o ciclo interno pode ser parametrizado por um valor k que vai

decrescendo em cada ciclo externo.

Interrupção dos varrimentos

• Se um varrimento termina sem trocas, o vector já está ordenado, e não é necessário

fazer mais varrimentos.

• Assim há que identificar numa variável, troca, se houve trocas durante um

varrimento. Caso contrário, terminar imediatamente a ordenação.


Bubble Sort (Optimizado)

• As duas optimizações descritas estão implementadas no algoritmo abaixo. Se ao

fim de um varrimento não tiver havido trocas, o vector já está ordenado (por ordem

crescente) e e a função termina sem iniciar mais varrimentos!.

function V = bubble_2(V); % bubble sort n = length(V); for k = n-1:-1:1 % k = n-1, n-2, n-3, ... troca = 0; for i = 1:k if V(i) > V(i+1) troca = 1; x=V(i); V(i)=V(i+1); %troca V(i) com V(i+1) V(i+1)=x; endif; endfor; if troca == 0 return endif; endfor;endfunction;


Bubble Sort (Optimizado)

• Como a unica operação a fazer sobre vectores é trocar dois elementos, o mesmo

algoritmo pode servir para ordenar vectores de estruturas. Por exemplo, a função

abaixo ordena o vector Vec, por ordem crescente do campo venc.

function Vec = bubble_3(Vec); % bubble sort n = length(Vec)-1; for k = n-1:-1:1 troca = 0; for i = 1:k if Vec(i).venc > Vec(i+1).venc troca = 1; x = Vec(i); %troca V(i) com V(i+1) Vec(i) = Vec(i+1); Vec(i+1) =x; endif; endfor; if !troca return endif; endfor;endfunction;


Pesquisa Linear em Vectores

• Consideremos um vector V, numérico e não ordenado, onde queremos encontrar

o número x. O algoritmo abaixo determina se o número x está ou não incluído no

vector, comparando x com todos os valores da lista.

• A função retorna o (primeiro) índice i onde se encontra x (ou seja, V(i) = x), ou

retorna 0 se x não estiver incluído no vector

• A função pode ser facilmente adaptada para uma vector e um campo substituindo-

se a comparação para

if V(i).campo == x

function i = procura_linear_1(x,V); for i = 1:length(V); if V(i) == x return; endif endfor; i = 0;endfunction;


Pesquisa em Vectores

• A complexidade do algoritmo, em termos do número de acessos ao vector, pode

ser analisado da seguinte forma:

– Se x não pertence ao vector, então terão de ser feitas n leituras.

– Se x pertencer ao vector, o número de leituras é variável. Assumindo que x

pode estar em qualquer posição, deverão ser lidos, em média, n/2 valores.

• Assumindo que x pode estar em V com uma probabilidade p (e, portanto, não

estar no vector com uma probabilidade q = 1-p), o número médio de acessos será

de aproximadamente

p n/2 + q n

• Se p = q = ½ teremos uma complexidade média de

½ ½ n + ½ n = ¾ n

o que indica uma complexidade assintótica linear, O(n).


Pesquisa Linear em Vectores (Optimizada)

• A pesquisa pode ser mais rápida se o vector estiver ordenado.

• Assumindo uma ordenação crescente, a pesquisa pode terminar se o valor V(i) já

exceder o valor de x, porque nesse caso, os valores de V(j) com j > i serão ainda

maiores!

function i = procura_linear_2(x,V); for i = 1:length(V); if V(i) == x return; elseif V(i) > x i = 0; return; endif endfor;endfunction;


Pesquisa Linear em Vectores (Optimizada)

• A complexidade, em termos do número de acessos ao vector, pode ser analisado

de uma forma semelhante à anterior :

– Se x pertencer ao vector V, o número de leituras é variável, sendo em média

lidos n/2 valores.

– Se x não pertencer ao vector V, esse facto será descoberto mais cedo ou

mais tarde consoante o valor de x (e os valores em V). Em média, podemos

assumir igualmente que apenas metade dos valores são testados

• Como x está em V com uma probabilidade p, e não está com probabilidade 1-p, o

número médio de acessos será de

p n/2 + (1-p) n/2 = n/2

• O número de acessos baixa assim de ¾ n para ½ n, mas mantém a mesma

complexidade assintótica linear, O(n).


Pesquisa Bipartida

• Se o vector V estiver ordenado, podemos sempre determinar se x, a existir no

vector V, está à frente ou atrás de um elemento testado.

• Assim, em vez de testar sequencialmente os valores de V, podemos testá-los “em

saltos”, delimitando em cada teste a zona do vector onde valerá a pena pesquisar.

• Esquemáticamente, podemos considerar um esquema de bipartição

• O algoritmo pode pois considerar um intervalo de pesquisa cada vez menor, como

exemplificado de seguida.

x > V(i)x < V(i)

i


Pesquisa Bipartida

• Consideremos um vector V, ordenado por ordem crescente, com 31 números,

onde queremos encontrar o número x. Inicialmente os índices onde se faz a

pesquisa estão no intervalo (1,31).

• Podemos comparar x com o número intermédio entre 1 e 31 = 16 = (1+31)/2).

– Se V(16) = x, este está encontrado.

– Se V(16) < x, este deverá ser procurado no intervalo (17,31).

– Se V(16) > x, este deverá ser procurado no intervalo (1,15).

• Neste último caso, podemos comparar x com o número intermédio 8 = (1+15)/2





Pesquisa Bipartida

• No segundo caso, podemos comparar x com o número intermédio 12 = 9+15/2.




• No segundo caso, podemos comparar x com o número intermédio 14 = (13+15)/2.




• Nestes últimos casos, são feitas comparações com um só elemento, V(13) ou

V(15), que garantem a verificação sobre se x está ou não no vector V .


Pesquisa Bipartida• No máximo, são feitas 5 comparações, com V(16), V(8), V(12), V(14) e V(15), o

que confirma que o número máximo de acessos é da ordem de log2(n), já que

log2(31) = 4.95 ≈ 5.

• Em geral, o intervalo inicial, de largura n, é reduzido para metade em cada um de

p passos, sendo feita uma comparação em cada passo, e terminando o processo

quando o intervalo tiver largura 1. Assim, temos

n ½ ½ ... ½ = 1, donde n / 2p = 1

e portanto n = 2p ou p = log2(n).

• Como p é o número de comparações, a pesquisa bipartida tem, como visto atrás,

complexidade assintótica logaritmica O( log2(n)).

• Assim para vectores (ou listas) com 109 valores, uma pesquisa requer em média

log2(109) ≈ 29.9, e não 500*106 acessos.

• Se cada acesso demorar 1 s, a pesquisa bipartida demora cerac de 30 s, em

comparação com 500 seg = 10 min!


Pesquisa Bipartida• Dadas as vantagens, vale a pena utilizar a pesquisa bipartida. Eis uma possível

implementação, recursiva, em que se pretende determinar se o número x está no

vector V, entre as posições i e j.

• Naturalmente, a função será chamada como

k = procura_bipartida(x,V,1,length(V)).

function k = procura_bipartida(x,V,i,j); m = round((i+j)/2); if x == V(m) k = m; return; elseif x > V(m) i = m+1; % o j mantem-se else j = m-1; % o i mantem-se endif; if j >= i k = procura_bipartida(x,V,i,j); else k = 0; endifendfunction;

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